автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Неоднородные модели ранней Вселенной

На правах рукописи

КИРИЛЛОВ Александр Альбертович

НЕОДНОРОДНЫЕ МОДЕЛИ РАННЕЙ ВСЕЛЕННОЙ

05.13.18 — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ульяновск - 2006

Работа выполнена в научно-исследовательском институте прикладной математики и кибернетики (НИИ ПМК) при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Нижегородский государственный университет" им. Н.И. Лобачевского.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Борисов Алексей Владимирович доктор физико-математических наук Бронников Кирилл Александрович доктор физико-математических наук Журавлев Виктор Михайлович

Ведущая организация: Физический Институт им. П.Н. Лебедева РАН

(ФИАН)

Защита состоится "16" июня 2006 г. в 13.00час. на заседании диссертационного Совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: 432970, г. Ульяновск, Университетская Набережная, 1, ауд. 703.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432970, г. Ульяновск, ул. Л.Толстого, д.42, УлГУ, УНИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан "20" апреля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета

Г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы в релятивистской астрофизике и космологии повышенное внимание стало уделяться проблемам математического моделирования процессов, происходящих в самые ранние моменты развития Вселенной. При этом особую актуальность приобретает построение и исследование непертурбативных неоднородных моделей1.

Обусловлено это в первую очередь тем, что простейшие однородные и изотропные модели вблизи особенности обнаруживают свойство неустойчивости по отношению к крупномасштабным возмущениям2. Развитие данной неустойчивости и приводит к тому, что в самые ранние моменты эволюции Вселенной неоднородности должны носить существенно непертурбативный характер3. Разумеется в полном объеме решить задачу о поведении неоднородных полей вблизи космологической особенности без развития адекватных методов математического моделирования не представляется возможным.

Наличие указанной неустойчивости приводит к целому ряду

•¡фундаментальных проблем. Особенно остро стоит проблема объяснения наблюдаемой однородности и изотропии Вселенной. Отметим, что ^ существование промежуточной инфляционной фазы расширения4, по-видимому, пс может служить основным механизмом изотропизации, поскольку наличие подобной фазы требует достаточно регулярных начальных условий. Так первичные неоднородности метрики должны быть сглаженными по сравнению с комптоновской длиной, а плотность энергии, запасенная в анизотропии пространства, малой по сравнению с энергией скалярного поля, ответственного за инфляцию. Таким образом, особую актуальность приобретает поиск и других возможных механизмов изотропизации неоднородной Вселенной5, а также исследование

'К. Tomita, Prog. Theor. Pliys. 67 11076 (1982); Phys. Rev. D4S 5634 (1993); D.S. Salopek and J.R. Bond, Phys. Rev. D42 3936 (1990); D.S. Salopek, J.M. Stewart, J.Parry, Phys. Rev. D48 719 (1993); Phys. Rev. D49 2872 (1994); G.L.Coiaer, N.Deruelle, D. Langlois, and J.Parry, Phys. Rev. D49 2759 (1994); K. Tomita, H. Asada, Т. Hamana, Prog. Theor. Phys. Suppl. 133 155-181- (1999).

2E.M. Лифхииц, ЖЭТФ, 16, 587 (1946).

3B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, Adv. Phys. 31, 639 (1982).

4A.A.Starobinsky, Phys. Lett. 91B, 100 (19S0); A.H.Guth, Phys. Rev. D23, 347 (1981); A.A.Lmdc, Phys. Lett. B108, 389 (1982).

5A.G. Doroshkevich, V.N. Lukash and I.D. Novikov, Zli. Eksp. Teor. Fiz. 64, 1457 (1974).

возможности выхода па инфляционную фазу в рамках неоднородных моделей.

Особый интерес, как в теоретическом отношении, так и с точки зрения приложений, связан с исследованием различных квантовых эффектов в неоднородных моделях. Действительно, в случае регулярного расширения, когда размер горизонта растет быстрее, чем характерный масштаб неоднородностей метрики, механизм квантовой генерации возмущений из вакуумных флуктуаций существенно зависит от выбора начального квантового состояния6. Для вычисления подобных эффектов требуется привлекать квантовую гравитацию. В отсутствии же последовательной квантовой теории гравитации на передний план выступает математическое моделирование возможных квантовых эффектов в рамках достаточно простых, допускающих аналитическое исследование, моделей. В частности, наличие неустойчивости в квантовой области приводит к отсутствию фонового пространства на начальном этапе эволюции Вселенной, что означает неприменимость в данной области квазиклассических методов исследований7. С математической точки зрения отсутствие фона означает, что интенсивность флуктуации метрики и кривизны пространства превышает соответствующие средние значения. Все это обуславливает актуальность моделирования квантовой динамики неоднородных гравитационных полей, процесса генерации классического пространства, формирования начальных условий для последующе^ квазиклассической эволюции и развитие различных непертурбативных методов исследования.

Еще одной актуальной проблемой является исследование возможных ограничений на модели элементарных частиц. В частности, одним из проявлений теорий суперсимметрии, а также теории суперструн, как теории всех фундаментальных взаимодействий, является многомерность физического пространства - времени8. При том встает проблема об эволюции и свойствах многомерных неоднородных моделей, а также об изучении возможности компактификации дополнительных измерений9.

В диссертации представлены исследования по математическому моделированию различных аспектов динамики неоднородных полей.

6Я.Б. Зельдович, A.A. Старобинский// ЖЭТФ. - 1971,- Т. 61. С.2161; ВН. Лукаш, A.A. Старобинсквй// ЖЭТФ. - 1974,- Т. 66. С.1515.

7А.А. Kirillov, Phys. Lett. В 399, 201 (1997).

8М.В. Green, J.H. Schwarz, and E. Witten, Superstring theory ^"Cambridge University Press, Cambridge,England, 1988).

»Th. Kaluga // Sti/.ungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys., Math. - 1921. -Bd Kl. - S. 966; O. Klein // Z. Phys. - 1926. - Bd 37. S. 895.

/и

Оснонпос внимание уделяется следующим вопросам: построение неоднородных моделей и их обоснование (область применимости); моделирование процесса развития неоднородности пространства и формирования статистических свойств пеоднородностей; моделирование квантовой динамики, классификация состояний и построение гильбертова пространства; квазиклассический предел и моделирование процесса генерации классического пространства; моделирование процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных квантовых неоднородных моделях; моделирование эффектов связанных с изменением топологии пространства, построение теории допускающей переменное число полей.

Цели и задачи исследования. Основная цель диссертации состоит в математическом моделировании и исследовании явлений, возникающих в ранней Вселенной при наличии неоднородностей непертурбативного характера.

Основные исследования проведены на моделях, допускающих аналитический анализ и выявляющих существенную роль присутствия непертурбативных неоднородностей метрики. Базовыми моделями являются построенные обобщения на неоднородный случай моделей перемешанного мира (mixmaster) и мира Де-Ситтера с материей в виде

«калярных полей.

1 Научная новизна работы состоит в следующем. Впервые обнаружен эффект генерации и усиления неоднородностей на масштабах, превышающих размер горизонта, проведено исследование их статистических свойств.

Впервые проведено моделирование и исследование квантовой динамики ранней Вселенной при наличии непертурбативных неоднородностей, поставлен и исследован вопрос о генерации классического пространства в вакуумных неоднородных моделях, получено строгое ограничение на применимость классических моделей (квантовая граница).

Обнаружена возможность компактификации на ранней стадии эволюции в случае, когда размерность пространства - времени не превосходит десяти.

Предложен новый математический аппарат для описания произвольных топологий пространства в квантовой гравитации и исследованы простейшие наблюдаемые следствия.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Научная и практическая значимость. Настоящая работа имеет теоретический характер и может быть использована при исследовании ранних моментов в истории развития Вселенной. Структура и свойства современной Вселенной (средняя плотность вещества, состав, крупномасштабная структура, анизотропия реликтового излучения и т.д.) почти полностью определяются физическими процессами, происходящими в самый ранний период ее развития. Исследование статистических свойств и динамики крупномасштабных неоднородностей метрики позволяет решить проблему определения начальных условий в ранней Вселенной. Этой же цели служит установление квантовой границы и описание процесса генерации классического пространства, что кроме того, открывает возможность построения модели последовательной теории квантовой генерации первичных возмущений в случае регулярного (неинфляционного) расширения.

Полученные результаты по проблеме компактификации дополнительных измерений представляют значительный интерес для развития многомерных теорий (теории суперсимметрии, струн, суперструн и других).

Теория с переменным числом физических полей представляет существенный интерес для физики высоких энергий, при исследовании процессов, связанных с изменением топологии пространства; открывает возможность построение непротиворечивой квантовой теории гравитацш^Ь и кроме того, дает возможность предсказания новых наблюдательных^^ эффектов. В частности, данная теория предсказывает существование новой ^ формы темной материи, что представляет интерес для астрономических приложений, при описании развития и эволюции крупномасштабной структуры Вселенной.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Начальный период развития Вселенной должен описываться в рамках крупномасштабных ненертурбативных неоднородных моделей. Наиболее адекватными являются неоднородная модель перемешанного мира и ее многомерные обобщения.

2. Хаотический характер эволюции метрики вблизи сингулярности сопровождается ростом степени неоднородности метрики.

3. Предложенные модели позволяют построить самосогласованное описание квантовой эволюции неоднородных нолей вблизи особой

точки. В частности, вблизи сингулярности оказывается возможным ввести представление о стационарных состояниях гравитационного поля, которые классифицируются числами заполнения возбуждений анизотропии пространства. Геометрия же, соответствующая данным состояниям вовсе не является стационарной.

4. Вблизи сингулярности невозможно ввести представление о классическом фоне. Соответственно, квазиклассические методы и методы теории возмущений в данной области оказываются неприменимыми. Момент выделения фона полностью определяется выбором начального квантового состояния. В частности, в вакуумных неоднородных моделях момент возникновения классического фона определяется моментом времени, когда размер горизонта сравнивается с размером неоднородностей.

5. В случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, общим свойством квантовой эволюции ранней Вселенной является режим при котором масштабы вдоль дополнительных измерений убывают со временем, что является начальной стадией процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных моделях. Причем данный режим не зависит от выбора начального квантового состояния.

. Предложенный метод вторичного квантования распределенных систем позволяет описывать произвольные топологии пространства и открывает путь для построения последовательной теории квантовой гравитации. Эффекты, связанные с квантовыми флуктуациями топологии пространства, могут приводить к наблюдаемым на макроскопических масштабах явлениям.

Совокупность научных положений и полученных в диссертации результатов позволяет сформулировать новое перспективное научное направление в теории ранней Вселенной - непертурбативные неоднородные модели.

Степень обоснования результатов диссертации. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы. Полученные результаты хорошо согласуются с работами других отечественных и зарубежных авторов.:

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:

Международный симпозиум по астрофизике и релятивистской космологии АН СССР,Тыравере ЭССР 1989; Международная школа - семинар "Multidimentional gravity and cosmology", Ярославль, 1994; 7-я и 8-я международные конференции "Marcel Grossmann Meeting on General Relativity", Stanford 1994, Jerusalem 1997; 1, 2 и 3 международные конференции "Астрономия. Космомикрофизика"(Космион-94, Космион-96, Космион-97, Москва); VI Seminar on Quantum Gravity, Moscow 1995; Международная школа - семинар "Foundation of gravitation and cosmology", Odessa, September 4-10 1995; на Российских гравитационных конференциях: Пущино 1993, Новгород 1996; International Conference "Contemprorary problems in the theory of dymanical systems", Nizhny Novgorod 199G; Second International Sakharov conference, Moscow 20-24 May 1996; International conference GR14, Florence, 1995. Прочитан курс лекций на VIII Бразильской школе Космологии и гравитации II, Rio de Janeiro, Brazil 1995.

По теме диссертации также делались доклады на научных семинарах в г. Москве - ГАИШ, АКЦ ФИ РАН, МГУ, НИЦПВ; в г. Н. Новгороде - ННГУ, НИРФИ, НИИ ПМК, НИИМАШ РАН; в г. Рим (Италия) University of Rome "La Sapienza", Astronomical Observatory of Rome; в г. Potsdam (Германия), Max-Plank Institute.

Личное участие. Автору принадлежит постановка задач (и участие в постановке задач совместно с A.A. Кочневым [Глава 2] и В.Н. Мельниковы^ [многомерные обобщения предложенных автором моделей и методов]) по всем, рассмотренным в диссертации, проблемам; построение исследуемых моделей и разработка математических методов их анализа; получение основных аналитических результатов и оценок.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и двух приложений,содержит 9 рисунков. Полный объем диссертации - 135 страниц текста, набранного в издательской системе LaTcX. Список литературы содержит 150 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается общая характеристика проблемы построения и исследования неоднородных моделей ранней Вселенной, указывается цель работы, обсуждается ее актуальность, теоретическая и практическая

значимость, перспективность проводимых исследований. Дается общая характеристика работы, ее краткое содержание по главам. Приводятся основные, выносимые на защиту, положения и сведения об апробации.

Первая глава диссертации носит вводный характер. В ней рассматриваются вопросы связанные с построением нспсртурбативных неоднородных моделей, исследование их общих свойств. Вводится обобщенная казнеровская параметризация физических степеней свободы.

В §1 обсуждается вопрос о неустойчивости изотропных моделей при приближении к особой точке. Данная неустойчивость обнаружена Лифшицем уже достаточно давно в рамках теории малых возмущений. Кроме того давно известно, что анизотропные однородные модели вблизи особенности не содержат фридмановского решения, а сингулярнось носит казнеровский характер. В работах Белинского, Лифшица, Халатникова (1972) была предложена процедура построения общего решения уравнений Эйнштейна вблизи особой точки, которое также не содержит фридмановского решения. Однако необходимость привлечения неоднородных моделей для описания самых ранних стадий развития Вселенной была понята сравнительно недавно.

Оказывается, что развитие данной неустойчивости приводит к быстрому росту (в нелинейном режиме) неоднородностей на масштабах

tpeвышaющиx размер горизонта. Причем данный рост происходит езависимо от направления эволюции (коллапс или расширение пространства).

В §2 обсуждаются общие свойста динамики неоднородных полей вблизи космологической особенности. Среди основных черт динамики мы выделим два:

1. Вблизи особой точки гравитационное поле всегда приобретает крупномасштабный характер (становится квазиоднородным). Именно данный факт приводит к тому, что с локальной точки зрения эволюция метрических функций повторяет поведение наиболее общей недиагональной однородной модели.

2. Единственным видом вещества, влияющим на эволюцию метрики вблизи особой точки являются скалярные поля.

Отметим, что эти свойства подтверждаются и численными методами исследования сингулярности.

Для построения неоднородных моделей, допускающих аналитическое исследование используется, в §§3.1 — 3.6, предложенная автором

обобщенная казнеровская параметризация физических степеней свободы, обсуждается вопрос о применимости результатов работы в РТГ (§3.2). Ее введение основано на том факте, что локально особенность всегда носит казнеровский характер.

Рассмотрим п + 1-мерный пространственно-временной интервал в виде

= Лг2Л2 - да0 {(1ха + №(И) {¿х? + Ы^М) ,

где основными динамическими переменными являются компоненты пространственной римановой метрики дар и канонически сопряженная к ней матрица импульсов

ПЛ/? = -да0К).

Основная идея заключается в том, чтобы с самого начала с помощью некоторого контактного преобразования привести обе матрицы к диагональному виду

9ар = £ехр {д°} ОД , = Т.РаЬаЛ , (1)

а а

где Ь"1ьа = 6а (а,Ь = 0, ...,(п — 1)), а вектора уже содержат только п(п — 1) произвольных функций пространственных координат. Тогда в качестве динамических переменных можно принять масштабные функции^^ да и сопряженные им главные значения матрицы импульсов ра, а плотноств^^ функции Гамильтона (в калибровке Лга = 0) принимает следующий вид

*НЕСЕРО'+ + (2)

где |Пф - плотность кинетической энергии скалярного поля, а потенциал V имеет разложение V = Здесь д обозначает определитель

метрики, функции Ал неявным образом зависят от всех динамических функций и характеризуют степень неоднородности пространства, а степенные показатели а а выражаются линейным образом через параметры аНИЗОТрОПИИ пространства = <?аЬс = 1 + <Эа — Фг> — Фс> Ьф с.

Полученная таким образом система уравнений Эйнштейна (в гамильтоновой форме) является точной. Чтобы перейти к упрощениям необходимо использовать различные приближения для потенциала V.

Простейшая модель (обобщенная модель Казнера) соответствует полному пренебрежению потенциалом. Характер данного приближения

можно выяснить следующим образом. Заметим, что кинетический член в

•

функции Гамильтона имеет порядок ~ где Н - средний хаббловский масштаб. По порядку величины он определяется размером горизонта Н ~ С другой стороны потенциал характеризует степень неоднородности пространства и имеет порядок V ~ Таким образом, обобщенной

казнеровской модели соответствует приближение крупномасштабности полей

li > Zh ~ Я"1. (3)

Данные условия могут быть выполнены лишь на конечном интервале времени, поскольку размер горизонта и характеристический масштаб неоднородности по разному зависят от времени. Кроме того, казнеровское решение является принципиально анизотропным, что приводит к различной зависимости от времени величины £{ в зависимости от направления в пространстве. При продолжении данного решения, как к сингулярности, так и в сторону расширения пространства условия крупномасштабности нарушаются. Таким образом, эта модель может быть реализована, как некоторая промежуточная асимптотика. Отметим однако ее важную методическую ценность для квантовой гравитации и космологии.

Следующая по важности модель (неоднородная модель перемешанного мира §4) соответствует аппроксимации потенциала бесконечными

Ктенками. Характер данного приближения можно увидеть следующим бразом. При приближении к сингулярности имеем д —» 0. Таким образом, предполагая гладкость функций Ад < оо, видим, что в этой асимптотике каждый член в потенциале приобретает вид стенки

= (4)

и содержит зависимость только от параметров анизотропии. Условие приминимости данной модели можно записать в виде д 1,

которое может нарушаться только при продолжении решения в сторону расширения пространства. В сторону коллапса данная модель является асимптотически точной. Соответствующее решение описывает хорошо известный коллебательцы'й режим эволюции метрики.

В заключение данной главы (§5) приведено построение обощснного решения Де-Ситтера, соответствуещего инфляционному типу расширения неоднородного пространства. Эта модель соответствует аппроксимации потенциала эффективной космологической постоянной V ~ дА(ф). Условия ее применимости имеют вид ¿i tc ~ const, где lc -

связанная со скалярным полем комптоновская длина. Последнее условие здесь эквивалентно условию медленного скатывания скалярного поля. Это решение также оказывается неустойчивым, как в сторону коллапса (где оно переходит в обобщенное казнеровское решение), так и в сторону расширения пространства (в силу наличия эволюции скалярного поля). Таким образом, данная модель может описывать лишь промежуточную асимптотику.

Во второй главе диссертации рассматривается вопрос о генерации ячеистой структуры пространства при приближении к особенности в присутствии скалярного поля.

Полная метрика вблизи особенности Ь = 0 строится путем сшивки последовательности метрик казнеровского вида

<ьа = й*- £ №\еа(х))2. (5)

1,т,п

В окрестности данной пространственной точки х каждая из метрик данного вида удовлетворяет в главном порядке уравнениям Эйнштейна на интервале времени, называемом казнеровской эпохой: tk+l(x) < £ < где к - номер эпохи.

Основными динамическими характеристиками метрики являются показатели рт(х) и рп{х), определяющие темп изменения масштабов

вдоль осей £(х), т(х), п(х) на данной казнеровской эпохе. Показатели^ подчинены условиям Ер/ = Ер? + д2 = 1, где функция д(х) определяется! плотностью энергии скалярного поля.

Эволюция метрики к особенности состоит из двух последовательных стадий. Колебательная стадия (КС) объединяет все эпохи, на которых среди показателей имеется один отрицательный. При этом сшивка показателей на соседних эпохах производится по правилу: если на данной эпохе Р1(х) < 0, то на последующей эпохе при £ —0 имеем новый набор показателей

~Р1 , _ Рт,п + 2р1 1 + 2Р1' Рт'п 1 + 2р1 Функция <7(х) при этом преобразуется как д' —

При д ф 0 в процессе смен казнеровских эпох обязательно возникает эпоха, на которой все показатели неотрицательны. Эта последняя эпоха устойчива и длится вплоть до сингулярности. Она образует монотонную стадию эволюции (МС).

Конечность числа осцилляций метрики при коллапсе позволяет в явном виде построить и исследовать полное отображение между

й = 1~Т~пГ~' Ртл, = , , о„ • (6)

динамическими функциями заданными в начальный момент времени и на конечной монотонной стадии. Пространственное строение показателей на монотонной стадии эволюции исследуется в §1.

Введем вместо четырех функций р/, рт, рп и д, подчиненых двум уравнениям связи один комплексный параметр ги = и + гь и> — (~Р1 + гд/\/2)/(1 — Рг)- Тогда указанное отображение определяется разложением параметра ги в цепную дробь с натуральными элементами а\,... ап и комплексным остатком г Е М т области монотонности:

ш(г) = [а!,... а„_ь ап + 2:]. Каждое из чисел а\,.. .ап имеет смысл числа казнеровских эпох на КС.

#ис. 1: На плоскости комплексного параметра 2 показаны области К и Л/, соответствующие колебательной и монотонной стадиям соответственно. Область М состоит из трех подобластей М и М' и М". В области К показаны также простейшие прообразы области Л/, лежащие выше пунктирной окружности (ниже которой расположено счетное множество таких прообразов).

При отображении области К (области начальных значений ю) на М (область конечных значений, на которой все казнеровские показатели положительны) область М имеет счетное множество прообразов в области К (области К и М показаны на рис.1). Каждый такой прообраз есть область изменения переменной ги(г), когда г пробегает область М при фиксированных значениях аи ...ап. В соответствии с этим разбиением происходит разбиение пространства на счетное число ячеек V = и(г) У{т) > в каждой из которых показатели принимают все допустимые на МС значения. Топологически, ячейка является, в типичном случае, цилиндром либо тором. Разбиение пространства на счетное число ячеек фактически означает неограниченный рост пространственных градиентов функции ги(х) и соответственно функций Р1, рт, рп и д.

М' ! М"

-1 -0.5

0.5

и

Статистическое исследование отображнения последовательности казнеровских эр впервые выполнено Е.М. Лифшицем, И.М. Лифшицем и И.М. Халатниковым (1970) при исследовании эволюции однородных моделей. Существует общая теория дискретных отображений допускающих инвариантную меру. Применение данной теории к построенному отображению, выполненное в §2, показывает, что если задать начальное распределение вероятности по переменной и> локализованос вблизи V — 0, то в процессе эволюции формируется инвариантное распределение вида р,-П1) (ги) =

В заключительном разделе главы (§3) исследуются свойства пространственных кривых в областях с развитой ячеистой структурой. Оказывается, что в случае общего положения кривой ее длина убывает при коллапсе аномально медленно. Для нее получена оценка

(7)

В третей главе диссертации рассматривается вопрос о динамике и статистических свойствах неоднородности метрики.

Подход, использованный во второй главе, существенно основан на исследовании дискретного отображения последовательности казнеровских режимов. При этом важно, что коллапс при наличии скалярного поля заканчивается монотонной стадией. Данный подход оказывается^ неприменимым в задаче о космологическом расширении пространства.^ Кроме того, в общем неоднородном случае гиперповерхности смены казиеровских режимов не являются пространственно - подобными, что затрудняет динамическое описание неоднородностей метрики. В настоящей главе предлагается подход свободный от указанных недостатков.

В основе предлагаемого подхода лежит неоднородная модель перемешанного мира. Аппроксимация потенциала бесконечно высокими стенками позволяет свести задачу об эволюции неоднородного поля к исследованию локальной динамики. Этот вопрос подробно исследуется в §1. При этом используя параметризацию Мизнера-Читра, задачу о локальной эволюции можно свести к биллиарду на пространстве Лобачевского (пространстве постоянной отрицательной кривизны). Как известно, геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны характеризуется экспоненциальной неустойчивостью. Это означает, что в процессе движения по геодезической линии нормальные отклонения растут не медленнее, чем экспонента от пройденного пути (£ ~ ¿.о^)-

р. р.

Рис. 2: (а), (Ь) Области биллиарда для случаев п = 3 и п = 4 соответственно. Точки Р^ принадлежат абсолюту |г/|2 = 1 пространства Лобачевского, (с) Верхняя комплексная полуплоскость представляет собой двухмерное пространство Лобачевского. Окрашенная область К является областью биллиарда. Кп - набор образов области К. 5'п - произвольная начальная площадка, а является той же самой ^шощадкой после периода времени

Свойства биллиардов исследуются в §2. Для иллюстрации различных биллиардов на рис. 2 приведены два простейших примера. Случай тг = 3 совпадает с моделью mixmaster - рис. 2 а, а случай п = 4 приведен на рис. 2 Ь. На Рис. 2 с изображен биллиард п = 3 в координатах Пуанкаре. В размерностях п < 10 объем биллиарда оказывается конечным, что приводит к наличию сильных перемешивающих свойств. Таким образом, скорость роста неоднородности динамических функций и скорость установления инвариантного статистического распределения определяется выражением для Динамика и свойства неоднородностей подробно

описаны в §4.

Рассмотрим параметризацию параметров анизотропии в виде где А'.' постоянная матрица, а в качестве временной переменной

принимается выражение т = 1п ((Е^а)2 — д2) (с точки зрения синхронного времени I эта переменная является дважды логарифмическим временем г ~ 1п|1п£|). В новых переменных действие для модели принимает вид

у + PnQ^zn - Р°(Р,!/)} <TxdT, (9)

где величина Р°(Р, у) = |е2(у, Р) + V[y] + (Р")2е2т} играет роль АДМ плотности гамильтониана. Здесь величина Рп - характеризует скалярное поле, а е2 = — у2)2Р2 - гравитационные степени свободы.

Геодезический путь, определяющий скорость развития неустойчивости, дается выражением s = | In j j . Произвольная начальная п-точечная функция распределения релаксирует к инвариантному распределению d/i = Пid/ii, где мера щ дастся выражением dfi(y,m) — const х ,

здесь m - |m| = 1.

В отсутствии скалярного поля геодезический путь совпадает с временем движения s — Ат = т — tq и может быть произвольно большим. При наличии- же скалярного поля в задаче о коллапсе пространства, полный путь оказывается конечным. В этом случае можно говорить о перемешивании и, следовательно, об установлении инвариантного статистического распределения только по отношению к областям достаточно низкой плотностью энергии скалярных полей.

В заключение главы (§5) получены оценки скорости роста координатного масштаба неодиородностей в синхронном времени (она оказывается логарифмической A яз Ао ln(l/fo)/ln(l/t) в случае коллапса (i -> 0) и А и Ао ln(l/i)/ln(l/io) в случае расширения пространства) и зависимость от времени пространственных масштабов в размерностях п < 10. Для моментов масштабных функций < gMQ* > (где М > 0) при д <С 1 получена оценка (^/д ~ t)

где Qmin — — которая показывает, что при п > 3 средние длины при неоднородном коллапсе растут степенным образом.

В четвертой главе диссертации рассматривается вопрос о квантовой эволюции неоднородных полей вблизи особой точки. В настоящей главе рассматриваются неоднородная модель перемешанного мира и обобщенная

казнеровская модель. Данные модели могут служить в качестве нулевого приближения к полной квантовой гравитации. Адекватность подобного выбора гарантируется тем, что еще на классическом уровне мелкомасштабные возмущения не оказывают влияния на эволюцию метрики вблизи особой точки. По - видимому, это остается справедливым и в квантовой теории. Для скалярного поля это можно показать в явном виде, хотя для гравитационного поля, в силу нсперснормируемости гравитации, данное утверждение уже не является строгим. С другой стороны, данные модели описывают только крупномасштабную часть гравитационного поля и следовательно для их квантового описания проблема неперенормируемости гравитации оказывается несущественной.

Квантование данных моделей приводит к системе уранений Уилера-ДеВитта (эта система вводится в §2)

(—Да; + их + = 0, ' хеБ. (11)

Поскольку поле содержит только крупномасштабную часть, то эта система в главном порядке распадается па набор независимых уравнений (по одному на каждую точку пространства). По существу, квантовое описание подобной системы проводится в полной аналогии с системой релятивистских частиц.

В §3 проведено построение пространства решений для локального

||-множества степеней свободы. Для модели перемешанного мира конфигурационное пространство для локальных степеней свободы представляет собой биллиард и решение сводится к задаче на собственные значения для оператора Лапласа-Бельтрами, заданного в области биллиарда К,

(Ау + к* + (П~2)2)уЛ*) = 0, >р} |вк-= 0. (12)

При п < 10 индекс ./ принимает дискретные значения. В разделах §4 — 6 рассматривается вопрос о построении Гильбертова пространства и вероятностной интерпретации. Для этого в пространстве решений выделяется положительно - частотный сектор и проводится построение состояний Ньютона - Вигнера. Обсуждается неоднозначность выбора Гильбертова пространства. Кроме того, для вакуумных моделей показана эквивалентность данной схемы квантования и АДМ (Арновитта - Дезера -Мизнера) подхода.

В §7 рассмотрен вопрос о третичном квантовании однородных моделей при наличии скалярного поля. Используется техника диагонализации

гамильтониана поля вселенных. Присутствие скалярного поля приводит к перемешиванию частотностей, что позволяет описать процесс "квантового рождения мира из ничего". Показано, что если в качестве начального состояния (вблизи сингулярности) выбирается вакуум ("ничего"), то конечное состояние Вселенной будет описываться матрицей плотности, имеющей тепловой характер.

В §8 исследован вопрос о построении и структуре гильбертова пространства в случае полного набора степеней свободы. Указана необходимость аналитического продолжения решений. Отмечается появление дополнительной неоднозначности в построении полного пространства состояний, которая приводит к тому, что в общем случае различные пространства уже нельзя связать преобразованиями боголюбовского типа.

В §9 исследуются статистические свойства квантовой модели перемешанного мира. Показано, что в вакуумном случае вблизи сингулярности оказывается возможным ввести представление о стационарных состояниях гравитационного поля, которые классифицируются числами заполнения 3 (х). Геометрия, соответствующая данным состояниям не является стационарной, поскольку сохраняет явную зависимость от времени. Числа заполнения 3 (ж) имеют смысл плотности гравитационных волн с длинами волн превышающих размер горизонта (или возбуждений анизотропи^ пространства). Приведены выражения для корреляционных функций и показано отсутствие фонового пространства при I ^

В заключительном разделе §10 рассмотрен вопрос о редукции дополнительных измерений в квантовых многомерных теориях гравитации типа Калузы - Клейна. Показано, что при п < 10 размерность равная трем оказывается выделенной в том смысле, что в процессе космологического расширения происходит сжатие пространства вдоль произвольных гиперповерхностей размерности гтг < п — 2. Другими словами расширение пространства происходит только за счет трех пространственных направлений. Причем данное поведение не зависит от выбора начального квантового состояния и может служить в качестве начальной стадии компактификации.

В пятой главе исследуется вопрос о генерация классического фона в неоднородных моделях в процессе космологического расширения пространства. Рассмотрение ведется в рамках обычной эйнштейновской теории гравитации. Хаотический характер эволюции метрики вблизи

сингулярности приводит к тому, что вопрос о выделении фона является общим, как для квантовой теории, так и для классической, хотя характер статистического усреднения в этих теориях разумеется разный. Рассмотрение ведется на основе вакуумног о решения. Поведение вещества учитывается во втором порядке.

В §1.1 — 1.2 рассмотрен вопрос о модиффикации модели перемешанного мира в задаче о космологическом расширении пространства.

Исследуется динамика модели, построено отображение Пуанкаре. В явном виде продемонстрировано полное соответствие между статистическим описанием модели в терминах казнеровских параметров (отображение БЛХ) и описанием с помощью непрерывной меры. Показано, что при определенном изменении параметризации Мизнера - Читра удается покрыть практически всю классически доступную область конфигурационного пространства (включая и область выделения фона).

В разделе §1.3 рассмотрен вопрос об эволюции вещества. Показано, что хаотических характер эволюции метрики приводит к дополнительной генерации неоднородностей в распределении вещества только при ультра - релятивистских скоростях и при любом уравнении состояния. Для нерслятивистских скоростей этот процесс оказывается неэффективным.

В §1.4 разделе исследуется вопрос о поведении амплитуд осцилляций ^¡етрики и вещества Д = 1 — а^п1п/аг2пах. Приведена оценка для момента ^лделения фонового квазиизотропного пространства £(,. Оказывается, что этот момент полностью определяется начальными условиями и по порядку величины совпадает с моментом времени, когда размер горизонта сравнивается с масштабом неоднородности метрики.

. В заключительном разделе §2 рассмотрен вопрос о генерации фона в квантовых неоднородных моделях. Исследуется вопрос о квазиклассическом приближении. При квантовом описании используется АДМ схема квантования гравитационного поля. Показано, что классическая оценка момента возникновения фона остается справедливой и в квантовой космологии, с точностью до коэффициента (квантовых поправок) Ьь ~ Сохраняется и зависимость момента

возникновения фона от' выбора начального квантового состояния (в общем случае этот момент не совпадает с планковским временем ¿ь ф

Отмечается неприменимость квазиклассического рассмотрения в задаче о космологическом расширении пространства независимо от начальных условий. В задаче о коллапсе получена абсолютная граница классического

рассмотрения (которая также отличается от наивной оценки ¿т;п ~ tp^): (ти ~ 1ь охр ^¿д) > гЛе - начальное значение неопределенности параметров анизотропии.

Шестая глава посвящена исследованию возможных наблюдаемых эффектов в физике частиц, связанных с пространственно - временной пеной.

В первом разделе проведен анализ следствий существования, в квантовой гравитации, фундаментального ограничения на принципиальную возможность измерения напряженностей поля. Подобное ограничение находится в тесной взаимосвязи с пеноподобной структурой пространства - времени, которая должна наблюдаться на планковских масштабах. Показано, что с феноменологической точки зрения различные физические наблюдаемые должны представляться многозначными функциями координат, что приводит к необходимости построения теории с переменным числом полей. Приведены соображения в пользу того, что такие поля подчиняются статистике Ферми - Дирака. Описание подобных систем достигается в рамках метода вторичного квантования.

В §2 — 3 предлагается общий метод вторичного квантования распределенных систем и рассматривается пример скалярного поля. Введена алгебра фундаментальных операторов - операторов рождения и уничтожения степеней свободы. Переменность числа значений полевой функции <£> проявляется в том, что переменным становится число мод' поля. В рамках данного подхода описано построение оператра гамильтона свободного поля и оператора взаимодействия в представлении вторичного квантования. Показано, что для обычных взаимодействий (без учета гравитации) плотность числа мод является интегралом движения и можно говорить о сохранении топологической структуры поля.

В §4 приводится алгебра операторов, играющих роль операторов рождения и уничтожения физических частиц. Дается определение основного состояния поля и показано, что с точки зрения стандартной теории основное состояние может характеризоваться ненулевой плотностью частиц. В разделе §5 показано, что сохранение плотности числа мод позволяет ввести понятие эффективного поля и полностью востановить стандартную квантовую теорию. Однако свойства основного состояния оказываются за пределами эффективного поля и могут быть определены только в полной теории.

Свойства основного состояния исследуются в §6. Предполагается, что процессы связанные с изменением топологии пространства

действительно имели место на квантовом этапе эволюции ранней Вселенной. На последующем этапе происходит закалка топологической структура пространства, а поле садится в основное состояние, которое характеризуется единственным параметром /I (химическим потенциалом). Тогда основное состояние поля характеризуется ненулевой плотностью бозе частиц. Для спектральной плотности получено выражение = 5 (1 + и соответственно для энергии е* = ЩЩ- Данные

частицы взаимодействуют только гравитационным образом и могут давать существенный вклад в плотность невидимого вещества. Несмотря на то, что данные частицы представляют собой бозоны, в основном состоянии они ведут себя, как фермионы. Показано, что для безмассовых полей данное вещество обладает релятивистским уравнением состояния, а для массивных полей - уравнением состояния вырожденного нерелятивиского ферми газа.

Для безмассовых полей получено выражение для флуктуаций потенциалов поля в основном состоянии. Показано что на масштабах, превышающих к чисто вакуумному шуму примешивается добавка

ДФ2 (к) = к2 [£]. В заключительном разделе (§7) дается оценка возможных тепловых поправок, а также обсуждается возможность вычисления других наблюдаемых следствий.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, ^^ азаны возможные приложения и дальнейшие пути развития теоретических исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены модели, описывающие эволюцию крупномасштабных гравитационного и скалярных полей в асимптотике сколь угодно малых времен при произвольном числе пространственных измерений. Показано, что в случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, генерация пространственного хаоса в метрических функциях является общим свойством эволюции данных моделей вблизи особой точки.

2. В рамках асимптотических моделей, описывающих эволюцию крупномасштабных полей в асимптотике малых времен, исследована статистика неоднородностей. В явном виде получено соответствие между статистическими параметрами данных моделей и статистикой стандартных казнеровских параметров.

3. В рамках предложенных моделей проведено исследование квантовой динамики неоднородных полей. Дана классификация квантовых состояний для крупномасштабных гравитационного и скалярных нолей вблизи особой точки. Показано, что вблизи космологической сингулярности эволюция квантовых состояний крупномасштабных полей может быть непротиворечивым образом описана, как в рамках уравнения Уилера- ДеВитта (суперпространственный подход), так и в рамках АДМ подхода. В обоих случаях проведено явное построение Гильбертова пространства и ведение вероятностной интерпретации.

4. Обнаружено, что в случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, общим свойством квантовой эволюции ранней Вселенной является режим при котором масштабы вдоль дополнительных измерений убывают со временем, что является начальной стадией процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных моделях. Показано, что данный режим не зависит от выбора начального квантового состояния.

5. Показано, что вблизи сингулярности изотропные и однородные квантовые модели являются неустойчивыми по отношению к крупномасштабным возмущениям и таким образом квазиклассические методы оказываются неприменимыми при описании сингулярности. Исследован вопрос о генерации классического пространства^ в вакуумных неоднородных моделях. Показано, что момент^ возникновения классического фона зависит от выбора начального квантового состояния и соответствует моменту времени когда размер горизонта сравнивается с размером неоднородностей.

6. Показано, что существование флуктуаций топологии пространства приводит к тому, что число фундаментальных квантовых бозонпых _ полей становится переменной величиной. Предложена общая схема построения теории, допускающей переменное число полей

- схема вторичного квантования распределенных систем. Показано, что в отсутствии процессов, связанных с изменением топологии пространства восстанавливается стандартная теория поля.

7. Проведено исследование простейших наблюдаемых эффектов, вызванных флуктуациями топологии пространства. Показано, что в полной теории основное состояние характеризуется ненулевой плотностью Бозе-частиц. С точки зрения стандартной теории поля

данные частицы являются "скрытыми"и могут формировать скрытую массу Вселенной. Показано, что последняя должна представляет собой смесь компонент с релятивистским и нсрелятивистским уравнениями состояния. Исследована возможность измерения квантовых флуктуаций потенциалов безмассовых полей. Показано, что при наличии нетривиальной топологической структуры пространства на макроскопических масштабах должно наблюдаться заметное повышение интенсивности флуктуаций полей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

В научных журналах рекомендованных ВАК

1. А.А.Кириллов, А.А.Кочнсв, Ячеистая структура пространства вблизи особенности по времени в уравнениях Эйнштейна.// Письма в ЖЭТФ, Т. 46, с. 345 (1987).

2. A.A. Кириллов, О квантовом рождении Вселенной в окрестности космологической сингулярности.// Письма в ЖЭТФ, Т. 55, с.561-563 (1992).

3. A.A. Кириллов, К вопросу о характере пространственного

• распределения неоднородностей метрики в общем решении уравнений Эйнштейна вблизи космологической сингулярности.// ЖЭТФ, Т. 103, с. 721 (1993).

4. В.Д. Иващук, A.A. Кириллов, В.Н. Мельников, О стохастических свойствах многомерных космологических моделей вблизи особой точки.// Письма в ЖЭТФ, Т. 60, с. 235-239 (1994).

5. A.A. Кириллов, О редукции дополнительных измерений в неоднородных квантовых космологических моделях типа Калузы-Клейна.// Письма в ЖЭТФ, Т. 62, с.89-94 (1995).

6. A.A. Kirillov, Quantum creation of a quasihomogeneous inflationary universe// Gravitation and Cosmology, V.2, No.l (5) pp. 35-37 (1996).

7. A.A. Кириллов, Billiards in cosmological models.// Regular and Chaotic dynamics, V. 1, No.2, p. 13 (1996).

8. A.A. Kirillov and G. Montani, Origin of a classical space in quantum inhomogencous models.// Письма в ЖЭТФ, Т. 66, с. 475-479 (1997).

9. A.A. Kirillov, Behavior of quantum inhomogeneous models near singularity.// Gravitation and Cosmology, V. 4, pp. 23-27 (1998).

10. A.A. Kirillov, Dark matter from quantum gravity// Gravitation and Cosmology, V. 5, p. 134 (1998).

11. А.А.Кириллов, Об эффектах, связанных с пространственно -временной пеной, в физике частиц.// ЖЭТФ, Т. 115, N6, с. 1921 (1999).

12. A.A. Kirillov, G.V. Serebryakov, Origin of a classical space in quantum cosmologies. // Gravitation and Cosmology, V. 7, pp. 211-214, (2001).

В других научных журналах и материалах научных конференций

1. А.А.Кириллов, А.А.Кочнев. Точная интегрируемость уравнений скалярных полей, неминимально взаимодействующих с гравитационным полем. //В сб.статей Методы качественной теории и теории бифуркаций иод ред. Л.П.Шильникова. Нижний Новгород с. 105 (1988).

2. А.А. Кириллов. Общее асимптотическое решение уравнения Уилера-де Витта при наличии космологической постоянной.// В сб.статей Методы качественной теории и теории бифуркаций под ре/^ Л.П.Шильникова. Нижний Новгород с.130 (1991).

3. A. A. Kirillov, On quantum properties of large-scale inhomogeneities of metric in the vicinity of cosmological singularity.// Int. Jour. Mod. Phys. D, V.3, pp. 431-441 (1994).

4. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Formation of Spatial Chaos in Vacuum Inhomogeneous Kaluza-Klein Models.// In: Inhomogeneous cosmological models, Eds. A.Molina and I.Sinovilla, World Scientific, pp. 167-171 (1995).

5. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Dynamics of inhomogeneities of metric in the vicinity of a singularity in multidimensional cosmology.// Phys. Rev.D, V. 52, pp. 723-729 (1995).

6. A.A. Kirillov, Dynamics of inhomogeneous models near singularity, in classical and quantum cosmology.// In: Cosmology and Gravitation, Ed. M.Novello, Ed.Front., Singapore, p.349 (1995).

7. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Quantum Dynamics of Inhqmogcncous Kaluza-Klcin Cosmological Models near the Cosmological Singularity// Preprint CBPF-NF-037/95, Rio de Janeiro, Brazil (1995).

8. A.A. Kirillov, V.N.Melnikov, Properties of inhomogeneities of metric near the singularity in Kaluza-Klein cosmological models filled with a scalar field// Astronomical and Astrophysical Transactions, V. 10, pp.101-109, (1996).

9. A.A. Kirillov, Description of spatial topologies in quantum gravity// Astronomical and Astrophysical Transactions, V.10, pp.95-100 (1996).

10. A.A. Kirillov, On properties of inhomogeneities of gravitational and scalar fields in the vicinity of a cosmological singularity// In: Proc. of 7th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, WSP, Singapore p. 711 (1996).

11. A.A. Kirillov and V.N. Melnikov, Compactification of extra dimensions in Quantum Inhomogeneous Kaluza-Klcin Cosmological models.// Phys. Lett. B, V. 389, pp. 221-224 (1996).

12. A.A. Kirillov and G. Montani, Description of statistical properties of the mixmaster universe.// Phys. Rev. D, V. 56, pp. 6225-6229 (1997).

A.A. Kirillov, Quantum behaviour of long-wave inhomogeneous models of the very early Universe.// Phys. Lett. B, V. 399, pp. 201-206 (1997).

- 14. A.A. Kirillov and G. Montani, On the stochasticity in the Mixmaster Model.// In: Proc. of 8th Marcel Grossmann Meeting, (Jerusalem 1997), Eds. T.Piran and R. Ruffini, WSP, Singapore p; 622 (1998).

15. A.A. Kirillov, Origin of a classical background in the vacuum inhomogeneous mixmaster model.// In: Proc. of 8th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, (Jerusalem 1997), Eds. T.Piran and R. Ruffini, WSP, Singapore p. 1021 (1998).

16. V. Belinski, A. Kirillov, and G.Montani, On The Turbulence near cosmological singularity.// In: Proc. 8th Marcel Grossmann meeting, (Jerusalem 1997), Eds. T.Piran and R. Ruffini, WSP, Singapore p. 612 (1998).

17. A.A. Kirillov, G. Montani, Quasiisotropization of the inhomogeneous mixmaster universe induced by an inflationary process.// Phys. Rev. D, V. 66, p. 064010, (2002).

18. R. Bcnini, A.A. Kirillov, G. Montani, Oscillatory regime in the multidimensional homogeneous cosmological models induced by a vector field.// Classical Quantum Gravity, V. 22, pp. 1483-1491,(2005).

Подписано в печать 15.03.06. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №25//^

Отпечатано с оригинал-макета в типография Издательского центра Ульяновского государственного университета 432970, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

1 Введение.

1 Основные свойства и типы неоднородных моделей ранней Вселенной

1 Неустойчивость изотропных космологических моделей вблизи особенности

2 Общие свойства неоднородных полей вблизи особой точки.

3 Обобщенная казнеровская модель и казнеровская параметризация.

3.1 Гамильтоиова формулировка теории тяготения.

3.2 Уравнения движения в РТГ.2G

3.3 О размерностях физических величин.

3.4 Обобщенный казнеровский режим.

3.5 Условия применимости казнеровского режима.

3.6 Казнеровская параметризация динамических переменных.

4 Модель перемешанного мира (Асимптотическая модель ВЛХ)

5 Обобщенное решение Де - Ситтера.

2 Ячеистая структура геометрии вблизи особенности

1 Пространственное строение показателей на монотонной стадии эволюции

2 Статистические свойства ячеистой геометрии.

3 Поведение длин пространственных кривых.

3 Биллиардное представление и статистические свойства нсоднородностсй метрики

1 Переменные Мизнера-Читра.

2 Свойства биллиардов.

3 Динамика и свойства неоднородностей.

4 О генерации ячеистой структуры пространства.

4 Квантовая эволюция неоднородных моделей вблизи особой точки

1 Вводные замечания.

2 Система уравнений Уилера-Де Витта.

3 Пространство решений для локального ^-множества степеней свободы

4 Гильбертово пространство и вероятностная интерпретация.

5 Состояния Ныотона-Вигнера.

6 Неоднозначность выбора Гильбертова пространства.

7 Перемешивание частотностей и третичное квантование в однородных моделях

8 Структура Гильбертова пространства в случае полного набора степеней свободы

9 Статистические свойства квантовой модели перемешанного мира.

10 О редукции дополнительных измерений в неоднородных моделях типа Калузы-Клейна

5 Генерация классического фона в неоднородных моделях

1 О выделении фона в классической теории гравитации.

1.1 Модель перемешанного мира.

1.2 Динамика модели и отображение Пуанкаре.

1.3 Эволюция вещества.

1.4 Поведение амплитуд.

2 О возникновении классического пространства в квантовых неоднородных моделях.

G Эффекты, связанные с пространственно - временной иеной, в физике частиц 10G

1 Введение.

2 Общая схема вторичного квантования распределенных систем.

3 Пример скалярного поля в представлении вторичного квантования.

4 Операторы рождения физических частиц.

5 Эффективное поле.

6 Свойства основного состояния поля.

7 Заключительные замечания.

Актуальность темы. В последние годы в релятивистской астрофизике и космологии повышенное внимание стало уделяться проблемам математического моделирования процессов, происходящих в самые ранние моменты развития Вселенной (см. например [1] -[9]). При этом особую актуальность приобретает построение и исследование иепертурбативпых неоднородных моделей. Это обусловлено в первую очередь тем, что простейшие однородные и изотропные модели вблизи особенности обнаруживают свойство неустойчивости по отношению к крупномасштабным возмущениям [10, 9, 11]. Причем данная неустойчивость присутствует, как в классической теории тяготения, так и в квантовой космологии [9, 12], а ее развитие приводит к тому, что в самые ранние моменты эволюции Вселенной неоднородности носили существенно ненертурбативный характер. Разумеется в полном объеме решить задачу о поведении неоднородных полей вблизи космологической особенности без развития адекватных методов математического моделирования не представляется возможным.

Наличие данной неустойчивости приводит к целому ряду фундаментальных проблем. Особенно остро стоит проблема объяснения наблюдаемой однородности и изотропии Вселенной. Отметим, что существование промежуточной инфляционной фазы расширения [13], по-видимому, не может служить основным механизмом изотропизации, поскольку наличие подобной фазы требует достаточно регулярных начальных условий. Так первичные неоднородности метрики должны быть сглаженными по сравнению с комптоновской длиной, а плотность энергии, запасенная в анизотропии пространства, малой но сравнению с энергией скалярного поля, ответственного за инфляцию |14|. Таким образом, особую актуальность приобретает поиск и других возможных механизмов изотропизации неодно- ^ родной Вселенной [15, 16], а также исследование возможности выхода на инфляционную фазу в рамках неоднородных моделей [1].

Особый интерес, как в теоретическом отношении, так и с точки зрения приложений, связан с исследованием различных квантовых эффектов в неоднородных моделях. Действительно, в случае регулярного расширения, когда размер горизонта растет быстрее, чем характерный масштаб неоднородностсй метрики, механизм квантовой генерации возмущений из вакуумных флуктуаций существенно зависит от выбора начального квантового состояния [17, 18, 19]. Для последовательного вычисления подобных эффектов требуется привлекать квантовую гравитацию. В отсутствии же последовательной квантовой теории гравитации на передний план выступает математическое моделирование возможных квантовых эффектов в рамках достаточно простых, допускающих аналитическое исследование, моделей. В частности, наличие неустойчивости в квантовой области приводит к отсутствию фонового пространства на начальном этапе эволюции Вселенной [20, 21], что означает неприменимость в данной области квазиклассических методов исследований [12]. С математической точки зрения отсутствие фона означает, что интенсивность флуктуации метрики и кривизны пространства превышает соответствующие средние значения. Все это обуславливает актуальность моделирования квантовой динамики неоднородных гравитационных полей, процесса генерации классического пространства, формирования начальных условий для последующей квазиклассической эволюции и развитие различных непертурбативных методов исследования.

Еще одной актуальной проблемой является исследование возможных ограничений на модели элементарных частиц. В частности, одним из проявлений теорий суперсимметрии, а также теории суперструн, как теории всех фундаментальных взаимодействий, является многомерность физического пространства - времени [22, 23]. При этом встает проблема об эволюции и свойствах многомерных неоднородных моделей, а также об изучении возможности компактификации дополнительных измерений [24]-[26].

В диссертации представлены исследования по математическому моделированию различных аспектов динамики неоднородных полей. Основное внимание уделяется следующим вопросам: построение неоднородных моделей и их обоснование (область применимости); исследование процесса развития неоднородности пространства и статистическое описание неоднородных моделей; квантовая динамика, классификация состояний и построение гильбертова пространства; квазиклассический предел и генерация классического пространства; исследование процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных квантовых неоднородных моделях; исследование эффектов связанных с изменением топологии пространства, построение теории допускающей переменное число полей.

Цель работы состоит в математическом моделировании и исследовании явлений, возникающих в ранней Вселенной при наличии неоднородностей непертурбативного характера.

Объекты исследования. Основные исследования проведены на моделях, допускающих аналитический анализ и выявляющих существенную роль присутствия непертурбативных неоднородностей метрики. Базовыми моделями являются построенные обобщения на неоднородный случай моделей перемешанного мира (mixmaster) и мира Де-Ситтера с материей в виде скалярных полей.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического моделирования, методы качественной теории динамических систем, методы матфизики и функционального анализа.

Научная новизна работы состоит в следующем.

Впервые обнаружен эффект генерации и усиления неоднородностей па масштабах, превышающих размер горизонта, проведено исследование их статистических свойств.

Впервые проведено исследование квантовой динамики ранней Вселенной при наличии непертурбативных неоднородностей, поставлен и исследован вопрос о генерации классического пространства в вакуумных неоднородных моделях, получено строгое ограничение на применимость классических моделей (квантовая граница).

Обнаружена возможность компактификации на ранней стадии эволюции в случае, когда размерность пространства - времени не превосходит десяти.

Предложен феноменологический метод описания произвольных топологий пространства в квантовой гравитации и исследованы простейшие наблюдаемые следствия.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Научная и практическая значимость.

Исследование ранних моментов в истории развития Вселенной имеет важное значение, как с чисто теоретической точки зрения, так и для наблюдательной астрономии. Структура и свойства современной Вселенной (средняя плотность вещества, состав, крупномасштабная структура, анизотропия реликтового излучения и т.д.) почти полностью определяются физическими процессами, происходящими в самый ранний период ее развития. Исследование статистических свойств и динамики крупномасштабных неоднородностей метрики позволяет решить проблему определения начальных условий в ранней Вселенной. Этой же цели служит установление квантовой границы и описание процесса генерации классического пространства, что кроме того, открывает возможность построения последовательной теории квантовой генерации первичных возмущений в случае регулярного (неинфляционного) расширения.

Полученные результаты по проблеме компактификации дополнительных измерений представляют значительный интерес для развития многомерных теорий (теории суперсимметрии, струн, суперструн и других).

Теория с переменным числом физических полей представляет существенный интерес для физики высоких энергий, при исследовании процессов, связанных с изменением топологии пространства; открывает возможность построение непротиворечивой квантовой теории гравитации и кроме того, дает возможность предсказания новых наблюдательных эффектов. В частности, данная теория предсказывает существование новой формы темной материи, что представляет интерес для астрономических приложений, при описании развития и эволюции крупномасштабной структуры Вселенной.

Отмстим, что основные результаты работы в равной степени приложимы, как для Эйнштейновской теории тяготения, так и релятивистской теории гравитации [27] -[30].

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Начальный период развития Вселенной должен описываться в рамках крупномасштабных непертурбативных неоднородных моделей. Наиболее адекватными являются неоднородная модель перемешанного мира и сс многомерные обобщения.

2. Хаотический характер эволюции метрики вблизи сингулярности сопровождается ростом степени неоднородности метрики.

3. Предложенные модели позволяют построить самосогласованное описание квантовой эволюции неоднородных нолей вблизи особой точки. В частности, вблизи сингулярности оказывается возможным ввести представление о стационарных состояниях гравитационного поля, которые классифицируются числами заполнения возбуждений анизотропии пространства. Геометрия же, соответствующая данным состояниям вовсе не является стационарной.

4. Вблизи сингулярности невозможно ввести представление о классическом фоне. Соответственно, квазиклассичсскис методы и методы теории возмущений в данной области оказываются неприменимыми. Момент выделения фона полностью определяется выбором начального квантового состояния. В частности, в вакуумных неоднородных моделях момент возникновения классического фона определяется моментом времени, когда размер горизонта сравнивается с размером неоднородностей.

5. В случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, общим свойством квантовой эволюции ранней Вселенной является режим при котором масштабы вдоль дополнительных измерений убывают со временем, что является начальной стадией процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных моделях. Причем данный режим не зависит от выбора начального квантового состояния.

6. Предложенный метод вторичного квантования распределенных систем позволяет учитывать произвольные топологии пространства и открывает путь для построения последовательной теории квантовой гравитации. Эффекты, связанные с квантовыми флуктуациями топологии пространства, могут приводить к наблюдаемым на макроскопических масштабах явлениям.

Совокупность научных положений и полученных в диссертации результатов позволяет сформулировать новое перспективное научное направление в теории ранней Вселенной -непертурбативные неоднородные модели.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:

Международный симпозиум по астрофизике и релятивистской космологии АН СССР, Тыравере ЭССР 1989; Международная школа - семинар "Multidimentional gravity and cosmology Ярославль, 1994; 7-я и 8-я международные конференции "Marcel Grossmann Meeting on General Relativity", Stanford 1994, Jerusalem 1997; 1, 2 и 3 международные конференции "Астрономия. Космомикрофизика"(Космион-94, Космион-96, Космион-97, Москва); VI Seminar on Quantum Gravity, Moscow 1995; Международная школа - семинар "Foundation of gravitation and cosmology"Odessa, September 4-10 1995; на Российских гравитационных конференциях, Пущино 1993, Новгород 1996; International Conference "Contemprorary problems in the theory of dymanical systems", Nizhny Novgorod 1996; Second International Sakharov conference, Moscow 20-24 May 1996; International conference GR14, Florence, 1995. Прочитан курс лекций на VIII Бразильской школе Космологии и гравитации II, Rio de Janeiro, Brazil 1995.

По теме диссертации также делались доклады на научных семинарах в г. Москве - ГА-ИШ, АКЦ ФИ РАН, МГУ, НИЦПВ; г. Н. Новгороде - ННГУ, НИРФИ, НИИ ПМК, НИИ-МАШ РАН; в г. Рим (Италия) University of Rome "La Sapienza", Astronomical Observatory of Rome; в г. Potsdam (Германия), Max-Plank Institute,

Личное участие.

Автору принадлежит постановка задач (и участие в постановке задач совместно с А. А. Кочневым [Глава 2] и В.Н. Мельниковым [многомерные обобщения предложенных автором моделей и методов]) по всем, рассмотренным в диссертации, проблемам; построение исследуемых моделей и разработка математических методов их анализа; получение основных аналитических результатов и оценок.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 40 работ. Основные результаты опубликованы в 30 работах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и двух приложений. Список литературы содержит 146 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены модели, описывающие эволюцию крупномасштабных гравитационного и скалярных нолей в асимптотике сколь угодно малых времен при произвольном числе пространственных измерений. Показано, что в случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, генерация пространственного хаоса в метрических функциях является общим свойством эволюции данных моделей вблизи особой точ ки.

2. В рамках асимптотических моделей, описывающих эволюцию крупномасштабных полей в асимптотике малых времен, исследована статистика неоднородностей. В явном виде получено соответствие между, статистическими параметрами данных моделей и статистикой стандартных казнеровских параметров.

3. В рамках предложенных моделей проведено исследование квантовой динамики неоднородных полей. Дана классификация квантовых состояний для крупномасштабных гравитационного и скалярных полей вблизи особой точки. Показано, что вблизи космологической сингулярности эволюция квантовых состояний крупномасштабных полей может быть непротиворечивым образом описана, как в рамках уравнения Уилера- ДеВитта (суперпространственный подход), так и в рамках АДМ подхода. В обоих случаях проведено явное построение Гильбертова пространства и ведение вероятностной интерпретации.

4. Обнаружено, что в случае, когда размерность пространства-времени не превосходит десяти, общим свойством квантовой эволюции ранней Вселенной является режим при котором масштабы вдоль дополнительных измерений убывают со временем, что является начальной стадией процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных моделях. Показано, что данный режим не зависит от выбора начального квантового состояния.

5. Показано, что вблизи сингулярности изотропные и однородные квантовые модели являются неустойчивыми по отношению к крупномасштабным возмущениям и таким образом квазиклассические методы оказываются неприменимыми при описании сингулярности. Исследован вопрос о генерации классического пространства в вакуумных неоднородных моделях. Показано, что момент возникновения классического фона зависит от выбора начального квантового состояния и соответствует моменту времени когда размер горизонта сравнивается с размером неоднородностсй.

6. Показано, что существование флуктуаций топологии пространства приводит к тому, что число фундаментальных квантовых бозонных полей становится переменной величиной. Предложена общая схема построения теории, допускающей переменное число нолей - схема вторичного квантования распределенных систем. Показано, что в отсутствии процессов, связанных с изменением топологии пространства восстанавливается стандартная теория поля.

7. Проведено исследование простейших наблюдаемых эффектбв, вызванных флуктуациями топологии пространства. Показано, что в полной теории основное состояние характеризуется ненулевой плотностью Бозе-частиц. С точки зрения стандартной теории поля данные частицы являются "скрытыми"и могут формировать скрытую массу Вселенной. Показано, что последняя должна представляет собой смесь компонент с релятивистским и нерелятивистским уравнениями состояния. Исследована возможность измерения квантовых флуктуаций потенциалов безмассовых полей. Показано, что при наличии нетривиальной топологической структуры пространства на макроскопических масштабах должно наблюдаться заметное повышение интенсивности флуктуаций полей.

В качестве дальнейших путей исследования укажем лишь некоторые из возможностей.

Во-первых отметим, что классический анализ поведения неоднородных полей вблизи космологической особенности представляет скорее чисто теоретический, нежеди практический, интерес. Действительно, генерация неоднородностсй на масштабах превышающих размер горизонта происходит только на вакуумной стадии развития и имеет достаточно медленный темп (координатный масштаб неоднородности уменьшается логарифмически в синхронном времени). Тем не менее, без проведения подобного анализа нельзя приступать к решению соответствующих квантовых задач.

Одной из главных и еще нерешенных задач является генерация классического фона при наличии вещества. Простейшая оценка показывает, что фон будет выделяться в тот момент времени, когда горизонт достигнет наименьшего из характерных масштабов - масштаб неоднородности, комптоновская длина (при наличии скалярного ноля) или связанная с веществом Джинсовская длина [150]).

Важность этой проблемы обусловлена тем, что согласно современным представлениям, наша Вселенная должна была пройти через инфляционную стадию расширения [13, 14]. Однако вопрос о том, какие начальные условия требуется для этого наложить и насколько общим является данный тип эволюции еще не получил строгого ответа.

Если наименьшей является комптоновская длина, то на классическом уровне эволюция может приводить к инфляционному типу расширения пространства. Квантовая же динамика подобной эволюции остается практически не исследованной. До сих пор неясно, можно ли говорить (и в каком смысле) об инфляционном типе эволюции на стадии, когда отсутствует классический фон.

Однако, если наименьшей является длина волны Джинса, то плотность энергии анизотропии пространства может быть еще достаточно большой, что должно привести к некотоI рому динамическому подавлению анизотропии. При этом масштаб неоднородности также может быть еще достаточно большим, что в принципе позволяет реализацию инфляционного сценария уже в рамках классического (или квазиклассического) подхода.

Другой важной задачей является построения квантовой теории генерации возмущений на квашизотронном фоне, когда последний эволюционирует с замедлением. В этом случае определение вакуума в различных причинно - несвязанных областях пространства различается и должно определяться крупномасштабной частью неоднородностей. Однако данная задача требует, по-видимому, развития новых идей, поскольку рассматриваемые в работе модели уже неприменимы. Отметим лишь, что структура гильбертова пространства для крупномасштабной части возмущений должна быть сходной с описанной в настоящей работе.

Следующей важной (уже для теоретической физики) задачей представляется дальнейшее исследование процесса компактификации дополнительных измерений в многомерных теориях. Для реального осуществления данного процесса необходимо обеспечить механизм стабилизации скомпактифицированных измерений. Что также требует исследования процесса выделения фона, как в вакуумных моделях, так и при наличии вещества.

В заключении данного и далеко неполного списка задач укажем на необходимость дальнейшего исследования процессов, связанных с изменением топологии пространства. Предложенный в работе метод вторичного квантования распределенных систем требует развития ковариантного подхода. Кроме того, как показано в последней главе наличие нетривиальной топологической структуры пространства может приводить к целому ряду явлений. Так при наличии самодсйствия, что всегда имеет место для неабелевых нолей, может происходить перестройка основного состояния (6.6.1) и что может объяснить природу скалярных хигсовских полей. Действительно, до сих пор в экспериментах на ускорителях скалярные частицы небыли обнаружены и единственной причиной их рассмотрения является необходимость генерации масс элементарных частиц. Кроме того, если в реальных экспериментах удастся детектировать нетривиальность структуры пространства, что в принципе можно осуществить с помощью измерения флуктуаций потенциалов безмассовых полей или эффекту Казимира, то возникнет целая область исследований о влиянии различных внешних воздействий на структуру и свойства пространства. Сразу же заметим, что здесь идет речь о макроскопических масштабах 1 Дг ~ 0.1 /Т7

Глава 8

1. G.Borner, The Early Universe, Facts and Fiction, Springer-Verlag, Berlin,1992

2. K. Tomita, Prog. Theor. Phys. 67 11076 (1982); Phys. Rev. D48 5634 (1993).

3. D.S. Salopek and J.R. Bond, Phys. Rev. D42 3936 (1990).

4. A.A. Кириллов. Общее асимптотическое решение уравнения Уилера- де Витта при наличии космологической постоянной. В сб.статей Методы качественной теории и теории бифуркаций под ред^ Л.П.Шилышкова. Нижний Новгород С.130, 1991,

5. A.A. Kirillov, G. Montani, Quasiisotropization of the inhomogeneous mixmaster universe induced by an inflationary process, Phys. Rev. D66 064010, (2002).6} D.S. Salopek, J.M. Stewart, J.Parry, Phys. Rev. D48 719 (1993); Phys. Rev. D49 2872 (1994).

6. G.L.Comer, N.Deruelle, D. Langlois, and J.Parry, Phys. Rev. D49 2759 (1994).

7. K. Tomita, H. Asada, T. Hamana, Prog. Theor. Phys. Suppl. 133 155-181 (1999).

8. A.A. Kirillov, Dynamics of inhomogeneous models near singularity in classical and quantum cosmology. In: Cosmology and Gravitation, Ed. M.Novello, Ed.Front., Singapore, 1995, p.349.

9. E.M. Лифшиц, ЖЭТФ, 16, 587 (1946).

10. Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков. Строение и эволюция Вселенной М.:Наука, 1975.

11. A.A. Kirillov, Phys. Lett. В 399, 201 (1997).

12. A.A.Starobinsky, Phys. Lett. 91B, 100 (1980); A.H.Guth, Phys. Rev. D23, 347 (1981); A.A.Linde, Phys. Lett. B108, 389 (1982).

13. А.Д. Линде, Физика элементарных частиц и инфляционная космология, -М.: Наука, 1990.

14. A.G. Doroshkevich, V.N. Lukash and I.D. Novikov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 64, 1457 (1974).

15. B.H. Лухаш, Докторская диссертация, ИКИ АН СССР 1984.

16. Я.Б. Зельдович, А.А. Старобинский// ЖЭТФ. 1971.- Т. 61. С.2161.

17. В.Н. Лукаш, А.А. Старобинский// ЖЭТФ. 1974,- Т. 66. С.1515.

18. Бирел Н. Девис П., Квантованные поля в искривленном пространстве времени. Пер. с англ. - М.: Мир. 1984.20 |212226 27 [28 [29 [30 [31 [32 [3334

19. А.А. Kirillov and G. Montani, Письма ЖЭТФ 66, 449 (1997).

20. A.A. Kirillov, Origin of a classical background in the vacuum inhomogeneous mixmaster model, In: Proc. of 8th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, (Jerusalem 1997), Eds. T.Piran and R. Ruffini, WSP, Singapore P. 1021 (1998).

21. M.B. Green, J.H. Schwarz, and E. Witten, Superstring theory (Cambridge University Press, Cambridge,England, 1988).

22. Th. Kaluza // Stizungsber. Preuss. Akad. Wiss. Pliys., Math. 1921. -Bd Kl. - S. 966; 0. Klein // Z. Phys. - 1926. - Bd 37. S. 895.

23. A. Chodos and S. Detweiler, Phys. Rev., D21, 2176 (1980).

24. M. Dcmianski, Z. Golda, M. Heller and M. Szydlowski, Class. Quantum Grav. 3, 1196 (1986); Class. Quantum Grav. 5, 733 (1988).

25. K. Maeda and P.Y. Pang, Phys. Lett., 180B, 29 (1986).

26. А. А. Логунов, А. А. Власов // ТМФ, T.61, C.3 (1984).

27. А. А. Власов, А. А. Логунов, M.А. Мествирешвили// ТМФ,- 1984. T.61. C.323. А.А. Логунов, M.A. Мествирешвили// ЭЧАЯ.- 1986. Т.17. вып.1 - С.5-159.

28. A.А. Логунов, М.А. Мествирешвили// ТМФ.- 1984. T.61. С.327.

29. B.Н. Лукаш // ЖЭТФ .-1980. Т. 79. С. 1601. J.M. Bardeen, Phys. Rev., D23, 1882 (1980).

30. В.Ф. Муханов, Г.В. Чибисов// Письма ЖЭТФ .-1981. Т. 33. С. 549; ЖЭТФ.-1982. Т. 83. - С. 475.

31. S.W. Hawking // Phys. Lett.- 1982.-V. 115В,- Р.295; А.А. Starobinsky, Phys.Lett. 1982.-V. 117В.- Р.175; А.Н. Guth, S.Y. Pi Phys. Rev. Lett.- 1982.-V. 49.- P.1110; J. Bardeen, P.J. Steinhardt, M.S. Turner, Phys. Rev. - 1983.-V. D28.- P.679.

32. B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, УФН 102, 463 (1970) Sov. Phys. Usp. 13, 745 (1971).; Adv. Phys., 19, (1970), 525.

33. B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, ЖЭТФ 59, 314 (1970)

34. C.W. Misner, Phys. Rev. Lett. 22, 1071 (1969).

35. B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, ЖЭТФ 62, 1606 (1972). B.A. Белинский, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, Adv. Phys. 31, 639 (1982). А.А.Кириллов, А.А.Кочнев, Письма в ЖЭТФ 46, 345 (1987).

36. В.А. Белинский, Письма в ЖЭТФ 56, 437 (1992). G. Montani, Class. Quantum Grav. 12, 2505 (1995).

37. V. Belinski, A. Kirillov, and G.Montani, On The Turbulence near cosmological singularity. In: Proc. 8th Marcel Grossmann meeting, (Jerusalem 1997), Eds. T.Piran and R. Ruffini, WSP, Singapore P. 612 (1998).

38. А.А.Кириллов, ЖЭТФ 103, 721 (1993).

39. A.А.Кириллов, А.А.Кочнев. Точная интегрируемость уравнений скалярных полей, неминимально взаимодействующих с гравитационным полем. //В сб.статей Методы качественной теории и теории бифуркаций под ред. Л.П.Шилышкова. Нижний Новгород С. 105, 1988.

40. К.A. Bronnikov J. Phys. A, Math. Gen. 13, 3455-3468 (1980).

41. B.K. Berger and V. Moncrief, Phys. Rev. D48, 4676 (1993).

42. B.K. Berger, Numerical Investigation of Singularities (Plenary Session lecture given at the GR 14 Conference, Florence, August 1995).

43. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Phys. Rev. D52, 723 (1995).

44. E.M. Lifshitz and I.M. Khalatnikov, Adv. Phys., 12 , (1963), 185; УФН 1963 T.80, C.391. D.M. Chitre, PhD Thesis, University of Maryland 1972.

45. Мизнер Ч.В., Торн K.C., Уилер Дж.А.// Гравитация, т.1, 2. М.: Мир, 1977. А.А. Логунов,// ТМФ,- 1994. Т.101. - С.З.

46. A.А. Kirillov, Int. Jour. Mod. Phys. D3, 431 (1994).

47. B.Д. Иващук, A.A. Кириллов, B.II. Мельников, Письма в ЖЭТФ, 60, 225 (1994).

48. A.А. Старобинский, Письма в ЖЭТФ 37, 55 (1983).

49. M. Khalatnikov, E.M. Lifshitz, Phys. Rev. Lett. 24 76 (1970).

50. B.A. Белинский, И.М. Халатников, ЖЭТФ 63, 1121 (1972).

51. И.М. Лифшиц, E.M. Лифшиц, И.М. Халатников, ЖЭТФ, 59, 322 (1970).

52. И.П. Корнфельд, Я.Г. Синай, С.В. Фомин, Эргодичсская теория. М.:Наука 1980.

53. J. Demaret, М. Henneaux and P. Spindel, Phys. Lett. 164B 27 (1985); J. Demaret, J.L. Hanquin, M. Henneaux et al, Phys. Lett. 175B 129 (1986).

54. A. Hosoya, L.G. Jensen and A. Stein-Schabes, Nucl.Phys. 238B 657 (1987).

55. Y. Elskens and M. Henneaux, Nucl. Phys. 290B 111 (1987).

56. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Astr. Astrophys. Trans. V.10, p.101 (1996).

57. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, On dynamics of inhomogenelties of metric near the singularity in multidimensional cosmology. Abstracts of the reports at the international school-seminar "Multidimentional gravity and cosmology" Yaroslavl, C.75, 1994.

58. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Formation of Spatial Chaos in Vacuum Inhomogeneous Kaluza-Klein Models. In: Inhomogeneous cosmological models, Eds. A.Molina and I.Sinovilla, World Scientific, 1995, pp 167-171.

59. А.А. Кириллов, Regular and Chaotic dynamics, 1, No.2 ,13 (1996).

60. Д.В. Аносов, Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны. Труды МИАН им.Стеклова, М. 1967.

61. R. Arnowitt, S. Deser, and C.W. Misner, In Gravitation: An Introduction to Current Research, edited by L.Witten, Wiley, New York, 1962 ,P.227.

62. B.S. DeWitt, Phys. Rev.160,1113 (1967).

63. C.W. Misner, Phys. Rev. 186 1319 (1969).

64. C.W. Misner, ; in: Magic Without Mgic, J.A. Wheeler, edited by J. Klander (Freeman, San Francisco, 1972).

65. L.P. Grishchuk and Ya.B. Zeldovich. Quantum Structure of Space and Time. (Cambridge Univ. Press, 1982) p.387; Я.Б. Зельдович, A.A. Старобииский, Письма в АЖ 10, 323 (1984) Sov. Astron. Lett. 10, 135 (1984)].

66. J.B. Hartle and S.W. Hawking, Phys. Rev. D28, 2960 (1983).

67. A. Vilenkin, Phys. Lett B117, 25 (1982); Phys. Rev. D27, 2848 (1983).

68. Д.Е.Бурлаиков, В.Н.Дутышев, А.А.Кочнев. Квантовая динамика изотропной космологической модели. ЖЭТФ 1984, Т.87, С.705.

69. A.Vilenkin, Phys.Rev. D37, 888 (1988).

70. А.О. Barvinsky, Phys. Rep. 230 237 (1993); B.JI. Альтшулер, А.О. Барвинский, УФН 166 459 (1996).

71. А.А. Кириллов, Письма в ЖЭТФ 55, С.540-542 (1992).

72. А.А. Kirillov, On properties of inhomogeneities of gravitational and scalar fields in the vicinity of a cosmological singularity// In: Proc. of 7th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity, WSP, Singapore p 711 (1996).

73. А.А. Кириллов, Письма в ЖЭТФ 62, 81 (1995).

74. А.А. Kirillov and V.N. Melnikov, Preprint CBPF-NF-037/95, Rio de Janeiro, Brazil, 1995.

75. A.A. Kirillov, V.N. Melnikov, Inhomogeneous Kaluza-Klein models near the cosmological singularity in quantum cosmology. Abstracts of the reports at the Int. school-seminar (Foundation of gravitation and cosmology) Odessa, September 4-10 1995.

76. A.A. Kirillov and V.N. Melnikov, Phys. Lett. B389, 221 (1996).

77. A.A. Kirillov and V.N. Melnikov, Gravitation and Cosmology 4 (1998).

78. A.A. Кириллов, B.H. Мельников, On the problem of the compactification in Kaluza-Klein cosmologies, Тезисы докладов IX Российской гравитационной конференции, Теоретические и эксперементальные проблемы гравитации, Новгород, С.69, 1996.

79. А.А. Kirillov, V.N. Melnikov, Quantum dynamics of inhomogeneous Kaluza-Klein cosmological models near a cosmological singularity. Abstracts of Int. conference GR14 1995.

80. H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука. 1984.

81. S. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory (New York: Harper and Row, 1961).

82. Newton T.D., Wigner E.P., Rev. Mod. Phys., 21 400 (1949).

83. А.А.Гриб, С.Г.Мамаев, В.М.Мостепапенко. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях М.: Энергоатомиздат,1988.

84. V.A. Rubakov. Phys. Lett. В214, 503 (1988).

85. A. Hosoya and M. Morikawa, Phys. Rev. D 39, 1123 (1989).

86. M. Mc Guigan, Phys. Rev. D 38, 3031 (1988); Phys. Rev. D 39, 2229 (1989).

87. A.Vilenkin, Phys. Rev. D39, P.1116, 1989.

88. A.A. Kirillov, Gravitation and Cosmology 4 23 (1998).

89. A.A. Kirillov and G. Montani, Phys. Rev. D56 6225 (1997).

90. D.F. Chernoff, J.D. Barrow, Phys. Rev. Lett. 50, 134 (1983); J.D. Barrow, in: Classical General Relativity, ed. W. Bonnor, J'. Islam, M.A.H. MacCallum, (CUP Cambridge, 1984) pp.25-41.

91. И.М. Халатников, E.M. Лифшиц, K.M. Хании, Л.М. Щур, Я.Г.Синай, Письма в ЖЭТФ 38, 79 (1983); Journ. Stat. Phys., 38, 97 (1985).

92. S.W. Hawking, Nuclear Phys., B114 , 349 (1978).

93. S.W. Hawking, Phys. Rev. D37 (1988) 904; Nucl. Phys. B335 (1990) 155.

94. G.V. Lavrelashvili, V.A. Rubakov and P.G. Tinyakov, Nucl. Phys. B299 (1988) 757.

95. S. Gidings and A. Strominger, Nucl. Phys. B307 (1988) 854.

96. S. Coleman, Nucl. Phys. B310 (1988) 643.

97. T. Banks, ibid. B309 (1988) 493.

98. Bronnikov K.A. Int. J. Mod. Phys. D, 4, 4, 491 (1995).112| A.A. Kirillov, Topology fluctuations in the expanding Universe. In: Quantum gravity: Proc. VI Seminar on Quantum Gravity, Moscow 20-25 May, 1995r.

99. B.S.DeWitt. In Gravitation: An Introduction to Current Research, edited by L.Witten, Wiley, New York,1962.

100. A.A. Kirillov, Gravitation and Cosmology V.2, No.l (5) p.35 (1996).

101. A.A. Kirillov, On third quantization in quantum cosmology// Abstracts of the reports at the international school-seminar "Multidimentional gravity and cosmology" Yaroslavl, C.74, 1994.

102. А.А.Кириллов, Флуктуации топологии в расширяющейся Вселенной. Тезисы докладов Международной школы семинара "Основания теории гравитации и космологии", Одесса, 4-10 сентября С. 100, 1995.

103. А.А. Kirillov, Astronomical and Astrophysical Transactions V.10, pp.95-100 (1996).

104. А.А.Кириллов, ЖЭТФ 115/N6 1921 (1999).

105. A.A. Kirillov, Gravitation and Cosmology 5 134 (1998).

106. A.D. Linde, Phys. Lett. B129, 177 (1983); A.A. Starobinsky, in Current Topics in Field Theory, Quantum Gravity and Strings, Lecture Notes in Physics, eds. H.J. de Vega and N. Sanchcz, (Springer-Verlag, Heidelberg, 1986) Vol. 246, p. 107.

107. Ya.B. Zeldovich// Mon. Not. RAS. 1970. - V.160. - P.l.

108. Hawking S.W., Penrose R. The singularities of gravitational collapse and cosmology. -Proc. Roy. Soc. London, A, 1970, vol.314, N 1519, p. 529-548.

109. R.D. Davies et al., Nature 326, 462 (1987).

110. B.H Мельников, In Results of Science and Technology. Ser. Classical Field Theory and Gravitation. Gravitation and Cosmology. Ed. V.N. Melnikov. VINITI Publ., Moscow, Vol.1, 1991, 49 in Russian];

111. K.A. Bronnikov and V.N. Melnikov, In Results of Scicnce and Technology. Ser. Classical Field Theory and Gravitation. Gravitation and Cosmology. Ed. V.N. Melnikov. VINITI Publ., Moscow, Vol. 4, 1992, 67.

112. V.D. Ivashchuk and V.N. Melnikov, Int. J. Mod. Phys. D, 3, 795 (1994).

113. V.N. Melnikov. Preprint CBPF-NF-051/93, Rio dc Janeiro, Brazil, 1993. In: Cosmology and Gravitation, Ed. M.Novello, Ed.Front., Singapore, 1994, p. 147.

114. M. Szydlowski, J. Szczesny and M. Biesiada, Gen. Relativ. Gravit. 19, 1118 (1987); M. Szydlowski, G. Pajdosz, Class. Quantum Grav., 6, 1391 (1989); J. Demaret, Y.de Rop, M. Henneaux, Int. J. Theor. Phys., 28, 250 (1989).

115. V.N.Lukash, Formation of large scale structure of the universe. In: Cosmology and Gravitation, Ed. M.Novello, Ed.Front., Singapore, 1995, p.299.

116. B.A. Белинский, Л.П. Грищук, Я.Б. Зельдович, И.М. Халатников, ЖЭТФ 89, 346 (1985); В.А. Белинский, И.М. Халатников, ЖЭТФ 93, 784 (1987).

117. J.D. Barrow, Phys. Rev. Lett. 46, 963 (1981); Phys. Rep. 85, 1 (1982).

118. П.В. Елютин, УФН 155 397 (1988)1

119. L. Artin, Ein mechanischcsm System mit quasiergodischen Bahnen, Collected Papers (Add. Wesley, 1965) pp.499-501.

120. В.Д. Ивашук, А.А. Кириллов, B.H. Мельников, Chaos in multidimensional cosmology// Abstracts of the reports at the international school-seminar "Multidimentional gravity and cosmology" Yaroslavl, C.70, 1994; Изв. Вузов. Физика, No.ll (1994).

121. L.J. Garay, Phys Rev. Lett 80, 2508 (1998).1138. K. Wilson, Phys. Rev. D 10 (1974) 2445-2459.

122. Vaughan Jones, Ann. Math. 126 (1987) 59-126.

123. E. Witten, Comm. Math. Phys. 121 (1989) 351-99.

124. C. Rovelli and L. Smolin, Nucl. Phys. B331 (1990).

125. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Квантовая механика, -M.: Наука, 1975.

126. H.B.G. Casimir, Proc. Коп. Nederl. Akad. Wet. 51, 793 (1948).-11441 M.J. Sparnaay // Physiea. 24, 751 (1958).

127. E. Witten // Nucl. Phys. Ser. B. 1981. - V.186. - P.412.

128. D. Hobill, A. Burd and A. Coley (cds), "Deterministic Chaos in General Relativity", NATO ASI series В Physics, vol.332, Plenum Press, New York 1994; J.D. Barrow, Phys. Rep., 85, (1982), 1.

129. B.C. Девитт, Динамическая теория групп и полей. М.: Наука. 1987.

130. А.Я. Хинчин, Цепные дроби. М., Физматгиз, 1961.

131. R.C. Tolman, Proc. Natl. Acad. Sci. 20 169 (1934); H. Bondi, MNRAS 410 107 (1947).

132. A.A. Kirillov, G.V. Serebryakov, Origin of a classical space in quantum cosmologies // Grav.Cosmol.7 211-214, (2001).