автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Методы геометрического моделирования многофакторных процессов на базе проекционных алгоритмов

Р Г Б ОД

На правах рукописи

Крэсияьгткова Галина Анатольевна

МКТ'-да ¡ТОМКТРИЧЕСКОГО КО£ЕЛЙ»'ОВАНИЯ МШГОФШШМ ПКВДССОЗ НА ВАЗЕ iIPCE<I5ÍOfttfat АЛГ0РЙТМ09

Огпслаш-ность 05.ói>0í - прикладная геометрия

я «ижвййрг.яя гр»1»ш»

Автореферат

тссэрттт на etmat&'.m учэяс* сг+път кёвддата тмЛиэсчяя неук

йсста* I9S5

Работа щполвене В Московском гссудэрствзанои аеивцаонкам ннституге (государогеенаом ушйзрса?«)?«}

НаучниЯ руководитель! Научнай кокгулы&л: СЧмцайлькив oraioHBHiu:

доктор тагзаиеск:«: ввук, прсф&ссор яку мы В.й

кандндвг тс5нйЧйо;ад неук, njk^ijfcop ЁО^ОШЯИОВ В.А.

доктор тгдавскаж нвуа K&iikapoa КД'.

кьедила- техначеокид наук, Йрофеё^ор Тйрасоа Е.4. '

Ведущая организация! Научио-про«1в&одс»вяййов ггрежпр^ятие ; "ЗМоД зди 0.Я» клийова" •'

Занять ооотоатон ^ /У " uojSpj 199 У г. в ./¿часов м айсвдййии йяссвркатюякого Cesfcf» Л Оёа.Ы.ОТ "Прикладная

гвъ»йтр«я в 4 мга пп,- *ff. еоэ^

1ZSOZQ, /ÄwiiiÄ^i.^/'

' Ö i)t«Bd öSaftKONBibb« fc аявЛютвхв МГ«Н?.

Oftpbtt Beb t^^tt у^&сУв в Ьбс^адёния яюсвртаияя или Ь .шймШра*. с мьяяеью, вмюрвнжл гербовбй Йчвпи юз йдрейу ^ Дйосяр^далтяого совете:

• , ШорбфрМ Щ)бШ * J?Q * Ptfsö'fM Т99S гола.

OTcceptatorororo«} Соивм. ^ 1 и .h.a*w:>b*

_—-Sftf-A.*^*-7 _

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. При исследовании многсфакторных процессов и обработке многомерных данных наряду с абстрактными аналитикескими моделями используются модели геометрические. Одним из вакннх достоинств геометрических моделей является возможность получения наглядных представлений об изучаемых явлениях.

Кроме наглядных геометрических моделей, заметную роль в инженерной практике играют расчетные геометрические модели, предназначенные для передачи информации о количественных соотношениях параметров исследуемых процессов.

Существуют разли"ные подходы к создании геометрических моделей. Для одних целей синтезируется универсальная модель пространства, на. которой возможно осуществлять любые геометрические операции, допустимые в исходном пространстве. В других случаях конструируется специализированная модель, предназначенная для реализации конкретного геометрического алгоритма. Модели первой группы являются объектами изучения начертательной геометрии, модели второй группы - номографии.

В целом ряда работ демонстрируется получение расчетных геометрических моделей с ггомозд в проэкЦкогяси методов. Однако такой подход без использования современных коштьстергшх технологий не получил практического применения.

Специалиста, умаюииа качественно «роить яоыогра^яческяэ модели при .помощи ЭВМ, как прашгло, пв попользует прсекцйоггпнх штсдоз и тем самым сужают возможности нсиогрвфот для ревэния спрокого круга научных и инженерных задач.

Таким образом, Возникает Кйстоймльяая й§обходамоо?ь соединить преимущества прсегааогашх катодов полушняя расперши гэбттричзскпх моделей с возможностями классической .псюграфзя Яэ оонсвэ новых теоретических исследований а этих оАяасгях а современная яаструмэнталышх средств компъатерйой гооггэтртст в. графики. ■ ' ■ .

Цель. работа - разработка способов шдглпровзнпл мнегофзкторннх процессов' на база прсекшсвнкх .алгоритмов и программных средств комиь игорной геометрии я грофист. ■

. Исходя из поставленной цэла сфорауляровает я решены еледуп-пие зядвчи: •

- разработка способен создаппл сггашгализиропатт геонетрпаб-кях мод«лей (копэтрухтиетс-мянимелыш* Схем), ля основе обшт плгорит-

.3

мов решения задач проекционной геометрии;

- получение аналитических эквиьилентив для ряда исследуемых геометрических конструкций;

-- • разработка сиос-Оой поыишения омератшщой модности проекцион-но-числових моделей;

- разработка способа представления экспериментальных данных на проекционо-числоьой модели с no:iMOKiiocTbiu уиранления ее формой;

- разработка программного комплекса для автоматизированного построения ироекционно-числовых моделей нв базе алгоритмов классической номографии и алгоритмов начертательной геометрии;

- составление алгоритмов синтетического конструирования проакци-онно-числовых моделей для обработки аксперимвнтальных данных в среде системы компьютерной геометрии и графики;

- внедрение результатов исследований в промышленность и учебный процесс.

Методика исследований. Решение задач, поставленных в диссертационной работе, газируется на методах начертательной, аналитической, проективной геометрии, геометрии многомерных пространств, вычислительной техники и компьите рной график«,

Теоретической базой проведенных исследований являются работы:

- по вопросам геометрического моделирования, теории геометрических преобразований, те.рии проективной геометрии, теории номографии -Четверухинв Н.Ф., Котова И.И, Глаголева Н.А., Фролова С.А., Бусы-гйна В.А., Иванова Г.С»» Рыжова Н.Н.,Теьлина А.М,, Туэова А.Д., Наджарова К.М., Валъкойа К.И., Волкова В.Я., Волошиновп В.А., Филиппова П.В., Мйхайленко В.Е., ,Подгорного А*Л., Ховрискот-о Г.С., Якунина В.И, и других',

- повопросам представления иббработки вксперимвнталышх данных - Адлера О.П., Марковой Е.В., Гранобского Ю.В., Налимова В.в., Новицкого D.B.i Первиковой В.Н. Я других;

- по вопроса* автоматизации построения геометрических моделей * Борисова О.Н., Чибиеова В.В,, Полозове B.C. и других.

Научная новйвва, Научнуввовизну проведенных исследований определяют следуterns результаты:

- разработай ряд специализированных проекционно-числовых моделей на основе некоторых клхяевнх операций, получены ноше канонические формы в вяаяитичбском виде;

- разработан способ повшюяия операпгоной мощности модели посредством двияении ее мемеятов И на его основе разработана методике пост-4 V . .... .... : ' - ......

роения проекнионно-числовнх моделей для определенного класса уравнений;

- даны рекомендации по выбору аппарата проещгрования и по расположению особых элементов исмедурмой поверхности по отношению к проеци-рущим образам в операционных пространствах различной размерности;

- разработана методика обработки экспериментальных данных в таблицах о двумя, тремя и четырьмя яходями с линейной интерполяцией по каждой переменной, обеспечивающая получения математической модели в виде геометрической структуры;

- создана элементная база, новые алгоритмы и ггртраммы для автоматизированного конструирования проекционно-числовых моделей;

Практическая ценность. Результаты исследований позволяют:

- расширить возможности отображения многофакторггах процессов, т.е. пополнить арсенал сущ* ствунцих номографических моделей новыми, полученными на база аппарата проекционного моделирования;

- получить ЗДйктинное изображение поверхности на плоской модели, отображающей экспериментальные данные со всеми ее характерными особенностями, минуя этап получения модели в аналитическом вида;

- упростить процесс конструирования и вычерчивания проекционно-числовых моделей путем использования современных средств компьютерной геометрии и графики, повысить качество представления данных.

На защиту выносятся положения, представляющие научную новизну'и перечисленные выше;

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на Республиканской научно-к'этодической конференции "Роль инженерной графики и машинного проектирования в подготовке специалистов для на;юд!юго хозяйства^ (г_.Ленинград, ЛПИ, 1984г.); на Уральской научно-техничвекой конфереьции "Геометрическое моделирование и начертательная геометрия" (г.Пермь, 1988г.); на РеспублюШюкой' йй-учно-методической конференции "Основные направления повышения качестве подготовки инженерных кадров в свете перестройка высшего образования" (г.Ленинград, Ш,1988г.); йа IX всесоюзном научно-методическом семинаре "Инженерная я компьютерная графика" (г-Севастополь, СВВМИУ, 1989г.); на 46 -ой научной конференций Ленинградского инженерно-строительного института ЦЭвЭг.): ив семинаре-соведании "Инженерная и компьютерная графика: актуальные вопрос«! теории и практики" (г. Се вес-тополь, 1990г.); на конфэрешят "Прогрессивные технологические процесса в «ахвиооорабатыващем я сборочном производстве" (г.Ленинград, ЛЛНТП, *шй, деквбрь 1952Г.}.

Структура и объем работа. Работа соотоит вя введения> трех глав, .

............. 5

заключения, библиографии и приложений. В ней содержится 144 страницу машинописного текста, в том числе 27 страниц рисунков, 75 наименований использованных источников.

Публикации. По тем диссертации опубликовано 7 научных работ и одна находится в печати. В этих работах отражены основные теоретические и прикладные аспекты проведЬниых исследований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теми диссертационной работы, дан краткий анализ состояния вопроса, сформулирована цель и основные решаемые задачи, доказывается Научная новизна и практическая значимость результатов работы.

• В первой главе исследуется структура проо.кционно--числовой модели, .дается многомерная интерпретация геометрических построений на плоскости, а также рассматриваются способы получения специализированных геометрических схем для конструирования проекционно-числовых моделей.

В процессе конструирования геометрических моделей в самых разнообразных формах используется операция проецирования, сопоставляицая элементы двух множеств (п> и (ж>. Если каждому элементу множества поставить в соответствие некоторый числа, то геометрическую конструкцию можно применять для расчетных целей.

Осуществление преобраэогания п - m может происходить в пространствах различной размерности. В предельном пространстве Яп'ж в качестве посредника между двумя множествами выступает некоторая поверхность f1. При понижении размерности операционного пространства casa алгоритм, обеспечивающий преобразование п -tu подвергается моделированию. и его конструкция становится все, более сложной;

Процесс Конструирования проекциойно-числошх моделей требует предварительного изучения используемых геометрических алгоритмов, которые в этом случае представляют собой некоторый механизм преобразования входных параметров модели 6 выходные, и семя становятся объектами моделирования. Каждая геометрический алгоритм тесно связан с размерностью своего операционного множества (суммарная размерность всех геометрических множеств участвующих в формирования составных частей данного алгоритма), которое также подвергается геометрическому Моделированию. Очевидно, что Чем меньше размерность» тем проще алгоритм, однако повышенная размерность для алгоритма означает большую свободу при его конструировании. В классической номографии ôtot еф$ект соответствует "приспособляемости" Р ........ . !

моделей. Поэтому одной из важных задач в области конструирования про-екциогаю-числових моделей является поиск средств для снижения размерности геометрического алгоритма на проекционной модели с сохранением общей ее структуры и относительной приспособляемости.

Другой, не менее важной задачей в этой области является Ьпределе- ' гае возможности использования фиксированной ключевой операции проекционно-числовой модели при увеличении параметров входа , т.е. повышения оперативной мощности геометрического алгоритма при сохранении его раз^ мерности. Решению этих двух проблем посвящена теоретическая часть диссертационной работы.

Структура проекционно-числовой модели, вид ключевой операции зависят от многих факторов, а именно: от выбранного аппарата проецирования (вида и расположения центральных и проецирующих образов), от способа перехода к картинной плоскости и расположения в ней исключенных элементов модели, от выбранной системы отнесения.

Если поверхность 1Л, отображающая некоторую зависимость

хгч1 " f(x1'x2.....V рэсположена в предельном пространстве вместе

с координатной системой, то при моделировании ее на плоскости определится общая структура проекционно-числовой модели: каздая координатная ось будет представлена несколькими прямыми, а поверхность &1 некоторым многосвязным отношением. Отметив на координатных осях точки с нужными числовыми отметками и выявив структуру геометрического алгоритма, можно определить (п+1)-ую координату точки, принадлежащей поверхнности.

Если та же поверхность расположена в открытом пространстве, то для ее отображения можно использовать п - арную сетку занумерованных гиперплоскостей и, вводя еще одно семейство помеченных гиперповерхностей, получить некоторый аналог сетчатой номограммы в пространстве Й™. Рассекая попарно все элементы семейств картинной плоскостью и выявляя вид ключевой операции, посредством которой выделяется одна из линий ответного семейстьа, получим структуру проекционно-числовой модели для исследуемой поверхности.

Основная трудность при конструировании проекционно-числовой модели заключается в реализации многосвязного отношения в первом случае и поиске вида ключевой операции во втором.

Возможные упрощения схемы геометрических построений без разру-пени я вида модели могут быть осуществлены за сч8т ев модефшзцки, при которой максимальное количество проективитетов и коллинеаций, угтанавливайпих связь между алиментами модели приводится к тождеству. В ?точ олучпе Лудем говорить о конструктивно-минимальней схем* (КМО)

7 .

модели.

В качестве примеров получения KMC, пригодных для конструирования номографических или проекционно-числоьых модамЯ, рассматривается процесс трансформации схем1' построения избыточного поля проекций для некоторых проекционных систем.

I.Неоднородная проекционная система пространства R3 состоит из двух центральных образов - точки S/ и прямой зг; проекционных пространств-плоскости и прямой р2' . Переход от операционного пространства к картонной плоскости осуществляется двумя линейными преобразованиями: коллинаацией х,г | [i'j и проективитетом %г' |{р2 где (*г)

и (рг) поле и прямолинейный ряд квртиююй плоскости. Точка общего положения t моделируется парой произвольно выбранных точек (но не инцидентных исключенным образам модели) и Ij(Pj).

Дополнительную проекцию точки М СуДем Получать проецированием ее "из центра $э, аайимаицёго общее пОйо*ениё а системе центральна* образов, на плоскость . Третье Проекционное пространство 8 %h будет представлять собой плоскость *3< Исключенная плоскость а » S,-ег отобрахаетой в картинной плоскости 'прямой dia я точкой %г<- рг, исключенная плоскость р • Вувг отображается й %к прямой 6-зг я точкой Уг<- а идошчеаная прямая. * « точхами У, в 1Л,.

Установив tipoem -Mfr поляна, можно по задан-

ным прЬвкцяям l},' B ifj построить проекта) »^(ряеЛв), которая представляет собой двойную »очку проективитета, определенного ва прямой Рг - IV Xs. »£,1*IV2> Ye. »„Ь

Для использования дайной схемы в качестве пррекцвотю-числовой модели врорзводйтся рйк преобразовав«! - ш ■ из, а все проек-

тивные соответствия устанавливаются п&рспектйвиыми. ТогДа схема приобретает мд конструКтивно-Жшимальйой, пригодное для конструирования специализированной модвли.' Пос^а введения координатной система (хоу) так, чтоби алемента KMC ваняли по йТноайни» й ней частное положение (риоЛб), определится урввавнив, свягыввадее проекция точек«

каноническая форм для данной ключевой операции получится заменой в уравнении координат точек соответствующими функциями

При дальнвйкей модификации про«Кционао-<шсловоЯ модели приобретает вил номограмга из выравненных точек, что показывает яй тесную связь вомог-ряфмс проекциогою-числовым моделированием.

8 . . .

• 2.Рассматривается процесс трансформации схемы построения избыточного ноля на модели С4гг. Исключенными элементами модели являются прямые аги 831 в плоскости зтг, ззг в * и ai3, вгз в %3. Структура схемы общего вида определяется наличием трбх пар проективных

рядов точек Х^У^Ц, таких, что общие точки "

пар прямых Х^-агг-ззг и Л =э»з-8гз являются соответст-

венными в установленных проективитетах (рис.2а).

Преобразования полей %г13 и х|э назначаются тг ', чтобы (вгз }-Х13(в21) для xfj и (si3)=x*3(ets), (эзг)=х131хг,3(ээ1)1 для хггз-Тогда проективные соответствия х',г< х'гз и Х131 выроадэются в тождества и схема общего вида прообразуется в KMC свободную от процедур реализации проективитетов. Последняя может быть с успехом использована как ключевая операция для пространственно-числовой связи шести параметров (рис.2б).

Для получетой схемы находится аналитический эквивалент о учетом возможности введения в поля модели функциональных сеток произвольного вида. Задача решается для частного варианта представленной геометрической схемы при совмещении прямых азг*взг о несобственной прямой картинной плоскости, а координатная система вводится так, чтобы элементы KMC заняли по отношению к ней определенное положение (рис.2в).

■ Аналитическую форму указанной геометрической конструкции представим в вяЛе: /,„

Г'ав«7£ 5

Для различных модиСикецяй определены уравнения бинарных полей с учётом параметров упрй. .«няя формой и положением проекционно-числовой модели.

Если в поле (fs6,e56) построить семейство линий /5 » '6Г5в И НЗМеяИТЬ ПОКОТОрЫМ образом вид функций g(2, /34. g34, то можно получить уравнение Вида /3 « * Л А*'

конструктивно-минимальная схема и соответствуадая ей каноническая Форма наили практическое применение .в мзхбнообрабатнватаем производстве при расчетах точности механической обработки фасойянх поверхностей вращения. г

Полученные йодели позволит оперативно производить количественный

9

и качественный анализ взаимосвязи между геометрическими параметрами резца, заменив собой достаточно сложные и громоздкие уравнения точности

3. Использование методов .проекционного моделирования позволили решить задачу ком пакт о графического представления май мосвжш параметров при исследовании процесись восщ'-жььвдчния импульса лшшйниго-ускорений на испытательном стенде.

6 исследуемой задаче сумма действующих параметров равна шести (Л, г, ш, к, I), причем набор независимых параметров может быть составлен из льйоР четверки. Следовательно, про&кшюшт- геометрическим эквивалентом, моделирующим взаимодействие I шраметрон, можно назначить подпространство Я4, расположенное в предельном п(юстра>ютве И6 или модель эти* объектов на плоской картине в виде некоторого мкогосьяз ного отношения. Последнее может сыть реализовано на чертеже схемой-алгоритмом, связывающим тройку проекций - И? - У3 для точки М с Я4 й и позволяющим по данным двум изоорвкенинм, например К|, %г, находить проекцию точки И в третьем поле (рис.За).

Отсчет параметров Лиг осуществляется на модели в поле (%,); А и Ь - в поле !Г и и - в поле (*3.). При совмещении прямой Р<3

с несобственной прямой плоскости чертежа схема проекционно-числовой модели принимает вид конструктивно-минимальной схемы (рис.30). Расчет координатных семейств в каждом из полей выполняется на основе исходных данных и представленной геометрической схемы.

Проекционно-числовая модель процесса воспроизведения импульса ли-неййого ускорения, построенная по приведенной методике, позволяет быстро в эффективно определять параметры испытательного стенда для получения заданной амплитуды и длительности.

Во второй главе рассмотрены способы повышения оперативной мои-. ности проекционно-числовой модели посредством движения ее элементов на примере распространенной номографической модели нэ выравненных точек.

Показано, как при геометрической трансформация шкал повышается количество входных параметров. Так, при последовательном перемещении шкал на своих носителях, количество параметров увеличивается с трех до вести. Если )Г перемвцению шкал добавить их поворот, то количество независимых параметров можно увеличить до девяти. В этом случае повышается оперативная мощность ключевой операции.

В работе сделан анализ связи всклоченных элементов модели с ее оперативной мощность». Исследуется вффект повышения оперативной мощности ключевого Алгоритма для отображения полиномиальной зависимости 10

•^JxtxJ

1аих1 f 1а,

кк(п-1) 1<^<J<(n-^)

Эта зависимость эквивалентна гиперповерхности

(I)

, которая содержит (п-1) семейство линейных образующих, параллельных координатным плоскостям лг<Охп. Рассматривается преобразование (п-1} - 1 на модели, состоящей из шкал. Исходя из этого определяется проекционная система пространства Яп, включающая в себя: п центральных образов-гиперплоскости Тп'г, принадлежащие одной гиперплоскости С"-'; проекционные пространства - прямые р(', рг'...рп'. Переход от операционного пространства к картинной плоскости осуществляется проективитетами х,1» %2 •■•■ > сопоставлявшими точкам проекционных прямых прямолинейные ряды картинной плоскости (р(),(р2),...,(рп)

Исключенная гипе;плоскость С1"' отображается

точками X*, X*,

I»-»

2'

со-п-г

на соответствующих прямых. Исследуемая поверхность держит исключеннный образ, состоящий из (п-1) гиперплоскостей Б" параллельных координирующим осям х, и Пересекающихся в некоторой точке Я. Каждая точка такой гиперплоскости обладает тем свойством, что при (п-2) фиксированиях координат ответная координата хп не зависит

от х(. Координаты критической точки К(х*,х*.....х^) определяются

при решении системы уравнений, полученных при равенстве нулю частных

производных по каждой переменной

бх/Ох.

П I

о.

ам 0 в>* (п-1)

f ?1в 0 агы-п « - О.

ат-1)ГлМ) • «

Каждое из уравнений соответствует гиперплоскости

(2)

Исследу-

емая поверхность вместе с координатной системой располагается в" Я"

так, чтобы особые гиперплоскости

-2

с«-2

совпали о цент-

ральными гиперплоскостями проекционной системы пространства Я". Тогда координатам критической Точки будут соответствовать на модели исклю-чегаше точки X*» <<«• X*»

При понижении размерности исходного пространства (®иксируптся переменные г ,, хп г,*.., хг), определятся коорднивтн критических точек поверхности ва каздом, более низком уровне. Этим координатам в будет соответствовать набор исключенных елемейтов, необходимых дяч конструирования проекционно-числовоЯ модели. Выбрав в качества шкал пря-мн* - т(, тй, 1П, я, используя остальные для ввдаиия траектории дви-№?ганчнх шкал при определенном расположении исклгччинн* тпч?к,

II

получим схему проекционьо-числовой модели для фиксированной ключевой операции, эквивалентную уравнению (I),

В работе подробно рассматривается процесс конструирования проек-ционно-числовой модели : чя уравнения (I) при п = 3,4,5, схемы которых представлены на рис.4 - 6. При расположении исключенннных точек модели (Я*,У,г*.), как это.показано на рис.4а, движение шкалы х зависит от принимаемых значений переменной у. Движение этой шкалы мокно заменить бинарным полем (х,у) (рис.46). По значениям входных параметров ум при использовании разрешающей прямой определится искбмый параметр г. Рассматривается уравнение и * 4,1 + А^у + А3г * В^ху + В?Т2 * В^г + С . '' (3) Это уравнение эквивалентно гиперповерхности Р3 Я4, которая содержит три семейства прямолинейных образующих, параллельных координатным плоскостям хОи, уОи я гОи. Для построения проекционно-числовой . модели необходимо определить критические значения я", у", г*', решив систему линейных уравнений

Л, * В,у ♦ » 0 (4)

Аг + В}Х * В3г « 0 (5)

Аэ + В^ + ВдУ * 0 . (6)

Гиперповерхность Р3 содержит три исключенные плоскости, параллельные координирующим осям (х, у, е) и пересекающиеся в точке с координатами х**, у**, г**, и**,

На проекцяошй щ>ямМ* х, г и и исключенная плоскость V к

(сэчвниб исклшенногв образа при у* уА) .отобразится точками X*, 2*. икоторые буду» соответствовать координатам точки К^ принадлежащей линии пересечения плоскостей (4) и (6). Исключенные точки, полученные в сечениях, будем называть Исключенными точками первой ступени. При у = у** координаты точки Я совпадут со значениями х", г" я и".

На рис.5а показано расположение шкал, исключенных элементов первой и йторой ступеней при фиксированном значении ук, а также траектории движения икал х и и в зависимости от значения у. Для удобства работа с моделью движение шкалы и заменяется стационарным бинарным полем (у,и;, а движение шкалы х осуществляется в бинарном поле (у,ъ). Положение лилий семействе у поля {у,и) будет определяться прямыми лучка с центром в точке, г**, соответствующими значениям пара метра у г рве. 66} •

Для отображения гиперповерхности Р* пространства Я* на проекци-

снно-числовой модели необходимо выявить ее исключенные элементы, решив систему уравнений (2) при п = 5. Решение даст четыре исключенные значения третьей ступени - г'**, х*г", х***, х*" соответствующие координатам точки пересечения четырех особых гиперплоскостей в3 <- О4. Подстеновкой этих значений в уравнение (2) определится сг**'.

Для конструирования проекционно-числовой модели необходимо получить критические значения при фиксированной переменной, например, ик, т.е. определить точку пересечения • особых плоскостей в четырехмерном ■ сечении пространства Я5, а такие критические значения, соответствующие точке пересечения прямых в трехмерном сечении фиксированного подпространства Я4.

Располагая необходимым набором исключенных элементов, можно получить схему проекционно-числовой модели (рис.6а), а также траектории движения шкал. Шкалы х) и х5 перемещаются в бинарных полях (х},х4). Поле, в котором движется шкала х,, кроме этого, будет перемещаться по стрелке в зависимости от значения г . Ответная переменная х* определится при совмещении х'"* и х* с заданными значениями. х*,. установке бинарного поля в положение, соответствующее х*, и использовании разрешающей прямой.

Рассматривается процесс отображения уравнения (I) на проекционно-числовой модели при но при усложнении взаимосвязи входных па-

раметров (добавлении члена, характеризующего тройное взаимодействие входных параметров на выходной параметр). Рассматривается гиперповерхность, соответствующая этому уравнению для выявления ее особых геометрических элементов.

Поверхность содержит три семейства прямолинейных образующих, параллельных координатным плоскостям. В трехмерных и двумерных сечениях (при фиксации соответственно одной или двух переменных) особые геометрические образы Первой ступени будут иметь тот же характер, что я в случае птьрповерхности, эквивалентной уравнению (1). Характер особых элемент»» второй ступени при этом изменится - они будут представлять собой нелинейные Образы в предельном пространстве. Вследствие этого изменится и общая структура проекционно-числовой. модели. Она будет состоять из двух частей, каждая из которых соответствует определенному набору исключенных точек модели: X**, У**, , и** »

.у** и9*

А 2 # , , 1

Далее в этой главе исследуется взамосвдзь исключенных элементов оппроксимируяпэй поверхности с точностью отображения экспериментальйах данных на гфоекцЙошю-числовой модели, характеризуемых уровненном (I), .

при п = 3,4,5. При значительной да4фузиости исходных данных используется метод медианных центров.

Опираясь на геометрические представления о форме поверхности в заданном пространстве ( кторов и выявляя связь табличных данных с ее особыми ьлементами, определяются все коэффициенты уравнения, которые непосредственно связаны с исключенными точками геометрической модели. После выявления значений исключенных точек осуществляется переход к конструированию проекционно-числовой модели и ее корректировке посредством движения элементов модели с целью еще более точного приближения последней к исследуемому процессу.

При п -3 аппроксимирующая поверхность содержит две особые прямые, координаты точки пересечения которых (г*, у* в г') находятся на основании данных таблицы I

Таблица 1

К XI Лп

1/1 г1 2я г' гт 2.....

Уп г' ?л г' г*

Строятся прямые г - при у( иг» ?п(х) при уп, а также

г «• /¡(у) при и г » /п(У) при хп, которые в пересечении определяют проекции исклк; .иной точки поверхности.

На рис.7а показана схема определения критических точек для таблицы I, в которой параметрам .....2* соответствуют значения выходной переменной для и проьодимых опытов при различных уровнях факторов. На рисунке диффузионный разброс отображен полосой рассеяния при определенных фиксированных значениях входных пчрэметроь. При исиоль-вовании метода медианных центров для усреднения экспериментальных данных определятся Точки А, В, С я В. Пересечение прямых су'Ь, и с^-сЬ, даст проекции точки 8 следовательно и исключенные точки проекционно-числовой модели.

Для проверки модели (рис.?б) на соответствие экспериментальным

данным, определяется значение выходного параметра, соотяетгтяулчрч

средним уровням факторов и Если на модели величине г* не

ср 1.р . м ср

выходит эа пределы интервала яеопределанности • •" ср' то ,плу' ченная модель считается адекватное исследуемому процессу.

Если кг величина Выходит за пределы заданного интервала, то улучваиие модели производится эа счет перемещения «кал. По откорректированной модели определяются новые исключенные элемента, которые ис-14 . •

/

пользуются для расчета коэффициентов уравнения.

х*у'(г* - г') у*(г\ - г*)

ао -2 * ~ „.; 5 .

ГХГ1*Нусу') . " (ХГХ*)(У1'У*) х'(2* - г') ^ г\- г*

22 " (хгх')(угу') ' ,г " <хгх')(угу*)

В работе подробно описывается процесс обработки данных для таблиц с тремя и четырьмя входами. На основе полученных исключенных значения параметров различных ступеней разрабатываются геометрические алгоритмы (схемы) для конструирования проекционно-числовой модели.

Разработанная ме~->дика представления данных использовалась при экспериментальных исследованиях процесса електрогидроимпульсной обрезки, калибровки деталей из Поль« тонкостеннных заготовок. На рис. 9 представлена одна из проекционно-числовых моделей для расчета точностных параметров указанного Процесса. На основании табличных данных были найдены исключенные элементы модели, необходимые для ее конструирования (рис.9,а)( После определения выходного параметра для средних уровней факторов, модель подверглась модификации посредством движения ее элементов, с целью приблизит».' экспериментальные данные к расчетным данным (рис.9,И). определение коэффициентов уравнения производился на основании новых значений исключенных точек модели.

Полученные «политические я проекционно-числовые модели дп расчета точностных параметров процессе позволили уменьшить погрешность расхождения опытных данных с расчетными более. Чем в два раза по сравнению с использованным ранее для их обработки МКК, что повысило качество проектирования указанных технологических процессов.

Третья глава посвящена автоматизация йроекционво-числового моделирования в задачах обработки данных.

Представление данных на проекциояно-числовой модели, как было рассмотрено ранее, монет осуществляться двумя способа»«. Аналитический эквивалент приводится к некоторой сунествухцей канонической форме, для которой разработаны аналитические или графические способы построения проекционно-числовых моделей, эквивалентные втим формам. Или данные, для которых выбран вял аппроксимирующей поверхности, непосредственно отображаются па модели, я затем, если ' «то необходимо, приводятся к аналитической форме. Поэтому и кмппто-графвчвстав способы их представления могут быть различным».

I. Одно из направлений автоматизации йналитическях методов интер-

16

претации геометрического алгоритма связано с машинной номография. Опираясь на имеющиеся достижения в этой области, в работе решен ряд задач для качественного изготовления предметной модели: разработаны алгоритмы и программы автоматического выбора иага дискретизации шкал, семейств линий и бинарных полей, разработаны способы управления формой и размещением элементов проекционно-числовых моделей на экране и чертеже автоматически или интерактивно.

В процессе создания элементной базы пространственно-1: аслового кодирования был предложен удобный для практического использования метод аппроксимации кривых ломаными линиями.

На основе этого метода разработан алгоритм для автоматизированного выбора шага варьируемого параметра при построении бинарных полей. Для определения качестве аппроксимации кривой выбраны следующие критерии:

а) каждая точка на кривой должна находиться, от ломаной на расстоянии й, меньше некоторого заданного Б1;

б) угол наклона касательной к кривой в каждой точке не должен отличаться от угла наклона соответствующего звена ломаной линии больше угла 1рг

Для решения данной задачи не рассматривались другие свойства кривой, связанные с дифференцированием (точностью определения кривизны, точек касания, экстремумов и Т.п.).

На базе существующих алгоритмов машинной номографии й вновь разработанных на основе конструктивно-минимальных схем, создан программный комплекс "ЮМСЕ*. При его вызове и указании на ваАрос о количестве переменных в функции обеспечивается автоматический переход к одному из возможных вариантвЙР^геометричеокой модели.

2. Для конструирования 'прсекционно-чнслорой модели синтетическим способом удобно использовать системы машинной геометрии и графики. Подобная система, разработанная на кафедре начертательной геометрии СПбГТУ, позволяет производить геометрические построения в интерактивном р симе графического редактора, запоминая алгоритм построения и предоставляя возможность автоматического его вшюлненля при изменении входных параметров. <

Система предусматривает создай^ функциональных блоков для реализации конкретных геометрически алгоритмов я использование их в более сложных геометрических структурах.

На рио. 8 представлена блок схема геометриче^Го алгоритма расчета входных параметров, необходимых для конструирования проекционйо 16

*Ll

--- л, ^_,

-Vi i - f

0

ï (s*

Í

TÍ

> <0

4

'X

и s CL

ю

Í с, в,

б) Рис.7

.;-1 ТАБЛИЦА |--

У1 у! • /1 XI XI XI т: ЦТ п и У1 ш

п:

1

[х^ад^ ХУ.Ху^ ^ЩШ ^М^Щ

тШ

АЛ!*] ИгЪ^и

X' У: и

МОДЕЛЬ

Рис.8

s

s +

s

СЧ

B> +

3 i-sj» 3

числовой модели представления табличных данных по разработанной методике.

Экспериментальные данные таблицы с четырьмя входами при определенных фиксированных значениях входных параметров поочередно поступают на преобразователь , который представляет собой функциональный блок реализации геометрического алгоритма расчете исключенных элементов первой ступени. После обработки данных методом медианных центров полученные значения исключенных элементов группируются в зависимости от принадлежности особому геометрическому образу в сечении аппроксимирующей поверхности при одном иЭ {мхейроваиных параметров входа. Далее выбранные значения поступают на преобрвзоватэЛь Я2, pea. лзупций reo-' метрический алгоритм t рождения координат точки пересечения трех плоскостей.

Расчитанные исключенные йламента второй ступени обрабатываются преобразователем Ä3, который позволяет определять координаты точки пересечения четырех гиперплоскостей в пространства ft],- исключенные точки третьей ступени. Далее необходимый набор еначевяй поступает на функциональный блок реализации геометрического алгоритма конструирования проекцио|шо-числовой модели, для со8даяия которого разработаны алгоритмы-инструкции по его выполнению.

описанные выше автоматизированные оистема геометрического моделирования разработаны в среде Турбо Паскаль для использования аа персональном компьютере класса IBM Рв,

Все геометрические модели и иллюстрация г представленной работе выполнены при использования средств компьютерной геометрии и графики.

заключений,

Проведенные исследования позволили получить следующие основные научные и практические результаты:

1. Разработан ряд специализированных схем для конструирования проекциотю-числовых моделей па основе oöotx алгоритмов ревения задач в области геометрического моделирования.

2. Получены новые канонические форма дм проведения расчетов в решения разнообразных эедач многофакторь го анализа.

3. На основе исследований возможности повышения оперативной мощности существующих моделей разработана методика построения проекци-пнро-чяплорнх моделей для уравнения гиперповерхности пространстве if,

21

содержащей (п-1) семейство линейных образующих, параллельных координатным плоскостям х.Ох .

< и

3. Выявлена связь критических точек уравнения с исключенными элементами поверхности и даны рекомендации по выбору элементов системы проецирования и расположению исследуемой поверхности по отношению к ним для упрощения конструирования проекиионно-числовых моделей.

4. Разработана методика представления экспериментальных данных, позволяющая моделировать их в виде поверхности и производить расчет выходного параметра по заданным входным с последующей корректировкой модели посредством движения ее элементов.

5. Получены формулы для расчета коэффициентов уравнения регресси на основе полученной геометрической модели и ее характерных элементов.

6. Разработано элементная база, новые алгоритмы и программы для автоматизированного конструирования проекционно-числовых моделей.

7. Полученные в работе результаты нашли применение при решении задач расчетов точности механической обработки фасонных поверхностей вращения в механообрабатывапцем и сборочном производстве, а также при исследовании процессов эле к трогидроимпульсной обрезки, калибровки полых тонкостенных цилиндрических заготовок.

Результаты исследований в виде разработанных программных средств и различных вариантов расчетных геометрических моделей, построенных автоматизированными методами, используются в научных исследоваго'чх в лабораториях, а также в учебном процессе СПбПГУ.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Волоиашов В.А., Красильникова Г.А. О канонической форме для одной проекционно-числовой модели //Геометрическое моделирование инженерных объектов и технологических процессов: Сб.науч.тр./ОПИ., Омск,1989.- С. 42-44.

2. Волошинов В.А., Красильникова Г.А. О проёкционно-числовом моделировании процессов воспроизведения импульса линейного ускорения на исгат ельном стенде//Испытательные я поверочные стенды: Сб.науч.трудов /ЛС .У.- Л.,1992. С. 40-43.

3. Красильникова Г.А. К вопросу о повышении оперативной мощности расчетных моделей //Вопросы начертательной геометрии и в» приложения / Межвуз. сб. науч. трудов.-Ярославль, ЯПИ, 1988, с.88.

4. Красильникова Г.А. О проекционных эквивалентах для некоторых полиномиальных зависимостей //Геометрические модели и их применение: Межвуз. сб. науч. трудов./ Рыбинский авиационный технолопгс. ия-т. -22

Ярославль, 1390, о.47-50.

5. Красавьштова Г.Л. Поэкциошшв отношения на проекционных fмоделях как ключевые опэрацет для компьютерной номографии //Геометрическое моделирование я компьютерная гр&1?и8:С0. научи.тр./СПбГГУ, Санкт-Петербург, I99a.-c.26-33.

S. Крвсялышоза P.A. Построонко проекцдотю-чнсловой модели для твблйчяых даяиах с двумя входи® по оэ ястшиеитм элементам //Геохот-рическоэ моделирование а компьютерная грйфяшгСб, паучн.тр./СПбГТУ, Санкт-Петербург, 1995./находится в печати/.

7. О канокячгзских формах для некоторых видов шшчекга операций /Волошюв В.Л.', Ирасялыжкова Г.А.; Лекингр.полятехя.нн-т.-Л., 1990. -24 с.{ ЯЛ.-ВйбЛйогр.а назв.- Руо.-Двп. Э BHffiffif IS.00.90, й 4G39-B90.

9. Геодатрячэсяоз Моделирование я его связь с машанио-графачес-коЯ визуализацией данных /Волскняоэ В.д., Полсегояшя М.Д., Красаяьна-кова Г.А.; Ленпкгр.поллтеямт-т.-Л., 1990,- SO о.? ая.-Бнбтаогр.б Hann.- Рус.-Леп. в ВИНИТИ й 46С5-В89. ■ .--