автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование движения грунтовых вод на многопроцессорных вычислительных системах

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Вспомогательные обозначения

1.2 Закон Дарси и пределы его применимости

1.3 Уравнение неразрывности.

1.4 Уравнение нестационарной фильтрации с учетом подстилающей поверхности. и *'•»

1.5 Сравнение моделей фильтрации для краевой задачи Дирихле

1.6 Сравнение моделей фильтрации для краевой задачи Неймана

2 Численная аппроксимация и методы решения

2.1 Основные обозначения и определения.

2.2 Аппроксимация уравнения диффузии.

2.3 Устойчивость и точность разностной схемы для уравнения диффузии.

2.4 Итерационные методы решения СЛАУ и их сравнение

3 Параллельные алгоритмы решения задачи

3.1 Архитектуры МВС и программный инструментарий.

3.2 Параллельный метод переменных направлений.

3.3 Анализ эффективности ПМПН для различных МВС

4 Численные моделирование течения грунтовых вод

4.1 Краевая задача Дирихле

4.2 Краевая задача Неймана

Актуальность темы обусловлена необходимостью моделирования течения грунтовых вод с высокой точностью, для достижения которой приходится прибегать к использованию аппроксимаций высоких порядков. Численное исследование таких математических моделей на однопроцессорных вычислительных системах затруднено из-за нехватки вычислительных ресурсов, что влечет использование многопроцессорных вычислительных систем (МВС). Применение МВС требует использования параллельных алгоритмов, разработка и анализ которых является важным аспектом математического моделирования.

Наряду с вышесказанным, численное сравнение математических моделей фильтрации представляет значительный интерес и позволяет не только глубже изучить то или иное явление, но и сократить время проведения численного эксперимента в случае малого отличия, не более 5-10%, численных решений исследуемых моделей.

Цель работы состоит в исследовании и сравнении нелинейных и линейных моделей фильтрации, разработки параллельных методов их решения и проведения численных экспериментов для различных задач фильтрации с краевыми условиями Дирихле и Неймана.

Объектом исследования являются нелинейные и линейные модели течения грунтовых вод, скорость фильтрации в которых определяется согласно закону Дарси.

Методы исследования. В диссертации для решения поставленных задач используются аппарат теории разностных схем, численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с положительно определенной симметричной матрицей.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В первой главе диссертации описывается исходная задача и проводится численное сравнение моделей фильтрации. Вторая глава содержит результаты по аппроксимации и устойчивости используемых разностных схем. В третей главе представлен параллельный алгоритм для решения задач рассматриваемой проблематики. Четвертая глава посвящена численному моделированию течения грунтовых вод.

Заключение

В диссертационной работе проведено исследование и сравнение нелинейных и линейных моделей фильтрации, разработан параллельный метод их решения и проведены численные эксперименты для различных задач фильтрации с краевыми условиями Дирихле и Неймана. Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Проведено численное сравнение различных моделей фильтрации и установлены области применения каждой из моделей.

2. Проведено сравнение итерационных методов решения СЛАУ, полученных при конечно-разностной аппроксимации рассматриваемых уравнений и показана эффективность их использования для задач рассматриваемой проблематики.

3. Создано программное обеспечение, позволяющее эффективно решать рассматриваемые задачи фильтрации на МВС.

4. Проведено сравнение эффективности использования МВС с различными характеристиками.

1. Абрамов С.К., Биндеман H.H., Бочевер Ф.М., Веригин H.H. Влияние водохранилищ на гидрогеологические условия прилегабщих территорий. Москва: Госстройиздат. 1960.

2. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. Москва: Государственное издательство технико-теоретической лит-ры. 1953. 618 с.

3. Абрашин В.Н. Об устойчивости разностных схем многокомпонентного метода переменных направлений для параболических уравнений и систем// Дифференциальные уравнения. 1998. т. 34. № 12. с. 1675-1685.

4. Бабушкин В.Д., Плотников И.И., Чуйко В.М. Методы изучения фильтрационных свойств неоднородных пород. Москва: Недра. 1974. 208 с.

5. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. Москва: Недра. 1972. 288 с.

6. Боревский Б.В., Самсонов Б.Г., Язвин JI.C. Методика определения параметров водоносных горизонтов по данным откачек. Москва: Недра. 1973. 304 с.

7. Бочев М.А., Крукиер JI.A. Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений// ЖВМ и МФ. 1997. т. 37. № 11. с. 1283-1293.

8. Бочевер Ф.М., Гармонов И.В., Лебедев A.B., Шестаков В.М. Основы гидрогеологических расчетов. Москва: Недра. 1965. 308 с.

9. Бочевер Ф.М., Лапшин H.H., Орадовская А.Е. Защита подземных вод от загрязнения. Москва: Недра. 1979. 254 с.

10. Брыжина Э.Ф., Гребенщиков O.A., Линьков A.M. Компьютерный вариант метода ЭГДА для расчетов фильтрации// Водные ресурсы. 1991. К0- 6. с. 169-177.

11. Бузинов С.Н., Умрихин И.Д. Исследование пластов и скважин при упругом режиме фильтрации. Москва: Недра. 1974. 272 с.

12. Бураков М.М. Об оценке достоверности фильтрационных параметров// Водные ресурсы. 1996. т. 23. № 5. с. 539-548.

13. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. Москва: Мир. 1971. 452 с.

14. Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Разностные схемы для нестационарных задач конвекии-диффузии// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. т. 37. № 2. с. 188-192.

15. Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. т. 38. JV® 2. с. 207-219.

16. Васильев C.B., Веригин H.H., Разумов Г.А., Шержуков Б.С. Фильтрация из водохранилищ и прудов. Москва: Колос. 1975. 304 с.

17. Валях Е. Последовательно-параллельные вычисления. Москва: Мир. 1985. с. 456.

18. Ведерников В.В. Теория фильтрации и ее применение в области ирригации и дренажа. Москва-Ленинград: Госстройиздат. 1939. 248 с.

19. Ведерников В.В. Учет влияния капиллярности грунта на фильтрацию из каналов// ДАН СССР. 1940. т. 28. № 5. с. 408-410.

20. Ведерников В.В. Итоги исследований по физической картине фильтрации// ДАН СССР. 1947. т. 55. № 3. с. 203-206.

21. Ведерников В.В. К теории дренажа// ДАН СССР. 1948. т. 59. № 6. с. 1069-1072.

22. Ведерников В.В. Фильтрация при наличии дренирующего или водоносного слоя// ДАН СССР. 1949. т. 69. № 5. с. 618-622.

23. Веригин H.H. Фильтрация в основании плотин с наклонными завесами и шпунтами// Гидротехническое строительство. 1940. № 2. с. 30-33.

24. Веригин H.H. Фильтрация в обход плотин и эффективность противо-фильтрационных завес// Гидротехническое строительство. 1947. № 5. с. 10-14.

25. Веригин H.H. Фильтрация воды из оросителя ирригационной системы// ДАН СССР. 1949. т. 66. № 4. с. 589-592.

26. Веригин H.H. О неустановившемся движении грунтовых вод вблизи водохранилищ// ДАН СССР. 1949. т. 66. № 6. с.

27. Веригин H.H. О фильтрации из каналов в сухой грунт// ДАН СССР. 1951. т. 79. № 4. с. 581-584. (Испр.: ДАН СССР. 1952. т. 82. № 4. с. 836).

28. Веригин H.H. Методы определения фильтрационных свойств горных пород. Москва: Госстройиздат. 1962. 180 с.

29. Веригин H.H., Васильев C.B., Саркисян B.C., Шержуков B.C. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород. Москва: Недра. 1977. 271 с.

30. Гиринский Н.К. Комплексный потенциал потока со свободной поверхностью в пластах относительной малой мощности при к = f(z)// ДАН СССР. 1946. т. 51. № 5. с. 337-338.

31. Гиринский Н.К. Некоторые вопросы динамики подземных вод// Гидрогеология и инженерная геология. 1947. № 9. с. 3-102.

32. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. Москва: Наука. 1977. 439 с.

33. Грикевич Э.А. К расчету гидрогеологических параметров пласта по данным кратковременных откачек// Разведка и охрана недр. 1963. № 3. с. 43-46.

34. Гулин A.B. Теоремы об устойчивости несамосопряженных разностных схем// Математический сборник. 1979. 110. с. 297-303.

35. Гулин A.B., Самарский A.A. О некоторых результатах и проблемах теории разностных схем// Математический сборник. 1976. 99. с. 299330.

36. Дружинин Н.И. Метод электрогидродинамических аналогий и его применение при исследовании фильтрации. Москва-Ленинград: Госэнергоиздат. 1956. 347 с.

37. Дружинин Н.И., Шишкин А.И. Метод электро-конвективнодиффузионной аналогии и его применение при составлении прогноза качества воды в водоемах// Международная выставка "Ирригация и дренаж-75". 1975. 35 с.

38. Дружинин Н.И., Шишкин А.И. Математическое моделирование и прогнозирование загрязнения поверхностных вод суши. Гидрометеоиздат 1989. 392 с.

39. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. Москва: МГУ. 1971. Выпуск 1. 200 с.

40. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. Москва: МГУ. 1971. Выпуск 2. 227 с.

41. Жуковский Н.Е. Теоретическое исследование движения подпочвенных вод// Журнал Русского физико-химического общества. 1949. № 1. с. 1-20.

42. Зверев В.Г. Неявный блочный итерационный метод для решения двумерных эллиптических уравнений// ЖВМ и МФ. 2000. т. 40. № 4. с. 590-597.

43. Каменский Г.Н. О гидродинамических основах прогноза грунтовых вод// Труды МГРИ. Москва-Ленинград: Госгеолиздат. 1940. т. XX.

44. Канторович Л.В. Фундаментальный анализ и прикладная математика// УМН. 1948. т. 3. № 6. с. 89-185.

45. Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф. Методы математического моделирования окружающей среды. Москва: Наука. 2000. 254 с.

46. Крукиер Л.А. Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазилинейных уравнений// Изв. ВУЗов. Математика. 1979. № 7. с. 41-52.

47. Крукиер Л.А. Математическое моделирование переноса в несжимаемых средах с преобладающей конвекцией// Мат. мод. 1997. т. 9. № 2. с. 4-13.

48. Крукиер Л.А., Шевченко И.В. Моделирование гравитационного режима течения грунтовых вод// VIII Всероссийская школа-семинар, Современные проблемы математического моделирования, поселок Дюр-со, 6-12 сентября 1999 г., Издательство РГУ, стр. 125-131.

49. Кульпин Л.Г., Мясников Ю.А. Гидродинамические методы исследования нефте-газоводоносных пластов. Москва: Недра. 1974. 200 с.

50. Курант Р., Фридрихе К., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики// УМН. 1941. № 8. т. 1. с. 125-161.

51. Лейбензон Л.С. Нефтепромысловая механика, ч. 2. Подземная гидравлика воды, нефти и газа. Москва Грозный - Ленинград - Новосибирск: Горногеолнефтеиздат. 1934. 352 с.

52. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. Москва Ленингранд: Гостехиздат. 1947. 244 с.

53. Лапин A.B. О корректности нелинейной двухслойной разностной схемы// Известия вузов. Математика. 1972. 9. с. 48-53.

54. Лапин A.B., Ляшко А.Д. Исследование разностных схем для одного класса квазилинейных параболических уравнений// Известия вузов. Математика. 1975. 12. с. 30-42.

55. Ляшко А.Д. О корректности нелинейных двухслойных операторно-разностных схем// ДАН СССР. 1974. т. 215. 2. с. 263-265.

56. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Исследование одного класса нелинейных разностных схем// Известия вузов. Математика. 1970. 7. с. 63-71.

57. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Москва: Наука. 1977. 455 с.

58. Марчук Г.И. Методы расщепления. Москва: Наука. 1988. с.

59. Муратова Г.В. Многосеточный метод решения стационарного уравнения конвекции-диффузии// Мат. мод. 1997. т. 9. N8 2. с. 77-80.

60. Мятиев А.Н. Действие колодца в напорном бассейне подземных вод// Известия Туркменского филиала АН СССР. 1946. № 3-4. с. 43-50.

61. Мятиев А.Н. Напорный комплекс подземных вод и колодцы// Известия АН СССР. Отделение технических наук. 1947. № 9. с. 1069-1088.

62. Мятиев А.Н. Задача о колодцах в горизонте грунтовых вод// Известия АН СССР. Отделение технических наук. 1948. № 3. с. 293-300.

63. Недрига В.П. Расчет фильтрации в обход гидротехнических сооружений// Гидротехническое строительство. 1947. № 5.

64. Орлов A.C., Кирпичникова Н.В. Определение коэффициента дисперсии по эмпирическим данным// Водные ресурсы. 1994. т. 21. № 3. с. 339-344.

65. Павловский H.H. Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные положения. Москва-Ленинград: АН СССР. 1956. т. 2.

66. Палатник Б.М., Пискарев В.И. Применение численной схемы повышенной точности для моделирования двухвазной фильтрации// ЖВМ и МФ. 1996. т. 36. № И. с. 115-125.

67. Положий Г.Н. Об одном дополнении к теореме о движении граничных точек// Украинский математический журнал. 1953. т. 7. № 3. с. 339342.

68. Положий Г.Н. Метод движения граничных точек и мажорантных областей в теории фильтрации// Украинский математический журнал. 1953. т. 5. № 4. с. 380-400.

69. Положий Г.Н. О краевых задачах теории фильтрации комплексного переменного в теории фильтрации// Ученяе записки Киевского университета. 1954. т. 13. № 8. с. 121-128.

70. Положий Г.Н. Вариационные теоремы плоской и оссиметричной фильтрации в однородных и неоднородных средах, метод сохранения области/ / Украинский математический журнал. 1954. т. 6. JVe 3. с. 333-348.

71. Полубаринова-Кочина П.Я. О неустановившемся движении грунтовых вод при фильтрации из водохранилищ// Прикладная мат-ка и механика. 1949. т. XIII. выпуск 2.

72. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. Москва: Главное издательство физико-математической литературы. 1977. 664 с.

73. Попов Ю.П., Самарский A.A. Разностные схемы газовой динамики. Москва: Наука. 1975. 352 с.

74. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные схемы решения краевых задач. Москва: Мир. 1972. 418 с.

75. Рябенький B.C., Филипов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. Москва: Гостехиздат. 1956. 171 с.

76. Самарский A.A. Классы устойчивых схем// ЖВМ и МФ. 1967. 5. с. 1096-1133.

77. Самарский A.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных разностных схем// ДАН СССР. 1969. 185. № 3. с. 524527.

78. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. Москва: Наука. 1971. 552 с.

79. Самарский A.A. Теория разностных схем. Москва: Наука. 1989. 616 с.

80. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. Москва: Наука. 1976. 352 с.

81. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Итерационные методы кластерного агрегирования для систем линейных уравнений// Доклады РАН. 1996. т. 349. № 1. с. 22-25.

82. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. Москва: Наука. 1973. 415 с.

83. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. Москва: Наука. 1989. 432 с.

84. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск: ЗАО "ЦОТЖ". 1998. 442 с.

85. Федотов Е.М. Разностные схемы для нелинейных нестационарных краевых задач. Диссертация на соискание ученой степени доктора ф-м. наук. Казань. 1998.

86. Филипов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений// ДАН СССР. 1955. 100. с. 1045-1048.

87. Фильчаков П.Ф. Краевые задачи теории фильтрации. Киев: АН УССР. 1973. Сборник статей.

88. Фильчаков П.Ф. Математическое исследование процессов фильтрации и тепломассопереноса. Киев: Наукова думка. 1978. Сборник статей.

89. Хагеман, Янг Прикладные итерационные методы.

90. Чарный И.А. Основы подземной гидравлики. Москва: Гостоптехиздат. 1956. 260 с.

91. Шержуков B.C. Определение сопротивления несовершенных скважин по данным мгновенного налива или откачки и налива с постоянным дебитом// Труды лаборатории инженерной гидрогеологии ВНИИ ВОДГЕО. 1972. № 6. с. 193-209.

92. Шестаков В.М. Теоретические основы оценки подпора, водопониже-ния и дренажа подземных вод. Москва: МГУ. 1965.

93. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск. 1967. с.

94. Boglaev I. An Implicit-Explicit Domain Decomposition Algorithm for a Singularly Perturbed Parabolic Problem// Computers and Mathematics with Applications. 1999. Vol. 38. № 5-6. pp. 41-53.

95. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris, Dalmont. 1856. 647 p.

96. Dongarra J. J., Duff I. S., Sorencen D. C., van der Vorst H. A. Numerical Linear Algebra for High-Performance Computers. Philadelphia: SIAM. 1998. 342 p.

97. Dupuit J., Etudes théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux dans es canaux déscouverts et à travers les terrains perméables. Paris, Dunod. 1st ed., 1848; 2nd ed., 1863. 364 p.

98. Forchheimer Ph., Under die Ergiebigkeit von Brunneanlagen und

99. Sickerschlitzen. Hannover Zeits. d. Archit. u. Ing. Ver., 1886. Vol. 32. pp. 538-564.

100. Gunzburger M.D., Heinkenschloss M., Lee H.K. Solution of elliptic partial differential equations by an optimization-based domain decomposition method// Applied Mathematics and Computation. 2000. Vol. 113. № 2-3. pp. 111-139.

101. Lee H.K. An optimization-based domain decomposition method for a nonlinear problem// Applied Mathematics and Computation. 2000. Vol. 113. № 1. pp. 23-42.

102. Marin P., Escaig Y. Examples of domain decomposition methods to solve non-linear problems sequentially// Advances in Engineering Software. 1999. Vol. 30. № 9-11. pp. 847-855.

103. Morlet A.C., Bowers K.L., Lybeck N.J. Convergence of the sine overlapping domain decomposition method// Applied Mathematics and Computation. 1999. Vol. 98. № 2-3. pp. 209-227.

104. Foster I. Designing and Building Parallel Programs: Consepts and Tools for Parallel Software Engineering. Addison-Wesley Pub. Co. 1995. 381 p.

105. Gropp W., Lusk E., Skjellum A. Using MPI: Portable Parallel Programming With the Message-Passing Interface. Mit press. 1999. 2nd edition. 371 p.

106. Gropp W., Lusk E., Skjellum A., Rajeev T. Using MPI: Portable Parallel Programming With the Message-Passing Interface. Mit press. 1999. 2nd edition. 725 p.

107. MPI: A Message-Passing Interface Standart, Message Passing Interface Forum. May 5. 1994.

108. Pacheco P. Parallel Programming With MPI. Morgan Kaufamnn Publishers. 1996. 419 p.

109. Schevtschenko I.V. A Parallel ADI Method for Linear and Nonlinear Equations// 9th International Conference, HPCN Europe

110. ОПП1 A moinr^ pm Tli о Natl, orl on^o Tnno О О ПО "I РгЛРР^Н 1 Л ОГО

111. J\J\J J. J J. VAAADuV^AVaCiAAAj л. i. 1 V^UAAV^.1. ACC1AVO.D j UUX1V ¿J I) L/UVA 1 I wUCOLilii blu1.cture Notes in Computer Science: High-Performance Computing and Networking, Springer, pp. 445-454.