автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты

На правах рукописи

Михайличенко Игорь Николаевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕСОВ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ЗАКАЧКЕ РАДИОАКТИВНЫХ РАСТВОРОВ В ГЛУБОКОЗАЛЕГАЮ ЩИЕ ПЛАСТЫ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Стерлитамак — 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Стерлитамакс кой государственной педагогической академии и в лаборатории физики и астрофизик» Стерлитамакского филиала АН РБ

Научные руководители: доктор технических наук, профессор

Филиппов Александр Иванович; кандидат физ.-мат. наук, доцент Михайлов Павел Никонович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Шулаев Николай Сергеевич; доктор физико-математических наук, доцент Ахтямов Азамат Мухтарович

Ведущая организация: Уфимский государственный авиационный

технический университет

Защита состоится «27» декабря 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при СтерлитамакскоЙ государственной педагогической академии по адресу: 453103, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37, ауд. 312.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СтерлитамакскоЙ государственной педагогической академии.

Автореферат разослан «27» ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Кризский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время наиболее распространённым видом утилизации радиоактивных отходов предприятий атомной промышленности и химических производств является закачка их в виде жидких растворов в глубокозалегающие подземные пласты. Поэтому чрезвычайно важной экологической задачей является прогнозирование и контроль поведения зон, охваченных воздействием вредных примесей, особенно с учётом того, что глубокозалегающие пласты обычно имеют выходы на поверхность. Указанный прогноз осуществляется, в основном, расчетным путём, так как возможности экспериментального определения размеров глубоко залегающих зон загрязнения весьма ограничены.

При закачке вредных примесей нарушается естественное температурное поле, что определяется как отличием температуры закачиваемой жидкости от пластовой, так и выделением тепла за счет радиоактивного распада и химических реакций. При этом поля концентраций примесей и температуры являются взаимосвязанными, поэтому на основе измерений температуры в контрольных скважинах, проведённых в зоне влияния закачки отходов, можно создать методы контроля над областью заражения.

Вопросы захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этом экологические проблемы подробно рассматривались многими исследователями, среди которых можно выделить Белицкого A.C., Орлову Е.И., Рыбальченко, А.И., Пименова М.К. Исследованию полей концентрации радиоактивного загрязнителя в пористых пластах посвящено большое число работ Ф.М. Бочевера, H.H. Веригина, В.М. Гольдберга.

Результаты исследования температурных полей представлены в статьях и монографиях научных школ Башкирского, Казанского, Латвийского госуниверситетов, научно-исследовательских и проектных институтов нефтегазовой промышленности, а также зарубежных ученых. В подавляющем большинстве в этих работах в основу исследований положена "схема сосредоточенной ёмкости", которая предполагает, что поле температуры в интервале пласта не зависит от вертикальной координаты. Однако в последние годы, в связи с повышением разрешающей способности термометрической аппаратуры, встал вопрос о методах расчётов температуры с учётом зависимости от вертикальной координаты.

Расчёт пространственно-временных распределений температуры в глубоко залегающих пластах сводится к решению краевых задач конвективного теплообмена в пористых средах. Соответствующие задачи обладают большим разнообразием, и решение их зачастую сопряжено со зна-

читальными трудностями. В настоящее время новые перспективы в исследовании динамики полей температур открывает использование модификации асимптотических методов, ориентированной на задачи скважин-ной термодинамики (А.И. Филиппов). Она была использована для создания теории температурных и массообмеиных процессов при закачке жидкости в пласты (О.И, Коркешко) и баротермического эффекта (Н.П. Ми-колайчук), при моделировании фильтрации газожидкостных смесей и аномальной жидкости (Е.М Девяткин, ГЛ. Хусаинова), движения жидкости по скважине (ГШ. Михайлов, О.В. Ахметова), термического воздействия на пласт на основе фильтрационно-волновых процессов (М.Р. Мин-либаев, Г.Ф. Ефимова).

Целью диссертационной работы является разработка методов расчета полей температур и концентраций радиоактивных примесей при закачке растворов, содержащих радиоактивный загрязнитель, в глубоко залегающие проницаемые пласты на основе асимптотических разложений.

Основные задачи исследования: -- анализ вклада основных физических процессов, обуславливающих динамику распространения радиоактивных примесей и температурных полей, постановка соответствующих математических задач;

• применение асимптотического метода к многослойным задачам, построение задач для коэффициентов разложения искомого решения в виде ряда по параметру;

• получение аналитических решений задач для коэффициентов разложения нулевого и первого порядков;

- проведение расчетов пространственно-временных распределений полей концентраций загрязнителя и температуры и изучение влияния различных физических параметров на эти распределения;

- сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными и результатами других исследователей.

Научная новизна:

— С помощью модификации асимптотического метода получены новые приближённые решения задач, описывающих динамику температурных полей и распространения радиоактивных примесей в проницаемых пластах с учетом их распада и осаждения на скелет.

— Найдено стационарное решение задачи о распространении плотности радиоактивного загрязнителя, установлена область применимости задачи в бездиффузионном приближении для практических расчетов.

— Получено соотношение между размерами зон очищенной воды, загрязненной радиоактивными примесями и температурных возмущений. Установлено, что при больших коэффициентах Генри размеры последней во много раз превосходят размеры зоны загрязнения и по-

этому регистрация температурных полей может быть использована для прогнозирования положения зоны радиоактивного заражения. Практическая значимость. На основе полученных решений созданы новые способы расчетов экологической безопасности природных глубоко залегающих объектов, используемых для захоронения радиоактивных отходов АЭС и промышленных предприятий. Определена зависимость положения и величины максимума температурного поля от параметров закачки, энергетической активности загрязнителя и теплофизиче-ских свойств пластов, что является важным для возможности предотвращения неблаго приятных последствий, в частности, «теплового взрыва».

Достоверность полученных результатов обоснована тем, что в основу исследований положены уравнения, выведенные из фундаментальных законов сохранения. Полученные решения в частных случаях сопоставлены с результатами других исследователей, а также удовлетворительно согласуются с результатами экспериментальных исследований, опубликованными в печати.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построенная с использованием модификации асимптотического метода математическая модель полей концентрации и температуры жидкости с радиоактивным загрязнителем, текущей по проводящему пласту, окружённому «кровлей» и «подошвой», в нулевом и первом приближениях. Обоснование утверждения, заключающегося в том, что дополнительное нелокальное интегральное условие приводит к построению в «среднем точного» асимптотического решения.

2. Аналитические выражения для расчётов полей температуры и концентрации вредных примесей при их закачке в подземные пласты, представленные в виде разложения по параметру асимптотического разложения для задач массо- и теплопроводности, содержащие слагаемые нулевого и первого порядков.

3. Результаты расчётов пространственно-временных распределений плотности и температуры загрязнителя (в частности, для стационарной задачи), которые показывают, что при отсутствии в пористом пласте естественной миграции жидкости имеются предельные размеры зоны загрязнения, определяемые периодом полураспада нуклида и темпами закачки; аналитические зависимости для размеров зон радиоактивного заражения,

- термического влияния и очищенной вода:.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак 2004 г.); V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи 2004 г.); Международной научной конференции «Математические модели в образовании, науке и промышленности» (г. Феодосия 2005 г.); региональной научно-

методической конференции ЭВТ в обучении и моделировании (г. Бирск 2005 г.); VIII Международной конференции по математическому моделированию (г. Херсон 2006 г.); региональной школе-конференции молодых учёных (г. Уфа 2006 г.); научном семинаре кафедры теоретической физики СГПЛ (научный руководитель - д. т. н., проф. А.И. Филиппов), объединенном научном семинаре кафедр прикладной физики (научный руководитель

- д. т. н., проф. J1.A. Ковалева) и геофизики БашГУ (научный руководитель

— д. т. н., чл.-корр. АН РБ РА. Валиуллин), научном семинаре кафедры математического анализа (научный руководитель - д. ф.-м. н., чл.-корр. АН РБ К.Б. Сабитов).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 научных работах, список которых приведен в конце автореферата. В работах [1] — [9] постановка задачи принадлежит профессору А.И. Филиппову. В остальном вклад авторов равный. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 104 наименования, и приложения. Рабата содержит 46 рисунков и изложена на 142 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, обоснованы научная новизна н практическая значимость результатов исследования, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приведен краткий обзор литературы. Дано описание основных физических процессов, происходящих при фильтрации жидкостей в глубокозалегающих пластах. Приведена оценка вкладов физических процессов, и на этой основе осуществлена постановка задачи о фильтрации жидкости с радиоактивными примесями в глубоко залегающих пластах.

В предположении линейной изотермы сорбции между жидкостью и скелетом получено уравнение конвективной диффузии для несжимаемой жидкости с учетом радиоактивного распада и обмена загрязнителем со скелетом

%-+/, --DApw =-apw) (1)

от +т

где pw — плотность загрязнителя, т — время, D — эффективный коэффициент диффузии в пласте, А'г- коэффициент Генри, т - пористость, а - постоянная радиоактивного распада. Уравнение (1) позволяет определить скорость конвективного переноса примесей в пористой среде v, через скорость фильтрации v'

v = -

(2)

(1 - т)Кт + т '

На рис. 1 представлена (обладающая осевой симметрией) геометрия задачи о температурном поле, возникающем при течении жидкости с радиоактивным загрязнителем в пористом пласте. В поступающей в пласт жидкости поддерживаются заданная разность температур 7^(0 между загачиваемой жидкостью и удалёнными участками пласта и концентрация примеси (при г р0(г). В общем случае температура и концентрация загрязните-

ля в пласте изменяются за счёт конвективного переноса вдоль направления г, теплопроводности и диффузии вдоль г, радиальной теплопроводности и диффузии вдоль г, за счёт наличия тепловых источников и источников концентрации; в качестве таких источников могут быть химические реакции, а также радиоактивный распад загрязнителя.

Математическая постановка задачи теплопереноса включает уравнения теплопро-Т„ р„ К,Ял водности с учётом источников> обусловленных радиоактивным распадом в покрывающем и подстилаю-г» й. а* щем пластах, а также уравнение конвективного пере-

покрываннцис породы

пористый

порам

Рис. 1. Геометрия задачи

(3)

носа с учётом радиоактивного распада и наличия источников в пласте.

При решении задачи введены следующие безразмерные координаты и безразмерные параметры:

ГЦ^-ГфКГда-Гф), г=г6/И, г = р = рё/р0.

а = К\1с\Р\1 Ь = Ол}а, К^Ь^/я, Аг = Ь2а/а, 7 = от/А2 , Ас1 = Агйг/А1. Ра = умг(м/л.

Здесь — естественная температура Земли на глубине залегания пористого пласта, Ь — энергия, выделяющаяся при радиоактивном распаде единицы массы загрязнителя.

Расчёты вкладов кондуктивной и конвективной теплопроводностей показывают, что их отношение является величиной порядка а/у, которая

для реальных процессов оказывается ~10"\ что позволяет пренебречь в уравнении теплопроводности слагаемыми, определяющими кондуктнв-

ной перенос тепла в радиальном направлении. Аналогичные рассуждения справедливы и для задачи массопереноса. Решение взаимосвязанной задачи тепломассопереноса сопряжено со значительными трудностями и даже численные методы для такой задачи оказываются громоздкими и ограниченными для практического использования, поэтому для решения задачи нами использован асимптотический метод. В температурной задаче введен параметр асимптотического разложения в путем формальной замены Хг на Хг/е, при е = 1 задача совпадает с исходной

ЭТ. 4 л

I > 0, г > 0, г>1,

Ы

=ХгА1®Р2> г>0, /->0, г<-1,

Условия сопряжения включают равенство температур и потоков тепла

дг

1—1

.1 3?;

г=]

дТ 'д2

.2 дТ2

(4)

(5)

(6)

(7)

г=-1

Исходная температура и температура удаленных зон пластов приняты за нуль Г1-о =0> Г11-о°° • Г4-Г0' (8)

= 0,

-0,

Ч

= 0.

(9)

Температура закачиваемого раствора поддерживается постоянной

71г=0=1- (1°) Отыскание температурного поля требует определения функции источников радиоактивного тепла, содержащихся в правой части уравнений (4) — (б), что приводит к необходимости решения задачи о поле плотностей, возникающем при течении жидкости с радиоактивным загрязнителем в пористом пласте. Уравнения конвективной диффузии д ля пористого пласта и диффузии для настилающего и подстилающего пластов, в пренебрежении радиальной диффузией, после обезразмеривания представляются как чз.

+ = '>0, г >0, \г\<1 ,

д1 дг г дг

др. „ д2рг

* > о, г > о, х > I,

(11) (12)

5/

-5-О;

а* ="AtPI,

Г>0, г >0, 2<-1

1=1

Ё£\ 'дг

г—1

(13)

(14)

г=-1

ри=0' Ы-0=о • Ы-о-0' <15>

Р1=0 =1' ри+сс=0' Р)!,«—Р21+|^+в=°. (16)

где по аналогии с температурной, в диффузионную задачу включён параметр 8, путем формальной замены Ог на Вг/е.

Решение задачи для температурного поля ищется в виде асимптотических формул по параметру е с остаточным членом

Т= Т^+еТ^ +...+е,17<л) +7^, 7? = +7?л), / = 1,2. (17)

Для поля концентрации загрязнителя решение ищется в виде

р=р(0)+Ф(|)+...+1У")+Р(л). р, = +ёр?> +„..+епрН+, / = \х (18) После подстановки (17) в (4) - (10) и приравнивания коэффициентов

при е°, учет условий сопряжения (7) позволяет установить, что в нулевом приближении температура загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта = , Реализована по-

следовательность преобразований, которая позволила «расцепить» исходное уравнение, содержащее коэффициенты нулевого и первого порядка 7*°* и 7*4 Окончательная постановка задачи в нулевом приближении имеет вид

8Г® , Р1вГ<0) _ Хо ы +Ъ> г Вт ~ 2

дг

—Л'

1=4

дг

г=—1,

/р(г')Л', Г>0, г>0, |г|<1, * > 0, г>0, г>1,

81

от дг

(19)

(20)

(21)

(22) (23)

= 0, = 0, 7?>\ =0.

1г+2-ШЮ 1/Ч-Ы-И-Я

Так же осуществлены постановки задач для первого коэффициента разложения и остаточного члена.

Аналогично, математическая постановка задачи (11) — (16) для нулевого коэффициента разложения представляется как

Ф(<4 Лгп<0)

&1

/ > 0, Г > 0, 2> 1,

д( г дг 2

ФУ

&

-А'

Фа

г=1

дг

г—и

Вр4°>

аг * р(0)и.рГ

П.-»

А1р

„(0)1

Я.-*

Ь=-1

р?! -о.

'г+г-и-ж

= о,р<«>

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

■г+|г|-и-со

Для первого коэффициента разложения процедура «расцепления» подобна случаю нулевого приближения. При этом вводится дополнительное

среднеинтегральное условие ~ ^ ^ = 0, приводящее к

тому, что осреднбнная по ширине несущего пласта задача для остаточного члена имеет нулевое решение. Отсюда следует, что учёт этого интегрального условия позволяет построить «в среднем точное» асимптотическое решение, справедливое при любых с. Решение этой задачи методом интегральных преобразований Лапласа - Карсона построено в пункте 3 главы II диссертации.

Во второй главе построено асимптотическое решение задачи массо-переноса, рассмотрено бездиффузионное приближение, определены границы его применения. Решена стационарная задача и на ее основе найдены выражения для предельных размеров зоны загрязнения.

Решение задачи (25) - (30) в пространстве изображений Лапласа -Карсона построено в пункте 1 главы II диссертации. Для пористого пласта оно представ имо простой зависимостью

ехр|^-

2ра

егй;

—1 -) «Р$]1-г2/(2Рд)

(31)

2 " 1

где егЛ(ж) = 1 -ег£(ж) = \е" Аи, Ф(0-функция Хевисайда. Ыя J

X

Аналогичные решения построены для нулевого и первого коэффициентов разложения в окружающих средах.

Малость параметра б = £>г]/а, являющегося отношением коэффициента диффузии к коэффициенту температуропроводности (НО"3), позволяет упростить задачу массопереноса в пренебрежении диффузионными слагаемыми. Показано, что погрешность такого бездиффузионного приближения

^-ч-^Н'-жг)

(32)

на расстояниях до О.ЭЙ^« не превышает нескольких процентов.

Решение задачи в первом приближении р = р^+ёр^ использовано для многочисленных практических расчетов, анализ которых дан в пунктах 22 и 2.5. Установлено, что учет радиоактивного распада в покрывающем и подстилающем пластах приводит лишь к незначительному (—процентов) изменению поля концентрации загрязнителя в «кровле» и «подошве».

На рис. 2 приведена зависимость плотности загрязнителя от расстояния

до оси скважины для элементов с различными периодами полураспада. Для

р.

Рис. 2. Зависимость относительной плотности р радиоактивных примесей в пористом пласте от расстояния до оси скважины для безразмерного времени ¿=100 при различных постоянных распада: /-А1 = 001, 2-0.03, 3__0.1,-#-1.Р<1= 101, 5 = 10~3

О 50 100 г

нуклидов с малым периодом полураспада плотность загрязнителя экспоненциально спадает за счет естественного распада практически до нуля еще до достижения границы загрязнения (см. кр. 4 и I), Если же период полураспада

оказывается порядка времени наблюдения, то на границе зоны загрязнения плотность отходов остаётся сравнительно большой (см. кр. 1 и 2).

Дня задачи о распространении радиоактивного загрязнителя в пункте 2.6 построено стационарное решение, являющееся чрезвычайно важным для установления максимальных размеров зоны загрязнения. В уравнениях, описывающих стационарное решение, учитывается распад в окружающих пластах. Как и в предыдущих случаях, решение ищется в виде асимптотических рядов по £. Нулевое приближение для стационарной задачи

р<°> = ехр£- ^2А<1 + 7X^1 + (33)

позволило установить, что предельные размеры зоны загрязнения растут с увеличением темпа закачки и зависят от периода полураспада нуклида. На рис. 3 в качестве примера приведены пространственные распределения плотности радиоактивных примесей в стационарном случае.

Рс"

50

150

Рис. 3. Зависимость плотности радиоактивных примесей в пористом пласте для стационарного случая (нулевое приближение) от расстояния до скважины при различных постоянных распада: ;-А1 = 0.01,2-0.1,3-1. Другие расчётные параметры Рс1= 10г,

5-10"4, Ц2 =1

В третьей главе на основе полученных в главе II результатов для полей концентрации загрязнителя на основе преобразований Лапласа — Кар-сона построены решения температурных краевых задач для нулевого и первого коэффициентов асимптотического разложения. Построенное решение позволило определить приближённое аналитическое выражение для размеров зоны термического возмущения. Осуществлены расчеты температурных полей, сопутствующих закачке радиоактивных изотопов, и дан их анализ.

Найденные решения позволили получить формулы для расчетов температурных полей. Например, в нулевом приближении для случая стационарного поля плотности примесей, расчетная формула для температуры пористого пласта принимает вид (при этом поле температур стационарным не является)

7<0>=егГс

4}+

Л 2хН

14

: [р(°)(г')егГс

8Хо^/-(Г2-Г'2У(2Х'0Р1)

/'2 1г'<К

л ^ J

Аналогичное выражение построено для случая нестационарного поля концентрации загрязнителя.

На рис. 4 приведены зависимости нулевого приближения температурного поля в пористом пласте от радиальной координаты. Даже для среднеактивных отходов на некотором расстоянии от скважины наблюдается максимум температурного поля, что объясняется нагревом пласта за счёт энергии, выделяющейся при радиоактивном распаде.

! Рис. 4. Зависимость температуры в

нулевом приближении в пористом пласте от расстояния до оси скважины для безразмерного времени /=0.3. Графики построены для постоянной распада А1 =0.3 и различных значений &: I —0 — 50, 2 —30, 3— 10, 4 Другие расчетные параметры: б = 0.001,

Л?=1 , Ха-1. хо = 2,Л*г = 20,/к = 0.4, Р1 - 10г

Анализ полученного решения показывает, что при распространении загрязнителя возникает несколько фронтов, определяемых различными физическими процессами: Лт - тепловой, обусловленный теплообменом и конвективным переносом тепла, Др — диффузионный, определяемый диффузией и конвективным переносом радиоактивного изотопа, и И^ — конвективный, соответствующий размерам зоны, занятой растворителем. Таким образом, отличительная особенность предлагаемой модели заключается в том, что она позволяет сопоставить размеры зон теплового, химического и гидродинамического влияния.

На рис. 5 приведено сравнение теоретических результатов (сплошные линии) и экспериментальных данных (из кн. Рыбальченко А.И. и др. Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов. — М.: ИздАТ, 1994; пунктирные линии).

Рис. 5. Сопоставление зависимости плотности радиоактивных нуклидов от интенсивности закачки на расстоянии 200 м от оси скважины для момента времени / = 5 лет, Г-объёмный расход

Полученное решение (34) содержит функцию Хевисайда, что позволяет определить радиус зоны термического влияния закачиваемой жидкости Лт = ^с1р*1л/'огох I соРо • Положение конвективного фронта при закачке жидкости в пласт через скважину радиуса Гц с постоянной скоростью фильтрации у'0 для достаточно больших времен т имеет вид

= . Радиус зоны радиоактивного заражения определяется вы-

ражением Яр= ^2у0г0т .

Согласно (2), поскольку постоянная равновесия Генри Кт для загрязнителя в скелете пласта отлична от нуля, то фронт радиоактивного заражения отстает от фронта закачиваемой жидкости. Образуется кольцевая зона очищенной от радиоактивных примесей закачиваемой жидкости Др <г <Ячп размеры которой растут пропорционально корню из времени закачки. При использовании для закачки горизонтов с высокими значениями постоянной равновесия Генри уменьшаются размеры зараженной зоны, поскольку увеличиваются размеры кольцевой зоны с очищенной водой. Такие горизонты могут служить естественными фильтрами радиоактивных и химических примесей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

На основе уравнения конвективной диффузии для несжимаемой жидкости с учетом радиоактивного распада и обмена загрязнителя со скелетом, осуществлена постановка термодиффузионной задачи о взаимосвязанных полях концентрации и температуры в глубокозалегающих горизонтах, возникающих при закачке в пористый пласт растворенных радиоактивных веществ. С использованием параметра асимптотического разложения температурная и диффузионная задачи представлены в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основе осуществлена постановка краевой задачи смешанного типа со следами производных из внешних областей для нулевого и первого коэффициентов разложения и остаточного члена.

' * "Бг, Г.-ЗО лет

100

200 К(м'/еут)

При построении решения задачи для первого коэффициента использовано нелокальное граничное условие, заключающееся в том, что средние значения температуры и плотности примесей по толщине пласта на оси скважины равны нулю. Показано, что использование такого условия обеспечивает построение «в среднем точного» асимптотического решения, означающего, что при этом решение осредиённой по высоте пласта задачи для остаточного члена является тривиальным.

В нулевом и первом приближениях решена задача о температурном поле, вызванном закачкой радиоактивного раствора в глубокозалегающие пласты. На основании полученного решения установлены расчетные формулы для попей температуры, вызванных энергией распада и различием температур пласта и закачиваемой жидкости. В частности, построена зависимость температуры от пространственных координат r,z и времени t для стационарного распределения плотности радиоактивных примесей, имеющее важное значение для описания полей короткоживущих изотопов.

Показано, что для относительно малых времен для практических расчетов с высокой точностью может быть использовано так называемое «бездиффузионное» приближение, при построении которого вклад конвекции предполагается преобладающим. Погрешность данного приближения на расстояниях до 0,9Ад не превышает нескольких процентов и лишь для значительных времён т~300 лет на расстояниях бйльших 0,7^ становится существенной. Причём данные результаты не зависят от среднего времени жизни нуклида.

На основании найденных выражений для положения конвективного, диффузионного и температурного фронтов установлено, что температурный фронт как минимум в несколько раз превышает размер диффузионного, соответствующего радиусу зоны радиоактивного заражения, и при этом значительно отстает от конвективного, соответствующего размерам области закачанной жидкости, что приводит к образованию зоны очищенной от загрязнителя воды. Замечательно, что размеры этой зоны растут с увеличением коэффициента Генри, что может служить ориентиром для выбора объектов при захоронении радиоизотопов, удовлетворяющих более высоким экологическим требованиям.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Михайлнченко И.Н. н др. Попе концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайлнченко // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (16-18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак). -Уфа: Гилем, 2004. С, 89-97.

2. Михайлнченко И.Н. и др. Температурные поля при закачке водных растворов радиоактивных примесей в подземные горизонты / Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайлнченко И.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийского симпо-

зиума по прикладной и промышленной математике. — М., 2004. — Т. 11,—

B.З.-С. 596-597.

3. Мнхайличенко И.Н. и др. Попе концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегаюгцие пласты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Мнхайличенко // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. — М., 2004. — Т. 11, — В.З. —

C. 595-596.

4. Мнхайличенко И.Н. и др. Оценка погрешности бездиффузионного приближения в задачах тепломассопереноса / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Мнхайличенко // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. — СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2005. - С.101 - 105.

5. Мнхайличенко И.Н. Способ расчета концентрации загрязнителя при захоронении растворенных веществ / И.Н. Мнхайличенко // ЭВТ в обучении и моделировании. Труды IV Региональной научно — методической конференции. (16 — 17 декабря 2005 г., г. Бирск). — Бирск: изд-во БГСПА, 2005. — С. 294-303.

6. Мнхайличенко И.Н. и др. Определение зоны заражения при подземном захоронении растворённых радиоактивных вешесть / А.И, Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Мнхайличенко // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(25). — Херсон: ХНТУ, 2006. — С. 508-512.

7. Мнхайличенко И.Н. и др. Расчет палей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, А. Г. Круп и нов, И.Н. Мнхайличенко // Экологические системы и приборы.-2006.-Ха5. ~C.11-35.

8. Мнхайличенко И.Н. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / ДА. Гюнтер, И.Н. Мнхайличенко // Региональная школа — конференция молодых учёных: тезисы докладов. — Уфа: Гилем, 2006. — С. 44—45.

9. Мнхайличенко И.Н. Погранслойное решение в задаче о закачке радиоактивных примесей в пористый пласт/ Е.М. Девяткин, И.Н. Мнхайличенко // VI Региональная школа — конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. Тезисы докладов. — Уфа: РИО БашГУ, 2006. - С. 141-142.

Подписано в печать.....

Гарнитура «Тайме». Бумага ксероксная. Формат 60х801Дб. Печать оперативная. Усл.-печ. л. 1. Заказ № 311/04. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии Стерл итамакской государственной педагогической академии: 453103, Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ С РАДИОАКТИВНЫМ . ЗАГРЯЗНИТЕЛЕМ В ГЛУБОКО ЗАЛЕГАЮЩИХ ПЛАСТАХ.

1.1. Некоторые аспекты развития методов расчётов температурных и концентрационных полей в пластах.

1.2. Основные физические процессы при фильтрации жидкости в глубоко залегающих-пластах.

1.3. Уравнение конвективной диффузии с учетом радиоактивного распада и обмена жидкости со скелетом.

1.4. Задача теплопереноса.

1.4.1. Математическая постановка задачи теплопереноса и её обезразмеривание.

1.4.1. Разложение задачи теплопереноса по асимптотическому параметру.

1.4.3. Математическая постановка задачи теплопереноса в нулевом приближении.

1.4.4. Постановка задачи теплопереноса в первом приближении.

1.5. Задача массопереноса.

1.5.1. Математическая постановка задачи массопереноса и её обезразмеривание.

1.5.2. Разложение задачи массопереноса по асимптотическому параметру.

1.5.3. Математическая постановка задачи массопереноса в нулевом приближении.

1.5.4. Математическая постановка задачи массообмена в первом приближении.

1.5.5. Дополнительное интегральное условие для первого приближения.

1.6. Выводы.

ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАССОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ И

ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ, СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ.

2.1 Решение задачи массопереноса в нулевом приближении.

2.2. Анализ результатов расчетов в нулевом приближении.

2.3. Бездиффузионное приближение в задаче массообмена.

2.4. Решение задачи массообмена в первом приближении.

2.5. Анализ результатов расчетов в первом приближении.

2.6. Стационарное решение задачи массопереноса в нулевом и первом приближении.

2.7. Анализ результатов расчёта стационарной задачи.

2.8. Выводы.

ГЛАВА III. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В НУЛЕВОМ И

ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИЯХ.

3.1. Нулевое приближение.

3.2. Переход в пространство оригиналов для нулевого представления плотности загрязнителя.

3.3. Анализ результатов расчетов по нулевому приближению.

3.4. Решение задачи теплообмена в пространстве изображений в первом приближении.

3.5. Сопоставление радиусов зон химического и теплового возмущений.

3.6. Выводы.

Актуальность проблемы. В настоящее время наиболее распространённым видом утилизации радиоактивных отходов предприятий атомной промышленности и химических производств является закачка их в виде жидких растворов в глубокозалегающие подземные пласты. Поэтому чрезвычайно важной экологической задачей является прогнозирование и контроль поведения зон, охваченных воздействием вредных примесей, особенно с учётом того, что глубокозалегающие пласты обычно имеют выходы на поверхность. Указанный прогноз осуществляется, в основном, расчётным путём, так как возможности экспериментального определения размеров глубоко залегающих зон загрязнения весьма ограничены.

При закачке вредных примесей нарушается естественное температурное поле, что определяется как отличием температуры закачиваемой жидкости от пластовой, так и выделением тепла за счет радиоактивного распада и химических реакций. При этом поля концентраций примесей и температуры являются взаимосвязанными, поэтому на основе измерений температуры в контрольных скважинах, проведённых в зоне влияния закачки отходов, можно создать методы контроля за зоной заражения.

Вопросы захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях и возникающие при этом экологические проблемы подробно рассматривались многими исследователями, среди которых можно выделить Белицкого A.C., Орлову Е.И. [5], Рыбальченко, А.И., Пименова М.К. [64]. Исследованию полей концентрации радиоактивного загрязнителя в пористых пластах посвящено большое число работ Ф.М. Бочевера, H.H. Веригина, В.М. Гольдберга.

Результаты исследования температурных полей представлены в статьях и монографиях научных школ Башкирского, Казанского, Латвийского госуниверситетов, научно-исследовательских и проектных институтов нефтегазовой промышленности, а также зарубежных ученых. В подавляющем большинстве в этих работах в основу исследований положена "схема сосредоточенной ёмкости", которая предполагает, что поле температуры в интервале пласта не зависит от вертикальной координаты. Однако в последние годы, в связи с повышением разрешающей способности термометрической аппаратуры, встал вопрос о методах расчётов температуры с учётом зависимости от вертикальной координаты.

Расчёт пространственно-временных распределений концентрации вредных примесей в глубоко залегающих пластах сводится к решению краевых задач конвективной диффузии в пористых средах. Соответствующие задачи обладают большим разнообразием, и решение их зачастую сопряжено со значительными трудностями. В настоящее время новые перспективы в исследовании динамики полей температур открывает использование модификации асимптотических методов, ориентированной на задачи скважинной термодинамики (А.И. Филиппов). Она была использована для создания теории температурных и массообменных процессов при закачке жидкости в пласты (О.И. Коркешко) и баротермического эффекта (Н.П. Миколайчук), при моделировании фильтрации газожидкостных смесей и аномальной жидкости (Е.М Девяткин, Т.Я. Хусаино-ва), движения жидкости по скважине (П.Н. Михайлов, О.В. Ахметова), термического воздействия на пласт на основе фильтрационно-волновых процессов (М.Р. Минлибаев, Г.Ф. Ефимова).

Целью диссертационной работы является разработка методов расчёта полей температур и концентраций радиоактивных примесей при закачке растворов, содержащих радиоактивный загрязнитель, в глубоко залегающие проницаемые пласты на основе асимптотических разложений.

Основные задачи исследования: - анализ вклада основных физических процессов, обуславливающих динамику распространения радиоактивных примесей и температурных полей, постановка соответствующих математических задач;

- применение асимптотического метода к многослойным задачам, построение задач для коэффициентов разложения искомого решения в виде ряда по параметру;

- получение аналитических решений задач для коэффициентов разложения нулевого и первого порядков;

- проведение расчетов пространственно-временных распределений полей концентраций загрязнителя и температуры и изучение влияния различных физических параметров на эти распределения;

- сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными и результатами других исследователей.

Научная новизна:

- С помощью модификации асимптотического метода получены новые приближённые решения задач, описывающих динамику температурных полей и распространения радиоактивных примесей в проницаемых пластах с учетом их распада и осаждения на скелет.

- Найдено стационарное решение задачи о распространении плотности радиоактивного загрязнителя, установлена область применимости задачи в бездиффузионном приближении для расчетов полей в реальных условиях.

- Получено соотношение между размерами зон очищенной воды, загрязненной радиоактивными примесями и температурных возмущений. Установлено, что при больших коэффициентах Генри размеры последней во много раз превосходят размеры зоны загрязнения и поэтому регистрация температурных полей может быть использована для прогнозирования положения зоны радиоактивного заражения.

Практическая значимость. На основе полученных решений созданы новые способы расчётов экологической безопасности природных глубоко залегающих объектов, используемых для захоронения радиоактивных отходов АЭС и промышленных предприятий. Определена зависимость величины и положения максимума температурного поля от параметров закачки, энергетической активности загрязнителя и теплофизических свойств пластов, что очень важно для предотвращения неблагоприятных последствий, в частности, «теплового взрыва».

Достоверность полученных результатов обоснована тем, что в основу исследований положены уравнения, выведенные из фундаментальных законов сохранения. Полученные решения в частных случаях сопоставлены с результатами других исследователей, а также удовлетворительно согласуются с результатами экспериментальных исследований, опубликованными в печати.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построенная с использованием модификации асимптотического метода математическая модель температурного поля жидкости с радиоактивным загрязнителем, текущей по проводящему пласту, окружённому «кровлей» и «подошвой», в нулевом и первом приближениях. Обоснование утверждения, заключающегося в том, что дополнительное нелокальное интегральное условие приводит к построению в «среднем точного» асимптотического решения.

2. Аналитические выражения для расчётов полей температуры и концентрации вредных примесей при их закачке в подземные пласты, представленные в виде разложения по параметру асимптотического разложения для задач массо-и теплопроводности, содержащие слагаемые нулевого и первого порядков.

3. Результаты расчётов пространственно-временных распределений плотности и температуры загрязнителя (в частности, с помощью стационарного решения), которые показывают, что при отсутствии в пористом пласте естественной миграции жидкости имеются предельные размеры зоны загрязнения, определяемые периодом полураспада нуклида и темпами закачки; аналитические зависимости для размеров зон радиоактивного заражения, термического влияния и очищенной воды.

Краткая характеристика содержания работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, обоснованы научная новизна и практическая значимость результатов исследования.

В первой главе приведен краткий обзор литературы. Произведено описание основных физических процессов, происходящих при фильтрации жидкостей в глубокозалегающих пластах, проведена оценка вкладов этих физических процессов, и на этой основе осуществлена постановка задачи о фильтрации жидкости с радиоактивными примесями в глубоко залегающих пластах.

Выписаны уравнения, определяющие изменение температурного поля. Произведено обезразмеривание задачи о распространении поля температур. Произведена оценка вклада радиальной температуропроводности в процессы теплопереноса, и сделан вывод о возможности пренебрежения соответствующими составляющими в уравнении теплопереноса. Введён параметр асимптотического разложения, определена математическая постановка задачи для нулевого и первого приближений. Сделан вывод о необходимости первоначального решения задачи, определяющей зависимость плотности загрязнителя от времени и координат.

Выписаны уравнения массопереноса для радиоактивного загрязнителя. Произведено их обезразмеривание. Обоснована возможность пренебрежения слагаемыми, определяющими радиальную диффузию (в сравнении с конвективным переносом загрязнителя). Произведено асимптотическое разложение массопереносной задачи. Записана математическая постановка задачи в нулевом и первом приближениях.

Во второй главе решена задача массопереноса в нулевом и первом приближениях. Обоснована возможность пренебрежения радиоактивным распадом в «кровле» и «подошве». Рассмотрено бездиффузионное приближение, оценены границы его применимости. Найдено стационарное решение, определены максимальные размеры зоны заражения. Обосновано введение среднеинтегрально-го условия для первого коэффициента разложения.

Третья глава посвящена решению задачи теплообмена в нулевом и первом приближении. При этом, как и во второй главе, использован метод интегральных преобразований Лапласа-Карсона. Построено решение в нулевом приближении, показано, что оно определяется только нулевым приближением поля загрязнителя. Проанализированы полученные решения. Для первого коэффициента разложения получено решение в пространстве изображений. Рассмотрены и сопоставлены радиусы зон химического и теплового влияния, найдены соотношения, определяющие относительные размеры этих зон. Построен алгоритм получения решения любого требуемого приближения. В заключении подводены итоги проведенного исследования. В процессе выполнения работы широко использованы асимптотические методы, методы интегральных преобразований Лапласа - Карсона. Численные расчеты тепловых полей осуществлены с помощью программного пакета MathCAD. Графические иллюстрации выполнены с использованием программы CorelDraw.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 научных работах. Постановка задачи в работах принадлежит профессору Филиппову А.И. В остальном вклад авторов равный. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.

1. Михайличенко, И.Н. и др. Поле концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (16 -18 сентября 2004 г., г. Стерлитамак). - Уфа: Гилем, 2004. С. 89 - 97.

2. Михайличенко, И.Н. и др. Температурные поля при закачке водных растворов радиоактивных примесей в подземные горизонты / Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н. // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. - М., 2004. - Т. 11,-В.З.-С. 596-597.

3. Михайличенко, И.Н. и др. Поле концентрации при закачке водных растворов радиоактивных примесей в глубокозалегающие пласты / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов V Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. - М., 2004. - Т. 11,

B.З.-С. 595-596.

4. Михайличенко, И.Н. и др. Оценка погрешности бездиффузионного приближения в задачах тепломассопереноса / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. трудов. - СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАЛ ВШ, 2005.-С. 101-105.

5. Михайличенко, И.Н. Способ расчёта концентрации загрязнителя при захо- í ронении растворённых веществ / И.Н. Михайличенко // ЭВТ в обучении и моделировании. Труды IV Региональной научно - методической конференции. (16 - 17 декабря 2005 г., г. Бирск). - Бирск: изд-во БГСПА, 2005.

C. 294-303.

6. Михайличенко, И.Н. и др. Определение зоны заражения при подземном захоронении растворённых радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, И.Н. Михайличенко // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(25). - Херсон: ХНТУ, 2006. - С. 508 -512.

7. Михайличенко, И.Н. и др. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / А.И. Филиппов, П.Н. Михайлов, А.Г. Крупинов, И.Н. Михайличенко // Экологические системы и приборы. - 2006. - №5. - С. 27 - 35.

8. Михайличенко, И.Н. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ / Д.А. Гюнтер, И.Н. Михайличенко // Региональная школа - конференция молодых учёных: тезисы докладов. - Уфа: Гилем, 2006. - С. 44 - 45.

9. Михайличенко, И.Н, Погранслойное решение в задаче о закачке радиоактивных примесей в пористый пласт/ Е.М Девяткин, И.Н. Михайличенко // VI Региональная школа - конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных по математике, физике и химии. Тезисы докладов. - Уфа: РИО БашГУ, 2006. - С. 141-142.

Автор выражает сердечную признательность своим научным руководителям -Филиппову Александру Ивановичу и Михайлову Павлу Никоновичу за ценные научные обсуждения и дружескую поддержку в работе.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ а - коэффициент температуропроводности, м2/с;

- удельные теплоёмкости пластов, Дж/(кг-К); £>1г, И2г - коэффициенты диффузии в вертикальном и радиальном Д., £>1г, 232г, направлениях,м2/с; к - полувысота пористого пласта, м; к - коэффициент проницаемости, м2;

Ь - удельная теплота радиоактивного распада, Дж/кг; т - пористость; г0 - радиус скважины закачки, м;

К.р - положение фронта загрязнения, м;

Яу, - положение фронта закачиваемой жидкости, м;

Дт - положение фронта термического влияния, м;

ТА, 7^1, Та - температура носителя (загрязнителя) в различных пластах, К;

С0'Р0 ~ удельная теплоёмкость и плотность пористого пласта, о

Дж/(кг-К), кг/м ; v - скорость конвективного переноса примесей, м/с; у' - скорость фильтрации жидкости, м/с; у - истинная скорость движения жидкости, м/с; а - постоянная радиоактивного распада, с"1;. ц - вязкость несущей жидкости, Па с; л,3, - химические потенциалы примесей в скелете и жидкости р0 - плотность загрязнителя в скважине;

Р5, р№ - плотность загрязнителя в скелете и жидкости, кг/м3;

Ры> ?2й ~ плотность пластов, кг/м3; рс1, ры, р2с}- плотность загрязнителя в пластах, кг/м3; г - время, с;

Хг,Хг1,Хг2- коэффициенты теплопроводности в радиальном направлении, Вт/(м-К);

Х2Д21Д22- коэффициенты теплопроводности в вертикальном направлении, Вт/(м-К).

3.6. Выводы

В нулевом и первом приближениях решена задача о температурном поле, вызванном закачкой радиоактивного раствора в глубокозалегающие пласты. На основании полученного решения установлены расчетные формулы для полей температуры, вызванных энергией распада и различием температур пласта и закачиваемой жидкости. В частности, построена зависимость температуры от пространственных координат г, г и времени I для стационарного распределения плотности радиоактивных примесей, имеющее важное значение для описания полей короткоживущих изотопов.

На основании найденных выражений для положения конвективного, диффузионного и температурного фронтов установлено, температурный фронт как минимум в несколько раз превышает размер диффузионного, соответствующего радиусу зоны радиоактивного заражения. Поскольку температурный фронт значительно отстает от конвективного, соответствующего размерам области закачанной жидкости, то образуется зона очищенной от загрязнителя воды, причем размеры этой зоны растут с увеличением коэффициента Генри, что может служить ориентиром для выбора объектов при захоронении радиоизотопов, удовлетворяющих более высоким экологическим требованиям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе, на основе уравнения конвективной диффузии для несжимаемой жидкости с учетом радиоактивного распада и обмена загрязнителя со скелетом, осуществлена постановка термодиффузионной задачи о взаимосвязанных полях концентрации и температуры в глубокозалегающих горизонтах, возникающих при закачке в пористый пласт растворенных радиоактивных веществ. С использованием параметра асимптотического разложения температурная и диффузионная задачи представлены в виде бесконечной последовательности краевых задач для коэффициентов разложения искомого решения в асимптотический ряд. Произведено «расцепление» соответствующей цепочки уравнений и на этой основе осуществлена постановка краевых задач смешанного типа со следами производных из внешних областей для нулевого и первого коэффициентов разложения и остаточного члена.

При построении решения задачи для первого коэффициента использовано нелокальное граничное условие, заключающееся в том, что средние значения температуры и плотности примесей по толщине пласта на оси скважины равны нулю. Показано, что использование такого условия обеспечивает построение «в среднем точного» асимптотического решения, означающего, что при этом среднее по высоте пласта значение остаточного члена равно нулю.

Построенные решения для полей концентрации загрязнителя в нулевом и первом приближениях свидетельствуют о наличии погранслоев на малых расстояниях от оси скважины и малых времен, откуда возникает задача построения погранслойных функций. Решение стационарной задачи позволило установить соотношения для предельных размеров зоны заражения.

В нулевом и первом приближениях решена задача о температурном поле, вызванном закачкой радиоактивного раствора в глубокозалегающие пласты. На основании полученного решения установлены расчетные формулы для полей температуры, вызванных энергией распада и различием температур пласта и закачиваемой жидкости. В частности, построена зависимость температуры от пространственных координат г, г и времени / для стационарного распределения плотности радиоактивных примесей, имеющее важное значение для описания полей короткоживущих изотопов.

На основании расчетов показано, что в большинстве практических случаев влиянием радиоактивного распада в окружающих пластах на плотность радиоактивных примесей в пласте и инициируемым этим распадом тепловым эффектом можно пренебречь. В то же время вклад диффузионных процессов обмена с окружающими пластами является преобладающим на диффузионном фронте, что объясняется большими градиентами концентрации и значительными временами закачки.

Показано, что для относительно малых времен с высокой точностью для практических расчетов может быть использовано так называемое «бездиффузионное» приближение, при построении которого вклад конвекции предполагается преобладающим. Определены границы применимости этого приближения для расчетов температурных полей.

На основании найденных выражений для положения конвективного, диффузионного и температурного фронтов установлено, температурный фронт как минимум в несколько раз превышает размер диффузионного, соответствующего радиусу зоны радиоактивного заражения. Поскольку температурный фронт значительно отстает от конвективного, соответствующего размерам области закачанной жидкости, то образуется зона очищенной от загрязнителя воды. Замечательно, что размеры этой зоны растут с увеличением коэффициента Генри, что может служить ориентиром для выбора объектов при захоронении радиоизотопов, удовлетворяющих более высоким экологическим требованиям.

1. Авдонин H.A. О некоторых формулах для расчёта температурного поля пласта при тепловой инжекции // Изв. вузов. Нефть и газ. - 1964. - № 3. -С.32-39.

2. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.- М.: Наука, 1984 384 с.

3. Бармин A.A., Гарагаш Д.И. О фильтрации раствора в пористой среде с учётом адсорбции примеси на скелет // Механика жидкости и газа. 1994. -№ 4. - С.97-110.

4. Бартман А.Б., Перельман Т.П. Новый асимптотический метод в аналитической теории переноса. Под ред. д. физ-мат. наук С. И. Анисимова-Минск: Наука и техника, 1975. 271 с.

5. Белицкий A.C., Орлова Е.И. Охрана поземных вод от радиоактивных загрязнений. М., Медицина, 1969. - 209 с.

6. Бондарев Э.А., Николаевский В.Н. Конвективная диффузия в пористых средах с учётом явления адсорбции // ПМТФ. 1962. - № 5. - С.128-134.

7. Бочевер Ф.М., Лапшин H.H., Орадовская А.Е. Защита подземных вод от загрязнения М.: Недра, 1979 - 254 с.

8. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.- 757 с.

9. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. Перевод с англ. М.: Мир, 1967. - 426 с.

10. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. - 720 с.

11. Венецианов Е.В., Рубинштейн Р.Н. Динамика сорбции из жидких сред. М.: Наука, 1983- 237 с.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.-512 с.

13. Волков И. К. О некоторых формулах для расчёта температурного поля пласта при нагнетании в него воды с учётом дроссельного эффекта (плоскопараллельная фильтрация) // Вопросы экспериментальной геотермологии: Сб. / КГУ. Казань, 1973.-С. 3-9.

14. Герасимов Я.И. Курс физической химии. М.: Химия, 1970 - 592 с.

15. Гидрогеологические исследования для захоронения промышленных сточных вод в глубокие водоносные горизонты. М., Недра, 1976. - 325 с.

16. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.-416 с.

17. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978.-304 с.

18. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. -М.: Наука, 1963. 426 с.

19. Гюнтер Д.А., Михайличенко И.Н. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ // Региональная школа конференция молодых учёных: тезисы докладов. - Уфа: Гилем, 2006, С. 44-45.

20. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. - 382 с.

21. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975. - 383 с.

22. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965 - 465 с.

23. Зельдович Я.Б. Химическая физика и гидродинамика. М.: Наука, 1980.-479 с.

24. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. -М.: Наука, 1973.-352 с.

25. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1979- 288 с.

26. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964.-488 с.

27. Кедровский О.Л., Рыбальченко А.И., Пименов М.К. и др. Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов в пористые геологические формации // Атомная энергия 1991. - Т. 70. - вып.5. - С.42 - 49.

28. Коркешко О.И. Применение асимптотических методов для решения задач тепло- и массопереноса: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Стерлитамак, 2000. -158 с.

29. Коркешко О.И., Костомаров Ю.В. Новые подходы к экологическим задачам конвективной диффузии в сложных средах // 1 науч. конф. молодых учёных-физиков республики Башкортостан 21-23 ноября 1994 г.: Тез. докл. -Уфа: Баш. гос. ун-т, 1995- С. 17.

30. Коркешко О.И., Котельников В.А., Тарасов А.Г. Обратные задачи конвективной диффузии // 1 науч. конф. молодых учёных-физиков республики Башкортостан 21-23 ноября 1994 г.: Тез. докл. Уфа: Баш. гос. ун-т, 1995 - С. 16.

31. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. - 632 с.

32. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. - 342 с.

33. Кэйс В.М. Конвективный тепло- и массообмен. М.: Энергия, 1972. -364 с.

34. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостех-издат, 1954.-795 с.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. 5: Гидродинамика. -М.: Наука, 1988 736 с.

36. Лебедев A.B. Оценка баланса подземных вод. М., Недра, 1989,178 с.

37. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.-Л.: Физ-матгиз, 1963.-358 с.

38. Лукнер Л., Шестаков В.М. Моделирование миграции подземных вод. -М., Недра, 1986,-209 с.

39. Лялько В.И., Митник М.М. Исследование процессов переноса тепла и вещества в земной коре. Киев, Наукова думка, 1972. - 234 с.

40. Малофеев Г.Е., Толстов Л.А. и Шейнман А.Б. Исследование распространения тепла в пласте при радиальном течении горячей жидкости // Нефтяное хозяйство. 1966. - № 8. - С.57 - 69.

41. Мартыненко О.Г., Березовский A.A., Соковишин Ю.А. Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена. Минск: Наука и техника, 1979. - 325 с.

42. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. Теплообмен смешанной конвекцией. Минск: Наука и техника, 1975. - 263 с.

43. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: МГУ, 1965.-553 с.

44. Математический энциклопедический словарь. М.: Большая Российская энциклопедия, 1995- 847 с.

45. Мироненко В.А. Динамика подземных вод. М., Недра, 1983. - 422 с.

46. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.- 424 с.

47. Мошинский А. И. Граничное условие "Тепловая ёмкость" как предельное соотношение // ИФЖ. 1991. - Т. 61. - № 3. - С. 458.

48. Мошинский А. И. О граничных условиях типа тепловой ёмкости в задачах теплообмена // ТВТ. 1989. - Т. 27. - № 4. - С. 708.

49. Мошинский А. И. Об уточнении условия типа "Тепловая ёмкость", применяемого в задачах тепломассопереноса // ТВТ. 1997. - Т. 35. - № 1. - С. 160-162.

50. Найфэ А. X. Методы возмущений. Перевод с англ. М.: Мир, 1976.426 с.

51. Наумов Г.Б., Рыженко Б.Н., Ходарковский И.Л. Справочник термодинамических величин. М., Атомиздат, 1971. - 432 с.

52. Нигматулин Р.И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей // ПММ. 1970. - Т.34. - №6. - С. 1097-1112.

53. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.-336 с.

54. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978 - 320 с.

55. Николаевский В.Н. Конвективная диффузия в пористых средах // ПММ. 1959. - Т. 23. -№ 6. - С. 1042-1050.

56. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970 - 336 с.

57. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984.-232 с.

58. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1985. - Т. 2 - 560 с.

59. Пудовкин М.А. Теоретические расчёты поля температур пласта при нагнетании в него воды // Вопросы усовершенствования разработки нефтяных месторождений Татарии: Сб. КГУ. Казань, 1962. - С.62 - 67.

60. Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах М.: Недра, 1971.-387 с.

61. Рыбальченко А.И., Пименов М.К., Костин П.П. и др. Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов. М.: ИздАТ, 1994. - 256 с.

62. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной- М.: Наука, 1967 304 с.

63. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике М.: Недра, 1978.-216 с.

64. Седов Л.И. Механика сплошной среды М.: Наука, 1994. Т. 1,2.

65. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного- М.: Наука, 1982.-488 с.

66. Смирнов В.И. Курс высшей математики М.: Наука, 1967. Т. 1. - 480 с.

67. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1972.-376 с.

68. Филиппов А.И. Методические указания по спецкурсу "Гидродинамика".-Уфа, 1992.-82 с.

69. Филиппов А.И., Коркешко О.И. Исследование пространственно-временных распределений концентрации веществ на основе "схемы сосредоточенной ёмкости" // ИФЖ. 1997. Т. 70. - № 2. - С. 205-210.

70. Филиппов А.И., Коркешко О.И. Применение "схемы сосредоточенной ёмкости" к экологическим задачам конвективной диффузии // Прикладная физика и геофизика: Межвуз. сб. науч. тр.- Уфа: Баш. гос. ун-т, 1995 С. 124— 130.

71. Филиппов А.И., Коркешко О.И., Чиганов П.А. Моделирование процессов диффузии вредных примесей в глубокозалегающих пластах на основе метода малого параметра // Физическая экология (Физические проблемы экологии).-М.: МГУ, 1999.-№5.-С. 153-161.

72. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Ахметова О.В. Радиальное распределение температурных полей в скважине // Нефть и газ Западной Сибири. Материалы международной научно-технической конференции. Т. 1- Тюмень. 2005.-С. 90-91.

73. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н. Определение зоны заражения при подземном захоронении растворённых радиоактивных веществ // Вестник Херсонского национального технического университета. Вып. 2(25). Херсон: ХНТУ, 2006. - С. 508-512.

74. Филиппов А.И., Михайлов П.Н., Михайличенко И.Н., Крупинов А.Г. Расчет полей концентрации при подземном захоронении растворенных радиоактивных веществ // Экологические системы и приборы, 2006. №5. - С. 27-35

75. Филиппов А. И., Фридман А. А., Девяткин Е. М. Баротермический эффект при фильтрации газированной жидкости: Монография. Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. ин-т; Стерлитамакский филиал Академии наук Республики Башкортостан, 2000. - 175с.

76. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике М.: Наука, 1967. - 328 с.

77. Чарный И. А. Подземная гидродинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. -396 с.

78. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкости через пористые среды. Пер. с англ.- М.: Гостоптехиздат, 1960. 249 с.

79. Эрдейи А. Асимптотические разложения. Перевод с англ.- М.: Физ-матгиз, 1962.-382 с.

80. Bachmat Y and Bear J. Mathematical formulation of transport phenomena in porous media. Proc. Int. Symp. of IAHR on the Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, Guelph, Canada, 1972. P. 174-197.

81. Bear J. a. o. Flow through porous media. New York London: Academic Press, 1969.

82. Bear J. Dynamics of fluids in porous media. New York: American Elsevier publ. со., 1967. 764 pp.

83. Bear J. Hydraulics of groundwater. New York etc.: McGraw-Hill intern, book со., cop. 1979. XIII, 567 pp.

84. Bear J., Bachmat Y. Introduction to modeling of transport phenomena in porous media. Dordrecht et al.: Kluwer, 1990. 533 pp.

85. Brooks R.H. and Corey A.T. Properties of porous media affecting fluid flow. Proc. Am. Soc. civ. Engrs, 92 (IR2), 61-87,1966.

86. Filippov A.I., Korkeshko O.I., and Chiganov P.A. The use of a small parameter method to solve problems of convective diffusion // Russ. J. Eng. Thermo-phys., 1999, Vol. 9, No. 3, P. 161-182.

87. Gershon N.D. and Nir A. Effects of boundary conditions of models on tracer distribution in flow through porous mediums. Wat. Resour. Res., 5 (4), 830— 839,1969.

88. Lauwerier H.A. The transport of heat in an oil layer caused by the injection of hot fluid. Applied Scientific Research, Section A, 1955, vol. 5, No 2-3, pp. 145-150.

89. Morel-Seytoux H.J. Two-phase flows in porous media, in Advances in Hydroscience (V. T. Chow, Ed.), 9, 119-202. New York: Academic Press, 1973.

90. Ogata A. and Banks R.B. A solution of the differential equation of longitudinal dispersion in porous media. U.S. Geol. Survey, Prof. Paper no. 411-A, 1961.

91. Parlange J.Y. and Babu D.K. On solving the nonlinear diffusion equation a comparison of perturbation, iterative and optimal techniques for an arbitrary dif-fusivity. Wat. Resour. Res., 13 (1), 213-214,1977.

92. Philip J.R. Flow through porous media. Ann. Rev. Fluid Mechan., 2, 177— 204, 1970.

93. Verruijt A. Steady dispersion across an interface in a porous medium. J. Hydro!., 14,337-347,1971.