автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Обобщенные методы геометрического моделирования объектов и управления их формой при параметрическом представлении

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ В ТВЕРДОТЕЛЬНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ.

1.1. Сравнительный анализ типов геометрических моделей, ♦ использующихся в процессе конструирования технических объектов.

1.2. Анализ методов аппроксимации дискретных обводов, применяемых в твердотельном моделировании

1.2.1. Общая постановка задачи аппроксимации дискретного набора данных

1.2.2. Аппроксимация одномерных обводов параметрическими полиномами. jp 1.2.3. Аппроксимация обводов параметрическими полиномами в форме Бернштейна.

1.3. Анализ методов аппроксимации обводов кривыми Безье и NURBS

1.3.1. Геометрические свойства одномерных обводов, построенных с помощью рациональных кривых. щ 1.3.2. Преобразование NURBS в форму Безье

1.3.3. Методы аппроксимации двумерных обводов.

1.4. Анализ алгоритмов линейной интерполяции характеристических сеток.

1.5. Анализ методов формирования математических моделей твердых тел.

1.5.1. Методы конструктивной объемной геометрии.

1.5.2. Методы граничного представления сплошных тел.

- 1.5.3. Методы кинематического задания сплошных тел

1.5.4. Матричная стереометрия тел переменной формы

Выводы к главе 1.

2. РАЗРАБОТКА ОБОБЩЕННЫХ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СПЛОШНЫХ ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ С ПОМОЩЬЮ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ.

2.1. Разработка алгоритмов преобразования полиномиальных щ базисов в форму Бернштейна.

2.1.1. Преобразование стандартных однопараметрических полиномов.

2.1.2. Преобразование многопараметрических полиномов.

2.2. Интегрированный метод конструирования сплошных тел переменной формы.

2.2.1. Формирование структуры криволинейного примитива.

2.2.2. Задание трехпараметрического тела как огибающей семейства бипараметрических поверхностей

Ф 2.2.3. Конструирование криволинейного примитива методом прямого произведения множеств.

2.3. Метод построения точек, инцидентных криволинейному телу, по заданным локальным координатам

2.3.1. Алгоритм конструирования ребер и граней криволинейного гексаэдра

2.3.2. Обобщенный алгоритм конструирования криволинейного тела Безье. ф 2.4. Конструирование криволинейных примитивов с помощью метода барицентрических координат.—.

2.4.1. Разработка алгоритма конструирования криволинейной грани-поверхности.

2.4.2. Аппроксимация криволинейных граней тетраэдра обобщенными полиномами Бернштейна.

Ф 2.4.3. Вычисление и геометрический смысл производных по направлению.

Z4.4. Алгоритм вычисления производных по направлению треугольной порции поверхности Безье.

Выводы к главе 2.

3. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ФОРМОЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ПРИМИТИВОВ.

3.1. Методы разбиения и восстановления формы элементарного криволинейного тела

3.1.1. Алгоритмы восстановления формы объектов первой ступени:.

3.1.2 Алгоритмы восстановления формы объектов второй ступени

3.1.3. Алгоритмы восстановления формы объектов третьей ступени.

Ф 3.2. Разработка методов локальной модификации ребер криволинейного примитива

3.2.1. Локальные и глобальные параметры.

3.2.2. Алгоритмы «отсечения».

3.2.3. Алгоритмы управления порядком кривой.

3.2.4. Алгоритм построения управляющей ломаной с заданными кривизной и кручением.

3.3. Методы локальной модификации граней криволинейного примитива.

3.3.1. Разработка алгоритмов разбиения бипараметрической поверхности тензорного произведения

3.3.2. Управление формой грани криволинейного тетраэдра—

Выводы к главе

4. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ФОРМИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСОВ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРИМИТИВОВ.

4.1. Общая постановка задачиф 4.2. Метод определения точек пересечения двух параметрических кривых

4.2.1. Метод Кэли для вычисления результанта векторных полиномов

4.2.2. Преобразование уравнения стандартного параметрического полинома в неявную форму. ф 4.2.3. Преобразование уравнения параметрической кривой Безье в неявную форму.

4.2.4. Преобразование уравнения рациональной кривой в неявную форму

4.2.5. Разработка алгоритма решения задачи пересечения двух плоских параметрических кривых

4.3. Пересечение двух бипараметрических поверхностей

4.4. Методика определения нерегулярных точек кривых Безье.

4.4.1. Геометрические свойства производных функции Бернштейна

4.4.2. Определение нерегулярных точек с помощью последовательных годографов

4.5. Кинематический метод конструирования криволинейного тела-примитива с вырожденными границами

4.5.1. Конструирование замкнутой образующей

4.5.2. Метод смешивания функций. ф 4.5.3. Конструирование тела зависимых сечений.

4.6. Метод конструирования комплекса криволинейных тетраэдров.

4.6.1. Алгоритм реконструкции характеристической сетки четырехугольной грани-поверхности.

4.6.2. Конструирование грани-поверхности гексаэдра из двух заданных треугольных порций.

Выводы к главе 4.

Качественное изменение процессов проектирования сложной техники на предприятиях авиационной и оборонной отраслей промышленности, повсеместный переход от традиционных средств обработки геометро-графической информации к безбумажным технологиям открывает новые возможности по использованию систем автоматизированного проектирования, порождает новые технологии, связанные с использованием электронной модели объекта проектирования.

Основным преимуществом при использовании электронной модели изделия является возможность ее использования в различных модулях системы сквозного проектирования класса САБ/САМ/САЕ. Ядром такой системы является единая база данных, в которой (в том числе) хранится геометрическая модель изделия. Практически мгновенный доступ к базе данных позволяет на каждой конкретной стадии проектирования выбирать наиболее удобный способ представления геометрической модели. Например, при конструировании внешних обводов изделия наилучшим способом будет его трехмерное представление, включая возможность просмотра объекта с разных точек зрения, использования средств реалистичного рендеринга и виртуальной реальности для задания и отображения характерных особенностей изделия. При проектировании технологических процессов и режимов изготовления объектов, проверке корректности числового программного управления и др. очевидным требованием будет являться возможность визуализации всей последовательности операций, проверки поведения материала объекта или всей конструкции в различных ситуациях.

В настоящее время на многих предприятиях, занимающихся проектированием и изготовлением сложной техники, активно внедряются CAD/CAM/CAE-системы, позволяющие выпускать конкурентоспособную продукцию. Этот процесс обусловлен целым рядом причин, среди которых главное место занимают проблемы управления качеством выпускаемой продукции, особенно при выходе ее на мировой рынок и сертификации на соответствие международным стандартам. В практике руководства предприятиями начинают широко применяться методы и принципы всеобщего управления качеством (TQM). При этом одним из ключевых моментов является организация мероприятий, предусматривающих на всех этапах производственного процесса всё необходимое для обеспечения качества продукции: лучшие комплектующие и материалы, современное высокотехнологичное оборудование, инструменты и средства измерений, высококвалифицированный персонал и необходимую документацию всех уровней. Действие системы качества, взаимоувязанной с вышеперечисленными факторами, распространяется на все этапы жизненного цикла продукции: от первоначального выявления потребностей рынка до конечного удовлетворения установленных требований (quality loop) /69/.

Таким образом, внедрение на предприятии системы качества неразрывно связано с использованием технологий, обеспечиваемых CAD/CAM/CAE-системами. Базируясь на принципах оптимизации и контроля параметров изделий на всех этапах проектирования и изготовления, такие системы обеспечивают комплексное выполнение проектных работ при значительном сокращении их сроков и одновременном повышении качества /19, 136/. Основной целью при этом является постоянное снижение себестоимости выпускаемой продукции и обновление ее ассортимента, улучшение показателей надежности, ремонтопригодности, экономичности и др.

Отметим важные тенденции современного развития систем автоматизации в промышленности /131/:

- интеграция автоматизированных систем САБ/САМ/САЕ на основе единой информационной технологии;

- внедрение объектно-ориентированного подхода и на этой базе - предоставление пользователям более естественного интерфейса;

- открытость систем автоматизации для расширений;

- расслоение классов систем автоматизации по мощности и профессиональной ориентации с сохранением возможности интеграции программных продуктов в единую среду.

В связи с тем, что процесс полной автоматизации производства сопряжен с большими капиталовложениями, в настоящее время наметился так называемый трехуровневый подход, или пирамидальная схема /83/.

В основании пирамиды находятся системы нижнего уровня, предназначенные для автоматизации выпуска документации и программирования 2,5-осевой ЧПУ-обработки «по электронному чертежу». Они сокращают сроки выпуска конструкторской документации, позволяя экономить время на разработке большого количества проектов. Но такие системы не гарантируют конструктора от ошибок даже при полном соответствии документации ЕСКД.

Следующий слой - системы среднего уровня, позволяющие создать объемную модель изделия, по которой определяются массово-инерционные, прочностные и прочие характеристики, моделируется работа механизмов и все виды ЧПУ-обработки. С помощью таких систем возможно контролировать «собираемость» изделия, по фотореалистичным изображениям отрабатывать внешний вид и выпускать документацию. Экономический эффект заключается в многократном повышении производительности труда при резком сокращении ошибок и соответственно затрат на доводку изделия.

Наконец, на самой вершине пирамиды стоят многофункциональные системы высшего уровня, которые кроме перечисленных функций, обладают следующими возможностями:

- конструировать детали с контролем технологичности и учетом особенностей материала (пластмасса, металлический лист и др.);

- проводить динамический анализ сборки с имитацией сборочных приспособлений и инструмента;

- проектировать оснастку с моделированием технологических процессов (штамповки, литья, гибки), что исключает брак и устраняет необходимость в изготовлении натурных макетов, то есть значительно уменьшает затраты и время на подготовку производства изделия.

Данная схема предусматривает организацию нескольких рабочих мест, оснащенных системами высокого уровня, позволяющими выполнять концептуальную конструкторско-технологическую проработку нового изделия. Для детальной проработки изделия предполагается организация нескольких десятков или сотен рабочих мест, оснащенных системами среднего уровня. И, наконец, для подготовки конструкторско-технологической документации и рабочих чертежей организуются рабочие места, оснащенные системами нижнего уровня. В зависимости от размера предприятия количество таких мест может доходить до тысячи /86/.

Например, для отечественных промышленных предприятий используется такая схема реализации трехуровневого подхода

84/. В качестве CAD/CAM/CAE-системы высшего уровня предлагается EUCLID QUANTUM фирмы Matra Datavision (Франция) с наиболее полным набором функциональных возможностей. Комплект систем среднего уровня составляют: PRELUDE фирмы Matra Datavision (Франция), T-FLEX CAD 3D и DOCs фирмы «Топ Системы» (Россия), TeMMa-3D фирмы АТР (Россия), «ТехноПро» фирмы «Вектор» (Россия). Для оформления документации и программирования станков с ЧПУ на недорогих рабочих местах используются T-FLEX CAD 2D фирмы «Топ Системы» (Россия), Турбо-Тиграс фирмы «Камея» (Россия), СИАП-ТП и ДОКА фирмы «Вектор» (Россия). Основной технической базой для перечисленных систем являются графические рабочие станции и персональные компьютеры с операционными системами семейства MS WINDOWS и UNIX. Персональные пакеты PRELUDE представляют облегченную версию EUCLID и предназначены для индивидуальных задач конструирования, расчетов и подготовки производства. PRELUDE DESIGN, например, можно классифицировать как систему твердотельного моделирования среднего класса. Версии пакета PRELUDE DESIGN разработаны как для рабочих станций UNIX, так и для платформы Wintel /131/.

В качестве типичных примеров построения CAD/CAM/CAE-систем нового поколения проанализируем функциональные возможности систем EUCLID QUANTUM и UNIGRAPHICS, предназначенных для автоматизированного проектирования, подготовки производства и моделирования технологических процессов изготовления сложных изделий машиностроения.

I. Система EUCLID QUANTUM реализована на базе инструментальной среды CAS.CADE (Computer Aided Software for Computer Aided Design Engineering), обладающей принципиально новыми свойствами: объектная ориентированность, открытость для адаптации, расширения и интеграции. Приложения, разработанные с помощью CAS.CADE, обладают свойствами переносимости в операционных системах UNIX и WINDOWS NT, а модель данных в формате международного стандарта STEP обеспечивает совместимость данных с другими системами автоматизированного проектирования.

Система EUCLID QUANTUM представляет собой комплекс подсистем для создания взаимосвязанных рабочих мест дизайнеров, конструкторов, расчетчиков и технологов. В системе используется передовая технология автоматической параметризации (адаптивного моделирования), позволяющая быстро создавать и модифицировать детали и узлы проектируемых изделий и оснастки с учетом особенностей материала и технологических процессов их изготовления. Комплекс EUCLID сертифицирован на соответствие международному стандарту ISO 9001-94.

В состав EUCLID QUANTUM (Рис. 1) входят четыре прикладных компонента: Designer, Analyst, Machinist, Design Manager, связанных между собой с помощью «рабочего стола» EUCLID Desktop.

EUCÜD Desktop EUCLID ^ '

EUCLID Design Manager

Рис. 1. Архитектура интегрированной среды EUCLID QUANTUM /131/

Весь процесс разработки изделия идет под управлением PDM-системы Design Manager, задачей которой является организация и размещение в базе всех инженерных и проектных данных. Desktop обеспечивает технические средства для интеграции и поддержки технологии параллельного проектирования -полную двустороннюю связь между приложениями EUCLID QUANTUM при многооконной работе, доступ к прикладным программам и сервис обмена данными. Advanced Exchanger, управляющий преобразованиями данных из различных CAD-систем, непосредственно считывает информацию в форматах DXF, IGES и VDA-FS. Данные в других форматах - CATIA, С ADDS и др. - подвергаются трансляции. Особенно эффективной является функция интерфейса «Connector», предоставляющая прямой прозрачный доступ к моделям в «чужих» форматах. С точки зрения пользователя это выглядит так, как если бы использовался файл в «родном» формате. С системами EUCLID3 и STRIM можно обмениваться данными посредством функций Desktop «Сору/Paste» и «Connector». Имеется возможность преобразования данных в форматы VRML или HTML с последующей их пересылкой по Internet или корпоративной сети. Характерными особенностями EUCLID QUANTUM являются:

- объектно-ориентированный графический интерфейс пользователя;

- полная открытость и ассоциативность разнородной информации об изделии (от геометрической и технологической до видео) в стандарте STEP;

- встроенные в базовый модуль средства Internet/Intranet для организации сетей предприятий.

В комплексе EUCLID имеется 8 вариантов конструкторских рабочих мест, предоставляющих специализированные возможности, соответствующие особенностям конструкции и материалов: проектирование сложных изделий и агрегатов, механизмов, корпусов приборов, конструкций из листа, изделий из пластмасс, пресс-форм, штампов, литейных форм, инструментов и приспособлений.

В базовый комплект EUCLID для конструктора входят следующие модули: управления общей для группы разработчиков базой данных; создания объемной модели деталей и узлов со статическим анализом сборки изделия; проектирования поверхностей любой сложности; параметризации геометрических параметров деталей; оформления сборочных и деталировочных чертежей по объемным моделям в соответствии с ЕСКД, ISO, DIN, ANSI; фотореалистичного отображения изделия с учетом текстуры материала, цвета и шероховатости поверхности; вывода изображений на плоттер.

С помощью дополнительных модулей рабочее место конструктора адаптируется для конкретного приложения. Все модули системы хранят информацию в стандартном формате в единой базе данных. Обеспечивается возможность одновременного чтения данных по изделию несколькими пользователями с контролем разрешения доступа.

Технология моделирования в модуле Mechanical Design реализована с помощью каркасной, поверхностной и твердотельной модели объекта. Конструктору предоставляется возможность использовать при моделировании кривые Безье, поверхности NURBS и Безье, и твердотельные примитивы. Построенные поверхности можно допускают операции сечения или объединения с автоматическим сглаживанием. Имеется возможность реконструкции поверхности путем ввода оцифрованных точек по существующей натуральной модели. На множество точек натягивается поверхность, которая впоследствии может быть модифицирована и использована для моделирования. Модель может быть построена либо в традиционном стиле - с точным заданием размеров и положений, либо с помощью эскизирования (Sketcher).

При модификации моделей используется технология адаптивного и параметрического моделирования, не требующая формальной параметризации: при модификации некоторого элемента (или группы элементов) модели остальные элементы автоматически модифицируются по определенным правилам. Считается, что в построенной модели определены все возможные значения размеров. Модификация заключается в изменении значений произвольного подмножества размеров с помощью разнообразных интерактивных способов.

Примечательно, что параметрическое моделирование не требует программирования. Ограничения, определяющие геометрию модели (размеры, касания, позиционные связи и пр.), можно задавать в любой момент при построении или последующей модификации модели. Параметрами модели могут быть числа, переменные, выражения или связи между этими параметрами. При изменении значений параметров или ограничений происходит автоматическое перестроение модели с сохранением ограничений. Последовательность модификаций не зависит от порядка первоначального построения.

Построенные параметрические фигуры могут использоваться наравне с базовыми примитивами для трехмерного моделирования или двухмерного черчения. При моделировании используется так называемые фичерсы (features) - привычные для инженера конструктивно-технологические элементы (например, фаски, сопряжения, отверстия). Фичерсы сами по себе являются параметризованными объектами, которые по определенным правилам связаны с геометрическими характеристиками модели. При модификации модели эта привязка сохраняется с соответствующим перестроением фичерсов. Имеются средства разработки и пополнения набора фичерсов для конкретных задач проектирования. С параметризацией непосредственно связаны библиотеки семейств деталей, использование и пополнение которых (впрочем, как и фичерсов) не требует программирования.

Для проектировщиков сложных изделий в состав системы включаются дополнительные модули, которые выполняют отобра-жение больших сборок, динамический анализ сборки/разборки изделий в реальном масштабе времени с контролем заданных зазоров и посадок, а также определение плотности компоновки.

Конструктору механизмов предоставляются средства анализа кинематики звеньев различных типов, проверки движения объемной модели механизма, расчета динамических нагрузок с уче-* том характеристик материала и привода (электрический или гидравлический).

Возможность локальной динамической модификации поверхностей с цветным отображением изменения значений кривизны позволяет визуально контролировать внешнюю форму изде-лия, заданные типы сопряжения поверхностей, условия сглаживания, положение бликов. Изменение значений производных конструируемых кривых и поверхностей отображается в виде графиков, наложенных на тоновое изображение изделия.

Геометрические модели внешних форм изделий создаются по характерным контурам или сечениям. Кроме того, исходные дан-^ ные могут быть получены либо с эскизов, нарисованных на бумаге, а затем отсканированных и векторизованных, либо физическим обмером макета с помощью контрольно-измерительной машины, либо импортом модели из CAD-систем через интерфейсы STEP, IGES, VDA-FS.

Результаты работы дизайнера в виде математических моделей внешних обводов изделия передаются через общую базу данных в подсистемы конструирования. С помощью интерфейса

SLA математические модели поверхностей можно передать на стереолитографические машины для изготовления натурных макетов.

В дополнение к базовым модулям управления базой данных и создания геометрических моделей объемных тел рабочее место расчетчика комплектуется специальными модулями. Например, модулем препроцессора конечных элементов для генерации сетки конечных элементов по объемной модели, задания свойства материалов, нагрузок и граничных условий для линейных статических расчетов напряжений и теплообмена и др. Для решения специальных задач, например моделирования процесса разрушения изделия, используются интерфейсы с системами ANSYS и NASTRAN. Прикладной модуль QUICKSOLVER, разработанный на базе расчетной программы методом конечных элементов MSC/NASTRAN, выполняет расчеты на прочность, вибрации и тепловые эффекты. Формат NASTRAN обеспечивает интерфейс со многими системами, включая ANSYS, ABACUS, MARC. Оценка твердотельных моделей на прочность и напряженно-деформированное состояние без построения конечно-элементной сетки методом расчета по усеченным элементам выполняется в модуле SOLIDSOLVER. Он основан на программе ТЕАМ фирмы PDA Engineering.

Характерной особенностью системы EUCLID является предоставление полного набора подсистем моделирования технологических процессов изготовления продукции и оснастки, что позволяет исключить брак в процессах подготовки производства и изготовления изделий. Одной из уникальных разработок фирмы Matra Datavision является подсистема MEGA VISION, предоставляющая возможность динамического контроля всего процесса сборки с визуализацией в реальном масштабе времени как собираемого изделия, так и всех применяемых сборочных приспособлений и инструментов.

Подсистема NCSimul используется для отладки ЧПУ-программы конкретного станка без использования самого станка. Для этого моделируется кинематика станка, его рабочая зона, стойка управления, заготовка, ее крепление и инструмент. На экране подробно отображается процесс обработки, соответствующий текущему кадру программы. В результате исключаются такие ошибки, как «зарез» приспособления или срыв фрезерования малых радиусов.

Рабочее место технолога оборудования с ЧПУ оборудовано модулями управления базой данных и создания моделей объемных тел, а также дополнительными модулями программирования имеющегося оборудования с ЧПУ.

В модулях программирования токарных станков с ЧПУ представлен полный набор средств создания программ, учитывающих все технические параметры конкретного станка, положение и способ крепления детали, а также все типы режущих инструментов и контроллеров ЧПУ, что позволяет визуально и численно контролировать расчетные траектории движения инструмента, а также вычислять объем удаляемого материала. Результирующие файлы управляющих программ выводятся в трех форматах: промежуточном формате APT, или в формате положений инструмента CL, либо в загрузочном формате для конкретного контроллера.

Контроль изготовления осуществляется с помощью модуля NC Inspection, позволяющего создавать, редактировать и моделировать программы измерения и контроля соответствия детали ее объемной модели с помощью координатно-измерительной машины. Автоматически создаются траектории движения щупа по созданной конструктором объемной модели детали, а также специальные инструкции для измерения. Исключаются возможные пересечения траектории щупа с поверхностью детали. Превышения предельно допустимых отклонений формы фиксируются в файле протокола измерений. Обеспечивается контроль точности в заданном сечении, а также параметризация размеров для измерений семейств деталей. Процесс измерения отображается на экране в реальном масштабе времени в виде положения щупа и текущих значений отклонения формы.

Подсистема Design Manager обеспечивает автоматизированное распределение задач между разработчиками проекта, определение структуры информационных потоков и комплекта документации. Она осуществляет контроль изменений, выполнения план-графика проекта и полноты разнородной, но взаимосвязанной информации об изделии (такой как геометрические данные с допусками, предельными отклонениями формы, чертежи, характеристики материалов, спецификации, результаты прочностных расчетов, технологические процессы изготовления, программы для станков с ЧПУ, стоимости компонентов, фотореалистичные изображения, аудио- и видеоинформация). В автоматизированном режиме по этим данным создаются отчеты о проектах.

Электронная модель изделия, состоящая из перечисленных данных, проходит в процессе создания и уточнения три уровня архивирования: архив разработчика (дизайнера, конструктора, технолога); архив группы разработчиков; общий архив готовых проектов («виртуальный сейф»). Перемещение информации на более высокий уровень происходит в результате «электронной подписи» соответствующего участника проекта.

Модель изделия в EUCLID QUANTUM полностью соответствует стандарту STEP (разделы 41 и 44), то есть без преобразований может быть передана в любую систему, поддерживающую этот стандарт. Для связи с системами управления предприятием Design Manager содержит генератор интерфейсов, а для разработки специальных приложений — среду автоматизированного программирования CAS.CADE.

Таким образом, сочетание взаимосвязанных рабочих мест, оснащенных САПР разных уровней, понижает среднюю стоимость рабочего места, сокращает период окупаемости, позволяет эффективно использовать работников разной квалификации и распределять по времени затраты на САПР с учетом реальной окупаемости.

Использование системы высшего уровня EUCLID обеспечивает сокращение себестоимости продукции на 20-30%, а времени и затрат на подготовку производства — на 30-50%. Модульная структура многофункционального комплекса EUCLID позволяет оснастить необходимыми подсистемами рабочие места дизайнеров, конструкторов, технологов и руководителей предприятий любой отрасли.

II. Система UNIGRAPHICS.

Другим решением задачи комплексной автоматизации предприятия является использование программных продуктов на основе методологии параметрического моделирования фирмы UNIGRAPHICS. Для CAD/CAM/CAE систем высшего и среднего уровня, а также для коммерческих, внутренних производственных приложений и приложений для обмена данными стандартом де-факто становится геометрическое ядро PARASOLID компании UNIGRAPHICS Solutions Inc., в основу которого положена теория неоднородных рациональных В-сплайнов (NURBS) и кривых Безье.

Данный программный продукт лицензирован для разработчиков CAD/CAM/CAE систем, включая такие известные фирмы как Bentley Systems, Solid Edge, CADMAX, Fujitsu, SolidWorks, Topead,

Vero International, MacNeal-Schwendler, Mechanical Dynamics и других. PARASOLID также широко используется машиностроительными компаниями для разработки специальных внутренних приложений. Среди самых известных пользователей отметим компании Boeing, General Electric, GM Research Labs, Israel Aircraft Industries, Mitsubishi Motors, Pratt & Whitney.

Общий формат представления внутримашинной информации в этом геометрическом ядре обеспечивает единство данных между подобными приложениями и коммерческими системами, подобными UNIGRAPHICS и SOLID EDGE. Тот факт, что в настоящее время на ядре PARASOLID работает 200 тысяч пользователей (а в 2000 году ожидается полмиллиона), позволяет заявлять о нем как о наиболее передовом и предпочтительном программном средстве геометрического представления трехмерных данных.

Такое широкое использование «математики» PARASOLID самыми известными в мире разработчиками программного обеспечения в области геометрического моделирования, ЧПУ, инженерного анализа, проектирования робототехники, динамических процессов и виртуальной реальности объясняется следующими причинами /225/. Разработчики PARASOLID из университета Кембриджа, начиная с 1970-х годов, одними из первых исследовали задачи в области твердотельного моделирования. Первая версия пакета была выпущена в 1988 г. и в настоящее время поддерживается 30 миллионами долларов инвестиций. PARASOLID обеспечивает CAD/CAM/CAE системы наиболее точным и надежным на сегодняшний день пакетом инструментальных средств для геометрического моделирования сложных объектов. Разработанное как ядро твердотельного моделирования в системах с граничным представлением (B-REP), PARASOLID поддерживает проектирование сложных криволинейных поверхностей с помощью библиотеки стандартных программ с интерфейсом объектно-ориентированного программирования. Стратегической линией компании UNIGRAPHICS Solutions Inc. является направление на совершенствование обмена данными между всеми системами, базирующимися на геометрическом ядре PARASOLID. В начале 1999 года компания UNIGRAPHICS Solutions Inc. выпустила версию 10.1 этого пакета, которая еще более расширила область применения технологии твердотельного моделирования, включая создание и манипулирование сложными поверхностями. Эти возможности полностью интегрированы в топологическую структуру модели PARASOLID, обеспечивая высокий уровень точности и надежности.

На основе проведенного анализа передовых промышленных систем можно сделать следующие основные выводы:

- в современных CAD/CAM/CAE-системах геометрическое моделирование технических объектов, компьютерное решение геометрических и графических задач занимают центральное место;

- при создании реального объекта в первую очередь формируется геометрия этого объекта, его составных частей, после этого решаются другие задачи проектирования, технологии и изготовления;

- в качестве трехмерных геометрических моделей объектов проектирования используются объемные твердотельные модели.

Отметим основные преимущества применения геометрической модели объекта в виде твердого тела /22/:

1. Точность и наглядность представления проектируемого изделия, в модель может быть включена вся необходимая существенная информация.

2. Возможность представления концептуального проекта изделия на самой ранней стадии проектирования с помощью средств реалистичного рендеринга и виртуальной реальности.

3. Возможность автоматического построения чертежей. Например, в EUCLID QUANTUM и UNIGRAPHICS основная работа при получении изображений разрезов сборок выполняется автоматически, включая генерацию линий разрезов и штриховки.

4. Прямой интерфейс с программами технологического анализа GFEM, NASTRAN, ANSYS, EUCLID ANALYST, воспринимающих на входе геометрию твердого тела, автоматически генерирующих сетку конечных элементов и выполняющих на ней расчеты с выводом результатов на трехмерную модель. Анализ может заключаться в расчете и простейших физических (например, массово-инерционных) характеристик детали, и в выполнении более сложных видов исследований, включая прочностной, термический, вибрационный, кинематический и динамический анализы.

5. Возможность имитации разнообразных производственных процедур. Для визуальной оценки динамики выполнения процедур может применяться мультипликация.

6. Возможность моделирования механообработки, что позволяет оценить качество детали с точки зрения усадки и деформации (коробления, перекоса, искривления).

7. Использование процесса быстрого прототипирования (RP). Исходными данными для системы RP являются STL-файлы, генерируемые по трехмерным геометрическим моделям.

8. Уникальные возможности для технологической подготовки производства. На основе твердотельной модели изделия достигается пятикратное улучшение в точности обработки поверхностей и в четыре-шесть раз сокращается время программирования станков ЧПУ. Например, в 1999 году в составе системы 1Ж1СБ!АРН1СЗ появился первый в мире модуль для 5-координатной механообработки ШИВБ-поверхностей, разработанный в сотрудничестве с компаниями Макто и ОЕ/Рапис. Этот модуль поддерживает новый выходной формат файла траекторий для 5-координатной обработки сложных Ы1ЖВЗ-поверхностей, применяющийся в станках Макто со стойками ЧПУ Рапис. Модули ШТСИАРЩСЗ САМ предоставляют возможность контролировать направление движения режущего инструмента и его осей в соответствии с геометрическими свойствами сплайн-поверхностей. Эта функциональность позволяет вести обработку сложных деталей на более высоких скоростях обработки, что значительно увеличивает качество поверхности (вплоть до «зеркальной») и точность обработки. При этом размер файла траектории сокращается в несколько раз /99/.

Учитывая вышеизложенное, сделаем основные выводы: в САБ/САМ/САЕ-системах по-прежнему уделяется много внимания совершенствованию технологии геометрического трехмерного моделирования;

- в настоящее время разработаны практически все основные методы для твердотельного и поверхностного пространственного представления геометрических объектов;

- одним из основных достижений современного периода можно считать разработку методов моделирования кривых и поверхностей произвольной формы на основе кривых

Безье и неоднородных рациональных В-сплайнов (NURBS), ставших международным промышленным стандартом для проектирования сложных криволинейных поверхностей. Однако главной проблемой здесь является не столько сам процесс моделирования, сколько способы модификации и оптимизации созданных геометрических моделей, что очень существенно при итерационном режиме работы. Кроме того, известно, что наибольший объем работ занимает не процесс проектирования, а итерационный процесс внесения в проект улучшающих изменений. Именно поэтому на сегодняшний день актуальными являются проблемы совершенствования методов геометрического моделирования криволинейных поверхностей и тел, использующих стандартный для CAD/CAE/CAM-систем математический аппарат (кривые Безье и NURBS), а также адаптации этих методов для конкретных промышленных приложений.

Проблемам геометрического моделирования, в том числе самому новейшему его направлению - объемному твердотельному моделированию посвящено значительное число исследований, как в нашей стране, так и за рубежом /19,22,25,36,41,61,73,92,93,106,112, 113,139,142-150,157/. Это связано с тем, что многообразие постановок задач твердотельного моделирования в практике современного проектирования технических и других объектов сложной формы требует разработки эффективных методов и алгоритмов формирования геометрических моделей сплошных тел. Этому весьма способствует и интенсивное развитие инструментальных средств вычислительной техники, значительное увеличение мощности компьютеров и повышение их быстродействия. Усилия разработчиков базового и прикладного программного обеспечения современных CAD/CAM/CAE-систем направлены на решение задачи интеграции методов формирования математических моделей сложных криволинейных поверхностей и методов твердотельного моделирования в рамках стандартного для современных САПР математического аппарата.

Актуальность решения этой задачи объясняется еще и тем, что в настоящее время принципы проектирования изделий в промышленности существенно изменились, и эти изменения должны найти отражение в идеологии построения современного и будущего поколений САПР. Радикальные перемены повлекли за собой появление новых технологических требований, превосходящих возможности архитектуры и техники традиционных систем:

- открытость и способность к эволюции структур данных (необходимо 100% сохранение и использование информации об изделии на протяжении всего жизненного цикла: проектирования, изготовления и последующей эксплуатации);

- сосуществование геометрии и технологии изготовления объекта в одной и той же архитектуре. Геометрическая информация об изделии должна быть полной, и при этом тесно связана с данными, весьма различными по характеру - функциональными, конструкторскими, эксплуатационными, технологическими и др.;

- построение систем на основе объектно-ориентированной архитектуры, создаваемой с самого начала с обязательным учетом неизбежности постоянного развития потребностей пользователей и технического прогресса (в первую очередь в области аппаратных средств и операционных систем);

- повышение качества теоретического и прикладного, в том числе программного обеспечения при одновременном понижении стоимости разработок.

Все это предполагает технологический скачок, невозможный без существенной переработки архитектуры входящих в САПР модулей и, в особенности, модуля геометрического моделирования, так как от качества используемой твердотельной модели зависит точность и простота как геометрических расчетов, так и других различных операций (подготовки информации для станков с числовым программным управлением, прочностных, аэродинамических и других расчетов).

Из вышесказанного вытекают актуальные на сегодняшний день проблемы:

- интеграции поверхностного и твердотельного подходов в геометрическом моделировании;

- разработки и внедрения в САБ/САМ/САЕ-системы методов твердотельного моделирования, позволяющих на качественно новом уровне работать с объемными элементами (твердыми телами) переменной криволинейной формы;

- совершенствования существующих методов и алгоритмов конструирования кривых и поверхностей с целью формирования на их основе объемных моделей.

Таким образом, целью диссертационной работы является: создание теоретических и прикладных основ геометрического моделирования и управления формой криволинейных элементов твердых тел на базе векторно-параметрических методов.

Для повышения точности и эффективности решения целого ряда задач, связанных с использованием объемных моделей (инженерно-геометрических, технологических и др.) необходимо разработать принципиально новый метод твердотельного моделирования. В его основу должно быть положено единое математическое представление сложных криволинейных каркасных, поверхностных и объемных моделей. Это позволит, во-первых, удовлетворить вышеперечисленным требованиям проектирования. Во-вторых, избежать главного недостатка современных систем геометрического моделирования - комбинаторной избыточности в представлении геометрической информации. В-третьих, устранить недостатки, свойственные существующим системам поверхностного и твердотельного моделирования. На базе созданных твердотельных моделей необходимо разработать программное обеспечение для включения в состав комплекса типового программного обеспечения автоматизированного проектирования изделий сложной формы.

Для достижения этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

- исследованы возможности и перспективы развития модуля геометрического моделирования современных промышленных САБ/САМ/САЕ-систем;

- проанализированы возможности основных существующих методов формирования математических моделей криволинейных объектов в твердотельном и поверхностном моделировании; разработан новый обобщенный метод конструирования сплошных тел сложной переменной формы на основе теорий матричной стереометрии и барицентрических координат;

- на основании расчета управляющих точек характеристических сеток криволинейных объектов разработаны методы восстановления их формы;

- разработаны методы и алгоритмы управления формой геометрических объектов трех ступеней (кривых, поверхностей и тел) на основе векторно-параметрического уравнения тела;

- разработаны методы и алгоритмы решения инженерно-геометрических задач с комплексами криволинейных объектов;

- разработаны инженерные методики, алгоритмы и прикладное программное обеспечение для реализации полученных математических моделей в стандартных системах геометрического моделирования и визуализации научных расчетов.

Научная новизна работы заключается в том, что в диссертации предложен интегрированный метод «каркасного-поверхностного-твердотельного» геометрического моделирования объектов сложной криволинейной формы. На его основе получены следующие результаты:

- обоснованы целесообразность и преимущества геометрического моделирования с использованием предлагаемого метода, а также проанализированы требования, предъявляемые к создаваемым моделям;

- предложена новая методика геометрического моделирования объектов с использованием комплексов криволинейных примитивов;

- определены и исследованы типы кривых и поверхностей для использования в твердотельном моделировании;

- разработаны геометрические модели основных видов криволинейных примитивов на основе теории матричной стереометрии и барицентрических координат;

- разработаны методы и алгоритмы преобразований каркасной, поверхностной и твердотельной моделей объекта, в том числе предложены принципы организации базы данных для хранения топологической и геометрической информации о криволинейных телах;

- разработаны методы управления формой твердотельных примитивов на основе их граничного представления;

- разработаны методы и алгоритмы решения инженерно-геометрических задач с телами переменной формы.

Основные результаты диссертационной работы были доложены и обсуждены или представлены в виде тезисов: на Всесоюзной конференции «Математическое обеспечение систем с машинной графикой» (Устинов, Институт проблем управления АН СССР, 1985), на Всесоюзной конференции по проблемам машинной графики и цифровой обработки изображений (Владивосток, ИАПУ ДВНЦ АН СССР, 1986), на Всесоюзной конференции «Методы и средства обработки сложной графической информации» (Горький, 1988), на Республиканской научно-методической конференции «Основные направления повышения качества подготовки инженерных кадров в свете перестройки высшего образования» (Ленинград, 1988), на Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, СО АН СССР, Институт математики, 1989), на республиканской научно-методической конференции «Инженерная и компьютерная графика» (Севастополь, 1989), на Всесоюзной научно-методической конференции «Комплексная компьютеризация учебного процесса в высшей школе» (Ленинград, 1989), на республиканской научно-методической конференции «Совершенствование методики преподавания графических дисциплин и машинной графики» (Ровно, 1990), на межзональном научно-методическом совещании-семинаре «Актуальные вопросы начертательной геометрии и инженерной графики» (Йошкар-Ола, 1990), на Всероссийской конференции «Проблемы методологии и методики применения компьютерных технологий в графических дисциплинах» (Зеленоград, 1995), на Всероссийской научно-технической конференции «Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования» (Улан-Удэ, 1996), на Международной научно-практической конференции «Современные проблемы геометрического моделирования» (Харьков, 1998), на VII, VIII и IX Всероссийских научно-практических конференциях по графическим информационным технологиям КОГРАФ (Нижний Новгород, 1997-1999), на научно-методических семинарах кафедры «Прикладная геометрия» Московского государственного авиационного института (Москва, 1990-2000) и других.

Результаты теоретических исследований, выполненных в диссертационной работе, внедрены на ряде предприятий оборонной и авиационной промышленности в виде инженерных методик, алгоритмов и программ расчета геометрических моделей технических объектов. Программные модули, реализующие модели криволинейных поверхностей и тел, включены в состав комплексов автоматизированного проектирования изделий на этих предприятиях. Результаты исследований используются в учебном процессе Московского государственного авиационного института (технического университета).

Основные теоретические результаты диссертации опубликованы в 43 научных работах, по материалам диссертационного исследования подготовлена к публикации монография. Диссертационная работа выполнялась в соответствии с планом подготовки специалистов высшей квалификации кафедры «Прикладная геометрия» Московского государственного авиационного института (технического университета).

Структурно диссертационная работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка использованных источников из 226 наименований, приложения. В работе содержится 321 страница машинописного текста, 110 рисунков, 10 таблиц.

Основные результаты, полученные в четвертой главе, связаны с разработкой методов и алгоритмов формирования комплексов криволинейных примитивов.

Для формирования математических моделей комплексов криволинейных примитивов использованы геометрические операции с произвольными элементарными объектами, имеющими граничное представление.

Рассмотрены варианты решения позиционных задач (например, построения точки пересечения двух ребер-кривых, линии пересечения двух граней-поверхностей). Кроме этого, при формировании комплексного тела методом «склеивания» решена задача математического моделирования «общей» граничной поверхности, или двумерного обвода на заданной сетке.

Предложен новый метод определения точек пересечения двух параметрических кривых, основанный на преобразовании одного из параметрических уравнений в неявную форму. Это позволило решить задачу без использования итерационных численных методов, обладающих вычислительной нестабильностью в случае задания кривых высокого порядка.

Задача преобразования параметрического уравнения кривой в неявное решена с помощью теории исключения, исследующей условия наличия общих корней у множества полиномов. Для вычисления результанта двух полиномов использован метод Кэли.

Получены неявные уравнения рациональных кривых, заданных в параметрической форме. Отмечено, что не все рациональные параметрические кривые можно привести к неявному виду. Это непосредственно следует из теоремы униформизации Клебша:

Неявная полиномиальная кривая у) = 0 может быть преобразована в рациональную полиномиальную параметрическую кривую только в том случае, если ее жанр равен нулю.

Так как в геометрическом моделировании вместо стандартных полиномов чаще используются полиномы Бернштейна, в работе получены выражения для вычисления результанта Безу векторных полиномов Бернштейна и неявные уравнения для параметрической интегральной и рациональной кривых Безье.

Очевидно, что при использовании алгоритмов преобразования параметрических уравнений кривых в неявные уравнения особый смысл приобретают вопросы исследования кривых на наличие нерегулярных точек. В диссертации эта задача решена с помощью последовательных годографов.

Для формирования математических моделей комплексов криволинейных гексаэдров предложен кинематический метод конструирования примитива с вырожденными границами. С этой целью обобщен метод построения поверхностей зависимых сечений с образующими в виде замкнутых обводов второго порядка гладкости. В качестве исходной образующей тела зависимых сечений взята бипараметрическая порция поверхности с двумя вырожденными границами. Двумя явными границами поверхности является пара кривых, образующих замкнутый плоский одномерный обвод второго порядка гладкости. В качестве закона изменения параметров образующей применяется линейная и нелинейная интерполяция образующих.

Показано, что с помощью локальной модификации одного из сечений с использованием разработанных методов смешивания функций и алгоритмов «отсечения», можно добиться построения самых разнообразных форм тел зависимых сечений.

Подчеркивается, что разработанный метод конструирования тела зависимых сечений является частным случаем обобщенного метода задания трехпараметрического тела с помощью прямого произведения множеств. Разработанный метод позволяет конструировать криволинейные примитивы в широком диапазоне форм - от круговых цилиндров и конусов до многогранников.

Для реализации метода конструирования комплекса криволинейных тетраэдров разработаны алгоритмы вычисления управляющих точек комплексного тела:

- алгоритм реконструкции характеристической сетки четырехугольной грани-поверхности криволинейного гексаэдра по известным векторам управляющих точек треугольной грани-поверхности.

- алгоритм конструирования грани-поверхности гексаэдра из двух заданных треугольных порций.

Таким образом, граничная поверхность комплексного тела может быть сформирована с помощью двух различных методик. Первая заключается в реконструкции известных характеристических сеток треугольных граней-поверхностей, и больше подходит для интерактивного конструирования тела по принципу постепенного «наращивания». Вторая методика позволяет «склеивать» между собой граничные поверхности уже заданных криволинейных тетраэдров.

Разработанный метод формирования математических моделей тел позволяет, таким образом, конструировать комплексные тела, состоящие из различных видов криволинейных примитивов: гексаэдров, тетраэдров и их модификаций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования показали, что на сегодняшний день актуальными являются проблемы создания новых интегрированных методов геометрического моделирования криволинейных поверхностей и тел, в полной мере использующих стандартный для CAD/CAM/CAE-систем математический аппарат кривые Безье и NURBS. Разработка алгоритмического и программного обеспечения, реализующего эти методы для конкретных промышленных приложений, требует использования системного подхода к решению проблем математического моделирования объектов сложной формы.

В диссертационной работе закладываются теоретические и прикладные основы реализации такого подхода, наиболее полно отражающего технологию геометрического моделирования в современном и будущем поколениях САПР.

Выполненные исследования в первую очередь направлены:

- на решение задач интеграции методов формирования математических моделей криволинейных поверхностей и методов твердотельного моделирования в рамках стандартного математического аппарата;

- разработки и внедрения в CAD/CAM/CAE-системы методов твердотельного моделирования, позволяющих на качественно новом уровне формировать геометрические модели объемных элементов переменной криволинейной формы;

- совершенствования существующих методов и алгоритмов конструирования кривых и поверхностей с целью формирования на их основе объемных моделей.

Проведенные в диссертационной работе исследования обобщенных методов геометрического моделирования криволинейных объектов и управления их формой при параметрическом представлении позволили получить следующие теоретические и практические результаты:

1. Разработан интегрированный метод «каркасного-поверхностного-твердотельного» геометрического моделирования объектов сложной криволинейной формы. Его отличительной особенностью является возможность на основе единого подхода формировать математические модели базовых геометрических элементов сплошного тела.

2. Обоснованы целесообразность и преимущества геометрического моделирования с использованием предлагаемого метода, а также сформулированы требования, предъявляемые к создаваемым моделям. Одним из основных является требование получения заданной формы геометрического объекта с использованием минимального количества параметров, задаваемых преимущественно в графическом виде.

3. Разработаны геометрические модели основных видов криволинейных примитивов на основе теории матричной стереометрии и барицентрических координат. Предложен метод конструирования твердотельных примитивов в виде криволинейных гексаэдров и тетраэдров. С помощью этого метода координаты произвольной точки, инцидентной такому телу, могут быть определены с помощью повторяющейся линейной интерполяции характеристической сетки. Разработана методика задания криволинейного трехпараметрического тела как огибающей семейства бипа-раметрических поверхностей.

4. Разработаны методы и алгоритмы взаимных преобразований каркасной, поверхностной и твердотельной моделей объекта, в том числе предложены принципы организации базы данных для хранения топологической и геометрической информации о криволинейных телах. Основанные на использовании единого матричного уравнения тела, алгоритмы преобразований моделей позволяют избежать комбинаторной избыточности представления информации.

5. Разработаны методы управления формой твердотельных примитивов на основе их граничного представления. Предложенные методы разбиения и восстановления формы по характеристическим сеткам позволяют конструировать криволинейные объекты трех ступеней без использования их аналитического представления. Программная реализация этих методов показала, что алгоритмы характеризуются вычислительной устойчивостью и быстродействием, что обеспечивает несомненные преимущества в задачах визуализации, предварительной аппроксимации дискретного набора данных, а также при решении позиционных задач.

6. Для целенаправленного управления формой граничных базовых элементов тела разработаны методы локальной модификации ребер и граней криволинейных примитивов. Для управления формой грани криволинейного тетраэдра предложены обобщенные методы, основанные на линейной интерполяции управляющих точек характеристических сеток и барицентрических координатах. Как и для поверхностей тензорного произведения разработаны алгоритмы построения на треугольных порциях произвольных точек с заданными параметрами.

7. Разработаны методы и алгоритмы решения инженерно-геометрических задач с телами переменной формы. Предложен новый метод определения точек пересечения двух параметрических кривых, основанный на преобразовании одного из параметрических уравнений в неявную форму. Это позволило решить задачу без использования итерационных численных методов, обладающих вычислительной нестабильностью в случае задания кривых высокого порядка.

8. Предложена новая методика геометрического моделирования объектов с использованием комплексов примитивов. Для формирования математических моделей комплексов криволинейных гексаэдров предложен кинематический метод конструирования твердотельных примитивов зависимых сечений. Разработанный метод позволяет конструировать криволинейные примитивы в широком диапазоне форм - от круговых цилиндров и конусов до многогранников. Для реализации разработанного метода предложена методика вычисления управляющих точек характеристических сеток, позволяющая конструировать комплексные тела, состоящие из различных видов криволинейных примитивов: гексаэдров, тетраэдров и их модификаций.

9. Разработанные в диссертации методы внедрены на ряде предприятий оборонной и авиационной промышленности в виде инженерных методик, алгоритмов и программ расчета твердотельных моделей технических объектов. Программные модули, реализующие математические модели криволинейных поверхностей и тел, включены в состав комплексов автоматизированного проектирования изделий на этих предприятиях.

1. Адаме Д., Роджерс Д. Математические основы машинной графики. М., 1980.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. - 318с.

3. Алгоритмы и программы решения геометрических задач на ЭВМ //Учебное пособие под ред. В.И.Якунина. М.: изд. МАИ, 1982. - 69 с.

4. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.: Наука, 1987. - 159 с.

5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 632с.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987.

8. Белман Р. Введение в теорию матриц. М., 1969.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. 4.1. - М.: Наука, 1962.

10. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. 4.2. - М.: Физ-матгиз, 1966.

11. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М., 1950.

12. Бобков В.В., Городецкий Л.М. Избранные численные методы решения на ЭВМ инженерных и научных задач. Минск: Изд-во «Университетское», 1985.

13. Васильев В.П. Автоматизация проектирования в машиностроении// ИТК АН БССР. 1981. Вып. 3. С. 17 21.

14. Васильев В.П. Теория и методы автоматизации проектирования// ИТК АН БССР. 1981. Вып. 4. С. 17 25.

15. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

16. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

17. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 248с.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

19. Гардан И., Люка М. Машинная графика и автоматизация конструирования. М.: Мир, 1987. - 272 с.

20. Гилой В. Интерактивная машинная графика. Структуры данных, алгоритмы, языки. М.: Мир, 1981. - 380 с.

21. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980.

22. Грувер М., Зиммерс Э. САПР и автоматизация производства. -М.: Мир, 1987. 528 с.

23. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла: Методы и алгоритмы проектирования несущих поверхностей. М.: Машиностроение, 1987. - 131 с.

24. Делоне Б.Н., Райков Д.А. Аналитическая геометрия, т. II, ГИТТЛ, 1949.

25. Денискин Ю.И. Аппроксимация поверхностей с помощью треугольных порций Безье. //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Сборник научных трудов. Омск: ОмПИ. - 1989.

26. Денискин Ю.И. Геометрическое моделирование криволинейных объектов с использованием барицентрических координат. //Прикладная геометрия. Э/журнал Московского государственного авиационного института (технического университета). Выпуск 1, №1. 1999.

27. Денискин Ю.И. Конструирование двумерных обводов с помощью треугольных порций Безье. //Методы конструирования технических форм и их модификации. Сборник научных трудов. -М.: изд-во МАИ. 1993.

28. Денискин Ю.И. Конструирование кусочных поверхностей и их реализация на оборудовании с ЧПУ. //Геометрическое моделирование в авиационном проектировании. Сборник научных трудов. Киев: КНИГА.- 1987.

29. Денискин Ю.И. Метод локальной модификации параметрических обводов. //Тезисы докладов IX Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям, КОГРАФ-99. Н. Новгород: НГТУ. - 1999.

30. Денискин Ю.И. Метод модификации обводов и поверхностей Безье высоких порядков гладкости. //Сборник депонированных рукописей ЦНТИ «Волна». ВДД1369.- 1988.

31. Денискин Ю.И. Метод синтеза изображений сложных технических форм. //Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Методы и средства обработки сложной графической информации».- Горький: НИИ прикладной математики и кибернетики. 1988.

32. Денискин Ю.И. Методические особенности преподавания прикладной геометрии в вузе. //Тезисы докладов VIII Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям, КОГРАФ-98. Н.Новгород: НГТУ. -1998.

33. Денискин Ю.И. Методы объемного моделирования в задачах машинной графики. //Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Методы и средства обработки сложной графической информации». Горький: НИИ прикладной математики и кибернетики.- 1988.

34. Денискин Ю.И. Методы описания сплошных тел сложной переменной формы. //Основы прикладной геометрии поверхностей JIA. Учебное пособие под ред. Якунина В.И. М.: изд-во МАИ. -1995.

35. Денискин Ю.И. О пересечении кусочных поверхностей в задачах числового программного управления. //Начертательнаягеометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Сборник научных трудов. Омск: ОмПИ. - 1987.

36. Денискин Ю.И. О современных методах твердотельного моделирования. //Тезисы докладов VIII Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям, КОГРАФ-98. Н. Новгород: НГТУ. - 1998.

37. Денискин Ю.И. Об алгоритмах разбиения трехмерной области в твердотельном моделировании. //Тезисы докладов VII Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям, КОГРАФ-97. Н.Новгород: НГТУ. -1997.

38. Денискин Ю.И. Об алгоритмах управления формой кривых в задачах твердотельного моделирования. //Современные проблемы геометрического моделирования. Международная научно-практическая конференция. Харьков: ХГТУ. - 1998.

39. Денискин Ю.И. Объемная аппроксимация тел переменной формы в задачах машинной графики. //Инженерная и компьютерная графика. Сборник методических трудов. Севастополь: СВВМИУ- 1989.

40. Денискин Ю.И. Определение параметра точки, инцидентной заданной кривой. //Сборник депонированных рукописей ЦНТИ «Волна». ЫДД1368.- 1988.

41. Денискин Ю.И. Особенности реализации кусочных поверхностей средствами машинной графики. //Тезисы докладов 3-й школысеминара «Математическое обеспечение систем с машинной графикой». Устинов: Институт проблем управления АН СССР.-1985.

42. Денискин Ю.И. Современные проблемы геометрического моделирования сплошных тел. //Тезисы докладов межзонального научно-методического совещания-семинара. Йошкар-Ола: МарПИ. - 1990.

43. Денискин Ю.И., Овласюк Д.И. Методика применения компьютерных технологий при изучении начертательной геометрии и инженерной графики. //Сборник трудов Московского государственного института электронной техники. 1995.

44. Денискин Ю.И., Овласюк Д.И. Учебно-методические аспекты реализации компьютерных технологий при изучении графических дисциплин. //Сборник трудов Московского государственного института электронной техники. 1995.

45. Денискин Ю.И., Поспелов И.Ю. Метод пента-координат в системах трехмерной машинной графики. //Тезисы докладов Всесоюзной конференции по проблемам машинной графики и цифровой обработки изображений. Владивосток: ИАПУ ДВНЦ АН СССР. - 1986.

46. Денискин Ю.И., Якунин В.И. Аналитические методы геометрического моделирования «кривых-поверхностей-тел». //Тезисы докладов Всесоюзной конференции по геометрии и анализу. -Новосибирск: СО АН СССР, Институт математики. 1989.

47. Денискин Ю.И., Якунин В.И. Научно-методические вопросы реализации интерактивных графических методов в САПР. //Инженерная и компьютерная графика. Сборник методических трудов. Севастополь: СВВМИУ.- 1989.

48. Денискин Ю.И., Якунин В.И. Об алгоритме формирования квазиэквидистантной кривой. //Вопросы преобразования и применения ЭВМ в начертательной геометрии. Межвузовский сборник научных трудов.- Алма-Ата: КазПТИ. 1988.

49. Егоров Э.В., Тузов А.Д. Моделирование поверхностей агрегатов JIA //Учебное пособие под ред. Э.В.Егорова. М.: изд. МАИ, 1988. - 54 с. : ил.

50. Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 1. Пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 204 е., ил.

51. Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 2. Пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 264 е., ил.

52. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

53. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. - 223с.

54. Залгаллер В.А. Теория огибающих. М.: Наука, 1975. - 104 с.

55. Иванов В.П., Батраков А.С. Трехмерная компьютерная графика. -М.: Радио и связь, 1995. 223 с.

56. Иванов Г.С. Бирациональные преобразования в моделировании поверхностей //Учебное пособие. М.: изд. МАИ, 1984. - 45 с.

57. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М.: Машиностроение, 1987. - 188 с.

58. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. М.: Машиностроение, 1995. 224с.: ил.

59. Икрамов Х.Д. Об использовании базисов Шура при решении полиномиальных матричных уравнений. В кн.: Методы и алгоритмы в вычислительном анализе. М.: МГУ, 1982, С. 127 - 130.

60. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

61. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984.

62. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. М.: Наука, 1985.

63. ИСО 9004-1:1994 Общее руководство качеством и элементы системы качества. Часть 1. Руководящие указания.

64. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978.

65. Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 741 с.

66. Кастельжо П. Математика и САПР: Теория полюсов. М.: Мир, 1988- 206 с.

67. Климов В.Е. Графические системы САПР. М.: Высшая школа, 1990. - 142 с.

68. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1968. - 496 с.

69. Котов И.И. Каркасные поверхности зависимых сечений //Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей. XI Тем. сб. научных трудов МАИ. 1974. - вып. 296 - с. 4-8.

70. Котов И.И. О полноте изображения аппроксимирующих поверхностей. В кн.: Тр. межвуз. семин. по начертат. геом. М., 1959, С.59-73.

71. Котов И.И. О полноте изображения кинематических поверхностей. В кн.: Тр. межвуз. семин. по начертат. геом. М., 1959, С.20-44.

72. Котов И.И., Полозов B.C., Широкова Л.В. Алгоритмы машинной графики. М.: Машиностроение, 1977. - 231 с.

73. Крушкаль С.П., Апанасов Б.Н., Гусевский H.A. Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах. Новосибирск: Наука, 1981. - 232 с.

74. Крылов В.И., . Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 1. М.: Наука, 1976.

75. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 2. М.: Наука, 1977.

76. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. -Минск: Наука и техника, 1983.

77. Лихачев А. Высший уровень автоматизации подготовки производства //САПР и графика, № 4, 1999. С. 51-57.

78. Лихачев А., Лихачев А. Прелюдия к автоматизации предприятия //САПР и графика, №1, 1998.

79. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробогатько A.A. Методы вычислений. Киев: Вища школа,1977.

80. Мазурин А. САПР: итоги и перспективы развития //САПР и графика, № 1, 1998. С. 11-14.

81. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Сплайн-аппроксимация функций. -М.: Высшая школа, 1983.

82. Маркус Р., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232 с.

83. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. 3-е изд. -М.: Наука, 1989.

84. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.: Физматгиз, 1962. - 300 с.

85. Наджаров K.M. Алгоритм и программа расчета массово-инерционных параметров тел сложной переменной формы методом линейчатого шестигранника // Учебное пособие под ред. В.И. Якунина. М.: изд. МАИ, 1982. - С.27 - 42.

86. Наджаров K.M. Матричная стереометрия и геометрия масс тел переменной формы в проектировании самолёта: Автореф. дисс. докт. техн. наук. М.: 1983. - 34 с.

87. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.: Гостехиз-дат, 1949.

88. Неванлинна Р. Униформизация. М.: ИЛ, 1955. - 435 с.

89. Ньюмен У., Спрулл Р. Основы интерактивной машинной графики. М.: Мир, 1976. - 573 с.

90. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ, 1963.

91. Погорелов A.B. Геометрия. М.: Наука, 1984. - 287 с.

92. Пресс-релиз компании Unigraphics Solutions Inc., 1999.

93. Рыжов H.H. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей. В кн.: Тр. УДН им. Патриса Лумумбы. Математика. М., 1967, т. XXVI, вып. 3, С. 3-17.

94. Рыжов H.H. О теории каркаса //Труды УДН им. П.Лумумбы -1963. вып. 1. - С.9-19.

95. Рыжов H.H., Гершман И.П., Осипов В.А. Прикладная геометрия поверхностей //Труды МАИ. 1972. - вып. 242. - С. 8-20.

96. Савелов A.A. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, I960. - 293с.

97. Самарский A.A. Введение в численные методы. 2-е изд. -М.: Наука, 1987.

98. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 430 с.

99. Семенков О.И. Введение в системы автоматизации проектирования. Минск, 1979.

100. Стародетко Е.А. Алгоритмы и примеры решения Минск: Наука и техника, 1981.- 111 с.

101. Стародетко Е.А. Алгоритмы и примеры решения уравнений. -Минск: Наука и техника, 1981. 103 с.

102. Стародетко Е.А. Математическое моделирование лекальных поверхностей. Минск: Наука и техника, 1984. - 126 с.

103. Стародетко Е.А. Оптимизация формы и метрики лекальных кривых и поверхностей. В кн.: Теория и методы автоматиз. проектир. Минск, 1980, вып. 4, С. 3 - 7.

104. Стародетко Е.А. Параметризация линий пересечения поверхностей второго порядка. Изв. вузов, 1971, N 11, С. 60 - 63

105. Стародетко Е.А. Элементы вычислительной геометрии. Минск: Наука и техника, 1986. 240 с.

106. Стародетко Е.А., ¡Цепко П.С. Ключевые задачи в геометрическом моделировании //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: изд. ОмПИ, 1987. - С. 7-10.

107. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248с.

108. Тевлин А.М. Конструирование каркасных поверхностей //Труды МАИ. 1975. - вып. 331 - С. 90-93.

109. Тевлин А.М. Перспектива развития и взаимосвязи методов механики и прикладной геометрии поверхностей //Вопросы машинного проектирования и инженерной графики. М.: МАИ. -1980. - С. 7-10.

110. Теоретические основы формирования моделей поверхностей //Учебное пособие под ред. В.И.Якунина. М.: изд. МАИ, 1985.51 с.

111. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.

112. Толстов Г.П. К отысканию огибающей семейства плоских кривых, УМН 7, N 4 (1952), С. 173 179.

113. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

114. Тузов А.Д. Сглаживание функций, заданных таблицами //Вычислительные системы. Новосибирск. - 1976. - вып. 68. -С.61-66.

115. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987.

116. Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: ИЛ, 1952. - 236 с.

117. Усов Б.А. Параметризация плоских алгебраических кривых с помощью радикалов. В кн.: Автоматиз. проектир. в маши-ностр. Минск, 1981, вып. 3, С. 10 - 16.

118. Фиников С.П. Дифференциальная геометрия. М.: Учпедгиз, 1936. - 216с.

119. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1969. Т. 1 3.

120. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982. - 304с.

121. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

122. Фролов С.А. Кибернетика и инженерная графика. М.: Машиностроение, 1974. - 222 с.

123. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М., 1976.

124. Хухлаев Е. Интегрированная среда Euclid Quantum //Открытые системы, №6, 1997. С. 69-73.

125. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. М. - Л.: Гостехиздат, 1970. - 396 с.

126. Четверухин Н.Ф. Курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 1968. - 276 с.

127. Четверухин Н.Ф. О графической геометрии //Вопросы прикладной геометрии. М.: изд. МАИ. - 1972. - вып. 246. - С. 5-9.

128. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. М.: Диалог-МИФИ, 1996. - 240с.

129. Шпур Г., Краузе Ф. Автоматизированное проектирование в машиностроении. М.: Машиностроение, 1988. - 647 с.

130. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей //Учебное пособие. М.: изд. МАИ, 1980. - 85 с.

131. Якунин В.И. Методологические вопросы геометрического конструирования технических объектов //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: изд. ОмПИ, 1987. - С.4-7.

132. Якунин В.И. Современные проблемы и перспективы научных исследований в прикладной геометрии //Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач. Омск: изд. ОмПИ, 1986. - С.12.

133. Abhyankar S.S., Bajaj C.L. Automatic Rational Parameterization of Curves and Surfaces I: Conies and Conicoids //Computer Aided Design, v. 19, N1. 1987. - pp. 11-14.

134. Alfeld P.A Trivariate Clogh-Tocher Scheme for Tetrahedral Data // Computer Aided Geometric Design, vol. 1, N2. 1984. -pp. 169-181.

135. Allen S., Dutta D. Supercyclides and Blending, technical report, Dept. of Mechanical Engineering and Applied Mechanics,

136. University of Michigan, Ann Arbor, MI, N UM-MEAM-96-02. 1996.

137. Allgower E., Georg K. Numerical Continuation Methods, An Introduction, Springer-Verlag, New York, (Springer Series in Computational Mathematics, vol. 13). 1990.

138. Allgower E., Gnutzmann S. Simplicial Pivoting for Mesh Generation of Implicitly Defined Surfaces // Computer-Aided Geometric Design (Netherlands), vol. 8, N4. 1991, pp. 305-25.

139. Ambrosiano J., Brandon S., Luhner R. Electromagnetics via the Taylor-Galerkin Finite Element Method on Unstructured Grids // Journal of Computational Physics, vol. 110. 1994. -pp. 310-319.

140. Artzy E., Frieder G., Herman G. The Theory, Design, Implementation and Evaluation of a Three-Dimensional Surface Detection Algorithm // Computer Graphics and Image Processing, vol. 15, N1. 1981. - pp. 1-24.

141. Atkinson H.H., Gargantini I., and M.V.S. Ramanath Determination of the 3D Border by Repeated Elimination of Internal Surfaces // Computing 32. 1984. - pp. 279-295.

142. Attali D., Montanvert A. Semi-Continuous Skeletons of 2D and 3D Shapes, in C. Arcelli et al„ eds., Aspects of Visual Form Processing, World Scientific, Singapore. 1994, pp.32-41.

143. Bajaj C. Surface Fitting with Implicit Algebraic Surface Patches, in Topics in Surface Modeling, H. Hagen. editor, pp. 23-52, SIAM Publications. Phildelphia, PA. 1992.

144. Bajaj C., G. Xu Converting a Rational Curve to a Standard Rational Bernstein-Bezier Representation //in Graphics Gems IV , ed. P. Heckbert. Boston: Academic Press, 1994. - p.256-260.

145. Bajaj C., Royappa A. Triangulation and Display of Arbitrary Rational Parameric Surfaces, Proceedings of IEEE Visualization, Los Alamitos, CA, IEEE Computer Society Press, Los Alamitos CA. 1994. - pp. 69-76.

146. Baker H. Building Surfaces of Evolution: The Weaving Wall // International Journal of Computer Vision, vol. 3. 1989. -pp. 51-71.

147. Baraff D., Witkin A. Dynamic Simulation of Non-Penetrating Flexible Bodies, Proceedings of SIGGRAPH 92 (Chicago, Illinois, Jul. 26-31, 1992). In Computer Graphics, 26, 2 (Jul. 1992) ACM SIGGRAPH, New York. 1992. - pp. 303—308.

148. Barnhill R., Opitz K., Pottmann H. Fat Surfaces: a Trivari-ate Approach to Triangle-based Interpolation on Surfaces // Computer Aided Geometric Design, vol. 9, N5. 1993. - pp.365-378.

149. Barr A. Global and Local Deformations of Solid Primitives, Proceedings of SIGGRAPH 84 (Minneapolis MN, Jul. 23-27, 1984). In Computer Graphics, 18, 3 (Jul. 1984) ACM SIGGRAPH, New York. 1984. - pp. 21-30.

150. Barry P., T. DeRose, R. Goldman Pruned Bezier Curves: Proceedings of Graphics Interface '90. Halifax, Nova Scotia, 14-18 May 1990. - p.229-238.

151. Boehm W. Some Remarks on Quadrics // Computer Aided Geometric Design, v. 10, N3, 4. 1993. - pp. 231-236.

152. Boissonnat J-D. Geometric Structures for Three-Dimensional Shape Representation // IEEE Transactions on Graphics, vol. 3, N4. 1984. - pp. 266-286.

153. Catmull E., Clark J. Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes // Computer-Aided Design, N10, 1978. pp.350-355.

154. Chaikin G. An algorithm for high speed curve generation // Computer Graphics and Image Processing, N3, 1974. pp.346-349.

155. Chang G. Matrix Formulations of Bezier Curves //Computer-Aided Design. 1982. - v.14. - p.345-350.

156. Chaudhuri B. B., S. Dutta Interactive Curve Drawing by Segmented Bezier Approximation with a Control Parameter (Computer Graphics) //Pattern Recognition Letters. 1986. - v.4. - p.171-176.

157. Coons S.A. Modification of the Shape of Piecewise Curves, Computer-Aided Design 9, 3, pp. 178-180, 1977.

158. Daniel M., J. C. Daubisse The numerical problem of using Bezier curves and surfaces in the power basis //Computer Aided Geometric Design . 1989. - v.6. - p.121-128.

159. Deniskin Y. Design of Closed Composite Parametric Curves and Surfaces //Computer Graphics & Geometry Peer-Review Journal, Vol.1, update 2. 1999.

160. DeRose T., M. Bailey and other Apex: two architectures for generating parametric curves and surfaces //The Visual Computer. 1989. - v.5. - p.264-276.

161. Dobkin D., Levy S., Thurston W., Wilks A. Contour Tracing by Piecewise Linear Approximations // ACM Transactions on Graphics, vol. 9, N4. 1990. - pp. 389-423.

162. Doi A., Koide A. An Efficient Method of Triangulating Equi-Valued Surfaces by Using Tetrahedral Cells // Institute of Electronics, Information and Communications Engineers Transactions, vol. E74, N1. 1991. - pp. 214-224.

163. Doo D. A subdivision algorithm for smoothing down irre-glarly shaped polyhedrons // In Proceedings of the Int'l Conf. Interactive Techniques in Computer Aided Design. 1978. - pp. 157-165.

164. Doo D., Sabin M. Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points // Computer-Aided Design, N10. -1978. pp.356-360.

165. Drebin R., Carpenter L., Hanrahan P. Volume Rendering, Proceedings of SIGGRAPH 88 (Atlanta, Georgia, Aug. 1-5, 1988). In Computer Graphics, 22, 4 (Aug. 1988) ACM SIGGRAPH, New York. -1988. pp. 65-74.

166. Farin G. Algorithms for Rational Bezier Curves //Computer-Aided Design. -1983. v.15. - p.73-78.

167. Farin G. Designing C1-surfaces consisting of triangular cubic patches // CAD. 1982. - N14. - p.253-256.

168. Farin G. Smooth interpolation to scattered 3D data //in Surfaces in Computer-Aided Geometric Design, ed. R. Barnhill and W.Boehm. 1983. - p.43-63.

169. Farin G. Surfaces over Dirichlet tessellations //Computer Aided Geometric Design . 1990. - v.7. - p.281-292.

170. Farin G., B. Piper, A. J. Worsey The octant of a sphere as a non-degenerate triangular Bezier patch //Computer Aided Geometric Design. 1987. - v.4. - p.329-332.

171. Farouki R.T. and Goodman T.N.T. On the optimal stability of the Bernstein basis //Mathematics of computation, 65, 216 (1553-1566), 1996.

172. Farouki R.T. and Rajan V.T. Algorithms for polynomials in Bernstein form //Computer Aided Geometric Design, 5, (1-26), 1988.

173. Forrest A.R. Interactive Interpolation and Approximation by Bezier Polynomials. Computer J. 15, 1, pp. 71-79, 1972.

174. Fournier A., B. A. Barsky Geometric Continuity with Interpolating Bezier Curves //in Graphics Interface '85 Proceedings, ed. M. Wein and E. M. Kidd. 1985. - p.337-341.

175. Goldman R. N. Subdivision Algorithms for Bezier Triangles //Computer-Aided Design. 1983. - v.15. - p.159-166.

176. Goldman R. N. Using Degenerate Bezier Triangles and Tetra-hedra to Subdivide Bezier Curves //Computer-Aided Design. -1982. v.14. - p.307-312.

177. Goldman R.N., Sederberg T.W., Anderson D.C. Vector elimination: A technique for the implicitization, inversion and intersection of planar parametric rational polynomial curves //Computer-Aided Geometric Design, N1. 1984.

178. Gordon W.J. Spline-blended Surfaces interpolation through Curve Networks //Journal of Mathematics and Mechanics, N18, v.10. 1969. - p.931-952

179. Gorowara K. K. Representation of Two Bezier Cubic Curves: Proceedings of the IEEE 1986 National Aerospace and Electronics Conference NAECON 1986- IEEE, New York, 1986. - v.3. - p.733-734.

180. Gunther 0., S. Dominguez Hierarchical schemes for curve representation //IEEE Computer Graphics and Applications. -1993. v.13. - p.55-63.

181. Guo B. Surface generation using implicit cubics: Scientific Visualization of Physical Phenomena (Proceedings of CG International '91). Cambridge, Massachusetts, 26-28 June 1991. -p.485-503.

182. Hall M., J. Warren Adaptive Polygonalization of Implicitly Defined Surfaces //IEEE Computer Graphics and Applications. -1990. v.10. - p.33-42.

183. Harada K., K. Kaneda, E. Nakamae A Further Investigation of Segmented Bezier Interpolants //Computer Aided Design. -1984. v.16. - p.186-190.

184. Hering L. Closed (C2- and C3-continuous) Bezier and B-spline curves with given tension polygons //Computer-Aided Design. 1983. - v.15. - p.3-6.

185. Kahmann J. Krummungsubergange zusammengesetzter Kurven und Flachen. Diss. TU Braunschweig.

186. Kajiya J. Ray tracing parametric patches //Computer Graphics, N16, Vol.3. 1982.

187. Kaufman A. Efficient Algorithms for 3D Scan-Conversion of Parametric Curves, Surfaces, and Volumes: Computer Graphics (SIGGRAPH '87 Proceedings). Anaheim, California, July 27-31, 1987. - v.21. - p.171-179.

188. Klassen R. A note on integer subdivision of NURBS //The Visual Computer. 1993. - v.9. - p.289-291.

189. Klassen R. Intersecting Parametric Cubic Curves by Midpoint Subdivision //in Graphics Gems IV , ed. P. Heckbert. Boston: Academic Press, 1994. - p.261-277.

190. Konno K., T. Takamura, H. Chiyokura A new control method for free-form surfaces with tangent continuity and its application: Scientific Visualization of Physical Phenomena

191. Proceedings of CG International '91) . Cambridge, Massachusetts, 26-28 June 1991. - p.435-456.

192. Lau K. H. Conditions for avoiding loss of geometric continuity on spline curves //Computer Aided Geometric Design. -1988. v.5. - p.209-214.

193. Lischinski D. Converting Rectangular Patches into Bezier Triangles //in Graphics Gems IV , ed. P. Heckbert. Boston: Academic Press, 1994. - p.278-285.

194. Loop C., Tony DeRose A multisided generalization of Bezier surfaces //ACM Transactions on Graphics . 1989. - v.8. -p.204-234.

195. P. de Casteljau. Courbes et surfaces a poles. Technical Report, A. Citroen, Paris, 1963.

196. P. de Casteljau. Outillages methodes calcul. Technical Report, A. Citroen, Paris, 1959.

197. Patterson R. R. Projective Transformations of the Parameter of a Bernstein-Bezier Curve //ACM Transactions on Graphics. -1985. v.4. - p.276-290.

198. Peters J. Parametrizing Singularly to Enclose Data Points by a Smooth Parametric Surface: Proceedings of Graphics Interface '91. Calgary, Alberta, 3-7 June 1991. - p.1-7.

199. Peterson J. Tessellation of NURB-Surfaces //in Graphics Gems IV , ed. P. Heckbert. Boston: Academic Press, 1994. - p.286-320.

200. Piegl L. Coons-type patches //Computers and Graphics. 1988. - v.12. - p.221-228.

201. Piegl L. A Generalization of the Bernstein-Bezier Method //Computer Aided Design. 1984. - v.16. - p.209-215.

202. Pratt M. J. Cyclides in computer aided geometric design //Computer Aided Geometric Design . 1990. - v.7. - p.221-242.

203. Ramshaw Lyle H. Bezier- and B-splines as multiaffine maps //Theoretical Foundations of Computer Graphics and CAD, NATO ASI. 1988. - v.F40. - p.757-776.

204. Riesenfield R. On Chaikin's algorithm // Computer Graphics and Image Processing, N4, Vol.3. 1975. - pp.304-310.

205. Rockwood A., Kurt Heaton, T. Davis Real-Time Rendering of Trimmed Surfaces: Computer Graphics (SIGGRAPH '89 Proceedings). Boston, Massachusetts, 31 July - 4 August 1989. - v.23.- p.107-116.

206. Sabin M. The use of piecewise forms for numerical representation of shape. Diss. MTA Budapest, 1977.

207. Sabin M.A. Non-rectangular surface patches suitable for inclusion in a B-spline surface// Eurographics'83/ Amsterdam.- 1983/ p.57-59.

208. Schmitt F., B. Barsky, Wen-hui-Du An Adaptive Subdivision Method for Surface-Fitting from Sampled Data: Computer Graphics (SIGGRAPH '86 Proceedings). Dallas, Texas, August 18-22, 1986. - v.20. - p.179-188.

209. Sederberg T.W. Implicit and parametric curves and surfaces for computer aided geometric design //Ph.D. Thesis, Purdue University. 1983.

210. Sederberg T.W., Parry S.R. Free-form deformation of solid geometric models // In Computer Graphics (SIGGRAPH '86 Proceedings), Vol.20. 1986. - pp.151-160.

211. Sederberg T.W., Parry S.R. Comparison of three curve intersection algorithms //Computer-Aided Design, N 18. 1986.

212. Seidel H. Algorithms for B-patches: Proceedings of Graphics Interface '91. Calgary, Alberta, 3-7 June 1991. - p.8-15.

213. Spencer M. Polynomial Real Root Finding in Bernstein Form: Ph.D. thesis, Dept. Civil Eng., Brigham Young University, 1994.

214. Van Der Waarden, B.L. Modern algebra, Volume I, II. New York: Frederick Ungar Publishing Co. - 1950.

215. Walker R.J. Algebraic Curves. New York: Springer-Verlag, 1950.

216. Worsey A. J., G. Farin Contouring a bivariate quadratic polynomial over a triangle //Computer Aided Geometric Design. 1990. - v.7. - p.337-351.225. www.ugsolution.com

217. Zettler M. and Garlo J. Robustness Analysis of polynomials with polynomial parameter dependency using Bernstein Expansion //IEEE Transactions on Automatic Control, 43, 3, (425-431), 1998.