автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование нейронных ассоциаций. Оценка параметров и явление синхронизации

005008452

На правах рукописи

Парамонов Илья Вячеславович

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЙРОННЫХ АССОЦИАЦИЙ. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И ЯВЛЕНИЕ СИНХРОНИЗАЦИИ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 ЯНВ 2012

Ярославль — 2011

005008452

Работа выполнена на кафедре компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель — профессор Глызин Сергей Дмитриевич

Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты: профессор Дмитриев Михаил Геннадьевич

доктор технических наук, профессор Бытев Донат Олегович

Ведущая Петрозаводский государственный

организация — университет

Защита состоится «ЛЗ» января 2012 г. в_часов_минут

на заседании диссертационного совета Д 212.002.05 при Ярославском государственном университете имени П. Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ярославского государственного университета имени П. Г.Демидова по адресу: 150003, г. Ярославль, ул. Полушкина роща, д. 1.

Автореферат разослан «Л2» декабря 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Глызин С. Д.

Общая характеристика работы Актуальность работы

Биологические системы традициошю представляют существенную сложность при исследовании в силу их многокомпонентное™ и комплексного характера связей. В силу этой сложности основным методом исследования в области нейрофизиологии является построение и анализ математических моделей. Такие модели рассматривают нервную систему на различных уровнях организации: от отдельных клеток и даже их мембран до мозга в целом. Если первые модели основаны на данных физиологии и молекулярной биологии, то для последних характерно привлечение широкого спектра биологических и психологических данных. Это подчёркивает существенно разноплановый и междисциплинарный характер проводимых в данной области исследований.

Одной из актуальных проблем современной нейроиауки является феномен синхронизации в нейронных ассоциациях1. Исследования мозга указывают на исключительную важность данного явления для обработки информации в центральной нервной системе2. Понимание роли механизмов синхронизации осуществляется посредством построения математических моделей (как правило, феноменологических) и анализа их динамики. Данным вопросам посвящены работы таких авторов, как Г.Д. Абарбанель, М. Рабинович1, P.M. Борисюк, Я. Б. Казанович3, Е. М. Ижикевич4 и многих других.

Помимо выявления качественного соответствия между динамикой в исследуемых моделях и соответствующих им биологических системах, важной представляется также задача количественной оценки параметров функционирования моделей нейронных ассоциаций. Решение данной задачи в существенной степени осложняется тем фактом, что нейрофизиологические данные, составляющие основу исследова-

1 Dynamical principles in neuroscience / M. Rabinovich, P. Varona, A. Selverston, H. Abarbanel // Reviews of modem physics. — 2006. — Vol. 78, no. 4. — P. 1213.

2От нейрона к мозгу / Д. Г. Николлс, А. Р. Мартин, Б. Д. Валлас, П. А. Фукс — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 672 с.

*Kazanovich, Y. An Oscillatory Neural Model of Multiple Object Tracking / Y. Kazanovich, R. Borisyuk // Neural Computation.— 2006,— Vol 18, no 6 — Pp. 1413-1440.

AIzhikevich, E. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability And Bursting / E. Izhikevich. — MIT Press, 2007.

НИИ любых биологических процессов, часто получены в различных, не оговоренных заранее, условиях и допускают множественные интерпретации.

В то же время, достижение как качественного, так и количественного соответствия в моделях нейронных ассоциаций представляется актуальной задачей, поскольку открывает новые возможности понимания сложных процессов, и служит основой для выхода существующих знаний о нервной системе на качественно новый уровень.

Цель работы

Целью работы является построение и исследование моделей нейронов и нейронных ассоциаций, а также сопоставление их с биологическими прототипами. Для достижения данной цели были поставлены и решены следующие задачи:

• построена модель базовых элементов нейронных ассоциаций на основе моделей нейронов Ходжкина—Хаксли5 и Майорова— Мышкина6;

• разработана модель нейронной ассоциации, описываемая фазовыми переменными;

• аналитически исследованы периодические режимы и режимы синхронизации в моделях нейронов и их ассоциаций;

• для моделей, описываемых уравнениями баланса токов, поставлены и численно решены задачи оценки параметров в виде оптимизационных задач.

Методы исследования

Применяемые в работе методы исследования включают в себя как асимптотический анализ, так и численное моделирование, реализованное средствами проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

5Hodgkin, A. A quantitative description of membrane current and its application to conductance and excitation in nerve / A. Hodgkin, A. Huxley // /. Physiol. — 1952. — Vol. 117, —Pp. 500-544.

6Майоров, В. В. Об одной модели функционирования нейронной сети / В. В. Майоров, И. Ю. Мышкнн // Моделирование динамики популяций.— Н. Новгород, 1990.— 70-78 с.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

• доказаны существование и устойчивость периодического решения дифференциально-разностного уравнения с двумя запаздываниями, описывающего модель импульсного нейрона, построено асимптотическое разложение этого решения;

• предложен фазовый подход для анализа нейросетевых структур, состоящих из нейронов, сходных по динамике с импульсными; с использованием данного подхода исследованы нейронные ассоциации из двух и трёх нейронов: сформулированы условия существования различных режимов в сети, а также условия сходимости сети к указанным режимам;

• предложена модификация базовой модели импульсного нейрона В. В. Майорова и И. Ю. Мышкина, предложен подход к оценке параметров в ней, а также в сходных моделях, описывающих процессы обработки информации во внутренних слоях сетчатки глаза.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказано утверждение о существовании и устойчивости релаксационного периодического решения дифференциально-разностного уравнения с двумя запаздываниями, моделирующего динамику импульсного нейрона.

2. Доказаны утверждения о существовании и локальной устойчивости синхронного периодического режима в фазовой модели ассоциации из двух нейронов, а также о бассейне притяжения данного режима.

3. Доказаны утверждения об условиях существования режимов без синхронизации и режимов с частичной синхронизацией, зависящих от начальных условий, в ассоциации из трёх нейронов.

4. Предложена методика оценки параметров модели нейрона-детектора, основанная на решении задачи минимизации функционала расстояния между модельной и экспериментальной функциями мембранного потенциала.

Теоретическая и практическая ценность

Работа в основном носит теоретический характер, однако, содержит существенное количество прикладных аспектов, в основном обусловленных привлечением экспериментальных данных для построения и обоснования разрабатываемых моделей. Последнее открывает перспективы использования результатов работы в ходе нейрофизиологических исследований. Диссертация предоставляет базовое модельное описание протекающих процессов, которое, благодаря прозрачности используемых параметров, допускает усовершенствование с целью учёта конкретных особенностей проводимых исследований.

Апробация работы

Результаты работы были представлены на Всероссийских научно-технических конференциях «Нейроинформатика-2003», «Ней-роинформатика-2004», «Нейроинформатика-2006», Всероссийских семинарах «Нейроинформатика и её приложения» (Красноярск, 2003, 2005, 2009), Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова (Ярославль, 2003), 62-ой региональной научно-технической конференции студентов, магистрантов и аспирантов (Ярославль, 2007), XX международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях: ММТТ-20» (Ярославль, 2007).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 16 научных работ. Из них 3 опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, определённых ВАК.

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объём работы составляет 123 страницы, она содержит 11 иллюстраций.

Краткое содержание работы

Исследование математических моделей в работе построено в соответствии с принципом «от простого к сложному». Сначала производится анализ моделей динамики отдельных нейронов, описываемых уравнениями баланса токов с запаздыванием. Затем рассматриваются ассоциации из двух и трёх нейронов, описываемые более простыми фазовыми моделями, тем не менее включающими в себя многие особенности, характерные для моделей с запаздыванием. Наконец, рассматриваются модели ассоциаций клеток сетчатки глаза, также описываемые уравнениями баланса токов. Для данных моделей аналитическое исследование является затруднительным, поэтому задачи оценки параметров в них решаются численно.

Во введении приводится краткая характеристика текущего состояния предметной области, формулируется цель и ставятся задачи диссертационной работы, обосновываются актуальность и новизна проводимых исследований, излагается краткое содержание работы.

Первая глава содержит анализ существующих математических моделей, относящихся к теме диссертационной работы. В фокусе проведённого анализа в том числе находятся такие характеристики рассмотренных моделей, как биологическое правдоподобие, прозрачность используемых параметров. Главная задача данной главы — обозначить контекст проводимых в настоящей диссертационной работе исследований и проанализировать модели, которые представляются в этом контексте ключевыми.

В этой главе рассматриваются базовые модели нейронов, в том числе классическая модель нейрона Ходжкина—Хаксли, основные идеи которой являются чрезвычайно популярными в нейробиологи-ческих исследованиях, а также перечислены наиболее существенные её модификации, упрощения и усовершенствования. Упомянуты также другие, более схематичные модели, используемые преимущественно для анализа коллективного поведения нейронов в ансамблях. Также в первой главе приведена информация о некоторых существующих моделях синаптического взаимодействия, указаны актуальные феномены, моделированию которых (на уровне отдельных клеток сетчатки) посвящены существующие работы.

Вторая глава посвящена разработке и анализу моделей базовых элементов динамики нейронов и их ассоциаций.

В ней рассматривается модификация базовой модели нейрона В. В. Майорова и И. Ю. Мышкина, в которой помимо запаздывания калиевой проводимости относительно трансмембранного потенциала предложено ввести аналогичное запаздывание натриевой проводимости. Рассматриваемая модель описывается следующим уравнением:

^ = л • [-1 + /к("(/ - 1)) - Ы«С - Щ •«(/). (1)

аг

Здесь и(1) —трансмембранный потенциал нейрона, /к(") и /ыа(") — функции, характеризующие калиевую и натриевую проводимости мембраны, Л > 1 —большой параметр, определяющий скорость протекания электрических процессов. В соответствии с биологическим смыслом предполагается, что

/¡(0) = 1, //(«) = при и-+оо, / = 1.2. (3)

Ш = аШ, Ы«) = 0/2(и), 7 = «-/3-1, 7 > 0, (2)

Считаем также, что ряд в (3) можно дифференцировать по и любое число раз, и что Л удовлетворяет условию 0 < /г < 1 и не зависит от Л. Для анализа уравнения (1) выполняется замена переменной

и(/) = ехр(х(0/е), где е = 1/А < 1.

После замены с учётом соотношений (2) получаем:

Далее в работе доказаны существование, единственность и устойчивость периодического решения уравнения (4) при начальных условиях, характерных для инициации потенциала действия, а именно: множество начальных функций определено как

5(о-о,9ь<72) = [<Р е С|-1 - сто. —сто]. —<72 < <р(0 < < О

при / е [-1 - со, -ао] и <р(-сго) = —7£Го}>

где (т0 < ^тш 1 - Л, 1 ——> 0, дг ^ 7(1 + ^о), и доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3). Тогда для всех достаточно малых положительных е уравнение (4) с начальными условиями из множества функций S(a0, q\, 42) имеет единственный экспоненциально устойчивый цикл x»(t,e) с периодом Г.(е), удовлетворяющий следующим предельным соотношениям:

lim max|x,(t,e) - х0(0| = 0, lim ТЛе) = Т0.

t е-*0

Здесь xo(t) — периодическая кусочно-линейная функция, определяющая главную часть асимптотики релаксационного предельного цикла уравнения (4) с периодом Го.

Автором также рассмотрена модель нейрона-автогенератора, учитывающая запаздывание только калиевого тока, причём это запаздывание является переменным — равным некоторой функции мембранного потенциала. Для данной модели получены результаты, сходные с результатами исследования модели Майорова—Мышкина.

В п. 2.3 предпринята попытка достижения не только качественного, но и количественного соответствия модели нейрона В. В. Майорова и И. Ю. Мышкина данным нейрофизиологических исследований. Применительно к этой модели данная задача ранее не ставилась в связи с особенностью интерпретации функций проводимости, затрудняющей использование экспериментальных данных для оценки параметров.

Для преодоления данного недостатка был произведён синтез моделей Ходжкина—Хаксли и Майорова—Мышкина, в результате которого была построена новая модель нейрона. Модель описывается одним уравнением баланса токов, аналогичным первому уравнению системы Ходжкина—Хаксли, однако, в отличие от последней, вводит запаздывание калиевой проводимости относительно натриевой явно (как в модели Майорова—Мышкина). Соответствующее уравнение имеет вид:

с-«(О = -гм«(и(0)-(и(0-им,)-гк(и«-т))-(и(0-ик)-г<-(и(0-"г)- (5)

Здесь функции gNa(u) и g%(u) — натриевая и калиевая проводимости мембраны соответственно; и — равновесные потенциалы для тех же ионов. g>, u*t—проводимость и равновесный потенциал для ионов, формирующих ток утечки. Зависимости проводимостей от величины потенциала и обусловлены потенциалзависимостыо соответствующих ионных каналов и имеют вид положительных S-образных

функций. В соответствии с работой Ходжкина и Хаксли7 в качестве аппроксимации натриевой и калиевой проводимостей в уравнении (5) использованы функции вида

gx(u) = +ехр(-Ми-«с))Г1, (6)

где под x понимаются символы Na и К-

Для определения параметров модели в работе была поставлена задача на минимизацию функционала, выражающего отклонение решения модельного уравнения от осциллограммы, полученной в ходе нейрофизиологических исследований Ходжкина и Хаксли:

т

(«(/,aNa,aK, gNa, gK,uc) - û(t))2dt minaNa,OK,gNa,gK,„c.

Здесь ü(t) — функция, определяющая экспериментально замеренное значение потенциала нейрона на промежутке 0 < t ^ Т\ u(t, aNa, ак, gNa, gK, ис) — решение уравнения (5), в котором функции проводимости имеют вид (6), значения параметров ама. «к. gNa, £к. ис определяются аргументами указанной функции, а начальное условие задаётся равенством u(t, aNa,aK, gк<ис) = "(0) при -т ^ t ^ 0.

Для снижения размерности пространства параметров были использованы естественные биологические соображения. Оптимизационная задача была решена численно методами покоординатного спуска и золотого сечения. График оптимального решения приведён на рисунке 1 справа. На том же рисунке слева приведена осциллограмма, полученная в ходе эксперимента Ходжкиным и Хаксли. Видно, что полученные результаты хорошо согласуются с данными нейрофизиологии.

Отметим, что предложенный способ описания потенциала нейрона с явным введением запаздывания позволяет рассматривать процессы в нейроне на более высоком уровне, чем уровень ионных каналов, поскольку динамика нейрона в этом случае зависит лишь от предыстории потенциала и не требует определения состояния воротных переменных, необходимых в модели Ходжкина—Хаксли.

В третьей главе рассматриваются простейшие ассоциации из нейронов-автогенераторов, описываемых фазами. Автором диссертации

7Hodgkin, A. The dual effect of membrane potential on sodium conductance in the giant axon of Loligo / A. Hodgkin, A. Huxley // J. Physiol.— 1952,— Vol. 116.— Pp. 497-506.

L

Рис. I: Генерация спайка нейроном-детектором. Слева — осциллограмма из работы Хождкина и Хаксли, справа — результат моделирования

Рис. 2: Ответ горизонтальной клетки на одиночную вспышку света. Слева — наблюдаемая реакция, справа — результат моделирования

time (ms)

Рис. 3: Реакция off-биполярной клетки. Слева — наблюдаемая реакция, справа — результат моделирования

разработана следующая модель ассоциации. Состояние г-го нейрона сети (/ = 1,2,___, л) в момент времени t описывается величиной

tp¡(t): 0 < <p¡(t) < 1. Будем считать, что фазовое пространство системы представляет собой я-мерный тор Т„ = {0 ^ tp¡ < 1|< = 1,2,...,«}. Ассоциацию нейронов можно описать следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

п

ф, = 1 + efe - 7R) Y, - &(V>i - гм)1 (?)

м

Здесь 7м — константа, определяющая длительность спайка, 7"р> — длительность промежутка рефрактерности (нечувствительности). В силу биологических соображений, считаем, что 0 < 7м < 7r < 1. Функция &(и) определена соотношением:

Í1, при ы ^ О, [О, при и < 0.

Через w¡j > 0 обозначена сила воздействия /-го нейрона на г-й. Из уравнения (7) следует, что /'-й нейрон воздействует на i-й в момент времени t тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1) нейрон-передатчик генерирует спайк (0 ^ ip¡(t) < 7м);

2) нейрон-приемник не находится в состоянии рефрактерности

(7к<Ы')< 1).

Легко видеть, что для нейрона, не находящегося под воздействием, (p¡(í) = {tpi{0) + f}, где через {х} обозначена дробная часть х.

В п. 3.3 исследуется частный случай системы (7) для двух нейронов

(и = 2):

<P1 = 1+ - 7"r)(1 - в(¥?2 - 7м)), ^

<¿>2=1 + U>21©(<¿>2 - 7r)(1 - 6(уЭ1 - 7"м)),

Доказана следующая теорема.

Теорема 2. Траектория <р\ = <рг системы (8) является орбиталь-но асимптотически устойчивой.

Траектория <р\ = (р2 соответствует синхронному предельному режиму, когда нейроны генерируют свои спайки одновременно. Также

проведена оценка бассейна притяжения данного режима и доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть 0 < </з° < Гк — Г«. Если выполнено неравенство Ч>* > 1 - 7R + 7м, (9)

то все решения системы (8) с начальными условиями 0) = (0, tp°) или <уэ(0) = (<р°,0) являются периодическими.

Если же условие (9) не выполнено, то для решений с теми же начальными условиями справедливо равенство

lim ps(<pi(t),ip2(t)) = 0.

/ —+оо

В п. 3.4 в ассоциации из трёх нейронов рассматриваются векторы рассогласований, описывающие фазы второго и третьего нейронов в моменты, когда первый нейрон генерирует снайк. Пусть первый момент генерации импульса первым нейроном сети совпадает с началом отсчёта (t = 0). tf, 11 ,¿f,... — последовательные моменты начала генерации спайка первым нейроном: yi(^f) = 0, k = 0,1,____Обозначим

tp° — tpi{0), i = 2,3. Векторы (ip^ip*) будем называть векторами фазовых рассогласований (k = 0,1,...), вектор будем называть вектором начального состояния ассоциации.

Введём в рассмотрение величины <р* = lim i = 2,3. В том

юо

случае, когда указанные величины существуют, определим предельный режим ассоциации (в терминах фазовых рассогласований) как вектор

К-Рз)-

Исследование модели заключается в нахождении предельных режимов функционирования нейронной сети, условий на весовые коэффициенты, при выполнении которых рассматриваемые режимы существуют, а также областей, из каждой точки которых сеть сходится к рассматриваемым режимам. В частности, доказаны следующие теоремы, определяющие условия существования режима без синхронизации и его бассейна притяжения.

Теорема 4. Если синаптические веса удовлетворяют условиям

A/w2 1 < 7"м, A/w2i +A/w32 > TR,

A/wZ2 < Гм, A/w32 + A/wl3 > TR, (10)

A/w\3 < Гм, A/wi3 + A/W2\ > 7R,

то существует предельный режим работы сети у* = (^.УзК где

• 1 (1+И^М - . к С1 + Ш32)Л

w2 = 1--, ю, = 1-----, (11)

1 W 21 ™ Ю21 Щ2

А =

1 + Ш2,' + Шзз1 + Wl3l '

Если синаптические веса удовлетворяют условиям

B/w31 < Гм, S/1031 + B/w2з > Гц,

Bjw-a < Гц, B/w23 + B/W12 > Гк, (12)

B/w 12 < 7мi В/а»12 + б/ш31 > Tr,

то существует предельный режим работы сети ip** = (<р", <р"), где

„ , В (1 + Ш23)5 „ . (1 +Ц>31)Д /1 о\ Ifio = 1----, = 1--, (Ici)

в 1

1 + +OV,1 +шг 1

31 тш23 тш12

Теорема 5. Если синаптические веса удовлетворяют условиям (10) и для начального состояния сети выполнены условия

,„о . Т ,„о ^ т * ~ Уг ** > (Рз>Тя~

-+ Уз < -Г~,--(' +

1+1021 1+Ш21

то сеть сходится к предельному режиму у* = (р^), где и ц>\ определяются по формулам (11).

Если синаптические веса удовлетворяют условиям (12) и для начального состояния сети выполнены условия

1 + Ш3[

<Р2 + , ■■■ < -Г"--(I + М2з)Тц.

то сеть сходится к предельному режиму с/?** = (с^",^"), где ¡р" и <Рз* определяются по формулам (13).

Помимо рассмотренных существуют также другие режимы функционирования сети, в частности, режимы с частичной синхронизацией (когда два из трёх нейронов синхронизируются), о чём была доказана соответствующая теорема.

Теорема 6.

1. Если для начального состояния сети выполнено условие

1 + Ш31 '

то сеть сходится к предельному режиму (¡р^О). Если для начального состояния сети выполнено условие

1 + Ш21

то сеть сходится к предельному режиму (О,^).

2. Если для начального состояния сети выполнено условие

1 -Тц + ч%<<р02<Тя,

то сеть сходится к предельному режиму - '/'з-О)-Если для начального состояния сети выполнено условие

то сеть сходится к предельному режиму (0,^° — <р!>).

3. Если для начального состояния сети выполнены условия

4>з<4>\< Тк, И>32¥>2 + ¥>З > (1 +о>32)(1 - 7"к).

то сеть сходится к предельному режиму

Если для начального состояния сети выполнены условия

<4<<Рз< Тц, Ч>\ + ш2зУз > (1 + Ш2з)(1 - Тв).

то сеть сходится к предельному режиму (с^®,^®).

Особенностью рассматриваемых режимов является то, что, в отличие от случая, в котором синхронизация отсутствует, вектор \р*, характеризующий предельное поведение сети, зависит от начального вектора у?0.

Предельный режим сети, существование которого доказывается в теореме 4, также имеет место в случае кольцевой структуры, состоящей из п нейронов (п ^2).

В четвёртой главе проводится оценка параметров моделей горизонтальных и биполярных клеток сетчатки глаза с использованием описанной ранее методики, основанной на решении оптимизационных задач. Для описания горизонтальной клетки сетчатки предлагается уравнение:

Сь^ = -«(,• КМ-«ь) + /р(0- (14)

Здесь «и(0—-потенциал горизонтальной клетки в момент времени I, и^ — равновесный потенциал при отсутствии воздействия, щ — скорость восстановления потенциала, Сь — ёмкость мембраны, /р(/) — суммарный фоторецепторный ток по всем синапсам данной горизонтальной клетки:

/р(0 =

/о, при 0 ^ / < ti,

Л, при ti < t < t2, (15)

h + Vi -/о)<?"<('-Ч

Здесь /0 — суммарный фоторецепторный ток горизонтальной клетки в темноте, 1\ — тот же ток при наличии воздействия. Моменты времени ¿1 и /г соответствуют началу и окончанию воздействия.

Оценка параметров модели проводится в два этапа. На первом этапе решается оптимизационная задача

(16)

гк

/ (Uh(t,ah,ulJo,íi) - üh(t))2dt -¥ mintt> Jl1

/о , <Xh ■ (fihfo) - "h) - ¡ое-^-'Л

Üh-U'h' ' l-e-ahU2-0)

а на втором этапе — задача ,r

/ {uh(t,ah,u*h,¡0,f¡,>t)-úh(t)fdt m¡nx. (17)

Jtn

Здесь uh(0—функция, получаемая трассировкой осциллограммы® изображённой на рисунке 2 слева, ¿и — неподвижная точка уравнения (14) при /(<) = /0.

Оптимизационные задачи (16), (17) решались численно. При решении этих задач сначала осуществлялся перебор по сетке для сужения области изменения управляемых переменных. Затем для задачи (16) использовался метод покоординатного спуска, а для задачи (17) — метод золотого сечения.

График оптимального решения приведён на рисунке 2 справа. Осциллограмма, отражающая наблюдаемую реакцию, приведена на том же рисунке вверху. Видно, что найденное решение хорошо согласуется с экспериментальными данными (рисунок слева).

Аналогичный подход применялся для решения задачи оценки параметров модели off-биполярной клетки. В качестве входного сигнала модели использован сигнал, генерируемый моделью горизонтальной клетки, приведённой выше. Эталонная осциллограмма, взятая из того же источника, что и в случае горизонтальной клетки, приведена на рисунке 3 слева. Справа на том же рисунке приведён график найденного оптимального решения. Количественное и качественное соответствие между результатами моделирования и данными эксперимента легко видеть из сопоставления двух рисунков.

В заключении подводятся основные итоги работы.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в ведущих журналах, включенных в перечень ВАК:

1. Парамонов, И. В. Построение асимптотического разложения решения уравнения нейрона, описываемого дифференциальным уравнением с переменным запаздыванием / И. В. Парамонов // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, № 2. — С. 36— 39.

2. Майоров, В. В. Поправка к периоду решения уравнения, моделирующего динамику мембранного потенциала нейрона / В. В. Майоров, М. Л. Мячии, И. В. Парамонов // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15, № 2. — С. 3—10.

8 ВTerblin, F. S. Organization of the Retina of the Mudpuppy, Necturus macubsus. II. Intracellular Recording / F. S. Werblin, J. E. Dowling // Journal of Neurophysiology. — 1969. — Vol. 32. — Pp. 339-355.

3. Парамонов, И. В. Релаксационные циклы обобщённого уравнения импульсного нейрона / И. В. Парамонов // Моделирование и анализ информационных систем,— 2011. — Т. 18, № 1,—С. 106-115.

Другие публикации:

4. Парамонов, И. В. Моделирование импульсной активности нейрона с помощью дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом с переменной величиной запаздывания / И. В. Парамонов // Моделирование и анализ информационных систем. — 2002. — Т. 9, № 2. — С. 12-15.

5. Парамонов, И. В. Моделирование импульсной активности нейрона с помощью дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом с переменной величиной запаздывания / И. В. Парамонов // V Всероссийская научно-технич. конф. «Нейроинформатика-2003». Сборник научных трудов. Часть 2, — М.: МИФИ, 2003,— С. 36-40.

6. Лагутина, Н. С. Численное моделирование импульсных нейронных сетей, основанных на уравнениях с запаздыванием / Н. С. Лагутина, И. В. Парамонов // Материалы IX Всероссийского семинара «Нейро-информатика и ее приложения». Сборник научных трудов. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. — С. 139-140.

7. Майоров, В. В. Об уточнении периода колебаний периодического решения уравнения с запаздыванием, описывающего динамику нейрона / В. В. Майоров, М. Л. Мячин, И. В. Парамонов // Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова. Информатика и вычислительная техника. — Ярославль: ЯрГУ, 2003. — С. 45—46.

8. Лагутина, Н. С. Задача о хранении периодической последовательности импульсной нейронной сетью кольцевой структуры / Н. С. Лагутина, И. В. Парамонов // VI Всероссийская научно-технич. конф. «Нейроинформатика-2004». Сборник научных трудов. Часть 1.— М.: МИФИ, 2004,—С. 61-66.

9. Парамонов, И. В. Уточнение асимптотики нейрона, описываемого дифференциальным уравнением с переменным запаздыванием / И. В. Парамонов // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов, студентов. Вып. 6. — Ярославль: ЯрГУ, 2004,— С. 110-115.

10. Лагутина, И. С. Моделирование и анализ распространения возбуждения по сети импульсных нейронов, организованных в кольцо / Н. С. Лагутина, И. В. Парамонов // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов, студентов. Вып. 7. — Ярославль: ЯрГУ, 2005. — С. 62-67.

11. Парамонов, И. В. Исследование сходимости кольцевой нейронной сети из трёх элементов, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздыванием / И. В. Парамонов // Материалы XIII Всероссийского семинара «Нейроинформатика и ее приложения». Сборник научных трудов. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. — С. 69-70.

12. Лагутина, Н. С. Исследование предельных режимов работы нейронной сети с использованием вспомогательной модели / Н. С. Лагутина, И. В. Парамонов // VIII Всероссийская научно-технич. конф. «Нейро-информатика-2006». Сборник научных трудов. Часть 3. — М.: МИФИ, 2006, —С. 9-15.

13. Парамонов, И. В. Анализ динамики импульсных нейронных сетей с использованием фазового подхода / И. В. Парамонов // Актуальные проблемы математики и информатики: Сборник статей к 20-летию факультета ИВТ. — Ярославль: ЯрГУ, 2007. — С. 62-69.

14. Парамонов, И. В. Асимптотическое исследование дифференциального уравнения, описывающего динамику нервной клетки / И. В. Парамонов // Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-20: Сборник трудов XX Междунар. науч. конф. В 10 т. Т. 1. Секция 1.— Ярославль: Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2007.— С. 33—35.

15. Парамонов, И. В. О моделировании процесса обработки информации в горизонтальных и биполярных клетках сетчатки глаза / И. В. Парамонов // 62 региональная научно-техническая конференция студентов, магистрантов и аспирантов: Сборник трудов. — Ярославль: Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2009,— С. 221.

16. Парамонов, И. В. Построение биологически правдоподобной модели сетчатки глаза / И. В. Парамонов // Нейроинформатика, её приложения и анализ данных: Материалы XVII Всеросс. семинара. — Красноярск: ИПК СФУ, 2009. — С. 83-85.

Подписано в печать 20.12.11. Формат 60x84/16. Бумага оф. Отпечатано на ризографе.

Тираж 100 экз. Заказ 45/11. Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская ,14.

61 12-1/377

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова»

На правах рукописи

Парамонов Илья Вячеславович

Моделирование нейронных ассоциаций. Оценка параметров и явление синхронизации

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м.н., профессор Глызин Сергей Дмитриевич

Ярославль 2011

Оглавление

Введение 4

1. Анализ существующих моделей нейронов и нейронных ассоциаций 12

1.1. Модели отдельных нейронов........................................12

1.2. Модели синаптического воздействия..............................18

1.3. Модели нейронных ансамблей в сетчатке глаза.........21

1.4. Выводы................................29

2. Базовые элементы моделирования динамики нейрона 31

2.1. Уравнение с запаздыванием как базовая модель нейрона ... 31

2.2. Уравнение с двумя запаздываниями................................33

2.2.1. Постановка задачи..........................................33

2.2.2. Переход к релейному уравнению и его решение.....34

2.2.3. Построение асимптотического разложения........37

2.2.4. Единственность и устойчивость периодического решения 44

2.3. Оценка параметров модели нейрона-детектора с запаздыванием 46

2.3.1. Уравнение баланса токов..................46

2.3.2. Оценка параметров функций проводимости.......48

2.4. Выводы................................................................50

3. Исследование моделей ассоциаций нейронов, описываемых фазами 53

3.1. Обзор механизмов взаимодействия для базовой модели нейрона 53

3.2. Модель нейронной ассоциации, основанная на фазах......56

3.3. Периодические режимы в системе из двух нейронов............57

3.3.1. Синхронный периодический режим и его локальная устойчивость ........................................................57

3.3.2. Построение отображения Пуанкаре........................63

3.3.3. Оценка бассейна притяжения синхронного режима ... 70

3.3.4. Неустойчивые циклы в системе из двух нейронов .... 72 3.4. Периодические режимы в ассоциации из трёх нейронов .... 81 3.4.1. Фазовые рассогласования в ассоциации из трёх нейронов 81

3.4.2. Режим без синхронизации.................83

3.4.3. Режимы с частичной синхронизацией......................88

3.4.4. Численное моделирование.................90

3.5. Режим без синхронизации в кольце из п нейронов.......93

3.6. Выводы................................................................94

4. Оценка параметров моделей ассоциаций клеток сетчатки глаза 96

4.1. Клетки внутренних слоев сетчатки глаза.............96

4.2. Моделирование горизонтальной клетки и оценка параметров модели ................................98

4.3. Выбор архитектуры связей между горизонтальными и биполярными клетками..........................101

4.4. Модель ой-биполярной клетки и оценка параметров модели . . 106

4.5. Выводы................................110

Заключение 112

Литература 114

Введение

Биологические системы традиционно представляют существенную сложность при исследовании в силу их многокомпонентности и комплексного характера связей. В силу этой сложности основным методом исследования в области нейрофизиологии является построение и анализ математических моделей отдельных явлений. Такие модели рассматривают нервную систему на различных уровнях организации: от отдельных клеток и даже их мембран до мозга в целом, причём, если первые модели основаны на данных физиологии и молекулярной химии, то для последних характерно привлечение широкого спектра биологических и психологических данных. Это подчёркивает существенно разноплановый и междисциплинарный характер проводимых в данной области исследований.

Одной из актуальных проблем современной нейронауки является проблема синхронизации в нейронных ассоциациях. Исследования мозга указывают на исключительную важность данного феномена для обработки информации в центральной нервной системе [1, 2, 3]. Понимание роли механизмов синхронизации осуществляется посредством построения математических моделей, анализа их динамики и выявления условий, при которых рассматриваемые модели являются адекватными.

Помимо выявления качественного соответствия между динамикой в исследуемых моделях и соответствующих им биологических системах, важной представляется также задача количественной оценки параметров функционирования моделей нейронных ассоциаций. Решение данной задачи в существенной степени осложняется тем фактом, что нейрофизиологические данные, составляющие основу исследований любых биологических процессов, часто получены в различных, не оговоренных заранее, условиях и допускают множественные интерпретации.

В то же время, достижение как качественного, так и количественного соответствия в моделях нейронных ассоциаций представляется актуальной задачей, поскольку открывает новые возможности понимания сложных процессов, и служит основой для выхода существующих знаний о нервной системе на качественно более высокий уровень.

Определённые выше проблемы, характерные для всей нейронауки в целом, легко увидеть применительно к большинству конкретных нейрофизиологических объектов, например, к нейронам-автогенераторам и клеткам сетчатки глаза.

Сетчатка является распространённым объектом исследований как нейрофизиологии, так и нейроинформатики. Во многом это обусловлено достаточной ясностью её организации (в виде слоёв), а также доступностью данного объекта для экспериментального исследования. Большая часть работ, посвящённых математическому моделированию сетчатки, концентрируются на частных вопросах её функционирования. При этом преимущественно рассматриваются модели отдельных клеток или отдельных слоёв сетчатки. Примерами здесь могут служить: анализ процесса фототрансдукции в фоторецепторах на основе уравнений кинетики, анализ нелинейных свойств мембран горизонтальных клеток, исследование воздействия различных ней-ротрансмиттеров на биполярные клетки и так далее.

Существенным для моделирования крупных нейронных структур является выбор базовых элементов. В силу большой вычислительной сложности в моделях коллективного поведения предпочтение обычно отдаётся максимально простым, часто очень схематичным базовым элементам. Дополнительным аргументом в пользу этого является тот факт, что мелкие детали реализации отдельных нейронов оказываются некритичными на уровне нейронных ассоциаций.

Однако, в силу сложности объектов исследования, а также существенно неполной и противоречивой информации, получаемой из экспериментальных данных, часто оказывается невозможным определить, являются ли те или иные особенности биологических клеток и механизмов их взаимодействия существенными для моделирования или нет. В случае же сильно схематизированных элементов ситуация усугубляется проблемами непосредственной

интерпретации параметров этих моделей с точки зрения существующих экспериментальных данных, а также невозможностью модификации элементов с целью внесения в них новых характеристик.

Таким образом, явным представляется противоречие между стремлением исследовать системные феномены в нервной системе и попыткой сохранения биологического правдоподобия построенных моделей на уровне их элементов. На практике это противоречие приводит к необходимости нахождения компромисса, который часто всё же приводит к построению моделей с весьма узкой областью применимости и ограниченными способностями к расширению и прогнозированию новых эффектов за пределами их исходных положений (ad-hoc).

В данной работе в качестве базовых элементов используются классическая модель нейрона Ходжкина—Хаксли [4], модель импульсного нейрона В. В. Майорова и И. Ю. Мышкина [5], разработанная в Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова, а также (в отдельной части работы, посвященной исследованию кольцевых нейронных структур) собственная модель, учитывающая лишь фазовые отношения между нейронами, тогда как первые две модели ориентированы на описание процессов в нейроне посредством учёта ионных токов.

Целью работы является построение и исследование моделей нейронов и нейронных ассоциаций, анализ режимов синхронизации, оценка параметров в разработанных моделях.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

• построить модели базовых элементов нейронных ассоциаций на основе моделей нейронов Ходжкина—Хаксли и Майорова—Мышкина;

• разработать модель взаимодействия нейронов в ассоциации, описываемую фазовыми переменными;

• исследовать периодические режимы и режимы синхронизации в моделях нейронов и их ассоциаций аналитически;

• для моделей, описываемых уравнениями баланса токов, поставить задачи оценки параметров в виде оптимизационных задач и решить их численно.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми:

• доказаны существование и единственность периодического решения дифференциально-разностного уравнения с двумя запаздываниями, описывающего модель импульсного нейрона, построено асимптотическое разложение этого решения;

• предложен фазовый подход для анализа нейросетевых структур, состоящих из нейронов, сходных по динамике с импульсными; с использованием данного подхода исследованы нейронные ассоциации из двух и трёх нейронов: сформулированы условия существования различных режимов в сети, а также условия сходимости сети к указанным режимам;

• предложена модификация базовой модели импульсного нейрона В. В. М орова и И. Ю. Мышкина, предложен подход к оценке параметров в ней, а также в сходных моделях, описывающих процессы обработки информации во внутренних слоях сетчатки глаза.

В работе учтены результаты различных нейрофизиологических исследований, которые не были ранее представлены в моделях, либо были представлены фрагментарно, вне единого контекста.

Практическая ценность. Работа в основном носит теоретический характер, однако, содержит существенное количество прикладных аспектов, в основном обусловленных привлечением эксприментальных данных для построения и обоснования разрабатываемых моделей. Последнее открывает перспективы использования результатов работы в ходе нейрофизиологических исследований, поскольку она предоставляет базовое модельное описание протекающих процессов, которое, благодаря прозрачности используемых параметров, допускает усовершенствование с целью учёта конкретных особенностей проводимых исследований.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на Всероссийских научно-технических конференциях «Нейроинформатика-2003», «Нейроинформатика-2004», «Нейроинформатика-2006», Всероссийских семинарах «Нейроинформатика и её приложения» (Красноярск, 2003, 2005, 2009), Всероссийской научной конференции, посвящённой 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова (Ярославль, 2003), 62-ой региональной научно-технической конференции студентов, ма-

гистрантов и аспирантов (Ярославль, 2007), XX международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях: ММТТ-20» (Ярославль, 2007).

Участие в проектах. Во время работы над диссертацией автор участвовал в следующих научных проектах:

1. «Разработка новых методов и средств моделирования и анализа процессов обработки информации в распределенных системах». Грант РФФИ №03-01-00804-а. 2003-2005 годы.

2. Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009—2013 годы» Федерального агентства по науке и инновациям. Государственные контракты №02.740.11.0197 и №02.740.11.0207.

Публикации. По теме диссертации опубликовано шестнадцать научных работ. Из них три опубликованы в изданиях, входивших в перечень ВАК на момент публикации и находящихся в этом перечне в настоящий момент.

Личный вклад автора. Все результаты исследований, составляющих основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно.

Структура и объём диссертации

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

Первая глава содержит анализ существующих математических моделей, относящихся к теме диссертационной работы. В фокусе проведённого анализа в том числе находятся такие характеристики рассмотренных моделей, как биологическое правдоподобие, прозрачность используемых параметров. Следует отметить, что нами не ставилась задача максимально полного охвата всего многообразия существующих работ по рассматриваемой тематике. Главная задача данной главы — обозначить контекст проводимых в настоящей диссертационной работе исследований и проанализировать модели, которые представляются в этом контексте ключевыми.

В главе рассматриваются базовые модели нейронов, в том числе классическая модель нейрона Ходжкина-Хаксли, основные идеи которой являются чрезвычайно популярными в нейробиологических исследованиях, а также перечислены наиболее существенные её модификации, упрощения и усовершенствования. Упомянуты также другие, более схематичные модели, используемые преимущественно для анализа коллективного поведения нейронов в ансамблях. Также в первой главе приведена информация о некоторых существующих моделях синаптического взаимодействия, указаны актуальные феномены, моделированию которых (на уровне отдельных клеток сетчатки) посвящены существующие работы.

Вторая глава посвящена разработке и анализу моделей базовых элементов динамики нейронов.

В ней рассматривается модификация базовой модели нейрона В. В. Майорова и И. Ю. Мышкина, в которой помимо запаздывания калиевой проводимости относительно трансмембранного потенциала предложено ввести аналогичное запаздывание натриевой проводимости. Далее в работе доказаны существование, единственность и устойчивость периодического решения уравнения, описывающего нейрон, при начальных условиях, характерных для инициации потенциала действия. Кроме того, построены асимптотические разложения периодического решения и его периода.

Следующим естественным шагом развития модели В. В. Майорова и И. Ю. Мышкина представляется попытка достичь не только качественного, но и количественного соответствия с данными нейрофизиологических исследований. К сожалению, в базовой модели использование экспериментальных данных представляется затруднительным в связи с особенностью интерпретации функций проводимости, поэтому задача обеспечения количественного соответствия для неё ранее не ставилась.

Для преодоления данного недостатка был произведён своеобразный синтез моделей Ходжкина—Хаксли и Майорова—Мышкина, в результате которого была построена новая модель нейрона. Модель описывается одним уравнением баланса токов, аналогичным первому уравнению системы Ходжкина—Хаксли, однако, в отличие от последней, вводит запаздывание калиевой проводимости относительно натриевой явно (как в модели Майорова—

Мышкина). Последнее позволяет рассматривать процессы в нейроне на более высоком уровне, чем уровень ионных каналов, поскольку динамика нейрона в этом случае зависит лишь от предыстории потенциала и не требует определения состояния воротных переменных, необходимых в модели Ходж-кина—Хаксли.

Для определения параметров модели в настоящей работе была поставлена задача на минимизацию функционала, выражающего отклонение решения модельного уравнения от осциллограммы, полученной в ходе нейрофизиологических исследований Ходжкина и Хаксли. Для снижения размерности пространства параметров были использованы естественные биологические соображения. Данная оптимизационная задача была решена численно методами покоординатного спуска и золотого сечения, полученные результаты хорошо согласуются с данными нейрофизиологии.

Третья глава посвящена разработке и исследованию механизмов взаимодействия нейронов. Данная часть работы базируется на достижениях научной школы В. В. Майорова в данной области [6]. В диссертации проанализирована эволюция модели химического синапса, используемого в работах этой школы, замечено, что все используемые модели не учитывают изменения характера воздействия во времени и потому допускают простое и удобное для анализа обобщение. В результате была предложена модель нейрона, описываемая лишь одной переменной (фазой колебаний) и сформулирован подход, который позволяет выполнить её аналитическое исследование.

Благодаря применению данного подхода удалось сформулировать и доказать теоремы о существовании различных режимов в нейронных ассоциациях, оценить бассейны притяжения данных режимов. Кроме того, доказана теорема о существовании явления синхронизации в системе из двух нейронов при любых значениях параметров.

Некоторые из полученных результатов сходны с известными ранее результатами из работ В. В. Майорова, С. А. Кащенко и Н. С. Лагутиной для сетей импульсных нейронов, а такж�