автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и алгоритмы анализа различных типов экспертных предпочтений на основе матриц парных сравнений

005005430

На правах рукописи

шь

Киселев Игорь Сергеевич

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ЭКСПЕРТНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ НА ОСНОВЕ МАТРИЦ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 1 ДЕК 2011

Санкт-Петербург - 2011

005005430

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Петербургский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВПО ПГУПС)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Микони Станислав Витальевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук

Марлей Владимир Евгеньевич

кандидат технических наук, доцент Павлов Александр Николаевич

Ведущая организация - Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина)» (СПбГЭТУ)

Защита диссертации состоится «22» декабря 2011 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д218.008.06 при Петербургском государственном университете путей сообщения по адресу: 190031, Санкт-Петербург, Московский пр. 9, ауд. 1-217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Петербургского государственного университета путей сообщения.

Автореферат разослан «21» ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, профессор Уу^^^, А> Кудряшов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Любое принятие решения сводится к многокритериальному выбору альтернатив при поиске наилучших вариантов решения проблемы, либо лучших, средних и худших объектов при анализе итогов деятельности. Если подведение итогов деятельности осуществляется на основе известных значений показателей, то стадия планирования характеризуется высокой степенью неопределенности. В условиях динамичных преобразований общества вызывает затруднения использование статистических данных на стадии планирования. В качестве альтернативы использованию статистики выступают экспертные оценки проблем, как количественные, так и качественные.

Для решения проблем с высокой степенью неопределенности Томас Саати предложил метод анализа иерархий (МАИ). Он основан на применении матриц парных сравнений (МПС). В отличие от абсолютных значений показателей, применяемых в задачах оптимизации, в МПС используется шкала отношений. Метод анализа иерархий характеризуется небольшим количеством альтернатив (как правило, не более десятка) и экспертным заданием предпочтений. Т. Саати ограничивается применением только целочисленной кратности предпочтений -превосходством одной сущности над другой в 2, 3,..., в 9 раз.

Исследования Т. Саати продолжили A.B. и О.Н. Андрейчиковы, В.Г. Тоценко, М.А. Плаксин, С.И. Колесникова и другие ученые. Метод анализа иерархий (МАИ) получил большое распространение при решении экономических задач. Описание МАИ приводится в большом числе работ различных авторов: А.Н. Павлов, Э.Н. Ожиганов, Hamdy A. Taha и др. Однако применение матриц парных сравнений не ограничивается методом анализа иерархий. Они получили и самостоятельное применение - при определении весовых коэффициентов критериев в системном анализе и методах скалярной оптимизации, при анализе результатов турниров, определении групповых предпочтений экспертов и пр. В этих задачах МПС не ограничиваются только кратностью предпочтений. Помимо нее при формировании МПС применяются порядковые и балльные предпочтения, интенсивности предпочтений, а также соотношения выигрышей и потерь. В определение свойств матриц этих типов внесли вклад Б.Г. Миркин, М. Кендэл, Е. Herrera-Viedma, F. Herrera, S. Alonso и другие ученые.

При экспертном заполнении матриц парных сравнений любого типа приходится решать две задачи: определять согласованность введенных предпочтений и доопределять частично заданные матрицы. Обе задачи связаны с размерностью матриц. Согласно пределам своей оперативной памяти человек может безошибочно заполнить 7±2 клеток матрицы. Этому количеству клеток соответствует размерность симметричной матрицы от 4x4 до 5x5. А уже при сопоставлении десяти альтернатив необходимо заполнять N(N — 1)/2 = 45 клеток, что практически невозможно выполнить без ошибок. Для определения процента ошибок эксперта применяются коэффициенты согласованности, а в качестве меры борьбы с ошибками применяется частичное заполнение матриц.

Остальная часть клеток доопределяется с использованием показателя согласованности. Задачи определения согласованности и доопределения предпочтений решались различными методами следующими учеными: В.Г. Тоденко, Р. Harker, К. Nishizawa, J. Barzilai, М. Fedrizzi, М. Bruneiii, S. Giove, Z. Xu и др.

Конечной задачей использования матриц парных сравнений является расчет приоритетов альтернатив. Эта задача решалась для разных типов предпочтений с учетом и без учета «сил сущностей» следующими учеными: Б.Г. Миркиным, Т. Саати, К.О. Coggerand, P.L. Yu, R.E. Jensen, К. Sekitaniand, N. Yamaki, S. Bozöki и др.

Анализ исследований показал их различную степень полноты для матриц разных типов, а исследователи ограничивались матрицами с определенным типом предпочтений. Для каждого из типов предпочтений получены некоторые частные результаты в решении перечисленных задач. Однако на практике трудно ограничиться каким-то одним типом предпочтений. В частности, такой тип, как кратность предпочтений, в литературе неоднократно подвергался критике. Каждый из типов предпочтений имеет свои достоинства и недостатки. В связи с этим актуальной научной задачей является анализ предпочтений на основе МПС с различными типами предпочтений, включающий расчет приоритетов сущностей, исследование согласованности матрицы, алгоритмы оптимального доопределения не полностью заданных матриц. Наряду с удобством задания предпочтений, систематизация и унификация решения всех задач на матрицах парных сравнений дает возможность сравнивать результаты, получаемые на матрицах различного типа, что представляет как научный, так и практический интерес.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются свойства матриц парных сравнений с различными типами предпочтений, предназначенных для вычисления приоритетов сущностей. Предметом исследования являются методы заполнения и анализа содержимого матриц, их доопределения, и расчета на основе введенных предпочтений приоритетов сущностей.

Цель работы. Создание математического и алгоритмического обеспечения по анализу содержимого МПС с различными типами предпочтений и расчету приоритетов сущностей в задачах принятия решений.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. проанализировать состояние исследований по изучению свойств матриц парных сравнений;

2. формализовать процедуры преобразования предпочтений;

3. разработать систему показателей, характеризующих содержимое как экспертных, так и турнирных матриц с различными типами предпочтений;

4. разработать методы доопределения не полностью заданных матриц;

5. унифицировать методы вычисления приоритетов сущностей.

На основе полученных математических моделей и алгоритмов ставится задача разработать систему вычисления приоритетов (СВП). Система

вычисления приоритетов сущностей должна рассчитывать матрицы с любым типом предпочтений и источником исходных данных, как экспертных, так и объективных.

В составе системы выбора и ранжирования СВИРЬ-Р система вычисления приоритетов должна вычислять весовые коэффициенты критериев в методах скалярной оптимизации и реализовывать метод анализа иерархий (МАИ) с числом уровней не менее пяти. Принципиальной особенностью реализации МАИ является использование любых типов предпочтений в каждой матрице иерархии. Матрицы могут заполняться как экспертами, так и итогами взаимодействия сущностей. Размерность матриц в принципе не ограничена (до десятков сопоставляемых сущностей). На приоритет сущностей должны оказывать влияние степень их взаимодействия, и различимость.

Методы исследования. Для исследований в работе использовались методы системного анализа, теории множеств, теории графов, линейной алгебры и математической статистики.

Научной новизной обладают:

1. обобщенная модель парных сравнений, содержимое которой может отражать любые типы предпочтений;

2. введенные показатели согласованности предпочтений:

• коэффициент порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностей;

• показатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности;

3. введенные показатели, характеризующие взаимодействие активных сущностей (спортивных команд, экономических субъектов и т.п.):

• показатель устойчивости (стабильности) активной сущности;

• показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц;

4. методы доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений, основанные на решении оптимизационной задачи по критерию согласованности предпочтений. Они различаются целевыми функциями (максимальное собственное число и определитель матрицы) и способами (итерационный и аналитический) нахождения неизвестных элементов матрицы.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается экспериментальными доказательствами основных положений работы и практической апробацией предложенных моделей и методов на реальных данных при решении практических задач на разработанной автором системе вычисления приоритетов и инструментальной системе СВИРЬ-Р.

Практическая значимость состоит в использовании полученных результатов на практике для оценки эффективности работы железных дорог, и в учебном процессе в курсе «Теория принятия решений», что подтверждено соответствующими документами о внедрении.

Реализация и внедрение результатов работы:

1. программно-методический комплекс «Система вычисления приоритетов» использован в рамках научно-исследовательской работы «Оказание информационно-справочных услуг по организации взаимодействия обособленных региональных структур враках единого технологического процесса железнодорожных перевозок на территории Красноярской железной дороги» (акт внедрения от 13.10.2011);

2. используется в ПГУПС в составе инструментальной системы СВИРЬ для выполнения лабораторных работ в курсах «Методы и алгортимы принятия решений», «Теория принятия решений» и «Методы принятия решений» (акт внедрения от 07.10.2011).

На защиту выносятся:

1. обобщенная модель парных сравнений, реализующая различные типы предпочтений;

2. показатели согласованности предпочтений:

• коэффициент порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностей;

• показатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности;

3. новые показатели, характеризующие взаимодействие активных сущностей:

• показатель устойчивости (стабильности) активных сущностей, отражающий число циклов, проходящих через вершины графа, соответствующие этим сущностям;

• показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц;

4. методы доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений;

5. разработанная программная система вычисления приоритетов. Апробация работы. Результаты исследований докладывались на

студенческих конференциях «Неделя науки» (ПГУПС, 2005, 2006, 2007 гг.), международных конференциях «Мягкие вычисления и измерения (SCM)» (2005 и 2006 года), Х-й СПб.конференции «Региональная информатика-2006», конференции IEEE AIS'07 и CAD-2007, IV-й научно-практической конференции ИММОД-2009, 8-й Российской конференции «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (1СAM)» (2010 год).

Публикации. По материалам диссертационной работы имеется 10 публикаций, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5-ти глав с краткими выводами, заключения, приложения и списка литературы, включающего 63 наименования. Работа изложена на 170 страницах, включающих 38 рисунков и 28 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и основные задачи исследований, приведены решаемые в диссертации вопросы, раскрыта научная и практическая ценность работы.

Анализ свойств матриц парных сравнений (МПС) показал изолированность исследований применительно к различным типам предпочтений. В работе рассматриваются все известные типы предпочтений:

• порядковые или факты предпочтений (ФП);

• интенсивности предпочтений, измеряемые в долях единицы (Д1);

• балльные предпочтения (БГГ);

• кратные предпочтения (КП);

• выигрыши/потери (В/П).

Взятый в отдельности, каждый тип предпочтений не лишен недостатков. Критики широко применяемой в методе анализа иерархий (МАИ) кратности предпочтений отмечают следующие недостатки: иллюзию линейности градаций вербальной шкалы, замещающей численные оценки кратности, сложность количественного задания кратности предпочтения и ее целочисленный характер. Словесные оценки превосходства не устраняют нелинейности матрицы мультипликативного типа. Использование шкалы отношений сопряжено для человека с определенными трудностями. Например, чем можно обосновать такой выбор, как «А превосходит В в 5 раз», а не в 7 и не в 6? Эти градации шкалы слишком близки для того, чтобы обеспечить приемлемую точность субъективного измерения. Если же шкалу отношений использовать для измерения объективных данных, то следует снять ограничение на целочисленный тип переменных. Например, если по одному показателю доход предприятия составил 1000 условных единиц, а по другому - 400, то первый показатель предпочтительнее второго в 2,5 раза.

При снятии ограничений на целочисленный тип переменных и максимальную кратность предпочтение выражается следующим образом:

((1; со), если x¡ > ху,

(0; 1),если x¡ -< Xj\ 1, если x¡ = x¡.

В виду использования абсолютной шкалы [0, 1] применение интенсивности предпочтений ограничивается представлением превосходства вероятностными оценками. Они органичны при формировании групповых предпочтений, когда часть экспертов голосует за предпочтение x¿ > x¡, а оставшаяся часть - за обратное предпочтение x¡ < Xj. Групповое предпочтение отсутствует (сущности равноценны), если голоса распределились поровну.

Балльные предпочтения в симметричных матрицах имеют ограничение a¡j + C[j¡ = М для каждой пары элементов матрицы. При снятии этого ограничения (a¿J + aJf М) по аналогии с теорией игр элемент а^ трактуется как выигрыш, а ац - как потеря. Содержащая эти элементы матрица названа МПС «Выигрыши/потери» (МПС ВП). Эта матрица наиболее информативна, но

не обладает симметрией, что является причиной необходимости заполнения всех ее клеток.

Наиболее простьми и, вместе с тем наименее информативными, являются порядковые предпочтения (факты предпочтений).

Ограниченность применения каждого из типов предпочтений делает актуальной разработку обобщенной модели матрицы парных сравнений, допускающей использование любого из перечисленных типов предпочтений.

Создание обобщенной модели матрицы парных сравнений потребовало разработки правил преобразования каждого типа предпочтений в другие типы.

В литературе переход матриц от одного типа предпочтений к другому отражен лишь частично. Для рассматриваемых четырех типов предпочтений число взаимных переходов от одного типа к другому составляет 4 • (4 - 1) = 12. В первом разделе второй главы изложены все правила перехода от одних типов предпочтений к другим, либо оригинальные, либо обобщающие известные правила.

Переход от более информативных предпочтений к менее информативным однозначен. Наиболее информативны предпочтения «Выигрыши/потери», которые влекут несимметричность матрицы парных сравнений. От них можно однозначно перейти к любому другому типу предпочтений. Обратные переходы неоднозначны и требуют дополнительной информации. В качестве примера приведем правила преобразования элементов а®пматрицы фактов предпочтений в элементы балльной матрицы. Этот переход требует задания общего количества баллов М и количества баллов V, начисляемых предпочитаемой сущности:

{ у,если<п = <п;

«5 = | V, если« = 1)А(а?-" * а$п); [м - К,если(а?.п = 0)Л(а$п Ф а?п).

Переход от одного типа предпочтения к другому позволяет эксперту задавать предпочтения в удобной для него форме. Примером может служить задание экспертом частотных предпочтений в форме кратности и наоборот. Переход от одного типа предпочтения к другому не только изменяет значения приоритетов и их величину, но может изменять и их соотношение.

В литературе по матрицам парных сравнений рассматриваются следующие методы расчета приоритетов:

• построчное суммирование;

• итеративный метод;

• метод собственного вектора (ЕМ);

• логарифмическое усреднение;

• вероятностный метод;

• метод наименьших квадратов (Ь8М);

• метод наименьших логарифмических квадратов (1Х8М).

Методы различаются получаемыми приоритетами сущностей и их соотношением, типами матриц, для которых они применимы, учетом взаимовлияния объектов, количеством получаемых векторов приоритетов.

Наиболее универсальным является итеративный метод, предложенный Б.Г. Миркиным. Он включает в себя как частный случай построчное суммирование баллов. При устремлении числа итераций к бесконечности вектор приоритетов устремляется к нормированному собственному вектору матрицы, соответствующему ее максимальному собственному числу /1тах.

Варианты расчета приоритетов без учета и с учетом сил сущностей предложено реализовывать единообразно через степень матрицы парных сравнений, соответственно с к = 1 и к > 1. Они выражаются следующей обобщенной формулой:

(А + cE)fc _

wWe'

где А - это неотрицательная MIIC произвольного типа с нулевой главной диагональю; Е - единичная матрица; ет - единичный вектор-столбец; с -масштабный коэффициент; к — показатель взаимодействия объектов; знаком Е обозначено суммирование всех элементов матрицы (А + сЕ)к.

Для расчета нецелочисленных степеней матрицы В = А + сЕ применяется ее спектральное разложение в виде М = PDP-1, где Р - ортогональная матрица, столбцы которой - это собственные векторы матрицы М, а D - диагональная матрица с собственными значениями М в диагонали. Тогда, если Dx - матрица, полученная поэлементным возведением матрицы D в степень х: dXj. = dfj, то М* = PDj.P-1.

Эта формула позволяет вычислять непрерывные графики приоритетов объектов как функции степени к, трактуемой степенью взаимодействия сущностей. Графики отображают затухающий колебательный процесс, стремящийся к 1 /п при к -> 0 и к собственному вектору при к -> оз.

При заполнении матриц экспертами важную роль играет согласованность предпочтений. Под ней понимается мера их непротиворечивости. Действительно, если эксперт установил на трех сущностях хг, х2, х3 предпочтения а1 > а2 и а2 > а3, то к оставшейся паре логично применить требование транзитивности: аг > а3. Противоположная направленность предпочтения а1 < а3 означает отсутствие транзитивности, т. е. наличие противоречия. Она иллюстрируется циклом на трех вершинах графа, соотнесенного МПС ФП.

Количественная оценка (коэффициент) порядковой согласованности определяется по формуле:

л = 1~- 0)

umax

М. Кенделом предложены формулы для подсчета числа циклов d по содержимому матрицы и максимального числа циклов dmax по ее размерности. Эти формулы учитывают только направленные циклы, т. е. циклы, содержащие хотя бы одну дугу. Они не применимы к матрицам с нестрогими предпочтениями, поскольку ненаправленный цикл типа at = а2 = а3 = а1г отражающий равнозначность сущностей, нельзя объяснить противоречиями в

экспертных суждениях, а, следовательно, использовать при подсчете числа циклов <1.

Максимальное число циклов йтах в смешанном графе (содержащем ребра наряду с дугами) больше, чем в орграфе, поскольку снимается ограничение с направленности части дуг. Оно равно: йтах = С,

Общее число циклов в графе, соотнесенном матрице, рассчитывается как {т(А3)/3. Количество несогласованностей й в смешанном графе равно разности между общим количеством циклов и циклов, образованных только ребрами. Для расчета числа ненаправленных циклов будем использовать матрицу В соотнесенного графа, в котором все дуги исходного графа заменены на ребра. Матрица В строится по правилу ¿¡у = а^ац. Расчет числа несогласованностей с использованием матриц А и В можно произвести по формуле:

<т(А:!) - сгСВ3) ---,

где А - исходная матрица; В - матрица неориентированных циклов; 1г - след матрицы.

Подставляя выражения для й и (¿тах в формулу (1), получаем обобщенный коэффициент порядковой согласованности, пригодный для ее расчета в матрицах, как со строгими, так и нестрогими предпочтениями.

Поскольку МПС ФП может быть однозначно вычислена на основе матрицы с любым типом предпочтений, показатель порядковой согласованности пригоден для оценки согласованности матрицы с любым типом предпочтений.

Для оценки кардинальной (количественной) согласованности матриц с кратностью предпочтений Томас Саати предложил использовать коэффициент:

1 Атах - ЛГ 1

где КС - коэффициент согласованности; ОС - отношение согласованности; ИС -индекс согласованности; СС - случайная согласованность.

Коэффициент согласованности рассчитывается на основе собственного числа матрицы и значения случайной согласованности матрицы той же размерности. Собственное число матрицы при выполнении всеми элементами матрицы тождества ац-а^ = щк достигает своего минимального значения, равного размерности матрицы. При его нарушениях наблюдается Атах > N. Величина отклонения максимального собственного числа матрицы от ее размерности отражает степень рассогласованности предпочтений. Этот показатель в ряде работ был подвергнут критике, в виду недостаточной обоснованности. Коэффициент согласованности вводился как нормированный показатель, но для матриц с плохой согласованностью он может принимать отрицательные значения. Проиллюстрируем это на примере плохо согласованной матрицы М:

1 1/6 6 М = 6 1 1/5 . 1/6 5 1

Полученное для этой матрицы отношение согласованности, вычисленное на основе ИС=(6,8-3)/(3-1)=1,912, равно ОС=1,912/0,58=3,296, т. е. ОС> 1, а КС=-2,296 <0.

I Ват1а1 предлагает для оценки согласованности матриц кратности предпочтений и аддитивных матриц использовать показатели относительной согласованности и относительной ошибки. Исходная МПС КП А раскладывается на две матрицы: идеально согласованную матрицу С, вектор приоритетов которой совпадает с вектором приоритетов матрицы А и матрицу ошибок Е: ац = с^сц. По содержимом)' матриц А и Е вычисляется относительная согласованность и относительная ошибка, в сумме равные единице: Я С (А) + НЕ (А) = 1. Относительная согласованность указывает долю элементов матрицы, которая влияет на веса сравниваемых объектов, а относительная ошибка -остальную долю элементов матрицы, не оказывающую влияния на веса оцениваемых объектов. В качестве меры улучшения согласованности предлагается исключение из матрицы А компонента ошибок Е путем повторного опроса экспертов.

Для формирования нового показателя количественной (кардинальной) согласованности в матрицах с кратностями предпочтений (МПС КП) в работе предложено принять за основу показатель порядковой согласованности. Для его расчета используется суммарное количество нарушений согласованности предпочтений на всех тройках элементов. Для матриц кратности предпочтений недостаточно подсчитать число циклов, так как каждая тройка сущностей содержит не только факт согласованности, но и ее меру. Для получения соответствующей оценки С матрицы парных сравнений будем суммировать меру несогласованности всех троек сущностей:

N-2 N-1 N

с = ^ ^ ^ /(а^,ад.,аи) ¡=1 J=i+l к=у+1

За меру согласованности предпочтений тройки сущностей примем отклонение предпочтений от з'словия идеальной согласованности предпочтений: аиа]каГк = а1)а)каы — 1- Д®1 перехода от мультипликативной к аддитивной форме воспользуемся логарифмической шкалой, а для получения неотрицательного значения меры согласованности возьмем квадрат от логарифма произведения. В результате функция примет следующий вид:

С = ^ 1«2(аи ' а!к ■ акд-

¡=1 ;'=(+1к=у+1

Для вычисления значения Стах предложена следующая формула: Ы3 — Ы2 ,

----1гг атах, если!*!- нечетно

ОпахС^тах» \ /у3 _д;2 \

■ - N ) ■ 1п2 атах, еслиЫ- четно.

2

Коэффициент количественной согласованности Сп определяется как дополнение нормированного показателя С до единицы:

Сц — 1 ^У^тах*

Применительно к матрицам турнирного типа показатель согласованности не имеет физического смысла, поскольку они отражают не наличие противоречий в оценках эксперта, а результаты противоборства активных сущностей. Такого рода показатели в литературе отсутствуют.

Для анализа результатов взаимодействия активных сущностей в работе введены два оригинальных показателя. Показателем устойчивости в предпочтениях является число проходящих через них циклов. В спортивной терминологии команда А, выигравшая у команды В и проигравшая команде С, которая, в свою очередь, проиграла команде В, показывает нестабильную игру. Таким образом, число циклов проходящих через вершину х е X, может служить мерой нестабильности (неустойчивости) сущности х. Нормированная величина А{х)/йт ах позволяет сравнивать неустойчивость сущностей независимо от их числа, а величина 1 - й(х)/йтаххарактсризует устойчивость сущности х.

Предпочтения «Выигрыши/Потери» не предполагают согласия экспертов, поскольку используется для отражения результатов противоборств. А для них характерны не только непостоянная сумма баллов относительно главной диагонали матрицы, но и равнозначность ее элементов, отражающих ничейные результаты. Применительно к этим предпочтениям коэффициент согласия Кендэла, предложенный для оценки групповых экспертиз, можно рассматривать как частный случай, отражающий в противоборствах преобладание сильных над слабыми.

Поскольку обобщенный показатель должен характеризовать не только степень согласия мнений, но и их разнобой, более нейтральным выглядит его название как выраженность предпочтений. Чем больше в матрице равнозначных элементов и противоречий, тем менее выражено групповое предпочтение, и наоборот, оно возрастает при уменьшении равнозначностей и противоречий. В частном случае, при равнозначности всех сравниваемых объектов, можно считать, что мнения экспертов полностью согласованны, а предпочтения не выражены. Выраженность предпочтений находится как среднее арифметическое выраженности предпочтений всех элементов матрицы:

р - 1)

При выполнении для всех элементов матрицы условия а^ + а.ц = М выраженность предпочтений преобразуется в коэффициент согласия и с областью значений в диапазоне 1]- Для получения его максимального

значения достаточно подставить во все элементы верхней треугольной матриц значение М, а в элементы нижней треугольной матрицы - нули.

Для матриц большой размерности (с числом заполняемых клеток более пяти-семи) актуальной является проблема дозаполнения оставшихся клеток.

Наиболее очевидным методом доопределения неизвестных элементов матриц фактов строгих предпочтений является применение транзитивности:

если Х1 > X) и л.) > хк, то > хк. Этот метод применим при заполнении матрицы вдоль гамильтонова пути соотнесенного графа. МБЫгаша рассматривает способ доопределения матриц фактов нестрогих предпочтений А размерности N с помощью четырех вспомогательных матриц Р, И = Р, V, С. Их начальные значения строятся по матрице А. Определены правила вычисления пустых клеток по элементам вспомогательных матриц.

Доопределению матриц с кратными предпочтениями посвящены работы П.Т. Харкера. Согласно первому методу отсутствующие элементы матрицы предлагается заполнять средним геометрическим кратностей всех путей между соответствующими вершинами графа предпочтений. Второй метод основан на построении функциональной матрицы С. Известные элементы из матрицы А переносятся в матрицу С. Отсутствующие элементы матрицы А полагаются равными отношению приоритетов соответствующих элементов рассчитанных для функциональной матрицы С: =

Этот способ не учитывает взаимного влияния неизвестных элементов матрицы друг на друга, поэтому не гарантирует максимальной согласованности полученной матрицы.

В диссертационной работе предложены 3 метода доопределения частично заполненных матриц кратности предпочтений в рамках задачи оптимизации величин неизвестных предпочтений по критерию их согласованности. В качестве целевой функции принята мера несогласованности предпочтений, подлежащая минимизации. Методы заполнения пустых клеток матриц, различаются показателем, принятым за меру несогласованности предпочтений и способом решения оптимизационной задачи.

Доопределение по собственному числу матрицы. Поскольку для достаточно согласованных матриц Лтах > N, задача оптимизации сводится к минимизации максимального собственного числа при поиске наилучшего доопределения матрицы. Собственное число матрицы рассматривается как функция от неизвестных элементов верхней треугольной матрицы. Поскольку расчет минимума собственного числа сложно выразить аналитически, для поиска минимума функции нескольких аргументов предложен итеративный алгоритм.

Доопределение по определителю матрицы. В работе аналитически обоснована возможность использования определителя матрицы в качестве показателя согласованности предпочтений. В основу доказательства положено представление определителя как численной оценки совокупности всех несмежных контуров с двусторонней направленностью предпочтений в соотнесенном графе. Нахождение неизвестных элементов матрицы базируется на следующих утверждениях.

Утверждение 2.1. Производная определителя по любому ребру соотнесенного графа, обращается в 0 при таком значении ребра, которое обращает граф в согласованный.

Следствие. Для элементов аи главной диагонали, отличных от 1, функция определителя матрицы от кратности а.ц имеет единственный экстремум (на

положительной полуоси) при таком значении кратности акоторое обращает матрицу в согласованную.

Утверждение 2.2. Частные производные определителя по любому из двух элементов, обращаются в 0 при такой кратности, которой соответствует согласованная матрица.

Утверждение 2.3. Частные производные функции определителя от любого числа элементов МПС при достижении согласованности предпочтений обращаются в 0.

В работе предложен итеративный алгоритм доопределения матрицы с определителем в качестве целевой функции.

Аналитическое решение задачи доопределения матрицы. Задача оптимизации М элементов сводится к решению системы из М уравнений:

^С(асо;(1)со;-(1),асо1(2)соД2), ■■• асоНМ)соЦМ)) _ 0

дас0!(1)СоД1)

дС{асо1(1)соЛ1)'асоЦ2)соХ2\ •■• аап(Л*)соДМ)) .

-яТ,-= °

аасо1{г)со](г)

дС(ас01(1)а,;(1> асо1(2)соД2), •■■ Асо1(М)соЯМ)) _ р даС0((М)С0дМ)

В расчете используются координаты сквозных номеров элементов матрицы со!([), сведенные в таблицу, и матрица, состоящая из степеней неизвестных.

На примере матрицы А1 с одним неизвестным элементом а!3:

0 10 «13 2

0.1 0 0.2 0.5

5 0 1.842

0.5 2 0.543 0

показано, что определитель матрицы от группы ребер имеет экстремум, в точке, наиболее приближенной к согласованности (см. рис. 1).

Рис.1. Графики функций Пл(ао)> и их производных для матрицы А1

12

На рис. 1 сплошными линиями приведены графики функции собственного числа Лх(а1/) и ее производной, а пунктирными линиями - функции определителя t]d(ai;) матрицы Аа и ее производной. На графике видна близость точек пересечения (ai;- = 1,42) кривыми производных оси предпочтения, что подтверждает предположение о максимальной согласованности матрицы при экстремальном значении определителя.

В третьей главе рассматривается разработанная система вычисления приоритетов (СВП), универсальная по отношению к типам предпочтений и реализованная в виде динамической библиотеки системы выбора и ранжирования СВИРЬ-Р. Описывается архитектура системы и ее функции.

Матрицы парных сравнений могут заполняться предпочтениями любого типа, либо вручную, либо из пакета MS Excel. Содержимое матрицы автоматически преобразуется в любой другой тип предпочтений. Пустые клетки МПС ФП и КП заполняются автоматически на основании содержимого заполненных клеток.

Согласованность и выраженность предпочтений, а также устойчивость сущностей выражается численно через систему соответствующих показателей, а также представляется когнитивной графикой в форме графа предпочтений (доминирования).

На основе содержимого МПС с любым типом предпочтений вычисляются нормированные приоритеты оцениваемых сущностей. Величина и соотношение приоритетов управляется значениями масштабного коэффициента (показателя различимости) и степени матрицы (показателя взаимодействия сущностей).

Результаты вычисления приоритетов представляются графиком динамики приоритетов (зависимостью приоритетов от степени матрицы). Приоритеты, рассчитанные для различных типов предпочтений и параметров расчета, могут сравниваться в порядковых шкалах.

Метод анализа иерархий для матриц с любым типом предпочтений реализуется в СВП совместно с системой СВИРЬ-Р. Результаты вычислений представляются таблично и графически в СВП. Они возвращаются в систему СВИРЬ-Р и могут выводиться в IMS Excel.

В четвертой главе описываются эксперименты по определению свойств МПС и оценке определителя в качестве целевой функции доопределения матрицы кратности предпочтений.

Результаты экспериментов иллюстрирует зависимость величины и соотношения приоритетов от выбранного типа предпочтений. Для матриц, чьи предпочтения выражаются целыми числами или смешанными дробями (МПС ВП и КП), диапазон приоритетов сужается с увеличением степени взаимодействия сущностей, а для матриц, чьи предпочтения выражаются обыкновенными дробями (МПС ФП и Д1), диапазон приоритетов расширяется.

На величину и соотношение приоритетов влияют также параметры их расчета: масштабный коэффициент с и степень матрицы к. Увеличение коэффициента с увеличивает различие между приоритетами. По этой причине он назван показателем различимости. Увеличение степени матрицы к

стабилизирует соотношение приоритетов при устремлении к собственному вектору матрицы.

Наиболее чувствительна к изменению любых параметров матрица с порядковыми предпочтениями (МПС ФП) в силу их качественного, а не количественного выражения. Особенно сильно на диапазон приоритетов влияет учет сил сущностей. В матрицах с транзитивным замыканием предпочтений с увеличением степени к приоритет сильной сущности стремится к единице, а слабых сущностей к нулю (см. рис. 2).

Этот эффект можно интерпретировать как подавление слабых сущностей сильными в условиях неограниченной свободы применения силы.

Эксперимент по использованию определителя матрицы в качестве целевой функции ее доопределения показал возможность применения его для квадратных матриц размерностью N < 6 или матриц, близких к согласованным.

В пятой главе описывается ряд задач, решенных в системе СВП.

Возможность доопределения частично заданных матриц с нестрогими предпочтениями позволила решить задачу выявления ошибок экспертов в задаче вербального анализа решений.

Введение новых показателей и средств когнитивной графики дало возможность выполнять исчерпывающий анализ результатов турнира. В качестве примера проанализированы результаты футбольного чемпионата России за 2009-й год.

Благодаря объединению функциональных возможностей систем СВП и СВИРЬ-Р оказалось возможным в методе МАИ реализовать режим автоматического заполнения матриц с любым типом предпочтений на основе значений показателей, принятых за критерии оценивания сущностей.

Функциональные возможности СВП, ее связь с системами СВИРЬ-Р и MS Excel были использованы для организации лабораторной работы, предназначенной для изучения свойств матриц парных сравнений и решения с их помощью задач принятия решений.

В заключении работы приводятся основные результаты, полученные в процессе диссертационных исследований, подводятся итоги и формулируются возможные перспективы дальнейших исследований.

14

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В процессе диссертационных исследований были получены следующие основные результаты.

Выполнен анализ исследований в области формирования, анализа и обработки матриц парных сравнений.

Разработаны правила преобразования предпочтений и на их основе предложена обобщенная модель парных сравнений, содержимое которой может отражать любые типы предпочтений.

Усовершенствованы показатели согласованности предпочтений:

• коэффициент порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностей;

• показатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности. Предложены новые показатели, характеризующие взаимодействие

активных сущностей:

• показатель устойчивости (стабильности) активных сущностей, отражающий число циклов, проходящих через вершины графа, соответствующие этим сущностям;

• показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц.

Доказана возможность использования определителя матрицы парных сравнений для оценки согласованности содержащихся в ней предпочтений.

Разработано три метода доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений, основанные на решении оптимизационной задачи по критерию согласованности предпочтений. Они различаются целевыми функциями (максимальное собственное число и определитель матрицы) и способами (итерационный и аналитический) нахождения неизвестных элементов матрицы.

Выполнено экспериментальное исследование в среде МАТЬАВ с целью сопоставления результатов доопределения матрицы с максимальным собственным числом и определителем в качестве целевых функций. Исследование показало различие результатов доопределения.

Разработана система вычисления приоритетов, универсальная по отношению к типам предпочтений и реализованная в виде динамической библиотеки системы выбора и ранжирования СВИРЬ-Р.

С применением системы вычисления приоритетов выполнены эксперименты по определению свойств МПС с различными типами предпочтений.

С помощью системы вычисления приоритетов решен ряд новых задач в области принятия решений.

Система вычисления приоритетов была использована для выполнения научных работ в области железнодорожного транспорта и внедрена в учебном процессе но дисциплине «Теория принятия решений».

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в рекомендованных ВАК РФ изданиях:

1. МикониС.В., Киселев И.С. Система вычисления приоритетов на основе матриц парных сравнений // Программные продукты и системы, 2009, №4, с. 9-И (список ВАК)

2. Киселев И.С. Показатель согласованности количественных предпочтений в матрице парных сравнений // Известия Томского политехнического университета, 2011, Том 318, №5 с. 22-24. (список ВАК)

3. Киселев И.С. Аналитический метод доопределения кратных предпочтений в матрице парных сравнений // Прикладная дискретная математика, 2011, №3 (13) с. 122-128. (список ВАК)

Статьи, опубликованные в других научных изданиях:

4. МикониС.В., Киселев И.С. Система вычисления приоритетов. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2009611221.2009г.

5. Микони C.B., Киселев И.С. Универсальный алгоритм расчета приоритета сущностей для разных типов предпочтений // Сборник докладов междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям SCM'2005, 27-28. 06.2005,-СПб: СПбГЭТУ, Том 1, с.291-296.

6. Микони C.B., Киселев И.С. Анализ и оценивание результатов турнира // Сборник докладов междунар. конф. по мягким вычислениям и измерениям SCM'2006, -СПб.: 27-29.06.2006, -СПб: СПбГЭТУ, том 2, с.127-133.

7. Микони C.B., Киселев И.С. Способы извлечения информации из матрицы парных сравнений // Материалы Х-й СПб.конф. «Региональная информатика-2006»,24-26.10.2006, -СПб.: Политехника, 2006, с.44.

8. Микони C.B., Киселев И.С. Приближенный метод доопределения матрицы парных сравнений с кратными предпочтениями // Труды конфЛЕЕЕ AIS'07 и CAD-2007, Дивноморское, 3-10.09. 2007, -М: Наука. Физматлит, 2007, с.330-334.

9. Микони C.B., Киселев И.С. Интеллектуальное имитационное моделирование предпочтений экспертов на матрицах парных сравнений // Материалы Ш-й научно-практической конференции ИММОД-2007, 1719.10.2007, -СПб.: ФГУП ЦНИИТС, Том 1, с. 182-186.

10. Микони C.B., Киселев И.С. Экспериментальное доказательство достоверности метода доопределения матриц предпочтений // Материалы IV-й научно-практической конференции ИММОД-2009, 21-23.10.2009, -СПб.: ФГУП ЦНИИТС, Том 2, с. 109-112.

Подписано в печать Печать - ризография. Тираж 100 экз.

15.11.2011

Бумага для множит.: Заказ № 1014.

Печ. л. - 1,0 пл. :. Формат 60 х 84 1/16

СР ПГУПС, 190031, Санкт-Петербург, Московский пр., 9

16

Введение.

Глава 1. Анализ предпочтений и методов их обработки в матрицах парных сравнений.

1.1. Анализ матриц парных сравнений.

1.1.1. Порядковое предпочтение.

1.1.2. Интенсивность предпочтения.

1.1.3. Балльные предпочтения.

1.1.4. Выигрыши / потери.

1.1.5. Кратность предпочтений.

1.1.6. Сопоставление типов предпочтений.

1.1.7. Преобразование типов предпочтений.

1.2. Методы расчета приоритетов.

1.2.1. Построчное суммирование.

1.2.2. Итеративный метод.

1.2.3. Логарифмическое усреднение.

1.2.4. Вероятностная модель.

1.2.5. Метод наименьших квадратов (ЬБМ).

1.2.6. Метод наименьших логарифмических квадратов (IX8М).

1.3. Показатели согласованности предпочтений.

1.3.1. Порядковая согласованность.

1.3.2. Коэффициент согласия.

1.3.3. Кардинальная согласованность.

1.3.4. Показатель с3.

1.3.5. Согласованность матриц интенсивности предпочтений.

1.4. Методы улучшения согласованности предпочтений.

1.4.1. Улучшение порядковой согласованности матрицы.

1.4.2. Относительная согласованность и относительная ошибка.

1.5. Доопределение неполных матриц.

1.5.1. Актуальность доопределения матриц.

1.5.2. Доопределение матриц с кратными предпочтениями.

1.5.3. Доопределение матриц фактов предпочтений.

1.6. Выводы по первой главе.

Глава 2. Разработка системы показателей и методов обработки матриц парных сравнений.

2.1. Преобразование типов предпочтений.

2.1.1. Преобразование матриц фактов предпочтений.

2.1.2. Преобразование матриц интенсивности предпочтений.

2.1.3. Преобразование матриц кратности предпочтений.46

2.1.4. Преобразование матриц выигрышей/потерь.

2.2. Разработка показателей для экспертных и турнирных матриц.

2.2.1. Порядковая согласованность.

2.2.2. Количественная согласованность.

2.2.3. Предпочтения «Выигрыши/Потери».

2.2.4. Устойчивость в предпочтениях.

2.3. Метод расчета приоритетов для МПС различных типов.

2.4. Доопределение матриц кратности предпочтений.

2.4.1. Доопределение по собственному числу матрицы.

2.4.2. Доопределение по определителю матрицы.

2.4.3. Аналитическое решение задачи доопределения матрицы.

2.5. Выводы по второй главе.

Глава 3. Система вычисления приоритетов.

3.1. Назначение системы.

3:2-. Архитектура СВП.

3.3. Работа в системе вычисления приоритетов.

3.3.1. Вход в систему вычисления приоритетов.

3.3.2: Выбор типа и режима ввода предпочтений.

3.3:3. .-Ручной ввод предпочтений.

3.3.4. Анализ согласованности предпочтений.

3.3.5. Расчет приоритетов.

3.3.6: Вывод результатов.:.

3.4. Выводы по третьей главе.

Глава 4. Экспериментальное исследование свойств матриц парных сравнений.

4.1. Планирование экспериментов.•.

4.2. Оценивание влияния типа предпочтений на приоритеты.

4.3. Анализ согласованности предпочтений.

4.4. Оценивание влияния параметров расчета на приоритеты.

4.4.1. Влияние масштабного коэффициента.

4.4.2. Влияние степени взаимодействия сущностей.

4.5. Оценка определителя в качестве целевой функции доопределения матрицы 1фатности предпочтений.

4.5.1. Методика эксперимента.

4.5.2. Алгоритм экспериментального исследования.

4.5.3. Результаты экспериментального исследования.

4.6. Выводы по четвертой главе.

Глава 5. Задачи, решаемые в системе вычисления приоритетов.

5.1. Технология решения задач системой вычисления приоритетов.

5.2. Анализ ошибок экспертов в задаче ВАР.

5.3. Анализ результатов турнира-.

5.4. Реализация метода анализа иерархий в системе СВИРЬ-СВП.

5.5. Лабораторная работа по теории,принятия решений.

5.6. Определение важности критериев в задаче определения динамики развития ОАО РЖД.

5.6.1. Структура показателей ОАО РЖД.

5.6.2. Метод оценивания динамики функционирования отрасли.

5.6.3. Вычисление важности критериев на основе матрицы парных сравнений.

5.7. Выводы по пятой главе.

Актуальность проблемы. Любое принятие решения сводится к многокритериальному выбору альтернатив при поиске наилучших вариантов решения проблемы, либо лучших, средних и худших объектов при анализе итогов деятельности. Если подведение итогов деятельности осуществляется на основе известных. значений показателей, то стадия планирования характеризуется высокой степенью неопределенности. В условиях динамичных преобразований общества вызывает затруднения использование статистических данных на стадии планирования. В" качестве альтернативы использованию статистики выступают экспертные оценки проблем, как количественные, так и качественные.

Для*, решения проблем; с высокой степенью-неопределенности Томас Саати предложил метод анализа иерархий (МАИ).- Он основан на применении матриц, парных сравнений (МПС). В отличие от абсолютных значений показателей; применяемых в задачах-оптимизации; в. МПС используется шкала отношений. Метод анализа иерархий-характеризуется небольшим количеством альтернатив (как правило, не более десятка) и экспертным заданием предпочтений. Т. Саати ограничивается, применением, только целочисленной кратности-предпочтений -превосходством одной сущности-над другой в 2, 3, ., в,9 раз.

Исследования- Т. Саати продолжили A.B. и О.Н. Андрейчиковы, В.Г. Тоценко, М.А. Плаксин, С:И: Колесникова и другие ученые. Метод-анализа иерархий получил большое распространение при решении- экономических задач. Описание МАИ приводится в большом, числе работ различных авторов: А.Н. Павлов, Э.Н. Ожиганов, Hamdy A. Taha и др. Однако применение матриц парных сравнений не ограничивается методом анализа иерархий. Они получили и самостоятельное применение — при определении весовых коэффициентов критериев в системном анализе и методах скалярной оптимизации, при анализе результатов турниров, определении групповых предпочтений экспертов и пр. В этих задачах МПС не ограничиваются только кратностью предпочтений. Помимо нее при формировании МПС применяются порядковые и балльные предпочтения, интенсивности предпочтений, а также соотношения выигрышей и потерь. В определение свойств матриц этих типов внесли вклад Б.Г. Миркин, М. Кендэл, Е. Herrera-Viedma, F. Herrera, S. Alonso и другие ученые.

При экспертном заполнении матриц парных сравнений любого типа приходится решать две задачи: определять согласованность введенных предпочтений и доопределять частично заданные матрицы. Обе задачи связаны с размерностью матриц. Согласно пределам своей оперативной'памяти человек может безошибочно заполнить 7±2 клеток матрицы. Этому количеству клеток соответствует размерность симметричной5 матрицы от 4x4 до 5x5. А уже при сопоставлении десяти' альтернатив необходимо заполнять N(N — 1)/2 = 45 клеток, что практически невозможно выполнить без ошибок. Для определения процента ошибок эксперта-применяются4 коэффициенты согласованности, а в качестве меры борьбы с ошибками применяется частичное заполнение матриц. Остальная^ часть клеток доопределяется с использованием показателя: согласованности. Задачи определения согласованности и доопределения предпочтений ' решались различными методами' следующими1, учеными: В.Г. Тоценко? Р. Harker, К. Nishizawa, J. Barzilai, М: Fedrizzi, М. Bruneiii, S. Giove, Z. Xu и др.

Конечной задачей использования матриц парных сравнений является расчет приоритетов альтернатив. Эта задача решалась для разных типов предпочтений с учетом и без учета «сил сущностей» следующими учеными: B.F. Миркиным, Т. Саати, К.О. Coggerand, "P.L. Yu, R.E. Jensen, К. Sekitaniand, N. Yamaki, S. Bozóki и др.

Анализ исследований показал их различную степень полноты для матриц разных типов; а- исследователи ограничивались матрицами с определенным типом предпочтений. Для каждого из типов предпочтений получены некоторые частные: результаты в решении перечисленных задач. Однако на практике трудно* ограничиться каким-то одним типом предпочтений. В частности, такой тип, как кратность предпочтений, в литературе неоднократно подвергался критике. Каждый из типов.предпочтений имеет свои достоинства и недостатки. В связи с, этим актуальным, является анализ предпочтений на основе МПС с различными : типами предпочтений, включающий- расчет приоритетов* сущностей, исследование: согласованности матрицы, алгоритмы оптимального доопределения» не полностью заданных матриц. Наряду с удобством задания предпочтений, систематизация • и унификация решения всех задач на матрицах парных сравнений« дает, возможность сравнивать результаты, получаемые на матрицах различного типа, что представляет как научный, гак и практический: интерес: '•■.'■-"■■; . . .

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются? свойства, матриц парных сравнений с:, различными типами предпочтений;, предназначенных.' для вычисления приоритетов, сущностей:- Предметом исследования; являются* методы заполнения; и анализа: содержимого: матриц, их доопределения, и? расчета на основе; введенных: предпочтений? приоритетов; сущностей. . • . ' . •:'•;'

• Цель; работы;-Создание математического и алгоритмического: обеспечения* по анализу. содержимого МПС с различными типами предпочтений и расчету приоритетошсущностейт^задачах принятияфешений;

Для достижения: носташюнной цели необходимо решить следующие задачи:

1. проанализировать - состояние1 исследований - по изучению свойств1 матриц парных сравнений; , ^

2. формализовать процедуры преобразования предпочтений;

3. разработать систему показателей; характеризующих содержимое как экспертных, так и турнирных матриц с различными типами предпочтений;

4. разработать методы доопределения не полностью заданных матриц;

5. унифицировать методы вь1числения приоритетов сущностей.

На основе полученных математических моделей и алгоритмов ставится задача разработать систему вычисления приоритетов (СВП). Система вычисления приоритетов сущностей должна рассчитывать матрицы с любым типом предпочтений д источником'исходных данных, как экспертных, так и объективных.

В составе системы выбора, и ранжирования СВИРЬ-Р система вычисления приоритетов должна вычислять весовые коэффициенты критериев в методах скалярной оптимизации и реализовывать метод анализа иерархий (МАИ) с числом уровней не 'менее пяти. Принципиальной* особенностью реализации МАИ является использование любых типов предпочтений в каждой матрице иерархии. Матрицы могут заполняться как экспертами, так и итогами взаимодействия сущностей. Размерность матриц в принципе не ограничена (до десятков сопоставляемых сущностей). На приоритет сущностей должны оказывать влияние степень их взаимодействия, и различимость.

Методы, исследования. Для исследований в работе использовались методы системного анализа, теории множеств, теории графов, линейной алгебры и математической статистики.

Научной новизной обладают:

1. обобщенная модель парных сравнений, содержимое которой может отражать любые типы предпочтений;

2. введенные показатели согласованности предпочтений: коэффициент ■ порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностей; показатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности;

3. введенные показатели, характеризующие взаимодействие активных л сущностей (спортивных команд, экономических субъектов и т.п.):

- показатель устойчивости (стабильности) активной сущности;

- показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц;

4. методы доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений, основанные на решении оптимизационной' задачи по критерию согласованности -предпочтений. Они различаются целевыми функциями (максймальное собственное число и определитель матрицы) и способами (итерационный и аналитический) нахождения неизвестных элементов матрицы.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается экспериментальными .доказательствами основных положений работы и практической апробацией предложенных моделей и методов на реальных данных при решении практических задач на разработанной' автором системе вычисления приоритетов и инструментальной системе СВИРЬ-Р.

Практическая, значимость состоит в^ использовании, полученных результатов на-практике для оценки эффективности работы железных дорог, и в учебном- процессе в курсе «Теория принятия решений», что подтверждено соответствующими документами о внедрении. Реализация и внедрение результатов работы:

1. программно-методический-комплекс «Система вычисления приоритетов» использован в рамках научно-исследовательской* работы «Оказание информационно-справочных услуг по1 организации взаимодействия обособленных региональных структур враках единого1 технологического процесса железнодорожных перевозок на территории Красноярской железной дороги» (акт внедрения от 13.10.2011);

2. используется в ПГУПС в составе инструментальной системы СВИРЬ для выполнения лабораторных работ в- курсах «Методы и алгортимы принятия решений», «Теория принятия решений» и «Методы принятия решений» (акт внедрения от 07.10.2011). На защиту выносятся: - ■

1. обобщенная модель -парных сравнений, реализующая различные типы предпочтений;

2. показатели согласованности предпочтений:

- коэффициент порядковой -г , согласованности, учитывающий равнозначность сущностей;

- показатель - количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности;

3. новые показатели, характеризующие взаимодействие активных сущностей:

- показатель' устойчивости (стабильности)" активных сущностей, отражающий число циклов, проходящих через вершины графа, соответствующие этим сущностям;

- показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц;

4. методы доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений;

5. разработанная 'программная система вычисления приоритетов. Апробация работы. Результаты исследований докладывались на студенческих конференциях «Неделя науки» (ПРУПС, 2005, 2006, 2007 гг.), международных конференциях «Мягкие вычислениями измерения (SCM)» (2005 и 2006 года), Х-й СПб.конференции «Региональная информатика-2006», конференции IEEE AIS'07 и> CAD-2007, IV-й научно-практической конференции ИММОД-2009, 8-й Российской конференции «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (ICAM)» (2010 год). ".

Публикации. По материалам диссертационной работы имеется - 10 публикаций, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5-ти глав с краткими выводами, заключения, приложения и списка

5.7. Выводы по пятой главе 1. Поскольку СВП ориентирована на обработку матриц с любыми типами предпочтений, эта система пригодна для решения всех типовых задач на матрицах парных сравнений. К ним относятся задачи выбора наилучшей альтернативы на стадии планирования, распределения ресурсов (пропорционально полученным приоритетам), групповой экспертизы [3], определения мест по результатам противоборств и т.д.

Реализация в системе разработанных в диссертации методов доопределения частично заданных матриц и новых показателей позволило решить ряд новых задач.

2. Возможность доопределения частично заданных матриц с нестрогими предпочтениями позволила решить задачу выявления ошибок экспертов в задаче вербального анализа решений.

3. Введение новых показателей и средств когнитивной графики дало возможность выполнять исчерпывающий анализ результатов турнира. В качестве примера проанализированы результаты футбольного чемпионата

России за 2009-й год.

4. Благодаря объединению функциональных возможностей систем СВП и СВИРЬ-Р оказалось возможным в методе МАИ реализовать режим автоматического заполнения матриц с любым типом предпочтений на основе значений показателей, принятых за критерии оценивания сущностей.

5. Функциональные возможности СВП, ее связь с системами СВИРЬ-Р и MS Excel были использованы для организации лабораторной работы, предназначенной для изучения свойств матриц парных сравнений и решения с их помощью задач принятия решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ существующего состояния в области применения матриц парных сравнений на практике показал с одной стороны их большую востребованность, а с другой стороны— частный характер исследований по типам используемых в них предпочтений.

В процессе диссертационных исследований были получены следующие основные результаты.

1. Выполнен анализ исследований в области формирования, анализа и обработки матриц парных сравнений.

2. Разработаны правила преобразования предпочтений и на их основе предложена обобщенная модель парных сравнений, содержимое которой может отражать любые типы предцочтений.

3. Усовершенствованыпоказатёли согласованности предпочтений:

- коэффициент . порядковой согласованности, учитывающий равнозначность сущностей; показатель количественной согласованности матриц с кратностью предпочтений, обобщающий коэффициент порядковой согласованности.

4. Предложены .'; новые показатели, характеризующие взаимодействие активных сущностей:

- показатель устойчивости (стабильности) активных ' сущностей, отражающий число циклов,. проходящих через вершины графа, соотве тствующие этим сущностям; показатель выраженности предпочтений, обобщающий коэффициент согласия на случай несимметричных матриц.

5. Доказана возможность использования определителя матрицы парных сравнений для оценки согласованности содержащихся в ней предпочтений.

6. Разработано три метода доопределения частично заданных матриц кратности предпочтений, основанные на решении оптимизационной задачи по критерию согласованности предпочтений. Они различаются целевыми функциями (максимальное собственное число и определитель матрицы) и способами (итерационный и аналитический) нахождения неизвестных элементов матрицы.

7. Выполнено экспериментальное исследование в среде МАТЪАВ с целью сопоставления результатов. доопределения матрицы с максимальным собственным числом и определителем в качестве с; целевых функций. Эксперимент показал возможность применения определителя в качестве с целевой функции и невзамозаменяемость определителя и собственного числа. ,

8. Разработана система вычисления приоритетов, универсальная по отношению к типам предпочтений и реализованная в виде динамической библиотеки системы выбора и ранжирования СВИРЬ-Р.

9. С применением системы вычисления приоритетов выполнены эксперименты по определению ¡свойств МПС с различными типами предпочтений. :

10. С помощью системы вычисления приоритетов решен ряд новых задач в области принятия решений. .

11. Система вычисления приоритетов; была использована для выполнения; научных работ в области, железнодорожного транспорта и внедрена в учебном лроцессе по дисциплине <<Тёория принятия решений».