автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Некоторые одноосевые системы линейных и нелинейных моделей пространства и их приложение

ОБОЗНАЧЕНИЯ

1. ВВЕДЕНИЕ

2. АНАЛИЗ ЗАДАЧ ОТОБРАЖЕНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.1.Элементы процесса отображения

2.2.Задачи плоскостного моделирования пространства.

2.3.Преобразование проекций.Определитель изображений

2.4.Многозначные соответствия

2.5.Классификация одноосевых систем изображений

2.6.Частные прикладные задачи

2.7.Выводы. Цель и задачи исследования

3. 0ДН00СЕВАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА

ЗЛ.Одноосевая система центральных проекций при общей плоскости проекций

3.2.Одноосевая система центральных проекций в методе двух изображений.

З.З.Одноосевая система центральных проекций при параллельных плоскостях проекций.

3.4.Выводы к разделу

4. 0ДН00СЕВЫЕ ПРОЕКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

ПРОСТРАНСТВА.

4.1.Предварительные замечания

4.2.0дноосевая система проецирования лучами параболической линейной конгруэнции

4.3.0дноосевая система проецирования лучами конгруэнции Кг (2,2) при линейной конструкции ее фокальных образов.

4.4.0дноосевая система проецирования конгруэнцией равносторонних гипербол.

4.5.Выводы к разделу

5.0ДН00СЕВЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ.

ПРОСТРАНСТВА

5.1.Предварительные замечания

5.2.0дноосевая система проецирования лучами конгруэнции Кг (2,2), заданной фокальной квадрикой вращения и ее осью.

5.3.Зависимость вида определителя изображений одно-осевой многозначной системы проецирования от ее конструктивных особенностей

5.4.Двусредная съемка при движении центра проекций перпендикулярно плоскости раздела сред

5.5.Соответствие между точечным рядом на прямой и его изображением при двусредной съемке

5.6.Проекционная связь одноосевой многозначной системы проецирования с центральной проекцией

5.7.Выводы к разделу

6. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ И ДВУСРЕДНОЙ СЪЕМКИ.

6.1.Метод очерков при определении метрических величин архитектурных объектов, содержащих ряд поверхностей вращения по их одиночным фотоснимкам

6.2.Некоторые задачи двусредной съемки

6.3.Выводы к разделу 6 .¡

Актуальность проблемы. Решениями ХХУ1 съезда КПСС предусматривается "развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях". Это в полной мере относится к применению геометрических методов к фотографии, нашедшей широкое использование как средство научного исследования в различных областях народного хозяйства, техники, культуры и искусства: в проектно-архитектурных и инженерно-строительных работах, при картографировании территорий, в изучении морей и океанов и т.д.

Теоретические и практические вопросы отображений пространственных объектов в виде геометрических плоскостных моделей и производства измерений по ним разрабатывают начертательная геометрия, фотограмметрия, некоторые разделы математики.

Значительный вклад в разработку вопросов теории изображений и геометрического моделирования внесли И.И.Котов, К.И.Вальков, И.С.Джапаридзе, П.В.Филиппов, Н.С.Кузнецов, Г.С.Иванов, Н.Л. Русскевич, В.Н.Первикова, В.С.Обухова, А.Л.Подгорный, Л.Н. Лихачев, С.А.Фролов, А.Г.Климухин и многие другие.

Основной метод измерения объектов, называемый стереофото-грамметрическим, основан на использовании двух изображений. При этом данные о проецирующих аппаратах, их видах, взаимном положении и оптических свойствах сред, в которых производят фотосъемку, определяются, как правило, раздельно от процесса съемки и вводятся в расчетные формулы определения координат точек объекта. Возможны методы измерения по одиночному снимку, когда заранее известны форма или размеры некоторых элементов объекта (O.A. Вольберг, М.Ф.Евстифеев, В*В.Пшеничный и др.)» и по нескольким (больше двух) снимкам при полном отсутствии данных об объекте и проекционной системе (Н.Д.Бирючевский).

Анализ выполненных исследований по методам изображений по-* кагал разрозненность существующих методов с точки зрения числа используемых исходных изображений для производства измерений, определения аппарата и условий проецирования. Подавляющее большинство исследований посвящено методу двух изображений, меньше внимания уделено экстремальным случаям - методам измерения по одиночному и по нескольким снимкам. Но практическое значение исследования задач такого рода велико, особенно при необходимости производить измерения по снимкам, специально для этого не предназначавшимся или полученным в средах, об оптических свойствах которых нет необходимых данных.

Часто единственным источником информации об исчезнувшем или разрушенном историческом памятнике являются архивные снимки с неизвестными элементами ориентирования. Существующие способы геометрического реконструирования памятников по их одиночным снимкам не исчерпывают содержащуюся в снимках информацию, так как используют для этого проекции плоских фигур или пространственных объектов, ограниченных плоскими фигурами. В архитектурных формах часто встречаются поверхности вращения в виде колоннад, куполов и т.д. Поэтому возникает необходимость в разработке способов реконструирования снимков, основанных на использовании очерков проекций поверхностей вращения.

Как известно, охрана исторических памятников в нашей стране закреплена в статье 68 Конституции, реставрационные работы ведут около ста специальных научно-реставрационных производственных управлений и мастерских, на что государством расходуется около 400 млн.рублей ежегодно. Поэтому такие исследования имеют непреходящее значение для геометрического реконструирования по архивным снимкам утраченных или разрушенных памятников архитектуры при составлении проектов их реставрации.

Результаты таких исследований актуальны также для развития теории изображений и плоскостного моделирования пространства.

Цель работы и задачи исследования. Данная работа посвящена исследованию обобщенных методов моделирования пространства, свойств изображений и их преобразований применительно к обычной и двусредной измерительным фотосъемкам и имеет своей целью разработать для них методику решения метрических задач, отличающуюся большей геометрической общностью, предложить новый способ геометрического реконструирования по одиночным снимкам памятников архитектуры, содержащих ряд поверхностей вращения.

Это потребовало дальнейшей разработки основ теории геометрического моделирования пространства и решения следующих задач:

1) исследования общей задачи плоскостного геометрического моделирования пространства, включающей определение вида проецирующего аппарата по проекциям точечного пространства ;

2) классификации систем проекций по их математической баге;

8) исследования некоторых систем проекций, образованных конструктивно различными аппаратами проецирования ;

4) измерения отрезков на прямой при двусредной съемке ;

5) исследования обратных задач двусредной съемки ;

6) разработки методики решения метрических задач центральных проекций с использованием многозначных соответствий ;

7) установления связи между центральными проекциями и двусредной съемкой на основе общей для них математической базы теории многозначных соответствий;

8) разработки рекомендаций для практического использования результатов исследования в решении конкретных прикладных задач измерительной фотографии и использованием ЭЦВМ.

Методика исследований. В работе применены синтетические и аналитические методы исследования геометрического моделирования пространственных объектов.

Теоретической базой настоящих исследований являются начертательная, аналитическая, линейчатая, проективная и алгебраическая геометрии, а также работы по следующим вопросам:

- геометрического моделирования пространства И.И.Котова, К.И.Валькова, И.С.Джапаридзе, Н.Л.Русскевича, В.С.Обуховой, А.Л. Подгорного, В.Е.Михайленко, М.Ф.Евстифеева и их учеников;

- измерительной фотографии А.Н.Лобанова, М.В.Сердюкова, Б.Г.Потапенко, И.Я.Бобир и др.

Некоторые задачи, рассмотренные в диссертации, доведены до численных решений с применением ЭЦВМ. Исходные данные для этого определялись в ходе специальных экспериментов, выполненных при помощи геодезических инструментов и фотоаппаратуры.

В работе использована прямолинейная траектория движения проецирующего аппарата, известная в фотограмметрии как съемка с совпавшими осями, но с большим числом изображений, что обусловило назвать изображения в данном методе одноосевыми.

Научную новизну работы составляют:

I) постановка и решение в общем виде основной задачи плоскостного геометрического моделирования пространства, включающей определение вида проецирующего аппарата по проекциям точечного пространства как задачу, обратную задаче преобразования проекций.

Показано, что необходимое число проекций для этого зависит от вида проецирования, например, три проекции для центральных проекций, шесть - для двусредной съемки при движении центра проекций перпендикулярно плоскости раздела сред;

2) уравнения центральных проекций и двусредной съемки, связывающие метрические характеристики объекта - оригинала и аппарата проецирования с координатами проекций геометрических элементов объекта и методика решения метрических задач с использованием полученных уравнений;

3) установление на примере центральной проекции ряда поверхностей вращения и проецирования точечного ряда при двусредной съемке связи между этими видами проекций. В первом случае конструктивно простым аппаратом проецируется объект сложной геометрической структуры, во втором - более сложным аппаратом проецируется геометрически простой объект, но в обоих случаях свойства проекций выражаются соответствиями одного вида - многозначными;

4) метод геометрического реконструирования фотоснимка ряда поверхностей вращения одинаковых по форме и положению. По координатам проекций точек на очерках поверхностей определяются главная точка снимка и его фокусное расстояние, положение осей поверхностей, взаимное положение плоскости осей и снимка.

Практическая ценность выполненных исследований. Предложенные в работе методы решения метрических задач достаточно универсальны, позволяют проводить измерения в широком диапазоне, включающем как обычную, так и двусред-ную съемку, контролировать параметры, определяемые при съемке, и могут быть использованы организациями,применяющими измерительную фотосъемку. Особенную практическую ценность результаты исследований данной работы представляют для архитекторов-реставраторов, организаций и обществ,составляющих чертежи па< мятников архитектуры в целях их изучения, сохранения и реставрации.

На защиту выносятся:

1) общая постановка и решение задачи плоскостного геометрического моделирования пространства, включающей определение вида проецирующего аппарата по проекциям точечного пространства ;

2) методика решения метрических задач центральных проекций и двусредной съемки с использованием многозначных соответствий, отличающаяся большей геометрической общностью ;

3) новый способ геометрического реконструирования по одиночному фотоснимку памятников архитектуры, содержащих ряд поверхностей вращения одинаковых по форме и положению.

Реализация работы. Составлено практическое руководство для архитекторов-реставраторов: "Метод очерков при определении метрических величин некоторых архитектурных форм по одиночному фотоснимку" и передано в Украинское специальное научно-реставрационное производственное управление Госстроя УССР. В этом управлении использованы основные результаты работы при разработке проектов реставрации памятников архитектуры (Преображенский собор в г.Днепропетровске, дворец Галагана в с.Сорочинцы Черниговской обл.» дом губернатора в г.Чернигове).

Апробация работы. Основное содержание работы доложено и обсуждено на ХХХП - ХХХУП научно-технических конференциях Днепропетровского инженерно-строительного института 1972 - 1979 гг., ХХХУ научно-технической конференции КИСЙ 1974 г., Республиканской научно-технической конференции по прикладной геометрии и инженерной графике (г.Киев, ноябрь 1976 г.), 42 научно-технической конференции КИСЙ (г.Киев, 1981 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 научных статей, отражающих основное содержание работы.

6.3. Выводы к разделу 6

6.3.1. "Метод очерков" может применяться как самостоятельно, так и в комплексе с другими методами геометрической реконструкции по архивным фотоснимкам утраченных или разрушенных памятников архитектуры, содержащих ряд поверхностей вращения одинаковых по форме и положению.

6.3.2. При реконструировании следует максимально использовать информацию, содержащуюся на снимках, поэтому наиболее эффективно комплексное использование методов реконструирования в зависимости от формы реконструируемых объектов. Полученная при этом избыточная информация позволяет определить наиболее надежные значения искомых величин и оценить их точность. Методы реконструирования при этом могут приниматься как равноточные.

6.3.3. Точность реконструирования по "методу очерков" возрастает для широкоугольной съемки, приближающейся к фронтальной, т.е. при малых углах между плоскостью снимка и плоскостью осей поверхностей вращения. Поэтому при наличии необходимых данных фотоснимок рекомендуется предварительно трансформировать в изображение, соответствующее фронтальной съемке.

6.3.4. Рассмотренные задачи двусредной измерительной съемки обладают большой общностью, поэтому могут быть использованы как для производства измерений, так и для контроля параметров, необходимых при этой съемке.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

7.1. Для выявления закономерностей отображения трехмерного пространства на плоскость, исследования свойств изображений и их преобразований в настоящей работе использованы одноосевые системы проекций, возникающие вследствие проецирования неподвижного точечного пространства различными аппаратами проецирования при их движении по прямой оси на неподвижную или проективно связанную с проецирующей конгруэнцией плоскость проекций.

7.2. Исследованы одноосевые системы проецирования связкой прямых, конгруэнцией преломленных лучей и некоторыми другими видами линейчатых и криволинейных конгруэнций и соответствующие этим видам проецирования проективные инварианты преобразования проекций. Совокупность этих инвариантов названа определителем изображений.

7.3. Показано, что задача определения вида проецирования по проекциям точечного пространства является обратной задаче преобразования проекций, а необходимое число проекций для этого зависит от вида проецирования. В пределах рассмотренных в работе примеров каждому виду проецирования соответствует свой определитель изображений.

7.4. Исследованы проецирование точечных прямолинейных рядов при двусредной съемке и центральная проекция ряда поверхностей вращения одинаковых по форме и положению. На основе общей

- математической базы - многозначных соответствий установлена связь между этими видами проекций, так как в обоих случаях свойства проекций выражаются соответствиями одного вида - многозначными.

7.5. Получены новые уравнения центральных проекций и дву-средной съемки, связывающие метрические характеристики объектов-оригиналов с координатами элементов их изображений и дающие возможность а) анализировать оптические свойства сред ; б) определять параметры этих свойств ; в) устанавливать необходимое для этого число снимков ; г) определять параметры аппарата проецирования, объекта -оригинала и их взаимного положения.

7.6. Разработана методика решения метрических задач центральных проекций и двусредной съемки с использованием полученных уравнений. Задачи отличаются большей геометрической общностью.

7.7. Предложен новый способ геометрического реконструирования по одиночным фотоснимкам памятников архитектуры, содержащих ряд поверхностей вращения в виде колоннад, куполов и т.д.

7.8. На примерах решения ряда задач измерительной фотосъемки экспериментально с помощью ЭВМ Мир-2 и Минск-22 проверена эффективность предложенных способов измерения. При этом использовались стандартные и специально составленные программы на языках "АНАЛИТИК" и "АКИ-400 ".

7.9. Составлено практическое руководство для архитекторов-реставраторов: "Метод очерков при определении метрических величин некоторых архитектурных форм по одиночному фотоснимку", которое использовано Украинским научно-реставрационным произволственным управлением Госстроя УССР при разработке проектов реставрации некоторых памятников архитектуры.

Документы о внедрении результатов исследования приведены в приложениях к работе.

Автор

1. ДЖАПАРВДЗЕ И.С. Конструктивные отображения геометрических преобразований пространства. Тбилиси. ГПИ, 1964.

2. ПОДГОРНЫЙ А.Л., КОВАЛЕНКО И.И. О проецировании преломленными лучами. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 16. Киев, "Будйельник", 1973.

3. САЧУНОВ Ю.В. Некоторые вопросы двусредной измерительной стереофотосъемки. Сб. "Вопросы геометрического моделирования". ЛИСИ. Вып.64 , Л., 1970.

4. СВЕШНИКОВ П. Зажигательные кривые при преломлении световых лучей и их приложение к определению изображений предметов в преломляющих срединах. Казань, 1887.

5. БОРН М., ВОЛЬФ Э. Основы оптики. "Наука", M., 1973.

6. ВАЛЬКОВ К.И. Лекции по основам геометрического моделирования. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.

7. ЧЕТВЕРУХИН Н.Ф. Условные изображения и параметрический метод их построения. Сб. "Вопросы современной начертательной геометрии". М.-Л., Гостехиздат, 1947.

8. ВОЛЬБЕРГ O.A. Лекции по начертательной геометрии. Учпедгиз, M., 1947.

9. ЧЕТВЕРУХИН Н.Ф. Полные и неполные изображения. Сб."Вопросы современной начертательной геометрии". М.- Л., Гостехиздат, 1947.

10. БОБИР И.Я., ЛОБАНОВ А.Н., ФЕДОРУК Г.Д. Фотограмметрия. М., "Недра", 1974.1.. СЕРДЮКОВ В.И. Фотограмметрия в промышленном и гражданском строительстве. М., "Недра", 1977.1.. СМИРНОВ С.А. Проективная геометрия. М., "Недра",1976.

11. БИРЮЧЕВСКИЙ Н.Д. Реконструкция проекционной системы по трем центральным проекциям, содержащих изображения четырех несобственных точек. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика", Вып. 21. Киев, "БудГвельник", 1976.

12. ДЖАПАРИДЗЕ И.С. Основные плоскостные модели пространства и их производные. Труды ГПИ № 3 (98), Тбилиси, 1964.

13. МИХАЙЛЕНКО В.Е., АНТИПОВА В.А., КАРПЕНКО В.Ф. Плоскостная бинарная модель трехмерного пространства на основе коррелятивных преобразований. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика", Вып. 23. Киев, "Буд1вельник", 1977.

14. ГИЛЬБЕРТ Д., КОН-ФОССЕН С. Наглядная геометрия. М.-Л., Гостехиздат, 1951.

15. T&LucJi Qy Лессе. ЖоггяЖшМоал&гtfwMiAte und jbtxwza^ гейм und ;cui^^^mdte: M^tAem^i^. Я Яж&л., Шз.18. сЗе^г JZ, jClctj ауа&пяте&ы*^ ^il^u/v

16. КОТОВ И.И. Основные способы построения наглядных и обратимых чертежей. Сб. "Труды Московского научно-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике ". Вып. 2, М., ВИА, 1963.

17. САВЕЛОВ A.A. Плоские кривые. М., Физматгиз, i960.

18. КОТОВ И.И. Теорема единственности сетчатых (косых) проекций. Сборник трудов по начертательной геометрии и инженерной графике. Тбилиси, ГПИ, 1967.

19. АРХАНГЕЛЬСКИЙ A.B., КИРИЧУК B.B. Об определении аномалий астрономической рефракции по фотографическим наблюдениям Солнца. Сб. "Геодезия, картография и аэрофотосъемка

20. Вып. 23. Львов, "Высшая школа", 1973.

21. МИННАРТ М. Свет и цвет в природе. М., Физматгиз,1958.

22. Vzi-VJbouio/fccÁaf¿ еЖелея. оtus^eme. zecne ¿¿n¿¿ CUia&uZbsidÉiL d¿At&LmjcU&. ¿ft. 9?, 1884\Л

23. ВАЛЬКОВ К.И. САЧУНОВ Ю.В. Приемы метрической обработки модели в случае стереофотосъемки через две среды. Сб."Краткие содержания докладов к ХХУШ научной конференции ЛИСИ". Л., ЛИСИ, 1969.

24. ОБУХОВА B.C. Обобщение нелинейных систем проекций и одноосевые системы. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып.10. Киев, "Буд1вельник", 1970.

25. СТАНКОВ А.Н. Об одном обобщении схемы Гаука. Сб."Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования". Краткие содержания докладов к ХХУ1 научной конференции ЛИСИ. Л., 1968.

26. СЛЮСАРЕНКО В.И. Реконструкция проецирующего аппарата по отображениям точечного пространства. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика", Вып. 21. Киев, "Буд1вельник",1976.

27. ВОЛЬБЕРГ O.A. Основные идеи проективной геометрии. М.-Л., Учпедгиз, 1949.

28. ГЛАГОЛЕВ H.A. Проективная геометрия. М., "Высшая школа",1963.

29. РУССКЕВИЧ Н.Л. Начертательная геометрия. Изд. 3, Киев, "Вища школа", 1978.

30. ТКАЧ Д.И. Некоторые вопросы исследования центральных проекций и моделирования пространства аппаратом центрального подвижного проецирования применительно к построению архитектурных перспектив. Автореферат кандидатской диссертации. М.,1970.

31. УЛЛАНОВСКИЙ В.П. Принцип Шаля и его применение в геометрии и механике. Сборник статей по алгебраической геометрии. Л. Издательство Военно-транспортной академии РККА, 1938.

32. ПШЕНИЧНЫЙ В.В. Реконструкция центральных изображений применительно к реставрации памятников архитектуры. Кандидатская диссертация. Киев, КИСИ. 1976

33. ПШЕНИЧНЫЙ В.В. Построение прямоугольных проекций поверхностей вращения по центральной монопроекции/ Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 13. Киев, "Буд1ве-льник", 1971.

34. ДЕВЯТОВ А. И. Построение двух прямоугольных проекций по

35. ПОТАПЕНКО Б.Г., РАММ Н.С. Теория двусредной фотограмметрии. Сб. "Применение аэрометодов при исследовании природных ресурсов". АН СССР, М., 1961.

36. СУХАРЕВ Ю.П., САЧУНОВ Ю.В. Проектирование лучами конгруэнции Кг (4,2). Сб. "Математика и механика". Ученые записки Пензенского политехнического института. Вып. 2 , Пенза, ППИ, 1969.

37. СЛЮСАРЕНКО В.И. К вопросу построения центральной проекции аппаратом проецирования с обобщенным центром. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып.13. Киев, "БудГвель-ник", 1971.

38. СТАНКОВ А.Н., ПОЛЯКОВ Т.Л. Об использовании комплекса прямых в аппарате проектирования. Сб. "Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования". Краткие содержания докладов к ХХУП научной конференции ЛИСИ. Л., ЛИСИ, 1968.

39. ЮДИЦКИЙ М.М. Отображение пространства на плоскость специальным комплексом прямых. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 7. Киев, "БудГвельник", 1968.

40. ВАЛЬКОВ К.И. О преобразовании проекций. Сборник научных трудов ЛИСИ. Вып. 30, М.-Л., ЛИСИ, 1959.

41. СЛЮСАРЕНКО В.И. Некоторые вопросы преобразования центральных проекций при коллинейности центров проецирования. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 18. Киев, "Буд1вельник", 1974.

42. ОБУХОВА В.С., МАЛЫЙ А.Д. Система двуосевых проекций с двойными осями. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 5. Киев, "БудГвельник", 1967.

43. АНОХИН В.И. Конхоидальные модели. Сб.Прикладная геометрия и инженерная графика", Вып.10. Киев, "БудГвельник", 1970.

44. СМ0Г0Р1ЕВСКИЙ А.С., СТОЛОВА Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М., Физматгиз, 1961.

45. ГЕРОНИМУС Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов. М., Физматгиз, 1962.

46. СЛЮСАРЕНКО В.И. Одноосевая система проецирования связкой равносторонних гипербол. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 23. Киев, "Буд1вельник", 1977.

47. ИВАНОВ Г.С. Кремоновы преобразования плоскости и пространства. Сб. "Кремоновы преобразования и их приложения". Научные труды Московского лесотехнического института. Вып. 39, М., 1971.

48. СЛЮСАРЕНКО В.И. Линейные и нелинейные системы одноосе-вых моделей пространства. Сб. "Республиканская конференция по прикладной геометрии и инженерной графике". Тезисы докладов. Киев, "Наукова думка", 1976.

49. СУХАРЕВ Ю.П. Некоторые специальные случаи использования конгруэнций прямых в аппарате проектирования. Сб. "Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования". Краткие содержания докладов к ХХУ научной конференции ЛИСИ, Л., 1967.

50. СЛЮСАРЕНКО В.И. Двусредная съемка при движении фотоаппарата перпендикулярно плоскости раздела сред. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 27. Киев, "Буд1вельник", 1978.

51. СЛЮСАРЕНКО В.И. Метрика некоторых прямых при двусредной съемке. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика", Вып. 26. Киев, "Буд1вельник". 1978.

52. СЛЮСАРЕНКО В.И. Многозначная инволюция в метрических задачах центральных проекций. Сб. "Реферативная информация о законченных научно-исследовательских работах в вузах Украинской

53. ССР. Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 2. Киев, "Вища школа", 1978.

54. ЕВСТИФЕЕВ М.Ф. ПШЕНИЧНЫЙ В.В. Особый случай реконструкции перспективного изображения. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 15. Киев, "Буд1вельник", 1972.

55. ЕВСТИФЕЕВ М.Ф. К реконструированию аппарата перспективы. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып.28. Киев. "Буд1вельник", 1979.

56. АВДОТЬИН Л.Н. Применение вычислительной техники и моделирования в архитектурном проектировании. М., Стройиздат, 1978.

57. ПЕРВИКОВА В.Н. Основы обратимых отображений линейного пространства в применении к чертежам многомерных фигур. Сб. "Вопросы прикладной геометрии " , М., МАИ, 1966.

58. РУССКЕВИЧ Н.Л. К вопросу отображения пространства в прикладной перспективе. Сб. "Прикладная геометрия и инженерная графика". Вып. 14. Киев, "Буд1вельник", 1972.

59. КЛИМУХИН А.Г. Начертательная геометрия. М., 1978.

60. КУЗНЕЦОВ Н.С. Начертательная геометрия. М., 1969.

61. ФИЛЬЧАКОВ П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев, "Наукова думка", 1973.

62. ЛИХАЧЕВ Л.Ц. ,КинеперспективаРига,. РИЩЧЗФ, 1960. 67« аШШПСВ П»В. Сопряженные проекции. Сб. "Записки

63. Ленинградского горного института", Том ЮСХУ1, вчп. 3. Л., 1958»1. ПРШШЕНШ--------------148.лист Ol