автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы улучшения в задачах с линейным неограниченным управлением и их приложение

Введение

ГЛАВА

Модифицированные методы улучшения управления первого и второго порядков

§ 1 Постановка задачи оптимального управления и методы улучшения

1. Постановка задачи.

2. Метод сильного улучшения

3. Метод слабого улучшения

4. Методы первого порядка

5. Приближенный синтез оптимального управления

§2 Задачи оптимального управления с линейным неограниченным управлением

1. Постановка задачи

2. Метод преобразования

§3 Модификации алгоритмов слабого улучшения

1. Модифицированный алгоритм улучшения

2. Метод слабого улучшения второго порядка

3. Метод слабого улучшения первого порядка

4. Сходимость методов слабого улучшения

ГЛАВА

Методы улучшения для задач с линейным неограниченным управлением

§1 Метод улучшения второго порядка для линейной по управлению задачи с неограниченным множеством скоростей

1. Постановка задачи и схема улучшения

2. Запись конструкций алгоритма для производной задачи в терминах исходной

§2 Релаксационность и сходимость методов

1. Релаксационность алгоритмов для задач с линейным неограниченным управлением

2. Сходимость алгоритмов улучшения для задачи с линейным неограниченным управлением.

§3 Необходимые и достаточные условия локального минимума, локально-оптимальный синтез управления

1. Необходимые и достаточные условия локального минимума

2. Локально-оптимальный синтез управления

ГЛАВА

Методы улучшения в задачах с импульсными режимами высокого порядка

§1 Кратные преобразования задачи оптимального управления и алгоритмы улучшения

1. Кратные преобразования

2. Алгоритм улучшения

§2 Представление основных конструкций алгоритма улучшения в терминах исходной задачи

§3 Аппроксимации управления кусочно непрерывными функциями

§4 Метод улучшения и его свойства

1. Алгоритм улучшения

2. Релаксационность метода

3. Необходимые и достаточные условия локального минимума

4. Сходимость метода

ГЛАВА

Задача оценки антропогенной нагрузки на экосистему озера Байкал

§1 Математическая модель

1. Постановка задачи

2. Выбор математического описания объекта

§2 Задача оценивания воздействий на экосистему озера Байкал

Оптимальное управление - область математики, занимающаяся исследованием задач оптимизации, в которых состояние объекта обычно описывается дифференциальными уравнениями. Как правило, для решения этих задач используются различные приближенные методы, выбор и разработка которых зависит от класса задач, к которым они будут применены. Встречающиеся на практике задачи оптимального управления достаточно разнообразны, поэтому при их решении постоянно возникает потребность в разработке новых методов решения или модификации уже существующих алгоритмов с учетом специфики конкретной задачи.

Большая группа методов приближенного решения задач оптимального управления основана на достаточных условиях оптимальности В.Ф.Кротова, получивших название принципа расширения. Смысл его состоит в том, что исходная задача оптимизации заменяется более простой задачей, в которой игнорируются те или иные связи. При этом вторая задача должна быть сформулирована так, чтобы ее решение удовлетворяло отброшенным связям. Тем самым решается и исходная задача.

В работе [Кротов, 1975] сформулирована общая схема вычислительной процедуры, в которой итеративным образом ищется функция Кротова и соответствующее ей синтезирующее управление. На основе этой процедуры в работах [Кротов, Фельдман, 1978, 1983] представлен алгоритм последовательных улучшений управления, включающий в себя интегрирование сопряженной и линейной матричной систем и замыкание исходной системы синтезирующим управлением.

Одной из групп методов решения задач оптимального управления являются методы решения вырожденных задач. Немаловажным стимулом к исследованиям в данном направлении является широкий спектр прикладных задач, имеющих нерегулярный характер оптимальных решений. Такие задачи часто встречаются при исследовании экономических, эколого-экономических, технических, медико-биологических и других систем. Одной из особенностей вырожденных задач является наличие особых участков в структуре оптимального управления. Принцип максимума на этих участках вырождается. Это характерно для задач с ограниченным множеством скоростей. Существуют методы, направленные на поиск особых управлений [Бельтюков, 1983; Васильев, Срочко, Терлецкий, 1990]. Однако обычно в таких задачах используются алгоритмы, основанные на принципе максимума [Габасов, Кириллова, 1973], а при его вырождении для проверки на оптимальность или для построения улучшающей вариации используют условия Келли [Келли, 1964, 1965] либо последовательность Коппа-Мойера [Копп, Мойер, 1965]. Алгоритмов последовательных улучшений в форме синтеза управления для таких задач пока нет, в работах [Гурман, Батурин, Расина, 1983] строится метод второго порядка в случае, когда функция Понтрягина имеет две точки максимума по управлению. Предложенный в этих работах подход позволяет найти поверхность переключения управления, особые поверхности, исследовать поведение функции на этих поверхностях. Другая особенность вырожденных задач - наличие импульсных режимов, которые обычно появляются в случае, когда множество скоростей неограниченно. Типичный представитель этого класса задач - задача с линейным неограниченным управлением, особенность которой -отсутствие искомого элемента в классе допустимых, неэффективность общих необходимых и достаточных условий оптимальности. Методы слабого улучшения применимы к таким задачам, но в точках приложения импульса наблюдается медленная сходимость либо остановка процесса улучшения из-за ошибок округления, хотя полученное приближение далеко отстоит от оптимального управления и даже не напоминает его структуру. Использование методов регуляризации [Тихонов, Арсенин,

1979] не разрешает этой проблемы, так как при малых параметрах регуляризации несет в себе трудности, присущие алгоритмам первого порядка, а при использовании методов второго порядка добавляется проблема жесткости при интегрировании вспомогательной системы. Всем этим и объясняется актуальность выбранной темы.

Краткий обзор. Основополагающими работами при исследовании указанных задач послужили работы В.И.Гурмана, Дж.Келли, Гоха [Гурман, 1965, 1977; Келли, 1965; Goh, 1966]. В линейной задаче с неограниченным множеством скоростей требуется минимизировать функционал I(x,u) = F(x(tl))> система дифференциальных уравнений линейна по управлению и имеет вид х = g(t,x) + h(t,x)u, (1) где x(t) е Rn, u(t) е Rm, заданы также начальные условия

Для исследования таких задач используется схема преобразований фазовых и управляющих переменных, которая приводит к новой, невырожденной, задаче. Это преобразование тесно связано с наличием первых интегралов системы уравнений в частных производных первого порядка:

Пусть ?](t,x,w) - п независимых первых интегралов системы (3). Если из них исключить т параметров w, то получим g(t,x) - (n-ш) автономных независимых первых интегралов. В работах Гоха [Goh, 1966] рассматривалась задача, в которой матрица h не зависит от х и интегралы системы (3) выписываются аналитически. Развитие этого подхода для общего случая было выполнено в работах В.А.Дыхты, оно получило в дальнейшем название обобщенного преобразования Гоха или преобразования Дыхты-Гоха. В.И.Гурманом [Гурман, 1967] x(t0) — XQ .

2)

3) использовалось преобразование g(t,x). Отметим простую связь этих преобразований. Если к системе (1) дописать уравнение dw = и dt и найти п автономных независимых интегралов системы = Kt,z), от dw „ эГ*' где Е - единичная матрица размерности (m х т), то получится обобщенное преобразование Гоха. Преобразование Гурмана позволяет понижать порядок дифференциальной связи на размерность т, а преобразование Гоха этот порядок сохраняет и в некотором смысле является более симметричным, чем преобразование Гурмана. Новая преобразованная задача получила название [Гурман, 1967] производной задачи, в некоторых источниках такое преобразование называют редукцией, а саму задачу - редуцированной.

В работах В.А.Дыхты [Дыхта, 1991] рассматривается не сама вырожденная задача (1)-(2), а ее расширение, допускающее разрывные траектории. Переход к производной задаче достигается с помощью преобразований вида t y(t) = 7]{t, x(t), w{t)), w(t) = \P(t, x{z))u(z)dT, (4) где вектор-функция t] и матрица Р выбираются из условия независимости дифференциального уравнения для новой переменной состояния у от управления. Обобщенные траектории системы (1)-(2) могут быть описаны в этом случае как x(t) = y(t), w(t)) - суперпозиция некоторой гладкой функции £ с траекторией >>(') редуцированной дифференциальной связи

У = h(t,x,w) + r/x(t,x,w)g(t,x)]x^{t y w). (5)

Здесь y{t) - новая траектория, a w(t) - новое управление производной системы. При этом в редуцированной задаче начальные условия и функционал выглядят следующим образом: y(tQ) = x о, J(y,w,0) = L(y{tx),0), (6) где в - независимый параметр.

Редуцированная задача (5)-(6), вообще говоря, является нелинейной по управлению w(-) е Lm (Т), так что принцип максимума и другие условия высших порядков в ней будут уже эффективны. Множество задач, для которых допустимо преобразование к производной задаче, характеризуется тем, что ранг матрицы h(t,x) равен m и эта матрица удовлетворяет условию типа инволютивности (если т>1). [Гюнтер, 1934]

Один из способов преобразований к производной задаче предложен В.А.Дыхтой [Дыхта, 1981]. Это преобразование не зависит от ранга матрицы h(t, х), а свойство инволютивности заменено на условие полной интегрируемости этой матрицы. В этом случае размерность производной задачи такая же, как и размерность исходной. Этот тип преобразований назван нелинейным преобразованием Гоха или методом интегрального преобразования управления. Гох применил аналогичные преобразования для систем, линейных по состоянию и управлению, при исследовании второй вариации функционала [Goh, 1966, 1967]. Независимо от него М.А.Красносельский и А.В.Покровский пришли к нелинейным преобразованиям Гоха при исследовании так называемого свойства виброустойчивости уравнения (1) [Красносельский, Покровский, 1972]. Суссман в [Sussman, 1978] использовал такие же преобразования при рассмотрении виброустойчивости для случая, когда m -1.

Возникает необходимость использовать комбинацию двух типов преобразований, о которых упомянуто выше. Предложены такие преобразования для случая, когда матрица h(t, х) может быть представлена в виде произведения двух матриц, т.е. допускает перестановку, удовлетворяющую условию Фробениуса. Применение различных модификаций метода преобразований ведет к тому, что конструктивные способы избавиться от линейного неограниченного управления в исходной задаче связаны с правильным описанием слабого решения исходной системы в случае, когда управление является импульсным. Кроме задачи, линейной по х,и [Иоффе, Тихомиров, 1974; Куржанский, 1975] или более общего случая, когда матрица h зависит только от t [Завалищин, Сесекин, Дрозденко, 1983; Филиппов, 1985], корректное описание слабого решения является сложной задачей [Завалищин, Ревенко, 1986; Миллер, 1978, 1989]. Существуют два подхода к ее решению. В первом случае осуществляется формальный переход от дифференциального уравнения к интегральному, интеграл может здесь рассматриваться в смысле Лебега-Стилтьеса или другом. Во втором подходе, в работах [Kurzweil, 1985], импульсное управление аппроксимируется обычной функцией и затем уже выполняется предельный переход к компоненте состояния. Вообще говоря, эти два подхода ведут к различным расширениям траектории. Более того, показано, что от способа аппроксимации импульсного управления зависит предельная траектория, то есть возникает бесчисленное множество разрывных траекторий - интегральная воронка, соответствующая данному импульсному управлению. Эта неединственность устраняется, когда матрица h удовлетворяет условию Фробениуса. В работах [Завалищин, Орлов, 1986; Завалищин, Ревенко, 1986; Завалищин, Сесекин, 1991], показано, что если выполнено условие Фробениуса, то естественно рассматривать функцию состояния в форме суперпозиции, как слабое решение (1)-(2), соответствующее управлению и е Laj(T,U), u-dw, где d - оператор дифференцирования в смысле распределения, w(-) - функция из Lm(T,Rm). С этой точки зрения все конструктивные методы расширения могут рассматриваться как сведение задачи импульсного управления к обычной.

Преобразования (4) дают возможность получить лучшие результаты, чем другие подходы. В численных прикладных исследованиях [Гурман, 1977; Камке, 1966] показана эффективность сочетания нелокальных преобразований с методом подстановки, разрывной по времени.

Метод подстановки разрывного времени используется для описания обобщенных траекторий исходной системы как элементов пространства функций ограниченной вариации. В работах [Rishel, 1965] и [Миллер, 1982, 1989] метод используется для доказательства аналога принципа максимума для расширенной задачи. Как показано в [Миллер, 1989], применение этого метода позволяет описать расширение вырожденной задачи без предположений типа условия Фробениуса или инволютивности. Анализ вспомогательной задачи ведет к более общему необходимому условию оптимальности. Этот результат содержит и оптимальную обобщенную траекторию, и характеристики последовательности обычных функций управления.

Другой подход может быть применен при доказательстве принципа максимума [Vinter, Pereira, 1988] для случая, когда h = h{t,x) и переменные состояния могут быть функциями ограниченной вариации.

Преобразования задачи оптимального управления к производной задаче могут быть рассмотрены как расширение класса задач с разрывными траекториями. Получение условий оптимальности для вырожденной задачи было предметом исследования в работах В.А.Дыхты [Дыхта, 1992, 1994], которым, в частности, был сформулирован вариационный принцип максимума для таких задач. С помощью условий слабого локального минимума получены условия сильного локального минимума на множестве неимпульсных процессов в исходной задаче, содержащей линейное неограниченное управление. Условия оптимальности, выписанные в терминах исходной задачи, получены в работах Г.А.Колокольниковой [Колокольникова, 1992].

Многие практические задачи допускают редукцию исходной задачи к ее расширению. Если такой переход удается осуществить явно, то далее используются стандартные методы решения задач оптимизации. Ведется также разработка алгоритмов численного решения задач оптимального управления. Применение процедур перехода и локализации позволяет разрабатывать специальные алгоритмические процедуры решения вырожденных задач в случае, когда невозможен непосредственный переход к производной задаче. Для таких ситуаций разработаны методы улучшения первого и второго порядков [Гурман, Батурин, 1981; Гурман, Батурин, Расина, 1983]. Эти процедуры не требуют нахождения функции, описывающей переход к производной задаче. В основных конструкциях алгоритма требуется знать лишь частные производные этой функции вдоль решения предельной системы с фиксированными начальными данными [Новые методы., 1987]. Для этого необходимо интегрировать вспомогательные многомерные системы. Один из первых шагов в развитии алгоритмов такого сорта сделан в [Гурман, Батурин, 1981], где был предложен алгоритм сильного улучшения в случае, когда матрица h удовлетворяет условию Фробениуса. Для задач с ограничением на текущее значение импульса Ю.В.Орловым и Д.Д.Разумовским предложен [Орлов, 1988; Орлов, Разумовский, 1993] метод сведения исходной задачи к задаче нелинейного программирования или безусловной минимизации. Этот подход требует аналитического решения допредельной системы в частных производных.

В [Новые методы., 1987] обсуждены некоторые алгоритмы улучшения для импульсных режимов. В работе [Данилина, Колокольникова, 1988] предложена некоторая комбинация использования известных градиентных схем и условий оптимальности импульсных режимов в форме обобщенного принципа максимума. Практически здесь применен спуск в направлении антиградиента функционала по управлению в производной задаче.

Возможна ситуация, когда полученная производная задача снова оказывается вырожденной. В этом случае становится целесообразным ее последующее расширение на основе метода преобразований. В работах Г.А.Колокольниковой [Колокольникова, 1992] показывается, что кратные преобразования задач с линейным неограниченным управлением позволяют описать обобщенные траектории, соответствующие импульсным управлениям высоких порядков сингулярности, через классические решения редуцированных систем. В этих работах получены условия, при которых целесообразно рассмотрение импульсных режимов высокого порядка, а также описывается техника представления условий и конструкций для редуцированных систем в терминах исходной задачи. При этом используются и развиваются основные идеи различных модификаций метода преобразований, методология вывода принципа максимума вариационного типа и техника компактного представления условий оптимальности.

Использование принципа максимума для построения вычислительных методов началось с работ И.А.Крылова и Ф.Л.Черноусько [Крылов, Черноусько, 1962, 1972]. Ими был разработан метод последовательных приближений. В конце 70-х годов были получены результаты, позволяющие судить о релаксационности и сходимости методов [Васильев, Тятюшкин, 1981,1983; Васильев, 1994; Срочко, 1982; Любушин, 1979, 1982].

Разработка приближенных методов решения задач оптимального управления развивалась на использовании тех или иных условий оптимальности. В дальнейшем построение вычислительных процедур пошло по пути аппроксимации полного приращения функционала. В работах В.А.Срочко [Срочко, 1992, 1993] предложены методы фазовой линеаризации и квадратичной фазовой аппроксимации для решения задач оптимального управления со свободным правым концом. Фазовая вариация функционала, в отличие от игольчатой, содержит дополнительные слагаемые приближения функционала и позволяет улучшать режимы, например, особые, в которых игольчатая вариация не эффективна.

Другое направление развития вычислительных процедур связано с исследованиями уравнения Беллмана [Беллман, 1960]. Сам по себе объект представляет сложную математическую структуру - уравнение в частных производных первого порядка, нагруженное операцией максимума. Достоинство таких исследований - получение оптимального синтезирующего управления как наиболее желаемой формы решения. Недостатком общих алгоритмов является их сложная реализуемость для нелинейных задач на ЭВМ. Отметим, что метод Беллмана неприменим в задачах с импульсным управлением, в задаче с особыми режимами возникают области в пространстве состояний, где метод характеристик для решения уравнения Беллмана неприменим.

Следует выделить группу хорошо разработанных методов, ориентированных на решение задач оптимального управления для линейных систем [Габасов, Кириллова, 1981, 1983; Тятюшкин, 1992]. Этот факт способствует широкому применению методов линеаризации. В задачах оптимального управления с условиями на правом конце конечномерный аналог линеаризованной модели представляет собой задачу линейного программирования с большим числом переменных. Для решения таких задач разработаны специальные алгоритмы [Габасов, Кириллова, 1980, 1984], учитывающие особенности структуры матрицы условий, которые являются следствием непрерывности исходной системы управления.

В работах В.А.Срочко [Срочко, 2000] с позиций численного решения рассматриваются задачи оптимального программного управления в обыкновенных динамических системах. Здесь выделены классы задач оптимального управления, такие как: линейные и квадратичные по фазовым переменным задачи, нелинейные задачи без ограничений на фазовые переменные, нелинейные задачи с функциональными ограничениями. В предлагаемом здесь подходе используются нестандартные аппроксимации целевого функционала (формулы приращения), которые определены на смешанной совокупности фазовой и сопряженной траекторий. Формализуется процедура игольчатого варьирования, что обеспечивает возможность работы с новыми аппроксимациями. Реализация процедур и методов улучшения связана с интегрированием разрывных по фазовым или сопряженным переменным систем, что расширяет потенциал улучшения за пределы принципа максимума вследствие возможности неединственного решения.

Цель работы - создание на основе метода преобразований В.И.Гурмана и достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова специальных итерационных методов решения вырожденных задач оптимального управления, исследование свойств этих алгоритмов на предмет релаксационности и сходимости, построение процедур локально-оптимального синтеза управления, решение актуальных прикладных задач.

Структура работы. Диссертация состоит из четырех глав (трех теоретических и одной прикладной), введения и заключения. В каждом параграфе принята своя нумерация формул, ссылки на которые в пределах одной главы содержат двойную, а за пределами - тройную нумерацию. Для теорем, лемм, примеров принята сквозная нумерация в пределах одной главы.

В первой главе диссертации описывается постановка задачи оптимального управления, приводятся методы улучшения первого и второго порядков. Рассматривается также задача с линейным неограниченным управлением. Основной результат этой главы -модифицированные алгоритмы улучшения первого и второго порядков. Модификация состоит в том, что добавляется интегрирование линеаризованной системы дифференциальных уравнений и получившийся метод является базовым для производной задачи в системах с неограниченным множеством скоростей. Доказаны свойства этих алгоритмов, в том числе их релаксационность и сходимость.

Во второй главе рассматриваются методы улучшения для задачи с линейным неограниченным управлением. Приводится алгоритм улучшения для производной задачи и его расшифровка в терминах исходной задачи. Доказаны теоремы о релаксационности и о сходимости метода, сформулированы необходимые и достаточные условия локального минимума.

Третья глава диссертации посвящена исследованию случая, когда производная задача является вырожденной. Применены кратные преобразования, получены условия линейности производных задач, необходимые условия оптимальности. Описывается метод улучшения второго порядка для этой задачи, а также процедура аппроксимации разрывных траекторий непрерывными функциями. Доказаны теоремы о релаксационности и сходимости методов улучшения. Устанавливается связь с необходимыми и достаточными условиями локального минимума, предложен алгоритм построения локально-оптимального синтеза управления.

Четвертая глава носит прикладной характер. В ней с использованием разработанных алгоритмов получены оценки возможных антропогенных нагрузок на экосистему озера Байкал.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе автором, являются новыми. Они состоят в следующем:

• для регулярных задач оптимального управления предложены модифицированные алгоритмы улучшения первого и второго порядков, для которых получены разложения сопряженных переменных и функционала по параметру, что позволило исследовать свойства этих алгоритмов на предмет релаксационности и сходимости;

• на основе метода преобразований разработаны алгоритмы улучшения первого и второго порядков для задачи с неограниченным линейным управлением. Доказаны теоремы о релаксационности и сходимости этих алгоритмов, установлена связь с необходимыми и достаточными условиями локального минимума. Предложена процедура построения локально-оптимального синтеза управления;

• для задач управления, в которых в структуре оптимального управления могут содержаться импульсы высокого порядка, разработаны алгоритмы улучшения. Доказаны свойства релаксационности и сходимости метода, установлена связь с необходимыми и достаточными условиями локального минимума;

• на математической модели возмущений экосистемы озера Байкал с использованием разработанных алгоритмов получены оценки возможных антропогенных нагрузок на экосистему.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы поиска импульсных режимов, как первого, так и второго порядков, могут использоваться для решения широкого круга прикладных задач из техники (например, управление лазерными установками), управления движущимися объектами, экологии, при моделировании возможностей возникновения чрезвычайных ситуаций и оценки их последствий, в ряде других областей. Применение построенных методов позволяет находить не только локальную минималь, но и строить нелинейный приближенноI оптимальный конструктивный синтез управления с импульсной структурой, что особенно важно для практики. Полученные алгоритмы были применены для оценки антропогенной нагрузки на экосистему озера Байкал, а также при решении задачи нормирования сбросов загрязняющих веществ в бассейне реки Селенги.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [3-6], [20], [21], [94], [95], [98], [99], [104], [105]. Они обсуждались на семинарах лаборатории системного анализа и методов оптимального управления Института динамики систем и теории управления СО РАН, кафедры теории систем Института математики и экономики Иркутского государственного университета. В виде докладов они представлялись на 1-й Международной конференции «Математические проблемы экологии» (Новосибирск, 1992), 2-й Международной конференции "Математические проблемы экологии" (Новосибирск, 1994), на Международной конференции «New computer technologies in control systems» (Переславль-Залесский, 1996), третьей Международной конференции "Integrating Environment and Economy" (Новгород, 1997), Международной конференции «Singular solutions and perturbations in control systems» (Переславль-Залесский, 1997), 11-й Байкальской школе-семинаре «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 1998), Международной конференции «Сингулярные решения и процессы в системах управления» (Переславль-Залесский, 1998), X Международной юбилейной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 1999), Международной конференции "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2000), 12-й Байкальской Международной конференции «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 2001).

Автор выражает глубокую благодарность В.А.Батурину, под руководством которого была выполнена работа, а также В.И.Гурману, В.А.Дыхте, В.А.Срочко за ценные замечания и советы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Таким образом, в диссертационной работе сформулированы следующие результаты:

1. Разработаны модифицированные алгоритмы улучшения первого и второго порядков для классических задач оптимального управления. Рассмотрены свойства этих алгоритмов. Доказаны улучшаемость и сходимость методов.

2. Построены алгоритмы улучшения для линейной по управлению задачи без ограничений на управление. Алгоритмы позволяют находить импульсно-оптимальные управления, а также улучшать управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности, но не оптимальные. Для алгоритмов доказаны свойства релаксационности, сходимости. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия локального минимума. Предложена процедура построения локально-оптимального синтеза управления.

3. Для задачи оптимального управления, решения которой содержат импульсы высокого порядка, проведены кратные преобразования к невырожденной задаче. Сформулированы условия, при которых этот переход возможен - условие линейности, условие интегрируемости. В результате получены методы последовательных улучшений, позволяющие находить импульсно-оптимальные режимы высокого порядка. Доказаны свойства улучшаемости и сходимости, сформулированы необходимые и достаточные условия локального минимума, предложена процедура построения локально-оптимального синтеза управления.

4. Разработанные алгоритмы применены для решения задачи нормирования антропогенных воздействий на модели экосистемы озера Байкал.

1. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. -Новосибирск: Наука, Сиб. Отделение, 1987. -227 с.

2. Афанасьева Э.Л., Бекман М.Ю. Путь познания Байкала. -Новосибирск: Наука, 1987.

3. Батурин В.А., Верхозина И.О. Методы улучшения второго порядка для систем с неограниченным линейным управлением. // 11-я Байкальская школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 1998, с.42-45.

4. Батурин В.А., Верхозина И.О. Методы поиска импульсных режимов высокого порядка в задачах оптимального управления// Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, 2000. - №4. - С.56-66.

5. Батурин В.А., Верхозина И.О. Релаксационность метода улучшения в задаче с неограниченным линейным управлением// Тр. 12-й Байкальской Международной конференции «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск, 2001. Т.2. - С.83-87.

6. Батурин В.А., Гурман В.И., Данилина Е.В. Улучшение и относительная оптимальность импульсных режимов // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. Новосибирск: Наука, 1985. -С.171-187.

7. Батурин В.А., Гурман В.И., Расина И.В. Методы второго порядка// Новые методы улучшения управляемых процессов. Новосибирск: Наука, 1987.-С. 60-65.

8. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука. Сиб. Предприятие РАН, 1997. - 175 с.

9. Беллман Р. Введение в теорию матриц: (пер.с англ.). М.:Наука, 1976. - 352 с.

10. Бельтюков Н.Б. Одна модификация метода второго порядка решения задач оптимального управления // Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та. -1983.-С. 35-43.

11. Букреев В.З. Об одном методе приближенного синтеза оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 1968. - №11. - С.5-13.

12. Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации. Иркутск, изд-во Иркут. ун-та, 1994. - 344 с.

13. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1981. - №6. - С.1376-1384.

14. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука, 1990. - 148 с.

15. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М. :Наука, 1980.-520 с.

16. Верхозина И.О. Метод улучшения в задаче оптимального управления с переключениями и особыми участками. // Тр. Международной конференции «Математика, информатика, управление». Иркутск, 2000.

17. Верхозина И.О., Чемезова Т.В. Решение задачи нормирования антропогенных воздействий для экосистемы озера Байкал.// Тр. 2-й Международной конференции «Математические проблемы экологии». Новосибирск, 1994.-с.94.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.:Наука, 1971. - 508 с.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. -М.-Наука, 1973.-256 с.

20. Гурман В.И. Метод исследования одного класса оптимальных скользящих режимов // Автоматика и Телемеханика, №7. 1965.

21. Гурман В.И. Метод кратных максимумов и условия относительной оптимальности вырожденных режимов // Автоматика и телемеханика. 1967. - №11. - С.38-45.

22. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. -М.:Наука, 1977.-304 с.

23. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.:Наука, 1985.-288 с.

24. Гурман В.И., Батурин В.А. Построение и оценка приближенного синтеза оптимального управления // Техническая кибернетика. 1978.- №4. С.183-187.

25. Гурман В.И., Батурин В.А. Улучшение и локальный синтез управления. Вырожденные задачи. Деп. ВИНИТИ. - 09.02.81, № 618 а.-81.-34 с.

26. Гурман В.И., Расина И.В., Батурин В.А. и др. Достаточные условия относительного минимума в задачах улучшения и синтеза управления // Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука, 1982.- С.80-102.

27. Гурман В.И., Батурин В.А., Данилина Е.В. Метод последовательных улучшений второго порядка в вырожденных задачах оптимального управления // Тез. докл. IV конф. по оптимальному управлению в механических системах. М., 1982. - С. 66-67.

28. Гурман В.И., Батурин В.А., Москаленко А.И. и др. Методы улучшения в вычислительном эксперименте. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение. - 1988. - 184 с.

29. Гурман В.И., Батурин В.А., Расина И.В. Приближенные методы оптимального управления. Иркутск: изд-во Иркут. ун-та, 1983. - 178 с.

30. Гурман В.И., Дыхта В.А. Достаточные условия сильного минимума для вырожденных задач оптимального управления // Дифференц. уравнения.- 1976. Т. 12, №12. - С. 1229-1239.

31. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. -М.: ОНТИ, ГТТИ, 1934.

32. Данилина Е.В., Колокольникова Г.А. Нелокальные методы улучшения в экспериментах с вырожденными задачами оптимального управления

33. Методы улучшения в вычислительных экспериментах. -Новосибирск: Наука. 1988. - С. 66-82.

34. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. Л.: ЛГУ, 1968. - 179 с.

35. Деренко Н.В. К построению методов улучшения импульсного управления // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений. Иркутск: изд-во Иркут. ун-та, 1993. -С. 118-129.

36. Дмитриев М.Г., Клишевич A.M. Итерационные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач условно устойчивого типа // Журн. вычислит, математики и матем. физики. 1987. - Т. 27, №12. -С.1812-1823.

37. Дмитрук А.В. Квадратичные условия понтрягинского минимума в задаче оптимального управления, линейной по управлению // Изв. АН СССР, сер. матем. -1. 1986. - Т.50, №2. - С.284-312; II. - 1987. - Т.51, №4. - С.813-832.

38. Дыхта В.А. Расширение задач оптимального управления и вариационный принцип максимума: Дисс. . доктора физ.-мат. наук. -Новосибирск, 1992. 274 с.

39. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых режимов // Сиб. матем. журн. 1994. - Т. 35, №1. - С.70-82.

40. Дыхта В.А. Условия локального минимума для особых режимов в системах с линейным управлением // АиТ. 1981. - №12. - С.5-10.

41. Дыхта В.А. Вариационный принцип максимума для импульсных и особых режимов в задаче оптимизации, линейной по управлению // Изв. вузов. Математика. 1991. - №11. - С.89-91.

42. Дыхта В.А. Импульсно-траекторное расширение задач оптимального управления // Развитие и применение метода функций Ляпунова. -Новосибирск: Наука. Сиб. Отделение, 1992. С. 170-182.

43. Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 256 с.

44. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.:Наука, 1982. - 432 с.

45. Завалищин С.Т. Дополнение к задаче Лоудена // ПММ. 1989. - Т. 53, №5.-С. 731-739.

46. Завалищин С.Т., Орлов Ю.В. О дифференциальных уравнениях, содержащих произведение разрывных функций с обобщенными // Дифференциальные уравнения. 1986. - №9. - С. 1614-1615.

47. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н., Дрозденко С.Е. Динамические системы с импульсной структурой. Свердловск: Уральское изд-во. - 1983. -112 с.

48. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991. - 256 с.

49. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М.:Наука. 479 с.

50. Казаков В.А., Кротов В.Ф. Итеративный метод построения разрывных решений задач оптимального управления. АиТ, №1. - 1995. - С.29-43.

51. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.:Наука, 1966. - 260 с.

52. Келли Г.Дж. Необходимое условие для особых экстремалей, основанное на второй вариации // Ракетная техника и космонавтика. -1964.-№8. -С. 26-29.

53. Келли Г.Дж. Метод градиентов // Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. М.:Наука. - 1965. -С. 101-116.

54. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука, 1981. - 544 с.

55. Колокольникова Г.А. Исследование обобщенныхрешений задач оптимального управления с линейными неограниченными управлениями на основе кратных преобразований // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т.28, №11. - С.1919-1932.

56. Копп Р., Мойер Г. Необходимые условия оптимальности особых экстремалей // Ракетная техника и космонавтика. 1965. - №8. - С. 8291.

57. Красносельский М.А., Покровский А.В. Виброустойчивые дифференциальные уравнения с непрерывной правой частью // Тр. Моск. мат. об-ва. 1972. - Т.27. - С. 93-112.

58. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. -М.:Наука, 1968.-476 с.

59. Кротов В.Ф. Разрывные решения вариационных задач // Изв. вузов. Математика. -1. 1960. - №5. - С.86-98; II. - 1961. - №1.

60. Кротов В.Ф. Вычислительные алгоритмы решения и оптимизации управляемых систем уравнений // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. -4.1:1975. №5. - С. 3-15; 4.2: №6. - С. 3-13.

61. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -М.: Наука, 1973. -446 с.

62. Кротов В.Ф., Фельдман И.Н. Итерационный метод решения задач оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983.- №2. С. 160-168.

63. Кротов В.Ф., Фельдман И.Н. Итерационный метод решения экстремальных задач // Моделирование технико-экономических процессов. М.:МЭСИ. - 1978. - С. 54-65.

64. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1962. - №6. - С.1132-1138.

65. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритмы метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1972. - №1. - С. 14-34.

66. Куржанский А.В. Оптимальные системы с импульсными управлениями // Дифференциальные игры и задачи управления. Свердловск: ИММ.- 1975. С. 131-156.

67. Куржанский А.В., Осипов Ю.С. Управление линейными системами с помощью обобщенных управлений // Дифференциальные уравнения. -1965. -Y.5, №8. С.1360-1370.

68. Любушин А.А. Модификации и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1979. - №6. - С. 1414-1421.

69. Любушин А.А. О применении модификации метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 1982. - №1. - С 30-35.

70. Мерриэм К.У. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. -М.:Мир, 1967. 550 с.

71. Миллер Б.М. Об устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений по мере // Успехи математических наук. -1978.-Т. 33, №3. С.198

72. Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с обобщенным управлением // Автоматика и телемеханика. 1989. - №6. - С. 23-34.

73. Миллер Б.М. Условия оптимальности в управлении системами, описываемыми дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 1982. - №6. - С. 60-72.

74. Новые методы улучшения управляемых процессов. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1987. - 183 с.

75. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. М.: Наука. - 1988. - 187 с.

76. Орлов Ю.В., Разумовский Д.Д. Численные методы решения задач оптимального обобщенного управления // Автоматика и телемеханика. -1993.-№5.-С. 44-51.

77. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.В. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961. -384 с.

78. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. М.: Наука. - 1979. - 208 с.

79. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.:Мир, 1973. - 470 с.

80. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. - 160 с.

81. Срочко В.А. Вычислительные методы оптимального управления. -Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1982. 110 с.

82. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. -М.:ФИЗМАТЛИТ, 2000. 160 с.

83. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-288 с.

84. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. - 1985. - 223 с.

85. ФеДоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.:Наука, 1978. - 488 с.

86. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Мир, 1970.-720 с.

87. Хрусталев М.М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана // Докл. АН СССР. 1978. - Т.242, №5. -С. 1023-1026.

88. Чемезова Т.В., Верхозина И.О. Решение задачи нормирования антропогенных воздействий для экосистемы озера // Сборник трудов ИПС РАН. — Переславль-Залесский, 1994. С. 86-92.

89. Чемезова Т.В., Верхозина И.О., Козлов В.В. Применение информационно-программного комплекса «Река» для решения задачи нормирования// Тр. 1-й Международной конференции «Математические проблемы экологии». Новосибирск, 1992. - С.47-48.

90. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. 1962. - Т.2, №3. - С. 488-491.

91. Baturin V.A. Second-order improvement method for linear unlimited control problems // Singular solutions and perturbations in control systems: Proc. of Intern. Workshop. -Pereslavl-Zalessky, 1995. -p.l 1.

92. Baturin V.A., Verkhozina I.O. Second order improvement methods for linear unlimited control problems. Proc. of Intern. IF AC Workshop on Singular Solutions & Perturbations in Control Systems. Elsevier Sci. Ltd. Oxford. 1998.- P.81-85.

93. Chemezova T.V., Verkhozina I.O. The normalization problem for the lake ecosystem // Abstracts of the 3rd ISEE Intern. Conf. «Integrating Environment and Economy». Novgorod, 1997. - P. 12-14.

94. Goh B.S. Optimal singular control for multi-input linear systems // J. Math. Anal, and Appl. 1967. - Vol. 20, №3. - P. 534-539.

95. Goh B.S. Necessary conditions for singular extremals involving multyple control variables // SIAM J. Control. 1966. - Vol. 4, №4. - P. 716-731.

96. Kurzweil J. Generalized ordinary differential equations // Czechoslovak Mathematical Journal. 1958. - V.8(83), №3. - P. 360-388.

97. Rishel R.W. An extended Pontryagin Principle for control systems whose control laws contain measures // SIAM J. Control, Ser A. 1965. - V.3, №2 .-P. 191-205.

98. G.V.Sidorenko, I.O.Verkhozina. Estimation of the solutions to the integral funnel equation// Singular solutions and perturbations in control systems: Proc. of Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, 1997. -P.60-61.

99. G.V.Sidorenko, I.O.Verkhozina. Sufficient optimality conditions in the trajectory ensemble control problem// New computer technologies in control systems: Proc. of Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, 1996. - P.58-59.

100. Sussman H.J. On the gap between deterministic and stochastic ordinary differential equations // Ann. Of Probability. 1978. - №6. - P. 19-41.

101. Vinter R.B., Pereira F.M. A Maximum principle for optimal processes with discontinuous trajectories // SIAM J. Control and Optimization. 1988. -Vol. 26, № 1.-P. 205-229.