автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Моделирование технических систем на основе использования эквидистант

На правах рукописи

>'1 и Л

/ / ФЕ8 2ЭС1

ЛЫТКИНА Елена Михайловна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭКВИДИСТАНТ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

Братск-2000

Работа выполнена в Ангарском государственном технологическом институте

Научные руководители: доктор технических наук, профессор Елисеев Сергей Викторович кандидат технических наук Гозбенко Валерий Ерофеевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Алпатов Юрий Никифорович кандидат технических наук, доцент Дойников Александр Николаевич

Ведущая организация: Ангарское опытно-конструкторское бюро автоматики 665821, г. Ангарск, Иркутской области, а/я 423

Защита диссертации состоится " июня 2000 г. в /^часов на заседании диссертационного совета К 064.93.01 при Братском государственном техническом университете по адресу: 665709 г. Братск, Иркутской области ул. Макаренко, 40, БрГТУ

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке БрГТУ. Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим на" :ять по адресу диссертационного совета.

Автореферат разослан "мая 2000г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.В. Белокобыльский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Системы автоматического управления п регулирования являются сложными объектами для теоретического н экспериментального изучения, поскольку требуется учет многих особенностей междисциплинарного характера. Выбор управления в этих системах представляет собой итерационный процесс, включающий выбор и оценку параметров и свойств динамической модели, формирование целей и задач управления, выбор характера и вида управляющего воздействия, рекомендации по конструктивно-технологическим компонентам практической реализации. Поэтому внимание к математической модели объекта, анализ и оценка спектра динамических свойств вполне объяснимо. Логичным стремлением является и разумное упрощение модели, приведение ее к виду', позволяющему использовать более простые аналитические средства.

Заметим, что любые приборы, регистрирующие изменение наблюдаемых

*

параметров, обладают избирательностью, для них характерны зоны нечувствительности, загрубление и определенный "размыв" результатов, что хорошо известно в теории измерений. В связи с этим неоднократно появлялись высказывания, направленные на необходимость понимания и учета того, что параметры реальных объектов по отношению к данным аналитического исследования, находятся в некоторой зоне "размыва", часто называемого "трубкой". Такие соображения не могли не привести к предложениям о введении эквидистанты как некоторого образа зависимости, полученной аналитически, но содержащей вполне опрсделеш1ую информацию, учитывающие реальную природу объекта. В свою очередь, построение эквидистанты для исходных зависимостей можно рассматривать как один из приемов аппроксимации, упрощение моделей, сокращая тем самым объем последующих экспериментальных исследований, часто требующих больших материальных затрат.

Эквидистанты, как своеобразная форма интегро-дифференциальных преобразований исходных данных, позволяют производить в определенных пределах аппроксимацию характеристик, создавая возможность использования на последующих этапах развитых методов теории автоматического регулирования и управления. В большей степени, такие подходы, представляют интерес ддя работы с моделями в виде колебательных систем, находящихся под действием возмущений широкого частотного диапазона.

Учитывая большую роль и значение моделирования, как необходимого этапа в оценке, изучении свойств объекта, прогнозе его динамического поведения, расширение концептуальной базы исследования введением новых приемов и методических подходов, настоящая работа представляется актуальным и современным направлением научных изысканий.

Целью работы является разработка, исследование и изучение возможностей оценки состояния и управления динамическими свойствами объектов автоматического управления и регулирования на основе подходов, связанных с введением эквидистант как структурного приема аппроксимации характеристик.

Методы исследования.

При теоретических исследованиях использовались методы теории автоматического управления, теоретической механики, теории колебаний, динамики и прочности машин, математическое моделирование динамических процессов.

Научная новизна работы.

- Разработана концепция моделирования технических систем на основе использования эквидистант как приема аппроксимации.

- Разработаны подходы к реализации специального интегро-дифференциального преобразования исходных однопараметрических и двухпараметрических кривых.

- Предложены приемы построения эквидистантных частотных характеристик для колебательных систем с одной и двумя степенями свободы, разработан аналитический метод построения переходных процессов.

- Разработаны методика и программа выбора параметра эквидистанты в зависимости от допустимой точности вычисления.

Практическая ценность работы.

Разработано научно-методическое обеспечение под задачи моделирования технических систем, позволяющее на стадии предварительной оценки динамических свойств и характеристик, реализовать процедуры аппроксимации ла основе специализированных интегро-дифференциальных преобразований.

Разработаны программы, методические материалы и рекомендации для практического использования в приложении к задачам динамического синтеза по частотным характеристикам моделей в виде колебательных систем.

Достоверность результатов подтверждается данными, полученными численными экспериментами на ЭВМ.

Апробация работы.

*

Основные теоретические положения, результаты, выводы и рекомендации доложены, обсуждены и получили отзывы на:

- международной научно-технической конференции "Повышение эффективности производства и использование энергии в условиях Сибири'' (Иркутск, ИрГТУ, 1999);

- научно-технических конференциях ВСТУ г. Улан-Удэ, 1999; г. Омск, 1999;

- ежегодных научно-технических конференциях Ангарской государственной технологической академии, 1996 - 1999 гг.

- ежегодных научно-технических конференциях Иркутского института инженеров транспорта, 1997 - 1999 гг.

Публикации.

По результатам диссертационной работы опубликовано двенадцать научных работ.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов, списка литературы, четырех приложений. Работа изложена на 170 стр., включает 65 рис. Список литературы содержит 125 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, выделены направления, определена цель и сформулированы задачи исследования.

В первой главе диссертации рассмотрено современное состояние проблемы моделирования технических систем, использования методов и средств оценки свойств изучаемых объектов, выбор рациональных подходов.

Одной из основных компонент технической системы является механическая часть. По существу, мы часто имеем дело с задачами динамики и управления, если принимать во внимание изменение режимов работы, выбор параметров, обеспечивающих определенные характеристики системы.

Это направление имеет достаточно развитую аналитическую базу в качестве методологии и аппарата теории автоматического управления и регулирования. Модельные задачи, моделирование систем автоматического управления широко опираются на такие модели, как колебательные системы с одной и несколькими степенями свободы. Динамическая природа поведения таких систем хорошо описывается частотными характеристиками, поскольку непрерывность процессов предполагает периодичность воздействий и их длительность.

Приводятся сведения из теории автоматического управления, позволяющие детально представить структуру модели, особенности поведения, основные характеристики. В общем виде объект изучения может быть представлен структурной схемой (рис.1) и состоит из: 1) объекта регулирования (на выходе величина у)-,

2) измерительного или чувствительного элемента (на выходе преобразованная величина т, на входе - .у);

3) распорядительного или командного звена (на входе - т, на выходе величина г);

4) исполнительного звена (на входе - г, на выходе - г, которое вызывает определенное изменение регулируемой величины у).

Аналогом структурных представлений является математическая модель в виде дифференциального уравнения и - го порядка.

При реализации подходов теории автоматического регулирования, основанных на исследовании уравнений состояния, часто применяют способы, базирующиеся на представлении свойств объектов через передаточные функции.

Комплексная (амплитудно-фазовая) частотная характеристика (АФЧХ) ил-комплексная передаточная функция может быть получена при замене р параметра преобразования Лапласа на }(о

Ф{] со) = Ф1(й))+у'Ф 2 (ю) = Ф0 (<о)еМо).

МЩу

Рас. 1. Структурная схема цепи регулировани

Функция Ф0(о) носит название модуля частотной характеристики или амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). Функция <р(со) - сдвиг по фазе или фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

7

Функция <&)(©) = <!>„(*») сое 0>(<в) называется действительной частотной характеристикой, а Ф2 (о) = Ф0 (©) эт #>(<а) - мнимой.

Приведенные характеристики для конкретных систем могут быть получены либо экспериментально, либо путем моделирования на основе аналитических подходов.

Отметим, что большинство задач, связанных с оценкой динамических свойств объектов регулирования и управления, решается при использовании прямого и обратного преобразований Лапласа. Однако помимо аналитических подходов существует широкий класс задач, в решении которых используются эффективные инженерно-технические приемы, основанные на упрощениях исходных характеристик, аппроксимациях, так как графики кривых могут иметь специфические особенности: изломы, разрывы. Во многих подходах, которые используют интегральные свойства (например, оценку площади фигуры), возникает необходимость учитывать точность асимптотических приближений.

В инженерной практике большую известность, в частности, приобрели методы упрощений частотных характеристик иа основе метода трапеций и треугольников, с последующей оценкой правомерности допущений, которые являются важным элементом в задачах моделирования объектов различной природы.

Автором рассматриваются также динамические свойства колебательных систем с одной и несколькими степенями свободы, частотные характеристики, анализируются динамические режимы как развернутая основа для возможного моделирования технологических процессов и режимов работы оборудования.

На основе литературного обзора теоретических и экспериментальных методов исследования САР делается вывод, что обработка результатов эксперимента связана с анализом ошибок измерений, погрешностей, учета размыва наблюдаемых на приборах графиков, кривых, фазовых картин, что создает предпосылки для осмысления необходимости введения адекватного процессу инст-

рументария. В частности, автором предлагается использовать эквидистант?, которая по отношению к исходной кривой является своеобразным "размывом". Понятие эквидистанты впервые было введено Н.И. Лобачевским. Эта кривая определяется как геометрическое место точек, по одну сторону от кривой на расстоянии р. Эюшдистанта обладает определенным свойством сглаживания — - -исходных кривых, изменяет их свойства, и в свою очередь, может рассматриваться как реализация некоторой процедуры аппроксимации над аналитической исходной зависимостью и, тагам образом, переход к тем результатам, которые могут быть получены на приборной основе в эксперименте. Существенным параметром в таких преобразованиях является высота эквидистанты р, определяющая точность аппроксимации и, в дальнейшем, степень близости результатов к данным эксперимента

В заключительной части первой главы сформулированы задачи исследования.

1. Разработать алгоритмы и аналитические подходы для построения эквидистантных кривых в наиболее распространенных для научно-инженерной практики ситуациях.

2.Развить метод!гческие подходы определения основных параметров эквидистантных кривых (площади фигуры, ограниченной эквидистантной кривой и осями координат, анализ особых точек, определение влияния различных параметров кривой).

3. Разработать и обосновать принципы построения программного комплекса для построения эквидистантных кривых к частотным характеристикам колебательных систем.

Вторая глава диссертации посвящена систематическому развитию представлений о свойствах эквидистанты в приложении к известным и применяемым кривым в моделировании систем автоматического управления.

Как отмечалось в главе 1, высота эквидистанты (расстояние до базы) всегда постоянна по всей длине кривой, поэтому ее можно считать «толщиной» кривой или ее параметром. По сути дела, строя эквидистанту, мы производим некоторое преобразование кривой. И это преобразование является интегро-дифференциальным, так как для построения эквидистанты нам необходимо знать производную исходной функции, чтобы построить нормаль, а затем через точки, отложенные на нормали, провести огибающую, что делает это преобразование интегральным.

Можно провести следующую интерпретацию эквидистанты. Пусть К1— овальная линия второго порядка, расположенная во внутренней области абсолюта К и касающаяся абсолюта в точках его пересечения с прямой 1 (рис. 2). Очевидно, что при гиперболическом зеркальном отображении относительно любой прямой, проходящей через точку Ь, являющейся полюсом прямой / относительно абсолюта К, линия К1 отражается на себя. Значит все хорды линии К.1, направленные в точку Ь, являются гиперболически конгруэнтными отрезками; кроме того, прямая 1 перпендикулярна к этим хордам и делит их пополам. Поэтому линия К1 с точки зрения гиперболической геометрии представляет собой эквидистанту с осью /.

С точностью до обозначений эквидистантное преобразование можнб отнести к преобразованиям группы Клейна.

Уравнения зквидистанты в векторной форме выводиться из следующих соображений. Как видно го рис. 3 на плоскости к произвольной кривой можно построить две эквндистанты — внешнюю - экв+ и внутреннюю - эюГ.

Выведем векторное уравнение для эк в", так как для экв+ оно получится аналогично.

Очевидно, что г~ —

п„

\

М 1пЬ

Опуская промежуточные выкладки, окончательно имеем

Л =

где - радиус-вектор эквндистанты,

Р = _у(/)) - радиус-вектор исходной кривой, заданной в параметрическом виде,

р - параметр эквндистанты.

Рис.3. К выводу векторного уравнени эквндистанты

В дальнейшем нас будет интересовать внутренняя эквидистанта. Заметим, что эквидистантные преобразования рассматриваются автором при достаточно

малых значениях параметрар, так как по мере его роста появляется ряд особенностей.

В классе однопараметрических кривых рассмотрены астроида, кардиоида, циссоида, декартов лист, логарифмическая спираль и эвольвента. По свойствам зквидистант сделан ряд общих заключений.

В классе кривых, уравнения которых включают два параметра, рассмотрены эллипс, парабола, гипербола, улитка Паскаля. Для последних кривых найдена общая зависимость параметра эквидистанты р от параметров кривой а и

Р-

р = а±@{р-а), О<0<1. Давая оценку представленных материалов можно сделать ряд выводов.

1. Получены векторные уравнения для зквидистант к кривым, уравнения которых зависят от одного и двух параметров.

2. Предложен метод построения зквидистант к кривым, уравнения которых также зависят от одного и двух параметров.

3. Исследованы свойства кривых в их зависимости от относительного параметра эквидистанты. Найдены критические режимы, локальные зависимости, области неустойчивости, получены аналитические выражения.

4. Предложена методика, позволяющая производить оценку интегральных свойств кривых в зависимости от параметров эквидистанты.

По результатам написана программа ЕСУПЖТ построения зквидистант для математических кривых.

Если вторая глава была посвящена рассмотрению аспектов моделирования процессов на основе одно- и двухпараметрических кривых с их преобразованием на основе введения зквидистант, то третья глава диссертации связана с расширением и развитием подхода к другому классу моделей — колебательным процессам. Как указывалось в главе I, наиболее универсальными и удобными являются частотные характеристики. Однако последние обладают рядом

особенностей (разрывы, асимптоты), делающие эквидистантные преобразования достаточно эффективными.

Колебательные системы, сами по себе, представляют достаточно содержательные объекты для исследования, если иметь в виду параллельное изучение свойств колебательных моделей, вводя понятие динамических связей, вид и структура которых может отличаться от классических представлений. Определенный интерес представляет развитие таких подходов, обеспечивающих возможное управление динамическим состоянием, а это требует внимания к реакции системы на типовые воздействия и сопоставления с известными разработками.

В третьей главе, как обобщение подхода, изложенного в главе 2, рассмотрена задача и процедура построения эквидистанты к произвольной кривой y = f(x), что предваряет работу с частотным! характеристиками. Получены

уравнения эквидистант - экв~ и экв+ в координатной форме (рис.3): Гхэ+ =х0 +pcos<p,

(Л = Уо +/->sin(Z>, где q* = 90° + у/, tgy/ = /'(.v0);

где <р = 90° - у, /£ у/ = /'(.г0 ).

Автором рассмотрены классические задачи с колебательными системами с одной степенью свободы с учетом и без учета демпфирования. Для системы без демпфирования получены аналитические выражения для эквидистанты амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), получены выражения для определения интегрального параметра - площади АЧХ. А также выражения для нахождения точек пересечения эквидистанты с осями координат и линией резонанса.

и

Для оценки влияния параметров эквидистанты на свойства преобразованных АЧХ введена функция чувствительности, получены необходимые аналитические выражения, произведена оценка «условного» демпфирования, вносимого преобразованием.

Чтобы оценить величину этого «демпфирования», рассмотрено отношение функции эквидистанты к АЧХ системы без трения и функции АЧХ системы с трением, то есть отношение функций

у: (1 -р*т<р\\ -7г|У(1 -т]2)2 + 4РУ V ~ |1-72|

Тогда выражения для функций р(В), зависимости параметра эквидистанты р от коэффициента демпфирования системы О и обратной функции £>(/>) получим в виде:

а/(1-Т?2)2+4£>У -С|1- т]2\ Р(Р) = --;-

|1 -772рт + 42>У

2тД1-ш-77 итр]1' 1 1

где С - некоторая константа. И очевидно, что функция /?(£>) ограничена сверху величиной р--.-^-. Например, при 7 = — функция р(Р) ограничена

1-7 рш^? 2

числом 2,6. Для системы с трением эквидистанта также увеличиваем демпфирование системы, не изменяя ее структурно. Здесь величина параметра р ограничена свойствами самой эквидистанты.

Как элемент развития общеметодических позиций в оценке свойств колебательной модели, автором вводится понятие дополнительных динамических связей. Их практическая реализация основана на нетрадиционном использовании в классических моделях устройств для преобразования движения. На рис. 4(а, б) приводятся принципиальная схема колебательной системы с дополни-

тельной динамической связью и соответствующая амплитудно-частотна^ характеристика. Получены необходимые аналитические выражения для эквидистантных преобразований и оценки интегральных свойств системы. В частности, произведена оценка влияния демпфирования, построены переходные характеристики:^ ~~

В работе рассматривается нелинейная система с дополнительной динамической связью, в которой периодически подключается и отключается дополнительная масса I. Для этой системы получены уравнения движения, оптимальные моменты подключения массы Ь и начальные условия для дальнейшего движения системы. Рассмотрены случаи свободных и вынужденных колебаний в с учетом и без учета трения, и колебания при гармоническом возбуждении основания. Для каждого случая получены соответствующие аналитические выражения.

Рассмотрение более сложных моделей колебательных систем с двумя степенями свободы вполне оправдано, поскольку большинство систем автоматического управления и регулирования относятся к объектам с несколькими степенями свободы, которые генерируют вибрационный фон и сами подвергаются вибрационным воздействиям.

Особенности динамики колебательных систем с двумя степенями свободы представлены в разделе 3.5, в том числе, с учетом влияния сил демпфирова-

сиязыо

связью

ния. Инхегро-дифференциальные преобразования амплитудно-частотных характеристик позволяют построить соответствующий аналитический аппарат на основе введения функций чувствительности.

Четвертая глава диссертации посвящена детализации технологии и возможностей использования эквидистант в прикладных задачах, в том числе, в задачах динамики, если в качестве исходных используются вещественные или действительные частотные характеристики. Такие задачи достаточно часто встречаются в тех случаях, когда технологический процесс реализуется в автоматизированных вариантах. Автором показана возможность на сравнительном материале (метод трапециидальных характеристик и метод треугольников) использования эквидистант с обеспечением необходимой точности на переходных характеристиках. При этом метод эквидистант позволяет строить переходный процесс, исходя из аналитических выражений.

Как показали исследования, эквидистанты могут служить основой метода вычисления несобственных интегралов. Автором проведено сравнительное исследование метода разложения подынтегральной функции в степенной ряд и метода эквидистанты. Сделаны выводы о предпочтительности использования метода эквидистант по сравнению с методом разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Но наряду с этим отмечается, что данный метод не универсален, так как в точках перегиба, экстремума или просто в узких местах кривой (например, эллипс) при /?->°о у эквидистанты могут появиться особенности. Подробно эти особенности описаны в работах [11], [12].

Если ранее была показана возможность построения эквидистантных частотных характеристик для моделей в виде колебательных систем и их использование для построения переходных процессов и оценки их качества, то интерес представляет и обратная задача. Например, такая: «если мы знаем точность, с которой необходимо произвести вычисления, то какое значение параметра р нам необходимо для этого взять?»

В пятой главе представлена методика выбора параметров эквидистйнты. Последовательно рассмотрен ряд примеров.

Известно, что любая кривая у = /(х), прямые х = а,х~Ъ и ось ОХ (рис. 5) ограничивают некоторую фигуру произвольной формы. Площадь 5 этой

фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла----------------------

ь

а

Ранее было показано, что для многих прикладных задач моделирования

процессов площадь 5 имеет весьма важное значение. Очевидно, что эта площадь вычисляется с некоторой ошибкой 5, так как экв~ лежит ниже исходной кривой характеристики. А значит и площадь фигуры, ограниченной же' будет меньше площади фигуры, ограниченной /(х). Причем, чем меньше р, тем

ближе эке~ к исходной кривой, тем меньше будет ошибка.

Рис.5. Фигура, ограниченная произвольной криво

Автором рассмотрены прямая, окружность, эллипс, парабола, гипербола, кубическая парабола, и другие. Причем, с повышением порядка кривой повышается порядок уравнения относительно р. Так, для прямой это уравнение 1-го порядка, для эллипса, окружности, гиперболы, параболы - квадратное уравнение, для кубической параболы - это уравнение 3-сй степени, для АЧХ - уравнение 12-ой степени.

Например, для эллипса связь между параметром эквидистанты р и необходимой или заданной ошибкой вычислений 8 определяется уравнением:

17

ахрг +a2p + a3 =0,

a2 ■ 2 2

где Cj = —sm ^> + cos <p\

<p = -90°,= .

В заключительной части главы методика распространена на амплитудно-частотную характеристику колебательной системы с одной степенью свободы. Разработан программный комплекс MISTAKE.

В приложениях 1 и 2 приведены кривые, рассмотренные в главе 2 и экви-дистанты к ним при различных значениях параметра р.

В приложение 3 вынесены некоторые формулы или коэффициенты.

В приложении 4 приведены блок - схемы и текст основной программы программного комплекса для построения эквидистант к различным кривым, построения переходных процессов, оценке величины условного «демпфирования» и методике выбора параметра эквидистанты р.

На основании проведенных исследований сделаны следующие основные выводы.

1. Разработан системный подход в задачах моделирования технических систем на основе применения построения эквидистант как приема аппроксимации характеристик.

2. Предложены процедуры получения уравнений внутренней и внешней эквидистант в векторной и координатной формах, найдены необходимые соотношения для кривой произвольной формы.

3. Для ряда известных в моделировании одно и двухпараметричёских

— +

математических кривых изучено поведение же и же при различных параметрах зквидистанты р.

4. Разработаны процедуры построения эквидистантных частотных характеристик в модельных задачах динамики для колебательных систем с одной и двумя степенями свободы. Предложен способ определения интегральных характеристик на основе оценки площадей в локальном частотном диапазоне.

5. Предложен аналитический метод построения переходных процессов в колебательной модели на основе зквидистанты, проведено сравнение с известными методиками.

6. Предложен и разработан метод вычисления несобственных интегралов с помощью зквидистанты и проведено сравнение точности этого метода с методом разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

7. Разработана концепция введения дополнительных динамических связей как фактора направленного изменения динамических свойств колебательных систем.

8. Предложена методика выбора параметра зквидистанты р в зависимости от допустимой ошибки вычислений 3, оценена величина условною «демпфирования», вносимого эквидистаптой в модель. Разработана программа для вычислений на ЭВМ

9. Исследовано поведение нелинейной системы с одной степенью свободы с дополнительной динамической связью в случае свободных и вынужденных колебаний с учетом трения и без него, а также колебания этой системы при кинематическом возбуждении гармонического типа.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Уравнение зквидистанты для произвольной кривой. - В кн.: Тезисы докладов на XX научно-методической кон-

ференции «Эффективность подготовки кадров высшей квалификации для железнодорожного транспорта». - Иркутск, 1995. - с. 29 — 30.

2. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Уравнение эквидистанты для плоской кривой. — В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции «Современные технологии и научно-технический прогресс». - Ангарск, 1996.-с. 49-50.

3. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Оптимизация конфигурации робототех-нической системы (РТС) при движении по заданной траектории. - В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции «Современные технологии и научно-технический прогресс». — Ангарск, 1996. - с. 61 — 63.

4. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к АЧХ в общем случае. - В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции «Современные технологии и научно-технический прогресс». - Ангарск, 1998. - с. 167.

5. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к АЧХ при отсутствии сопротивления. — В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции «Современные технологии и научно-технический прогресс». - Ангарск, 1998 - с. 169.

6. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М., Лобанов А. Н. Применение эквидистанты в задачах электропривода. - В кн.: Тезисы докладов международной научно-технической конференции «Повышение эффективности производства и использование энергии в условиях Сибири». - Иркутск, 1999. - с. 59-60.

7. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Построение переходных характеристик системы автоматического управления, - Автоматизация систем контроля и управления на транспорте. - Иркутск, ИрИИТ, 1999. - с. 14-19.

8. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к АЧХ колебательной системы с двумя степенями свободы. - В кн.: Тезисы докладов научно-

технической конференции "Современные технологии и на^гно-технический прогресс". - Ангарск, 1999.

9. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Математический аппарат вычисления интегралов разрывных функций. - вестник. Серия «Кибернетика». Управление в системах. Иркутск, ИП'И, 1999. с. 29 35

10. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Применение эквидистанты в системах, без демпфирования - Иркутск, ИрИИТ, 1999. - с. 160 - 166

11. Лыткина Е. М,, Гозбенко В. Е. Эквидистанта к некоторым математическим кривым, параметрические уравнения которых зависят от одного параметра. - В кн.: Тезисы докладов научно — технической конференции «Современные технологии и научно — технический прогресс». -Ангарск, 2000. - с. 152 - 160.

12. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к некоторым математическим кривым, параметрические уравнения которых зависят от двух параметров. - В кн.: Тезисы докладов научно - технической конференции «Современные технологии и научно - технический прогресс». - Ангарск, 2000.-с. 161-168.

Разрешить размножение

автореферата диссертации в количестве 100 экз.

Подписано в печать 11,05.2000г. Формат 60x84 1/16 Бумага типографская. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ №119.

Отпечатано в УОП БрГТУ 665709, Братск, ул. Макаренко, 40

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЙ.

1.1. Некоторые сведения из теории автоматического регулирования, используемой как основа моделирования технических систем.

1.2. Моделирование технических систем на основе типовых колебательных звеньев.

1.3. Динамические свойства колебательных систем, динамические связи.

1.4. Свойства и возможности эквидистант.

1.5. Постановка задачи исследования.

ГЛАВА 2. ЭКВИДИСТАНТЫ К НЕКОТОРЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ

КРИВЫМ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ

ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ.

2.1. Общие сведения.

2.2 Однопараметрические кривые.

2.3 Особенности эквидистант к кривым, уравнения которых зависят от двух параметров.

2.4 Частный случай гиперболы, функция у = ~.

2.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИДИСТАНТНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ МОДЕЛЕЙ В ВИДЕ

КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.

3.1. Уравнения эквидистанты в координатной форме.

3.2. Исследование возможностей применения эквидистанты к характеристикам колебательных систем с одной степенью свободы.

3.2.1. Случай недемпфированных колебаний (£>= 0).

3.2.2. Демпфированные колебания системы с одной степенью свободы.

3.2.3. Оценка величины условного «демпфирования», вносимого эквидистантой.

3.3. Учет дополнительных динамических связей.

3.3.1. Недемпфированные колебания с динамической связью.

3.3.2. Демпфированные колебания.

3.4. Моделирование в колебательных системах с двумя степенями свободы.

3.4.1. Недемпфированные вынужденные колебания, особенности построения эквидистант.

3.4.2. Учет демпфирования.

3.5. Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ЭКВИДИСТАНТА В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ

МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

4.1. Методические подходы в использовании эквидистанты для определения параметров систем.

4.2. Построение переходного процесса:.

4.3. Выводы по главе.

ГЛАВА 5. МЕТОДИКА ВЫБОРА ПАРАМЕТРА ЭКВИДИСТАНТЫ.

5.1. Зависимость параметра эквидистанты от ошибки вычислений.

5.2. Особенности применения эквидистант к частотным характеристикам.

5.3. Выводы по главе.

Современные технические системы являются достаточно сложными объектами для теоретического и экспериментального изучения. Это связано, в первую очередь, с необходимостью исследования и оценки динамических свойств систем, анализа влияния взаимозависимых и влияющих друг на друга возмущений и управляющих воздействий. Известные в специальной литературе методы позволяют во многих случаях реализовать достаточно формализованные процедуры составления математических моделей, чаще всего они бывают представлены различными дифференциальными уравнениями и их системами, с последующей реализацией на полученных моделях прямых и косвенных методов оценки решений. По вполне понятным причинам методы аппроксимации, упрощения моделей, понижения их порядка, линеаризация являются основными направлениями, позволяющими исследователю оценить возможные динамические свойства технических систем, эффективность управления состоянием, разработать специальные средства, позволяющие изменять в нужном направлении динамические характеристики.

Изучение достаточно сложной технической системы, как правило, сопровождается экспериментом, результаты которого важны для корректировки исходных положений при формировании математической модели, а также для определения достоверности полученной при анализе информации. Экспериментальные исследования предполагают подтверждение и качественных и количественных характеристик объекта и основаны на широком применении различного рода приборов. Заметим, что любые приборы, регистрирующие изменение наблюдаемых параметров, обладают избирательностью, для них характерны зоны нечувствительности, загрубление и определенный "размыв" результатов, что хорошо известно в теории измерений. В связи с этим неоднократно появлялись высказывания, направленные на необходимость понимания и учета того, что параметры реальных объектов по отношению к данным аналитического исследования, находятся в некоторой зоне 6 размыва", часто называемого "трубкой " -[44, 52]. Такие соображения не могли не привести к предложениям о введении эквидистанты как некоторого образа зависимости, полученной аналитически, но содержащей вполне определенную информацию, учитывающие реальную природу объекта. В свою очередь, построение для исходных зависимостей эквидистант можно рассматривать как один из приемов аппроксимации, упрощения моделей, сокращая тем самым объем последующих экспериментальных исследований, часто требующих больших материальных затрат.

Методологическая ценность введения такого специфического приема аппроксимации заключается и в том, что свойственные для аналитических моделей разрывные характеристики сглаживаются. Именно с такими реальными процессами, чаще всего, приходится сталкиваться в практике.

Динамические характеристики технических систем, возможности управления, целенаправленного изменения параметров и спектра возможных свойств чаще всего рассматриваются на моделях в виде колебательных систем, что предполагает соответствующее внимание к методам исследований и подходам в интерпретации результатов.

Теория автоматического управления (ТАУ), которая часто выступает основой для решения задач управления в технических системах, располагает достаточно развитым аналитическим аппаратом, позволяющим ввести в рассмотрение ряд частотных характеристик, отражающих динамические свойства объектов. Автор, в своей работе, в дальнейшем использует методы и приемы ТАУ, представление о структурных схемах и передаточных функциях, что не исключает, впрочем, использования других подходов, краткое описание которых дается в первой главе работы.

В главе 2 данной работы выводится векторное уравнение эквидистанты и исследуются некоторые свойства этой кривой, построенной для известных математических кривых, используемых в моделировании систем.

В главе 3 рассматриваются колебательные системы с 1 и 2МЯ степенями свободы и вводится понятие дополнительной динамической связи. Для ам7 плитудно - частотных характеристик систем разработаны процедуры построения эквидистант.

В главе 4 представлены методические материалы, связанные с обоснованием метода эквидистант, рассмотрены конкретные примеры, предложен оригинальный метод вычисления несобственных интегралов с помощью эквидистант.

В главе 5 исследованы зависимости параметра эквидистант от требуемой или допустимой ошибки вычисления, разработан ряд рекомендаций.

Для обеспечения численного эксперимента разработан программный комплекс.

В заключении представлены основные выводы по работе.

В приложениях приведены текст основной программы комплекса - ЕС УГОШТ и блок-схемы остальных программ, а также рисунки эквидистант для некоторых математических кривых при различных значениях параметра эк-видистанты р, описанные в главе 2.

По материалам диссертации опубликовано 12 научных работ.

Основные теоретические положения, результаты, выводы и рекомендации диссертации доложены, обсуждены и получили положительные отзывы:

1) на международной научно-технической конференции "Повышение эффективности производства и использование энергии в условиях Сибири", ИрГТУ, г. Иркутск, 1999 г.

2) на научно-технической конференции в г. Улан-Удэ, 1999 г.

3) на научно-технической конференции в г. Омске, 1999 г.

4) на ежегодных научно-технических конференциях АГТИ.

5) на ежегодных научно-технических конференциях ИрИИТ.

Основное содержание работы изложено в публикациях [24] - [28],

75]-[81]. 8

5.3. Выводы к главе 5

1. Исследована зависимость точности вычислений от параметра эквиди-станты р.

2. Получены зависимости точности вычислений от параметра эквиди-станты р для типовых математических кривых и АЧХ системы с одной степенью свободы.

3. Проведено сравнение двух методов вычисления ошибки 8 через исходное уравнение и через площадь фигуры, ограниченой исходной кривой.

4. Разработан алгоритм и составлена программа MISTAKE вычисления площади S с заданной точностью для различных значений р.

167

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщив результаты исследований можно сказать следующее:

1. Разработан системный подход в задачах моделирования технических систем на основе применения построения эквидистант как приема аппроксимации характеристик.

2. Предложены процедуры получения уравнений внутренней и внешней эквидистант в векторной и координатной формах, найдены необходимые соотношения для кривой произвольной формы.

3. Для ряда известных в моделировании одно и двухпараметрических математических кривых изучено поведение экв~ и экв+ при различных параметрах эквидистанты р.

4. Разработаны процедуры построения эквидистантных частотных характеристик в модельных задачах динамики для колебательных систем с одной и двумя степенями свободы. Предложен способ определения интегральных характеристик на основе оценки площадей в локальном частотном диапазоне.

5. Предложен аналитический метод построения переходных процессов в колебательной модели на основе эквидистанты, проведено сравнение с известными методиками.

6. Предложен и разработан метод вычисления несобственных интегралов с помощью эквидистанты и проведено сравнение точности этого метода с методом разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

7. Разработана концепция введения дополнительных динамических связей как фактора направленного изменения динамических свойств колебательных систем.

8. Предложена методика выбора параметра эквидистанты р в зависимости от допустимой ошибки вычислений 5, оценена величина условного «демпфирования», вносимого эквидистантой в модель. Разработана программа для вычислений на ЭВМ.

168

1. Алабужев П. М., Лаутин Ю. К., Остроменский П.И. и др. К расчету предельных возможностей противоударной амортизации // Механика и процессы управления упругих механических управляемых систем. -Иркутск: ИЛИ, 1976.-е. 102-108.

2. Ахназаров С. А., Кафаров В. В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии. М.: Высшая школа, 1978. - 319 с.

3. Барабанов Н. Н., Митрофанов А, Д., Земскова В. Т., Ермолаева Е. В. Оптимальная автоматическая система регулирования тепловым режимом печи карбонизации // Химия и химическая технология, 1999 г., т.42, вып. 5.-е. 127-131

4. Беренблат Г. П. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометиздат, 1982 г. - 360с.

5. Бондарь А. Г. Математическое моделирования в химической технологии. Киев: Виша школа, 1978 г. - 279с.

6. Берже. Геометрия. М.: Мир, 1984, ч. 1-5.

7. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. -600с.

8. Брайсон А., Хо-Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления. -М.: Мир, 1972. -544 с.

9. Брябрин В. М. Программное обеспечение ПЭВМ. М.: 1989.

10. Ю.Булгаков Б. В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. - 891с.

11. Вайнштейн Э. Ф. Кинетика установления равновесия в обратимой реакции первого порядка // Химия и химическая технология, 1998 г., т. 41, вып. 5.-е. 30-31

12. Вибрации в технике / под редакцией Фролова К. В. М.: Машиностроение, 1988.- ч.1,2,5.

13. Виттенбург С. Т. Динамика систем твердых тел. М.: ,1980.169

14. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи. Принципы. Методология. -М.: Наука, 1990. 180с.

15. Волков Л. Н., Кадников А. А. Динамические гасители с дополнительными связями // Динамика механических управляемых систем. Иркутск: ИЛИ, 1982. - с.67 - 72.

16. Волков А. Н., Кадников А. А. Влияние диссипативных сил на эффективность применения динамического гасителя с устройством преобразования движения // Управляемые механические системы. Иркутск: ИЛИ, 1981.-е. 132-139.

17. Воронов А. А. Основы теории автоматического регулирования. 1966, ч.2, 1970, ч.З.

18. Вульфсон И. И., Коловский М. 3. Нелинейные задачи динамики машин. Л.: Машиностроение, 1968.- 283 с.

19. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наукд 1966,- 870 с.

20. Танеев Р. Ф., Фролов Н. В. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976.

21. Гарский В. Г., Адлер Ю. П. Планирование промышленных экспериментов. М.: Металлургия, 1974 г. - 264с.

22. Генкин Н. Д., Елисеев С. В., Мигиренко Г. С., Фролов К. В. Принципы современной виброзащиты // Науч. тр. / Новосиб. инс-т инженеров водного транспорта. Новосибирск, 1984. - с. 3-13.

23. Гордеева Е. Л., Нвоке Эдвин, Дирибе Икечукву Переходные процессы в емкостных реакторах с перемешиванием при возмущениях по объемной скорости потоков // Химия и химическая промышленность, 1998 г., т. 41, вып. 2.-е. 112- 115

24. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Уравнение эквидистанты для плоской кривой. В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции "Современные технологии и научно-технический прогресс". - Ангарск, 1996.-с. 49-50.

25. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Построение переходных характеристик системы автоматического управления, Автоматизация систем контроля и управления на транспорте. - Иркутск, ИрИИТ, 1999. - с. 14-19.

26. Гозбенко В. Е., Лыткина Е. М. Применение эквидистанты в системэу без демпфирования. Иркутск, ИрИИТ, 1999. - с. 160 - 166

27. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1980. - ч.1,2.

28. Дворецкий С. И., Карпищев В. В. Математическое моделирование и исследование процесса синтеза азокрасителей в турбулентном трубчатом реакторе //Химия и химическая технология , 1999 г., т. 42, вып. 3-е. 101-106

29. Девятых Г. Г., Сенников П. Г., Набиев Ш. М. Колебательные спектры летучих неорганических гидридов в жидком состоянии // Изв. Академии наук, серия химическая, 1999 г., №4. с. 629 - 644

30. Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1990. - 624с.

31. Ден-Гартог Дж. Механические колебания. М.: Физматгиз, 1960. -580 с.171

32. Довгаль С. И., Литвинов Б. Ю., Сбитнев А. И. Персональные ЭВМ турбо Паскаль v7.0 Киев: Информсистема сервис, 1993 - 475 с.

33. Долинский А. А., Накорчевский А. И., Корчинский А. А. Математическое моделирование работы перфорированного пульсатора //Теоретические основы химической технологии, 1988, т. 22, №3. с. 375

34. Дильман В. В., Полянин А. Д. Методы модельных уравнений и аналогий в химической технологии. М.: Химия, 1988. - 320с.

35. Елисеев С. В. Структурная теория виброзащитных систем. Новосибирск: Наука, 1978. - 220 с.

36. Елисеев С. В. Структурная теория виброзащитных систем. Приложение и проблемы развития // Математическое и программное обеспечение технических систем. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ие, 1989.

37. Елисеев С. В., Волков JI. Н., Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. Новосибирск: Наука, сиб. отделение, 1990. - 215 с.

38. Елисеев С. В., Нерубенко Г. П. Динамические гасители колебаний. -Новосибирск: Наука, 1982. 144 с.

39. Епанешников А. М., Епанешников В. А. Программирование в среде. TURBO PASCAL 7.0. M.: Диалог - МИФИ, 1998. - 370с.

40. Ермаченко А. И., Юсупов Р. Н. Применение функций чувствительности в задачах синтеза линейных многосвязных систем управления // Изв. АН СССР. Машиноведение. - 1976. - № 2. - с. 170-178.

41. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. Москва: Наука, 1971. - 578 с.

42. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1974. - 545 с.

43. Заде А., Дезаер Ч. Теория линейных систем. Пер. с англ. М.: Наука 1970,- 703 с.

44. Закчейм А. Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов. М.: Химия, 1982 г. - 288с.

45. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы системы. М.: Машиностроение, 1978. - 736с.

46. Ильинский В. С. Вопросы изоляции вибраций и ударов. М.: Сов. Радио, 1960.-320 с.

47. Ильинский В. С. Защита аппаратов от динамических воздействий. -М.: Энергия, 1970.

48. Ильинский В. С. Защита РЭА и прецизионного оборудования от динамических воздействий. М.: Радиосвязь, 1982. - 295с.

49. Иориш Ю. И. Виброметрия. М.: Машгиз, 1963. - 771с.

50. Кафаров В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. -М.: Химия, 1974г. -463 с.

51. Калмыков В. Р., Слободской А. М. Уточненное частотное описание нелинейных систем виброзащиты // Управляемые механические системы. Иркутск: ИЛИ, 1985. - с. 81 - 88.

52. Кафаров В. В., Глебов М. В. Математическое моделирование основных процессов химических производств. М.: Химия, 1988 г. - 350 с.

53. Калнинхем В. Введение в теорию нелинейных систем. М.: Госэнер-гоиздат, 1962.

54. Карпов А. И. Частотный метод оценки устойчивости упругих слабо-демпфированных колебательных систем по их приближенным моде173лям // Управляемые механические системы. Иркутск: ИЛИ, 1979. -с. 136- 146.

55. Колебательные явления в многофазных средах и их использование в химической технологии/ под ред. Ганиева Р. В. Киев: Техника, 1980 г.-305 с.

56. Кильчевский Н. А. Теория колебаний. М.: Наука, 1977,- ч.1.- 480 с.

57. Кисляков В. В., Лебедев С. А. Динамический гаситель радионаправленных колебаний // Машиностроитель, №8, 1998 г.

58. Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Наука, 1966.-317 с.

59. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988.-ч. 1 - 3.

60. Ландау Л. Д. и др. Курс общей физики. М.: Наука, 1969. - 399с.

61. Левицкий Н. И. Колебания в механизмах. М.: Наука, 1988.

62. Лекционные демонстрации по физике. / под редакцией Грабовского. -М.: Наука, 1972.-639 с.

63. Лобачевский Н. И. Геометрия. Казань: типография Имперского Университета, 1909.

64. Лобачевский Н. И. Геометрические исследования по теории параллельных прямых. Москва, Ленинград.: изд-во академии наук СССР, 1945.- 180 с.

65. Лобачевский Н. И. Избранные труды по геометрии. М.: изд-во Академии наук СССР, 1956.

66. Лобачевский Н. И. Три сочинения по геометрии М.: Гостехиздат, 1956.

67. Лойцянский Л. Г., Лурье А. П. Курс теоретической механики. М.: Гостехиздат, 1954.-ч. 1.2.

68. Лотош М. М. Основы автоматического управления. М.: Наука, 1979.-256 с.174

69. Лукьянов А. В. Управление колебаниями механических систем за счет введения дополнительных связей // Управление механическими системами. Иркутск: ИЛИ, 1986. - с. 78 - 86.

70. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к АЧХ в общем случае.- В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции "Современные технологии и научно-технический прогресс". Ангарск, 1998.- с. 167.

71. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к АЧХ при отсутствии сопротивления. В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции "Современные технологии и научно-технический прогресс". -Ангарск, 1998.- с. 169.

72. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Эквидистанта к АЧХ колебательной системы с двумя степенями свободы. В кн.: Тезисы докладов научно-технической конференции "Современные технологии и научно-технический прогресс". - Ангарск, 1999.

73. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е. Математический аппарат вычисления интегралов разрывных функций. Вестник. Серия «Кибернетика». Управление в системах. - Иркутск, ИГТИ, 1999. - с. 29-35

74. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е, Эквидистанта к некоторым математическим, параметрические уравнения которых зависят от одного параметра. В кн.: сборник трудов АГТИ, Ангарск, 2000. - с. 152 - 160

75. Лыткина Е. М., Гозбенко В. Е, Эквидистанта к некоторым математическим, параметрические уравнения которых зависят от двух параметров. В кн.: сборник трудов АГТИ, Ангарск, 2000. - с. 161 - 168

76. Магнус К. Колебания. -М.: Мир, 1982. -с.305.175

77. Маслов В. В., Данилов В. П., Волосов К. А. Математическое модели рование процессов массопереноса. Эволюция диссипативных структур. М.: Наука, 1987 г. - 390 с.

78. Математическая энциклопедия. М.: изд-во Советсткая энциклопедия, 1982. - ч.1 - 5.

79. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.

80. Механика многокомпонентных сред в технологических процессах/ под ред. В. В. Струлинского. М.: Наука, 1978 г.- 316 с.

81. Менли Р. Анализ и обработка записи колебаний. М.: Машиностроение, 1972. - 220 с.

82. Накорчевский А. И., Гаскевич И. В. Математическое моделирование пульсационных перемешивающих устройств // Теоретические основы химической технологии. Москва, т. 28., №3. 1994 г.

83. Накорчевский А. И., Гаскевич И. В., Басок Б. И. Математическое моделирование работы пульсаторов для перемешивания металлических расплавов // Изв. Академии наук, серия математическая, 1989 г., №5-с. 40

84. Новак С. М. , Логвинец А. С. Защита от вибраций и шума в строительстве: справочник. Киев: Будивэльник, 1990. - 181 с.

85. Наугольный Е. Р., Смирнов Н. Н., Широков Ю. Г. Влияние интенсивности механического воздействия на процесс активации оксидных систем в восстановительной среде // Химия и химическая технология, 1999 г., т. 42, вып. 5.-е. 119-121

86. Никонов М. В., Фуджин Я., Панфилова С. Е., Илимов В. П. Колебательная реакция окисления восстановления Ее" - Ее'" в солянокислых растворах, инициируемая ультразвуковым полем.// Изв. Академии наук, серия химическая, 1999 г., №8. - 1614 - 1615176

87. Орлова М. А., Егоров В. А. Описание процессов активации ин активации в ферментах // Изв. Академии наук, серия химическая, 1999 г., №4. - с. 664 - 667

88. Островский Г. Н., Абиев Р. Ш. Пульсационная резонансная аппаратура для процессов в жидкофазных системах // Химическая промышленность, №8, 1998 г. с. 10 - 20

89. Павлов В. Н. Оптимизация управления состоянием сложных технических систем // Химическое и нефтегазовое машиностроение, 1999, №4.-с. 15-16

90. Пановко Я. Г., Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967. - 316 с.

91. Перминов О. Н. Программирование на языке Паскаль. М.: Радио й связь, 1988,- 222 с.

92. Потоцкий М. В. Что изучает проективная геометрия? М.: Просвещение, 1982. - 80с.

93. Погорелов А. В. Основания геометрии. М.: Наука, 1979. - 150с.

94. Прикладные методы исследования управляемых механических систем / под ред. Г. Л. Мадатова, В. Н. Шичанина, В. В. Горбунцова и др. Киев: Наук. Думка, 1980. - 192 с.

95. Ратинер М. М. Синтез механизмов для воспроизведения эквидистантных кривых. Автореферат кандидатской диссертации, Новосибирск, НЭТИ, 1993 г.

96. Ружников А. А. Исследование статического преобразователя частоты методом логарифмических частотных характеристик. Иркутск: ИЛИ, 1986. - с. 110-114.

97. Семенова Н. С. О влиянии механических параметров двойной центрифуги на ее устойчивость. В. кн.: Управляемые механические системы. - Иркутск: ИЛИ, 1980. - с. 103 - 106.177

98. Современные методы проектирования систем автоматического управления: Анализ и синтез / под ред. Б. Н. Петрова, В. В. Солодов-никова, Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1967. - 704 с.

99. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1960. - 655 с.

100. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977. - 340 с.

101. Солодовников В. В., Топчеев Ю. И., Крутикова И. А. Частотный метод построения переходных процессов с приложением таблиц и номограмм. М.: Гостехиздат, 1955. - 196 с.

102. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение: пер. с англ. М.: Машиностроение, 1972- 552 с.

103. Теория автоматического управления / под ред. Воронова А. А. -М.: Высшая школа, 1986. -4.1,2.

104. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования / под ред. Солодовникова В. В. М.: Наука, 1978.

105. Тимофеев В. А. Инженерные методы расчета и исследования динамических систем. Энергия, Ленинградское отделение ,1975. -320 с.

106. Топчеев Ю. И., Цыпляков А. П. Задачник по теории автоматического регулирования М.: Машиностроение, 1977. - 592 с.

107. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1989. - 750 с.

108. Трайнин Я. Л. Основания геометрии. Москва.: гос.уч. - пед. изд-во, 1965. - 325 с.

109. Трапезников В. А. Автоматизация проектирования: Сб. ст./ под общ. ред. В. А. Трапезникова. М.: Машиностроение, 1986.

110. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971 г.- 312 с.178

111. Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. изд-во Московского университета, 1961. - 160 с.

112. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969, 1970. - ч.1 - 3.

113. Фролов К. В., Фурман Ф. А. Прикладная теория виброзащитных систем. М.: Машиностроение, 1980. - 276 с.

114. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989.

115. Чаки Ф. Современная теория управления. Нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Мир, 1975. - 475 с.

116. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. - 384 с.

117. Шафаревич И. Р. Основы аналитической геометрии. М.: Наука, 1988.- 4.1,2.

118. Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. От проективной геометрии к неевклидовой. - М.: Просвещение, 1979. - 160 с.

119. Эрбс X. Э., Штольц О. Введение в программирование на языке Паскаль. М.: Мир, 1989. - 295 с.

120. Яблонский А. А., Норейко С. С. Курс теория колебаний. М.: Высшая школа, 1975. - 250 с.

121. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95./перевод с английского. М.: Информационно-издательский дом "Филин", 1996. - 712с.в), экв1. Рис.3. Кардиоида1. Рис.5. Декартов лист.1. Рис.7. Эвольвента.1. Рис. 1. Эллипс

122. Рис. 2. Улитка Паскаля (а>Ь)

123. Рис. 3. Улитка Паскаля (а<Ь)1. Рис. 5. Парабола

124. Возможные случаи равенства нулю членов уравнений гэ и гэ+ для кардиоиды:

125. Графики функций 8(д), 5(а), Я \д), 5 '{а)1. S(q)10