автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы выбора оптимальной структуры целевого коллектива

На правах рукописи

Нечеухин Олег Викторович

МЕТОДЫ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ЦЕЛЕВОГО КОЛЛЕКТИВА

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (государственный университет) и в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Абрамов А. П., Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зубов Н.В.

кандидат физико-математических наук, доцент Копылов С.А.

Ведущая организация: ЦЭМИ РАН

Защита диссертации состоится сентября 2006 г. в часов на заседании диссертационного совета Д.002.017.03 при Вычислительном Центре им. А.А.Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 42 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН

Автореферат разослан .лая 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Мухин A.B.

Актуальность темы.

Закономерности современного этапа научно-технической революции можно по некоторым данным (см., например. [1]) охарактеризовать следующими количественными показателями развития техники в ведущих областях машиностроения:

число различных классов технических систем удваивается в среднем через каждые 10 лет;

сложность изделий по числу деталей и узлов возрастает вдвое за 15 лет; объем научно-технической информации, используемой в конструкторских разработках, удваивается за 8 лет.

В авиационной технике, например, самолеты конца семидесятых годов в 5-6 раз сложнее самолетов аналогичного назначения, построенных в пятидесятых годах. За 20 лет затраты человеческого труда на проектирование и изготовление единицы массы конструкции увеличились вдвое, а продолжительность разработки нового самолета возросла с 3-4 до 8-12 лет, а иногда и более. Объем проектно-конструкторских работ предположительно будет возрастать каждые 10 лег в 10 раз [1]. По статистическим данным распределение затрат предприятия-разработчика но этапам жизненного цикла летательного аппарата выглядит следующим образом:

научные исследования и проектирование — 10%; создание опытных образцов — 20%; летные испытания и доводка — 50%; серийное производство и эксплуатация - 20%.

Если бы за счет увеличения объема и повышения качества, научно-исследовательских и проектных работ удалось вдвое сократить доводочные расходы, то это уменьшило бы суммарную стоимость создании самолета на 2530%.

Усилия по решению этой проблемы привели к увеличению числа проектировщиков с 20-30 человек, работавших в течение нескольких месяцев над проектами первых сверхзвуковых самолетов, до нескольких сот инженеров, проек-

тирующих современные самолеты в течение нескольких лет. Практика подтверждает, что затраты человеческого труда, потребный объем вычислений и потребное время на проведение экспериментов для создания перспективного летательного аппарата возрастает по экспоненциальному закону. Это отражает тот факт, что рост сложности решения задач управления, планирования и проектирования зависит от сложности структуры решаемых задач экспоненциально. Отсюда следует актуальность выбора оптимальной структуры целевого коллектива.

Цель работы.

Анализ известных и создание новых методик выбора оптимальной структуры целевого коллектива для повышения эффективности его функционирования.

Методы исследования.

Методы кластерного и комитетного анализа, направленные на поиск групп индивидуумов, отличающихся по своим индивидуальным показателям. Моделирование динамики взаимодействия коллектива на основе клеточных автоматов с переменной структурой и стохастических дифференциальных уравнений.

Научная новизна.

Предложена методика качественного и численного анализа по выбору оптимальной структуры целевого коллектива в смысле его эффективности.

Обоснованность научных положений.

Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны.

Практическая ценность.

Результаты работы использовались в научных исследованиях и учебном процессе МФТИ, и в рамках гранта РФФИ (№ проекта 03-01-00678). Также результаты работы могут использоваться для качественного и численного анализа выбора оптимальной структуры целевого коллектива в различных областях науки и техники.

Апробация работ.

Основные результаты работы докладывались на семинарах МФТИ, ИПУ РАН, ВЦ РАН, ИММ РАН, ИСА РАН, ЦЭМИ РАН, МГУ, а также на научных конференциях МФТИ и международных конференциях (Брест 2005).

Личный вклад.

В совместных работах [2], [3], [4], [5] автору принадлежат результаты в равных долях.

Структура и объём работ.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, приложения, библиографического списка и содержит .... рисунков. Общий объём работы составляет ... страниц. Библиографический список включает ... наименований.

Содержание работы.

Во введении приводится обзор различных методов решения задач определения оптимальной структуры целевого коллектива. Для описания дискретных систем используются дискретные отображения и, в частности, клеточные автоматы.

В главе 1 сначала даётся понятие клеточной сети с переменной структурой связей. Класс моделей клеточных автоматов способен демонстрировать разнообразное поведение и является сравнительно легко моделируемым (на ЭВМ) объектом. Этот класс позволяет получить качественные характеристики процессов. Клеточные автоматы могут также служить для имитационного моделирования.

В последнее время появляются более сложные конструкции клеточных автоматов. В качестве примера укажем работу Gontar V. для моделирования химической реакции типа Белоусова-Жаботинского на основе анализа размерностей и П-теоремы. Данная работа допускает обобщение на базе стохастического подобия (Северцев H.A. [11]). Впервые понятие клеточной сети с переменной структурой связей применяется в Препринте ИПМ им. М.В, Келдыша № 34 за 1997 г: Трофимова И.Н., Митин H.A., Потапов А.Б., Малинецкий Г.Г., «Новые

модели математической психологии. Описание ансамблей с переменной структурой». В этой работе подчеркивается важность способности к изменению связей в некоторой сложившейся, самоорганизующейся системе, а также указывается на ключевые признаки, которыми должны обладать система и ее элементы для того, чтобы в полной мере описать и исследовать систему с изменяющимися связями. Такого рода модели было бы естественно использовать для представления и исследования динамики живых систем - биологических, психологических и социальных. Основным результатом, изложенным в препринте, является создание принципиально нового класса математических моделей ансамблей (многоагентных сред), модель именно этого класса (клеточные сети с переменной структурой связей) и используется в настоящей работе.

Определение. Конечным автоматом К называется совокупность пяти

объектов: К = где А = {а0.....ап) - конечный список входных

символов (входной алфавит); Z = {z0,...,zn} - конечный список выходных символов (выходной алфавит); £ = {50,...,л,} - множество внутренних состояний; /: 5 х А —> Б — функция перехода, отображающая множество всех упорядоченных пар (sJ,ak) в множество БхА—- функция выхода, отображающая множество всех упорядоченных пар (sJ,ak) в множество Z. Здесь

Б х А - декартово произведение множеств и А.

Если рассматривается функциональная модель конечного автомата без учета его структуры, то такой подход называется макроподходом. Если учитывается структурная модель конечного автомата, то такой подход называется микроподходом.

Определение. (Т. Тоффоли, Н. Морголус) Клеточные автоматы являются дискретными динамическими системами, поведение которых полностью определяется в терминах локальных зависимостей. В этом смысле клеточные автоматы в информатике являются аналогом физического понятия поля. Клеточный автомат может мыслиться, как стилизованный мир. Пространство представлено равномерной сеткой, каждая ячейка которой, или клетка, содержит несколько

битов данных; время идет вперед дискретными шагами, а законы мира выражаются единственным набором правил, скажем, небольшой справочной таблицы, по которой любая клетка на каждом шаге вычисляет свое новое состояние по состоянию своих близких соседей. Таким образом, законы системы являются локальными и повсюду одинаковыми.

Другими словами, клеточный автомат представляет собой некоторое дискретное пространство, на котором происходит эволюция, и набор правил, по которым эта эволюция осуществляется.

Если структура автомата не фиксирована, то такой автомат называется автоматом с переменной структурой.

Математическая модель динамики системы целевого сообщества имеет следующие свойства:

сложный состав; разнообразие элементов внутри системы; динамическая устойчивость; устойчивость структуры системы при замене отдельных элементов; открытость системы; диссипативность; интеграция; память системы. Сама постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает четкий план действий. Его условно можно разбить на три этапа: модель-алгоритм-программа.

Под структурой системы понимают фиксированные отношения между элементами.

Наиболее общее определение системы дается в терминах теории множеств. Предполагается, что задано некоторое семейство объектов элементов системы {А}, | е I. Тогда система может быть определена как некоторое собственное

подмножество декартова произведения: с: Д .

Наиболее информативными показателями изменения динамики системы являются входной Хвх и выходной Хвых сигналы. Поэтому систему можно характеризовать как принадлежность с: Хвх х Xвых.

Применительно к нашей работе любая модель, которая учитывает взаимодействия индивидов, является системой тогда и только тогда, когда в любой

момент времени она является сильно связанной и устойчивой к разовому (импульсному воздействию). Это утверждение не исключает возможности того, что с течением времени система может стать неустойчивой и перейти в новое состояние.

Математической моделью называется некоторое множество с заданным на нем наборе отношений М = где 5 - множество состояний системы, Я -

множество отношений.

В первой главе приводятся три нелинейных модели динамики функционирования целевого коллектива. Оптимальное решение одной из этих моделей предлагается находить с помощью клеточного автомата с переменной структурой. В широком плане, все конечные автоматы с переменной структурой представляют собой рекуррентные, дискретные алгоритмы, построенные по некоторым правилам.

Приведем описание этих моделей.

Задача А

Определить шах J(P)> если и ~ {из к}

где последние неравенства, являются ограничениями на управления. В работе доказана следующая теорема. Теорема 1.1. Решение задачи А существует.

Доказательство этой теоремы опирается на результаты работы [12] и для ее решения предложен полуявный метод Эйлера:

(1.1)

(1.2)

/е[0,Г], = /?у >0, а>0, Рр>О,

О <икк<1,

(1.3)

(1.4)

= ХЯ-кХп+хХпИп + акХ^ЮРЛ

}п пк >

Задача В.

Определить тахМ[./(Р)], если и = {и]к)

•/(/>) = Р = {Р,}, г = С,г> О, ¿С„=1 (1.5)

ЛЛ

л/.

Р, = к,Р, - Р3Р] + а^илР;Рк + !с1(, у = 1,...ЛГ, у**, (1.6)

где винеровский процесс, 0, М - оператор математического ожидания.

где последние неравенства, являются ограничениями на управления. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.2. Для задачи В справедлив стохастический принцип максимума. Доказательство следует из результатов работы [13].

Теорема 13. Решение задачи В существует в сильном смысле. Теорема 1.4. Для дискретно-непрерывной задачи А справедлив принцип максимума Понтрягина. Задача С.

Определить максимум функционала системы элементов

где динамика элементов входящих в рассматриваемую систему имеет вид

?е[0,Г], Р{Щ = Р0, Р1 > 0, а > 0, Р]о > О

(1.7)

(1.8)

0<« 4

J, *

г-1

Р, = (К,Р, - РР1 + 16 {о,г}, / * ],

¿ = {1 ...Щ, Д >0,а1у >0, Ку>0, Р,(0) = Рн

/о

(1.9)

где I - номер рассматриваемого элемента, Р,- его величина, А";.,Д ,а0- соответствующие константы.

Клеточным автоматом с переменной структурой мы будем называть следующий алгоритм, представляющий собой решение задачи С:

1

или, что то - же самое,

Р аИ "

где коэффициенты отражают близость элементов системы, а коэффициенты к} отражают особенности элементов.

Во введении главы 2 даны краткие характеристики малых групп и кластерного анализа (КА). Отмечается, что такие основные критерии психологической общности малой группы, как сходство, общность ее индивидов (общность мотивов, целей, ценностных ориентаций и социальных установок) обосновывают применение алгоритмов (КА) для решения задач формирования целевого коллектива оптимальной структуры.

В разделе 2.2 отмечено, что для проведения классификации данного множества объектов

М = {Хх,Хг,...,Хя),пЪ 5 (2.1)

математическими методами необходимо дать описание каждого объекта X, е М, числовыми признаками,

= Р^1' (2-2)

(/7 - число признаков) задать количественную меру близости объектов г1/=г(Х!,Х^, Х<,X 1 е М и правило классификации в соответствии с выбранной мерой близости.

Обычной математической основой для классификации объектов являются функции на парах элементов (Х,,Ху), например т — расстояние,

где хы значение я - го признака для элемента X,, т - целое положительное число, от > 1.

Перечислены и другие меры близости: коэффициент ассоциативности, коэффициент корреляции, условные вероятности Р(Х1/со1) принадлежности элемента X, к классу щ, г е {1,2,...,к}.

Далее в разделе 2.3 даны основные виды функционалов качества классификации, используемые для выбора оптимального варианта классификации в тех случаях, когда невозможно оценить вероятность ошибки классификации Ротн. Оптимальный вариант классификации соответствует экстремальному значению функционала (минимальному или максимальному),

В разделе 2.4 перечислены основные условия, гарантирующие оптимальную классификацию:

1) представление объектов в виде р -мерных векторов в (2.2) должно полно отражать главные свойства каждого класса;

2) наличие представительных (репрезентативных) подмножеств каждого класса;

3) объекты, относящиеся к одному классу должны быть ближе к друг другу по выбранному расстоянию (метрике) в пространстве наблюдений;

4) при формировании набора признаков, описывающих объекты, предпочтение следует отдавать информативным признакам, несущим информацию о наличии классов.

В разделе 2.5 излагаются методы обнаружения информативности признаков. Первый метод заключается в исследовании гистограммы каждого признака. Признак считается информативным, если его гистограмма имеет хотя бы один статистически значимый локальный минимум (СЗЛМ). (Дано определение СЗЛМ.) В этом случае исследуемое множество (2.1) имеет классы, далеко отстоящие друг от друга, и для числа классов к имеет место оценка

к>ттт+1, йти=тахй,, 5 = 1,2,...,р

где /птах - число СЗЛМ гистограммы 5 -го признака.

Второй метод состоит в исследовании последовательности отношений ум+1> г = 1,2,...,я-2 расстояний между соседними членами вариационного ряда (ВР) 5 - го признака, 5 = 1,2,...,р. ВР: х(1) хт < ...<

= г(Х(,+2)>х(ш))/г(хою>х(о) > ' = 1.2,...,и - 2 Если при некотором значении ¡0 е {1,2,...,и-2} наблюдается скачок, т.е.

то исследуемый признак информативен, а множество имеет классы, достаточно далеко отстоящие друг от друга. Тогда для числа классов имеет место неравенство

5=1,2,...,/?

где - число скачков 5-го признака.

В разделе 2.6 излагаются методы предварительного анализа структуры множества (2.1) и оценивания параметра к без проведения классификации в многомерном случае р> 2.

Задав на множество М подходящее расстояние г и вычислив расстояние между всего его элементами г1} = г(Х1,Х;), Х1,X 1 е М получим матрицу неотрицательных чисел

'О

12 '13 — 1л

гм 0 г23 ... г2„

\гт г„2 ... г„„_, О

(2.3)

в которой в силу аксиом метрики гн = 0, г. = , I,] = 1,2,...,п.

Полагая, что плотности, классов множества М статистически равны (отличаются незначительно), исследуем множества элементов матрицы (2.3), стоящие выше главной диагонали

{ги,1<Л, / = 1,2.....л-1, у = 1,2,...,« (2.4)

Упорядочив элементы множества (2.4) по возрастанию, получим основной вариационный ряд (ОВР) множества М.

При рассмотрении ОВР возможны ситуации:

1. Гистограмма ОВР имеет хотя бы один СЗЛМ. Тогда множество М имеет классы, далеко отстоящие друг от друга.

2. Гистограмма ОВР не имеет ни одного СЗЛМ. Тогда множество М однородно или имеет, состоит из классов близко расположенных друг к другу.

3. Гистограмма ОВР не имеет ни одного СЗЛМ, но имеет длинный хвост. В этом случае резко выделяющиеся элементы множества М составляют классы с малым числом элементов.

В первом случае получаем оценку наибольшего диаметра классов ,

С = гя >

где г - левый конец отрезка гистограммы ОВР [г?,г?+1], в котором наблюдается

первый СЗЛМ (нумерация идет слева направо). Для выделения классов множества М. следует использовать самые простые алгоритмы.

Во втором случае, если удастся сформировать набор информативных признаков, из исходных путем отбора или их преобразования, то исследуется гистограмма ОВР по новому признаковому пространству. Если не удается обнаружить ни одного информативного признака, то для классификации элементов множества М следует использовать более сложные алгоритмы.

В первом случае имеем несколько оценок снизу для числа классов к.

Теорема 2.1. Если гистограммы ОВР множества М имеет т СЗЛМ, то ЛЙ£:[(1 + (1 + 8М),/72 + ^], где Е[у] - целая часть у, 0 <£<0,001.

Теорема 2.3. Если гистограмма ОВР множества М имеет хотя бы один СЗЛМ, то

* а £[и7(4+И) + *)],

где 0<£< 0,001, «о — оценка внутри классовых расстояний, содержащихся в ОВР.

Наблюдается первый СЗЛМ (при нумерации слева направо):

1й =аг§шахг(/),

г^г,

г - левый конец отрезка Л гистограммы ОВР.

Для оценивания параметра к сверху введено понятие инвариантной пары точек.

Пара точек (Х^,ХЛ), Х^,ХЛ е М инвариантна, если каждая ее точка является ближайшей для другой,

тах.г(Хк1,Х])=*г(Х1аХк), ц*], ] = 1,2,...,п

такг(Х,,Х1а) = г{Х1оХ^)у 1 = 1,2.....п

Каждое множество, содержащее не менее двух элементов, имеет хотя бы одну инвариантную пару точек. Если число инвариантных пар множества М равно ии„, то

к<п1т, (2.5)

Эксперименты показали, что число инвариантных пар множества М растет с ростом числа его элементов, составляя от него 20% — 30%. Оценку (2.5) удобно использовать для наибольших значений п, п< 20.

В разделе 2.8 описан метод выделения классов с резко различающимися плотностями точек (РРПТ), наличие которых может порождать дополнительные СЗЛМ на гистограмме ОВР.

Классы со„ со,, е {1,2,...Д} имеют резко различающиеся плотности точек, если все расстояния между ближайшими соседними точками класса сравнимы с диаметром класса щ.

Для выделения подмножеств таких классов строится ВР минимальных расстояний Л^,

гУ <,г2- (2.6)

ГШП ГП1П "*а • • — Ш1П 4 '

Минимальное расстояние от точки X, е М — это расстояние от X, до ее ближайшей соседней точки X, ,

'"/.min = тптг(Х1,Х^ = 1,2,...,и.

Если гистограмма множества (2.6) имеет хотя бы один C3JIM, то множество М содержит классы с РРГТГ, которые нетрудно выделить.

Гистограмма множества (2.6) строится при п > 30, а в общем случае исследуется последовательность отношений

Л/ 'min /'min > ' J,^.,...,« 1.

Если при некотором значении г0 е{1,2,...,и-1} имеет место неравенство

то множество М содержит классы с РРПТ. Если неравенство(2.7) выполняется v раз, то для параметра к имеем

к > v + 1.

В разделе 2.9 дано подробное описание алгоритмов классификации (из группы интуитивно-геометрических), наиболее пригодных для решения задачи формирования целевого коллектива оптимальной структуры. К таким алгоритмам относятся FOREL, алгоритмы Мак-Клина, Себестиана, Дженси, KRAB.

В разделе 2.10 описан алгоритм выбора целевого коллектива из множеств классов {&>,,ft>2,,..,<yt}, полученных в оптимальном варианте классификации исходного множества индивидуумов. При этом рассмотрены два варианта: лидер целевого коллектива известен, такой лидер неизвестен.

В главе 3 диссертации рассматривается задача оптимального выбора структуры целевого коллектива на базе системы стохастических дифференциальных уравнений.

Пусть Pt — потенциал элемента системы, который зависит от набора признаков элемента и взаимодействия с другими элементами системы. Для оценки эффективности элементов системы из К элементов используется феномен логистического уравнения. Логистическое уравнение может быть применено для описания самых различных процессов. С его помощью моделируются рост ко-

лонии дрожжевых грибов и сложные процессы развития человеческого общества. Динамика ресурсов в таких моделях описывается с помощью системы логистических уравнений:

¿Р, = (К,Р, - Р^ + Г е {О, Г}, / *

/=1

/ = {1...АГЬ Д>0,аг,>0, К,>0, ^(0) = Р1а, (3.1)

где ¿-номер рассматриваемого ресурса, его величина,/^.Д соответствующие константы, — одномерный процесс Винера, ц - неизвестные параметры, которые необходимо оценить.

Рассматривается следующая задача: для фиксированного индекса К < N, определить те номера индексов г = {1..ЛГ}, которые максимизируют математическое ожидание следующего функционала:

1 = М[1.РЧТ)] (3.2)

г=1

при условии (3.1). Здесь предполагается, что Рг упорядочены в сторону убывания максимального элемента. Кроме того, полагаем, что Рг> 1.

В качестве первого приближения для решения задачи (3.1), (3.2) используется методы кластерного анализа, а также методы решения несобственных задач линейного программирования, которые применяются для классификации. Для решения поставленной задачи сначала рассматривается уравнение Ланже-вена в смысле среднеквадратического. Коэффициенты уравнений Ланжевена находятся из условий нормированной суммы признаков и коэффициентов корреляции. По решению указанной системы уравнений определяются коэффициенты д Винеровского процесса. После решения уравнения (3.1) определяем максимум функционала (3.2). Для численного решения уравнений (3.1) и идентификации параметров применяем идеи и методы, предложенные в работе [5] из списка публикаций автора.

В приложениях приведены результаты расчетов модельных примеров различными методами. Сформулированы и доказаны теоремы существования и

единственности для стохастической системы (3.1). Использован метод факторного анализа для решения несобственных задач линейного программирования.

Заключение.

1. Предложены три модели динамики функционирования целевого коллектива. Решение одной из этих моделей проводится с помощью идеологии клеточных автоматов с переменной структурой.

2. На базе идей кластерного анализа и линейного программирования предложены методы разбиения элементов исходного коллектива на отдельные группы.

3. Предложена логистическая модель оценки эффективности (потенциала целевого коллектива) на базе стохастических дифференциальных уравнений.

4. Предложены методы идентификации и численного решения системы стохастических дифференциальных уравнений.

5. Доказаны теоремы существования и единственности стохастических дифференциальных уравнений, описывающих предложенную модель.

Литература к реферату:

1. Флеров Ю.А. Автоматизация проектирования сложных объектов машиностроения. В сб. Современные проблемы прикладной математики, под редакцией А.А. Петрова. М.: МЗ Пресс, 2005 г., стр. 75-98.

2. Журавлев Ю.И., Рязанов В.В., Сенько О.В. «Распознавание» Математические методы, программная система, практические применения, М., Фазис, 2006

3. Апраушева Н.Н. Преобразование признаков при статистическом решении одной задачи автоматической классификации. Изв. АН СССР. Технич. кибернетика. 1985. №2. С. 167-179.

4. Шлезингер М., Главач В. Десять лекций по статистическому и структурному распознаванию. Киев, Наукова думка, 2004 г.

5. Гардинер K.B. Стохастические методы в естественных науках. М.,Мир,1986

6. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л., Паркшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. М., МАИ,1992

7. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001 г.

8. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Ю.Г. Моллаверди Н. Применение метода Ньютона к решению задач линейного программирования большой размерности. ЖВМиМФ, 2004, том 44 № 9 С. 1564-1573.

9. Харман Г. Современный факторный анализ М. Статистика 1972

Ю.Еремин И. И. , Мазуров Вл. Д. Нестационарные процессы математического

программирования. — М.: Наука, 1979.

11. Северцев H.A., Шолкин В.Г., Ярыгин Г.А. Статистическая теория подобия: надежность технических систем. М.: Наука, 1986 г.

12.Дикусар В.В., Милютин A.A. Качественные и количественные методы в принципе максимума. М., Наука, 1989.

13.Аркин В.И., Саксонов М.Т. К теории стохастического принципа максимума в задачах с непрерывным временем. М., ЦЭМИ АН СССР, 1983.

Список публикаций автора:

1. Нечеухин О.В.. Вопросы оптимального управления и роста ресурсов в системе. Журнал «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем», выпуск 6(2). Сообщения по прикладной математике. М., ВЦ РАН, 2004, стр 86-93.

2. Дикусар В.В., Нечеухин О.В.. Проблема создания оптимальных структур научных коллективов. Журнал «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем», выпуск 6(2). Сообщения по прикладной математике. М., ВЦ РАН, 2004, стр. 77-85.

3. Дикусар В.В., Нечеухин О.В.. Методы создания оптимальных структур научных коллективов. Международный журнал «Вестник Брестского

университета», серия естественных наук 3(42), 2004, Брест, изд. БрДУ, стр. 12-17.

4. Дикусар В.В., Нечеухин О.В.. Использование кластерного анализа в формировании научных коллективов. Журнал «Исследование операций», М., ВЦ РАН, 2005," стр. 36-42.

5. Дикусар В.В., Нечеухин О.В. О задаче идентификации параметров стохастического дифференциального уравнения. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, под. Ред. Члена-корр. РАН Ю.С. Попкова. Выпуск 9(2) 2005 г., М-Ш^Б стр. 95-112.

6. Нечеухин О.В. Комитетные и факторные решения. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, под. Ред. Члена-корр. РАН Ю.С. Попкова. Выпуск 9(2) 2005 г., М.ШБЗ стр. 193-199.

о к исполнению 18/05/2006 Исполнено 18/05/2006

Заказ № 556 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш.-, 36 (495) 975-78-56 V (495) 747-64-70 www.autoreferat.ru

Введение

Анализ и синтез стохастических динамических систем часто связан с использованием численного решения СДУ. Для ряда задач таких, как фильтрация, идентификация, прогнозирование и оптимальное управление, интегрирование численного решения СДУ должно выполняться в реальном времени и, кроме того, с определенной точностью и устойчивостью. В связи с этим возникает ряд проблем. С одной стороны не многие СДУ имеют аналитические решения (в основном это - линейные СДУ с аддитивным или мультипликативным шумом или нелинейные СДУ, сводимые к линейным [1]), ас другой - физические особенности реальных динамических систем [2] приводят к проявлению жесткости, что неудовлетворительно влияет на получаемое численное решение. Поэтому особо важным этапов при проектировании стохастической динамической системы является выбор схемы численного решения СДУ.

3.1.2 Принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

В настоящее время существует несколько подходов создания численных схем решения СДУ. Одной из возможностей является адаптация существующих для обыкновенных дифференциальных схем (ОДУ) схем с учетом свойств стохастических интегралов, другой - разработка специальных методов решения СДУ [3]. Большинство исследователей использует первый подход, поскольку теория численного решения ОДУ хорошо разработана и достаточно легко можно провести аналогии между ОДУ и СДУ.

Самым простым методом аппроксимации численного решения СДУ (с вычислительной точки зрения) является метод Эйлера, разработанный Маруямой в 1955г [3]. Эта схема удовлетворяет многим необходимым свойствам, предъявляемым к численным методам (она имеет порядок сходимости 0.5 )5 но в тоже время обладает рядом ограничений (не всегда устойчива, ошибка аппроксимации достаточно высока и т.п.). Для устранения этих недостатков, а также повышения порядка сходимости численных схем решения СДУ были проведены и до сих пор ведутся исследования, направления которых можно представить в виде схемы (см. рис. 1).

По аналогии с разработкой схем численного решения ОДУ для повышения порядка сходимости, точности аппроксимации и устойчивости можно использовать разложение в ряд в точке аппроксимации, т.е. использования производных различных порядков как переменной, так и коэффициентов дрейфа и диффузии. В литературе этот подход получил название метода Тейлора [3]. Однако, недостатком схем Тейлора является то, что на каждом шаге аппроксимации требуется вычислять кратные стохастические интегралы, связанные с вышеуказанными производными. Для того, чтобы избежать вычислительных трудностей можно использовать многократное деление шага аппроксимации (методы Рунге-Кутта [4]) или результаты аппроксимации предыдущих шагов (многошаговые методы [5 - 7]).

Как обыкновенные, так и стохастические системы дифференциальных уравнений, описывающие многие физические, биологические или экономические явления, при компьютерном моделировании с использованием обычных численных схем демонстрируют «нежелательное» поведение и могут быть отнесены к классу некорректных задач. В большинстве случаев под «нежелательным» поведением понимается очень высокая нестабильность численного решения, связанная с так называемым явлением жесткости. Существует несколько возможных объяснений этого явления.

Первая причина ассоциируется с техническими возможностями компьютера.

Так для достижения желаемой точности можно применить многократное деление шага интегрирования. С одной стороны, это приводит к накоплению ошибки округления, и как следствие, возникает переполнение регистров компьютера. С другой стороны использование очень малых значений шага интегрирования требует огромных ресурсов времени и также приводит к накоплению ошибки округления. Вторая причина связана с физической стороной рассматриваемой системы. Это означает, что система описывает процессы различных скоростей или градиентов (прежде всего это характерно для некорректных задач). Такое явление обычно выступает в задачах пограничного слоя (гидродинамика), скин-эффекта (электромагнетизм), реакции химической кинетики и т.п. Наконец, жесткость может быть вызвана обеими причинами. Поэтому при разработке стабильных численных методов требуется учитывать вышеуказанные ситуации.

Анализ современной литературы показал, что создание численных методов решения жестких систем в большинстве случаев основано на идеях, представленных Хайрером и Ваннером [8]. В своей работе они постулировали, что жесткие системы не могут быть решены явными методами, и представили подходы, основанные только на использовании неявных методов. Однако, следует отметить, что непосредственное применение этих методов всегда связано с крайне сложной процедурой определения параметров схемы, основанной на заранее выделенной области устойчивости только для рассматриваемой системы. Это обстоятельство делает предложенные подходы неприемлемыми для большинства вышеуказанных приложений, но позволяет выделить два важных математических свойства жесткости. Во-первых, все жесткие системы обладают очень широким спектром (или присутствием очень разных экспонент Ляпунова). Во-вторых, согласно теоремы единственности и существования решения, для жестких систем характерны большие значения константы Липшица.

Итак, анализ принципов создания численных схем решения СДУ показал необходимость тщательного исследования существующих и, возможно, поиска новых методов, при решении конкретных задач.

3.1.3. Явные сильные численные схемы. Запишем СДУ в представлении Ито в общем виде dYt=a{tJ„c)dt + b(tJt,c)dW^t e[tQ,tT] ^ (3J) где ч . z -мерный вектор состояния системы с начальным условиями

-'«"мерный процесс Винера; а(*>¥ос): R'" xRxR" R-" и b{t,Yt,c). R- х R х R" R" х R'" непрерывно дважды дифференцируемые функции дрейфа и диффузии; с - 11 "мерный вектор параметров.

Получение сильного решения СДУ (3.1) является важным моментом многих практических задачах и целью работы является сравнительный анализ существующих сильных явных численных методов решения СДУ. Рассмотрим наиболее распространенный в финансовой литературе случай [9, 10] - случай одномерного уравнения (3.1), используя схемы: Эйлера,

Милыптейна, Тейлора, Рунге-Кутта и двухшаговую [3]. В одномерном случае схема Эйлера имеет вид:

У^К + 'Ю^+КЮ^К t (3.2)

Схема Мильштейна, обладающая порядком сильной сходимости У = представляется как

7„+1 = Y„+a(Y„) Ап +b(Y„)AW„ +1-Ъ(¥п)Ъ\Гп){{Шп)2-Д„}

1 » (3.3) схема Тейлора порядка У = ^ : a\Yn)b(Yn)AZn+^a(Y>y(Yn) + h2(Yn)a''(Yn) а двухшаговая схема порядка У = •

Y»+i = Y»-i + (3>5)

S(Ya)b{Y„)AZa ^(Y^b^Y,)^)2 - A„

Схема Рунге-Кутта, где порядок сходимости У может быть задана

К = a(t„,YH) s0=b(tn,Yl}) ^=л(/я + Ди,Гя+Л0Д + А^0) tn +-A„,Yn +—k0An " 12 " " 12 0 " 6 ^

5 5 7 1 (A^)2 ^ tn +—An,Yn+—LA+~K s0 " 12 " " 12 0 " 6 ^

3.1.4. Сравнение схем по критерию абсолютной ошибки.

Оценка качества аппроксимации той или иной численной схемы обычно связана с главной целью проводимого исследования или интерпретацией получаемого решения. Поскольку решение СДУ может быть решением в сильном или слабом смысле, то введение критерия качества аппроксимации должно учитывать этот факт. В работе рассматривается случай сильного решения СДУ, поэтому в качестве такого критерия можно использовать критерий «абсолютной ошибки» или математическое ожидание абсолютного значения меры близости между результатом аппроксимации * и аналитическое решением СДУ (3.1) У на конце интервала интегрированияМ: f = м(|гг-г(г)|) где ^' - оператор математического ожидания.

Заменим теоретическое значение критерия «абсолютной ошибки» (4.1) его статистическим аналогом, основываясь на моделировании Монте-Карло. Для этого предположим, что имеются по N траекторий аналитического и численного решения процесса, описываемого СДУ, на конце интервала интегрирования

Обозначим их соответственно как 1т>к и ™, тогда статистический аналог критерия (4.1) есть

Сравним вышеописанные схемы по критерию абсолютной ошибки. В качестве первого тестового примера исследуем линейное СДУ с постоянными однородными коэффициентами dY = aYdt + bYdW, аналитическое решение которого имеет вид

Yt = Y0ex р t + bW.

Вторым тестовым примером является нелинейное СДУ Ито вида dYt=h{Yt)b\Y,)dt + b{Y,)dWt с дифференцируемой функцией и общим решением Y, = lf,(Wl + h(¥0))

A(F)=J. где 0'

В частности, для уравнения dY=-Yll/3dt + Y2/3dWl ' аналитическое решение есть

Выполним вычислительные эксперименты с использованием компьютера типа IBM PC с процессором AMD Athlon (ТМ) ХР 3000+ для тестовых уравнений (4.3) и (4.4), используя численные схемы (3.2) - (3.6) и исследуя зависимость между длиной шага интегрирования А, количеством траекторий N и точностью аппроксимации (4.2). Результаты вычислений приведены в таблицах 1 - 3, проанализируем их, используя усредняющий критерий (4.2).

Для первого и второго тестовых уравнений (см. табл.1 и табл.2) при уменьшении длины шага интегрирования и увеличении порядка сходимости численной схемы возрастает точность аппроксимации для всех исследуемых численных схем.

Однако этого нельзя утверждать в третьем случае, который представлял жесткое СДУ [11] (см. табл.3). Удалось рассчитать значение абсолютной ошибки для всех комбинаций длины шага интегрирования и количества траекторий только для схемы Эйлера и двухшаговой схемы. Таблица 1.

Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.3)

Схема Длина шага интегрирования, А

2'1 2~2 2~3 2'4 2~5 2-б 2"

Эйлера 0.2131 0.4025 0.2903 0.0239 0.2540 0.0228 0.

Милыптейна 0.0368 0.0976 0.7012 0.0658 0.0201 0.0201 0.

Тейлора 0.1513 0.3566 1.1820 0.0282 0.0749 0.0125 0. двухшаговая 0.2131 0.0486 0.0846 0.0117 0.0056 0.0001 0.

Рунге-Кутта 0.0906 0.0296 0.0039 0.0015 0.0043 0.0010 0.

N = \

Эйлера 0.1917 0.4300 0.2606 0.4059 0.3476 0.1705 0.

Мильштейна 0.2039 0.3218 0.1000 0.1050 0.4573 0.0273 0.

Тейлора 0.1446 0.4783 0.1026 0.1302 1.1038 0.0351 0. двухшаговая 0.1917 0.2896 0.0527 0.0499 0.0987 0.0079 0.

Рунге-Кутта 0.0768 0.0709 0.0326 0.0181 0.0114 0.0026 0.

Эйлера 0.2999 0.3999 0.6878 0.3729 0.2091 0.2180 0.

Мильштейна 0.2728 0.2800 0.3892 0.1170 0.0608 0.0368 0.

Тейлора 0.1994 0.3079 0.5748 0.3086 0.0737 0.0445 0. двухшаговая 0.2999 0.1941 0.1792 0.0496 0.0197 0.0132 0.

Рунге-Кутта 0.1119 0.0757 0.0862 0.0234 0.0064 0.0036 0.

1 -2 —

Для схем Милыдтейна, Тейлора и Рунге-Кутта при А = 2 ? 2 ,2 значения абсолютной ошибки было гораздо выше, чем для схемы Эйлера или двухшаговой схемы, а при уменьшении длины шага интегрирования

А = 249 2 5} 2 65 27) происходило переполнение регистров, что приводило к невозможности проведения дальнейших вычислений. Таким образом, можно отметить, что в отличии от ОДУ, при численном интегрировании решения жестких СДУ следует использовать «простые» явные методы решения, т.е. избегать методов, использующих многократного деления шага аппроксимации или производных функций дрейфа и диффузии. В случае потребности численного решения СДУ в таких задачах, как фильтрация или идентификация параметров СДУ с использованием процедуры Монтетл по 1*21 - - A е[0.01;0.001]

Карло [12-13], предпочтительной длиной шага является l ' J.

Таблица 2.

Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.4) ( х0 = г0 = 1.о.

Схема Длина шага интегрирования, А

2"1 2~2 2"3 2-4 2"5 2~6 2~

N = \

Эйлера 0.1618 0.2674 0.0448 0.1437 0.0964 0.0017 0.

Мильштейна 0.0001 0.0483 0.0194 0.0073 0.0029 0.0018 0.

Тейлора 0.0102 0.0074 0.1385 0.1513 0.0977 0.2649 0. двухшаговая 0.1618 0.1181 0.2250 0.1733 0.0537 0.2545 0.

Рунге-Кутта 0.0571 0.0502 0.0001 0.0390 0.0638 0.0040 0.

Эйлера 0.1847 0.1754 0.1164 0.1317 0.0512 0.0316 0.

Мильштейна 0.0298 0.0268 0.0088 0.0069 0.0045 0.0017 0.

Тейлора 0.0013 0.0496 0.0564 0.0847 0.0871 0.0647 0. двухшаговая 0.1847 0.1162 0.0655 0.0912 0.0863 0.0633 0.

Рунге-Кутта 0.0710 0.0721 0.0401 0.0669 0.0194 0.0100 0.

Эйлера 0.1883 0.1992 0.1380 0.0818 0.0727 0.0505 0.

Мильштейна 0.0228 0.0248 0.0116 0.0060 0.0032 0.0017 0.

Тейлора 0.0001 0.0726 0.1040 0.1022 0.0859 0.0967 0. двухшаговая 0.1883 0.1003 0.1159 0.1092 0.0898 0.0981 0.

Рунге-Кутта 0.1106 0.1443 0.1051 0.0477 0.0329 0.0280 0.

Таблица 3.

Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.3)(а = 1-0,

6 = 8.0 'б[0,1] *0 = У0 = 1.(К » » ) схема длина шага интегрирования, А

2"1 2"2 2-3 2"4 2"5 2"6 2~

Эйлера 4.144 9 3.496 5 8142. 3 0.475 9 0.0181 0.000 1 0.

Мильштейна 8.357 4 184.3 1 37.62 0 0.002 0 0.0001 0.000 1 0.

Тейлора 48.50 1 2427 8 00 00 оо двухшаговая 4.144 9 51.14 7 3372 3 36.71 6 0.2408 0.071 8 0.

Рунге-Кутта 46.14 4 1156. 1 00 21.45 4 0.0001 0.000 1 0.

Эйлера 6.345 8 43.71 2 1065. 8 65.25 3 133.38 0.002 2 0.

Мильштейна 23.32 6 178.7 4 1843. 7 2695.

Тейлора 73.26 5 ОО ОО ОО со ОО ОО двухшаговая 6.345 8 380.5 9 1785 8 25.88 0.7215 0.354 8 0.

Рунге-Кутта 64.01 6 1835. 8 2828 9 19.23 8 ОО со СО

Эйлера 4.097 1 39.01 7 373.0 1 1093 4 3379.2 1.911 4 0.

Мильштейна 14.13 3 389.1 1690 3 2829 .6 0.0546 ОО ОО

Тейлора 40.65 5 со ОО ОО ОО ОО 0. двухшаговая 4.097 1 636.9 8 2600 2 2848 .3 7.1647 2.105 2 0.

Рунге-Кутта 38.22 5 2636 4426 9 831. 95 ОО ОО использование производных функций дрейфа и диффузии использование производных искомой функции I использование значении предыдущих шагов

СХЕМЫ ТЕЙЛОРА использование многократного деления шага аппроксимации.

СХЕМЫ РУНГЕ-КУТТА

МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ

СХЕМА ЭЙЛЕРА

СХЕМА ЭЙЛЕРА

Рис. 1. Методы и направления преобразования схемы Эйлера

Актуальность темы.

Закономерности современного этапа научно-технической революции можно по некоторым данным (см., например. [1]) охарактеризовать следующими количественными показателями развития техники в ведущих областях машиностроения: число различных классов технических систем удваивается в среднем через каждые 10 лет; сложность изделий по числу деталей и узлов возрастает вдвое за 15 лет; объем научно-технической информации, используемой в конструкторских разработках, удваивается за 8 лет.

В авиационной технике, например, самолеты конца семидесятых годов в 5-6 раз сложнее самолетов аналогичного назначения, построенных в пятидесятых годах. За 20 лет затраты человеческого труда на проектирование и изготовление единицы массы конструкции увеличились вдвое, а продолжительность разработки нового самолета возросла с 3-4 до 8-12 лет, а иногда и более. Объем проектно-конструкторских работ предположительно будет возрастать каждые 10 лет в 10 раз [1]. По статистическим данным распределение затрат предприятия-разработчика но этапам жизненного цикла летательного аппарата выглядит следующим образом: научные исследования и проектирование - 10%; создание опытных образцов - 20%; летные испытания и доводка - 50%; серийное производство и эксплуатация - 20%.

Если бы за счет увеличения объема и повышения качества, научно-исследовательских и проектных работ удалось вдвое сократить доводочные расходы, то это уменьшило бы суммарную стоимость создания самолета на

25-30%.

Усилия по решению этой проблемы привели к увеличению числа проектировщиков с 20-30 человек, работавших в течение нескольких месяцев над проектами первых сверхзвуковых самолетов, до нескольких сот инженеров, проектирующих современные самолеты в течение нескольких лет. Практика подтверждает, что затраты человеческого труда, потребный объем вычислений и потребное время на проведение экспериментов для создания перспективного летательного аппарата возрастает по экспоненциальному закону. Это отражает тот факт, что рост сложности решения задач управления, планирования и проектирования зависит от сложности структуры решаемых задач экспоненциально. Отсюда следует актуальность выбора оптимальной структуры целевого коллектива.

Цель работы.

Анализ известных и создание новых методик выбора оптимальной структуры целевого коллектива для повышения эффективности его функционирования.

Методы исследования.

Методы кластерного и комитетного анализа, направленные на поиск групп индивидуумов, отличающихся по своим индивидуальным показателям. Моделирование динамики взаимодействия коллектива на основе клеточных автоматов с переменной структурой и стохастических дифференциальных уравнений.

Научная новизна.

Предложена методика качественного и численного анализа по выбору оптимальной структуры целевого коллектива в смысле его эффективности.

Обоснованность научных положений.

Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны.

Практическая ценность.

Результаты работы использовались в научных исследованиях и учебном процессе МФТИ, и в рамках гранта РФФИ (№ проекта 03-01-00678). Также результаты работы могут использоваться для качественного и численного анализа выбора оптимальной структуры целевого коллектива в различных областях науки и техники.

Апробация работ.

Основные результаты работы докладывались на семинарах МФТИ, ИПУ РАН, ВЦ РАН, ИММ РАН, ИСА РАН, ЦЭМИ РАН, МГУ, а также на научных конференциях МФТИ и международных конференциях (Брест 2005).

Личный вклад.

В совместных работах [2], [3], [4], [5] автору принадлежат результаты в равных долях.

Структура и объём работ.

Диссертация состоит из введения, 3-х глав, приложения, библиографического списка и содержит . рисунков. Общий объём работы составляет . страниц. Библиографический список включает . наименований.

1. Флеров Ю.А. Автоматизация проектирования сложных объектов машиностроения. В сб. Современные проблемы прикладной математики, под редакцией А.А. Петрова. М.: МЗ Пресс, 2005 г., стр. 75-98.

2. Журавлев Ю.И., Рязанов В.В., Сенько О.В. «Распознавание» Математические методы, программная система, практические применения, М., Фазис, 2006

3. Апраушева Н.Н. Преобразование признаков при статистическом решении одной задачи автоматической классификации. Изв. АН СССР. Тех-нич. кибернетика. 1985. №2. С. 167-179.

4. Шлезингер М., Главач В. Десять лекций по статистическому и структурному распознаванию. Киев, Наукова думка, 2004 г.

5. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.,Мир,1986

6. Баркин А.И., Зеленцовский А.Л., Паркшин П.В. Абсолютная устойчивость детерминированных и стохастических систем управления. М., МАИ, 1992

7. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001 г.

8. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Ю.Г. Моллаверди Н. Применение метода Ньютона к решению задач линейного программирования большой размерности. ЖВМиМФ, 2004, том 44 № 9 С. 1564-1573.

9. Харман Г. Современный факторный анализ М. Статистика 1972Ю.Еремин И. И. , Мазуров Вл. Д. Нестационарные процессы математического программирования. -М.: Наука, 1979.

10. Северцев Н.А., Шолкин В.Г., Ярыгин Г.А. Статистическая теория подобия: надежность технических систем. М.: Наука, 1986 г.

11. Нечеухин О.В. Вопросы оптимального управления и роста ресурсов в системе. Журнал «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем», выпуск 6(2). Сообщения по прикладной математике. М., ВЦ РАН, 2004, стр 86-93.

12. Дикусар В.В., Нечеухин О.В. Проблема создания оптимальных структур научных коллективов. Журнал «Вопросы теории безопасности и устойчивости систем», выпуск 6(2). Сообщения по прикладной математике. М., ВЦ РАН, 2004, стр. 77-85.

13. Дикусар В.В., Нечеухин О.В. Методы создания оптимальных структур научных коллективов. Международный журнал «Вестник Брестского университета», серия естественных наук 3(42), 2004, Брест, изд. БрДУ, стр. 12-17.

14. Дикусар В.В., Нечеухин О.В. Использование кластерного анализа в формировании научных коллективов. Журнал «Исследование операций», М., ВЦ РАН, 2005, стр. 36-42.

15. Дикусар В.В., Нечеухин О.В. О задаче идентификации параметров стохастического дифференциального уравнения. Труды ИСА РАН Динамика неоднородных систем, под. Ред. Члена-корр. РАН Ю.С. Попкова. Выпуск 9(2) 2005 г., M.URSS стр. 95-112.

16. Трофимова И.Н., Митин Н.А., Потапов А.Б., Малинецкий Г.Г. Описаниеансамблей с переменной структурой. Новые модели математической психологии. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1997 г.№ 34.

17. Малинецкий Г.Г. Нелинейная динамика и историческая механика. Общественные науки и современность, 1997 г.№ 2, 99-111.З.Орлов Ю.К. Частотные структуры конечных сообщений в некоторых естественных информационных системах, Тбилиси, 1975 г.

18. Голицын Г.А., Рефлексия как фактор развития. Сер. Проблемы рефлексии. Современные комплексные исследования, Новосибирск, Наука 1987 г.

19. Голицын Г.А., Петров В.М. Гармония и алгебра живого, М., Знание 1990 г.

20. Подлазов А.В. Новые аспекты самоорганизованной критичности. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1995г. № 86.

21. Математическое моделирование исторических процессов. Ассоциация «История и компьютер» М., 1996 г.

22. Коновалова О. Разработка алгоритмов для прогнозирования промышленного производства в регионе: Дипломный проект по специальности "информационные системы в экономике". Пенза: ПГУ, 1999 г. http://chat.ru/—neurolab/#q 1

23. Колесников А., Искусственная жизнь клеточных автоматов, "Компьютерные Вести" №26, 1999 г: www.kv.by/indcx 1999261201 .htm М.Е.Н.Князева, Синергетический вызов культуре, http://www.theo.physik.uni-stuttgart.de/

24. Е.Н. Князева Сложные системы и нелинейная динамика в природе и обществе http://www.theo.physik.uni-stuttgart.de/

25. В.-Б. Занг, Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории, М., МИР 1999г.

26. Арнольд В.И. Теория катастроф. М., Наука 1990г.

27. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М. Изограф 1997г.

28. Тихомиров Н.П., Райцин В.Я, Гаврилец Ю.Н., Спиридонов Ю.Д. Моделирование социальных процессов. Учебное пособие. М., РЭА 1993 г.

29. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О., Устойчивость биологических сообществ. М., Наука 1978 г.

30. Dana R.A., Montrucchio L. Dynamic Complexity in Duopoly Games, J. Economic Theory 1986.22.3анг (Zhang W.B.) Unurbanizing Processses With Moving Boundaries, Geographical Analysis 20, 1988.

31. Николис Г., Пригожин И., Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации М.Мир 1979г.

32. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. М. Прогресс 1986 г.

33. Semmler W. Competition, Instability and Nonlinear Cycles. Springer,Berlin, Hwidelberg 1985.

34. Хакен Г. Синергетика. M. Мир 1980 г.

35. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М. Мир 1985 г.

36. Шустер X. Детерминированный хаос. Введение. М. Мир 1988 г. 29.Чернавский Д.С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации М.: Едиториал УРСС, 2004 г.

37. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики М.: Едиториал УРСС, 2002 г.

38. Фролов Ю.Н., Концептуальные основы государственного управления наукой, автореферат Ар 98-4010, Изд-во СПбГУЭФ, 1998 г.

39. Малинецкий Г.Г. Проект «ИНФОРМХАОС», М.:РОУ, 1992 г.33.«Коммерсант», № 110 от 28.06.2002г. стр.7-8, www.kommersant.ru

40. Авдулов А.И. Власть. Наука. Общество. Система государственной поддержки научно-технической деятельности, Д-8-94/19821 001/а189,1994 г.

41. Авдулов А.И. Структура и динамика научно-технического потенциала России, Д8-96/26749,1996 г.

42. Грачев Н.Н. Введение в психологию инновационной научно-технической деятельности, М: 1996 г.

43. Глазьев С.Ю. Геноцид, М. 1998 г.

44. Бирюков С.В. Синергетика vs монополярность, М. «Русский журнал» от 05 мая 2003 г.39.«Технологии и управление», проект журнала «Эксперт» №1, февраль 2004 г.

45. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М. Мир, 1986 г.Глава 2. Формирование целевых коллективов методами кластер-анализа.

46. Основные условия, гарантирующие оптимальную классификациюДля получения оптимальной классификации необходимо выполнение следующих условий 6-8.

47. Обнаружение информативных признаковДля обнаружения информативности s -го признака, 1 >>••'•>уs ? можно использовать два простых метода.

48. Перельман И.И. Оперативная идентификация объектов управления. -М.: Энергоиздат, 1982, 272 с.

49. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1978,418 с.

50. Льюинг Л. Идентификация систем. Теория пользователя. М.: Наука, 1991,432 с.

51. Острей К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973,331 с.

52. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986,287 с.

53. Hum A.S., Lindsay КА. Estimating the parameters of stochastic differential equations by Monte Carlo methods // Mathematics and Computers in Simulation, 1997, Vol. 43, pp. 495-501.

54. Hum A.S., Lindsay K.A., Martin V.L. On the efficacy of simulated maximum likelihood for estimating the parameters of stochastic differential equations // Journal of time series analysis, 2003, Vol. 24 (1), pp. 45-63.

55. Filatova D., Grzywaczewski M. Some approach to stochastic epidemiological model identification // Colloquium Biometryczne, 2003, Vol. 33a, pp. 65 -75.

56. Kloden P.E., Platen E., Schurz H. Numerical solution of SDE through computer experiments. Berlin: Springer, 1997,292 p.

57. Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to finance. London: Chapman and Hall, 2000, 185 p.

58. Nielsen J.N., Madsen H., Young P.C. Parametric estimation in stochastic differential equations: an overview // Annual Reviews in Control, 2000, Vol. 24, pp. 83 -94.

59. Пугачев B.C., Сишщын И.Н. Теория стохастических процессов. М.: Логос Прес, 2000, 999 с.

60. Соболь И.М., Статников. Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981. 111 с.

61. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС, 1998, 544 с.

62. Silverman B.W. Choosing the window width when estimating a density // Biometrika, 1978, vol. 65, pp. 1 11

63. Kyang-Joon C., Schucany W.R. Nonparametric regression estimation near endpoints // Journal of statistical planning and inference, 1998, vol. 66, pp. 289 -304.

64. Katkovnik VShmulevich I. Kernel density estimation with adaptive varying window size // Pattern recognition letters, 2002, vol. 23, pp. 1641 1648.

65. Дикусар В.В., Кошъка М., Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. М.: МФТИ. 2001. - 141 с.

66. Смит Дж. М. Модели в экологии, М., Мир, 1976, с.31-33

67. Marchetti С, The Future,// In proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi", G. Caglioti and H. Hacker (eds),1991

68. Холл А., Опыт методологии для системотехники, М., Советское радио, 1975, с. 235-243

69. Дуб Дж. JI. Вероятностные процессы. М.: ИИЛ. 1956

70. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика. 1960. Том 27 №5, стр. 809-823.

71. Гихман И.И. Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, Наукова думка, 1968.Заключение.

72. Предложены три модели динамики функционирования целевого коллектива. Решение одной из этих моделей проводится с помощью идеологии клеточных автоматов с переменной структурой.

73. На базе идей кластерного анализа и линейного программирования предложены методы разбиения элементов исходного коллектива на отдельные группы.

74. Предложена логистическая модель оценки эффективности (потенциала целевого коллектива) на базе стохастических дифференциальных уравнений.

75. Предложены методы идентификации и численного решения системы стохастических дифференциальных уравнений.

76. Доказаны теоремы существования и единственности стохастических дифференциальных уравнений, описывающих предложенную модель.