автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процесса электропотребления при краткосрочном прогнозировании методами ортогональных разложений

На правах рукописи

I

Сухомлинова Ольга Александровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ ПРИ КРАТКОСРОЧНОМ ПРОГНОЗИРОВАНИИ МЕТОДАМИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону - 2005

Работа выполнена на кафедре "Электроснабжение промышленных предприятий и городов" энергетического факультета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Надтока Иван Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Жак Сергей Вениаминович

доктор технических наук, доцент Сидельников Владимир Иванович

Ведущая организация:

ГОУ ВГТО "Ростовский государственный университет путей сообщения"

Защита состоится 24 ноября 2005 г. в 11.00 часов на заседании диссертационного совета К 212.208.04 в Южно-Российском региональном центре информатизации высшей школы при Ростовском государственном университете по адресу 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки 200/1, корп.2, ЮГИН-ФОРГУ, 206.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке РГУ по адресу г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 24 октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета К.212.208.04

кандидат физико-математических наук, Муратова

доцент (7 Галина Викторовна

ÛOte-1/

1,01ч £

з ¿¿¿SJLcZgf

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Основными направлениями научных исследований в прогнозировании временных рядов различной природы, включая ряды электропотребления, являются адаптация существующих и создание новых математических моделей, учитывающих различные внешние факторы, их взаимосвязи и влияние на исследуемый процесс. В энергетике прогнозирование параметров электропотребления важно с точки зрения соблюдения установленных предельных значений для мощностей потребителей и количества используемой электроэнергии. Несоблюдение этих норм потребителями оборачивается для них денежными штрафами и санкциями со стороны энергоснабжанмцей организации, а в энергосистеме это может привести к ухудшению качества электроэнергии, перерасходу топлива на электростанциях и т.п. Повышенные требования к точности прогнозирования электропотребления в условиях рыночных отношений между производителями и потребителями электроэнергии требуют совершенствования и разработки новых математических прогнозных моделей, отвечающих современным требованиям по срокам и точности прогнозирования.

Существующие методы и математические модели прогнозирования не всегда удовлетворяют требованиям, предъявляемым к точности прогноза на оптовом рынке электроэнергии (ОРЭ) из-за неудовлетворительного учета ряда факторов, таких как освещенность, длительность светового дня, сезона года, а также экономических и социальных, что приводит к погрешности прогнозирования и соответственно увеличению затрат на приобретение электроэнергии на ОРЭ.

Вопросы моделирования режимов электропотребления широко представлены в научных публикациях Д.А. Арзамасцева, Г.Я. Вагина, В.А. Вени-кова, А.З. Гамма, JI.A. Крумма, Т.Б. Лещинской, Б.В. Пагпсова, В.П. Степанова, Ю.А. Фокина и др. Прогнозированию режимов электропотребления посвящены работы Д.В. Бэнна, И.Е. Васильева, Ф.Д. Гальяны, В.И. Гордеева, Дж. Гросса, С.К. Гурского, В.И. Доброжанова, C.B. Жака, Б.И. Кудрина, Б.И. Ма-коклюева, A.M. Меламеда, И.И. Надтоки, В.И. Сидельникова, A.B. Седова, Е.Д. Фармера и др. Несмотря на большое количество научных публикаций в области моделирования и прогнозирования электропотребления, остается ряд проблем, основной из которых является разработка математических моделей процесса электропотребления, повышающих точность моделирования и прогнозирования.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетных тем ЮРГТУ(НПИ) «Рациональное использование топливно-энергетических ресурсов и повышение эффективности работы электроэнергетических систем» и «Проблемы автоматизации обработки информации в тренажно-обучающих, информационных и управляющих комплексах», утвержденных решением Ученого совета ЮРГТУ(НПИ) от 25 а подтверждает

ее актуальность.

Объект исследования - стохастические нестационарные ряды электропотребления.

Целью работы является разработка математической модели, алгоритмов и программного комплекса краткосрочного прогнозирования электропотребления, позволяющих минимизировать штрафные санкции за отклонение фактических графиков электропотребления от утвержденных прогнозных. Для достижения поставленной цели в данной работе ставятся и решаются следующие задачи исследования:

1. Модификация существующих и разработка новых адаптивных математических моделей для прогнозирования временных рядов электропотребления с учетом влияния внешних факторов.

2. Анализ и разработка математических моделей для учета корреляционных и регрессионных зависимостей между факторами и исследуемым процессом с целью повышения точности моделирования и прогнозирования.

3. Исследование и выбор оптимального варианта ортогонального разложения и системы базисных функций и разработка методов разложения временных рядов на составляющие, имеющие наиболее тесные взаимосвязи с внешними факторами.

4. Обоснование и выбор прогнозных математических моделей для различных интервалов прогнозирования на основе анализа структуры и динамики электропотребления на различных временных интервалах (сутки, неделя, год).

5. Разработка методов распознавания в моделируемом процессе участков суточных графиков нагрузки, соответствующих различным периодам сезонного цикла в условиях влияния внешней среды.

6. Создание программного комплекса краткосрочного прогнозирования электропотребления на основе разработанных математических моделей, методов и алгоритмов.

Методы исследования. Решение поставленных задач получено на базе математического моделирования с использованием методов компонентного анализа, теории матриц, анализа временных рядов, методов многомерного статического анализа и реализовано с помощью методологии объектно-ориентированного программирования с использованием современных тенденций разработки программного обеспечения.

Достоверность полученных результатов. В предложенных математических моделях использованы фундаментальные законы сохранения энергии и законы электротехники. Для проверки разработанных математических моделей выполнены тестовые прогнозы суточных графиков электрической нагрузки (СГЭН) для различных сезонов года, включая периоды наибольшей динамики временных рядов (весна, осень). Результаты тестовых прогнозов с погрешностью не более 2 % совпадают с фактическими значениями СГЭН на двухсуточном интервале. Временные ряды электропотребления, используемые при выполнении тестовых прогнозов получены с помощью сертифицированных поверенных автоматизированных систем коммерческого учета электроэнергии (АСКУЭ) и систем телемеханики оперативного измеритель-

ного комплекса (ОИК) диспетчерской службы ОАО «Ростовэнерго». Достоверность также подтверждается корректным использованием методов многомерного статистического анализа и линейной алгебры.

Научная новизна работы.

1. Для разложения рядов электропотребления впервые применен метод сингулярного спектрального анализа.

2. Определены оптимальные значения параметров в рамках применения метода сингулярного спектрального анализа для моделирования временных рядов электропотребления.

3. Предложена модификация метода индексов сезонности, позволившая повысить точность прогнозирования на интервале 2-3 суток.

4. Проведено краткосрочное прогнозирование ряда почасового электропотребления на двухсуточном интервале с приемлемой погрешностью по результатам разложения методом сингулярного спектрального анализа.

5. Разработан программный комплекс на основе методов ортогонального разложения для решения поставленных в диссертационной работе задач.

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в повышении точности моделирования и краткосрочного прогнозирования электропотребления энергосистемы. Результаты работы внедрены в ОАО «Энергосбыт Ростовэнерго» в программном комплексе краткосрочного прогнозирования электропотребления, а также в учебный процесс ЮРГТУ(НПИ) (ГОУ ВПО "Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)"), НГМА (ФГОУ ВПО "Новочеркасская государственная мелиоративная академия"), ФГОУ "Ростовский институт переподготовки кадров агробизнеса".

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на следующих конференциях и семинарах:

- вторая и третья международные научно-практические конференции «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах» (г. Новочеркасск, 2001-2002 г.г.);

- вторая и третья международные научно-практические конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (г. Новочеркасск, 2002-2003 г.г.);

- вторая международная научно-практическая конференция «Современные энергетические системы и комплексы и управление ими» (г. Новочеркасск, 2002 г.);

- третья международная научно-практическая конференция «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (г. Новочеркасск, 2002 г.);

- XXIV сессия семинара «Диагностика энергооборудования» (г.Новочеркасск, 2002 г.);

- XXV сессия семинара «Электроснабжение промышленных предприятий» (г.Новочеркасск, 2003 г.);

- всероссийская научная конференция с международным участием «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения» (г. Таганрог, 2003 г.);

- второй специализированный семинар «Современные методы и программные средства анализа и планирования электропотребления, балансов мощности и электроэнергии» (г. Москва, 2004 г.);

- четвертая международная научно-практическая конференция «Проблемы экономики, организации и управления реструктуризацией и развитием предприятий промышленности, сферы услуг и коммунального хозяйства» (г. Новочеркасск, 2005 г.).

- выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН «Альтернативные естественно возобновляющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов» (г. Ессентуки, 2005 г.);

- пятая международная научно-практическая конференция «Современные энергетические системы и комплексы и управление ими» (г. Новочеркасск, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа общим объемом 4,5 п.л., из них 3 научные статьи и 16 тезисов докладов на научных конференциях и семинарах, 2 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ в Роспатенте.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы, трех приложений. Общий объем диссертации - 185 страниц, в том числе 157 страниц основного текста, 69 рисунков и 13 таблиц. Список использованной литературы содержит 138 наименований.

Автор выражает благодарность доценту кафедры "Автоматика и телемеханика" ЮРГТУ(НПИ) к.т.н. Седову A.B. за консультации и помощь в подготовке диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы, раскрыта научная новизна и практическая значимость работы, приведены положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию особенностей графиков электропотребления, в основном СГЭН, и анализу методов их моделирования, особое внимание среди которых уделено методам, основанным на ортогональных разложениях. Рассмотрены характеристики и формы типичных СГЭН. При моделировании СГЭН необходимо учитывать следующие его особенности: СГЭН является нестационарным случайным процессом в силу действия на объект электроснабжения внешних возмущений; свойства полученной прогнозной модели во многом зависят от выбора интервала моделирования; СГЭН обладают свойством регулярности.

Наиболее употребляемый подход при моделировании СГЭН сводится к декомпозиции процесса суточного электропотребления P(t) на две составляющие: детерминированную PD(t) и случайную PR(t):

P(t) = PD(t) + PR(t). (1)

Регулярность процесса электропотребления обусловлена повторяющимся характером потребления электроэнергии с периодами, равными суткам, неделе, году. Для учета регулярности P(t) используется классификация СГЭН по степени регулярности, что позволяет выделить основные их типы. Каждому типу ставится в соответствие своя детерминированная составляющая PD(t). При моделировании СГЭН важен выбор конечного базисного интервала Ts, на котором исследуется процесс электропотребления. Обычно длина Ts равна интервалу цикличности: неделя, месяц, сутки. При моделировании СГЭН для разных суток возникает проблема неоднородности реализаций: можно выделить несколько характерных типов графиков P(t), причем каждый из типов имеет свою специфику, поэтому для адекватного моделирования для них часто проводится процедура классификации, например, с применением кластерного анализа. На процесс электропотребления оказывает влияние ряд внешних факторов, которые обобщенно можно разделить на следующие типы: экономические, временные, погодные и случайные.

Для выбора методов моделирования применяют классификацию прогноза электрической нагрузки по следующим критериям: по области применения (долгосрочный, среднесрочный, краткосрочный), по времени упреждения (оперативный, краткосрочный, внутримесячный, долгосрочный, годовой, перспективный), по системным требованиям (с применением off-line -, online - и интерактивных систем). В разных источниках временной интервал для краткосрочного прогнозирования нагрузки (КСПН) определяется по-разному, поэтому в данной работе принят период для краткосрочного прогноза от одних суток до нескольких недель.

Краткосрочное прогнозирование предполагает предсказание ряда величин: суточные пики нагрузки системы; утренний и вечерний максимумы; часовое и получасовое потребление в системе, нагрузки системы в определенные моменты времени суток, суточное и недельное потребление системы, но наибольший интерес представляют значения почасовых нагрузок. По мере развития алгоритмов прогнозирования нагрузки, все большее значение приобретают требования, предъявляемые к моделям: адаптивность, устойчивость, рекурсивность, экономичность, учет специфики формы СГЭН, учет внешних факторов, учет коррелированное™ параметров модели, точность, возможность контроля правильности прогнозирования. В современных системах управления электропотреблением моделирование и прогноз осуществляется в системе КСПН, которая состоит из следующих компонент: источники данных, модель краткосрочного прогнозирования, средства взаимодействия человека с машиной.

В построении моделей краткосрочного прогнозирования используется два подхода: параметрический и трендовый. При параметрическом подходе СГЭН P(t) рассматривается как случайный процесс и сводится к построению существенно неустойчивых нестационарных прогнозных моделей (ARI, ARIMA, ARIMAX и др.), что в некоторых случаях является причиной быстрой расходимости прогнозных значений при увеличении времени упреждения. Недостатком параметрического подхода является также и то, что в нем плохо учитывается предыстория изменения процесса электропотребления за предыдущие сутки. Трендовый подход заключается в вычитании тренда PD(t) из исходного графика P(t) (см. формулу 1). Задача сводится к раздельному моделированию трендовой и случайной составляющих, а затем дальнейшему объединению этих прогнозов. В случае качественного выделения из P(t) трендовой составляющей Pn{t), полученная модель PR(t) является устойчивой. Исходя из того, что трендовый подход предпочтительнее параметрического исследования в данной работе основываются на нем.

Случайная составляющая PR(t) моделируется одномерными линейными моделями, такими как ARI, ARIMA, ARIMAX др. В практике моделирования и прогнозирования трендовой составляющей PD(t) применяются метод скользящего среднего, метод экспоненциального сглаживания, моделирование полиномами п-й степени и др. Большую роль при моделировании PD(t) играют методы, основанные на ортогональных разложениях. Изначально при развитии методов моделирования временных рядов в электроэнергетике в качестве модели тренда использовалось разложение в ряд Фурье. Позже стали применяться и другие направления разложения временных рядов по ортогональным составляющим: метод ¿-функций и метод главных компонент (МГК). Рассматриваемый в работе метод сингулярного спектрального анализа (Singular Spectrum Analysis - SSA) опирается на МГК. С точки зрения моделирования, важным свойством разложения является сохранение свойств процесса при исключении части компонент разложения, то есть при уменьшении количества учитываемых параметров. Кроме того, при разложении желательно добиться такого разбиения на компоненты, при котором участвующим в разложении компонентам дается смысловая интерпретация.

В диссертационной работе проведен сравнительный анализ методов моделирования временных рядов, основанных на ортогональных разложениях: разложение в ряд Фурье, метод к -разложений, МГК. Выделены достоинства и недостатки каждого из них. Критерием эффективности применения того или иного метода разложения служит степень малости среднеквадратическо-го отклонения 8, а также скорость убывания 8 при увеличении числа неот-брасываемых компонент. Наилучший результат при любом количестве учитываемых компонент т дает МГК. Модели, основанные на МГК, имеют наименьшую погрешность среди ортогональных разложений с т слагаемыми, обладают свойством наилучшей воспроизводимости, то есть использование моделей с применением МГК позволяет выделить такие компоненты реали-

заций процесса P(t), которые наиболее полно описывают изменения его трендовой составляющей и количество таких компонент минимально.

Во второй главе приведены общие принципы применения ортогональных разложений для моделирования рядов суточного электропотребления и рассмотрен алгоритм моделирования временных рядов на основе метода SSA, его характерные особенности. Рассмотрены основные определения, условия и виды разделимости рядов, представлена обобщающая структура, содержащая в себе главную информацию о разделимости рядов, проиллюстрировано противоречие, возникающее между слабой и сильной разделимостью, проанализирована связь между формой сингулярных векторов и видом аддитивных компонент разлагаемого ряда, обобщены основные критерии выбора оптимальных характеристик разложения: длины окна и структурного параметра, показаны принципы выбора этих величин.

Для процесса электропотребления имеет место большое количество реализаций Д, Р2, ... , PN и их случайных параметров, которые можно представить в виде координат (компонент) случайного вектора

Pj=[ptj, p2j, ..., , существует проблема коррелированное™ параметров векторов Р{, Р2, ..., PN и уменьшения количества учитываемых при разложении параметров, то есть представление многомерного случайного процесса Р через процесс F меньшей размерности т < п с некоррелированными параметрами. Данная задача может быть решена при помощи ортогонального разложения многомерного случайного вектора Р:

1=1

где U, - координатные векторы ортогонального разложения, f - коэффициенты ортогонального разложения; - j-й вектор, обусловленный погрешностью, связанной с уменьшением числа измеряемых слагаемых до т.

В качестве координатных векторов U. в работе предлагается использовать собственные векторы ковариационной матрицы Kt, исследуемого процесса и применять для решения задачи ортогонального разложения МГТС, который является неотъемлемой частью метода SSA, используемого в диссертационной работе для моделирования и прогнозирования временных рядов электропотреблеиия.

Первоначально метод SSA применялся для исследования гидрологических показателей и временных рядов в экономике, изучения движения полюса земли и солнечной активности, что, безусловно, указывает на универсальность этого метода.

Суть метода SSA состоит в преобразовании исходного одномерного ряда ZN = — ... ,zN) в многомерный, исследовании полученной траекторией матрицы по МГК и последующем восстановлении одномерного ряда. При этом часто оказывается возможным выделить отдельные слагаемые ис-

ходного ряда, такие как медленно изменяющейся тренд общего вида, периодические и случайные составляющие. Метод 8БА состоит из двух этапов: разложения и восстановления, каждый из которых, в свою очередь состоит из двух шагов (см. рис 1).

Этап I: Разложение

1. Вложение

2. Сингулярное разложение

Этап II: Восстановление

3. Группировка

4. Диагональное усреднение

Рис. 1. Общая схема этапов метода 8вА

1. Результатом шага "Вложение" является отображение, переводящее одномерный временной ряд 2Ы в многомерный ряд X (траекторная матрица ряда 2дг):

4+1

1

'¡V /

где К = М-Ь + 1.

2. На следующем шаге происходит сингулярное разложение траекторией матрицы X:

(2)

1=1

где и,, V, - левый и правый сингулярные векторы, ^ - сингулярное число г -й сингулярной тройки ковариационной матрицы траекторной матрицы X, (1 - ранг матрицы X, <1 - шах(/) для Я, > 0. Выражение (2) можно записать так:

Х = Х^+Хг+... + Хл,

где X, = ^[¿¡иу*- элементарная матрица.

3. Далее происходит группировка сингулярных троек, полученных на предыдущем шаге, исходя из предположения, что исходный ряд ZЛ, может быть представлен в виде суммы аддитивных составляющих, каждая из которых, в общем случае, является суммой элементарных рядов ■ Группиров-

ка собственных троек делит множество индексов {1, ..., на т непересекающихся подмножеств /,, ..,,!„. Пусть / = {/,, ..., /р},тогда X, = Хч + ... + Х,р.

Х = Х, + ... +Х1т (3)

Этот этап связан с выбором структурного параметра и понятием разделимости рядов.

4. Результатом шага "Диагональное усреднение" является перевод каждой матрицы сгруппированного разложения (3) в новый ряд длины N, путем усреднения элементов матрицы Х^ вдоль побочных диагоналей и приведению матрицы Х^ к ганкелевой форме.

Результаты моделирования с применением ББА зависят от правильного выбора целочисленного параметра Ь- длины окна и структурного параметра, определяющего правила группировки временных рядов. Величина длины окна зависит от целей исследования, длины и периодограммы исследуемого ряда, вида решаемой задачи, разделимости рядов. Причем при выборе длины окна может возникнуть противоречие между слабой и сильной разделимостью. Принципы выбора структурного параметра основаны на анализе сингулярных векторов, сингулярных чисел и матрицы коэффициентов а>-корреляций, элементы которой определяются формулой:

(2?,4»)

лг

где - 1-й и у'-й элементарные ряды,

взвешенное скалярное произведение, Цг^'Ц |2,

к=\

Щ = ^Х®* ~ взвешенные нормы рядов и

для 1 < / 5 тш(1, К), а, =-1пип(1,АГ) для тт(1, А") < г < тах(Ь,К), - значение г -го весового ко-

N-1 для тах(Х, А:) +1 < / < ТУ. эффициента.

В третьей главе произведено построение алгоритма и анализ СГЭН на основе методов ортогональных разложений, проанализированы особенности реализаций. Приведен пример применения метода ББА для разложения временных рядов электропотребления 7Л, = р2\, ... ,£>„*], где j = l..Jf

Пусть интервал моделирования составляет N = 360, то есть при почасовых замерах (п = 24) - 15 суток (см. рис. 2). Ставится задача поиска разложения

ряда 2Ы на три ряда - непериодический тренд 2{Р, периодические колебания 2^ и случайный процесс 2(Р.

/>(?)•! О6, КВт

1Д Н-1---1——1-1-—1---1-1-т--г--1--1-1-г —1--1

1 25 49 73 97 121 145 169 193 217 241 265 289 313 337

г, № измерения

Рис. 2. Исследуемый ряд электропотребления

Анализ периодограммы исходного ряда 2М позволил выделить следующие частотные всплески и», (в скобках дан в процентах информационный вклад частот в разложение): и>, = (54,27 %) - суточная составляющая, %) - полусуточная составляющая, щ (8,01 %) - не-

дельная составляющая. Исходя из значений ус,, естественно выбрать длину окна £-24, так как вклад частоты и», в ряд 2Н самый большой. По выбранной длине окна Ь строится траекторная матрица ряда X и производится ее сингулярное разложение.

Построенные по собственным векторам разложения С/, -1124 периодограммы позволили в исходном ряде 2Ы выделить и предварительно сгруппировать элементарные ряды соответствующие непериодической трендо-вой 2(р, периодической колебательной '¿^ и случайной 2^ составляющим. Так трендовой компоненте ] ряда 2Ы соответствует только одна (первая) сингулярная тройка - информационный вклад которой

в ряд самый весомый (98,43 %) и определяется значением соответствующего сингулярного числа ^Д". Колебательная компонента содержится в сингулярные тройках со второй по пятую - (^/^^'^^(лАб'^з»^)' общий вклад которых в разложение ряда 2Ы составляет 1,8 %. Остальные сингулярные тройки относятся к случайной компоненте.

Кроме периодограмм для исследования разложения ряда 2Ы используются двумерные диаграммы собственных или факторных векторов сингулярного разложения и анализ графиков логарифмов сингулярных чисел . На рис. 3 приведен пример регулярной двумерной диаграммы для собственных векторов иА - и5. Отметим, что регулярное поведение двумерных диаграмм векторов и, - и} является признаком того, что восстановленные по ним временные ряды и Zд/) относятся к колебательной составляющей 2^ ряда 2^ и соответствуют гармоникам с одной и той же частотой.

СЧ -н о —' сч СП

9 Ср е^Г о" о о* Рис. 3. Двумерная диаграмма собственных векторов {/4 -{/5

На основе анализа периодограмм собственных векторов, двумерных диаграмм собственных и факторных векторов, графика распределения собственных значений и матрицы т -корреляций была произведена группировка траек-торных матриц элементарных рядов и выделение трех составляющих разложения 2^, при помощи процедуры диагонального усреднения соответствующих им траекторных матриц (см. рис. 4).

Экстраполяция рядов 2(р, 2*р\ 2(р осуществляется с применением различных методов моделирования. Для прогноза трендовой составляющей 2(Р предлагается использовать метод экспоненциального сглаживания второго порядка, для колебательной составляющей - 2^- метод Бокса-Дженкинса с периодической составляющей, для случайной составляющей --метод Бокса-Дженкинса.

а) 1 слп ?1Г) Ю6,КВт

б)

г(„к)-ю5, квт

145 193 /', № измерения

49

в)

12,0 ^С,'104'КВт 9.5

97 145 193

/, № измерения

241

289

337

145 193

г, № измерения

Рис. 4. Аддитивные составляющие разложения исходного временного электропотребления :

а) трендовая '¿{р\ б) гармоническая в) случайная

ряда

Существенным недостатком метода экспоненциального сглаживания является то, что он дает необходимую точность с ошибкой локальной аппрок-

симации, не превышающей 2 %, только на участках, где прогнозируемый ряд не меняет своей тенденции. Особенностью трендовой составляющей при длине окна I = 24 является наличие ярко выраженной недельной цикличности, которую необходимо учитывать при прогнозе. Это позволяет сделать метод индексов сезонности, включающий следующие этапы: предварительная очистка ряда от сезонной составляющей методом скользящего среднего; вычисление индексов сезонности; прогнозирование, очищенного от сезонности ряда; восстановление исходного ряда на интервале прогнозирования по индексам сезонности.

Несовершенство такого подхода заключается в следующем. Так как для очистки ряда от сезонности в базовом методе индексов сезонности применяется метод скользящего среднего, заключающейся в осреднении значений ряда на интервале сезонности (в нашем случае это недельный интервал почасовых данных - 168 точек), то часть информации о тренде теряется, а именно, длина тренда сокращается на величину интервала осреднения. Вышесказанное приводит к понижению точности вычисления индексов сезонности, а значит и дальнейшего прогнозирования ряда

В диссертационной работе такая проблема решается заменой тренда, вычисленного с использованием скользящей средней, трендом, полученным по методу сингулярного спектрального анализа при длине окна Ь = 168 (см. рис. 5), который сглаживает недельную цикличность и сохраняет длину трендовой составляющей, что позволяет снизить величину относительной ошибки в точке при прогнозе методом индексов сезонности с 6 до 2 %.

Так как в энергосистеме стоит задача краткосрочного прогнозирования электропотребления на двое суток вперед, что связано с требованиями предъявляемыми ОРЭ, то проведено сравнение априорного прогноза на этот период, используя МГК и метод БвА. Метод ББА при этом дал лучшие прогнозные показатели, чем МГК: ошибка локальной аппроксимации в точке не превышает 2 %, в то время как по МГК - может превышать 5 %. С другой стороны, при использовании МГК для прогнозирования суточного электропотребления на больших временных интервалах (несколько недель), он дает лучшие показатели (ошибка по СГЭН не превышает 12 %), в то время как при использовании метода ББА погрешность лавинообразно растет, превышая порог в 12 % уже на седьмые сутки прогнозирования. Отсюда можно сделать вывод, что в зависимости от интервала прогнозирования нужно отдавать предпочтение тому или иному методу прогнозирования: при прогнозе электропотребления до 2-3 суток - 8БА, а на больших временных интервалах от нескольких суток до нескольких дней - МГК.

7^106,КВт

145 193 241 и № измерения

Рис. 5. Модификация метода индексов сезонности:

1 - исходный ряд (трендовая составляющая при I = 24);

2 - тренд, вычисленный по методу скользящей средней;

3 - тренд, полученный по ББА, при I = 168;

4 - прогнозный ряд по тренду, полученному по 88А, при Ь = 168.

Для целей моделирования, анализа и краткосрочного прогнозирования временных рядов электропотребления были разработан программный комплекс, включающий три программы для ЭВМ, которые содержат следующие обобщенные модули: реализация математической модели, работа с анализируемыми рядами, модуль анализа результатов моделирования и прогнозирования. В Роспатенте получены свидетельства об официальной регистрации этих разработок.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Для разложения временных рядов процесса электропотребления впервые применен метод сингулярного спектрального анализа, позволяющий выявлять составляющие ряда и осуществлять их моделирование.

2. Проведены вычислительные эксперименты, позволившие определить оптимальные значения целочисленного параметра - длины окна и структурного параметра, определяющего способ группировки в методе сингулярного спектрального анализа.

3. Предложена модификация метода индексов сезонности, заключающаяся в изменении способа построения тренда, позволяющего снизить ошибку краткосрочного прогнозирования на двухсуточном интервале с 6 % до 2%.

4. Получена методика с использованием моделирования методом сингулярного спектрального анализа, позволяющая получить краткосрочный прогноз суточных графиков электрической нагрузки на двухсуточном интервале с погрешностью, не превышающей 2 %.

5. Разработан программный комплекс для решения задач исследования, моделирования и краткосрочного прогнозирования процесса электропотребления на основе ортогональных разложений.

Основные материалы диссертационной работы изложены в следующих публикациях.

1. Надтока И.И., Сухомлинова O.A. Модели трендов графиков электропотребления на основе ортогонального разложения метода главных компонент // Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах: Материалы II междунар. науч.-практ. конф. 25 нояб. 2001г., г. Новочеркасск / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ).- Новочеркасск: ООО НПО «Темп», 2001.- Ч.4., С. 26-29.

2. Надтока И.И., Сухомлинова O.A. Прогноз электропотребления энергосистемы с учетом сезонности и среднесуточной температуры воздуха // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы II междунар. науч.-практ. конф. 18 янв. 2002г., г. Новочеркасск / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ).-Новочеркасск: ООО НПО «Темп», 2002.- Ч.1.,С. 45-49.

3. Надтока И.И., Сухомлинова O.A. Моделирование трендов электропотребления и классификация суточных графиков нагрузки энергосистемы // Современные энергетические системы и комплексы и управление ими: Материалы междунар. науч.-практ. конф. 7 марта- 26 апреля 2002г., г. Новочеркасск / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ).-Новочеркасск: ООО НПО «Темп», 2002.- Ч.З., С. 5-9.

4. Надтока И.И., Мальцева A.A., Сухомлинова O.A. Сравнительный анализ методов выделения трендов и циклических временных рядов электропотребления // Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики: Материалы III междунар. науч.-практ. конф. 20 сентября 2002г., г. Новочеркасск / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ).-Новочеркасск: ООО НПО «Темп», 2002.- Ч.З., С. 40-44.

5. Надтока И.И., Сухомлинова O.A., Мальцева A.A. Прогноз электропотребления в энергосистеме с учетом разделения потребителей на группы // Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах: Материалы III Междунар. науч.-практ. конф., г.Новочеркасск, 15 ноября 2002г.: В 4 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т,-Новочсркасск: ООО НПО «Темп», 2002. - Ч.З., С. 36-41.

6. Надтока И.И., Сухомлинова O.A., Мальцева A.A. Анализ зависимости электропотребления в энергосистеме от температуры воздуха // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы III науч.-практ. конф., г.Новочеркасск, 17 января 2003г.: В 3 ч./ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т.-Новочеркасск: ООО НПО «Темп», 2002. - Ч.1., С.9-13.

7. Надтока И.И., Мальцева A.A., Сухомлинова O.A. Долгосрочный прогноз электропотребления по группам потребителей в энергосистеме // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике: Материалы III науч.-практ. конф., г.Новочеркасск, 17 января 2003г.: В 3 ч./

Юж.-Рос. гос. техн. ун-т.-Новочеркасск: ООО НПО «Темп», 2002. - Ч.1., С.13-18.

8. Сухомлинова O.A. Применение ортогональных разложений при моделировании трендов процессов электропотребления // Кибернетика электрических систем: материалы XXIV сессии семинара "Диагностика энергооборудования", г.Новочеркасск, 24-26 сентября 2002 г. С. 82.

9. Надтока И.И., Седов A.B., Сухомлинова O.A. Математическое моделирование при краткосрочном прогнозировании процесса электропотребления на основе ортогональных разложений // Кибернетика электрических систем: мат ериалы XXV сессии семинара "Электроснабжение промышленных предприятий", г.Новочеркасск, 15-16 октября 2003 г. С. 31-32.

1 О.Сухомлинова O.A. Программное обеспечение задачи краткосрочного прогнозирования электропотребления энергосистем в условиях рынка // Кибернетика электрических систем: материалы XXV сессии семинара "Электроснабжение промышленных предприятий", г.Новочеркасск, 15-16 октября 2003 г. С. 31-32.

П.Седов A.B., Сухомлинова O.A. Обобщенное векторно-матричное представление модели экспоненциального сглаживания для прогнозирования электрической нагрузки энергосистем // Кибернетика электрических систем: материалы XXV сессии семинара "Электроснабжение промышленных предприятий", г.Новочеркасск, 15-16 октября 2003 г. С. 36-37.

12. Сухомлинова O.A., Надтока И.И., Седов A.B. Моделирование процесса электропотребления в составе автоматизированного информационного комплекса энергосистемы // Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения. Труды VI Всероссийской научной конференции с международным участием. Научное издание - Таганрог. ООО "Антон". 2003. С. 336-339.

13. Надтока И.И., Седов A.B., Сухомлинова O.A. Математическое моделирование процесса электропотребления с использованием декомпозиционной прогнозирующей модели // Изв. вуз Сев.-Кавк. per. Проблемы мехатро-ники - 2003: Материалы международного научно-практического коллоквиума (г. Новочеркасск, 15-20 сентября 2003 г.). Техн. науки. Спец. выпуск. Новочеркасск: Изд-во РГУ, 2003. С. 124-127.

14.Оперативное, краткосрочное и долгосрочное прогнозирование электропотребления в энергосистеме /Надтока И.И., Седов A.B., Сухомлинова O.A. и др. // Современные методы и программные средства анализа и планирования электропотребления, балансов мощности и электроэнергии: Материалы второго специализированного семинара (г. Москва, 24-28 мая 2004 г.), С. 1-6.

15.Кабельков А.Н., Сухомлинова O.A. Сравнительная характеристика методов решения алгебраических уравнений n-ой степени с действительными коэффициентами //Актуальные проблемы мелиорации и водного хозяйства Юга России: Научно-практическая конференция сотрудников, аспирантов и студентов НГМА (16-17 октября 2002 г.) (сб. науч. статей). - Новочеркасск: НГМА, 2003. С. 28-30.

16.Прогнозирование электропотребления в энергосистеме с учетом температуры воздуха и освещенности /Надтока И.И., Седов A.B., Сухомлинова O.A. и др. //Электрика, №3,2005. С. 18-21.

17. Общие подходы построения комплексов оперативного, краткосрочного и долгосрочного прогнозирования электропотребления в энергосистеме /Надтока И.И., Седов A.B., Сухомлинова O.A. и др. //Альтернативные естественно возобновляющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов: выездная сессия Секции энергетики Отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН: Материалы сессии. Ессентуки, 12-15 апреля 2005 г.: В 2-х ч. 4.2 /Под ред. Я.Б.Данилевича. - Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2005. С. 191-192.

18.Надтока И.И., Сербиновская A.A., Сухомлинова O.A. Анализ эконо-мико-матема-тическое моделирование цикличности энергопотребления // Проблемы экономики, организации и управления реструктуризацией и развитием предприятий промышленности, сферы услуг и коммунального хозяйства: Материалы IV Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 30 марта 2005 г. / Юж.-Рос. техн. ун-т (НПИ).- Новочеркасск: ООО НПО «Теми», 2005. С. 29-33.

19.Надтока И.И., Ефимович Н.В., Сухомлинова O.A. Исследование собственных чисел и собственных векторов корреляционных матриц типовых моделей графиков электрической нагрузки // Современные энергетические системы и комплексы и управление ими: Материалы V Междунар. науч.-практ. конф., г. Новочеркасск, 27 мая 2005 г.: В 2 ч. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2005. - 4.1., С. 16-22.

20.Надтока И.И., Седов A.B., Сухомлинова O.A. Краткосрочный прогноз и планирование электропотребления энергосистемы на основе декомпозиционной математической модели (Kpal II 1-2003) ft Свид. Роспатента о per. программы для ЭВМ №2003612319 / Заявл. от 18.08.2003. Зарег. в Реестре программ для ЭВМ от 13.10.2003.

21. Надтока И.И., Сухомлинова O.A. Моделирование и прогнозирование временных рядов на основе ортогональных разложений (МиП-ОР) // Свид. Роспатента о per. программы для ЭВМ №2005612430 / Заявл. от 25.07.2005. Зарег. в Реестре программ для ЭВМ от 16.09.2005.

Личный вклад автора в работах опубликованных в соавторстве:

[1] - анализ модели тренда годовых графиков электропотребления; [2] - прогноз годовых графиков суточных расходов электроэнергии; [3] - анализ движения образов графиков электропотребления по плоскости главных компонент; [4] - анализ методов прогнозирования на основе ортогональных разложений графиков электропотребления; [5] - классификация суточных графиков электропотребления в зависимости от их положения на плоскости главных компонент; [6] - анализ свойства инерционности рядов электропотребления; [7] - подготовка данных для краткосрочного прогноза средствами разработанного ПО "Краткосрочное прогнозирование электропотребления -2003", исследование положения образов месячных графиков на плоскости

первых двух главных компонент; [9] - участие в разработке прогнозирующей модели, анализ полученных результатов прогнозирования; [11] - практическое исследование применения алгоритма экспоненциального сглаживания; [12] - участие в разработке математической модели электропотребления в составе автоматизированного информационного комплекса; [13] - участие в разработке декомпозиционной прогнозирующей модели, подготовка данных и анализ результатов, полученных при применении модели; [14] - разработка соответствующих модулей ПО "Краткосрочное прогнозирование электропотребления - 2003" для целей анализа временных рядов суточного электропотребления и тестирования модели, приведенной в статье; [15] - сравнительная характеристика итерационных методов и рЛ-метода, основанного на ортогональном разложении; [16] - описание ПО для решения задач кратко- у. срочного прогнозирования электропотребления в энергосистеме; [17] - опи- « сание функциональности ПО "Краткосрочное прогнозирование электропо-гребления - 2003"; [18] - анализ аддитивных составляющих временных рядов электропотребления за период с 1998 по 2004 гг.; [19] - анализ и построение двумерных диаграмм для аналитических зависимостей корреляционной функции процесса; [20, 21] - участие в разработке математической модели, реализация алгоритма, экспериментальная и расчетная часть, разработка программного обеспечения.

г

Подписано впечать 20.10.2005г. Тираж 100 экз. Заказ й 238 Типография НГМА г.Новочеркасск ул.Пушкинская III, 346428

f I

1

I

f

»20283

РНБ Русский фонд

2006-4 20742

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ

1.1. Общая характеристика моделируемого процесса электропотребления

1.2. Классификация прогнозов электрической нагрузки и требования, предъявляемые к прогнозным математическим моделям

1.3. Математические методы прогнозирования электрической нагрузки

1.4. Выводы по главе

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ МЕТОДАМИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ •

2.1. Общие принципы применения ортогональных разложений для моделирования процесса электропотребления

2.2. Моделирование процесса электропотребления методом главных компонент

2.3. Метод сингулярного спектрального анализа: исследование этапов и параметров разложения

2.4. Анализ временных рядов электропотребления с целью выбора целочисленного параметра сингулярного разложения

2.5. Выводы по главе

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ И КРАТКОСРОЧНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЯДОВ ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ МЕТОДОМ СИНГУЛЯРНОГО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

3.1. Анализ рядов электропотребления методом сингулярного спектрального анализа

3.2. Метод главных компонент и метод сингулярного спектрального анализа: сравнительная характеристика при моделировании и краткосрочном прогнозировании рядов электропотребления

3.3. Информационное и техническое обеспечение краткосрочного прогнозирования процесса электропотребления

3.4. Выводы по главе 3 139 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 141 СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ 142 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 143 Приложение 1. Результаты ортогональных разложений суточных графиков электрической нагрузки методом главных компонент и методом сингулярного спектрального анализа

Актуальность темы диссертации. Основными направлениями научных исследований в прогнозировании временных рядов различной природы, включая ряды электропотребления, являются адаптация существующих и создание новых математических моделей, учитывающих различные внешние факторы, их взаимосвязи и влияние на исследуемый процесс. В энергетике прогнозирование параметров электропотребления важно с точки зрения соблюдения установленных предельных значений для мощностей потребителей и количества используемой электроэнергии. Несоблюдение этих норм потребителями оборачивается для них денежными штрафами и санкциями со стороны энергоснабжающей организации, а в энергосистеме это может привести к ухудшению качества электроэнергии, перерасходу топлива на электростанциях и т.п. Повышенные требования к точности прогнозирования электропотребления в условиях рыночных отношений между производителями и потребителями электроэнергии требуют совершенствования и разработки новых математических прогнозных моделей, отвечающих современным требованиям по срокам и точности прогнозирования.

Существующие методы и математические модели прогнозирования не всегда удовлетворяют требованиям, предъявляемым к точности прогноза на оптовом рынке электроэнергии (ОРЭ) из-за неудовлетворительного учета ряда факторов, таких как освещенность, длительность светового дня, сезона года, а также экономических и социальных, что приводит к погрешности прогнозирования и соответственно увеличению затрат на приобретение электроэнергии на ОРЭ.

Вопросы моделирования режимов электропотребления широко представлены в научных публикациях Д.А. Арзамасцева, ГЛ. Вагина, В.А. Веникова, А.З. Гамма, JI.A. Крумма, Т.Б. Лещинской, Б.В. Папкова, В.ГТ. Степанова, Ю.А. Фокина и др. Прогнозированию режимов электропотребления посвящены работы Д.В. Бэнна, И.Е. Васильева, Ф.Д. Гальяны, В.И. Гордеева, Дж. Гросса, С.К. Гур-ского, В.И. Доброжанова, C.B. Жака, Б.И. Кудрина, Б.И. Макоюпоева, A.M. Meламеда, И.И. Надтоки, В.И. Сидельникова, A.B. Седова, Е.Д. Фармера и др. Несмотря на большое количество научных публикаций в области моделирования и прогнозирования электропотребления, остается ряд проблем, основной из которых является разработка математических моделей процесса электропотребления, повышающих точность моделирования и прогнозирования.

Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетных тем ЮРГТУ(НПИ) «Рациональное использование топливно-энергетических ресурсов и повышение эффективности работы электроэнергетических систем» и «Проблемы автоматизации обработки информации в тренажно-обучающих, информационных и управляющих комплексах», утвержденных решением Ученого совета ЮРГТУ(НПИ) от 25 апреля 2001 г., что также подтверждает ее актуальность.

Объект исследования — стохастические нестационарные ряды электропотребления.

Целью работы является разработка математической модели, алгоритмов и программного комплекса краткосрочного прогнозирования электропотребления, позволяющих минимизировать штрафные санкции за отклонение фактических графиков электропотребления от утвержденных прогнозных. Для достижения поставленной цели в данной работе ставятся и решаются следующие задачи исследования:

1. Модификация существующих и разработка новых адаптивных математических моделей для прогнозирования временных рядов электропотребления с учетом влияния внешних факторов.

2. Анализ и разработка математических моделей для учета корреляционных и регрессионных зависимостей между факторами и исследуемым процессом с целью повышения точности моделирования и прогнозирования.

3. Исследование и выбор оптимального варианта ортогонального разложения и системы базисных функций и разработка методов разложения временных рядов на составляющие, имеющие наиболее тесные взаимосвязи с внешними факторами.

4. Обоснование и выбор прогнозных математических моделей для различных интервалов прогнозирования на основе анализа структуры и динамики электропотребления на различных временных интервалах (сутки, неделя, год).

5. Разработка методов распознавания в моделируемом процессе участков суточных графиков нагрузки, соответствующих различным периодам сезонного цикла в условиях влияния внешней среды.

6. Создание программного комплекса краткосрочного прогнозирования электропотребления на основе разработанных математических моделей, методов и алгоритмов.

Методы исследования. Решение поставленных задач получено на базе математического моделирования с использованием методов компонентного анализа, теории матриц, анализа временных рядов, методов многомерного статического анализа и реализовано с помощью методологии объектно-ориентированного программирования с использованием современных тенденций разработки программного обеспечения.

Достоверность полученных результатов. В предложенных математических моделях использованы фундаментальные законы сохранения энергии и законы электротехники. Для проверки разработанных математических моделей выполнены тестовые прогнозы суточных графиков электрической нагрузки (СГЭН) для различных сезонов года, включая периоды наибольшей динамики временных рядов (весна, осень). Результаты тестовых прогнозов с погрешностью не более 2 % совпадают с фактическими значениями СГЭН на двухсуточном интервале. Временные ряды электропотребления, используемые при выполнении тестовых прогнозов получены с помощью сертифицированных поверенных автоматизированных систем коммерческого учета электроэнергии (АСКУЭ) и систем телемеханики оперативного измерительного комплекса (ОИК) диспетчерской службы ОАО «Ростовэнерго». Достоверность также подтверждается корректным использованием методов многомерного статистического анализа и линейной алгебры.

Научная новизна работы.

1. Для разложения рядов электропотребления впервые применен метод сингулярного спектрального анализа.

2. Определены оптимальные значения параметров в рамках применения метода сингулярного спектрального анализа для моделирования временных рядов электропотребления.

3. Предложена модификация метода индексов сезонности, позволившая повысить точность прогнозирования на интервале 2-3 суток.

4. Проведено краткосрочное прогнозирование ряда почасового электропотребления на двухсуточном интервале с приемлемой погрешностью по результатам разложения методом сингулярного спектрального анализа.

5. Разработан программный комплекс на основе методов ортогонального разложения для решения поставленных в диссертационной работе задач.

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в повышении точности моделирования и краткосрочного прогнозирования электропотребления энергосистемы. Результаты работы внедрены в ОАО «Энергосбыт Ростовэнерго» в программном комплексе краткосрочного прогнозирования электропотребления, а также в учебный процесс ЮРГТУ(НПИ) (ГОУ ВПО "Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)"), НГМА (ФГОУ ВПО ".Новочеркасская государственная мелиоративная академия"), ФГОУ "Ростовский институт переподготовки кадров агробизнеса".

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на следующих конференциях и семинарах:

- вторая и третья международные научно-практические конференции «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах» (г. Новочеркасск, 2001-2002 г.г.);

- вторая и третья международные научно-практические конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (г. Новочеркасск, 2002-2003 г.г.);

- вторая международная научно-практическая конференция «Современные энергетические системы и комплексы и управление ими» (г. Новочеркасск, 2002 г.);

- третья международная научно-практическая конференция «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (г. Новочеркасск, 2002 г.);

- XXIV сессия семинара «Диагностика энергооборудования» (г.Новочеркасск, 2002 г.);

- XXV сессия семинара «Электроснабжение промышленных предприятий» (г.Новочеркасск, 2003 г.);

- всероссийская научная конференция с международным участием «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения» (г. Таганрог, 2003 г.);

- второй специализированный семинар «Современные методы и программные средства анализа и планирования электропотребления, балансов мощности и электроэнергии» (г. Москва, 2004 г.);

- четвертая международная научно-практическая конференция «Проблемы экономики, организации и управления реструктуризацией и развитием предприятий промышленности, сферы услуг и коммунального хозяйства» (г. Новочеркасск, 2005 г.).

- выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН «Альтернативные естественно возобновляющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов» (г. Ессентуки, 2005 г.);

- пятая международная научно-практическая конференция «Современные энергетические системы и комплексы и управление ими» (г. Новочеркасск, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа общим объемом 4,5 п.л., из них 3 научные статьи и 16 тезисов докладов на научных конференциях и семинарах, 2 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ в Роспатенте.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы, трех приложений. Общий объем диссертации — 185 страниц, в том числе 157 страниц основного текста, 69 рисунков и 13 таблиц. Список использованной литературы содержит 138 наименований.

3.4 Выводы по главе 3

Проведенные в третьей главе диссертации исследования привели к следующим результатам:

1. Установлено значение структурного параметра метода сингулярного спектрального анализа, определяющего способ группировки сингулярных троек, что позволило провести разложение временного ряда на три аддитивные составляющие: непериодическую трендовую, периодическую колебательную и случайную.

2. Произведена модификация метода индексов сезонности, применяемого для прогнозирования трендовой составляющей временного ряда электропотребления, заключающаяся в замене тренда, вычисленного с применением скользящей средней, трендом, полученным по методу SSA, при длине окна, равной интервалу недельной цикличности, что позволило уменьшить относительную ошибку прогноза в точке с 6 до 2%.

3. Разработан программный комплекс для краткосрочного прогнозирования электропотребления, включающий программы: "Краткосрочный прогноз и планирование электропотребления энергосистемы на основе декомпозиционной математической модели" ("Kpal 111-2003"), "Моделирование и прогнозирование временных рядов на основе методов ортогональных разложений" ("МиП-ОР") и "Модификация метода «Индексы сезонности» для прогнозирования трендовой составляющей", на первые две из которых получены свидетельства Роспатента.

141

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам диссертационной работы относятся следующие положения:

1. Для разложения временных рядов процесса электропотребления впервые применен метод сингулярного спектрального анализа, позволяющий выявлять составляющие ряда и осуществлять их моделирование.

2. Проведены вычислительные эксперименты, позволившие определить значения целочисленного параметра - длины окна и структурного параметра, определяющего способ группировки в методе сингулярного спектрального анализа.

3. Предложена модификация метода индексов сезонности, заключающаяся в изменении способа построения тренда, позволяющего снизить ошибку краткосрочного прогнозирования на двухсуточном интервале с 6 % до 2 %.

4. Получена методика с использованием моделирования методом сингулярного спектрального анализа, позволяющая получить краткосрочный прогноз суточных графиков электрической нагрузки на двухсуточном интервале с погрешностью, не превышающей 2 %.

5. Разработан программный комплекс для решения задач исследования, моделирования и краткосрочного прогнозирования процесса электропотребления на основе ортогональных разложений.

СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ

SSA- Singular Spectrum Analysis (сингулярный спектральный анализ);

АСКУЭ - автоматизированная система коммерческого учета электроэнергии;

АСДУ - автоматизированная система диспетчерского управления;

ГЭН — график электрической нагрузки;

КСПН - краткосрочное прогнозирование нагрузки;

МГК - метод главных компонент;

ОДУ — объединенное диспетчерское управление;

ОИК - оперативный измерительный комплекс;

ОРЭ — оптовый рынок электроэнергии;

ОЭ - объект электропотребления;

ПО - программное обеспечение;

ПК — программный комплекс;

РДУ — региональное диспетчерское управление;

СГЭН - суточный график электрической нагрузки;

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений;

ЭЭС - электроэнергетическая система;

1. Айвазян С.А. Классификация многомерных наблюдений. /С.А. Айвазян, З.И. Бежаева, О.В. Староверов М.: Статистика, 1974. - 238 с.

2. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики /С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

3. Амосов A.A. Вычислительные методы для инженеров /A.A. Амосов, Ю.А. Ду-бинский, Н.В. Копченова-М.: Высшая школа, 1994.-543 с.

4. Андрукович П.Ф. Некоторые свойства метода главных компонент // Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях -М.: Мир, 1974.-С. 189-228.

5. Арженовский C.B. Статистические методы прогнозирования: учеб. пособие /C.B. Арженовский И.Н. Молчанов; Рост. гос. экон. ун-т. Ростов-н/Д., 2001.-74 с.

6. Арзамасцев Д.А. Снижение технологического расхода электроэнергии в электрических сетях /Д.А. Арзамасцев, A.B. Липес М.: Высшая школа, 1989. - 127 с.

7. Ашкинузе В.Г., Многоугольники и многогранники. В кн.: ЭЭМ, кн. IV (Геометрия) - М.: Физматгиз, 1963- С. 382-447.

8. Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов /Дж. Бендат, А. Пирсол -М.: Мир, 1974.-464 с.

9. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных данных /Дж. Бендат, А. Пирсол -М.: Мир, 1989.- 540 с.

10. П.Бердин A.C. Формирование параметров модели ЭЭС для управления электрическими режимами /A.C. Бердин, П.А. Крючков Екатеринбург: УГ-ТУ, 2000.-107 с.

11. Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление /Дж. Бокс, Г. Дженкинс М.: Мир, 1974. - Вып. 2 - 406 с.

12. Бухштабер В.М. Многомерные развертки временных рядов. Теоретические основы и алгоритмы //Обозрение прикладной и промышл. математики, сер. Вероятность и статистика. — 1997 Т. 4. Вып. 4.- С. 629-645.

13. Бэнн Д.В. Сравнительные методы прогнозирования электрической нагрузки /Д.В. Бэнн, Е.Д. Фармер М.: Энергоатомиздат, 1987. - 200 с.

14. Ватанабе С. Разложение Карунена-Лоэва и факторный анализ. Теория и применение //Автоматический анализ сложных изображений М.: Мир, 1970.-С. 163-181.

15. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения /Е.С. Вентцель, JI.A. Овчаров М.: Высшая школа, 2000. — 383 с.

16. Воеводин В.В. Матрицы и вычисления /В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. 320 с.

17. Гамм А.З. Оптимизация режимов энергообъединений в новых экономических условиях //Электричество.— 1993- №11- С. 1-8.

18. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.- 375 с.

19. Главные компоненты временных рядов: метод "Гусеница" /под. ред. Д.Л. Данилова, A.A. Жиглявского СПб: Пресском, 1997. - 308 с.

20. Гнеденко Б.В. Об оценке эффективности уточнения расчетов электрических нагрузок промышленных сетей /Б.В. Гнеденко, Б.С. Мешель // Электричество.- 1959. -№11. С. 70-72.

21. Голяндина Н.Э. Варианты метода "Гусеница''-SSA для анализа многомерных временных рядов / Н.Э. Голяндина, В.В. Некруткин, Д.В. Степанов СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002.- С. 3-32.

22. Голяндина Н.Э. Метод "Гусеница''-SSA: анализ временных рядов: учеб. пособие. СПб., 2004. - 76 с.

23. Голяндина Н.Э. Метод "Гусеница''-SSA: прогноз временных рядов: учеб. пособие. СПб., 2004. - 52 с.

24. Гордеев В.И. Взаимная корреляция в расчетах характеристик графиков электрической нагрузки //Электричество. 1978.-№8. - С. 17-21.

25. Гордеев В.И. Управление электропотреблением и его прогнозирование /, В.И. Гордеев, И.Е. Васильев, В.И. Щуцкий Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1991. -104 с.

26. Гросс Дж. Краткосрочное прогнозирование нагрузки/ Дж. Гросс, Ф.Д. Галь-яна -ТИИЭР—1986-Т.75,№12. С. 6-23.

27. Гурский С.К. Адаптивное прогнозирование временных рядов в электроэнергетике.- Минск: Наука и техника, 1983. — 271 с.

28. Данилов Д.Л. Применение метода "Гусеница" для прогнозирования временных рядов. Элементы операторной теории.- СПб., 1997 59 с.

29. Двухуровневая автоматизированная система управления энергопотреблением предприятия // Изв. вузов. Электромеханика. 1992. №6. - С. 36-43.

30. Доброжанов В.И. Краткосрочное прогнозирование электрических нагрузок промышленных предприятий // Изв. вузов. Энергетика.-1987. -№1 -С. 8-12.

31. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ /Н. Дрейпер, Г. Смит //В 2 кн. М.: Финансы и статистика. Кн. 1.1986. 366 с. Кн. 2.1987. - 351 с.

32. Дубров A.M. Обработка статистических данных методом главных компонент—М.: Статистика, 1978. —135 с.

33. Иберла К. Факторный анализ. М.: Статистика, 1980. 398 с.

34. Исследование основных составляющих движения полюса земли по результатам Пулковских и международных наблюдений / B.JI. Горшков, Н.О. Миллер, В.А. Наумов и др. ГАО РАН.- СПб., 1999.- 42 с.

35. Исследование периодических компонент в динамике гидрологических показателей /Н.Э. Голяндина, В.Н. Солнцев, Т.Н. Филатова, А.Э. Яани — СПб.: Изд. Санкт-Петербургского ун-та, 1997. 87 с. о

36. Иереског К.Г. Геологический факторный анализ /К.Г. Иереског, Д.И. Клован, P.A. Реймент-Д.: Недра, 1980. 223 с.

37. Кабельков А.Н. Сравнительная характеристика методов решения алгебраических уравнений п-ой степени с действительными коэффициентами

38. А.Н. Кабельков, O.A. Сухомлинова //Актуальные проблемы мелиорации и водного хозяйства Юга России: Научно-практическая конференция сотрудников, аспирантов и студентов НГМА (16-17 октября 2002 г.) (сб. науч. статей). Новочеркасск: НГМА - 2003 - С. 28-30.

39. Каждан А.Э. Метод моделирования графиков процессов // Автоматизация проектирования сложных систем: Межвуз. сб. /Новочерк. политехи, ин-т — Новочеркасск: изд. НПИ, 1982 С. 11-20.

40. Каждан А.Э. Метод расчета электрических нагрузок с применением кратчайших функций /А.Э. Каждан, Э.М. Каждан //Проектирование и эксплуатация систем промышленных предприятий: материалы науч.-техн. конф. — М.: Знание, 1984.-С. 33-37.

41. Кендалл М. Многомерный статистический анализ и временные ряды /М. Кендалл, А. Стьюарт М.: Наука, 1976. - 545 с.

42. Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика. 1981. - 340 с.

43. Кислицин М.М. Биотехнические системы в авиационной эргономике //Вопросы кибернетики. М., 1978. - Вып. 51. - С. 15-23.

44. Кислицин М.М. Исследование функционального состояния пилотов в процессе летного труда методом многомерной статистики //Вопросы кибернетики.-М., 1978.-Вып. 51.-С. 162-168.

45. Кислицин М.М. Многомерная статистика временных рядов наблюдений в авиационной эргономике //Вопросы кибернетики. М., 1978. — Вып. 51.-С. 117-126.

46. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа /А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин М.: Наука, 1976. - 544 с.

47. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров /Г. Корн, П. Корн М.: Наука, 1984. - 720 с.

48. Кудрин Б.И. Введение в технетику -Томск: Изд-во ТГУ 1993. - 552 с.

49. Липес A.B. Применение методов математической статистики для решения электроэнергетических задач. Свердловск: УПИ, 1983. 88 с.

50. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2003. - 416 с.

51. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователей. М.: Наука, 1991.-432 с.

52. Макоклюев Б.И. Информационная структура и программные средства обработки и хранения данных технологического оборудования и режимных параметров / Б.И. Макоклюев, A.B. Антонов, Р.Ф. Набиев //Электрические станции 2004 - №6, С. 48-52.

53. Макоклюев Б.И. Моделирование электрических нагрузок электроэнергетических систем /Б.И. Макоклюев, В.Н. Костиков //Электричество 1994 — №10, С. 13-16.

54. Макоклюев Б.И. Прогнозирование потребления электроэнергии в АО "Мосэнерго" /Б.И. Макоклюев, А.И. Владимиров, Г.И. Фефелова //ТЭК, Топливно-энергетический комплекс. 2001. - №4, С. 56-57.

55. Макоклюев Б.И. Учет влияния метеорологических факторов при прогнозировании электропотребления энергообъединений //Электрик.-2004.-№6 — С.15-16.

56. Метод "Гусеница" для прогнозирования временных рядов // Главные компоненты временных рядов: метод "Гусеница" / Под ред. Д.Л.Данилова и

57. A.А.Жиглявского. СПб: Пресском, 1997. С. 73-104.

58. Методы решения задач реального времени в электроэнергетике /А.З.Гамм, Ю.Н.Кучеров и др. Новосибирск: Наука, 1990. - 294 с.

59. Михайлов В.И. Режимы коммунально-бытового электропотребления /

60. B.И. Михайлов, М.В. Тарнижевский, В.Ф. Тимченко -М.: Энергоатомиздат, 1993.-288 с.

61. Надтока И.И. Адаптивные модели прогнозирования нестационарных временных рядов электропотребления /И.И. Надтока, A.B. Седов //Изв. вузов. Электромеханика.-1994.-№1-2- С. 57-64.

62. Надтока И.И. Декомпозиционный метод моделирования нестационарных случайных процессов в системах электроснабжения /И.И. Надтока, A.B. Седов // Изв. вузов. Электромеханика. —1996. №3-4- С. 107.

63. Надтока И.И. Применение методов компонентного анализа для моделирования и классификации графиков электрической нагрузки / И.И. Надтока, A.B. Седов, В.П. Холодков //Изв. вызов. Электромеханика. -1993. -№6. С. 21-29.

64. Надтока И.И. Развитие теории и методов моделирования и прогнозирования электропотребления на основе данных средств автоматизации учета и телеизмерений: автореф. дис. на соиск. д.т.н. Новочеркасск, 1999.

65. Некруткин В.В. Аппроксимирующие пространства и продолжения временных рядов // Статистические модели с приложениями в эконометрике и смежных областях / Под ред. С.М.Ермакова и Ю.Н.Каштанова. СПб.: НИИ СПбГУ, 1999.-С. 3-32.

66. Орнов В.Г. Задачи оперативного и автоматического управления энергосистемами /В.Г. Орнов, М.А. Рабинович М.: Энергоатомиздат, 1988. - 223 с.

67. Отнес Р. Прикладной анализ временных рядов. /Р. Отнес, JI. Эноксон М.: Мир, 1982.-428 с.

68. Паламарчук С.И. Планирование поставок электроэнергии в условиях оптового рынка /С.И. Паламарчук, А.И. Федоров //Электричество. -2000. — №11. — с.31-39.

69. Папков Б.В. Надежность и эффективность электроснабжения. Нижний Новгород: НГТУ, 1996 210 с.

70. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности. /Под ред. С.А.Айвазяна //М.:Финансы и статистика. — 1989 600 с.

71. Пути и результаты совершенствования методов прогнозирования электропотребления /A.B. Белан, В.И. Гордеев, A.B. Демура, И.И. Надгока //Промышленная энергетика.-1993. №9. - С. 23-26.

72. Прогнозирование электропотребления в энергосистеме Ростовэнерго /A.B. Демура, Ф.А. Кушнарев, И.И. Надтока, A.B. Седов // Изв. вузов. Электромеханика -1994.-№4-5.- С. 102-110.

73. Прогнозирование электропотребления в энергосистеме с учетом температуры воздуха и освещенности /И.И. Надтока, A.B. Седов, O.A. Сухомлинова и др. //Электрика, №3.-2005.-С. 18-21.

74. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979.-496 с.

75. Романенко А.Ф. Вопросы прикладного анализа случайных процессов /А.Ф. Романенко, Г.А. Сергеев М.: Сов. Радио, 1968. - 200 с.

76. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. 456 с.

77. Седов A.B. Микропроцессорные устройства контроля и прогнозирования в системах управления электроэнергетическими объектами с дискретнораспределенными параметрами: автореф. дис. на соиск. к.т.н. Новочеркасск, 1995.- 18 с.

78. Седов A.B. Системы контроля, распознавания и прогнозирования электропотребления: модели, методы, алгоритмы и средства / A.B. Седов, И.И. Над-тока Ростов н/Д: Из-во Ростов, ун-та, 2002 - 320 с.

79. Современные методы идентификации систем / Под ред. П.Эйкоффа. М.: Мир, 1983.-400 с.

80. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984-832 с.

81. Срагович В.Г. Теория адаптивных систем. -М.: Наука, 1976.-319 с.

82. Тимченко В.Ф. Прогнозирование режимов потребления нерегулярных дней //Электрические станции. 1987. - №5-С. 52-57.

83. Ту Дж. Принципы распознавания образов /Дж. Ту, Р. Гонсалес М.: Мир, 1978.-412 с.

84. Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры /Д.К. Фаддеев, В.И. Фаддеева М.: ТИФМЛ - 1962 - 734 с.

85. Френкель A.A. Прогнозирование производительности труда: методы и модели М.: Экономика, 1989. - 214 с.

86. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979.-376 с.

87. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными функциями /Пер. с. англ. ДядюноваН.Г. и Сенина А.И. М.: Связь, 1975. — 267 с.

88. Шидловский А.К. Введение в статистическую динамику систем энергоснабжения /А.К. Шидловский, Э.Г. Куренный — Киев: Наукова думка, 1984. -273 с.

89. Электрические нагрузки промышленных предприятий /С.Д. Волобрин-ский, Г.М. Каялов, П.Н.Клейн и др. JL: Энергия, 1971. 264 с.

90. Abu-Hussien M.S. An accurate model for short-term load forecasting /M.S. Abu-Hussien, M.S. Kandil, M.A. Tantuary, S.A. Farghal //Proc. IEEE. 1979-№10.-P. 1860-1882.

91. Anderson T.W. Asimtotic theory for principal component analysis. Ann.Math.St., 1963-P. 122-148.

92. Baker A.B. The online demand validation and predication facility at the National Control Centre/A.B. Baker, E.D. Farmer, W.D. Laing, A.D.N. March //Central Electricity Generation Board. 1978. P. 217-236.

93. Broomhead D.S. On the qualitative analysis of experimental dynamical systems / D.S. Broomhead, G.P. King //Nonlinear Phenomena and Chaos / Ed. by S. Sarkar-Bristol: Adam Hilger, 1986. P. 113-144.

94. Brown R.G. Smoothing, Forecasting and Production of Discrete Time Series, N.Y.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1963. 687 p.

95. Buchstaber V.M. Time series analysis and grassmannians // Applied Problems of Radon Transform. / Ed. by S. Gindikin. Providence, RI: AMS, 1994.- P. 1-17.

96. Christianse W.R. Short-term load forecasting using general exponential smoothing //IEEE Trans., Pas 90. - 1971. - № 2. - P. 900-910.

97. Coxeter H, Regular Polytops.-New York: Dover, 1973- 27 p.

98. Danilov D.L. Analysis and forecast of time series on the base of the principal components / V.N. Solnsev, A. Zhigljavsky //Abstracts of Second International Conference on Computing in Economics and Finance Geneva, Switzerland, 26-28 June 1996.

99. Danilov D.L. Principal Components in Time Series Forecast //Proceedings of the Statistical Computing Section of the American Statistical Association 1996-P. 156-160.

100. Devies M. The relationship between weather and electricity demand //IEEE Transactions, 1973.-P. 1854-1858.

101. Eisner, J.B., Tsonis, AA. Singular Spectral Analysis. A New Tool in Time Series Analysis / J.B. Eisner, A.A. Tsonis: Plenum Press. New York and London, 1996.- 154 p.

102. Farmer E.D. A method of prediction for non-stationary processes and its ap placations to load forecasting//Automation and Remote Control, Butterworth, 1964.-P. 1549-1558.

103. Farmer E.D. The development and implementation of an interactive demand Validation and predication facility /E.D. Farmer, W.D. Laing, A.M. Adatia, A.B. Baker, D.W. Bunn //Proc. Seventh Power System Computations Conf., 1981.-P. 319-328.

104. Farmer E.D. The prediction of load on a power system /E.D. Farmer, M.J. Potton //Proc. Third IFAC Conf., London -1966 - P. 215-224 .

105. Galiana F.D. Identification of stochastic electric load modals from physical data /F.D. Galiana, E. Handshin, A. Fiechter //IEEE Trans., Ac-19. 1984. - №6. -P. 887-893.

106. Golyandina N. Analysis of Time Series Structure: SSA and Related Techniques /N. Golyandina, V. Nekrutkin, A. Zhigljavsky, Chapman & Hall/CRC, 2001. 305 p.

107. Golyandina N. 'Caterpillar'-SSA Technique for Analysis of Time Series in Economics /N. Golyandina, V. Nekrutkin, V. Solntsev, Saint-Petersburg State University, Mathematical Department. SPb., 2000. - 45 p.

108. Grunwald H. The Correlation Theory for Stationary Stochastic Processes Applied to Exponential Smoothing//Statistica Neerlandica.-1965.-V.19, N 2-3. -P. 129-138.

109. Keppenne C., Lall U. Complex singular spectrum analysis and multivariate adaptive regression splines applied to forecasting the southern oscillation /C. Kep-penne, U. Lall //Exp. Long-Lead Forest. Bull. -1996 83 p.

110. Happ H.H. Optimal power dispatch a comprehensive survey //IEEE Transactions, PAS-96. - 1996-p. 1492-1508.

111. Pandit S.M., Wu S.M. Exponential smoothing as a special case of a linear stochastic system // Oper. Res. 1974. - Vol. 24, №4 - 42 p.

112. Plaut G. Spells of low-frequency oscillations and weather regimes in the northern hemisphere / G. Plaut, R. Vautard //Journal of the Atmospheric Sciences-1994.-Vol. 51.-P. 210-236.

113. Poysti K. Box-Jenkins method in short-term forecasting of grid load in Finland // Proc. 8th Power Systems Computation Conf. Helsinki, Finland, 1984. - P. 357-368.

114. Testing and Forecasting the Time Series of the Solar Activity by Singular Spectrum Analysis / Loskutov A., Istomin I.A., Kuzanyan, K.M., Kotlyarov, O.L. Physics Faculty, Moscow State University Moscow, 2000. - 37 p.

115. Vemuri S. Load forecasting using stochastic models /S. Vemuri, D.F. Hill, R. Balasubramanian //Proc. 8th IEEE Power Industry Computer Applications Conf. -1973-P. 369-375.