автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели осцилляторов в вычислительных системах с контролем и коррекцией

На правах рукописи

/

КАТЕРМИНА Татьяна Сергеевна

МОДЕЛИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С КОНТРОЛЕМ И КОРРЕКЦИЕЙ

05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

г г [/к

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2015

005570895

005570895

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Нижневартовский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

Заслуженный деятель науки и техники РФ Игнатьев Михаил Борисович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Копыльцов Александр Васильевич

доктор технических наук, профессор Чуканов Сергей Николаевич

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки «Санкт-Петербургский институт информатики н автоматизации Российской академии наук»

Защита состоится «_24_»_сентября 2015г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.10 в ФГАОУ ВО «СПбПУ», расположенном по адресу: 195251 Санкт-Петербург, Политехническая ул., 21,9 корпус, аудитория 121.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет)) и на сайте www.spbstu.ru.

Автореферат разослан «_»_2015 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.229.10, кандидат технических наук Н.В.Богач

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделирование осцилляторов играет важную роль во многих отраслях современной науки и техники. Осциллятором можно назвать любую систему, если величины, ее описывающие, периодически или апериодически меняются со временем. Модели осцилляторов могут быть использованы в таких отраслях как программное управление оборудованием, навигационные системы, теория электромагнитного излучения, акустика, теория тяготения, теория твердого тела, теория колебательных спектров молекул и т.п.

В классических работах по осцилляторам в различных областях не рассматривались вопросы их моделирования на вычислительных машинах, тогда еще не было развитой вычислительной техники. Моделирование осцилляторов открывает новые возможности их исследования с помощью вычислительного эксперимента, но при этом возникают и дополнительные проблемы, которые и исследуются в диссертации.

При решении любых задач на ЭВМ неизбежно возникновение ошибок, являющихся результатом помех, сбоев, применением численных методов решения со слишком большим шагом дискретизации. Большинство методов обнаружения и исправления этих ошибок базируются на использовании аппаратной или временной избыточности.

Изучение вопроса контроля динамических систем получило широкое распространение в начале 20-го века. В нашей стране A.M. Ляпунов и Н.Г. Четаев вплотную подошли к данной проблеме. В связи с развитием вычислительной техники вопросы контроля вычислительных процессов приобрели особую остроту, так как для многих задач требовалось получать решение на длительных интервалах времени и при исследовании очень сложных систем уравнений, и так как вычислительные машины стали использоваться для целей управления.

Также задача обеспечения надежности динамических систем в^последствиЦ развивалась в работах таких ученых, как Л.Г. Евланов, C.B. Яблонский, Ф.Е. Темников, H.H. Пономарев, К.Б. Карандеев, Г. Найквист, Р. Калман и др.

Возможности использования избыточности для борьбы с помехами были впервые осознаны в технике связи еще в 30-е годы, с появлением и развитием теории информации получило дальнейшее развитие понятие избыточности. Термин "избыточность" был введен в русскую техническую литературу при переводе классической работы К.Шеннона в 1953 году H.A. Железновым, с именем которого тесно связана разработка проблемы избыточности в информационных системах.

В диссертации развивается метод избыточных переменных, в свое время предложенный М.Б. Игнатьевым и В.В. Михайловым, при помощи которого в данной работе решаются задачи диагностики, контроля и коррекции при моделировании сложных систем. Этот метод может быть отнесен к методам аналитической избыточности, хотя был предложен и описан задолго до того, как термин "аналитическая избыточность" получил в нашей стране широкую известность. М.Б. Игнатьевым рассматривались в основном аналоговые вычислительные структуры, в данной работе исследуются дискретные системы методом вычислительного эксперимента. А также в данной работе рассматриваются математические компью-

терные модели сложных систем, такие как движение континентальных плит на поверхности земного шара, что важно для исследования литосферной погоды и, в частности, землетрясений.

Метод избыточных переменных позволяет вводить избыточность на уровне исходной задачи, что открывает возможность наложить дополнительные ограничения на переменные расширенной системы, которые можно использовать в качестве контрольных условий. Например, если требуется решить дифференциальные уравнения:

то можно ввести новую, третью переменную в эту задачу Х = ^о,*х„ Г = Хб,*х,.,/ = 1,2,3,

и на расширенную систему наложить дополнительное ограничение, например такое:

^3(х1,.г2,х3) = 0,

которое можно использовать в качестве контрольного условия — если оно нарушается, то сигнал ошибки можно использовать для коррекции системы.

Схема вычислительного процесса с контролем и коррекцией по методу избыточных переменных изображена на рис 1. В контрольном органе (КО) проверяется выполнение контрольного условия. Сигнал ошибки, полученный на выходе контрольного органа, может быть использован для коррекции вычислительного процесса с помощью обратной связи (пунктирная линия I на рис. 1) или с помощью коррекции вперед (пунктирная линия II на рис. 1). В блоке УС — устройство сжатия — осуществляется преобразование от избыточных переменных обратно к исходным. Блок ВУ — вычислительно устройство.

Рис. 1. Схема вычислительного процесса с коррекцией Аналогичным образом можно вводить избыточность в различные системы, накладывать контрольные условия и строить цепи коррекции. Актуальность темы подтверждается необходимостью реализовывать встроенные вычислительные устройства в различные блоки для программного управления оборудованием высокой ответственности в реальном времени.

Целью работы является исследование возможности построения моделей осцилляторов, заданных уравнениями Пфаффа или конечными уравнениями, в вычислительных системах с контролем и коррекцией на основе метода избыточных переменных в реальном времени. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать аналитические методы контроля и коррекции как на основе использования естественной избыточности, так и на основе искусственной избыточности с обратной связью с проверкой результатов в вычислительных экспериментах.

2. Разработать метод коррекции "вперед" с использованием избыточных переменных с проверкой результатов в вычислительных экспериментах.

3. Разработать пакеты прикладных программ устойчивых моделей осцилляторов. Создать программный комплекс для автоматического генерирования структуры расширенных систем.

Научная новизна. Впервые разработаны и исследованы устойчивые модели осцилляторов с контролем и коррекцией по воспроизводимой функции, что подтверждается авторскими свидетельствами на пакеты соответствующих программ. Исследованы вопросы контроля решений обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых неизвестен первый интеграл, исследованы предельные возможности систем с линейным контролем и коррекцией как с помощью обратной связи, так и с помощью коррекции вперед при моделировании дискретных систем с использованием численных методов..

Методы исследования. Для решения поставленных задач и подтверждения исследований было использовано математическое моделирование с применением ЭВМ, теория цифровых аналогов, теория устойчивости динамических систем, вычислительный эксперимент. При исследовании математических моделей использовались численные методы Эйлера, Рунге-Кутты 4-го порядка, Оогтапс1-Рппсе 5-го и 8-го порядков, Bogacki-Shampine 3-го порядка, Неип, Адамса, Розенброка, метод трапеций с переменным шагом дискретизации.

Теоретическая и практическая значимость. Моделирование осцилляторов, заданных уравнениями Пфаффа, играет большую роль в современной науке и технике, и модели должны отвечать критериям точности, надежности, адекватности и пр. В работе получил значительное развитие метод избыточных переменных, что позволило синтезировать устойчивые модели осцилляторов с контролем и коррекцией по воспроизводимой функции путем использования собственной внутренней избыточности системы или повысить помехоустойчивость добавлением избыточности с незначительными затратами ресурсов, что особенно важно при моделировании осцилляторов, как неустойчивых систем. Разработанные пакеты прикладных программ являются практическим инструментом для синтеза помехоустойчивых вычислительных систем исходя из конкретных задач и имеющихся ресурсных ограничений по быстродействию, объемам памяти и другим параметрам. Результаты, полученные в работе, позволяют моделировать и строить вычислительные устройства в реальном времени для систем программного управления оборудованием, навигационных систем, движения материковых плит и т.д.

Апробация работы. Результаты работы апробированы на конференциях: Информационные ресурсы в образовании (всероссийская научно-практическая конференция, г.Нижневартовск, 14-16 апреля 2011 г.), Культура, наука, образование: проблемы и перспективы (всероссийская научно-практическая конференция, г.Нижнсвартовск, 7-8 февраля 2012 г.), Информационные ресурсы в образовании (международная научно-практическая конференция, г.Нижневартовск, 27-29 марта 2012 г.), Региональная информатика «РИ-2012» (юбилейная XIII санкт-петербургская международная конференция, г.Санкт-Петербург, 23-24 октября 2012 г.), Информационные ресурсы в образовании (международная научно-практическая конференция,

5

г.Нижневартовск, 17-19 апреля 2013 г.), Международный латиноамериканский форум и выставка инновационных разработок молодых ученых PeRuSat-2013 (г.Лима, Республика Перу, 17-22 сентября 2013 г.), Информационная безопасность регионов России (VIII Санкт-Петербургская межрегиональная конференция, г.Санкт-Петер-бург, 23-25 октября 2013 г.); а также доклад по теме диссертации был представлен на семинаре Дома ученых им. М. Горького РАН в секции кибернетики (г. Санкт-Петербург, 23 марта 2015 г.)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, в их числе 4 статьи в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. В совместных с научным руководителем работах научному руководителю принадлежит постановка задачи, в диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором. Из остальных работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены только те результаты, которые были получены лично Катерминой Т.С. и не затрагивают интересов других соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 160 страниц, работа содержит 52 рисунка и 17 таблиц. Список литературы состоит из 98 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении приводится постановка задачи, ставится цель исследования, описываются методы исследования, и обосновывается актуальность, теоретическая и практическая значимость проведенного исследования.

В первой главе рассматриваются математические модели осцилляторов, описываемые уравнениями Пфаффа. Если системы описываются конечными уравнениями, то после дифференцирования они опять-таки описываются уравнениями Пфаффа. Далее в главе 1 показано, что от систем уравнений Пфаффа можно перейти к системам эквивалентных уравнений с неопределенными коэффициентами, которые позволяют манипулировать, управлять ходом вычислительного процесса, оставаясь на заданных многообразиях, в том числе и улучшить адаптационные возможности системы. Получено авторское свидетельство на пакет прикладных программ, позволяющий генерировать структуры эквивалентных уравнений для любого числа переменных п с любым числом ограничений m, п > ш.

Во второй главе рассматриваются математические модели осцилляторов, синтезированные на основе метода избыточных переменных для контроля и коррекции вычислительных процессов в условиях помех. В п. 2.1. исследуется вопрос о влиянии помех различного вида на вычислительный процесс и показано, как можно внести избыточность для того, чтобы, использовав ее, повысить помехоустойчивость модели. В данной главе применение метода избыточных переменных рассматривается на примере систем дифференциальных уравнений как частного случая алгебраических моделей различных систем.

При решении дифференциальных уравнений на вычислительных машинах возможны нарушения, во-первых, в начальных условиях, во-вторых, в правых частях уравнений, в-третьих, в самом операторе дифференцирования. И если в идеальной системе должна решаться система уравнений

б

= 0'|-Уг-->Уп"0> У;(°) = >'/о, то реально будет решаться система

^=// 1 • у 2.....У«.')+Д (?)•■• ■ -У',, ■')>

7/(0) = У/о. ¡ = 12,...л.

где Д(У|.....У,,.') — помехи, действующие на систему дифференциальных

уравнений.

Нарушения в операторе дифференцирования также сводятся к аддитивной добавке аналогичного вида в правых частях реально решаемых систем уравнений.

Суть метода избыточных переменных заключается в том, чтобы решать в вычислительном устройстве не исходную систему уравнений, а эквивалентную ей расширенную систему с неопределенными коэффициентами. Если имеется исходная задача в виде конечных, дифференциальных, разностных или интегральных уравнений, в которых участвуют V,, / = 1,2,...,// исходных переменных, то для повышения качества решения предлагается, во-первых, вместо исходных переменных ввести новые переменные .г;, у = 1,2,.../, / > п . Переменные у1 и *. могут быть связаны между собой произвольным образом, но обязательно так, чтобы можно было вычислить исходные переменные в функции от новых переменных. Наиболее разработанный вариант — когда г, являются линейными функциями от х(.

Во-вторых, на новые переменные накладываются дополнительные условия, и вместо исходной задачи с и переменными решается преобразованная исходная задача, тесно перемешанная с дополнительной задачей, причем в расширенном вычислительном процессе участвуют /7, переменных. По правильности решения заранее известной дополнительной задачи можно судить о правильности протекания всего вычислительного процесса в целом и принимать меры по его исправлению в случае обнаружения нарушений. Дополнительные задачи обычно называются контрольными условиями.

Введение избыточности позволяет не только организовать контроль, но также управлять вычислительным процессом как на основании априорных данных о помехах, так и на основании текущего контроля процесса в реальном времени.

Далее в п. 2.2 дается общее описание метода избыточных переменных, и рассматриваются различные способы осуществления коррекции ошибок при помощи избыточных переменных.

Как известно из теоремы об оценке отклонения решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, эти отклонения зависят от величины возмущений начальных условий и величины постоянно действующих возмущений. И если в системе без избыточности главное средство для уменьшения отклонений - это ослабление самих источников помех, то в избыточных структурах появляется новое средство для борьбы с помехами, которые действуют на расширенные системы, в них можно использовать для этой цели операцию сжатия, операцию перехода от новых переменных к исходным. С ее помощью при соответствующем подборе коэффициентов оказывается возможным уменьшить величину возмущений, действующих на систему после сжатия, чем и достигается уменьшение отклонения решений. Этому вопросу посвящен пункт 2.2.1.данной работы.

В пункте 2.2.1 анализируются жесткие избыточные структуры с алгебраической коррекцией. Вектор помех разлагается на составляющие, одна из которых перпендикулярна контрольной плоскости, другая действует вдоль вектора скорости, а третья перпендикулярна первым двум. Доказано, что путем подбора коэффициентов сжатия и контрольных плоскостей можно существенно уменьшить действие помех, при этом при фиксированном числе контрольных плоскостей выигрыш от введения избыточности тем больше, чем больше исходных переменных, а при фиксированном числе исходных переменных выигрыш увеличивается с ростом числа контрольных плоскостей.

В п. 2.2.2 описывается метод коррекции "вперед". Если имеем избыточную систему с (п +1) переменными и одним линейным контрольным условием:

Z'" , т\х, = 0, т\ = const,

j—\ J i i

то, повторив решение этой системы (/; +1) раз каждый раз с новыми коэффициентами контрольной плоскости, можно получить информацию обо всех первичных ошибках, действующих на конкретную задачу, решаемую на конкретной аппаратуре каким-то конкретным методом. При этом предположим, что ошибки не изменяются при изменении коэффициентов и?., при повороте контрольной плоскости.

Например, если имеем систему с j = 1,2,3

dx ^ ^ _

-jj- = fJ(xvx2,x3,t) + Aj(xux2,xz,t), (1)

то на выходе контрольного органа получим

д=х;;>А- (2)

Для того чтобы определить hj, необходимо в данном случае иметь три уравнения вида (2). Их можно получить, используя различные значения коэффициентов irij

на заданном интервале времени. Таким образом, для каждого момента времени будем иметь систему линейных алгебраических уравнений Д, = /и,/), + m2h2 + Ш3Л3

Д2 = пц h 1 + m2h2 + /н3/г3 , (3)

Д3 = ш, /г, + т2 /;2 + тъ Л3 откуда можно определить при условии

тх т 2 тг т, т•, яг.

т-,

Ф 0.

При повороте плоскости, то есть при перестройке правых частей уравнений (1), часть помех будет поворачиваться вместе с плоскостью. Для того чтобы определить, какая доля помех поворачивается, можно взять еще одну контрольную плоскость Д4 = ' / = '>2,3, и для нее экспериментально получить величину Л4 и

сравнить расчетное и экспериментальное значение этих величин. Если между ними большая разница, то таким способом определить ошибки нельзя.

Полученные в результате экспериментов и расчетов по формулам (3) величины ИI для нужных моментов времени могут быть использованы для коррекции решения, соответствующего этим моментам времени

где — любое в интервале (/ — /0). В результате экспериментов с поворачивающейся плоскостью определяется направление вектора помех, и эта информация может быть использована.

Если число контрольных плоскостей к, то число необходимых поворотов (п + к)/к, и минимальное число поворотов будет при к~п, оно равно двум при к «3/2. Таким образом, здесь возможен обмен между затратами аппаратуры и затратами времени для определения вектора помех. Чем больше контрольных плоскостей, то есть чем больше избыточность аппаратуры, тем меньше раз требуется повернуть пучок плоскостей, тем меньше затраты времени, и наоборот. Конкретная рекомендация по числу контрольных плоскостей зависит от размерности и сложности задачи и от вида используемой вычислительной машины, ее параметров по быстродействию, памяти и т.п.

В п. 2.2.3 рассматриваются вопросы о контроле и коррекции в избыточных структурах с непрерывной обратной связью. Если известна воспроизводимая функция, то по ней можно производить коррекцию расширенной системы.

Если функция, которую требуется воспроизвести, задается пересечением дифференцируемых многообразий

.....>'„; = (),

Рт(У\-Уг.-■■}'„) = 0. т < п,

то, введя новые дополнительные переменные, получим Р\(У\-Уг----Уп) = Уп+\-

(4)

^т ( У1 ' Л!2 > ■' ■ Уп ) = Уп + т ■

Продифференцировав эти уравнения, получим

■-<*'„♦, =о.

оу, яр

оу,-

Можем построить эквивалентную для (4) систему дифференциальных уравнений, которая будет содержать 5 = С,'"++„', неопределенных коэффициентов, часть из которых, проанализировав их структуру, можно использовать для построения цепи коррекции.

В период отладки модели целесообразно использовать не отрицательную обратную связь, а положительную. Таким образом увеличивается чувствительность контроля, и появляется возможность отслеживать появление ошибки.

Сформулируем алгоритм построения устойчивых моделей плоских кривых, при условии, что известен первый интеграл, т.е. воспроизводимая функция, дифференцируемая в заданной области изменения переменных, задающая кривую, например:

1. Ввести в качестве сигнала ошибки новую переменную:

Р{УиУг)=Уг- (5)

2. Путем дифференцирования получить из (5) уравнение Пфаффа:

' -^'з = 0 • (6)

ду1 ду2

3. Получить из (6) расширенную систему дифференциальных уравнений с неопределенными коэффициентами. Число неопределенных коэффициентов будет равно:

где т — количество переменных в системе дифференциальных уравнений, а п — количество контрольных условий, их связывающих.

4. Назначить неопределенные коэффициенты таким образом, чтобы у3 —> 0.

В качестве примера рассмотрим систему дифференциальных уравнений, моделирующую движение осциллятора, имеющего широкое практическое применение.

Воспроизводимая функция в данном случае:

1 1 п~>

у\ +у5= & ,

Эквивалентная данному уравнению система дифференциальных уравнений будет иметь вид:

с/у,

Лу,

-¿Г"'-

Введем в качестве сигнала ошибки новую переменную После дифференцирования будем иметь

2уА'\ +2у2сЬ'2 =°-

Эквивалентная система дифференциальных уравнений будет иметь вид: Л ~

^ = -»|2у,-»з. (8)

—-- = 2 V, -м32г-,. Л ~

Величина _у3 подсчитывается в контрольном органе по формуле (7), она известна, и ее можно использовать для коррекции, назначив неопределенные коэффициенты и2 и «з таким образом, чтобы у3 —» 0.

Это осуществимо, если положить

и2=у32у^а,и3=у32у2а., о (9)

где а > 0.

В системе с коррекцией по воспроизводимой функции будут решаться уравнения:

—± = щ2у2-у32уха, ш

<

^■ = -и12у1-у32у2а, . ш

с начальными условиями у]0 и у20, при которых воспроизводимая функция

Нуп,'У2О) = 0-

Последнее уравнение системы (8) прямо не будет решаться в системе — оно используется для аналитического синтеза. При подстановке в него (9) видно, что уз н> 0 при а > 0. С помощью коэффициента м, задается скорость и направление движения по заданной траектории ,у2) = 0.

Для моделирования этой и последующих систем была выбрана библиотека моделирования БитшИпк, являющаяся частью среды Ма1:ЬаЬ. Далее приводятся результаты решения системы дифференциальных уравнений с применением различных численных методов, с различным шагом дискретизации Д. Рассматриваются возможности применения коррекции по воспроизводимой функции для каждого метода.

Использованные численные методы:

1. Метод Эйлера;

2. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка;

3. Метод Оогтапс1-Рппсе 5-го порядка;

4. Метод Водаск1-8Ьатр1пе 3-го порядка;

5. Метод трапеций с переменным шагом дискретизации.

Для каждого отдельного случая были выбраны параметры и, и а. Ниже приведены некоторые наиболее интересные графики зависимости у2 от у, с указанием метода и шага дискретизации.

а) б)

Рис. 2. Графики зависимости у2 от у, (метод Эйлера с шагом дискретизации 0.5) без коррекции (а) и с коррекцией (б)

а) б)

Рис. 3. Графики зависимости у2 от у, (метод Рунге-Кутты с шагом дискретизации 0,5) без коррекции (а) и с коррекцией (б) Анализируя данные примеры, можно сделать вывод, что метод избыточных переменных позволяет, не уменьшая шага дискретизации, т.е. не увеличивая времени решения системы дифференциальных уравнений, при помощи манипулирования только произвольными коэффициентами значительно снизить величину ошибки, а в некоторых случаях добиться решения там, где стандартными методами это сделать невозможно. В качестве другого примера рассмотрим систему дифференциальных уравнений, моделирующую построение лемнискаты Бернулли, которая имеет другую особую точку.

Воспроизводимая функция в данном случае:

^+у22)-2а2(у1-у1) = 0.

Эквивалентная данному уравнению система дифференциальных уравнений без коррекции будет иметь вид:

= м| ^Уг (у? + у2 + а2 ),

т

Аналогично первому примеру введем в качестве сигнала ошибки новую переменную, продифференцируем полученную функцию.

Эквивалентная система дифференциальных уравнений будет иметь вид:

др_

¿/у,

= г/,--г/,

Л ду?

¿У! Л

(1уг

= -иг-

ду1 др

эр

__ Л ду | ду2 В системе с коррекцией по воспроизводимой функции будут решаться урав-

нения:

¿у. дР дР

= --у3 —а,

Л дуг ду\

с/у 2 ОР 5F ' —- = -г/,--уъ-а

Л ду, ' ду2

с начальными условиями у]0 и у20, при которых Р{.У\0-Уга)= ® •

Далее приведены некоторые графики зависимости у2 от у, с указанием метода и шага дискретизации. Были выбраны преимущественно те графики, где указанный метод без коррекции не справился с решением задачи моделирования, либо очень велика разница между накопленными значениями ошибки при построении без коррекции и с коррекцией.

Анализируя результаты этих вычислительных экспериментов, можно сделать вывод, что метод избыточных переменных позволяет и в случае лемнискаты — а это кривая с особенностями, не уменьшая шага дискретизации, значительно снизить величину ошибки в реальном времени, что важно для управления плазменным шнуром в токамаке.

15

Об

0

-1.5

"■3

а) б)

Рис. 4. Графики зависимости у2 от у, (метод ОогтапсГРппсе с шагом дискретизации 0.05, и, =1) без коррекции (а) и с коррекцией (б)

2

15

05

0

45

-15

а) б)

Рис. 5. Графики зависимости у2 от у, (метод Эйлера с шагом дискретизации 0.5, и, =0.01) без коррекции (а) и с коррекцией (б)

Для построения устойчивой модели осциллятора, генерирующего пространственную кривую необходимо в качестве контрольных условий использовать уравнения поверхностей, на пересечении которых лежит искомая кривая. Далее следует выполнять действия, аналогичные указанным в приведенном выше алгоритме.

Рассмотрим построение устойчивой модели генерации пространственной кривой на примере модели сферы. Воспроизводимая функция в данном случае:

У2 + У2+У3 = Я2-

В качестве второго контрольного условия можно выбрать уравнение плоскости

Ау, + Ву2 + Су3 +£ = 0.

Введем в качестве сигнала ошибки новые переменные:

у2,+у22+у]-Я2 =у4, (10)

Ау, + Ву2 + Су3 + Е = у5. После дифференцирования и устранения перекрестных связей между ошибками получим по методу избыточных переменных расширенную систему дифференциальных уравнений:

1 = «.£>23

■ - У4Д43аЛ]4 - у5Д53р^5,

^ = -Щ Д23 + 74 А42аО,24 + - У4/)243аА24 - У5^зРО{5,

ш

^Г = "^12 + -^П^И + У5^,5ЗРД35 + УМъа°Ъ24 + Л^зР^-

где а,р>0, а буквой Л обозначена сумма из произведений частных производных от функции (10) по переменным, индексы которых входят в нижний индекс у буквы

&2 бх.

и т.д.

В п. 2.2.4 показаны возможности применения избыточности в гибких структурах. В рассмотренных выше системах число переменных пх в расширенных структурах было равно числу контрольных условий к плюс число исходных переменных п. В гибких структурах пх >п + к, за счет чего с помощью произвольных коэффициентов оказывается возможным осуществлять перестройку работы системы без нарушения функционирования, обходя неисправные места в схемах и алгоритмах.

Если исходная задача

т

то, введя избыточность и наложив контрольное условие

у = а1х], Х] ,х2,х3) = 0, из эквивалентных уравнений Пфаффа

а]'1Х] ~ f( Х\'*2 '*3 >*4 №ха, = °>

У3 —£&, =0,

/= дх- ' сЬс4 = ск,

получим расширенную систему, содержащую Б = С4 =4 произвольных коэффициента

сЬс,

т

сЬс2

X

<1х.

= щй23 + и2024 + и303.

= -и,Д 3

»2^14+»4^34

А 2-«3^14+"4^24

= г/2£>|2 + г/3£|3 + г/4А3

(П)

Для решения задачи в натуральном масштабе времени, необходимо иметь

щЦ2+и3Ц3+и4023=1. (12)

Если вычисление В14, В24, В}4 реализуется с помощью отдельных блоков — блоков программы или блоков схем — то с помощью коэффициентов и3 оказыва-

ется возможным так изменить структуру системы (11), чтобы исключить любой один из этих блоков в случае неисправности без нарушения условия (12). Действительно, если хотим исключить из работы блок то можем положить и2 =иъ =0,

из (12) г/4 =—; если хотим исключить блок В24, то иг =и4 = 0, г/3 =-; если хо-

Аз Аз

тим исключить £)34, то г/3 =и4 =0, а2 =-.

/)12

Заметим, что при этом осуществляется устранение только первичных ошибок. Так, если произошло нарушение в блоке /)|4, то это эквивалентно действию помех

Л2 = г/2£>,4 - и20'и, Л, = щВ1А - и3£>*4, и при коррекции, когда полагаем и2 = иг — 0, мы устраняем именно первичную ошибку. Чем быстрее будет произведена коррекция, тем меньше будет накопленная вторичная ошибка.

Коэффициент г/, может быть использован для другого вида коррекции — для обращения в нуль правой части любого из трех первых уравнений системы (11). Действительно, если произошло нарушение в вычислительном канале первой переменной, то стоит перестроить работу системы так, чтобы исключить первый канал из работы.

Если положим

г<, = —Л",сх/^2з> 01 >0,

то координата лг, будет асимптотически стремиться к нулю. Аналогичным образом может быть осуществлена коррекция любой одной переменной.

Для любого числа исходных уравнений и переменных п может быть построена гибкая структура с «к » контрольными условиями, и если в этой структуре п1 — (п + к) = п2, то число п2 определяет корректирующие возможности гибкой структуры: если п2 =1, то может быть отключена одна любая переменная и один вычислительный блок в правых частях без нарушения работы в натуральном масштабе времени; если п2 = 2, то могут быть отключены любые две переменные и два вычислительных блока в правых частях без нарушения работы в натуральном масштабе времени и т.д.

В п. 2.3 производится сравнение метода избыточных переменных с другими способами контроля и управления вычислительными процессами, такими как тестовый контроль, резервирование, методы теории кодирования, способы логического или программно-логического контроля, к которым можно отнести и метод избыточных переменных. Анализ показал, что метод избыточных переменных позволяет снизить аппаратную и временную избыточность, характерные для методов резервирования и тестового контроля, имеет более широкую область применения, чем теория кодирования. Метод избыточных переменных можно рассматривать как способ функционального кодирования применительно к задачам, сформулированным, прежде всего, на языке основных соотношений.

В третьей главе рассматриваются вычислительные эксперименты для исследования осцилляторов в различных режимах и практическое развитие метода избыточных переменных для моделирования различных осцилляторов и описываются

вычислительные эксперименты, доказывающие работоспособность предложенных алгоритмов.

В п. 3.1. приведены эксперименты с воспроизведением осцилляторов на окружности, на сложных кривых. При воспроизведении плоских кривых оказалось удобным использовать обратную связь и коррекцию по воспроизводимой функции. Этого оказалось достаточно для того, чтобы значительно уменьшить ошибку вычислений, не уменьшая шага дискретизации имеющихся численных методов. Рассматривались как численные методы с постоянным, так и с переменным шагом дискретизации. Было произведено моделирование движения осциллятора и воспроизведение лемнискаты Бернулли и других кривых.

В п. 3.2 был рассмотрен вопрос применения поворачивающейся контрольной плоскости для сбора информации о сигнале ошибки и коррекции "вперед".

Результаты моделирования воспроизведения поверхностей и линий на них приведены в п. 3.3. В результате проведенных экспериментов выяснилось, что одного контрольного условия в виде контроля по воспроизводимой функции в приведенных случаях (моделирование сферы и тора) не достаточно. Для того чтобы удерживать точку на заданной кривой, было добавлено еще одно условие — уравнение плоскости. В результате также было достигнуто значительное уменьшение ошибки без уменьшения шага дискретизации, а значит без значительного увеличения временных затрат, что важно для управления плазменным шнуром в токамаке. Получены авторские свидетельства на соответствующие пакеты прикладных программ

В п. 3.4 показаны эксперименты с жесткими структурами и возможностью уменьшения влияния ошибки с помощью операции сжатия. Эксперименты показали, что применение жестких структур целесообразно, когда на систему действуют одиночные ошибки, а не ошибки, возникающие вследствие несовершенства численного метода решения.

Эксперименты с гибкими структурами, приведенные в п. 3.5, показали, что при помощи метода избыточных переменных можно интерактивно перестраивать модель, не нарушая ее функционирования, таким образом, чтобы избежать воздействия ошибок на составляющие системы.

В п. 3.6. показана возможность моделирования движения материковых плит на поверхности земного шара для прогнозирования литосферной погоды, а также рассмотрены возможные сферы внедрения данной методики контроля и коррекции в работу таких устройств как станки с числовым программным управлением, промышленные роботы, а также Зс1-принтеры.

В заключении представлены выводы по результатам исследований.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан метод аналитического конструирования устойчивых вычислительных систем с контролем и коррекцией, в рамках которого синтезированы устойчивые модели осцилляторов, для которых известен первый интеграл.

2. Разработаны и исследованы методы контроля и коррекции жестких и гибких структур с избыточностью.

3. Разработан и исследован метод коррекции "вперед" с использованием избыточных переменных и поворачивающейся контрольной плоскости.

4. Методом вычислительного эксперимента подтверждена работоспособность предложенных алгоритмов. Предложены следующие рекомендации:

16

а. для создания устойчивых моделей генерации плоских кривых необходимо рассматривать контроль и коррекцию по воспроизводимой функции, если таковая известна;

б. для создания устойчивых моделей генерации пространственных кривых необходимо рассматривать уравнения пересекающихся поверхностей в качестве контрольных условий.

5. Разработаны четыре пакета прикладных программ:

а. программный комплекс, позволяющий автоматически генерировать структуры расширенных систем уравнений; АС №2015611946, зарег. 10.02.2015;

6. программный комплекс, реализующий алгоритм воспроизведения плоских кривых с контролем и коррекцией; АС №2015614349, зарег. 15.04.2015;

в. программный комплекс, реализующий алгоритм воспроизведения пространственных кривых с контролем и коррекцией; АС №2015614142, зарег. 07.04.2015.

г. программный комплекс, реализующий модель движения материковых плит; АС №2015614143, зарег. 07.04.2015.

Перечень основных публикаций

Книги

1. Игнатьев М.Б. Метод избыточных переменных для контроля, диагностики и коррекции вычислительных процессов в реальном времени: учеб. пособие / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина. — Нижневартовск: Изд-во Нижневарт. гос. ун-та, 2014. — 188 с.

Журналы, рекомендуемые ВАК РФ

1. Игнатьев М.Б. Метод избыточных переменных для контроля и диагностики вычислительных процессов в реальном времени / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина // Труды СПИИРАН. — СПб.,2013. — Вып. 3(26). — С. 234 - 252.

2. Игнатьев М.Б. Моделирование движения континентальных плит для предсказания землетрясений / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина, В. А. Ненашев// Известия Юго-Западного государственного университета. — Курск, 2013.— № 6-2 (51). —С. 92-99.

3. Игнатьев М.Б. Контроль и коррекция вычислительных процессов в реальном времени на основе метода избыточных переменных / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина // Информатизация и связь. — М., Вып. 1. С. 28-37.

4. Игнатьев М.Б. Метод избыточных переменных для контроля и диагностики вычислительных процессов в реальном времени. Часть 2 / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина // Труды СПИИРАН. — СПб.,2014. — Вып. 2(33). — С. 60-78.

Статьи в журналах, сборниках трудов, материалах конференций

1. Катермина Т.С. Методы контроля, диагностики и коррекции вычислительных процессов / Т. С. Катермина // Информационные ресурсы в образовании: мат-лы всероссийской научно-практической конференции — 2011. — изд-во Нижневарт. гуманит. ун-та, 2011. — 240 с. С. 209-210.

2. Катермина Т.С. Методы и средства контроля цифровых измерительно-вычислительных комплексов / Т. С. Катермина // Культура, наука, образование:

17

проблемы и перспективы: мат-лы всероссийской научно-практической конференции. Часть IV — 2012. —изд-во Нижневарт. гуманит. ун-та, 2012. — 163 с. С. 87-90.

3. Игнатьев М.Б. Избыточность для контроля, диагностики и коррекции сложных систем / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина // Региональная информатика «РИ-2012»: мат-лы юбилейной XIII санкт-петербургской международной конференции — 2012. — СПОИСУ — СПб, 2012. - 420 с. С. 39-40.

4. Катермина Т.С. Моделирование тора при помощи метода избыточных переменных / Т. С. Катермина // Информационные ресурсы в образовании: мат-лы всероссийской научно-практической конференции — 2013. — изд-во Нижневарт. гос. ун-та, 2013. — 272 с. С. 62-68.

5. Игнатьев М.Б. Проблема прогнозирования землетрясений путем моделирования движения континентальных плит / М. Б. Игнатьев, Т. С. Катермина, В.А. Ненашев // Информационная безопасность регионов России (ИБРР-2013): мат-лы VIII Санкт-Петербургской межрегиональной конференции — 2013. — СПОИСУ — СПб, 2013. — 293 с. С. 99.

6. Ignatiev M.B. Simulation of the Continental Plates Movement for the Earthquake Investigation / Ignatiev M.B., Katermina T.S., Nenashev V.A. // Journal of Geological Resource and Engineering. — 2013. V. 1 (12) — P. 35—45.

7. Ignatiev M.B. Some aspects of the redundant variables method / Ignatiev M.B., Katermina T.S. // Scientific enquiry in the contemporary world: theoretical basics and innovative approach. — 2013. V. 5. Technical Sciences. USA: B&M Publishing. — P. 108-112.

Авторские свидетельства

1. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015611946. Программа для генерации структуры уравнений с неопределенными коэффициентами / Т. С. Катермина; заявитель и правообладатель Т.С. Катермина, зарег. 10.02.2014.

2. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015614349. Программа, реализующая алгоритм воспроизведения плоских кривых с контролем и коррекцией / Т.С. Катермина; заявитель и правообладатель Т.С. Катермина, зарег. 15.04.2015.

3. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015614142. Программа, реализующая алгоритм воспроизведения пространственных кривых с контролем и коррекцией / Т. С. Катермина; заявитель и правообладатель Т.С. Катермина, зарег. 07.04.2015.

4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2015614143. Программа, реализующая алгоритм моделирования перемещения континентальных плит на поверхности земного шара / Т. С. Катермина; заявитель и правообладатель Т.С. Катермина, зарег. 07.04.2015.

Подписано в печать 15.06.2015. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 13206Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Типографии Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 552-77-17; 550-40-14