автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Многокритериальная оптимизация механических систем

Ь 31

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РК КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. АЛЬ-4АРАБИ

Кафедра прикладной мате мат шеи

На правах рукописи

БАЛКУБАЕВА САХИБЖАН

УДК 519.5:531.151621.01.001

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

А в тореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата-1992

Диссертация выполнена на кафедре прикладной математики Казахского государственного университета имени аль-Фараби

í

Научный руководитель! член-корреспонедент АН РК,

доктор физико-математичеоких наук, профессор ЛУКЬЯНОВ А.Т.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профеосор СМАШОВ Ш.С.

кандидат технических наук дицеит ЭАДИН М.С. .

Ведущая организация: Институт механики и машиноведения АН РК

I

Защита оостоится " 1 " июня 1992 г. в 10.00 на заседании специализированного совета К 058.01.16 в Казахском государственном университете имени аль-Фараби по адресу: 480012, г» Алма-Ата, ул.Масанчи, 39/47, факультет механики и прикладной математики, ауд. 316.

к

С диссертацией мэжно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Отзывы на автореферат высылать по адресу:

480121, г. Алма-Ата, Тимирязева 46, Казахский государственный университет имени апь-Фараби. Уч ному секретарю для Жеребятьева И.Ф.

Автореферат разосла • "'У> С^и^Л 1992 г.

Ученый секрьтарь опециализ1фованного совета К 058.01.16, доктор физико- ^

штеыатических наук, профессор а/' И.Ф.ЖЕЕЕБЯТЬЕВ

: ОЩАЛ ХЛРАКТЬТМЛ'ИКЛ РАШТЬ!

Главным направлением дальнейшего развития современного машиностроения является задача повышения производит? -юности оборудования, улучшения качества обработки из «Я, совершенствования конструкционных характеристик испо.пьзусччх мясиш. Задачв создания прочной, надежной и долгопо лой машкш тесно связана о аффттившм использованием при проектировании Машин современных методов динамического расчета.

Основные задач : динамического синтеза мехгшичгк'чих систем возникли в связи с проблемой внбора структур« и и ар шлет ров крутильной динамической систсш агрегата, оптимальных по динамическим характеристикам элементов ккн^чдаич^пких цепей мэха-]шзма. Требования, предъявляемые к современным механическим .системам при их прооитн; ■ '.-ниш, могут быть самыми противоречащий, так, например, уменьшение массы и увеличение прочности злементов системн, увеличение производительности машины И уменьшение динамически* нагрузок на эвепьл. Разнообразие требований, предъявляемых к проектируемой системе, обусловливав многокритериальный подход к оптимизации механических систем.

Актуальность работы определяется несколькими факторами:

1) в результате увеличений нагрузок и усиления темпов райо-* Т'Н современных. машин в сочетании с широким внедрением автоматизации технологических процессов вопросы исследования динамики механических систем имеют большое практическое значение;

2) создание высокоэффективной техники требует применения совремоншх мотодщ оптимального проектирования, выбор рит."-мальннх параметров проектируемой мсу/ип^пской системы необходимо прпиэпотн-!, о целью улучшения дишинических характеристик

системы;

3) разнообразие и противоречивость требований, предъявляемых к современным механическим системам, привода? в многокритериальной оптимизации механических сиотем» Отсвда, необходимость в универсальных методиках шюгокритериадьно* оптимизации конкретных механических оиотем.

Целью научцогд исоладоватав является наследование качественных особенностей механических систем в их динамике, разработка методики и численных алгоритдав дав решения »адач многокритериального проектирования механических систем на примере обжимного стана 1160 Карагандинского металлургического комбината.

Научная новизну работы заключается в следующем!

- по стросш математическая модель 7-и маосовой механической сптемы привода оОкшоюго стана 1150 Карагандинского металлургического комбината, чжолеш» исследована динамика привода в различных режимах вагружения) ^

- разработана методика выбора оптвшльшх параметров механических оиотем о "Четом в обоснованием различных критериев на примере прокатного стана)

- предложен г дин из способов построения множеотра Царето-оптималышх решений и ряврабатана конкретная компромиооная схема выбора окончательного оптимального решения;

- на основе разработанной методики многокритериального проектирования механических систем решена задачи выбора оптимальных параметров прокатного стш. I с целью увеличения прочности шпиндельной головки, уменьшения динамических нагрузок на отдельные элементы стана, минимизации расе гласования скоростей верхних и нижних рабочих валков.

- 4 -

Прачткччркая нечисть,раЗот» состоит i

- й унявзрспльнаоТй раврабогатюй еетотси мпогсжрйтери-апьлогь проектирования Мэхшигческих сиою», дяя' рвшвк я рае- . Л1ПНЧХ задач опиималыюго проактйратния дпньмячбоких ойотем, ' и)/эд'!п*иШал методом* может нвэнэч-гелыад ваоьйровМЬой а : учетом дмамичешэй модели процесса»

- рёвульитн ¡'ifczH вйвдрэнн на прокзлодствэ i oôapmidh irtn Карагавдшшкаго мотеллургмйокого «омййдаа в 168? году d го"опчй эиоН'Я'пк.'пким офитам в ряэмйрд G3I33 руб^д йоп»

lia защиту емооймя>

Î. Матг:мат1пескал WM пгр.шипп иркмда прокаТнсг^ о»«-.

т.

2, Методика гдюпзкрйТ"р^г.льйого ироегл-ярт^аИУл мэхля*^ iecifcKX daoïeM.

3< Рваультатн расчетов pft&iminx peat?wos paOoiU t)6i№-його cimâ»

4» Опткмм ;.-;тэ парамотгИ ирйводп. нрокнпюгп ятвлч.

Адрзс10х№,ч| работ». OuMOBft'iO розул'ьгаги дйосзрТрЦнк ^ojym-

дырйЛКсь ha рвьиуйджшокгсс (;яу1Ио-техь • ;оаиих ceimepéut tto ■ г

л*н«т 1ГЮ в 1903 * в 1937 fij 9-а* мояйузоюкой кокере*-ц*й в 1ЕЧЗЭ г. i нкучшх ceiiiiiiapàx а "яземском Мйудчрственпои университете км» аль-^пряО.!«, Каэ&шкоМ госудйрстеэтюм Sroi«-мйчэском yjirtnopcwteie»

Стр'/кт.ура и оОьвЦ иаЗот^ ДисоертШйя состой* йз ввйде-ккя, трёх глав, dtu'.imoi' if.i clit»eka йрйДолеши Î

(акт яяёдреипя)» щзйяоженля 2 npdrp*wiw гг< алгорит-

мическом ят-о ФОГТГЛ'Г- '1).

СОДЕРЖАНИЕ! "АБСГШ

Вз ввадорт обосновывается актуальность пройлеш, аргументируется научная новизна, практическая ценность работы, определяется цель и вадачи исследования. Дается краткий обзор по иаучеюш динамики и оптимизации механических систем, описала структура диссертации с кратким содержанием.

Дарвая глава посвящена вопросам построения и исследования математической мэдели привода обжимного стана 1150 Кар ЫК.

Привод обжимного стана является механической системой с 7-ю степеням" свобода , обобщенными координатами которой являются угли закручивания ?-и дискретшх масс. Расписав для данной свете; ч ура&нвтв Лаграяжа второго рода, получим следующие уравнения движения привода обжимного стана 1150:

ъ у, - с,3 - у3; - ^ V (*> -%)

4 К -- ^(К-Л)-с^ - ъ)

(I)

о начальшми условиями

где - угол поворота с -ой массы, - момент инерции /. - ой массы, с-,^1 - коэффициент жесткости соединяющего звена, Мэр. и Мю, - моменты электродвигателей нижнего и верхнего привода, Мпр - момент тех. эл '."частого сопротивления или момент прокатки.

Исследование динамических процессов, происходящих в главной линии привода обжимого стана 1150 показало:

а) независимость максимальных динамических нагрувок на упругие звенья прпвда от величшь. момента электродвигателя;

б) при изменении момента технологического сопротивления по линейному закону:

///,*, г £ t * t, I tíe.Tur [ ,

.t

где í-e - время захвата, т.е. время нарастания момента прокатки , и по экспоненциальному:

t

Mvi'lj-Mcnrfi't'j

где fi - показатель экспоненты, с увеличением времени захвата и показателя экспоненты динамические нагрузки на узлы привода уменьшатся;

в) различие величин моментов упругости верхнего и нижнего шпинделей, что , в конечном счете, приводит к нежелательному рассогласований угловых скоростей рпрхних и нижних рабочих валков.

В четвертом параграфе рассмотрено влияние зазоров в шпиндельном соединении привода обжимного стана на динамические па- 7 -

грузди. Четырехтомная шг-аннча над система верхней) привода приводится к двухчаооосюй системе( диндмичеокнй процесс оосюяция ркыдьннзЯ дяулшсоовоЦ механической ометами о Вазороц в упругоИ рвдрв иооледуетоя повтапно, На Перми та-пе с раскрытом еазорам на уравнения двшаиия одтилооакй механической анодам определяем «тнчцну вааора И * ¿у- » время ьийэра ваазра * I угловую скорость пер-

вой ишоц в конца выбора вавора

На мором атше о «¡жрймм ьаворйм дифференциальные уравнения Движения дпу*маосовой системы пашня йад»

' л

при сладутих качелЬних условиях»

: ^М ^(е)**

Решение полученной задачи Кэши выншию вйвисимоот^ дополнительных динямическ :х нагрузок, кодучимцихпя от удара при соединении в шмант выбора йбЭора, от шаченм внешней возмущающей силы и ееЛичнш аавйра в ноДвшнои саёдиканья»

т/ Мм к¡4 Н-ё М

1122Е§3_Т,ШШ посвящена разработке мзтоДйки и числешш! алгоритмов мно г ок рит е р и ал ыЬ й оптимизации механических систем.

В первом параграф да)1а общая постановка задачи многокритериальной оптг ^яации иеЯ: шческшс систем: ■

m may Ift.xM, t), fe Г, Rn

ub нт '

,P(t)x(<)+F(t,&) (2)

Приводится краткий обзор существующих методов решения многокритериальных задач» Вводится понятие Парэто-оптимального решения: точка ё* принадлежит множеству точек Парето D* » если

I (б*) 4 I {() } j, jyr

Причем» хотя бы для одного j , j - неравенство

строгое, ё €. D , где О - .тожеетйо допустимых решений многокритериальной задачи.

Таким образом, множество Парето-оптиивйЬйнх решений представляет собой множество решений» йв допускающих улучшения во йсем критериям одновременно.

Для построения множества ttapeto-точек йдбаяьйэ приспособлен ие*од ЛП-поиска. Характерная ocodewmoib последава-tejftttocteft точек, равномерна} заполнявшие ft -мврнай куб прй любом заданном числе точек» позволяет наиболее эффективно otpo-йть множество Парето любой мощности. Мкяи. ¿Од'Вервто строМоя с помощью перебора пробных точекt райшмврно аовдяруздйх »тожество допустимых решения

} - 9 -

Предлагается алгоритм ошимальчога перебор, на первой тиранил которого определяется ььдажиотво

i,а. осущьствляется одномерная оптимизация «о кавдоцу иа частных критериев (i), j * t*™ . построим дин точки глобально га минимума критерия 4., ¡ ¿V , соответствующее «ноже от во к, , которое состоит иа таких точек á'c D , что найдется хотя tía одно J , j ? , при котором (j Со№вйтстьашю,лля всех точек

i>. i,t ( ig+vfl 4 ц'.к, точки минимумов некоторых частных

í'¿

KpUTejxuae ¡иэаув'«-■■.■.11адцть, построим мношеотва , в iíotq-pue «к'ЯШэд» точки 81- ,\,с ' такие, что найдется хотЙ би од-313 i ■> ,;¡ 't- <- , j - /,№ . при KOTüpOM

l «) • i ft*),

¡Если A'1 - p , tro множество D* ямяется множеством прийишен-ao ,ii{í¡itiKi íiBiiux точек Парато 1У* , в противном олучаа, переходки к 1/лй,цукщвиу шагу. Пи каждой последующей А' -ой итерации опроделчетсл мнокес-п э

, Очевидно, что Q* с D . обозначим h'K = . Дяя

\ каждой точки é/ D* построим соответствующие шижество mK¡iii точек / t" , DK > что найдется хотя ou одно j , при кото[хзм

/Л (jfétj^J^^ ■• - 10 -

Очевидно, Hl эХ« ? . . ■ э К* , />**» . если K« : $ , ю множество D l/Df есть искомое множество Иарото-опти-мадышх решений.

Окончательное решение определяется ЛГ1Р - лицо, принити-цао решение. В некоторых случаях привлечение к а'бору Ji'IP иа-за обширности множества Парато и в зависимости ит опита и других субъективных факторов является не лучшим выходом при решении многокритериальных задач оптимизации механических зистем.

Для вдбора оптимального рашсция йоа участия JULI предлагается нелинейная комиромиссная схема:

г1 t та* ) -Л -

wt*,«* (3)

\це

/. (!) , I® - iL Г, тп Iii) К шх ■((*)

Доказана дд^шд:

Решение, полученное по схема (3), яхшяотся Пгфвто-оп'ы-вльным решением задачи (2).

В третьем параграфа приведен алгоритм многок.ритариальио-о проектирования мехшшческих енотам:

Шаг. I. Burtop Пробной точки

- С j-v>

до Qj - координаты точки из ЛИ - последовательности.

Шаг 2. Расчет моментов инврць.> неталой придания ^ и зоДОициентоЦ жсигкости ооедшшвд:.. эпньов ?,l*t .

Шаг. 9. Решение дифференциальных уравнений движения меха-ММескоМ системы - расчет динамических Характеристик системы

Шаг 4. Решение одномерных задач оптимизации но временному йараме»ру

Шаг 5. Включение в таблицу испытаний.

Воаврат к магу 1. Шаг Б, Построений Mttotfeotfea Парето-ойгйМальны* решений» Даннай алг jpniM прош1йЬс1рйровай на примере задачи oötu-мального проектирования 3-Х массовой механической сйстемя главной линия йиатнга 950.

Третья глава посвящена многокритериальной оонмгаацкя конкретной механической системы - оакшйого otara 1150 Карагандинского металлургического KoMöratatü.

Решена задача выбора оптимальных параметров верхнего нрв-вода с целью снижения динамических нагрузок:

X4)

Нп (о), е, ^ я (ф а>

Мп № е, >% ГФ /4 &

где

» (I,i,p,1^,0.1,0,6^0,60,1,05,0) ш (I.afLi,£5,0,Io,fl.66.Qi3,1,3,0.013), Решение является мнавэотэд Ц£фе?0-а1№шШМ градам I

Внешний Д1ЭД1ТР игтннелл I

Вдутраади« Дие^'Р! fli'Qblfc I р рочкя _ шацпьлию^рабачих' „ТГГ™, rtteotwa ¡вшшов t "щ8**

OI ...I.«. 1|1,1 I. ...... 1 -1|... ......1 '......

Ковффгшвят диняшгню«?и

шйиндель

ii и«*/ I ,11 ь ■

I

дан*

1да 1.8

0,59 0,69

1.09 1,3

а.1Э 8,3

М

1,в?

При екс&чуатании прокат igjh станов щлсршЛийЭ динамические нагрузки вчмтиаиг в момзн* уцера х1ря синкани» вавдра в поди.мних сюедШшнйдас. Как покайалм ¡ю&лёДавшжя динамики обжимюга стана о учетом »»»аров в шпиндельном №ецткнии,численная значения иаксымаль: JJr йикгишчвсййх нагрузок 8 нискиль-ко pad превышает дкнампчвмио нагрузки в привйда Прокат 1юго стана, двнамвиа которого нё учйтикает в ураьНиНйя* двийёкил величину Угле .о¿о зазор..

Ни бор а качестве варьи! /емогп паршлетрй паличгии зазора со сторо1ш рабочих ШлкоЬ обоснован Нй сравнении чйелейних ре- 13 - '

зультатов решения задачи движения главной линии привода

Коэффициенты, динамичности {Верхние¡Верхний |Промеж. ¡валки ]шпиндель| вал 1 ........ • Нижние ¡валки -г • --■■--} Нижний |шпиндель

Учет зазора со стороны ЭО 2,71 2,38 2,12 2,61 2,222

Учет зазора со стороны ваш. эв 9,13 7,48 5,65 8,37 5,43

Решрча задача выбора оптимальных параметров 7-и массовой механической системы обжимного стана с целью снижения динамических нагрузок во ьоех звеньях привода и уменьшения рассогласования скоростей верхних г нижних рабочих валков:

тп (к,

4 £ 5

где {{) , 9f.fi) - угловые скорости верхних и нижних рабочих валков ; ри ограничениях (I) с начальными условиями

. 3. (о), о, /7Т, 3 (в)' < :> (Ф * гф ,

В множество Парето-оптимэлышх решений-вошли точки

// ; * г-\% Г" ~ \ к> -1- Ч------ ¡«г ! . .

1,12 1,271 0,018 4,3 3,9 3,2 4,3 3,2 2,6

1,141 1,232 0,007 4,4 3,8 зд 4,2 3,2 2,5

1,117 1,054 0,01 4,5 3,1 зд 4,4 ЗД 2,5

1,16 1,216 0,02 4,4 4,1 3,4 4,6 3,4 2,4

Любое решите из этого множестпа Парото-'-точек определяет механическую систему с более лучшими динамическими показателями по сравнимо с 'исходным ва1 • оптом

41 -л ! е \ I *> 1 1 | ! ' ! итг

1,1 1,15 0,64 9.13 7,48 5,65 8,37 5,43 5,14

В качестве варьируемых царамотров выбрани 4 - внешний [иаметр шпиндельной голошеи, & - диаметр бочки рабочих вал-:ов, - величина 8авора в шпиндельном соединении со сторо-и рабочих валков.

Ввиду интенсивной работы и высокой динамической нагружен-ости машин прокатного производства наиболее актуальной проб-емой является задача выбора оптимадт шх параметров нрокатда-о стана о учетом прочности его отдельных звеньев.

Для прокатного с^ана допускаемэе напряжение равно Р а 50 МПа. Вычислены ковффициенты запаса прочвости

(- максимальное касательное напряжение, возни-ающеа в увле, ё - вектор варьируем* параметре, ^ -олярный иэмвнт сопротивления поперечного сечения айла к на ромежуточном вале Лфан& А' " 3,0, на шпиадалв - = 2,84,

а рабочих валках - "л,,,,, » 3,75»

Наименее прочным эвеном в главной линии нрокаттго стана 150 является универсальный шпиндель. В обжимном цехе «араган-инского металлургического комбината за год выходят изс строя шпинделя & среднем.

Решена задача многокритериального проект! ^овация главной инил обжимного стана 1150 КарЫК о "елью уменьшения динамйчес-ргх нагрузок на г :е звенья привода и одновременного увеличения

рочности все^ узлов линий приводе

- 15 -

fjpji ограничениях (4).

Получсм множество Парето-оитшаяьннх рапшняА

^_ h ' (j (b ' fr if»*' -w' **

Т. 17 0,238 U, 104 J,B38 1,ВЙв 3,9X4 8,18 Й,103 1,7«? 1,83* 1,J97 0,1У4 0,187 0,695 1,03 4,006 6,763 8,В6в 2,153 1,0'i? 1,850 1,109 0,247 0,140 0,690 I,IB8 4,085 П»55fl 6,527 2,Ш 1,8G1 1,702 1,184 0,178 0,1Ы 0,1^3 1,061 3,930 6,799 5,768 2,115 1,1И1 1,181 0,244 0,141 0,597 1,ЁЙ4 4,009 6,ШЗ 6,479 Й,1ЙЭ 1,868 1,048 I.tSS 0,°09 J,I6 0¿593 1,059 4,166 6,8?И 8«613 2,233 1,894 1>79£

.... . ....... . ■ ........................,.-■........................ -.....-.......... j I ------

Решение lt « 1.ГЭ7 - МшМ дштр галоп):« штщьля, $i в 0,18^ - внбшйля Часть ¿шлЫШ мУфтУ, i% « '.MB? - вяу-Tpeii«.*:rt часть пальца ойедшшгелыюй муфгы( « 1,^3 - диаметр бочки ЁШтой, Д. а 0,595 - дпомеТр Ша шпинделя, уве-лрЧПьяог закао прочности шкиндс ш ин 23 % no гт-чм^шпо с ясход-к-М вариантом, дейотйуищмл й настоящей speMil. Данное решение внедрено в обкРмШ" Цехе КарагацдрНсмго Италлуртескйго комбината а 1988 году, екойомйческйй йЭДзкТ составляет 53 тЯся-чй 163 pydJirf 76 riorti

. й .йрйдшкекйй i дсиг< матерйал11 об И.снольйованяг результатов работы в про^тсШйоЙ &ксплуагщ«я прокатНы* отайой — акт внед-, Ьёкйй t расчёт; ШйомМвскоЙ Эффектйвиостн.

В tipiwititetffltt й дан комляёко пргкладшх программ, реаля-вуктцях разработанный алгоритм мйагокрмтерйшшюго проектирований квхапичеНлйх -rtciSM.

. Кемпдёкй вйдйЧавт и себя голавнпо прогртф я Четыре под-itpoipabfett, ГоЛоакйЯ программа вводят исхоДМые данйне - количество пройшх *очек я ырад*тче!йя йа sapiitpyeteie Шримбтры, вычисляет KtoHfiMetiiHecKno йарйМгтри привбда прокатного стана - момен-ти ййе£Цй* йрйщага№сй Дётйлей й козффлцйбйг« Жесткости соединя-

- 16 -

одих звеньев, осуществляет вызов подпрограмм и выводит построенное множество Парето-оптимальных решений на печать. Подпрограмма ¿РТ генерирует последовательность пробных точек в задании пространства варьируемых параметров, подпрограмма решает систему дифференциальных уравнений движения методом Рун-^е-Кутта, подпрограмма отроит множество Ларето-опти-

«льшх решений, подщюграедад -функция ^ччиоляет значе-

те динамического момента упругости в зависимости от величины варьируемого зазора в шпиндельном соединении со сторош районах валков.

щвсщц

I. Построена математическая модель 7-я массовой механичес-:ой системы привода обжимного прокатного стана ИБО Карагандин-¡каго металлургического комбината.

3. Численно исоледована динамика привода в различных режи-В* нагружен««. 1 '

3. Установлена зависимость динамических нагрузок от вели-¡ины аааора в подвижном соединении привода.

4. Разработана методике выбора оптимальных параметров ме-аническйх оистём о учетом и обоснованием различных критериев птимальности на примера прокатного стана.

5. Предложен один из способа^ построений множества Парето оптимальных решений и разработана конкретная компромиссная хема шбора окончательного оптимального решения.

6. Глпены задачи шбора оггпздыШХ параметров прокатного тана с целью увеличения прочности шпиндельной головки, умень ения динамических нагрузок На отделение элеь-НхЫ ста'ш и ассогласования скоростей верхний и "ианих рабо,-ттх валков.

7» Создан комплоте прикладных программ, реализующий разработанную методику многокритериального проектирования мо-ханичосигх систем.

В. Зкономичег 'ИИ аффект от использования данного комплекса преграда составил !ШУЗ руб -ш. 1У80 год.

Оснопш.го результаты Д1 ^.сертпциошюЛ роботы опубликованы в следующих работах:

1. Лукьянов АЛ'., Билкубаевя С.Б. Многокритериальная оптимизация проектирования природа прокатного стона. Сб.: Вопросы

теории механизмов и управления м-пиинами. - Алма-Ата: КазГУ,

ИВ6. - С. 1213-132.

2. Лукьянов А.Т., Балкубапва О.Б. О построении множества Норе-то-оптимальных решений задачи проектирования механических систем. Сб.: Математическое моделирование нестационарных процессов. -Алма-Ата:-КязПУ, 1УШ. - С.40-Ы>.

3. Балкубаова С.Б. Исследование динамики привода прокатного стана ПЬО КарМК с выбором ллимольмых пирамот|юв шпиндельной полов»и для увеличения ее прочности. 'Ш11Ш11 "Депыг.науч. раб." М., 19№, № 11217, счр. 17ЬЧ76.

4. Балкубаовп С.Б. Оптимизационный подход к задаче проектирования механических систем с учетом зазоров. Тоз.докл, У-ой межвуз.конф., 1УЮ, г, Алма-Ата, С. 140.

б. Балкубаева С.Б. Влияние зазоров п шпиндельном соединении привода на динамические нагрузки. Ш11Ш1 "Дсгюн.научн.рнб." М.: ■ 1992 г.