автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Модели и методы оптимизации иерархических организаций

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

005004764

МИШИН СЕРГЕЙ ПЕТРОВИЧ

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ ОРГАНИЗАЦИЙ

Специальность: 05.13.10 - «Управление в социальных и экономических системах»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

УДК 519

На правах рукописи

- 8 ДЕК 2011

МОСКВА-2011

005004764

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

УДК 519

На правах рукописи

МИШИН СЕРГЕЙ ПЕТРОВИЧ

МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ ОРГАНИЗАЦИЙ

Специальность: 05.13.10 - «Управление в социальных и экономических системах»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

МОСКВА-2011

Работа выполнена в УРАН

Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Научный консультант - член-корреспондент РАН Д.А. Новиков

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Цвиркун Анатолий Данилович

- доктор технических наук, доктор экономических наук, профессор Орлов Александр Иванович

- доктор технических наук,

профессор Горошко Игорь Владимирович

Ведущая организация - УРАН Вычислительный центр

им. A.A. Дородницына РАН (ВЦ РАН)

Защита состоится « 16 » февраля 2012 г. в 14 час. на заседании Диссертационного Совета Д 002.226.02 УРАН Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЛУ РАН. Автореферат разослан « №» 2011 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 002.226.02

кандидат технических наук В.Н. Лебедев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Иерархическая организация (основанная на ассиметричном отношении элементов «начальник - подчиненный») характерна как для различных сфер практической деятельности людей (экономической, социальной, военной и т.п.), так и для многих технических систем. Для единообразия изложения и интерпретаций теоретических результатов настоящая работа использует терминологию иерархических организаций в экономике1, в частности, под элементами понимаются сотрудники организации, а критерий эффективности определяется на базе общепринятых экономических категорий (выручка, затраты, прибыль).

Большая часть современной экономики состоит из иерархических организаций, которые позволяют повысить эффективность производства за счет разделения труда, порождая в то же время организационные издержки сложной системы управления с иерархической структурой (иерархией), состоящей из менеджеров, которые управляют производственной системой. Поэтому математические модели и методы, претендующие на комплексную оптимизацию таких организаций, должны учитывать не только производственную эффективность, но и организационные издержки иерархической системы управления.

Модели и методы оптимизации многоуровневых иерархических организаций исследовались в рамках нескольких научных направлений, среди которых можно отметить системный анализ и исследование операций (Бусленко Н.П., Кондратьев В.В., МесаровичМ., Цвир-кун А.Д. и др.); модели потери контроля (Calvo G., Qian Y., Wellisz S., Williamson О. и др.); информационные модели (Bolton Р., Dewatripont М., Keren М., LevhariD., MarschakT., RadnerR., Van Zandt Т. и др.); теорию команд (Новиков Д.А., Aoki М., Cremer J., Geanakoplos J., Milgrom P. и др.); а также работы, продолжающие и комбинирующие эти научные направления (Beggs A.W., Garricano L., PatacconiA. и др.). Однако в вышеуказанных работах исследуются частные случаи критериев эффективности и множеств допустимых иерархических структур, связанные с конкретными содержательными интерпретациями, что делает актуальным построение общих моделей и методов оптимизации иерархических организаций.

1 Ниже также выделяются прикладные направления (оптимизация схемы конвейерной сборки, меню доступа к информации, ряд задач дискретной оптимизации и др.), использующие теоретические результаты настоящей работы.

Цель работы - повышение эффективности управления оргструктурами за счет разработки, исследования и внедрения моделей и методов оптимизации иерархических организаций, включая совместный синтез эффективных иерархических структур и распределения управленческих функций в этих структурах. Для достижения данной цели решается следующий комплекс основных задач:

1. Выделение производственной и управленческой подсистем с декомпозицией критерия эффективности и определением затрат менеджеров, зависящих от различных видов управленческой нагрузки, включающей издержки на управление производственной подсистемой и организационные издержки, характеризующие сложное взаимодействие менеджеров (дублирование управлений друг друга).

2. Разработка методов поиска оптимального делегирования, позволяющего с минимальными затратами распределить между менеджерами управленческое воздействие, оказываемое на производственную подсистему.

3. Моделирование механизмов взаимодействия менеджеров симметричной иерархии; разработка методов поиска оптимальной симметричной иерархии, минимизирующей затраты, и применение этих методов для исследования известных организационных моделей и основных качественных эффектов, описанных в классических работах по менеджменту организационных структур.

4. Обобщение модели оптимальной организации на несимметричные и недревовидные иерархии за счет рассмотрения более узкого класса функций затрат {секционных функций затрат), обоснования их свойств, разработки аналитического и численного аппарата оптимизации иерархий и иллюстрации его применимости для исследования организационно-технических систем.

5. Разработка комплекса прикладных моделей оптимизации иерархических организаций, характеризуемых секционными функциями затрат (групповое взаимодействие сотрудников; иерархии, управляющие сетью технологических взаимодействий; дивизиональные, функциональные и матричные иерархии).

6. Иллюстрация применимости моделей иерархических организаций с секционными функциями затрат для исследования иерархий с ограничениями, анализа динамики структурных изменений, совместной оптимизации производственной и управленческой подсистем.

Методы исследования. Для нахождения оптимального делегирования и симметричной иерархии используется метод критической точки Лагранжа и аппарат линейной алгебры. Для исследования иерархий общего вида используются методы теории графов, комбинато-

рики и математического анализа. Оценки сложности дискретных задач, разработка и анализ сложности алгоритмов проводятся с использованием аппарата теории сложности и дискретной оптимизации. В отдельных случаях используется имитационное моделирование.

Научная новизна заключается в том, что на основе предложенного единого подхода к оптимизации иерархических организаций исследовано широкое множество критериев эффективности и допустимых иерархических структур, что позволяет единообразно описывать и исследовать задачи из различных прикладных областей:

1. Обоснована содержательная и математическая общность сведения задачи об оптимальной структуре и функциях управленческой подсистемы к задаче минимизации затрат менеджеров, зависящих от различных видов управления, с учетом организационных издержек, определяемых дублированием менеджерами управлений друг друга.

2. Разработаны аналитические и численные методы, позволяющие находить оптимальное делегирование - распределение необходимого производственной подсистеме управления между менеджерами.

3. Известные из работ по менеджменту механизмы взаимодействия сотрудников (взаимное согласование и прямой контроль) формализованы в терминах зависимости матрицы дублирования от вида симметричной иерархии; разработаны методы поиска оптимальных симметричных иерархий и делегирований; исследован ряд известных организационных моделей, количественно подтверждены многие структурные закономерности, наблюдаемые в реальных организациях.

4. Содержательно обоснованы допущения (фиксированное правило делегирования и ограничения на дублирование), определяющие класс секционных функций затрат, разработан аналитический аппарат их оптимизации на множестве иерархий общего вида, включающем несимметричные и недревовидные иерархии; исследована сложность и созданы точные и эвристические алгоритмы поиска оптимальных иерархий.

5. Аппарат оптимизации секционных функций затрат применен для исследования: различных моделей взаимодействия сотрудников с руководителем; оптимизации иерархии, управляющей сетью технологических взаимодействий производственной подсистемы; нахождения условий оптимальности дивизиональных, функциональных и матричных иерархий.

6. Предложены расширения модели секционной функции затрат, позволившие применить созданные методы оптимизации для более сложных множеств допустимых иерархий, определить затраты на реструктуризацию, численно исследовать динамическое перестроение

иерархической организации, совместно оптимизировать производственную и управленческую подсистему, оценив влияние технологических параметров на вид оптимальной иерархической организации.

Практическая значимость результатов исследования. Общность рассматриваемого множества допустимых иерархий и критериев эффективности позволяет унифицировано исследовать задачи из различных предметных областей с помощью предложенной модели и разработанных математических методов синтеза оптимальной иерархической организации, что дает возможность комплексного анализа различных аспектов иерархических организаций универсальным математическим аппаратом, а также может служить основой для переноса результатов решения практических задач из одних областей в другие. Автором разработаны и внедрены методические рекомендации по применению общих моделей и методов для оптимизации корпоративных структур, что дает возможность значительно расширить рамки применения подобных моделей для практического совершенствования управления организациями.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Современные сложные системы управления (Липецк 2002, Старый Оскол 2002, Тверь 2004, Воронеж 2005); Теория активных систем (Москва 2001, 2003, 2005, 2007); Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций (Москва 2004, 2005, 2006, 2007); Управление инновациями (Москва 2006, 2007); Game Theory and Management (Санкт-Петербург 2008); 17th World Congress of the International Fédération of Automatic Control (Сеул 2008); Проблемы управления (Москва 2006, 2009), а также на научных семинарах в ИПУ РАН, МФТИ, ЦЭМИ РАН, Высшей школе экономики, Российской экономической школе.

Публикации. По теме исследования опубликовано 55 научных работ, включая 3 монографии, 1 учебное пособие и 15 статей в ведущих рецензируемых журналах.

Личный вклад автора. Все основные результаты получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 498 страниц текста, список использованной литературы включает 203 наименования.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной ра-

боты, определены цель и задачи исследования, охарактеризованы используемые методы, приведен обзор литературы, научная новизна и структура работы, краткое содержание ее разделов.

Ниже рассматриваются общие множества иерархий и критериев эффективности, что позволяет исследовать разнородные постановки и проводить комплексный анализ иерархических организаций универсальным математическим аппаратом. В частности, формально показано сведение моделей потери контроля к частному случаю предложенной общей модели, что позволяет проиллюстрировать новизну результатов исследования рисунком 1 (номерами обозначены главы настоящего исследования).

7. Численные методы оптимизации несимметричных иерархий

(дн;1Гонаиытя ппркховка)

I I \Еет и.«пи«ии,ип (едегированншо управлении

чных иерархии

Общность допустимых иерархических структур

Однородные функиян затрат

Секционные

Недревовядные иерархии

Симметричные деревья

Несимметричные деревья

^Конвейерные» иерархии

1. Модель организационных

затрат (вертикальная ось)

5. Модели и методы оптимизации иерархий, управляющих технологическими сетями (частая штриховка)

<5. Расширения модели несимметричных иерархий (дополнительные «иэмерення»)

Рис. 1. Модели оптимизации иерархических организаций

По горизонтальной оси схематично показана степень общности рассматриваемого множества иерархических структур, по вертикальной оси - степень общности оптимизируемых критериев эффективности. Левый нижний прямоугольник соответствует моделям потери контроля, которые ограничиваются исследованием симметричных

деревьев и частным случаем критерия эффективности (функции затрат). Слева в той же зоне симметричных деревьев расположено и большинство известных моделей. Их критерии эффективности также имеют конкретный вид, применимый в первую очередь к исследуемой предметной области, поэтому высота соответствующих прямоугольников (характеризующая общность) аналогична высоте прямоугольника, иллюстрирующего модели потери контроля, однако различные прямоугольники могут лежать в различных местах вертикальной оси.

В главе 1 проблема оптимального компромисса между простыми и сложными организациями формализована с помощью линейного дублирования. Чем сложнее внутренняя организация управленческой подсистемы, тем большую долю управления, оказываемого одними менеджерами, вынуждены дублировать другие менеджеры. Новизна такого подхода по сравнению с известными работами состоит в том, что рассматриваются более общие критерии эффективности. Это схематично проиллюстрировано на рис. 1 высотой вертикального отрезка.

Глава 2 посвящена решению задачи об оптимальном делегировании управления в достаточно общем виде. В настоящей работе полученные результаты применены только для решения задачи об оптимальном делегировании в симметричных организациях, соответствующая область на рис. 1 заштрихована вертикально.

В главе 3 рассмотрена модель, которая определяет зависимость матрицы дублирования от симметричной иерархической структуры управленческой подсистемы, приведены соответствующие интерпретации в терминах механизмов взаимодействия сотрудников (взаимного согласования и прямого контроля), описанных в работах по менеджменту. Это накладывает некоторые ограничения на общую модель главы 1, что проиллюстрировано на рис. 1 (прямоугольник с горизонтальной штриховкой, соответствующий главе 3, покрывает не всю вертикальную ось). В рамках модели разработаны методы, которые позволили найти оптимальную симметричную иерархию и соответствующее оптимальное делегирование. Предложенные методы использованы для исследования ряда известных организационных моделей, в частности моделей потери контроля, а также для количественной иллюстрации многих структурных эффектов, наблюдаемых в реальных организациях.

В главе 4 на функцию затрат накладывается ряд содержательно обоснованных допущений (добавление или удаление менеджеров влияет только на затраты их непосредственного начальника), что сужает общность рассматриваемых критериев эффективности, ограни-8

чивая их так называемыми секционными функциями, в которых затраты менеджера зависят от того, как именно подчиненная группа исполнителей разделена на подгруппы между непосредственными подчиненными (то есть от специфики деятельности тех групп исполнителей, которыми управляют непосредственные подчиненные менеджера). Ограничиваясь секционными функциями, можно обобщить модель симметричной организации (рассмотренную в главе 3) на широкий класс иерархий (включая несимметричные, недревовидные и т.п.), что проиллюстрировано на рис. 1 (соответствующий прямоугольник заполнен точками).

В главе 5 рассмотрен частный случай секционной функции затрат, зависящей от управления попарными связями исполнителей (что описывается взвешенной технологической сетью, характеризующей управление). На рис. 1 соответствующий прямоугольник иллюстрирует место главы 5 в общем исследовании: рассматривается частный случай секционной функции (зависящей от управляемых технологических связей) и управленческой иерархии (управляющей одним или несколькими связанными линейным бизнес-процессами).

В главе 6 предложен ряд расширений модели главы 4. Данные расширения ограничиваются частными случаями секционной функции затрат и иерархии, позволяя в то же время применить ряд теоретических результатов главы 4 для оптимизации на множествах иерархий с ограничениями; для формализации затрат на реструктуризацию и численного исследования динамических перестроений иерархической организации при внешних изменениях; для совместной оптимизации производственной и управленческой подсистем и оценки влияния технологических параметров на вид оптимальной управленческой иерархии. Поэтому глава 6 изображена на рис. 1 в виде параллелепипеда (третье измерение схематично иллюстрирует учет вышеуказанных аспектов иерархической организации).

В главе 7 исследована сложность и созданы численные методы (точные и эвристические алгоритмы) поиска оптимальных иерархий для широкого класса секционных функций затрат (древовидных иерархий, многопродуктовых конвейерных иерархий и т.п., на рис. 1 главе 7 соответствует прямоугольник с диагональной штриховкой).

Первая глава посвящена формализации, обоснованию и интерпретации общей модели организационных затрат. В иерархической организации выделена производственная и управленческая подсистемы, изображенные на рис. 2. Исполнители производственной подсистемы (обозначаемые н>1,...,и'л) могут влиять на управленческую подсистему сколь угодно сложным образом. Например, затраты

менеджеров могут зависеть от количества исполнителен п, от характеристик отдельных исполнителей, от взаимодействия в группах (множествах) исполнителей размера 2, 3 и т.д. В соответствии с системным подходом на рис. 2 влияние управленческой подсистемы на производственную ограничивается р видами управления - управленческого воздействия в объемах х = (хх. .¿Г)Т > 0. В вектор х могут входить, например, такие виды управления, как обработка и передача информации, принятие решений, контроль, принятие на работу и увольнение, обучение и разъяснение, планирование, решение проблем и т.п.

Дублирование управления

менеджерами /Hi,....от, управленческой подсистемы

Объемы управленческого воздействия х1..., jf рачлдошых видов

Взаимодействие групп исполнителей производственной подсистемы

Рис. 2. Производственная и управленческая подсистемы организации

В разделе 1.1 обосновано, что выделение аддитивных характеристик управленческого воздействия является достаточно общим подходом. Увеличивая размерность р, можно описать и прочие характеристики управленческого воздействия, например, качественные (определяющие, насколько эффективно управленческое воздействие) и временные (определяющие, когда оказывается управленческое воздействие), а также конкретизировать, на каких исполнителей или их группы это воздействие оказывается.

Критерий эффективности всей организации можно представить как функцию выручки за вычетом функции затрат производственной подсистемы W и функции затрат управленческой подсистемы М, причем первые две функции зависят только от управления х, но не от деталей организации подсистемы М (поскольку ее влияние на подсистему ^ограничивается компонентами вектора х): (1) Р(х, W, Щ = S(x, W) - CPUx, W) - Cmanag{x, W, M).

В результате обоснована общность следующего подхода. Фиксируется некоторая производственная система и вектор управления х

(который называется вектором управления производственной подсистемой). На первом этапе решается задача об оптимальной управленческой подсистеме (включая иерархию, полномочия менеджеров и т.п.), оказывающей заданное управленческое воздействие х с минимальными затратами. На втором этапе оптимизируется производственная подсистема и вектор управления х с учетом функции минимальных затрат на его реализацию управленческой подсистемой. Пример совместной оптимизации обоих этапов приведен в разделе 6.3. Однако в общем виде, в соответствии с поставленной целью, в настоящей работе рассматривается только первый этап - задача оптимизации иерархической управленческой подсистемы, оказывающей заданное управленческое воздействие х с минимальными затратами, которая ниже для краткости называется просто задачей об оптимальной организации:

(2) С,иг(*) = ттС_Дх,М),

где через ¿й обозначено множество допустимых организаций, а подсистема м'(х)е ¿И, доставляющая минимум (2), оптимальной организацией, реализующей х (фиксированный аргумент IV для краткости опускается). На рис. 2 задачу (2) можно проиллюстрировать как построение минимально затратной управленческой подсистемы М внутри верхнего эллипса при условии реализации управления х.

В разделе 1.2 рассмотрена функция затрат С„шт^х, М) = С,„(х1,.. .У) простейшей управленческой подсистемы, состоящей из единственного менеджера т. Приведен обзор современных эконометрических исследований, показывающих, что организации самых различных отраслей могут описываться многопродуктовыми функциями затрат, зависящими от объемов выпускаемой продукции. Несмотря на разнообразие типов такой продукции (от образовательных и транспортных услуг до сельского хозяйства и энергетики) математическая форма таких функций схожа, наиболее часто используется квадратичная форма:

(3) Ст(х) = 0.5(Ах,х)+(Ь,х) + С1,

где А - матрица квадратичных коэффициентов размера р хр, Ь -р-мерный вектор линейных коэффициентов, с'т - постоянные затраты. Функция затрат (3) с одной стороны достаточно гибка и универсальна, а с другой не слишком сложна, поэтому может быть идентифицирована на базе накопленных данных управленческого учета (например, может быть использована детализация затрат рабочего времени сотрудников).

Априори в настоящей работе предполагается лишь непрерывная дифференцируемость функции Ст(х). Конкретный вид функции не

фиксируется, так же, как и свойства выпуклости, однородности, неотрицательности и монотонности (содержательные интерпретации которых приведены в разделе 1.2, например, выпуклость соответствует аспециализации: дешевле поручить одному менеджеру планирование и контроль одних исполнителей, другому - других, чем поручить одному менеджеру все планирование, а другому - весь контроль).

В разделе 1.3 определена функция затрат управленческой подсистемы для случая нескольких менеджеров. Каждый из q менеджеров вносит свой вклад в управление х, то есть менеджерам т\, ...,тч делегированы такие векторы управления у\,..., у ¡¡с неотрицательными компонентами, что выполнено балансовое условие у\ + ... +уч =х. Распределение векторах на сумму векторовуи ...,Уд названо делегированием, а конкретный вектор у, - делегированием менеджера т,-.

Увеличение количества менеджеров приводит к усложнению управленческой подсистемы. Чем она сложнее, тем большую долю управления, реализуемого одними менеджерами, вынуждены дублировать другие менеджеры. Термин «дублирование» известен в математических моделях иерархических организаций, однако в настоящей работе рассматривается значительно более общая модель с произвольным линейным дублированием. На рис. 2 это проиллюстрировано взвешенным ориентированным графом между менеджерами. При единственном виде управления р= 1 каждое ребро от менеджера к менеджеру mJ характеризуется коэффициентом с/у, показывающим, какую долю управления }), делегированного менеджеру ту, вынужден повторять («дублировать») менеджер т„ то есть задана матрица дублирования Г> = (¿/у) размера цУ-ц. При нескольких видах управления р > 1 возникает вопрос, какую долю управления вида / менеджера т} дублирует менеджер /и,- при управлении вида к. Соответственно, рассматриваются коэффициенты дублирования , каждому ребру на

рис. 2 можно сопоставить матрицу =((/,*■') размера рхр, а вся

матрица дублирования О = (О,]) состоит из ц2 таких блоков.

Рассмотрим пример менеджера т\, подчиненного менеджеру т2, р= 1. тг составляет указания для т\, необходимые для обеспечения согласованности действий т\ с тем управлением у2, которое реализует т2 (трудоемкость составления указаний равна доле а\ от трудоемкости самого управления у2, а трудоемкость их прочтения и реализации менеджером т\ - доле аг от уг). т\ составляет отчеты о проделанной работе у\ (трудоемкость составления отчетов равна доле аз от а трудоемкость их прочтения и анализа менеджером т2 - доле а^ от у{). Матрица £> и схема взаимодействия выглядят следующим образом:

UU V at ^ + у г) [

составление отчетов - 0^,+ К/уЛ «Л- реализация указаний

В результате функция затрат управленческой подсистемы М

(4) C^g(x,D(M),y) = C„t(y,)+...+ Ст<(?,)

равна сумме функций затрат q менеджеров, зависящих от нагрузок с учетом дублирования менеджерами делегирований друг друга (формально y=Dy, где вектор делегирования у составлен из векторов делегирования менеджеровyi, ...,yq, а вектор у составлен из векторов нагрузки менеджеров .....Обосновано, что рассмотрение функции затрат (4) не ограничивает общности (можно описать и нелинейное дублирование, и неаддитивную по менеджерам функцию затрат, и вообще любую функцию, зависящую от вектора у). Предложенная линейная модель имеет удобную содержательную интерпретацию и позволяет описывать всевозможные взаимодействия менеджеров.

Обратная матрица D~x, называемая матрицей продуктивности, представляет собой обобщение модели межотраслевого баланса. Элементы D~l характеризуют объемы различных видов управленческого воздействия различных менеджеров, которые дополнительно требуются для того, чтобы данный менеджер оказал единицу управления данного вида. Эта дополнительная нагрузка соответствует организационным издержкам сложной подсистемы управления, например, необходимости контроля подчиненных и отчетов перед начальниками. В одномерном случае (р = 1) сумма d. элементов /-го столбца D~l

характеризует продуктивность менеджера т„ то есть вклад единицы нагрузки в итоговое «чистое» управление х, оказываемое на производственную подсистему:dlyl + ...+dqy4=x- В многомерном случае

(р > 1) Dty, +...+Dty = х> где А ~ сумма 1-х блоков D'x размерархр

-матрица продуктивности менеджера т,-;

Матрица дублирования D(M) и функции затрат менеджеров могут сколь угодно сложным образом зависеть от всех аспектов организации управленческой подсистемы М, в частности, от иерархии, типов менеджеров, порядка их взаимодействия и т.п. Не фиксируя вид подобных зависимостей, из общей задачи об оптимальной организации можно выделить внутреннюю задачу об оптимальном делегировании:

ч

(5) М = min С' (х,D) = min min С v) = min min У С (Д v).

V / »оигЧ / Mti, mamt\ > / П.*/.aw,» """«г4 ' J' МгЛ ^äW.wff '

В (5) при заданных функциях затрат и матрице дублирования внутрен-

ний минимум соответствует такому распределению вектора х между менеджерами (у\ + ...+уч = х), которое минимизирует затраты (4) управленческой подсистемы с учетом дублирования у = ТУу.

Вторая глава посвящена разработке математических методов оптимизации делегированного управления. Иерархия и другие параметры управленческой подсистемы М, влияющие на матрицу й(М), оптимизированы в главе 3 для случая симметричной организации.

В разделе 2.1 классические методы непрерывной оптимизации применены для решения задачи об оптимальном делегировании (5). Общая теорема Каруша-Куна-Таккера использована для доказательства необходимого условия: при любом оптимальном делегировании у\ >0, ...,уд>0 найдутся такие коэффициенты Лагранжа ^>0,

1 = 1,д, к -1,р, Я1, что выполнены уравнения критической точки лагранжиана ¿ = с4

(6) РфС.,{у,)т,.,ЧСт1{у,У) = {Ат,...,АтУ +е,

(7) У1+...+Уд=Х,

(8)^=0,

где (6) - условие равенства нулю частных производных лагранжиана, (7) - балансовые условия, (8) - условия дополняющей нежесткости. Внутренним называется решение со строго положительным делегированием у1 > 0,..., уч > 0, а краевым - решение, в котором хотя бы одно изрд неравенству > 0,...,уч > 0 выполнено как равенство.

Лемма 1. Функция С'татг(х,0) непрерывна по параметрам хиБ.

Лемма 2. Левосторонняя и правосторонняя производные функции С1„01 (*,£>) по £/*.' существуют и совпадают почти всюду. Если они

совпадают (в частности, если функции затрат менеджеров выпуклы), то функция С'тта!!{х,В) непрерывно дифференцируема по

Лемма 3. Если функции затрат менеджеров выпуклы, то левосторонняя и правосторонняя производные функции С'тя{х,В) по хк

существуют и совпадают почти всюду. Если они совпадают (в частности, если функции затрат менеджеров строго выпуклы и с/еГ О ф 0), то функция С'тЕ{х,П) непрерывно дифференцируема похк.

Леммы 1-3 показывают, что в (5) функция минимальных затрат С'т,те(х>В) (ПРИ оптимальном делегировании) зависит от параметров х

и В непрерывно, а во многих случаях и непрерывно дифференцируе-

мо. Это позволяет применять методы непрерывной оптимизации и для модели главы 3, минимизирующих С*шог(х,й) путем выбора оптимальной симметричной иерархии (от которой зависит матрица В), а также иллюстрирующей возможность оптимизации по типу и составу менеджеров, параметрам стимулирования и т.п.

Лемма 4. Если переменные части функций затрат менеджеров однородны степени у, то оптимальное делегирование О) однородно по х степени 1, л(х,П), в(х,0) - степени у- 1, С (х,П) ~ степени у.

Лемма 5. Если функции затрат менеджеров выпуклы, то функция выпукла по х. Если функции затрат менеджеров строго

выпуклы и ¿¡е(0 ф 0, то функция С'шюв (х, О) строго выпукла по х.

Лемма 6. Для монотонных функций затрат выполнено Я > О, функция С'ттаг (х, й) монотонна по Б. их.

Леммы 4-6 показывают, что свойства однородности, выпуклости, монотонности функций затрат менеджеров, зависящих от управленческой нагрузки, приводят соответственно к тем же свойствам функции минимальных затрат С'тате(х,й), зависящей от суммарного управленческого воздействия, оказываемого всей управленческой подсистемой. Это облегчает решение последующих задач (для наличия соответствующих свойств С' (х, И) достаточно предположить эти свойства

для функций затрат отдельных менеджеров) и позволяет сделать общие выводы о виде критической точки. Например, свойство выпуклости дает возможность использования теоремы Куна-Таккера о том, что критическая точка лагранжиана является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности делегирования.

В разделе 2.2 задача об оптимальном делегировании решена для функций затрат, представимых в виде квадратичных форм (3), которые часто используются в современных эконометрических моделях. В этом случае задача об оптимальном делегировании может решаться общими методами квадратичного программирования, однако, пользуясь спецификой ограничений, удалось разработать более эффективные методы решения. Фиксация произвольного набора «внутренних» компонент делегирования _у>0, которые могут быть не равны нулю, разрешает условия дополняющей нежесткости (8) (за счет выбора у=о - 0, в>0= 0), после чего удается из линейных уравнений (6), (7) явно найдены значения Л, 0=о и >>>о (в лемме 5 = (Ер, ..., Ер), 5>0 содержит лишь столбцы 5, соответствующие у>0; (В АБ)>0 - главный минор матрицы

Эт<Па^А\, ...,АЧ)Д соответствующий д-хь Ь = (Ь],...,Ьтч)т).

Лемма 8. Если невырождены матрицы б>0 = (фгкО)>о)-1 и

Теорема 3. Если функции затрат менеджеров строго выпуклы функций и 0, то для любого набора компонент у>о матрицы

С>0и Б невырождены.

Если в результате вычисления выражений леммы 8 все компоненты >'>о и 0=о оказались неотрицательными, то критическая точка найдена. Иначе можно исключить из набора _у>0 те компоненты, которые оказались отрицательными, и добавить в набор те компоненты, для которых оказались отрицательными соответствующие коэффициенты <?=о. В выпуклом случае для матриц достаточно большой размерности (рд < 1000) подобный метод решает задачу об оптимальном делегировании за 10-20 шагов, причем рост числа шагов при росте рд незначителен. В общем же случае невыпуклых функций можно сравнивать затраты в нескольких критических точках, найденных с нескольких различных начальных наборов у>о, получая эвристические методы решения, применимость которых нужно тестировать с учетом специфики исследуемой задачи. Приведен пример такого тестирования для одномерного управления. Для общих функций затрат, отличных от квадратичных форм, можно использовать аналогичную процедуру с тем исключением, что для каждого набора у>0 систему уравнений критической точки приходится решать численно (численное решение упрощается при наличии строгой выпуклости функций затрат).

В разделе 2.3 рассмотрены условия, при которых задачу об оптимальном делегировании можно свести к задаче с одномерным управлением (например, функции затрат, зависящие от линейной комбинации нагрузки по различным видам управления, и одинаковые элементы в строке матрицы Д,- - одинаковое дублирование различных видов управления). В этом случае получены аналитические результаты, в частности показано, что для монотонных функций положительность продуктивностей менеджеров является необходимым условием оптимальности внутреннего решения (со строго положительным делегированием каждого менеджера). Для монотонных строго выпуклых функций внутреннее решение легко находится простыми численными методами. Для однородных степени /? функций затрат аналитически найдено внутреннее делегирование и минимальные затраты, зависящие лишь от продуктивностей менеджеров (а не от всей О):

Рассмотрены иллюстративные примеры, поясняющие и саму задачу об оптимальном делегировании, и предложенные методы ее решения.

В разделе 2.4 рассмотрено условие блочной сбалансированности, при которой менеджеры разбиты на Н блоков (с количествами менеджеров д [,.... ,<7Л, д 1 + ... + qh = q, ниже в главе 3 блоки интерпретируются как уровни иерархической организации). Менеджеры одного блока имеют одинаковые функции затрат. Кроме того, все менеджеры блока и имеют одинаковые суммарные характеристики дублирования менеджеров блока у, «,у=й:

IЕсли дублирование менеджеров

изображать графом (см. рис. 2), то блочная сбалансированность означает, что для всех менеджеров блока V одинакова сумма весов ребер (коэффициентов дублирования), идущих в блок и, и для всех менеджеров блока и одинакова сумма весов ребер, идущих из блока V.

В предположении одинакового делегирования менеджеров одного блока исходную задачу об оптимальном делегировании можно заменить задачей об оптимальном делегировании по И блокам 2-, гу, = .г с функциями затрат блоков C¿zí)=qíCmi¡)(zl¡q¡), —.С^^С^^чй

и матрицей дублирования блоков £>'"' = (£)"'), и, V = 1,А, г = £)с°'г.

Лемма 11. Если в блочно-сбалансировапном случае в задаче об оптимальном делегировании по блокам величины Л, в\

являются критической точкой, то в исходной задаче об оптимальном делегировании менеджеров блочно-сшшетричное делегирование

=... = у = уи = ги/дц является критической точкой.

В силу леммы 11 в выпуклом случае оптимально блочно-симметричное делегирование, для нахождения которого достаточно решить задачу об оптимальном делегировании по блокам, после чего управление ги блока и поровну распределяется между его менеджерами. Задача об оптимальном делегировании по блокам решается методами, рассмотренными выше в главе 2.

Дублирование менеджеров в блочно-сбалансированной матрице может быть весьма сложным. Однако подобные сложные модели оказываются эквивалентными более простой модели, в которой при ди < д, менеджеров блока V можно однозначно распределить по менеджерам блока и, так что каждый конкретный менеджер блока и дублирует только / ди «закрепленных» за ним менеджеров блока и не

дублирует всех остальных. Поэтому сложную блочно-сбалансированную матрицу дублирования можно заменить эквивалентной (с точки зрения нагрузки и затрат) простой матрицей, в которой взаимодействие менеджеров разных блоков упорядочено.2

Теорема 4. Если Лай ф 0, то матрица дублирования О блочно-сбалансирована тогда и только тогда, когда блочно-сбалансирована матрица продуктивности П~1. При этом матрииа дублирования блоков Всо и матрица продуктивности блоков (¿Г )€0 невырождены и взаимнообратны: (О"')"' =(£>"')"''.

Теорема 4 показывает, что для блочной сбалансированности матрицы дублирования необходимо и достаточно блочной сбалансированности обратной матрицы продуктивности. В этом случае совпадают продуктивности менеджеров одного блока и т.п.

Результаты главы 2 используются в главе 3 при построении модели оптимальной симметричной организации.

Третья глава посвящена моделям и методам оптимизации симметричных организаций. Практически все известные модели ограничиваются исследованием симметричной иерархии, в которой менеджеры разделены на И > 1 уровней с количеством менеджеров на первом уровне > 1, на втором - qг2.1, и т.д., на верхнем - 1, причем в силу симметрии менеджеры одного уровня «одинаковы».

Рис. 3. Иерархическая структура симметричной системы управления

В разделе 3.1 управленческая подсистема Мрис. 2 структурирована симметричным образом, см. рис. 3. В терминах модели минимиза-

2 При нецелом /ци определено «частичное закрепление»: менеджер блока V может частично дублировать одного менеджера блока и, частично - другого. 18

ции управленческих затрат, предложенной в настоящей работе, симметричность менеджеров одного уровня означает тождественность их функций затрат и блочную сбалансированность матрицы дублирования (менеджеры одного уровня одинаковы в смысле суммарного влияния на менеджеров другого уровня).

Для выпуклого случая результаты раздела 2.4 позволяют заменить блочно-сбалансированную матрицы на простую и доказать типовые предположения модели древовидной симметричной иерархии (которые считаются априори выполненными в большинстве известных работ): менеджеры одного уровня равнонагружены, каждый менеджер взаимодействует только с менеджерами своего уровня, а также с начальниками и подчиненными,3 то есть отсутствуют «боковые» межуровневые взаимодействия.4

В результате для решения задачи об оптимальном делегировании по менеджерам достаточно общими- методами главы 2 решить задачу об оптимальном делегировании по уровням 2! + ... + = х с матрицей дублирования уровней £)"''=(£)"„') и функциями затрат уровней

(где 2 = О'"1 г - вектор нагрузки уровней, см. раздел

2.4), после чего делегирование хи уровня и поровну распределяется между менеджерами этого уровня.

Через 31 =(г\+...+г[)1 х' обозначено правило делегирования, то

есть доля управления вида /, которая делегирована менеджерам уровня и и более низких уровней, 1 = \,р, и = 1, А. Любое делегирование порождает правило 0 = ¿>у' < ¿1 <#<... 1, и наоборот, любое такое правило порождает делегирование ^ На рис.4 по гори-

зонтали изображен отрезок длины х1, равной объему управленческого воздействия вида /, оказываемого на производственную подсистему. Над ним надстроен прямоугольник высоты 1, площадь которого также равна х1. В результате площади прямоугольников на рис. 4 соответствуют объемам управления, которые делегированы менеджерам иерар-

3 При и > V за каждым из ди менеджеров уровня и «закреплено» ду/ди менеджеров уровня V, что в терминах иерархии обычно интерпретируется как подчинение ду/ди менеджеров нижестоящего уровня V одному менеджеру вышестоящего уровня и

(при нецелом ду/Яи можно определить частичное подчинение).

4 При наличии таких взаимодействий (например, если на рис. 3 менеджер т^ц контролирует менеджера т ) их можно заменить на классические древовидные

(например, перепоручить этот контроль менеджеру т9Г))г заменив матрицу

дублирования на простую (что не меняет нагрузок и затрат - см. раздел 2.4).

хии на рис. 3. Всем менеджерам первого уровня делегирована доля <5/ -<50' общего управления х1, что изображено двумя горизонтальными

линиями на высоте <50' =0 и площадь полосы = («5/ -<50').х' разделена на одинаковых частей по г[ /д1. Аналогично для всех уровней.

4=1

С,

¿1 = 0.

Г; I С]г

Чх

Чх

К

Чх

Чх

к

Чх

Чх

X'

Рис. 4. Делегирование управления х' вида I в симметричной иерархии

В терминах менеджмента вертикальное взаимодействие менеджеров разных уровней можно интерпретировать как прямой контроль, а горизонтальное взаимодействие менеджеров одного уровня - как взаимное согласование. В этих терминах матрица дублирования уровней Ос" является наглядным и удобным инструментом описания иерархических взаимодействий. Например, ее можно представить в виде й"' = ЕрП + то есть нагрузка уровней г = Б""г скла-

дывается из управленческого воздействия г, оказываемого на производственную подсистему + ... +гИ = х), нагрузки взаимного согласования и нагрузки прямого контроля Осп'г. В разделе 3.1 подробно описаны возможные взаимодействия менеджеров иерархии, приведены соответствующие содержательные интерпретации и виды зависимости матрицы Осо'(Ъ, ди (или обратной матрицы продуктивности уровней (йсЫ)~1) от иерархии дн.

Рассмотрено взаимодействия менеджеров различных уровней, в котором управленческое воздействие, оказываемое менеджером высокого уровня на исполнителя, должно «проходить» через промежуточные уровни управления. Другими словами, исполнители взаимодействуют с менеджерами первого уровня в объеме суммарного управленческого воздействия х. Менеджеры первого уровня отделяют - распознают - делегированную первому уровню часть управления г\,

а остальное передают «наверх», затрачивая на распознавание некоторые усилия. Далее менеджерам второго уровня поступает объем управления х-ги среди которого менеджеры второго уровня распознают делегированный им объем управления г2 и передают все остальное «выше» (затрачивая на это усилия), и так далее. Описанная схема соответствует обычно наблюдаемой на практике «фильтрации» управления (например, решения проблем) снизу вверх, когда большая часть управления реализуется менеджерами низких уровней, а «наверх» эскалируется только управление, которое данный уровень иерархии не оказывает. Наоборот, вмешательство менеджеров некоторого уровня в управление, реализуемое более низкими уровнями, может состоять в планировании и контроле. Рассмотренное взаимодействие менеджеров описывается следующей матрицей дублирования:

ГР Ф, .

»К Е+Р. +Р,„., ... ф.

(10) £>"' =

•К Р, ... Ф,

% Ъ ... Р„

iE +Р +Р Ф Ф

Ч» Ун — Ep+Ph^r + Pltrlllj

где матрицы Фь...,Фа-1 характеризуют нагрузку по распознаванию различных видов управления на уровнях 1,А — 1; матрицы Тг,...,1?/, характеризуют нагрузку по контролю с уровней управления 2матрица Pu ^ характеризует нагрузку менеджеров уровня

u = l,h по взаимному согласованию делегированного им управления, а матрица Р^ - нагрузку, связанную с контролем этого управления

вышестоящими уровнями. Аналогично (10) легко описать и прочие варианты взаимодействия менеджеров симметричной организации.

С учетом рассмотренной модели взаимного согласования и прямого контроля матрица дублирования Dco>(h,qu ...,qh) зависит от симметричной иерархии h, q\, ..., qh- Ниже в работе индекс «col» опускается для упрощения записи, поскольку речь идет только о матрице дублировании уровней. В результате задача об оптимальной симметричной организации принимает вид:

(ll)C' (x) = min min C'(x,D) = min min min Y -q„C(zJq\

\ > mams\ ) ^^^......mg V ' J ......<,„eH г,> 0.....r.ilk 1" " 4 " "

I,+...+»,=■!

где z = Dz, внутренняя задача об оптимальном делегировании по уровням решается методами главы 2, в результате чего находится функция затрат С (x,D) иерархии при оптимальном делегировании,

которая ниже в главе 3 минимизируется выбором оптимальной иерархии - оптимального количества уровней h и оптимального количества

менеджеров на этих уровнях qi,...,qh.

В конце раздела 3.1 приведена одна из возможных моделей симметричной производственной подсистемы, которая используется в ряде содержательных интерпретаций в главах 3, 4. Рассмотрено детальное управление w) исполнителем weg в рамках группы gcW, причем в силу симметрии считается, что в группах одного размера управление одинаково: x(g\ w') = x(g", w") = x{k) для любых

w'e g\ w'e g", где k~\,n. Подробно исследована модель двухуровневой иерархии Н с подчинением исполнителя (уровня 0) менеджеру (уровня 1), в которой коэффициенты дублирования управления группой g растут при разбиении ее исполнителей на более мелкие подгруппы S[j(m{),... ,sn(mk)t подчиненные различным менеджерам т\,...,ть, что интерпретируется как рост взаимного согласования между начальниками группы при росте их количества.

При выполнении ряда ограничений (в целом обосновываемых из симметрии) показано, что оптимально делегировать менеджеру только управление подчиненными исполнителями, то есть подчиненной частью группы g, что позволяет не вдаваться в детали, а сразу рассматривать агрегированную модель, в которой вектор управления состоит из суммарного управления всеми группами размеров 1, 2,..., и. Кроме того доказано, что матрица дублирования агрегированной модели будет сбалансированной, явно найдена возрастающая зависимость коэффициентов дублирования от количества менеджеров (убывающая зависимость от размера группы исполнителей, подчиненных одному менеджеру). Таким образом, исходя из детальной модели взаимного согласования в симметричной организации, показано, что производственное взаимодействие исполнителей в группах влечет взаимодействие менеджеров, которое в рамках одного уровня описывается сбалансированной матрицей взаимного согласования (дублирования), причем ее элементы возрастают по числу менеджеров.

В разделе 3.2 предложена методика решения задачи об оптимальной иерархии (11). Дискретная задача г* (х) = min min С' (x,D) (с

manag v ! ......^ > I

натуральными значениями qi,...,qh) заменена непрерывной задачей с q„—,qh е (0;+оо). Доказано, что во многих случаях нулевое или бесконечное количество менеджеров неоптимально,3 а в достаточно большой организации (при достаточно большом управлении х) замена дискретной задачи непрерывной приводит к малой погрешности. В

5 Например, затраты в нуле и бесконечности могут быть бесконечны. 22

итоге задача поиска оптимального количества менеджеров может быть решена методами непрерывного анализа - оптимальная точка удовлетворяет условиям первого порядка - должны обнуляться производные С'тт(;(х,0) по Находя <?1,из этих условий (аналитически

или численно) и округляя их до ближайшего целого, получим субоптимальную иерархию при заданном И. После чего остается задача оптимизации по одному параметру - количеству уровней И, которую легко решить численно (в большинстве моделей И не превышает одно-го-двух десятков) или аналогичным непрерывным методом.

Далее в разделе 3.2 описанная общая методика применена для аналитического решения задачи об оптимальной организации в случае, когда управление сводится к одномерному, а функции затрат однородны, то есть функция затрат С' (х,й) при оптимальном внутреннем

делегировании определяется из выражения (9) следующим образом:

1 хд

(12) С' (*,£>) =--:-х-+ (а.С{ +...+дкС'),

где продуктивность с1и(ди) уровня и снижается при росте количества

менеджеров этого уровня ди (например, за счет роста нагрузки по взаимному согласованию) и не зависит от количества менеджеров на остальных уровнях. Оптимальная иерархия определяется теоремой 5.

Теорема 5. Если функции возрастают и внутрен-

нее делегирование оптимально, то оптимальная иерархия определяется из системы уравнений:

имеющей единственное решение при вогнутых функциях диЗи(диУ'("~" ■ Следствие. При вогнутых функциях Рост х увели-

чивает ф,, а рост постоянных затрат снижает </ь ..., д^

Лемма 17. Если при росте количества менеджеров ци уровня и их нагрузки растут как д" (D{qi,...,gl>) = diag(q",...,д")Отп), 0<«<1-1//У, то Зи(ди) = ^игю1д~а, теорема 5 дает единственное решение, в котором:

1. Нагрузка одного менеджера равна (1-а-1/и не

зависит от дублирования,

2. При а > О затраты и количество менеджеров растут сверхлинейно как х1,11""',

5. Количество непосредственных подчиненных менеджера (норма управляемости)равна г] = /¿^(С*.)^')"'.

Лемма 17 конкретизирует результат теоремы 5 для случая, в котором задана функция д", характеризующая рост нагрузки менеджеров

уровня и по взаимному согласованию при росте количества менеджеров ди. Если степень роста а (сложность взаимного согласования) достаточно велика, то оптимальной будет цепочка менеджеров <71 = ... = ф, = 1 с матрицей дублирования уровней Dmin произвольного вида. Если же 0<а<1-1//7, то лемма 17 определяет нетривиальную оптимальную иерархию, зависящую от с?,.,с?4т>д- максимальных продуктивностей уровней 1,..., /г (рассчитанных при £> = £>„;„, то есть при 91 = ... =<?л=1).

Если матрица £>„,„ соответствует модели распознавания и контроля (10), на всех уровнях одинаковы коэффициенты нагрузки по распознаванию, контролю и взаимному согласованию, то с учетом одномерного управления (р -1) матрица £)„,„ характеризуется тремя величинами р, <р, у. Для этого случая явно найдено оптимальное количество уровней, соответствующая оптимальная иерархия и оптимальное внутреннее делегирование.

Теорема 6. Если матрица Втгп соответствует модели распозна-вания и контроля (10), величины рт (ри, у/и и С'и = С ' > 0 не зависят от

и, И, выполнено р > (р, р > цг, (р Ф уг, то оптимально внутреннее делегирование, г=((/3 - у/) Кр - (р)~]'а, а оптимальное количество уровней равно одному из двух целых чисел, ближайших к Ъ{(р1у/)1{{\- в)1пг).

Следствие. Если у/ < <р, то с ростом уровня и снижается количество менеджеров ди и нагрузка уровня ги, возрастает делегирование одного менеджера ги /ци, снижается нагрузка одного менеджера по взаимному согласованию г°;г / , постоянна нагрузка одного менеджера по прямому контролю г"' и общая нагрузка Ии / ди.

В конце раздела 3.2 показано, что при многомерном управлении в большинстве случаев задача решается только численными методами; проиллюстрирован эффект вертикальной специализации - менеджерам более высоких уровней выгодно делегировать более сложные виды управления; показано, что наличие дублирования является причиной сверхлинейного роста затрат управленческой подсистемы.

В разделе 3.3 аналитические результаты раздела 3.2 использованы для иллюстрации того, что в рамках предложенной модели может исследоваться не только иерархия и делегирование, но и прочие важные аспекты иерархической организации. Например, в матрице дублирования и в функции затрат можно учесть тип менеджера и решить

задачу оптимизации состава - выбора для каждого уровня менеджеров наилучшего типа. В результате показано, что на более высоте уровни оптимально назначать менеджеров с большим типом (например, более квалифицированных) и более высокой нагрузкой.

Далее в разделе 3.3 рассмотрены модели оптимального стимулирования, в которых ключевым параметром является прямой контроль менеджеров,6 позволяющий снизить «дополнительные» затраты на их стимулирование за счет снижения неопределенности о реальном «качестве работы» менеджеров. Предложенная модель иерархической организации позволяет находить оптимальный баланс между объемом мониторинга подчиненных и затратами менеджеров, определять, каким уровням менеджеров поручать прямой контроль, и т.п. Например, показано, что контроль предыдущего уровня следующим более эффективен, чем контроль всех менеджеров с верхнего уровня.

В конце раздела 3.3 показано, что общие методы настоящей работы позволяют достаточно просто исследовать модели потери контроля и обобщать их, преодолевая принципиальные недостатки. Например, с помощью матрицы дублирования можно учесть в функции затрат нагрузку по мониторингу нижестоящих менеджеров, который в моделях потери контроля предполагается «бесплатным». В целом в разделе 3.3 обоснована общность моделей и методов оптимизации, предложенных в настоящей работе, а также эффективность их применения для исследования частных моделей иерархических организаций.

В разделе 3.4 исследована сравнительная статика - зависимость оптимальной иерархии и оптимального делегирования (явно найденных в разделе 3.2) от следующих параметров модели:

- а е (0; 1 - 1 / /?) - сложность взаимного согласования,

- <р е (0; 1) - сложность распознавания и эскалирования,

- цг е [0; (р) - сложность контроля подчиненных (оппортунизм).

Рисунки 5-8, приведенные ниже, иллюстрируют изменение оптимальной организации при отклонении параметров от базовой точки а = 0.15, <р = 0.15, ц! = 0, С/= 1, /? = 2, х = 100 (при ее изменении качественные выводы сохраняются). В результате сделаны выводы о поведении оптимальной нормы управляемости (количества непосредственных подчиненных менеджера), количества уровней, соотношения организационных издержек прямого контроля и взаимного согласования, количества менеджеров и затрат многоуровневой иерархии. В частности, если в рамках модели необходим прямой контроль подчи-

6 Например, анализ планов и отчетов о проделанной работе, периодический мониторинг деятельности менеджера.

ненных у/ > 0 (например, для мониторинга качества их работы, предотвращения оппортунизма - преследования собственных целей вопреки целям организации и т.п.), то достаточно большая организация1 фактически разделится на несколько частей, топ-менеджеры которых согласуют управление друг с другом. Наоборот, если можно обойтись без контроля подчиненных у = 0, то организация с единственным топ-менеджером может быть оптимальной при сколь угодно большом управлении х. Если при росте количества менеджеров на любом уровне возрастает их нагрузка по взаимному согласованию (а > 0), то оптимальные затраты управленческой подсистемы сверхлинейно растут при росте х, поэтому затраты на взаимное согласование являются фактором, ограничивающим рост иерархических организаций. Параметры межуровневого взаимодействия менеджеров <р, у определяют форму иерархии, а параметры функции затрат - затраты одного менеджера. В разделе 3.4 также изложен ряд других аналогичных выводов.

Рис. 5. Рост организации при росте управления х = 1, 5, 20, 50, 100

20 60 «□ оазлоеово о я « бо ао о а « ю ш о ш « ю ю

Рис. 6. Изменение организации при а = 0.025, 0.05, 0.075, 0.1, 0.15

Рис. 7. Изменение организации при (р = 0.1, 0.15, 0.2, 0.25

Рис. 8. Изменение организации при у/ = 0, 0.005, 0.01, 0.03

7 При достаточно большом управлении х. 26

Далее в разделе 3.4 результаты сравнительной статики соотнесены с качественными результатами эмпирических исследований в области менеджмента. Использованы систематизированные результаты управленческого консалтинга в области реорганизации предприятий МнйгЬе^ Н. (1979, 1983), в которых в качестве одной из ключевых характеристик выделено соотношение прямого контроля и взаимного согласования. В модели оно растет по а, снижается по <р, существенно не зависит от прочих параметров. Поэтому параметр а е (0; 1 - 1//?) соотнесен с бюрократизацией (стандартизацией), затрудняющей взаимное согласование (вертикальная ось на рис. 9). Параметр <р е (0; 1) соотнесен с децентрализацией (сложностью), затрудняющей распознавание (горизонтальная ось на рис. 9). В результате показано, что в этих координатах вид оптимальных иерархий модели соответствует основным типам оргструктур, предложенным в работах МиНгЬив Н. (1979, 1983): простая структура, адхократия, профессиональная бюрократия, дивизиональная форма, механистическая бюрократия, см. рис. 9. Таким образом, модель, предложенная в настоящей работе, применима для количественного описания разнообразных зависимостей, известных из практики управленческого консалтинга в сложных иерархических организациях.

X

гг

га о. ■х.

о 0.05

Простая структура (прямой контроль)

Профессиональная бюрократия ¡стандартизация знаний и навыков)

тандартиза

1ыпуска)

0 05 0.10 0.15 О.20 0.25 0.30

Децентрализация (сложность) Рис. 9. Зависимость организации от сложности распознавания <р и сложности согласования а

Механистическая бюрократия (стандартизация рабочих процессов)

Раздел 3.4 завершается численными расчетами, иллюстрирующими сохранение основных качественных закономерностей при использовании различных функций роста взаимного согласования по количеству менеджеров (например, функций, предложенных в конце раздела 3.1 для управления группами исполнителей различного размера). Также иллюстрируется, что на вид оптимальной управленческой подсистемы существенно влияют характеристики многомерного управления исполнителями (например, сложность, характеризующая распределение объема управленческого воздействия между группами исполнителей малого и большого размеров).

В целом глава 3 показывает, что предложенная общая модель гибко описывает симметричные организации и позволяет решать задачу об оптимальной иерархии и делегировании, а также расширять ее для оптимизации состава, стимулирования и т.п. Для одномерного управления и однородных затрат оптимальная иерархическая организация найдена аналитически. Разработанные методы применимы и для решения множества других классов задач.

Четвертая глава посвящена моделям и методам оптимизации несимметричных иерархий.

Для расширения модели иерархической организации главы 3 на гораздо более сложный и общий несимметричный случай, в главе 4 ограничен класс функций затрат (см. рис. 1 выше), и рассмотрена задача об оптимальной иерархии. При этом за рамками модели главы 4 оставлены другие аспекты организации (например, состав и стимулирование менеджеров). Глава 6 показывает, что и эти аспекты могут рассматриваться посредством расширения модели главы 4.

В разделе 4.1 приведено формальное определение иерархии и затрат менеджера. А именно, через V = IV и М обозначено все множество сотрудников организации (исполнителей и менеджеров), через Е^УхМ - множество ребер подчиненности, где ребро (г,т)е Е означает, что сотрудник г>еУ является непосредственным подчиненным менеджера те М, а т- непосредственным начальником сотрудника V. Соответственно V подчинен т, если имеется цепочка ребер непосредственного подчинения, идущая из V в т. Тогда иерархия, управляющая заданным множеством исполнителей IV, определена как ориентированный граф подчиненности Я = (йГиМ,.Е) без циклов, в котором любой менеджер из М имеет подчиненных и найдется топ-менеджер, которому подчинены все исполнители. Через обо-

значено множество всех таких иерархий.

Основным ограничением является существование менеджера, ко-

торому подчинены все исполнители (имеется так называемый централизованный контроль). Как показывает модель главы 3, оптимальной может быть иерархия с несколькими топ-менеджерами, каждому из которых подчинена часть исполнителей. Однако для не слишком больших организаций оптимальны именно иерархии с централизованным контролем, которые чаще всего и наблюдаются на практике в реальных организациях. Поэтому глава 4 ограничивается введенным определением. В главе 6 рассматриваются некоторые результаты для случая релаксации условия централизованного контроля.

Как и выше, группой исполнителей 5 с IV называется любое непустое подмножество множества исполнителей. Группу исполнителей, подчиненную менеджеру т в иерархии Н, будем обозначать через А-Н(т) с Ж (считается, что исполнителю подчинена группа из него самого). Тогда легко показать, что х/Ху) с ¿/Х"0> если V подчинен т, группа 5//(от) делится на подгруппы, подчиненные непосредственным подчиненным менеджера т. В соответствии с классическим определением теории графов, деревом называется иерархия, в которой у каждого сотрудника, кроме одного (корня), ровно один непосредственный начальник. Иерархия будет деревом тогда и только тогда, когда непосредственным подчиненным любого менеджера подчинены непересекающиеся группы исполнителей. Ограниченной норме управляемости соответствует определение г-иерархии, в которой у каждого менеджера не более г непосредственных подчиненных. Среди деревьев максимальную норму управляемости имеет двухуровневая иерархия с единственным менеджером, которому подчинены все исполнители.

Определена секционная функция затрат менеджера те М в иерархии Н = (1ГиМ,Е)е П(1У), имеющая вид ф/ХУ]),..., ян^ь)) > 0, где У],...,V*; - все непосредственные подчиненные менеджера т, ■З/ХЫ-лХ^) ~ подчиненные им группы, а с(-) - функция, ставящая в соответствие любому набору групп неотрицательное действительное число. Затраты иерархии с(Н) = Д( с(л'„ (у,),..., )) определены

как сумма функций затрат всех ее менеджеров. Оптимальной иерархией названа иерархия Н* с минимальными затратами: е

Поясним определение секционной функции на примере фрагмента иерархии, изображенного на рис. 10. Менеджеру т через двух непосредственных подчиненных т\ и т2 (с подчиненными группами {ц>и\у2} и {м^ж,} соответственно) подчинена группа исполнителей я^т) = Согласно определению секционной функции,

затраты менеджера т не зависят от того, как именно т\ и т2 взаимо-

действуют с подчиненными исполнителями (например, напрямую, как на рис. 10, или с помощью одного или нескольких подчиненных менеджеров). Таким образом, затраты менеджера зависят только от того, каким образом подчиненная группа исполнителей распределена между непосредственными подчиненными (в примере рис. 10 =

~ {н'ьИ'^и {-№3^4}, поэтому затраты т составят с({м>им>2},{мз,м4})). То есть предполагается, что затраты менеджера зависят только от той «секг/ш/» («отдела», «звена» и т.п.), которая подчинена ему непосредственно. В примере на рис. 10 секция состоит из самого менеджера т и его непосредственных подчиненных т\ и т2, а от остальной части иерархии затраты менеджера не зависят.

Для секционной функции затрат менеджера вместо записи Фи(уi). —,sn(vk)) часто используется упрощенная запись ф\, ...,sk). При этом подразумевается, что для любого набора групп ...,sk определена величина c(si,.соответствующая затратам некоторого менеджера, непосредственным подчиненным которого подчинены группы sh...,sk. Таким образом, для любой иерархии Не. Cl(W) определены затраты, поэтому можно выбрать оптимальную иерархию с минимальными затратами. Задача поиска такой иерархии ниже называется задачей об оптимальной иерархии и состоит в том, чтобы «надстроить» над исполнителями некоторое количество менеджеров и определить подчиненность исполнителей и менеджеров таким образом, чтобы минимизировать заданную секционную функцию затрат.

В разделе 4.1 показано, что класс секционных функций достаточно широк и с математической, и с содержательной точки зрения, поскольку секционные функции могут описывать затраты реальных организаций. Это и обуславливает интерес к исследованию поставленной задачи об оптимальной иерархии.

В разделе 4.2 исследован вопрос о том, при каких условиях модель оптимальной симметричной организации главы 3 может быть расширена на несимметричные иерархии с помощью формальной

модели секционной функции затрат. Приведены содержательно прозрачные условия, при выполнении которых модель затрат главы 3 описывается подклассом секционных функций. Для этого использована модель управления исполнителями, описанная в конце раздела 3.1, в которой имеется управление x(g) каждой группой исполнителей g с W. В несимметричном случае не предполагается равенство x(g) для всех групп равного размера, правило делегирования можно обобщить с помощью доли S[g, s)e [0; 1] управления группой g, которую менеджер с подчиненной группой л может оказывать самостоятельно. Свойство роста правила делегирования с ростом уровня в несимметричном случае обобщается с помощью свойства монотонности dig, si) < dig, s2) для любых .у, с s2 (чем большее подразделение подчиненно менеджеру, тем большую долю управления он может осуществлять).

В результате можно определить управление группой g, делегированное менеджеру любой иерархии. Например, для деревьев = Если <%м,) = 0,

..., dig, si) = 0, то непосредственные подчиненные не управляют группой g, поэтому менеджеру делегируется управление *(g)£(g.s)(|gr>sM£|)' исходя из размера подчиненной подгруппы

|gns| и значения правила %g,s). Увеличивая dig, Si),..., dig, sk),

■можно перераспределить часть этого управления подчиненным. Показано, что с помощью подобного правила можно описать практически любое делегирование управления любой группой (за исключением делегирования управления в группе, которая вообще не пересекается с группой исполнителей, подчиненной менеджеру).

При фиксированном правиле делегирования dig, л) объем управленческого воздействия, делегированный любому менеджеру любой иерархии, определяется секционной функцией yg(su--., Sk). При локальном изменении, например при удалении менеджера, делегированное ему управление перераспределяется непосредственному начальнику, поскольку именно в его секции (отделе, звене, департаменте и т.п.) и произошло локальное изменение. Делегирование остальных менеджеров не меняется. Именно это и есть основное условие секционности - локальные изменения должны затрагивать только непосредственного начальника, а не всю иерархию, то есть правило делегирования должно быть фиксированным. В реальных организациях это соответствует фиксированным правшам распределения управленческих полномочий, сложившимся в данной сфере деятельности и остающимся неизменными при изменении иерархии. Правило «за проблемы подразде-

ления отвечает его непосредственный начальник» можно считать достаточно широко распространенным, что позволяет рассчитывать на соответствие секционных функций реальным организациям. Понятно, что такой подход не обеспечивает оптимальности делегирования (при котором удаление одного менеджера отражается на нагрузке всех остальных), но он может быть более применимым, например, из-за простоты и универсальности правила делегирования (которые могут не быть учтены в модели минимизации затрат).

Таким образом, при содержательно обоснованных ограничениях (фиксированном правиле делегирования) секционной будет любая функция затрат менеджера, зависящая (произвольно сложным образом) от делегированных управлений всевозможными группами исполнителей gçW. Если функция затрат зависит от нагрузок с учетом дублирования управления остальных менеджеров, то свойство секционное™ также может сохраняться при ограничениях на дублирование (например, для деревьев один из вариантов состоит в одинаковом дублировании управлений всех подчиненных и всех неподчиненных менеджеров). Данные ограничения показывают, при каких условиях модель затрат менеджеров, содержательно обоснованная в главе 1, может использоваться для исследования несимметричных организаций с помощью секционных функций затрат.

В разделе 4.3 найден вид оптимальной иерархии для различных классов секционных функций затрат. Рассмотрены функции затрат, которые не убывают при наличии «лишнего» непосредственного подчиненного управляющего частью группы другого непосредственного подчиненного: Mvz),--. А/(п)) < ф^), эф2),...гЧ,Аук)) при любых î/Xv 1) с sfl(v2). В результате доказан ряд теорем.

Теорема 7. Существует оптимальная иерархия, в которой всем менеджерам подчинены различные группы исполнителей, все сотрудники подчинены одному высшему менеджеру, среди непосредственных подчиненных менеджера ни один не подчинен другому.

Секционная функция c(si, ...,sk) монотонна по группам, если она не убывает при расширении групп и добавлении новых групп.

Теорема 8. Для монотонной по группам функции затрат существует оптимальное дерево.

Обобщены свойства выпуклости/вогнутости функции затрат, зависящей от делегирования (модель главы 3): секционную функцию

8 Для выполнения этого свойства недостаточно монотонности функции затрат, зависящей от делегированного менеджеру управления (добавление нового непосредственного подчиненного может снизить нагрузку и затраты менеджера). 32

затрат назовем сужающей, если для любого менеджера от с непосредственными подчиненными к> 3 можно без увеличения затрат иерархии переподчинить нескольких сотрудников из VI,..., V* новому менеджеру т\ и непосредственно подчинить пц менеджеру т. Секционную функцию затрат назовем расширяющей, если при любых вышеуказанных переподчинениях затраты иерархии не уменьшаются.

Теорема 9. Для сужающей функции затрат существует оптимальная 2-иерархия.

Теорема 10. Для расширяющей функции затрат оптимальна двухуровневая иерархия.

Усиливая требование сужения (определяя сильно сужающие секционные функции), можно показать оптимальность так называемой последовательной (или конвейерной) иерархии, в которой менеджеру непосредственно подчинен один менеджер и один исполнитель.

Теорема 11. Для сильно сужающей функции затрат существует оптимальная последовательная иерархия.

Последовательная иерархия с секционной функцией затрат используется при оптимизации сборочных конвейеров, а также в некоторых информационных моделях (см. раздел «актуальность темы»).

Соотношение классов секционных функций изображено на рис. 11 вместе с соответствующими типами оптимальной иерархии. Разработанный аналитический аппарат позволяет решать задачу об оптимальной иерархии для классов секционных функций, каждый из которых весьма обширен и может использоваться для исследования задач оптимизации иерархий в различных предметных областях.

секционные

Рис. 11. Соотношение классов и оптимальные иерархии для монотонных по группам, сужающих и расширяющих функций

В разделе 4.4 рассмотрен частный случай секционной функции, при котором требуется единственный вид управления отдельными исполнителями, то есть для любого weW задана некоторая мера исполнителя ß{w) = x{{w})> 0 (характеризующая объем управленческого воздействия, оказываемого на этого исполнителя), а секционная функция затрат фь...А) зависит от мер групп9 su...ysk (а не от всевозможных характеристик их состава). Рассмотрены следующие базовые функции затрат, однородно зависящие от мер: (I) ф,,...,st) = [//(.v,У+...+M(skУ -max(M(s,)",...yju(sk)")]',

(И) Ф,.....

(III) ф„..., ) = [//(S)" / max(//(j, У У) - Ч',

(IV) =

(V) ф, ,...,st) = ß{s)a / min^j, y,...,M(st У),

где фь... а) - затраты менеджера от, непосредственным подчиненным которого подчинены группы s = si u ... usk, - группа, подчи-

ненная менеджеру т, ^¡(si),...,fi(sk),ju(s) - меры соответствующих групп, a,ß> 0 - некоторые числовые параметры функции затрат.

Качественное поведение функций затрат (I)-(V) соответствует различным видам группового взаимодействия, описанным во многих работах по менеджменту. Функция (I) описывает затраты в группе с полулидером, функция (II) - без лидера, функция (III) - с лидером, функция (IV) - индивидуальную работу с непосредственными подчиненными, функция (V) - отрицательное влияние разнородных непосредственных подчиненных. Кроме того, для частного случая функции (IV) задача о поиске оптимального дерева эквивалентна задаче построения оптимального бинарного кода; частный случай функции (V) соответствует функции затрат, исследованной в моделях потери контроля; функция (I) может описывать затраты конвейерной сборки.

Функции затрат (I)-(V) исследованы общими аналитическими методами раздела 4.3 (а также углубленными методами оптимизации однородных функций Губко (2006)), что показывает применимость этих методов для решения задач об оптимальной иерархии из различных предметных областей. Результаты приведены на рис. 12 (ось абсцисс соответствует ае [0; 2], ось ординат-/? е [0; 2]). Схематично изображены последовательная иерархия, двухуровневая иерархия и 2-иерархия. Цифрами обозначена оптимальная норма управляемости г,

9 Мера группы равна сумме мер входящих в нее исполнителей. 34

при этом на рис. 12 оптимальна симметричная г-иерархия, в которой каждый менеджер делит подчиненную группу на г подгрупп равной меры между непосредственными подчиненными. При некоторых значениях параметров оптимальны несимметричные иерархии.

Рис. 12. Оптимальная иерархия для функций (1)-(У) (слева направо)

Пятая глава посвящена разработке моделей и методов оптимизации иерархий, управляющих технологическими сетями.

Рассмотрена секционная функция затрат менеджеров, при которой требуется управлять попарными взаимодействиями исполнителей: для любых и>',м>"<= Ж задан ^-мерный вектор х(и>',м>")еЯ?, характеризующий объемы управленческого воздействия, требующегося для успешного взаимодействия исполнителей у/, , то есть задана технологическая сеть, позволяющая описывать не только управление физическими производственными потоками (сырье, полуфабрикаты, материалы, инструменты, энергия и т.п.), но и произвольными бизнес-процессами, протекающими в производственной подсистеме (например, информационными потоками документооборота).

В разделе 5.1 формализовано определение секционных функций затрат, зависящих от технологических потоков. Потоком х(л') любой группы 5 с IV названа сумма потоков внутри группы:

= Х| -1 ■ Рассмотрено одно из естественных правил

делегирования, распределяющих управление потоками между менеджерами: менеджер т управляет внутренними потоками - теми из потоков подчиненной группы, которые не управляются его подчиненными. Рассмотрено дублирование, при котором менеджер т не управляет внешними потоками, выходящими из подчиненной группы, но вынужден дублировать управление ими (передавать информацию вышестоящим менеджерам, доводить распоряжения до исполнителей).

Глава 5 ограничивается вышеописанным делегированием и дублированием, рассматривая неотрицательную монотонно неубывающую функцию затрат С( ) (одинаковую для всех менеджеров), зависящую от суммы внутренних и внешних потоков менеджера.

Общий аппарат оптимизации секционных функций раздела 4.3

применен для анализа оптимальных иерархий, управляющих потоками; приведены примеры, иллюстрирующие, что может быть оптимальной недревовидная иерархия, наибольшие потоки должны управляться менеджерами нижних уровней, для многокомпонентных потоков даже при вогнутых функциях С(-) двухуровневые иерархии могут быть неоптимальными из-за эффекта специализации менеджеров на управлении потоками разных типов, и т.п.

В разделе 5.2 рассмотрена технологическая сеть, названная симметричной линией, которая представляет собой линейный бизнес-процесс с одинаковыми потоками. Например, первый исполнитель получает сырье, выполняет первую операцию, передает второму, второй исполнитель действует аналогично, и так далее, последний исполнитель выдает готовую продукцию. Доказано, что для симметричной линии оптимальна древовидная иерархия управления, причем в случае выпуклой функции затрат С(-) у всех менеджеров имеется одинаковое количество непосредственных подчиненных (точнее, в силу дискретности, отличающееся не более чем на единицу). Для одномерных потоков * и однородной функции затрат С(х)=ха явно найдена оптимальная норма управляемости г(а) (у каждого менеджера г(о) непосредственных подчиненных с точностью до дискретности). Обоснована одна из возможных интерпретаций параметра а - нестабильность внешней среды. При росте а оптимальная иерархия меняется от двухуровневой иерархии до максимально высокого 2-дерева.

В разделе 5.3 определены функционально связанные производственные линии: имеется / симметричных линий, производящих некоторые продукты и состоящих из одинакового числа п исполнителей, причем первые исполнители всех линий связаны функциональными связями (например, обменом опытом по порученной им производственной операции), так же связаны вторые исполнители, третьи и т.д. Предполагается, что функциональные связи также имеют вид симметричной линии (исполнитель обращается по поводу порученной ему операции только к исполнителям «соседних» производственных линий). В результате технологическая сеть выглядит так, как показано на рис. 13. Слева направо идут производственные линии (с потоками Л > 0), «поперек» них - функциональные линии (с потоками в> 0).

Рис.13. Дивизиональная (слева) и функциональная (справа) иерархии 36

Формализованы широко известные в менеджменте дивизиональ-ные, функциональные и матричные иерархии. На рис. 13 справа приведен пример симметричной функциональной иерархии, в которой менеджеры нижнего уровня управляют функциональными линиями, то есть создано 9 департаментов, продуктовым взаимодействием которых управляют стратегические менеджеры более высоких уровней. Слева приведен пример симметричной дивизиональной иерархии, в которой менеджеры нижнего уровня управляют производственными линиями, то есть создано 3 дивизиона, функциональным взаимодействием которых управляет топ-менеджер. В матричной иерархии над исполнителями надстроены и дивизионы, и департаменты. В известных математических моделях обосновываются преимущества одних типов иерархии перед другими, но не сравниваются всевозможные иерархии.

Содержательно обоснована однородная степени «функция затрат менеджеров с постоянными затратами (сс на один поток независимо от величины потока Я, в), зависящая от управляемых потоков одного типа (при управлении потоками обоих типов затраты бесконечны).

В разделе 5.4 доказана оптимальность «типичных)> иерархий.

Теорема 12. Для функционально связанных производственных линий и рассматриваемой функции затрат найдется оптгшальная дивизиональная, функциональная или матричная иерархия.

Сравнение затрат типичных иерархий на рис. 14 показывает, что менеджеры нижних уровней должны управлять наибольшими потоками, снижая тем самым затраты стратегических менеджеров. При небольших постоянных затратах, больших потоках Л, в (например, низкой стандартизации производства, требующей большего вмешательства менеджеров) или большой нестабильности а выгодно создавать матричную иерархию - управлять всеми потоками на нижних уровнях, несмотря на рост количества менеджеров. Таким образом, матричная иерархия устойчива к снижению стандартизации, стабильности и постоянных затрат (при соответствующих изменениях факторов матричная иерархия останется оптимальной). Наоборот, дивизиональная и функциональная иерархии устойчивы к повышению стандартизации, стабильности и постоянных затрат. Кроме того, можно сделать выводы об изменении вида оптимальной иерархии в результате горизонтальной интеграции (например, покупка аналогичного бизнеса в другом регионе, рост /)> вертикальной интеграции (например, покупка организаций, поставляющих сырье, рост п) и т.п.

Рис. 14 показывает, что дивизиональная иерархия устойчива по

отношению к горизонтальной интеграции и росту объемов производства без усиления функциональных связей. Вертикальная интеграция и усиление функциональных связей могут привести к реструктуризации. Функциональная иерархия устойчива по отношению к вертикальной интеграции и росту функциональных связей. Горизонтальная интеграция и рост объемов производства могут привести к реструктуризации.

Многочисленные качественные описания подобных закономерностей приведены в работах по менеджменту. В разделах 5.3, 5.4 эти закономерности исследованы количественно, что подтверждает соответствие модели реальным экономическим системам.

Шестая глава посвящена расширениям модели несимметричных иерархий, то есть модели главы 4 с секционной функцией затрат.

В разделе 6.1 формальное определение иерархии раздела 4.1 обобщено - вместо множества иерархий Q(W), каждая из которых содержит топ-менеджера с подчиненной группой W из всех исполнителей, рассматривается множество иерархий £2(st,...,si), управляющих заданными группами исполнителей si, ...,si (в иерархии имеется /> 1 менеджеров с подчиненными группами si,..., si). Это могут быть или отдельные организации (в случае непересекающихся si,..., si), или заданные подразделения, или технологические иерархии (например, структура сборки изделий s\, ...,siиз деталей W).

Обобщение теоремы 9. Для сужающей функции затрат существует оптимальная 2-иерархия Не ¡, ..., si), управляющая группами исполнителей s\, S/.

Обобщение теоремы 11. Для сильно сужающей функции затрат существует оптимальная последовательная иерархия Н е £2(ii,..., si), управляющая группами исполнителей S\, ...,$/.

Последовательная иерархия может соответствовать, например, многопродуктовому сборочному конвейеру, оптимальность которого доказана таким образом для сильно сужающих функций затрат (например, для функции (I) раздела 4.4, описывающей затраты на сборку).

В разделе 6.2 рассмотрена динамическая модель, в которой при изменении внешних параметров может изменяться оптимальная иерархия. На множестве иерархий введена метрика, описывающая затраты на реструктуризацию, содержательно соответствующая минимальному количеству ребер подчинения (с учетом весов подчиняемых исполнителей), которое необходимо изменить для перестроения иерархии. Наименьшие затраты на создание структуры «с нуля» (с пустой структуры) имеет простейшая двухуровневая иерархия.

Для имитационного моделирования на каждом шаге можно выбирать сложную иерархию, минимизирующую статические затраты, или «усеченные» иерархии (с одним или несколькими удаленными уровнями менеджмента), которые имеют большие статические затраты, но дешевле перестраиваются (вплоть до наиболее гибкой двухуровневой иерархии). Проанализирована реструктуризация многопродуктового сборочного производства с функцией (I) раздела 4.4, описывающей затраты на сборку деталей (в статике оптимальна последовательная иерархия, которая найдена алгоритмами раздела 7.3). Динамика описывается изменением набора собираемых продуктов (групп деталей Ji,..., sj). Показано, что при интенсивных изменениях набора собираемых продуктов выгодно поддерживать простую двухуровневую иерархическую структуру, усложняя ее по мере ослабления интенсивно-

сти изменений. Таким образом, в нестабильной внешней среде иерархические организации с простой структурой оптимальны за счет приспособляемости, в стабильной же среде, наоборот, организации со сложной иерархической структурой оптимальны за счет высокой эффективности (низких организационных издержек).

В разделе 6.3 рассмотрена модель, в рамках которой проведена совместная оптимизация производственной и управленческой подсистемы. При заданной цене р> 0 оптимизирован объем выпуска //> О, который может произвольно распределяться между п > 1 независимыми исполнителями с одинаковой степенной функцией затрат. Прибыль производственной подсистемы равна /?(//, +... +¡ип)~-...—, где

е> 1, снижение ¿характеризует технологический прогресс. Для описания затрат управленческой подсистемы использована функция затрат (II) раздела 4.4, зависящая от мер исполнителей Ц\ ,...,//„, в которой степень прямого контроля агхарактеризует оппортунизм сотрудников.

Для совместной оптимизации максимизирована разность выручки и затрат производственной и управленческой подсистем по параметрам производственной подсистемы п, Ц\,...,Ц„ и по управленческой иерархии. Рост числа исполнителей позволяет снизить производственные затраты, но влечет рост затрат управленческой иерархии. Оптимальная организация балансирует эти факторы. Обосновано, что в рассматриваемых областях параметров можно ограничиться симметричными организациями, то есть одинаковым выпуском всех исполнителей и однородной иерархией (с точностью до дискретности).

Доказано, что снижение уровня оппортунизма а способствует построению сложных многоуровневых организаций (растущих как «в ширину» за счет количества исполнителей, так и «в высоту» за счет снижения нормы управляемости менеджеров), рост оппортунизма -оптимальности отдельных исполнителей. Технологический прогресс (снижение £) при небольшом оппортунизме приводит к росту и усложнению организации, а при большом оппортунизме - к упрощению организации вплоть до отдельных исполнителей. При средних значениях оппортунизма последствия технологического прогресса могут определяться степенью затратности управления /?: при малозатратном управлении организация усложняется, при затратном - упрощается вплоть до отдельных исполнителей. Рост цены р приводит к механическому росту организации - сохраняется соотношение числа исполнителей и менеджеров и форма управленческой иерархии. Эти результаты совпадают с эмпирическими наблюдениями работ по менеджменту.

Седьмая глава посвящена численным методам оптимизации не-

симметричных иерархий, то есть алгоритмам решения задачи главы 4.

В разделе 7.1 рассмотрена задача об оптимальном дереве, имеющем минимальные затраты среди всех деревьев. Для секционной функции затрат общего вида приведена нижняя оценка сложности (растущая экспоненциально даже для задачи о 2-дереве), показывающая, что при 20 и более исполнителях не существует точного алгоритма решения с приемлемой сложностью, а погрешность эвристических алгоритмов в худшем случае сколь угодно велика. Предложен алгоритм, позволяющий решать задачу для 17-19 исполнителей.

Далее рассмотрен случай симметричных исполнителей, то есть секционная функция с($1,..., затрат менеджера, не меняющаяся при перестановке исполнителей (зависящая не от состава подгрупп $1,... а, а лишь от количества исполнителей в этих подгруппах). Разработан алгоритм, решающий задачу приблизительно для 100 исполнителей с приемлемой сложностью, и приведена нижняя оценка, показывающая, что для существенно большего п точного алгоритма с приемлемой сложностью не существует, а погрешность эвристических алгоритмов в худшем случае сколь угодно велика. Для задачи об оптимальном г-дереве построен точный алгоритм со сложностью не выше п .

В разделе 7.2 предложены эвристические алгоритмы решения задачи об оптимальном дереве. Для симметричных исполнителей разработаны два алгоритма со сложностью порядка п2 и п \ogn. Доказано, что на отдельных классах секционных функций алгоритмы дают точное решение. Предложена методика тестирования алгоритмов в общем случае. Для функции затрат (И) первый алгоритм дает среднюю погрешность примерно 1 %, максимальную - 10 %, второй - на порядок лучшие результаты 0.1 % и 1 % соответственно. Погрешность, найденная путем сравнения результатов с точным алгоритмом для п до 50, сначала возрастает, а затем убывает, что позволяет предположить приемлемую погрешность эвристических алгоритмов при любых п. Алгоритмы обобщены на случай секционной функции затрат общего вида. Сложность первого алгоритма втрое превосходит сложность точного алгоритма поиска 2-дерева, сложность второго - в 2и раз, что позволяет решать задачу при и < 25 (сложность точного алгоритма уже недопустимо высока) с приемлемой погрешностью для функции затрат (II). Для других функций затрат результаты тестирования алгоритмов могут быть другими - в каждом конкретном случае подбираются наилучшие для данной задачи эвристические методы решения.

В разделе 7.3 разработаны алгоритмы, позволяющие найти последовательную иерархию с минимальными затратами из множества .5/) иерархий, содержащих заранее заданные группы ¿1,...,

Для решения задачи в худшем случае требуется (п + 1) 2"3' операций, построен алгоритм с такой сложностью. Численные эксперименты на случайных данных показывают, что в среднем алгоритм решает задачу с приемлемой сложностью, если п, 1 < 15.

Теорема 13. Для симметричных исполнителей задача об оптимальной последовательной иерархии Нпосл е ..., 5/), управляющей набором групп • • •> мощности три, ИР-полна.

Таким образом, не существует алгоритма решения, полиномиального по числу групп 1 (если РФ ИР). Построен алгоритм с оценкой сложности, экспоненциальной по / и не зависящей от п. В среднем сложность алгоритма приемлема, если количество групп /<15, а количество исполнителей п не превосходит десятков тысяч.

В Приложении приведены акты о внедрении результатов диссертационной работы в территориально-распределенной корпорации, реализующей комплексные проекты в области информационных технологий (ЗАО «Орбита»); корпорациях, реализующих комплекс промышленно-консалтинговых услуг (ЗАО «РОЭЛ Групп», ЗАО «ПМСОФТ»); а также в корпорации, осуществляющей исследования и разработки в области биотехнологий (НП ЦВТ «ХимРар»). Внедрение разработанных моделей и методов позволило оценить выгоды от модернизации иерархической организационной структуры и затраты на ее проведение, сравнить типовые варианты структур, оценить влияние различных сценариев развития корпораций (например, горизонтальной и вертикальной интеграции) на эффективность существующей организационной структуры и т.п. В результате удалось повысить обоснованность и качество стратегических решений по реорганизации и оптимизации корпоративных оргструктур.

Основные результаты и выводы

Исследован общий класс критериев эффективности и множеств допустимых иерархических структур, что позволило решить задачи из различных предметных областей с помощью предложенной общей модели и разработанных методов синтеза оптимальных иерархических организаций. В результате получены теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новый крупный вклад в развитие моделей и методов оптимизации иерархических организаций:

1. Предложена математическая модель оптимизации иерархических организаций, в которой задача об оптимальной структуре и 42

функциях управленческой подсистемы сведена к задаче минимизации затрат менеджеров при условии оказания ими заданного управленческого воздействия на производственную подсистему.

2. Разработаны аналитические и численные методы решения задачи об оптимальном распределении (делегировании) управления, необходимого производственной подсистеме, между менеджерами управленческой подсистемы с учетом возможного дублирования ими деятельности друг друга.

3. Предложена модель зависимости матрицы дублирования управления от вида симметричной иерархии (от количества менеджеров на каждом из уровней), количественно описывающая механизмы взаимодействия сотрудников (взаимное согласование менеджеров одного уровня и прямой контроль менеджеров различных уровней), которые качественно исследованы в работах по менеджменту.

4. Разработаны методы поиска оптимальной симметричной иерархии менеджеров и соответствующего оптимального делегирования управления.

5. С помощью вышеуказанных методов оптимизации исследованы известные организационные модели и количественно описаны и объяснены структурные закономерности, наблюдаемые в реальных организациях, что позволяет анализировать сравнительную статику (определять тенденции изменения организации при монотонном изменении сложности выпускаемого продукта, стабильности и враждебности внешней среды, ставок оплаты труда менеджеров и т.п.).

6. Разработан аналитический аппарат оптимизации иерархий, характеризуемых секционными функциями затрат, позволяющий исследовать модели несимметричных организаций.

7. Разработан и исследован комплекс прикладных моделей оптимизации иерархических организаций, описываемых секционными функциями затрат: модели группового взаимодействия сотрудников; модели иерархий, управляющих сетью технологических взаимодействий; модели дивизиональных, функциональных и матричных иерархий. Определены условия устойчивости различных иерархий к горизонтальной и вертикальной интеграции и другим изменениям, что позволяет сравнивать и выбирать варианты изменения существующей организационной структуры.

8. Предложены расширения модели секционной функции затрат, позволившие проиллюстрировать применение созданных методов для оптимизации многопродуктовых конвейерных иерархий; численного решения задачи об оптимальном балансе между затратами иерархии и издержками ее перестроения в динамичной внешней среде; совмест-

ной оптимизации всей иерархической организации (включая производственную и управленческую подсистему, объемы выпуска и т.п.) и оценки влияния технологических параметров.

9. Исследована сложность и разработаны точные и эвристические алгоритмы поиска оптимальных иерархий на множестве древовидных и последовательных (конвейерных) иерархий, что позволяет численно исследовать секционные функции затрат, для которых неизвестны аналитические методы оптимизации.

10. Эффективность разработанных моделей и методов оптимизации иерархических организаций подтверждена актами о внедрении в ряде российских корпораций, которое позволило повысить обоснованность и качество стратегических решений по реорганизации и оптимизации корпоративных оргструктур.

Основные публикации по теме диссертации

1. Воронин A.A., Мишин С.П. Математическое моделирование устойчивого развития организационных систем / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». -М.: ИПУ РАН, 19 - 21 ноября 2001. Том 1. С. 28 - 29.

2. Воронин A.A., Мишин С.П. Моделирование структуры организационной системы. Об алгоритмах поиска оптимального дерева И Вестн. Волг, ун-та. 2001. Сер. 1: Математика. Физика. С. 93 - 113.

3. Мишин С.П. Структура многоуровневой системы в изменяющейся внешней среде / Труды международной конференции «Теория активных систем». - М.: ИПУ РАН, 19-21 ноября 2001. Том 1.С.54-55.

4. Воронин A.A., Мишин С.П. Модель оптимального управления структурными изменениями организационной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. №8. С. 136 - 150.

5. Воронин A.A., Мишин С.П. Алгоритмы поиска оптимальной структуры организационной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 120- 132.

6. Губко М.В., Мишин С.П. Оптимальная структура системы управления технологическими связями / Материалы международной конференции «Современные сложные системы управления». - Старый Оскол: СТИ, 27 - 29 ноября 2002. С. 50 - 54.

7. Мишин С.П. Оптимизация иерархических структур / Материалы международной научной конференции «Современные сложные системы управления». - Старый Оскол: СТИ, 27 - 29 ноября 2002. С. 100- 105.

8. Мишин С.П. Оптимальное управление структурой организационной системы / Сборник трудов международной конференции

«Современные сложные системы управления». - Липецк: ЛГТУ, 12 -14 марта 2002. С. 101-102.

9. Мишин С.П. Стоимость реорганизации структуры системы // Тр. кафедры математ. анализа и теории функций Волг, ун-та. 2002. С. 178- 198.

Ю.Воронин А.А., Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. - М.: Институт проблем управления РАН, 2003. - 214 с.

И.Мишин С.П. Динамическая задача синтеза оптимальной иерархической структуры // Управление большими системами. 2003. Выпуск 3. С. 55-75.

12. Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры / Труды международной конференции «Теория активных систем». - М.: ИПУ РАН, 17 - 19 ноября 2003. Том 1. С. 57-58.

13.Мишин С.П. Об оптимальности иерархии управления несвязной технологической сетью / Труды XLVII научной конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». - М.: МФТИ, 26 - 27 ноября 2004. С. 102.

14. Мишин С.П. Оптимальные иерархии управления в экономических системах. - М.: ПМСОФТ, 2004. - 205 с.

15.Мишин С.П. Подходы к формированию сильного равновесия в торговой сети / Материалы международной научной конференции «Современные сложные системы управления». - Тверь: ТГТУ, 2004. С. 411 -413.

16.Мишин С.П. Оптимальное стимулирование в многоуровневых иерархических структурах // Автоматика и телемеханика. 2004. №5. С. 96-119.

17. Мишин С.П. Модель оптимальной структуры контроля производственной цепи / Труды IV международной конференции «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций». - М.: ИПУ РАН, 18 - 20 октября 2004. С. 154 - 159.

18. Мишин С.П. Математическая модель оптимизации иерархии, управляющей технологическим взаимодействием / Сборник трудов международной конференции «Современные сложные системы управления». - Воронеж: ВГАСУ, 30 мая - 2 июня 2005. С. 142 - 144.

19. Мишин С.П. Модель сравнения дивизиональной, функциональной и матричной иерархий I Труды V международной конференции «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций». - М.: ИПУ РАН, 18-20 октября 2005. С. 264 - 271.

20. Мишин С.П. Оптимальность «конвейерной» иерархии управления // Управление большими системами. 2005. Выпуск 11. С. 60-74.

21. Мишин С.П. Оптимальность децентрализации управления несвязной технологической сетью // Вестник Самарского государственного авиационного университета. 2005. №1(7). С. 90 - 100.

22.Мишин С.П. Оптимальные организационные иерархии / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». - М.: ИПУ РАН, 16-18 ноября 2005. С. 32 - 34.

23.Мишин С.П. Оптимальный состав «исполнителей» организационной системы / Труды XXVIII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». - М.: МФТИ, 26 ноября 2005. С. 168.

24.Mishin S. Optimal Organizational Hierarchies in Firms. - Moscow: Institute of Control Sciences, 2005. - 127 p.

25. Мишин С.П. Модель иерархии управления технологическими потоками // Системы управления и информационные технологии. 2006. №1(23). С. 4- 10.

26. Мишин С.П. Модель построения оптимальной многоуровневой организации / Труды международной конференции проблем управления. - М.: ИПУ РАН, 19 - 22 июня 2006. С. 202.

27.Мишин С.П. Модель построения оптимальной многоуровневой организации / Пленарные доклады и избранные труды международной конференции проблем управления. - М.: ИПУ РАН, 19-22 июня 2006. С. 487-490.

28.Мишин С.П. Оптимальная иерархия, управляющая заданными группами исполнителей // Автоматика и телемеханика. 2006. №7. С. 144-160.

29. Мишин С.П. Оптимальная норма управляемости для степенной функции затрат // Автоматика и телемеханика. 2006. №8. С. 154 -168.

30. Мишин С.П. Оптимальность древовидной иерархии управления симметричной производственной линией // Проблемы управления. 2006. №6. С. 36-42.

31. Мишин С.П. Оптимизация многоуровневых организаций / Труды VI международной конференции «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций». - М.: ИПУ РАН, 10-12 октября

2006. С. 318-323.

32. Мишин С.П. Оптимизация параметров функционирования организации / Труды международной научно-практической конференции «Управление инновациями». - М.: ИПУ РАН, 13 - 15 ноября 2006. С. 339-342.

33.Мишин С.П. Подходы к моделированию оптимальных многоуровневых организаций // Управление большими системами. 2006. Выпуск 12-13. С. 109-117.

34. Мишин С.П. Вид многоуровневой организации в зависимости от внешних условий / Труды VII международной конференции «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций». - М.: ИПУ РАН,

2007. С. 125- 128.

35. Мишин С.П. Влияние технологического развития на многоуровневую организацию / Труды международной научно-практической конференции «Управление инновациями». - М.: ИПУ РАН, 2007. С. 414-416.

36.Мишин С.П. Методика совместной оптимизации механизмов стимулирования и иерархии управления многоуровневой организацией / Труды конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». - М.: МФТИ, 2007. С. 178 - 180.

37.Мишин С.П. Модель иерархии управления технологическими взаимодействиями исполнителей // Вестник Воронежского архитектурно-строительного университета. 2007. Вып. 2. С. 145 - 149.

38.Мишин С.П. Оптимальные иерархии управления в экономических системах // Экономика и математические методы. 2007. №3. С. 85 -101.

39. Мишин С.П. Оптимальный состав и структура многоуровневой активной системы / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». - М.: ИПУ РАН, 2007. С. 68 -71.

40. Мишин С.П. Подходы к совместной оптимизации состава, структуры и параметров функционирования многоуровневой организации / II школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами». Сборник трудов II конференции. - Воронеж: Научная книга, 2007. Том 1. С. 51 - 57.

41. Мишин С.П. Условия оптимальности дивизиональной, функциональной и матричной иерархии управления // Автоматика и телемеханика. 2007. №4. С. 101 - 125.

42.Mishin S. Optimal Organizational Hierarchies in Firms // Journal of Business Economics and Management 2007. VoI.VIII. No.2. P. 79 - 99.

43.Бакшаев A.A., Мишин С.П. Оптимальные многоуровневые организации для степенных функций затрат // Автоматика и телемеханика. 2008. №12. С. 119-138.

44. Воронин А.А., Губко М.В., Мишин С.П., Новиков Д.А. Математические модели организаций: учебное пособие. - М.: ЛЕНАНД, 2008. - 360 с.

45.Мишин С.П. «Принцип неопределенности» при выборе квалификации менеджера в зависимости от позиции в иерархии / Институциональные основы инновационных процессов: материалы четвертых Друкеровских чтений. - М.: Доброе слово. 2008. С. 294 - 304.

46.Мишин С.П. Моделирование оптимальной многоуровневой организации для аддитивных вкладов менеджеров // Автоматика и телемеханика. 2008. №7. С. 98 - 112.

47. Мишин С.П. Модель неблагоприятного отбора менеджера в зависимости от позиции в иерархии / V всероссийская школа-семинар

молодых ученых управление большими системами. - Липецк, 21-24 октября 2008. Том 1. С. 230 - 236.

48.Мишин С.П. Модель оптимального стимулирования менеджеров многоуровневой организации в условиях неопределенности // Управление большими системами. 2008. Выпуск 22. С. 168 - 206.

49.Goubko M., Mishin S. Models of Optimal Organizational Hierarchies / Collected abstracts of papers, presented in the International Conference "Game Theory and Management". - SPbU: Gradual School of Management, 2008. P. 132-134.

50.Goubko M., Mishin S. Optimal Hierarchies in Firms: a Theoretical Model / Proceedings of the 17th World Congress of the IF AC. - Seoul, Korea, July 6 - 11, 2008. P. 2962 - 2967.

51.Губко M.B., Мишин СЛ., Новиков Д.А., Новиков К.В. О проведении Интернет-опросов для идентификации активных систем / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». - М.: ИЛУ РАН, 17-19 ноября 2009. Том 1.С.95-98.

52. Мишин С.П. Оптимизация многоуровневой иерархии для типов менеджеров, распределенных по закону Парето / Труды IV международной конференции по проблемам управления. - М.: ИПУ РАН, 26 - 30 января 2009. С. 1226 - 1233.

53.Goubko M., Mishin S. Optimal Hierarchies in Firms: a Theoretical Model / Contributions to Game Theory and Management. Vol. II. Collected papers presented on the Second International Conference Game Theory and Management / Editors L. Petrosjan and N. Zenkevich. - SPbU: Graduate School of Management, 2009. P. 124 -136.

54. Мишин С.П. Свойства оптимального делегирования управления в организации // Управление большими системами. 2011. Выпуск 34. С. 165-199.

55. Мишин С.П. Оптимальное делегирование управления для функций затрат, представимых в виде выпуклых квадратичных форм // Управление большими системами. 2011. Выпуск 35.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, заключается в следующем: в [1, 2, 4, 5, 10] автору принадлежат формальная математическая постановка и решение задачи оптимизации иерархии для секционных функций затрат, в [6] - применение общего аппарата оптимизации для анализа иерархий, управляющих технологическими сетями, в [43] - постановка и аналитическая часть решения задачи совместной оптимизации производственной и управленческой подсистем, в [44] - разделы 4.2 и 4.3, посвященные оптимизации иерархий с секционными функциями затрат и модели управления технологическими сетями, включая дивизиональные, функциональные и матричные иерархии, в [49] - анкета для проведения опроса менеджеров, в [51-53] - теоретические модели оптимизации иерархий. 48

Введение.

1. Модель организационных затрат.

1.1. Производственная и управленческая подсистемы.

1.1.1. Исполнители и менеджеры.

1.1.2. Управленческое воздействие.

1.1.3. Задача об оптимальной управленческой подсистеме.

1.1.4. Задача об оптимальной производственной подсистеме.

1.2. Функция затрат менеджера.

1.2.1. Многопродуктовые функции затрат.

1.2.2. Непрерывная дифференцируемость функции затрат.

1.2.3.Выпуклость функции затрат.

1.2.4. Однородность функции затрат.

1.2.5.Неотрицательность и монотонность функции затрат.

1.3. Функция затрат управленческой подсистемы.

1.3.1. Делегирование и дублирование.

1.3.2. Свойства матрицы дублирования.

1.3.3. Функция затрат с учетом дублирования.

1.3.4. Типы менеджеров и матрица дублирования.

1.3.5. Задача об оптимальном делегировании.

2. Методы оптимизации делегированного управления.

2.1. Свойства оптимального делегирования.

2.1.1. Критическая точка задачи об оптимальном делегировании.

2.1.2. Непрерывность и дифференцируемость функции оптимальных затрат.

2.1.3. Свойства оптимального делегирования для однородных функций затрат.

2.1.4. Свойства оптимального делегирования для выпуклых функций затрат.

2.1.5. Свойства оптимального делегирования для монотонных функций затрат.

2.2. Методы оптимизации для квадратичных форм.

2.2.1. Аналитическое решение уравнений критической точки.

2.2.2. Алгоритм поиска оптимального делегирования в строго выпуклом случае.

2.2.3. Эвристические алгоритмы в невыпуклом случае.

2.2.4. Свойства функции оптимальных затрат.

2.2.5. Свойства оптимального внутреннего делегирования.

2.2.6. Подходы к решению в вырожденном случае.

2.2.7. Подходы к решению для произвольных функций затрат.

2.3. Методы оптимизации для одномерного управления.

2.3.1. Оптимальное делегирование для квадратичных функций затрат.

2.3.2.Примеры оптимального делегирования.

2.3.3.Внутреннее делегирование для монотонных строго выпуклых функций затрат.

2.3.4.Внутреннее делегирование для однородных функций затрат.

2.4. Методы оптимизации для блочно-сбалансированного дублирования.

2.4.1. Сбалансированные матрицы дублирования и функции затрат.

2.4.2.Блочно-сбалансированные матрицы дублирования и функции затрат.

2.4.3.Упрощение блочно-сбалансированных матриц дублирования.

2.4.4. Свойства блочно-сбалансированных матриц продуктивности.

3. Модели и методы оптимизации симметричных организаций.

3.1. Модель симметричной иерархической организации.

3.1.1. Делегирование в симметричной иерархической организации.

3.1.2. Дублирование менеджеров одного уровня (взаимное согласование).

3.1.3. Дублирование менеджеров различных уровней (прямой контроль).

3.1.4.Матрица дублирования уровней симметричной иерархической организации.

3.1.5.Матрица продуктивности уровней симметричной иерархической организации.

3.1.6. Функция затрат симметричной иерархической организации.

3.1.7. Симметричная организация, управляющая группами исполнителей.

3.1.8. Мод ель взаимного согласования в симметричной двухуровневой организации.

3.2. Методы оптимизации симметричной иерархической организации.

3.2.1. Общий метод решения задачи об оптимальной иерархии.

3.2.2.Метод решения для однородных затрат и одномерного управления.

3.2.3.Метод решения для однородных функций продуктивности.

3.2.4. Зависимость оптимальной организации от матрицы дублирования уровней.

3.2.5. Задача об оптимальной организации в случае многомерного управления.

3.2.6.Оптимальная двухуровневая организация.

3.3. Классические организационные модели.

3.3.1. Mo дели оптимизации типов и состава менеджеров.

3.3.2.Модели оптимального стимулирования менеджеров.

3.3.3.Модели потери контроля.

3.4. Сравнительная статика.

3.4.1. Оптимальная норма управляемости.

3.4.2.Оптимальное количество уровней.

3.4.3. Оптимальный прямой контроль и взаимное согласование.

3.4.4. Оптимальное количество менеджеров и затраты организации.

3.4.5.Оптимальная иерархия.

3.4.6. Сопоставление с эмпирическими исследованиями менеджмента.

3.4.7. Двухуровневая иерархия для различных функций дублирования.

3.4.8. Двухуровневая иерархия для многомерного управления.

4. Модели и методы оптимизации несимметричных иерархий.

4.1. Формальная модель оптимальной иерархии.

4.1.1. Иерархия, управляющая множеством исполнителей.

4.1.2. Группы исполнителей, подчиненные менеджерам иерархии.

4.1.3.Виды иерархий и норма управляемости менеджеров.

4.1.4. Задача об оптимальной иерархии с секционной функцией затрат.

4.2. Интерпретация секционных функций в терминах делегирования.

4.2.1.Управление группами исполнителей и правило делегирования.

4.2.2. Условия секционности функции затрат.

4.2.3.Распределение управления выбором правила делегирования.

4.2.4. Свойства секционных функций при фиксированном правиле делегирования.

4.3. Классы секционных функций и оптимальные иерархии.

4.3.1. Общий вид оптимальной иерархии.

4.3.2. Оптимальность древовидной иерархии.

4.3.3.Оптимальность 2-иерархии и двухуровневой иерархии.

4.3.4.Оптимальность последовательной иерархии.

4.4. Примеры однородных функций затрат, зависящих от мер.

4.4.1. Примеры функций затрат и их содержательные интерпретации.

4.4.2. Оптимальная иерархия для функции затрат (I).

4.4.3. Оптимальная иерархия для функции затрат (II).

4.4.4. Оптимальная иерархия для функции затрат (III).

4.4.5. Оптимальная иерархия для функции затрат (IV).

4.4.6.Оптимальная иерархия для функции затрат (V).

4.4.7. Задачи дискретной оптимизации в терминах секционной функции.

5. Модели и методы оптимизации иерархий, управляющих технологическими сетями.

5.1. Функции затрат, зависящие от технологических потоков.

5.1.1. Делегирование и дублирование при управлении потоками.

5.1.2. Функция затрат и общий вид оптимальной иерархии.

5.1.3.Примеры иерархий, управляющих технологическими сетями.

5.2. Оптимальные иерархии, управляющие симметричной производственной линией.

5.2.1. Оптимальность древовидной иерархии.

5.2.2. Оптимальное дерево для однородной функции затрат и одномерных потоков.

5.2.3.Зависимость оптимальной нормы управляемости от параметров.

5.3. Затраты на управление функционально связанными производственными линиями.

5.3.1. Продуктовые и функциональные потоки.

5.3.2. Дивизионы и департаменты, типичные иерархии.

5.3.3. Потоки и затраты стратегических менеджеров и менеджеров среднего звена.

5.3.4. Вид функции затрат, зависящей от потоков.

5.4. Оптимальность дивизиональных, функциональных и матричных иерархий.

5.4.1. Доказательство оптимальности типичных иерархий.

5.4.2. Минимальные затраты типичных иерархий.

5.4.3. Сравнительная статика.

6. Расширения модели несимметричных иерархий.

6.1. Модель иерархии, управляющей несколькими группами исполнителей.

6.1.1. Оптимальная иерархия, управляющая заданными группами исполнителей.

6.1.2. Содержательные интерпретации.

6.1.3.Оптимальные иерархии для сужающих и сильно сужающих функций затрат.

6.2. Модель динамической реструктуризации.

6.2.1. Затраты на реструктуризацию иерархии.

6.2.2. Варианты динамической реструктуризации иерархии.

6.2.3.Имитационное исследование реструктуризации.

6.3. Модель совместной оптимизации производственной и управленческой подсистем.

6.3.1. Задача максимизации прибыли.

6.3.2. Оптимальное распределение объема выпуска между исполнителями.

6.3.3. Оптимальное количество исполнителей и объем выпуска.

6.3.4.Сравнительная статика.

7. Численные методы оптимизации несимметричных иерархий.

7.1. Точные алгоритмы поиска оптимального дерева.

7.1.1. Алгоритм поиска оптимального дерева в общем случае.

7.1.2. Алгоритм поиска оптимального г -дерева в общем случае.

7.1.3. Алгоритм поиска оптимального дерева для симметричных исполнителей.

7.1.4. Алгоритм поиска оптимального г -дерева для симметричных исполнителей.

7.2. Эвристические алгоритмы поиска оптимального дерева.

7.2.1. Эвристический алгоритм сложности п2 для симметричных исполнителей.

7.2.2. Эвристический алгоритм сложности п' для симметричных исполнителей

7.2.3. Первый эвристический алгоритм в общем случае.

7.2.4. Второй эвристический алгоритм в общем случае.

7.3. Алгоритмы поиска оптимальной последовательной иерархии.

7.3.1. Эквивалентная задача о поддереве минимального веса.

7.3.2. Нормализация графа задачи о поддереве минимального веса.

7.3.3. Алгоритм решения в общем случае и оценка его сложности.

7.3.4. ЫР -полнота задачи для симметричных исполнителей.

7.3.5.Узловые группы в случае симметричных исполнителей.

7.3.6. Алгоритм решения для симметричных исполнителей и оценка его сложности.

Существует большое количество различных определений организации, как в силу сложности соответствующего объекта, так и в силу его разнообразия и распространенности в самых различных предметных областях. В качестве одного из наиболее общих определений согласно работам Бурков В.Н., Новиков Д.А. (1999) [13], Новиков Д.А. (2007) [111] будем использовать следующее: организация - это внутренне упорядоченное целенаправленное объединение элементов.1 Таким образом, организация есть частный случай системы общего вида, характеризующийся, прежде всего, наличием общей цели, которую будем предполагать измеримой с помощью некоторого критерия эффективности}

Под иерархической организацией будем понимать организацию с внутренней упорядоченностью, основанной на ассиметричном отношении начальник - подчиненный, которое существенно влияет на достижение цели организации (значение критерия эффективности). В настоящей работе разработаны и исследованы модели и методы, позволяющие оптимизировать критерий эффективности организации путем синтеза иерархической структуры (или просто иерархии, определяющей отношение начальник -подчиненный) и распределения функций между иерархически упорядоченными элементами.

Актуальность темы. Иерархическая организация характерна как для различных сфер практической деятельности людей (экономической, социальной, военной и т.п.), так и для многих технических систем. Для единообразия изложения и интерпретаций теоретических результатов настоящая работа использует терминологию иерархических организаций в экономике3, в частности, под элементами понимаются сотрудники организации, а критерий эффективности определяется на базе общепринятых экономических категорий (выручка, затраты, прибыль).

Большая часть современной экономики состоит из иерархических организаций, которые позволяют повысить эффективность производства за счет разделения труда, порождая в то же время организационные издержки сложной системы управления с иерархией, состоящей из менеджеров, которые управляют производственной системой. Поэтому математические модели и методы, претендующие на комплексную оптимизацию таких организаций, должны учитывать

1 Существуют и другие определения организации, применимые к специфике того или иного исследования (см., например, обзоры Бурков В.Н., Новиков Д.А. (2001) [14], Новиков Д.А. (2002) [109]).

2 В теории систем целенаправленность обычно определяется как оптимизация некоторого критерия (см., например, Дружинин В.В., Конторов Д.С. (1976) [49]).

3 Ниже также выделяются прикладные направления (оптимизация схемы конвейерной сборки, меню доступа к информации, ряд задач дискретной оптимизации и др.), использующие теоретические результаты настоящей работы. не только производственную эффективность, но и организационные издержки иерархической системы управления.

Модели и методы оптимизации многоуровневых иерархических организаций исследовались в рамках нескольких научных направлений, среди которых можно отметить системный анализ и исследование операций (Бусленко Н.П. [15, 16], Кондратьев В.В. [12], Месарович М. [61], Цвиркун А.Д. [124, 125] и др.); модели потери контроля (Calvo G., Wellisz S. [135, 136], Qian Y. [184], Williamson О. [200] и др.); информационные модели (Bolton Р., Dewaíriponí М. [133], Keren М., Levhari D. [165, 166], Marschak Т., Radner R. [171], Radner R. [187], Van Zandt T. [199] и др.); теорию команд (Новиков Д.А. [113], Aoki М. [127], Cremer J. [143], Geanakoplos J., Milgrom P. [151] и др.); а также работы, продолжающие и комбинирующие эти научные направления (Beggs A.W. [130], Garricano L. [150], Patacconi A. [182] и др.). Однако в вышеуказанных работах исследуются частные случаи критериев эффективности и множеств допустимых иерархических структур, связанные с конкретными содержательными интерпретациями, что делает актуальным построение общих моделей и методов оптимизации иерархических организаций.

Цель работы - повышение эффективности управления оргструктурами за счет разработки, исследования и внедрения моделей и методов оптимизации иерархических организаций, включая совместный синтез эффективных иерархических структур и распределения управленческих функций в этих структурах.

Для достижения данной цели решается следующий комплекс основных задач:

1. Выделение производственной и управленческой подсистем с декомпозицией критерия эффективности и определением затрат менеджеров, зависящих от различных видов управленческой нагрузки, включающей издержки на управление производственной подсистемой и организационные издержки, характеризующие сложное взаимодействие менеджеров (дублирование управлений друг друга).

2. Разработка методов поиска оптимального делегирования, позволяющего с минимальными затратами распределить между менеджерами управленческое воздействие, оказываемое на производственную подсистему.

3. Моделирование механизмов взаимодействия менеджеров симметричной иерархии; разработка методов поиска оптимальной симметричной иерархии, минимизирующей затраты, и применение этих методов для исследования известных организационных моделей и основных качественных эффектов, описанных в классических работах по менеджменту организационных структур.

4. Обобщение модели оптимальной организации на несимметричные и недревовидные иерархии за счет рассмотрения более узкого класса функций затрат (секционных функций 8 затрат), обоснования их свойств, разработки аналитического и численного аппарата оптимизации иерархий и иллюстрации его применимости для исследования организационно-технических систем.

5. Разработка комплекса прикладных моделей оптимизации иерархических организаций, характеризуемых секционными функциями затрат (групповое взаимодействие сотрудников; иерархии, управляющие сетью технологических взаимодействий; дивизиональные, функциональные и матричные иерархии).

6. Иллюстрация применимости моделей иерархических организаций с секционными функциями затрат для исследования иерархий с ограничениями, анализа динамики структурных изменений, совместной оптимизации производственной и управленческой подсистем.

Методы исследования. Для нахождения оптимального делегирования и симметричной иерархии используется метод критической точки Лагранжа для задачи с ограничениями (теорема Каруша-Куна-Таккера и ее частный случай для выпуклых функций - теорема Куна-Таккера с соответствующими результатами выпуклого анализа) и аппарат линейной алгебры. Для исследования иерархий общего вида используются методы теории графов, комбинаторики и математического анализа. Оценки сложности дискретных задач, разработка и анализ сложности алгоритмов проводятся с использованием аппарата теории сложности и дискретной оптимизации. В отдельных случаях используется имитационное моделирование.

Научная новизна заключается в том, что на основе предложенного единого подхода к оптимизации иерархических организаций исследовано широкое множество критериев эффективности и допустимых иерархических структур, что позволяет единообразно описывать и исследовать задачи из различных прикладных областей:

1. Обоснована содержательная и математическая общность сведения задачи об оптимальной структуре и функциях управленческой подсистемы к задаче минимизации затрат менеджеров, зависящих от различных видов управления, с учетом организационных издержек, определяемых дублированием менеджерами управлений друг друга.

2. Разработаны аналитические и численные методы, позволяющие находить оптимальное делегирование - распределение необходимого производственной подсистеме управления между менеджерами.

3. Известные из работ по менеджменту механизмы взаимодействия сотрудников (взаимное согласование и прямой контроль) формализованы в терминах зависимости матрицы дублирования от вида симметричной иерархии; разработаны методы поиска оптимальных симметричных иерархий и делегирований; исследован ряд известных организационных моделей, количественно подтверждены многие структурные закономерности, наблюдаемые в реальных организациях.

4. Содержательно обоснованы допущения (фиксированное правило делегирования и ограничения на дублирование), определяющие класс секционных функций затрат, разработан аналитический аппарат их оптимизации на множестве иерархий общего вида, включающем несимметричные и недревовидные иерархии; исследована сложность и созданы точные и эвристические алгоритмы поиска оптимальных иерархий.

5. Аппарат оптимизации секционных функций затрат применен для исследования: различных моделей взаимодействия сотрудников с руководителем; оптимизации иерархии, управляющей сетью технологических взаимодействий производственной подсистемы; нахождения условий оптимальности дивизиональных, функциональных и матричных иерархий.

6. Предложены расширения модели секционной функции затрат, позволившие применить созданные методы оптимизации для более сложных множеств допустимых иерархий, определить затраты на реструктуризацию, численно исследовать динамическое перестроение иерархической организации, совместно оптимизировать производственную и управленческую подсистему, оценив влияние технологических параметров на вид оптимальной иерархической организации.

Достоверность результатов исследования подтверждается строгими доказательствами сформулированных утверждений. Все параметры и условия численных экспериментов строго описаны, что гарантирует их воспроизводимость.

Практическая значимость результатов исследования. Общность рассматриваемого множества допустимых иерархий и критериев эффективности позволяет унифицировано исследовать задачи из различных предметных областей с помощью предложенной модели и разработанных математических методов синтеза оптимальной иерархической организации, что дает возможность комплексного анализа различных аспектов иерархических организаций универсальным математическим аппаратом, а также может служить основой для переноса результатов решения практических задач из одних областей в другие. Автором разработаны и внедрены методические рекомендации по применению общих моделей и методов для оптимизации корпоративных структур, что дает возможность значительно расширить рамки применения подобных моделей для практического совершенствования управления организациями.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: Современные сложные системы управления (Липецк 2002,

Старый Оскол 2002, Тверь 2004, Воронеж 2005); Теория активных систем (Москва 2001, 2003,

10

2005, 2007); Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций (Москва 2004, 2005, 2006,

2007); Управление инновациями (Москва 2006, 2007); Game Theory and Management (Санкт-Петербург 2008); 17th World Congress of the International Fédération of Automatic Control (Сеул

2008); Проблемы управления (Москва 2006, 2009), а также на научных семинарах в ИПУ РАН, МФТИ, ЦЭМИ РАН, Высшей школе экономики, Российской экономической школе.

Публикации. По теме исследования опубликовано 55 научных работ, включая 3 монографии, 1 учебное пособие и 15 статей в ведущих рецензируемых журналах (в том числе «Автоматика и телемеханика», «Управление большими системами», «Экономика и математические методы», «Системы управления и информационные технологии»).

Личный вклад автора. Все основные результаты получены автором самостоятельно.

Краткий обзор работ по теме исследования

В целом объект исследования - иерархические организации - настолько широко распространен, что в самых разных предметных областях существует большое количество эмпирических исследований, посвященных качественному описанию иерархических структур, наблюдаемых в реальных организациях. В то же время, имеется относительно немного работ, в которых предлагаются математические модели, количественно формализующие критерий эффективности и позволяющие найти иерархию (решить задачу синтеза), оптимальную среди достаточно широкого множества возможных вариантов (не сводящегося к перечислению нескольких «типичных» иерархий).

В большинстве х таких моделей рассматривается частный случай иерархической организации - симметричная многоуровневая организация, в которой элементы разделены на так называемые уровни: на первом4 находятся элементы нижнего уровня (обычно называемые исполнителями), на втором, третьем и так далее - управляющие элементы (называемые по-разному в зависимости от содержательной интерпретации, ниже будем называть их менеджерами), причем элементы одного уровня одинаковы в силу симметрии. Для небольшой организации оптимальной может быть двухуровневая иерархия, в которой единственному менеджеру непосредственно подчинены все исполнители. Однако в достаточно большой организации нагрузка одного менеджера может становиться недопустимо большой, поэтому приходится формировать второй уровень из нескольких менеджеров, каждому из которых подчинена своя группа (множество) исполнителей. Взаимодействие между подчиненными группами порождает взаимодействие между менеджерами, которым могут управлять

4 Иногда удобнее начинать нумерацию с нуля (на первом уровня расположены менеджеры нижнего уровня) или нумеровать сверху вниз. менеджеры третьего уровня и так далее вплоть до высшего менеджера (¡топ-менеджера), расположенного на верхнем уровне иерархии.

Например, в так называемых моделях потери контроля (loss of control models) оптимальная иерархия определяется балансом между большим количеством уровней (приводящим к «размытию» управленческого замысла и снижению эффективности управления исполнителями) и малым количеством уровней (приводящим к росту затрат менеджера из-за управления большим количеством непосредственных подчиненных). Эти модели восходят к определению иерархической организации, предложенному в работе Simon Н. (1957) [194], и модели Williamson О. (1967) [200], основанной на следующих предположениях:

1. Все производственные функции выполняют исполнители первого (низшего) уровня, на более высоких уровнях находятся менеджеры, выполняющие управленческие функции.

2. У каждого сотрудника имеется только один непосредственный начальник, расположенный на следующем уровне, то есть иерархия представляет собой дерево.

3. Иерархия симметрична, то есть сотрудники одного уровня одинаковы, в частности одинакова норма управляемости (число непосредственных подчиненных у каждого менеджера).

4. Норма управляемости одинакова на различных уровнях (иерархия представляет собой однородное дерево), эффективность управления исполнителями и вознаграждение менеджеров с каждым уровнем снижается в одно и то же количество раз (умножается на одну и ту же заданную константу).

В результате задача об оптимальной иерархии сводится к нахождению оптимальной нормы управляемости, для которой Williamson О. (1967) [200] показал сверхлинейный рост управленческих затрат, ограничивающий рост организации (число управляемых исполнителей). Calvo G. и Wellisz S. (1978, 1979) [135, 136] релаксировали обременительное предположение 4, введя возможность выбора усилий менеджеров данного уровня, и рассмотрев частный случай функции зависимости вознаграждения менеджера от желаемого уровня усилий и интенсивности его мониторинга (которая снижается пропорционально росту нормы управляемости непосредственного начальника5). В результате доказан ряд закономерностей (например, в оптимальной иерархии с ростом уровня растет уровень усилий менеджера и его вознаграждение), однако возможность выбора симметричных неоднородных иерархий (дерево с разной нормой управляемости на различных уровнях) не позволили в явном виде найти оптимальную иерархию. Qian Y. (1994) [184] применяет для решения этой задачи аппарат

5 Выполняя свои обязанности с заданным уровнем усилий, сотрудник несет определенные затраты, которых он может избежать, уклоняясь от порученной ему работы. Поэтому затраты не должны превышать вознаграждения, умноженного на вероятность его потерять в случае, если непосредственный начальник сможет проконтролировать уклонение от работы (вероятность обратно пропорциональна норме управляемости, поскольку начальник равномерно контролирует всех непосредственных подчиненных). Отсюда однозначно определяется минимальное вознаграждение, необходимое для того, чтобы сотрудник работал с требуемым уровнем усилий. оптимального управления (количество менеджеров и уровней считается непрерывным6), что расширяет возможности исследования, однако позволяет найти оптимальную иерархию лишь для случая фиксированных усилий менеджеров.

Другим подходом являются информационные модели, в большинстве из которых также рассматриваются только симметричные деревья, однако оптимизируются не затраты, а время принятия иерархией решения (задержка на каждом уровне равна норме управляемости плюс константа). Подобная модель представления менеджеров в виде процессоров, «вычисляющих» некоторое управленческое решение, была впервые предложена в работе Marschak Т. и Radner R. (1972) [171]. Для ее исследования Keren М. и Levhari D. (1979) [165] предложили вышеупомянутые методы оптимального управления, с помощью которого Keren М. и Levhari D. (1983) [166] в ряде случаев нашли оптимальное симметричное дерево, вычислили средние затраты на одного сотрудника и обосновали пределы роста. Этот подход развит в ряде работ, например, Radner R. (1993) [187], Bolton Р. и Dewatripont М. (1994) [133], Van Zandt Т. (1996) [199]. В работе Bolton Р. и Dewatripont М. (1994) [133], симметричные деревья сравниваются с так называемыми последовательными {конвейерными) иерархиями, в которых каждому следующему менеджеру непосредственно подчинен предыдущий менеджер и исполнители.

Также можно выделить системный подход (см., например, БусленкоН.П. (1963, 1978) [15, 16], Месарович М., Мако Д., Такахара И. (1973) [61], Власюк Б.А., Моросанов Н.С. (1973) [19], Bensoussan A., Hurst E.G., Náslund В. (1974) [131], Рубинштейн М.И. (1975) [121], Лейбкинд А.Р., Рудник Б.Л., Чухнов А.И. (1978) [59], Цвиркун А. Д. (1975, 1982) [124, 125], Бурков В.Н. Кондратьев В.В. (1981) [12], Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин P.M. и др. (1996) [47], Новиков Д.А. (1999) [108]), в рамках которого используется общая идея теории систем - скрыть основную сложность внутри подсистем. В терминах иерархии это означает, что множество исполнителей, подчиненных менеджеру, необходимо разбить на подмножества так, чтобы оптимизировать некоторую целевую функцию. При этом в относительно общем виде решается локальная задача оптимального разбиения на подсистемы на данном шаге (без учета характеристик дальнейшего разбиения) и отмечается сложность глобальной задачи синтеза оптимальной иерархии. Эта задача аналитически исследуется только для конкретной целевой функции и ограничений на множество допустимых иерархии (чаще всего для симметричных деревьев), обусловленных конкретной предметной областью. Например, в работе Рубинштейн М.И. (1975) [121] исследуется задача максимизации критерия взаимосвязанности управляющих центров дерева (вычисляющегося по заданной взаимосвязанности исполнителей) и доказывается, что даже в частном случае задача представляет собой крайне сложную задачу

6 Допустимость замены дискретной задачи непрерывной исследуется в работе Van Zandt Т. (1995) [198]. В результате оказывается, что в достаточно большой организации погрешность рассмотрения непрерывного числа менеджеров на уровнях мала, а вот погрешность рассмотрения непрерывного числа уровней может быть большой. классификации,7 поэтому предлагаются лишь эвристические алгоритмы решения. В работах Власюк Б.А., Моросанов Н.С. (1973) [19] рассматриваются задачи управления сетями доставки материальных потоков (например, с тремя уровнями интенсивности потока между исполнителями). В работе Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин P.M. и др. (1996) [47] исследуются однородные исполнители (перестановка которых не влияет на целевые функции менеджеров) и конкретный вид функции затрат на их координацию. В работе Новиков Д.А. (1999) [108] взаимодействие уровней управления описывается теоретико-игровой моделью, и вводятся ограничения, при которых оптимальна двухуровневая иерархия. В более общем случае предлагаются лишь эвристические или переборные алгоритмы.

С системным подходом созвучна так называемая теория команд - Cremer J. (1980) [143] рассматривает оптимальную двухуровневую иерархию, позволяющую добиться эффекта за счет разбиения множества предприятий на подмножества, в каждом из которых согласованно координируется выпуск в условиях неопределенности. Подобный подход углублен и развит в работах Aoki М. (1986) [127] и Geanakoplos J., Milgrom P. (1991) [151], аналогичная проблематика рассматривается и в отечественной литературе (см., например, Новиков Д.А. (2008) [113]).

Современные работы, не ограничивающиеся рассмотрением нескольких конкретных видов иерархии (предполагающихся априори оптимальными), в основном продолжают вышеуказанные линии исследования. Например, можно отметить работу Patacconi А. (2009) [182], в которой рассматривается задача минимизации суммы затрат на координацию (функция затрат определяется геометрическим ростом дублирования сотрудников более низких уровней, что сходно с моделями потери контроля) и потерь из-за задержки принятия решений (сходных с информационными моделями). Относительно выделяющимся современным направлением являются так называемые иерархии знаний. В работе Garricano L. (2000) [150] показывается, что причиной формирования многоуровневой иерархии может быть экономия на вознаграждении за счет снижения квалификации сотрудников низких уровней, которые в случае возникновения неизвестной им проблемы обращаются за консультацией к более квалифицированным вышестоящим сотрудникам. В рамках относительно простой линейной целевой функции удается показать, что сотрудникам нижнего (первого) уровня оптимально поручить лишь производственные функции, а сотрудникам остальных уровней - решение проблем, причем каждый следующий уровень должен решать все более сложные проблемы. Таким образом, сотрудники делятся на исполнителей первого уровня и менеджеров более высоких уровней. В работе Beggs A.W. (2001) [130] также анализируется квалификация уровней, однако функция

7 Методы решения задачи классификации используются, в частности, при распознавании образов. Сложность этой задачи теоретически проанализирована, например, в работах Браверман Э.М., Дорофеюк A.A., Лумельянский В.Я. и др. (1971) [9], Дорофеюк A.A. (1971) [48], Миркин Б.Г. (1975, 1977) [63, 64]. затрат более детально отражает аспекты информационного взаимодействия, связанного с обращением к более квалифицированным верхним уровням иерархии.

Вышеупомянутые исследования обладают рядом общих черт. Большинство из них ограничивается симметричными древовидными иерархиями и рассматривает проблему оптимального баланса критерия эффективности (целевой функции) выбором компромисса между «плоскими» деревьями (в пределе двухуровневыми) и «высокими» деревьями (с минимальным числом непосредственных подчиненных менеджера). Выше также отмечено, что часто совпадают и методы исследования, что связано со сходством рассматриваемых задач. Однако детали конкретных критериев эффективности затрудняют использование математического аппарата, предложенного в одних работах, для анализа других работ. Поэтому фактически в каждом исследовании приходится заново создавать собственный аппарат, позволяющий решать задачу синтеза иерархии, оптимальной на широком множестве допустимых иерархий. Именно сложность этой задачи, а отнюдь не низкая актуальность проблемы оптимизации иерархических организаций, приводит к тому, что в обзор выше включено относительно небольшое количество работ (которые далеко не покрывают все поле исследований, см., например, Губко М.В., Коргин Н.А., Новиков Д.А. (2004) [41]). Большинство исследований иерархических организаций не включены в обзор выше, поскольку ограничиваются или фиксированной иерархией, или сравнением нескольких априори «разумных» вариантов, не решая задачу синтеза оптимальной иерархии, которая может принципиально влиять на эффективность иерархической организации.

В отличие от вышеупомянутых частных моделей, настоящая работа посвящена общим моделям и методам оптимизации иерархических организаций. В ней подведены итоги исследований, проводимых автором на протяжении одиннадцати лет. В рамках предложенного теоретического аппарата развита научная школа. В частности, коллега автора Губко М.В. (2006)

29] предложил аналитический аппарат, исчерпывающим образом решающий задачу оптимизации древовидной иерархии для однородных функций затрат (ниже на рис. 1 это соответствует прямоугольнику, вертикальная часть которого отмечена скобкой «однородные функции затрат», а горизонтальная соответствует симметричным и несимметричным деревьям).

По теме однородных функций и ее расширениям опубликованы работы Губко М.В. (2002, 2005,

2006, 2008, 2009) [27, 28, 30, 32-36], а также совместные работы Goubko M., Mishin S. (2008,

2009) [153-155]. На базе аппарата оптимизации однородных функций в работах Губко М.В.,

Даниленко А.И. (2009, 2010) [39, 40] предложены практические методы оптимизации иерархических меню (голосовых или визуальных) с целью минимизации среднего времени поиска пользователем нужного элемента в разнообразных автоматических системах.

Соответствующий программный комплекс был представлен в докладе Goubko M., Danilenko А.

2010) [152] на конференции по человеко-машинному интерфейсу ACM (Association for

15

Computing Machinery). Реализованная в программном комплексе интерактивная процедура может быть использована и для пошаговой оптимизации любых иерархических организаций с однородными функциями затрат. В работах Губко М.В. (2006), Губко М.В. (2007), Губко М.В., Гусев А.А. (2008), Губко М.В., Даниленко А.И. (2008) [29, 31, 37, 38] на базе схожего теоретического аппарата рассмотрены модели оптимизации сборочного производства. Общность аппарата, предложенного в настоящей работе, позволяет рассчитывать на развитие подобных прикладных исследований в самых разнообразных областях, связанных с синтезом оптимальных иерархий.

Ряд вышеупомянутых исследований рассмотрен более детально ниже в тексте глав настоящей работы.

Концепция работы

В соответствии с целью настоящей работы ниже разработаны и исследованы математические модели и методы оптимизации, применимые для широкого класса иерархических организаций. Рассматриваются общие множества иерархий и критериев эффективности, что позволяет исследовать разнородные постановки, упомянутые выше в обзоре, и проводить комплексный анализ иерархических организаций универсальным математическим аппаратом.

Формально показано сведение моделей потери контроля к частному случаю предложенной общей модели, что позволяет проиллюстрировать новизну результатов исследования рисунком 1 (см. ниже). По горизонтальной оси схематично показана степень общности рассматриваемого множества иерархических структур, по вертикальной оси - степень общности оптимизируемых критериев эффективности. Левый нижний прямоугольник соответствует моделям потери контроля, которые ограничиваются исследованием симметричных деревьев и частным случаем критерия эффективности (функции затрат). Слева в той же зоне симметричных деревьев расположено и большинство моделей, упомянутых выше в обзоре. Их критерии эффективности также имеют конкретный вид, применимый в первую очередь к исследуемой предметной области, поэтому высота соответствующих прямоугольников (характеризующая общность) аналогична высоте прямоугольника, иллюстрирующего модели потери контроля, однако различные прямоугольники могут лежать в различных местах вертикальной оси.

В главе 1 настоящей работы формализован и обоснован общий критерий эффективности, то есть очерчен отрезок вертикальной оси, покрывающий рис. 1. Для этого задача об оптимальной структуре и функциях управленческой подсистемы сведена к задаче минимизации затрат менеджеров, зависящих от различных видов управления, необходимого производственной подсистеме. После этого вышеупомянутая проблема оптимального

16 компромисса между двумя «плоскими» и «высокими» деревьями обобщается с помощью введения матрицы дублирования. Чем сложнее внутренняя организация управленческой подсистемы, тем большую долю управления, оказываемого одними менеджерами, вынуждены дублировать другие менеджеры. Новизна такого подхода схематично проиллюстрирована на рис. 1 общностью рассматриваемых критериев эффективности (высотой вертикального отрезка), которая существенно превосходит общность критериев эффективности, рассмотренных в вышеуказанных работах. Формально данный тезис подтверждается легкостью сведения моделей потери контроля и решения соответствующих задач предложенным обшим аппаратом

Заключение

Исследован общий класс критериев эффективности и множеств допустимых иерархических структур, что позволило решить задачи из различных предметных областей с помощью предложенной общей модели и разработанных методов синтеза оптимальных иерархических организаций. В результате получены теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новый крупный вклад в развитие моделей и методов оптимизации иерархических организаций:

1. Предложена математическая модель оптимизации иерархических организаций, в которой задача об оптимальной структуре и функциях управленческой подсистемы сведена к задаче минимизации затрат менеджеров при условии оказания ими заданного управленческого воздействия на производственную подсистему.

2. Разработаны аналитические и численные методы решения задачи об оптимальном распределении (делегировании) управления, необходимого производственной подсистеме, между менеджерами управленческой подсистемы с учетом возможного дублирования ими деятельности друг друга.

3. Предложена модель зависимости матрицы дублирования управления от вида симметричной иерархии (от количества менеджеров на каждом из уровней), количественно описывающая механизмы взаимодействия сотрудников (взаимное согласование менеджеров одного уровня и прямой контроль менеджеров различных уровней), которые качественно исследованы в работах по менеджменту.

4. Разработаны методы поиска оптимальной симметричной иерархии менеджеров и соответствующего оптимального делегирования управления.

5. С помощью вышеуказанных методов оптимизации исследованы известные организационные модели и количественно описаны и объяснены структурные закономерности, наблюдаемые в реальных организациях, что позволяет анализировать сравнительную статику (определять тенденции изменения организации при монотонном изменении сложности выпускаемого продукта, стабильности и враждебности внешней среды, ставок оплаты труда менеджеров и т.п.).

6. Разработан аналитический аппарат оптимизации иерархий, характеризуемых секционными функциями затрат, позволяющий исследовать модели несимметричных организаций.

7. Разработан и исследован комплекс прикладных моделей оптимизации иерархических организаций, описываемых секционными функциями затрат: модели группового взаимодействия сотрудников; модели иерархий, управляющих сетью технологических взаимодействий; модели дивизиональных, функциональных и матричных иерархий.

484

Определены условия устойчивости различных иерархий к горизонтальной и вертикальной интеграции и другим изменениям, что позволяет сравнивать и выбирать варианты изменения существующей организационной структуры.

8. Предложены расширения модели секционной функции затрат, позволившие проиллюстрировать применение созданных методов для оптимизации многопродуктовых конвейерных иерархий; численного решения задачи об оптимальном балансе между затратами иерархии и издержками ее перестроения в динамичной внешней среде; совместной оптимизации всей иерархической организации (включая производственную и управленческую подсистему, объемы выпуска и т.п.) и оценки влияния технологических параметров.

9. Исследована сложность и разработаны точные и эвристические алгоритмы поиска оптимальных иерархий на множестве древовидных и последовательных (конвейерных) иерархий, что позволяет численно исследовать секционные функции затрат, для которых неизвестны аналитические методы оптимизации.

10. Эффективность разработанных моделей и методов оптимизации иерархических организаций подтверждена актами о внедрении в ряде российских корпораций, которое позволило повысить обоснованность и качество стратегических решений по реорганизации и оптимизации корпоративных оргструктур.

1. Айзерман М.А., Гусев J1.A., Петров C.B. и др. Динамические подходы к анализу структур, описываемых графами (основы графодинамики). Часть 1 // Автоматика и телемеханика. 1979. №7. С. 135-151.

2. Айзерман М.А., Гусев Л.А., Петров C.B. и др. Динамические подходы к анализу структур, описываемых графами (основы графодинамики). Часть 2 // Автоматика и телемеханика. 1979. №9. С. 123 136.

3. Андреев A.A., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н. Функциональные уравнения. Самара: Пифагор, 1997.

4. Базилевич Л.А. Обоснование нормативов управляемости на модели трудоемкости руководства. В кн.: Повышение эффективности управления объединениями и отраслями промышленности. -Новосибирск, 1977.

5. Бакшаев A.A., Мишин С.П. Оптимальные многоуровневые организации для степенных функций затрат // Автоматика и телемеханика. 2008. №12. С. 119 138.

6. Бобровский Д.Н. Производственные функции и проблема выбора экономико-математической модели активного элемента // Радиоэлектронные и компьютерные системы. 2008. №1. С. 172 177.

7. Босс В. Лекции по математике: линейная алгебра. Том 3. М.: КомКнига, 2005. - 226 с.

8. Босс В. Лекции по математике: оптимизация. Том 7. -М.: КомКнига, 2007. 216 с.

9. Браверман Э.М., Дорофеюк A.A., Лумельянский В.Я. и др. Диагонализация матрицы связей и выявление скрытых факторов. В кн.: Проблемы расширения возможностей автоматов. Вып. 1. -М., 1971.

10. Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем. М.: Наука, 1977.

11. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении организационными системами. -М.: Синтег, 2001.

12. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. -М.: Наука, 1981.

13. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние и перспективы. -М.: СИНТЕГ, 1999.

14. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем и задачи организационного управления / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». Москва: ИПУ РАН, 19-21 ноября 2001. Том 1. С. 12-16.

15. Бусленко Н. П. К теории сложных систем // «Изв. АН СССР. Техническая кибернетика». 1963. № 5.

16. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. -М.: Наука, 1978. 399 с.486

17. Бусыгин В.П., Желободько Е.В., Цыплаков A.A. Микроэкономика третий уровень. -Новосибирск: СО РАН, 2003. - 704 с.

18. Верхайм П., Храмова И. Рыночные структуры продовольственного комплекса России в условиях переходной экономики // Вопросы экономики. 1997. №8. С. 112 124.

19. Власюк Б.А., Моросанов Н.С. Синтез иерархической структуры управления в больших системах // Автоматика и телемеханика. 1973. №3.

20. Воронин A.A. Устойчивое развитие миф или реальность? // Математическое образование. 2000. №1(12). С. 59-67.

21. Воронин A.A., Губко М.В., Мишин С.П., Новиков Д.А. Математические модели организаций: учебное пособие. -М.: ЛЕНАНД, 2008. 360 с.

22. Воронин A.A., Мишин С.П. Математическое моделирование устойчивого развития организационных систем / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». -М.: ИПУ РАН, 19-21 ноября 2001. Том 1. С. 28 29.

23. Воронин A.A., Мишин С.П. Моделирование структуры организационной системы. Об алгоритмах поиска оптимального дерева // Вестн. Волг, ун-та. 2001. Сер. 1: Математика. Физика. С. 93- 113.

24. Воронин A.A., Мишин С.П. Модель оптимального управления структурными изменениями организационной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. №8. С. 136 150.

25. Воронин A.A., Мишин С.П. Алгоритмы поиска оптимальной структуры организационной системы // Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 120 132.

26. Воронин A.A., Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. М.: Институт проблем управления РАН, 2003. - 214 с.

27. Губко М.В. Структура оптимальной организации континуума исполнителей // Автоматика и телемеханика. 2002. №12. С. 116 130.

28. Губко М.В. Оптимальные древовидные иерархии при однородной функции затрат / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». М.: ИПУ РАН. 2005. С. 20 23.

29. Губко М.В. Математические модели оптимизации иерархических структур. М.: ЛЕНАНД, 2006. - 264 с.

30. Губко М.В. Однородные функции затрат менеджеров и оптимальная организационная структура// Управление большими системами. 2006. Выпуск 15. Самара.: СГАУ. С. 103 -116.

31. Губко М.В. Балансировка сборочной линии и задачи поиска оптимальных иерархий / П школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами». Сборник трудов IIконференции, Воронеж: Научная книга, 2007. Том 1. С. 7 13.487

32. Губко M.B. Математические модели формирования рациональных организационных иерархий // Автоматика и телемеханика. 2008. №9. С. 114 139.

33. Губко М.В. Поиск оптимальных организационных иерархий при однородных функциях затрат менеджеров // Автоматика и телемеханика. 2008. №1. С. 97 113.

34. Губко М.В. Алгоритм поиска оптимальной иерархии для окрестностной функции затрат / IV международная конференция по проблемам управления. М.: ИПУ РАН, 26 - 30 января 2009. С. 1215-1216.

35. Губко М.В. Алгоритмы построения субоптимальных организационных иерархий // Автоматика и телемеханика. 2009. №1. С. 162 179.

36. Губко М.В. Оптимальные иерархии управления для функций затрат, представимых в виде суммы однородных функций // Проблемы управления. 2009. №3. С. 44-53.

37. Губко М.В., Гусев A.A. Эвристический алгоритм поиска оптимальной технологической схемы сборки / Материалы IV Всероссийской школы-семинара молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии». Казань: КГТУ, 2008. С. 200.

38. Губко М.В., Даниленко А.И. Алгоритм поиска оптимальной структуры сборочных постов / Труды III всероссийской молодежной конференции по проблемам управления. М.: ИПУ РАН, 2008. С. 234-235.

39. Губко М.В., Даниленко А.И. Построение иерархического меню для минимизации времени поиска / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». М.: ИПУ РАН, 17-19 ноября 2009. Том 2. С. 78 81.

40. Губко М.В., Даниленко А.И. Математическая модель оптимизации структуры иерархического меню // Проблемы управления. 2010. №4. С. 49 58.

41. Губко М.В., Коргин H.A., Новиков Д.А. Классификация моделей анализа и синтеза организационных структур / Управление большими системами. Выпуск 6. М.: ИПУ РАН, 2004. С. 5-21.

42. Губко М.В., Мишин С.П. Оптимальная структура системы управления технологическими связями / Материалы международной конференции «Современные сложные системы управления». Старый Оскол: СТИ, 27 29 ноября 2002. С. 50 - 54.

43. Губко М.В., Мишин С.П., Новиков Д.А., Новиков К.В. О проведении Интернет-опросов для идентификации активных систем / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». М.: ИПУ РАН, 17-19 ноября 2009. Том 1. С. 95-98.

44. Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении организационными системами. -М.: Синтег, 2002.

45. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи: Пер. с англ. -М.: Мир, 1982.

46. Дедиков Э.А., Ершов С.Г. Определение критериев формирования структур обработки информации // Управляющие системы и машины. 1973. №1.

47. Дементьев В.Т., Ерзин А.И., Ларин P.M. и др. Задачи оптимизации иерархических структур. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1996.

48. Дорофеюк A.A. Алгоритмы автоматической классификации (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1971. №12.

49. Дружинин В.В., Конторов Д.С. Проблемы системологии. -М.: Сов. радио, 1976.

50. Дубовский C.B., Уздемир А.П. Критерии оптимальности и вариационные подходы в динамических моделях экономики // Автоматика и телемеханика. 1974. №6.

51. Зорич В.А. Математический анализ. Том I. -М.: МЦНМО, 2001.

52. Иващенко A.A., Новиков Д.А. Модели и методы организационного управления инновационным развитием фирмы. — М.: КомКнига, 2006. 332 с.

53. Караваев А.П. Модели и методы управления составом активных систем. -М.: ИПУ РАН, 2003.- 151 с.

54. Клейнер Г.Б. Методы анализа производственных функций. М.: ИНФОРМЭЛЕКТРО, 1980.-72 с.

55. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. -М.: Финансы и статистика, 1986. 240 с.

56. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1976. 544 с.

57. Коргин H.A. Неманипулируемые механизмы обмена в активных системах. М.: ИПУ РАН, 2003.

58. Коргин H.A., Новиков Д.А. Задача стимулирования в условиях внутренней неопределенности о типах агентов, описываемых распределением Парето // Системы управления и информационные технологии. 2006. №4(26). С. 66 69.

59. Лейбкинд А.Р., Рудник Б.Л., Чухнов А.И. Математические методы синтеза организационных структур управления. Препринт. М., Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований, 1978.

60. Мазья В.Г., Поборчий C.B. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелипшицевых областях. СПб.: СПбГУ, 2006. - 378 с.

61. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. -М.: Мир, 1973.

62. Минцберг Г. Структура в кулаке: создание эффективной организации. СПб.: Питер, 2001.

63. Миркин Б.Г. Задача классификации (обзор). В кн.: Сложные системы. - Новосибирск, 1975.

64. Миркин Б.Г. Модели качественного анализа социально-экономической информации. В кн.: Математика в социологии: моделирование и обработка информации. -М., 1977.

65. Мишин С.П. Структура многоуровневой системы в изменяющейся внешней среде / Труды международной конференции «Теория активных систем». М.: ИПУ РАН, 19-21 ноября 2001. Том 1. С. 54-55.

66. Мишин С.П. Оптимизация иерархических структур / Материалы международной научной конференции «Современные сложные системы управления». Старый Оскол: СТИ, 27 29 ноября 2002. С. 100 - 105.

67. Мишин С.П. Оптимальное управление структурой организационной системы / Сборник трудов международной конференции «Современные сложные системы управления». Липецк: ЛГТУ, 12-14 марта 2002. С. 101 102.

68. Мишин С.П. Стоимость реорганизации структуры системы // Тр. кафедры математ. анализа и теории функций Волг, ун-та. 2002. С. 178 198.

69. Мишин С.П. Динамическая задача синтеза оптимальной иерархической структуры // Управление большими системами. 2003. Выпуск 3. С. 55 75.

70. Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры / Труды международной конференции «Теория активных систем». М.: ИПУ РАН, 17-19 ноября 2003. Том 1. С. 57-58.

71. Мишин С.П. Об оптимальности иерархии управления несвязной технологической сетью / Труды ХЬУП научной конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». М.: МФТИ, 26 27 ноября 2004. С. 102.

72. Мишин С.П. Оптимальные иерархии управления в экономических системах. М.: ПМСОФТ, 2004. - 205 с.

73. Мишин С.П. Подходы к формированию сильного равновесия в торговой сети / Материалы международной научной конференции «Современные сложные системы управления». Тверь: ТГТУ, 2004. С. 411 413.

74. Мишин С.П. Оптимальное стимулирование в многоуровневых иерархических структурах // Автоматика и телемеханика. 2004. №5. С. 96 119.

75. Мишин С.П. Модель оптимальной структуры контроля производственной цепи / Труды IV международной конференции «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций». М.: ИПУ РАН, 18-20 октября 2004. С. 154 159.

76. Мишин С.П. Математическая модель оптимизации иерархии, управляющей технологическим взаимодействием / Сборник трудов международной конференции «Современные сложные системы управления». Воронеж: ВГАСУ, 30 мая 2 июня 2005. С. 142- 144.

77. Мишин С.П. Модель сравнения дивизиональной, функциональной и матричной иерархий / Труды V международной конференции «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций». М.: ИПУ РАН, 18 20 октября 2005. С. 264 - 271.

78. Мишин С.П. Оптимальность «конвейерной» иерархии управления // Управление большими системами. 2005. Выпуск 11. С. 60 74.

79. Мишин С.П. Оптимальность децентрализации управления несвязной технологической сетью // Вестник Самарского государственного авиационного университета. 2005. №1(7). С. 90- 100.

80. Мишин С.П. Оптимальные организационные иерархии / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». М.: ИПУ РАН, 16-18 ноября 2005. С. 32-34.

81. Мишин С.П. Оптимальный состав «исполнителей» организационной системы / Труды XXVIII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». М.: МФТИ, 26 ноября 2005. С. 168.

82. Мишин С.П. Модель иерархии управления технологическими потоками // Системы управления и информационные технологии. 2006. №1(23). С. 4 10.

83. Мишин С.П. Модель построения оптимальной многоуровневой организации / Труды международной конференции проблем управления. М.: ИПУ РАН, 19-22 июня 2006. С. 202.

84. Мишин С.П. Модель построения оптимальной многоуровневой организации / Пленарные доклады и избранные труды международной конференции проблем управления. М.: ИПУ РАН, 19-22 июня 2006. С. 487 490.

85. Мишин С.П. Оптимальная иерархия, управляющая заданными группами исполнителей // Автоматика и телемеханика. 2006. №7. С. 144 160.

86. Мишин С.П. Оптимальная норма управляемости для степенной функции затрат // Автоматика и телемеханика. 2006. №8. С. 154 168.

87. Мишин С.П. Оптимальность древовидной иерархии управления симметричной производственной линией // Проблемы управления. 2006. №6. С. 36 42.

88. Мишин С.П. Оптимизация многоуровневых организаций / Труды VI международной конференции «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций». М.: ИПУ РАН, 10-12 октября 2006. С. 318 323.

89. Мишин С.П. Оптимизация параметров функционирования организации / Труды международной научно-практической конференции «Управление инновациями». М.: ИПУ РАН, 13-15 ноября 2006. С. 339 342.

90. Мишин С.П. Подходы к моделированию оптимальных многоуровневых организаций //

91. Управление большими системами. 2006. Выпуск 12-13. С. 109 117.491

92. Мишин С.П. Вид многоуровневой организации в зависимости от внешних условий / Труды VII международной конференции «Когнитивный анализ и управление развитием ситуаций». М.: ИПУ РАН, 2007. С. 125 128.

93. Мишин С.П. Влияние технологического развития на многоуровневую организацию / Труды международной научно-практической конференции «Управление инновациями». М.: ИПУ РАН, 2007. С. 414 416.

94. Мишин С.П. Методика совместной оптимизации механизмов стимулирования и иерархии управления многоуровневой организацией / Труды конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». М.: МФТИ, 2007. С. 178- 180.

95. Мишин С.П. Модель иерархии управления технологическими взаимодействиями исполнителей // Вестник Воронежского архитектурно-строительного университета. 2007. Вып. 2. С. 145 149.

96. Мишин С.П. Оптимальные иерархии управления в экономических системах // Экономика и математические методы. 2007. №3. С. 85 101.

97. Мишин С.П. Оптимальный состав и структура многоуровневой активной системы / Труды международной научно-практической конференции «Теория активных систем». М.: ИПУ РАН, 2007. С. 68 71.

98. Мишин С.П. Условия оптимальности дивизиональной, функциональной и матричной иерархии управления // Автоматика и телемеханика. 2007. №4. С. 101 125.

99. Мишин С.П. «Принцип неопределенности» при выборе квалификации менеджера в зависимости от позиции в иерархии / Институциональные основы инновационных процессов: материалы четвертых Друкеровских чтений. М.: Доброе слово. 2008. С. 294 -304.

100. Мишин С.П. Моделирование оптимальной многоуровневой организации для аддитивных вкладов менеджеров // Автоматика и телемеханика. 2008. №7. С. 98 112.

101. Мишин С.П. Модель неблагоприятного отбора менеджера в зависимости от позиции в иерархии / V всероссийская школа-семинар молодых ученых управление большими системами. Липецк, 21-24 октября 2008. Том 1. С. 230 236.

102. Мишин С.П. Модель оптимального стимулирования менеджеров многоуровневой организации в условиях неопределенности // Управление большими системами. 2008. Выпуск 22. С. 168-206.

103. Мишин С.П. Оптимизация многоуровневой иерархии для типов менеджеров, распределенных по закону Парето / Труды IV международной конференции по проблемам управления. М.: ИПУ РАН, 26 30 января 2009. С. 1226 - 1233.

104. Мишин С.П. Свойства оптимального делегирования управления в организации // Управление большими системами. 2011. Выпуск 34. С. 165 199.

105. Мишин С.П. Оптимальное делегирование управления для функций затрат, представимых в виде выпуклых квадратичных форм // Управление большими системами. 2011. Выпуск 35.

106. Наумчук О.Ф., Саввин Г.Г. Методы анализа сетей передачи и распределения информации. В кн.: Сети передачи информации и их автоматизация. -М., 1965.

107. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-ое изд., перераб. и доп. -М.: Наука, 1977. 455 с.

108. Новиков Д.А. Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем. -М.: Фонд «Проблемы управления», 1999.

109. Новиков Д.А. Типология задач управления организационными структурами / Материалы международной научной конференции «Современные сложные системы управления». Старый Оскол: СТИ, 27-29 ноября 2002. С. 110-115.

110. Новиков Д.А. Сетевые структуры и организационные системы. -М.: ИПУ РАН, 2003. -108 с.

111. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. 2-ое изд. М.: Физматлит, 2007. - 584 с.

112. Новиков Д.А. Механизмы стимулирования как инструмент согласования интересов участников организационных систем / Управление инновациями и стратегия инновационного развития России: Сборник трудов. М.: Доброе слово, 2007. С. 43 55.

113. Новиков Д.А. Математические модели формирования и функционирования команд. М.: Физматлит, 2008. 184 с.

114. Новиков Д.А. Экспериментальное исследование индивидуальных стратегий предложения труда. -М.: Эгвес, 2010.- 103 с.

115. Новиков A.M., Новиков Д.А. Методология. -М.: СИНТЕГ, 2007. 668 с.

116. Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. -М.: Синтег, 1999.

117. Паппэ Я.Ш. Малоразмерные макроэкономические модели экономического роста и научно-технического прогресса. -М.: Наука, 1992. 187 с.

118. Поваров Г.Н. О структурной теории сетей связи. В кн.: Проблемы передачи информации. Вып. 1. -М., 1959.

119. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. -М.: Наука, 1983. 384 с.

120. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. -М.: Мир, 1973. 471 с.493

121. Рубинштейн М.И. Задачи синтеза иерархических систем управления. В кн.: Согласованное управление. -М., 1975.

122. Уильямсон О. Экономические институты капитализма: фирмы, рынки, «отношенческая» контрактация. СПб.: Лениздат, 1996. - 702 с.

123. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х томах). -М.: Физматлит, 2001. Том 1. 616с. Том 2 - 810с. Том 3. - 662с.

124. Цвиркун А. Д. Структура сложных систем. -М.: Советское радио, 1975.

125. Цвиркун А.Д. Основы синтеза структуры сложных систем. -М.: Наука, 1982.

126. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. -М.: Высш. Шк., 2001.

127. Aoki M. Horizontal vs. Vertical Information Structure of the Firm // The American Economic Review. 1986. Vol. 76. No. 5. P. 971 983.

128. Baumol W.J., Panzar J.C., and Willig R. Contestable Markets and the Theory of Industry Structure. San Diego, CA: Harcourt Bracejovanovich, 1982.

129. Becker G.S., Murphy K.M. The Division of Labor, Coordination Costs and Knowledge // Quarterly Journal of Economics. 1992. 107. P. 1137 1160.

130. Beggs A.W. Queues and Hierarchies // The Review of Economic Studies. 2001. Vol. 68. No. 2. P. 297-332.

131. Bensoussan A., Hurst E.G., Nâslund B. Management applications of modern control theory. Amsterdam-Oxford-New York, 1974.

132. Bloch H., Madden G. and Savage S.J. Economies of Scale and Scope in Australian Telecommunications // Review of Industrial Organization. 2001. 18. P. 219 227.

133. Bolton P., Dewatripont M. The Firm as a Communication Network // The Quarterly Journal of Economics. 1994. CIX. P. 809 839.

134. Bolton P., Farrell J. Decentralization, Duplication, and Delay // Journal of Political Economy. 1990. 98. P. 803-826.

135. Calvo G., Wellisz S. Supervision, Loss of Control and the Optimal Size of the Firm // The Journal of Political Economy. 1978. 86. P. 943 952.

136. Calvo G., Wellisz S. Hierarchy, Ability and Income Distribution // The Journal of Political Economy. 1979. 87. P. 991 1010.

137. Carzo R.J., Janouzas J.N. Effects of flat and tall organization structure. Administrât. Sci. Quart., 1969, vol. 14, no. 2.

138. Chambers R.G. Applied Production Analysis A dual approach. Cambridge: The Cambridge University Press, 1989.

139. Chappie E., Sayles L. The measure of management. N. Y., 1961.

140. Cobb G.W., Douglas P.H. A theory of production // The American Economic Review. 1928. 18 (March), Supplement. P. 139 165.

141. Cohn E., Rhine S. and Santos M. Institutions of Higher Education as Multi-Product Firms: Economies of Scale and Scope // The Review of Economics and Statistics. MIT Press. 1989. Vol. 71(2). P. 284-290.

142. Conrath D.W. Communications environment and its relationship to organizational structure. -Manag. Sei., 1974, vol. 20, no. 4.

143. Cremer J. A Partial Theory of the Optimal Organization of a Bureaucracy // The Bell Journal of Economics. 1980. Vol. 11. No. 2. P. 683 693.

144. Davies G., Smith M., Twigger W. Leading People: a Model of Choice and Fate for Leadership Development // The Leadership & Organization Development. 1991. 12. No. 1. P. 7 11.

145. Fare R., Martins-Filho C., Vardanyan M. On Functional Form Representation of Multi-Output Production Technologies // Journal of Productivity Analysis. 2010. 33. P. 81 96.

146. Fare R.S., Grosskopf S. and Lovell C.A.K. The Measurement of Efficiency of Production. Boston: Kluwer, 1985.

147. Filippini M., Farsi M. Cost Efficiency and Scope Economies in Multi-output Utilities in Switzerland / Study on behalf of the State Secretariat for Economic Affairs SECO. Berne, 2008.

148. Garicano L. Hierarchies and the Organization of Knowledge in Production // The Journal of Political Economy. 2000. Vol. 108. No. 5. P. 874 904.

149. Geanakoplos J., Milgrom P.A. Theory of Hierarchies Based on Limited Managerial Attention // The Journal of Japanese and International Economies. 1991. Vol. 5(3). P. 205 225.

150. Goubko M., Danilenko A. An automated routine for menu structure optimization / Proceedings of the 2nd ACM SIGCHI symposium on Engineering interactive computing systems. Berlin, Germany, June 19 23 2010. P. 67 - 76.

151. Goubko M., Mishin S. Models of Optimal Organizational Hierarchies / Collected abstracts of papers, presented in the International Conference "Game Theory and Management". SPbU: Gradual School of Management, 2008. P. 132 134.

152. Goubko M., Mishin S. Optimal Hierarchies in Firms: a Theoretical Model / Proceedings of the 17th World Congress of the IF AC. Seoul, Korea, July 6-11 2008. P. 2962 2967.

153. Grossman S., Hart O. Implicit Contracts Under Asymmetric Information // Quarterly Journal of Economics. 1982. No. 1. P. 110-124.

154. Grossman S., Hart O. An Analysis of the Principal-Agent Problem // Econometrica. 1983. 51 No. 1. P. 7-45.

155. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. London: Cambridge University Press, 1934.

156. Harris M., Raviv A. Organization Design // The Management Science. 2002. No. 7.

157. Hart O.D., Holmstrom B. Theory of Contracts / Advances in Economic Theory. 5-th World Congress. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. P. 71 155.

158. Howitt R.E. Positive mathematical programming // American Journal of Agricultural Economics. 1995. 77(2). P. 329-342.

159. Huffman D.A. A Method for the Construction of Minimum-Redundancy Codes // Proc. IRE. 1952. No. 9. P. 1098- 1101.

160. Jago A.G., Vroom V.H. Perceptions of Leadership Style: Superior and Subordinate Descriptions of Decision-Making Behavior / In Leadership Frontiers, ed. Hunt J. G, Larson L. L. Carbondale: Southern Illinois University Press, 1975. P. 103 120.

161. Karush W. Minima of Functions of Several Variables with Inequalities as Side Constraints. M.Sc. Dissertation. Dept. of Mathematics, Univ. of Chicago, Chicago, Illinois, 1939.

162. Keren M., Levhari D. The Optimal Span of Control in a Pure Hierarchy // The Management Science. 1979. 25. P. 1162 1172.

163. Keren M., Levhari D. The Internal Organization of the Firm and the Shape of Average Costs // The Bell Journal of Economics. 1983. 14. P. 474 486.

164. Keren M., Levhari D. Decentralization, Aggregation, Control Loss and Costs in a Hierarchical Model of the Firm // The Journal of Economic Behavior and Organization. 1989. 11. P. 213 236.

165. Kuhn H.W., Tucker, A.W. Nonlinear programming / Proceedings of 2nd Berkeley Symposium. Berkeley: University of California Press, 1951. P. 481 492.

166. Leontief W. The Structure of American Economy, 1919 1929. Cambridge, 1941.

167. Manz C.C., Sims H.P. Leading Workers to Lead Themselves: the External Leadership of Self-Managing Work Teams // Administrât. Sci. 1987. P. 106 129.

168. Marschak T.A., Radner R. Economic Theory of Teams. New Haven, CT: Yale U. Press, 1972.

169. Maskin E., Qian Y., Xu C. Incentives, Information and Organizational Form // The Review of Economic Studies. 2000. 67(2). P. 359 378.

170. Melumad D.N., Mookherjee D., Reichelstein S. Hierarchical Decentralization of Incentive Contracts // The Rand Journal of Economics. 1995. 26, No. 4. P. 654 672.

171. Milgrom P., Roberts J. Economics, Organization and Management. Prentice-Hall, 1992.

172. Milgrom P., Segal I. Envelope Theorems for Arbitrary Choice Sets // Econometrica. 2002. Vol. 70. No.2. P. 583-601.

173. Miller E.J. Technology, territory and time. Human Relations, 1959, vol. 12.

174. Mintzberg H. The Structuring of Organizations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1979.

175. Mintzberg H. Structure in fives: Designing effective organizations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1983.

176. Mishin S. Optimal Organizational Hierarchies in Firms. Moscow: Institute of Control Sciences, 2005.- 127 p.

177. Mishin S. Optimal Organizational Hierarchies in Firms // Journal of Business Economics and Management. 2007. Vol.VIII. No.2. P. 79 99.

178. Oldman G.R., Hackman J.R. Relationships Between Organization Structure and Employee Reactions: Comparing Alternative Frameworks // Administrât. Sci. 1981. P. 66 83.

179. Patacconi A. Coordination and Delay in Hierarchies // The RAND Journal of Economics. 2009. Vol. 40. Issue l.P. 190-208.

180. Peters T. Thriving on Chaos. N. Y.: Knopf, 1987.

181. Qian Y. Incentives and Loss of Control in an Optimal Hierarchy // The Review of Economic Studies. 1994. 61. No. 3. P. 527 544.

182. Qian Y., Roland G., Xu C. Coordinating Changes in M-form and U-form Organizations. Mimeo, Stanford University, ECARE and LSE, 1997.

183. Radner R. Hierarchy: The Economics of Managing // Journal of Economic Literature. 1992. 30. No. 3. P. 1382- 1415.

184. Radner R. The Organization of Decentralized Information Processing // Econometrica. 1993. 61. No. 5. P. 1109- 1146.

185. Rockafellar R.T. Convex Analysis. N.J., Princeton: Princeton University Press, 1970.

186. Roller L.H. Proper Quadratic Cost Functions with an Application to the Bell System // Review of Economics and Statistics. 1990. 72. P. 202 210.

187. Senge P. The fifth discipline: the art and practice of the learning organization. N. Y.: Doubleday/Currence, 1990.

188. Shephard R.W. Cost and production functions. Princeton: Princeton University Press, 1953.

189. Shephard R.W. Theory of cost and production functions. Princeton: Princeton University Press, 1970.

190. Shumway C.R. Supply Demand, and Technology in a Multiproduct Industry: Texas Field Crops

191. American Journal of Agricultural Economics. 1983. 65. P. 748 760.497

192. Simon H.A. The Compensation of Executives // Sociometry. 1957. 20. No. 1. P. 32 35.

193. Simon H.A. The Architecture of Complexity // Proc. Amer. Philosophical Soc. 1962. 106(6). P. 467-482.

194. Solow R.M. A contribution to the theory of economic growth // The Quarterly Journal of Economics. 1965. Vol.70. No. 1. P. 65 94.

195. Van Zandt T. Continuous Approximation in the Study of Hierarchies // The Rand Journal of Economics. 1995. 26. No. 4. P. 575 590.

196. Van Zandt T. Organizations with an Endogenous Number of Information Processing Agents. Organizations with Incomplete Information. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

197. Williamson O. Hierarchical Control and Optimal Firm Size // The Journal of Political Economy. 1967. 75. P. 123- 138.

198. Williamson O. Markets and Hierarchies. New York: Free Press, 1975.

199. Williamson O. The Economic Institutions of Capitalism: Firms Markets, Relational Contracting. N.Y.: Free Press, 1985.

200. Worthy J.C. Organization structure and employee morale. Amer. Sociol. Rev., 1950, vol. 15, no. 1.

201. Описаны основные бизнес процессы и оценена интенсивность взаимодействия специалистов компании;

202. Рассчитана агрегированная оценка интенсивности функционального (в разделе видов деятельности) и дивизионального (в разрезе проектов) взаимодействия филиалов;

203. С использованием аналитической модели, предложенной в диссертационной работе, для каждого филиала сделан вывод о преимуществе того или иного тина структуры.

204. Научные результаты Мишина С.П. позволили повысить обоснованность принятых решений по реструктуризации управления организацией.

205. Данный акт не является основой для проведения финансовых расчетов.

206. Генеральный директо ЗАО «Орбита»1. С.В. Клименченко

207. Оценки потенциальных выгод от модернизации организационной структуры и затрат на ее проведение с целью принятия обоснованного решения о необходимости реструктуризации,

208. Сравнения типовых вариантов иерархических организационных структур (дивизиональной, функциональной и матричной),

209. Построения оптимальной иерархии, управляющей сложными производственными бизнес-процессами.

210. Данный акт не является основой для проведения финансовых расчетов.директора ЗАО «РОЭЛ 1д.т.н., профессор1. Заместитель генерально1. Тренев В.Н.ешэяя«?"0™

211. Ж \(. I 1 ¡'К I К\(.1 К III II П \1>ч 1'\Ч1\ кпКлиГ .'ЮЧ\>Ьк\М и\'1С I Р\К1ЧЧ

212. Исх. №1210/11-115-1 от ^11» октября 2011 г.1. ЗАО «ПМСОФТ»

213. Кроме того, результаты диссертационной работы обеспечивают построение оптимальных структур управления, что обеспечивает и большую эффективность работы на предприятиях.

214. Данный акт не является основой для проведения финансовых расчетов.

215. Заместитель генерального директора ЗАО «ПМСОФТ» Доктор технических наук Профессор