автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Недифференциальный проекционный способ построения приближенного уравнения огибающей семейство негладких кривых на плоскости

• и г,, К1'

1 3

1 MIHICTEPCTbU OCBITH УКРА1НИ

КИ1ВСШШ ДЕРЖАВИН! ТЕХН1ЧШТ УШВЕРСШЕГ • >■ : БУД1ВНИЦТВА I АРХ1ТЕКТУРИ

На правах рукогоюу

ЖЕЛ1Х0ВА Ineca Борис (бча

}ЩЩ№ЕРЕНЦ1АЛЬНШ ПРОЕКДШ-Ш СП0С1В ПОБУДОВИ НАБДИЖЕНОГО Р1ВНЯННЯ 0БВ1ДН01 CIM'Ï НЕГЛАДОК КРИВИХ НА ПЛОЩИШ

05.01.01 - Пршсдвдна геом9тр1я i 1вЕ9нериа гроф1ка

АВТОРЕ® ELP ÁT дисертЕцИ на здобуття вченого ступэня кандидата технПннх наук

КШВ 199Б

Роботу виконано в Харк1вському пол!техн1чному Ун1вврситет1.

Науковий кер1вник - доктор техн1чних наук, професор кафедри НГГ ХПУ Куценно Я.И.

0ф1ц1йн1 опоненти: доктор техн1чних наук, д!йсний член 1нженерно1 АкадемП Укра1ни

професор НаОдш B.S. кандидат технЛчних наук, доцент АнлЫогова S.O.

Пров1дна орган1зац!я - Укра1яський науково-досл!дний 1нст1туг

зас1дшш1 снец1ал!зованно1 Вчено! Ради Д 068.05.03 в КиХвському Державному Текн1чному Ун1верситет1 буд1вництва i арх1тектури за адросою: 252037,. Ки1в - 37, Пов1трсфгатсышй проспект, 31,ауд. 319.

3 дисертац1ею моша ознайомитися в б1бл1огец! Ки1вського Деркавного Тохн1чного УнЛверситету буд1вництва 1 артИектури.

метал1в

1995 р. о 13 годин! на

Автореферат роз1слаж$£\ру, 1995 р.

Вчений секретар

Спец1ал1зоваш1 Ради Д 068.05.03 кандидат техн1чних наук, доцент

В. 0.ПЛОСКИЙ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуальн1сть. Теор1я обв1дних параметричяих с!мей кривих займав . .ч1льн9 м1сца у алгоритмах разв'язку багатьох реалышх 1нжензрно-техн1чшга: задач. В лерпу чергу де стосуеться задач проф!лхшання машинобуд1вних виро01в, де в1дпов1дн1 поверхн! деталей утворшться внасл1док перем1дення на площин! (чи в простор!.) заданого элемента параметричко! с!м'1. Результатом такого к1нематичного формоутворення с обв1дна о1м'1 шттевих полокень элемента в просторЛ, тобто профЗль детал1. Ефективн1сть розв'язку "в ц1лому" подМних задач в значн1й м1р1 заложить в1д методу знаходаенкя обв1дао1.

ТрадицШно обв!дну однопараметрично! с!м'Х плоских (фагальному виггадку - негладких) кривих знаходягь в результат! розв' язування в1-домо! системи нел!н1йнях р1внянь. Для забезгочення розв'язку необ-х1дно: а) описати .реальний процес проф1лювання за допомогою вих1д- ' ного р1внянвя ч параметром; б) знайтн. пох1дну по параметру в1д функ-ц11, що входить до цього р1вняння; в) вилучити параметр з одержаного виразу та з вих1дного р!вняння, як1 нвобх1дао розглянути сум1сно. Для реальних задач эд1йснити ц1 Д11 точно, вдаеться досить р1дао. До того ж нав!ть усп1шно виконання зазначених д1й може не привести до бажаного результату. Адае завдяки 1м мокна одержати опис обв1дно1 с1м'1 кривих майже виключш в параметричному вигляд1. ■

Алэ 1снують.задач1, для яких не в зручним опис обв1дно1 в параметричному вигляд1. Ыова йде про задач1, для розв'язку яких принципе вою в вимога розпод!яу точок плодини (чи простору) на два класи, як! отшились Си роэмековвними знайденою обв1дною. При проф1лвванн1 деяко1 машинобуд1вно1 детал1 алгоритм повинен зум1ти прозп!знати" фрагмент площини, обмежений обв1дною. Це нвобх1дно, наприклвд, для автоматичного розм!щення вузл1в в т1яях деталей, як1 проектуються. В цих вузлах обчислюються характеристики ф!зичного поля методом с!ток, ск1лчешшх елемент1в, тощо. Як в1домо, у цьому випадку спроф1льова-ний контур детал1 доцШыю намагатися описати за допомогою р1Вняння в неявному вигляд1. Кр1м того, б наивному виг ляд! р1вняння кривих вякорнстовуються при розв'язуванн1 граничит задач математично! ф1зики структурпим методом в.Л. Рвачова.

- 1снуе двкШька кетод1в нвближоного опнсу обв1дноХ параметрично! с1м'1 кривих р1внянням в неявному вигляд1' (метода . А.Ф.Кирнченка, В.Г.Клнмеяйа, В.И.Гольдфарба та ). Алэ в!домим методам

притамашшй такий недол1к: .висока гочнЮть наближеного опису о0в1дно1 досягаеться за рахунок вибору велико! дискретном! 1нтервалу зм1ни параметру с1м'1 негладких кривих. Це приводить до гром1здкого анал!тичного виразу, внасл1док чого зводяться нан1Еэць можлив1 пэреваги одерканого р1вняныя обв!дао1.' В роботах Л.М. Куценка.показано, що для усунення цього недол!ку доц1льно викорис-товуватя проекц!йний метод знаходження обв!дно! (метод А-в1добрааэнь). Дана дисертац!йна робота спрямована на розвиток 1 детал!зац1ю рацЮнального методу наСлиданогг» опису обв!дка1 с1м'1 негладких кривих за допомогою р!вняння в неявному вигляд!.

Мэта роботи полягае в створенн! теоретично! та алгоритм1чно1 бази для геометричного моделювання обв1дно! параметрично! с!м'1 негладких кривих за допомогою р1вняння в неявному вигляд1, та розробц1, на ц1й основ1 рац!ональних комп'ютерних програм проф1лювашя машинобуд1вних вироб1в)

Для досягнеиня головно1 мети досл!дкень у дисертацИ поставлен! так! основн! задач!:

. - проанал1зувати. Юнуюч! метода опису обв!дно! параметрично1 с!м'1 кривих за допомогою р!внлння в неявному вигляд!;

- дата геометричне тлумачення проекц!йного способу знаходження о0в!дно1;

- досл!дати основн!- властивост1 проекц1йного методу знаходження обв!дно1;

- удосконалити проекц!йний метод знаходження обв!дно1 шляхом використання с!чних площин 'загального полонення;

- розробити.алгоритм з'ясування положения геометричного т!ла в простор1 (щодо величини площ1 його т1н!);

- скласти алгоритм геометричного моделювання обв!дно1,.який не спирався <3 на операЩю диференц!ювання;

- знайти апостер!орнУ оц!нку похибки результат!в; розв'язати реальн1 задач! проф1лювання.машинобуд!вних вироб!в

Методика досл!джень'.'Як основний у робот! застосовуеться матема-тичний апарат Н-фушсц!й, що дае змогу описувати геометричн! об'екти у непарадагричному (неявному) вигляд!. Також застосовуються основ:И положения прикладно! геомвтрП поверхонь та моделювання геометричних перетворень.

Теоретичною базою для проведения досл1даень послужили робота вчених:

- в галуз1 загально1.теор11 обв!дних В.А. Залгалера, B.I. Арнольда, Г.П. Толстова, П.В. Соколова, Р. Тома, Дк. Брукса, П.Дкиб-л1на, В.Г. Болтянського, Ф.Л. Литвша;

- з галуз! гео.уетричкого та знал1тачного моделювання геомет-ричних oö'ektIb за допсмогою р1внянь в неявному вигляд! В.Л.Рвачо-г ва, Ю.Г. Стояна, 1.Б. (Продли, ¡0.1. Бадаева, В.О. Анп1логово1, В.М. НаЯдиша, А.Ф. Ккргиэкха, В.Г. Клеенка, В.И. Гольдфарба.

- в галуз! проф1люваш;я роалымх вкроб1в B.C. . Люкшина, Г.П. Вятк1на, B.C. OöyxoBol, A.M. П1диорх!това, В.А. Гавриловна, Л.Я.Л1-бурк!яа, C.I. Лашньова, А.Д. Посв'якського, I.A. Фрайфельда.

Наукову новизну■робота складають:

- nspejiiic осноЕша властивостей проэкц1йного методу, знаходження обв1дно1 парзметркчно! cIm'1 крхЕих;

- точний олис о0в1дко1 за допомогом р!вняння в неявному вигляд1 для певкого класу параметрично! с1м'1 кривих;

- метод поОудови р1вняння параштрично1 с1м'1 кривих, обв!дна яко! сп1впадола б з оСв1дною дано! с1м'1 кривих;

- метод поОудови наблюкеного неявного виду р1вняння обв1дно! clM'l кривих, як1!й не потребуе опэрацИ дкференц1ювання.

В1рог1дн1сть та обгрунтованн!сть одержаних результата п1дтведкуеться розрахунками тестових приклад1в та знайденими оц!лками вэличшш похибки розрахунк!в.

Практична ц!нн1сть дисертацИ полагав в розробц1 алгоритм1в проф1лювання машинобуд1вних-вироб1в, таких як . зубчаст1 колеса, та пуансони для перфорацИ у валках. ВхЗднога 1нформац1ею для алгоритм1в s опис: а)геомвтрично1 форми елемэнта параметрично! о1м'1; б)закону перем1щення цього элемента на площин1.

На пак:ст вкноояться положения, як1 складають наукову новизну роботи, а такозк програмне забездачення процесу проф1лювання машшюбуд1вних вироб1в. *

Реал1зац1я роботи виконана в науково-досл1дному 1нститут1 Идроприводу при , проведен1 роб1т з- проф1люван_я машинобуд1вних вироб1в. Реал1а«щ1я пХдтвврджуеться дов1дкою про використання запропоновано1 у poöoTl методики.

Обсяг публ1кац1й за темою дисертацИ складав 5 найменувань.

Апро0ац1я роботи. OchobhI положения дисертац1йно1 роботи до-пов1дались та обговорювались на Всеукра1нськ1й науково-методичн1й конференцИ' "Гесмэгричне моделювання. 1н»внврна та кош'ютерна

граф1ка", а такок на -наукових сем!нарах деяких граф!чних кафедр вшцих техк1чних навчальних заклад!в УкраХни (у Киев!, Мел!топол1,. Харков!).

Структура 1 обсяг робота. Дисертац!я сюгадаеться 1з вступу, трьох глав, висновк!в, списку л1тератури !з 110 найменувань, та додатку. Робота мЮтить' 96 стор!нок машинописного тексту та 36 рисунк1в.

3MICT РОБОТИ -

У вступ! обгрунтовано актуальн!сть досл!даань, проведено критичний огляд л!тературних дкерел та анал!з ■ сучасного стану питания в галуз! опису обв!дно1 за допомогою р!вняння в неявному вигляд!, сформульовано ц!ль та задач! досл!джень дано! роботи.

У перш1й глав1 дисертацП розглянуто теоретичн! основи методу наблнженого опису обв!дно1 cIm'I кривих за- допомогою р!вняння в неявному вигляд!.

.Нехай на шощин!. маемо да! декартов! прямокутн! системи координат Оху i VXf, як1 взаемо перем1щуються. Це перем!щення будемо характеризувати формулами зв'язку м!к коордошатими Х=ц>(х,у,С) ! Y=ty(x,y,C), де С - параметр перем1щ9ння, який зм1нюеться в межах афф. Нехай в систем! координат VXY маемо ф!гуру Х.обмежену в!д-р!зками прямих та дугами к!л, 1 описану за допомогою Я-функц1й у вигляд! L: Внасл!док пёрем!щення ф1гури L на шгащин1

утвориться с1м'я негладких кривих . елементами яко1 Оудуть

миттев! положения контуру 01 ф1гури L. Р!вняння clM'l (Lm) матиме вигляд %((р(х,у,0),ф(х,у,С))=0, або, що е те саме Р(х,у,С)=0.

Означенна. Сбв1дною Lq с!м'1 негладких кривих (Lm) будемо вважати контур дС ф!гури С, яка утвориться внасл1док "зам1тання" множини точок шгадшш при перем1щэнн1 ф1гури L в зазначених межах.

Звернуто увагу на те, що зг1дно даного означения обв1дна повинна складатись з: •

I) фрагменту элемента clM'l при 0=а;

IU фрагменту елэмента clM'l при С=Ъ;

III) л!я1й, формоутворения яких зумовленэ перем1щенням L. Щодо л1н1й виду ill, то в робот! не розр!знятимуться випадки кла-сично! обв1дно! та дискрим1нанти clM'l. Тобто випадки Дснування та в!дсугност! сп!льних дотичних у .елемент!в с!м'1 та II обв!дно'1. Таке

припущення не вшшне на як1сть алгоритм1в проф1лювання, теоретичну базу яких мае на мет1 створити дана робота. А саме, поставлена мета побудувати наближенэ р1вняння обв!дно1 Х0 с!м'1 (Ъ^) у вигляд1 fn(x,y)=0. Тут п. - деяке натурально число, яке визначае наближений характер р1вняння.

Заувазшно, що в1дом1 метода опису обв!дно1 р1внянням в незному вигляд! спираються на формули виду

Гп(х.у)*^1(х.у, (п~11а+Ь1)=0. (1)

де а<Ь - меж1 зм1ни параметру С, а у - знак Я;-диз'юнкц11. Формула (1) склодаеться з п Я-,диз'юнкц1й, як! об'еднують описи п+7 елемент1в с1м*1 Тобто "довжина" формули залежатиме в1д величини п. Але

для досягнення високо1 точност! опису значения п у формул1 (1) необх1дао вибрати досить великим (порядка дек1лькох десятк1в). При цьому аналАтичний вираз (1) буде надто гром1здким, що приведе до певних незручностей при викорисганн1 такого опису напрактиц1.

Постановка задач1. При умов1 збереження початково! точност1, Н80бх1да0 запропонувати спосЮ наближеного опису обв1дао! 1>0 с1м'1 кривих (Ът) за схемою формули (1), але з мэншою (порядка оданиць) к1льк1стю Я-диз'юнкц1й. Тобто ставиться задача одержат анал1тично 01льш компактний, н1ж (1), наближений опис обв1дно1 10. '

Щдкреслено, що коли 0 Юнував розвинутий математичний апарат знаходження границь виду

Тит 1=0 П

то цю задачу вдалося б розв'язаги на р1вн! аналЮТших перетворень.

В дисертац1йн1й робот1 пропонуеться 1нший спосЮ знаходкення компактного опису обв1дно1, який' базуеться на геометричних перетвореннях. В основу способу покладено проекц1йний метод означення обв1дно1, в1домий з тэорИ особливостей диференц1йованих в1добракэнь. Зг^дно з галокеннями ц!е1 теорИ, в декартов1й прямокутн1й систвм1 координат ОхуС розглянуто геометричний образ ОА р1вняння Р(х,у,С)=0 с1н'1 кривих'. Ортогонально спроекцЛюемо на координатну площину Оху мнокину точок А: Р(х,у,0)}0. Тод1 обрисова л1н1я &В одержано! проекц11 В сп1впадатиме 3 обз1даою (у вагальному випвдку - з дискриШявнтою) дано! с!м'1 кривих.

Означения. Зведеним до замкнутого !нтервалу <х-С$Ь р!внянням с1м'1 кривих Г(х,у,0)-0 (аОо просто зведеним р1внянням) називатимемо. р1вняння виду

?(х,у,С) л - ¡0 - ^|)=0. . (2)

Тут л» Л; ~ кон'юнцП. Позначати зведене р!вняння будемо так ¥[а х,у,О=0. Необх1дн!сть розгляду зведэного р1вняння нояснюеть-ся там, що у ньому на анал1тичному р1вн! Браковано мезк1 зм1ни параметру с1м'1 кривих. Д1йсно, мнокина точок А*: Ь]?>0 е частиною т1ла А:Т(х,у,0)^0, яка м1ститься м!ж плосданамп Мвня С=а 1 С=Ъ.

Розгянемо л1н1ю обрису вВ* проекцП В* т!ла А*. ООрис дВ* скла-даеться з трьох частин, про як! вже йшлася мова в •наведеному вище означенн1 обв!дно!.Вважаеться, що у звэденому р1внянн1 границ! зм!ни параметру С вибран! такими, що фрагмента л1н11 виду Ш (що в 'означит! обв1дно1) задовольнятимуть ус!м геометричним вимогам щодо про-ф!лювання. Тому надал! вввжаеться, що початкову задачу знаходаення р1вняння обв1дно1 10 с1м'1 можйа звести до задач! опису л1н!1 обрису дВ*. ТоОто в терм1н "обв!дна" вкладатимемо смисл обрису дВ*.

В робот! наведен! прикладу числових розрахунк!в як1 показують, що для опису за схемою формули (1) мае значения фактор "близькост1" елемент!в с1м'1 до о0в1дно! Ъ0. Тому виникла думка спробувати "скон-струювати" обв!дну с_1м'1 кривих fi0ЭJ за допомогою ново1 с1м'1 кривих (Кю}, яка б мала ту ж обв1дну 10 що ! дана с1м'я (1>т), але елементи яКо! знаходились би "ближчэ" до обв1дно1, пор!вняно з елементами с1м'1 . Тод1, використовуючи описи елемент!в с1м'1 (Кт1, обвяну Ъ0 вдалося б оппоати формулою виду (1) за допомогою меншо1 к1ль-кост! Я-диз'юнкц!й.

Означенна. Под!бними називатимемо с!м'1 кривих, як1 матимуть сп1льну обв!дну 1 елементи яких будуть геометрично р!зн1.

■ Розглянуто спос!0 "генерування" ново! с1м'1 кривих (К^), яка виявилася б под1бною дан!й с1м'1 {Ьто.).Д!сно, елементи вих!дно1 с1м'1 кривих (Ът} .можна сприймати як проекцИ на координатну прощину Оху множили перер!з!в поверхн! дЛ* плотинами р!вня С-сопзЬ. Ягацо ж пло-щини р!вня С=сопз1 тут зам!нити на с!м'юпаралелышх площин загаль-ного положения, то нов! проекцИ горер!з!в утворять якусь нову с!м'ю (Кт). Причому, с1м'1 (Ью) 1 (К^) матимуть сп!льну обв1дну 10 - л!н!ю обрису вВ* (на рис.1. с1м'1 площин зображено умовно с!чшми).

В робот! показано, що якщо с!м'ю паралельних площин опйсати у

ВИГЛЯД1

жх+пу+1С=р(т.гтг+12)1/г, то рЛвняння под1бно! с1м'1 кривих буде таким

1 9 Р Р 1 /Р

Т [а>Ь](х,у,\(р(шс+пс+1с с-ш-пу))=0,

тут {т.п,1) - координата вектора нормал1 с1м'Х паралельних площин, р - параметр под!бно! с!м'1. Р1вняння под1бних с1мей будемо позначати так Фи п 1(х,у,р)=0.

Рис.1

В дисертацИ нагологауеться на доц1льн1ст1 розгляду под1бних с1мей. Дцже серед них 1снув принайми! одна с1м'я, елементи яко1 у певному роЗум1нн1 найб1льш "близько гйдходитимуть" до обв!дно1 ¿^ Нэхай ця с1м'я кривих утворюеться за догогою паралельних площин, як! розташован1 перпендикулярно вектору й(т,п,Т). Тод1, використовуючи

структуру формулу (1), шукане р!вняння обв!дно1 матиме вигляд'

' _ <3>

Тут 3 15 - мея1 зм1ни параметру р. В робот! показано, що за умовов зберекення точност! опису, величина А. у формул! (3) буде суттево

с1чних кривих

меншою в1д величина п; що у формул1 (1). Тобто формула (3) матиме анал1тично 01льш компактней вигляд.

Дал! розгляд'аеться геометричний апарат гошуку под!бно! с1м'1 кривих, яка у певному розум!нн! була 0 розташоваяа найОлижче - до оСв!дно1, аОо, що е . те ж саме, геометричний. апарат. визначення координат вектора Ш.п.Т).

Означения. В1дстанню м!к обв!дною та елементом с1м'1 (1^) у окол! точки вважатимемо значения площ1 фрагменту площини, що оСмежений кривими 1>0 1 Ь? та е-околом точки N. Позначити цю в!дстань (площу) будемо так а£(1

Нехай маемо да! под!бн! м1ж собою с1м'.1 кривих (Ът) 1 (Ет}. Означения. В е-окол1 точки КеЬ0 елемент К^ с1м'1 (Кт) вважатй-мемо розташованим до обв1дао1. ближче, н!ж елемент ¿; 'ц'1 {1>т) тод1, коли для вс1х е-0 задовольнятиметься нер!вн!сть йЕ(Ь0,К^) < (рис.2).

Рис.2

В робот! перел!чен1 умови, яким повинна задовольняти задана с 1м'я № ) для того, щоб прийнята м1ра "Олизькост!" задоволышла традид1йним акс1ом^м щодо в!дстан1. Вокрема, зазначеним умовам задо-вольняють с1м'1, як1 моделюють процес к1нематичного формоутворення. Тому саме ц! с1м'1 розглянуто на початку першо! глави; П1дкреслено, що 1нтегральна характеристика йЕ(Ъд,Ъ^) !снуе ! у випадку порушення гладкост1 кривих у точц! Ы.

Оэнанення. С1м'я кривих (Кт) буде розташована бликчэ до обв1дно! 10, н!к 1й под!бна с1м'я тод!, коли для всякого

натурального п ! д1йсного е-.О Суде виконуватись нер1вн1сть

I - с1&(ъ0,^)1>о.

- 1=1

Дал! формулюеться критер1й, що дозволяв на практиц! знайти таку подЮну с!м'ю, яка буде розташована найОлижче до обв!дно1. Для цього

розглянуто перер1зи поверхи1 дА*. в'язкою площин (Тт), як1 проходять через точку Р, що налегать л1я11 видимого контуру (крим1нантн1й крив1й) поверхн1 дА* (рис.1).

Твердхення 1. Проекц1я пврер1зу розташуеться найближче до обв1дно1 саме тод1, коли буде знайдене таке положения с1чно! площини при якому в точц1 Р кривина контуру перер1зу стане м1н1мальною.

Кривину контуру перер1зу тут доц1льно оц1нювати 1нтегральним способом. А саме, будемо вважати кривину контуру б1лыпою н1ж кривину контуру GJ тод1, коли площа 3*-околу точки РеС{ буде менша, н!ж площа б*-околу точки QíGJ (рис.3). Тут 1 дал1 площа 0*~околу вим1рюеться на ллощин1 Т^ лише з вогнутого боку криво!, а величина О вибираеться однаковою для вс!х точок.

Рис.3

Розм1стимо N точок Р1 на крим1нянтн1й крив1й поверхн1 ЗА*. Через точку Р{ проведено таку с!чну площину, для яко! площа 11 а*-око-лу буде. максимальною. Позначимо цю площу через Б^. Те ж саме зробимо-для вс1х N точок.

Означения. Опосередкованим перер1зом повэрхн1 дА* назвемо такий уявний перер1з, який матиме площу величиною

_ 1 *

В робот1 п1дкреслюеться, що 1снують р1зн1 способи наближеного визначення опосередкованого перер1зу. Нюкче розглянуто один з них, зг!дно якого опосередкований перер1з наближено визначатиметься формою т1н1, яку поверхня дА* в1дкидатиме на деяку картинну площину. Г{. Причому, положения Г{ повинно бути таким, щоб площа т1н1 була максимально» за величиною.

Ознанення. А-вектором с1м'1 кривих Т?(х,у,0)=0 назвемо вектор, у напрям! якого г1ло А*: Р.- в1дкидатиме т1нь максимально! площ!.

Гвердхення 2. В!дстань м1ж обв1даою 10 та с1м'ею кривих; подМною дан1й с1м'1 Суде близькою до м!н1мально1 тод1, коли

с1чн1 илощини будуть перпендикулярними напряму й-вектора. ■

Останне твердження дозволяв на практиц1 знаходити координата й-вектора (т,п,1) 1 описувати обв1дну за допомогою р1вняння (3). Причому, отчисления координат й-вектора для дано! с1м'1 крквих з заданими межами зм!ни параметра зд!йснюеться лише один раз при першому зверненн! до' алгоритму проф1лювання. У вс!х подальших обчисленнях ол1д використовувати знайден1 координата.

В друг!й глав! розглядаеться алгоритм!чне вт!лення методу геометричного моделювання обв!дно1 с!м'1 кривих засобами растрово! комп'ютерно! граф1ки. , •

Алгоритм знаходження р!вняння обв1дно! с1м'1 кривих складаеться 3-таких етап1в.

1. Для реально! задач1 проф!лювання обираемо дв! • система декартових прямокутних координат. Нехай система Т)ХТ буде пов'язана з геометричною формою 1нструменту, що приймае участь у формоутворенн! обв!дно!, а система Оху - з "заготовкою" виробу.

2. Знаходимо функцИ. Х=ср(х,у,С) ! У^Сх.у.О), що описують взаемне 'перемИцення систем координат на площин1. На ■ практиц! параметром перем!щення С найчаст!ше е значения кута.

3. За допомогою Я-функц11 в систем1 координат ОХУ описуемо геометричну форму активно! частини 1нструменту у вигляд! р!вняння

4.' Побудуемо вих1дне р1вняння с1м'1 в загальному випадку негладких кривих у вигляд! Ц((р(х,у,С),ф(х,у,С))=0, або, що е те саме, Т(х,у,0)=0. ■ ,

б. Зг!дао формули (2) будуемо зведене р!вняння (х,у,С)=0,

цим самим на анал1тичному р!вн! враховуючи меж1 змЛни параметра С.

6. ¡Аножину. точок А*:Т[а в тривим1рному простор! Ег(ОхуО) розглядаемо як "тверде" т1ло. Для наочност! накреслимо еск1з т1ла А* ! виконаемо його комплексне креслення.

7. 3 огляду на апрЮрну 1нформац!ю, що надае комплексне креслення т!ла А*, граф!чним шляхом знаход1мо вектор V, який будемо рважата першим набликенням й-вектора.

8. Починаемо цикл уточнения напряму й-вектора. Для цього на прям1Л кругов1й кон!чн1й поверхн1, у яко1 в!сь сп!впадае а напрямом вектора V, а кут при вершин! дор1внюе а, виберемо ряд "пробних"

вектор 1в (рис.'4).

Рис. 4.

Розглянемо с1м'ю картинних площин кокний елемент яко! (Зуде перпенднкулярний якомусь 1з вектор1в Й^. На кокну з цих шгавди ортогонально спроец1юемо т!ло А* 1 оцЮТмо величину площ1 його проекцП (т1н1).

9. Для опису на картинн1й площин1 Т^ проекцП т1ла А* необх1дно на Г{ ввести локальну систему координат Ош>. Для простота прийнят1 так1 припущення: початком координат О системи Oav в основа перпендикуляра, опущеного на Г( з початку координат системи ОхуС; ос1 См 1 ОС мають сп1льну точку, а в1сь Ои буде паралельною координатн1й пло-щин! Оху (рис.5).

Показано, що м1к системами координат ОхуС 1 Оии мае м!сце такий зв'язок

п

х = пр

У = пр +

_ ,, ш1 ...

и _,. _ п1 ...

ТТ72 и

та?

+паУ

(4)

с = гр + ф2»,

де ш = (гг?+г?+12+(тгР-

пя'Ъг)и2, а р

в1дстань, яка вим1рюеться на перпендикуляр! в1д площини .Тод1 проекц1я на 'площину ■ перер1зу т1ла А* площиною р1вня р=сопз£ буде описана р1внянням 1>(х,у,С)=0, де вирази для х, у 1 С подан1 формулами (4). Окорочено це р1вняшя позначимо як Ф(и,и,р)=0. Зв1дси сл1дуе, що на площин1 Т( наближений опис проекцП т!ла А* мае вигляд

1=0 А

(5)

Тут [а,"61 - меж1 зм1ни параметра р, а Л. (рис. 5).

к!льк1сть с!чних площин

Рис.5.

10. Засобами комп'ютерно! граф1ки на каришн1й площин1 Г{ буду-емо растрове зображення проекцИ т!ла А*. Иого складатимуть точки растру (п1ксел1), в яких л1ва частина р1вняння (5) прийматиме дав1-д'емн! значения. Одночасно з побудовою зображення проводиться оц1нка вэличини його плащ. Наближено площа оц1нюеться к1льк1стю растрових п1ксел1в, що утворюють зображення проекцИ (т1н1).

11. Цикл уточнения напряму й-вактора зак1нчуеться, коли будуть знайден! площ1 зображень на вс1х картинних площинах. Позначимо через Ст, п, Т) координата нормал1 т1е! илощини, на як1й зображення буде мати найб1льшу площу. Цим зак1нчуеться знаходаення наближених координат й-вектора.

12. За допомогою форму ли (3) складазмо шукане наближене -р1вняння обв1дао! с1м'1 кривих у неявному вигляд1 /^(з:,у)-0.

В робот! прийнятий апостер1орний спос1б оц!нки похибки методу. А саме, похибка оОчислень оц!нювалась на основ! анал!зу розв'язку, який одержано новим методом для аналог1чних задач з в!домими "в1дпов!дями",

Алгоритма реал1зовано у вигляд! програм, як! написан1 мовою' ФОРТРАН-77. Програми перев1рен1 шляхом розв'язаяня тестових приклад!в.

В ГР8Т1Й глав1 розглянуто приклада застосування способу побудови иаближеиного р1вняння обв1дно1 с1м'1 негладких кривих в задачах проф1лювання машшюбуд!в1шх вироб1в.

Зазначено, що 1снув багато алгоритм!в попереднього (на стад!!

проектування) обчислення теплових та упруго-напружених характеристик ф!зичного поля, що виникае в г1лах деталей в процес! 1х реально! експлуатацИ. Найпоширен1ш1 алгоритми Оазуються на с!ткових методах (зокрема, метод1 ск1нчених елемент1в). В1користанню цих алгоритм1в передув робота допом1жного алгоритму автоматичного розм1щення в Ил1 детал! вузл!в длч подальших обчислень. Причому, густота заповнення т!ла детал1 вузлами повинна зО!лыдуватися по м!р! наближення до його границ!.

В робот! розглянута можлива стратег1я заповнення г1ла детал! нер1вном!рною по густот! с!ткою вузл!в. Як найбл1льш характерн! для машинобудування обрано два вар1анти формоутворення деталей методом обкочування. Ц1 вар1анти в1др!зняготься м1к собою способами перем!-щення 1нструменту в!дносно заготовки.

Дал! система координат Оху Суде пов'язуватись з заготовкою детал1, а система ОХУ - з геометр!ею 1нструменту. Ос! О'Х' та О'У означатимуть миттеве положения системи координат ОХУ в рус!, що в!дпов!датиме певному значению параметра С.

Вар1аж I. Методом обкочування проф!люеться зуб цил1ндричного прямозубого зубчастого колеса (тому цей випадок можна звести до плоского).

На рис.6 зображено необх1дн! для проф!лювання системи координат та спос!б 1х_перем!щення^____•

У

X

Рис. 6. Рис. 7.

Тут заготовка задана своею центро!дою - колом рад!уса Л, а 1нстумент - розгод!льчою прямою, що зб!гаеться з положениям ос! Ш. Перем1щен-ня Инструменту в1дносно заготовки забезпечуе "коч1ння"' без ■ ковзання системи координат ОХУ своею в1ссю Ш по центро!д! заготовки. Це пэрем!щення визначаеться кутом-парамером С та формулами зв'язку м!ж координатам»

X = хсозС ~ уэ1пС + СЯ; У = хз1пС + усозО - Я.

А

В систем1 координат ОХУ за допомогою Я-функц1й одержу ею р1в-няння $(Х,У;=0 вих1дного контура рейки 1лструменту (фрези). Зг1дно державного стандарту СРСР 13755-80 вих1дний контур являе собою зуб-часту рейку, що складаеться з в1др1зк1в прямих та дуг к1л (на рис.7 зображено частину рейки, яка формуе симетричну половину зуба колеса) Илюстративний вар1ант обчислювався при т=10, г-4, 0=2.5,а^2сР ,К=100. Зв1дси маемо р1вняння с1м'Д. миттевих положень вих1дного контуру рейки 1нструменту •

$(хсозС-уз1п/3+ЮЭа,хз1пС+усозС-100)=0,

або, скорочено Р(х,у,С)=0. Тут Офф.З. П1сля. обчислення координат й-вектора (-0.4; -5.2; 1), маемо змогу скласти р1вняння под1бно1 с1м'1 кривих

■?[0;0.31(х'У' 5.3р+0.4х+5.2у)=0,

де р - параметр, який зм1нюетьтся в межах [17.3; 36.21. В робог1 показано, що шукане р1вняння обв1дно1 складатиметься лише з трьох Н-диз'юнкц1й . "

],3(х,у)=Р[](х,у,91.7+0.4х+5.2у) у

у Р[](Х,у, 141.8+0.9х+5.2у) у РП(Х,у, 191.9+0.4x^5.2у)=0. '

Причому, воно забезпечуе опис обв1дно1 з такою ж в1дносною похибкою, як I р1вняння (1) з 28 Я-даз'юнки.1яш. • ...

Вариант 2. Методом обкочування проф1люеться пуансон, що горфоруе листовий матер1ал у валках.

Рис.8

Рис.9

На рис.8 зображено в1дпов1дн1 системи координат та спос1б Хх перемХщення. Тут. заготовка 1 1нструмент задан1 сво!ми центроХдами -колами рад1ус1в 1 Перем1щення 1нструменту в1дносно заготовки забезпечув взаемне "коч1ння" без ковзання згаданих центроХд. Це пе-рем1щення визначаеться кутом-параментром С та формулами, що пов'язу-ють системи координат

X = хсоз2С-уз1п20+ (И) +Ег)а1пС!-, У = ггз(п2С+усоз2С-(Д,+Я2)созО. •

В систем1 координат ОТУ за допомогою Я-функц1й описано проф1ль отвору перфорацП у вигляд1 р1вняння Тод1 вихХднв р1вняння

с1м'1 кривих матиме вигляд

5(хсоз2С-уз1п2С+(Я,+Я2)з 4пС,хз1п20+усоз2С- (Л, +й2)созС)=0.

Як 1 у попередн1й задач1, тукане рХвняння обв1дноХ тут. також складатиметься лише з трьох Я-диз'юнкц1й.

В дисертацХйнХй робот1 наведено розв'язки зазначених задач для елеменИв с1м'Х кривих-, що мають р!зноман1тну геометричну форму.

Одеркане р1вняння /З(х,у)=0 проф1ля зуба (або пуансона) дозволяв визначити в т1л1 виробу смуги р1вноХ густота вузл1в. Для цього обираеться числовий ряд О=г0<г1<г2<..елементи якого впли-ватимуть на ширину смуги, 1 де г^ е значениям функц1Х в точц1 I) з координатами (х^.у^) (рис.9). Точка з координатами (х,у) належатиме 1-т1й смуз1 тод1, коли Суде виконуватись подв1йна нер1вн1сть 1=и,и-1. В робот1 наведено дэкХлька мокливих алго-ритм1в розм1щення вузлових точок в межах певноХ смуги. Врахована моклив1сть при необх1дност1 зб1льпштй густоту вузл1в у "старш1й" за Лндексом смуз1 (наприклад, на дХлянках смуг, йк1 примикають до гал-тел1 н1жки зуба).

Для реалХзацИ под1бних алгоритм1в необх1дно знаходити чисельн1 значения координат точок, що розмежовують смуги (як випадок - координата точок обв1даоХ.Ь0). Наближено координата точок 'обчислювались одночасно з побудовою на комп'ютер1 растрового зображення множили точок £{; (або XX частини). Р1зними кольорами раст-

рових п1ксел!в позначались точки площини, в яких функц1я /3 прийма-ла певн1 значения 1з 1нтервал1в числового ряда' (г^ (1=0,к-1).Тод1 геометрична форма, смуг наближено характеризуеться граничними п!ксе-

лями растрового зображення множини С^(1=0,к-1). Так як координата п1ксел1в завжда в1дом1, то зв1дси одержуються наближен1 чисельн1 значения координат точок, як! розмеьовують смуги (зокрема, координата точок обв!дно1 Ъ0). Шляхом подр1бнення кроку растру досягаеться необх1дна похибка обчислень.

Розглянутий метод побудови наближеного р1вняння обв1дно1 використовувався для проф!лювання зубчастих колес та пуансон1в при лроведенн1 роб!т в науково-досл1дному 1нст1тут1 Идроприводу.

В И О н О В К И

В робот1 виконано ■ досл1дкення з геометричного моделювання обв!дно1 лараметрично! с1м'1 негладких кривих. А , саме, розроблена теоретична та алгоритм1йна база для геометричного моделювання обв1дно! с!м'1 негладких кривих за допомогою наближеного р1вняння в неявному вигляд1. На основ! розглянутого методу знаходження обв!дних розроблен! рац1ональн1 комп'ютерн1 програми проф1лювання. машинобуд1вних вироб1в. При цьому одёржан1 так1 результата, що мають наукову та практичну ц1нн1сть.

1. Проанал1зовано 1снуюч1 метода опису обв1дно! сЫ'1 кривих за допомогою р1вняння в неявному вигляд1. '

2. Досл1джено основн1 властивост1 проекц1йного методу знаходження обв1дно1.

3. Наведено точний опис обв1дно1 за допомогою р1вняння в неявному вигляд1 для певного класу параметрично! с1м'1 кривих.

4. Запропоноваш метод побудови р1вняння с1м'1 кривих, У яко1 обв1дна е сп1льна з обв1дною дано1 с1м'1 кривих.

б. Проведено удосконалення проекц1йного методу . знаходження обв1дно! шляхом використання с1чних площин загального положения.

6. Розроблено алгоритми з'ясування положения геометричного Ила в простор1 (щодо знаходження площ1 його т1н1).

7. Складено алгоритм геометричного моделювання обв1дн01, • який не спираегься на операц1ю диференЩювання.

8. Створено комп'ютерн1 програми проф1лювання мовою ФОРТРАН 77.

9. Розв'язано ряд тестових приклад1в, що дозволило знайти впостер1орну оц1ику похибки результат1в.

10. Розв'язок даох реальних задач проф1лювання машинобуд1вних вироб!в впровадаено у виробництво.

Основн! положения дисертацИ опубл!ковано у таких роботах:

1. Куценко Л.Н., Шелихова И.Б. Использование описания очертания объекта в практике геометричного моделирования. - В об1рц1 "Геометричне модзлювоння, 1нженерна та комп'ютерна граф1ка". Тези допов1дей Всеукра1нсысо1 науково-мегодично! конференцП. - Харк1в, ХП1, 19ЭЗ, с.42.

2. Шелихова И.Б. Нахождение огибающей: параметрического семейства кривых при помощи кватернионов. - В зС1рц1 "Геометричне моделю-вання, 1нженерна та комп'ютерна грзф!ка". Тези допов!дей ВсеукраЗл-сько! науково-методично! конференцП. - Харк1в, ХП1,1993, с.43

3. Куценко Л.Н., Шелихова И.Б. Нахождение огибающей параметрического семейства методом вращения. - В зб1рц! "Геометричне моделю-вання, 1нженерна та комп'ютерна грвф1ка". Тези допов!дей М1жнародно1 науково-мегодично! конференцП. - Льв1в, ЛП1, 1994,

4. Шелихова И.Б. Нахождение огибащей методом вращения. - Доп. в ГНТБ Украины, 1994, 12 с.

5. Куценко Л.Н., Шелихова И.Б. Проекционный метод определения огибащей параметрического семейства. - Деп. в ГНТБ Украины, 1994, 10 с.

В работе рассмотрен способ построения приближенного уравнения огибащей семейства кривых, моделирующего кинематическое формообразование линий на плоскости. Способ основан на геометрическом определении огибащей проекционным методом, взятым из теории особенностей дифференцируемых отображений. При этом учитывалось, что традиционное получение элементов семейства можно трактовать как построение проекций сечений плоскостями уровня поверхности, описанной уравнением семейства. Новизна состоит в том, что семейство плоскостей уровня заменяется на семество паралельных секущих плоскостей общего положен1я Это позволит образовать новое семейство кривых, огибающая которого будет совпадать с огибающей исходного семейства. Подбирая должным образом, положение секущих плоскостей добиваемся того, чтобы-элементы второго семейства оказались как можно "ближе" к огибащей. Тогда при помощи описания элементов найденного семейства и операции Я-дазьинк-ции удалось построить уравнение огибащей в аналитически компактном виде. На основе этого уравнения созданы алгоритмы профилирования машиностроительных изделий. Решены практические примеры.