автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и идентификация параметров сложных гидравлических сетей

На правах рукописи

мызников

Алексей Михайлович

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СЛОЖНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тюмень-2005

Работа выполнена на кафедре "Информационная безопасность" в ГОУ ВПО Омском государственном университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Файзуллин Рашит Тагирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Воеводин Анатолий Федорович кандидат технических наук, доцент Большаков Александр Алексеевич

Ведущая организация: институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе

СО РАН, Новосибирск

Защита диссертации состоится " ноября 2005 г., в " часов на заседании диссертационного совета К 212.274.01 при Тюменском государственном университете по адресу 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская 15 А, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

^ Бутакова Н.Н.

¿006 - Ч ¿7472

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделирование гидравлических сетей, является важной задачей в процессе наладки сложных трубопроводов, а также при управлении существующими гидравлическими системами. Модели, описывающие такие сети с большим количеством участков, представляют собой системы нелинейных уравнений большой размерности. В силу возрастающей сложности реальных объектов и постепенного перехода от задач технологического проектирования к задачам эффективного управления гидравлическими сетями, постоянно требуется совершенствование старых и разработка новых методов их моделирования и расчета.

Трубопроводные системы - это сложные динамические системы, характеристики которых во время работы постоянно меняются по заранее неизвестному закону. Значения коэффициентов сопротивления участков, из-за дефектов строительства или отклонений в процессе эксплуатации, существенно отличаются от проектных данных. Следствие этого, неправильное их задание в уравнениях для решения прямой задачи распределения потоков, что вместе с неточным знанием нагрузок приводит к большим погрешностям в рассчитываемом потокораспределении. Поэтому, возникает необходимость в решении обратных задач, в частности, задачи уточнения коэффициентов сопротивления участков трубопроводных сетей.

Еще более актуальной данная задача становится в рамках перехода от задач проектирования трубопроводных систем к задачам эффективного управления, поскольку огромное количество гидравлических сетей уже построено и эксплуатируется. При этом на первый план выходят более сложные задачи эффективного управления существующими трубопроводными сетями.

Цель исследования. Основной задачей исследования является разработка эффективных алгоритмов и методов расчета больших трубопроводных систем, позволяющих фования и

управления большими гидравлическими сетями, а также решение обратных задач идентификации объектов, позволяющих повысить адекватность математической модели.

Задачи исследования:

Получить алгоритм, позволяющий эффективно решать большие системы нелинейных уравнений в задачах гидравлического расчета трубопроводных систем.

Разработать подходы и методы, позволяющие уточнять модели гидравлических сетей для повышения точности расчетов.

Разработать эффективные методы управления гидравлическими сетями, позволяющие в конечном итоге повысить качество услуг, а также повысить экономичность систем.

Научная новизна. В процессе исследований и разработки теоретических и прикладных приложений получены следующие научные результаты.

1. Предложена модификация метода последовательных приближений, позволившая значительно уменьшить количество итераций метода, обеспечить более высокую точность вычислений. Метод был адаптирован для решения задачи определения распределения потоков для произвольного закона гидравлического сопротивления. Доказана единственность определения потокораспределения для произвольного закона гидравлического сопротивления при использовании модулей в нелинейных уравнениях.

2. Рассмотрена задача уточнения коэффициентов сопротивления при наличии ограниченного количества датчиков. Предложен метод решения задачи в общем случае, когда в сети одновременно имеются датчики давления и расхода.

3. Разработан метод вычисления функции последовательного изменения активных сопротивлений для обеспечения плавного перехода между режимами работы гидравлической сети.

Практическая значимость работы:

- разработанный алгоритм определения потокораспределения позволил решать задачи моделирования и управления большими гидравлическими сетями (20 тыс. участков и более) в режиме реального времени, при этом от пользователя не требуется знания специфики используемых методов и определения начальных приближений;

- применение методов идентификации гидравлических сетей позволило повысить точность моделирования нефтепроводных сетей;

внедрение предложенного метода регулирования потокораспределения в тепловых сетях позволит обеспечить более качественное управление отпуском тепла потребителям, без затратного изменения режимов работы ТЭЦ.

Внедрение результатов исследований. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе расчета тепловых сетей внедряемом для расчета тепловых сетей Новосибирского академического городка в рамках проекта "Энергосбережение СОР АН".

Публикации по теме диссертации: Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах. Результаты докладывались на 36-й Региональной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург,УрО РАН), на Х1ЛП международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск), на семинаре в институте гидродинамики им. Лаврентьева (Новосибирск), на семинаре «Физическая гидродинамика» института теплофизики им. Кутателадзе (Новосибирск).

На ""носятся следующие положения:

1. Модификация метода последовательных приближений для расчета потокораспределения в сложных гидравлических сетях с большим количеством участков.

2. Общая постановка задачи идентификации гидравлических сетей путем уточнения коэффициентов сопротивления участков и методы ее решения.

3. Метод регулирования отпуска тепла потребителям и обеспечения заданных расходов на участках при помощи изменения распределения потоков.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 116 страниц. Библиографический список насчитывает 76 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цель и задачи работы, проведен обзор существующих на данный момент методов решения, освещены основные достигнутые результаты.

В первой главе производится постановка задачи определения установившегося распределения потоков в гидравлических сетях и предлагается эффективный метод ее решения.

Система уравнений, получаемая для модели определения неизвестных значений установившихся расходов по трубам в случае произвольного закона гидравлического сопротивления, может быть представлена следующим образом:

сихх +... + с1пх„=д1,

ст-11х1 + — + ст-\пхп —Чт-1»

А 1 в-1 О)

с„|*11*11Д~' +... + <?„*„ \х„ |А-1 х„=Ип_т+и где т - количество узлов, п - количество участков в графе гидравлической сети;*, - расход по /-ой трубе; коэффициент су =1,-1,0 определяется по

первому или второму закону Кирхгофа. Для первого закона Кирхгофа втекающий в контрольную точку поток привносит коэффициент, равный единице; вытекающему потоку отвечает коэффициент, равный минус единице. Для второго закона Кирхгофа и для нелинейных уравнений Су равен +1,-1 (в зависимости от направления обхода), если _/-й участок

входит в цикл, соответствующий /-му нелинейному уравнению, либо су = 0. И, - сумма действующих напоров с учетом знака по всем дугам /-го контура. <7,- приток(от6ор) в узле, степень в законе зависимости величины

падения напора от значения расхода.

Коэффициенты линейных уравнения системы (1) представляют собой матрицу А соединений графа гидравлической сети. Тогда линейные уравнения системы (1) в векторном виде выглядят следующим образом:

Ах = <2. (2)

Вводя матрицу контуров В, получим компактную запись второго закона Кирхгофа для всей схемы:

ВБХх = Н,

где

5 =

и Х =

О

А-1

|А-1

(3)

(4)

Введем обозначение для общей матрицы системы нелинейных уравнений

А

ВБХ

(5)

тогда система уравнений (1) в векторном виде

Р(.Х)х = в. (6)

При условии, что система (1) составлена в соответствии с законами Кирхгофа для гидравлической сети, имеет место следующая теорема.

Теорема: Пусть х - вектор решения системы нелинейных уравнений (1), составленной для задачи определения расходов, такой, что каждая компонента х, не равна нулю, Г(х) - матрица системы уравнений, тогда он единственный вектор решения задачи Р(х)х=0.

Для решения данной системы уравнений предлагается модифицированный метод, построенный на основе метода последовательных приближений предложенного Р.Т. Файзуллиным совместно с К.В. Логиновым.

Решение задачи ищется как предел итераций вида:

х 2 =о*(,) +(1-а)х 2 (7)

где ^ - матрица системы уравнений (6), х(1), х(м) - приближенные решения

О—) <»+!)

на I и ( + 1 шаге соответственно, х 2 ,х 2 - промежуточные решения, а е (0,1). Например, в случае квадратичного закона гидравлического сопротивления а = 0.5.

Данный метод представляет собой метод простой итерации, на каждой итерации которого происходит усреднение приближений до и после итерации. Необходимость усреднения приближений вызвана тем, что метод простой итерации не обладает сходимостью, на определенной итерации приближения осциллируют по нескольким областям.

Достоинствами данного метода является широкая область сходимости. Также, скорость сходимости близка к квадратичной, что следует из следующего утверждения.

Утверждение: Если для итерационного метода представленного формулой (7), степень нелинейности в законе гидравлического сопротивления равна р для каждого участка, параметр определения следующего итерационного

приближения а = —, и на каждой итерации невязка линейной части равна 0,

то модифицированный метод последовательных приближений эквивалентен методу Ньютона.

Этот факт позволяет утверждать, что метод сходится при условии наличия достаточно хорошего начального приближения. К сожалению, строгого доказательства сходимости в общем случае, без необходимости наличия хорошего приближения, не было получено. Доказательство осложняется тем, что оператор /•"'(*)# не ограничен в общем случае. Однако, анализ задачи 2-й и 3-й размерности, для которых можно доказать сходимость модифицированного метода последовательных приближений при определенных условиях, а также многочисленные эксперименты и реальная эксплуатация данных методов, подтверждают, что сходимость имеется. Причем наличие хорошего начального приближения не требуется.

Построение линейно независимых циклов для второго уравнения Кирхгофа можно осуществить, при помощи построения остовного дерева графа гидравлической системы, с помощью алгоритма Краскала. На схеме выделяется некоторое дерево, связывающее все ее т узлов, в результате все участки разобьются на (т-Х) участков дерева и к участков, не вошедших в дерево, которые называются хордами. Каждая хорда замыкает какую-то последовательность участков дерева и однозначно определяет контур, который фиксируется соответствующей строкой матрицы В.

Т.е. х~{хд,хК), где хд = (*, - расходы на участках дерева,

хк = (хт,..,хП) - расходы на хордах.

Для эффективной реализации модифицированного метода последовательных приближений полезен учет свойств матриц соединений и матриц контуров. Одним из таких свойств является свойство

вТд = -а? лк, (8)

где Вд,Ад - блоки матриц В,А относящиеся к дугам дерева, Вк,Ак соответственно, блоки относящиеся к хордам.

('+-)

В работе показывается, что обращение матрицы Р(х 2 ) на каждой итерации не требуется. С учетом (8), вычисление последующих приближений может быть представлено в виде

х 2=ах"+(\-а)х 2,

хГ = К(х"'2)-' (Я - Вд5дх'д '2Ад-'е\

(9)

К(х) = ВБХВТ - симметрическая матрица размерности к х к, где к = (и - т +1) - количество линейно независимых циклов в графе, п - количество дуг графа, т - количество узлов.

Начальное приближение можно выбрать, решив систему с х° = 1, что соответствует решению задачи определения потокораспределения для ламинарного режима течения жидкости. Кроме того, замена полученных

на х] | позволит еще несколько улучшить начальное приближение.

В результате численного эксперимента установлено:

1. модифицированный метод позволяет решать задачи определения неизвестных стационарных значений расходов по трубам, при этом не требуется задание начального приближения. Для получения заданной точности, требуется значительно меньшее количество итераций, чем у исходного метода последовательных приближений.

2. Метод сходится для степеней р вплоть до 10, но количество итераций для больших степеней резко возрастает.

3. Система уравнений является хорошо обусловленной, если хорошо обусловлена ее начальная матрица. Имеется устойчивость по правой части.

4. В случае модификации метода для расчета электрических сетей, в комплексном случае (тот же алгоритм, но с учетом комплексной арифметики, сопротивления и правые части уравнений - комплексные

и

числа, закон сопротивления (а^ |х |+/Ьу)* ={/), алгоритм по-прежнему обладает сходимостью. Оптимальное а е (0.57-0.6). Сравнение полученной модификации метода последовательных приближений с методом Ньютона, или методом контурных расходов (модификация метода Ньютона, таким образом, чтобы на каждой итерации выполнялось равенство нулю невязки линейной части, при условии, что невязка линейной части для начального приближения равна нулю), показывает практическую идентичность модифицированного метода последовательных приближений и данных методов, при условии выбора достаточно хорошего приближения. Но для сложных схем большой размерности, в особенности, граф которых не плоский, начального приближения зачастую недостаточно, для сходимости методов Ньютона и реже метода контурных расходов.

Во многих реальных гидравлических сетях, используются различные регуляторы (регуляторы расхода, давления, обратные клапаны). Такие сети не укладываются в модель гидравлических сетей, представленную выше, где QJ,s,,Н1 являются величинами постоянными. Эти величины не всегда могут

быть заданы заранее в качестве постоянных величин, а должны считаться функциями неизвестных расходов х, и давлений р} (или напоров АД

определяющих искомое потокораспределение в гидравлической сети, т.е.

(¿¿-О^р^з^аАх^И.ХН^НХх,). (10)

Таким образом, значение этих характеристик меняются от одного стационарного режима к другому, они как бы определяются (регулируются) искомым решением, т.е. установившимся потокораспределением.

Основной метод расчета гидравлической сети с регулируемыми параметрами состоит в том, что она многократно пересчитывается как гидравлическая цепь с постоянными параметрами. Это приводит к двойным циклам итераций. При этом внутренний цикл сводится к применению метода последовательных приближений для получения очередного приближения

расходов и давлений в предположении, что все регулируемые параметры зафиксированы какими-то величинами. Внешний цикл предназначается для пересчета этих регулируемых параметров по значениям х и А, полученным во внутреннем цикле.

Модифицированный метод позволяет производить расчет сетей с регулируемыми параметрами, и также обладает лучшей скоростью сходимости, чем базовый метод, правда, разница количества итерации в этом случае не столь велика. Т.о., показывается целесообразность модификации метода определения установившегося распределения потоков в разрабатываемых программах расчета тепловых сетей и нефтепроводов.

Во второй главе рассматривается обратная задача, задача идентификации параметров сети. В данном случае, рассматривается задача уточнения коэффициентов сопротивления по результатам ограниченного числа измерений. Предлагается подход, который позволяет уточнять коэффициенты сопротивления одновременно на всех участках сети при наличии определенного количества датчиков расхода и давления, а также нескольких известных режимов работы.

Данная задача сводится к решению системы нелинейных уравнений

Где ^ = /(,) и...и/(''\ /(/) - вектор функция, представляющая из себя систему нелинейных уравнений, составленную для каждого режима /.

Г(Ю = 0.

(И)

/

| Х(0 ^ х о-. , I V«') V« _ Н-О

Ч^я+Я!4!

I I 1 + —+ Сп+лЛ I хп I хп

Вектор неизвестных у выглядит следующим образом:

У - С*1>—».....-*и'> хпР))Т (13)

- неизвестные коэффициенты сопротивления, .....х^ - неизвестные

расходы для каждого режима работы /. Расходы подразумеваются

известными, т.к. на первых <1 участках стоят датчики расхода. Л = г -1, где г - количество датчиков давления.

Показываются ограничения данной задачи, и выводится зависимость количества режимов необходимых для решения системы уравнений от количества датчиков.

В общем случае задача относится к классу некорректных задач, т.к. система нелинейных уравнений переопределена. Одним из подходов к решению данной системы может быть применение метода наименьших квадратов, смысл которого для полученной системы заключается в нахождении минимума сложной нелинейной функции:

М Ы 7=1 >1

гг. (и)

ьт № №

+Г ^ Г У -<))

^ >1

Необходимые условия экстремума для (14) сводятся к сложной системе нелинейных уравнений, решение которой требует преодоления многих вычислительных трудностей, увеличивающихся по мере роста ошибок измерений и степени несовместности системы.

В случае, когда количество уравнений системы (11) не намного превышает количество неизвестных (это характерно для расчета тепловых сетей), для решения системы (11) предлагается применить метод Ньютона, исключив часть уравнений и сведя систему к квадратной. Показывается

обоснованность данного подхода. Задача хорошо решается в случае небольших размерностей. Но, так как матрица Якоби данной системы является плохо обусловленной, то для сетей с количеством участков больше двухсот не всегда удается получить решение с приемлемой точностью для всех коэффициентов сопротивлений.

Практическую и вычислительную эффективность предложенных выше моделей и методов можно существенно повысить за счет понижения размерности решаемых задач. Первая возможность здесь связана с применением, так называемого, эквивалентирования, или замены частей системы на эквивалентные, более простые, тем самым одновременно понижая размерность задачи и повышая обусловленность системы уравнений. Другой путь заключается в разбиении исходной общей системы уравнений на последовательность подсистем меньшей размерности.

На практике давления и расходы определяются по приборам, имеющим невысокий класс точности. Поэтому, описанные выше способы практически позволяют находить в силу неизбежной погрешности замеряемых величин лишь оценки искомых параметров трубопроводных сетей. Отмеченное же совпадение этих оценок с эталонными значениями х, и 5, имеет место только в модельных ситуациях, когда исходные данные фактически не содержат ошибок, поскольку они задаются или вычисляются на ЭВМ путем решения прямых задач потокораспределения.

Заметим, однако, что как показывает опыт работы с нефтепроводными сетями (конечно, более простыми объектами, чем тепловые или водопроводные сети), увеличение количества датчиков, информация о рабочих режимах, и применение аналогичного подхода, позволяют значительно повысить точность моделирования.

В третьей главе рассматривается задача количественного регулирования распределения потоков в тепловых сетях. Данная задача возникла в рамках программы энергосбережения СОРАН при внедрении программы для расчета тепловых сетей Новосибирского академгородка.

В настоящее время регулирование отпуска тепловой энергии производится в основном на источниках тепла - ТЭЦ, котельных. В зависимости от погодных условий устанавливаются различные режимы

б

работы тепловой сети. Например, различные режимы при температуре наружного воздуха от 8 °С до О "С, от О "С до -8 °С, от -8 "С до -39°С. Более точное регулирование применяется довольно редко. Причем регулирование теплового режима происходит за счет изменения температуры теплоносителя. Т.о. осуществляется качественное регулирование. Но зачастую этих режимов недостаточно, особенно в периоды кратковременных резких изменений температур. Как правило, в этом случае ТЭЦ не меняют своих тепловых режимов. Т.о. требуется более качественное регулирование подачи тепла, по крайней мере, некоторым привилегированным потребителям, для которых необходимо поддерживать постоянный температурный режим (больницы, родильные дома, отдельные технологические производства). Согласно предложению профессора Серова А.Ф.(ИТФ СОР АН), осуществление такого регулирования возможно за счет количественного регулирования, путем изменения расходов на участках сети. Для изменения теплового потока на объектах потребителей могут использоваться регуляторы расхода, или дополнительные подпорные насосы.

^ Таким образом, ставится задача определить требуемые активные

сопротивления (сопротивления регуляторов расхода) привилегированных

V участков, затем попытаться установить функцию последовательного

изменения активных сопротивлений для того, чтобы переход в новый режим происходил как можно более гладко. Кроме того, требуется определить расходы и, соответственно, распределение тепла для остальных потребителей и участков сети.

Рассмотрим систему (1), построенную для случая квадратичного закона гидравлического сопротивления. Допустим, что необходимо обеспечить

заданный расход на первых р участках. Также, будем считать, что данные участки имеют регуляторы расхода, т.е. это участки с активным сопротивлением. Т.о., в системе (1) в качестве неизвестных будут выступать Sj,j = 1 ,-,р, и ,У = р + \,..,п. А первые Xj = х^,} = 1,..,р подразумеваются известными, расходы, которые необходимо обеспечить на

привилегированных потребителях. Обозначим фиксированные коэффициенты сопротивлений через Ij,j = p + \,..,n. Тогда, система (1) примет вид:

^ (15) \х) + t1c¡JsJ\xJ\xJ=hl„m+^,i=m,..,n

)-рН

Неизвестным является вектор

У = {*\,-,зр,хр+1,..,хп)Т. (16)

Данная нелинейная система, имеет п уравнений и п неизвестных, построена с использованием матрицы связности графа гидравлической сети и матрицы контуров. В данной постановке задачи верна следующая теорема. Теорема: Пусть у - вектор решения системы нелинейных уравнений(15), составленной для задачи определения активных сопротивлений, такой, что каждая компонента у, не равна нулю. Если, при исключении дуг графа ¡<р +1, соответствующих известным расходам, связность графа гидравлической сети не нарушается, то вектор у - единственный вектор решения системы (15).

В работе предлагается метод решения системы нелинейных уравнений (15), т.е. метод определения активных сопротивлений привилегированных участков и определения соответствующего им распределения потоков.

Кроме того, предлагается методика последовательного изменения активных сопротивлений, при котором переход между режимами осуществляется наиболее плавно.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построен алгоритм, имеющий значительные преимущества по скорости сходимости, а, следовательно, и по времени необходимому для решения задачи определения распределения потоков, по сравнению с исходным методом последовательных приближений. Расчетная методика позволяет решать гидравлические задачи не только для случая линейного и квадратичного законов гидравлического сопротивления, но и для общего случая. Представляется возможным использовать алгоритм для расчета электрических сетей, с нелинейностями определенного вида, когда вольтамперная характеристика элемента проводимости представляет собой степенную функцию. Доказана единственность решения задачи определения распределения потоков.

2. Предложены подходы и методики, позволяющие в случаях сетей средних размерностей уточнять коэффициенты сопротивлений участков трубопроводных сетей на основании показаний ограниченного количества датчиков. Это позволяет производить статистические оценивания гидравлических сетей и выдавать указание на установку датчиков для получения возможности более точного моделирования сети.

3. Решены задача количественного управления тепловыми сетями, задача обеспечения постоянной температуры на привилегированных потребителях. Доказана единственность определения коэффициентов сопротивлений у привилегированных потребителей. Предложена методика, позволяющая осуществлять плавный переход между различными режимами работы ТЭЦ.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мызников A.M. Решение больших систем нелинейных уравнений применительно к задачам расчета гидравлических, тепловых и электрических сетей // Математические структуры и моделирование. Омск: Омский гос. ун-т., 2003. - вып. 11. - с. 15-19.

2. Мызников A.M., Мызникова Т.А. Метод численного расчета водопроводных сетей // Труды международного форума по проблемам науки, техники и образования. Том 2. / Под редакцией В.П. Савиных, В.В. Вишневского. М.: Академия наук о Земле, 2002. - с. 164-165.

3. Мызников A.M. Определение коэффициентов сопротивления участков в сложных тепловых сетях по результатам ограниченного числа измерений // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной Молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. -с. 87-91.

4. Мызников A.M. Применение метода Ньютона для решения задачи уточнения коэффициентов сопротивления участков сложных гидравлических сетей // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2005. - с. 23-24.

5. Мызников A.M., Регулирование распределения потоков в тепловых сетях // Информационные технологии моделирования и управления, Воронеж: Научная книга, 2005. - вып. N4(22). - с. 618-623.

6. Мызников A.M., Файзуллин Р.Т., Уточнение коэффициентов сопротивления в сложных гидравлических сетях по результатам ограниченного числа измерений // Теплофизика и аэромеханика, Новосибирск, 2005. - том 12. - № 2. - с. 483-486.

Отпечатано с оригинал-макета, предоставленного автором

Подписано в печать 04.10.2005 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,25 Уч.-изд. л. 1,30

Тираж 150 экз. Заказ № 143

Отпечатано в "Полиграфическом центре КАН" 644050, г. Омск, пр. Мира, д.32 тел.: (3812) 65-47-31 Лицензия ПЛД № 5 8-47 от 21.04.97 г.

*19387

РНБ Русский фонд

2006-4 17472

Введение.

Глава 1. Решение больших систем нелинейных уравнений возникающих в задачах гидравлики.

1.1. Законы гидравлических сопротивлений.

1.2. Математическая модель распределения потоков.

1.3. Корректность постановки задач гидравлического расчета.

1.4. Система нелинейных уравнений для задачи определения распределения потоков.

1.5. Доказательство единственности решения системы уравнений применительно к гидравлической задаче установившегося течения жидкости в трубах.

1.6. Метод последовательных приближений.

1.7. Улучшение метода последовательных приближений.

1.8. Эквивалентность модифицированного метода последовательных приближений и метода Ньютона.

1.9. Выбор начального приближения.

1.10. Эффективная реализация модифицированного метода последовательных приближений.

1.11. Алгоритм модифицированного метода последовательных приближений.

1.12. Оценка обусловленности системы уравнений.

1.13. О сходимости модифицированного метода последовательных приближений.

1.14. Исследование и оценка эффективности полученного метода.

1.15. Расчет потокораспределения в сетях с регуляторами расхода и давления.

1.16. Процедуры для получения функций регуляторов расхода, давления и обратных клапанов.

1.17. Применение модифицированного метода последовательных приближений для расчета существующих трубопроводных сетей.

Глава 2. Уточнение коэффициентов сопротивления по результатам ограниченного числа измерений.

2.1. Определение коэффициентов сопротивлений при наличии датчиков давления во всех узлах системы.

2.2. Постановка общей задачи уточнения коэффициентов сопротивления, при наличии ограниченного количества датчиков давления и датчиков расхода.

2.3. Алгоритм выбора системы нелинейных уравнений для датчиков давления.

2.4. Ограничения задачи

2.5. Методы решения системы в общем случае.

2.6. Метод решения системы нелинейных уравнений в случае расчета сетей с минимальным количеством дополнительных данных.

2.7. Определение зависимости расположения и требуемого количества датчиков расхода и давления от количества известных режимов работы.

2.8. Уменьшение размерности задачи.

2.9. Методы статистических испытаний гидравлической модели.

Глава 3. Регулирование распределения потоков в тепловых сетях.

3.1. Регулирование отпуска тепла привилегированным потребителям.

3.2. Применение метода последовательных приближений для определения активных сопротивлений, обеспечивающих требуемый расход.

3.3. Доказательство единственности решения системы уравнений применительно к задаче определения активных сопротивлений.

3.4. Определение функции одновременного постепенного изменения активных сопротивлений для обеспечения плавного изменения распределения потоков.

Моделирование гидравлических сетей, является важной задачей в процессе проектирования, наладки сложных трубопроводов, а также при управлении существующими гидравлическими системами. В данной работе рассматриваются вопросы расчета тепловых, водопроводных сетей и нефтепроводов. В силу возрастающей сложности реальных объектов и постепенного перехода от задач технологического проектирования к задачам эффективного управления гидравлическими сетями, постоянно требуется совершенствование старых и разработка новых методов их моделирования и расчета.

Методы моделирования и расчета трубопроводных систем во многом схожи с методами моделирования электрических систем, в силу того, что основываются на общих законах. Но трубопроводные системы - это сложные динамические системы, характеристики которых во время работы постоянно меняются по заранее неизвестному закону. В отличие от электроэнергетических систем, чьи эксплуатационные (фактические) параметры гораздо в меньшей степени отличаются от проектных, а нагрузки, напряжения и другие характеристики измеряются довольно точно, для трубопроводных сетей коэффициенты гидравлического сопротивления, а также и расходы на ветвях и у потребителей известны в основном очень приближенно.

Значения коэффициентов сопротивления участков из-за дефектов строительства или отклонений в процессе эксплуатации трубопроводных сетей (из-за коррозии труб, накипеобразования, появления новых местных сопротивлений, завалов, засоров и пр.), претерпевают значительные изменения и существенно отличаются от проектных данных и фактически являются неизвестными величинами. Следствие этого, неправильное их задание в уравнениях для решения прямой задачи распределения потоков, что вместе с неточным знанием нагрузок приводит к большим, часто недопустимым погрешностям в рассчитываемом распределении потоков. Поэтому возникает необходимость в решении не только прямых, но и обратных задач, в частности задачи уточнения коэффициентов сопротивления участков трубопроводных сетей.

Еще более актуальной данная задача становится в рамках перехода от задач проектирования трубопроводных систем к задачам эффективного управления, поскольку огромное количество гидравлических сетей уже построено и эксплуатируется. При этом на первый план выходят более сложные задачи эффективного управления существующими трубопроводными сетями.

Основной задачей исследования является разработка эффективных алгоритмов и методов расчета больших трубопроводных систем, позволяющих решать задачи проектирования и управления большими гидравлическими сетями, а также решение обратных задач идентификации объектов, позволяющих повысить адекватность математической модели, а, следовательно, точность моделирования.

Современные трубопроводные сети: нефтепроводы, тепловые, водопроводные сети представляют собой сложные инженерные сооружения, состоящие из большого количества соединенных разными способами участков труб.

6-и Тепловой ровон

ТЭ1.1-5 О УсгтпноВлены и робоюют ПУ

Рис. 1. Пример тепловой сети. Омск. 6-й тепловой район. беммммю

Рис. 3. Пример сложного нефтепровода. ОАО «Транссибнефть».

Основной особенностью моделей описывающих такие сети является большая размерность. Дополнительной трудностью при моделировании трубопроводных систем, является то, что системы уравнений, возникающие в задачах расчета, как правило, нелинейны.

Для моделирования течения жидкости в трубах было разработано множество алгоритмов. Многие алгоритмы, придуманные еще в начале двадцатого века, и использующиеся для ручного счета утратили свою актуальность, но многие, получив соответствующую переработку, используются до сих пор.

Одной из главных задач расчета гидравлических сетей, является задача определения распределения потоков на участках сети, а также задача определения давлений в узлах.

К основным методам решения задачи определения стационарного распределения жидкости по трубам относят итеративные, так называемые "увязочные" методы. «Увязка» сети с заданными сопротивлениями, нагрузками и действующими напорами имеет своей целью найти такие значения расходов на всех участках и давлений в узлах, которые с наперед заданной точностью удовлетворяли бы обоим законам Кирхгофа.

Например, увязка напоров в кольцах сети осуществляется путем циклического выполнения следующих операций;

1. По данным о нагрузках (расходах у потребителей) выбирается произвольное начальное приближение для расходов на всех участках так, чтобы первый закон Кирхгофа (материальный баланс) соблюдался во всех узлах схемы.

2. По этим расходам и данным о гидравлических сопротивлениях вычисляются потери давления (напоры) на участках и суммарные невязки напоров во всех независимых контурах.

3. Для каждого контура ищется так называемый увязочный расход, отвечающий невязке напора.

4. Полученные увязочные расходы поконтурно «проводятся» по всем участкам: алгебраически суммируются с расходами, принятыми в начальном приближении (или на предыдущей итерации). Новые расходы используются в качестве очередного приближения для следующей итерации и т. д. (см. п.2). Расчет прерывается, когда невязки напоров в любом из контуров перестают превышать заданное значение.

Для вычисления увязочного расхода Дхс по данным о невязке напора у,*;2 в контуре В. Г. Лобачевым была предложена известная формула с

2>«*/2

АХ = --(1) с

Аналогичная формула, широко цитируемая в зарубежной литературе, была дана и Харди Кроссом. При работе труб в неквадратичной области, если потери напора определялись непосредственно по формуле = , может быть использована формула

Дх =-£-— (2) с

Более подробно данные методы описаны в работе [1]. Необходимо заметить, что использование этих формул связано с большим количеством вычислений. Для контуров, имеющих малоразнящиеся величины длин и диаметров отдельных участков, М. М. Андрияшев, предложил определять величины увязочных расходов по приближенной формуле х Ак

Ахс = —^—, где А/г- невязки в контуре, V/г- сумма абсолютных величин 2 2> с потери напора в контуре, дср- средняя величина расхода для всех входящих в контур участков. Правда, в отличие от других упомянутых методов увязки сетей способ Андрияшева предназначен для проведения расчетов вручную. Использование метода для расчета сетей на ЭВМ затрудняется тем, что основная задача - выбор наивыгоднейшей системы (набора) контуров увязки производится интуитивно проектировщиком.

Эти доступные для ручного счета итеративные методы в некоторых случаях приводят к очень медленной сходимости, а иногда вообще не действуют. Пока дело ограничивалось расчетами относительно простых кольцевых сетей трубопроводов с плоскими схемами соединений, имеющих соизмеримые сопротивления отдельных участков и заданные производительности источников питания, такие случаи были редкими. С использованием же ЭВМ, при расчетах все более сложных схем, такие случаи стали выявляться все чаще. В связи с этим стали широко обсуждаться различные модификации увязочных методов. Однако для того, чтобы выяснить предпочтительность той или иной вычислительной процедуры в каждом конкретном случае и, в частности, оценить области применения указанных предложений, необходимо было разобраться в математической сущности применяемых методов, их связи с известными численными методами решения систем нелинейных алгебраических уравнений и методами преобразования линейных электрических цепей.

Математическая характеристика увязочных методов заключается в том, что каждый из них представляет лишь один из возможных вариантов применения обобщенных методов расчета нелинейных гидравлических цепей, названных (по аналогии с известными электротехническими методами расчета линейных цепей) методом контурных расходов (МКР) и методом узловых давлений (МД). Метод контурных расходов и метод узловых давлений достаточно подробно освещены в работе [62]. Как показано в этой же работе, метод контурных расходов имеет более широкую область сходимости, чем метод узловых давлений и для большинства задач является более предпочтительным, поэтому в работе отдельно производится сравнение предлагаемых методов именно с методом контурных расходов.

МКР — аналог известного метода контурных токов для расчета линейных электрических цепей в сочетании с методом Ньютона [17, 62] для решения системы нелинейных алгебраических уравнений.

Обобщенный метод контурных расходов представляет собой сочетание метода Ньютона - Рафсона с преобразованиями Максвелла, т. е. с преобразованиями переменных к контурным величинам и формированием симметрических матриц на каждом шаге ньютоновского процесса. В результате вычислительная процедура расчета потокораспределения в нелинейной цепи заключается, главным образом, в многократном решении систем линейных уравнений с симметрической матрицей к-го порядка, где к - количество линейно независимых контуров. Аналогично реализация МД приводит к многократному решению систем (т—1)-го порядка, где т — количество узлов в системе. Современная вычислительная математика располагает обширным арсеналом методов решения систем линейных уравнений, которые достаточно эффективно могут быть использованы для этих целей. В зависимости от принятого метода решения системы линейных уравнений на каждой итерации получаем тот или иной вариант реализации МКР или МД.

Однако, основным и существенным недостатком этих методов является то, что скорость сходимости в этих методах зависит от начального приближения, степени преобладания коэффициентов, относящихся к контурным расходам, над коэффициентами для остальных участков и, следовательно, от выбора системы независимых контуров.

Т.о. получаем, что данные алгоритмы решения в реальности ограничены числом неизвестных не превосходящих 300. Подобные ограничения вызваны методом Ньютона, - оказывается, что потребная точность задания начального приближения очень высока и при увеличении размерности выбор начального приближения не отличается от собственно решения в пределах потребных для практики.

Поэтому возникает необходимость в получение алгоритма, позволяющего эффективно решать большие системы нелинейных уравнений в задачах гидравлического расчета трубопроводных систем. Основным критерием к алгоритму является его надежность и широкая область сходимости, т.е. возможность решать нелинейные системы с большим количеством уравнений в реальном времени, т.е. времени необходимым для принятия решений. Количество участков для современных систем, зачастую переваливает за десятки тысяч. Кроме того, наличие стабильно работающих методов расчета, не требующих начального приближения, внедренных в автоматизированные программные комплексы, позволит инженерам не вникать в технические особенности используемых алгоритмов.

Т.к. вопросы математического описания и расчета электротехнических и гидравлических систем имеют несомненную общность ряда исходных физико-математических положений, то и для решения задач в этих двух областях возможно применений общих, или схожих алгоритмов. Поэтому ставится задача определить возможность использования полученных алгоритмов для расчета не только гидравлических сетей, но и электрических цепей.

В работе для расчета гидравлических сетей за основу был взят метод последовательных приближений, предложенный в работе[19], который является, по сути, методом простой итерации с инерцией. Основным достоинством данного метода является широкая область сходимости и отсутствие необходимости задания начального приближения.

В работе предлагается модификация метода последовательных приближений, позволившая значительно уменьшить количество итераций метода, обеспечить более высокую точность вычислений. Кроме того, метод был адаптирован для решения задачи определения распределения потоков для произвольного закона гидравлического сопротивления. Метод обладает широкой областью сходимости, позволяет проводить расчет потокораспределения для неплоских схем, систем с регуляторами расхода и давления и не требует задания начального приближения. Также рассматривается возможность применения данного метода в задачах расчета электрических цепей специального вида с большим количеством элементов.

Далее в работе рассматриваются более сложные, в вычислительном плане, задачи - задачи идентификации трубопроводных сетей.

В большинстве своем, одним из главных результатов расчета программ моделирования гидравлических сетей является распределение потоков в трубопроводных сетях. Т.е. производится определение расходов на участках сети, при условии, что сопротивления участков, напоры на участках и отборы в узлах заданы. Но, в процессе эксплуатации трубопроводной сети, сопротивления участков меняются (например, вследствие образования отложений на стенках труб, что ведет к уменьшению их диаметра и увеличению сопротивления). Таким образом, для повышения адекватности модели необходимо уточнять значения сопротивлений. Это приводит к необходимости решения обратной задачи, задачи уточнения коэффициентов сопротивления участков сложного трубопровода. Причем эта задача наиболее интересна в плане нахождения сопротивления одновременно для всех участков сети, либо для какой-то ее части, при условии наличия лишь ограниченного количества датчиков (расхода или давления) в некоторых участках сети. Определив участки с повышенным сопротивлением можно эффективно производить ремонт трубопроводов, а также получить более адекватную модель трубопровода, позволяющую более точно моделировать процессы, происходящие в сети и, в конечном счете, решать задачу управления трубопроводными сетями.

Классический подход[2,3] к проблеме учета увеличения сопротивлений труб в процессе эксплуатации связан с выводом неких эмпирических формул на изменение коэффициента сопротивления в зависимости от времени. Причем формулы и их коэффициенты, как правило, зависят от материалов стенок труб, свойств перекачиваемой жидкости, интенсивности потоков и пр.

Увеличение шероховатости трубопроводов в процессе их эксплуатации в первом приближении оценивается по формуле к(=к0 + Ш, (3) где к0 - абсолютная эквивалентная шероховатость в мм для новых труб(в начале эксплуатации); к, - абсолютная эквивалентная шероховатость через I лет эксплуатации; а - коэффициент, характеризующий быстроту возрастания шероховатости, в мм/год.

Значение коэффициента а зависит от материала труб и свойств жидкости. Как правило, существуют таблицы испытаний, исходя из которых, для различных физико-химических свойств жидкости определяется а. Значения коэффициента а возрастает с уменьшением диаметра трубопровода.

Недостатки этого подхода очевидны. Во-первых, используются сильно приближенные формулы для расчета коэффициентов шероховатостей, а следовательно и коэффициентов сопротивлений. Во-вторых, требуется знание истории эксплуатации трубопровода, где и какие проложены трубы, когда и каких участков производился ремонт или замена. Часто такие данные утеряны и не представляется возможным восстановить картину эксплуатации трубопроводов. Перечисленные и другие недостатки требуют разработки иного, более комплексного, подхода к проблеме определения реальных коэффициентов сопротивлений.

В работе предлагается альтернативный подход, который позволяет уточнять коэффициенты сопротивления одновременно на всех участках сети при наличии определенного количества датчиков расхода и давления на некоторых участках, а также при нескольких известных режимах работы. Предлагается математическая модель и методы ее решения.

Еще одним важным классом задач расчета гидравлических сетей являются задачи управления. В работе рассматривается задача количественного регулирования распределения потоков в тепловых сетях. Данная задача возникла в рамках программы энергосбережения СОР АН при внедрении программы расчета тепловых сетей для Новосибирского академгородка.

В настоящее время регулирование отпуска тепловой энергии производится в основном на источниках тепла - ТЭЦ, котельных. В зависимости от погодных условий устанавливаются режимы работы тепловой сети. Например, различные режимы при температуре наружного воздуха от 8 °С до О °С, от О °С до -8 °С, от -8 °С до -39°С. Более точное регулирование применяется довольно редко. Причем регулирование теплового режима происходит за счет изменения температуры теплоносителя. Т.о. осуществляется качественное регулирование. Но зачастую этих режимов недостаточно, особенно в периоды кратковременных резких изменений температур. Как правило, в этом случае ТЭЦ не меняют своих тепловых режимов. Т.о. требуется более качественное регулирование подачи тепла потребителям по крайней мере некоторым привилегированным потребителям, для которых необходимо поддерживать постоянный температурный режим (больницы, родильные дома, отдельные технологические производства). Согласно предложению профессора Серова А.Ф.(ИТФ СОР АН), осуществление такого регулирования возможно за счет количественного регулирования, путем изменения расходов на участках сети. Для изменения теплового потока на объектах потребителей могут использоваться регуляторы расхода, или дополнительные подпорные насосы. Своевременное изменение расхода на привилегированных потребителях позволяет поддерживать на их объектах постоянную температуру при неизменном режиме работы ТЭЦ, котельной. При этом возникает задача эффективного управления раздачей тепла потребителям.

Таким образом, ставится задача определить требуемые активные сопротивления (сопротивления регуляторов расхода) привилегированных участков, затем попытаться установить функцию последовательного изменения активных сопротивлений для того, чтобы переход в новый режим происходил как можно более гладко. Кроме того, требуется определить расходы и, соответственно, распределение тепла для остальных потребителей и участков сети. у

В рамках решения этой задачи был разработан метод вычисления сопротивлений регуляторов, а также определения функций одновременного изменения активных сопротивлений на нескольких участках для обеспечения плавного перехода между режимами работы гидравлической сети.

Материал диссертации расположен следующим образом.

В главе 1 производится постановка задачи определения установившегося потокораспределения в гидравлических сетях. Доказывается единственность определения распределения потоков для произвольного закона гидравлического сопротивления при использовании модулей в нелинейных уравнениях. Предлагается алгоритм определения распределения потоков, а также его эффективная реализация, базирующаяся на отношениях между матрицей соединений участков графа сети и матрицей контуров. Рассматриваются вопросы сходимости предложенного метода и обусловленности задачи определения установившегося распределения потоков. Теоретически доказывается, что предложенный метод после определенной итерации эквивалентен методу Ньютона, что дает ему высокую скорость сходимости близкую к квадратичной.

В главе 2 производится постановка задачи для общей задачи уточнения коэффициентов сопротивления, при наличии лишь ограниченного количества датчиков. Показываются ограничения данной задачи и выводится зависимость количества режимов необходимых для решения системы уравнений от количества датчиков. Предлагаются методы решения данной задачи в общем случае и в случае когда количество уравнений немногим превышает количество неизвестных(что характерно для расчета тепловых сетей).

В главе 3 рассматривается задача управления, задача перераспределения тепла между потребителями тепловой сети. Предлагается метод для определения активных сопротивлений привилегированных участков и определения соответствующего им распределения потоков. Доказывается единственность определения активных сопротивлений. Кроме того, предлагается методика одновременного изменения активных сопротивлений, при котором переход между режимами осуществляется наиболее плавно.

В заключении содержаться основные выводы работы.

Основные результаты диссертации:

1. Предложена модификация метода последовательных приближений, позволившая значительно уменьшить количество итераций метода, обеспечить более высокую точность вычислений. Кроме того, метод был адаптирован для решения задачи определения распределения потоков для произвольного закона гидравлического сопротивления. Доказана единственность определения распределения потоков для произвольного закона гидравлического сопротивления при использовании модулей в нелинейных уравнениях.

2. Рассмотрена задача уточнения коэффициентов сопротивления при наличии ограниченного количества датчиков. Предложен метод решения задачи в общем случае, когда в сети одновременно имеются датчики давления и расхода.

3. Разработан метод вычисления функции одновременного изменения активных сопротивлений для обеспечения плавного перехода между режимами работы гидравлической сети.

Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе расчета тепловых сетей внедряемом для расчета тепловых сетей Новосибирского академического городка в рамках проекта "Энергосбережение СОР АН".

По материалам настоящей работы опубликованы шесть статей[38-43]. Результаты докладывались на 36-й Региональной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург,УрО РАН), на ХЫП международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск), на семинаре в институте гидродинамики им. Лаврентьева (Новосибирск), на семинаре «Физическая гидродинамика» института теплофизики им. Кутателадзе (Новосибирск).

В заключение автор выражает особую благодарность научному руководителю Р.Т. Файзуллину за постоянное внимание к работе.

Заключение

Из обзора методов расчета сетей понятно, что происходит постоянная модификация и поиск более оптимальных методов решения. В данной работе представлен алгоритм, имеющий значительные преимущества по скорости сходимости, а, следовательно, и по времени необходимому для решения задачи, по сравнению с исходным методом последовательных приближений. Полученный метод позволяет решать гидравлические задачи не только для случая линейного и квадратичного закона гидравлического сопротивления, но и для общего случая (степень меняется в пределах от 1 до 2-х). Представляется возможным использовать алгоритм для расчета электрических сетей, с нелинейностями определенного вида, когда вольтамперная характеристика элемента проводимости представляет собой степенную функцию степени от 1 до 10.

Доказана единственность решения задачи определения потокораспределения.

Предложен подход и методы, позволяющие в определенных случаях уточнять коэффициенты сопротивлений участков трубопроводных сетей на основании показаний ограниченного количества датчиков. Кроме того, можно производить статистические оценивания гидравлических сетей и выдавать указание на установку датчиков для получения возможности более точного моделирования сети. Применение данного подхода и алгоритмов к моделированию нефтепроводов позволило значительно повысить точность их моделирования.

Решена задача количественного управления тепловыми сетями, задача обеспечения постоянной температуры на привилегированных потребителях. Предложен метод, позволяющий осуществлять плавный переход между различными режимами работы ТЭЦ.

1. Абрамов H.H., Поспелова М.М., Варапаев В.Н., Керимова Д.Ч.,

2. Сомов М.А. Расчет водопроводных сетей. М., Стройиздат, 1976, 304с.

3. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. М.:Недра, 1982- 3. Альтшуль А.Д., Калицун В. И. Майрановский Ф.Г., Палыунов П.П.

4. Примеры расчетов по гидравлике. Учеб. Пособие для вузов. М., Стройиздат, 1977, 255с.

5. Альтшуль А.Д., Кисилев П.Г. Гидравлика и аэродинамика.

6. М.-.Стройиздат, 1975, 323 с.

7. Андрияшев М. М. Техника расчета водопроводной сети. М., ОГИЗ — «Советское законодательство», 1932.

8. Атавин A.A., Карасевич А.М., Сухарев М.Г. и др. Трубопроводные системы энергетики: модели, приложения, информационные технологии. М.: ГПУ Издательство "Нефть и газ" РГУ Нефти и газа им. И.М. Губкина, 2000г, 320с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.

10. Берж К. Теория графов и ее применения. М.: Изд-во иностр. лит., 1962, 320 с.

11. Берман Л.Д. Работа водяных тепловых сетей при количественном регулировании. — «Тепло и сила», 1937, № 1.

12. Ю.Берман Л.Д. Количественное регулирования отпуска тепла при элеваторном присоединении отопительных систем к тепловым сетям ТЭЦ. — «Отопление и вентиляция», 1935, № 6.

13. П.Богомолов А.И., Константинов Н.М., Александров В.А., Петров H.A. Примеры гидравлических расчетов. М., Транспорт, 1977, 526с.

14. Вербжицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М., «Высшая школа», 2000.

15. З.Вишневский А. П. Механизация расчета кольцевых водопроводных сетей. — «Водоснабжение и санитарная техника», 1961, № 4.109

16. Воропай Н.И., Новицкий H.H., Сеннова Е.В., Гамм А.З., и др. Методы управления физико-техническими системами энергетики в новых условиях. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 1995г., 334с.

17. Генкин Б.И. Регулировка водяных тепловых сетей. М., Госэнергоиздат, 1951.

18. Грачев В.В., Гусейнадзе М.А. Сложные трубопроводные системы. М., Недра, 1982,256с.

19. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М., «Наука», 1970, 663с.

20. Зингер H. М. Гидравлические и тепловые режимы теплофикационных систем. М., «Энергия», 1976.

21. Зингер H. М. «Расчет и моделирование гидравлических режимов тепловых сетей». — М.: Энергия, 1986.

22. Каганович Б.М., Меренков А.П. Балышев O.A. Элементы теории гетерогенных гидравлических цепей. Н.: Наука, РАН, 1997, 120 с.

23. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., Наука, 1974.

24. Коваленко А.Г. Система синтеза и анализа гидравлических сетей, 1989

25. Логинов К.В., Файзуллин Р.Т. Моделирование работы больших гидравлических систем. Материалы IV Международной научно-технической конференции «Динамика систем механизмов и машин», ноябрь, г.Омск, 2002, С. 174-175.

26. Логинов К.В. Эквивалентирование гидравлических схем при моделировании крупных районов теплосетей. // Математические структуры и моделирование, выпуск 13, Омск, 2004, с. 62-71.

27. Логинов К.В. Модели и алгоритмы расчетов режимов работы сложных гидравлических сетей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Омск, 2004,137с.

28. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Гос. изд. Технико-теоретич литературы, 1950, 678 с.

29. Луговский В.В. Гидромеханика. Л. Судостроение, 1990, 192с.

30. Манюк В.И. Справочник по наладке и эксплуатации водяных тепловых сетей. М., «Стройиздат», 1977.

31. Меренков А.П. Дифференциация методов расчета гидравлических цепей. — «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1973, № 5, с. 1237 1248.

32. Меренков А.П., Сеннова Е.В., Сумароков C.B. и др. Математичексое моделирование и оптимизация тепло-, водо-, нефте-, газоснабжения. Новосибирск: ВО Наука, Сибирская издательская фирма, 1992, 407с.

33. Меренков А.П. Математические модели и методы для анализа и оптимального проектирования трубопроводных систем. Автореф. дис. на соиск. учен, степени д-ра физ.-матем. наук. Новосибирск, 1974, 34 с. Секция кибернетики Объед. ученого совета СО АН СССР.

34. Меренков А.П., Хасилев В.Я., Расчет разветвленных тепловых сетей на основе их оптимизации с использованием ЭВМ., «Изв. СО АН СССР. Сер. техн. науки.», 1963, № 10, с.42-48.

35. Меренков А.П., Хасилев В.Я., "Теория гидравлических цепей", Москва, Наука, 1985,278с.

36. Мызников A.M. Решение больших систем нелинейных уравнений применительно к задачам расчета гидравлических, тепловых и электрических сетей // Математические структуры и моделирование. Омск: Омский гос. ун-т., 2003 вып. 11, с. 15-19.

37. Мызников A.M., Мызникова Т.А. Метод численного расчета водопроводных сетей // Труды международного форума по проблемам науки, техники и образования. Том 2. / Под редакцией В.П. Савиных, В.В. Вишневского. М.: Академия наук о Земле, 2002, с. 164-165.

38. Мызников A.M., Регулирование распределения потоков в тепловых сетях // Информационные технологии моделирования и управления, Воронеж: Научная книга, 2005 вып. N4(22), с. 618-623.

39. Мызников A.M., Файзуллин Р.Т., Уточнение коэффициентов сопротивления в сложных гидравлических сетях по результатам ограниченного числа измерений // Теплофизика и аэромеханика, Новосибирск, 2005, том 12, № 2, с. 483-486.

40. Нерретер В. Расчет электрических цепей на персональной ЭВМ. М., Энергоатомиздат, 1991,220с.

41. Новицкий H.H., Сеннова Е.В., Сухарев М.Г., Коваленко А.Г. и др. Гидравлические цепи. Развитие теории и приложения. Н.: Наука, Сиб. изд. Фирма РАН 2000,273 с.

42. Новицкий H.H. Оценивание параметров гидравлических цепей. -Новосибирск, Наука, 1998,214с.

43. Новицкий H.H., Сеннова Е.В., Сухарев М.Г. и др. Трубопроводные системы энергетики: Управление развитием и функционированием/Новосибирск: Наука, 2004г, 460с.

44. Новицкий H.H., Токарев В.В., Шалагинова З.И. Новые информационно-вычислительные технологии для расчета и анализа режимов теплоснабжающих систем // Радюелектрошка. 1нформатикаю Управлшня. 2001г. Украина, ЗГТУ № 1, с. 108-113

45. Прандль JI. Гидроаэромеханика. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 576 с.

46. Сеннова Е.В. Математическое моделирование и оптимизация развивающихся теплоснабжающих систем. Н.:Наука, Сиб. изд. фирма, 1987.

47. Сидлер В.Г., Шалагинова З.И. Математическая модель для исследования режимов функционирования теплоснабжающих систем// Современные проблемы системных исследований в энергетике СЭИ СО АН СССР, Иркутск 1990г.

48. Сидлер В.Г., Шалагинова З.И. Математическая модель теплогидравлических режимов абонентских вводов// Методы анализа и оптимального синтеза трубопроводных систем СЭИ СО АН СССР, Иркутск, 1991г.

49. Сумароков C.B. Математическое моделирование систем водоснабжения, Н.:Наука, сиб. отд., 1983

50. Уилкинсон, Райнш. «Справочник алгоритмов на языке Алгол, линейная алгебра». М., Наука, 1978.

51. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977. 207 с.

52. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.-Л., Физматгиз, 1963. 734 с.

53. Файзуллин Р.Т. Конечно элементные аппроксимации и аналогии. Омск, Омск. гос. ун-т., г. 1999, 117с.

54. Файзуллин Р.Т.О решении нелинейных алгебраических систем гидравлики. //Сибирский журнал индустриальной математики, 1999,Новосибирск:ИМ СО РАН, том 2,№ 2,с. 176-184.

55. Файзуллин Р.Т.Гидравлический расчет и оптимизация в больших гидросистемах. // Тезисы докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Пермь, август 2001, С.479.

56. Файзуллин Р.Т. Расчет и оптимизация больших гидравлических сетей. // Труды Международной конференции RDAMM-2001, Том 6, часть 2, Спец. выпуск. Новосибирск, С.63 8-641.

57. Хасилев В.Я., Меренков А.П., Каганович Б.М. и др. Методы и алгоритмы расчета тепловых сетей. М., Энергия, 1978, 176с.

58. Хасилев В.Я. Гидравлический режим индивидуального регулирования в теплофицированных зданиях. Труды МИНХ им. Г.В. Плеханова, 1959, вып. 15, ч. 2.

59. Хасилев В. Я. Элементы теории гидравлических цепей. «Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт», 1964, № 1.

60. Хасилев В. Я. Линейные и линеаризованные преобразования схем гидравлических цепей. «Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт», 1964, №2. с. 231-243.

61. Хасилев В. Я. Элементы теории гидравлических цепей. Автореф. дис. на соиск. учен, степени д-ра техн. наук. Новосибирск, 1966, 98 с. Секция техн. наук Объед. ученого совета СО АН СССР.

62. Хасилев В. Я., Светлов К. С., Такайшвили М. К. Метод контурных расходов для расчета гидравлических цепей. СЭИ СО ВИНИТИ АН СССР, 1968, №39-68.

63. Чистович С. А. Гидравлический режим открытых тепловых сетей с переменным расходом воды. М. JL, изд. МКХ РСФСР, 1955.

64. Шифринсон Б.Л. Распределение расходов воды в тепловой сети при различных режимах и схемах сети. — «Отопление и вентиляция», 1935, № 11.

65. Шифринсон Б.Л., Сафонов А.П. Теплофикация (Примеры расчетов и задачи). М.-Л., Изд-во МКХ РСФСР, 1946.

66. Cross Hardy. Analysis of flow in networks problems of conduits or conductors. Bull. № 286, Eng. Exp. Station of Univ. of Illinois, 1936, vol.34, № 22.32 p.

67. Duffy F. L. Gas network analysis program for high-speed computers. GAS (USA), 1958, vol. 34, №6.

68. Hoag L. N., Weinberg G. Pipeline network analysis by electronic digital computer. «Journ. Of Am. Water Works Ass.», 1957, vol. 49, № 5.