автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Моделирование неоднородных технических систем большой размерности

Введение

Глава I. Метод подцепей для неоднородных технических систем.

1.1. Формализация понятия подцепи

1.2. Реализация метода подцепей

1.3. Использование метода подцепей

Выводы к главе I.

Глава 2. Моделирование инерционных систем на основе сочетания явных и неявных методов интегрирования

2.1. Постановка задачи и общая схема решения

2.2. Определение класса моделируемых цепей

2.3. Основной алгоритм моделирования

2.4. Исследование области применения явных методов

2.5. Использование методов высших порядков

2.6. Связь метода анализа с топологией цепи

Выводы к главе 2.НО

Глава 3. Применение аналитических методов в исследовании сложных цепей.

3.1. Автоматизация построения подпрограмм-моделей компонентов.

3.2. Символьное моделирование подцепей

3.3. Упрощение моделей

3.4. Автоматизация построения библиотеки моделей подцепей.

Выводы к главе 3.•.

В постановлении ХХУ1 съезда КПСС указано, что необходимо "расширять автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением ЗВМ". Математическое моделирование технических устройств является составной частью современного проектирования. Использование ЭВМ требует разработки систем автоматизации моделирования в различных отраслях техники. В связи с этим актуальной является проблема создания систем, область применения которых выходит за рамки отдельных отраслей техники. "Особенно важно разрабатывать единые, общие методы динамического расчета и проектирования всех этих пневматических, гидравлических, электронных, механических столь различных на первый взгляд систем, каждая из которых является прежде всего динамической системой" (акад. И.И.Артоболевский [I] ).

Можно выделить следующие основные этапы разработки и применения систем автоматизации моделирования общего назначения.

1. Представление технических устройств и приборов в виде, пригодном для формального описания и дальнейшей обработки на ЭВМ.

2. Автоматическое построение математической модели, т.е. системы уравнений, описывающих функционирование рассматриваемого объекта.

3. Решение построенной системы уравнений с учетом больших размерностей, характерных для реальных задач проектирования.

К работам, посвященным вопросу формального представления неоднородных технических систем и устройств, следует отнести [43,50,52]. Особенностью этих подходов является стремление к представлению объектов при помощи ограниченного компонентного набора. Так, например, в теории графов связи предлагается следующий набор компонентов: источники усилия и потока, аккумуляторы (емкость и инерционность), потери (сопротивление), 2-связ-ные узлы (трансформатор и гиратор), 3-связные узлы - общего потока и общего усилия, при помощи которого можно представить достаточно широкий круг приборов и устройств механики, гидравлики и т.д. [51]. Близким набором элементарных компонентов, но ограничиваясь лишь двухполюсными, оперирует Крон Г. [50].

При этом возникают естественные ограничения на класс рассматриваемых задач, однако, более существенным недостатком является необходимость интерпретации в классе выбранного авторами набора элементарных компонентов объектов, для которых математические модели и методы решения моделей, т.е. систем уравнений, достаточно хорошо разработаны и изучены. Особенно этот недостаток очевиден для устройств механики и гидравлики. В то же время вопросы устойчивости и точности решения систем уравнений, полученных методами [50,52,79], в этих работах не рассматриваются. По-видимому, возможность применения этих методов лежит в основном в области предварительной разработки моделей приборов и устройств, ведущей к выделению действительного компонентного базиса для гибкого и оперативного представления приборов и устройств. Так, например, в отличие от [51] устройства гидравлики естественно описывать, используя такие компоненты, как клапан, гидроцилиндр, сильфон и так далее, математические модели которых хорошо известны и для которых найдены эмпирические коэффициенты [59].

Вопросы автоматического построения математических моделей устройств, составленных из фиксированного компонентного набора, особенно широко разработаны в радиоэлектронике. Следует отметить в хронологическом порядке работы в области моделирования линейных цепей [75,88], метод переменных состояния для нелинейных цепей [45,81,83] и наиболее современные табличные методы моделирования электронных схем [71,103,125]. Алгоритмический аппарат, описанный в перечисленных работах, реализован практически в соответствующих комплексах программ [2,18,46,125]. Значительны также исследования в области моделирования неэлектрических устройств. Одномерные задачи механики можно решать при помощи программы 3>иРЕК -£СЕРТКЕ и, очевидно, после эквивалентного представления их в виде электрической цепи [85] можно использовать подходы, применяемые в электронике для расчета технических устройств.

При машинной реализации алгоритмов моделирования технических систем различной физической природы с сосредоточенными параметрами основная проблема заключается в необходимости решения систем алгебро-дифференциальных уравнений больших размерностей. В силу "жесткости" таких систем, характерной для реальных задач, используются обычно неявные методы интегрирования [77] в сочетании с методом Ньютона [20] или его модификациями [55,100]. Следует указать, что основные комплексы программ [18, 46,125,126] реализованы для моделирования электронных схем.

Целью настоящей работы является исследование и решение общих проблем, возникающих при моделировании на ЭВМ технических устройств больших размерностей, т.е. состоящих из большого количества компонентов. С формальной точки зрения большим будем считать устройство, изучением внутренней топологической структуры которого нельзя пренебречь при машинном моделировании.

Основными особенностями многокомпонентных технических устройств, учтенными в настоящей работе, являются следующие: а) произвольное количество связей у компонентов, составляющих исследуемое устройство; б) произвольный набор параметров, действующих на связях каждого из компонентов; в) неодределенный априорно набор базисных компонентов; г) сложность математических моделей компонентов, т.е. систем уравнений, записанных относительно переменных, действующих на связях компонентов.

Среди проблем, возникающих при моделировании устройств больших размерностей с неопределенным априорно координатным базисом, в работе рассмотрены следующие: а) формальное определение подцепи как части неоднородной технической системы; б) представление устройств больших размерностей при помощи иерархической последовательности вложенных подцепей, основанное на гибком определении цепи произвольной природы, позволяющее рассматривать любую совокупность компонентов (подцепь) как новый компонент цепи; в) использование функциональных свойств подцепей, т.е. узлов и блоков технических устройств для повышения быстродействия моделирования; г) решение вопроса об организации расчета по частям; д) построение алгоритма автоматического разбиения на подцепи для устройств различной физической природы; е) для специфического класса существенно инерционных цепей построение методологии подсхем, основанной на безматричном решении систем линейных алгебраических уравнений, позволяющей моделировать цепи больших размерностей без применения специальных методов расчета по частям; ж) для достижения универсальности безматричной методики (пункт е) исследование вопросов А-устойчивости интегрирования при помощи явных методов и построение методологии интегрирования с автоматическим выбором метода интегрирования для каждого компонента в отдельности в отличие от [65,82], где рассматриваются вопросы выбора метода для всей цепи в целом. Для сложных устройств этот метод неприменим, так как вследствие неоднородности процессов в них практически всегда соответствующая система уравнений в целом является "жесткой" и требует неявного интегрирования; з) разработка модификации метода Гаусса, основанной на связи процесса исключения с топологической структурой исследуемой цепи и обеспечивающей эффективный учет особенностей матриц при использовании алгоритмов смешанного интегрирования; и) с целью ускорения подготовки математических моделей компонентов для использования их в комплексе программ автоматизации моделирования в системе А.вто-Аналитик разработка программы генерации подпрограмм-моделей, основанных на предлагаемой пользователем системе уравнений и методе интегрирования; к) использование при обработке подцепей возможности эквивалентных преобразований, основанных на исключении линейных уравнений с соответствующим сокращением размерности модели подцепи.

Сформулированные в пунктах и) и к) приемы моделирования мож' но рассматривать как элемент систем автоматизированной разработки САПР, так как они обеспечивают быструю подготовку моделей компонентов новых классов исследуемых устройств для расчета их в комплексе программ автоматизированного моделирования.

Диссертационная работа состоит из трех глав.

Выводы к главе 3

I. Исключение длительного и трудоемкого процесса разработки и отладки подпрограмм-моделей компонентов и подцепей обеспечивает алгоритмический и программный аппарат генерации подпрограмм языка Фортран, задающих модели компонентов рассматриваемого класса технических устройств. Эти подпрограммы могут непосредственно использоваться в системе автоматизированного моделирования этих устройств.

2, Особо следует подчеркнуть повышение надежности подготовки программ. Вывод моделей компонентов со сложными характеристиками (типа транзисторов) связан со сложными аналитическими преобразованиями, необходимыми для линеаризации уравнений. Ручные выкладки такого объема почти непременно связаны с ошибками, которые могут выявиться при дальнейшем практическом использовании соответствующих формул для устройств, обладающих некоторыми специфическими особенностями, и привести соответственно к ошибкам моделирования. Автоматический вывод моделей компонентов исключает эту возможность.

Программа генерации моделей может работать для компонентов с различными наборами переменных на связях компонентов, с различными типами уравнений и различными методами интегрирования. Таким образом, автоматически строится библиотека подпрограмм-моделей компонентов. Фактически генерируется специализированный язык описания конкретного класса технических устройств, что делает систему моделирования более доступной для пользователя, позволяя работать в привычной терминологии и компонентной базе (в отличие, например, от метода электрического аналогизирования [50]). Обеспечена генерация моделей компонентов электроники, механики, гидравлики и гидромеханики. В приложении приведены библиотеки моделей компонентов электроники и механики, сгенерированные автоматически.

3. В работе учтены современные тенденции использования типовых узлов при разработке новой аппаратуры. Использование аппарата автоматического проведения аналитических выкладок позволяет строить модели таких узлов (подцепей) один раз. Полученные модели можно рассматривать наряду с компонентами, т.е. как расширение входного языка и, следовательно, возможности автоматического моделирования. Предварительная аналитическая обработка моделей позволяет провести ряд упрощений, которые существенно повышают быстродействие моделирования устройств с такими узлами.

4. Аппарат исследования сложных цепей, описанный в главах I и 2,и аппарат символьного моделирования, изложенный в настоящей главе, совместно составляют численно-аналитический комплекс, в значительной мере совмещающий достоинства аналитического (отсутствие цикличности выкладок, универсальность, наглядность) и численного (высокое быстродействие, возможность расчетов на ЭВМ, наиболее доступных в инженерной практике) методов исследования сложных цепей.

Пользователю предоставляется удобный гибкий инструмент для проведения численного эксперимента, связанный, например, с использованием различных модификаций моделей компонентов, а также с применением различных методов интегрирования.

Заключение

В настоящей работе рассмотрен круг проблем, связанных с моделированием на ЭВМ технических приборов и устройств, представи-мых в виде неоднородных цепей (т.е. в виде совокупности взаимосвязанных компонентов) больших размерностей. Среди таких проблем можно отметить проблему подготовки и редактирования (исправление ошибок) исходной информации, ограничения, связанные с объемом оперативной памяти используемой ЭВМ и допустимыми затратами машинного времени. Для решения указанных проблем в настоящей работе построена специальная методика, основанная на обобщении метода подсхем (подцепей) для технических устройств произвольной физической природы, на использовании некоторых особенностей частных классов цепей, а также разработаны средства автоматизации подготовки исходной информации.

Практической реализацией предложенных методик явились пакеты программ на языке Фортран-IУ и в системе Авто-Аналитик, предназначенные для решения задач автоматизации моделирования цепей больших размерностей. Исследована возможность использования этих пакетов для решения реальных инженерных задач в области электроники, механики, гидравлики, гидромеханики и оценена область их применения и эффективность.

Наиболее общим аппаратом моделирования цепей больших размерностей является метод подцепей. Его применение упрощает подготовку исходной информации, делая ее более обозримой, снимает ограничения, связанные с объемом используемой оперативной памяти ЭВМ. Так как при использовании метода подцепей ограничивается рост количества ненулевых элементов при матричных преобразованиях, его применение дает повышение быстродействия и для тех задач, решение которых возможно и без метода подцепей (т.е. задач, которые не требуют чрезмерных затрат оперативной памяти).

Эффективность метода подцепей повышается при использовании функциональных свойств подцепей за счет применения в данной работе алгоритмического аппарата исследования локальных функциональных свойств подцепей. Наибольший эффект достигается при моделировании сложных устройств (типа переключательных), у которых в каждый момент времени работает лишь часть компонентов.

Практически достаточно распространенным является класс цепей с существенным преобладанием инерционных компонентов. Предлагается методика, позволяющая моделировать такие цепи с очень высоким быстродействием без применения матричных преобразований, а также без дополнительных затрат оперативной памяти (безматричный анализ). Применения метода подсхем не требуется. Так как возможность безматричного анализа связана с необходимостью применения явных методов интегрирования, область применения которых ограничена вследствие изменяющегося в процессе моделирования разброса постоянных времени, требуется применение покомпонентного перехода с явного на неявное интегрирование в соответствии с выведенными критериями, а также комбинация безматричного анализа со специальной модификацией метода Гаусса решения линейных алгебраических уравнений.

Исходные математические модели компонентов (системы уравнений) требуют сложной предварительной обработки и реализуются программами на языке Фортран довольно большого объема. Кроме того, часто требуется построение модели целых блоков и узлов в соответствии с современной тенденцией проектирования аппаратуры на основе унифицированных элементов.

Многократно ускорить процесс подготовки соответствующих подпрограмм, исключить отладку и трудновыявляемые ошибки при ручных аналитических преобразованиях позволил пакет программ автоматической генерации подпрограмм-моделей компонентов, выполненный в системе Авто-Аналитик. По заданной системе уравнений или по заданной топологической информации о подцепи автоматически строится подпрограмма на языке Фортран, выдающая в качестве результата работы коэффициенты линеаризованных уравнений. Автоматически выполняются операции подстановки параметров компонентов, упрощения, подстановки разностных аппроксимаций для производных и символическое дифференцирование, необходимое в методе Ньютона.

Таким образом, разработан численно-аналитический аппарат, эффективно использующий достоинства аналитических и численных методов и позволяющий решить ряд проблем, возникающих при моделировании на ЭВМ неоднородных технических систем больших размерностей.

1. Артоболевский И.И. Пневматика и гидравлика. М.: Машиностроение, 1977, вып.4, 280 с.

2. Анисимов Б.В., Белов Б.И., Норенков И.П. Машинный расчет элементов ЭВМ. М.: Высшая школа, 1976. 336 с.

3. Арайс Е.А. Символьный анализ радиоэлектронных цепей в системе Авто-Аналитик. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1977, т.XX, № 6, с. Ш-ИЗ.

4. Арайс Е.А. К решению систем с разреженными матрицами. Изв. вузов - Радиоэлектроника, 1978, т.XXI, № 6, с.153-154.

5. Арайс Е.А., Арайс Л.А., Дмитриев В.М. Моделирование неоднородных физических систем на ЭВМ. Изв.вузов - Электромеханика, 1978, № 10, с.1035-1041.

6. Арайс Е.А., Арайс Л.А., Дмитриев В.М. Алгоритмы и программы анализа сложных цепей и систем. Томск: Изд. ТГУ, 1976. 170с.

7. Арайс Е.А., Арайс Л.А., Дмитриев В.М. К исследованию сложных цепей. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1977, т.XX, Р12,с.93-94.

8. Арайс Л.А., Гельфман Б.Ш. Символический анализ сложных технических систем. Автоматизированные системы управления хозяйством Томской области. Томск: Изд. ТГУ, 1980, с.31-33.

9. Арайс Е.А., Дмитриев В.М. Моделирование неоднородных цепей и систем на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1982. 160с.

10. Арайс Е.А., Дмитриев В.М., Шутенков А.В. Система МАРС. Томск: Изд. ТГУ, 1976. 188с.

11. Арайс Е.А., Сибиряков Г.В. Авто-Аналитик. Новосибирск: Изд. НГУ, 1973. 284с.

12. Арайс Е.А., Шапиро Л.А. Исследование линейных цепей в системе МАРС. Вопросы программирования и автоматизации проектирования. Томск: Изд. ТГУ, 1977, вып. 3, с.74-93.

13. Арайс Е.А., Шутенков A.B. Решение задач линейной алгебры в системе Авто-Аналитик. Вопросы программирования и автоматизации проектирования. Томск: Изд. ТГУ, 1971, вып. I,c.I9I-I96.

14. Арайс JI.A. Об одной реализации метода подсхем. Вопросы программирования и автоматизации проектирования. Томск: Изд. ТГУ, 1979, вып. 4, с.97-103.

15. Арайс JI.A. О применении аналитических выкладок для реализации метода подсхем. Вопросы программирования и автоматизации проектирования. Томск: Изд. ТГУ, 1930, вып. 5, с.97-102.

16. Баранов A.B. Метод сечений в исследовании сложных систем.: Канд. дис. М., 1964.

17. Бахов В.А., Ильин В.Н., Фролкин В.Т. Алгоритм расчета нелинейных схем методом подсхем с использованием итераций по Ньютону. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1974, т.ХУЛ, № 6, с.5-15.

18. Бауэре, Шоу, Бэрен. Программа для автоматического моделирования систем, содержащих большое количество ИС. Электроника, 1975, т.48, № 9.

19. Беллерт С., Возняцки Г. Анализ и синтез электрических цепей методом структурных чисел : Пер. с польс. М.: Мир, 1972, 332с.

20. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений в 2-х т. М.: Физматгиз, 1962. T.I 462с., Т.2 - 639с.

21. Берж К. Теория графов и ее применения : Пер. с франц. М.: ИИЛ, 1962. 319с.

22. Бондаренко В.М. Вопросы анализа нелинейных электрических и электронных цепей. Киев: Наукова думка, 1967. 159с.

23. Бондаренко В.М., Пфенинг В.В. Использование метода подсхем для анализа нелинейного режима электронных схем. Автоматизация проектирования РЭА. М.: 1973, с.49-52.

24. Вондаренко В.М., Пфенинг В.В. Исследование и разработка алгоритмов и программ машинного проектирования электронных схем. Киев: ИЭД АН УССР, 1973 (Препринт-56).

25. Васильев О.Ф., Воеводин А.Ф. Математическое моделирование качества воды в системах открытых русел. Математические вопросы механики, 1975, вып. ХХП, с.73-89.

26. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 303с.

27. Герсковиц Дж. Д. Машинный расчет интегральных схем : Пер. с англ. М.: Мир, 1971. 407с.

28. Глушков В.М., Воднарчук В.Г., Гринченко Т.А. Аналитик. -Кибернетика, 1971, № 3.

29. Говорков В.А. Ускоренные числовые расчеты сложных электрических цепей. М.: Энергия, 1973. 103с.

30. Гурарий М.М. Применение метода многополюсных подсхем- в программах анализа электрических характеристик БИС. Управляющие машины и системы, 1973, Р 5.

31. Два поколения программ для машинного проектирования. Электроника, 1970, т. 43, Р 8, с.14-17.

32. Дружинский И.А. Механические цепи. Л.: Машиностроение, 1977. 240с.

33. Елизаренко Г.Н. Анализ нелинейных схем методом разбиения. -Автоматизация проектирования в электронике. Киев: Техника, 1975, вып. 12, с.31-39.

34. Елизаренко Г.Н., Слипченко В.Г. Иерархические способы организации итераций в сложных нелинейных цепях. Изв. вузов -Радиоэлектроника, 1977, т.XX, № 6, с.107-111.

35. Заборская И.Н., Сиротко В.К. Метод анализа статических нелинейных режимов сложных полупроводниковых схем. Автоматизация проектирования в электронике. Киев: Техника, 1972, вып. 5, с.30-37.

36. Заворин А.И., Хесина И.Я. 0 некоторых численных методах решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. ЖВМ и Ш, 1973, т.13, № I, с.71-79.

37. Ильин В.Н. Основы автоматизации схемотехнического проектирования. М.: Энергия, 1979. 392с.

38. Ильин В.Н. Автоматизация расчета однородных вычислительных сред методом двустепенных подсхем. Приборы и системы управления, 1975, Н°- 3, с.26-28.

39. Ильин В.Н. Машинное проектирование электронных схем. М.: Энергия, 1972. 280с.

40. Ильин В.Н. Метод многоступенчатых подсхем на основе алгоритма Гаусса. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1977, т.XX, Р 6, с. 123-125.

41. Ильин В.Н., Бахов В.А. Программа анализа методом подсхем (ПАМП). Машинные методы проектирования электронных схем. М.: Знание, 1975.

42. Ильин В.Н., Фролкин В.Т. Цифровые схемы и устройства на МДП-транзисторах. М.: Энергия, 1975. 129с.

43. Ильинский Н.Ф., Цаценкин В.К. Приложение теории графов к задачам электромеханики. М.: Энергия, 1968. 200с.

44. Калахан Д. Методы машинного расчета электронных схем : Пер. с англ. М.: Мир, 1970. 344с.

45. Калахан Д. Устойчивый точный метод численного интегрирования для случал нелинейных систем. ТИИЭР, 1968, т.56, 1Р 5, с. 9495.

46. Катценельсон. аедаает система программ для моделирования нелинейных цепей. ТИИЭР, 1966, т.54, № II.

47. Кениг Г., Блекуэлл В. Теория электромеханических систем :

48. Пер. с англ. М.: Энергия, 1965. 423с.

49. Козобков /I.A., Коппель А.И., Мессерман A.C. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов. М.: Машиностроение, 1974. 166с.

50. Коляда Ю.З., Сигорский В.П. Полуявные алгоритмы численного интегрирования жестких уравнений. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1975, т.ХУШ, РЗ, с.83-84.

51. Крон Г. Исследование сложных цепей по частям диакоптика. М.: Наука, 1972. 542с.

52. Кэрноп Д. Модели графов связей для гидродинамических систем.-Применение теории графов связи в технике. М.: Мир, 1974. 95с.

53. Кэрноп Д., Розенберг Р. Применение графов связи в технике. М.: Мир, 1974. 95с.

54. Ленк А. Электромеханические системы. М.: Мир, 1978. 289с.

55. Мазный Г.Л. Программирование на ВЭСМ-6 в системе "Дубна". М.: Наука, 1978. 272с.

56. Матвеев В.А. Метод приближенного решения систем нелинейных уравнений. ЖВМ и МФ, 1964, т.4, W 6.

57. Математические методы и вычислительные машины в энергетических системах. / Под ред. проф. Веникова В.Н. М.: Энергия, 1975. 214с.

58. Митропольский Ю.А., Молчанов A.A. Машинный анализ нелинейных резонансных цепей. Киев: Наукова думка, 198I. 238с.

59. Молчанов A.A., Примачук М.А. Алгоритмы и программы аналитического решения уравнений одноконтурных нелинейных резонансных цепей с применением ЭВМ Мир-2. Автоматизация проектирования в электронике. Киев: Техника, 1973, вып. 8.

60. Моль Р. Гидропневмоавтоматика. М.: Машиностроение, 1975. 180с.

61. Медведев B.C., Лесков А.Г., Ющенко A.C. Системы управленияманипуляционных роботов. M.: Наука, 1978. 416с.

62. Нагорный Л.Я. Решение систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами на ЭЦВМ. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1979, т.ХХП, № 6, с.42-45.

63. Нагорный Л.Я. Моделирование электронных цепей на ЦВМ. Киев: Техника, 1974. 360с.

64. Нагорный Л.Я., Черных А.А. Определение функций цепи электронных схем по матрице гибридных параметров на ЦВМ. Автоматизация проектирования в электронике. Киев: Техника, 1972, вып. 6, с.II-16.

65. Норенков И.П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем. М.: Высшая школа, 1930. 311с.

66. Норенков И.П., Жук Д.М., Маничев В.В., Трудоношин В.А. Анализ электронных схем при совместном применении явных и неявных методов интегрирования. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1979, т.ХХП, № 6, с.27-33.

67. Норенков И.П., Иванов O.P., Мулярчик С.Г. Алгоритмы расчета электронных схем на ЭВМ. Изв.вузов - Радиоэлектроника,1972, т.ХУ, № 3, с.386-390.

68. Норенков И.П., Мулярчик С.Г., Иванов O.P. Экстремальные задачи при схемотехническом проектировании в электронике. Минск: Изд. БГУ, 1976. 239с.

69. Норенков И.П., Пивоварова Н.В. Алгоритм анализа сложных систем с разными шагами для подсистем. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1979, т.ХХП, № 6, с.93-95.

70. Островский Л.А. Основы общей теории электроизмерительных устройств. М.-Л.: Энергия, 1965. 531с.

71. Петренко А.И., Власов А.И. Алгоритм упорядочения больших разреженных систем алгебраических уравнений. Автоматизация провотирования в электронике. Киев: Техника, 1975, вып. 12, с.17-23.

72. Петренко А.И., Власов А.П., Тимченко А.П. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. Киев: Вища школа, 1977. 189с.

73. Петренко А.И., Власов А.И., Тимченко А.П. Анализ сложных электронных схем методом разбиения. Вычислительная техника в конструировании и технологии приборостроения. М.: Знание, 1975.

74. Петренко А.И., Елизаренко Г.Н. Моделирование сложных схем на ЭЦВМ. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1973, Т.ХУ1, № б, с.68-74.

75. Петренко А.И., Матросова Г.А. Формирование математических моделей электронных схем с применением аналитических преобразований. Кибернетика, 1981, № 2, с.60-64.

76. Пухов Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. Киев: Гаукова думка, 1967. 568с.

77. Пухов Г.Е. Теория метода подсхем. Электричество, 1952, № 8.

78. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208с.

79. Робишо Л., Вуавер М., Робер Ж. Направленные графы и их применение к электрическим цепям и машинам : Пер. с франц. М.-Л.: Энергия, 1964. 248с.

80. Розенберг Р. Многосвязные модели в механике. Применение теории графов связи в технике. М.: Мир, 1974. 95с.

81. Сигорский В.П. Матрицы и графы в электронике. М.: Энергия, 1968. 175с.

82. Сигорский В.П. Моделирование электронных схем в пространстве переменных состояния. Изв.вузов - Радиоэлектроника, 1972, т.ХУ, №9, с.1059-1065, ИО, с.1204-1215, №12, с.1458-1469.

83. Сигорский В.П., Витязь O.A. Проблемно-адаптируемый подход к анализу нелинейных электронных схем. Электронное моделирование, 1980, № 5, с.41-44.

84. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Сов. радио, 1976. 608с.

85. Слипченко В.Г., Елизаренко Г.Н. Методы диакоптики в электронике. Киев; Вища школа, 198I. 208с.

86. Тетельбаум И.М. Электрическое моделирование гироскопических систем. Труды МЭИ, 1956, вып.ХУШ.

87. Тетельбаум А.Я. Метод разбиения сложной системы на малосвязные подсистемы. Автоматизация проектирования в электронике. Киев: Техника, 1975, вып. 12, с.108-112.

88. Тетельбаум И.М., Тетельбаум Я.И. Модели прямой аналогии. М.: Наука, 1979. 383с.

89. Трохименко Я.К. Метод обобщенных чисел и анализ линейных цепей. М.: Сов. радио, 1972. ЗПс.

90. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. 190с.

91. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. 167с.

92. Фролкин В.Г., Ильин В.Н., Коган B.JI. Эффективный метод решения разреженных систем линейных уравнений большого порядка. Изв.вузов Радиоэлектроника, 1974, № 8, с. 15-23.

93. Хасимов В.Я. Элементы теории гидравлических цепей. Изв. АН СССР. сер. "Энергетика и транспорт", 1964, Т- 2.

94. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. 400с.

95. Хэпп X. Диакоптика и электрические цепи. М.: Мир, 1974. 343с.

96. Чахмахсазян Е.А., Бармаков 10.Н., Гольденберг Л.Э. Машинный анализ интегральных схем. М.: Сов. радио, 1974. 272с.

97. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем : Алгоритмы и вычислительные методы. Пер. с англ. М.: Энергия,1980. 640с.

98. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. 464с.

99. Szc/iva-rd- Dt/Zerenéiciár If £ £, A9 к Л?

100. Рюс. A/aé. Acad. Set. A/SA J к 38.

101. A¿)3. 2>a.éAputs/ A S^ecAa/ S/aEt'E/Ey flwéfe/n /о/- /¿/?ea,r

102. A/t¿/¿i$Aef> A/e//u>cAs. 3irj /#£3, Ж 3. Ш Dc/n-éari £r-¿sma/i 3. A/yfrt'd Sparse - Matrix A/e/Aadz.

103. EE Tr. о/? C.T.; ¿9?^ к CT-¿0} А/о />. 405". G-ear С.ИА, $t#u/E/a/íeo¿/s А/г/^ег/саЕ S¿? Ей ¿t'¿>/? а/ Л//егг/гЕ;аЕ

104. A^eérate f^t/aÜMS. !£££ Tr. м A-/97/, У. ЕГ-/Е, A/¿ / Ш. Gear С.А1/ T/e Au/owa/tc J/rtefAa&'M о/ /гс/А/и?л^ Aj/erettA/oE fyaÚMS. fi/ ¿Ae A£A/? иA/¿> fQh &US/arson A-.} Ái/i¿¿peAо/ cu? ty/iMaE Z/w/ /OA fiarse

105. Шяг £ym/t¿?fts. 7. /A$s. E¿>/njou/. A/acA^ /9/0, n /•?, ^m. /AaaÁ-ЕеЕ ^ Зга^/м £t/stAaysM £ TAe Sparse

106. App re а. c/¡ Ао ХХеХ^о/^Х A/füAys/s ал c¿ J)es¿/i£. TEE ¿f Tr.ofí с. г. j /¿v^ * er- xsJ M¿> /, p>. /¿v- //д

107. HsteÁ A. G-Áa-ust AA.S. A fa>M¿&sé¿c AppreacÁ A¿> Op ¿t/na £ A¿yoé¿/ipp a-äd Are¿XtcXt&/? с/ ГгАХ гл Jvr Aa/idow Sparse AAaXr/ce. - JETE Tr. м ¿T/Tv. 0t~ xpf m 47. kk^teae^SM J. Ал A ¿por ¿/АA#r SoA^'n^ /Va7 Ai/tea г

108. AesùétM AlXeXwrA. SSTJ к Ц Ab //, p. XAûf- XE£û. /// Kor/? WcuA 7.1/. ôeitÙ/ttMS - tysé&n.ie/}.- f/tf&tvûûd ÛA//; MA ¿/SA: Агелйсе-M* AA, -/ÇAA

109. Xr/m éer- / J. Stjfurc/sc>A S. T. Mu A¿t$/ep> AXeXAûdf ь/i Xi Vaste iAe AXbXrtz he//rcLM¿s.- ШМ 7. АХишп A/mÇA^AXo.Ç.113. ùfiijr И/.j И/tAûi/gAAy A.A. fj/гешX ГлХе^г^гЬл AAeAAûds Jor A ¿iJA tysé&ns Û/ Агд/слаг^ ЛуА/егелтХ/аЕ XApuaA'ünS.

110. Order jbr éAe SvAt/étû/? о/ Sparse Sipsée/n û/ £ßi/aXtü/7S. -Axûc. Û/ XAe -XE-XA AA/c/tresé XApjp/npjeseW/v г/? fX/нсУтА 7Aee/y¿ iïXdtzr&û, Apr., AP/3; p>.m-s/x. 118: ЯошётЕ XX.//. Sû/ve Jebera A Т/пр&с/А Accesses jAr AAe

111. AXû/xertcaX AeAoXtM t>/ Л'Д'елелАгаА Xtû/?£7.; 19£3J A/of.

112. ScAm'ft J ИХ А A/w Scleme Ap/Esca/Ae /0 /^/WnafysAs Sétfdt'éS, liaXo^/tcS asid ûA/ел fr-e Sa/$. !£££-jpAyûeAj /^Г/ Ж> ЗА Ш ScAvfer DM, Û^Aie/l E. û Pc/s/er Mi? a/i¿X ¿¿лент РХлсе/пел/.— Prn, A6AA- IEE£ ^ ////, A/e»> >W, âV-/Г£.

113. Time// IV. ИХ^ЕАел I. W. Dz>eeé Et/ /г'рж û/ Sparse AAe/~ work EpuaXù>/?$ ûpéi/гш EXy ûrc/erecX Тг/ал^// Xa л Еяс/р-ri*aé¿*t.- Me. Û/ EAe I£££^ к fy MAS, /Ш- XUP.

114. T¿>*v I ffiAMU Есь/Ам û/ i/a/t'û/?? Хе^лг-а/гЪ/г1. Afe/Aœ/ç. А/£££^ к^/И

115. Уа/7 6¿>A Aere/? ИХ. Aireas I/п^ХАег/ DsjX/e/ч/г At/tAew Х^л/пи о/ MirAafá Sétf маА Ûrc/er. Z££ET-CAS,1. A/o //£

116. Weeks ИХ .Т. AEfcrtéA*? Jor ASTAP- A ШюгА AsafysAs Рпргйтм. f£££ Tr. m Р./ /Р/3; к /A,^ ^ £//>-X5A.1l£. kA¿ag û. Cûïtpt/Xer //e/Aoc/s û/ ЕАлмА/ An^-fysX, ЕАам

117. Aoû^ Tee/ucaE C/mrêr$tAp. о/ Je/г/ne ас. A, 127. WIS PAP- ИАпс*/ы'/г Par*/fe £ Array

118. ScaPe ftff/e/n Si/nvá/t'M. Sí/mEz/^ APA/j A/p ЗГ