автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Непараметрические методы выделения полезного сигнала и спектрального оценивания при неполной информации в прикладных системах анализа случайных процессов

?ГБ ОД

1 О МАР 1997

На правах рукописи

Кулешов Евгений Львович

НЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА II СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ В ПРИКЛАДНЫХ СИСТЕМАХ АНАЛИЗА СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

05ЛЗЛ6 - применение вычислительной техники, математического моделировании н математических методой в научных исследованиях (техника)

Автореферат, диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Владивосток 1997

Работа.ышолкзна в Дальневосточном государственном университете и в Институте автоматики и процессов управления.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Г.Я.Волошин доктор технических наук, профессор Л.Н.Иванов . доктор физико-математических наук Г.Ш.Цициашвили

Ведущая организация

Хабаровский государственный технический университет

на заседании Специализиров 01

в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 6Э0041, г.Владивосток, уд. Радио 5.

С диссертацией ткно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан " " 1997г.

и

ЧЕС.

Ученый секретарь Специализированного совета д.т.н., профессор

Б.И.Коган

ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Лт^уплитост^п^сбле^к Метода оценивания статистических характеристик случсйтх процессов составляют основу экспериментальных исследований го !'.iiori;--c областях науки и техники. Важнейшими характеристиками для приложений являются математическое ожидание -

- л"я нестанлопаршх случайных процессов и спектральная плотность -

- для стацпонаршх процессов, позволяющие изучать экспериментальные дггтае, хзр<зктэр1!зук.:5;еся наличием как медленных (систематических) 1:с:.-/;пг:глй, то; и бистрих фдугстуаций. К таким данным относятся: рит!.:огрэ!А'а, представлявшая собой последовательность интервалов времени кедцу сокращениями ссрдца я отражающая функциональное состогтае сердечно-сосудистой систем; человек?; средние годовие значения гогчзратуры воздуха для даяпсЯ местности; средние годовые знтекия чисел Вол-*.э, отракэвпдае вптисиость Солнца; кортикальные пробили тмшературы, солености в океане; интенсивность радиосигнала, подверженного помехам; îïsysHôiaui параметров непрерывного технологического процесса, и т.д.

Большое сначепие для приложений оценок нате>!?т!пеского отдания и спсктралкгой пясгкостп обусловлено, главка! образом, их слелгглз'! гл сзсйствг!.«: ош имзкт очевидную интерпретацию и ло.-год.™т подучат* епкеател^-иую статистику; применяются

для построения математических моделей йсследуе»с.х процессов; помогяот определить, какой дальнейший екздиз ксжет быть полезен.

Пробдетл сцс1г.:пг,::;'я математического ояетдэнил нестационарного случангого г.'рссессч нсвестиа в литературе r.?.ï. пкделеете потаэнсго сигнала, :,;.'деле:т?с трс-.^да, егл'гззг^гпя) слуггГкого процесс и прзд-ставдяот кс тсль::э ссмостоятслыл-й шпорес, но и пне.-» значение для оценивания многих других статистических характеристик случайш;: процессов, h спредс.«"Ш! которых га/естся оператор математического о'шднпмя. Тек, ецзпка узтоматического ояидзкия нестационарного случайного прсц»сса :î еоотзегстгутсетх чзстннх случаях сводится к оценивании сродного, д/'снерсга, ковзриацно;шой функшш стационарного случайного процесс? и другим задачам. Оценивание спектральной плотности стацисп} ного процесса также является частным случаем оценивания млтека'пгт"оокого. ожидания нестационарной случайной Фунштни. Однако, особенности корреляционных свойств периодограммы приводят к необходимости рассматривать спектральный анализ как отдельную п р с о е " у.

Применение известных методов статлстшсн случайных процессов для оценивания математического оаэдашш нестационарного процзссз и спектральной плотности стационарного процесса приводит к трудностям, когорыз обусловлены сзойсгващ решений, получаемых в статистике случайных процессов. Во-первых, критер1ш оптимальности, такие как максимального правдоподобия, максимума апостериорной вероятности, байесовские и другие, приводят к алгоритмам оценивания, применение которых требует знания статистических характеристш: исследуемого процесса, обусловленных типом критерия, и . обычно априори неизвестных. И во-'вторых, статистика случайных процессов определяет оценки и исследует их свойства на реализациях большой длительности. В приложениях экспериментальные дакшэ чаще всего представлена одной или, в лучзаем случае, несколькими коротмэш реализациями. Поэтому в прцялодкси статистической анализе существуют проблемы оцэшшанил ыатеыатячаского оявдзшш нестационарного случайного процосса в условиях кзполной апркорной информации и оценивания спектральной плотности стационарного случайного процесса по коротким реализациям.

Для решения этих проблей в прикладных исследованиях применяют различные неоптималькые метода оценивания, основашка на замене статистического среднего на взнеаопноз сроднее по времени или на среднее по псевдоансамблю. Эти метода моашо разделить на параметрические и нелараызтрлчоские. Параметрические методы основаны на применении математической модели исследуемого процесса, заданной с точностью до параметров, и вычислении оценок параметров. В jToii направлении для оценивания математического оиидания получен ряд существенных результатов, основанных на;

¿7 представлении иатеиатического оиидания лилейной комбинацией линейно независимых функций и дальнейшем. оценивании коэффициентов линейной комбинации;

аппроксимации среднего полиномом некоторой степени и последующей оцешгэ степени и коэффициентов полинома ;

- аплро:<с:агац!ш среднего лакейшми, квадратичными или кубичными сплайнами, гнборе длины отрезка, нэ которой среднее представлено полиномом перзого, второго шгк " третьего порядка и оценивании параметров полинома;

- применении скользящего метода нашоньиях квадратов.

Параметрические метода сцеш&агшя спектральной плотности стационарного процесса основаны на продстаЕлеюш наблюдаемого процесса

иодзлыэ ааторогрсс-л5{-скояьза^его среднего, э тгла-е предс?8глешш полезного сигнала raiiüHOS нокоинацаеЗ гармонических функций. Из суцестЕг:ап-гс результатов а этом направлении следует отмстить:

рокуррентиио алгоритмы оценивания параметров процесса авторе грессш;

- i/QTo;"i оценивания ¡гордая процесса звторегрессии-скользяцего среднего н его паренотроз;

- спектральшо оценки максимальной энтропии и максимального правдоподобия;

- методы оценив они я частоты гармонического сигнала на фоне аддитивной помехи . па оснопз анализа собственных значений корреляционно?*; матрица.

Непараметрическиэ метода оценивания среднего нестационарного случайного процесса основзга на процэдурэ сглакипания наблюдаемого процесса с применением Басовых функцкй (сглахивавдих окон). Аналогично начисляются' яспаремзтрические оценки спектральной плотности стационарного процесса путем сглаживания периодограьзш спектральным окном. Наиболее значительные результата в этом направлении:

- разработка злакспгрзчешшх сглахявавядах окон как для оценки среднего нестационарного процесса, так и для оценки спектральной плотности стагс'снарного процесса;

разрсбет^г, сп^'^тролшцх cmciic'ic кз основе сойд&шля

псоБдоаисгиблк рзалголзЯ с их чземгпэа перекрытием.

Веяные результат:: г этой области получена в работах Рсманенко Л.Ф., Сергегг.з Г.Л., Кглпковэ E.H., Сосулшю Ю.Г., Лившица К.И. .Восксбойгатова 10.Е., Вилегаашо С.Л. , Алексеева В.Г., Ечсаретко В.v., Гурйзп».© 'Л.Г. ^ Значительно вклад в разработку проблем Енесдч sapyöevsa® исследователя; Рагзеп Е., bacoss R.T., I'&rplc- S.L., Eurg J.Р., Jsnltina G.H., Kay S.M,, Anderson N., Akaike JI., Kuttall A.H., Ulrich S.J., Capon J., Сое Н. и другие авторы.

Несмотря на значительное число теоретических работ, выполняемых в 8тем направлении, изгстккз разработки как в пределах параметрического, тс.к и г.зпарглетрлчоского подходов, во многих случаях не обеспечивают потребности практики. Так, в параметрическом подходе оценки порядка модели имеют слнекои большую среднеквадратическув оп«5ку. Относительно спектральных оценок в работе Алексеева В.Г. отмечается, что нзпаргметрическое оценивание спектральных плотностей случайных процессов является большим искусством, а в рэбстс К:-утла С. Л. сказано, что практика применения методов

спектрального оценивания-с использованием конечных наборов данных в значительней мерз основана на опыте исследователя и из сводится к использованию точно заданных алгоритмоз. Эти же замечания справедливы и для оценок математического ожидания нестационарного случайного процесса.

Основные нерешенные вопроси непараметрического оценивания математического ожидания нестационарного случайного процесса заключаются в следующем*

- сглаживающее окно удовлетворяет ряду ограничений, . которые задают не единственную функцию, а множество функций, в пределах которого сглаживающее окно однозначно на определяется;

- выбор ширины и форш окна из формализован, основан, на опыте исследователя;

- оценка среднего, как правило, имеет значительное смещение в области локальных экстремукоз среднего;

- форма к ширина окна задаются перед анализом и не адаптируются к изменению свойств среднего и шума.

Этим объясняется большое число различных сглаживающих окон, применяемых в прикладных исследованиях для оцзнивакил среднего нестационарных случайных процессов. Произвол в выборе сглаживающего окна может быть связан со значительными ошибками.

Нзпараметрическое оценивание спектральной плотности такте имеет нерешенные вопросы, подобные возникающим при- оценивании среднего нестационарного случайного процесса. Основные из них:

- неудовлетворительное разрешение спектральной оценки при анализе коротких реализаций;

- практическая неприменимость решений, основанных "на критериях оптимальности*

- отсутствие рекомендаций однозначного Быбора ширины и формы спектрального окна.

Условием успешного применения . процедуры. сглаживания для оценивания математического ожидания нестационарного процесса является существенный сдвиг по частоте спектра помехи относительно спектра полезного сигнала, выраясаюдайся также и в том, что полезный сигнал - относительно медленная функция, а помеха - быстро изменяющаяся, или в том, что интервал корреляции помехи значительно меньше времени характерного изменения полезного сигнала. Задача оценив а осложняется с увеличением степени перекрытия спектров полезного сигнала и помехи. Для оценок спектральной плотности

стзцконар-^то npcncssa это ''слоЕио соответствует уыэньпешю длительности рзпллссц;;;:, что обусловлено i ; о рр о лл с ! с га свойствами пернодогрг.нуц.

Таюл образом, актуальна является развитие непаракетрических методов сцэкгаання среднего нестационарного случайного процесса с таизяесгагиа, чястичго пор^крывакцилгся спектр?.!« полезного сигнала и помзхи и оценивания спектральной плотности стационарных случайных процессов ira коротких rviopTCSt.

Цзльи дггссертагсонной рсботя является разработка пепарзцс-трч-чосгшх методов гадодекля полезного сигнала и помехи с неизвестными, частично ттзрекрываггдасгея спэг/гркгк * и непэрсиетричзских методов сп-гктрзлького ецегетзпяя по коротким реализация«, обеспетивакстс сникэккэ сродног.а?драт?поскйх ставок по равнению с известила Ц8ТОД8»31» a ПрЯКСКГСЮ-ПХ для ропзкгк ЯрЯКЛР.ГГСПС проблем П ».'5Д1ПГПК и скеакслоли.

Для дост;гге^пн поставленной ют з диссертациоштоЗ работа иэобходга'о (Зато регпть. сл?дтн2гз заязтя.

1. Р2гр:5отптп метод ея?:плгапяя ызтенптического ояидення неста-гсоззриого слу-ге.^дагэ л^пр^ся с сгзтавгстпяя, частично псрэкрагзз-г.т."гасл сггэг.тр'пг" полезного сшюса л по>кзн пря уютю,-нл>. кем сп^г.трс го^ззного -;г:тала.

2. Г\-г.ргс'г;ч.т;> гтзтод гсяс-р;%'ЭТ]/.г»еск1|х CiWiîïxWîhijH* с;гпсг. с г:':;с"-'м из l'.cpornir рззет^сппггх.

П. Росробзтг;"/-. ОГ.ТИ? З.ГЫЪЗ ПС ".ГКГ-МЛЬРТй Срв^ТйеКЗагрйТаЧвСКСЙ о~£бг.-з спзктрзлыгх от^тгаг.

4. Рзсрзботгть :;лг~рп;з! «-.анксгэпяа сдогок математического е:':;;дп-;;; прптг'Плонйуног.:? случгЯчого- пресса с ко-гзрсстными, nscnrœo псрекра2Ег^г.:.''.ся спектр-»л! полезного сигнала и помехи и сцеютзгшя сиектральгтоз плотности стационарного процесса по коротка: резлизэциш.

5. Вчподш:ть моделирование на ЭЕМ разработанных оценок среднего псстационг.рнсго с.тутг.Люго процесса, оценок спектральной плотности стгцгспэрного процесса и сравнить ' результата моделирования с результатам теоретического анализа этих сцепок.

6. >!споль?ов»ть полугекные результаты для ревегам следующих прилюдных проблей: дгя разработки и создания функцкенально-диагно-стическсго ксгалокса * на основе анализа сердечного ритма; для выделения тонкой структуры вертикальных профилей температуры в с:-.са::з и оцегс'лзоплл сгоятрзлшсй плотности тонкой структуры; • для

анализа процесса выроздекия микроструктуркых неоднородностей температуры в годности.

Новые научные результаты диссертационной работы.

1. Метод оценивания математического ожидания нестационарного случайного процесса с неизвестными, частично перекрывающимися спектрами полезного сигнала и помехи при унимодальном спектре полезного сигнала.

2. Точные выражения для ковариации конечного преобразования Фурье и периодограммы стационарного случайного процесса на .коротких реализациях.

3., Метод построения непараметрических спектральных оценок с высоким разрешением.

4; Оптимальные по минимальной среднеквадрзтической ошибке линейные спектральные и корреляционные оценки,

5. Метод оценивания интервала корреляции с применением сглаживающих окон.

Практическая ценность результатов, полученных в диссертационной работе.

Разработан программно-аппаратный комплекс для оценки функционального состояния сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа сердечного ритма.

Разработано программное обеспечение для обработки вертикальных профилей температуры и солености в океане.

Разработаны программы прикладного анализа случайных процессов, реализующие алгоритмы: оценивания математического ожидания: нестационарного случайного процесса; декомпозиции случайного процесса на квазигармонические компоненты; - вычисления непараметрических спектральных оценок с высоким разрешением на коротких реализациях; оценивания интервала корреляции с применением 'сглаживающих окон.

Процедура декомпозиции случайного процесса позволяет создавать адекватную математическую модель исследуемого процесса. По результатам работы получено два патента.

Результаты работы применялись в прикладных исследованиях: - для создания автоматизированного комплекса оценки функционального состояния сердечко-сосудистой системы человека на. основе анализа сердечного ритма;

для выделения тонкой структуры вертикальных профилей температуры и солености в океане и оценивания спектральной плотности тонкой структуры;

для исследования процасса шрсгщэная ыпкроструктурннх неоднэродяосгэй- температуры э воде и оцснивашя пвран^грсв процесса выроздения;

- для декомпозиции средних вертикальных профилей гидрофизических полей в океане и вычисления' признаков в задачах районирования гидрологической обстановки;

- для разделения региональных и локальных компонент геофизических полей в задачах геологии;

- лля анэлнзз и классификации акустических сигналов, отраженных от дна океана на болида глубинах.

Разработанные алгоритмы и прогрвгам оцекива:з!Я статистических характеристик случсйшх процессов применялись для репетш ряда прикладных задач_ в сдчдуюздх организациях: в Государственном оптическом институте им. Вавилова, г. Сшткг—Петербург; в объединении "¡,р;гмгеология"; о Тихоокеанском океанологическом институте ДВО РАН; з Тихоокеанском институте географа ДВО РАН; .в Главном госпитале Тихоокеанского флота: в Институте физиологии н патологии дыхания СО Р/.'.Ы; в Дальиеьссточнсм ьнсзем юг'нсрнсм. морскск ушлите; в Городской клиничэсксЗ больнице • N2 г. Владашостока; в Далыкносточпсу техпо/^пэтоском центре. Результаты дассвртацкснясй рзботя применялись для исследований по темэн трех канвддзтскш: дпсезрт8т<й, в утобнсм происсо* на Сязическом факультете Дсль-».•кгссточшго гос.7':::г--рсз:тета, для ийсяодоввлия по темам хоэчого-роркх и гссбгоркстпс: :1зушо~!:ссдздова5.-зльскпх работ.

Сс1гстуио реяу.'^тягп л гга.'с~;ш!я, ппсокигиз па ззцату.

1. У.-гхом. ецзшшгьяя "азекгтичзского охлда;п;я нестационарного случяй.чого процесса с и-глз?есттаи, частично пэреяризаэдгаася

голзгзд ••> -.¡»тнзла я пс»х-зха при уетюдальнем спектре полезного сигнала.

2. Точные выражения дчп ксвэриащи конечного преобразовав:« Фурье и порчодегрг.х'ы стационарного случайного процесса на коротких реализациях.

3. Метод пос"роглп?я нопарсг:етр1гюских спектральных оценок с высоким разрешением.

4. Соотношения, определяющие оптимальные по' минимальной среднеквадратическоД ошибке линейные спектральные и корреляционные оценки.

5. Метод оценивания интервала корреляции с применением сглаживавших окон.

Апробация результатов работы. Материалы диссертации были представлены на

Меквузовской конференции по применению вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях, 1980г., г. Алма-Ата; Всесоюзной конференции "Перспективные метода планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов",' 1982г., г. Нальчик; 4 Всесоюзной конференции "Проблемы научных исследований в облэсти изучения и освоения мирового океана", 1983г., г. Владивосток; Second IFAC Symposium on stochastic control, 1986, Vilnius; 4 Всесоюзной семинаре по аиорфному магнетизму , 1986г., г. Владивосток; 31 Всесоюзной меаузовской научно--технинеской конференции, 1983г., г. Владивосток; 32 Всесоюзной межвузовской научно-технической конференции, 1989г., г. Владивосток; 33 Всесоюзной межвузовской научно-технической конференции, 1990г., г. Владивосток; Всесоюзной научно-технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов", 1991г., г. Новосибирск; 5 Всесоюзной конференции "Аморфше прэцизионше сплавы: технология, свойства, применение", 1991г., г. Ростов. Великий; Всероссийской конференции с мевдун&роднкм представительством "Акупунктура и традиционная медицина", 1992г., г. Владивосток; 35 Всероссийской ыеивуэовской научно-технической конференции, 1992г., г. Владивосток; научно-практической конференции "Здоровье и болезни человека на Дальней Востоке", 1993г., г. Владивосток; Всероссийской научно-методической конференции "Компьютерные технологии в высшем образовании", 1994г., г. Санкт-Петербург; ;Все-российской конференции "Проблеш современных материалов и технологий производства наукоемкой продукции", 1993г., гг Пермь; 37 Всероссийской ыеавузовской научно-технической конференции, 1994г., г. Владивосток.

Публикации и личный вклад автора. Ыатералы диссертации опубликованы в 40 работах. Во всех, работах автору принадлежат постановка задачи, разработка алгоритмов оценивания статистических характеристик случайных процессов, исследование точности оценок.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка литератур«, включающего 312 наименований, двух приложений; содержит 267 страниц текста и 25 рисунков. В приложении I представлены доказательства некоторых утвеждешй и соотношений; в приложении 2 представлены два патента, полученные по результатам выполненных исследований, и акты о

плтэдрешш рэзудьтатоз дйзсерт&цяски;;г1 работа.

ОСНОВНОЕ СОДЕРКАКЕ РАБОТЫ

Во з в е д е я к и рассмотрена актуальность темы диссертационной работа, определены цель и задачи исследования, представлены новые научные результаты и результаты, выносимые на эациту, отмечена практическая ценность, 11риведекц данные об апробации работы, публикациях и структуре работа.

Первая глава содержи обзор проблем, связанных с практически!.: применением- известных методов оценивания математического соа!да!с.я нестационарного случайного процесса и методов непзра-метричзег.ого оценивания спектральной плотности стационарного случайного процесса.

В I.I рассмотрена примеры прикладных проблем, в которых возникает необходимость рекения задач оценивания математического озидания нестационарного процесса и спектральной плотности стационарного процесса с особенностями в постановке, сформулированными з виде следующих услсзий. Для задачи оцэюгвания матояидания: наблюдаемый процесс представим суммой полезного сигнала и помехи с нулевым средним; периферические части спектров полезного сигнала и jtowtw, ttfi?c прчччло, супестрйчно пер9крнпа«зтся; спектр полезного сигнала - унимодальная функция; спектры полезного сигнала и помехи неизвестны. В задаче оценивания -спектральной плотности помехи: реализации нзблядаемого процесса являются корегзенмл в том смысле, что их длительность по порядку сравнима с интервалом корреляции. '

3 1.2 рассмотрена задача оцептзгсш среднего нестационарного случайного процесса. Избдэдаошй'процесс x(t) о этсЗ задача представляется аддитивной моделью: x(t)=s(t)+n(t) , где o(t)=Mx(t) -- математическое огядакио процесса x(t) , LS - -оператор статистического среднего, n(t) - помеха, шекдая нулевое среднее Mx(t)=0 , Cto,to+i'] - интервал наблвдзеия.' Большое число публикаций по этому вопросу обусловлено разнообразием критериев качества и априорных сведений в постановке задачи относительно функций s(t) • и n(t) . В 1.2 рассматриваются следующие типа оценок' математического ояида-:п5п: максим лшого правдоподобия; параметров регрессии по методу нсимеш-Еих пзэдрптов; -параметров полиномияльг-юго тренда ; выделения тренда скользящий методом наименьших квадратов; аппроксимация тренда сясчтт тренда методом перемешгнх разностей; r;tv.oленке

нелинейных трендов; графо-аналитический метод; применение сглакива-юцих окон. Отмечено, что использование указанных методов, кроме двух последних, во многих случаях практически невозмсзшо, поскольку требует значительного объема априорных сведений о наблюдаемом процессе. Графо-гналитический метод нз получил распространения, что связано с отсутствием его математического обоснования. В прикладных исследованиях широко используется метод оглаживающее окон. Его применение' также связано с рядом проблем, основная из которых -неоднозначность Еыбора формы и сирины сглажшаюцего окна, что может повлечь значительные ошибки' оценки матогидания.

В следующих параграфах описаны свойства конечного преобразования Фурье стационарного случайного процесса, ковариационные соотношения- периодограммы, непараыегричеенпе и параметрические спектральные оценки. Определены проблеш непареиетричзского спектрального анализа. Сформулированы цели и задачи дальнейших исследований.

Во второй главе разработан оптимальный мс-тод оценивания ыатохидания нестационарного случайного процесса, требувдий для своего применения априорных сведений о наблюдаемом процессе в форме условий: спектра полезного сигнала и помохи разнесены, или -полезный сигнал - относительно медленно изменяющаяся функция, а помеха - быстро изменяющаяся по сравнению со средним; спектр полезного сигнала - унимодальная функция. Это позволяет использовать метод для обработки широкого класса экспериментальных данных.

В 2.1 рассматривается задача оценивания математического ош-дания нестационарного случайного процесса как частный случай оптимальной линейной фильтрации. При этом оценка среднего имеет вид:

где Ь^.х) - сглаживающее окно. Из условия минимума по ' Ь средне-кЕадратической опибки е*^) = Ы1в0(^)-е(*) 1г находится уравнение, которому удовлетворяет оптимальное сглаживающее окно 1ц,:

VI ^

е^)е(у) = Г^(г, 1 )Мас<г)х(у)<1т; .

Оптимальная оценка = во , если 11 = Ь^.

В 2.2 рассматриваются проблемы, возникающие при использовании • такого подхода, а также вопрос о выборе критерия качества в

условиях неполной инЗсрмации о спектрах полезного сигнала и помехи.

В 2.3 вводится оценка sa(t) = so (t) + Mt)Lso(t) с компенсацией смещения слагас!.з:м A.(t)Lso(t) , где L - линейнпй оператор, определяемой соотношением

to+T

Lc(t)'= e(t) - Jh(t,T)B(T)dT = s(t) - s(t),.

s(t~) — сглаженная с весом h функция s. Tarcac образом, Ls(t) смещение оценки so(t) , Ьзо(t) - оценка смещения. Оценка с^(t) тлеет средаекяадратическую ошибку е* = (Ms - Is)1 + L!(ñ + Lñ)z , где ñ - сглзжечная с весом h помеха.

На классе сценок вида 0о (t) определяется оптимальная оценка зу, !,ншсшЕ::руказя е* по пзреиетру X . Оптимальнее значение Ai парзызтра X имеет вид: \t(t) - -М(зо - в)Ьзо/ M(Lso)z , чему соответствует минимальнее значение в* - ez среднекладрзтп-

ческсй сеи-зки, определяемо? соотноЕешгем е* (t) - £z - A*M(bsn)z = = (Id)* + !.йг - (-Lab? + MñLñ)z/t (Lc)z + M(Iñ)z].°

На предварительное сглзгзшэетзе окно h налагаются условия: h(t,x) = k((t-T)/a)/a , k(t) >0 , к(т) = к(-т) ,

сэ со

|k(T)di; - 1 , J:f (-x)i-x ^ сг < а .

-<я -<х>

Преобразование Сурье К(ш) футгедпт ■ к(т) является действительной Функцией' и К (и) > 0 для лкбего коночного и . В частности, этим условиям удовлетворяет гауссова функция

h(t,t) = (V2s~ar'espl-(t-;c)l/(2a1)]. Преимущество оценки за с компенсацией смешения перед традиционной so на основе сглагивавазпс оксп состоит в слэдугг;ем. Пусть то -интервал корролпцпл помехм :: ?о - период гармонического сигнала s(t). Тогда сроднзквадрат?гевснся 'оакбка ez пропорциональна то/а в широки» интервале значепзгй а : \ << а ^ Тл, в то время кок для оцеш'л s0 ошибка ez пропорцненэльиа то/а в относительно узком интервале io<< а <<То. Ene указанных иктервзлез ошибки существенно возрастает. Таким образом, для оценки Gt оптимальное значение параметра а = а порядка То,. а для оценки. so оптимальное значение а = ао«То, что приводит к а4» ао и, следовательно,

В 2.4 йводвтся несмещенная оценка o2(t) = so(t) + \ (t)Lso (t), где \= Is/Ls. Сце.'-ка о2 ::меет сродпсквадратн-чгску» сшибку ^ -

= M(ñ + X2Lñ)2, которая ограничена величиной порядка %0/а для а из интервала то<<а < То. Показано, что для гармонического полезного сигнала Хг =const - величина,' независимая от времени.

В 2.5 получено уравнение: ß(t)e(v) = Ms2(t)x(v) - (p(t,v) для оценки ;s2 (t), где (p(t,v) = Mtñ(t) + ^2Iñ(t)3n(v). Данное уравнение отличается от уравнения Винера-Хопфа для оптимальной линейной оценки ev дополнительным слагаемым вида <{>(t,v). Показано, что при а»то это слагаемое ограничено: |(р| ^ 2dmk(0)to/a , где d -г максимальное значение дисперсии помехи Mn2(t) на интервале наблюдения. В 2.6 получена оценка бз в условиях неполной априорной информации. Введен критерий оптимальности оценки sa в виде условия минимума по X величины

to+T to+T

П = (1-р)— ftx(t)-e (t)]*dt + р-!- fts (t) - s (t+T)]2dt, y J a >j;Ja a

t t o o

где a - сдвиг по времени, равный шагу квантования, р €10,13 и определяет компромисс иекду степень» сглаженности оценки ба - второй интеграл и расстоянием неаду х и еа- первый интеграл. Из условия min ft по Я (для независимого, от времени Л.) находится

оптимальное X = к г \ = Е(1-р)а - pb3/[(1-p)c + pdl, где t +т t +т

О О

а = -L ftx(t) - s„(t)lLs„(t)dt, с =-i- ítLs (t)]?dt.

I J ° ° T J °

t

Выбор подходящего p ' в выражении для П определяется видом предварительного сглагивапцего окна, h, его шириной a , статистическими "свойствами помехи и ведом полезного, сигнала, и представляет достаточно сложную проблему, аналогичную выбору параметра регуляризации при решении некорректных задач. Предложено два "варианта выбора параметра р. Первый связан с применением предварительного окна h большой ширины. Тогда е0- сильно сглаженная оценка и необходим критерий минимального расстояния. Это приводит к р=0 и А.з= а/с.

В 2.7 дано обоснование выбора ширины ав предварительного сглашзаодего окна для оцешш ва как положения максимума функции с(а) со стсроны больших значений « . Описана процедура декомпозиции наблюдаемого процесса на его квазигармонические компоненты.

В 2.8 да ir анзлл' среднеквадратической ошибки М(вэ - s)z

оценки в^ . Показано, что е' <*ceio /а , где сц = const . Оценка s сравнивается с оптимальной линейной оценкой доказано, что

eav= M(83-3v)3 4c3to /а . Б 2.9 получена оценка ез среднеквадра-тическсй окчбки е* а форыэ: еа = Ьзо -Ьзо)г + (п + А,яЬп)г, позволлпцза вычислить еэ на основе скспериманталышх данных.

В 2.10 рассмотрен пртгмер ' аналитического вычисления сзкбки оценки ог. В 2.II дано обоснование гауссовой фсрш предварительного сглаеттащего окна. Решается вариационная задача поиска опт'згаль-ного предварительного сглаживающего окна, минимизирующего среднее по времени сакбки е* (t) при налозенных связях вида az=const. Показано, что' в условиях неполной информации о спектрах полезного сигнала и помехи гауссова функция h(t) согласуется с репенигм вариационной 'задачи. Показана возможность увеличения разрешающей способности алгоритма деке! ¡позиции.

В 2.12 разработана рекуррентная процедура вычисления оптимальной оценки с кснпенсвцией . смещения. На k-м сага через предварительное сглэяяввюсгзе окно hk еэтисляэтся оценка вк , оператор , из условия минимума по к величины Н(зк + AXksk-~ в)* находится л,---?^. Затем вычисляется skt1 = sk + W°Jc » псресчптывается Ь[с+1 и выполняется перзход на ?:*1 паг. Предельная оценка удовлетворяет условия ;i(sJc - в)Ь. sk=0 , которое является уравнением для финального сглаззпззгхцего окла h.c . Определена три его решения. Из них два - тривиальнее, а третье совпадает с оптимальной функцией hv.

в трстьсй'глэве рэссиотр^пн проблс!-"! оттп!п12®,!3,я спектральной плотности по коротко! резлизациш. 'Получены точные выражения ковзрпацгп просбрезовапия Фурьо и коэзриащга периодограмм дая коротких реализаций стацчонарнше случайна* процессов, в отличие от повестка зскитотичэсгяг ( дел большой длительности реализации). На основе зтего подучены ггзпарзнэтричаскиэ спектральные оценки с поганенной разреезкпей способностью по сравнешш о периодограммой, а такта пэакщокше и сверхразрезащие оценгл, для которых емзщеше з области локального иоксш.гуш спектральной плотности ■ положительно,. а в области лекального минимума -отрицательно.

В 3.1 получзио, что конечное преобразование Сурье

t, +т

¿с

имеет коварнация

= |x(t)e-iutdt А г(о, ,'А, ) = MCk(ut )С*Н) ,

которая определяется при , ^ г»= Т , 2Т, соотботст-ввнно:

1). Лкк(Ч )=е"1У_(^+Т/2)[(Р1+Л +

кк,г у ^ Ь) Т

. т т

иГ = и1-и2, Р(и{) - |в(1)С0Вш{'С(11: , С(и4) =|в(т)з1ш{|а|йх;

-т ' -т

-иг (*,+*) (У,- + Кв - с )

2).,Ак1<Ч^)=е -

3). А;:1(Ы1 = 0.

Для среднего периодограммы Г0(")=|С(^)|а отсюда следует выражение Ы)С(V)|2 = Р(7)-С*(у)/1 , где С* производная функции в . При оценивании спектральной плотности по коротким реализациям важное значение имеет функция С , входящая в выражения для ковариации конечного преобразования Фурье и математического ожидания периодограммы. Определена такие ковариация величины Б =Ие С + С : В 3.2 получена пара интегральных преобразований:

со

0<ц) - ^^ + 1- Ь

-со оо

1 чГ 1- сов(иц)Т . 1-сов(Л.-чо)Т

Р(0)) = ~~2% -— + -А.-ы ]ал»

—со

а также выражение для производной

—т = ИГ рта: - ~тг[ (шГтй—) —00

Доказаны следующие утверждения. I). Если спектральная плотность является интегрируеыой, то функции б , С - ограничены л имеют место асимптотические (при больном и ) выражения: С (и) 2В(0)/и, С (у) * -2В(0)/ыг . 2). Если Т удовлетворяет условна:' В(т)=0 для |т|> Т , спектральная плотность Р - интегрируемая функция с ограниченной вариацией, а ее прглзводоая ограниченная функция, тогда Р и С связаны между собой парой преобразований:

га сэ

4- Щ"1^ • . ™> - * •

-со -«о

Для знака шгоус эти соотношегак образуют пару прообразовать Г.'ль берта. Таким образсм, периодограии имеет смещение -С/Т, где в .- производная преобразования- Гильберта от спектральной плотности.

В 3.3 получено точное выражение для ковзриации периодограммы гауссовского случайного процесса для • любого Г (в отличие от известного асимптотического при большом Т):

Откуда 7аг[Го(ы)1 = [Р(о))-0' (и)/Т12 + - .

Получено такяе выражение козариащш периодограммы нз сизяки: участках длительности Т реализации нормального случайного процесса:

I1 к 1 1 [2 (слЛ)Т]

[2(сьЛ,)Т]2

Отсюда

соу[|Ск(и)|2, К^ы)!7]

(Р^ГЧ-^М-ЗД'-»'0-

„.о.

В Э.4 рзссгютрени смещенная корреляционная сценка

Р„(и) . 4- | хШга+|и|)сМ: , |и| < Т ,

ь

о

и нзсаеценнэя оцзгаса р(и) = Гро(ц)/(Т-|и|) '•. Показано, что диспер-ешой сце:

уаг р(ч)

сия несмецэшюй сценки ограничена:

4т

( * п1п (_^_В2(0), 2В2 (0)}, |и|*Т I = В2(0), |и|=Т,

где ч - постоянная. В 3.5 вводится последовательность оценок

п

?п(и) ■ Ро<")1<1«|/2)к . п=0,1,2......

к=0

При п" = 0, со оценки этой последовательности совпадают с ро и р. Модуль смещения |МРп(и)-В(и)| =|В(и)||и/Т|т1 и уменьшается с увеличением номера п. Преобразование Фурье I корреляционной оценки

р является спектральной оценкой, которая имеет смещение п

(_1) 2. р(пИ)/гп+1 > п _ нечет-:о>

П+1

<-1)2 С(п+П/1°И , п - четно.

Ы1 - Р

п

С уве.чичением п величина |Н1П-Р| уменьшается и определяется производными все более высоких порядков функции Р или в.

В 3.6 рассмотрены вопросы применения знакопеременных спектральных окон и окон данных для снижения смещения спектральных оценок.

Отмечено, что применение знакопеременных окон связано с двумя суще-

00

ственными допущениями: НГ (ш)=Р(ш) и , которые не вы-

-00

полняются для коротких реализаций. Если вместо первого приближенного условия применить точное: М10= Р-С/Т, то не достигается основная цель выбора знакопеременного окна - уменьшения модуля смещения спектральной оценки за счет устранения производных Р(п} порядка до г-1. Применение нормировки для спектрального окна Ь такке вносит дополнительную сшибку, которая может быть значительной для коротких реализаций. Поэт-оку применение знакопеременных окон обосновано только для длинных реализаций. Представлен пример знакопеременного спектрального окна, которое приводит к увеличению модуля смещения корреляционной оценки. В 3./ показано, что применение окон данных в области коротких реализаций иэ позволяет снизить модуль смещения корреляционной оценки. В 3.8 получены оценки высокого разрешения по N независимым коротким реализациям длительности Т каждая. В этом случае спектральная оценка

к=И

где периодограмма для к-й реализации. Получено точное выражение для среднеквадратической оэибки. е^ = (Р{- С|/Т)2 /Ы + (С£/Т)2 , в отличие от приближенного, известного в литературе: б2( = Р^ /Л. Увеличение разрешающей способности спектральных оценок такого типа

достигается путем замена периодограмм на оцеиху вида

** = + ~ фг - (2/^ )| /({-к)" , £-к - нечетно,

смещение которой определяется функцией 3?|г '/Т1 , или на оценку

!< = ^ + 11 _ 1 <*' 1 (и.) 2 ° Т Т* <Ц ° 1

со смещением вида С(3('/Т", и т.д. Применение оценок 1п высоких псрядксв связано с увеличением сложности выражения для их дисперсии. Для устранения этого недостатка разработана рекуррентная процедура. Пусть г* = ^ - периодограмма и оператор

ф{(2а) = zla/2 - (2/T3)^ z 1/а-и*

i-l - почетно.

Вводится последовательность оценок an = zn1 + фп(го), п=1,2,..., для которой получены рекуррентные соотношения дач смешения, кова-риащш и среднеквадратической сснбки.

На основе оператора ф получена оценка зр =fo + pl>(ic), где р - функция, определяемая из условия ¡дшпыума по р выражения H(zp- F)2 , что дает р = - М(Го-Р)ф(Гс)/Ы[ф(Го)]1. Этому соответствует среднеквадратичэскал ошибка е^ = M(ic-?)2 - p*M(<|>io)z .

В 3.9 получено точное выражение для среднеквадратической стабки в методе Бзртлетта, согласно которому наблюдаемая реализация длительности Т разбивается на N короток, длительности Т0 кзядая, и спектральная сценка io определяется как- средняя периодограмма по Н реализациям. При Го >- хо коррелированными оказываются только соседние короткие реализации. Поэтому дисперсия ■ varfo = (varlk)/ll + + 2cov(Ik,Iko )(N-1 )/N ', где Ik - периодограмма k-2 короткой реализации. Получено выражение для среднеквадратической ошибки е2. Оптимальное N определяется) условием .»шаууна 6* по N при Т/К > то . При решении этой задэтя необходимо знать- оценку интервала корреляции то иссяедуеикго' процесса.

В четвертой главе рассмотрены задачи пепарамет-рического спектрального вваушзэ как пзкорретно поставленные задачи, получена связь между параметром регуляризации и длительностью реализации исследуемого случайного процесса. Найдены уравнения для оптимальных по минимуму среднеквадратической сиибки спьктрадьных и корреляционьих окон. Получены оптимальные спектральное и корреляционное окна с постоянными параметрами, оптимальные линейные оценки

матозздашгя и дисперсии стационарного случайного процесса, установлена их связь с оптимальной линейной фильтрацией. Получены оценки интервала корреляции, основанные на применении сглаживающих окон.

Исследование оптимальных оценок . имеет практическое значение главным образом по двум причинам. I. Оптимальная оценка определяет нижнюю границу среднеквадратичэской ошбки для данного класса оценок. Поэтому о качестве примзняеыых оценок можно судить, сравнивая их с оптимальной. 2. Оптимальная оценка задает структуру оптимального алгоритма обработки' данных, что представляет новую информацию, которую можно применить в задачах обработки данных.

В -,4.1' установлена связь между репепиями некорректных задач, возникаю^::; в спектральном анализе и оценками, полученными с применением корреляционно-сн'зктралъных окон. Рассматривается уравнение 00

—00

где Ь - спектральное окно, Рс= Мс - сглаженная спектральная плотность, Ф = ? - С'/Т . Подстановка оценки Хо вместо Рс , приводит к уравнений первого рода относительно Ф с неточно заданной правой частью. Такая задача является некорректной. Ее регуля-ризованное реиеше

т

Ха(и) = | На(х)ро(1)е-1(лЛ сП

Прослеживается полная аналогия с методом корреляционно-спектральных окон. Стабилизирующий шю^тсль На удовлетворяет всем условиям на корреляционные окна, а 1а пр»дат&зляет собой сглагенную оценку спектральной плотности. Тсгде недостатки метода сглаипзагсцкх .окон, как отсутствие рекомендаций однозначного выбора' форьы и ширины окна, характерны■и для метода регуляризации, поскольку функция На монет быть произвольной в пределах широкого класса функций.

Задача оценивания спектральной плотности рассмотрена как некорректная задача суммирования ряда Сурье с неточно заданными коэФФициентами (Зо (т). Минимизация сглогаэаюцего функционала приводит сглаженной ковариационной оценке = р0(т)/(1 + аа(т)), где а -

параметр регуляризация! и а(т) - последовательность положительных чисел с порядком роста не югао т2. Показано, что при а(т) = т2 условия сходимости в среднеквадратическом сглаженной спектральной оцени; принодят к параметру регуляризации а ~ 1/Т? , 0. <-у< 2.

Полтчтаа оптимальная спектральная оценка , микимизнрущая интегральную сглбку по всем частотам. При этом оптимальное рзиегаз определяется ссотноиехшем 2тЯа = 1/(1+ +<ха)« К,ф0/1 (;,фо)г + аг|Зо]. Показано, что оптимальная г.орреляциопная или спектральная .оценка шгазриантци ■ на "множества''несглаженних корреляционных оценок (5 , п=0,1... . В 4.2 рассмотрены линейные корреляционные и спектральные' оценки Ро, 1й общего вида

т'

= н(х,7) 47 ' -т

со

1о(ы) = |й(иД) 10(\) <ЗА. .

—-а

йушшзация по Н и Ь соответствию сродагоквадратпчгсяих ог^бск М(р - В)" и !Ш0 - Р)" приводит к уравнениям относительно оптимальных корреляционного II и спектрального Ь окоп:

т

в(г)мрп(и) |н(г.т)мр0(7)р0(и) <17 .

-т

со -о

Если ро> Го - пара преобразований Оурье и Н, Ь - оптимальные окна, удовлетворякцио данным уравнениям, то сглаженные сцепки Ро , 1 образуют пару преобразована Сурье. Определены минимальные. значения средкэквадратичесних «гибок.

В 4.3 рассматривается частный случай"спектрального окна з)= = Ь(ы - г) - функция Ь зависит от свога аргументов у , г через их разность. Этому соответствует Н(т,у) ~ гиЯ(т)С(т:-у), где И(т) -преобразование Фурье Фун-азии Ь(ы). Этот случай пкроко применяется в прикладных исследованиях. Подстановка окон данного вида в выражения для сглаженных оценок приводит «.известным формулам корреляционно-спектрального анализа: рс(т) = 2-й!(1)ро(т),

со

1о(и) = |п(со - .

Оптимальное по минимальной среднеквадратической ошибке спектральное h(u) и корреляционное Н(т) окна удовлетворяют соотношениям

ю

F(u)Mío(v) = J h(u - \)Ut0(k)í0(v)ÜX .

-00

и 2иН(тj = В(т)Ыро(х)/мр* (т) . Если ро, to - пара преобразований Оурье, то оптимальные оценки, полученные с применением окон Н(т), h(ü), образуют пару преобразовать! Фурье. Из выракения для оптимального корреляционного окна следует 2тсН(0) = 1/(4то/Т + 1), где то - интервал корреляции. Отсюда при Т/хо равном 5, 10, 100 получаем соответственно 0,55; 0,71; 0,95. Таким образом, 2тШ(0) существенно отличается от единицы для реализаций, длительность которых не более 100г. Из равенства

со

2*Н(0) = Jh(u)do) -00

следует, что для коротка реализаций но&ет оказаться неприемлемым требование нормировки : равенство единице интеграла от h, обычно используемое в спектральной анализе.

В 4.4'исследуется при неизвестном среднем а = Mx(t) оценка

t0+T-ltl

ro(x) «-Jr- J[x(t)-a0][s(t+|T| )-a0ldt

ковариационной функции В(х) = 2¡I[x(t)-aUx(t+T)-al, где ао-оценка матокидгкня Mz(t) в вида среднего по времени реализации x(t) . Сглаженная козарнционная оценка ro(t) = гяН(х)г0(г). Найдено оптимальное по минимальной среднеквадратической ошибке корреляционное окно: 2тсН(т) - B(i)í¿ro(x)/Mr* (х). Получены точное вырааекие для Кг0(х) , в отличие от приближенных, известны:; е литературе, и вырр.хэете для дисперсии оцаини го.

В 4.5 получеш оптимальные оценки дисперсии и математического ожидания стационарного случайного процесса. Пусть дисперсия'd= Б(0) имеет оценку do ро(0) для известного математического озадания и do = го(0) -для неизвестного математического ожидания. Из условия минимума по g величины M(gdo-d)2 определяется оптимальное g = gí = = dMd0/Md*. Сложность выражений дисперсии оценок го , ро не позволяет в обдам случае получить зависимость gi (Т). Результаты

вычислений для процесса авторэгрессии первого порядно с параметром а =0.8 дают монотонное стремление ^ (I) к единице с увеличением Т от значений 8,= 1 .22 (Т=15) - для неизвестного среднего и ^ =0.66 (Т=15) - для известного среднего.

Аналогично для оценки &ао матояздашм а оптимальное g= = = а2/(уагао+аг). Среднеквадратические ошибки е] и ео оценок ®1ао и а связан« соотношением е2 = г е2 . Установлена связь сценки

о 1 I о

среднего с оптимальной линейной фильтрацией. Введена оценка , где ^ - оценка оптимального параметра gl . Оценки типа сложны для аналитического исследования. Моделирование сценки при а2/(с1о/Т+а2). для процесса с независимыми значениями,

средним а=0.2 и дисперсией (1=0.75 показало, что на области ГТ < 25-30 среднеквадратическая скибка сценки £оао составляет примерно полусумму ошибок опенок ^ ао и ао, что дает существенна птагрыш в точности по срэЕН'жию с ао при оценивании слабого уровня полезного сигнала на фоке сильной помехи для коротких реализаций. Аналогичный подход рассмотрен для общего случая сценки ао произвольного параметра а. Дана геометрическая интерпретация о£фокту С1Г1ге1ш;; оснбкн оптимальной оценки ао по сравнению с оценкой ао.

. В 4.6 решается задача оценивания интервала корреляции стационарного случайного процесса. В прикладных исследованиях оценивание »гтт^орп^ тт^ пгтцтт»? пр9^стзэл/т'^ь с2мостсгтт5.1т1;1211^![ 1*11? с ^ с с» *т0

особое значение оценки интервала корреляции имеют в спектральном анализе, поскольку позволяют достаточно точно выбрать сирину сглаживающего окна - главный параметр, определявший качество спектральной оценки. Предложены оценки интерзала "корреляции с применением сглзгзнззюцих окон. Рассмотрены случаи известной и ' неизвесткой дисперсии. Показана сходимость в среднеквадратическсм оценок интервала корреляции квадратичнбго типа к истинсму значению интервала корреляции. Найдено оптимальное значение параметра сглаживающего окна, обеспечивающее наибольшую скорость сходимости.

В 'пятой главе разработаны алгоритш вычисления оценок математического отидзкия нестационарного случайного процесса и оценок спектральной плотности стационарного процесса. Решается проблема представления в дискретном виде ковариационных соотношений для периодограммы и производных спектральной плотности к ее преобразования Гильберта, необходшеах для численных расчетов в задачах спектрального анализа.

В 5.1 представлен алгоритм зачисления сце:п<и г-а , а такле его

быстрых"! вариант с применением преобразования Фурье. Для численных расчетов необходимы представления полученных соотношений в дискретной форме. В 5.2 доказано, что если спектральная плотность Р(Л.) и функция ф(ш,Л.) имеют финитные преобразования Фурье по переменной X на интервале (-Т.Т) , то функция

со

и (и)' = |р(л.)(р(ид)ад.

—со

имеет представление в виде ряда: •

00

= ^Р(пД )ф(и).пд) , Д= тс/Т .

п=-оо

Этот результат.использован для получения дискретного представления функций С , С' . Имеют место соотношения:

= (2/х)| Рк 7(1-к) , 1-к - нечетно ;

Т = №/2) - (2/тс*) £ Рк /а-к)г , 1-к - нечетно ;

где С£= С,({Д) . Также получены выражения для дискретного представления ковариации периодограммы соу(^,1^), где 1*= 1о(4А), и ковариации периодограммы ка сменных отрезках реализации случайного процесса. В 5.3 получены соотношения в непрерывной и дискретной формах для производных Р{п), С(п) порядка п функций ? и й для п= 1,2,3,4. Существенное ограничение в полученных формулах состоит в том, что Р - неотрицательная четная, а в - нечеткая функции. В 5.4 получен общий случай дискретного представления преобразования Гильберта С для абсолютно интегрируемой функции р с финитным на интервале (-Т,Т) преобразованием Фурье и производной с ограниченной вариацией. Показана устойчивость дискретного преобразования Гильберта по отношении к аддитивной помехе с некоррелированными значениями, действующей на функцию Р .

Б ¿.5 алгоритм оценивания среднего нестационарного процесса применяется для оценивания спектральной плотности. На первом иаге находится оценка функции Ы10- Р-С'/Т, и. на втором - выполняется компенсация смещения - С/Т. Предварительная оценка функции определяется как результат сглакивания периодограглш 1 предварительным спектральное окном 11(о) = (УсГяГсО-1 ехр(-с//2а2) - гауссовой фор'.^ы. Смещение этой оценки равно - 1Шо. Функция -Ы1 является оценкой смещения. На классе оценок Г = 11 тХ1±% с компенсацией

смещения находится оптимальная í2 = *t , где Хг определено из

условия минимума U(í -Ш0)г но X, что приводи? к выражению \ = = -M(í -Mf )lí /М(Ьít )г • Оптимальная оценка имеет среднеквадра-тическутэ опибку е2 = е2 - A'Mdí, )7, где, e¡ = МС^-М^ . Вводится оценка í3= ít + A3Lí3 , XD- а/с, где а, с определяются формулами, представленными выше, в которых х, so заменяются соответственно на í и I. Разработан быстрый алгоритм вычисления 1 с применением преобразования Фурье и алгоритм в дискретном варианте. Для сценки оэ среднеквадратической ОЕнбки спектральной оценки ía получено: ез= [ХзЫ1- Lít Г + tñ+ Lñ]г , где íi -сглаженная предварительным окном h оценка íi, ñ - сглаженная предварительным окном функция íQ- í3 - оценка помехи.

Выполняется компенсация смешения периодограммы в оценках í7 и í3. Для этого вводятся оценки í4 и с применением оператора Ф. В оценке íy= fa+ находится оптимальнее значение Хл параметра Аь из условия минимума величины M(fb -F)2. Что приводит к выражению Хл = -!í(í2-F)í'f2/i.í(íf2 )2 • Оценка í2 + имеет средне-

квэдратическую осибку s2 = M(í2-P)2- Л2М(5Г2)2 = [ГЯ0+

Ф(ЯГ +Х 1ДГ ) -F12 + Í.Uñ + \ 1л + Л. Q(п + A. Lñ)]2,' где ñ

4 О 2 О ¿ 4 Z

= I -ЯГ - сглаженная помеха. Такс» образом, задается последовательность сценок ía, fi, í2, 1л. Для оптимальной оценки *4 получены приближенные выражения для п?р^"етрсв X , X и ее среднеквадратической оетбки: s2 = Mtñ + \21л + A.4í>(ñ + А-г1л)]2 .

Аналогично сцепке вводится последовательность сценок ío, íí , í , I , где fs= í3+ X 5í3 • Параметр \э• выбирается как оценка величины Хл ,■ что приводи к выражениям

г 00 -J со

= £ / шя) , í5=í3+ £ 0kd3) , •■k=1 k=1 где £>k= ®ík"1. Определена оценка ез среднеквадратической опибки оценки í3. в виде: е5 = tñ + X3Lñ + Яя'3(п + Хэ1д)]2.

В шестой главе выполнено моделирование разработанных оценок среднего нестационарного процесса и спектральных оценок с высоким разрешением.

В 6.1 представлен пример работы алгоритма декомпозиции. Реализация наблюдаемого процесса x(t) , t=1,...,100 вычислялась как сумма двух гармонических сигналов с периодам! Т^ =100, т =100/3.5 и амплнтуда:.я At=2, А2=1 и помехи, равномерно распределенной на интервале t-2.5, 2.5]. Представлены результаты оценивания полезно-

го сигнала по разработанному алгорит:.!у и по методу сглаживающих окон для четырех значений эффективной ширины сглаживающего окна. Результаты показали преимущество в точности разработанной оценки среднего перед оценками по методу сгланиваюзих окон. Выполнена декомпозиция наблюдаемого процесса; оценки дьух гармонических сигналов сравниваются с истинными значениями сигналов.

В 6.2 представлены результаты моделирования непараметрических спектральных оценок с высоким разрешением. Для процесса авторегрессии второго порядка вида: x(t)-7^(t-1)+7*x(t-2)=n(t) с параметром 7=0.7, 7=0.9 вычислялись спектральные оцет«! традиционная и высокого разрешения . (среднее по 200 реализациям длительности Т=20 соответственно периодограммы ío и оценки Еида t¡ ). Оценки с высоким разрешением имеют значительный выигрыш в точности в области максимума спектральной плотности.

В б.З представлены -результата моделирования сверхразрешающих спектральных • оцькок. Для процесса x(t) с параметрами 7=0.7 и 7=0.9 вычислялись традиционная спектральная оценка и сверхразре-шакцая спектральная оценка, как среднее по 200 реализациям соответственно периодограмм: ío и оценок вида ís¡=Ii+3jíi. В области максимума спектральной плотности сверхразреиаю^ие оценю: имзли значения, превышающие значения спектральной плотности.

Аналоп-чшо машинные эксперимента были выполнены с процессом х(t)= 5 a x(t-í)+n(t)+ p^tt-D+pjnít-a) авт0регрессш1-ск0льзяя{9г0 среднего порядка (4,2), спектральная плотность которого имегт дза локальных максимума для параметров а =1.£5, а,—2.32, аз=1.37, «4=-0.69, (3^-0.83, рг=0.87 .Вычислялись по 100 реализациям длительности Т=50 традиционная спектральная оценка к сверхрозропездая спектральная оизкка (среднее по 100 рааизацидо оценок вида ?г). Подучены эффекты сглаиизания локальных экстрзиукоз для традацконной оценки и их усиления - дал сверхразрешаксей оценки. Второй экояержеЕТ с процессом авторегрес-сии-скользедего сроднохч> выполнен два 200 реализаций длительности •1=30. Этот эксперимент характеризуется малой длиной . реализации, которая лежит вне сплести пряшш>ы-:я разработанных сценок вида ft ,гг,:.. . При ого:,-: в сыищепж спектральной оценки появляется ногый эффект, связанный с отезчешш "хвосто/»/ корреляционной Функции, который не учйтизается в оценках i. ,t .Вкчдолоние сценокí традиционной, высокого разрешения к сьерхразрешаздгй показало, что последняя рагрэк&ет локальна ыакешуиа ецзктралашй плотности,

в то время как первые две не позволяют этого сделать.

В седьмой главе рассмотрены решения прикладных задач с применением ' разработанных методов оценивания мэтогндания нестационарных случайных процессов п условиях неполной информации о спектрах помехи и полезного сигнала и методов спектрального оценивания по коротким реализациям. Разработан Функцисналыю-диагкости-ческий комплекс для исследования сердечно-сосудистой систем человека на основе анализа сердечного ритма. Получены оценки тонкой структуры вертикальных профилей тоыпоратуры в океане п спектральные сценки высокого разрешения тонкой структуры вертикальных прс^илей температуры на дну* полигонах. Выполнен статистический анализ процесса згзтухэпия тегстературпхх неодиородностеЯ воды из области исфсструктуги. Получена оценка дасперсга процесса Еыроэдспия л опенка времена яяэни температурных пеодасродоостей.. Предлззеп способ выделения детеряпарорвнных составляющих сигнала, осложненного помехой, на который получен патент. Продстаэлсна схема и списзкне устройства, реализухщэго предложенный способ обработки сигнала."

В 7.1 рассмотрено щяшененле разработаи!ого метода оценивания среднего нестационарного процесса при создаккя фуикцнолалько-лкаг-ностпческого комплекса для исследования сердочно-сосуднстсй системы на основе анализа сердечного ритма. Алгоритма гл.2 использовались в ГТООГрЯГЛЛ ОЦ9ЯКЧ ТЯСТОТТТО-Ррв»«?'«^ пт;гчтг"алтг.п1 СОрД'?*гНСГО Г!!?М2 !! в программе анализа переходного процесса. Математический анализ сердечного ритма позволяет получать кояпесгзепшэ характеристики состояния регудятершх механизмов я- оценивать обете реакции сердечно-сосудистой систе"я на предъявляете поздеЯсгзия. Несмотря на многочлслс-нше псслздоззют, еиэлпз с»рдз"пюго ргша в кзсгсящзэ время не является ррспростране;;;^ методом функциональной диагностики. Если оставить причины фенологической природы, то связано это, прежде всего, с тем, что пзсестша методы спектрального анализа ригмограмн приводят к болысш средпеквадрзтическлм ошибкам оценок числовых характеристик ритмргракм, что объясняет плохую повторяемость результатов я затрудняет их интерпретацию.

Ритмограмма представляет собой процесс, содержащий квазигармонические колебания с достаточно разнесетпиг-г.т центральными частотам, и поэтому задача их выделения решается с привлечением процедуры декомпозиции, разработанной его второй главе.. Это позволило преодолеть отмеченные недостатки и создать Функционально-диагностический комплекс, удовлетворяет^! требованиям практтгсоской медицины.

Представлены примеры декомпозиции сердечного ритма на его аддитивные квазипериодаческие компоненты, вычисления функций с=с(а), . оценок среднего периода для каждой кваэютериодической составляющей и пример выделения дыхательной компоненты переходкого процесса-В .7.2'рассматривается анализ вертикальных профилей гидрофизических полей в океане. Первый этап обработки экспериментальных данных заключается в разделении профилей на среднее и тонкую структуру. Вертикальные профили гидрофизических параметров имеют особенность, состоящую б том, что их средние значения изменяются в значительно больших пределах, чем флуктуации. Поэтому оценке среднего с . калой относительной ошибкой монет соответствовать большая относительная ошибка Флуктуаций. Возникает Бопрос о нахогдонии более точных, алгоритмов их разделения. Спектральный анализ тонкой структуры тагс;:е имеет свои особенности. Интервал корреляции тонкой структуры имеет порядок сотни метров. При зондировании на глубины до 200 м (обычное для северных широт, при те-мпературе вод на поверхности некое Ю°С) экспериментальные' данные представляют собой сравнительно больное число коротких реализаций. В этих условиях оценка спектральной плотности, основанная на еычкслоеии . периодограмма, имеет значительную ошибку за счет смещения, обусловленного малой дк:кой рзёозгзоцик. Текил образом, обработка вертикальных профилей требует применения коных методов оценивания статистических характеристик случайных ироцессоп, обеспечивающих уменьшение сакбок оценки тонкой структуры п оцсша: ее спектральной плотности.

Для выделения тонкой структуры вертикальных профилей применялся алгоритм оцонийапия среднего нестационарного случайного процесса, разработанный в хм.2. Затем вычислялись спектральные оценки тонкой структуры: традиционная и высокого разрешения, как среднее по N профилям соответствонно периодограмма £о и оцешзг вида 1 - с хомпеисацкзй смещешя периздех'рэуш. Представлены изпкчкуй кщ вертикального профиля температуры; йод оценки тонкой структуры температуры, выделенной иэ профиля и для первого и второго полигонов традиционная спектральная оценка и оценка с высоким разрешением.

В 7.3 рассматривается обработка экспериментальных данных, полученных при исследовании затухания ыикроструктурных неоднороднос-тей температуры в воде. Наблюдаемая реализация представляет собой интенсивность света лазера, проаедшего через турбулентную жидкость, где в качестве источника турбулентности использовалось явление боковой конвекции для качельного перепада температуры 0,5°С. Для

анализа реализации и оценивания параметров процесса затухания при-• менялась процедура декомпозиции нестационарного случайного процесса. В результате выделена низкочастотная компонента, связанная с движением ¡падкости, среднечастотная компонентаs которая отвечает колебаниям жидкости в ограниченном объеме и, наконец, высокочастотная " компонента, отражающая процесс зарождения флуктузций ь жидкости. Затем вычислялась оценка среднего квадрата флуктуация. Полученная зависимость от времеш! аппроксимировалась фушецией exp(-t/uo), откуда определялся параметр ио , характеризующий время .чшзни пеодаородностей размера 1. Получено что uo ~ 1Z/D , где D - коэффициент теплопроводности.

В 7.4 представлено описание изобретения, предложенного по „результатам исследований гл. 2. По. заявке получен патент 'Л 2020629 на изобретение "Способ шделекия детеркошрованных составляющих сигнала". Изобретение относится к измерительной технике и может быть использовано в геофизических, сейсмологических, акустических и др. измерениях. Цель: повышение точности измерений. Дано описс:йе и схема устройства для реализация предлагаемого способа выделения детерминированных составлявших наблюдаемого сщ'пала.

В 7.5 приводятся другие приложения разработанных методов сцениготия статистических характеристик случайных процессов, вклйчэгллэ прикладные о я;: эти нзучпо-исслодсвзтелъские работы и учебный процесс.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работо ira ссисвэ тесрет.чческого исследования ■ методов анализа случайных процессов решен ряд проблем, связанных с повышением точности оценивания среднего нестационарных случайных процессов и оценивания спектральной плотности стационарных процессов. Сделан вклад в развитие непараиехрических методов . оценивания среднего нестационарных случайных процессов при неизвестных, частично перекрывающихся спектрах среднего и флуктуаций и унимодальном спектре среднего, непараметрических методов оценивания спектральной плотности стационарных случайных процессов по коротким реализациям.

Основные результаты диссертационной работы состоят ч следующем.

I. Разработан метод оценивают математического ожидашя нестационарного случайного процесса с частично перекрывающимися

спектрами нелегкого сигнала к помехи пра уквкодольноы спсктр-з полезного сигнала.

2. Получены точ.и;е выражения для ковариации конечного преобразования Фурье и периодограммы стационарного случайного процесса на' коротких реализациях.

3. Разработан метод построения нопараметричоских спектральных оценок с высоким разреЕзкием.

Найдены соотношения, определяющие оптимальные по минимальной срсднеквадратической ошибке линзйаае спектральные и корреляционная сцепи:.

5. Разработан метод сцсшшанид интервала корреляции с применением сглаживавших окон. ■ ■

6. Результаты, моделирования из ЭВМ разработанных'оценок среднего нестационарного процесса и оценок, спектральной плотности стационарного процесса согласуются с результатами теоретического анализа этих оценок.

7. Разработанные ь диссертации алгоритма прга/еиялпсь при .розгакш ряда задач в изучко-исследоветельсьсих работах, среда них:

- исс&здовахйк сардз-пюго рптмз человека (вздэлзше хаазигарыоил-чесхн:. компонент и оцгтпоггго их характеристик) и построение кротргми'.ого обеспечения £ушщ^эдько-детисткческогэ комплекса дм 'гссяглоъшвв серде чко-саоудастсй спстзгы;

- исоледсг.з^с гзс&о&кхчссхях пака океана (ездолохш тонкой структур:; .вертцкзлыл:.; прожгло!; тгглирагури, одавдзгшв спектральных плотностей тонкой структура);

вссдедоьмио прсцзсса затухания гахфоструктуриах иеодиородкостой т&мператур* в иодо (ваделекиэ процесса затухания из наблюдаемого процесса, оуеншаш«: вреиош 1агк21 температурных неоднородностей);

Результаты диссертационной работы пршенялись для исследований по темам трех канд. щатеглл; д»;ссертецй:, в учебном процессе на физфаке' Дальневосточного госуниверситета, для исследований по темам хоздоговорах и госбидкетшх на^пю-нсследователш^их работ. По результатам исследований получено два патента.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

I. Грудин Б.Н., Кулсцов 2.Л., Мерщанский А.М., Шейгус З.Е., Мар-

ченко M.B. Анализ ГОМ-изсбрзяений еморinix фольг и пленок с использованием оптических вычислительных устройств и мшш-ЭЕ!.! // Тез. докл. -1 Всесоюзного сешшарз по аморфному магнетизму. Владивосток, 10-13 октдбря 1936. Красноярск: ¡{ГУ. 1986.- с.34-

2. Грудин 5.Н., Кулешов Е.Л., ?крепко В.К. Комплекс автоматизированных средств для исслэдсвация и ыэсптабной классификации структурных неодкородностэй аморфных и микрокристаллических лент, порошков и хетаозитсв// Сб. докладов Всероссийской кокф. "Проблемы современгэт материалов и технологий производства иэ-уко<?т.!Кой продукции". Пермь. 1993,- С.94-97.

3. Грудки S.H., 5ж:<?1Псо В.К., Кулешов Е.Л., Плот.чяксз B.C. Зазо-со-контрастиий знзуалнзэтср плоскостных пеодпородностей морской воды// Язобретения (заявки п патенты). 1995. N29. -С. 239.

4. Ивановский й.А., Кулешов Я.Л. Модель генетической адептаия вегетативно рпзьисгтпкл'хся макрсводсрослой// йурнзл общей биологии. I9S2. 53, Н 2.- С. 232-24?..

5. Ивановский ¡O.A., Кулешоз В.Л., Зильцова Л.И., Ромотк В.А., Дзизсрсв В.Д. Модель гзнетичосксй здаптяции зогетатняно рзз-мжгка'кцахся накроводорсслэй: рель розеткообразовгняя// Журнал общей биологии. 1992. 53, 3? 4,- С. 571-580.

6. Крусанов В.В., ГельЦ'-р Б.И., Булгаков A.C., Кулешов Е.Л, Аппз-рэтнг-лрогр^нмшЯ киялзке для псследоеэнзш

состояния вегетативной кзрзной ciscrera// тез. докл. Есгроссий-ской ксс кэздупарэд!2::| представительством "Акупунктура и традиционная медицина", 16-18 сентября 1932г. Владивосток: ВГМИ, 1992.- С. 38-39.

7. ¡{рыезноз В.В., Кулезоз З.Л. Метод иденткфияягсп« физиологических ритмов// Тез. докл.научно-практической кснСзретащи "Здоровье и болезни человека на Дальнем "Востоке", 22 апреля 1993г. Владивосток: ВШИ, 1993.- С.89.

8. Кулегсв Е.Л., Юдин В.В. Итерационный мэтод оценки потока сильно неразрешенных сигналов// Сосбцгтпгя Лз(Зорзтсрин анализа случайных процессов. Серия: автоматизация физического эксперймен-та. 90, 21 1. Владивосток: ДВГУ, 1971. - С. 63-72.

9. Кулешов Е.Л., Горчакоа В.В., Юдин В.В. Приложение многошагового варианта теории статистических решений к обработке сечений ядерных реакций// Сообщения Лаборатории анализа случайных процессе. . Серия: автоматизация физического эксперимента. 90, N 1. Владивосток: ДВГУ, 1974.- С. 73-81.

ъо

Ои

■ 10. Кулепез Е.Л., К&ки В.В. Стьткстичсскио сценки пространственло--врэмзншх масштабов тсрмохалишшх полей наведенной турбулентности// Подводные обитаемые аппарата в исследованиях физических полей океана. Владивосток: ДВГУ, 1983.- С. 180-201.

11. Кулешов Е.Л., Грудин Б.Н. Модуляционная модель лабиринтной структуры и корреляционный метод индикации ее .динамики// Стохастические метода исследования на физико-машинных комплекса/. магнитных пленок и фольг. Владивосток: ДВГУ, 1981,- С. 45-53.

12. Кулешов Е.Л. Непарсметрические спектральные оценки с высоким разрешением// Автометрия. 1934. К 2.- С.17-23.

13. Кулезов Е.Л. Спектральный анализ квазимокохромзтическкх колебаний// Мезрузовская конференция по применению вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях, тезисы до^адов. Алма-Ата: КГУ, 1980.- С.109.

14. Кулеыов Е.Л. Последовательное оценивание спектральной плотности стационарного случайного процесса// Идзнп-фшация папиллярных узоров на оптнко-цкОрозом комплексе. Владивосток: ДВГУ, 1930.- С.135-155.

15. Кулспов Е.Л. Оцзнягакие ко^ариацсоккой Функции стационарного процесса кок дипзйкая некорректная задача// Стохастические метода исследовав:« кс. фяэвкс-шв&ахш: комплексах капыгшх пленок г. фольг. Бяйддеойга;: Е8ГУ, 1551.- С.5-9.

16. Кулешов Е.Л. • Ксррелявдюньке свойства спектральных амплитуд стационарах сяучеЯзкх процессов// Акустические сродства к ыз-тодц освоения охеапг. Ил-дльосток: ДБГУ, 1931.- С. 105-110. •

17. Кулопов Е.Л. пэикеисацй! «¿^ляя спектральной оценки// Перспектив;^» кыода пязигресаЕйя а анализ сксаорааектоз при исслгдоьаки случ«й.;ы2. нолей п процессов. Тезисы Всесоязпсй конференции, Нсль\;-лк, 1-3 цедбря 1932, чЛ. !,!.: изи, 1932.-С.40-42.

18. Ку„кжог Е.Л. йхврсиавшй иеъод ся&шш&нея спектральной плотности случайного процесса// 1932. Н б.- С.55-59.

19. Кулешов Е.Л., Сафиа В.:1;. Сильгргвяг» Еертикелька: профгшзй температуры// Тезисы докладиз II Бсссоагной коррекции "Проблема научных исследоьглгй в области игучшп и огзоешя мирового океана" 25-23 октября 1503г. 1'пдро{нь;:часкяй поля океана и метода их исследований, ч.2, Владивосток, 1983.- С.134-135.

20. Кулепов Е.Л. Сцекизгжэ интервала корреляции /V Автометрия.

1934, H г.- С. 100-102.

21. Кулеров Е.Л., Юдин B.D. Рекуррентный мот од оценивания пг-рамзт-■ ров случайного потока// Изв. АН СССР. Техническая кибернетика,

I97S, H 3.- С.143-153.

22. Кулешов S.Л. Нелинейная фильтрация сродного нестационарного случайного процесса // Управление и информация. Влз.цивосток: ДВГУ, 1985.- С.71-02.

■ 23. Кулепгов Е.Л. Некорректные задачи'в спектральной анализе сга;тл-онарках случайных процессов// Автометрия, 1905, N 3.- С.SO-92.

24. Кулаков Е.Л. Оценивание интервала корреляции в виде функционала квадратичного типа// Автоматизация эксперимента и оЗр-зеотка дзтгзх. Владивосток: ДБГУ, 1935,- С.36-42.

25. Кудепсв 2.Л. Модзлярсэашот случайного процесса, цдептгчпого по корроляциекгим хсрактэрнстнксч процессу, паблтодпоггему n радиоканале// Тоз. докл. 31-а .Всесоюзной ь-лтг-уоопскоа нзучко-тзхки-чбекой кон^зракшп, т.1, ч.2. Владивосток: ТОЕР'.Г/, 1388.- С.27-28.

26. Кулепс-з Е.Л., Кииитииз Н.В. КласскЗакаадш т:шоз ¡.горских грунтов по стрз:"ошга.! от дна акустическим сигналам // Тез. дохл. 31-й Всесоюзной ¡/енвузовсксй паучко-техютесксй конференция, T.I, ч.1. Владивосток: Т0ВР!ЛУ, I?58.- C.I47-I49.

27. Кулгкоз Е.Л. Вычисление производной эанумлеэтего сигнала в условиях априорной неопределенности// Тез. докл. 32-й Всесоюзной иэивузозской научно-тохш1чссксй конференции, т.1, ч.2. Владивосток: Т0ВК.5У, 1983.- С.37-40.

28. Кулепов Е.Л. Фильтрация среднего нестационарного случайного процесса в условиях априорной неопределенности // Вестник лво АН СССР. 1950. N 3.- С.93-100.

29. Кулешов Е.Л. Дискротнсз преобразозйшэ Гильберта // Тез. докл. 33-й Всесоюзной мегяузозской научно-технической конференции, т.1. 4.2. Владивосток: ГСВВ?.!7, 1090.--С. «5-48.

. 30. Кулешов Е.Л. Идентификация случайного сигнала из основе алгоритма фильтрации // Тез. докл. Всесоюзной научно-технической конференции "Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов", 13-ГО мая 1Э91г. Новосибирск: СНИИМ, Г991.- С.46-47.

31. Кулеяюв Е.Л. Непараметрические • спектральшо оценгаг стационарных случайных процессов на конечных реализациях // Автометрия. 1992. N 6.- C.I07-II4.

32. Кулешов 2.Л., Никитина Н.В. Сравнение эффектов влияния рельефа морского дна и придонной слоистости на формирование эхо-сигнала// Тез. докл. 35-й Всероссийской межвузовской научно-технической конференции, т.1, ч.1. Владивосток: ТОВШУ, 1992.- С. III-II3.

33. Кулеиов Е.Л. Прикладной анализ случайных процессов в условиях априорной неопределенности. Владивосток: ДВГУ, 1993.- 188с.

34. Кулеров Е.Л., Сищенко В.К. Обучающая программная система "Корреляционно-спектральный акал1:з стационарных случайных процессов// Тез. докл. Всероссийской конф. "Компьютерные технологии в высшем образовании" 14-18 марта 199-1, Санкт-Петербург, секция Е. Санкт-Петербург, 1994.- С.8-9.

35. Кулепов Е.Л., Повышение точности статистических оценок на коротких Еыборках// Тез, дохл. 37-й Всероссийской межвузовской научно-технической конференции, т.1, ч.2. Владивосток: ТОВБМУ, 1994.- С.72-74.

36. Кулеиов К.Л., Солдатсва Л.К. Моделирование оценок математического ожидания с минимальней. среднеквадратической ошибкой на коротких выборках// Тез.докл. 37-й Всероссийской межвузовской качно-тохшческой конференции, т.1, ч.2. Владивосток: ТОВБМУ,

1994.- С.75-77.

37. Кулесов Е.Л., Никитина Н.В., Смолин В.А. Способ выделения де-термкнироваиных составляют;: сигнала. Патент N2028629 на изобретение. Приоритет 4 апреля 1990г. Зарегистрировано в Госреестре изобретений 9 февр.1995г.

38. Кулгвов Е.Л. Поёкаокяе разреиаэдей способности непзраиесри^ес-:а:х спектральных оценок на коротких реализациях // Автомэтрая.

1995. N 4..- С.90-99.

39. Сидеъко В.К., Грудин Б.Н., Кулоиои Е.Л., Шейгус В.Е., Овчаров В.П. Применение спектральных признаков в задаче ядентиух-ьацпи технологических стадий приготовления быстрозакалогагых л сит // Тез, докл. 5-й Всесоюзной конференции "Акорф*ш;е прецизионные сплавы: технология, свойства, применение" 23-27 сентября 19Э1г. Ростов Великий, 1991,- С.27.

40. Huleshor E.L. Filtrating the mean oi nonstationary stochastic processec under conditions of a priori ambiguity// Second IPAC Symposium on stochastic control, Vilnius, USSR, 19-23 Hay, 1936. Preprints, Part 2. Moscow, ¡985.- C. 93-95.