автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы повышения точности регулирования в системах с разрывными управлениями

На правах рукописи

Кочетков Сергей Александрович

Методы повышения точности регулирования в системах с разрывными управлениями

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

(по отраслям)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

15 ЯНЗ 2015

Москва - 2014

005557109

005557109

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук.

Научный консультант:

Уткин Виктор Анатольевич, доктор технических наук, профессор, т.н.с. ИПУ РАН.

Официальные оппоненты:

- Востриков Анатолий Сергеевич, доктор технических наук, заслуженный деятель науки РФ, профессор Новосибирского государственного технического университета;

-Ткачев Сергей Борисович, доктор физико-математических наук, профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана;

- Пучков Александр Михайлович, доктор технических наук, начальник лаборатории 702-1 ФГУП Московского опытно-конструкторского бюро «МАРС».

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук.

Защита состоится 16 февраля 2015 г. в 14 часов на заседании Диссертационного Совета Д 002.226.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, расположенном по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65. Телефон Совета (495) 334-93-29, факс (495) 334-93-40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук http://wwww.ipu.ru.

Автореферат разослан «_»_2014 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 002.226.01,

кандидат технических наук

С.А. Кочетков

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В диссертационной работе исследуются проблемы анализа и синтеза многомерных динамических систем, функционирующих в условиях неопределенности. Основное внимание уделяется системам с разрывными управлениями, функционирующим в скользящем режиме, а также проблемам, обусловленным неидеальностями релейных элементов различного типа.

Организация в замкнутой системе управления скользящих режимов является эффективным инструментом декомпозиции, обеспечения инвариантности к внешним возмущениям и робастности к параметрическим и функциональным неопределенностям. Выделим основные особенности систем, функционирующих в скользящем режиме.

1. Общее движение замкнутой системы разделяется по времени на две составляющие: попадание на многообразие скольжения за конечное время и движение по этому многообразию.

2. В скользящем режиме понижается динамический порядок системы: траектории вектора состояния принадлежат вырожденным многообразиям меньшей размерности, чем все пространство состояний.

3. Движение в скользящем режиме не зависит от оператора объекта управления и определяется уравнениями поверхностей разрыва, что позволяет осуществить декомпозицию задачи синтеза на независимо решаемые подзадачи меньшей размерности: выбор многообразия скольжения; решение задачи стабилизации редуцированной системы.

4. Процедуры синтеза систем с разрывными управлениями просты в реализации, не требуют громоздких выкладок и детализированной математической модели объекта управления. Синтез заключается в выборе амплитуд разрывных

j управлений на основе достаточных условий возникновения скользящего режима, которые имеют вид неравенств.

\ 5. Движение системы в скользящем режиме инвариантно к действию внеш-

них и параметрических ограниченных возмущений, принадлежащих пространству управления, и обеспечивается при конечных амплитудах разрывных управлений.

Развитие теории скользящих режимов в настоящее время идет по двум направлениям: дальнейшая разработка положений теории «классических» скользящих режимов (Емельянов C.B., Уткин В.И.), в частности с целью довести ее положения до инженерной практики; организация в замкнутой системе скользящих режимов второго рода (Левант А., Фридман Л.М.).

Центральной проблемой при реализации скользящих режимов в приклад-

ных задачах является проблема колебаний (в иностранной литературе - проблема «чаттеринга», от англ. chattering - болтанка), которые снижают качество установившихся процессов и обусловлены статическими и динамическими неидеально-стями релейных элементов, а также неучтенными в модели объекта управления малыми (паразитными) динамиками. В реальном скользящем режиме движение происходит в некоторой Д-окрестности многообразия скольжения с конечной частотой, что существенно влияет на точность регулирования в установившемся режиме, а также может приводить к быстрому износу исполнительных устройств, в частности механических. Основные пути преодоления этой проблемы - повышение частоты переключений и/или уменьшение амплитуды разрывных управлений в установившемся режиме (что снижает амплитуду колебаний в установившемся режиме, которая прямо пропорционально зависит от амплитуды разрывных управлений) за счет совершенствования элементной базы и алгоритмов управления по обратной связи. В связи с этим разработка методов повышения точности регулирования в системах с разрывными управления представляется актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в разработке эффективных методов синтеза динамических систем с разрывными управляющими воздействиями, функционирующих в условиях неопределенности: при действии внешних ограниченных возмущений различного типа, при наличии функциональной и параметрической неопределенности оператора объекта управления, а также при неполных измерениях. Разрабатываемые методы направлены на обеспечение в комплексе инвариантных и робастных свойств замкнутых систем при минимальной априорной информации об объекте управления и среде его функционирования, повышение точности функционирования.

Данная цель определила следующие основные задачи работы:

1) разработка релейных алгоритмов управления, обеспечивающих инвариантность в асимптотике выходных переменных к параметрическим и внешним, j ограниченным, несогласованным (не принадлежащим пространству управления) возмущениям заданной степени гладкости;

2) развитие теории скользящих режимов второго рода и разработка эффективных методов синтеза инвариантных систем при наличии согласованных (принадлежащих пространству управления) параметрических и внешних возмущений с меньшими затратами ресурсов управления, чем в известных подходах;

3) разработка методов идентификации на скользящих режимах параметров линейных канонических нестационарных систем;

4) разработка алгоритмов минимизации нормы обратной связи в задачах модального управления, позволяющих снизить нагрузку на исполнительные устройства;

5) применение разработанных методов для решения задач управления электромеханическими объектами автоматического управления (мобильными роботами, электромагнитными подвесами, электроприводами), функционирующими в условиях неопределенности и при неполных измерениях.

Научная новизна.

1. В отличие от известных методов обеспечения инвариантности выходных переменных к внешним возмущениями заданного класса, предполагающих наличие информации о возмущениях и их производных, разработаны алгоритмы асимптотической стабилизации только с использованием информации о векторе состояния системы.

2. Разработан метод синтеза инвариантных систем на основе скользящих режимов второго рода и способ доказательства его сходимости за конечное время на основе метода усреднения для функции Ляпунова.

3. На основе идеи вибролинеаризации нелинейной системы дифференциальных уравнений высокочастотным сигналом разработан метод идентификации параметров линейных канонических нестационарных систем, в которых изменение параметров описывается известной линейной моделью с неизвестными начальными условиями. Формализована зависимость между темпами сходимости ошибок идентификации и параметрами корректирующих воздействий идентификатора.

4. Разработан новый декомпозиционный метод минимизации нормы матрицы обратной связи в задаче модального управления на основе ортогонального преобразования математической модели объекта управления к блочной форме управляемости. Показано, что использование данного подхода для синтеза многообразия скольжения в системах с разрывными управлениями позволяет снизить потребность в ресурсах управления и повысить точность регулирования.

5. Разработан комплексный подход к решению задачи слежения для выходных переменных мобильного робота с двумя независимыми приводами. В отличие от существующих подходов: предложен метод синтеза генератора заданий, не требующий решения проблемы достижимости заданных траекторий; в модели объекта управления учитывается динамика исполнительных устройств; задача слежения за заданными траекториями решается инвариантно в асимптотике к действию внешних ограниченных возмущений заданного класса при неполных измерениях.

6. Разработаны новые алгоритмы управления двигателем постоянного тока с независимым возбуждением и электромагнитным подвесом при неизвестной массе подвешиваемого тела, обеспечивающие инвариантность к ограниченным неизвестным нагрузкам и параметрическим неопределенностям.

Практическая значимость работы заключается в том, что реализация

в комплексе методов и алгоритмов, разработанных в диссертации, приведет к достижению значительного технико-экономического эффекта при проектировании и эксплуатации систем с релейными управлениями, функционирующих в условиях параметрической неопределенности и действия внешних ограниченных возмущений. Предложенные в диссертационной работе алгоритмы синтеза инвариантных систем использованы при создании микропроцессорного регулятора в ООО «Цен-тромонтажавтоматика».

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, методов современной теории управления: блочного принципа управления, разделения движений в классах систем с большими коэффициентами и разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме, теории наблюдателей состояния, идентификации параметров, динамической компенсации, инвариантности и устойчивости. Теоретические положения подтверждены результатами моделирования в среде МATLAB/Simulink.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологий», (Тольятти, ТГУ, 2006, 2007); Международной конференции "Physics and Control" (Санкт-Петербург, 2005); Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO (Москва, ИПУ РАН, 2006, 2009, 2012); Международной научно-технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль» (Тольятти, ТГУ, 2006); 9-м, 11-м, 13-м международных семинарах по системам с переменной структурой "Variable Structure Systems VSS'06" (Италия, Альгеро, 2006; Мехико, Мексика, 2010; Франция, Нант, 2014); Всероссийском молодежном научно-инновационном конкурсе-конференции «Электроника 2006» (Зеленоград, МИЭТ, 2006); Международном симпозиуме "Nonlinear Control Systems confcrcncc" (ЮАР, Претория, 2007); 17-м, 18-м, 19-м Всемирных конгрессах IFAC (Южная Корея, Сеул, 2008; Италия, Милан, 2011; Южная Африка, Кейп-Таун, 2014); 6-й международной конференции "Euromech Nonlinear Dynamics Conference" (Россия, Санкт-Петербург, 2008); Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии» (Казань, КАИ, 2008); Всероссийской конференции «Информационные технологии и системы» (Геленджик, 2008; Москва, 2009); V-XI Всероссийских школгьх-семипарах молодых ученых «Управление большими системами» (Липецк, 2008; Ижевск, 2009; Пермь, 2010; Магнитогорск 2011; Липецк 2012; Уфа, 2013; Арзамас, 2014); Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем», DSMSI (Киев,

КНУ, 2009); 9-м симпозиуме IFAC по управлению роботами SYROCO'09. (Япония, Гифу, 2009); Всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения» (Тольятти, ТГУ, 2009); III, V, VI Российских мультиконференциях по проблемам управления (Санкт-Петербург, 2010, 2012; с. Дивноморское, 2013); X, XI, XII Международных конференциях «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2010, 2012, 2014); Российской конференции с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» УКИ 2012 (Москва, 2012); Международной конференции IFAC по моделированию производств, менеджменту и управлению М1М'2013 (Санкт-Петербург, 2013); XII Всероссийском совещании по проблемам управления (Москва, ИПУ РАН, 2014); на семинарах ИПУ РАН, МГТУ им. Н.Э. Баумана, СПбГУ, ТГУ, ИПМех РАН.

Работа выполнена в рамках комплексного проекта фундаментальных исследований РАН 2.4.2, 2422/07 (тема 311-14/150.37). Поддержана грантами РФФИ №№09-08-00429-а, 12-08ЧЮ865-а, 12-08-13105-офи-м-РЖД, 14-01-31190-мол-а.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано более 50 работ, в том числе 11 - в журналах, рекомендуемых ВАК РФ, 11 - в трудах престижных международных конференций, цитируемых в системе Scopus.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые па защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все основные результаты, представленные в диссертации, получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 297 страницах, состоит из введения, 7-и глав, заключения, содержит 32 рисунка, список литературы (190 наименований) и приложение (акт о внедрении полученных результатов).

Содержание работы

Первая глава имеет обзорно-постановочный характер. В разделе 1.1 рассмотрены основные способы доопределения движения на поверхностях разрыва для нелинейных систем общего вида. В разделе 1.2 при действии на объект управления внешних ограниченных возмущений описываются методы синтеза инвариантных систем на основе классических подходов линейной теории управления, а также систем с разрывными управлениями, функционирующих в скользящем режиме. В разделе 1.3 описывается проблема колебаний в установившемся режиме и различные способы ее решения. В следующем разделе описывается идея вибро-

линеаризации реле внешним высокочастотным сигналом. Приведены известные результаты, суть которых состоит в том, что за счет использования высокочастотных сигналов на входе реле удается получить переходный процесс системы, эквивалентный реакции на непрерывное управляющее воздействие. Данный эффект используется в содержательных главах диссертации с тем отличием, что с помощью управления реализуется вибролинеаризация за счет собственных колебаний. В заключение главы приведены содержательные постановки задач, решаемых в диссертационной работе.

Во второй главе предложено решение задачи обеспечения инвариантности в асимптотике выходных переменных линейного объекта управления к внешним возмущениям, не принадлежащим пространству управления, на основе эффекта вибролинеаризации релейных элементов. С помощью разработанных релейных вихревых алгоритмов управления в замкнутой системе создаются затухающие осциллирующие режимы с неограниченным ростом частоты колебаний, за счет которых осуществляется вибролинеаризация реле, что позволяет обеспечить инвариантность в асимптотике выходных переменных к внешним возмущениям широкого класса. В разделе 2.1 обсуждается проблема и поясняется основная идея предлагаемого подхода на физическом уровне. В разделе 2.2 формализуется постановка задачи, вводятся ограничения на класс возмущающих воздействий и каналы их действия. В разделе 2.3 разработана процедура синтеза разрывных управляющих воздействий, обеспечивающих инвариантность в асимптотике выходных переменных к внешним возмущениям заданного класса. Полученные результаты оформлены в виде трех основных теорем. В разделе 2.4 приводятся результаты моделирования разработанных алгоритмов.

Рассмотрим линейную стационарную систему, представленную в регулярной форме

¿1 = Aii^i + ЛюХо + Qif(t), =£)х

xQ = Aqixi + AqoXq + Q0f(t) + Bu, У Xl<

где X\ 6 Rn_p, Xo 6 Kp - векторы состояния, и S Rp - вектор управляющих воздействий, f(t) £ Ш.'1 - вектор внешних возмущений, у 6 Rm - выход системы, rankZ) = m, rankS = dim xq, 1 < m < n — p, пара управляема, измерению доступен весь вектор состояния системы;

ImQi С Initio Qi = Л10Л, гапкЛю = р\ < р. (2)

Полагается, что компоненты вектора внешних возмущений f(t) = (/i,...,/9)т - неизвестные функции времени, удовлетворяющие неравенствам:

Ш1 < Fi, |/i(i)| < Fit |/i(i)| < Fi, i = й (3)

где Fi, Fi, Fi - известные положительные константы.

Ставится задача синтеза статической обратной связи и = U(xq,x{), обеспечивающей асимптотическую инвариантность вектора выходных переменных к внешним возмущениям: lim |y,(t)| = 0, г = 1,т.

Пошаговая процедура синтеза алгоритма управления основывается на блочном подходе (Уткин В.А., Лукьянов А.Г.).

С помощью невырожденного линейного преобразования координат х\ = Т\Х\, detT / Ос учетом (2) представим систему (1) в виде

х2 = А22Х2 + Mixi, _

х\ = А12х2 + Anxi + Аюх0 + QJ(t), y = DT{1xu (4)

х0 = A02X2 + AqiXi + Aoozo + Qof(t) + Bu,

где 5?i = (x2,®i)T, dimxi = rank Лю = pi, dimx2 = Рг-

В силу управляемости пары (Ац, Лю) (а значит, и управляемости пары (^22,^21)) можно выбрать такое невырожденное преобразование координат ?i = «1 + Сх2, что система (4) примет вид

х2 = A22X2 + A21S1, _/

si = Л12х2 + ЛцЯ! + Awx0 + Qif(t), у = D I 12

х0 = А02х2+A0isi +Aooxo + Qof{t) + Ви,

где матрица Л 22 = А22 + Л21С имеет желаемый спектр, А12 = А12 — С(Лг2 +

+А21С) + АпС, Ао2 = Л02 + А01С, Ап = Аи - СА21, D = DTf1 ^ ° j, 7Pl,

единичные матрицы размерностей р\ и соответственно.

Представим нижнее уравнение полученной системы в виде двух подсистем,

введя новые переменные s2 = А12Х2 + Лцв! + AiqXq, xq = T2Xq, гапкТг = p—pi,

(—т —т\ ^ rank (Л10, Т2) =р:

х2 = Л22Х2 + Л2151,

¿1 = 52 + Qif(t), _ _ у = D (Х2\ , (5)

¿2 = А2Х2 + i4s,Si + AS2s2 + Л20Х0 + Q2f{t) + B2U, J '

% = А02х2 + a)isi + A02s2 + AqoXq + Qof(t) + B0U,

где dims2 = гапкДг = Pi, dimxo = rank Bo = P — Pu КеА^Лгг) < 0, г = l,p2, Л|(Л22)— собственные числа матрицы An-

Учитывая, что rank В = р, выберем управляющие воздействия в виде

-Л2Ж2 ~ (Лп + Le)sx - (A3l + La)s2 - А20Х0-

-Msign(si) , (6)

-A02X2 - Л01в1 - Aoos2 - Аоохо - Hs\gn(x0) 9

где sign(si) = [sign(sij), ...,sign(siPl)]T, sign(-) - функция знака, sii — г-я компонента вектора sb La = diag {а,- + /?;}, Lp = diag q; = const > 0, /?, = const > 0, M = diag{A/{}, Mj = const > 0, i = l,pi, H = diag{#j}, Я,- = const > 0, j = l,p — Pi- Введем следующие обозначения:

52 = S2 + QJ(t), № = QJ(t) + LaQJ(t) + Q2f(t), (o(i) = Qof(t).

Согласно ограничениям (3) справедливы неравенства

\Ш\ < Sf, \Ш\ < \ZoM < £<у, г = TTpi, j = l.p-pi,

где £i(i) — г-я компонента вектора £(i), £<y(i) — j-я компонента вектора £o(i), Si = const > 0, Ej = const > 0, Eoj = const > 0 вычислены согласно (3). Теорема 2.1. Пусть в системе (5)-(7) выполнены условия:

1) вектор внешних возмущений {(£) удовлетворяет ограничениям (8);

2) элементы матриц La, Lp, М, Н в (6) выбраны согласно выражениям

М{ > Е¡, а{{М{ - Е;) > Ei, А =

(7)

(8)

= ai - M-) - | Hi > E0i-

2(1 + 1)'

Тогда компоненты выходного вектора у = И (х^ замкнутой системы (5)-(6) экспоненциально сходятся к нулю.

Следующий результат показывает, что в системе (5) с управлением

»)«=Г

Во \v2

-А2Х2 - /lslsi - (AS2 + Lq)S2 - А2охо-—Msign(si)

-Л02^2 - Ansi - Аю^г ~ Лю^о--#sign(x0)

La = diag{Qi}, Qi = const > 0, i = l,Px,

(9)

которое отличается от (6) тем, что демпфирование осуществляется только с помощью вектора обеспечивается асимптотическая инвариантность выходных переменных к возмущением из того же класса (8).

С учетом (7), (9) уравнения замкнутой системы примут вид

¿2 = А22Х2 + A2iSI,

h = «2, =D( Х2

¿2 = -Lqs2 - Aisign(si) + £(i), ysi

¿0 = Qoftt) - Hsign(5o),

Теорема 2.2. Пусть в системе (10) выполнены следующие условия:

1) вектор внешних возмущений £(() удовлетворяет ограничениям (8);

2) элементы матриц Ьа, М,Н в (9) выбраны согласно неравенствам

М< > а,(Л/< - £,) > Щ > Е0>.

Тогда:

1) в замкнутой системе (10) обеспечивается инвариантность в асимптотике выходных переменных к внешним возмущениям: 1ип 1у,(£)| = 0, г = 1,т;

4-»+00

2) кроме того, существуют такие положительные конечные константы <г,

¿"гг, 7;, что при £ > £г выходные переменные замкнутой системы (10) экспоненциально стремятся к нулю и для компонент векторов вх(£), справедливы оценки |«н(4)| < 1 < Бце'^1'1^, г = 1 ,рх.

С использованием следующего алгоритма управления обеспечивается реализация диссипативной компоненты в классе разрывных функций:

-А2х2 - j4sisi - A32s2 - А20х0 - M2sign(5(t) + s2)--Misign(s!) -A02x2 - Лн-Si - 4ooS2 - Ажх0 - #sign(z0) Mi = diag{Mn}, Mu = const > 0, M2 = diag{M2i}, M2i = const > 0,

S(t) = diag{4(0}.

(И)

m =

2 Sm „ 7Г

"IT4'0^^

7Г 2 oj 2 w

2SiUi, Зл* 4л" + — t, — < i < —, 7Г 2w w

l.Pi,

где w - частота внбросигналов, (5; = const > 0 - амплитуда г-го вибросигнала.

Подставляя (11) в (5), получим с учетом (7), (8) уравнения замкнутой систе-

(12)

¿2 = А22Х2 + А218и ¿1 = ~§2,

Ь2 = Л/2БЩп(¿(¿) + в2) - М^П^) +

¿о = <Зо/(<) - Яsign(гo),

Теорема 2.3. Пусть в замкнутой системе (12) выполнены условия:

1) вектор внешних возмущений £(£) удовлетворяет ограничениям (8), где в

обозначениях (7) принято Ьа = сПа§

2) элементы матриц М\, М2, Н и параметры 6, в (11) выбраны согласно неравенствам Мц > М-н > -^¡—(А1ц - £;) > Si > 2Ьц, > Еоь где

Ь

fi(t) = Qif(t)> согласно (3) |/i;(£)l < Lu, fu(t) —i-я компонента вектора /i(i),

Lu = const > 0, i = l,pi.

Тогда 3Ni = const > 0 (i = l,m) иц = const > 0 такие, что при ш > ыо

jV- _

справедливы неравенства lim |j/i(i)| < —, i = l, m, где y,{t) - i-я компонента

i—►Ч-00 UJ

выхода замкнутой системы (12).

Определение 2.1. Законы управления вида (6), (9), (11), обеспечивающие допредельный скользящий режим работы замкнутой системы, будем называть вихревыми алгоритмами.

Пример 2.1. Рассмотрим линейную динамическую систему шестого порядка

XI

+

х0

(55,18 27,98 21,54 -90,7l\

-83,75 -43,82 -42,65 139,94

11,68 6,24 7,21 -19,39

\ 7,91 4,09 4,12 -12,06/ (-4,57 7,91 \

6,57 -11,63 -1,1 1,69 U' V-0,74 1,75

-2,8 0,6 10,5 11,7

-3,1 -0,1 9,85 6,1 -1 5 0,3 -2

xi +

(2,36 0,28 \

-3,4 -0,47

0,55 0,01

V 0,41 0,17/

х0+

Xl +

-4 2

хо +

1 0 0 1

и+

где переменные состояния х\ € К , х^ Е К2 подлежат прямым измерениям, /(£) 6 К2 - вектор внешннх возмущений, компоненты которого полагаются неизвестными, гладкими функциями времени, ограниченными вместе со своими производными до второго порядка, у = (—2,9 0,5 8,5 11,х1 - выходная (регулируемая) переменная. Ставится задача синтеза статической обратной связи, обеспечивающей асимптотическую сходимость выходной переменной в нуль.

С помощью линейного невырожденного преобразования координат представим исходную систему в виде

х2

s i =

{102,77 —4,1з\ /—27,95 -41,7\ У104,86 -2,67/12 у—22,65 -40 )

Выбрав в полученной системе управление в форме (9), получим уравнения замкнутой системы:

Условия теоремы 2.2 выполняются при следующих значениях элементов матриц Ьа и М: »1 = а2 = Ю, М = 4000, М2 = 3620.

На рис. 1 представлены результаты моделирования в среде, демонстрирующие эффективность разработанного метода.

В данной главе впервые были разработаны алгоритмы управления со статическими обратными связями, не требующие введения дополнительных динамических звеньев в контур обратной связи. Существующие алгоритмы управления со статическими обратными связями обеспечивают только заданную точность регулирования выходных переменных.

В третьей главе разработан новый класс регуляторов на скользящих режимах второго рода.

В разделе 3.1 формализована постановка задачи и описана основная идея разработанного метода.

В разделе 3.2 получено качественное доказательство сходимости одного из алгоритмов скольжения второго рода на основе оценивания средней скорости сходимости одной из координат. Основная идея состоит в использовании модификации релейного алгоритма управления (9), разработанного в главе 2.

1,6667 1,0

При моделировании использовались гармонические возмущения

Г 2 + Ззт(Ш)

Л; -5соз(Ш) + 8зт(204)

м =

Рис. 1. Результаты моделирования.

Рассмотрим систему управления вида

¿1 = s2, s2 = + и,

где si,s2 £ R - измеряемые переменные состояния, u е Е - управляющее воздействие, £(t) - неизвестная функция внешних возмущений и неопределенностей системы, которая полагается ограниченной и дифференцируемой по всем своим аргументам: |£(i)| < Е = const > 0, |£(i)| < Е = const > 0.

Ставится задача стабилизации переменных состояния за конечное время •Si(t) = S2(t) = 0 Vi > tr за счет статической обратной связи и = U(si, s2)-Закон управления может включать как разрывные, так и непрерывные функции. Предварительно отметим, что константа tr, зависящая в том числе от начальных условий, заранее не задана. Исследуется проблема ее существования и оценивания.

Рассмотрим так называемый алгоритм «скручивания» для системы (13), в которой управление выбирается в виде

где Mi = const > 0, М2 — const > 0.

В работах (Поляков А.Е., Левант А., Орлов Ю.В., Уткин В.И.) доказана сходимость замкнутой системы (13)—(14) к нулю за конечное время при условии

В главе 2 было показано, что используя в системе (13) «вихревой» алгоритм управления вида (9), а именно

и = -M2sign(s2) - Mi sign(si),

(14)

Mi> М2 + E, M2 > E.

(15)

и - -as2 - Msign(si), M > E, a(M - E) > E, 14

можно обеспечить асимптотическую сходимость переменных si, s2 к нулю.

Нелинейный осциллятор организуется за счет релейной составляющей —Msign(si), а компонента — as2 обеспечивает диссипацию энергии колебаний в системе.

Согласно поставленной задаче модифицируем алгоритм управления (16), используя тот факт, что дифференциальное уравнение с квадратным корнем s = — \/[s[sign(s) обладает свойством конечно-временной сходимости.

Получено доказательство сходимости за конечное время системы (16) с управлением: и = -a-v/is^|sign(s2) - Msign(si).

На основе этого результата в разделе 3.3 предложен новый класс регуляторов, в которых управление выбирается в форме:

и = -as2 - a|s2|/isign(s2) - Msign(si), /3 = const >0, 0 < /3 < 1; a(M - Е) > E, M > E, a = const > 0, M = const > 0.

Доказательство сходимости за конечное время переменных замкнутой системы (13) приводится на основе усреднения функции Ляпунова

на полупериоде колебаний замкнутой системы, получены нижние оценки средней скорости ее затухания.

В разделе 3.4 рассмотрены результаты моделирования для системы (13) с возмущением

= 7^1 - бвт^) + соэ^г) + 10з1п(5*) - 4 - 2соз(9*). (18)

Пусть для переменных 5х(4), в2(0 и управления и существуют естественные «физические» ограничения

Для численного моделирования разработанного в главе закона управления (17) выберем следующие его параметры

|si(i)| < 10, |s2(i)| < 1.5, М <300; |€(«ь Я2,01 ^ 7Ы + 5I sin(fii)l + I cos(s2)I + 10| sin(5i)|+ +4 + 2|cos(9£)| <92; |s2| < 392; liK 82,01 < 7|s2| + 7,5| cos(si)| + 3921 sin(s2)| + +50| cos(50| + 18| sin(90| < 478.

(19)

и = -sat(s2) - Msign(si), a = 800, M = 99, ' 200, 800[s2 + v^[sign(s2)] > 200; sat(s2) = -200, 800[s2 + л/Ы-^п(а'2)! < -200;

800[s2 + i/[s2fsign(s2)], 800(|s2| + v/N) < 200,

Таблица 1. Результаты моделирования для неидеалыгости типа реле с гистерезисом

д 0,1 0,01 ю-3 10"4

^twist 0,208 0,0216 2,18 ■ Ю-3 2,22 • Ю-4

^mine 0,049 0,0101 1,001 • ю-3 1,01 • ю-4

4,2449 2,1386 2,1778 2,198

Таблица 2. Результаты моделирования законов управления с запаздыванием

т 0,1 0,01 ю-3 10"4

&twist 8,6 0,1 1,01 • Ю-3 1,26 • Ю-5

1,53 -КГ3 1,58-10"4 1,63-ИГ5 1,69-Ю-6

5620,9 632,91 61,693 7,456

где sat(s2) - звено о насыщением, которое вводится для ограничения управления.

Согласно ограничениям (19) и неравенствам из (17) приняты следующие параметры закона управления (20): М > 92, а(М — 92) > 478.

В примере используются следующие параметры закона управления (14)

и = -M2sign(s2) - Misign(si), Mi = 186, М2 = 93, (21)

выбранные согласно неравенствам (15)

Mi > £ + Mi =>• Mi > М2 + 92, М2 > £ М2 > 92.

Эксперимент 1. Заменим функцию знака sign(si) в законах управления (20), (21) реле с гистерезисом Д = const > 0. Для численного моделирования использовался метод Эйлера с шагом интегрирования ts = Ю-5 с. Пусть etwist и e-mine максимальные ошибки переменной Si(f) в установившемся режиме для алгоритма «скручивания» и разработанного в главе закона управления. Результаты моделирования представлены в таблице 1.

Эксперимент 2. Заменим функцию знака sign(si) в законах управления (20), (21) реле с запаздыванием sign[si(i — г)], г = const > 0. Для численного моделирования использовался метод Эйлера с шагом интегрирования ta = Ю-5 с. Результаты моделирования приведены в таблице 2.

Эксперимент 3. Для демонстрации зависимости установившейся ошибки регулирования от частоты переключения реле проведено численное моделирование работы замкнутых систем (13), (20) и (13), (21) методом Эйлера с различными шагами интегрирования ts. Результаты моделирования приведены в таблице 3.

Из результатов моделирования следует, что за счет уменьшения амплитуды реле М в законе управления (20) по сравнению с амплитудой реле в законе (21)

Таблица 3. Результаты моделирования с различным шагом интегрирования

ts 0,01 ю-3 10"4 10"5

&twist 0,208 2,15 • 10"3 2,15 • 10"5 2,2 • 10-7

Cmine 49 •10"3 4,067 • 10~4 2,67-Ю-6 1,48 • 10"7

eiwi*t 1,487 8,05 5,296 1,49

удается получить меньшую ошибку регулирования. В некоторых случаях отношение ошибок может составлять несколько порядков. Как показано в данном примере, в решении поставленной задачи возможно расширение класса систем (13) за счет введения функции возмущения £(î,Si,S2) от координат состояния системы, а также ограничений на переменные системы и непрерывную часть управления (17) в виде sat-функции (20).

В четвертой главе разработан новый алгоритм параметрической идентификации на скользящих режимах для линейных канонических нестационарных систем, в которых изменение параметров может быть описано известной линейной моделью с неизвестными начальными условиями. Такая постановка проблемы актуальна, например, в измерительных системах, где некоторые параметры датчиков и измерительных преобразователей связаны с характеристиками внешней среды, технологических объектов и т.д. Основным ограничением большинства алгоритмов идентификации является гипотеза квазистационарности, согласно которой параметры системы являются либо постоянными, либо медленно меняющимися во времени. В данной главе существенно расширяется класс допустимых систем.

В разделе 4.1 формализуется постановка задачи, вводится класс моделей, описывающих изменение неизвестных параметров во времени. Рассматривается линейная каноническая нестационарная система

х = A(t)x + bu(t), (22)

где х 6 R" - измеряемый вектор состояний, u{t) - скалярный пробный сигнал

/ 0 1 0 . ■ ° ^ /o\

0 0 l . 0 0

, b =

0 0 0 . 1 0

W t) m(t) rfy(t) ■ • Vn(t)J w

Предполагается, что изменения параметров во времени могут быть описаны динамическими линейными моделями с известными параметрами и неиз-

вестными начальными условиями

Ш = mm, Vi(t) = ea(t), г = i,n,

(23)

где 9( = (0а, вг2, ..., 0Ф()Т, 6 Мр'хг\ Ей=Р-

¿=1 _

Без ограничения общности предполагается, что матрицы И^, (г = 1,п) имеют вид матриц Фробениуса

/О О

Wi =

ООО

\wn wi2 wi3

О \

О

1

wipJ

(24)

откуда следует наблюдаемость векторов 6>j(i) состояния систем (23) относительно соответствующих выходов т^(£) (Коровин С.К., Краснова С.А.).

Относительно систем (22)-(23) делаются следующие предположения. 1. Система (22) при ограниченном пробном сигнале |u(i)| < U является дис-сипативной, т.е. lim ||ж(£)|| < X, где здесь и далее ||-||-евклидова норма вектора

>+оо

или матрицы, если не оговорено иное, U, X = const > 0.

По аналогии со стационарными системам, это условие выполнимо, если для матрицы Ф(£) фундаментальных решений системы (22) справедливо неравенство

P(i)ll < Фое~Л((_<о), Ф0 = const > 0, Л = const > 0,

(25)

где tо - начальный момент времени.

2. Для переменных параметров r]t(t) (г = 1,п) и их производных справедливы неравенства |»/j(i)| < Ei, |»)i(i)| < £j, Ei = const > 0, Ei = const > 0. Согласно этим ограничениям запишем оценки для матрицы A(t) системы (22), ее производной ||j4(t)|| < Ло, |H(i)|| < Ai и переменных систем (23)

|0ij(i)| < ©ij, г = l,n, j = 1 ,р{,

(26)

где Л0, Aj, 0у - некоторые известные положительные константы, производная A(t) понимается в покомпонентном смысле.

В сделанных предположениях ставится задача идентификации нестационарных параметров r/j(i) (г = 1 , п) системы (22)-(23) с помощью выбора пробного сигнала и и синтеза идентификатора по доступным измерениям вектора состояния х(£).

В разделе 4.2 разработан идентификатор параметров на скользящих режимах, учитывающий информацию о модели параметров. Для выполнения условия

идентифицируемости (Якубович В.А.) нужно соответствующим образом выбрать пробный сигнал u(t), например, в виде гармонической функции времени

п-1

и = £Vt/0sin(iwi), (27)

i=l

n

где OJ - несущая частота, Uq = const > 0, Uo\ < U, Р - результат округления

¿=1

до большего по модулю от числа п/2.

Определить реакцию системы (22) на пробный сигнал (27) в общем случае очень сложно. Будем искать реакцию системы (22) в виде limt_>+00 a;(i) = xjv(0-

Покажем, что с ростом частоты гармонических сигналов, входящих в пробный сигнал, вектор xx(t) мало зависит от элементов матрицы A(t) и в основном определятся параметрами Uq, « сигнала (27). Учитывая ограниченность нормы матрицы A(t) и ее производной, примем на периоде колебаний Л(сг) як const, с 6 [i,i + 2ж/ш\. Тогда в первом приближении вектор х/у(£) может быть найден в виде

п-1

xn ~ 2 [XiiisUosin(iojt) + X2ii0Uocos{iwt)], ¡=1

где Хи = —(A2(i) + In(iuj)2)-lA(t)B, X2i = ~(A2(t) + In{iu)2)-\iu)B.

Подставляя значение xjv(i) в уравнения системы (22), получим, что равенство левой и правой части выполняется с точностью до суммы величин

6и = [2(Ла(0 + In{iuY)-2A{t)Ä(t)i?U0-—(A2(t) + 1п(ш)2)-1А(г)^ио\ sin М),

S2i = 2(A2(t) + 1п{ш)2)-2А{г)А{1)шВ^и0сов{1иг), г = 1,7г. Учитывая ограничения на норму матриц A(t), Ä(t), получим

п-1

^lim xN{t) = [XuieU0sm(iujt) + X2iißU0cos(iijt)], (28)

IHWIUq 1-1

где векторы Хц € Rnxl, X2i £ R"*1 имеют следующую структуру: XU = - lim (A2(t) + /„(¿W)2)-^(i)ß = ihI'HUo

("1)/m • • •' - (¿Г'" -нечетное; 19

= - lim (A*(t) + In(iuj)2)~1(iui)B = мши_ю,

IHWII -ю

. т

V ' М"'"-' (iLjf' ' гш) '

Го, (-iy—L-г, • • ■. тЛ?>

V ' (ш)"-! (гш)3 гш J

п — нечетное; т

, п — четное.

Знаки ненулевых элементов векторов Хц, X2i чередуются.

Таким образом, в пределе компоненты вектора линейно независимы,

что гарантирует выполнение условия идентифицируемости. С помощью выбора частоты и можно всегда приблизить реакцию системы (22) к предельному случаю (28). Множителями г^ удается равномерно распределить влияние гармоник управления на компоненты вектора xjv(i): на верхние компоненты наибольшее влияние оказывают гармоники с меньшей частотой и наоборот.

Выберем структуру укороченного наблюдателя и идентификатора согласно моделям системы (22) и параметров (23)

Т1

х„ = J2fkxi + u + v,

i=i (29)

4(i) = WA{t) + LiXT, f,i{t) = §a(t), г = l~n,

где 9i = 6i2 ... ö,p,j i Li 6 RPiXn - постоянная матрица обратной связи, v, т - корректирующие воздействия наблюдателя и идентификатора.

Ограничим переменные наблюдателя за счет принудительного введения ограничений в интеграторы (29) (интеграторы с насыщением) согласно (26)

\вф)\ < Qij, i = l~ü, j = (30)

Запишем уравнения относительно ошибок наблюдения и идентификации п

хп = — vi 4(i) = Щ@i{t) — LiXT, i = l,n,

•=i

ГДе Xn=Xn- Xn, = - 0;, f)i(t) = Tji — fji(t).

Выбирая корректирующие воздействия наблюдателя в виде

п

v = Msign(x„), м = const > | Y^ 9iXi |, цт = —т + v, lim г = (f)eq (31)

¡=1

V = sat(a:n), т = v, sat =

М, хп > Д, М

—хп, |х„| < Д, Д-Я-0, (32)

—М, хп < Д,

получим уравнения относительно ошибок идентификации параметров

Ш = WA(t) - Lir(t)fj, г = М, (33)

где М = const > О, r(t) = x{t)xT(t), fj = (fji, т?п)т.

Доказательство сходимости ошибок идентификации к нулю получено для предельного случая (28), в котором система (33) является линейной системой с периодической матрицей

0* = W(t)e\ fj{t) = Св\ (34)

где в* = (0?, 02т,..., 0nT)T, W(t) = W - Lr(t)C, W_= diagiW}, i = T~n, L_ = (Lj, ¿t)Ti c = (c-b ^ Cn)i c. = (Cii 0„Х(Л_1)), векторы

Ci 6 Rnxl имеют единственный ненулевой элемент с номером г, равный 1. Представим матрицу W(t) с учетом (28) в виде

__2тг f

W(i) = Wo + W(t), W0 = — W(a)da. (35)

w J t

При этом для матриц Wq, W справедливы следующие соотношения:

W0 = const, J W(a)da = 0. (36)

t

Теорема 4.1. Для любых Л = const > 0, параметров r],(i) (г = 1,п), ограничений Qij = const > 0 (j = 1,р;) (26), удовлетворяющих (25), найдутся такие параметры Uo, ш пробного сигнала (27), матрицы обратной связи Lj в наблюдателях (29) и константы eq = const > 0 (q = 1, р), что для компонент 0*(t) вектора e*(t) справедливы оценки

$(01 < Vi > t0.

Таким образом, разработан подход, позволяющий получить асимптотические оценки параметров линейных нестационарных систем указанного класса.

В пятой главе разработаны методы оптимизации по критерию минимума нормы матрицы обратной связи в задаче модального управления многомерными линейными стационарными системами . Для реализации предлагаемого подхода разработан метод приведения с помощью ортогонального преобразования математической модели исходной системы к блочной форме управляемости, на основе которой задача оптимизации высокой размерности декомпозируется на последовательно решаемые подзадачи меньшей размерности. Основное внимание уделяется

поиску начального значения матрицы обратной связи с помощью субоптимальных процедур. Даны рекомендации по построению численных процедур поиска субоптимальных решений на основе градиентных методов.

В разделе 5.1 обсуждается проблема выбора многообразия скольжения в задаче стабилизации систем с несколькими входами. Приведена стандартная процедура синтеза разрывных управлений (Уткин В.И.), обеспечивающих стабилизацию переменных состояния линейной системы, представленной в регулярной форме

х = Ах + Ви, й = Ахх + Аии + В0ь, (37)

где х € Ш", и € Шт° - измеряемые переменные состояний, V € Мт° - вектор управления, А, В, Ах, Аи, Во - матрицы с постоянными элементами соответствующих размерностей, пара (А, В) управляема, гапк Во = то > 1.

Задача синтеза обратной связи в объекте управления (37) декомпозируется на две последовательно решаемые подзадачи: 1) выбор в первой подсистеме фиктивного управления в виде статической линейной обратной связи и = Рх, р £ 2) обеспечение сформированной локальной связи с помощью истинно-

го, разрывного управления.

Введем невязку между реальным и выбранным фиктивным управлением

й = и-Рх, ^€Кт°хп, (38)

с учетом которой система (37) примет вид

х = (А + ВР)х + В й, и = Ахх + Аий + В0У, (39)

где АХ = АХ + [АиР - ^(Л + ВР)], Аи = Аи- РВ. Пусть матрица F выбрана так, что

<х(Л + BF) = { А;}, Яе А; < 0, г = 1~п, (40)

где сг(-) - спектр соответствующей матрицы, А; - желаемые собственные числа. Сформируем разрывные управляющие воздействия

V = —5д ^зщпф),

^ё^(^) = Иёф!), ...^п(5то)]Т, М = i = 1,7720,

]{х(Ь) + [Л„];и(4)|, г = 1,т0, (41)

где [ Ля];, [ Ли]; - г-е строки матриц Ах, Аи.

Тогда в замкнутой системе за конечное время возникнет скользящий режим по многообразию ы = 0, а динамический порядок замкнутой системы понизится:

х = (А + ВР)х, и = Рх. 22

Отметим две особенности описанной процедуры.

1. В рассматриваемом векторном случае то > 1 с теоретической точки зрения существует бесконечно много реализаций матрицы фиктивной обратной связи F 6 Rmoxn) обеспечивающей заданный спектр матрицы А + BF. На практике представляется разумным подчинить выбор F некоторому критерию.

2. Согласно неравенствам (41) на выбор амплитуд разрывных управлений оказывает влияние строчная норма линейных комбинации переменных состояния с коэффициентами, зависящими от элементов матриц системы (39) и фиктивной обратной связи (38). Минимизируя ее, можно уменьшить амплитуду разрывных управлений, что, в свою очередь, приведет к снижению амплитуды колебаний в установившемся режиме («чаттеринга», который всегда присутствует при реализации скользящих режимов на практике).

Таким образом, возникает проблема минимизации нормы матрицы F фиктивной обратной связи (38), обеспечивающей заданный спектр матрицы замкнутой редуцированной системы. Данная задача представляется актуальной не только для системы (37) с фиктивной линейной обратной связью и разрывными истинными управлениями, но и для общего случая систем модального управления.

В разделе 5.2 обсуждается проблема и основные сложности, сопутствующие задаче модального управления в системах с векторным управлением.

В разделе 5.3 формализуется постановка задачи минимизации по норме Фробениуса матрицы обратной связи с использованием ортогональных преобразований. Для системы (37)-(38) ставится задача минимизации критерия

tr{FFT) -¥ min (42)

с ограничениями вида (40).

Прямой путь решения поставленной задачи состоит в сведении ее к задаче безусловной оптимизации функционала (лагранжиана) вида

п-1

L = tr(FFT) + J2~ Vi) -»• min, (43)

»=o

где 7i - множители Лагранжа, ipi и уз® - функции от коэффициентов обратной связи и коэффициенты заданного характеристического полинома.

Задача минимизации функции Лагранжа (43) с ростом размерности представляется трудноразрешимой: из-за существенной нелинейности аналитическое решение найти не представляется возможным. При численном решении основная проблема заключается в том, что функции ограничения не являются выпуклыми, что гарантирует нахождение лишь локальных минимумов.

С целью упростить аналитическое решение проблемы предлагается использовать в решении задачи минимизации (42) представление исходной системы в удобном в некотором смысле координатном базисе. Данной цели отвечают ортогональные преобразования, которые, как известно, не изменяют скалярные произведения, а основные нормы матрицы (в частности, норма Фробениуса) инвариантны относительно ортогональных преобразований.

В подразделе 5.4.1 разработана процедура получения блочной формы управляемости с помощью ортогональных преобразований. Известно (Уткин В.А., Лукъянов А.Г.), что первая подсистема (37) с помощью невырожденной линейной замены переменных Тх = х = (хг, ...,хо)т, йеЬТ ф 0 приводится к БФУ

Хг — ^т'у'З'Г ^^г т ~ 1 >

¿г-1 = АГ-1^ХТ + Аг-1,г-1Хт-1 + Вг-1Хт-2, ^^

¿1 — + + Вфх-1, г = г — 2, 1,

Х0 = + АооХо + В0и,

где сИт:г; = гапк-Вг = тп;, ^¡=от" = п-

Теорема 5.3. Для первой подсистемы (37) при условии, что пара (А, В) управляема, существует ортогональное преобразование к БФУ (44).

Справедливость теоремы 5.3 основывается на итерационном применении результата следующей леммы.

Лемма 5.1. Для первой подсистемы (37) при условии, что пара (А, В) управляема, существует ортогональное преобразование к регулярной форме

где XI е Яп~'п\ х0 £ Дт°, ¿еЬВо ф О, О е д(п-то)хто _ нулевая матрица.

В подразделе 5.4.2 для систем, представленных в БФУ (44), разработана пошаговая процедура синтеза модального управления с целью выбора матрицы обратной связи с минимальной нормой Фробениуса, которая заключается в последовательном назначении части заданного спектра матрицы замкнутой системы сначала с помощью фиктивных, а потом и истинного управления. В отличие от стандартной процедуры блочного синтеза для нижеследующих построений разработана пошаговая процедура ортогональных преобразований.

Лемма 5.2. Пусть в регулярной форме (45) спектр матрицы собственных

I Ац Аю \ /л л \

движений [ - ,1 содержит только действительные числа, пара (Ли, Лщ) у А01 Лоо )

управляема по определению. Тогда существует ортогональное преобразование (¿1, хд)т = М\(х1, хо)т, = I и линейная статическая обратная связь

и = щ + ид, щ — ^о(хь хо)т такие, что система (45) иредставима в виде где собственные

числа, матрицы ^4оо принадлежат заданному спектру а{А'т) = Л^ б сг(Л).

На основе леммы 5.2 для системы (44) разработана пошаговая процедура назначения заданных собственных чисел матрицы замкнутой системы.

В разделе 5.5 разработаны алгоритмы поиска опорных субоптимальных решений, которые можно использовать в качестве начальных условий при поиске субоптимальных решений общими оптимизационными процедурами, приведенными в разделе 5.6.

В подразделе 5.5.1 разработаны процедуры нахождения субоптималыю-го опорного решения применительно к первой подсистеме (37) для случая, когда заданный спектр {Ах, ... ,А„} (40) содержит только действительные числа. Для минимизации вычислительной нагрузки пара (Л, В) может быть представлена в форме Хессенберга. Разработана пошаговая процедура приведения матрицы замкнутой системы к верхней треугольной форме Шура с заданными действительными собственными значениями на главной диагонали. На каждом шаге определяются ортогональная матрица Щ (г = 1, п) и локальная обратная связь Fi (г = 1, п) только по одной координате вектора х = соЦхх,...,хп) первой подсистемы (37) сверху вниз или снизу вверх соответственно, при этом матрица частичной обратной связи выбирается минимальной по норме Фробениуса.

Алгоритм 1 (нахождения опорного решения). Данный алгоритм заключается в получении верхнетреуголыюго вида матрицы замкнутой системы с заданным действительным спектром на главной диагонали и состоит из п аналогичных ортогональных преобразований и последовательного выбора составляющих управления и = щ+и2 + ...+ип в виде покоординатной статической линейной обратной связи. Суть преобразования первого шага формализована в следующей лемме.

Лемма 5.3. Для любой управляемой линейной стационарной системы х = Ах + Ви, х = со1(х1, ...,хп) 6 К", и 6 существует частичная линейная статическая обратная связь Р\ по координате х\ и ортогональное преобразование, с помощью которых матрица частично замкнутой системы представима в виде

л' = (оА' Я- (47)

У Цп-1)х1 >122 )

где А\2 € М1х(п_1>, А\2 е «("-О*("-!), Ах е К - любое заданное число.

Рис. 2. Задачно-ориеитированные координаты платформы

В подразделе 5.5.2 разработан алгоритм размещения комплексно-сопряженных корней.

В разделе 5.6 даются рекомендации по организации вычислительных процедур, связанных с поиском субоптимального решения поставленной задачи с использованием процедур поиска начальных условий из разделов 5.4 и 5.5. Эффективность разработанных алгоритмов продемонстрирована на численных примерах.

В главе 6 представлено решение задач управления мобильными роботами с двумя независимыми приводными колесами, управляемыми двигателями постоянного тока. Особенность разработанного подхода заключается в том, что желаемые траектории порождаются автономной динамической моделью, имеющей структуру полной динамической модели объекта управления, что заведомо делает их реализуемыми (раздел 6.1).

В разделе 6.2 формализуется постановка задач управления мобильным роботом на основе расширенной за счет генератора задающих воздействий модели.

Рассматривается кинематическая модель мобильного робота с двумя ведущими колесами (см. рис. 2) вида

±i = ucos:E3; ±2 = w sin 2:3; ¿3 = w, (48)

где х\, Х2, хз - координаты и угловое положение робота в абсолютной системе ко-и>1 + Ш2

ординат Х1ОХ2, v =---г - линейная скорость движения центра масс робота;

LÜI - Ш2

ш = ———г - угловая скорость поворота робота относительно центра масс, и>и и>2 - угловые скорости ведущих колес, г - радиус колес, D - длина оси ведущих колес, Р — точка центра оси колес, совпадающая для данного робота с центром масс.

В качестве исполнительных устройств, реализующих управляющие моменты на колесах робота, рассматриваются двигатели постоянного тока с постоянными магнитами, математическая модель которых может быть представлена в виде

(¿1 = с\Х\ + х4 = - с2Ш1 +

¿2 = + &> = - C2W2 + U2,

где Xi, Х5 - токи якоря, R - сопротивление ротора, ci, с2 - конструктивные коэффициенты, определяемые параметрами двигателя, а также приведенным моментом инерции колеса (с учетом момента инерции робота); £1, £2 - внешние ограниченные возмущения, например, моменты сил сопротивления; |u;| < U, = const, г = 1, 2 -ограниченные управляющие воздействия (напряжения на якорях двигателей).

Перепишем уравнения (49) в переменных модели (48) и, v и их производных:

d) = s + Xu ¿= -Re - cic2w + (r/D)ci(ui - и2), ^

v = а + у2, а = -Ra - C\C2v + (r/2)ci(ui + u2),

где Xi = {r/D)i 1, X2 = £ = {r/D)[.r4 - хъ], a = (г/2)[x4 + хъ\ - угловое и

линейное ускорения центра масс мобильного робота.

Далее в качестве модели объекта управления рассматриваются уравнения (48) и (50). В предположении, что вектор состояния доступен для измерения, ставится задача стабилизации движения мобильного робота относительно заданной траектории. Программная траектория может быть задана в параметрическом виде

xir = hi{s), x2r = h2{s), (51)

где hi(s) € С4, ¿ = 1,2, xir, х2т - координаты эталонной траектории в абсолютных координатах, s - параметр пути.

Движение по заданной траектории (51) с заданной скоростью в абсолютной системе координат в общем случае порождается генератором заданий в форме, аналогичной модели объекта управления (48), (50)

±1г = vI(t) соэжзг, х2г = иг(£) этхзг,

иг = аг, аг = —Raт — С1С2иг + (г/2)с1Иг,

где Х1Г, х2г, хзг - задающие прямоугольные и угловая координаты, уг(£) - желаемая линейная скорость движения, аг - желаемое линейное ускорение, ит -корректирующее воздействие задающего генератора, для которого выполнятся

ограничение |ur| < U\ + U2; (Ы)'а, (Ы)"3 (i = 1,2)- первые и вторые производные от функций (51) по переменной х.

Уравнения в невязках х^ — зс^ Xft) i = 1, 3 в силу (48) и (52) имеют вид

хi = v(t) cos(a'3 + хгз) — vT(t) cos хзт,

Xi = v(t) sin(i3 + хг3) - vr(t) sin x3r, (53)

¿3 = w(í) - wr (í).

Перейдем к системе координат, связанной с переменными генератора заданий

(52):

(cos а:зг sin хзг О

— sinx3r cosx3r О I . (54)

О 0 1

Используя (52)—(54), запишем уравнения в невязках в системе координат Х1ОХ2 (рис. 2) (ось ÖXi направлена по касательной к желаемой траектории движения)

¿i = v COS Í3 —Vr+ WZX2\

Х2 = —WrXl + USÍnÍ3¡ (55)

Х3 = ÜJ — и>т.

Ставится задача асимптотической стабилизации вектора состояний системы

(55)

lim l|x(í)||=0.

í-++oo

В ргизделе 6.3 разработана декомпозиционная процедура синтеза системы управления колесным роботом на основе блочного подхода. На первом этапе для модели (48) формируются управляющие линейная и угловая скорости, обеспечивающие движение по заданной траектории (51) с заданной траекторной скоростью. На втором этапе синтезируются управления в электроприводах (49), обеспечивающие поддержание сформированных линейной и угловой скоростей.

В подразделе 6.3.1 предложено решение задачи стабилизации кинематической подсистемы. Целью управления является перевод мобильного робота из начального положения (Р) в заданную точку желаемой траектории S2 (начало координат О) по некоторой траектории S\, которая делится на две составные части: 1) участок попадания в 5 окрестность начала координат О; 2) дальнейшее движение в этой окрестности. Потребуем также, чтобы градиенты траекторий S\ и S2 совпадали в точке их пресечения. Траекторию на этапе попадания Si зададим в виде степенной функции

х2 = Cxf, а > 1. (56)

Производная от функции (56) в точке xi = 0 имеет вид

= 0,

dî2 si-a-i dx2

dxi dx! -i=0

где С - постоянная, обусловленная начальными условиями, т.е. касательная к кривой (56) в точке х\ = 0 совпадает с осью ОХ\ системы координат XiÔX2, связанной с заданной траекторией (см. рис. 2). Из (56) получим

dx 2 , >

х2 I

xi ^

ах^{х2 х{),хх > 0 тд,е tg^p = —,<p= \ ' .. \ - _

я- + arctg(з;2/a;l),Xl < 0.

Таким образом, если совместить угол ориентации робота хз по направлению касательной к функции (56), то при ненулевой скорости движения v и принятых выше ограничениях обеспечивается перевод робота в начало системы координат Х1ОХ2, связанной с заданной траекторией (см. рис. 2). При этом участок попадания в окрестность начала координат есть кратчайшее расстояние (прямая) -уравнение (56) при а = 1; а движение внутри 5 окрестности нуля описывается сглаживающей кривой при некотором а > 1.

Объединяя вышеизложенное, введем желаемое соотношение между переменными системы (55) в форме

= /с(ец^¥>, (58)

1, еп > 5;

а — 1 . , а — 1 , „а — 1,

"е11 ~ + 6~Н~еи> <*>1;

где eu = EllLE^ =

¿4 "11 ¿з "и " ¿2

а — 1

-4 ец + а, еп < д. В соответствии с методологией блочного подхода на первом этапе будем рассматривать переменные v, и кинематической подсистемы (55) в качестве фиктивных управлений. Запишем уравнения (55) в новых переменных ец = Еи^Е^

tgV = —, ^й^з:

XI

¿и = у/2е\\(р сав(хъ — <р) — иг соз </?);

Т№Ч>) = (и/х/2^Г)(1 + tgV) 8ш(х3 ~Ч>)~ "г(1 + , ч

аъ (59)

¿¡(^з) = (1 + tg2xз)(w - иг), где вспомогательная переменная </? вычисляется согласно (57).

Переменные и, и в (59) рассматриваются в качестве фиктивных управляющих воздействий. Требуется выбрать их так, чтобы одновременно исключить вырождение управления в первом уравнении (59), гарантировать сходимость переменной ец = {х\ -Ь ж|)/2, пропорциональной расстоянию к нулю и обеспечить соотношение (58), гарантирующее правильную ориентацию робота в начале подвижной системы координат Х\ОХ-1. Как видно из первого уравнения, вырождение управления происходит при соз(гз — <£>) = 0.

Вычислим значение соз(а:з — <р) в предположении, что соотношение (58) выполняется: „

Для выполнения (58) обеспечим равенство нулю переменной е12 = 1§хз — описываемой уравнением

¿12 = {I +1д2х3)(ш - ит) + }1{у,ит,1р,хъ,еи), (60)

где /х = -к{еп)[(чА/2ёГГ)(1 + ^(¿з - <р) - + Ьд2<р)+ Ц^/у^ё^Ьд^у/1 + - (<1к/<1еи)гд<ру/2ёЩусо5(хз - <р) ~ игСоэр).

Выбор управлений в виде

0 (61)

Л + ¿12е12 1 + tg2x3

приведет к замкнутой устойчивой подсистеме ¿и = —1\ге\ъ что обеспечивает (58) и неравенство

-Ziiy/eir+urcosy)

vz =-y—tz-г-, ill > 0, (62)

cos(x3 - <р)

т.е. гарантируется асимптотическая стабилизация переменной ец, а именно ец = —\/2/цвц, следовательно, траектория движения мобильного робота достигает асимптотически заданной траектории.

В подразделе 6.3.2 разработана пошаговая процедура синтеза подсистемы слежения за сформированными в предыдущем подразделе заданиями по угловой (61) и линейной (62) скоростями в электроприводах (49) и (50) в классе систем с разрывными управлениями.

В разделе 6.4 решается задача оценивания функциональных составляющих базовых законов управления и внешних возмущений с помощью наблюдателей состояния с разрывными корректирующими воздействиями, что существенно упрощает реализацию управлений в режиме on-line.

В разделе 6.5 представлены результаты моделирования разработанных алгоритмов для мобильного робота, перемещающегося по цветку, состоящему из

Таблица 4. Параметры эксперимента

Параметр Значение Параметр Значение Параметр Значение

С\ 1 НА" кг-м hi 1 ®i(0) -20 м

с2 1 В-с-рад-1 1 Гн 1X2 0,5 *2(0) -40 м

г 2 М h\ = 122 10 x3(0) 0 рад

а 2 Li = L2 400 s(0) 0

и 1000 В ki = k2 25 m 100sin(i) JL

9(t) 10 м/с xlr(0) 0 м m 80 Mt)

D 2 м x2r{0) 0 м i 50 м

Д 2 Z3r(0) 0 рад PI 10

трех лепестков (см. рис. 3). Желаемая траектория задается в зависимости от параметра s в следующем виде:

xir = /sin(3s) coss, i2r = Zsin(3s) sins, I = const > 0.

Движение во времени по заданной траектории задается генератором заданий . <*(*) -

S = ,--, Ж1Г = игсоэа;зг, х2т = vrsinx3r,

t\/5 + 4cos(6s)

(14+ 4 cos 6s) (63)

X3r = ,r, , .-,a = Wr,

i[5 + 4cos(6s)]J/2 i>r = ar, ar = —Rar — cic2vr + (г/2)с\иг,

где коэффициент l определяет размер цветка в метрах, (r/2)dur = C\C2g{t) + Rg(t)+g(t) —pi(ar —g), g(t), g(t), g(t) - желаемая скорость движения, ускорение и производная от ускорения.

Рассматривались две контролируемые фазы: попадание в конкретную точку на заданной траектории и последующее движение по ней в заданном направлении. Для попадания в точку был выбран генератор заданий в форме: ±ir = 0, х2[ = 0, х3г = 0 с начальными условиями из таблицы 4. После попадания в окрестность желаемой точки (i ~ 14 с) траектории модель генератора заданий выбирается в форме (63). Результаты моделирования приведены на рис. 3.

В главе 7 разработаны алгоритмы управления электроприводом постоянного тока и электромагнитным подвесом на основе теоретических результатов, полученных в главе 2. Показано, что с некоторыми особенностями вихревые алгоритмы могут быть использованы для управления нелинейными системами. На примере задачи управления электромагнитным подвесом показано, что «вихревые» алгоритмы работоспособны при параметрических возмущениях, а также могут быть использованы для управления нестационарными системами.

Рис. 3. Результаты моделирования

В разделе 7.1 разработана модификация «вихревого» алгоритма применительно к канонической системе второго порядка при действии внешних, несогласованных возмущений вида

m = V2 + fi{t), y2=w + /2(i), (64)

где j/i, i/2 _ измеряемые фазовые переменные, у\ - выходная, регулируемая переменная, и - управление, fi{t), f2(t) ~ внешние возмущения, которые полагаются неизвестными, ограниченными функциями времени с ограниченными производными: |/i(t)| <Fi = const > 0, |/2(i)| <F2 = const > 0, |/i(t)| <Fi = const > 0, |Л(£)| <F2 = const > 0, |/i(i)l <Fi = const > 0, где | • | - модуль переменной.

Сформируем управление в виде

« = -Рт ~ ау2 - Msign(j/i), (65)

где М = const > 0, а = const, Р = const > 0.

Теорема 7.1. Пусть в замкнутой системе (64)-(65) выполнены следующие условия:

1) переменная £(t) — a/i(i) + f\{t) + f2(t) удовлетворяет ограничениям |£(i)| < Е, < Ё, S = aFi + F2 + Fu £ = aFi + F2 + Fi;

2) параметры a, M алгоритма управления (65) выбраны согласно выражениям М > Е, а{М - Е) > 2Ё.

Тогда переменная yi(t) замкнутой системы (64)-(65) экспоненциально сходится к нулю.

В подразделе 7.2.1 приведена постановка задачи управления двигателем постоянного тока (ДПТ) с постоянным возбуждением. Модель ДПТ описывается уравнениями

¿1 = х2, х2 = ^¡[cixз - mz,(t)], ±з = j{-CuX2 - Rx3 + и), (66)

где xi - угол поворота вала двигателя [рад], х2 - угловая скорость [рад/с], хз -ток якоря [А], и - напряжение якоря [В], mi(t) - неременный момент нагрузки [Н • м], J - момент инерции двигателя [кг • м2], R — сопротивление обмотки якоря [Ом], L - индуктивность якоря [Гц], с/, Сщ - конструктивные коэффициенты с единицами измерения [Н ■ м • А"1] и [В • с • рад-1] соответственно.

В качестве цели управления рассматривается одна из основных задач управления ДПТ - отработка заданного сигналаxir{t) по углу поворота вала двигателя:

lim xi(i) = 0, xx(t) = xi(i) - xir(i). (67)

t—H-00

Предполагается, что численные значения заданного сигнала xir(t) и его первой производной известны; задание Х\r(t) описывается гладкой ограниченной функцией времени, производные которой до четвертого порядка ограничены известными константами: |х['г' | < X;r, Xir = const >0, г = 1,4.

В подразделе 7.2.2 разработан базовый закон управления ДПТ в предположении, что все переменные системы (66) доступны для измерений.

Шаг 1. В первом уравнении системы (66), записанном относительно ошибки слежения (67) х\ = х2 — Х\Г, решается элементарная задача выбора стабилизирующей обратной связи. В качестве фиктивного управления принимается фазовая переменная х2 — —к\Х\ + ±1г, где fci > 0 - коэффициент обратной связи, обеспечивающий желаемое собственное движение в замкнутой подсистеме

х\ = —к\Х\ + х2. (68)

На втором шаге решается задача стабилизация невязки между фактическим и выбранным фиктивным управлением

х2 = х2 -f- kiXi — iir 0. (69)

Шаг 2. С учетом (66) составим дифференциальное уравнение относительно невязки (69)

¿2 = jx3 + Ш, (70)

где £j(£) = --jmL ~ k\xi + kix2 - xir.

Шаг 3. Запишем дифференциальное уравнение относительно новой переменной хз = ~jx3 + £i(£) с учетом (66), (68)-(69)

¿3 = —а2х2 - а3х3 + b0u + (71)

где 60 = % а2 = (kj + «з = (f - *i),

Ш = h (к\ + CJj£)x! - C-^xlr - xlr + - jmL.

Выберем управляющее воздействие и в виде

Cj

Ъ0и = ~(La - а3)—х3 - М sign(x2), (72)

где La = const > О, М = const > 0 - параметры закона управления, выбор которых поясним ниже, sign(-) - функция знака.

Введем обозначение £(í) = {La - a3)£i(í) + 6(í); \((t)\ < E, |¿(i)| < Ё, где E, Ё - известные положительные константы.

На основании теоремы 7.1 получен следующий результат: при выполнении условий М > Е, L,, = а,а(М — Е) > 2Е переменные замкнутой системы (68), (70)-(72) экспоненциально сходятся к нулю независимо от внешних возмущений.

В подразделе 7.2.3 разработан алгоритм синтеза наблюдателей состояния механических переменных электродвигателя. В подразделе 7.2.4 приведены результаты моделирования.

В разделе 7.3 разработана процедура синтеза робастного управления электромагнитным подвесом в задаче слежения за заданными значениями механических переменных (положение подвеса, скорость подвеса).

В подразделе 7.3.1 формализуется постановка задачи, вводятся ограничения на класс задающих и возмущающих воздействий. Электромагнитный подвес может быть описан системой дифференциальных уравнений вида

г. . к I2 . . ; rv г иб , ч

¿ = U = ~2mS2 + 5 + 1 = I 6~ kIS+ Т (73)

где ó - величина воздушного зазора [м], v - скорость движения подвешенного тела [м/с], д - ускорение свободного падения [м/с2], q(t) = [Q(t)/m] - внешнее неизвестное возмущение [м/с2], которое характеризует действие внешней неизвестной силы Q(t) в пересчете на единицу массы подвешиваемого тела, I - сила тока в катушке электромагнита [А], и - напряжение на входе электромагнита В, т - масса подвешиваемого тела [кг], г - сопротивление катушки электромагнита [Ом], к -конструктивный коэффициент [м-Гн], который определяется количеством витков катушки, площадью сечения сердечника электромагнита и т.д.

Ставится задача асимптотической стабилизации положения подвешенного тела относительно некоторой заданной траектории

lim |¿(í) — ¿r(í)| = 0, (74)

Е—юо

где ór(t) - желаемое во времени положение, функция 5r(t) - ограниченная вместе с производными до третьего порядка |¿r(í)| < Дг, |¿í''(í)l = A¿r, г = 1, 3, Дг, Д;г -некоторые известные положительные константы. Предполагается, что численные значения 6r(t) и ее первых двух производных 6r(t), ¿r(í) известны.

В подразделе 7.3.2 разработан базовый закон управления электромагнитным подвесом в предположении, что все переменные состояния доступны прямым измерениям, масса подвеса известна.

2т S2

уравнения относительно нее и объединяя с уравнениями (73), получим

Вводя новую переменную F = —-—— + g, записывая дифференциальное

6 = V,v = F + q(t),F=-2rp-J-su + 2rlg. (75)

Далее приведена процедура синтеза обратной связи на основе блочного подхода и вихревого алгоритма из раздела 7.1.

Шаг 1. С учетом поставленной задачи управления (74) запишем уравнение относительно ошибки слежения <5 = 6(t) — 6r(t)

t=v- âr(t). (76)

В предположении, что задающий сигнал <5Г(£) и его производная являются известными функциями времени, выберем согласно идеологии блочного подхода фиктивное управление v в уравнении (76) в виде

V =-hS + Sr{t), (77)

где параметр h = const > 0 определяет темпы затухания ошибки слежения.

Шаг 2. Введем новую переменную v = v + lió — Sr(t) и запишем дифференциальные уравнения с новыми переменными ó, v с учетом (75)-(77):

S = -hô + v, Ó = F - l\6 + hv + q(t) - Sr(t). (78)

Для обеспечения соотношения (77) выберем фиктивное управление во втором уравнении системы (78) в виде

F = F - l\ô + hv - âr(t), P = -aF -0v- Msign(6), (79)

где ос = const > О, P = const > 0, M = const > 0. Шаг 3. Введем новую переменную

s = F - l\6 + hv - âr(t) - F (80)

и запишем дифференциальное уравнение относительно нее с учетом (78)-(79)

I = -h¿ + v,v = F + s + q{t), F = -aF - /3v - Maign(w),

I - _ - (81)

s =---и-l-q(t,ô,v,F,s,g),

mô

где

в(0 = - (2^ -/1) 5 + к (11 - 2^/1) 6+(2^-11- £ ) 110 -

+2Т-д - (2^- - к + а ) Р + - 'Ёг(1) - Мшеи(у).

Для обеспечения стабилизации переменных выбирается реальное управляющее воздействие в виде и = Usign(sI).

В подразделе 7.3.3 разработана процедура синтеза обратной связи для случая, когда изменение массы подвешиваемого тела полагается неизвестной, ограниченной функцией времени. Объект управления в этом случае описывается системой дифференциальных уравнений Мещерского. При наличии ограничений на скорость изменения массы подвеса и ее производной синтезирован алгоритм управления электромагнитным подвесом при неизвестной массе.

В подразделе 7.3.4 приведены результаты моделирования разработанных алгоритмов, демонстрирующие их эффективность.

Заключение

В диссертации разработан комплекс новых методов решения актуальных теоретических и практических задач теории автоматического управления, связанных с повышением точности регулирования в системах с разрывными управлениями. Положения, выносимые на защиту.

1. В классе систем с разрывными управлениями впервые решена задача синтеза статической обратной связи, обеспечивающей асимптотическую инвариантность выходных переменных к широкому классу возмущений, не принадлежащих пространству управления, за счет эффекта вибролинеаризации релейных элементов. С помощью разработанных релейных вихревых алгоритмов управления в замкнутой системе создаются затухающие осциллирующие режимы с неограниченным ростом частоты колебаний, за счет которых осуществляется вибролинеаризация реле. При этом реализуется теоретически бесконечный коэффициент линеаризации, что позволяет обеспечить асимптотическую инвариантность выходной переменной к внешним возмущениям.

2. Разработан новый класс регуляторов, обеспечивающих создание в замкнутой системе скользящих режимов второго рода, которые, в отличие от известных результатов, позволяют существенно повысить точность регулирования в установившемся режиме за счет уменьшения амплитуды разрывных управлений. Предложено конструктивное доказательство конечно-временной сходимости переменных замкнутой системы к нулю, основанное на методе усреднения функции Ляпунова, что позволило получить оценки времени сходимости.

3. Разработан новый алгоритм параметрической идентификации на основе скользящих режимов для класса линейных нестационарных систем в предположении, что неизвестные параметры являются выходными переменными известной динамической модели с неизвестными начальными условиями.

4. Разработан декомпозиционный метод оптимизации в задаче модального управления многомерными линейными стационарными системами по критерию минимума нормы матрицы обратной связи на основе ортогонального преобразования математической модели исходной системы к блочной форме управляемости, что обеспечивает декомпозицию исходной задачи на подзадачи меньшей размерности. Полученные результаты позволяют минимизировать амплитуды разрывных управлений и, следовательно, уменьшить амплитуду колебаний в установившемся состоянии.

5. Решен комплекс задач управления мобильными колесными роботами в различных постановках. Разработана методика синтеза генератора, формирующего реализуемые задающие воздействия, что снимает необходимость в анализе достижимости заданной траектории. Предложена двухуровневая декомпозиционная процедура синтеза системы управления мобильным двухколесным роботом в задаче достижения и дальнейшего движения по заданной траектории с заданной траекторной скоростью. Введение принудительного уравнения связи между линейными и угловыми отклонениями позволило свести проблему синтеза к элементарным подзадачам, в которых размерности вектора состояний и управлений совпадают. Для информационного обеспечения базовых законов управления используются наблюдатели на скользящих режимах, которые позволяют получить текущие оценки функциональных составляющих и внешних возмущений, что существенно упрощает вычислительную реализацию алгоритмов управления.

6. На основе разработанных в диссертационной работе методов синтеза систем управления решены следующие прикладные задачи с использованием статических обратных связей, существенно упрощающих структуру регулятора:

1) разработаны законы управления электроприводами на примере двигателя постоянного тока с использованием вихревого алгоритма, обеспечивающего инвариантность к внешнему моменту нагрузки, который описывается неизвестной функцией времени заданного класса;

2) разработаны законы управления электромагнитным подвесом в мало изученной робастной постановке: в качестве внешних возмущений рассматриваются реактивные и гироскопические силы, входящие аддитивно в уравнения модели объекта управления, а в качестве параметрических возмущений - переменная масса подвешиваемого тела и переменная индуктивность электромагнитного подвеса, входящие мультипликативно.

Список публикаций

Статьи в журналах из списка ВАК

1. Кочетков С.А., Уткин В.А. Инвариантность в системах с неидеальными релейными элементами // УБС. Вып. 27. М.: ИПУ РАН, 2009. С. 117-168.

2. Кочетков С.А., Краснова С.А., Уткин В.А. Метод регуляризации скользящих движений по обратной связи // Уфимский математический журнал. 2009. Т. 1, № 4. С. С. 67-77.

3. Кочетков С.А., Уткин В.А. Компенсация неустранимых неидеалыюстей исполнительных устройств // АиТ. 2010. № 5. С. 21-47.

4. Кочетков С.А. Алгоритмы управления и идентификации для профило-графа-профилометра при воздействии внешних возмущений // Проблемы управления. 2011. № 3. С. 20-29.

5. Кочетков С.А. Повышение точности измерений в системах с дифференциальными датчиками // Датчики и системы. 2011. № 5. С. 5-15.

6. Кочетков С.А., Уткин В.А. Метод декомпозиции в задачах управления мобильными роботами // АиТ. 2011. № 10. С. 87-103.

7. Кочетков С.А., Уткин В.А. Обеспечение инвариантности за счет создания колебательных режимов // Доклады академии наук. 2013. Т. 452, №6. С. 611-616.

8. Кочетков С.А., Уткин В.А. Инвариантность в системах с несогласованными возмущениями // АиТ. 2013. № 7. С. 46-83.

9. Кочетков С.А., Уткин В.А. Минимизация нормы матрицы обратной связи в задачах модального управления // АиТ. 2014. № 2. С. 72-105.

10. Кочетков С.А., Уткин A.B., Уткин В.А. Робастное управление электромагнитным подвесом на основе вихревых алгоритмов // УБС. М.: ИПУ РАН, 2014. Вып. 47. С. 187-211.

11. Кочетков С.А., Уткин В.А. Вихревые алгоритмы в задаче управления двигателем постоянного тока // Проблемы управления. 2014. № 5. С. 20-27.

Доклады на научно-практических международных и российских конференциях

12. Kochetkov S.A., Shavrin P.A. An approach to surface profile estimation. // Proc. of the 2-d International conference on Physics and Control PhysCon 2005. Russia, St. Petersburg. 24-26 august 2005. P. 713-719.

13. Kochetkov S.A., Shavrin P.A. Sliding Mode Identification for Surface Profile Estimation / Proc. of the 9th International Workshop on Variable Structure Systems VSS'06. Italy, Alghero. 4-6 June 2006. P. 238-243.

14. Kochetkov S.A., Shavrin P.A., Kiselyov S.A. The control and identification algorithm for devices with differential inductive sensors // Proc. of the 17 world IFAC

congress. South Korea, Seoul. 6-11 July 2008. P. 1809-1814.

15. Kochetkov S.A., Shavrin P.A., Kiselyov S.A. Control of magnetostrictive vibrators // Proc. of the 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference ENOC'08. Russia, St. Petersburg. 30 June-4 July 2008. P. 1786-1791.

16. Kochetkov S.A., Utkin V.A. Control of the systems with flexible structure // Proc. of the 9th IFAC Symposium on Robot Control SYROCO 09. Gifu, Japan. September 9-12, 2009. P. 913-918.

17. Kochetkov S.A. Novel approach to sliding mode realization under unremovable imperfections // The Proc. of the IASTED International Conferences on Automation, Control, and Information Technology (ACIT 2010). Russia, Novosibirsk. June 15-18 2010. P. 87-92.

18. Kochetkov S.A., Utkin V.A., Utkin A.V. Compensation of imperfections in relay systems // The Proc. of the 8th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems (NOLCOS'2010). Italy, Bologna. September 1-3 2010. P. 1296-1301.

19. Kochetkov S.A., Utkin V.A. A trajectory stabilization algorithm for mobile robot // Proc. of the 11th International Workshop on Variable Structure systems (VSS2010). Mexico, Mexico city. June 26-28 2010. P. 121-127.

20. Kochetkov S.A., Utkin V.A. Invariance in the system with non-ideal relays // Proc. of the 18th world IFAC congress. I tal}', Milan. 28 August-2 September 2011. P. 7915-7920.

21. Kochetkov S.A., Krasnova S.A., Utkin V.A. Control Design under Relay Measurements // Proc. of the 11th International Conference on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering, APEIE 2012. Russia, Novosibirsk. October 2-4 2012. P. 19-25.

22. Kochetkov S.A. A sliding mode algorithm for non-stationary parameters identification // Proc. of the IFAC conference on Manufacturing Modeling, Management and Control. 2013. P. 1198-1203.

23. Kochetkov S.A., Utkin V.A. DC motor control algorithm on the base of vortex algorithm // The Proceedings of 13-th International Workshop on Variable Structure systems (VSS2014). France, Nantes. 29 June-2 July 2014. P. 30-35.

24. Kochetkov S.A., Utkin V.A. New approach to design asymptotical invariant systems for arbitrary disturbances // The Proceedings of 13-th International Workshop on Variable Structure systems (VSS2014). France, Nantes. 29 June-2 July 2014. P. 121-127.

25. Kochetkov S.A., Utkin V.A. Design of invariant systems on the base of vortex algorithm // In Proceedings 19 world IFAC congress. South Africa, Cape-town, 24 August-29 August 2014. P. 8134-8139.

26. Kochetkov S.A., Utkin V.A. DC motor control on the base of new relay

algorithm // Proc. of the 12th International conference on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering, APEIE 2014. Russia, Novosibirsk. October 2-4 2014. P. 40-47.

27. Кочетков С.А., Шаврин П.А. Алгоритмы управления и идентификации в задаче оценивания профиля. Статья в трудах конференции // Труды V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'06. Москва, 29 января-2 февраля 2006. стр. 278-290.

28. Кочетков С.А., Шаврин П.А.Об одном подходе к задаче идентификации микропрофиля поверхности. Статья в трудах конференции // Сборник трудов международной научно-технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль». Тольятти, 20-24 мая 2006. Часть 2. стр. 49-56.

29. Кочетков С.А., Шаврин П.А. Алгоритм управления и идентификации для приборов с дифференциальными-индуктивными чувствительными элементами // Сборник трудов Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы электротехники, электроэнергетики и электротехнологий». Тольятти, 20-24 мая 2007. Часть 1. стр. 263-269.

30. Кочетков С.А. Вычисление геометрических параметров поверхности при наличии детерминированных возмущений // Сборник трудов конференции молодых учёных и специалистов «Информационные технологии и системы» ИТиС'08. Геленджик, 29 сентября-3 октября 2008. С. 132-137.

31. Кочетков С.А. Подход к реализации алгоритмов управления на скользящих режимах при наличии неидеальностей актюаторов // Сборник трудов V всероссийской школы-семинара молодых учёных «Управление большими системами» УБС'08. Липецк. 21-24 октября 2008. Том 1. С. 184-191.

32. Кочетков С.А., Уткин В.А. Оценка характеристик шумов в линейных системах в режиме реального времени // Труды VIII Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'09. Москва. ИПУ РАН. 29 января-2 февраля 2009. С. 891-912.

33. Кочетков С.А. Компенсация неидеальностей исполнительных устройств с разрывной характеристикой // Труды 1 традиционной школы «Оптимизация и управление». Переславль. 21-28 июня 2009. С. 119-129.

34. Кочетков С.А. Синтез инвариантных систем с помощью релейных управляющих воздействий // Труды VI Всероссийской школы-семинара молодых ученых «Управление большими системами». Т1. Ижевск. 1-4 сентября, 2009. С. 221-235.

35. Кочетков С.А. Оценка амплитуды колебаний в релейных системах // Статья в трудах конференции «Информационные технологии и системы», ИТИС'09.

пос. д/о Бекасово. 15-18 декабря 2009. С. 108-114.

36. Кочетков С.А., Уткин A.B. Алгоритм управления для мобильного робота // Статья в трудах всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения». Тольятти. ТГУ. 27-28 ноября 2009 г. С. 105-111.

37. Кочетков С.А., Уткин A.B., Краснова С.А. Задача слежения в электромеханических системах, функционирующих в условиях неопределенности // Статья в трудах всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения». Тольятти. ТГУ. 27-28 ноября 2009 г. С. 302-309.

38. Кочетков С.А. Разработка методов повышения точности регулирования в релейных системах управления // Сборник трудов VII всероссийской школы-семинара молодых учёных «Управление большими системами» УБС'10. Пермь. 27-29 мая 2010. С. 65-72.

39. Кочетков С.А. Алгоритм амплитудной детекции в задаче оценивания геометрических параметров поверхности // Статья в трудах международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения». Новосибирск. НГТУ. 2010 г. С. 116-121.

40. Кочетков С.А., Краснова С.А., Королькова М.А., Андрианова О.Г. Кинематическое управление мобильным роботом при движении по полигону с обходом препятствий /У 3-я мультиконференция по проблемам управления (МКПУ-2010). Санкт-Петербург, 12-14 октября 2010 г. С. 356-359.

41. Кочетков С.А. Метод построения амплитудных детекторов для систем с дифференциальными чувствительными элементами // 3-я мультиконференция по проблемам управления (МКПУ-2010). Санкт-Петербург, 12-14 октября 2010 г. С. 65-68.

42. Кочетков С.А. Управление колесным роботом с использованием эталонной модели // Сборник трудов VIII всероссийской школы-семинара молодых учёных «Управление большими системами» УБС'11. Магнитогорск. 25-27 мая 2011. С. 32-36.

43. Кочетков С.А. Об одном алгоритме идентификации в линейных нестационарных системах // Труды IX Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'12. Москва, 30 января-2 февраля 2012. С. 195-209.

44. Кочетков С.А., Уткин В.А. Компенсация неидеалыюстей в системах со скользящими режимами второго рода // Труды российской конференции с международным участием «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» УКИ 2012. Москва, 16-19 апреля 2012. С. 1203-1212.

45. Кочетков С.А. Компенсация автоколебаний в системах со скользящими режимами второго рода // Сборник трудов IX всероссийской школы-семинара молодых учёных «Управление большими системами» УБС'12. Липецк. 21-24 мая 2012. С. 63-65.

46. Кочетков С.А., Уткин В.А. Функционирование систем со скользящими режимами второго рода при статических неидеалыюстях реле // Статья в трудах XI международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения». Новосибирск. НГТУ. 2-4 октября 2012. Том. 7. С. 26-32.

47. Кочетков С.А., Уткин В.А. Минимизация обратной связи в задачах модального управления // Труды 5-йроссийской мультиконференции по проблемам управления. Санкт-Петербург. ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ Электроприбор». 9-11 октября 2012. С. 244-247.

48. Кочетков С.А. Вихревой алгоритм управления двигателем постоянного тока // Сборник трудов X всероссийской школы-семинара молодых учёных «Управление большими системами» УБС'13. Уфа. 5-7 июня 2013. С. 58-61.

49. Кочетков С.А., Уткин В.А. Принципы синтеза обратной связи на основе вихревых алгоритмов // Труды 6-ой Всероссийской мультиконференции по проблемам управления. 30 сентября-05 октября, Дивноморское. Т. 2. С. 34-40.

50. Кочетков С. А., Уткин В. А. Вихревой алгоритм в задаче обеспечения инвариантности // Труды ХН-го Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014). Москва, 16-19 июня 2014. С. 409-418.

51. Кочетков С.А., Уткин A.B. Вихревой алгоритм в задаче управления электромагнитным подвесом // Труды XII-го Всероссийского совещания по проблемам управления (ВСПУ-2014). Москва. 16-19 июня 2014. С. 2196-2205.

52. Кочетков С.А. Об одном алгоритме скольжения второго рода и доказательстве его сходимости // Сборник трудов XI всероссийской школы-семинара молодых учёных «Управление большими системами» УБС'14. Арзамас. 9-12 сентября 2014. С. 239-259.

Все результаты, составляющие основное содержание диссертации пролучены автором самостоятельно. В работах, опубликованных в соавторстве, личный вклад автора состоит в следующем.

В работах по компенсации неидеальностей релейных элементов [1-3, 9, 18, 20, 21, 32, 44, 46, 47] автором сформулированы и доказаны основные результаты.

В работах [6, 10, 12-16, 19, 23, 26-29, 36, 37, 40] автором предложены декомпозиционные методы синтеза систем управления в прикладных задачах.

В работах [7, 8, 11, 24, 49-51] автором сформулированы и доказаны основные результаты по обеспечению инвариантности на основе «вихревых» алгоритмов.

Подписано в печать: 09.12.14

Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 543 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинский проспект, д.2 (495) 978-66-63, www.reglet.ru