автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процесса резания металла методом конечных элементов

На правах рукописи

Виноградов Юрий Валериевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ МЕТАЛЛА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 05.13.18.- Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула-2004

Диссертация выполнена на кафедре математического моделирования в Тульском государственном университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

ВАСИН С.А.

Научный консультант: кандидат технических наук, докторант ХЛУДОВ С.Я.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ЛЕВИН В.А.,

доктор технических наук, профессор КУХАРЬ В.Д.

Ведущая организация: ФГУП "Государственное научно-производственное предприятие "Сплав"

Защита состоится « июня 2004 года в 14— на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, проспект Ленина, 92,9-101.

Автореферат разослан

004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Интенсификация машиностроительного производства связана с разработкой и внедрением новых высокоэффективных методов обработки деталей машин, среди которых широкое распространение получили процессы обработки металлов резанием. Техническое перевооружение машиностроительного производства предполагает повышение производительности процесса обработки металлов резанием, улучшение качества обработанной поверхности, оптимальные режимы обработки и методов управления процессом резания лезвийным инструментом. Успешное решение всех этих вопросов связано с дальнейшим развитием науки о резании металлов.

Изучению процессов резания посвящено множество работ, однако, значительная их часть относится к экспериментальным исследованиям: Зорев Н.Н., Розенберг A.M., Бобров В.Ф.; из последних работ - академик Кабалдин Ю.Г., Бурков А.А., Кравченко Е.Г., Ефимович И.А., Нодельман М.О. Широкое распространение в мире получили модели, построенные с учетом дальнейшей конечно-элементной реализации: Wince J.N., Fang N., Yen, Park, Ozel, Altan.

Изучение экспериментальных исследований не дает понимания протекания процесса резания, а имеющиеся расчетные решения плохо согласованы с экспериментальными данными.

В таких условиях создание математической модели процессов резания на основании теории упруго-пластического деформирования и разрушения является актуальной задачей.

Цель работы. Целью работы является создание математической модели разделения, позволяющей на основании универсальных определяющих соотношений рассмотреть все стадии процесса, начиная со стадии упругого деформирования и заканчивая стадией разделения стружки и заготовки, и исследовать закономерности процесса снятия стружки.

Научная новизна состоит в

— описании процесса резания металла с использованием идеологии конечных элементов;

— применении методик процессов конечного деформирования материала при моделировании процесса резания;

— использовании модели упруго-пластического деформирования, позволяющей учитывать упрочнение в ходе резания;

— математическом моделировании прогнозирования формы отделяемого слоя;

— численном обосновании выбора критерия разделения материала.

ГОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА I

Основные научные положения, выносимые на защиту:

— математическая модель упруго-пластического деформирования, учитывающая разделение материала;

— ее реализация в рамках метода конечных элементов;

— анализ силовых полей, возникающих в процессе резания металла;

— анализ формоизменения заготовки на стадии установившегося и неустановившегося процессов резания.

Методы исследования, использовавшиеся в работе:

— математическое моделирование процессов резания на основании теории упруго-пластического деформирования и разрушения с применением метода конечных элементов.

Практическая значимость работы заключается в следующих результатах:

— создана математическая модель, позволяющая исследовать напряженно-деформированное состояние тела в процессе обработки резанием;

— приведен сравнительный анализ различных подходов к описанию разрушения;

— разработан гибкий программный комплекс, обеспечивающий решение задач моделирования сложных процессов резания, происходящих в заготовке и стружке.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались автором на международных и всероссийских научных конференциях и семинарах, в том числе на:

— Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» (Тула, 2002);

— Зимней школе по механике сплошной среды (Пермь, 2003);

— Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» (Тула, 2003);

— Научно-практической конференции «Молодые ученые центра России» (Тула, 2003).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения и общих выводов по работе, списка литературы из 154 наименований и включает 119 страниц машинописного текста, 30 рисунков, 15 таблиц. Общий объем работы 119 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В ведении произведен исторический анализ развития и обзор существующих математических моделей процессов резания. Описаны экспериментальные методы исследования, классические методики расчета сил резания. Приведены обоснования выбора методов решения и критериев разрушения.

В первом разделе рассмотрен один из возможных подходов к описанию конечного деформирования среды.

Для рассмотрения процессов деформирования среды, зависящих от истории деформирования, используются две системы координат: лагранжевых и эйлеровых.

Для описания возникновения в теле напряжений, порожденных деформацией материальных волокон, осуществлено разделение движения среды на трансляционное и "чисто дегЪптжационное" на основе естественного представ-

л _

ления градиента скорости УК в виде симметричной IVи антисимметричной частей В этом случае чисто деформационное движение, определяемое тензором деформации скорости

Асимметричный тензор вихря

а характеризует мгновенную угловую скорость вращения материальных волокон, направленных вдоль главных осей

тензора деформации скорости Ж

При формировании определяющих соотношений теории упруго-пластических процессов для описания предыстории процессов выбрана мера деформации Н, скорость изменения которой относительно вихревого базиса

совпадает с тензором деформации скорости:

Я7 = ж

В качестве меры, характеризующей напряженное состояние деформированной среды, выбран симметричный тензор напряжений Коши 5.

В основу процесса деформирования положена обобщенная теории Ильюшина. Используется скоростная постановка описания поведения среды.

Для исследования кинематики процессов конечного деформирования, положена модификация принципа Журдена, согласно которому для равновесного протекания процесса необходимо и достаточно, чтобы суммарная работа скоростей сил, действующих на элементарный объем деформируемого тела, при любых возможных скоростях равнялась нулю.

В этом случае для произвольного момента времени для тела с текущим объемом V должно выполняться следующее условие:

где - вектор массовых сил.

Вариационному соотношению, описывающему нестационарное квазистатическое развитие процесса:

где - поверхность тела с заданными внешними силами, - поверхность, на которой заданы кинематические условия, определяющие соотношения

кинематические соотношения

Л А

_ 1

Л Л

кинематические гра:

при нач

Г=У\г(0,геГг;

_ _ Л

и=и0, У-5о+,Р0=О геУ°;

геЯ,

соответствуют интегральные соотношения для вектора перемещений и тензора напряжений.

I

и =и° + \Г(т)с1т;

5 = 5° + |5(г)с?г + |[а£+5'7 - 5 • П + П • 5] йх.

о о

В приведенных соотношениях статические граничные условия учитываются в вариационном соотношении естественным образом.

Решение поставленной задачи сводится к отысканию вектор-функции У(()-

Второй задачей, решаемой в работе, является анализ момента разрушения.

Модель разрушения строится на основании выделения в некоторой области материала предполагаемой линии раздела, по которой будет осуществляться разделение.

Для оценки момента нарушения сплошности материала используется два критерия разрушения:

1. по интенсивности напряжений;

5 ¡2: 5у где - экспериментальное значение интенсивности напряжений при разрыве.

2. п о главной деформации в зоне разделения.

81> 32, 8рр, где 81у82 - главные деформации в зоне разделения;

5 - относительное удлинение в момент разрыва на образце.

Значения данных критериев для выбранного материала могут быть получены из опыта на растяжение образца.

Процесс резания металла разбивается на три стадии:

1) начальный момент врезания, без разрушения материала (чистая деформация);

2) неустановившийся режим резания, характеризующийся изменением силы резания;

3) установившийся режим резания, при котором сила резания не меняется или изменяется в определенном диапазоне.

Модель разрушения осуществляется путем выделения в некоторой области линии предполагаемого раздела, по которой будет осуществляться разделение.

В начальный момент времени происходит деформирование материала без разрушения, до момента возникновения в зоне контакта напряжений, близ-

ких к пределу прочности. При превышении критического значения происходит разделение данного участка и дальнейшее продвижение резца.

Во второй главе, в силу отсутствия удовлетворительных аналитических методов решения задач, связанных с разделительными операциями, используется численный метод, построенный на основе вариационных принципов Ла-гранжа и Журдена.

Строится конечно-элементная модель процесса резания. Поскольку в данной работе рассматриваются в основном процессы нестационарного формоизменения, то для описания среды выбран лагранжев подход. Все характеристики, описывающие напряженно-деформированное состояние тела и его изменения, расс.мятпиваются как функции материальных координат отсчетной конфигурации . Все векторные и тензорные характеристики деформируемого тела в актуальной конфигурации удобно рассматривать не в сопутствующем

л

базисе ёк > а в базисе системы отсчета.

Градиенты скоростей ФУ и перемещений VI/ можно представить в

виде:

где обозначены операции дифференцирования в декартовой систе-

ме координат.

Таким образом, основное вариационное соотношение, описывающее процесс плоской деформации в актуальной конфигурации, запишется в форме:

где К =К к - модуль объемной деформации.

Входящие компоненты тензора скорости деформации и тензора вихря,

представленные в базисе системы отсчета, определяются следующей формулой:

В соответствии с основной концепцией МКЭ, весь объем деформируемой среды разбивается на конечное число элементов, контактирующих друг с другом в узловых точках; совокупное движение этих элементов моделирует движение деформируемой среды. Основными неизвестными являются, перемещения узловых точек элемента.

Конечно-элементная модель строится на базе симплекс-элемента.

При симплексных представлениях локальные перемещения (х), скоростей аппроксимируются линейными относительно локальных координат X функциями {¡/„{х)

и(х) = д»у,„(х); У(х) = У"у„(х),

Использование симплекс-элемента упрощает процедуру построения конечно-элементного представления соотношения, позволяя использовать более простые операции одноточечного интегрирования по объему элемента.

В качестве метода решения систем дифференциальных уравнений, применен метод последовательных нагружений.

В соответствии с этим методом, на каждом шаге итерационного процесса рассматривается нагружение деформируемого тела достаточно малым приращением нагрузки Р, определяемой по известному на шаге перемещению передней контактной поверхности. Определяя из системы нелинейных уравнений реакцию тела на это приращение, находят новую его конфигурацию и соответствующее распределение напряжений, которые становятся исходными при формировании новых жесткостных соотношений на следующем шаге нагруже-ния. В качестве начального приближения выбирается ненапряженное состояние.

Метод последовательных нагружений имеет определенный физический смысл, в силу рассмотрения на каждом шаге реакции системы на приращение нагрузки, как и в действительном процессе. Поэтому метод позволяет получить гораздо больше сведений о поведении тела в процессе деформирования.

Реализация механизма разделения в МКЭ сводится к разделению узлов при условии превышения значения интенсивности напряжения в узле А (рис. 1) критического значения. При этом узел дублируется (Аё А'), с последующей перенумерацией узлов конечных элементов. Происходит разделение образца на две части - основание и открепляемая стружка (рис. 1). При использовании критерия разделения по значению главной деформации применяется два

подхода - по достижению значения в одном элементе, содержащем данный

узел, или по среднему значению в группе гра-

цесс разделения:

1. Разделение осуществляется в узлах элементов, находящихся на линии предполагаемого раздела;

2. На одном шаге не может открепляться более одного узла;

3. Разделение происходит не ранее, чем будет откреплен узел, стоящий ближе к резцу;

4. Разделенные узлы более не могут быть объединены;

5. Узел, попавший на поверхность клина, движется по его поверхности до момента открепления, но не ранее чем будет откреплен узел, стоящий перед ним.

Рассмотрение инструмента приводит к двум моделям:

1. Открепление не зависит от положения инструмента, т.е. может возникать опережающая трещина, независимо от характера материала;

2. Открепление происходит только при выполнении двух условий -превышеиии значения критерия разрушения в узле и положении резца в заданной - окрестности.

Использование двух отличных подходов к описанию процесса разделения позволяет выявить практические преимущества и недостатки как критериев разрушения, так и самих моделей.

Для решения поставленной задачи был разработан специализированный программный комплекс способный решить три основные задачи: пре-

доставление результатов, подтверждающих справедливость полученных выкладок, проверка расчетно-тестовых задач для обоснования справедливости построенной модели и возможность проектирования и решения технологических задач.

В качестве структурного решения выбрана модель модульного построения комплекса, включающего общую оболочку, как объединяющий элемент, способный управлять подключением различных модулей (задач и математических моделей). Каждая задача "вынесена" в отдельный независимый блок, связанный с проектом только через интерфейс.

Такой подход обеспечивает прозрачность модели, быструю разработку и доработку проекта в условиях параллельной работы нескольких разработчиков, не связанных жесткими временными рамками между собой.

тода конечных элементов накладывает некоторые ограничения на про-

ничных с узлом элементов.

Применение ме-

Рис. 1. Процесс разделение образца.

и

Справедливость полученных соотношений и их конечная реализация подтверждена, вначале, сопоставлением с результатами для одного конечного элемента, построенного в пакете МаШСаё7, затем сравнением численного и аналитического решения задачи на растяжение полосы. Получено расхождение аналитического и численного решения менее 1% (986 равномерно распределенных конечных элементов), при малых деформациях.

В третьем разделе рассмотрен процесс стружкообразования при резании металлов, который представляет собой пластическую деформацию, с возможным разрушением срезаемого слоя. Процесс стружкообразования в значительной степени определяет процесс резания: величины силы резания, количество выделяемого тепла, точность и качество получаемой поверхности, износ инструмента.

Непосредственное влияние на процесс стружкообразования при прямо -угольном резании оказывают только четыре фактора: угол действия, передний угол инструмента, скорость резания и сзойства материала. Все остальные факторы влияют косвенно. Для выявления данных зависимостей выбран процесс свободного прямоугольного резания металла по плоской поверхности резания,

где а - толщина срезаемого слоя или размер слоя, измеренный по нормали между соседними положениями поверхности резания, Ъ - размер слоя, измеренный в направлении, нормальном к толщине слоя.

Отделение стружки от тела происходит путем выделения в некоторой области линии раздела ОЛ, рис. 3. Толшина стружки считается постоянной на всем протяжении резания.

Рис. 2. Процесса плоского резания.

Рис. 3. Модель линии раздела.

В качестве обоснования справедливости построенной модели был рассмотрен процесс непрерывного (сливного) стружкообразования. Данный процесс хорошо изучен в работах Зорева Н.Н., Боброва В.Ф., Армарего И.ДжА. в

который содержатся многократно проверенные экспериментальные данные и зависимости.

Рассматривался режим резания, при котором исключается возникновение застойных явлений на передней поверхности, и низкое тепловыделение в процессе резания не приводит к значительным изменениям физических характеристик материала.

Особенностью данного подхода является органическая взаимосвязь конечно-элементной модели с механической постановкой. Поэтому описание механизма резания рассматривается с учетом применения при решении метода конечных элементов.

В начальный момент времени все напряжения в образце равны нулю. Контакт с инструментом происходит в точке А (рис. 4). Граничные условия заданы следующим образом:

К=0; Уг=0 А4,А5 Р„ = 0; Рг=0

До достижения в точке А критического значения происходит чистая деформация образца без разрушения.

Установившийся и неустановившийся процессы резания (рис. 5) описываются следующими граничными условиями:

А^, А2, Аз

Рис. 4.

АА,А9

■¿5>А6

Р.=

0; Гг =0

Р = 0: Р =

> Рг

Хдё у>ув V, = 0; Р=К

йд

4.

=

Р6д =

Уу=0 ;РХ=Ь

од

Рис. 5.

Часть границ являются динамическими, т.е. при переходе от шага к шагу небольшой выде-

ленный участок поверхности может менять граничные условия. Так, на стадии неустановившегося процесса А5 и А6, может перейти в А^ ; при разделении

возникают

из зоны действия задней по-

Рис. 5.

границы А1УА^, а при выходе верхности в А9 ; в точке В А1 переходит в А6

На режущем инструменте (рис. 6) были выделены следующие поверхности: АВ - передняя режущая поверхность, АС - задняя режущая поверхность, в экспериментах это значение от 0,02 до 0,1 мм, у - передний угол резания, т.В

- точка отрыва, необходимая для моделирования действий стуржколома, -задний угол, служит для моделирования остаточных явлений на обработанной поверхности. Линии BE и CD считаются бесконечными. Длина передней режущей поверхности h иногда может совпадать с длинной контакта стружки и инструмента - с. При моделировании данные величины разделены и не являются одним и тем же. В ряде тестов резец может быть упрощен путем исключения поверхностей AC, CD, BE и точки В.

При моделировании инструмента сделаны следующие предположения:

1. инструмент - абсолютно твердое тело;

2. трение задано на двух поверхностях АВ и АС;

3. допускается учет смазочных материалов путем изменения коэффициента трения

Для увеличения точности и скорости расчетов вместо сверхмалых шагов был применен итерационный метод уменьшения размера шага, необходимого для точного описания контактной задачи при использовании метода конечных элементов. Проверяются как геометрические условия для узлов, так и деформационные, для конечных элементов. В работе подробно описан алгоритм учета всего множества критериев, проверяемых в процессе итерационной процедуры на шаге и при переходе к следующему шагу.

При выборе оптимального числа элементов, необходимого для расчета, были проведены вычисления на 14-ти конечно-элементных сетках. Из полученной зависимости числа элементов от времени расчета и учета точности вычислений выведено, что оптимальным числом элементов при неравномерном разбиении является 900-1200.

В работе проводятся сравнения экспериментальных данных из работ Зо-рева Н.Н. и расчетных (Табл. 1, Табл. 2), для процесса свободного резания ста-

ли 20Х в воде при передних углах резания 20 и 40 градусов. При этом берется осредненный коэффициент трения /1=0,46 и // =0,36 соответственно.

Рис. 6. Конечно-элементная форма тела.

Для увеличения охвата большего числа задач, разбиение на конечные элементы проводится с использованием относительных координат узлов. Так толщина стружки а = 1, при задании физического размера а = 0,1' I вводится поправочный коэффициент К = 0,0001, при а = 0,151 I К — 0,00015 и т.д. Таким образом, построенная сетка описывается четырьмя параметрами: толщиной снимаемого слоя а, толщиной заготовки Ь, полной длиной заготовки С и предполагаемой длиной врезания резца 5 (рис. 6).

Расчеты разбиты на несколько этапов. На первом — определяется момент, с которого процесс можно считать установившимся. Для этих целей применяется сетка с типоразмерами ахЬхс 1x5x20 с неравномерным разбиением и числом элементов 623, числом узлов 1316. При врезании на глубину £ = 15-ог = 0,151 / , а = 0,1/1 , со скоростью V = 0,7! / г ¿/ и с передним углом = 20° и 40°.

Расчеты показывают, что установившийся процесс начинается при 5 и ^а, где а - толщина снимаемого слоя (рис.7).

Дальнейшие расчеты проведены при 5 — 5а, с типоразмером ахЬхс 1x6x10, который обеспечивает большую плотность элементов в зоне разделения. Для каждого расчета задавалось, как минимум, 1000 шагов нагружения; реально, за счет итераций, эта цифра была в пределах 1200-2000 шагов, а с учетом повторного расчета для учета трения 2200-4000 шагов. В силу фиксированной скорости V=0,7 м/мин, было выбрано &=0.000043с. Глубина врезания острия резца - 0,5мм, т.е. 5 толщин стружки, что дает право говорить о начале установившегося процесса.

В качестве критерия разделения выступает интенсивность напряжений.

Рис. 7.

Изменение силы резания Я, и ее компонент во времени, при резании стали 20Х в воде со скоростью V = 0,7 м/мин, на

Б=10а.

На втором этапе определяется влияние числа элементов на точность расчета. Для этой цели проведены расчеты на нескольких неравномерно разбитых сетках при угле резания 20 и 40 градусов и сопоставлены с осредненными экспериментальными значениями. При скорости резания V=0,7 м/мин. Эксперименты проводились остро заточенным инструментом, поэтому трение на задней поверхности в расчетах не учитывалось. При 534 элементах расхождение составило 5,7% (Табл. 1).

Табл. 1.

Расчет сил резания при

№ Число узлов Число кэ Р„Па Ру, Па Я, Па Расхождение % Число шагов Т 1 расчета мин

1 532 247 1367 1147 1784 49,7 1719 6,5

2 681 322 1388 1164 1811 52,6 1974 11,5

3 836 393 1364 1145 1661 39,3 1977 12,6

4 1109 534 980 823 1119 5,7 2592 41

На третьем этапе осуществлялся поиск диапазона скоростей, при которых модель справедлива. Расчеты проводились для

при / =20°, 6 = 10/ I . Получены результаты (Табл. 2 и Рис. 8).

Расхождение расчетных и экспериментальных данных начинается со значения скорости V = 2м/мин для а = 0,15/ / материала 20Х. Объясняется это расхождение неучтенными массовыми силами, которые на больших скоростях вносят существенный вклад. Таким образом, можно сделать вывод о справедливости модели для скоростей, не превышающих V = 2 м/мин.

Табл. 2.

Влияние скорости резания на вертикальную и горизонтальную проекции при свободном резании стали 20Х в воде с различными толщинами среза_

а: = 0,058 мм а = 0,147 мм

S Экспери- Расчет- Рас- Экспери- Расчет- Рас-

ментальные ные дан- хож- ментальные ные дан- хож-

> данные. ные. дение, данные. ные. дение,

К, Па R,ria % R, Па Я, Па %

1,0 1 130 1201 6,3 2 300 2 141 6,9

2,0 1 130 1 201 6,3 2 350 2 504 6,6

3,0 1 130 1201 6,3 2 630 2 121 19,3

4,0 1 130 1201 6,3 2 950 3 667 24,3

Из результатов расчета можно сделать выводы о хорошем совпадении результатов на диапазоне скоростей до 2 м/мин, с увеличением скорости резания выше 2 м/мин наблюдается постепенное расхождение расчетных и экспериментальных данных, что связано с увеличением сил инерции в материале, подтверждением чего являются результаты расчета с а=0,058 мм, где масса снимаемой стружки намного меньше.

Рис. 8.

Влияние скорости резания на вертикальную и горизонтальную проекции при свободном резании стали 20Х в воде с различными толщинами среза.

у = 20' 6 = 101 I

Из приведенных данных следует, что применимость построенной модели с применением критерия разделения по интенсивности напряжений зависит от толщины снимаемого слоя. При уменьшении толщины снимаемого слоя возможно получить приемлемый результат при более высоких скоростях, нежели 4 м/мин.

При использовании в аналогичных расчетах, в качестве критерия разделения, значения главной деформации получены заниженные значения силы резания.

При учете стружколома (рис. 5) был получен процесс завивания стружки (Рис. 9, 10). Для материала 20Х, с у =40°,,6 = 10/ / ,О = 0,1/ * , при 5 = 1,51/, /4 = 0,46 и Йы =0,2/ /

Рис. 9. Сетка элементов Рис. 10. Интенсивность напряжений

К недостаткам первой модели разделения (без дополнительного закрепления), можно отнести факт развития опережающей трещины в материале. Связано это, прежде всего, с двумя факторами:

1. использование метода конечных элементов и механизм открепления в узлах, с учетом линейной аппроксимации симплекс элемента;

2. разрушение вдоль предполагаемой линии раздела, и тем самым внесение заранее ошибки в расчеты.

Проводился расчетный эксперимент, при котором моделировался процесс выбивания режущего инструмента из зоны резания, путем применения разгрузки на передней контактной поверхности. При этом было получено частичное схлопывание опережающего разреза, что свидетельствует в пользу справедливости предложенной модели.

Во второй модели разрушения данный факт был снят путем принудительного закрепления узлов в области разделения, до момента выполнения двух условий: критерия разделения и положения режущего инструмента.

При этом были получены хорошие соотношения поведения стружки, однако, значения расчетных сил резания превышают экспериментальные. Из этого можно сделать выводы о совместном использовании двух моделей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Построена математическая модель на основе принципа Журдена, позволяющая исследовать напряженно-деформированное состояние тела в процессе обработки резанием;

2. Сформулирована математическая модель разделения материала в рамках метода конечных элементов, проведен сравнительный анализ различных подходов к описанию разрушения;

3. Получено численное обоснование выбора критерия разделения материала;

4. Создана математическая модель, позволяющая учитывая упрочнение материала исследовать напряженно-деформированное состояние тела и прогнозировать форму и поведение стружки в процессе резания;

5. Разработан гибкий программный комплекс, обеспечивающий решение задач моделирования сложных процессов резания, происходящих в заготовке и стружке;

6. Проведен анализ силовых полей, возникающих в процессе резания металла на стадии установившегося и неустановившегося процессов резания;

7. Подтверждена справедливость полученной модели сравнением расчетных данных с экспериментами Н.Н.Зорева. Расхождение экспериментальных и расчетных данных не превысило 10%.

Содержание диссертации полностью опубликовано в следующих работах:

1. Виноградов Ю.В. Анализ скорости вычислений при моделировании процессов механики деформируемого твердого тела. // Известия ТулГУ. Серия "Математика, механика, информатика", вып. 3,2002 г.- с. 44-46

2. Виноградов Ю.В. Один из способов оптимизации машинного кода в алгоритмах решения систем линейных уравнений. // Известия ТулГУ. Серия "Математика, механика, информатика", вып. 3,2002 г.- с. 47-50

3. Виноградов Ю.В. Подходы к постановке МКЭ приложений в задачах механики. // «Молодые ученые центра России» труды научно-практической конференции. Тула, 2003 г.- с. 148-150

4. Виноградов Ю.В. Оптимизация вычислительного процесса МКЭ в задачах механики. // «Молодые ученые центра России» труды научно-практической конференции. Тула, 2003 г.- с. 150-154

5. Виноградов Ю.В. Моделирование процесса стружкообразования в задачах резания методом конечных элементов. // Известия ТулГУ. Серия "Математика, механика, информатика", вып. 3,2003 г.- с. 15-18

6. Виноградов Ю.В. Один из подходов к моделированию процесса резания металла методом конечных элементов. // ВИНИТИ 06.04.2004 №569-В2004

»-9329

лиц ЛР № 020300 01 12 02.97 11одчисано в печать Формаг б\маги 60\84'/|ь Бумаг а офсеп мая. Усл. печ л. У,2 . Уч -шд л £ Тираж /00 экз Заказ /¿/'¿Г

Тчльский юс\дарс1 вечный чпиверсшс! 300600.1. 1\ла. пр. Ленина 92

Ошсчлкшо в Из:ы1е.м.С1ве "Г\ 1ьскою 1()СчдарС1вемно1о чнинерсинча 300600.1 Ьо.инна. 151

Введение

Глава 1. Общая постановка задачи упруго-пластического деформирования

1.1. Кинематика процессов

1.2. Определяющие соотношения процессов упругопластического конечного деформирования

1.3. Постановка задачи конечного упругопластического деформирования

1.4. Постановка процесса разделения

Глава 2. Численное моделирование процессов конечного формоизменения

2.1. Численная формулировка проблемы

2.2. Метод интегрирования разрешающих соотношений

2.3. Алгоритмы решения краевых задач упруго-пластичности

2.4. Проверка правильности реализации математической модели

2.5. Анализ поведения модели при небольших деформациях

2.6. Моделирование процесса конечно-элементного разделения материала

2.7. Построение модели внедрения жесткого клина в полубесконеч- 60 ное упруго-пластическое тело

2.8. Механизм учета трения в модели резания

Глава 3. Математическое моделирование процесса резания.

3.1. Процесс свободного резания

3.2. Факторы, влияющие на процесс стружкообразования

3.3. Граничные условия при моделировании

3.4. Конечно-элементная реализация процесса резания

3.5. Моделирование установившегося режима резания

3.6. Итерационный процесс на шаге

3.7. Обоснование выбора шага расчета и числа конечных элементов

3.8. Сравнение экспериментально найденных и расчетных значений 83 сил резания

щ "' I ' ' i ■ ииин-ж.!. довательно превращается в стружку. Метод пригоден при резании с очень малыми скоростями, не превышающими 0,2 — 0,3 м/мин, и дает только качественное представление о процессе стружкообразования.

Метод скоростной киносъемки. Хорошие результаты дает при съемке с частотой порядка 10 ООО кадров в секунду и позволяет выяснить особенности процесса стружкообразования при практически используемых скоростях резания.

Метод делительной сетки. Основан на нанесении точной квадратной делительной сетки с размерами ячейки 0,05 — 0,15 мм. Делительная сетка наносится различными способами: накатыванием типографской краской, травлением, напылением в вакууме, трафаретной печатью, царапанием и т. п. Наиболее точным и простым способом является царапание алмазным индентором на приборе ПМТЗ для измерения микротвердости или на универсальном микроскопе. Для получения неискаженной зоны деформации, соответствующей определенной стадии стружкообразования, применяют специальные приспособления для «мгновенного» прекращения процесса резания, в которых вывод резца из-под стружки осуществляется сильной пружиной или энергией взрыва порохового заряда. На получившемся корне стружки с помощью инструментального микроскопа измеряют размеры ячеек искаженной в результате деформирования делительной сетки. Используя аппарат математической теории пластичности, по размерам искаженной делительной сетки можно определить вид деформированного состояния, размеры и форму зоны деформации, интенсивность деформации в различных точках зоны деформации и другие параметры, количественно характеризующие процесс стружкообразования.

Металлографический метод. Полученный с помощью приспособления для «мгновенного» прекращения резания корень стружки вырезают, тщательно полируют его боковую сторону, а затем протравливают соответствующим реактивом. Полученный микрошлиф корня стружки рассматривают под микроскопом при увеличении в 25—200 раз или делают микрофотографию. Изменение структуры стружки и зоны деформации по сравнению со структурой недеформированного материала, направление текстуры деформации позволяют установить границы зо-^ ны деформации и судить о деформационных процессах, в ней происходивших.

Метод измерения микротвердости. Поскольку существует однозначная связь между степенью пластической деформации и твердостью деформированного материала, то измерение микротвердости корня стружки дает косвенное представление об интенсивности деформации в различных объемах зоны деформации. Для этого на приборе ПМТ-З производят измерение микротвердости в различных точках корня стружки и строят изосклеры (линии постоянной твердости), с помощью которых можно определить величину касательных напряжений в зоне деформации.

Поляризационно-оптический метод, или метод фотоупругости основан на том, что прозрачные изотропные тела при действии на них внешних сил становятся анизотропными, и если их рассматривать в поляризованном свете, то интерференционная картина позволяет определить величину и знак действующих напряжений. * Поляризационно-оптический метод для определения напряжений в зоне деформации имеет ограниченное применение по следующим причинам. Прозрачные материалы, применяемые при резании, имеют совершенно иные физико-механические свойства, чем технические металлы — стали и чугуны. Метод дает точные величины нормальных и касательных напряжений только в упругой области. Поэтому с помощью поляризационно-оптического метода можно получить только качественное и приближенное представление о распределении напряжений в зоне деформации.

Механические и рентгенографический методы применяют для изучения ^ состояния поверхностного слоя, лежащего под обработанной поверхностью. Механический метод, разработанный Н. Н. Давиденковым, применяют для определения напряжений первого рода, уравновешивающихся в области тела, превосходящей по размерам размеры кристаллического зерна. Метод заключается в том, что с поверхности образца, вырезанного из обработанной детали, последовательно удаляют весьма тонкие слои материала и при помощи тензометрических датчиков измеряют деформацию образца. Изменение размеров образца приводит к тому, что под действием остаточных напряжений он становится неуравновешенным и деформируется. По измеренным деформациям можно судить о величине и знаке остаточных напряжений.

Исходя из сказанного выше, можно сделать вывод о сложности и ограниченной применимости экспериментальных методов в области исследования процессов и закономерностей в процессах резания, в силу их высокой стоимости, большой ошибки измерений и скудности измеряемых параметров.

Возникает необходимость в написании математических моделей, способных заменить экспериментальные исследования в области резания металла, а экспериментальную базу использовать лишь на стадии подтверждения математической модели. В настоящее время используется ряд методик для расчета усилий резания, не подтвержденных экспериментами, а выведенными из них.

Анализ известных формул для определения сил и температур резания был проведен в работе [90], согласно которой первыми были получены формулы в виде эмпирических степеней зависимостей для расчета главных составляющих сил резания вида [13]:

К = С^УКр где - коэффициент, учитывающий влияние на силу некоторых постоянно действующих условий; ^р - глубина резания; продольная подача; Кр- обобщенный коэффициент резания; ХУ2 - показатели степени.

Главным недостатком данной формулы является отсутствие выраженной физической связи с известными в резании математическими моделями. Вторым недостатком является большое количество экспериментальных коэффициентов.

Согласно [90], обобщение экспериментальных данных позволило установить, что на передней поверхности инструмента действует среднее касательное напряжение Яр = 0,285^ , где - действительное конечное сопротивление разрыву. На этом основании А.А.Розенбергом была получена другая формула для расчета главной составляющей силы резания:

Рг = 0,285^6(2,05^-0,55)

90-х)2'46 С05У -1-8111 у

22500к°'Ш5{90~г) а где Ъ - ширина срезаемого слоя.

Недостатком данной формулы является то, что для каждого конкретного случая расчета сил требуется определение параметров Ка и экспериментальным путем, который является весьма трудоемким. По данным многочисленных экспериментов было выявлено, что при замене криволинейной линии сдвига прямой, угол У близок к 45° , и следовательно формула примет вид: р2=—?-1-1-ч" у агссоэ/ л/2^ - ~ + у

Однако и эта формула пригодна не для всех углов резания и не учитывает целый ряд особенностей процесса резания. Были также разработаны и более сложные модели на основе приведенных формул, например [90], дающая расхождение порядка 25% с экспериментальными данными и также требует экспериментальных данных.

В таких условиях возникает острая необходимость в разработке современной модели, способной без проведения экспериментов определять силы резания и оценивать протекание процесса.

Основной проблемой, возникающей на данном пути, является понятие разрушения, идущее вразрез с определением сплошной среды в классической механике твердого тела.

Разрушением называется разделение тела на две части при меньших нагрузках и удлинениях, чем это следует из рассмотрения задачи в рамках механики сплошной среды. В этом состоит первая (практически очевидная) причина того, что уравнения сплошной среды сами по себе не могут привести к критериям разрушения. Кроме того, даже сами механические переменные - напряжение и деформация - могут оказаться недостаточными для формулирования критерия разрушения. Существует два вида разрушения материала - вязкое и хрупкое. Вязкое разрушение хорошо изучено многими исследователями с помощью опытов по одноосному растяжению, но данные эксперименты плохо подходят для описания сложного напряженного состояния. Полного объяснения процесса разделения при хрупком разрушении еще не найдено. Установлено лишь, что скорость развития трещины связана со скоростью движения дислокации вблизи края трещины и скоростью передачи энергии напряженного поля.

На основании множества экспериментов и некоторых предположений были выведены количественные критерии разрушения для некоторых типов разрушения, достаточно хорошо исследованных к настоящему времени:

Это прежде всего критерий по наибольшим нормальным напряжениям [28]. Как показали многочисленные эксперименты, критерий не отражает условия разрушения. Для комбинации растяжения со сжатием расчеты по этому критерию дают завышенную оценку по сравнению с действительным сопротивлением материала пластическому разрушению, а для случая всестороннего сжатия, наоборот получают сильно заниженные значения сопротивления материала внешним воздействиям.

Критерий наибольших линейных деформаций. Согласно этому критерию разрушение материала начинается тогда, когда наибольшая по абсолютной величине линейная деформация удлинения достигает некоторого предельного значения [28]. Критерий для хрупкого материала, подчиняющегося закону Гука, примет вид:

Согласно экспериментам, критерий не может применяться в качестве универсального, применимого для любых напряженных состояний. Однако он используется как базовый в инженерных расчетах.

Критерий наибольших касательных напряжений. Данный критерий был предложен Треска [28], для описания условия пластичности, однако он может быть применен и в качестве критерия прочности для хрупких материалов. Разрушение наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение

7тах = На1сгз) достигает некоторого определенного значения (для каждого материала своего).

Для алюминиевых сплавов данный критерий, при сравнении опытных данных с расчетными, дал приемлемый результат. Для других материалов таких данных нет, соответственно нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть применимость данного критерия.

Существуют также энергетические критерии. Одним из таких являЬтся гипотеза Губера-Мизеса-Генки [28], согласно которой, разрушение наступает тогда, когда удельная энергия формоизменения достигает некоторого предельного значения. Данный критерий получил удовлетворительное экспериментальное подтверждение для разных конструкционных металлов и сплавов. Сложность применения данного критерия заключается в экспериментальном определении предельного значения.

К критериям прочности материалов неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, относятся критерий Шлейхера, Баландина, Миролюбова, Ягна [28]. К недостаткам можно отнести сложность применения и плохое подтверждение экспериментальной проверкой.

Необходимо отметить, что единой концепции для механизмов разрушения не существует, так же как и универсального критерия разрушения, по которому однозначно можно было бы судить о процессе разрушения [28, 35, 51]. В данный момент можно говорить о хорошей теоретической разработанности лишь множества частных случаев и попытки их обобщения. Практическое применение в инженерных расчетах большинства из современных моделей разрушения пока недоступно.

Анализ перечисленных выше подходов к описанию теории разделения позволяет выделить следующие характерные особенности:

1. Существующие подходы к описанию процессов разрушения приемлемы на стадии начала процесса разрушения и при решении задач в первом приближении.

2. Модель процесса должна быть основана на описании физики процесса резания, а не статистических экспериментальных данных.

3. Необходимо использование вместо соотношений линейной теории упругости физически нелинейных соотношений, учитывающие изменения формы и объема тела при больших деформациях.

4. Экспериментальные методы способны однозначно предоставить информацию о механическом поведении материала в заданном диапазоне температуры и параметров процесса резания.

Исходя из изложенного, основной целью работы является создание математической модели разделения, позволяющей на основании универсальных определяющих соотношений рассмотреть все стадии процесса, начиная со стадии упругого деформирования и заканчивая стадией разделения стружки, и заготовки и исследовать закономерности процесса снятия стружки.

В первой главе диссертации излагается математическая модель конечного деформирования, основные гипотезы модели разрушения. Ставится задача ортогонального резания.

Во второй главе в рамках теории, описанной в первой главе, строится конечно-элементная модель процесса резания. Приводится анализ механизмов трения и разрушения применительно к конечно-элементной модели. Осуществляется всестороннее тестирование полученных алгоритмов.

В третьей главе описана физическая и математическая постановка технологической задачи снятия стружки с образца. Детально описан механизм моделирования процесса и его конечно-элементная реализация. Проводится сравнительный анализ полученных данных с экспериментальными исследования, делаются выводы по применимости модели.

Основные положения и результаты работы доложены на Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 2002 г.), а также на зимней школе по механике сплошной среды (г. Пермь, 2003 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» (г. Тула, 2003 г.), на научно-практической конференции «Молодые ученые центра России» (г. Тула, 2003 г.).

По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Основные результаты по работе.

1. Построена математическая модель на основе принципа Журдена, позволяющая исследовать напряженно-деформированное состояние тела в процессе обработки резанием;

2. Сформулирована математическая модель разделения материала в рамках метода конечных элементов, проведен сравнительный анализ различных подходов к описанию разрушения;

3. Получено численное обоснование выбора критерия разделения материала;

4. Создана математическая модель, позволяющая учитывая упрочнение материала исследовать напряженно-деформированное состояние тела и прогнозировать форму и поведение стружки в процессе резания;

5. Разработан гибкий программный комплекс, обеспечивающий решение задач моделирования сложных процессов резания, происходящих в заготовке и стружке;

6. Проведен анализ силовых полей, возникающих в процессе резания металла на стадии установившегося и неустановившегося процессов резания;

7. Подтверждена справедливость полученной модели сравнением расчетных данных с экспериментами Н.Н.Зорева. Расхождение экспериментальных и расчетных данных не превысило 10%.

1. Адамов В.И. Построение конечно-элементной модели процесса конечного упругопластического деформирования /Тульский политехнический институт. Тула, 1986. - 11с. - Деп. в ВИНИТИ 27.08.86, № 6195-8.

2. Адамов В.И., Маркин A.A., Фердман Э.Б. Описание процессов осесиммет-ричного конечного деформирования тел вращения /Тульский политехнический институт. Тула, 1986. 8с. - Деп. в ВИНИТИ 05.02.86, № 828-886-В.

3. Аксенов Л.Б. Система проектированя процессов штамповки. JL: Машиностроение, 1990. - 240 с.

4. Александров С. Е., Александрова H. Н. Экспериментальная оценка точности одного критерия разрушения Металлы. 2000, N 4, с. 89-91, 2, табл. 2. Библ. 10. Рус. RU. ISSN 0869-5733

5. Амелла JI. Интерактивная трехмерная машинная графика. М.: СолСисте-ма, 1992.-320 с.

6. Армарего И. Дж. А., Браун Р.Х. Обработка металлов резанием. М.: «Машиностроение». 1977.

7. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности, и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

8. Безухов Н.И. Примеры и задачи по теории упругости, пластичности, и ползучести. М.: Высшая школа, 1965. - 320 с.

9. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. -200 с.

10. Береснев Б.И., Езерский К.И., Трушин Е.В., Каменецкий Б.И. Высокие давления в современных технологиях обработки материалов. М.: Наука, 1988.-245 с.

11. Бирюков Д. Б. Обобщенный метод деформаций в конечно-элементном анализе задач механики твердого тела: Автореф. дис. на соиск. уч. степ, докт. техн. наук. СПбГАСУ, Санкт-Петербург, 2000, 42 е. Библ. 21. Рус.

12. Бобров В.Ф. Многопроходное нарезание крепежных резьб резцом.- М.: Машиностроение, 1982.- 104с.

13. Бобров В.Ф. Основы теории резания металлов. М., Машиностроение, 1975.- 344с.

14. Боресков A.B. и др. Компьютерная графика: первое знакомство. М.: Финансы и статистика, 1996. - 173 с.

15. Бриджен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М.: ил., 1955.-444 с.

16. Буч Г., Рамбо Дж., Джекобсон А. UML руководство пользователя. - М.: ДМК, 2000.-429 с.

17. Вальтер А.И., Дорохин Н.Б. Метод конечных элементов в технологических задачах пластичности. -Тула 1999. 134 с.

18. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.-296 с.

19. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. - 266 с.

20. Виноградов Ю.В. Анализ скорости вычислений при моделировании процессов механики деформируемого твердого тела. // Известия ТулГУ. Серия "Математика, механика, информатика", вып. 3, 2002 г.- с. 44-46

21. Виноградов Ю.В. Один из способов оптимизации машинного кода в алгоритмах решения систем линейных уравнений. // Известия ТулГУ. Серия "Математика, механика, информатика", вып. 3, 2002 г.- с. 47-50

22. Виноградов Ю.В. Подходы к постановке МКЭ приложений в задачах механики. // «Молодые ученые центра России» труды научно-практической конференции. Тула, 2003 г.- с. 148-150

23. Виноградов Ю.В. Оптимизация вычислительного процесса МКЭ в задачах механики. // «Молодые ученые центра России» труды научно-практической конференции. Тула, 2003 г.- с. 150-154

24. Виноградов Ю.В. Моделирование процесса стружкообразования в задачах резания методом конечных элементов. // Известия ТулГУ. Серия "Математика, механика, информатика", вып. 3, 2003 г.- с. 15-18

25. Виноградов Ю.В. Один из подходов к моделированию процесса резания металла методом конечных элементов. // ВИНИТИ 06.04.2004 №569-В2004

26. Галагер Р. Метод конечных элементов: Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

27. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. -510 с.

28. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. -М.: Машиностроение, 1968. 191 с.

29. Голуб Дж., Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. - 548 с.

30. Гордон М. Б. Исследование трения и смазки при резании металлов// Трение и смазка при резании металлов Чебоксары: ЧТУ, 1972 - с. 23 - 26.

31. Готлиб Б.М., Добычин И.А., Боарнчиков В.М. Основы статической теории обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1980. - с. 168

32. Давыдов В. С., Чумаченко Е. Н. Метод реализации модели контактного взаимодействия в МКЭ при решении задач о формоизменении сплошных сред Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000, N 4, с.53-63.

33. Дарахвелидзе П.Г., Марков Е.П. Delphi 4. СПб.: БХВ-Санкт-Петербург, 1999.-c.816, ил.

34. Дель Г.Д. Технологическая механика. -М.: Машиностроение, 1978. с.174

35. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. -М.: Машиностроение, 1979. с.567

36. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. -М.: Машиностроение, 1990. с.272

37. Ефимович И.А. Динамика сил резания в процессе врезания // Вестник машиностроения. 2003. №2. с.45-47.

38. Ефимович И.А. Циклический характер напряженно-деформированного состояния режущей части инструмента в процессе резания // Вестник машиностроения. 2003. №7. с.48-52.

39. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - с.542

40. Зорев H.H. Вопросы механики процесса резания металлов М.: Машгиз, 1956. - с.367

41. Зубцов М.Е. Листовая штамповка. -Л.: Машиностроение, 1967. с.504

42. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - с.232

43. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1971. - с.248

44. Ильюшин A.A. Пластичность: Основы общей математической теории. -М.: АН СССР, 1963. с.272

45. Ильюшин A.A. Пластичность: ч.1, Упругопластические деформации, М. -JL: Гостехиздат, 1948. - с.376

46. Исследования в области инструментального производства и обработки металлов резанием. Сборник научных трудов. Тула, 1993.

47. Кабалдин Ю.Г., Бурков A.A., Кравченко Е.Г. Физические основы управления процессом завивания стружки в условиях автоматизированного производства // Вестник машиностроения. 2000. №6. с.38-42.

48. Кальверт Ч. Программирование в Windows. -Перевод с англ. -М.: БИНОМ, 1995.-c.496: ил.

49. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - с.420

50. Клушин М.И. Резание металлов М.: Машгиз, 1958 - с.454

51. Клюшников Д.В. Физико-математические основы прочности и пластичности: Учеб. Пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994. - с. 189

52. Колбасников Н.Г. Теория обработки металлов давлением. Сопротивление деформации и пластичности. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000. с.314

53. Колмогоров B.JI. Механика обработки металлов давлением. -М.: Металлургия, 1986. с.688

54. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высш. шк., 1983. - с.349

55. Корриган Д. Компьютерная графика секреты и решения. М.: Энтроп, 1995.-c.350

56. Кошин А. А., Муравьев А. А. Расчет упруго-пластического деформирования и разрушения обрабатываемого материала в зоне реза-ния//Прогрессивные технологии чистовой и отделочной обработки Челябинск: ЧГТУ, 1995.- с.12 - 17.

57. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации: Справочник-М.: Машиностроение, 1980. с. 157

58. Кухарь В.Д., Чистяков A.B., Бурак Л.П. Численное моделирование процессов вырубки металлов // Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ.2000. с.88-89.

59. Кухарь В.Д. Чистяков A.B. Математическое моделирование разделительных операций обработки металлов давлением с применением МКЭ // Известия ТулГУ, серия математика механика информатика. -Тула: ТулГУ.2001. Том 7, Вып. 2. - с.54-59.

60. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. - с.224

61. Левин В.А., Зингерман K.M. Плоская задача теории многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -с.272

62. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - с.512

63. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968. - с.400

64. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - с.400

65. Малинин H.H. Технологические задачи пластичности и ползучести. М.: Высшая школа. 1979. - с.119, ил.

66. Маркин A.A. Нелинейная теория упругости. Тула: ТулГу, 2001. - 71 с.

67. Маркин A.A. Об условиях равновесного нагружения и устойчивости в процессах конечного деформирования //Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Тезисы докладов II Всесоюз. симп. Калинин: КГУ, 1986. - с.62-63.

68. Маркин A.A. Определение соотношения конечного упругопластического деформирования /Тульский политехнический институт. Тула, 1985. - 17с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.85, № 2358-85 деп.

69. Матвеев В. В. Нарезание точных резьб . — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1978. — с.88, ил.

70. Методика решения систем линейных алгебраических уравнений большого порядка, возникающих при численной реализации решения контактных задач теории упругости методом конечных элементов. Д.П. Бувайло, С.И. Гоменюк.

71. Михайленко Ф.П. Стойкость разделительных штампов. -М.: Машиностроение, 1986. с.224

72. Нодельман М.О. Физические модели деформационных и силовых уравнений механнообработки точением пластичных металлов // Вестник машиностроения. 2002. №2. с.40-44.

73. Огородников В.А. Оценка деформируемости металлов при обработке давлением. Киев: Вища школа, 1983. - с. 175

74. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976. -с.464

75. Остафьев В. А., Мясищев А. А., Ковальчук С. С. К вопросу об анализе контактных нагрузок на поверхности режущего инструмента. Вестник машиностроения, № 4, 1992.- с.47 49.

76. Остафьев В.А. Расчет динамической прочности режущего инструментаМ.: Машиностроение, 1979. с.233

77. Очков В.Ф. МаЙгСас! 6.0 для студентов и инжененров. М. :КомпьютерПрес, 1996.-с.238

78. Петрушин С.И. Методика проектирования стружколомающих элементов на передней поверхности режущей части инструментов // Вестник машиностроения. 2000. №6. с.38-42.

79. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. Пособие. 2-е изд. - М.: Изд-во МГУ, 1995. - с.366

80. Под ред. Полухина П.И. Теория и технология деформации металлов. -М.: Металлургия, 1982. 151 с.

81. Поздеев A.A. Трусов П.В. Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986. - 232 с.

82. Полетика М.Ф. Влияние свойств обрабатываемого материала на процесс стружкообразования // Вестник машиностроения. 2001. №7. с.45-48.

83. Полетика М.Ф. Контактные нагрузки на режущих поверхностях инстумен-та. -М.: Машиностроение, 1969. 150 с.

84. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: ил., 1963. - 312 с.

85. Резание труднообрабатываемых материалов./Под ред. Г. Г. Петрухи М.: Машиностроение, 1972 - 175 с.

86. Розенберг A.M., Розенберг O.A. Механика пластического деформирования в процессах резания и деформирующего протягивания Киев: Наукова Думка, 1990 - 320 с.

87. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -392 с.

88. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1972. - 492 с.

89. Сидоренко JI.C. Математическое моделирование физических явлений процесса резания металлов на основе законов реологии // Вестник машиностроения. 2000. №7. с.40-46.

90. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. - 374 с.

91. Справочник технолога-машиностроителя. В 2-х т./ под ред. Косиловой А.Г., Мещерякова Р.К. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1986.-496 е., ил.

92. Степанский Л.Г. Расчет процессов обработки металлов давлением. -М.: Машиностроение, 1979. -215 с.

93. Стивене P. Delphi готовые алгоритмы. - М.: ДМК, 2001. - 378 с.

94. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением, М.: Машиностроение, 1977. - 424 с.

95. Тейксера С., Пачеко К. Borland Delphi 4 Руководство разработчика. -М.: Компьютерное издательство "Диалектика". -1999. 910 е., CD

96. Тимофеев И. И., Яргункин А.Н. Силовые зависимости при нарезании резьбы метчиками// Труды Ульяновского политехнического института, том 9, выпуск 1, Машиностроение.— Ульяновск: УПИ, 1973.— с. 60-65.

97. Толоконников JI.A. Маркин A.A. Определяющие соотношения при конечных деформациях //Проблемы механики деформируемого тела . Калинин: КГУ. 1986.-е. 49-57.

98. Толоконников JI.A. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. школа, 1979. - 318 е., ил.

99. Тутышкин Н.Д., Гвоздев А.Е., Трегубов В.И., Полтавец Ю.В., Селедникн Е.М., Пустовгар A.C. Комплексные задачи теории пластичности ТулГУ, Тула 2001 377 с.

100. Федоров А.Г. Delphi 2.0 для всех. М.: КомпьютерПресс, 1997. - 464 е., ил.

101. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Том 2. -М.: Наука, 1978.-616 с.

102. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956.

103. Черменский О.Н., Борисов Е.Д. Методика расчета режима резания стали на основе теории пластичности // Вестник машиностроения. 2000. №11. с.41-43.

104. Шофман JI.A. Теория и расчеты процессов холодной штамповки. М.: Машиностроение, 1964. - 375 е., ил.

105. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. -Кишинев: Квант, 1997. 331с.

106. A complex variable boundary element method for solving interface crack problems. Shi Jun Ping. International Journal of Fracture 96: p.167-178, 1999.

107. A Finite Element Analysis of Creep-Crack Growth in Viscoelastic Media. F. Dubois. Mechanics of Time-Dependent Materials 2: p.269-286, 1999.

108. A finite element analysis of fracture initiation in ductile/brittle periodically layered composites. M. Jha. International Journal of Fracture 90: p.299-323,1998.

109. A Method for Determining Model-Structure Errors and for Locating Damagein Vibrating Systems. JohnE. Mottershead. Meccanica 34: p.155-168,1999.

110. A micromechanical model for a viscoelastic cohesive zone. David A. Allen. International Journal of Fracture 107: p. 159-176,2001.

111. A New Approach to Cutting into Finite Element Models. D. Sebry.

112. A nonlinear finite element eigenanalysis of singular stress fields in bimaterial wedges for plane strain. N. Zhang, International Journal of Fracture 94: p.299-319, 1998.

113. A parallel triangular decomposition algorithm on a workstation network with application to structural vibration analysis. Y. Aoyama, K. Hirama, G. Yagawa. Computation Mechanics 19, p.411-419. 1997.

114. A single leg bending test for interfacial fracture toughness determination. S.D. Devidson. International Journal of Fracture 78: p. 193-210,1996.

115. A study of flank wear in orthogonal cutting with internal cooling, H.Zhao, G.C.Barder, Q.Zou. Wear 253: p957-962, 2002.

116. A study off atigue crack closure by elastic-plastic finite element analysis For constant-amplitude loading. J.WU, F.ELLYIN. International Journal ofFracture 82: 43-65, 1996.

117. Adaptive couple finite element analysis of the blanking process. D. Brokken, W.A.M. Brekelmans and F.P.T. Baaijens. Eindhoven University of Technology. Eindhoven.

118. Adaptive finite element analysis of mixed-mode fracture problems containing multiple crack-tips with an automatic mesh generator. K.S.R.K. Murty, M. Mukhopahyay. International Journal of Fracture 108: p.251-274, 2001.

119. ALE formulation and its application in solid mechanics. Gadala M.S., Wang J., Departament of Mechanikal Engineering, Vancouver, Canada. 1998.

120. Analysis and computation of a cyclic plasticity model by aid of Ddassl. P. Shi, I. Babuska. Computation Mechanics 19, p.380-385,1997.

121. Application of the Parallel Computing Technology to a Wave Front Model Using the Finite Element Method. A.Chambarel. Complex Hydrodynamics Laboratory.

122. Askes Harm, Sluys Lambertus J. Стратегия перестройки конечноэлементной сетки для адаптивного лагранжиево-эйлерового анализа локализации деформаций. Remeshing strategies for adaptive ALE analysis of strain localization Eur. J. Mech. A. 2000.

123. Constitutive model and finite element formulation for large strain elasto-plastic analysis of shells. Y. Basar, M.Itskov. Computation Mechanics 23 (1999), p.466-481.

124. Elasto-plastic finite element analysis of a crack in an infinite plate. Shaliendra K. Sharan. International Journal of Fracture 103: p. 163-176, 2000.

125. Elasto-plastic Finite-Element Analysis of the Axisymmetric Tube Flaring Process with Conical Punch. Y.-M. Huang and Y.-M. Huang. Int J Adv Manuf Technol (2001) 18:390-398.

126. Estimation of Motion through Inverse Finite Element Method swith Triangular Meshes. J.V. Condell, B.W. Scotney, P J. Morrow. School of Information and Software Engineering, University of Ulster at Coleraine.

127. Finding solutions to Einstein's equations in terms of invariant objects. M. Bradley and M. Marklund, Class.Quantum Grav. 13, p.3021-3037, 1996.

128. Finite element analysis of the effect of fibre shape on stresses in an elastic fibre surrounded by a plastic matrix. K.L. Goh, K.J. Mathias, R.M. Aspden, D.W. L.Hukins. Journal of materials science 35, p.2493-2497, 2000.

129. Large strain elastic-plastic theory and nonlinear finite element analysis based on metric transformation tensors. M. Brunig. Computation Mechanics 24, p. 187196. 1999.

130. Limit analysis of cracked structures by mathematical programming and finte element technique. A.M. Yan, N. Nguyen-Dang. Computation Mechanics 24, p.319-333. 1999.

131. Quantum mechanical description of the Stern-Gerlach experiment. S.H. Patil. Eur.J.Phys.19, p.25-30, 1998.

132. Simulation of a Compressible Flow by the Finite Element Method Using a General Parallel Computing Approach. A.Chambarel. Complex Hydrodynamics Laboratory.

133. The Elastic-Plastic Finite Element Alternating Method and the prediction of fracture under WFD conditions in aircraft structures. L. Wang, F.W. Brust, S.N. Atluri. Computation Mechanics 19, p.370-379. 1997.

134. The Finite Element Method in the Static and Dynamic Deformation and Consolidation of Porous Media. R.W. Lewisand, B.A.Schrefler. Meccanica34:231-235, 1999.

135. Jonak J. Influence of friction on the chip size in cutting the brittle materials. Journal of Minining Science, Vol.37, №4, 2001

136. Xiaoping Yang, Richard Liu A new stress-bassed model of friction behavior in machining and its significant impact on residual stresses computer by finit element method. International Journal of Machine tools & manufacture p.703 723, 2002.

137. А:= abs(al+a2+a3)/2: Матрица материалаmD:= (Е/(l-vu*vu))*linalgmatrix.(3,3,[1, vu, 0,vu, 1, 0,0, 0, (1-vu)/2]):

138. Матрица производных функций формы >mB:= linalg matrix. (3,6, [Ы, 0,Ь2 ,0,ЬЗ ,0 ,0,cl, 0 ,с2 , 0 ,сЗ ,cl ,Ы ,с2 ,Ь2 ,сЗ ,ЬЗ]) / ( 2*А) :1. Матрица жесткости

139. Метод Журдена для одного симплекс элемента (лшейная постановка).restart;with(linalg): Вектор градиент1. В:= linalgmatrix. (4,6,

140. Ы,О,Ь2,0,ЪЗ,0,0,Ы,О,Ъ2,0,ЬЗ,cl,0,с2,0,сЗ,0,0,cl,0,с2,0,сЗ.) ;

141. Ы О Ь2 О ЬЗ О" О Ы О Ъ2 О ЬЗВcl 0 с2 0 сЗ О О cl 0 с2 0 сЗ Вектор возможных скоростей узловых точек dV:dV:=linalgvector.(б,[dVlx,dVly,dV2x,dV2y,dV3x,dV3y]);dV := dVlx, dVly, dV2x, dV2y, dV3x, dV3y . Вектор скоростей узловых точек V:

142. V:=linalgvector.(6,[Vlx,Vly,V2x,V2y,V3x,V3y]);

143. V := Vlx, Vly, V2x, V2y, V3x, V3y .компоненты1. G:= Е/ (2* (1+vu) ) :kg:= vu/(vu-1) : >kg3:= E*vu/ (l-vu*vu) : >kg4:= Е/(l-vu*vu) :

144. Скаляр dV1/dx1 dV1/dx2 dV2/dx1 dV2/dx2dVdx:= linalgmultiply.(B,V) :evalm (dVdx) :dltdVdx:= linalgmultiply.(B,dV): >evalm(dltdVdx):

145. Компоненты матрицы жесктости

146. Jll:= dVdx1.*(kg4+(kg-2)*Sll/3)+dVdx2.*(521.+dVdx4.*(kg3+(1+kg)*Sll/3):

147. J12:= dVdxl.*(kg-2)*S12/3+dVdx[2]*(G522.+dVdx3.*G+dVdx[4]*(1+kg)*Sl2/3:

148. J21:= dVdxl.*(1+kg)*S21/3+dVdx[2]*G+dVdx[3]*(G-Sll)+dVdx[4]*(kg-2)*S21/3:

149. J22:= dVdx1.*(kg3+(1+kg)*S22/3)+dVdx3.*(-S12)+dVdx[4]*(kg4+(kg-2)*S22/3):

150. Процедура, формирующая матрицу жесткости Rest:sproc(In) local Icol,T,h,l,t,y: global Pvrem: Приводим подобнье слагаемые относительно возможных скоростей1.ol:=collect(In,dVlx,dVly,dV2x,dV2y,dV3x,dV3y., distributed):

151. Присваеваем компонентам вектора T коэффициенты у соответствующих возможных скоростей >

152. Tl. :=coeff (Icol,dVlx) : Т[2] :=coeff (Icol,dVly) : >T[3] : =coeff (Icol,dV2x) : T[4] :=coeff(Icol,dV2y) :

153. T5. :=coeff(Icol,dV3x) : T[6] :=coeff(Icol,dV3y) :

154. Приводим подобные слагаемые относительно скоростей в каждом из компонентов вектора Тfor h from 1 by 1 to б do

155. Процедура, формирующая векторов напряжений SRest:=proc(In) local ST,x: global SPvrem: Приводим подобные слагаемые относительно скоростейfor х from 1 by 1 to 4 do

156. ST: =collect(Inx. , [Vlx^ly^x^y,V3x,V3yJ , distributed) : >SPvrem[x,1]:= coeff(ST,Vlx): SPvrem[x,2]:= coeff(ST,Vly): SPvrem[x,3]:= coeff(ST,V2x): SPvrem[x,4]coeff(ST,V2y): SPvrem[x,5]:= coeff(ST,V3x): SPvrem[x,6]:= coeff(ST,V3y): end do:end:

157. РУ: = вуа1т (Р1+Р2+РЗ+Р4) : >with(codegen,C): С(РУ):

158. Pv 0 . [ 0 ] = Ь1*Ь1*(Е/(1.0-уи*уи)+(уи/(уи-1.0)-2.0)*311/3.0) + (с1* (Е/ (2.0 + 2. 0*уи) -ЭИ) +Ы* (1.0+уи/ (уи-1.0) ) *Б21/3 . 0) *с1;

159. Pv0.1. = (-Ь1*321+с1МЕ*уи/(1.0-уи*уи) + (1. 0+уи/(уи-1. 0) ) *Б11/3.0) ) *Ы+ (с1* {чи/ (чт-1.0) -2 .0) *321/3 . 0+Ы*Е/ (2.0+2.0*уи) ) *с1;

160. Pv 0 . [2] = Ь2*(Е/(1.0-уи*уи)+(уи/(уи-1.0)-2.0)*311/3.0)*Ы +(Ь2*(1.0+vu/(vu-1.0)) *321/3.0+с2* (Е/(2.0+2.0*уи)-ЭП))*с1;

161. Ру0.[3] = (-Ь2*321+с2*(Е*уи/(1.0-уи*уи)+ (1.0+уи/(уи-1.0)) *311/3 . 0) ) *Ы + (с2* (уи/ (уи-1.0) -2 .0) *321/3.0+Ь2*Е/(2.0+2 . 0*уи) ) *с1;

162. Ру{0. 4] = ЬЗ*(Е/(1.0-уи*уи)+(уи/(уи-1.0)-2.0)*311/3.0)*Ы +(ЬЗ*(1.0+уи/(уи-1.0))*321/3.0+сЗ*(Е/(2.0+2.0*уи)-311))*с1;

163. Ру0.[5] = (-ЬЗ*521+сЗ*(Е*уи/(1.0-уи*уи)+(1.0+уи/(уи-1.0)) *311/3.0) ) *Ы + (сЗ* (уи/ (\ги-1.0) -2.0) *321/3.0+ЬЭ*Е/ (2.0+2.0*уи) ) *с1;

164. Ру1. 0. = (с1*Е/(2.0+2.0*уи)+Ы*(уи/(уи-1.0)-2.0)*312/3.0)*Ы + (Ы* (Е*уи / (1.0-чт*уи) + (1.0+уи/ (уи-1.0) ) *Э22/3 . 0) -с1*312) *с1?

165. Ру1. 1. = (с1*(1.0+уи/(уи-1.0))*312/3.0+Ы*(Е/(2.0+2.0*уи)-Б22) ) *Ы+с1*с1* (Е/(1.0-уи*уи)+(уи/(уи-1.0)-2.0) *322/3.0) ;

166. Ру1. 2. = (Ь2* (уи/ (уи-1.0)-2.0) *г12/3.0+с2*Е/ (2.0+2. 0*уи) ) *Ы + (Ь2* (Е*уи/(1.0-уи*уи) + (1.0+уи/ (лги-1. 0) ) *322/3 . 0) -с2*312) *с1 ;

167. Ру1. 3. = (с2*(1.0+уи/(уи-1.0) )'tSl2/3.0+b2*(E/(2.0 + 2.0*vu)-S22) ) *Ь1+с2*(Е/(1.0-уи*уи)+(уи/(уи-1.0)-2.0)*Б22/3.0)*с1;

168. Ру1. 4. = (ЬЗ* (уи/ (уи-1.0)-2.0) *512/3.0+сЗ*Е/ (2.0+2. 0*уи) ) *Ы +(ЬЗ*(Е*уи/(1.0-уи*уи)+(1.0+уи/(уи-1.0))*322/3.0)-с3*312)*с1;

169. Ру1.5. = (сЗ*(1.0+уи/(уи-1.0))*312/3.0+ЬЗ*(Е/(2.0+2.0*уи)-322) ) *Ы+сЗ* (Е/ (1.0-чт*уи) + (то/ (уи-1.0)-2.0) *г22/3.0) *с1 ;

170. Ру2. [0] = Ь2*(Е/(1.0-уи*уи) + (уи/(уи-1.0)-2.0)*311/3.0)*Ы + (с1* (Е/ (2.0+2.0*уи) -ЭП) +Ы* (1.0+Уи/ (лги-1. 0) ) *Э21/3.0) *с2;

171. Ру2. 1. = (-Ы*321+с1*(Е*уи/(1.0-уи*уи) + (1.0+уи/(уи-1.0)) *311/3. 0) ) *Ь2 + (с1* (лги/ (\m-1.0) -2.0) *321/3 . 0+Ы*Е/ (2 . 0+2 . 0*уи) ) *с2;

172. Pv2.[2] = Ь2*Ь2*(Е/(1.0^и^и) + (то/(уи-1.0)-2.0)*311/3.0) + (Ь2* (1.0+уи/^и-1.0) )*Б21/3.0+с2* (Е /(2.0+2 . О^и)-311) ) *с2;

173. Pv2.[3] = (-b2*S21+c2*(E*vu/(1.0-vu*vu)+(1.0+vu/(vu-1.0)) ♦311/3.0) ) *Ь2+(с2* Ыи/ ^и-1.0)-2.0)*Б21/3.0+Ь2*Е/ (2.0+2 .О^и) ) *с2;

174. Рч{2. 4] = ЬЗ*(Е/(1.0^и^и) + {уи/(уи-1.0)-2.0)*311/3.0)*Ь2 + (ЬЗ* (1 .о+уи/ (vu-l. О) ) *Б21/3. 0 + сЗ* (Е/ (2 . 0+2 . О^и) -ЭИ) ) *с2;

175. Pv2.[5] = (-bЗ*S21+cЗ*(E*vu/(1.0-vu*vu)+(1.0+vu/(vu-1.0)) *Б11/3 . 0) ) *Ь2+(сЗ* (VII/ (vu-1.0) -2.0) *321/3 . 0+ЬЗ*Е/ (2 . 0+2 . 0*тд) ) *с2;

176. Pv3. [0] = (с1*Е/(2.0+2.0^и)+Ы*^и/^и-1.0)-2.0)*312/3.0) *Ь2 + (Ы* (Е*то/ (1.0^и^и) + (1.0+уи/ (то-1.0) ) *Э22/3 . О) -с1*Б12) *с2;

177. Р^-СЗ. 1. = (с1* (1.0+тт/ (уи-1.0) ) *312/3.0+Ь1* (Е/(2.0+2. 0*уи) -Э22))*Ь2+с2*(Е/(то/(.0)-2.0)*Б22/3.0)*с1;

178. Pv3. [2] = {Ь2*(чпд/ии-1.0)-2.0)*312/3.0+с2*Е/{2.0+2.0*уи) )*Ь2 + (Ь2*(Е*то/ (1.0-чги*уи)+(1.0+то/(уи-1.0))*г22/3.0)-с2*312)*с2;

179. Ру3.[3] = (с2*(1.С^и/^и-1.0) МЗ^/Э.О+ЬгМЕЛг.О+г.О^иО-згг) ) *Ь2+с2*с2* (Е/ (1.0-лт*чт) + (vu/ (уи-1.0) -2 . 0) *322/3 . 0) ;

180. Pv3.[4] = (ЬЗ*^и/(уи-1.0)-2.0)*312/3.0+сЗ*Е/(2.0 + 2.0^и))*Ь2 +(ЬЗ*(Е*уи/(1.0-уи*то)+(1.0+vu/(vu-1.0))*Э22/3.О)-с3*312)*с2;5. = (сЗ*(1.0+^ии-1.0) )*312/3.0+Ь3* (Е/(2.0+2.0*лД1)-Б22) ) *Ь2+сЗ* (Е/ (1.0-уи*уи) + ии/ (уи-1. 0) -2 . 0) *Э22/3 . 0) *с2;

181. Pv4. [0] = ЬЗ*(Е/(1.0^и*то) + ^и/(\т-1.0)-2.0)*311/3.0)*Ь1 + (с1* (Е/ (2 . 0 + 2 . 0*уи) -БИ) +Ы* (1.0+уи/ (уи-1.0) ) *321/3.0) *сЗ;

182. Р^4. 1. = (-Ы*321+с1*(Е*уи/(1.0^и*уи) + (1.0+уи/(то-1.0)) ♦311/3.0) ) *ЬЗ+ (с1* (уи/ (уи-1.0) -2.0) *Э21/3. 0+Ы*Е/ (2.0+2.0^и) ) ♦сЗ;

183. Ру4. [2 ] = ЬЗМЕ/(1.0-уи-^и) + ^и/^и-1.0)-2.0)*311/3.0)*Ь2 + (Ь2* (1.0+уи / (vu-l. О) ) *321/3. 0+с2* (Е/ (2.0+2 .О^и) -ЭИ) ) ♦сЗ;

184. Pv4.[3] = (-Ь2*321+с2*(Е*уи/(1.0-то*уи)+(1.0+то/(уи-1.0)) ♦ЭП/З.О) ) *ЬЗ+ (с2* (VII/ (лги-1.0)-2.0) *321/3 . 0+Ь2*Е/(2 . 0+2 . О^и) ) ♦сЗ;

185. Ру4. [4] = ЬЗ*ЬЗ*(Е/(1.0^и*уи) + (уи/ии-1.0)-2.0)*311/3.0) + (ЬЗ* (1.0+то / (vu-l. О) ) *Б21/3 . 0+сЗ* (Е/ (2 . 0+2 . О^и)-ЭИ) ) *сЗ;

186. Pv4.[5] = (-ЬЗА321 + сЗЛ (ЕЛто/(1.0^и^и) + (1.0+^1/(уи-1.0) ) ♦БИ/З . 0) ) *ЬЗ+ (сЗ* Ыи/ (уи-1.0)-2.0) *Б21/3 . 0+ЬЗ*Е/ (2 . 0+2 . О^и) ) *сЗ;

187. Р^5. [0] = (с1*Е/(2.0+2.0*то)+Ь1* ^и/^и-1.0)-2.0)*312/3.0) *ЬЗ + (Ы* {Е*уи/ (1.0-уи^и) + (уи-1.0) ) *322/3.0)-с1*312) *сЗ;

188. Pv5.1. = (с1М1.0+^(то-1.0)И312/3.0+Ь1МЕ/(2.0+2.0^и)-322) ) ♦ЬЗ+сЗ* (Е/ (1.0^и*уи) + . 0) -2 . 0) *322/3.0) *с1;

189. Р^5.[2] = (Ь2*(то/(уи-1.0)-2.0)*312/3.0+с2*Е/(2.0+2.0*уи))*ЬЗ + (Ь2* (Е^\т/ (1.0-чт^и) + (1.0+лт/^и-1.0) ) *Э22/3 . 0)-с2*312) *сЗ;

190. Ру5.[3] = (с2*(1.0+уи/(уи-1.0))*312/3.0+Ь2*(Е/(2.0+2.0*уи)-Э22))♦ЬЗ+сЗ*(Е/(1.0-^д*уи)+(то/(то-1.0)-2.0)*Э22/3.0)*с2;

191. Ру5.[4] = (ЬЗ*{уи/(уи-1.0)-2.0)*812/3.0+сЗ*Е/(2.0+2.0*уи))*ЬЗ

192. ЬЗ*(E*vu/(1.0-vu*vu)+(1.О+vu/(vu-1.0))*S22/3.0)-c3*S12)*сЗ;

193. Pv5.[5] = (c3*(1.0+vu/(vu-1.0))*S12/3.0+b3*(Е/(2.0+2.0*vu)-S22))*ЬЗ+сЗ*сЗ*(E/(1.0-vu*vu)+(vu/(vu-1.0)-2.0)*S22/3.0); Расчет напряжений

194. MasdS:=linalgmatrix.(4,6): JS:= linalg[vector](4): >JS1.:= (kg4*dVdx[1]+kg3*dVdx[4]):

195. JS2. := G*(dVdx[2]+dVdx[3]) : >JS[3]:= JS[2]:

196. JS4.:= (kg3*dVdx[l]+kg4*dVdx[4]):1. SRest(JS) :for x from 1 by 1 to 4 do for у from 1 by 1 to 6 do MasdSx,y.:=SPvrem[x,y] end do end do:with(codegen,C): C(MasdS):

197. А11:=1: А22:=1: А12:=0: А21:=0:

198. Б11:=0: Э12:=0: 321:=0: Б22:=0:1. Н1:=0.02:

199. Ж1.:=0: Я2.:=0: К[3]:=0: И[4]:-0.02: БЦ5]:=0.015: К[б]:=0.01:

200. VI :=аЬз (1/2*1д.па1дс1е'Ь. (1±па1д[юа^±х] (3,3, [[1,К1. ,К[2]] , [1,И[3] ,Щ4 П ,[1,»[5],К[6]]]))>:ы (»6. [ 4 ] ) / (2 *VI)1. Ь2 = (К2. -щб])/(2^1)

201. ЬЗ = (К 4. ~»[2] ) / (2*VI)с1 = (К3. -Щ5])/(2^1)с2 = (И5. 1.)/(2♦VI)сЗ = (Щ1. -Щ3])/(2*ЛП.)

202. Е:=2.1*10А11: то:=0.3: >К:= Е/(3-6*чл1); N1= Е/ (1+Ута) ; >Р: = II:.1750000000 1012 N := .1615384615 1012 >Pv: = вvalm(Hl*Vl* (Р1+Р2+РЗ+Р4)) : > evalm(Pv) :with(codвgвn,C):

203. Pv 0 [0. = 0 .1375000000307692Е10;1. РУ0 1. = 0.75000000015Е9;

204. РУ 0 [2. = 0.1634615387692311Е9;

205. Ру0 [3. = 0.576923077038462Е8;

206. РУ0 [4. = -0.15384 61538384 615Е10;

207. Ру0 [5. = -0.807 6923074 903848Е9;

208. РУ1 [0. = 0.75000000015Е9;

209. РУ1 1. = 0.2000000000107692Е10;

210. РУ1 [2. -0.576923077038462Е8;

211. РУ1 [3. = -0.146153846143077Е10;

212. Ру1 [4. = -0.692307692134 6152Е9;

213. РУ1 [5. = -0.5384615384346153Е9;

214. РУ 2 [0. = 0.1634615387692311Е9;

215. Ру 2 1. = -0.576923077038462Е8;

216. Ру 2 [2. = 0.1375000000307692Е10;

217. Ру 2 [3. = -0.75000000015Е9;

218. Pv2.[4] = -0 .1538461538384615E10;

219. Pv2.[5] = 0. 8076923074903848E9;

220. Pv3.[0] = 0. 576923077038462E8;

221. Pv3.1. = -0 .146153846143077E10;

222. Pv3.[2] = -0 .75000000015E9;

223. Pv3.[3] = 0. 20000000001076 92 ЕЮ;

224. Pv 3. [4] = 0. 6923076921346152E9;

225. Pv 3. [5] = -0 •5384615384346153E9;

226. Pv 4. [0] = -0 .1538461538384615E10;

227. Pv 4. 1. = -0 .6923076921346155E9;

228. Pv 4. [2] = -0 .1538461538384615E10;

229. Pv 4. [3] = 0. 6923076921346155E9;

230. Pv 4. [4] = 0. 3076923075384615E10;1. Pv 4. [5] = 0. 0;

231. Pv5. [0] = -0 .8076923074903845E9;

232. Pv 5. 1. = -0 .5384615384346153E9;

233. Pv 5. [2] = 0. 8076923074903845E9;

234. Pv 5. [3] = -0 .5384615384346153E9;1. Pv 5. [4] 0. 0;