автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Обработка результатов геодезических измерений с учетом параметрической модели распределения ошибок

pro од

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И 'ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГО»ДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ имени Г.В.ПЛЕХАНОВА (технический университет)

На правах рукописи

САМОХВАЛОВ Владимир Иванович

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ'ГЕОДЕЗИЧЕСНИХ ИЗМЕРЕНИЙ С УЧЕТОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОШИБОК

Специальность 05.24.01 - геодезия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических паук

Санкт-Петербург - 1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном горном институте им.Г.И.Плеханова (техническом университете)

Научный руководите.-ь:

доктор технических наук, профессор Хлебников А.В.

Официальные оппоненты: дектор технических наук,

профессор Макаров Г.В.

кандидат технических наук Науменко А.И.

Ведущее предприятие:

Государственное предприятие "Аэрогеодезия" г.Санкт-Петербург

м

Защита диссертации состоится 199Я г-

ъ1? час.00 мин. на заседании специализированного совета Д 063.15.10 в Санкт-Петербургском Государственном горном институте им. Плеханова (техническом университете) по адресу:

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного горного института им.Плеханова (технического университета)

Автореферат разослан "£6_" длр-е^иЯ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного > совета, кандидат технических наук, * с доцент Трофимов М.Т.

199026, г.Санкт-Петербург, 21-линия, дом 2, ауд.3204

_ з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный этап науч-ьтехническог. прогресса характеризуется интенсивным повыше-1ем интереса к измерениям. Проблема обеспечения их точности з >пографо-геодезическом производстве продоляает оставаться ^ной из главнейшей, несмотря на постоянное совершенствование редств и методов измерений. Та*, применение с современных змерениях новых технологий и приборов высокой точности приво-п к необходимости учета влияния систематических .и грубых нибок, источником которых является неустойчивость определение компонентов эргатичоской системы. Поэтому для достаточно злногэ ручного понимания действительного ' распределения оия-эк измерений необходим анализ их многообразных реальных форм использованием эффективных средств математической стагисгкк«.

Многочисленные публикации з мировой научно-технической лтератур^ свидетельствуйт о том, что ошибки любой этнической совокупности имеют не только случайную сострвляюзу», о и детерминированную •¡.■угжциокально изменяющуюся часть. При ¿работке таких наблюдений наиболее целесообразным считается рименение метода максимального правдоподобия, учитывающего [зрояткостьые особенности результатов измерений. Поэтому акту-льннм представляется обоснованный выбор параметрической моде-и, интерпретирующей неучитываемые явления и связывающей опи-энке внешних условий с разу угятами наблюдений.

Цель работы - дальнейшие теоретические исслодова-ия, позволяющие сделать обоснованный выбор параметрической одели распределения ошибок измерений и способствующие раэрз-огие оптимальных алгоритмов как для оценки параметров модели, ак и для уравнивания обширных геодезических построений.

В связи с этим была поставлены следующие задачи исоледоьа-

ий:

-произвести анализ целесообразности применения современных татлстических методов при обработка рысокоточных геодезичес-и/. измерений;

-рассмотреть нетрадиционные методы обработки, некогда приемлемые в условиях ргроятностной неопределенности модели сил-

бок измерений;

-обосновать необходимость введения наиболее информативной параметрической модели, позволяющей учитывать состояние эрга-тической системы в целом; '

-провести экспериментальные исследования алгоритмов оценивания параметров модели смеси нормальных распределений;

-основываясь на методе максимального правдоподобия, вывести формулы, учитыва щие влияние допусков на оценку точности намеренных величин,и разработать алгоритмы уравнивания геодезических сетей, результаты измерений б которых представляют неоднородную по точности совокупность.

Методика' исследований базируется на теоретических выводах и численных экспериментах, выполненных'с учетом современных разработок в области теории вероятностей, математической статистики, линейного программирования и математического анализа, теории численных методов решения гадач на ПЭВМ и теории математической обработки геодезических измерений.

Научная н.о в и з и а работы заключается в следующем: .

-разработаны мстодь: математической обработки геодезических измерений, учитывающие всю имеющуюся'измерительную информация;

-установлены количественное зависимости характеристик распределения, образованного смесь» нормальных, от взаимного положения мх центров рассеяний;

-на основании метода максимального правдоподобия и распределения Кошй получены формулы, учитывающие влияние допусков на оценку точности измеренных величин;

-доказано, что усеченное распределение Кошк обладает всеми моментами.

Практическая ценность. Применение в программе обработки особо ответственных геодезических измерений разработанной методики, учитывавшей неоднородность информации, позволяет:

-при наличии достаточно большого объема статистических .данных выявлять постоянные-систематические опибки;

-для установления весов воспользоваться более совершенной, математической моделью, ослабляющей в процессе уравнительных

- 5 -

вычислений влияние грубых ошибок;

-на основании доведенного до уровня практической реализации способа приведения вектора поправок к независим. му виду осуществлять более корректно итерационное уточнение результатов уравнительных вычислений.

Достоверность мучных положений, выводов . и рекомендаций обоснована сходимостью результатов теоретических и экспериментальных исследований, полученных из обработки большого числа полевых наблюдений, статистических моделей сшибок измерений и моделей геодезических сетей. .

Апробация работы. Результаты, полученные в процессе исследований, докладывалась автором на Республиканской научно-технической конференции ВТУ(г.Вильнюс ,1991г.); на н&уч- . но-техниче^кой конференции ИЛИ(г.Иркутск,1989г.); ка заседании геодезической секции ЛО ЗАТО АН СССР(г.Ленинград,1921г.).,

Публикации. Основные положения диссертации изложены в 4 опубликованных работах автор?..

Объем работы. Диссертация объемом 132 страницы машинописного текста состоит из введения, трех глав и заклвче-ния, сопровождается 5 таблицами, 3 рисунками, списком литературы из 65 наименований, среди которых 14. на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, отмечается научная новизна результатов теоретических исследований и сформу-_ лирювакы основные научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе "НЕТРАДИЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ А(ПР0Н0М0-Г10ДЕЗЙЧЕСШХ НАБЛЮДЕНИЙ" приводятся некоторые обобщенные сведения о методах оценивания неизвестных параметров в в условиях вероятностной неопределенности модели ошибок изме- ; рений, которые незаслуженно забыты или не нашли достойного применения в теории оиибок геодезических измерений.

Во второй главе "ОБРАБОТКА СОВОКУПНОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ПО ТОЧНОСТИ ГРУПП ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ'1 обоснована необходимость введения ..араметрической модели ошибок распределения высокого-

- 6 -.

чных измерений в виде см.'си нормальных распределений и предло жена процедура обработки наблюдений,основанная на методе мак октального правдеподобия.

Наиболее достоверную информацию о распределении погрешне сти астрономо-геодезических измерений могут дать обширные экс перименты и систематизация результатов статистических иссле , дований ъ различных физико-географи^ских и погодных условия; Однако по вполне понятны),: причинам реьлиЕовать это почти невс зможно. Поэтому наблюдателю приходится принимать решение п] малом объеме информации сб изучаемом обекте. В этой связи о< ноеноИ- причин'", по которой удаляются резко выделяющиеся на< людения, является принятая в инструкции усеченная параметрит екая модель нормального распределения. Тем самым, как бы иде; лизируется представление о стохастическом характере реальн! измерений, обусловленных многообразием окружающего мира. Гаде уместьо заметить, что основания для удаления аномальных набл дений при соответствующем геодезическому производству чис приемов чаще всего отсутствуют. Дальнейшее же увеличение чис . наблюдений межет привести к ситуации, в которой аномальн всплески з результатах измерений, являясь таковыми лишь причине не вполне точной параметрической модели, приведут ■необходимости сменить модель для всей совокупности данных.

С целью выявления воздействия психологии наблюдателя (I теллектуалыюй переработки информации) на результаты кзмере! автор данной работы провел анализ материалов полеЕых измере« космического базиса, предоставленных Восточно-Сибирским Аэ] , геодезическим предприятием. При этом особое внимание было у, лено журналам измерений горизонтальных углез.

Стремясь уменьшить влияние систематических ошибок и иск, чить возможность появления грубых, проектировщики предписыв обязательное выполнение про!раммы наблюдений на пункте в видимости, сочетая по возможности утреиние и вечерние ча • при соблюдении определенных инструкцией технических допуско Однако это приводит к появлению систематической составл щей, связанной с психофизиологическими свойствами человечес го организма, которая остается неизменной глаьним образом С 'гэдгфя моторной'(двигательной) намят! . сохраняющей и воспрс

водящей информацию о различных движениях человека, и о5разной (зрительной), позволяющей оценить прсстранственное г.олоаение объектов.

Большое вл1..шие на наблюдателя оказывают результаты первых приемов измерений, позволяющие утвердиться при их совпадении или усомниться при их значительном расхождении в- бо~ошибоч.-юс-ти собственного представления. Поэтому становится очешдна особая роль первых приемов ь формирование моторкой и образной памяти человека, которые, как показывает практика, чаще всего и исключаются. Однако следует отметить, что в начальной стадии при еще нестабилизировавшейся эргаткческой системе, когда измерения в меньшей степени подвержены влиянию психофизиологических огойств человека, полученные результаты позволяют через веса точнее описывать условия возникновения информации в реальной математической модели геодезического построения.,

Таким образом, требование соблюдения технического допуска, с одной стороны, активизирует сравнение получаемых результатов, увеличивает их зависимость от формирующегося субъективного эталона и, как следствие, приводит к возрастанию систематических ошибок, с другой - приводит к небесспорному утверждению о равноточное: и угловых-' измерений.

Статистический анализ угловых измерений космического базиса позволил сделать следующие выводы:

1. В абсолютном большинстве случаев математическое ожидание и медиана усеченного эмп зического распределения ■ приблизительно равны.

2. Эксцессы для допустимых в программе наблюдений изменяются в пределах -1.49<2<1.23, причем преобладание отрицательных значений существенно ( 74$).

3. Асимметрия угловых измерений колеблется в интервале' от -0.84 до 0.88. . ' _

4. Форма сплайн-агшрокс-имирующеЯ кривой, описывающей гистограмму, чаще всего плоскоЕершинная или бимодальная.

5. Аппроксимация полигонов распределений экспоненциальной функцией с расчетом оценок параметров методом- Коши позволила в абсолютном большинстве своем пепучить оценки центров,совпадающие с математическими ожиданиями, а оценки рассеяния - с6

средними квадратическимя ошибками усеченных выборок далее небольших объемов. '

Анализ неусеченных выборок, в которых сохранены по возможности все наблюдения, занесенные в полевые журналы, в том числе и резко выделяющиеся, позволил прийти к таким выводам:

1. Исходя из того, что эксцесс изменяется в пределах -1Л<Е<11, а асимметрия - в пределах -3.3<А<1.8, следует, что действительные расп^. ¿деления в большинстве своем асимметричны и с -"тяжелыми хвостами". • .•

,2. Абсолютные ошибки неусеченных выборок соизмеримы по величине со среднеквадратическими ошибками усеченньэс выборок.

3. Разнообразие форм кривых, списывающих полигоны распределений, разброс в значениях эксцессов и асимметрии не позволяют остановить свой выбор на конкретном вероятностном законе. Поэтому заслуживает особого внимания предложение Ныэкомба аппроксимировать эмпирические распределения неусеченньк рядов при достаточном числе наблюдений (л>.1.00) смесь» нормальных законов распределений.

Смысл этих выводов наставляет обратить внимание на новые, еще неисследованные возможности теории математической обработки геодезических измерений, так как результаты статистического 'анализа, во-первых, свидетельствуют о значительном отклонения эмпирического распределения ошибок угловых измерений от нормального, т-,,,о способствует при обработке МКК получению квазипра-вдоподобных'оценок. Во-вторых, ставят задачу поиска специальных методов математической обработки данных, получаемых человеком при проведении профессиональных наблюдений, для выявлена/ наличия и характера взаимосвязей между результатами измерений, В-третьих, заостряют внимание на развитии нетрациционкьк мето-. дой уравнивания, предполагающих выбор того или ш'ого • принцип/ обработки в зависимости от закона распределения ояибок, уста' новяеногс при статистическом анализе.

Для аппроксимации разнообразных по форме полигонов распределений непрерывной аналитической функцией применена'предло жениая Ныокомбом функция плотности распределения ошибок неод неродных измерений:

= Ж'^¿рЛ^хр \-fhiXi • а/}', . (1)

где п - мера точности;р - вероятность принадлежности любого наблюдения к у - группе; О/- математическое ожидание;;/: - число неоднородных по точности групп, образующих данную совокупность; П. - число столбцов в гистограмме.

Поставлена задача: найти параметры аппроксимирующей функции, приближенные значения которых заданы с учетом условия . Разложение функцию (1) в ряд Тейлора с сохранинием линейных членов приводит к приближенно:", системе вида

в которой /у,- - значение, равное отношению частости к ширине 1-го интервала, а кавдое следующее приближение , п; , будет находится по предшествующему р'/[ п-\ а?!

Решение системы возможно только при выполнении ряда условий ¿5,

РГ* М- ъо

А „ „[кЧ) (Ь Л г ?Гк)

где Л;о,- -pj ; Му - Л; -Л, .

Наличие в системе условий неотрицательности переменных привело к мысли о целесообразности ее решения методом линейного программирования или методом наименьших квадратов с линейными ограничениями-неравенствами.

Метод моментов позволяет получить обобщенные оценки параметров функции смеси нормальных распределений.

Так, математическое ожидание случайной величины Мх, дающее положение центра тяжести распределения массы с плотностью УМ, определится по формуле [4]

/г»

Mr.-L.pj о).

- 10 -

Второй центральный момент, соответствующий дисперсии, равен

т

1

где А; = ОТ:-Мое -- постоянная систематическая ошибка.

Отсюда следует, что дисперсия неоднородной по точности совокупности измерений зависит не только от значения рассеяния, но и от постоянной систематической ошибки.

При нахождении оценок параметров расгределения, плотность которого зираааэтея функцией (1), применен методом максимального правдоподобия, дающий вероятностный подход к решению поставленной задат"".

Пусть функция совместной плотности• распределения для выполненных наблюдений имеет еид

п

= Р V? (хД-, ар = та х.

Предполагая, что неоднородность ошибок геодезических измерений лучше всего описывается смось» нормальных распределений, подставим выражение '/¿(х) из (1) ь функцию совместной плотности и прологарифмируем, тогда получим:

В этом случае сценки параметров, при которых функция правдопо-• добия достигает максимума, определятся из следующих формул

>1 /п

^ (Х1)/£ ^ ( >• к -1,2, ";ТП\

о?=£ - ак)г И ш/£ V, Ш ,

1*1 ' 1-*

где ЧШ) -ркА (ХЦ/Л/7У ¿-(то;

= Гц еэср [- - а,)'}.

Вычислительная процедура -цениванга параметров смеси нормальных распределений является весьма сложной. В диссертации предложен работоспособный алгоритм решения -этой 'задачи. ■

Кроме того, рассмотрен более общий случай, в котором ошибка 1-го .измерения ^заменяется поправкой, определяемой лкней-ур;,вкением. В этом случае логарифмированная функция правдоподобия будет иметь вид: '

& ^ = -1А ¿^Л;Р,ехР 8x^)1

Для определения параметров 8х необходимо решить систему уравнений -

' ¿=1

Здесь Ц)-веса неоднородных по точности измерений,

т. 2

г. - свободные члены уравнений поправок.

Таким образом, нормальные уравнения метода максимального правдоподобия, полученные в результете представления математической модели в виде смеси нескольких гауссовых распределений, ч метода наименьших квадратов отливаются значениями весов и свободных членов.

Окончательное решение системы (2) можно получить с помощью итерационного процесса. Причем на первом шаге итерации поправки гринимгются равк:пии нулю.

Так как поправки # являются коррелированными между собой величинами, то для оценил точности результатов вычислений и реализации последующих шагов итерационного процесса необходимо преобразовать их в величина, которые были; бы некоррелированными. С г,той цель» прёдлоасно воспользоваться такой ортогональной матрицей г'у. , чтобы новый вектор -

был состаьлен из равноточных ч статистически независимых между собой компонентов.

Задача состоит г том, чтобы к корреляционной матрица вектора поправок подобрать такую матрицу Гу , которая приводила Си матрицу К-/ к диагональному виду: к;- к; Ку Г,- о% . Это становится возмо»кмм после определения собственных векторов матрицы К/.

Б заключение отмечается, что метод обработки неоднородной совокупности геодезических измерений, основанный на математи-модели смеси нормальных распределений, при наличии достаточно большого количества статистических данных позволит не только выявлять постоянные систематические ош/бхи, но м уме-

пылать в процессе ураьнкгельных вычислений влияние грубых ошибок.

Ь третьей гллге " ШШЬ50ЬАпИ£ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОШИ .ДЛЯ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗЖРЕНИЙ" исследуется возможность представления параметрической модели смеси нормальных распределений с совпадающими центрами в вмде распределения Коши.

Осуществлена попытка решения проблемы повышения точности уравненных величин путем обработки рядов измерений без исключения иг них резко выделяющихся наблюдений. Для этого в качестве вероятностной модели принимается распределено с более длинными хвостами, позволяющее в результате устранения налагаемых ограничений значительно упростить методику геодезических наблюдений. В этом случае ¡за статистическую оценку параметра сдвкга целесообразно принять выборочную медиану Ме, обладающую устойчивость» к грубым ошибкам.

Одним из простейиих в семействе распределений Стыодеита является предельнее распределение Коши, возможность ьспользо-заккя которого при обработке геодезических измерений дет льно рассмотрена в этой главе.

■ Закон распределения Кошк вежей для. теории оценки погрешностей результатов измерений не только тем, что ему подчиняется распределение отношения'двух нормально распределенных центрированных случайных велечлч, ко и тем, что позволяет учитывать всю имеющуюся информацию, поскольку даже очень отдаленные резко выделяющиеся наблюдения не оказывают влияние на оценку сдвига.

Распределение Коши, плотность которого выражается функцией

где В - параметр рассеяния;ум- координата центра распределения, вытекает кэ семейства распределений. Стьедента с минимальным числом степеней свободы У »1. Кривая этой плотности по форме похожа на кривую нормального распределения, однако их свойстьа различны'. Так, второй (/Кг) и четвертый (уЧ;) моменты вследствие того, что .интегралы, определяющие их, расходятся будут неограниченно возрастать по-мере увеличения -объема выборки. По'этому эксцесс распределения Коши Е также равен бес-

онечностк. Неправомерна и оценка сдвига в вчде среднего ариф-етического, тэк как ее рассеяние б^-б/Ш пра «S = 00 равно есконечности.

Таким образом, классический метод моментов теории вероят-остей неспособен дать оценку параметров таких распределений.

Предположим, что случайная величина X задается плотнос-ь» распределения Коей. Тогда логарифмическая функция правдо-одобия примет вид

Функция правдоподобия выборки достигает максимального зна-енкя при условии, что

Ф = £ & [S1ta S)*} - min . i'ï

Пусть требуется найти минимум функции Ф , если переменные tï связаьы уравнениями поправок. Тогда условие можно предста-ить так:

ф = £&.[J4* (a cnj8ccj + iif) = min.

1 * t'i

Для его выполнения необходимо, воспользоваться частными нро-зводными по неизвестным параметрам, а затем приравнять их ну-ю. Эта процедура приведет к системе нормальных уравнений •

П К п

Là*; L Pi аи * Epi <*is

, fi' ' Ш

де Pi» (S, + «i ) вес измерений.

Отличительной особенностью системы яэляются весовые соот-ошения, знаменатель которых помимо параметров масштаба, как то принято при уравнивании по методу наименьших квадратов, ключает и поправки в измеренные величины. Б связи с чем воз-икает потребность ь более тщательном установлении весов с по— ■лед)ющим их уточнением, что приводит к необходимости введения терацконного процесса, при котором ча первом шаге итерации оправка принимается равной нуля. Поэтому становится очевидным, :то начальное пркблияекие соотгетст../ет методу наименьших квадратов.

Логарифмическая функции правдоподобия позволяет определить оценкиju.iS из двух совместно реыа^мых уравнений

где

¿Lj ó* + (OQ-jct)* t.-i

Соответствующе преобразования и необходимые подстановки позволили получить оценки параметров в следующем виде [3]:

Л _ £ _ I Г CCj-j*)3 .

пЬ¡Т^ЧхГу/Р' О)

^ = Ж" Я ¿V*.--X) t¡ IXi^Ji),

g-^íxrxf/n; Х-^яц Ъ = fcr¿ v?^'*

При этом в качестве начального приближения для оценок сдвига масштаба предлагается использовать, соответственно, выборочно медиану к абсолютное отклонение.

В результате отбора измерений согласно установленным дот С1<ам d получаются усеченныг выборки с соответствующими законг мк распределений, параметра которьзс из-за наложения огранив ну.'А претерпевают изменения. В .этом случае центральный uotáei S -го порядка для одномерного усеченного распределения . hoi вычисляется таким образом [2]: при s-четных

' A \tЫ'т *Ъ) - .

при э-иечетньк

где - доверительная вероятность; к ; m~Д

. йсимметшя, определяемая по фоомуле

ровна нулю.

Выражение эксцесса для усеченного распреде. ния Коши П] ря&лкчньк Т«с с учетом того, что , я 2'и =

может быть представлено г следующем вид* [2]: с _ T,¡ (к< + i) - 5к', ,

С ~ ЗА/.

Вычисленные значения эксцесса, свидетельствуют о том, Ч' при распределении генеральной совокупности ;ю закону Кою . дисперсией 'наложение ограничения, разного догуску 26 , npi зодит к раснр?деленив, экспеос и асимметрия которого соотзе-

вует нормальному закону.

Из вышесказанного следует, что если гипотеза о Коей рас- • еделенки случайных величин приемлема, то получен!.-- оценок раметров методом моментов возможно только на основании усе-нного распределения.

При производстве геодезических измерений часто пользуются нзурированием, при котором некоторые результаты отбрасыва-гя без применения каких-либо критериев. В результате этого в до биссирования измерений, превысивщих технический допуск, пучаем цензурируемуо выборку объема к. .

В этом случае функция правдоподобия будет иметь вид;

ъ в П о.(х) {(.г) 4 ' ОО \fwdx

; а(х) -АС^Г' - Г(х)]к 4 - коэффициент, зависящий 01 иных х,-, но не от параметров (/<,<$). Поэтому неинформативнкй житель а(х) можно опустить. С учетом этого логарифмическая 1кция правдоподобия окончательно запишется так:

ос х<к>

1 получения оценок параметров и 8 необходим решить сис-лу уравнений, из которой следует

яг + [(0.56х- ?>*■)+Носш)/с1-6 г 5 Д'Л' ъ)/(п -к) А .

оо

зсь ; ^-¿¿х- ; ¿-^{¿(Ъ-*/; А-?(>?}/[/(и)с1и;

, А '1

п, <х(кГ^)/& \ и -Если ае ь:а продельные отклонения наблюдений наложен технк-зкий.допуск с! , тс плотность так называемого усеченного расселения можно представать б зиде

У(х;¿и, 6) - /(X; л/, &)/л(/■»,&), - Ы « Х-мйс1 ч А(, а а' =

- 16 -

Тогда логарифм фуг?кцяи максимального правдоподобия эапи дется так:

¿г/>=-П?пЯ* л & сГ - £ ¿п ¡>'+ (х1 -///]-п&гХ (Г*) ~-таХ.

Здесь Л.(Ъ) = 1{{Т)с1Т значение доверительной вероятности, •г*

Совместное решение уравнений, полученных после дифференци рования 110 параметрам функций правдоподобия, приводит к оцен кам усеченного распределения Кош [2]:

= ¿"-¿¿(х.-^'гг, (4)

где + \

Рассмотренные примеры оценки точности угловых измерена космического базиса иллюстрируют результаты теоретических ис слЗдований настоящей главы. В случае неусеченных рядов изме рекий оценки вычисляются по формулам (3 ), а при обработке иг мерений, на которые наложены технические допуски - по формулам (4 ). Значения точечного оценивания представлены в таол.1

Оценки метода максимального правдоподобий

Таблица 1.

Название пункта Норм, распр. Распределение Коыи

нэусеченное неусеченное усеченное

Мх Б с? У ¿(Гл=2)

Бакарыам Верхняя Сылигда . 40.30 17.53 1.01 1.40 40.22 17.44 1.42 1.26 40.31 17.44 1.13 1.28 1.18 1.31

БоГады 59.47 0.68 58.54 0.88 Й9.55 0.93 0.99

Мунгур 9.84 0.71 9.67 2,27 9.80 0.88 0.94

Хал&нца 28.12 1.10 28.06 1.81 28.00 1,10 1.16

Приведенные в таблице результаты свидетельствуют о то что по применяемым в настоящее время формулам для оценки то ности,получаются преуменьшенные значения средньквадратическ описок измерений из-за'неучёта жесткс тк допуска.

На основании численного анализа математической модели пла-:овой сети, подвергаемой различным по степени воздействия несениям, выясняется в каких ситуациях наиболее целесообразно [рименение одн./о из ниже перечисленных методов уравнивания:

- метод наименьших квадратов 0/НК);

- метод Коши (МК);

- метод, основанный на решении урарнений максимального (равдоподобия (ММП).

О точности уравнительных вычислений предлагается судить по ¡оправкам в "истинные" координаты, принимаемые в данном случае ) качества предварительных.

Итерационный алгоритм программы, составленной ва языке \irbo-3ASIC, включает выполнение следующих этапов:

1. Ввод информации о плановой сети. Использование диалого-юго режима дает возможность создать "утрироеаниую" матеме.тн-г 1ескую модель процесса измерений, включающую в дополнение к случайной составляющей о.'яибки и ее детерминированную часть Ас

з привнесением в некоторое результаты аномальных всплесков Аз.

2. Уравнивание платолух сетей парамэтрическим методом. 1араллельно производится уравнивание без составления нормальных уравнений по методу Кохи, при котором поправки з приближенные координаты и ориектирные направления определяются нгпс-зредственво из нелресб'рагованных уравнений поправок.

3. Вычисление -поправок в измеренные величины я оценка точности положения пунктоз сети относительно исходных заес-рщает процедуру уравнивания методом наименьших квадратов,

4. Уточнение с помощь» итерационной процедуры результатов уравнивания, полученных на втором этапе, производится методом максимального правдоподобия, основанном на распределении Коди. 2 целья установления наиболее информативней весовой характеристики, учитывающей не только качество измерений, но и надежность геометрического построения сети, через корреляционную матрицу вектора поправок К у вычисляются собственные значения. После получения весоз измерений по формуле /}■ -(3?+ повтерч-ется выполне^ме второго и третьего этапов. Причем исключение поправок в сриентирные направления производится по алгоритму методе. Коши. позволяющему при преобразовании уравнений поправок учитывать нерзБчоточность измеренных направлений, что но

Метод максимального правдоподобия (распределение Коши)

Таблица 2.

Шаг итера ции Поправки в координаты определяемых пунктов Приме

5х/ | <5у, | <5х, | 5уг | 5х, | <5ул | ¿х+ | <5у* чание

Триангуляция Вариант 1

1 5 -.167 -.143 .039 .023 -.095 -.088 .103 .063 -.180 -.152 -.112 -.114 .212 .135 .012 .002 д 3*о Д с*0

Триангуляция Вариант 2

1 5 .213 .083 .081 .087 .044 -.019 .319 .211 .085 .020 .155 .115 .428 .194 .307 .205 Д ,¿0 йс-0

Лииейно-угловая Вариант 3

1' 5 -.260 «. 102 ,оеб .072 .149 ,118 .265 .259 .245 .178 .037 .125 -.140 -.018 .335 .217 д ,/о йе=0

■ Линейко-угловая Вариант 4

1 5 . -.035 -.005 .049 .067 -.013 -.023 .055 .097 -.002 -.037 .023 .008 .081 .151 .056 .065 й^о

Метод Коши Таблица 3.

Шаг итера ции Поправки в координаты определяемых пунктов Примг

<5х1 .1 ¿у, ¿V <5 у* 6х, ¿Уз «ЗЦ ¿У, чани*

Триангуляция Вариант 1

1 4 -.173 -.123 .075 .031 ¡-.074 ¡-.087 .109 .114 -.202 -.145 -.12? -.129 .229 .229 .058 .060 Д с*0

• Триангуляция Вариант 2

1 4 ! .135 | .085 .107 .031 -.040 -.004 .335 .203 .015 .022 .280 .124 .221 .188 .327 .204 Л3фС Д е*С

Линейно-угловая Вариант 3

1 4 -.206 -.081 .096 .094 .201 .095 .289 .174 | .358 I .139 .041 .040 ¡-.070 -.040 .432 .151 Ае-С

Линено-угловая

Вариант 4

1 4

-.050 .072 -.063 .0751- 039 .051 .0691 ,043

-.001 .067 -.007 .065!- 031 -.018 .184| .038

А*-с

Д сФС

- 19 -

предусмотрено правилами Шрейбера.

Экспериментальные вычисления по программе, разработанной автором, выполнены на примере плановой сети. Результаты обработки геометрического построения в виде сети триангуляции или линейно-угловой сети сведены е табл.2 и 3 .

Как уже отмечалось, первый иаг итерационного алгоритма ММП, основанного на распределении Кояи, соответствует параметрическому способу уравнивания МНК.

Сопоставление результатов обоаботки, т.е. "истинных" ошибок уравненных координат, первого и последующего шага итерации позволяет сделать следующие выводы:

1. Разработанные алгоритмы способствуют существенному снижению влияния аномальных измерений на конечные результаты уравнивания геодезических построений.

2. Как можно видеть из сопоставления результатов табл. 2

и 3 при итерационном уточнении весов в методе Коши злияние грубых ошибок на уравненные координаты минимизируется значительно быстрее, чем при методе максимального правдоподобия распределения Коши (см. вариант 2,3).

3. Наличие систематических ошибок (Ас?* О) как в линейных, так и з углозых измерениях,в одном случае при Дэ = О приводит к ухудшению результатов уравнивания ММП в отличие от алгоритма ■ МК, при обработке, которым итерационный процесс остается сходящимся (вариант 4), в другом - при 0 'существенно снижает эффективность алгоритма (вариант 1).

Таким образом, проведенный анализ результатов обработки итерационными алгоритмами ММП и МК, использующим1: при уточнении веса ортогональные преобразования корреляционной матрицы вектора поправок, позволяет сделать вывод о принципиальней целесообразности их применения в задачах уравнивания геодезических построений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ . '

3 соответствии с целью к задачами исследований в диссертации получены следующие результаты.

1. С развитием микропроцессорных измерительных систем ' и вычислительной техники появилась возможность перерабатывать большой объем-исчерпывающей информации 'об изучаемом объекте.

- 20 -

Однако применяемые в настоящее время способы обработки не состоянии охватить все фактические особенности и соотношени между результатам;) измерений. Сделан вывод о необходимое! создания вероятностно-статистической модели, способной полне описывать многообразие форм действигельных распределений оши бок измерений, и о принципиальной возможности совершенствования методов обработки.

2. Анализ влияния психологического фактора на точность уг ловых измерений показал, что требование соблюдения минимальи возможного допуска, с одной стороны, активизирует сравнени получаемых реэ- тьтатов, увеличивает их зависимость от формиру ющегося субъективного эталона и, как следствие, приводит к во растанию систематических ошибок, с другой - приводит к небе

• .спорному утверждению о равноточности угловых измерений.

3. Результаты статистического анализа угловых измерени космического базиса свидетельствуют о значительном отклонени эмпирического распределения от нормального. Поэтому предлага ется обратить внимание на нетрадиционные методы обработки предполагающие выбор принципа в зависимости от формы криво

• плотности распределения,

4. Рассмотрена математическая модель в виде смеси нормаль •'пых. распределений, позволяющая точнее описывать действительны распределения "сырых" измерений.. Для определения параметре предложены два алгоритма разложения, обусловленность которы демонстрируется на примере. Полученные формулы начальных центральных моментов позволили установить связь мевду значени

, ем эксцесса и взаимным положением центров распределений, обра зующих смесь.

5. Не основании метода максимального правдоподобия шведе на формула для вычисления песо:, измеренных величин, сбразующи совокупность неоднородных по точности групп, и получены оценк: параметров нормальных распределений, смесью которых она описы Бается. Показано, что в результате представления математичес кой модеди, описывающей ошибки измерений, в виде смеси неско льких гауссовых распределений, нормальные уравнения метод максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов от 'личрются лишь значениями весов.

6. С целью установления более совершенной математическо!

дели расчета весов измерений, адекватно отражающей ссстояние статической системы, предложено обрабатывать "сырые" гесдези->ские измерения методом максимального правдоподобия, основан->м на распред лении Коши.

7. Результаты теоретического обоснования параметрического >авнивания, вытекающего из принципа максимального правдо.,одо-[я распределения Коши, свидетельствуют о существовании тес-¡йшей связи с методом наименьших квадратов.

8. Установлено, что усеченное распределег/ке Коши обладает :еми моментами. Причем ограничение, равное допуску 3S , прибит к распределению, эксцесс и асимметрия которого соответ-■вуют нормальному закону.

9. Вссьма вааным в работе является применение метода мак-¡малького правдоподобия при выводе оценок, в которых учитывался:

-жесткость техничесих допусков, налагаемых на результаты ¡мерений-

-цензурирование, т.е. безосновательное удаление резко выдающихся наблюдений.

10. Анализ результатов обработки итерационными алгоритмами !П и МК, чепользувщнми для уточнения весов ортогональные пре-разования корреляционной матрицы уравнения поправок, пезво-;ет сделать вывод о целесообразности их применения в задачах «внивания геодезических построений.

Основные полоаения дкеертации опубликованы в следующих ботах:

1. Самохвалов В.И. Обработка неоднородных по точности упп геодезических измерений, представляющих общую совокупен -СПб.,-1932.-12с.-Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 31.03.92, N513;

2. Самохвалов В.И., Усеченное распределение Коии и оценки о параметров. -СПб., -1992. -12с. -Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК .05.92, N517;

3. Самохвалов З.И. Негауссэвский подход при обработке гео-зических измерений, отягощенных грубыми ошибками. -СПб., 9Э2. -14с. Деп. в ОНИПР ЦНИИГАиК 05.05.S2, N520;

4. Самохвалов В.И. Сценки параметров смеси нормальных рас-еделений .// Тр. по геодезии В'хУ. - Вып. 19. - Вильнюс, 1993. ioi-ii4 /йг. — --