автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование задач оптимального управления в математической экономике на основе топологических методов

/ Г о I

На правах рукописи

АБРАМОВ АЛЕКСАНДР ПЕТРОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКЕ НА ОСНОВЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Вычислительном центре Российской академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Л.А. БЕКЛАРЯН; доктор физико-математических наук, профессор П.Б. ГУСЯТНИКОВ; доктор физико-математических наук, профессор В.И. ЦУРКОВ.

Ведущая организация - Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится 1996 г. на заседании

диссертационного совета Д 002.32.05 при Вычислительном центре РАН. Адрес: 117967, ГСП-1, Москва, ул. Вавилова, 40. /-/а^-^ьо

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.32.05 кандидат физико-математических наук В.А. БУШЕНКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Одно из основных направлений в математической экономике занимает моделирование задач оптимального управления. Строгий анализ таких моделей стал возможен в конце 50-х годов, когда Л.С. Понтрягин и его ученики создали теорию оптимального управления. Этот факт, как и работы Л.В. Канторовича, Т. Купманса, Дж. Данцига по созданию линейного программирования и В.В. Леонтьева по развитию моделей межотраслевого баланса, показывают важность разработки адекватного математического аппарата для изучения и применения соответствующих моделей. Анализ задач оптимального управления в математической экономике напрямую связан с изучением необходимых условий экстремума первого порядка для канонических задач оптимального управления при наличии фазовых и смешанных ограничений. Очень важный результат в этой области был достигнут в 1962г. А.Я. Дубовицким и A.A. Милютиным, которые получили необходимые условия экстремума в виде уравнения, записанного в сопряженном пространстве. Из него удалось вывести как частные случаи известные ранее необходимые условия экстремума для различных классов задач (теорема Куна-Таккера, принцип максимума Яонтрягина и др.).

Суть схемы Дубовицкого - Милютина состоит в ашгроксимзции выпуклыми конусами некоторого множества, построенного с помощью целевой функции, и ограничений в окрестности исследуемой точки. Необходимым условием экстремума является, пустое пересечение указанных конусов. Далее к конусам применяется теорема отделимости, которая приводит к линейному уравнению в сопряженном пространстве, названному авторами схемы уравнением Эйлера. Если некоторое ограничение не имеет корректной аппроксимации выпук-

лыми конусами, то авторы рекомендуют представлять его в виде объединения подмножеств, для которых такие аппроксимации существуют. Здесь необходимым условием экстремума является пустое пересечение всех комбинаций конусов, представляющих такие "неправильные" множества, с конусами "правильных" множеств. Вообще говоря, эта рекомендация может привести к необходимости рассматривать бесконечное число уравнений Эйлера, если хотя бы одно из "неправильных" множеств допускает только такие представления, в которых содержится бесконечное число "правильных" подмножеств. Кроме того, если в задаче более одного ограничения без внутренних точек, то в схеме Дубовицкого - Милютина следует рассматривать аппроксимацию пересечения этих ограничений.

Как показано в диссертации, привлечение топологического понятия связности позволяет обойти эти трудности для одного класса задач на условный экстремум. При этом в точке экстремума или существует нетривиальное решение уравнения Эйлера, или выполняется некоторое включение для функционалов из сопряженного пространства. Отметим, что в модифицированной схеме, как и в схеме Дубовицкого - Милютина, аппроксимирующими множествами остаются выпуклые конусы, т.е. она не требует привлечения более тонких аппроксимаций типа локальных шатров В.Г. Болтянского или касательных конусов Ф. Кларка.

Как показано в диссертации, данная модификация схемы Дубовицкого - Милютина позволяет изучать некоторый класс моделей оптимального управления в математической экономике, который относится к негладкой оптимизации - одной из интенсивно исследуемых ветвей негладкого анализа. Этот класс характеризуется тем, что в любой момент времени воздействие на фазовые переменные

оказывают лишь некоторые управляющие воздействия - так называемые лимитирующие факторы. Подобные процессы также широко распространены в биологии (принцип Либиха) и экологии.

Цель работы. Моделирование задач оптимального управления в математической экономике с использованием необходимых условий экстремума первого порядка для задач оптимизации в отделимом локально выпуклом линейном топологическом пространстве, полученных с помощью методов общей топологии.

Метода исследований. В работе использованы методы общей топологии, функционального анализа, дифференциальных уравнений, математической экономики, теории экстремальных задач (в частности, теории оптимального управления).

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Использование топологического понятия связности для моделирования задач оптимального управления в математической экономике позволило получить новые необходимые условия экстремума первого порядка. Они показывают, что в точке экстремума вместо уравнения Эйлера может выполняться некоторое включение для функционалов из сопряженного пространства. Применение этих условий к задаче оптимального управления в математической экономике, где производственная функция является динамическим аналогом производственной функции Леонтьева, позволило получить обобщение принципа максимума Понтрягина для указанного класса задач.

Практическая ценность. Она определяется прикладным характером основных постановок задач оптимального управления в математической экономике, рассмотренных в диссертации, и важностью решенных прикладных задач. Так, например, результаты диссерта-

ции пригодны для анализа на оптимальность траектории развития экономики с производственной функцией, которая является динамическим аналогом функции Леонтьева. Эти же результаты применимы и для моделирования тех управляемых процессов в биологии и экологии, для которых справедлив принцип Либиха.

Апробация работы. Основные положения диссертации излагались на научных семинарах отдела проблем моделирования ВЦ РАН (1985-1996), кафедры оптимального управления ВМиК МГУ (1986), 2-й Всесоюзной школе "Прикладные проблемы управления макросистемами" (Тамбов, 1987), 3-й Всесоюзной школе "Прикладные проблемы управления макросистемами" (Апатиты, 1989), семинаре "Моделирование развивающихся систем с изменяющейся структурой" (Львов 1990), 1-го Всесоюзного семинара "Прикладные проблемы моделирования и оптимизации" (Львов, 1991), 4-й Международной школе "Прикладные проблемы управления макросистемами" (Алма-Ата, 1992), школе "Проектирование автоматизированных систем контроля и управления сложными объектами" (Туапсе, 1992).

Публикации. Основные положения диссертации содержатся в монографии [I], которая вышла в свет в апреле 1996 г. Всего по теме диссертации опубликовано шесть печатных работ [1-6], список которых приводится в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. За введением следует § 0, который содержит краткую сводку необходимых сведений по топологии связных множеств. Первая глава разбита на 3 параграфа, вторая -на 2, третья - на 3, четвертая - на 2. Работа выполнена на 255 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 82 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена краткая характеристика достижений по моделированию задач оптимального управления в математической экономике и связанных с этим схемам анализа необходимых условий экстремума в задачах условной оптимизации.

В конце § О, который содержит минимум необходимых сведений по топологии связных множеств, доказан следующий результат, являющийся основой для построения некоторых классов моделей оптимального управления в математической экономике.

0.32. Предлоление1. Пусть выполнены следующие условия:

a) множества Е , I = 0,..., т,..., п, где О $ т < п, образуют покрытие топологического пространства Е,

b) удаление любого множества Д{ из левой части равенства

п

и Я , = Е

приводит к его нарушены»,

c) множества Л , I = г?и-1,..., тг представит в виде объединения

12 12 Я{ и двух непустых отделенных подмножеств Я( и Я{,

<3} дополнения г ся{ = (Е \ множеств { = 0,..., п-1

5 1 J 3 •

и дополнения г СЯ{ = (Е \ Я ) тожеств Я{, { = т+2,.... п;

3 = 1, 2 таковы, что при любых J = 1(п) € (-1, 2) пересечения п-1 п-2 J п-3 3 J

1=0 1=0 1-0 п п т 3 } 5

связны.

Тогда у каждого множества I = т+1,..., п найдется

13десь и далее сохранена нумерация диссертации.

одно и только одно подмножество I = 1(1) € И, 2}, такое, I

что подмножества Я , 1 = т+1,..., п и множества Д(, I = 0,...,т образуют покрытие пространства Е, т.е.

VI п I

( и Е.) и ( и И ) = Е,

1=0 1=ж+1 я

а для других подмножеств ц = =<{?, 2) \ 1(1)} выполняется включения

Я. т п I

А, с с и я.; и с и И, ),

1 }=0 J=т+1,

í = т+1,..., п.

Как показывает анализ конкретных моделей оптимального управления в математической экономике, на практике удобнее использовать более слабое утвервдение в соответствии с нижеприведенным замечанием.

0.33. Замечание. Пункт, й) условий рассмотренного предложения можно сформулировать более кратко, если усилить требования на связность пересечений тожеств, а именно: считать связными при всех J = т+1,..., п и всех р = р(1) е (О, 1,2) каждое из множеств вида

т. п р

( П Я ) п ( Л ),

1=0 4 J=m+t,1

О ■>*<■

где 54 = , I = т+1..... п.

Приведены примеры, показывающие существенность всех условий предложения 0.32.

Глава Г содержит анализ альтернативных условий экстремума первого порядка, которые служат теоретической базой для построения моделей задач оптимального управления в математической экономике.

г

В § I приведена схема вывода необходимых условий экстремума первого порядка в задаче на условный экстремум в отделимом локально выпуклом линейном топологическом пространстве. Открывается параграф краткой сводкой терминов и основных положений классической схемы Дубовицкого - Милютина, элементы которой существенно используются в схеме альтернативных условий.

п.

Пусть на подмножествах S.,____ S , f п S. = S ? 0 ) отде-

7 п 1

лимого локально выпуклого линейного топологического пространства Е определен функционал F, который имеет в точке х* € S локальный минимум на S.

I.I. Определение. Вектор h называется направлением убывания функционала F(x) в точке х*, если существует такая окрестность U вектора h и такое число а = a(F,x*,h)t а < О,

что для всех 0 < е < sQ и для любого h е U выполняется неравенство

F(x* F(x*) + в а.

Направления убывания функционала F(x) в точке х* образуют открытый конус К с вершиной в нуле. Функционал F(x) называется правильно убывающим в точке х*, если конус К направлений убывания данного функционала в точке х* есть выпуклое множество.

Сходные понятия вводятся и для ограничений, имеющих внутренние точки.

1.4. Определение. Вектор h называется возможным направлением для множества Q в тонне х*, если существует такая окрестность U вектора h, что для всех О < е < sQ и всех h е U векторы х* + е h принадлежат Q.

Возможные направления множества Q в точке х* образуют открытый конус К с вершиной в нуле. Ограничение Q, имеющее внут-

ренние точки, называется правильным в точке х*, если конус К возможных направлений данного ограничения в точке х* есть выпуклое множество.

Для ограничений, не имеющих внутренних точек, конус возможных направлений в любой точке пуст. Поэтому для таких множеств в схеме Дубовицкого - Милютина соответствующее понятие вводится иначе.

1.7. Определение. Вектор h называется касательным направлением к множеству Q в точке х*, если для всякого О < е < eQ найдется точна х(в) í Q покоя, что х(е) = х* + е h + г(s), где г(е) с Е таково, что для всякой окрестности U нуля вектор (1/е) г (s) € U для всех малых е > О.

Касательные направления к множеству Q в точке х* образуют конус К с вершиной в нуле. Ограничение Q, не имеющее внутренних точек, называется правильным в точке х*. если конус К касательных направлений к множеству Q в точке х* есть выпуклое множество.

Основной результат схемы Дубовицкого - Милютина формулируется так.

1.10. Теорема (Дубовицкого - Милютина). Пусть функционал

п *

F(x) имеет локальный минимум на S - S. 6 точке х е S,

í=í 1

причем выполняются следукщие условия;

- функционал F(x) правильно убивает, в точке х* с направлениями убывания К0;

- каждое из ограничений S(, Í = 1.....п-1 имеет внутренние

точки и является правильным в точке х* с возможными направлениями

- ограничение Sn не имеет внутренних точек и является правильным. в точке х* с касателъныт направлениями К .

Тогда найдутся такие линейные непрерывные функционалы /t € I - 0,..., п, что

/0 +/,+•••+ /п = О . (I)

где К( - конус сопряженный к if{, причем среди не все нулевые.

При доказательстве этой теоремы используется

I.II. Леыма (Дубовицкого - Милютина). Пусть KQ, К?,...Дп-

выпуклые конусы с вершиной в нуле, причел К0,... Дп_, - открыть

ты. В этол случае равенство п К = 0 выполняется тогда и толъ-

1=0 1

ко тогда, когда найдутся линейные непрерывные функционалы *

/( € , t = О,...,п, не все равные нулю, удовлетворяющие уравнению (I).

Соотношение (I) было названо А.Я. Дубовицким и A.A. Милютиным уравнением Эйлера. Из него выводятся как частные случаи известные необходимые условия экстремума.

Привлечение топологического понятия связности позволяет использовать основные положения схемы Дубовицкого - Милютина для анализа на экстремум точки г в задаче оптимизации вида

п

F(x) - min, х € п S., i=i 1

рассматриваемой в отделимом локально выпуклом линейном топологическом пространстве Е, при выполнении следующих условий:

- функционал F(x) правильно убывает в точке ж*;

- множества St,...,S ( т < п ) имеют внутренние точки и являются правильными в точке .г*;

- множества Sm+f,... , Sn_1 не имеют внутренних точек и конусы

касательных направлений к этим множествам в точке х* суть гиперплоскости ;

- множество S не имеет внутренних точек, его дополнение Rn в

Е представило в виде объединения двух непустых отделенных под-

12 11 множеств Я и R , причем дополнение S = Е \ R суть правиль-

ТЬ TV fb тт>

нов в точке х* множество. При этом вместо уравнения Эйлера может выполняться другое соотношение для функционалов из сопряженного пространства. Перейдем к точным формулировкам.

Если х* - точка (нестрогого) локального минимума F на S, то, по определению, существует такая окрестность 0(х*) точки х*, что для всех х € 0(х*) n s справедливо неравенство F(x) > Fix*). Пусть

SQ = SQ(х*) = { х | F(x) < ?(x*) ), (2)

Rt = R{(0(x*}) = 0(x*) \ Sif I = О,..., n - (3)

дополнение множества St в 0(x*).

1.14. Предложение. Функционал F(x) имеет локальный мини-п *

мум на г) S. = S / 0 6 тачке х е S тогда и только тогда, 1=1 1

когда существует такая окрестность 0(х*) точки х% , для которой выполняется условие

U R. = 0(х*), 1=0

где множества определены по формуле (3), т. е. данная совокупность множеств Я( образует покршие окрестности 0(х*).

I.I6. Определение. Будем говорить, что множество Q удовлетворяет в точке х* условию Дубовицкого - Иимстша, если

данное множество имеет в этой тонне непустой выпуклый конус возможных направлений.

Сформулируем предположения о свойствах множеств S{, I = = О..... п. Условимся обозначать через int Q внутренность множества Q.

1.17. Предположение. Если I = О.....т; (т < п), то множество S( удовлетворят в точке х* условию Дубовицкого - Милютина.

1.18. Предположение. Если I = т+1,..., п-1, то Int St = 0

и существует такая окрестность 0((х*) точки х*, что дополнение 4

= 0*(* > 4 St

1 2

представило в виде объединения U Д{ двух непустых отделен-1 2

ньх подмножеств й{ и R(f причем множества

Sj н о^х*) \ Rt, J = 1, 2 (4)

удовлетворят, в точке г* условию Дубовицного - Милютина.

1.19. Предположение. Множество Sn не имеет внутренних точек и существует такая окрестность 0п(х*) точки х*, что дополнение

R = 0 (х*) \ S

71 71 71

1 г

представило в виде объединения Rn U Rn двух непустых отделен-1 2

них подмножеств Rn и R , причем из двух множеств вида

s' = OJx*) \ RJ. J = 1, 2 (5)

n n n

1 *

только Sn удовлетворяет в точке x условию Дубовицного -Милктина.

I.2I. Предложение. Если множество S{ удовлетворяет пред-

положению 1.18 или I.19, то конусы возможных направлений в точ-

j I

не х множеств S( (4), Sn (Б) не зависят от окрестности Ot(x*).

1.23. Следствие. Если множество S£ удовлетворяет предположению I.I7, то для любой окрестности О(х*) точки х* множество Si п 0(х*) также удовлетворяет этому предположению, причем конусы возможных направлений в точке х* тожеств S{ и S( п 0(х*) совпадают.

1.26. Следствие. Если множество St удовлетворяет предпо-

1 г

ложенгт 1.18, то конусы возможных направлений и Й( разделимы.

Обозначим через К{ конус возможных направлений в точке х*

з

множества S{, удовлетворяющего предположению I.17, через -

J 1 1

множества S{ (4), а через Кп - множества Sn (5). Соответ-

* j *

ствующие сопряженные конусы обозначим через Я{, (К1) и 1 *

(Кп) . Определим следующие множества линейных непрерывных функционалов:

* 1 * г * * 1 *

Kt = (Kt) и (Kt) , i = ffl+7.....n-7; Kn = (KJ . (6)

*

1.27. Замечание. Множества Я{, i = m+1,.n (6) следует отличать от конусов, сопряженных к конусам касательных направлений, которыми аппроксимируются множества без внутренних точек в схеме Дубовицкого - Милтина.

Сформулируем основной результат этого параграфа.

1.28. Предложение. Пусть функционал F(x), определенный на подмножествах S{, i = /,..., п отделимого локально выпуклого линейного топологического пространства Е, имеет локальный ш-

*

нилум на n S. = S ^ 0 в точке х S, причел выполняются i=i 1

следущие условия:

- множество SQ (2) и тожества S{, I = 1m (m 4 п) удовлетворят предположению 7.17;

- тожества S(, i = т+1,п-1 удовлетворят предположению I.I8;

- тожество Sn удовлетворяет предположению 1.19;

- для любой окрестности U(x*) точки х* найдется такая окрестность 0(х*) этой точки, что 0(х* ) s U(x*), и бдя любого индекса J ё {т+1,..., п) и любах р = pli) е {О, 1,2) пересече-

0 * р

ния тожеств S s л 0(x ), i = О,..., n и S{ (4), (5) вида

m О n p

( П SfJ п i n st)

1=0 l=m+1,

l*J

связны.

* *

Тогда для подмножеств Я{ сопряженного пространства Е , где при I = О,..., m эти подмножества суть конусы, сопряженные к конусам возможных направлений Я"{ множеств 5{ в точке х*, а при t = т+1,..., п эти подмножества определяются по формуле

(в), имеет место хотя Ou один из двух возможных случаев:

*

- найдутся функционалы f t Kt, i = О,п. не все из которых нулевые, удовлетворяюще уравнению

/0 + /, + ...+/„ = О , (7)

- выполняется включение

* п~1 *

К ~ 2 V (8)

n t=o 1

1.29. Заиечание. Для краткости, условия (7) и (8) будем называть альтернативными условиями экстремума, хотя выполнение

одного из них не исключает выполнения другого.

Сравним технику работы с ограничениями типа равенства в схеме Дубовицкого - Милютина и данном подходе.

1.32. Предложение. Пусть множество удовлетворяет пред-

1 ~2

положению 1.18. Тогда любой вектор К е К1 р является каса-

* 3

тельным к множеству Б1 в точке х , где 3 ~ 1, 2 - замыка-

*

ния конусов возможных направлений в точке х множеств (4).

1.33. Следствие. Если в условиях предложения 1.32 конусы 1 г

К{ и К{ суть открытые полупространства, определяемые гиперплоскостью Н{, то конус Кг касательных направлений в точке х* к множеству Б совпадает с И, .

1 п-1

1.38. Предложение. Пусть Я = п , где множества ,

1=т+1

{ = т+?,..., п~1 удовлетворяют предположению 1.18, причем выполняются следующие условия:

1 2

- для всех I = /,..., п-1 конусы К( и К{ возможных направ-

* <>

лений в точке х множеств (4) суть открытые полупространства, определяемые соответствукщили гиперплоскостями Н(;

- коразмерность подпространства

п-1

П Нг

1=т+ 1

равна (п - 1 - т).

Тогда конус К касательных направлений в точке х* к множеству Я совпадает с подпространством Н.

В предложенной схеме вывода необходимых условий экстремума нигде не фигурирует размерность линейного топологического пространства Е. Однако, если Е бесконечномерно, то может воз-

никнуть проблема с представлением конечномерных ограничений в виде пересечения конечного числа бесконечномерных множеств. Выходом является непосредственное рассмотрение таких ограничений при условии, что они имеют выпуклый конус касательных направлений в исследуемой точке. В § 2 изучаются необходимые условия экстремума, когда одно из ограничений задачи оптимизации удовлетворяет последнему требованию, а именно, когда конус касательных направлений является подпространством. Соответствующий аналог предложения 1.28 формулируется так.

2.3, Предлояение. Пусть функционал F(x), определенный на подмножествах S{, I = 1,..., п апделилого локально выпуклого

линейного топологического пространства Б, имеет локальный жи-п *

нишу л на п S. = S / р в почке х е S, причел выполнятся 1=1 1

следующие условия:

- множествоу SQ (2) и множества S{, 1=1,..., т (т < п) удовлетворяют, предположению 1.17;

- множества S(, I = т+1,..., п-2 удовлетворяют предположению I.I8;

- множество Sn 1 не имеет внутренних точек, при этом конус касательных направлений Rn_1 к этому множеству в точке х* суть подпространство;

- множество Sn удовлетворяет предположению I.I9;

1 *

- все касательные векторы к множеству Sn (5) в точке х

1

принадлежат замыканию конуса Кп возможных направлений этого множества в данной точке;

- для любой окрестности U(x*) точки х* найдется такая окрестность 0(х*) этой точки, что 0(х*) я U(x*), и для любого ин-

декса j € .....п-2, п) и любых р = р( I) е 10, 1,2} пе-

0 * р

ресечения множеств 5 г б о 0[х ), I = О,..., п и (4), (6) вида

т. О п р

( П п ( П

1=0 1=п+1.

связны.

* *

Тогда для подмножеств Я сопряженного пространства Е , где при I = 0,..., т эти подмножества суть конусы, сопряженные к конусам возможных направлений Я{ множеств Б в точке х*,

при I = т+ ?,..., п-2, п эти подмножества определятся по фор*

муле (6), а Кп_1 - конус, сопряженный к конусу касательных

направлений Я ,, имеет место хотя бы один из двух возможных вариантов :

*

- найдутся функционалы / е Я{, ( = О,л, не все из которых нулевые, удовлетворяхщие уравнению (7),

- выполняется включение (8).

Дан пример, показывающий существенность условия принадлек-1

ности замыканию конуса К всех касательных векторов к множеству ' * п

5 в точке х .

Т1

В § 3 приведена краткая сводка результатов о виде конусов возможных и касательных направлений для некоторых классов ограничений, а также о соответствующих сопряженных конусах.

В главе 2 рассматриваются статические экономико-математические модели оптимального планирования. В § 4, который открывает эту главу, рассматривается соответствующий математический аппарат, который конкретизирует результаты главы I для задачи нелинейного программирования с негладкой целевой функцией и негладким ограничением.

Пусть в точке х* tf-мерного евклидова пространства R множество SQ и ограничения St, t = /,..., п заданы так:

S0 = SQ(x*) = ix | F0(x) < F0(x*), J = 1.....к }, (9)

St = to | FK(x) < ^fi-*; >, 1=1,..., m; (10)

= Cx I P{<\rj = F{fi*; }, t = m+1.....rz-f; (II)

= Fr U, (12) где множество 11 имеет вид

М = {х \ FJn(x) «$ Fjx*), J = 1..... Z }, (13)

т. e. Sn определено как граница множества М.

J J Здесь F0(x), J = 7.....Л; Z/rj, i = 1,..., n-1; FJxJ,

n

J = 1,..., I - некоторые функции на 0? .

Как показано в § Б, такие постановки возникают в некоторых задачах математической экономики, где целевая функция недаф£е-ренцируема в точке х*, но конус направлений убывания этой функции в данной точке задается системой неравенств, определяемых гладкими функциями.

Следующее предложение выявляет связь между свойствами функций, фигурирующих в определениях (9)-(П), (13) и связностью множеств вида

т О п р A(s,J,pJ s ( q s.J п ( П S.J, J = т+1.....71, (14)

i=0 i=m+1,

I* J

0 *

где S = St п 0(x .), i = 0,..., n; p - некоторый фиксированный (n - m)-мерный вектор параметров

p = pit) € to, 1, 2}, i = m+T.....n

с исключенной компонентой j.

4.8. Предложение. Пусть выполнятся следующие условия:

- все функции, с помощью которых определяются множества Б0,

Бж (9)-(10) и тожество М (13), строго дифференцируемы в точке х*;

- все функции, с помогаю которых определяются множества 5п+1,..., (II) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки х*;

- первые производные всех функций, с помощью которых определятся множества Б0,..., Бп_1 (9)-(11), М (13), отличны от нуля в точке х*;

- при любом 3 € (т+?..... п.-1} не существует нетривиального

решения уро&нения

11 I . 2 21 л к к,

V*> + ро(х > + ••• + \> *0<х > +

+ к. р\(х*) +■ к. р'(х*) + ... + x р (х*) +

7 1 ¿ С Ш Ш

+ V, + ... + Кп_, Р^х*) +

1 1, * г 2, 4 г г, „

+ х р (х ) + х г гг ; + ... + я ? (х ) = о,

?1 Я. Т1 Т1 тъ

где

р р

> О, р = 7.....й; Я, ^ О.....Л >0; X » О, р = 7..... I;

и * 1 771 Н

- не существует нетривиального решения уравнения

1 11 * • 2 2, к к, 4

л0 р0гЛ + ... + +

+ я, р',(х*) + х_ р1(х*) -(- ... + л р'гх*; +

7 7 ¿Г ¿Г Ш 771

+- Л а15 р\лх*) +... + \ < = о,

т-Н т-ы ш.4-2 т+2 п-1п-1 '

р

где к0 > О, р = 1,..., й; к ^ О, —, \ > О;

- условие регулярности: при любом 3 е (и+7,..., п-1) не существует нетривиального решения уравнения

11< „, 22,^ Л к, ж

+ Vх ] + ••• + Vе ; +

+■ Л, ¥Ах*) + \„ 1Лх*) + ... +• Я ^ (х*) +

II г: ¿г Ш ш

+ + ... + V, +

+ р'^х*) +... + -

* гг.,

- к Я (х') - X F <\г) - ... - к Р (Т ; = О,

п. п п п пп

где

р р

\0 2 о, р = 7,..., А; Л., ^ О.....Лт > 0; ^ О, р = ?,..., 2.

Тогда Зля любой окрестности 0£(х*) точки х*, любом J е {ян-1,..., тг>, дюоож боггустпш»ож векторе р, р(п) ^ 0, найдется такая окрестность 0(х*) этой точки, что 0(х*) с 0с(х*) и пересечение р 0(х*) этой окрестности с множеством

А(е,},р) (14) связно.

Приведены четыре примера, показывающих существенность каждого из условий в формулировке данного предложения. Это предложение является базой для доказательства следующего основного результата параграфа.

4.13. Предложение. Пусть выполняются следующие условия: - существует такая а-окрестностъ 0£(х*) точки х*, что для множеств 5 , I =0,..., п (9)-(12) выполняется условие

( П V П О (х*) = 0;

1=0 1 6

- все функции, с помощью которых определятся множества Б0, .....£т (9)-(10) и множество И (13) строго дифференцируемы, в

точке х*;

- все функции, с помощью которых определятся множества Б Э ,, (II) непрерывно дифференцирует в некоторой

окрестности точки х*;

- первые производные всех функций, с помощью которых определяются множества Б0,..., & (9)-(11), (13), отличны от нуля в точке х*;

- не существует нетривиального решения уравнения

1 1 * ^ 2 2, к к, К0 Р0(х*) + х0 Е0(х*) + ... + Л0 Р0(х*) = О,

р

где к0 ^ 0, р = 1,..., к;

- не существует нетривиального реиения уравнения

1 1, „ 2 г, ± г г, л

X Р (х ) + X Р (х) + ... + к Р (х ) = О,

пп пп ПП

р

где К } О, р = /..... I;

- число функций, определяющих множество М (12), не меньше двух, т.е. I } 2;

- для некоторого J > 1 и любого скаляра ц € (О, <х) справедливо неравенство Ф р. Рп'(х*);

- условие регулярности: при любом J € 1т+1п-1} не существует нетривиального решенья уравнения

111 * 2 2, л к ±

к0 Р0(х%) + \0 ¥0(х*) + ... + \0 Р0(х*) +

+ Л., р](х*) + Х0 р'(х*) + ... А / (X*) +

7 7 ¿. £ Ш 771

+ V, + ••• + р'з-1(х*> +

+ + •••+ к-1 -

' ь „ 2 г, ^ I г.

- X Р (х ) -ЯР (х ) - ... - X Р (х ) = О, п п п п ' пп '

где

р р

Х0 2 0, р = 1,..., к; Я; > О,..., Х^ > 0; Хп > 0, р = 1,..., I.

Тогда имеет место хотя бы один из двух возможных вариантов:

- существует нетривиальное решение уравнения, вида

' ' < * 2 2, к А» 4

Х0 Р0(х*) + Х0 ¥0(х*) + ... + х0 Р0(х*) +

+ X, Р'.(х*) + Р1(1*) ... 4-Х. Р* Гдг*; +

7 7 ¿1 ¿Г Ж 7П.

+ л + ... + х. , Р' +

т+1 тЛ-1К п-1 п-1

1 /. * 2 2,, г г, .

+ л р гг ; + а. р гх ; + ... + л р (г ] = о,

пп пп пп1 '

где

р р \п 2 О, р = 1к; X. 2 О,..., А > О; Л. 2 О, р = 1I;

и 1 1 ти п. •

Р

- Зля .ш5ш: скаляров Хп ^ О, р = 7,..., I найдутся такие ска-

р 1 ляры Хп 2 О, р = 1,..., й; X, ^ О,..., Я >0; Я ,, е К ,

С/ 7 771 ТЛТ- 7

7 1

Хп+2 € К ,..., 7 € К , что выполняется, равенство ' '' * 2 2< * 1 1> *

Р^*) + х. Р Гг*; + ... + X 7 (х ) =

п п % п. п п

= я0 + я0 р0ГУ; + ... + Я0 +

+ я. р'ггг*; + л_ р'гг*; + ... +■ х р (х*) +

7 7 с с. vi vi

+ д., Р', + ... + я , р'

т+1 1 п-1 п-1

В § 5 рассматриваются три постановки задач экономической статики, которые выясняют содержательный смысл необходимых условий экстремума, сформулированных в предложении 4.13. Первая из постановок не содержит ограничений вида (II), (12).

5.1. Статическая задача планирования производства.

n

Пусть в ((-мерном евклидовом пространстве К положительные компонент, вектора х равны объемам выпуска некоторых продуктов, а отрииртелъные - объемам производственных затрат. Вектор х называют планом производства. В процессе производства затрачиваются ресурсы вида I = 1,..., т. Гладкие функции g{(x), t = 1,..., т задают объемы, оставшихся неиспользованными производственных ресурсов. При этом условия выпуска продукции таковы, что ресурсы могут быть использованы неполностью, т. е. должны выполняться ограничения

gt(x) > О, { = 1т. (15)

Пусть функция Р(х) задает соответствующий плану х доход. Оптимальным планом считается такой, который удовлетворяет ограничениям (15) и доставляет максимальную прибыль:

Р(х) - пах.

5.2. Предложение. Оптимальному плану х* в задаче 5.1 со-ответапвуш такие цены на добавочные ресурсы, что дополнительная прибыль от малого изменения плана погашается (уравновешивается) издержками на приобретение дополнительных ресурсов;

Г дР rn * ög Л

Г —, + 2 А, —, I дх* = О. дх> t=i 1 дх3 J

При таких vßnax малые изменения плана х* не дают экономической выгоды.

Напомним, что технологическая связь между выпуском продукции и затратами ресурсов называется производственной функцией. Если обозначить через у объем выпуска продукции, а через х =

= (х1..... а?) - вектор затрат ресурсов, то производственную

функцию можно записать в виде у = f(x). Ее частным случаем яв-

ляется производственная функция Леонтьева. Она задается уравне-нением

г x* 3? 1 y = yomin\—, —.....— . (16)

L Л0 J.Q J,0

Здесь xQ = (х10,..., х- вектор минимально необходимых затрат ресурсов для выпуска продукции в объеме yQ. При этом предполагается, что у > О и х^ > 0 , í = 1,..., N. Будем считать, что функция прибыли имеет вид

я .

Р(у(х), х) = а у(х) - 2 а. х1 , (17)

1 = 1

где константы а{ удовлетворяют неравенствам N /

Р0 = а0 у0 - 2 а{ x¿ > О; а( > О, t = О,..., ÍT. (18)

5.3. Задача максимизации прибыли при заданной объеме производства.

Пусть в производственной системе связь "затрат. - выпуск" описывается производственной функцией Леонтьева (16). Объем выпуска задан:

ylx) = у* > О. (19)

Требуется найти вектор затрат ресурсов х*, удовлетворяющий ограничению (19) и мансижизирутощий величину прибыли, оцениваемую линейной функцией (17) с условием на коэффициенты (18).

Доказано, что в этой задаче в точке экстремума выполняется включение (8), которое получает следующую интерпретацию.

5.4. Предложение. При любых ценах ц = (j^J 2 О за переход к "линейным" технологиям в окрестности оптимального плана задачи 5.3 можно установить такие новые цены на ресурсы и такие конкретные "линейные" технологии, что производителю нет

смысла применять эт технологии и закупать (или продавать) ресурсы по новым иенам, поскольку его прибыль не изменится.

Тем самым необходимое условие экстремума может быть интерпретировано как аналог принципа освобождения от связей.

Целью рассмотрения задачи 5.3 была интерпретация необходимого условия экстремума, указать же оптимальный план не представляло труда. Далее рассмотрена задача с кусочно-линейными изоквантами, не имеющая очевидного решения, где в точке экстремума также выполняется условие вида (8).

Глава 3 посвящена изучению моделей задач оптимального управления в математической экономике.

В § 6 рассматривается динамический аналог задачи 5.2 с производственной функцией вида

x1(t) х2(г) хиа)

У(t) = У0П)

т1п

. х^и' фг).....О*си

(20)

где функции У0(t) и хоа) считаются заданными на отрезке времени [О, Г1. Задача оптимизации работы экономической системы с конечным горизонтом планирования сводится к максимизации функционала

т

? = $ Р(у(г),х(г),г)с1г + ¡у(х(Т)>. (21)

о

На систему могут быть наложены ограничения по суммарному объему

выпуска продукции на отрезке СО, 24: т

¡у(г)М= У0( > О. (22)

о

6.1. Задача максимизации прибыли при заданном интегральной объеме выпуска и прямых ресурсных ограничениях.

В этой задаче присутствуют ограничения (20), (22). Управление процессом реализуется путем непосредственного выбора век-

тора x(t). В призводственной функции (20) величины y0(t), Xç(t) считаются константам :

y0(t) = у0 > о, х¿et; = х10 > о, t = 1.....n.

Ограничения на x(t) илект вив линейных неравенств: xl(t) 2 0, i = 1,..., N; t а [О, Т]. В функционале (21) стоимость списания ресурсов в конечный момент времени отсутствует, что формально выражается тождеством 14 = 0. Предполагается, что величина вклада P(y(t),x(t),t) определяется линейной функцией вида

N t

P(y(t),x(t),t) = aj/(t) - 2 a(rYt-), t e Ю, 24,

где константы a{ удовлетворяют неравенству м i

ро ~ ао Уо ai хо > ai > 1 = О,..., N.

Доказано, что в этой задаче на оптимальной траектории выполняется включение (8). Вводится понятие мгновенного сопряженного конуса и доказывается, что на оптимальном решении в любой момент времени t мгновенный сопряженный конус ограничения является подмножеством мгновенного сопряженного конуса возможных направлений множества, порождаемого функционалом.

В задаче 6.1 отсутствуют ограничения сверху на объемы потребляемых ресурсов. В § 7 в рамках общей постановки задачи оптимального управления экономической системой изучается более сложная задача экономической динамики, в которой присутствуют указанные ограничения.

7.1. Задача оптимизации конечного состояния систеыы при ограниченных ресурсах.

Функция "затрата-выпуск" имеет вид (20), где величины y0(t), XqH) не зависят от времени:

У0(t) = у0 > О, Х^Т) г х10 У о, г = 1.....N.

Динамика фазовых переменных описывается системой уравнений вида

г1(г) = эе{ и1(г) уа), I = 1,..., Ь, где га) = ),..., гъ(1)) - вектор состояния систем в момент времени ■£, и1 а) - доля выпуска у(Т), выделяемая в момент времени t на наращивание компоненты I вектора состояния, эе* -коэффициент пересчета.

Начальное состояние системы задано:

2(0) = г0> 2{0 > О, I = 1,..., Ъ. Вектор u(t) должен удовлетворять следующим очевидным ограничениям:

х ,

2 и1а) = 1, г ( ю, УЗ, 1=1

и{(и > 0, £ = 1.....г € [О, У).

Объежы потребляемых ресурсов неотрицательны:

х*(Х) 2 0, I = 7, —, ЛГ; £ € СО, Г]. Кроме того, объем потребляемых ресурсов ограничен сверху:

* г

2 (3, х1а) $ X, г £ [О, 24, 1=1 '

где I = 1и К - некоторые положительные константы. Функционал задачи, который необходимо максимизировать, имеет вид

? = 9(г(Т)),

где оценка терминального состояния системы вычисляется так:

г1(Т) гь(Т)

Щг(1)) = а„т1тг

Г г'(Т)

14 ..... 4

Здесь константа аТ > О и = (г1т,..., г^) - некоторый заданный вектор с положительными компонентами.

Как и в задаче 6.1, решение ищется в классе кусочно-непрерывных функций на СО, Т]. Доказано, что в точке экстремума этой задачи существует нетривиальное решение уравнения Эйлера. Приведена его содержательная интерпретация.

В § 8 результаты § 6 и § 7 обобщаются для одного класса задач оптимального управления, в которых одно из ограничений не имеет выпуклой аппроксимации. Рассматривается управляемый процесс, который описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида

xHt) = fl(x1(t),..., a?(t), min i<f>\(u1(t)).....<pf(uLftJJ]J,

1 = 1.....N. <23)

где (x'ct).....2?(t)) = x(t) - вектор фазовых переменных,

Cu'ft),..., uL(t)) = uft) - вектор управлений, fi(-)t 4>{(-)t t = /,..., N; J = 1,... L - скалярные функции. Вводя вспомогательные переменные

9tCu(tJJ = min i(f>l(u'(t)),..., tfivPit)»), i = 1N, (24) систему (23) можно записать более компактно

xl(t) = fl(xCt), $>((u(t))), t = 1,..., N. Начальное состояние процесса задано

xl(0) = xl0, i = 7,..., N. (25)

На временном отрезке ГО, Г] управление должно удовлетворять ограничению вида

Uft; € U, (26)

l

где U - некоторое множество в К .

При этих ограничениях на отрезке [О, Г], где Г фиксировано, необходимо максимизировать функционал

F(x(T)) = min [cp'fх'(Т)),..., (27)

оценивающий конечное состояние вектора фазовых переменных.

Здесь ФрС-Л I = 7.....N - некоторые скалярные функции.

Из (23) видно, что в любой фиксированный момент времени на фазовые переменные воздействуют, вообще говоря, лишь некоторые компоненты вектора управления. Такие управления будем называть лимитирующими на соответствующем интервале времени. Процессы с лимитирующими факторами широко распространены в экономике, биологии и экологии.

В задаче (23)-(27) будем искать оптимальное управление в

ь

классе ограниченных измеримых функций ( иЦ) е Х^С[О, Т))). Приведем основной результат этого параграфа. 8.6. Предложение. Пусть выполнены следующие условия:

- функции /1(х(t),Ф((иа)), (р^^а)), { =

] = 1,..., I непрерывны по совокупности переменных х, и, Ф{, измеримы по г, непрерывно дифференцируемы по х1хы, Ф{, и'.....причел производные

(дГ1/дх}), Сд/(/Ф{/), ГЗср\/ди3) ограничены при всех ограниченных х, Ф, и;

- функции г), I = ),..., Е дифференцируемы и имеют отличные от нуля производные;

ь

- II - замкнутое выпуклое множество в Е и Ш У + 0;

*

- <х*а), и (t)} = и а)- решение задачи (23)-(27).

Тогда найдется функция фШ = íфr(t),..., Ф^С^^» удовлетворяющая уравнению

<1>а; ='- (д^/дх* фЦ), ¡¡"а)

такая, что имеет место хотя бы один из двух возможных случаев:

- для почти всех t t 10, ТЗ и всех u(t) е U

- 2 ( mtn cjj.fi J (dfi/dtp).)(d<pJ./duJ) {=< j

(uJ(t) - u*J(t)) } 0;

U*(t)

- для почта всех t e CO, T] и всех u(t) t U

n

2 ( max ф£ftj (д/{/д<ррСд(^{/д^J

1=1 J

(uJ(t) - u*J(t)) ? 0,

if* it;

*

(здесь (df/dx) - матрица, сопряженная к (df/dx)).

Это предложение показывает, что принцип максимума Понтряги-на справедлив и для рассмотренной задачи оптимального управления с лимитирующими факторами.

В гдаве 4 приводится математический аппарат для исследования моделей оптимального управления в математической экономике, рассматриваемых в пространстве с мерой (пространстве Фреше с мерой р.).

В отличие от схемы Дубовидаого - Милютина и схемы, изложенной в § I, здесь основным объектом исследования являются дополнения в Е множеств фигурирующих в постановке задачи оптимизации, рассмотренной в § I.

Пусть точка нуль принадлежит замыканию множества Я, т. е. О е R, а / - некоторый линейный непрерывный функционал (ЛНФ) на Е. Обозначим через R~(e,f) то подмножество пересечения R с е-окрестностью нуля где значения функционала / неположительны:

iT(s,/) = { х | х е R п 0S, f(x) $ 0 }. Очевидно, что R~(e,f) с 0~(f), где

Ое(/) = { X | X е ое, Г(х) ^ 0 ).

9.5. Определение. Множество Е назовем правильным (в точке нуль), а нетривиальный ЛНФ f - информативным функционалом множества Я (в точке нуль), если выполнены следующие условия: - множество

- значение этого предела равно единиир: К?) = 7.

9.7. Замечание. Если - вероятностная мера, то отношение \ь(1С(£,/)) / \х(0^(/)) сужь условная вероятность события "принадлежать К~(е,/)" при условии "принадлежать 0~(f)n. Тем самым функционал фигурирующий, в опредлении 9.5, "информирует" о том, что эта "вероятность" стремится к единице при е - +0.

Далее строится теория информативных функционалов и доказывается аналог предложения 1.28 в технике информативных функционалов,. Имеет место

9.42. Предложение. Пусть точка х* может быть исследована на экстремум в некоторой задаче оптимизации, как по схеме информативных функционалов, так и по схеме выпуклых конусов, рассмотренной в § I. Если эта точка удовлетворяет необходимому условию экстремума по схеме информативных функционалов, то она удовлетворяет необходимому условию экстремума и по схеме выпуклых конусов.

В § 10 приведены примеры информативных функционалов для некоторых классов множеств.

Ще) =ЙП0,

£

связно при всех 0 < е < е0; - существует предел

ИГ) в ш / цсо^/л;

£->+0

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Абрамов А.П. Связность и необходимые условия экстремума. -М.: ВЦ РАН, 1996. - 252 с.

2. Абрамов А.П. Информативные функционалы в задаче оптимизации // Оптимальное управление в динамических макросистемах. -М.: ВН1ШСИ, 1987. вып. 19. С. 47-54.

3. Абрамов А.П. Необходимые условия экстремума в пространстве с мерой //В сб. Исследование операций (модели, системы, решения). - М.: ВЦ АН СССР, 1989. С. 3-16.

4. Абрамов А.П. Об альтернативных условиях экстремума первого порядка // В сб. Исследование операций (модели, системы, решения). - М.: ВЦ АН СССР, 1991. С. 3-8.

5. Абрамов А.П., Иванилов В.П. Физика и математическая экономика. - М.: Знание, 1991.- 48 е.- (Новое в жизни, науке, технике. Сер. "Математика, кибернетика"; №8).

6. Абрамов А.П. Альтернативные условия экстремума для одного класса задач оптимального управления // В сб. Исследование операций (модели, системы, решения). - М.: ВЦ РАН, 1996. С. 4-31.