автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование межфазного массопереноса в условиях естественной конвекции

На правах рукописи

ОБВИНЦЕВА НИНА ЮРЬЕВНА

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕЖФАЗНОГО МАССОПЕРЕНОСА В УСЛОВИЯХ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 Шя

Москва 2009

003471286

Работа выполнена в ФГУП «Научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я. Карпова»

Научный руководитель:

доктор химических наук, профессор Каминский Владимир Александрович Научный консультант:

кандидат физико-математических наук Калачинская Ирина Станиславовна Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Елизарова Татьяна Геннадьевна доктор физико-математических наук, профессор Тимашев Сергей Федорович

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится « Ц » июня 2009 г. в_час._мин. на заседании

диссертационного совета Д.002.058.01 при институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института математического моделирования РАН

Автореферат разослан « » НСк£ 2009 г. Ученый секретарь Диссертационного совета Д.002.058.01

доктор физико-математических наук

Змитренко Н.В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Межфазный перенос в системах жидкость-газ играет важную роль в различных природных и технологических процессах. Интенсивность тепломассоотдачи во многом определяется режимом переноса в системе, который может осуществляться в результате молекулярного или конвективного механизма, в турбулентных потоках - за счет хаотического движения вихрей. В связи с этим исследование режима переноса в зависимости от физико-химических параметров является важной задачей при описании конкретных процессов.

Возникновение конвективной неустойчивости в системе приводит к развитию самопроизвольных течений, которые могут образовывать упорядоченные диссипативные структуры. По механизму возникновения разделяют неустойчивости, вызванные капиллярными либо плотностными эффектами, связанными в свою очередь с концентрационной или температурной неоднородностью. Переход к режиму развитой конвекции характеризуется интенсификацией межфазного тепломассопереноса. Исследование развития конвекции включает изучение следующих вопросов: определение критических условий потери устойчивости, определение скорости развития конвективной неустойчивости, анализ структуры стационарных конвективных течений и ее влияние на характеристики тепломассопереноса. Основные результаты получены для задач теплопереноса. В задачах массопереноса конвективная неустойчивость исследуется реже, причем такие задачи имеют ряд особенностей: в общем случае необходимо рассматривать двухфазную систему и учитывать возникновение конвективных потоков, связанных с межфазным переходом. Данная работа направлена на исследование возникновения конвективных течений в газовой фазе при испарении жидкостей. Возможность возникновения гравитационной конвекции в газовой фазе в процессе испарения часто не учитывается, в связи с этим его описание в литературе является недостаточно полным. Результаты экспериментальных исследований нестационарного процесса испарения чистых жидкостей и бинарных растворов

[1] показали, что при определенных условиях, происходит возрастание скорости испарения. Переход к интенсивному режиму объяснялся сменой диффузионного режима испарения на конвективный.

Основной задачей при изучении испарения является определение скорости испарения в различных режимах процесса, а при испарении бинарных и более сложных растворов - кроме того, определение состава отходящего пара в зависимости от физико-химических свойств и условий протекания процесса. Для развития представлений о механизме процессов, протекающих при нестационарном испарении, необходимы теоретические исследования, которых к настоящему моменту недостаточно.

Одним из основных методов исследования устойчивости динамических систем является линейный анализ, однако его возможности ограничены классом стационарных задач, т.е. изучением систем с линейным распределением плотности по высоте в начальный момент времени. Использование численных методов для решения уравнений динамики движения среды с учетом свободной и вынужденной конвекции позволяет моделировать физико-химические процессы в широком диапазоне параметров. В данной работе проводится моделирование массопереноса при испарении в условиях развитой конвекции на основе решения нестационарных уравнений Навье-Стокса и конвективной диффузии.

Цели и задачи работы

Исследование условий возникновения и закономерностей развития гравитационной конвекции, изучение режимов массопереноса в процессе нестационарного испарения чистой жидкости и бинарных растворов.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. разработка численного алгоритма, его верификация и создание на его основе программ для решения уравнений конвективного массопереноса при моделировании процессов испарения чистых жидкостей и бинарных растворов в газовой фазе;

2. анализ условий возникновения конвективной неустойчивости и изучение скорости испарения при разных режимах процесса в зависимости от начальных условий и физико-химических параметров системы;

3. исследование динамики развития конвективных течений и их структуры в газовой фазе;

4. исследование влияния конвекции на массоперенос.

Научная новизна

На основании результатов численных расчетов для одно- и двухкомпонентных систем определены критические условия потери устойчивости для нестационарных процессов испарения. Рассчитана скорость испарения жидкости и определена структура течений в режиме интенсивной конвекции. Для бинарных систем установлено существование более одного стационарного режима, т.е. скорость испарения и состав пара могут различаться в зависимости от распределения концентрации компонентов пара по высоте газовой фазы в начальный момент времени. Показано, что вынужденная конвекция может как увеличивать, так и уменьшать скорость испарения в условиях развития естественной конвекции.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты проведенных в работе исследований могут быть использованы при изучении и моделировании процессов сопровождающихся тепломассопереносом, разработке методов интенсификации процесса испарения, выборе оптимальных режимов проведения технологических процессов, сопровождающихся тепломассопереносом, проектировании соответствующих химических аппаратов и реакторов, при изучении природных явлений, связанных с испарением. Результаты вычислительных экспериментов могут быть использованы для анализа экспериментальных данных и построения теоретических прогнозов.

На защиту выносятся: - результаты моделирования динамики развития конвективной неустойчивости при нестационарном испарении однокомпонентных жидкостей в условиях гравитационной конвекции;

- результаты моделирования динамики развития гравитационной конвекции в бинарных системах в зависимости от физико-химических параметров и начальных условий;

- результаты моделирования массопереноса в процессе испарения однокомпонентной жидкости в плоском вертикальном канале;

- результаты численных расчетов по сопоставлению влияния вынужденной и естественной конвекции на скорость испарения;

- данные по оценке времени начала влияния конвекции на массоперенос и критических условий возникновения конвективной неустойчивости в зависимости от чисел Релея;

- результаты численных расчетов по интенсивности массообмена для ряда систем при различных числах Релея;

- сопоставление данных численного моделирования с литературными экспериментальными данными по скорости испарения для ряда исследуемых систем.

Апробация работы.

Изложенные в диссертации результаты работы докладывались на XXII Научной конференции стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2006), на 13 Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." (Пущино, 2007), на XX Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Ярославль, 2007), на XXIII Научной конференции стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2008).

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах НИФХИ им. Л.Я. Карпова (декабрь 2008), Института математического моделирования РАН (апрель 2009), Института проблем механики РАН на семинаре "Численное моделирование процессов тепло- и массообмена"(рук. В.И. Полежаев, Г.С. Глушко) (апрель 2009).

Публикации по теме диссертации.

По теме диссертационной работы опубликовано 3 статьи, 4 трудов и 2 тезисов докладов на научных конференциях.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и приложения. Работа изложена на 128 страницах, включает 31 рисунок и 1 таблицу. Список литературы содержит 120 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования влияния конвективной неустойчивости на протекание процессов тепломассопереноса. Сформулированы цели и задачи исследования.

В первой главе проведен обзор работ по исследованию систем, сопровождающихся тепломассопереносом в условиях неустойчивой стратификации. Рассмотрены основные механизмы возникновения конвективной неустойчивости: под действием сил плавучести (неустойчивость Релея), либо под действием капиллярных сил (неустойчивость Марангони). Обсуждаются проявления этих эффектов в системах при переносе вещества или тепла. Рассмотрены работы, в которых изучаются критические условия возникновения неустойчивости и структуры конвективных течений в установившемся режиме, проанализировано влияние конвекции на характеристики тепломассопереноса. Особое внимание уделено экспериментальным результатам по исследованию процесса испарения в инертный газ чистых жидкостей и бинарных растворов.

Проанализированы основные математические методы, применяемые для анализа устойчивости систем и описания структур конвективных течений. Рассмотрены методы численного моделирования, которые используются для расчета динамики движения вязкой жидкости и нестационарного тепломассопереноса.

Во второй главе приводится описание задачи о нестационарном испарении жидкости, математическая постановка и методы ее численного решения.

В процессе испарения в результате молекулярной диффузии по высоте газовой фазы формируется нелинейное распределение концентрации пара и соответствующий ему профиль плотности. Если молекулярная масса испаряющейся жидкости меньше молекулярной массы принимающего газа

(М <М0), то в результате диффузии более легкие пары жидкости будут располагаться под тяжелым слоем газа. Такое распределение плотности неустойчиво к возмущениям, что может привести к развитию конвективной неустойчивости за счет гравитационного механизма. В случае М>М0 испарение протекает только в диффузионном режиме. Основньм безразмерным параметром, характеризующим свободную конвекцию, является число Релея Ra.-gfiC'll,/vD, либо связанное с ним число Грасгофа Gr=gflC'li>/v2, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от соотношения молекулярных масс. Здесь /? - коэффициент линейной зависимости плотности газовой фазы от концентрации пара (/? =(ЛГ/Р)(1-М/Л/0)), Н - высота газовой фазы, С* - концентрация

насыщенного пара на межфазной поверхности, V и £) -коэффициенты кинематической вязкости и молекулярной диффузии пара в газовой фазе, соответственно. Критические условия в системе, соответствующие условиям потери устойчивости, характеризуются значениями 1*аег и вгсг. Таким образом, особенностями задачи об испарении жидкости является нестационарный характер исследуемого процесса и нелинейный профиль плотности, формирующийся в результате молекулярной диффузии.

Постановка задачи. Движение парогазовой смеси в газовой фазе описывается в приближении двумерных течений на основе системы уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска и конвективной диффузии для паров компонентов жидкости:

01 Р0

с1ге[/ = 0, (1)

ЯГ*

^ + (ЦУ) С, = О, ДС,, 1=1, 2,

3/

где и = (и, и) - вектор локальной скорости, р- давление, /О0- плотность принимающего газа, г - время, g - ускорение силы тяжести, е - единичный вектор нормали к поверхности жидкости.

В общем случае при постановке задачи об испарении жидкости в газовую фазу необходимо рассматривать двухфазную систему жидкость - газ. Кроме того, при испарении в газовой фазе в результате молекулярной диффузии возникает дополнительный конвективный (стефановский) поток парогазовой смеси, направленный от поверхности жидкости, поскольку на поверхности жидкости сИуII ¿0. В работе рассматриваются системы, в которых указанные эффекты несущественны. Поверхность раздела фаз считается недеформируемой. Сильное различие коэффициентов динамической вязкости двух фаз позволяет рассматривать развитие течений только в газовой фазе, при этом нижняя граница считается твердой. Принимается, что парциальные давления паров малы по сравнению с общим давлением в газовой фазе, что позволяет пренебречь стефановскими потоками. Граничные условия к системе уравнений (1):

г = 0: 17 = 0, С,=С;, (2)

I - Н: и - О, С, = 0 -для открытой системы или

ЭС, /9г = 0 - для закрытой системы, (3)

где Н - полная высота сосуда. В используемой модели предполагается, что на границе раздела фаз сохраняется квазиравновесие между жидкостью и приповерхностным слоем пара в течение всего процесса, поэтому на нижней границе задается значение концентрации насыщенных паров С*. Боковые стенки принимались твердыми и непроницаемыми для компонентов газовой фазы. Начальные условия: и(х,г, 0) = 0, 0) = 0. (4)

Задача характеризуется двумя масштабами безразмерного времени: гидродинамическим временем (время передачи импульса за счет вязкости) и диффузионным (время распространения вещества за счет молекулярной диффузии). Данные масштабы использовались при переходе к системе уравнений в безразмерных переменных и введении основных безразмерных параметров.

Для решения поставленной задачи выполнены численные расчеты с помощью двух разностных методов. В первом методе уравнения записывались в переменных "функция тока - вихрь" [2], во втором - в "естественных" переменных на основе квазигидродинамических уравнений (КГД) [3].

Метод расчета течений вязкой несжимаемой жидкости на основе КГД алгоритма является достаточно новьм и перспективным. Точные решения КГД уравнений совпадают с известными решениями для ряда задач (например, течения Пуазейля и Куэтта.) Численные расчеты были проведены для задач о течении жидкости в квадратной каверне с подвижной верхней крышкой, о гравитационной конвекции в квадратной полости, подогреваемой сбоку и ряда других задач [3]. Тестирование КГД алгоритма для расчета нестационарных течений проводилось при моделировании тепловой конвекции в расплаве при малых числах Прандтля. Изучение нестационарного тепломассопереноса применительно к процессу испарения на основе КГД алгоритма ранее не проводилось.

Основные результаты численного моделирования, приведенные в данной работе, получены на основе КГД алгоритма.

Методика решения. Для решения уравнений конвективного массопереноса в переменных "функция тока - вихрь" применялась неявная разностная схема. Дифференциальные уравнения аппроксимировались консервативной разностной схемой с использованием направленных разностей против потока для конвективных членов. Для решения разностных уравнений вихря и концентрации использовалась продольно-поперечная схема переменных направлений. Данная разностная схема имеет первый порядок аппроксимации по пространству и времени.

Решение поставленной задачи в естественных переменных проводилось на основе КГД уравнений, которые представляют собой уравнения Навье - Стокса в приближении Буссинеска с дополнительными диссипативными слагаемыми. Последние выполняют роль регуляризаторов численного алгоритма, что позволяет проводить расчеты по явной разностной схеме. Для решения системы уравнений все пространственные производные, в том числе конвективные слагаемые, аппроксимируются центральными разностями. Значения всех искомых переменных - скорости, давления и концентраций - задаются в узлах пространственной сетки. На каждом временном шаге по явной схеме определяются значения скорости и концентрации, затем определяется поле

давления. Разностная схема имеет второй порядок аппроксимации по пространству и первый по времени.

Расчеты были проведены в предположении двумерных течений на равномерной сетке. При проведении вычислений потеря устойчивости происходила под действием возмущений, вызванных самим численным алгоритмом.

В третьей главе на основе результатов численных расчетов изучается динамика развития гравитационной конвекции, критические условия и особенности развития конвективной неустойчивости в нестационарных процессах, исследуются режимы массопереноса в газовой фазе при испарении однокомпонентной жидкости.

Моделирование массопереноса проводилось для систем в диапазоне числа Релея 10' < Иа < 10й. Динамика развития конвективной неустойчивости исследовалась по изменению полей скорости и концентрации и на основе характеристик массопереноса: зависимости от времени безразмерного потока на нижней границе и зависимости полного количества испарившейся

жидкости с единицы площади от квадратного корня из времени Безразмерный поток определяется как БИ = q/q¡l, где д - поток через нижнюю границу, усредненный по поверхности, = ОС'/Н - диффузионный поток в

стационарном режиме.

Но основе результатов моделирования процесса испарения установлено, что развитие исследуемых систем с неустойчивой стратификацией протекает по следующим стадиям. В начале процесса пары занимают тонкий приграничный слой у поверхности жидкости, увеличивающийся со временем. Массоперенос в системе на этой стадии происходит в режиме молекулярной диффузии. При дальнейшем развитии система теряет устойчивость, при этом происходит переход от диффузионного режима к конвективному. Смена режимов наблюдалась по зависимости безразмерного потока на нижней границе от времени 5А(г) (рис.1), где г = (£>/Н2 - безразмерное время. Для закрытой (зависимость 1) и открытой (зависимость 2) системы - зависимости 8И(т)

эй

14-

12 ■

10

8

6 ■-

4 ■-

2 ■ ■

0

О 0.05

0.1

0.15

0.2

Г

0.25

Рис. 1. Зависимости от времени безразмерного потока ¿Уг(г) на нижней границе: 1 -открытая система, 2 - закрытая система, 3 - закрытая система без учета конвекции при значениях параметров Иа= 7.7208*103, Эс = 0.6024.

сначала плавно убывают, затем испытывают резкий скачок. Момент времени тсг, соответствующий переходу к конвективному режиму, определялся как время, при котором 5/г(г) достигает минимального значения.

Существенный переход в закритическую область характеризуется быстрым развитием конвективных течений и увеличением скорости испарения. Результаты расчетов показывают, что на данной стадии развития конвективные течения реализуются в виде крупномасштабных вихрей, которые занимают всю область системы. На заключительной стадии испарения в случае закрытой системы конвекция затухает, и окончательное насыщение газовой фазы парами жидкости происходит в диффузионном режиме. В открытой системе устанавливается стационарный конвективный режим. На основе полученных зависимостей Б1г(т) исследовалась смена диффузионного и конвективного режимов, были сопоставлены скорости переноса на разных стадиях процесса для открытой и закрытой систем. Механизмы массопереноса в интенсивном режиме изучались по профилям концентрации, а также профилям диффузионного и конвективного потока по высоте области.

При изучении нестационарных процессов важным вопросом является определение момента времени потери устойчивости !сг, поскольку он позволяет уточнить представления о начальной стадии развития неустойчивости. Оценить критическое время можно по появлению замкнутых линий тока, по зависимости ¿7)(() на нижней границе и по излому зависимости бО^О- Было показано, что значения , полученные на основе данных критериев, различаются. В связи с этим возникает неоднозначность понятия критических условий для нестационарных процессов.

На основе результатов численных расчетов для исследуемых систем определяется высота диффузионного слоя на момент потери устойчивости, и оценивается критическое число Релея ¡1а£Т, которое, в нестационарной задаче является функцией от времени. На начальной стадии процесса пар занимает тонкий слой у поверхности жидкости, поэтому можно сравнить полученные значения критического числа Релея со значением Яасг в задаче Релея - Бенара с твердыми границами (Касг =1708). Полученные в работе значения намного превышают Яа£Т для задачи в стационарной постановке. Такое различие объясняется особенностью нестационарных процессов по сравнению со стационарными, поскольку после потери устойчивости системе требуется дополнительное время для развития возмущений при переходе в закритаческую область.

В работе проводится сопоставление результатов моделирования по испарению однокомпонентных жидкостей, которые получены с помощью двух представленных подходов к решению задачи (на основе уравнений в переменных "функция тока - вихрь" и КГД уравнений). Сопоставление показало, что основные стадии развития систем, соответствующие им режимы и характерные структуры конвективных течений совпадают, однако значения критического времени отличаются. Результаты численных расчетов на основе КГД алгоритма хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными в [1].

О моль/м2

Рис.2. Зависимости (2(^1): 1 - экспериментальные данные, 2 - результаты численного моделирования, 3 - диффузионная зависимость.

Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными [Ц для процесса нестационарного испарения однокомпонентной жидкости представлено для системы вода (Л/=18) - аргон (М0=40). Эксперимент проводился в цилиндрическом сосуде с диаметром 0.112м и высотой 0.257м при температуре 30°С. Экспериментальные данные по скорости испарения представлены в виде зависимости полного количества испарившейся жидкости от корня из времени {9(Ч/о. Численные расчеты выполнены на основе КГД алгоритма и соответствуют реальным физическим параметрам системы. Основным допущением при моделировании является ограничение двумерными течениями. Результаты сравнения соответствующих зависимостей представлены на рис. 2. На начальном этапе процесса расчетная зависимость (2) совпадает с диффузионной прямой (3), переход к режиму развитой конвекции соответствует излому графика .

Представленные результаты численных расчетов относятся к каналу, неограниченному в направлении оси у, в качестве другого предельного случая рассматривается испарение в вертикальном плоском канале.

На основе результатов моделирования процесса испарения в плоском вертикальном канале было исследовано влияние стенок на развитие

(Яа-НаСг)1Яа„

Рис.3. Зависимость времени задержки развития конвекции в вертикальном канале.

конвективной неустойчивости. В процессе испарения сопротивление стенок канала затрудняет движение среды и развитие конвекции, что приводит к увеличению времени перехода к конвективному режиму. Исследование этой системы облегчает изучение критического времени возникновения конвективных течений и характеристик массопереноса.

Канал образован вертикальными параллельными стенками, расположенными в плоскости (х,г) на расстоянии Л друг от друга. Для описания взаимодействия пара со стенками в уравнение Навье-Стокса вводится дополнительный член -А11, где А = 12 для параболического профиля. Для расчетов использовались граничные условия (3). Моделирование выполнено в канале с квадратными стенками в большом диапазоне чисел Релея.

На основании результатов расчетов для данной системы определено критическое значение числа Релея, которое практически совпадает с полученным на основе линейной теории [5]. Это объясняется тем, что при выбранных условиях, время развития в диффузионном режиме больше времени за которое пары жидкости вследствие диффузионного переноса достигают верхней границы области. Время задержки развития конвекции по сравнению со временем формирования диффузионного профиля по высоте

области при разных значениях 11а прослежено по зависимости {¡гг от

(Ка-Ка^/Ла^ (рис.3).

На основе анализа представленных результатов делается вывод о том, что применение "двухвременного приближения", в котором развитие конвективной неустойчивости рассматривается как быстрый процесс по сравнению с молекулярной диффузией, при исследовании устойчивости в нестационарных процессах требует дополнительного анализа и обоснования.

Приведенные выше результаты численных расчетов описывают испарение жидкости в неподвижную газовую фазу. Представляет интерес рассмотреть испарение в условиях вынужденной конвекции. На основе результатов моделирования испарения жидкости в канале с продольным потоком в газовой фазе изучено влияние вынужденной конвекции на скорость испарения в условиях развития гравитационной конвекции. Расчеты проведены в удлиненной области с аспекгным отношением Ь/Н=2 (Ц Н - длина и высота области) в двумерном приближении (х, ¿). Испаряющаяся жидкость находится в центре нижней границы при х, < х < х2. На боковой границе при входе в канал по высоте газовой фазы задается постоянная горизонтальная скорость и0. Движение среды под воздействием вынужденного потока характеризуется числом Рейнольдса Яе = Щ Н/у. На основе результатов расчетов для трех систем показано, что при развитии конвекции Релея в газовой фазе вынужденная конвекция может как увеличивать, так и уменьшать скорость испарения в зависимости от соотношения между безразмерными параметрами системы Ле и Ла.

В четвертой главе на основе результатов численного моделирования испарения двухкомпонентного раствора изучаются условия потери устойчивости; исследуются режимы протекания процесса в зависимости от физико-химических параметров и начальных условий.

В зависимости от состава бинарного раствора процесс испарения может протекать в диффузионном или в конвективном режимах. В бинарной системе профиль относительной плотности, который формируется по высоте газовой фазы, определяется отношением /7,С' / (/З.С*) и распределением концентрации компонентов пара в начальный момент времени. Интерес представляет система, в которой молекулярная масса одного компонента больше (/9, >0), а другого

меньше (< 0) молекулярной массы принимающего газа. При этом для соответствующих коэффициентов диффузии принимается соотношение

При стационарной постановке задачи, т.е. когда в начальный момент времени по высоте газовой фазы задано линейное распределение концентраций обоих компонентов пара (С, =С"(1-г/Я)), это распределение является устойчивым стационарным решением задачи. В этом случае, процесс испарения полностью протекает в устойчивом диффузионном режиме.

При нестационарном испарении диффузия легкого компонента в начале процесса происходит быстрее, чем тяжелого. В результате в газовой фазе у поверхности жидкости образуется слой, плотность которого больше плотности принимающего газа, а выше него - слой пониженной плотности. Таким образом, формируется профиль плотности, который не только нелинейный, но может быть и существенно немонотонным. За счет сил плавучести, конвективные течения в данной системе могут возникнуть выше тяжелого слоя. В такой постановке задача определения критических условий возникновения конвекции и существования стационарных конвективных режимов становится значительно более сложной.

Динамика процесса нестационарного испарения изучается в работе на основе результатов численного решения уравнений (1) с граничными условиями (2) и начальными условиями (4). Расчеты проведены в квадратной области с Н=0.1м при следующих параметрах: Сг, =-5.64«105, Ст2 = 4.89-10!, &2 =0.625 и при трех разных значениях1-&, = 0.625, 2-5с, =1.25, 3-Л, =2.5. Развитие данных систем описывается зависимостями безразмерного потока для компонентов на нижней границе от времени £/»,(/). В связи с тем, что

диффузионный перенос компонентов происходит независимо, различия в зависимостях потоков от времени связаны с конвективным переносом. Зависимость (г) для легкого компонента, ответственного за развитие

Рис.4. Зависимость 5к1{т) при разных значениях 5с,: 1- 0.625,2- 1.25,3- 2.5.

конвекции, для трех систем представлена на рис. 4. В системе 1 испарение происходит в диффузионном режиме в течение всего времени.

Во второй системе после потери устойчивости возникают конвективные течения, которые приводят к некоторому ускорению испарения, но со временем они затухают, и устанавливается диффузионный режим. В системе 3 возникает конвекция, которая сохраняется в течение всего процесса. На конечном этапе система выходит на стационарный конвективный режим. Однако, как отмечалось выше, данная система при линейном распределении концентрации компонентов пара в начальный момент времени не теряет устойчивость и развивается в диффузионном режиме в течение всего процесса. Следовательно, для данной бинарной системы наблюдается как минимум два стационарных состояния.

На основе результатов расчетов установлено, что в бинарных системах режим испарения влияет не только на скорость испарения, но и на состав пара отходящего от поверхности жидкости. Состав пара можно характеризовать отношением безразмерных потоков компонентов на нижней границе / 57г2. Как видно по зависимости потоков компонентов от времени для системы 3 (Рис.5) в установившемся конвективном режиме ЗД /8к2 >1. Это значит, что за счет конвекции доля тяжелого компонента в газовой фазе увеличилась по

8

4

2

6

2

1

О

0

500 1000 1500 2000 2500 3000

1С

Рис,5. Испарение бинарного раствора. Зависимость от времени 57г, (1) и БН2 (2).

сравнению с диффузионным режимом. Изменение отношения потоков компонентов раствора связано с тем, что в области интенсивной конвекции скорость переноса определяется скоростью конвекции и слабо зависит от коэффициентов молекулярной диффузии компонентов.

Представлены результаты моделирования развития конвекции в бинарной системе при £>,/Л2> 1. Расчет выполнен при следующих безразмерных

параметрах: СГ] =-5.64»105, Сп-г = 4.89«105, 0.625, &2 =2.5. Установлено, что

в данной системе в течение всего процесса наблюдаются колебания потока. При заданном начальном линейном распределении концентрации компонентов по высоте слоя в системе также развивается конвекция. При этом в обоих случаях в конвективном режиме по сравнению с диффузионным происходит как увеличение скорости испарения, так и изменение состава паровой смеси по сравнению с диффузионным режимом.

Таким образом, на примере испарения бинарных растворов в работе показано, что для определения конвективной устойчивости систем с неустойчивым распределением плотности недостаточно пользоваться критерием устойчивости для систем с линейным начальным распределением, поскольку

характер установившегося режима может зависеть от распределения концентрации компонентов по высоте слоя в начальный момент времени.

Для сравнения результатов численного моделирования с экспериментальными данными [1] используются данные по нестационарному испарению бинарного раствора муравьиная кислота-вода в аргон в закрытом сосуде. Эксперимент проводился при температуре 30°С, с мольной долей муравьиной кислоты 0.5. Численный расчет выполнен для реальных физических параметров системы. Результаты сравнения (рис.6) представлены для зависимостей полного количества испарившейся жидкости за время t в(.'"2)-

В данной системе более легкие пары воды (М2=Щ при испарении в аргон (Ai0=41) приводят к возникновению конвекции и более интенсивному переносу муравьиной кислоты (М\=46). Начальный линейный участок зависимости Q(-Jt) описывается уравнением молекулярной диффузии. Время перехода к конвективному режиму соответствует излому приведенной зависимости.

Рис.6. Испарение бинарного раствора муравьиная кислота-вода в аргон. Зависимости £>(%// 1 - экспериментальные данные, 2 - численное моделирование.

Основные результаты и выводы

1. Разработан численный алгоритм и созданы программы для математического моделирования динамики развития систем при нестационарных процессах конвективного тепломассопереноса применительно к задаче об испарении чистых жидкостей и бинарных растворов.

2. На основе результатов математического моделирования определены критические условия возникновения конвективной неустойчивости для ряда исследуемых систем.

3. Установлено, что для нестационарных процессов массопереноса существует задержка развития конвекции по сравнению с критическим временем, определяемым по линейной теории.

4. Определена структура конвективных течений в режиме развитой конвекции.

5. Установлена зависимость скорости переноса в конвективном режиме от физико-химических параметров при испарении чистых жидкостей и бинарных смесей.

6. Установлено существование более одного стационарного режима для бинарных систем.

7. Показано, что вынужденная конвекция может как увеличивать, так и уменьшать скорость испарения в условиях естественной конвекции.

Цитируемая литература

1. Дильман В.В., Лотхов В.А., Кулов H.H., Найденов В.И. Динамика испарения// Теор. основы хим. технол., 2000, т.34, №3, с.227-236.

2. Герасимов Б.П. Один метод расчета задачи конвекции несжимаемой жидкости. М.: Препринт/ИПМ №13, 1975. -33 с.

3. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова A.B., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандгля. // ЖВМиМФ, 1998, т. 38, №10.

4. Каминский В.А., Дильман В.В. Влияние стенок на развитие конвективной неустойчивости в вертикальном канале ограниченной высоты // Теор. основы хим. технол., 2007, т.41, №1, с. 1-4.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Каминский В.А., Обвинцева Н.Ю., Калачинская И.С., Дильман В.В. Моделирование конвекции Релея в нестационарном процессе испарения // Матем. моделирование. 2007. Т. 19. № 11. С. 3-10.

2. Каминский В.А., Обвинцева Н.Ю. О режимах испарения бинарных растворов // Теор. основы хим. технол. 2007. Т. 41. № 5. С. 536-542.

3. Каминский В.А., Обвинцева Н.Ю. Испарение жидкости в условиях конвективной неустойчивости в газовой фазе // Журн. физ. химии. 2008. Т. 82. № 7. С. 1368-1373.

4. Обвинцева Н.Ю., Калачинская И.С., Каминский В.А. Моделирование гравитационной конвекции в нестационарном процессе испарения // "Математика. Компьютер. Образование". Сб. трудов XIV международной конференции. Пущино. 2007. Том 2. С. 173-178.

5. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А., Калачинская И.С. Моделирование динамических режимов испарения // Сб. тр. МНК ММТТ-20. Т.З. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2007.

6. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А., Калачинская И.С. Моделирование нестационарного процесса испарения в замкнутый объем // Тез. докл. "Дисперсные системы" XXII научная конференция стран СНГ, Одесса. 2006.

7. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А., Калачинская И.С. Моделирование процесса испарения одно- и двухкомпонентных жидкостей // Тез. докл. "Дисперсные системы" XXIII научная конференция стран СНГ, Одесса. 2008.

8. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А. Моделирование процесса испарения в условиях естественной и вынужденной конвекции в газовой фазе // Сб. тр. МНК ММТТ-22. Т.З. Псков: Изд-во Псков, гос. политехи, ин-та, 2009.

9. Kaminsky V.A., Obvintseva N.Yu., Kalachinskaya I.S. Numerical simulation of unsteady two-dimensional convection in evaporation process // Modeling of Nonlinear Processes and Systems, Nova Science Publishers, NY, USA, 2009 (IV Quarter), (in press).

Подписано в печать 04.05.09 Формат 60x88 1/16. Объем 1,5 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 845 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

ВВЕДЕНИЕ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГЛАВА 1. Возникновение и развитие неустойчивости в системах с тепломассопереносом (литературный обзор)

1.1. Механизмы возникновения межфазных неустойчивостей

1.1.1. Гравитационная конвекция Релея

1.1.2. Неустойчивость Марангони

1.3. Математические методы исследования межфазных неустойчивостей

1.3.1 Метод линейного анализа

1.3.2 Численные методы исследования конвекции

1.2 Возникновение конвективных течений в газовой фазе при испарении

1.2.1 Стефановский поток

1.2.2 Развитие конвективной неустойчивости -.

Выводы из обзора литературы и постановка задач исследований

ГЛАВА 2. Постановка начально-краевой задачи и алгоритмы численного решения

2.1 Модельная задача

2.2. Уравнения в безразмерных переменных и безразмерные параметры

2.3. Постановка задачи в переменных "функция тока - вихрь"

2.4. Постановка задачи в переменных скорость-давление

ГЛАВА 3. Математическое моделирование нестационарного процесса испарения однокомпонентных жидкостей

3.1 Конвективная неустойчивость Релея в процессе испарения

3.2 Стадии развития процесса в конвективном режиме

3.3 Влияние развитой конвекции на интенсивность массопереноса

3.4 Критические условия потери устойчивости в нестационарном процессе испарения

3.5 Сравнение численных методов, используемых при расчетах

3.6 Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными

3.7 Моделирование процесса испарения в плоском вертикальном канале

3.8 Моделирование испарения в условиях естественной и вынужденной конвекции

ГЛАВА 4. Моделирование процесса нестационарного испарения двухкомпонентных растворов

4.1 Условия конвективной неустойчивости при испарении бинарных растворов

4.2 Стационарная задача об испарении бинарного раствора

4.3 Изучение режима испарения в зависимости от начальных условий и физико-химических параметров системы

4.4 Сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными

Актуальность проблемы

Межфазный перенос в системах жидкость-газ играет важную роль в различных природных и технологических процессах. Интенсивность тепломассооотдачи во многом определяется режимом переноса в системе, который может осуществляться в результате молекулярного или конвективного механизма, в турбулентных потоках — за счет хаотического движения вихрей. В связи с этим исследование режима переноса в зависимости от физико-химических параметров является важной задачей при описании конкретных процессов.

Ряд процессов, таких как испарение, экстракция, растворение и др. в отсутствие вынужденной конвекции протекает в молекулярном режиме. Возникновение конвективной неустойчивости в системе приводит к развитию самопроизвольных течений, которые могут образовывать упорядоченные диссипативные структуры. По механизму возникновения разделяют неустойчивости, вызванные капиллярными либо плотностными эффектами, связанными, в свою очередь, с концентрационной или температурной неоднородностью. Переход к режиму развитой конвекции характеризуется интенсификацией межфазного тепломассопереноса. Исследование развития конвекции включает изучение следующих вопросов: определение критических условий потери устойчивости, определение скорости развития конвективной неустойчивости, анализ структуры стационарных конвективных течений и ее влияние на характеристики тепломассопереноса.

Развитие конвективной неустойчивости в основном исследуется в задачах теплопереноса. В задачах массопереноса конвективная неустойчивость исследуется реже, причем такие задачи имеют ряд особенностей: в общем случае необходимо рассматривать двухфазную систему и учитывать возникновение конвективных потоков, связанных с межфазным переходом. Данная работа направлена на исследование возникновения конвективных течений в газовой фазе при испарении жидкостей. Возможность возникновения гравитационной конвекции в газовой фазе в процессе испарения часто не учитывается, в связи с этим его описание в литературе является недостаточно полным. Результаты экспериментальных исследований нестационарного процесса испарения чистых жидкостей и бинарных растворов [1,2] показали, что при определенных условиях, происходит возрастание скорости испарения. Переход к интенсивному режиму объяснялся сменой диффузионного режима испарения на конвективный.

Основной задачей при изучении испарения является определение скорости испарения в различных режимах процесса, а при испарении бинарных и более сложных растворов - кроме того, определение состава отходящего пара в зависимости от физико-химических свойств и условий протекания процесса. Для развития представлений о механизме процессов, протекающих при нестационарном испарении, необходимы теоретические исследования, которых к настоящему моменту недостаточно. Одним из основных методов исследования устойчивости систем является линейный анализ, однако его возможности ограничены классом стационарных задач, т.е. изучением систем с линейным распределением плотности по высоте в начальный момент времени. При изучении нестационарных процессов линейная теория не позволяет точно определить критические условия потери устойчивости и может быть применена при определенных допущениях, которые требуют обоснования в каждом конкретном случае. Кроме того, невозможно на основе линейной теории описать структуру конвективных течений, а также кинетику массопереноса в условиях развитой межфазной неустойчивости. Данные вопросы могут быть решены с помощью численных методов математического моделирования.

Использование численных методов для решения уравнений динамики движения среды с учетом свободной и вынужденной конвекции позволяет моделировать физико-химические процессы в широком диапазоне параметров. В данной работе проводится моделирование массопереноса при испарении в условиях развитой конвекции на основе решения нестационарных уравнений Навье-Стокса и конвективной диффузии.

Цель работы — исследование условий возникновения и закономерностей развития гравитационной конвекции, изучение режимов массопереноса в процессе нестационарного испарения чистой жидкости и бинарных растворов.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. разработка численного алгоритма, его верификация и создание на его основе программ для решения уравнений конвективного массопереноса при моделировании процессов испарения чистых жидкостей и бинарных растворов в газовой фазе;

2. анализ условий возникновения конвективной неустойчивости и изучение скорости испарения при разных режимах процесса в зависимости от физико-химических параметров системы и начальных условий;

3. исследование динамики развития конвективных течений и их структуры в газовой фазе;

4. исследование влияния конвекции на массоперенос.

Научная новизна

На основании результатов численных расчетов для одно- и двухкомпонентных систем определены критические условия потери устойчивости для нестационарных процессов испарения. Рассчитана скорость испарения жидкости и определена структура течений в режиме интенсивной конвекции. Для бинарных систем установлено существование более одного стационарного режима, т.е. скорость испарения и состав пара могут различаться в зависимости от распределения концентрации компонентов пара по высоте газовой фазы в начальный момент времени. Показано, что вынужденная конвекция может как увеличивать, так и уменьшать скорость испарения в условиях развития естественной конвекции.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ х, z - декартовы координаты, м; U = U(x,z,t) —скорость, м/с;

С, = С;.(x,z,t) —концентрация компонента /, моль/м3;

С* —концентрации насыщенного пара компонента i в газовой фазе моль/м3; Т— температура, К; t — время, с; р = p(x,z,t) —общее давление, Па; а - коэффициент температуропроводности, м /с; v - коэффициент кинематической вязкости, м /с; о р0- плотность принимающего газа, кг/м ; о р - плотность парогазовой смеси, кг/м ; Н - высота слоя, в который происходит испарение, м; л

Mq — молекулярная масса принимающего газа, кг/м ; о

М{ - молекулярная масса компонента /, кг/м ; о - коэффициент молекулярной диффузии компонента /, м /с; Д - коэффициент линейной зависимости плотности газовой фазы от о концентрации компонента i м /моль; g — ускорение силы тяжести, м2/с;' е - единичный вектор вдоль оси z;

R - универсальная газовая постоянная, 8.31 Дж/(моль К); <7 — коэффициент поверхностного натяжения, Н/м; qt - поток компонента г, моль/(м с); qidif - поток компонента i без учета конвекции моль/(м2с); Gr, = /3jC*gH3 /v2 —число Грасгофа компонента z; Ra = gPC*Нъ jvD — число Релея компонента z;

Scj = v / Dj — число Шмидта компонента i;

Sht = qtH / (DtC*) — число Шервуда компонента г; r - безразмерное время; у/ - функция тока; со - вектор вихря скорости; tcr - критическое время;

Нижние индексы

1 - тяжелый компонент;

2 - легкий компонент бинарной смеси; st - стационарный режим; сг - критический параметр; dif- значение величины в диффузионном режиме. число

Основные результаты и выводы

1. Разработан численный алгоритм и созданы программы для математического моделирования динамики развития систем при нестационарных процессах конвективного тепломассопереноса применительно к задаче об испарении чистых жидкостей и бинарных растворов.

2. На основе результатов математического моделирования определены критические условия возникновения конвективной неустойчивости для ряда исследуемых систем.

3. Установлено, что для нестационарных процессов массопереноса существует задержка развития конвекции по сравнению с критическим временем, определяемым по линейной теории.

4. Определена структура конвективных течений в режиме развитой конвекции.

5. Установлена зависимость скорости переноса в конвективном режиме от физико-химических параметров при испарении чистых жидкостей и бинарных смесей.

6. Установлено существование более одного стационарного режима для бинарных систем.

7. Показано, что вынужденная конвекция может как увеличивать, так и уменьшать скорость испарения в условиях естественной конвекции.

В заключение выражаю глубокую благодарность: своему научному руководителю профессору, доктору химических наук В.А. Каминскому за предоставление интересной темы для диссертации и руководство работой в аспирантуре, своему научному консультанту кандидату физико-математических наук И.С. Калачинской за внимательное отношение к моей работе и помощь при освоении численных методов расчетов.

1. Дильман В.В., Лотхов В.А., Кулов Н.Н., Найденов В.И. Динамика испарения // Теор. основы хим. технол., 2000, т.34, №3, с.227-236.

2. Липатов Д.А. Динамика нестационарного испарения в условиях естественной конвекции в газовой фазе. — М.: НИФХИ, 2006, диссертация канд. техн. наук.

3. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. М. Химия, 1971.

4. Общий курс процессов и аппаратов химической технологии: под ред. В.Г. Айнштейна. М.: Университетская книга; Логос; Физматкнига, 2006. Кн. 1.912с.

5. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М.: Наука, 1972, 392 с.

6. Spiegel Е.А., Veronis G. On the Boussinesq approximation for a compressible fluid. Astrophys. J., 131(2), 442-447, 1960.

7. Гетлинг A.B. Конвекция Рэлея Бенара. Структуры и динамика.- М.: Эдиториал УРСС, 1999, 247 с.

8. Дразин Ф. Введений в теорию гидродинамической устойчивости / пер. с англ. Г.Г. Цыпкина, под. ред. А.Т. Ильичева. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -288 с.

9. Krishnamurti R. On Cellular Cloud Patterns. Part 3: Applicability of the Mathematical and Laboratory Models // J. of the Atmospheric Sciences, 1975, V. 32, P. 1373-1383.

10. Cieszelski R. A case study of Rayleigh-Benard convection with clouds // Boundary-Layer Meteorology, 1998, Vol. 88, №2, P. 211-237.

11. Никитин Н.В., Никитин С.А., Полежаев В.И. Конвективные неустойчивости в гидродинамической модели роста кристаллов методом Чохральского. Успехи механики. №4. 2003.

12. Бессонов О.А., Брайловская В.А., Полежаев В.И. Пространственные эффекты конвекции в расплавах: концентрационные неоднородности, возникновение несимметрии и колебания. Изв. РАН МЖГ., 3, 74-82, 1997.

13. Химическая гидродинамика: Справочное пособие / A.M. Кутепов, А.Д. Полянин и др. — М.: Бюро Квантум, 1996. 336 с.

14. Эйдельман Е.Д. Влияние толщины слоя жидкости на соотношение размеров ячейки конвекции // Журнал технической физики. 1998. Т. 68, №11, С. 7-11.

15. Гетлинг А.В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара // УФН. 1991. Т. 161, № 9, С. 1-81.

16. Busse F.H. Non-linear properties of thermal convection // Rep. Prog. Phys., 1978, Vol. 41, P. 1929-1967.

17. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1989. - 320с.

18. Lord Rayleigh. Investigation of the Character of the Equilibrium of an Incompressible Heavy Fluid of Variable Density // Proc. London Math. Soc. 1883. V.14. P.170; reprinted in: Scientific Papers. Dover, New York. 1964. V.II. P.200.

19. Whitehead J.A., Chen M.M. Thermal instability and convection of a thin fluid layer bounded by a stably stratified region // J. Fluid Mech, 1970, v.40, part 3, p. 549-576.

20. Veronis G. Penetrative convection. Astrophys. J. 137 (2), 641 663 (1963).

21. Townsend A. A. Nutural convection in water over an ice surface. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 9 (385), 248 259 (1964).

22. Полежаев В.И., Яремчук В.П. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 4. С.34.

23. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981.

24. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection. Part l. The transition from two- to three-dimensional flow // J. Fluid Mech. 1970. V. 42. P. 295-307.

25. Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection. Part 2. The transition to time dependent flow // J. Fluid Mech. 1970. V. 42. P. 309-320.

26. Krishnamitrti R. Some further studies on the transition to turbulent convection // J. Fluid Mech. 1973. V. 60. P. 285-303.

27. Berge, P. Rayleigh-Benard convection: experimental study of time-dependent instabilities //Experiments in Fluids, 1988, Vol. 6, p. 316-322.

28. Busse F.H., Clever R.M. Instabilities of convection rolls in a fluid of moderate Prandtl number. J. Fluid Mech., 91(2), 319-335, 1979.

29. Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature. Part 1. Theory. J. Fluid Mech., 33, 457-463, 1968.

30. Krishnamurti R. Further studies on transition to turbulent convection. J. Fluid Mech., 60(2), 285-304, 1974.

31. Rehberg I., Bodenschatz E., Winkler В., Busse F.H.//Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 282.

32. Eberhard Bodenschatz Werner Pesch and Guenter Ahlers. Recent developments in Rayleigh-Benard convection // Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. 32:709-778.

33. Bodenschatz E., Pesch W., Ahlers G. Recent developments in Rayleigh-Benard convection. Annu. Rev. Fluid. Mech., 32, 2000.

34. Newell A.C., Passot Т., Lega J. Order parameter equations for patters. Ann. Rev. Fluid. Mech. 25, 399-453 (1993).

35. John С. Berg, A. Acrivos, M. Boudart. Evaporative convection. Advances in Chemical Engineering Academic Press. N. Y. London. 1966. V.6.

36. Martinet B. and Adrian R.J. Rayleygh-Benard convection: experimental study of time-dependent instabilities // Experiments in Fluids 6, 316-322 (1988).

37. Gollub J.P., McCarriar A.R., Steinman J.F. Convective pattern evolution and secondary instabilities, J. Fluid Mech. 125, 259-281. 1982.

38. Иваницкий Г.Р., Деев A.A., Хижняк Е.П. Структуры на поверхности воды, наблюдаемые с помощью инфракрасной техники // УФЫ. 2005. Т. 175, № 11, С. 1207-1216.

39. Pearson J.K.A. On convection cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. 1958. V.4, №5. P. 489-500.

40. Последние достижения в области жидкостной экстракции: Под ред. К. Хансона. М.: Химия, 1974. 448 с.

41. Калачинская И.С., Велижанцева И.В. О неустойчивости Марангони в системе жидкость-жидкость // Математическое моделирование. 1991. Т.З. №11.

42. Еленин Г.Г., Калачинская И.С. Линейный анализ задачи о конвекции Марангони. Решение дисперсионного уравнения. Препр. №129. М.: ИПМ АН СССР.- 1984.

43. Непомнящий А.А., Симановский И.Б. О колебательной конвективной неустойчивости равновесия двухслойных систем при наличии термокапиллярного эффекта // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1985. №1. С.62-65.

44. Бирих Р.В., Брискман В.А., Веларде М.Г., Рудаков Р.Н. Термокапиллярная неустойчивость поверхностей раздела реальных жидкостей // Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей: сб. науч. тр. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 26.

45. Renardy Y.Y., Stoltz C.G. Time-depend pattern formation for convection in two layers of immiscible liquids // International journal of multiphase flow, 2000, vol. 26, №11, p. 1875-1889

46. Каминский B.A., Дильман B.B. О динамике развития неустойчивости Марангони в процессах межфазного переноса в системе жидкость газ. Журн. физ. химии, 2003, т.77, №3.

47. Веларде М., Кастилло Дж. Явления переноса и реакции, приводящие к межфазной неустойчивости // Гидродинамика межфазных поверхностей: Сб. статей 1979-1981 г. Пер. с англ./ Сост. Ю.А. Буевич, JI.M. Рабинович. -М.: Мир, 1984. С.157

48. Бирих Р.В., Бушуева С.В. Влияние деформации границы раздела на термокапиллярную неустойчивость в двухслойной системе // Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей: Сб. науч. тр.. Екатеринбург: УрОРАН, 1999. С. 44

49. Tavener S. J. and Cliffe К. A. Two-fluid Marangoni-Benard convection with a deformable interface // Journal of Computational Physics, 2002, Vol. 182, Issue 1,P. 277-300.

50. Зейтунян P.X. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони // УФН. 1998. Т. 168, № 3, С. 259-286.

51. Juel A., Burgess J. М., McCormick W.D., Swift J.B., Swinney H. L. Surface tension-driven convection patterns in two liquid layers // Physica D, 2000, Vol. 143, № l,pp. 169-186

52. Foster T.D. Onset of convection in a layer of fluid cooled from above // Phys. Fluids, 1965, v.8, №10, p.1770.

53. McGillis W.R., Carey V.P. On the Role of Marangoni Effects on the Critical Heat Flux for Pool Boiling of Binary Mixtures. Journal of Heat Transfer, 1996, v. 118/103.

54. Каминский В.А., Дильман В.В. Неустойчивость Релея в процессах испарения//Журн. физ. химии, 2004, Т.78, N3, С.558-562.

55. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т.VI. Гидродинамика. 4-е. изд., стер. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит., 1988. - 736 с.

56. Schluter A., Lortz D., Busse F. On the stability of steady finite amplitude convection. J. Fluid Mech., 23(1), 129-144, 1965.

57. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.

58. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288с.

59. Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К., Сполдинг Д.Б., Вольфштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. Пер. с аггл. -М.: Мир, 1972.

60. Bucchignani Е., Mansutti D. Rayleigh-Marangoni horizontal convection of low Prandtl number fluids // Physics of Fluids, 2004, Vol.16, No.9

61. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: ФизМатЛит, 1994.

62. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции диффузии. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 248 с.

63. Герасимов Б.П. Один метод расчета задачи конвекции несжимаемой жидкости. М.: Препринт/ИПМ №13, 1975. 33 с.

64. Полежаев В.И., Грязнов В.Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока" // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219. № 2. С. 301.

65. Брацун Д.А., Де Вит А. Об управлении хемоконвективными структурами в плоском реакторе // Журнал технической физики. 2008. том 78, вып. 2, С. 6.

66. Мажорова О.С., Попов Ю.П. Матричный метод численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса. // ДАН СССР, 1981, т.259, № 3.

67. Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расчета двумерных задач конвекции на основе расщепления по физическим процессам // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 1. С. 66-74

68. Самарский А. А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977, 656 с.

69. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. 3-е изд. М.: Наука, 1992.

70. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики М.: Научный мир, 2003.

71. Колмычков В.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П. К расчету уравнений Навье-Стокса в естественных переменных. М.: Препринт ИПМ №60, 2001.

72. Колмычков В.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Анализ алгоритмов решения трехмерных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных. Дифференциальные уравнения, 2006, т.42, №7. С. 932-942.

73. Колмычков В.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П., Федосеев Е.Э. О численном моделировании конвекции Рэлея-Бенара. — М.: Препринт ИПМ №7,2007.

74. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

75. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 612 с.

76. Шеретов Ю.В. Динамика сплошных сред при пространственно-временном осреднении. 2009 г. 400 с.

77. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2000. 235 с.

78. Елизарова Т.Г., Шеретов Ю.В. Теоретическое и численное исследование квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. // ЖВМиМФ, 2001, т. 41, №2, с.239-255.

79. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Шеретов Ю.В., Широков И.А. Численное моделирование течений электропроводной жидкости во внешнем магнитном поле. // Радиотехника и электроника, 2005, т. 50, №2, с. 245-251.

80. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007. 352с.

81. Елизарова Т.Г., Калачинская И.С., Ключникова А.В., Шеретов Ю.В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандтля. // ЖВМиМФ, 1998, т. 38, №10, с.1732-1742.

82. Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. Пер. с англ.- М.: Химия, 1974, 687 с.

83. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987. 502 с.

84. Arnold J.H. Studies in diffusion: III Unsteady-state vaporization and absorbtion // Trans. A. I. Ch. E. 1944. V. 40. P. 361-378.

85. Kwon K.C., Ibrahim Т.Н., Park Yoon Kook, Simmons C.M. Pseudo-binary molecular diffusion of vapors into air // Advances in Environmental Research 128 2004. V. 8 . P. 667-678.

86. Дильман B.B., Лотхов B.A., Каминский B.A., Липатов Д.А. Испарение бинарных растворов при неустойчивости Рэлея газовой фазе // Журн. физ. химии. 2004. Т. 78. № 12. С. 2284.

87. Лотхов В.А., Дильман В.В., Василевский Д.И., Липатов Д.А. Самоорганизация в процессе нестационарного испарения бинарных растворов в инертные газы. Докл. РАН 2003. Т. 389. №1. С. 1-3.

88. Лотхов В.А., Дильман В.В., Василевский Д.И., Липатов Д.А. Динамика нестационарного испарения бинарных растворов в закрытых системах // Теор. основы хим. технол. 2003. Т. 37. №2. С. 147-152.

89. Найденов В.И., Крутова Н.М. Тепловая неустойчивость испарения // Теор. основы хим. технол., 2003, т.37, №5, с.493-496.

90. Boyadjiev Chr. Non-linear transfer, natural convection and Marangoni effect in gas-liquid systems. 3rd Workshop "Transport Phenomena in two-phase flow", Nessebar, Bulgaria, 1998.

91. Boyadjiev Chr., Boyadjiev B. On the non-stationary evaporation kinetics. I. Mathematical model and experimental data. International Journal of Heat and Mass Transfer. 46. (2003). P. 1679-1685.

92. Boyadjiev В., Boyadjiev Chr. On the non-stationary evaporation kinetics. II. Stability. International Journal of Heat and Mass Transfer. 46. (2003). P. 1687-1692.

93. Дильман B.B., Лотхов B.A., Кулов H.H., Найденов В.И. Неустойчивость Рэлея в газовой фазе при испарении чистых жидкостей// Докл. РАН. 2000. Т.371. №6. С. 781-783.

94. Дильман В.В., Лотхов В.А. Кинетика нестационарного испарения. // ДАН. 2007. Т.416. №4. С. 506-509.

95. Демьянов А.Ю., Иванов Е.Н. Численное моделирование неустойчивых конвективных течений в задачах испарения// ММТТ-19. Т.1. Воронеж: ВГТА, 2006.

96. Вяткин Г.П., Коренченко А.Е., Измайлов Ю.Г. Испарение жидкостей в условиях свободной конвекции// Докл. РАН. 1998. Т.363. №1. С.56-58.

97. Дильман В.В., Лотхов В.А., Каминский В.А., Липатов Д.А. Испарение бинарных растворов при неустойчивости Релея газовой фазе // Журн. физ. химии. 2004. Т.78. №12. С.2284.

98. Дильман В.В., Липатов Д.А., Лотхов В.А., Каминский В.А. Возникновение неустойчивости при нестационарном испарениибинарных растворов в инертный газ // Теорет. основы хим. технологии. 2005. Т.39. №3. С.600.

99. Dondlinger M., Margerit J., Dauby P.C. Weakly nonlinear study of Marangoni instabilities in an evaporating liquid layer // Journal of Colloid and Interface Science, 2005, Vol. 283, p. 522-532

100. Margerit J., Dondlinger M., Dauby P.C. Improved 1.5-sided model for the weakly nonlinear study of Benard-Marangoni instabilities in an evaporating liquid layer // Journal of Colloid and Interface Science 290 (2005) 220-230.

101. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2006. 636с.

102. Вабищевич П.Н., Макаров М.М., Чуданов В.В., Чурбанов А.Г. Численное моделирование течений в переменных "функция^ тока, вихрь скорости, температура". Препринт №28, Москва, ИММ РАН, 1993.

103. Каминский В.А., Обвинцева Н.Ю., Калачинская И.С., Дильман В.В. Моделирование конвекции Релея в нестационарном процессе испарения //Матем. моделирование. 2007. Т. 19. № И. С. 3-10.

104. Каминский В.А., Обвинцева Н.Ю. Испарение жидкости в условиях конвективной неустойчивости в газовой фазе // Журн. физ. химии. 2008. Т. 82. №7. С. 1368-1373.

105. Обвинцева Н.Ю., Калачинская И.С., Каминский В.А. Моделирование гравитационной конвекции в нестационарном процессе испарения //

106. Математика. Компьютер. Образование". Сб. трудов XIV международной конференции. Пущино. 2007. Том 2. С. 173-178.

107. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А., Калачинская И.С. Моделирование динамических режимов испарения // Сб. тр. МНК ММТТ-20. Т.З. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2007.

108. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А., Калачинская И.С. Моделирование нестационарного процесса испарения в замкнутый объем // Тез. докл. "Дисперсные системы" XXII научная конференция стран СНГ, Одесса. 2006.

109. Физические величины: Справочик/А.П. Бабичев и др.; Под. ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. -М.; Энергоатомиздат, 1991. 1232с.

110. Каминский В.А., Дильман В.В. Влияние стенок на развитие конвективной неустойчивости в вертикальном канале ограниченной высоты // Теор. основы хим. технол., 2007, т.41, №1, с.1-4.

111. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А. Моделирование процесса испарения в условиях естественной и вынужденной конвекции в газовой фазе // Сб. тр. МНК ММТТ-22. Т.З. Псков: Изд-во Псков, гос. политехи, ин-та, 2009.

112. Kaminsky V.A., Obvintseva N.Yu., Kalachinskaya I.S. Numerical simulation of unsteady two-dimensional convection in evaporation process // Modeling of Nonlinear Processes and Systems, Nova Science Publishers, NY, USA, 2009 (IV Quarter), (in press).

113. Каминский В.А., Обвинцева Н.Ю. О режимах испарения бинарных растворов // Теор. основы хим. технол. 2007. Т. 41. № 5. С. 536-542.

114. Обвинцева Н.Ю., Каминский В.А., Калачинская И.С. Моделирование динамических режимов испарения // Сб. тр. МНК ММТТ-20. Т.З. Ярославль: Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2007.

115. Дильман В.В., Липатов Д.А., JIotxob В.А., Каминский В.А. Коэффициентконвективной диффузии в газовой фазе при испарении бинарных жидкостей // Теор. основы хим. технол. 2006. Т. 40. № 1. С. 3-6.

116. Жуховицкий А.А., Шварцман Л.А. Физическая химия. М.: «Металлургия». 1976. 544 с.

117. Шьюмон П. Диффузия в твердых телах. Перевод с английского Бокштейна Б.С. // Изд-во "Металлургия", М. 1966.

118. Прикладная математика и информатика: Труды факультета ВМиК МГУим. Ломоносова / Под. ред. Д.П. Костомарова, В.И. Дмитриева. М.: МАКС Пресс, 2003. - № 13. - 129с.