автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Недетерминированные состояния динамических систем и проектирование

РГб од

- 7 111011 ^ойЬкий государственный университет имени В.В.Куйбышева

На правах рукописи Ваушев Валерий Семенович

УДК 517.925.42

НЕДЕТЕВШИРОВАННШ СОСТОЯНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРОЕКТИРОВАНЙЕ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математггеского моделирования н математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степечи доктора физико-математических наук

Томск - 1993

Вабота вшолнена в Томской институте автоматизированных > систем управления и радиоэлектроники.

Официальные оппоненты:

ВАСЕНИН Игорь Михайлович - д.ф.-м.н., профессор

ДОИН Николай Серапиокович - д.ф.-м.н., профессор

ТВОРОГОВ Станислав Дмитриевич - д.ф.-м.н., гл.научн.сотр.

Ведущее предприятие: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского (г.Нижний Новгород).

"Зашита состоится ___1993 г. в____

час. на заседании специализированного Совета Д 063.53.03 при Томской государственной университете (634050, г.Томск, просп.Ленина.36).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Авторе$е]зат разослан "__"________1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета канд.физ.-мат.наук, доцент

Б.Е.ТШВШЕНКО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность проблемы. Математическое моделирование, выступая, с одной стороны, как инструмент познания реальной действительности, в то же время является важнейшей составной частью проектирования. Развитие вычислительной техники и потребности практики способствовали возникновению и развитию идеи автоматизации проектирования. Этот процесс прежде всего затронул проектирование тех объектов, для которых формирование математической модели поддавалось алгоритмизации. К таковым, в частности, относятся объекты электронной техники. Успехи автоматизации проектирования в большей степени связаны с автоматизмом в формировании моделей, развитии средств ввода- . вывода информации в ЭВМ. Более скромные результаты достигнуты в плане реализации математических моделей. В особенности это касается объектов, математические модели которых формируются в виде так называемых динамических систем.

Центральной проблемой, неразрешимость которой сдерживает, развитие математического моделирования и проектирования, цчпя-ется ответ на вопрос о причинах возникновения недетерминированных, в том числе хаотических, состояний динамических систем. В гидродинамике крайняя степень недетерминированного движения жидкости проявляется в виде турбулентности. В'кардиологии недетерминированную динамику миокарда (сердечной мышцы) называют аритмиями, крайней формой проявления которых являются фибрилляции (хаотические сокращения) желудочков миокарда. В устройствах силовой электрокики(преобраэовательной техники) возникновение недетерминированных состояний в лучшем случае сказывается на качестве функционирования прибора, в худшем - выходе из строя

части иди даже всех его элементов.

Внимание теоретиков к указанной проблеме всегда было достаточно высоким. Причем наибольший интерес проявлялся со стороны специалистов в области теории нелинейных колебаний. Это естественно, если учесть, что все основополагающие понятия, связанные с характеристиками динамических систем (фазовые пространства, предельные циклы, устойчивость, бифуркации и т.д.) складывались и развивались в рамках этой теории, начиная от А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре.

В настоящее время обозначились две концепции в объяснении причин хаотизации динамических систем.

1. Хаотизация есть следствие взаимодействия динамической системы с внешними помехами, имеющими случайный характер.

2. Хаос генерируется самой динамической системой даже в условиях отсутствия внешних помех.

В 70-е - 80-е годы усилия теоретиков сконцентрировались на обосновании второй концепции. Поводом для этого послужили результаты исследования известной системы 3-х автономных дифференциальных уравнений Лоренца, полученных в связи с задачей о термогравитационной конвекции жидкости между двумя пластинами с разной температурой. Возникновение хаотичности в динамике этой системы связывалось с введением нового (по сравнению с неподвижными точками и предельными циклами) объекта в фазовом пространстве - странного аттрактора, представляющего собой притягивающее множество, не являющееся многообразием. Причем движение изображающей точки на этом множестве имело стохастический характер. Главный недостаток этой теории заключается в ее неконструктивности. Дело не столько в том, что она не в состоянии объяснить многие экспериментальные результаты, свя-

занные с возникновением недетерминированных состояний динами-' ческих систем. Эта теория не дает направление действиям проектировщика с целью обеспечить детерминированный характер динамике проектируемого объекта.

Практики более склонны к восприятии первой из указанных концепций. Хотя у них кёт ясного понимания, каким образом взаимодействие помехи с динамической системой приводит к недетерминированным состояниям, многочисленные экспериментальные данные указывали на несомненную связь между наличием помех и недетерминированными состояниями. Со стороны теоретиков, пожалуй, наиболее глубоко о механизме реализации первой концепции написал Ю.И.Неймарк (см.кн.Неймарк D.H., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания.- М.: Наука, 1987). Речь идет о так называемых преобразователях и усилителях стохастичности, под которыми понимаются динамические системы со случайным воздействием на входе. Естественно, что такие динамические системы будут иметь стохастичность на выходе. Разделение на преобразователи и усилители стохастичности определяется по коэффициенту усиления. 8 качестве такого можно выбрать, например, отношение дисперсий выходного и входного сигналов. Для усилителей стохастичности этот коэффициент много больше, чем для преобразователей. Усиление стохастичности может происходить по двум причинам. Первая - это неединственность движений динамической системы и возможность перехода с одного движения на другое. Вторая - возможность перескока из-за фяуктуаций с одной части кривой периодического движения на другую.

Указанные соображения, однако, носят скорее абстрактный характер. Их значимость, необходимость развития, направление развития в сильной степени будет определяться результатами исследо-

вания конкретных динамических систем.

Цель работы и задачи исследований. Цель диссертационной работы точно отражена в ее названии - это выяснение причин возникновения недетерминированных состояний динамических систем и связь этого явления с проектированием. Достижению этой цели предшествовало решение следующих задач:

- рассмотрение принципов математического моделирования с позиций автоматизации проектирования;

- исследование локальной устойчивости разрывных систем;

- разработка методов поиска стационарных решений для конкретных динамических систем«

- получение количественных оценок, объясняющих хаотизацию динамической системы для одномерного отображения;

- разработка стратегии проведения ряда численных экспериментов для выяснения причин возникновения недетерминированных состояний динамических систем.

Методы исследований основаны на аппарате теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, матричной ■ алгебры, теории множеств и функций, методов вычислительной математики. .

Научная новизна заключается в представлении множества стационарных решений динамических систем в виде картины ветвления в зависимости от параметров модели. Это позволило понять, как вти решения соотносятся друг с другом и внести весомый вклад в концепцию, объясняющую возникновение недетерминированных состояний динамических систем как следствие взаимодействия динамической системы с внешними помехами.

Практическая значимость работы и внедрение результатов исследований. Практическая значимость работы определяется но-

вой информацией, вносящей понимание в сушносгь причин вознтм-новения недетерминированных, в том числе хаотических, состояний динамических систем. Это позволит:

- направленно искать причины хаотизации в известных динамических системах;

- направленно подходить к формированию новых моделей различных объектов;

- указать направления развития математического моделирования и параметрического проектирования;

- способствовать повышению экономичности качества и надежности проектируемых объектов.

Поскольку все исследования проводились в среде технических специалистов по разработке устройств силовой электроники, они так или иначе использовались при создании конкретных устройств. Но глэбный итог внедрения - это разработка и методическое обеспечение на основе проводимых исследований нового курса "Системы автоматизированного проектирования электронных схем" для студентов специальности "Промышленная электроника", преподаваемого автором диссертации в течение многих лет в Томском институте автоматизированных систем управления й радиоэлектроники.

Апробация результатов работы. Результаты исследований представлялись и докладывались на Ш Всесоюзном научно-техническом совещании "Проблемы электромагнитной совместимости силовых полупроводниковых преобразователей" (Таллинн, 1986 г.), на Всесоюзной научно-технической конференции "Автоматизация электротехнологических процессов в гибких произсодетвенных системах машиностроения на основе полупроводниковых преобразователей частоты" (У4а. 1987 г.), на 1У и У Всесоюзной научно-

технической конференции "Проблемы преобразовательной техники", (Киев, 1987, 1991 г.г.), на 1 и П Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (Ташкент, 1967, Винница, 1991 г.), на Всесоюзном научно-техническом совещании "Применение вычислительной техники для исследования и автоматизации проектирования преобразователей* (Саранск, 1987 г.), на У Всесоюзной . научно-технической конференции "Динамические режимы работы электрических машин и электроприводов" (Каунас, 1988 г.), на УШ Всесоюзной научно-технической конференции "Силовая полупроводниковая техника и ее применение в нардном хозяйстве" (Миасс, 1989 г.), на Х1У научно-технической конференции, посвященной 40-летию научно-исследовательского, проектно-конст-рукторского и технологического института электромеханики НПО "Полюс" (Томск, 1990 г.).

Публикации. Из множества опубликованных работ в области математического моделирования различных объектов автором отобрано 25, имеющих непосредственное отношение к диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 5 глав, списка литературы из 92 наименований. Объем работы 200 страниц, из них 44 страницы рисунков и таблиц.

СОДЕНШИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко рассмотрена сущность понятий "математическое моделирование", "проектирование" и их соотносимость. Отмечается, что развитие математического моделирования и автоматизация проектирования сдерживается нерешенностью проблемы возникновения недетерминированных и, в частности, хаотических

состояний в динамике детерминированной динаяической системы. Далее формируется цель диссертационной работы, точно отраженной в ее названии, и этапы реализации этой цели по главам.

В первой главе рассмотрены принципы математического моделирования с позиций автоматизации проектирования. ' Формирование математической модели представлено в ви/э схемы: ■ реальный объект ■—- схема замещения —— математическая модель. Переход от реального объекта к схеме замещения предполагает использование приемов абстрации, а также ввделения величин X »• характеризующих объект, и параметров ф •. Формирование математической модели - совокупности отношений, связывающих характеризующие объект величины, - осуществляется на основе фундаментальных законов природы, либо эмпирических закономерностей.

Множество моделей классифицируется по признаку динамические-нединамические. Под динамическими понимаются те, в которых характеризующие объект величины меняются во времени.

4т - &(Х) < . • «)

аг

Если X и (г СУТЬ вектора с N компонентами, то (1),(2)-систекы обыкновенных дифференциальных уравнений. Причем (2) -автономная система, а (I) - система с внешним (периода Т) периодическим воздействием. Распределенные системы, в принципе, можно свести к (I), (2) путем дискретизации по пространственным переменным.

Разумеется, не все динамические модели (или динамические системы) можно представить в виде (I), (2). В этом случае (1),(2)

следует воспринимать как символическую запись динамической модели.

После формирования модели встает проблема ее реализации, под которой понимается получение определенной информации о свойствах рассматриваемого объекта при фиксированном наборе параметров. Этапы реализации.представляются схемой: выбор цели реализации — исследование — метод расчета — численная схема — алгоритм и п^грамма — обработка результатов. Многократная реализация модели позволяет получить достаточно полную информацию об объекте, то есть провести анализ.

Совокупность целей реализации для динамических систем (1),(2) классифицируется по признаку состояния объекта:

стационарные нестационарные

состояния. состояния

/ \ ^ \

реализуемые нереализуемые переходные недетерминированные

Под стационарными понимаются такие состояния, когда характе-^ ризушие обаект величины либо не меняются во времени (состояния'статического типа), либо меняются периодически (состояния периодического типа). Бее другие состояния называются нестационарными. Необходимо заметить, что в научной литературе под стационарными обычно понимают состояния статического типа. Реализуемы только устойчивые стационарные состояния. Под переходными понимаются нестационарные состояния, которые через конечный промежуток времени, начиная с некоторого начального, принимают стационарный характер. Если состояние остается нестационарным на сколь угодно большой временном интервале, оно называется недетерминированным. Почти периодические состояния не рассматриваются. Степень недетерминированное™ может быть

различной. Наивысшая - это стохастичность, когдгГ мгновенные значения характеризующих объект величин принимают случайный характер.

Если речь идет о проектировании (или исследовании) объектов, динамика которых должна носить детерминированный характер (то есть любое нестационарное соотояние является переходным), то становится очевидным важность выяснения причин возникновения недетерминированных состояний. Решение отой проблемы самым тесным образом связано о устойчивостью стационарных состояний. Поэтому в первой главе кратко рассмотрены основы теории устойчивости, заложенные в работах А.М.Ляпунова.

Пусть Хс(^) ~ стационарное решение (I). Представим некоторое решение задачи Коши для системы (I) в виде

В этом случае XО-) называют возмущенным решением, а £(4), вектор с /V компонентами, - возмущением. Относительно компонент вектора £ получается система уравнений

{3>

Исследование устойчивости Хс связано с анализом решения системы (3).

Суть первого метода А.М.Ляпунова заключается в получении линеаризованного варианта системы (3):

Л, 1шае , £(„>.£..

где 06- /ЭХ

- матрица Якоби. При этом предполагается малость В и достаточная гладкость & (.1 ,Х) .

Решение линеаризованной системы

находится с помощью фундаментальной матрицы, удовлетворявшей матричному уравнению

с/Р г- р(о)=£,

■£ - единичная матрица. Асимптотическая устойчивость в малой (или локальная устойчивость) будет иметь место, если собственные числа матрицы Р(т) (мультипликаторы) по модулю будут меньше единицы. Определение I. Областью притяжения 2> Н) стационарного решения Хе(£) называют такую область в £ -пространстве, что если в некоторый момент времени 4 = Ж*) ,

то решение системы (3) с ростом неограниченно убывает по некоторой норме.

Сущность второго метода А.М.Ляпунова заключается в построении некоторых вложенных-в %)(■£) областей. Если область притяжения не совпадает о В -пространством, то

она имеет границу

га) .

Определение 2. Пусть максимальный радиус сферы

/£/= » не пересекающей границу Г (£) . Величину х назовем величиной области притяжения стационар-

•4

ного решения .

В содержание.первой главы входит также краткий обзор некоторых методов реализации моделей.

Основное содеркание второй главы связано с разработкой .методологии исследования локальной устойчивости стационарных решени" периодического типа для динамических систем (I),

правая часть которых имеет разрывы первого рода на некоторых поверхностях. К таким системам относится математическая модель импульсного стабилизатора напряжения, рассматриваемая в следующей главе.

В случае одной поверхности разрыва ее уравнение определяется равенством

Пусть ()<£#< Т - момент разрыва правой части (I) на стационарном решении

ббшая схема исследования локальной устойчивости остается той же, что и в первой главе: линеаризация системы (3) относительно малых возмущений, вычисление основной матрицы и ее (мультипликаторов. Матрица Якоби в окрестности -6 ~ ¿к

7? л

где

матрица-строка, - транспонированная матрица-строка, А (~Ь) -кусочно-непрерывная квадратная матрица, § (4-) - функция Дирака, Знаками "+н и "-" указаны значения функций в моменты

^ + 0 и - о

Расчет фундаментальной матрицы с помощью уравнения (4) осложняется тем, что в моменты разрыва

с матрицей пересчета Мк , найденной в виде

г \ АК<Ъ)] '[Е- 0'*л)Ак(*4)]

о неопределенными величинами 0< 5 1

Показано, что если

ШЩ'-ь*0-

г « х к

то матрица пересчета не зависит от выбора и опре-

деляется выражениями

' (б) Далее приведен пример динамической системы, когда условие (5)

не выполнено. Показано, что в атом случае использование матрицы пересчета в виде (6) приводит к неверным результатам. Для рассматриваемой в следующей главе модели условие (5) выполнено.

В третьей главе выявлена одна из причин возникновения недетерминированных состояний динамической системы, связанная с неединственностью устойчивых стационара состояний и внешними помехами, имеющими случайный характер. Эта информация получена на конкретной модели стабилизатора напряжения с ши-ротно-импульсным регулированием:

и*ч = ¿(и^ ип = иоп [£-£у(&)]

х-Г

г

с. се„

Здесь ос, - то к , = ис - выходное напряжение, ^ -целая функция, Ц, £н - сопротивления, £ - индуктивность,

С - емкость, Ев - входное напряжение, - напряже-

ние управляющего воздействия, и^ - опорное напряжение,

Си - величина тактового интервала, - коэффициент передачи, оС - коэффициент усиления. Все расчеты проводились при

Я = 10,6 ом, «н = 100 ом, = 0,1 Гн, С -10^,^ -5 В, ЬСт = Ю В, Еа = 1040 В, О. = Ю"4 с, Р = 0,01,

Модель (7) дополняется принципами формирования импульсной функции , отражающими конструктивные особенности

системы управления стабилизатором.

1. Импульс может возникнуть только в начале тактового интервала (к-1)0. < Ь < *<*■ 7 . -

Пусть Ь к - момент окончания импульса в пределах тактового интервала.

2. Если ?\1я(к.4)Л.<0< О , го =<*-<)*■ . Следовательно, длительность импульса равна нулю.

3. Если >0 > ^и^а-о <0 , то - _

наименьший корень уравнения

4. Если £ > О в пределах тактового интервала, то KCl .в этом случае длительность импульса равна велиаи-не тактового интервала.

Таким образом, только в двух последних случаях кг ^^ вычисляется согласно выражению в (7), когда Кв- .

При этом

^ .. J * >

F I О, W £ •

Период внешнего воздействия определяется только периодом квантования CL . Поэтому, если Т - период Хс(4) » то Т»мй. , tr> - • Периодическое решение с таким пе-

риодом назовем «г- -никлом.

Дальнейшими преобразованиями модель (7) с учётом принципов формирования импульса была сведена к двумерному отображению. На основе этого отображения задача поиска пг -циклов свелась к системе трансцендентных уравнений относительно моментов коммутации:

(8)

К-1 , х- =

Oi;гк f У V У

(tmXi 6 •* ¿_

^-е "¿J

j-- i - J'1

b't Я, ^ - положительные константы, ^ а -

собственные числа матрицы А , вещественные при выбранных параметрах..

Приведенную далее часть информации относительно свойств динамической системы (7) удалось получить с помошью аналитического исследования и численных расчетов системы (8) при различных т . Необходимо заметить, что в случае м>= * система (8) сводится к одному уравнению и легко решается. Однако с ростом ан трудности в решении этой системы катастрофически нарастают.

Результаты численных расчетов представлены в таблице I. Первая колонка указывает периодичность, вторая - диапазон по ¿- , в котором существует устойчивый т- -цикл. Данные таблицы I можно понять, если их представить в виде так называемой картины ветвления рис.1.

Совокупность устойчивых гъ -циклов представляется в виде ветвей. Начало одной из них (основной) дает 1-цикл, другим -жестко возбуждаемые т, -циклы (3-цикл, 9-цикл и т.д.). Далее, с ростом X , происходят множественные бифуркации с удвоением периода. Причем каждая из ветвей имеет предельное значение о!. + , отвечающее апериодическому решению. Диапазон по

<к существования некоторых ветвей настолько узок, что на рис.1 они представлены вертикальными' линиями. Таблица I и рис.1 отражают частичную картину ветвления на основе тех пг -циклов, которые удалось рассчитать.

В пределах существования основной ветви имеет место неединственность устойчивых -циклов. Это сразу наводит на мысль, что при определенных условиях внешние случайные помехи, которые всегда существуют, могут выступить в качестве переключателя, переводящего динамику системы из одного устойчивого

Таблица I

п с*

1 0 < dé SS, S ff

2 36,59 á- с* * <?-f

4- 126, äff Á с*¿ 137,96

S 137,97 14-0,4-1

16 14-0,4-2 «S c< á 14-0, 94-

32. 14-0,95 * <Á é

3' 52,6? 61,5

6 62,0 í «Л ¿ 00

12 68,006 £ <Á é $8,0153

5 14-4-,6 í 14-4-, 85

10 14-4-, 86 ¿ Ы f 4-4-, 92

SO 14-4, $4- id í 55

7 14-4-, 26 .6 ¿A ¿ ¡o

14 . 144, 31 ¿ cK 14-4, 325

£ 66,56 ¡S & 66, 76

15 68,68 * c* ó 68, 698

21 ' ев,383 á <* 4 ff,+

S 136,526 4 c* ¿ 137,1

12 137,2 ¿ c* ¿ /37,3

состояние в другое. Такая ситуация может возникнуть, если вег личина помехи (под которой понимается I £ I ) станет соизмеримой с величинами областей притяжения по крайней мере двух устойчивых т. -циклов. Если величины областей притяжения этих двух Нь -циклов будут близки, то равновероятно функционирование стабилизатора в окрестности каждого из этих т. -циклов. С целью подтверждения этой мнсли были проведены численные эксперименты при «С « 59. При таком коэффициенте усиления существуют устойчивые 1-цикл и 3-цикл с близкими (что было вычислено заранее) величинами областей притяжения. Оба этих состояния изображены на рис.2. Суть эксперимента заключалась в расчете динамики стабилизатора в условиях случайных помех. Помехи создавались возмущением на входное напряжение

. в»* ^ е0 4 га)

где №) - импульсная функция, имеющая случайную полярность (знак),-амплитуду, и длительность, не превосходящую . &/£ . Периодичность возникновения возмущения ( ) подбиралась в процессе счета. Йсчет проводился в диапазоне 0<-Ь г {ЬЧо, и все кривые с интервалов (н-^ХХ < ,

К, ч77П переносились в один интервал (0,3^). Результаты эксперимента, подтверждающие высказанные соображения, изображены на рис.3. Очевидно, что степень недетерминированности будет тем выше, чем больше частота возникновения помехи. Тщательно проведённые расчеты показали, что за пределами существования основной ветви ( <4 ^ ^^ ) нет неединственности УК -циклов. Однако при больших (в частности, при = 155) наблюдается хаотическая динамика. Причину этого

Рио. 3

явления удалось выяснить далее на примере т5олее простого отображения.

В четвртой главе был проведен анализ одномерного отображения Фейгенбаума

■ * J О'*«-<)

(9)

Периодическое решение (9), удовлетворяющее условию

^^ /^eJ , называется hi -циклом.' Для отображения (9) была разработана'методика нахождения hv -циклов, проведена расчеты и построена частичная картина ветвления- по аналогии с тем, как это проводилось в предыдущей главе. Здесь картина ветвления так же представлена в виде ветвей, одна из которых начинается с I-цикла, а другие - в результате жестког го возбуждения г>ь -циклов с различными т- . С ростом А происходят множественные бифуркации с удвоением периода. ■ Каждая из ветвей имеет предельное J , отвечающее апериодическому решению. Неединственности устойчивых /п -циклов не обнаружено. Прямыми численными расчетами было установлено, что на ЭВМ с 16-разрядным представлением чисел при tn '33 имеет место хаотическая динамика отображения (9). Этому явлению в диссертации удалось дать объяснение.

Пусть vfc к , * - <7*» - устойчивый nt -цикл и пусть ■иГк = + £ * - возмущенное решение (9). Из условия, что начальное возмущение' £ь не должно выводить ^ за пределы области (0,1) (иначе решение и?*, неограниченно нарастает), определяется величина области притяжения m -цикла

_ trttn {mSn (ufCK ) , (1- .

Относительно получается отображение

£„ « X (4- &<<:*.-£к.<)£к.< ,

Совокупность всех £0 «г. (ев1> £вЯ) , £0<<О,, > О обеспечивающих монотонное уменьшение / ск( , образуют внутреннюю область притяжения. Под величиной внутренней области притяжения понимается

Для вычисления величины внутренней области притяжения предложен приближенный подход. В частности, для устойчивого при X = 3,682167823 /н -цикла•с /п = 19 вычислено 7мй - 0,8067* 10"®.

По смыслу определения внутренней области притяжения следует, что если величина возмущения 1£*1 будет превосходить Т^й » то следует ожидать недетерминированную динамику отображения (9). Для указанного X были проведены численные эксперименты на отображении с возмущающим фактором

= А ¿7- "Г*-*) § ¥к

где О <Гк<-{ - случайные числа, выбираемые по закону равномерного распределения. Если £- с , то возмущающий фактор точно совпадает с величиной возмущения на следующем шаге. При Ю-7 наблюдалась хаотическая динамика, а при § » Ю-9 - сходимость к 19- циклу. При 5 =10"® наблюдалось чередование детерминированной и хаотической динамики. В обвем случае X - Ъ(X) . Как показали расчеты,

слабо, зависит от / и быстро убывает с ростом Л7 . • тс;

В частности, для М ¡= 33, Р Ю

В п.5.1 пятой главы понятие внутренней области притяженйя и ее величины было обобщено на динамические системы (1),(2). Это позволило дать более глубокую интерпретацию картине ветвления рис.1. В частности, поскольку для иъ -никлов с большими /п характерна хаотическая динамика, для динамической системы (7) существуют такие коэффициенты усиления , когда помеха может привести к резкой (катастрофической) смене степени недетерминированности (от детерминированного состояния к хаотическому).

В п.5.2 изложен взгляд автора диссертации на развитие концепций хаотизации динамических систем и как с этими концепциями соотносятся полученные в диссертации результаты.

Дальнейшее содержание пятой главы диссертации преследует цель показать к каким последствиям ведут полученные в диссертации результаты.

В п.5.3, в связи о проектированием, вводятся новые понятия, являющиеся естественным обобщением результатов исследования конкретных динамических систем.

Пусть на структуре £ с варьируемыми параметрами из пространства П определена некоторая динамическая система. Пусть {Рк С Г1 - пространство параметров, для которых существует устойчивый К -цикл. Пусть существует сходящаяся (конечная или бесконечная) последовательность

Пт =

вложенных пространств. Определение 4. Пространство

К называется корневым или порождающим , если оно не содержит К -циклы с К<т ..

Для фиксированного «г возможна, неединственность Пт I то есть возможно существование П^, ,... . Одно из П^ назовем основным /7 сен • Выбор П аеи определяется проектировщиком.

Определение 5. Параметрическое проектирование предполагает следующие действия после выбора структуры £ :

Г) поиск корневого пространства (Ръ с Псси ; 2) поиск параметров р е (Р^ из соображений оптимальности динамики проектируемого объекта, определяемой данными технического задания.

Определение 6. Структура нормальна, если

1) Пвм Л /7« = О,

где Пт любое, кроме Пвен , и

2) поен /](п/и.п:) = о.

Л*/ I

В противном случае структура аномальна.

При нормальной" структуре непрерывное изменение параметров ,Р £ Поси приводит к непрерывному изменению характера стационарного состояния. Если структура аномальна, из-за помех возможна катастрофическая смена степени недетерминированности. Определение 7. Будем говорить, что при выбранных параметрах Р £ П оси имеет место стабильность, если

1) структура £ нормальна;

2) для выбираемого стационарного состояния динамической системы величина внутренней области притяжения достаточно велика по отношению к величине помехи.

В связи с введенными понятиями обсуждаются направления развития математического моделирования с позиций проектирования.

Результаты п.5.4 преследуют цель показать, как информацию о причинах возникновения недетерминированных состояний в

динамике конкретных систем можно экстраполировать на осмысле-

I

ние динамики других объектов. В качестве таковых выбраны два -это о.бъекты, связанные с динамикой вязкой несжимаемой жидкости и объект кардиологии - сердце.

Для уравнений Навье-Стокса рассмотрены различные подходы к их исследованию: глобальный, локальный и нелинейная теория возмущений с малыми амплитудами. Показано, что каждый из этих подходов детализировал картину ветвления стационарных состояний в зависимости от числа Рэйнольдса Я . Однако результаты этих исследований не в состоянии объяснить сценарий перехода к турбулентному течению с ростом £ , согласующийся с экспериментальными данными. В частности, течение Пуазейля в - круглых трубах (основное течение) глобально устойчиво в области 0<К < и условно (локально) устойчиво в области Я > . Экспериментальные исследования позволили получить ламинарное течение до # ~ >> Яд. . При таких больших £ течение практически мгновенно принимает хаотический характер из-за малейших возмущений.

В свете полученных в диссертации результатов было предположено, что при К > происходят жесткие возбуждения стационарных состояний различной степени сложности (периодичности) с последующими множественными бифуркациями, приводящими к образованию ветвей на картине ветвления. С ростом Я величина области притяжения основного течения неограниченно убывает. Если величина помехи начинает превосходить величину области притяжения основного течения, происходит переход динамики жидкости от основного течения к течению, соответствующему жестко возбуждаемым решениям, степень недетерминированности которых различна, вплоть до хаоса. Немонотонная зависимость 1 (Я) и разные величины помех объясняют явление

перемежаемости по параметру £ и по помехе.

Далее дается объяснение явлению фибрилляции миокарда: возможность хаотичности в динамике миокарда возникает в результате определенных структурных нарушений (врожденных или приобретенных в результате различных заболеваний) в ткани миокарда. В результате структура становится аномальной и возникает вероятность перехода динамики в состояние с хаотическими характеристиками.

ОСНОВНЫЕ ШЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I. досмотрены принципы математического моделирования с позиций проектирования. . Новым является разделение этапов формирования математических моделей и их реализации, а также вцделение этапов реализации моделей.

Z. Разработана методология исследования устойчивости для разрывных систем. Показано, что линеаризованное относи- ' тельно возмущения уравнение имеет разрывные решения. Определение величины разрыва, в обшем случае, некорректно. Указано условие корректности.

3. На примере 2-х конкретных динамических систем (одна -отражающая динамику стабилизатора напряжения с широтно-им-лульсным регулированием, другая - одномерное отображение Фейгенбаума) выяснены причины возникновения недетерминированных состояний динамических систем. В основе этих причин лежит взаимодействие самой динамической системы с внешними случайными помехами. Множество стационарных решений указанных динамических систем было представлено в виде так назы-. ваемой картины ветвления. Это позволило проследить за изме-

нением недетерминированности в. зависимости"от параметров.

4. Введены понятия нормальной структуры объекта и параметрического проектирования.

5. Экстраполяция результатов исследований на другие динамические системы позволила объяснить возможный сценарий перехода от ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости к турбулентному при изменении числа Рейнольдса.

Дано объяснение явлению фибрилляции миокаща.

6. Рассмотрены направления дальнейших исследований.

Содержание диссертации отражено в следующих основных

работах.

1. Баушев B.C. Исследование некоторых вопросов математической теории распространения ламинарного и мелкомасштабного турбулентного пламени по однородной горючей смеси: Дисс. канд. физ.-мат.наук.- Томск, 1975.- 94 с.

2. Баушев B.C., Вилюнов В.Н., Тимохин А.Н. Об устойчивости стационарных решений системы уравнений теории горения//ПММ, № I, 1980.- С.96-103.

3. Баушев B.C., Долматов Г.И. К теории распространения волны химической реакции в газах// Численные методы механики сплошной среды, т.13, № 2, 1982.- С.40-54.'

4. Кобзев A.B., Баушев B.C. Анализ устойчивости стационарных решений в моделях преобразовательных схем с ключевыми элементами// Электротехническая промышленность. Сер.Преобр. техника, 1984, вып.6(1б4).- С.3-4.

5. Баушев B.C., Кобзев A.B. Метод непосредственного нахождения периодического решения при анализе ключевых схем// Электричество, 1986, »6.-С.70-74.

6. Баушев B.C., Земан С.К., Кощевец В.Э., Маурер В.А. Влияние .

паразитных параметров сглаживавших фильтров на характерис-»-тики мощных сильноточных преобразователей с бестрансформаторным входом// Тезисы докладов третьего Всесоюзного научно-технического совещания "Проблемы электромагнитной совместимости силовых полупроводниковых преобразователей".-Таллинн, 1986, сч.З.- С.14?-144.

7. Баушев B.C., Кобзев A.B. Некоторые проблемы разработки САПР ключевых преобразовательных устройств// Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Автоматизация электротехнологических процессов в гибких производственных системах машиностроения на основе полупроводниковых преобразователей частоты".- Уфа, 1987.- С.105.

8. Баушев B.C. К проблеме развития автоматизированных систем анализа (АСА) преобразовательных устройств// Тезисы докладов 1У Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы преобразовательной техники".- Киев, 1987, т.З.- С.38.

9. Кобзев A.B., Баушев B.C., Томиленко В.А. Опыт формировать и реализации математических моделей ключевых преобразователей// Тезисы докладов 1У Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы преобразовательной техники",- Киев, 1987, т.З.- С.41.

10.Баушев B.C., Кобзев A.B., Маурер В.А. Формирование моделей, анализ и оптимизация ключевых схем с индуктивными сечениями во входных и выходных цепях// Тезисы докладов и сообщений 1-й Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике.- Ташкент, 1987.- С.58.

И.Алейников O.A., Баушев B.C., Кобзев A.B., Михальченко Г.Я. Моделирование преобразователей с МИМ на ЭВМ// Тезисы докладов Всесоюзного научно-технического совещания "Примене-

нив вычислительной техники для исследования и автоматиза^ ции проектирования преобразователей".- Саранск, 1987.-C.3I.

12. Баушев B.C., Колоколов D.B., Жуоубалиев Ж.Т. Методы поиска установившихся процессов при анализе математических моделей релейных САР двигателя постоянного тока// Тезисы докладов У Всесоюзной научно-технической конференции "Динамические режимы работы электрических машин и электроприводов".- Каунас, 1988, Ч.2.- С.123-124.

13. Баушев B.C., Колоколов Ю.В., Жусубалиев Я.Т. К анализу релейных САР тока в режимах электродинамического торможения высокоскоростных поездов// Электричество, 1989, № 7,-С.66-70.

14. Баушев B.C., Земан С.К., Уваров А.Ф. К проблеме поиска периодических решений для одного класса слабодемпфирован.-. ных ключевых стабилизаторов тока// Сборник тезисов докладов УШ Всесоюзной научно-технической конференции "Силовая полупроводниковая техника и ее применение в народном хозяйстве".- Миасс, 1989.- C.I35.

15. Баушев B.C., Кобзев A.B. Принципы математического моделирования и проблемы разработки САПР преобразовательных устройств// в кн."Элементы и устройства автоматических систем".- Томск, изд-во ТГУ, 1989.- C.3-I6.

16. Бондарь В.А., Баушев B.C., Кобзев A.B. Методы анализа и расчета электронных схем.- Томск, изд-во НУ, 1989.-307с.

17. Баушев B.C., Бондарь В.А., Лагостаев Н.С. Расчет и проектирование электронных схем: Учебное пособие,- Томск, изд-во Том.ун-та, 1990.- 265 с.

18. Алейников O.A., Баушев B.C., Кобзев A.B., Михальченко

Г.Я. О стационарных состояниях импульсного*стабилизатора напряжения с широтно-ймпульсным регулированием// Тезисы докладов Х1У научно-технической конференции, посвященной 40-летию научно-исследовательского, проектно-конструктор-ского и технологического института электромеханики НПО "Полюс".- Томск, 1990.- С.63.

19. Баушев B.C., Земан С.К., Уваров А.Ф. Процессы и характеристики низковольтных сильноточных стабилизаторов постоянного тока с улучшенной коммутацией выходного неуправляемого выпрямителя// Тезисы докладов Х1У научно-технической конференции, посвященной 40-яетив научно-исследовательского, проектно-конструкторского и технологическо-

• го института электромеханики НПО "Полюс".- Томск, 1990.-С.72.

20. Алейников O.A., Баушев B.C., Кобзев A.B., Михальченко Г.Я. Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах// Электричество-, 1991, № 4.- С.16-21.

21. Баушев B.C. Катеыатичесаое моделирование и проблема сто-хастичности динамических систем// Известия вузов, Электромеханика, 9, 1991.- С.62-63.

22. Баушев B.C., Еусубалиев Ж.Т., Кобзев A.B., Колоколов Ю.В. О недетерминированных режимах в стабилизаторе напряжения с широтно-импульсной модуляцией (11Щ)// Тезисы докладов У Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы преобразовательной техники".-Киев, 1991, т.2.- С.187-189.

23. Баушев B.C., Жусубалиев К.Т., Колоколов Ю.В., Терехин И.В. О расчете локальной устойчивости периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрыв-

ной правой частью// Автоматика и телемеханика, 1992, № 6.

24. Баушев B.C., Жусубалиев Н.Т. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с,широтно-импульсным регулированием// Электричество, 1992,.№ 8.

25. Алейников O.A., Баушев B.C., Кобзев A.B., Михальчен;:о Г.Я. О стационарных состояниях стабилизатора напряженгя с ши-ротно-импульсным регулированием//'Системы автономного электроснабжения и электромеханические устройства. T.I. Аппаратура управления и преобразования (сб.научных трудов НПО "Полюс") М.: ВШИЭМ, 1992, C.I35-I40;

г.Томск-50, пр.Ленина,40, Взтапринт ТИАСУй Заказ 130 Тираж 100.