автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Новые детерминировано-вероятностные алгоритмы и модели нелинейной динамики

На правах рукописи

ЗУЛЬПУКАРОВ Магомед-Герей Меджидович

НОВЫЕ ДЕТЕРМИНИРОВАНО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ И МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

05.13.18-

Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

□озотозтэ

Москва - 2007 год

003070379

Работа выполнена в Ордена Ленина Институте прикладной математики им. М В. Келдыша Российской академии наук

Научные руководители доктор физ -мат. наук, профессор

Малинецкий Георгий Геннадьевич

кандидат физ -мат. наук Подлазов Андрей Викторович

Официальные оппоненты. доктор физ -мат наук, профессор

Дмитриев Александр Сергеевич

доктор физ -мат наук, профессор Баранцев Рэм Георгиевич

Ведущая организация- Ярославский государственный университет

им П.Г Демидова

заседании Диссертационного совета Д 002.024 02 при Институте прикладной математики им. М В Келдыша РАН по адресу 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им М В. Келдыша РАН

Защита состоится «

»

2007 г в

час на

Автореферат разослан « » ¿?/7/7 е.Л-4 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Щерица

I. Общая характеристика работы

Актуальность темы Большинство методов и алгоритмов нелинейной динамики эффективны в приложении к динамическим системам сравнительно малой размерности В теоретических построениях, как правило, используются отображения размерности не выше 2 и системы дифференциальных уравнений размерности не выше 3 (из наиболее известных базовых моделей можно привести в пример логистическое отображение, отображение Эно, системы Лоренца, Ресслера и Рикитаке)1 Именно в ходе исследования таких систем удалось выявить сценарии перехода от порядка к хаосу Поэтому, сейчас часто говорят о маломодовой нелинейной динамике Попытки практического применения моделей большой размерности, ставшие возможными благодаря быстрому росту вычислительных мощностей, дали более скромные, чем ожидалось, результаты

По-видимому, ограничение на размерность модели является принципиальным, и качественное понимание происходящего в исследуемой системе достижимо, если систему можно описать с помощью небольшого числа независимых переменных и параметров (например, при анализе катастроф широко используется тот факт, что в типичном случае катастрофа локально эквивалентна какой-либо из семи хорошо изученных элементарных катастроф, если размерность пространства параметров не превышает четырех2) В то же время, для решения множества практических задач (задач медицины, экономики, сейсмологии, передачи информации и т д) требуется использование систем большой размерности

Кроме того, при моделировании сложных систем часто возникает проблема неполноты и/или неточности информации о поведении системы, её устройстве и принципах функционирования

Таким образом, для решения задач, связанных с моделированием сложных систем, необходимо создание новых методов и алгоритмов, а также базовых моделей, на которых они могут быть апробированы

Один из возможных подходов к упрощенному описанию многомерных систем связан с использованием асимптотических методов, выделением больших или малых параметров3 Другой подход основал на совместном использовании динамических и вероятностных методов моделирования

Существуют различные способы построения моделей, включающих динамические и вероятностные составляющие Первый заключается в разделении происходящего в системе в соответствии с некоторой иерархией Далее, один из уровней иерархии описывается динамической моделью (модель отдельного уровня, предположительно, будет более простой, чем модель системы в целом) Влияние событий, происходящих на других уровнях, на

1 Странные аттракторы сб ст пер с англ / под ред Я Г Синая, JIП Шильникова. -М Мир, 1981

2 Постои Т , Стюарт И Теория катастроф и ее приложения -М Мир, 1980 стр 163

3 Андрианов И В , Баранцсв Р Г , Маневич Л И Асимптотическая математика и синергетика путь к целостной простоте -М УРСС, 2004

объекты данного уровня можно рассматривать как шум (флуктуации) Для их учета в динамическую модель вводятся стохастические составляющие4 Отметим, что подобное описание приемлемо в случае, если подробности происходящего на других уровнях иерархии неизвестны.

Второй способ заключается в учете возможных неоднородностей фазового пространства В ряде случаев, можно выделить области фазового пространства, в пределах которых поведение системы может быть с приемлемой точностью описано динамической моделью, содержащей сравнительно небольшое количество переменных - так называемых параметров порядка5 Переменные, не вошедшие в модель, определяются параметрами порядка, или их влияние несущественно В остальных областях фазового пространства поведение системы описывается с привлечением вероятностных методов Таким образом, модель системы представляет собой набор простых динамических и вероятностных моделей

Разработка нового класса моделей ставит ряд вопросов Одним из них является вопрос оценки адекватности построенной вероятностно-динамической модели исходной системе Для систем, демонстрирующих хаотическое поведение, такая оценка могла бы быть основана на сравнении количественных характеристик хаоса Другой вопрос заключается в определении предсказательных возможностей модели, оценке точности и горизонта прогнозирования Кроме того, можно поставить вопрос о возможности решения обратной задачи - задачи построения вероятностно-динамической модели па основе наблюдаемого поведения системы

Таким образом, предлагаемая диссертация посвящена разработке методов математического моделирования и описания динамических систем в условиях неполноты информации на основе анализа временных рядов, а также изучению свойств получаемых моделей Цели работы

1 Разработка методов определения бифуркационных значений параметров нелинейных динамических моделей с малым шумом по наблюдаемому временному ряду

2 Разработка техники построения упрощенных предсказывающих моделей для нелинейных систем с неоднородным фазовым пространством на основе методов локального уменьшения размерности

3 Разработка методов оценки адекватности для моделей, основанных на локальном уменьшении размерности систем с неоднородным фазовым пространством

4 Разработка методов построения вероятностно-динамических моделей на основе наблюдаемого поведения системы в условиях неполноты доступной информации

4 МоисеевНН Математические методы системного анализа -М Наука, 1981

5 Хакен Г Синергетика Иерархии пеустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах -М Мир, 1985

Методы исследования В работе используются асимптотические методы, методы имитационного моделирования, теории вероятностей и математической статистики, теории динамического хаоса, теории случайных процессов, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории бифуркаций

Научная новизна

Разработал алгоритм решения задачи определения положения точки бифуркации и проверки гипотезы о типе бифуркации по изменению статистических характеристик временного ряда

Разработан метод построения упрощенной предсказывающей модели для сипгулярпо возмущенной системы нелинейных дифференциальных уравнений с хаотическим поведением

Разработана техника построения малоразмерной вероятностно-динамической модели в условиях неполноты доступной информации (доступности для наблюдения одного из нескольких порождаемых нелинейной системой временных рядов)

Практическая ценность Полученные результаты используются в Институте прикладной математики им М В Келдыша РАН, на биологическом факультете Московского государственного университета им. М В Ломоносова, в Московском инженерно-физическом институте, Московском физико-техническом институте, Ярославском государственном университете им ПГ Демидова, Саратовском государственном университете им НГ Чернышевского, могут быть использованы в Институте математического моделирования РАН, Институте радиотехники и электропики РАН, Институте проблем управления им В А Трапезникова РАН, Институте машиноведения им А А Благонравова РАН, Вычислительном центре им А А Дородницына РАН

Апробация работы Основные результаты работы докладывались на 47-й Научной конференции Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Долгопрудный, 2004), 5-м Международном научно-практическом междисциплинарном симпозиуме «Рефлексивные процессы и управление» (Москва, 2005), Научной сессии Московского инженерно-физического института (Москва, 2005 и 2006), 13-й и 14-й Международных конференциях «Проблемы управления безопасностью сложных систем» (Москва, Институт проблем управления им В А Трапезникова РАН, 2005 и 2006), 13-й Международной конференции «Математика Компьютер Образование» (Дубна, 2006), Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления» (Домбай, 2006), 2-й Международной междисциплинарной научной конференции памяти чл -корр РАН С П Курдюмова «Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь, 2006), Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006), 11-й Международной конференции «Языки науки - языки искусства» (Пущино-на-Оке, 2006), 14-й Международной конференции «Математика

Компьютер Образование» (Пущино-на-Оке, 2007), Международной конференции «The First European Symposium on Time Senes Prediction (ESTSP'07)» (Эспоо (Хельсинки), Финляндия, 2007), 3-й Международной междисциплинарной научной конференции памяти чл -корр РАН С.П. Курдюмова «Синергетика в естественных науках» (Тверь, 2007), на семинаре кафедры биофизики биологического факультета МГУ им М В. Ломоносова, на семинаре «Будущее прикладной математики» Института прикладной математики им М В Келдыша РАН.

Публикации По результатам выполненной работы имеется 22 публикации (см список публикаций)

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения, изложенных на 140 страницах, содержит 41 рисунок, 2 таблицы и библиографию из 103 наименований

II. Содержание работы

Во введении дан обзор ключевых результатов современной маломодовой нелинейной динамики Рассказано о проблемах, возникающих при анализе систем с большой размерностью Сформулированы нерешенные задачи в данной области, исследованию которых посвящена диссертация

В первой главе рассматривается поведение нелинейных динамических систем, испытывающих воздействие слабого шума, в окрестности точки бифуркации Ставится обратная задача - задача нахождения точки бифуркации в пространстве параметров и определения типа бифуркации (предполагается, что параметры исследуемой системы меняются медлешю по сравнению с характерными для шума временами) по наблюдаемому временному ряду -дискретным отсчетам переменной состояния Предлагается алгоритм решения обратной задачи, дается его теоретическое обоснование

При рассмотрении поведения сложной системы часто принимается во внимание, что на нее действует случайный шум - малое нерегулярное внешнее воздействие неопределенной природы (слабые флуктуации) Например, если математическая модель описывает систему на каком-то конкретном уровне организации, то для учета влияния других уровней в модель вводятся стохастические составляющие

Вблизи точки бифуркации устойчивость системы снижается, следствием чего является усиление флукгуаций Таким образом, нарастание шума является признаком приближения к точке бифуркации (также говорят о шумовых предвестниках бифуркации)

В начале главы дается обзор известных па сегодняшний день экспериментальных и теоретических результатов в области изучения предбифуркационных шумов в системах с дискретным и непрерывным временем Приводятся асимптотические оценки для дисперсии и интервала корреляции времешгых рядов в окрестности точки бифуркации

Нелинейные системы обладают следующим важным свойством бифуркационные задачи для систем высокой размерности часто сводятся к рассмотрению систем размерности один или два6 Таким образом, выводы, сделанные для некоторой простой системы, как правило, оказываются довольно общими

В работе рассматривается одна из наиболее простых бифуркаций -надкритическая (мягкая) бифуркация типа «вилка» (рис 1) Это локальная бифуркация положения равновесия, коразмерности 1 (чем ниже коразмерность бифуркации, тем более типичной для разнообразных динамических систем она является)

Простейшая система, в которой наблюдается данная бифуркация, описывается нелинейным автономным обыкповешшм дифференциальным уравнением с параметром

Рис. 1. Надкритическая бифуркация типа «вилка»

Пример бифуркационной диаграммы для надкритической бифуркации типа «вилка» Параметр X отложен по оси абсцисс, Ао -точка бифуркации Особые точки отложены по оси ординат, сплошной линией показаны устойчивые, пунктирной - неустойчивые В точке бифуркации вместо одной устойчивой особой точки хо появляется одна неустойчивая ветвь и пара расходящихся с увеличением параметра устойчивых ветвей

л: = = х(Л - х2)

(1)

Здесь х = — переменная состояния, / - время, Л - параметр, V - фазовая скорость Бифуркационное значение параметра Л — 0 Весьма удобно описание системы в терминах потенциала 1А

дх

(2)

Система подвергается воздействию слабого шума (в данном случае рассматривается так называемый броуновский шум переменная состояния периодически суммируется с некоторой случайной величиной) Таким образом,

представляет собой случайный процесс Временной ряд х] получающийся в результате дискретизации , в дальнейшем называется наблюдаемым временным рядом

Далее, решается задача нахождения зависимости установившегося распределения наблюдаемого временного ряда от разности текущего и бифуркационного значений парметра Рассматривается случай Л < О

6 Йосс Ж, Джозеф Д Элементарная теория устойчивости и бифуркаций -М Мир, 1983

Используются следующие очевидные приближения функции у[х,Л)

у(*,А)»ЛХ, |Я|»х2; (3)

у(х,Л)«-х\ \Л\<Кх2, (4)

где х обозначает характерную величину х (в качестве оценки характерной величины берется среднеквадратичное отклонение сгх, так как потенциал (2) симметричен относительно начала координат, и можно предположить равенство нулю математического ожидания х) Приближения (3) и (4) позволяют разделить анализ поведения системы (1) по трем диапазонам значений параметра Л в одном из них зависимость поведения системы от параметра является наиболее простой, в другом — отсутствует вообще, а в третьем (\Л\ — х2) упрощенный анализ неприменим

При поиске функции плотности распределения наблюдаемого временного ряда вместо отдельно взятой системы рассматривается ансамбль систем Если одной системе соответствует точка в одномерном фазовом пространстве, то образом ансамбля систем является совокупность точек (частиц) Предполагается, что слабые шумы, действующие на системы в ансамбле, не согласованы (то есть, у каждой системы — свой независимый генератор шума) Движение каждой частицы включает две составляющие детерминированную (движение, обусловленное градиентом потенциала) и стохастическую (движение, обусловленное действием шума) Поскольку (2) в случае Л< О представляет собой потенциальную яму с бесконечно высокими стенами, можно считать, что с течением времени установится некоторое стационарное распределение линейной плотности частиц Предполагается эргодичность системы - совпадение распределения вероятностей для положения отдельной частицы с распределением плотности частиц ансамбля

Таким образом, задача нахождения функции плотности распределения наблюдаемого временного ряда сводится к задаче о диффузии в потенциальной яме В этом случае слабый шум можно охарактеризовать коэффициентом диффузии

+00 О

где - вероятность переноса частицы из точки х на отрезок + «&] за

время Л Рассматривается частный, но распространенный случай К(х,5,{) = К{£),

Для нахождения стационарного распределения частиц записывается выражение для потока частиц, определяемого градиентом плотности, и приравнивается к потоку, определяемому градиентом потенциала Решение полученного дифференциального уравнения с учетом предположения об

эргодичности системы дает возможность найти функцию плотности распределения наблюдаемого временного ряда

(5)

Отсюда, в области действия приближения (3) дисперсия, по мере приближения к точке бифуркации, растет по закону

а в области действия приближения (4) выходит на уровень насыщения

" Г(1/4) 1 Г(1/4) ^'

В промежуточной области значений параметра Я используется выражение общего вида

ехрГ-^и(х)] и ,

где

и (= ехр (-ту2 )

Значения четных производных и(м>) высших порядков в нуле находятся с помощью рекуррентного соотношения

и<"»> (0) = 4л (л -1)«(""2> (0)-2и(л) (0) Общее выражение для дисперсии выглядит следующим образом

* Г -Л) ш( \ ^Л^) (2 ку (9)

Функция ^(я) не зависит от условий задачи, и может быть вычислена один раз, заранее, с любой заданной точностью Графики функций (5) и (9) показаны на рис 2(а) и (б), соответственно

—7~ ю" ю" io" Л

ЫК Ж

(а) (б)

Рис. 2. Распределение частиц в потенциальном яме в районе точки бифуркации

(а) - Функция плотности распредетеиня наблюдаемого времеипого ряда в обтасти

насыщения (Я = -V*") Сплошной линией показан график функции (5), кружхами отмечены частоты, полученные при численном моделировании

(б) - Зависимость дисперсии паблюдаемого вречепного ряда от бифуркациошгого параметра Штрих-пунктирной линией показана асимптота (7) — уровень насыщения, штриховой линией - асимптота (6) Сплошной линией показана точная зависимость (9) Точками показаны значения дисперсии, полученные при численном моделировании

Обратная задача ставится следующим образом Предположим, некоторая система с изменяющимся с течением времени параметром Я, испытывающая воздействие слабого шума, порождает случайный сигнал x(t), наблюдаемый в

виде временного ряда х^х (tj) Пусть характерное время Тл изменения Я

значительно превышает интервал корреляции х временного ряда ху

(10)

то есть имеется возможность наблюдения установившегося распределения сигнала для различных значений Я, параметра Я Пусть при изменении А в определенном направлении происходит рост дисперсии сигнала <у\

Требуется проверить следующее предположение при достижении параметром пекоторого значения Я* в системе произойдет надкритическая бифуркация типа «вилка» Найти Я*

Предлагаемый алгоритм решения обратной задачи основан на

использовании следующих соображений Из (6) следует, что точки

на удалении от Я* должны аппроксимироваться некоторой прямой Определив свободный член с0 и угловой коэффициент с, этой прямой (например, методом наименьших квадратов), можно получить оценки к и Я*

р- 1 ?• -к—-, я =с0к

(И)

Оценка Я' по точкам, удаленным от А*, будет грубой Ее можно уточнить путем аппроксимации точек на участке выхода дисперсии на уровень насыщения (\Я\ ~ у/к) зависимостью (9)

Предположение о типе бифуркации также можно проверить только на участке насыщения, так как при значительном удалении от точки бифуркации система неотличима от линейной Если действительно имеет место бифуркация указанного типа, то установившееся распределение должно соответствовать (8) с подставленными оценками к и X' Вывод о соответствии можно делать также на основании простейшего сравнения третьих и четвертых центральных моментов (асимметрии и эксцесса)

В качестве объекта для испытания предложенного алгоритма была выбрана система, заданная уравнением (1) Система подвергалась воздействию шума с одновременным изменением параметра Я с соблюдением условия (10) Считалось, что распределение наблюдаемого временного ряда соответствует теоретическому, если асимметрия первого не превышает 0,15, а значения стандартного отклонения и эксцесса совпадают с точностью до 10%

На рис 2 показаны статистические характеристики системы, определенные в ходе численного моделирования Данные на рис 2(а) соответствуют случаю успешного выполнения алгоритма

В результате работы алгоритма бифуркационное значение параметра было определено на этапе выхода дисперсии на уровень насыщения с ошибкой, не превысившей 5% от размера области насыщения Я При сравнении распределения наблюдаемого временного ряда с распределением (8) было отмечено совпадение значений стандартного отклонения с точностью 3%, а значений эксцесса - с точностью 2% Асимметрия распределения наблюдаемого временного ряда составила -0,03 Таким образом, предположение о типе бифуркации было подтверждено

Предложенный алгоритм был испытан на одной из математических моделей микроэкономики Краткое описание модели и результаты испытания приведены в приложении

Таким образом, в первой главе предложен алгоритм определения точки и проверки предположения о типе бифуркации (случай мягкой надкритической бифуркации типа «вилка») по нарастанию уровня шума Показана работоспособность алгоритма на примере простейшей динамической системы Данный алгоритм также может быть использован при разработке средств предупреждения аварий в технических системах, и в управлении риском

Во второй главе обсуждается метод локального уменьшения размерности задачи нелинейной динамики - метод русел и джокеров Демонстрируется применение метода для описания хаотического режима сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений, представляющей собой

одну из моделей популяционной динамики — модель Розепцвейга-Макартура трехзвенной пищевой цепи

Метод русел и джокеров основан на использовании неоднородности фазового пространства динамической системы Ограниченные области фазового пространства, в которых возможно выделение параметров порядка, называются руслами1 (здесь не рассматривается случай, когда параметры порядка могут быть выделены для всего фазового пространства и всей совокупности решаемых задач8) Примерная схема возникновения русел такова пусть есть область фазового пространства, где функцию, задающую фазовую скорость, можно представить в виде суммы какой-либо более простой функции (например, меньшей размерности), и некоторого малого члена Тогда, пренебрегая малым членом, получают уравнение движения на русле Конфигурация русла определяется условием малости отброшешюго члена

В областях, где это не представляется возможным, для описания движения используются джокеры — простые приближенные правила (алгоритмы), зачастую, вероятностные, так как поведение системы вне русел отличается сложностью, непредсказуемостью и разнообразием В начале главы дается обзор описанных на данный момент разновидностей джокеров

Рассматриваемая в работе модель Розенцвейга-Макартура представляет собой модификацию модели Вольтсрра «хищник-жертва» для случая трех видов - жертвы, хищника и суперхищника (пожирателя хищников) с учетом следующих факторов логистического роста жертв, насыщения хищников (увеличение численности жертв, начиная с определенного уровня, не приводит к увеличению их потребления хищниками) и суперхищников, мальтузианского вымирания хищников и суперхищников при отсутствии пищи

Модель, в ее безразмерном виде, представляет собой следующую систему дифференциальных уравнений

Здесь х, у, г - численности популяций (жертв, хищников и суперхищпиков, соответственно), а £ е, Д, Д>, 8\, - параметры

(12)

7 Маливецкий Г Г, Потапов А Б Современные проб темы нетинейной динамики -М

УРСС, 2002

8 Хакен Г Синергетика Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах -М Мир, 1985

Данная система демонстрирует (среди множества прочих) режим шил ъниковского хаоса9, имеющий место, когда скорости изменения численности хищников и суперхищников совпадают по порядку величины (£ - 1), а скорость изменения численности жертв велика ( ^ <£ 1). Таким образом, рассматриваемая задача является сингулярно возмущённой, и на аттракторе чётко выделяются четыре чередующиеся зоны медленного и быстрого движения (рис. 3(а) ),

Рис. 3. Снег см а Розе» ц вей га-Макар >ура, система русел и джокеров

(а)-фазовый портрет системы Розен цвейга-Макартура <12) в режиме шильниковского хаоса. Цифрой 1 обозначен седлофокус, цифрой 2 - область медленного движения Г0, цифрой 3 - область Г].

(б) - фазовый портрет системы C(i-J(j-C|-Ji. Джокеры показаны сшгошнымн жирными линиями. Сплошными тонкими линиями обозначены грасктории системы (15) (русло С|), пунктирными - системы (14) (русло Со)- В окрестности области джокера J] хорошо заметно изменение тина движения, сопровождающееся нарушением гладкости траектории. Стрелками показано направление движения.

Следуя концепции анализа тихоновских системш, медленное движение может быть приближённо описано вырожденной системой1' дифференциальных и алгебраических уравнений, представляющей собой исходную систему (12), в которой выполнен предельный переход при С -> 0:

О = */(*,

<y = yg(*>y,z), (13)

Данная система определяет две области медленной динамики. Первая область, Го, находится на плоскости х = 0, Медленное движение изображающей точки системы (12) по координатам >> и г в пределах Г0 задается уравнениями

5 Кузнецов С.П. Динамический хаос. -М. : Фмэматгиз, 2001.

111 Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. -М, : Наука, 1981.

Тихонов Л,II. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры// Избранные труды Л.Н. Тихонова. - М. : МЛКС Пресс, 2001,

У = У

Рг+У

Л+У

-й,

I

- егк^у)

Вторая область, Гь представляет собой подмножество параболического цилиндра

у = Г(х,) = (\-хШ+х), х>ху<уш№1

(здесь и далее знак «•» обозначает тот аргумент функции /, относительно которого решено уравнение /(х,у) = О )

Медленное движение по координатам у и г в пределах Г) определяется системой

Г 1-м \

У = У

ч

Л+/;'(•> у) 1 Рг+у) -8г =

= У8 У), У, г)

Рг+У

(15)

где

/^{•,у) = +^у-у+х,у<у

— то из двух решений уравнения /(х,у) = 0 относительно х, которое соответствует Г]

Таким образом, из системы (13) исключена переменная х, и вместо трехмерной системы получены две двумерные - (14) и (15), описывающие медленное движение в двух областях (что соответствует распространенной ситуации, когда часть переменных системы ненаблюдаема) Разработанная модель включает данные системы в качестве уравнений русел Со и С], соответственно Области русел в данном случае совпадают

Перемещению изображающей точки системы (12) из одной зоны медленного движения в другую соответствует «переключение» между системами (14) и (15), то есть, переход из одного русла в другое Такие переходы обусловлены воздействием скрытой переменной х и никак не следуют из уравнений русел Поэтому, для их описания применены два джокера - ^ и «Г]

Джокер «Г1 выполняет переход от С1 к Со, что соответствует срыву -быстрому перемещению изображающей точки системы (12) из области Г) в область Го Переход заключается в смене уравнений движения с (15) на (14) и

выполняется при достижении изображающей точкой системы (15) прямой У~У, соответствующей линии срыва

Джокер Л0 выполняет переход от Со к Сь что соответствует срыву изображающей точки системы (12) из области Г0 в область Г1 Линия срыва в данном случае аппроксимируется прямой, проходящей через точку неустойчивого фокуса системы (15) Переход заключается в смене уравнений движения с (14) на (15)

Фазовый портрет полученной системы Со-Ло-С^! показан на рис 3(6) Таким образом, джокеры 10 и Л^ «сшивают» фазовые пространства двух различных систем В этом заключается их принципиальное отличие от описанных ранее12 джокеров, действие которых заключается в перемещении в пределах одного фазового пространства С учетом особенностей срабатывания и конфигурации, новому джокеру было присвоено название джокер типа «шов»

В заключительной части главы рассматривается вопрос оценки адекватности полученной модели Выводы об адекватности могут быть сделаны, в частности, на основе сравнения количественных характеристик хаоса в исходной системе (12) и системе —<То—С1 ~>Т1

Для систем, включающих джокеры ранее описанных типов, определение количественных характеристик динамического хаоса затруднено Например, при определении ляпуновского характеристического показателя следует учитывать, что две сколь угодно близкие траектории, пройдя область джокера, могут, следуя вероятностному правилу, резко разойтись (оценка показателя будет стремиться к +оо) Возможен противоположный случай две различные траектории, проходя джокер, резко сходятся (оценка стремится к нулю)

Достоинством джокера нового типа является то, что он сохраняет единственность решения и его непрерывность по начальным данным Это облегчает анализ количественных характеристик хаоса Например, для вычисления ляпуновских характеристических показателей достаточно простой модификации алгоритма Бенеттина13

Сравнение количественных характеристик динамического хаоса в исходной системе и в системе русел и джокеров показало следующее Различия функций автокорреляции соответствующих переменных незначительны По прочим характеристикам (значения ляпуновских характеристических показателей, корреляционные интегралы) наблюдается более существенное расхождение, однако, в общем, можно считать, что система русел и джокеров аппроксимирует исходную систему с приемлемой точностью

Таким образом, при исследовании модели, описывающей популяционную динамику, впервые продемонстрировано наличие русел и джокеров в фазовом пространстве реальной динамической системы Обнаружен и описан новый тип

12 Белайчук Л В , Малинецкий Г Г Проделки джокеров на одномерных отображениях — Препринт / Институт прикладной математики им М В Келдыша РАН -М , 1997 - № 24

13 Малинецкий Г Г, Потапов А Б Современные пробчемы нелинейной динамики -М УРСС, 2002

джокера, позволяющий анализировать количественные характеристики хаоса Показано, что метод русел и джокеров позволяет на основе тихоновских систем строить упрощенную модель, способную выполнять следующие действия, в том числе при условии ненаблюдаемости отдельных переменных системы

- воспроизведение качественных особенностей наблюдаемого поведения исходной системы;

- воспроизведение (с приемлемой точностью) количественных характеристик динамического хаоса в исходной системе,

- предсказание поведения системы в пределах области медленного движения,

- предсказание момента изменения типа движения

В третьей главе рассматривается обратная задача — задача построения модели наблюдаемой системы в условиях неполноты доступной информации В качестве примера объекта исследования используется модельная система с жёсткой турбулентностью Приводится решение поставленной задачи с применением метода русел и джокеров

Исследование редких катастрофических событий (управление риском) и разработка методов их моделирования - одно из перспективных направлений в нелинейной динамике14 Как правило, объект изучения, демонстрирующий подобные явления, представляет собой сложную систему, причем информация об устройстве системы и принципах ее функционирования может быть неполна и/или неточна, причины катастрофы неясны, а статистические данные недостаточны.

В качестве примера такой ситуации можно привести аварии на океанских буровых платформах, входящих в список самых дорогих и масштабных сооружений техногенной цивилизации Ряд исследователей высказывает предположение, что причиной аварий могут быть нелинейные явления на поверхности атмосфера-океан

Одно из центральных мест в области моделирования процессов на границе водной и воздушной сред занимает двумерное обобщение уравнения Курамото-Цузуки15 (Гинзбурга-Ландау)

Ж, = (1 + 1с0) УУ+ (1 + ¡с,) ЛIV - (1 + ю2)\Ш\гЖ,

где IV- некоторая комплекснозпачпая функция действительных переменных, а Со, С\ и с2 - действительные постоянные16 При определенном соотношении значений параметров в данной системе можно наблюдать жесткую турбулентность - хаотический режим с редкими и очень сильными выбросами

14 Малинецкий Г Г Управление риском Риск, устойчивое развитие, синергетика —M Наука, 2000

15 Y Kuramoto Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence Berlin Spnnger-Vcrlag, 1984

16 Ахромеева T С , Курдюмов С П, Малинецкий Г Г , Самарский А А Нестационарные структуры и диффузионный хаос -М Наука, 1992

Один из вариантов упрощенного (качественного) описания жёсткой турбулентности основан па использовании систем, демонстрирующих

переключающуюся перемежаемость

Данный режим характеризуется наличием устойчивого инвариантного многообразия, поочередно теряющего и обретающего устойчивость В результате потери устойчивости происходит выброс, а в результате возврата устойчивости - спад В Рис- 4. Фупкция/ промежутках между выбросами происходит График функции /(х,к,а), входящей хаотическое движение на инвариантном в отображения для переменных хи у многообразии

Примером системы, в которой можно наблюдать подобный режим, является трехмерное отображение Ершова17

Л

Уп+1=/{у.>к„,аа)-у0-

Ф.Г

ех.

+ е\х.

к.=

\К>\ ,у>уа [к;<1,у<уа \К>\,х<ха

(16)

Е„«=Е,

а(Е) = ааа

Е + Е„

а„

-1

Здесь х, у и Е - переменные, я0, ак, у, уа, е, Еа, кх, к}, ха, уа -параметры, а / - кусочно-линейная функция (рис 4), определяющая характер одномерных отображений по х и у

2 1 + я

-х +-,

а—1 1-а

3 2-а -х+-

2а + 2 2а+ 2

кх + к--, 2

х^а -1<д:<а х<-\

Переключающаяся перемежаемость в отображении Ершова реализуется следующим образом Пока значение «медленной» (£<8:1) переменной Е превышает пороговое (Е> Еа), в пространстве перемятых х и у имеется

Малинецкий Г Г Управление риском Риск, устойчивое развитие, синергетика -М Наука, 2000

хаотический аттрактор с некоторой конечной областью притяжения При уменьшении Е до порогового значения и далее, происходит кризис аттрактора — границы аттрактора и его области притяжения соприкасаются Вследствие этого происходит выброс - уход с аттрактора по координате х и экспоненциальный рост

(17)

Одновременно начинается рост Е, и с некоторым запаздыванием - у Далее, когда переменные х и у достигают пороговых значений и уст, происходит смена коэффициентов ( к* на к~ и к* на к~ ), и аттрактор становится глобально притягивающим по х и по у Рост хку сменяется спадом

(18)

значение Е медленно уменьшается, пока не произойдет новый выброс

Обратная задача ставится следующим образом Дана система (16), работающая в режиме жесткой турбулентности Внутреннее устройство системы скрыто, и из трех порождаемых ею временных рядов, Еп, хп и уп, доступен для наблюдения только один - хп Требуется построить простую (модельную) систему, порождающую временной ряд с аналогичными характеристиками

Поскольку информация наблюдателя об исходной системе неполна, целесообразно учитывать как динамические, так и статистические характеристики наблюдаемого временного ряда При построении модельной системы было решено совместно использовать динамические и вероятностные компоненты, то есть задействовать метод русел и джокеров

Главная особенность временного ряда - наличие редких сильных выбросов, чередующихся с длительными межпиковыми интервалами Поэтому, при построении модели были выделены характеристики выбросов (распределение максимумов пиков, динамика роста и спада) и характеристики межпиковых интервалов (продолжительность, межпиковая динамика) Распределение максимумов пиков - степенное18

р*. М=| о*М' * ?»; >0. ъ. >0. *, <0 <19)

[и, Х>их

Распределение длительности межпиковых интервалов - экспоненциальное

, , \ае~К\ п>В

Р»(й) = К п<Вп'а*>0>Ь*>0>*»>0-

Здесь ах, Ь„ Вх, а„, Ъп, В„ - константы Их истинные значения неизвестны, и в модели используются полученные на основе статистических данных оценки ах,

18 Малинецкий Г Г , Потапов А Б , Подлазов А В Нелинейная динамика подходы,

результаты, надежды -М УРСС, 2006

Ьх, Вх, а„, Ьп и -б„, а также оценки коэффициентов роста и спада к* и кх и границ области межпиковой динамики [А,тш>^*,тт]

При рассмотрении временного ряда х„ вьщеляется фаза межпиковой динамики, событие перехода от межпиковой динамики к росту пика, фаза роста, событие остановки роста (достижения максимума пика), фаза спада и событие перехода от спада к межпиковой динамике. Динамика в фазах роста и спада описывается простыми уравнениями (17) и (18), поэтому, для моделирования роста и спада введены два русла, С1 и С2, соответственно Поскольку рост и спад пика происходят в одной и той же области фазового пространства, область русла С2 совпадает с областью русла Сь и требуется уточнять, какое из русел в данный момент считается действующим

Межпиковая динамика хаотична, переход от нее к росту пика случаен (инициирующая переход переменная Е пе наблюдается) По этой причине для их описания использован джокер, обозначенный Достижение максимума пика — также случайное событие (смена динамики не следует из уравнения роста, инициирующая ее переменная у не наблюдается) Для его описания использован джокер, обозначенный ^

Действие джокера Зг заключается в переключении с русла С1 на русло Сг, аналогично описанному выше джокеру типа «шов» Разница заключается в определении времени и места переключения координата изображающей точки в момент переключения представляет собой максимум пика - случайную величину Поэтому, джокер задействуется с вероятностью, зависящей от значения х на данной итерации р = р}г (л). Задача сводится к поиску функции Рз,{х)> обеспечивающей распределение максимумов, совпадающее с (19) Показало, что требуемое распределение обеспечивается функцией вида

если распределение значений х, с которых начинается рост пика, равно

Коэффициент ах находится из условия нормировки, выбор константы Ах произволен в указанных пределах, но для обеспечения сходства наблюдаемого и модельпого временных рядов в начальной фазе роста пика рекомендуются значения порядка

Моделирование межпиковои динамики джокером Л| заключается в случайном отображении отрезка [Л,,тт>-£>*,та*] на себя Для простоты, на каждой итерации х„ присваивается реализация случайной величины, равномерно распределенной на данном отрезке

Вторая обязанность «Г1 - обеспечение заданной длительности межпиковых интервалов Прекращение джокером межпиковой фазы происходит с

(20)

(21)

вероятностью, зависящей от номера итерации, р^ («) Показано, что требуемое распределение обеспечивается функцией вида

и = 0, <22>

Третья функция джокера Лг — формирование распределения начальных значений (21) для роста пика по окончании межпиковой фазы После этого задействуется русло С]

Наконец, джокер ^ отвечает за переход от отображения в соответствии с уравнением русла С2 (спада) к межпиковой динамике Переход выполняется

при попадании изображающей точки на интервал [¿)х,шш> А,™«]

Окончательно, построенная модель представляет собой систему русел и джокеров .Гг-Сг-^-Сг (в уравнения (17), (18), (20), (21) и (22) вместо неизвестных истинных значений параметров подставлены их оценки) Джокер

II действует в области [А.щ^А.тщ], русла С] и Сг и джокер 12 разделяют общую область х<бхтт (при этом, оговаривается, какое из русел в данный момент считается действующим) Общий вид модели представлен на рис 5

С1? С2, Jl

Рис. 5 Система русел и джокеров

Прямой штриховкой обозначены совпадающие области русел С\ и С2 и джокера Зг Косой штриховкой обозначена область джокера А - значения х„ в процессе роста пика В — точка срабатывания джокера Зг ▼ - значения хп в процессе спада пика

Цифрами обозначены 1 - срабатывание джокера ^ случайное перемещение в области джокера, 2 - срабатывание джокера З1 переход в исток русла Сь 3 - движение в русте С1, 4 — срабатывание джокера ^ переход в русло Сг, 5- движение в русле С г, 6 — переход в область джокера З1, движение в соответствии с уравнением русла Сг прекращается

Данная схема представляет собой, в определенном смысле, дальнейшее развитие схемы, предложенной во второй главе Следует отметить, что, в отличие от предлагавшихся ранее схем, наибольшую часть времени изображающая точка проводит не в области русел, а в области джокера

В заключительной части главы демонстрируется соответствие временных рядов, порождаемых исходной и модельной системами, по заданным

статистическим характеристикам - распределению абсолютных величин максимумов пиков и распределению длительностей межпиковых интервалов

Таким образом, можно считать показанным, что метод русел и джокеров позволяет, по результатам наблюдения меньшей части перемешгых хаотической системы с жесткой турбулентностью, строить модель, воспроизводящую качественные особенности наблюдаемого поведения исходной системы

В приложении дается краткое описание математической модели деятельности малого инновационного предприятия19, используемой в микроэкономике, и приводятся результаты испытания алгоритма определения положения точки бифуркации и проверки гипотезы о типе бифуркации (см. первую главу) на указанной модели

В условиях воздействия флуктуаций, соответствующих малым случайным изменениям складских запасов, была получена грубая оценка бифуркационного значения параметра, обратно пропорционального рыночной цене товара Точная оценка получена не была, и предположение о типе бифуркации не было подтверждено, поскольку в данной модели рассматривается бифуркация иного типа — «седло-узел», соответствующая опустошению складских запасов при банкротстве предприятия

Отметим, что при непосредственном наблюдении складских запасов факт прохождения точки бифуркации становится очевиден с большим запаздыванием (явление так называемого скрытого банкротства) Следовательно, получаемая оценка может оказаться весьма своевременной, несмотря на грубость

Таким образом, показана работоспособность алгоритма (по крайней мере, в части грубых оценок) на примере одной из математических моделей микроэкономики

III. Основные результаты диссертации

1 Разработан метод решения обратной задачи — задачи определения положения точки бифуркации и типа бифуркации на основе временного ряда, порождаемого динамической системой с малым шумом и медленно меняющимся бифуркационным параметром Для надкритической бифуркации типа «вилка» получена точная зависимость плотности распределения временного ряда и его дисперсии от бифуркационного параметра и характеристик шума

2 Предложен метод построения упрощенной (модельной) системы пониженной размерности, воспроизводящей основные черты поведения сингулярно возмущенной системы нелинейных дифференциальных уравнений с хаотическим поведением (модели Розепцвейга-Макартура), на основе теории

19 Чсрпавский Д С , Щербаков А В , Соловьев С А, Зайцев С В Математическая модеть деятельности малого инновационного предприятия Явление «скрытого» банкротства -Препринт / Институт прикладной математики им М В Келдьшха РАН -М , 2001 - № 82.

русел и джокеров Введен новый тип джокера, позволяющий анализировать количественные характеристики динамического хаоса

3 Показана возможность применения метода русел и джокеров для решения обратной задачи - построения модели наблюдаемой системы с жесткой турбулентностью в условиях пеполпоты доступной информации Представлена простая система русел и джокеров, воспроизводящая поведение отображения Ершова

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1 Зульпукаров М -Г М , Малинецкий Г Г, Подлазов А В Пример решения обратной задачи теории бифуркаций в динамической системе с шумом -Препринт / Институт прикладной математики им М В Келдыша РАН -М ,

2005 -№39 -39 с

2 Зульпукаров М -Г М, Малинецкий Г Г, Подлазов А В Метод русел и джокеров на примере исследования системы Розенцвейга-Макартура -Препринт / Институт прикладной математики им М В Келдыша РАН -М ,

2006 -№21 -32 с

3 Зульпукаров М -Г М , Малинецкий Г Г Шильниковский хаос в системе Розенцвейга-Макартура - Препринт/ Институт прикладной математики им М В Келдыша РАН -М , 2006 - № 45 - 34 с

4 Зульпукаров М -Г М Моделирование жесткой турбулентности методом русел и джокеров — Препринт / Институт прикладной математики им MB Келдыша РАН -М , 2007 -№18 -34 с

5 Зульпукаров М -Г М, Малинецкий Г Г, Подлазов А В Пример решения обратной задачи теории бифуркаций в динамической системе с шумом// Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика —2005 -Т 13. —№5-6 С 3-23

6 Зульпукаров М -Г М , Малинецкий Г Г, Подлазов А В Определение момента и типа предстоящей бифуркации по нарастанию шума в сложной системе // Известия ТРТУ Тематический выпуск Перспективные системы и задачи управления -Таганрог • Изд-во ТРТУ, 2006 -№3(58) - С 92-100

7 Зульпукаров М -Г М , Малинецкий Г Г, Подлазов А В Применение метода русел и джокеров к исследованию системы Розенцвейга-Макартура// Математика, компьютер, образование сб науч тр - Вып 13 -М , Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006 - Т 2 - С 2838

8 Zulpukarov М -G М , Malinetskn G G , Podlazov А V Bifurcation Forecasting Using Time Senes Statistical Analysis // European Symposium on Time Senes Prediction (ESTSP'07) Espoo, Finland, 7-9 February 2007 proceedings -Espoo, Finland Multipnnt Oy / Otamedia, 2007. - P 207-210.

9 Зульпукаров M -Г M , Малинецкий Г Г , Подлазов А В Применение метода русел и джокеров для описания динамики системы Розенцвейга-

Макартура // Математическое моделирование -2007 - Т. 19. - №6 -С 315.

10 Зульпукаров М-Г М, Малинецкий Г Г Предбифуркационные шумы в непрерывной системе // Труды XLVII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» Часть VII -М , Долгопрудный МФТИ, 2004 - С 194

11. Зульпукаров М -Г М, Малинецкий Г Г Определение момента бифуркации по уровню шумов // Научная сессия МИФИ-2005 сб науч тр В 16 т Т 2 -М МИФИ, 2005 - С 77-78

12 Зульпукаров М -Г М , Малинецкий Г Г , Подлазов А В Метод русел и джокеров в экологическом моделировании// Труды XIII Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем» -М РГГУ, 2005 - С 288-290

13 Попова Д А , Зульпукаров М.-Г.М , Малинецкий Г.Г , Подлазов A.B. Метод определения момента бифуркации по нарастанию шума// Труды Х1П Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем» -М РГГУ, 2005 -С 20-21

14 Зульпукаров М-ГМ, Малинецкий Г Г , Подлазов А В Исследование тритрофной пищевой цепи методом русел и джокеров // Научная сессия МИФИ-2006 . сб науч тр В 16 т Т. 2 -М МИФИ,2006 -С 54-55

15 Зульпукаров М-Г М, Малинецкий Г Г, Подлазов А В Обратная задача исследования шумов в окрестности точки бифуркации // Вторые Курдюмовские чтения Идеи синергетики в естественных науках Материалы Международной междисциплинарной научной конференции -Тверь Тверской государственный университет, 2006 — С 69-72

16 Зульпукаров М-ГМ, Малинецкий Г Г, Подлазов А.В Применение метода русел и джокеров к исследованию системы Розенцвейга-Макартура // Математика, компьютер, образование сб науч тез — Вып 13 -М , Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006 - С 14

17 Зульпукаров М-Г М, Малинецкий Г Г, Подлазов А В Русла, джокеры и пищевые цепи// Языки науки - языки искусства1 XI Международная конференция серии «Нелинейный мир» • сб науч тез -Пущино, 2006 - С 48

18 Зульпукаров М-ГМ, Малинецкий Г Г , Подлазов А В Обратная задача теории бифуркаций в нелинейной стохастической системе // Тихонов и современная математика Математическое моделирование Международная конференция, Москва, МГУ им Ломоносова, 19-25 июня 2006 г Тезисы докладов секции №2 -М Издательский отдел факультета ВМиКМГУ им MB Ломоносова, 2006 - С 209-210

19 Зульпукаров М-ГМ, Малинецкий Г Г , Подлазов А В Исследование жесткой турбулентности методом русел и джокеров // Труды XIV Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем» Т 1 -М РГГУ, 2006 - С 32-35

20 Зульпукаров М -Г М, Малипецкий Г Г, Подлазов А В Реконструкция системы с жесткой турбулентностью методом русел и джокеров // Математика, компьютер, образование сб пауч тез - Вып 14 -М , Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007 - С 54

21 Зульпукаров М -Г М , Малинецкий Г Г , Подлазов А В Моделирование редких катастрофических событий в сложных системах методом русел и джокеров // Материалы Второй Всероссийской научно-практическй конференции «Перспективные системы и задачи управления» —Таганрог Издательство ТТИ ЮФУ, 2007 - С 151-152

22 Зульпукаров М -Г М , Малинецкий Г Г, Подлазов А В Жесткая турбулентность в системе русел и джокеров // Третьи Курдюмовские чтения Синергетика в естественных науках Материалы Международной междисциплинарной научной конференции —Тверь Тверской государственный университет, 2007 - С 66-67

Подписано к печати 26 04 2007 г Формат 60x90/16 Объем 1,5 п л Тираж 100

Благодарности.

Введение.

Глава 1. Обратная задача теории бифуркаций в динамической системе с шумом.

1.1 Введение.

1.2 Состояние проблемы.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Экспериментальные данные.

1.5 Теоретическое обоснование.

1.6 Пример решения обратной задачи.

2.2 Русла и джокеры.62

2.3 Сингулярно возмущённые системы.65

2.4 Популяционная динамика.71

2.5 Пример исследования методом русел и джокеров.79

2.6 Заключение.97

Глава 3. Исследование жёсткой турбулентности методом русел и джокеров.100

3.1 Введение.100

3.2 Уравнение Курамото-Цузуки (Гинзбурга-Ландау) и жёсткая турбулентность.101

3.3 Переключающаяся перемежаемость и отображение Ершова.106

3.4 Реконструкция системы Ершова: случай одной переменной.113

3.4.1 Первичный анализ информации о наблюдаемой системе.113

3.4.2 Предварительные соображения по схеме русел и джокеров.118

3.4.3 Русла Ci и С2.118

3.4.4 Джокер J2.119

3.4.5 Джокер J,.124

3.4.6 Построение системы русел и джокеров.129

3.4.7 Результаты моделирования, сравнение.132

3.5 Заключение.135

Основные результаты диссертации.137

Библиография.138

Приложение. Определение точки бифуркации в модели деятельности малого инновационного предприятия.144

Благодарности

Считаю приятным долгом выразить глубокую признательность своим научным руководителям - Георгию Геннадьевичу Малинецкому и Андрею Викторовичу Подлазову, а также всему коллективу Отдела математического моделирования нелинейных процессов и синергетики Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, за помощь и поддержку в работе над диссертацией. Хотелось бы поблагодарить директора Научно-образовательного центра «Прикладная математика» ИПМ им. М.В. Келдыша РАН Николая Алексеевича Митина за конструктивные замечания по содержанию диссертации.

Искренне благодарен Дмитрию Сергеевичу Чернавскому за поддержку и совместную работу в области математической экономики.

Значительную помощь в выполнении работы оказало обсуждение свойств динамических систем с шумом с Олегом Ярославовичем Бутковским и Еленой Дмитриевной Суровяткиной.

Большой интерес к работе был проявлен сотрудниками кафедры биофизики биологического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, сделавшими ряд важных замечаний относительно развития и использования полученных результатов в области математической биологии. Искренняя благодарность Галине Юрьевне Ризниченко, Татьяне Юрьевне Плюсниной, Ладе Джураевне Тёрловой, Полине Викторовне Фурсовой, Анастасии Игоревне Лавровой.

Я весьма признателен Ивану Владимировичу Десятову за совместную работу по применению алгоритма определения положения точки бифуркации к математической модели деятельности малого инновационного предприятия (см. Приложение).

Особая благодарность - Поповой Дине Александровне, за совместную работу и поддержку.

Введение

В последнее десятилетие всё большее внимание в науке уделяется междисциплинарным подходам. В основе таких подходов лежит глубокая аналогия математических моделей, используемых в различных областях исследования. Особый интерес вызывают нелинейные проблемы и соответстсующие нелинейные модели. В литературе всё чаще употребляется словосочетание «нелинейная наука».

Одним из наиболее плодотворных и бурно развивающихся подходов современной науки является теория самоорганизации, или синергетика. Данный термин ввёл в употребление Герман Хакен, выявивший ряд аналогий между неустойчивостями в гидродинамике и динамикой лазеров [1].

Междисциплинарные исследования активно развивались и в СССР, в частности, в Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша Академии наук. Следует особо отметить вклад школы С.П. Курдюмова в области исследования режимов с обострением (динамических режимов, характеризующихся неограниченным ростом величины одной или нескольких переменных состояния в течение конечного промежутка времени [2], наблюдающихся в открытых системах с сильной положительной обратной связью).

В истории синергетики традиционно принято выделять два следующих друг за другом периода, соответствующие двум различным парадигмам. Первая из них связана с рассмотрением явления самоорганизации в пространственно распределённых системах (системах, в которых динамические переменные зависят от пространственных переменных). Самоорганизация заключается в выделении небольшого числа переменных, так называемых параметров порядка [1,3], определяющих динамику всей системы, формально обладающей бесконечным числом степеней свободы. Данная парадигма сформировалась после того, как было обнаружено, что многие сложные явления, относящиеся к различным областям знания (колебательные химические реакции, самопроизвольное упорядочивание в гидродинамических системах, явления физики плазмы, нелинейной оптики, популяционной динамики, и т.д.) могут быть описаны с использованием похожих простых математических моделей.

Появление параметров порядка можно пояснить следующим образом. Пусть дана задача для уравнения в частных производных, описывающего некоторую пространственно распределённую систему, например, следующего вида: ut=F{u,ux,uxx,.)

О <х<1 м(х,0) = м0(х) ' где t - время, х - пространственная переменная, и - динамическая переменная, а F- некоторая нелинейная функция. Разложив и в ряд Фурье

UJ k(*>0=Ec«(0cos т=О f ж тх Л и выполнив подстановку, задачу можно свести к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Ст=/т(С0>С\>С2>—)-ГтСт, Ш=0,\, 2, ., где /т - нелинейные функции, а члены утСт обусловлены диссипативными процессами (трением, вязкостью, диффузией, теплопроводностью), О <--<Ут<Ут,х<-'

Может оказаться, что амплитуды гармоник Ст с течением времени убывают тем быстрее, чем выше номер гармоники. Пусть 5- характерное время изменения переменных С0,.,Сти а переменная Ст меняется значительно быстрее, для чего необходимо выполнение неравенства <5>»1jym (это фундаментальное допущение носит название адиабатического приближения). Пусть также выполняется цепочка неравенств ут ym+l ут+2 «., означающая, что процессы, соответствующие первым т +1 гармоникам, идут значительно медленнее остальных.

Тогда можно перейти к системе т +1 дифференциальных и последовательности алгебраических уравнений jCn=-ynCn+fnKCvC2,.,Cm,), п = 0, 1, 2,., т-1

О = ~rpCp+fp{C0,CvC2,.,CmvCm,.), р = т, т +1, т + 2,. строгое обоснование допустимости такого перехода для ряда систем дифференциальных уравнений дано А.Н. Тихоновым [4], что положило начало новому направлению асимптотического анализа), описывающих процессы с характерными временами т»\jym . Выразив амплитуды Ст, Сп1+], . через

С0,.,Ст]5 можно записать систему т дифференциальных уравнений вида jCn=(pn(C,,CvC2,.,Cmx)-ynCn, ц = 0, 1, 2,., т.

Таким образом, задавшись точностью и характерными временами, можно значительно упростить исходную систему.

Ключевая роль в формировании простого поведения сложной системы в данном случае принадлежит диссипативным процессам. В диссипативных системах объём выделенной области фазового пространства уменьшается под действием оператора эволюции, что с течением времени может привести к формированию стационарного, пространственно-неоднородного распределения динамических переменных, не чувствительного или слабо чувствительного к изменению начальных условий задачи в широком диапазоне. Распределения такого рода были названы И.Р. Пригожиным диссипативпыми структурами

5].

Отметим, что интерес представляет асимптотическое поведение системы, и здесь уместно подчеркнуть принципиальное отличие от консервативных систем, в которых объём выделенной области фазового пространства сохраняется, а поведение определяется начальными условиями и не разделяется на переходное и асимптотическое.

Перечислим некоторые, широко известные модели теории диссипативных структур. Прежде всего, к ним относятся системы «реакция-диффузия)) вида дп / ч д2п — = v(n) + K—^ dt W дх ' где п обозначает концентрацию некоторого вещества, первый член соответствует изменению концентрации в результате химической реакции и обычно представляет собой полином, а второй член соответствует диффузии вдоль оси х (к- коэффициент диффузии). Для простоты обозначений приведён вариант системы для одного вещества и одномерного пространства [1,5].

Классическим примером такой системы является введённая Пригожиным модель под названием брюсселятор. Дана следующая цепочка реакций:

А^Х

B + X-^Y + D

2X + Y->3X '

Х^Е где А и В - исходные вещества, D и Е - продукты реакции, а X и Y -промежуточные вещества. Модель представляет собой следующую систему уравнений в частных производных:

L = а - [b +1) л, + п[ п2 + кх —1 2 dt v 7 ' ' ' ' дх дщ . 2 д2щ '

- = Ьп, -п,п7+ к, — dt 1 1 2 2 Эх2 где а и b - концентрации А и В (считаются заданными), а я, и п2 концентрации X и Y. Как правило, используются граничные условия следующего вида: п{ (0,/) = пх [\,t) = a n2($,t) = n2{\,t) = -а

В зависимости от значений параметров, модель брюсселятора допускает решения различных типов - пространственно-однородные, пространственно-неоднородные стационарные, предельные циклы, химические волны.

Из практических примеров самоорганизующихся химических реакций чаще всего упоминается реакция Белоусова-Жаботинского [7]. Реакция обычно протекает при +25°С в смеси, состоящей из бромата калия, малоновой или броммалоновой кислоты и сульфата церия, растворённого в лимонной кислоте, и позволяет наблюдать разнообразные пространственно-временные структуры (в замкнутой системе - в течение ограниченного времени), в частности, спиральные волны (ревербераторы), показанные на рис. 1.

Типичная задача исследования таких диссипативных структур состоит в определении зависимости их типа и конфигурации от параметров системы, или построении бифуркационной диаграммы (термин «бифуркация» обозначает изменение числа или устойчивости решений определённого типа, или, в более широком смысле, качественное изменение топологии фазового портрета системы). Математический аппарат, используемый для решения задач такого рода, включает качественную теорию дифференциальных уравнений [8,9,10,11] и теорию бифуркаций [11,12,13,14,15,16,17].

Другая классическая модель описываемого периода развития нелинейной динамики - модель подогреваемого снизу слоя жидкости. Модель демонстрирует явление конвективной неустойчивости: при достижении температурным градиентом критического значения, в жидкости, до того неподвижной, начинается макроскопическое движение с образованием либо горизонтальных цилиндрических валов, либо вертикальных гексагональных структур (ячеек Бенара). Это, а также прочие явления, характерные для данной модели, играют важную роль, в частности, в гидродинамике и метеорологии

Напоследок (но не в последнюю очередь), отметим приложения теории диссипативных структур в биологии. Из представления клетки в виде системы, регулируемой локальной концентрацией определённых химических веществ, естественным образом вытекает предположение об аналогии самоорганизации химических структур в однородной реакционной смеси и морфогенеза -самоформирования клеточных структур из совокупности одинаковых клеток. На этой аналогии основаны, например, модели Зимана процесса дифференцировки костной и мышечной ткани и развития слизистых грибов [6].

Рис. 1. Спиральные волны в реакции Белоусова-Жаботинского

Химические волны, возникающие в первоначально однородной (взболтанной) реакционной смеси, находящейся в неглубокой кювете, вид сверху (рисунок заимствован из [6]).

Итак, простота описания сложных пространственно распределённых систем методами теории диссипативных структур заключается в следующем. Во-первых, как выяснилось, одни и те же уравнения подходят на роль математических моделей различных процессов. Во-вторых, качественное понимание поведения систем уравнений в частных производных, достижимо посредством использования простейших динамических систем. В-третьих, несколько простейших бифуркаций могут использоваться для описания множества различных нелинейных процессов и неустойчивостей.

Следует, однако, отметить, что число систем, допускающих действительно простое описание средствами теории диссипативных структур, сравнительно невелико. Поиск диссипативных структур в физических системах и прикладных задачах часто требует учёта существенных деталей, сильно усложняющих модель (нелинейных эффектов и т.п.). В процессе углублённого исследования, как правило, выясняется, что явления, аналогичные качественно, различаются в деталях.

Отметим некоторые ожидаемые направления развития и практического применения теории диссипативных структур. Предполагается, что технологии нового поколения, использующие пространственную самоорганизацию, самоформирование и другие нелинейные эффекты, могли бы быть использованы для создания нанопроводов, оптико-электронных систем на квантовых точках, одноэлектронных приборов, и т.п. Также стоит упомянуть проекты ускорения заряженных частиц с помощью лазера и создания теории мощных вихрей в атмосферах планет-гигантов.

Следующая, вторая парадигма нелинейной динамики, в противоположность первой, связана с рассмотрением сложного, непериодического поведения простейших сосредоточенных (не зависящих от пространственных переменных) детерминированных динамических систем. Данная парадигма обязана своим появлением крупнейшему достижению теории динамических систем - открытию детерминированного хаоса, нерегулярного, напоминающего случайное, движения в нелинейных системах, в которых эволюция состояния системы во времени однозначно определяется предысторией [18]. Отметим, что нелинейность необходима (хотя и не достаточна) для возниктовения хаотического движения: линейные системы дифференциальных или разностных уравнений могут быть решены с помощью преобразования Фурье и не приводят к хаосу.

Важнейшей особенностью хаотических режимов является чувствительность к начальным данным. Поясним это понятие.

В основе современного математического моделирования лежат обыкновенные дифференциальные уравнения (уравнения в частных производных, лежащие в основе математической физики, можно рассматривать как их обобщение на случай бесконечномерного фазового пространства). Классическая теорема о непрерывности и дифференцируемости решений дифференциальных уравнений по начальным данным [19,20], как прежде считалось, позволяет полагать, что, зная начальное состояние системы и располагая достаточными вычислительными мощностями, можно рассчитать состояние системы в сколь угодно отдалённом прошлом и будущем (данная концепция получила название Лапласовского детерминизма). Действительно, небольшая ошибка в определении начального состояния, согласно теореме, продолжает с течением времени оставаться сравнительно небольшой. Кроме того, в большинстве практических приложений рассматриваются относительно простые решения - стационарные или колебательные.

Однако, в 1963 году, Лоренц, в процессе численного исследования свойств модели конвекционных токов в атмосфере, обнаружил, что, после ввода незначительной ошибки в начальные условия (уменьшения числа верных десятичных знаков), расхождение решений быстро нарастает, вплоть до полной потери аналогии. Обнаруженное у модели Лоренца свойство чувствительности к самой незначительной погрешности начальных данных является обоснованием, в частности, невозможности долгосрочного прогнозирования погоды.

Заметим, что чувствительности к начальным данным формально не противоречит непрерывности и дифференцируемое™ по начальным данным.

Здесь уместна аналогия с функцией вида /(х) = sin(/x), которая при сколь угодно больших / удовлетворяет определениям непрерывности и дифференцируемости, однако, в любом практическом приложении (в физике, в вычислительном эксперименте, и т.п.) существует такое t, начиная с которого использование данной функции в качестве непрерывной (дифференцируемой) невозможно.

Т*и О и

М<е/)

I \

Ы, гО а) (б)

Рис. 2. Пояснение к определению хаотического отображения а) - существенная зависимость от начальных условий. х0, у0 - начальные значения, б) - транзитивность.

Приведём более строгое определение детерминированного хаоса [21].

Пусть дано метрическое пространство (X,d). Отображение f'.Xv-^X является хаотическим, если выполняются следующие условия: 1. / обладает существенной зависимостью от начальных условий. Пусть х s U с X, где U - некоторое открытое множество. Тогда для некоторого

S > О существует такое целое п > О и такая точка y^U, что d (/(п) (*), /(и) (у)) > 8 (рис. 2(a)).

2. / транзитивпо, то есть для любой пары U,V открытых множеств существует такое п > О, что (U) г\ V Ф 0 (рис. 2(6)).

3. Периодические точки/плотны в X. Это означает, что в любой окрестности любой точки в X существует по крайней мере одна периодическая точка. Следует отметить, что приведённое определение избыточно: существенная заависимость от начальных условий следует из выполнения условий транзитивности и плотности периодических точек. При этом, ни транзитивность, ни плотность периодических точек невыводимы из двух остающихся условий [21].

Детерминированный хаос наблюдается как в консервативных (в частности, гамильтоновых) [22,23], так и в диссипативных системах (в последнем случае -только при условии внешнего возбуждения, т.е., система должна быть открытой). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением хаоса в диссипативных системах.

В отличие от классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматривающей поведение системы на конечном временном интервале, нелинейная динамика интересуется асимптотическим поведением системы. Для диссипативных систем характерно следующее: при t -»оо решения сосредотачиваются на аттракторе. Аттрактор - суть некоторое подмножество В фазового пространства, удовлетворяющее следующим условиям [24]:

1. В инвариантно относительно потока фазовых траекторий (т.е., под действием оператора эволюции переходит само в себя);

2. существует открытое множество U сжимающееся к В под действием потока (объединение всех таких множеств называется областью притяжения, или бассейном аттрактора);

3. никакая часть В не является переходной (то есть, траектория не уходит из неё при / —> оо);

4. В неразложимо на два непересекающихся инвариантных множества.

Если у динамической системы более одного аттрактора, говорят о мультистабильности (также известны системы, имеющие бесконечно много различных аттракторов). Обычно, аттрактор представляет собой множество меры нуль.

До открытия детерминированного хаоса было известно всего три простейших вида аттракторов и три соответствующих им вида установившихся решений динамических систем:

1. Точка. Соответствует состоянию равновесия.

2. Предельный цикл (замкнутая фазовая траектория). Соответствует периодическому решению.

3. Предельный «-тор (фазовая траектория образует всюду плотную обмотку некоторого тора). Соответствует квазипериодическому решению совокупности периодических движений с иррациональными соотношениями периодов). Аттракторы перечисленных видов называются регулярными.

Первопричина нерегулярности поведения хаотических систем определяется их способностью быстро разводить первоначально близкие траектории (расхождение I при малых / в среднем растёт экспоненциально: l~eXt, Х = const, Л>0). Если траектории аттрактора ведут себя подобным образом, то такой аттрактор называется хаотическим.

Таким образом, динамическая система, работающая в хаотическом режиме, демонстрирует одновременно глобальную устойчивость (траектория не покидает пределов области притяжения аттрактора) с локальной неустойчивостью. Последнее означает неустойчивость по Ляпунову (решение x(t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого £>0 найдётся £>0, такое, что для любого решения |х(0)-х(0)|<£, выполняется неравенство |х(*)-х(/)| <е, t>0) [24,25,26,27].

В качестве количественной меры неустойчивости траекторий хаотического аттрактора используются ляпуновские характеристические показатели. Пусть дана линеаризованная система й = Аи, где и - вектор возмущения. Пусть v(. - собственные числа матрицы А, пронумерованные в порядке убывания, а г^ - соответствующие им собственные вектора. Любое решение и(/) данной системы можно представить в виде комбинации базисных решений u(. {t) = ev,tr^, отвечающих начальным данным и, (0) = г(,).

Можно показать, что характеристический показатель решения и (?), принимает, в зависимости от начальных данных, одно из значений Я,. = Rev( . Ляпуновские показатели принято нумеровать в порядке убывания. Среди них наиболее важен старший (максимальный) - \. Так как почти все начальные данные имеют ненулевую проекцию на соответствующее ему направление, именно он характеризует скорость нарастания возмущения.

Итак, сочетание глобальной устойчивости с локальной неустойчивостью хаотического аттрактора означает устойчивость по Ляпунову по одним направлениям и неустойчивость по другим. Таким образом, критерием хаоса является набор ляпуновских показателей, содержащий как положительные, так и отрицательные значения (один из показателей, соответствующий возмущению, направленному точно вдоль траектории, равен нулю).

Часто хаос в диссипативных системах связывают с наличием в фазовом пространстве аттрактора с фрактальным строением - так называемого странного аттрактора. Фрактал представляет собой множество со сложной, тонкой геометрической структурой. Многие, хотя и не все, фракталы отличаются самоподобием, или масштабной инвариантностью, то есть, демонстрируют на разных масштабах разрешения своей геометрической структуры свойства подобия в строгом или приближённом смысле. Наиболее простые и известные примеры самоподобных фракталов - канторово множество, кривая Кох, ковёр Серпиньского [21].

Основной характеристикой фрактала является его размерность - мера степени заполнения пространства (подпространства) фракталом. Существует множество различных определений размерности, используемых при исследовании фракталов. Обычно, в качестве простого и интуитивно понятного примера приводится размерность Минковского, или фрактальная размерность, или ёмкость logA^(g) log Б

Здесь е - диаметр ячейки сетки, a - количество ячеек сетки, покрывающих множество. Одно из определений называет фракталом множество с нецелочисленной фрактальной размерностью.

Более сложное определение, основанное на покрытии множества элементами произвольной формы и размера, имеет размерность Хаусдорфа. Пусть исследуемое множество покрывается множествами Aj} такими, что dianЦ < е . Пусть т(е, р) = inf У7сНатД.)р

Тогда sup m(s, /?)>0 0

Строгое определение, данное Мандельбротом, называет фракталом множество, хаусдорфова размерность которого строго больше его топологической размерности (топологическая размерность определяется индуктивно, она равна нулю для канторова множества и п для «-мерного евклидового пространства R" и локально эквивалентного последнему п-мерного многообразия).

Кроме упомянутых, в теоретических построениях и на практике используются и другие размерности, связанные между собой различным образом -ляпуновская, информационная, корреляционная, поточечная, и т.д.

Отметим, что не любой странный аттрактор является хаотическим, и наоборот [28]. Аттрактор с регулярной геометрической структурой и целочисленной размерностью, но экспоненциально-неустойчивыми фазовыми траекториями, называется хаотическим иестранным. Аттрактор с фрактальной структурой, но устойчивыми по Ляпунову траекториями, называется странным нехаотическим.

Как правило, динамические системы, в зависимости от значений параметров, способны работать как в регулярных, так и в хаотических режимах. Непрерывное изменение параметров системы от значений, соответствующих регулярному режиму, к значениям, соответствующим хаосу, сопровождается последовательностью бифуркаций, усложняющих поведение системы. Такая последовательность бифуркаций называется сценарием перехода к хаосу. В настоящее время известен ряд сценариев, типичных для множества динамических систем. Перечислим наиболее известные из них.

Сценарий Фейгенбаума представляет собой бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, возникновение странного нехаотического аттрактора (цикла бесконечного периода), и возникновение хаоса.

Сценарий Помо-Манневиля представляет собой переход к хаосу через возникающий в окрестности точки бифуркации промежуточный режим перемежаемости - чередования временных интервалов регулярного (связанного с прохождением траектории вблизи неподвижной точки) и хаотического поведения.

Сценарий Рюэля-Такенса представляет собой переход к хаосу через последовательное образование периодических составляющих движения с несоизмеримыми частотами (особая точка - предельный цикл - 2-тор). Ситуация с более длинной цепочкой бифуркаций считается атипичной.

Открытие динамического хаоса повлекло пересмотр методов сравнения теории и эксперимента. Прежде расхождение прогноза, полученного с помощью модели, с наблюдаемым поведением системы рассматривалось как признак неадекватности модели. В настоящее время в практику вошло понятие горизонта прогнозирования - предельного времени предсказуемости поведения системы, по истечении которого траектории системы и модели расходятся в любом случае. Оценить горизонт прогнозирования можно, зная старший ляпуновский показатель.

На временных интервалах, превышающих горизонт прогнозирования, наблюдается эффект перемешивания: при рассмотрении в качестве начальных условий точки совместно со сколь угодно малой окрестностью (вместо отдельной точки) решения распределяются по всему аттрактору. Поскольку начальные условия всегда известны с некоторой погрешностью (определяющей диаметр малой окрестности), в условиях перемешивания можно лишь указать вероятность появления изображающей точки в заданной области аттрактора. Установившаяся плотность распределения в данном случае называется инвариантной мерой.

Таким образом, для оценки адекватности модели вместо того, чтобы сравнивать модельную и наблюдаемую траектории поточечно, имеет смысл сравнивать функционалы на траекториях - инвариантную меру, статистические характеристики, количественные характеристики хаоса (ляпуновские показатели, размерности, корреляционный интеграл и пр.). Характеристики наблюдаемой системы определяются численно, на основе порождаемого системой временного ряда. Характеристики модели могут определяться как численно, так и в общем виде. Для численного определения характеристик разработан ряд широко известных алгоритмов, таких, как алгоритм Грассбергера-Прокаччиа определения фрактальной размерности аттрактора, алгоритм Бенеттина определения ляпуновских показателей, и др.

Классической и наиболее известной математической моделью парадигмы динамического хаоса является система Лоренца [29,30] х = (т(-х + у) у = гх- у- XZ z = -bz + ху где а, г и b - параметры (чаще всего приводится следующий набор значений параметров: <т = -10, г - 28, b = 8/3). Аттрактор Лоренца показан на рис. 3.

Проекция траекторий на плоскость X,Z. Аттрактор соответствует «классическому» набору значений параметров а - -10, г = 28, b = 8/3.

В качестве классического примера хаотической системы с дискретным временем уместно привести - логистическое отображение [31 ] где а - параметр.

Теория динамического хаоса позволила предложить новый подход к некоторым сложным задачам, например, к проблеме турбулентности в гидродинамике. Прежде считалось, что для описания турбулентности нужны модели очень высокой размерности (примерно по два дифференциальных уравнения для каждой гармоники в спектре наблюдаемого сигнала). Достижения нелинейной динамики позволяют рассчитывать, что хотя бы в некоторых случаях сложное временное поведение может быть описано сравнительно простой математической моделью.

В настоящее время перед нелинейной динамикой ставятся задачи, связанные с поиском единых механизмов в нелинейных явлениях различной природы в физических, химических, биологических, социальных и прочих сложных системах. Однако, попытка осмыслить этот круг задач показала существенный пробел в методах анализа сложных нелинейных систем и в соответствующих теоретических представлениях.

Количество случаев эффективного использования на практике аппарата нелинейной динамики, разработанного в процессе развития двух описанных выше парадигм, сравнительно невелико. К таким случаям относятся эксперименты с исследованием простых электронных схем, хаотических колебаний в некоторых лазерах, некоторых простых сигналов в физиологии, отдельные, специальным образом организованные эксперименты в гидродинамике, и т.п. Попытки применения классических алгоритмов нелинейной динамики для исследования произвольно взятых временных рядов (например, результатов метеорологических наблюдений, сейсмограмм, экономических показателей) редко оказываются успешными.

Причина этого, по-видимому, заключается в следующем. Классические алгоритмы рассчитаны на использование совместно с традиционными разновидностями математических моделей (такими, как системы дифференциальных уравнений). В случае рассмотрения реально существующей сложной, необратимо развивающейся системы, требуется использование модели высокой размерности (десять и более).

Объём выборки, требуемой большинством алгоритмов, можно оценить как

N = N0x\Od, где d - размерность модели. Проблема заключается не только и не столько в экспоненциальном росте требований к объёму памяти и быстродействию вычислительных машин (объёмы памяти растут также экспоненциально [32], проблему быстродействия иногда удаётся решить за счёт распараллеливания вычислений), сколько в том, что в процессе эксперимента не всегда возможно накопить необходимое количество данных. Данный факт получил название «проклятия размерности».

Таким образом, возникла необходимость формирования новой, третьей по счёту парадигмы, которую можно определить как парадигму сложности [33]. На данном направлении требуется решить ряд задач, относящихся к области моделирования сложных систем. Перечислим задачи, рассмотренные в диссертации:

- разработка методов упрощённого описания сложных систем. Подобные методы ориентированы не столько на получение практических результатов (прогнозов, рассчётов и т.п.), сколько на достижение качественного понимания поведения системы (модели высокой размерности не обладают наглядностью).

- разработка методов моделирования систем, не имеющих удовлетворительного математического описания. Подобная ситуация имеет место, например, когда данные наблюдений неполны или не вполне достоверны.

- разработка алгоритмов численного моделирования сложных систем и решения базовых задач, а также простых моделей, на которых они могут быть апробированы.

Среди возможных областей приложения нового раздела нелинейной динамики особое место занимают описание и прогноз природных и техногенных катастроф, объяснение их природы, обеспечение устойчивости функционирования и развития крупных технических, социальных и экономических систем. Работы в этом направлении тесно связаны с концепцией управления риском (теорией риска и безопасности) [33,34,35], имеющей принципиальное значение для страны в её нынешнем состоянии.

Новизна проблемы и её междисциплинарный характер обусловлены тем, что техногенная цивилизация оказалась в новой для себя области параметров (к примеру, объёмы потребления ряда природных ресурсов сравнимы с их запасами, время, необходимое для изоляции некоторых видов отходов, сравнимо с продолжительностью геологических периодов, а экономический ущерб от техногенных катастроф сравним с бюджетом страны).

Здесь в гораздо более жёсткой постановке, чем в других областях, встаёт проблема выделения параметров порядка и управления сложной системой. Трудность заключается в том, что традиционные методы поиска параметров порядка подразумевают, что набор последних остаётся неизменным в течение всего времени рассмотрения системы. Однако, событие считается катастрофическим или опасным, если оно является непредсказуемым и/или экстраординарным (выделяющимся из ряда себе подобных), так что системы, «склонные к катастрофам», в «штатных» и «кризисных» режимах могут демонстрировать разный состав параметров порядка.

В диссертации рассматриваются задачи в рамках двух возможных подходов к упрощённому описанию сложных систем. Первый из них связан с использованием того факта, что сложная система, как правило, представляет собой иерархическую структуру. Зачастую, с точки зрения конкретной задачи интерес представляет происходящее на каком-то одном уровней иерархии. Влияние элементов других уровней может учитываться в виде слабого шума -флуктуаций. В частности, при рассмотрении экономической ситуации на предприятии флуктуациями могут считаться колебания курса валюты (пример влияния высших уровней иерархии) или производительности труда отдельных сотрудников (пример влияния нижних уровней). Отметим, что подобное описание приемлемо в случае, если подробности происходящего на других уровнях иерархии неизвестны.

Один из возможных классов задач, возникающих при рассмотрении нелинейных систем с шумом, связан с изучением бифуркаций в таких системах. В первой главе диссертации рассматриваются две подобные задачи. Первая состоит в определении зависимости статистических характеристик порождаемого системой временного ряда от степени близости к точке бифуркации. Вторая, обратная первой, заключается в определении положения точки бифуркации и проверке гипотезы о типе бифуркации по изменению статистических характеристик временного ряда.

Второй из рассматриваемых подходов к упрощённому описанию сложных систем основан на сочетании динамических и статистических методов и использовании неоднородности фазового пространства сложной динамической системы [33,36,37].

Основная идея данного подхода заключается в поиске областей фазового пространства, называемых руслами, в пределах которых существенные аспекты динамики системы могут быть описаны с применением меньшего количества переменных, чем требуется в общем случае или необходимо для полного, глобального описания. Отличие от традиционных методов выделения параметров порядка состоит в том, что маломодовое описание используется не на всём фазовом пространстве, а только в отдельных его областях. Кроме того, в каждом русле может (хотя и не обязан) быть свой набор параметров порядка.

В продолжение географических аналогий, истоком называется область входа фазовых траекторий в русло («начало» русла), а. устьем - область выхода («конец»).

Использование русел даёт возможность делать прогнозы для некоторых систем большой размерности, оказывающихся вне пределов применимости методов маломодовой нелинейной динамики. Однако, срок такого прогноза ограничивается размерами русла, а его точность - не только ошибками исходных данных и хаотичностью системы, но и ошибками, являющимися следствием упрощения системы.

Помимо русел, в фазовом пространстве выделяются так называемые области дэ/сокеров, в пределах которых либо адекватное маломодовое описание не представляется возможным вследствие сложности поведения системы, либо недостаточности данных для восстановления сложной многомерной динамики по причине редкого посещения области изображающей точкой. Для описания поведения системы в пределах областей джокеров более предпочтительно использование простых приближённых алгоритмов -вероятностных и/или эмпирических, определяемых из общих соображений. Такие алгоритмы называются джокерами.

В качестве пояснения можно привести следующий простой пример -элементарную модель процесса подъема-спада котировок акций на фондовом рынке [38]. Допустим, участники рыночного процесса в некоторый момент определяют положительный тренд чистой прибыли на акцию, что сказывается на ожиданиях и, как следствие, на котировках (цены акций повышаются).

Изменение котировок, в свою очередь, может увеличить тренд. В этом случае имеет место процесс с положительной обратной связью - взаимная прямая зависимость тренда и котировок усиливается (типичное движение вдоль русла). Далее, в некоторый момент, исчерпываются ресурсы развития и/или происходит осознание завышенности спекулятивных ожиданий (прогноз роста прибыли на акцию превышает реальный рост). Это приводит к снижению котировок, и положительная обратная связь может начать работать в противоположном направлении, то есть, происходит обвал. Наконец, при благоприятном развитии событий, рынок стабилизируется, и далее наблюдаются флуктуации котировок вблизи некоторого установившегося значения.

Другими словами, и в случае ситуации с нормальным, и с кризисным функционированием фондового рынка, ключевую роль играют такие параметры, как уровень ожиданий, уровень доверия [38]. В случае кризиса эти переменные могут меняться скачком, что и может быть описано с помощью джокера.

Таким образом, описание системы с помощью русел и джокеров представляет своего рода компромисс между динамическими и статистическими методами, наследуя, по возможности, точность первых и простоту вторых. С другой стороны, рассмотрение объекта в терминах русел и джокеров можно рассматривать как своеобразное применение техники асимптотического анализа. Именно асимптотические методы оказываются естественным аппаратом для синергетики и других междисциплинарных подходов [39].

Подход к описанию сложного поведения с помощью русел и джокеров приводит к двум следствиям. Первое из них - отказ от некоторых ключевых понятий нелинейной динамики. Например, для кусочного описания становятся неприменимы понятия аттрактора, его размерности, ляпуновских показателей и т.п. (впрочем, во второй главе диссертации показано, что это не всегда так).

Второе следствие - изменение взгляда на модели сложных систем вообще. Становится ясно, что для некоторых систем можно вместо единой модели использовать комплекс моделей, в зависимости от ситуации.

Кроме того, возникает ряд вопросов: например, вопрос оценки адекватности построенной вероятностно-динамической модели исходной системе, вопрос определения предсказательных возможностей модели, оценки точности и горизонта прогнозирования. Кроме того, можно поставить вопрос о возможности решения обратной задачи - задачи построения вероятностно-динамической модели на основе наблюдаемого поведения системы.

Во второй главе диссертации демонстрируется пример построения упрощённого, но адекватного описания системы со сложной динамикой методом русел и джокеров. В качестве объекта исследования используется сингулярно возмущённая система дифференциальных уравнений, представляющая собой одну из моделей популяционной динамики - модель Розенцвейга-Макартура трёхзвенной пищевой цепи. Кроме того, предлагается метод описания сингулярно возмущённых систем с помощью русел и джокеров.

Особую роль в теории риска и безопасности играет исследование явлений, связанных с редкими катастрофическими событиями. Один из классов подобных явлений связан с жёсткой турбулентностью - возникновением редких пространственно-локализованных пиков гигантской амплитуды на турбулентном фоне [34,40,41].

Для систем с жёсткой турбулентностью типично поведение по следующей схеме. Большую часть времени система демонстрирует наличие небольшого набора параметров порядка, эффективно описывающих её эволюцию. Однако, время от времени поведение системы резко усложняется: возникновение пика невозможно предсказать, отслеживая параметры порядка фоновой динамики. Состав набора параметров порядка меняется со сменой стадий (фоновая динамика, рост пика, распад пика).

Жёсткая турбулентность характерна для многомерных задач, рассматривающих среды с кубической нелинейностью. Однако, повысив степень нелинейности, её можно наблюдать и в одномерных задачах. Подобное упрощение используется для достижения качественного понимания явления и уменьшения объёма вычислений в численных экспериментах.

Принципиально важный уровень понимания жёсткой турбулентности удалось достичь благодаря появлению предложенной Ершовым простой конечномерной модели, представляющей собой трёхмерное отображение [34,40,41]. Главной особенностью этой модели является возможность её детального аналитического исследования.

В третьей главе диссертации рассматривается проблема построения простой модельной системы, воспроизводящей качественные особенности поведения системы Ершова, работающей в режиме жёсткой турбулентности (внутреннее устройство системы скрыто), по результатам наблюдения только одного из трёх временных рядов.

В перечисленных условиях (неоднородность фазового пространства, неполнота доступной информации, изменение состава параметров порядка) невозможно построить динамическую модель, в точности воспроизводящую поведение исходной системы, но метод русел и джокеров выглядит естественным инструментом для решения поставленной задачи. Построенная с его использованием система по своим динамическим и статистическим характеристикам соответствует исходной.

Таким образом, показано, что метод русел и джокеров может успешно использоваться для моделирования редких катастрофических событий и способен стать эффективным инструментом теории риска и безопасности.

Основные результаты диссертации

1. Разработан метод решения обратной задачи - задачи определения положения точки бифуркации и типа бифуркации на основе временного ряда, порождаемого динамической системой с малым шумом и медленно меняющимся бифуркационным параметром. Для надкритической бифуркации типа «вилка» получена точная зависимость плотности распределения временного ряда и его дисперсии от бифуркационного параметра и характеристик шума.

2. Предложен метод построения упрощённой (модельной) системы пониженной размерности, воспроизводящей основные черты поведения сингулярно возмущённой системы нелинейных дифференциальных уравнений с хаотическим поведением (модели Розенцвейга-Макартура), на основе теории русел и джокеров. Введён новый тип джокера, позволяющий анализировать количественные характеристики динамического хаоса.

3. Показана возможность применения метода русел и джокеров для решения обратной задачи - построения модели наблюдаемой системы с жёсткой турбулентностью в условиях неполноты доступной информации. Представлена простая система русел и джокеров, воспроизводящая поведение отображения Ершова.

3.5 Заключение

В данной главе рассмотрен пример построения модели системы с жёсткой турбулентностью в условиях неполноты доступной информации. Задача решена с применением метода русел и джокеров.

Исходные данные представляют собой один из трёх временных рядов, порождаемых трёхмерным отображением Ершова (3.5). Характерной особенностью наблюдаемого временного ряда является наличие длительных промежутков хаотической динамики, чередующихся с сильными выбросами (экспоненциальный рост, сменяющийся экспоненциальным спадом). В качестве главного показателя соответствия системы русел и джокеров исходной системе выбрано сходство распределений максимумов пиков и длительностей межпиковых интервалов порождаемых временных рядов.

Предложена схема, включающая два русла, Q и С2, и два джокера, Ji и J2. Уравнения русел описывают экспоненциальный рост и спад. Области русел совпадают, поэтому оговаривается, какое из русел в данный момент считается действующим.

Джокер Ji отвечает за моделирование фоновой динамики и за переключение между различными типами динамики. Фоновая динамика моделируется путём случайного отображения области джокера на себя (используется равномерно распределённая случайная величина). Выброс начинается в результате перевода джокером изображающей точки в исток русла Ci (после этого русло Q считается действующим). Спад заканчивается после достижения изображающей точкой, следующей в русле С2, области джокера Ji. Область джокера смежна с областью русел.

Джокер J2 представляет собой вероятностное правило определения момента перехода от роста к спаду, то есть, в результате его срабатывания русло Ci перестаёт, а русло С2 начинает считаться действующим. Для формирования требуемого вида распределения максимумов пиков оказалось достаточно задаться постоянной вероятностью срабатывания джокера на каждой итерации. Область джокера совпадает с областью русел.

Следует подчеркнуть две особенности предложенной схемы. Во-первых, она предусматривает совпадение областей русел и джокеров, и в этом смысле представляет собой дальнейшее развитие схемы, предложенной в [94]. Во-вторых, в отличие от предлагавшихся ранее схем, наибольшую часть времени изображающая точка проводит не в области русел, а в области джокера.

В дальнейшем возможна доработка джокера Ji с целью более точного моделирования фоновой динамики - воспроизведение распределения значений наблюдаемой величины и её функции автокорреляции. Также возможно рассмотрение более сложной задачи, когда для наблюдения доступны две переменные из трёх, х и у. В данной ситуации требуется не только обеспечение заданного вида распределения для каждой переменной, но и соблюдение соотношения между параметрами распределений. Также возникает необходимость учёта распределения запаздывания выбросов по переменной у относительно выбросов по переменной * и, возможно, функции кросс-корреляции переменных в межпиковой фазе.

1. Хакен Г. Синергетика. -М.: Мир, 1980. - 406 с.

2. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур : сб. науч. тр. / отв. ред. акад. И.М. Макаров. -М.: Наука, 1998. -255 с.

3. Хакен Г. Информация и самоорганизация: макроскопический подход к сложным системам. -М.: Мир, 1991. 240 с.

4. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Избранные труды А.Н. Тихонова: сб. науч. тр. / отв. ред. A.M. Денисов, В.И. Дмитриев. -М.: МАКС Пресс, 2001. 485 с.

5. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. -М.: Наука, 1985. 327 с.

6. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. -М.: Мир, 1985.-254 с.1: Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. -М.: Наука, 1974. -179 с.

7. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. -М.: Наука, 1966. 568 с.

8. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1974. 320 с.

9. ЭрроусмитД., ПлейсК. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. -М.: Мир, 1986. 243 с.

10. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.JI. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1976. 384 с.

11. ЙоссЖ., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. -М.: Мир, 1983.-300 с.

12. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. Динамические системы. -М.: ВИНИТИ АН СССР, 1986. №5. - С. 5-219.

13. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. -М.: Мир, 1991. 368 с.

14. ХолодниокМ., КличА., КубичекМ., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. -М.: Мир, 1991. 366 с.

15. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. -М.: Мир, 1980. 368 с.

16. ХэссардБ., КазариновН., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. -М.: Мир, 1985. 280 с.

17. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. -М.: Мир, 1988. 253 с.

18. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1974.-331 с.

19. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1980. 231 с.

20. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. -М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

21. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров.-М.: Мир, 1990.-311 с.

22. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. -М.: Мир, 1991. 237 с.

23. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Меркурий-Пресс, 2000. 536 с.

24. Малкин И.Г. Теория устойчивости и движения. -М.: Наука, 1966. 530 с.

25. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М.: Наука, 1987.- 305 с.

26. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. -М.: Мир, 1964. 168 с.

27. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. -М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 544 с.

28. Странные аттракторы : сб. ст. / ред. Я.Г. Синай, Л.П. Шильников. -М.: Мир, 1981.-253 с.

29. Sparrow С. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. -New York: Springer-Verlag, 1982. 269 p.

30. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Ч. 1. Описание процессов в живых системах во времени. -Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 232 с.

31. Moore G.E. Cramming more components onto integrated circuits // Electronics.- 1965, 19 April.-Vol. 38.-№8.-P. 114-117.

32. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза// Вестник Российской академии наук. 2001. - Т. 71. - №3. - С. 210-232.

33. Малинецкий Г.Г. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика. -М.: Наука, 2000.

34. Будущее России в зеркале синергетики : сб. ст. / ред. Г.Г. Малинецкий. -М: КомКнига, 2006. 272 с.

35. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Русла и джокеры: о новых методах прогноза поведения сложных систем. Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 1998. - №32.

36. Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогноз // Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователей / под ред. Г.Г. Малинецкого. -М.: УРСС, 2005. С. 374.

37. Сорос Дж. Алхимия финансов.-М.: Инфра-М, 1996.-415 с.

38. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. -М.: УРСС, 2004. -304 с.

39. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: УРСС, 2002. 360 с.

40. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. -М.: УРСС, 2006. 280 с.

41. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. -М., Наука, 1997. 255 с.

42. Кузнецов С.П. Динамический хаос. -М.: Физматгиз, 2001.

43. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. -М.: УРСС, 2006. 240 с.

44. Кравцов Ю.А., Бильчинская С.Г., Бутковский О.Я., Рычка И.А., Суровяткина Е.Д. Предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2001. -Т. 120.-Вып. 6(12).-С. 1527-1534.

45. Kravtsov Yu.A, Bilchinskaya S.G., Butkovskii O.Ya., Rychka I.A., Surovyatkina E.D. Prebifurcational Noise Rise in Nonlinear Systems // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2001. - Vol. 93. - №. 6. - P. 13231329.

46. Малинецкий Г.Г., Подлазов A.B., Кузнецов И.В. О национальной системе научного мониторинга. Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 2004. - №47. - 33 с.

47. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. -М.: Мир, 1979.-512 с.

48. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. -М.: Прогресс, 1986. 432 с.

49. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. -М.: УРСС, 2003. 283 с.

50. Wiesenfeld К. Virtual Hopf phenomenon: A new precursor of period-doubling bifurcations// Physical Review A. 1985, September. - Vol. 32. - №3. - P. 1744-1751.

51. Kravtsov Yu.A., Surovyatkina E.D. Nonlinear saturation of prebifurcation noise amplification // Physics Letters A. 2003, 8 December. - Vol. 319. - Issues 3-4.-P. 348-351.

52. Surovyatkina E. Prebifurcation noise amplification and noise-dependent hysteresis as indicators of bifurcations in nonlinear geophysical systems// Nonlinear Processes in Geophysics. 2005, 13 January. - Vol. 12. - №1. - P. 25-29.

53. Juel A., Darbyshire A.G., Mullin T. The effect of noise on pitchfork and Hopf bifurcations// Proceedings of the Royal Society of London A. 1997, 8 December. - Vol. 453. - №1967. - P. 2627-2647.

54. Surovyatkina E.D. Rise and saturation of the correlation time near bifurcation threshold// Physics Letters A. 2004, 23 August. - Vol. 329. - Issue 3. - P. 169-172.

55. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. -М.: Мир, 1980. 607 с.

56. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. -М.: Наука, 1996. 398 с.

57. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. -М.: Наука, 1976. 496 с.

58. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.

59. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Бином, 2003. 632 с.

60. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. Среда из невзаимодействующих частиц. -М.: Наука, 1973. 352 с.

61. Федорюк М.В. Метод перевала. -М.: Наука, 1977. 368 с.

62. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.-286 с.

63. ISO/IEC 19501:2005. Information technology Open Distributed Processing -Unified Modeling Language (UML) Version 1.4.2. - 2005, 13 April. - 432 p.

64. Unified Modeling Language Specification: Version 1.4.2: formal/05-04-01 электронный ресурс. / Object Management Group. 2005, January. - Режим доступа: http://www.omq.orq/cqi-bin/apps/doc7formal/Q5-04-01.pdf. свободный.

65. Фаулер М., Скотт К. UML в кратком изложении. Применение стандартного языка объектного моделирования. -М.: Мир, 1999. 191 с.

66. Чернавский Д.С., Щербаков А.В., Соловьёв С.А., Зайцев С.В. Математическая модель деятельности малого инновационного предприятия. Явление «скрытого» банкротства. Препринт/ Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 2001. - №82.

67. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. -М.: Высшая школа, 1990. 207 с.

68. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. -М.: Наука, 1975. 248 с.

69. Deng В. Food chain chaos due to junction-fold point// Chaos. 2001, September. - Vol. 11. - №3. - P. 514-525.

70. Deng В., Hines G. Food chain chaos due to Shilnikov's orbit// Chaos. 2002, September. - Vol. 12. - №3. - P. 533-538.

71. Deng В., Hines G. Food chain chaos due to transcritical point// Chaos. 2003, June.-Vol. 13.-№2.-P. 578-585.

72. Deng B. Food chain chaos with canard explosion // Chaos. 2004, December. -Vol. 14.-№4.-P. 1083-1092.

73. Шильников Л.П. Об одном случае существования счётного множества периодических движений// Доклады Академии наук СССР. 1965. - Т. 160.-№3. - С. 558-561.

74. Шильников Л.П. О существовании счётного множества периодических движений в четырёхмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса // Доклады Академии наук СССР. 1967. - Т. 172. - №1. - С. 54-57.

75. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус// Математический сборник. -1970. Т. 81. -№1. - С. 92-103.

76. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. -М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 559 с.

77. Белайчук JI.B., Малинецкий Г.Г. Проделки джокеров на одномерных отображениях. Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 1997. - №24. - 29 с.

78. Чернавский Д.С. Синергетика и информация (динамическая теория информации). -М.: УРСС, 2004. 288 с.

79. Найфэ А.Х. Методы возмущений. -М.: Мир, 1976. 456 с.

80. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. I. 4-е изд. -М.: Наука, 1990.-528 с.

81. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981.-398 с.

82. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. -М.: Наука, 1981.-487 с.

83. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. -М.: УРСС, 2004.-235 с.

84. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. -М.: Наука, 1985.- 181 с.86. de Roos A.M. Modeling Population Dynamics. -Amsterdam: Institute for Biodiversity and Ecosystem Dynamics (University of Amsterdam), 2004. 164 P

85. Одум Ю.П. Экология. В 2 т. Т. 1. -M.: Мир, 1986. 326 с.

86. IzhikevichЕ.М. Neural Excitability, Spiking and Bursting// International Journal of Bifurcation and Chaos.-2000.-Vol. 10.-№6.-P. 1171-1266.

87. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. -М.: Мир, 1986. -148 с.

88. Rossetto В., Ginoux J.-M. Singular Manifolds and Attractors Structure in Predator-Prey models электронный ресурс. / Universite du Sud Toulon-Var, France.- Режим доступа: http://rossetto.univ-tln.fr/Recents/5inqular%20Manifolds.pdf. свободный.

89. Rossetto В., Lenzini Т., Ramdani S., Suchey G. Slow-Fast Autonomous Dynamical Systems// International Journal of Bifurcation and Chaos. 1998. -Vol. 8.-№11.-P. 2135-2145.

90. Ramdani S., Rossetto В., Chua L.O., Lozi R. Slow Manifolds of Some Chaotic Systems with Applications to Laser Systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. - Vol. 10. - №12. - P. 2729-2744.

91. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. -1957.-Т. 21.-С. 605-626.

92. Зульпукаров М.-Г.М., Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Метод русел и джокеров на примере исследования системы Розенцвейга-Макартура.

93. Препринт / Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -М., 2006. -№21. -32 с.

94. Taylor K.J., Deng В. Chaotic attractors in one-dimension generated by a singular Shilnikov orbit// International Journal of Bifurcation and Chaos. -2001. Vol. 11. - №12. - P. 3059-3083.

95. АхромееваТ.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. -М.: Наука, 1992. 544 с.

96. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. -Berlin: Springer-Verlag, 1984.- 156 p.

97. Aranson I.S., Kramer L. The world of the complex Ginzburg-Landau equation // Reviews of modern physics. 2002, January. - Vol. 74. - P. 99-143.

98. Thejappa G., MacDowall R.J. Evidence for Strong and Weak Turbulence Processes in the Source Region of a Local Type III Radio Burst// The Astrophysical Journal. 1998, 1 May. - Vol. 498. -№1. - Part 1. - P. 465-478.

99. Thejappa G., MacDowall R.J. Ulysses Observations of Nonlinear Wave-wave Interactions in the Source Regions of Type III Solar Radio Bursts // Journal of Astrophysics and Astronomy. 2000, September, December. - Vol. 21. - №3, 4.-P. 447-450.

100. Сухарев Ю.И., Кострюкова A.M. Жесткая турбулентность в гелевых оксигидратных системах циркония// Известия Челябинского научного центра. 2006, январь-март. -№1(31). - С. 71-74.

101. Iwasaki Н., Toh S. Statistics and structures of strong turbulence in a complex Ginzburg-Landau equation// Progress of Theoretical Physics. 1992, May. -Vol. 87. - №5. - P. 1127-1137.

102. Пугачёв B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Наука, 1979.-496 с.