автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы нелокального улучшения управлений в классах нелинейных систем

На правах рукописи

О!))[^¡^

Моржин Олег Васильевич

МЕТОДЫ НЕЛОКАЛЬНОГО УЛУЧШЕНИЯ УПРАВЛЕНИЙ В КЛАССАХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-6 0КТ2011

Москва - 2011

4855325

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Института математики и информатики Федерального бюджетного государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Бурятский государственный университет» (ФБГОУ ВПО «БГУ»)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Булдаев Александр Сергеевич

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор

Тятюшкин Александр Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Рапопорт Лев Борисович; кандидат физико-математических наук, доцент Дарьин Александр Николаевич

Ведущая организация:

Учреждение РАН Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН (ИПС им. А.К. Айламазяна РАН)

Защита состоится 3 ноября 2011 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.226.02 при Учреждении РАН Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН) по адресу: 117997, ГСП-7, В-342, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН.

Автореферат разослан 22 сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета шТ ' В.Н. Лебедев

Д 002.226.02, канд. техн. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи улучшения и оптимизации управлений в динамических системах представляют одно из ключевых направлений современной математики с приложениями к робототехнике, квантовым вычислениям, химической кинетике, биосинтезу и т.д. Начиная с 1950 - 1960-х гг. в связи с запросами практики были разработаны и продолжают совершенствоваться различные методы решения задач оптимального управления в работах отечественных и зарубежных научных школ (В.Н. Афанасьев, В.А. Батурин, A.B. Булатов, О.В. Васильев, Ф.П. Васильев, Р. Габасов, В.И. Гурман, В.Ф. Демьянов, В.В. Дикусар, Ю.Г. Евтушенко, В.И. Зубов, Ф.М. Кириллова, В.Ф. Кротов, И.А. Крылов, H.H. Моисеев, Б.Т. Поляк, А.И. Пропой, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько, Т.М. Энеев и другие). В трудах А.И. Тятюшкина1, А.Ю. Горнова для решения задач оптимального управления разрабатываются различные многометодные технологии.

В работах В.Ф. Кротова2, В.А. Срочко3, A.C. Булдаева4 и учеников построены эффективные методы нелокального улучшения управлений, в которых улучшение производится без использования процедуры трудоемкого параметрического варьирования в достаточно малой окрестности управления.

Конструктивной основой нелокального улучшения управлений являются формулы приращения целевых функционалов без остаточных членов разложений по переменным состояния и управления.

В классе линейно-управляемых нелинейных по состоянию дифференциальных систем A.C. Булдаевым был предложен новый подход5 к нелокальному улучшению, в котором получение точной формулы приращения основывается на введении специальной дифференциально-алгебраической сопряженной системы, учитывающей фактор нелинейности. Диссертационное исследование посвящено развитию и обобщению данного подхода на новые классы нелинейных (по переменным со-

1Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. Новосибирск: Наука, 1992.

2Krotov V.F. Global methods in optimal control theory. New York: Marcel Dekker, 1996.

3Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000.

4Булдясп A.C. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Изд-во Бурятского государственного университета, 2008.

ьБулдаев A.C. Новый подход к оптимизации управляемых систем на основе краевых задач // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. С. 87-94.

стояния и управления) задач оптимального управления в непрерывных и дискретных системах, включая задачи оптимизации управляющих параметров. Реализация развиваемого подхода связана с необходимостью решения специальных систем условий улучшения в функциональном пространстве управлений.

Цель исследования - разработка проекционных методов нелокального улучшения управляющих функций и параметров в определенных классах нелинейных дифференциальных и дискретных систем в развитие и обобщение проекционного подхода.

Основные задачи исследования.

1. Разработка проекционных методов нелокального улучшения управляющих функций и параметров в непрерывных и дискретных задачах оптимального управления со свободным правым концом.

2. Построение итерационных алгоритмов для реализации функциональных условий улучшения в пространстве управлений. Получение условий сходимости последовательных приближений.

3. Разработка вычислительной технологии для решения рассматриваемых классов задач оптимального управления. Сравнительный анализ предложенных методов улучшения.

Методика исследования. Для разработки методов нелокального улучшения используется подход построения нестандартных формул приращения целевых функционалов без остаточных членов разложений на основе модифицированных сопряженных систем. Для построения итерационных алгоритмов решения систем условий улучшения управлений используются методы функционального анализа решения задач о неподвижной точке. Сравнительный анализ эффективности методов проводится на известных в литературе тестовых задачах и прикладных моделях.

Научная новизна. Новыми являются:

1) разработанные проекционные методы нелокального улучшения в классах нелинейных систем;

2) необходимое условие оптимальности, усиленное по сравнению с дифференциальным принципом максимума в рассматриваемом классе задач оптимального управления;

3) итерационные алгоритмы для реализации операторных условий улучшения управлений и условия сходимости этих алгоритмов;

4) результаты численного исследования сравнительной эффективности новых методов улучшения и приложений для аппроксимации мно-

жеств достижимости.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Полученные результаты вносят определенный вклад в теорию методов решения классов нелинейных задач оптимального управления. Разработанный подход может быть использован для анализа более сложных классов нелинейных задач оптимального управления. Практическая значимость новых методов улучшения обуславливается проиллюстрированной высокой сравнительной эффективностью и возможностью улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума. Полученные в диссертации методы могут быть использованы для решения прикладных нелинейных задач оптимального управления, а также в учебном процессе для студентов математических специальностей.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Диссертационное исследование ориентировано на разработку новых методов в области системного анализа. Диссертация соответствует формуле специальности 05.13.01 и ее областям 1 - «Теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации», 4 - «Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации».

Достоверность результатов обеспечивается строгостью математического аппарата, цельностью и завершенностью диссертационного исследования и подтверждается вычислительными экспериментами.

Апробация работы. Основные результаты представлены автором на следующих научных мероприятиях:

семинары, конференции преподавателей Института математики и информатики ФБГОУ ВПО «БГУ» (г. Улан-Удэ, 2007 - 2011);

- IX Международная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», посвященная 105-летию со дня рождения II.Г. Четаева (г. Иркутск, 2007);

- I, II, III Всероссийские традиционные молодежные летние школы «Управление, информация и оптимизация» (ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН; г. Переславль-Залесский, 2009, 2010; п. Ярополец, 2011);

- Молодежный симпозиум с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения» (ИПС им. А.К. Айламазя-на РАН, г. Переславль-Залесский, 2009);

- семинары Исследовательских центров процессов управления и системного анализа ИПС им. А.К. Айламазяиа РАН (г. Переславль-

Залесский, 2008, 2010, 2011);

- V Международный симпозиум «Обобщенные постановки и решения задач управления» (Монголия, г. Улан-Батор, 2010);

- III Международная конференция «Инфокоммупикационные и вычислительные технологии и системы» (г. Улан-Удэ - оз. Байкал. 2010);

- Российский семинар «Приближенные методы оптимального управления в приложении к квантовым системам» (ЙПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2010);

- Школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях» (ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2010);

- семинар отделения 2 «Методы управления и исследования операций» Института динамики систем и теории управления СО РАН (г. Иркутск, 2011).

Результаты представлены в отчетах по проектам РФФИ №№ 09-01-90203-Монг_а, 08-01-00945-а. В 2009, 2010 гг. диссертантом выиграны гранты №№ 09-01-16054-моб_з_рос, 10-01-09373-моб_з, 10-01-16016-моб_з_рос по программе «Мобильность молодых ученых» РФФИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовало более 20 работ, включая статьи в журналах, в трудах конференций, школ. Основными являются публикации [1-8]. Статьи [1 - 5] представлены в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общее количество страниц - 112, рисунков - 22, таблиц - 7, наименований в списке литературы - 152.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, представлены цель и задачи исследования, структура и объем диссертации.

В первой главе с единых позиций разработаны новые проекционные методы нелокального улучшения в четырех классах нелинейных задач оптимального управления.

Проекционный метод иллюстрируется в рамках задачи оптимального управления

4a) = F{x{ti)) + Jf0{t,x(t)Mt))dt->mi, (1)

to

±{t) = f(t,x(t),u(t)), x(to)=xo, (2)

u(t) ef/c Em, t £T =[t0,ti],

(3)

где x(t) = (21(f),..., xn(t)), u(t) = (ui(t),..., um(t)) - значения вектор-функций состояния и управления в момент t G Г; Ет - ш-мерное евклидово пространство; а = (а;(-),и(-)) - управляемый процесс; D -множество допустимых процессов; отрезок т и начальное состояние xq заданы; множество U - выпуклое и замкнутое. Под допустимым управлением понимается кусочно-непрерывная функция u(t) на Т, удовлетворяющая ограничению (3), под допустимой траекторией - непрерывное, кусочно-дифференцируемое решение x(t) системы (2) на Т. Множество допустимых управлений обозначим через V. Предполагаются выполненными следующие условия на функции F(x), /°(i, х, и). f(t,x,u):

a) функция F(x) непрерывно-дифференцируемая в Еп и удовлетворяет условию Липшица вместе со своим градиентом: |F(x) — F(x)\ <

< Ki\\x — х||вп, 0 < ifi < со V i,i и аналогично \\Fx(x) — Fx(x)\\e* <

< К2||а? — 0 < К2 < оо V х,х;

b) функции f°(t,x,u), f(t,x,u), f°(t,x,u), f°(t,x,u), fx{t,X,u), fu(t, x, и) непрерывные по совокупности (t, x, и) на T x En x [/;

c) функция f°(t,x,u) удовлетворяет условию |/°(f, x, и + и)— -f°(t,x, u)| < K3\\u\\E'n\\u\\E^ + I<4\\u\\e^' где 0 < #3 < 00,0 < К4 < оо, означающему, что функция f°(t,x,u) удовлетворяет условию Липшица пони что /°(£, х, и) как функция от и растет не быстрее квадратичной;

d) функция f(t, х, и) удовлетворяет условию Липшица по х, и на множестве т х еп х u (||/(i,2c,u) - f(t,x,u)\\e" < - х\\еп~Ь +)|и — пЦ^т), 0 < < оо V х. х, V м, и) и ограничению на «степень роста»: \\f(t,x,u)\\e" <kg(1 + ||ж||яп), 0 < к6 < оо;

e) производные f°(t,x,u), f°(t,x,u), fx(t,x,u), fu(t,x,u) удовлетворяют условиям Липшица по х, и на Т х Еп х U\ (£, х, и) - f®(t, х,и) || <

< К7 (||ж - х||в» + ||и - и\\Ет), о < Kf < 00, и т.д.

Задача улучшения заданного процесса сг1 6 D состоит в вычислении такого процесса а11 6 D, на котором целевой функционал принимает значение, не большее текущего: А1(а11) = /(а11) - 1(а]) < 0.

В результате преобразования приращения целевого функционала, рассмотренного на процессах а, а1 G D, в диссертации получена точная формула приращения

Д 1{а) = -J(Hu(t,p(t),x(t),ul{t))+d(t),&u{t))dt to

на основе определения дифференциально-алгебраической сопряженной системы

р(«) = -адр(о,®1(о.«1(0)-»,м. p(h) =-Fx{^(h)) - q, (4)

H(t,p(t):x(t),u\t)) - H(t,p(t),x4t),ul(t)) = = (Hx(t,p(t),xl(t),ul(t)),Ax(t)) + (r(t),Ax(t)), (5)

Fixih)) - Ftffa)) = (F^ih^Axih)) + (q, Axih)),

H(t,p(t),x(t),u(t))-H(t,p{t),x(t),u\t)) = (]

= {Hu(t,p(t),x(t)y(t)),Au(t)) + (d(t),Au(t)) W

в предположении существования соответствующей непрерывной кусочно-дифференцируемой функции p(t) на Т, где H(t,p,x,u) -функция Понтрягина; Ax(t) = x(t) - xr(t), Au(t) — u{t) -Велич1шы r(t) 6 En, q S En, d(t) G Em определяются алгебраическими соотношениями.

Для улучшения допустимого процесса сг1 предлагается решить дифференциально-алгебраическую краевую задачу

x{t) = f(t,x{t),ua{t,p{t),x{t))), x{t0) = x0, (7)

p(t) = —Hx(t,p(t), x\t), u\t)) - r(i), p(t0 = -Fx{x\ti)) - q, (8)

= (Hx(t,p(t), Xl(t),ul(t)), Ax) + (r{t), Ax(t)), F(x(h)) - F(xl(h)) = (^(^(ii)), Ax(h)) + (q, A®(Éi)>, (10) H(t,p(t),x(t),ua(t,p(t),x(t))) - =

= (Hu{t,p(t),x(t),v?(t)) + d(t),ua{t,p(t),<t)) -At)},

0)

(П)

где

ua(t:p,x) = ?u(u1{t) + a{Hu(t,p,x,uI(t))+d{t))), а>0, 4 б Г,

Р(/ - оператор проектирования в евклидовой метрике на замкнутое выпуклое множество II, функция d(t) в каждый момент Ь £ Т определяется из алгебраического соотношения (11). При условии кусочной непрерывности ¿(1) отображение иа(Ь,р, х) является кусочно-непрерывным по 4 €Е Т, непрерывным по (р, х) на основании условия Липшица для оператора Ру.

В работе показано, что краевую задачу (7) - (11) можно всегда в результате разрешения алгебраических уравнений относительно г(£), q

свести к некоторой вспомогательной задаче с одним алгебраическим соотношением (11).

В предположении разрешимости краевой задачи улучшения (7) - (11) при заданном а > 0 с некоторой кусочно-непрерывной функцией d(t), t €Т, строится выходное управление по формуле

ua(t) = ua(t,p(t),x(t)), а > 0, í 6 Т.

Показано, что на соответствующем процессе аа = (ха(-),иа(-)) справедлива мажорирующая оценка

I U „

А1(аа) < — / ||iía(í) - ul(t)\\ dt <0, а > 0.

Qt0

Краевая задача улучшения эквивалентна условию улучшения, представленному в виде операторного уравнения

и = Ла(и), Аа:и^иа, ueV, (12)

в пространстве управлений, где ua{t) = ua(t,p(t),x(t)), p(t) - решение сопряженной системы (4) - (6), x{t) - решение фазовой системы (2) при u(f), t € Т.

Из работ В.Ф. Кротова известен обобщенный лагранжиан

ti

L(a) = <7(a:(íi)) - / R(t, x(t), u{t))dt, h

G{x) = F(x) + <p(ti,x) - <p{t0, x0), R(t, x, u) = (ipx(t, x), f(t, x, u)) - f(t, x, u) + (pt(t, x)

для рассматриваемой задачи оптимального управления. Показано, что предложенный в диссертации подход к улучшению можно интерпретировать в терминах приращения AL(ci) с линейной по х разрешающей функцией <p(t,x) = (p(t),x).

Получено новое необходимое условие оптимальности процесса a1 G D в терминах краевой задачи улучшения. Обозначим множество выходных управлений через

Va(v}) = {u€V ■. u(t)=ua(t,p(t),x(t)), teT}.

Дифференциальный принцип максимума в терминах краевой задачи улучшения (7) - (11) формулируется следующим образом: для оптимальности управления u1 € V необходимо, чтобы и1 6 Va(у}) хотя бы для одного а > 0.

Новое условие оптимальности управления и1 € V, усиливающее дифференциальный принцип максимума: для оптимальности управления и1 6 V в задаче (1) - (3) необходимо, чтобы ^"(и1) = {и1} для всех а > 0, т.е. чтобы пара (^(i),£>*(£) = ^(t)) была единственным решением краевой задачи (7) - (11) для всех а > О.

Функция tpl(t) - решение стандартной сопряженной системы принципа максимума на процессе а1.

Понятно, что дифференциальный принцип максимума является следствием нового условия.

С целью повышения эффективности предложенного проекционного метода нелокального улучшения (ПМНУ) разработаны две его модификации.

т-модификация ПМНУ состоит в определении параметризованного операторного условия улучшения:

и = Аа'т(и), и 6 V, (13)

где

Аа,т : и иа,т, «а,г(«) =Pu(u(t)+r(ua(t)-u(t))), Тф 0, t 6 Т.

Для решения операторного уравнения (13) справедлива мажорирующая оценка

АД<га,т) < -- / IKtW - ul{t)\\2dt < 0, а > 0.

01 tQ

Фазовая модификация ПМНУ следует известному (из работ В.И. Гурмана, В.А. Срочко, A.C. Булдаева и других) подходу и состоит в определении вспомогательного целевого критерия

Г{а\а) = 7(<х) + 71||ЛДх(^)||2 + 72 J \\Z&x(t)\\4t inf, (и) 71 > 0, 72 > 0,

с фазовым отклонением относительно исходной управляемой системы (2). Матрицы Л и Е - диагональные, по главным диагоналям которых 0 и 1. Параметры 71 и 72 неотрицательные. Модификация метода с функционалом (14) позволяет повысить эффективность при работе с экстремальными управлениями.

Описанная выше методика распространена на другие классы систем: улучшение управляющих функций в нелинейных дискретных системах; улучшение управляющих параметров в нелинейных дифференциальных системах; улучшение управляющих функций и параметров в нелинейных дифференциальных системах. В результате преобразования обобщенных лагранжианов получены дифференциально- и- дискретно-алгебраические сопряженные системы, точные формулы приращения целевых функционалов оптимизационных задач. Причем в задачах с параметрами рассматриваются системы операторных уравнений в пространстве управлений.

Нелокальный подход иллюстрируется в классе нелинейных дискретных задач оптимального управления:

1(a) = F(x(tx)) + Е1 /° (f, x(t), u(t)) inf, t=t0

z(t + l) = /(i,z(i),u(i))> ®(io) = ®o, u{t)eUCEm, te{t0,t0 + l,...,ti-l},

где моменты i0, ti и состояние xq заданы; а = (x(-),it(')) - управляемый процесс. Предполагаем непрерывную дифференцируемость функции F(x) по х и непрерывную дифференцируемость функций f°(t,x,u), f(t,x,u) по (х, и). Множество U считается замкнутым и выпуклым.

ПМНУ и его т-модификация рассматриваются для задачи улучшения в рамках класса нелинейных задач оптимизации управляющих функций и параметров в непрерывных системах:

ti

1(a) = F(x(ti), w) +J f (t, x(t), u(t), w) dt inf, to

x(t) = f(t,x(t),u(t),w), i(t0)=a, u(t)eUCEm, t€T=[to,ti], weWCEz, aeACEn,

где x(t) = (xi(t),...,xn(t)) - вектор состояния, u(t) = (ui_(t), ...,um(t)) - значение управляющей функции, w — (wi,...,wz) и a = (ai,...,an) -векторные управляющие параметры; T = [in, ¿l] - заданный отрезок; а — (x(-),u(-),w,a) - управляемый процесс. Множества U С Ет, W С С Ez, А С Еп- замкнутые и выпуклые. Предполагаются выполненными аналогичные предыдущим задачам теоретико-функциональные условия на F(x,w), f°(t,x,u,w), f(t,x,u,w).

Завершают главу примеры улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума (в непрерывных и дискретных системах). Для иллюстрации рассматривается невыпуклая задача улучшения управления и1 (t.) = 0, удовлетворяющего принципу максимума:

7Г

1(a) = J (и2 - х2) dt -» inf, х = и, z(0) = 0, u(t) G Е1, te [0, тг].

Функция Понтрягина H(t, р, х, и)=ри-и2 + х2. Образуется краевая задача улучшения:

x(t) = ua(t,x(t),p(t)), ®(0) = 0, p(t) = —r(i), р(тг) - 0, r(t)x(t) = (x(i))2, «Q(i,p(i))a:(i))(p(i)-«o(i,p(i)>®(0)) = (р(*> +

гдеua(t,р,х) = uï(t)+a(p-2uI(t)+d(t)) = a(p+d(t)), а > 0. Переходим к вспомогательной краевой задаче

¿(i) =ua(t,p(t),x(t))1 х(0)=0, p(t) = -x(t), р(тг)=0, ua(tiP(t),x(t))(d(t) +ua(t,p(t),x(t)ï) =0.

Задача допускает тривиальное решение, соответствующее улучшаемому управлению. Другое решение определяется условием

d{l) + ua(t,p(t), x(t)) = d(t) + a(p(t) + d(t)) = 0. Отсюда получаем выражение d(t) =--и краевую задачу

±{t) = = m = ~<t), p(tt)=0.

Для решения этой задачи рассмотрим уравнение

P(f) + Wit) - 0, z = > 0, р(тг) = 0, р(0) = 0.

о + 1

Данное уравнение имеет решение p(t) - Ccos(^zt), где константа С определяется из граничного условия Ccosy/zn - 0. Ненулевое решение соответствует случаю y/zn = ^ + for, к = 0, ±1, ±2,... Решение для

к — 0 соответствует значению а = ^ и имеет вид p(t) — С cos -, С ф 0.

о 2

и

Соответствующее решение ж(£) = —р(£) — — 5т При этом получаем

ос С £

выходное управление ии(£) = -с2(£) = —= соа —, £ € [0,7г], С Ф 0, со свойством строгого улучшения:

Отметим наличие бесконечного множества других строго улучшающих ненулевых выходных управлений в применяемом проекционном методе, определяющихся при значениях к = ±1, ±2,..., а также комбинациями приравнивания к нулю множителей левой части в уравнении иа(£,р(£),а:(£)) (¿(£) + иа(£,р(£),х(£))) = 0 на различных подынтервалах отрезка [0,7г].

Во второй главе построены итерационные алгоритмы решения систем операторных условий улучшения. Для обоснования сходимости итерационных процессов допустимые кусочно-непрерывные управления и «погружаются» в полное нормированное пространство измери-

мых функций.

В качестве иллюстрации рассматривается операторное уравнение (12). Для решения (12) предлагается итерационный процесс

и(*+1) = Аа(иМ), и(*)еУ, /с > 0, (15)

с некоторым начальным приближением и® е V. Процесс имеет вид:

- Ру (АО + а(Я„(£, рЮ (£), хЮ(£), иЩ + (£))), а > О, ¡£Т, к > 0.

Для решения операторного уравнения (13) рассматривается итерационный процесс

и^Щ = Ри(и(кЩ + г(п^(£) - (£))), аб)

= г Ф о, £ е г, к > о. { '

В диссертации получены условия сходимости итерационных процессов (15), (16).

Теорема 1. Пусть в задаче (1) - (3) выполняется условие Липшица ||Я„(£,рДи) - Ни(г,р,х,и)\\Е^ < С (|[р — +

V х,х е X, р,ре Р, с > о, 12

где X, Р - выпуклые компактные множества, в coeoKynnocmxi ограничивающие семейства фазовых и сопряженных траекторий:

x{t) 6 X, p(t) еР, t £ Т.

Тогда при достаточно малом а > 0 итерационный процесс (15) сходится в L™ (Т)-норме к решению и11 6 V операторного уравнения (12).

Теорема 2. В условиях теоремы 1 при достаточно малом а > О с 0 < т < 2 итерационный процесс (16) сходится в Ь™(Т)-норме к решению it11 € V операторного уравнения (13).

В третьей главе автором разработана вычислительная технология для решения задач оптимального управления на основе предложенных в диссертации методов нелокального улучшения. Программная реализация новых методов улучшения, а также ряда известных локальных методов (методы условного градиента, проекции градиента, игольчатой линеаризации) проведена автором на языке Fortran современного стандарта в системе типа Visual Studio с применением графических средств системы Matlab для визуализации результатов численных экспериментов.

Для решения задачи оптимального управления (1) - (3) образуются два цикла: внешний и внутренний. Во внутреннем цикле выполняются последовательные приближения для реализации условия улучшения (12) или (13), на итерациях внешнего цикла строятся последовательные задачи улучшения. Итерационный алгоритм для решения условия (12) или (13) на итерации внешнего цикла применяется при фиксированных параметрах а, г.

Проведен сравнительный анализ эффективности новых методов улучшения на серии модельных задач оптимального управления: оптимальная стабилизация маятниковых систем; стабилизация электродвигателя при минимальных энергозатратах; оптимальная стабилизация спутника с тремя реактивными двигателями; оптимизация управления потоком хладагента в химическом реакторе; максимизация массы выходного продукта химической реакции; перевод нелинейной системы на заданное целевое множество из авиационной проблематики; вспомогательные задачи оптимального управления (включая задачи с терминальными ограничениями) в описанных в третьей главе алгоритмах аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых дифференциальных систем. Трудоемкость расчетов традиционно оценивалась количеством решенных задач Коши для фазовой и сопряженной систем.

Результаты решения модельных задач иллюстририрует пример. Пример. Рассматривается задача6 стабилизации положения вала шагового электродвигателя при минимальных энергозатратах:

/(<г)= жз (0.05)-finí,

¿i = х2, ¿2 = ~ах2 - b[uisin(2:z;i)+ +и2 sin (2a¡i + 27Г/3) + и3 sin (2xi - 2ít/3)] , Х3 — х\ + c(ui + U2 + U3),

si(0)=ir/3, a¡2(0) = 0, ®з(0)=0, Ui(t) g [0,16], i = ТД te[ o, 0.05],

где x\ - положение вала двигателя, - его скорость, вектор управления характеризует квадраты токов в обмотках, а — 50, b = 1000,

с = 0.001.

В рассматриваемой задаче функция Понтрягина имеет вид H(t,p,x,u) — р\Х2 + p¿(- ах2 - b[i¿isin(2ari)+ +и2 sin (:2хг + 2тг/3) + щ sin (2хх - 2тг/3) ]) + +Рз{х1 + c(lí! + U2+ Из)).

Для решения задачи оптимального управления применена вычислительная технология, реализующая т-модификацию ПМНУ с операторным уравнением улучшения (13), где дифференциально-алгебраическая сопряженная система следующая:

Pl(t) — 2bp2 (t) («i (t) cos(2.rI1 (i)) + u2 (£) cos(2xj (í) + 2тг/3) + +U3(t)cos{2x\{t) - 2тг/3)) - 2p3{t)x\(t) - n(t), pi(0.05) = 0, P2{t) = -pi(í) + ap2(t) - r2(i), p2(0.05) = 0, h{t) = -r3(í), Рз(0.05) - -1,

ei(í,p(í),x(t)) + E^W^iW =6(t,p(t).s(0).

¿=л

6(t,p(0,z(t)) = (-2bp2(t)["í(0 cos(2as5.(t)) + u\{t)cos{2x\(t) + 2тг/3)+

+u3(í) cos(2a;I1(í) - 2тг/3)] + 2jy3{t)x\{t))Axl{t), &(t,p(t),4t)) = P2(t)(-b(u\(t)(sm(^i(t)) - sin^xU^H +4(í)(sin(2xi(í) + 2тг/3) - sin{x\{t) + 2тг/3))+ +4(í)(sin(2xi(£) - 2тг/3) - sin(2x¡(t) + 2jt/3)))) +

+P3(t)(xf(t) - (х\(1)П

<;Срочко В.А., Антоник В.Г., Мамонова Н.П. Вычислительное сравнение методов градиентного типа в задачах оптимального управления // Известия Иркутского государственного университета. Математика. Т. 1. № 1. 2007. С. 275-290.

Алгебраическое уравнение разрешалось относительно г(£) — (п (£), гг(^), ^з(^)) по правилу:

1

Да;^) О,

[6(4, р(0, - Ы*,Р(*)> ®(*))1, Д^Ю Ф 0.

= 0,

г2(*) = 0, г3(*) == 0.

Рассматривался итерационный процесс (16), для которого определяется соотношениями

(Л)) 1 = Р[0,16] (4(1) + а(-6р?>(4) М2х?\ь)) + с#(<))) ,

(«^(ОЬ = Р[0Д6] («&) + «(-*#(*) вт(2х?]{1) + 2тг/3) + (4))) , («^(О)з = Р[о,1б] («&) + а(-ЪрМ(1)3т(2х{к)(Ь) - 2тг/3) + #(4))) ,

где а > 0, £ 6 [0,0.05].

щ.....................;.................

: ;

; !

............... ! ; ;

..............I..............1..............................

..... г ■■;.......г

\ ; :

у ; \ л...........г;...........

1 \

0 01 0 02 0.03 0.04 0.05 I

Щ..

I

-Т...............................-

0.01 0.02 ' 0.03 0.04 0.05

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 I

Расчеты проводились при различных наборах (а, г), где а > 0, т € (0,2). На первой итерации внешнего цикла выбиралось начальное

Метод Значение 7 Задачи Коши

МУГ 0.00817 617

МУК-1 0.00988 410

МУК-2 0.00792 287

МПВ 0.00779 309

т-ПМНУ 0.00779 263

приближение ul(t) = 0. На рисунке демонстрируются результаты расчета для а — 120, г = 0.6. Итоговая компонента расчетного управления U2(f) = 0 на рисунке не представлена. В таблице приведены сравнительные результаты, полученные разными методами: МУГ - метод условного градиента; МУК-1 и МУК-2 - методы условного квазиградиента 1-го и 2-го порядков (результаты расчетов МУГ, МУК-1 и МУК-2 взяты из указанной статьи В.А. Срочко и учеников); МПВ - метод проекционных возмущений дифференциального принципа максимума (результаты расчета взяты из монографии A.C. Булдаева). В отличие от сравниваемых методов применение модификации ПМНУ позволило получить управление без колебательных участков, лучшее в плане практической реализации.

В заключении диссертации представлены основные положения, выносимые на защиту, характеризованы новизна, теоретическая ценность и практическая значимость, апробация, публикации и личный вклад автора. Завершает диссертацию список литературы.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработаны проекционные методы нелокального улучшения управляющих функций и параметров в определенных классах нелинейных непрерывных и дискретных задач оптимального управления со свободным правым концом.

2. Получено новое необходимое условие оптимальности управляющих функций, усиливающее принцип максимума в рассматриваемом классе задач оптимального управления.

3. Построены итерационные алгоритмы для решения системы условий улучшения в пространстве управлений. Получены условия сходимости. Проведен сравнительный анализ предложенных методов нелокального улучшения с известными методами в вычислительных экспериментах.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Булдаев A.C., Моржмн О.В. Модификация метода проекций для улучшения нелинейных управлений // Вестник Бурятского государственного университета. Вып. 9: Математика и информатика. 2010. С. 10-17.

2. Моржип О.В. Нелокальное улучшение нелинейных управляемых процессов на основе достаточных условий оптимальности // Автоматика и телемеханика. 2010. № 8. С. 24-37.

3. Моржин О.В. Проекционные методы нелокального улучшения управляющих функций и параметров // Вестник Бурятского государственного университета. Вып. 9: Математика и информатика. 2011. С. 31-35.

4. Моржин О.В., Тятюшкин А.И. Алгоритм метода сечений и программные средства для построения множеств достижимости // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. № 1. С. 5-11.

5. Тятюшкин А.И., Моржин О.В. Численное исследование множеств достижимости нелинейных управляемых дифференциальных систем // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. С. 160-170.

6. Моржин О.В. Методы нелокального улучшения управлений дифференциальными и дискретными системами // Управление, информация и оптимизация: Сб. тр. II Всероссийской традиционной молодежной летней школы. М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2010. С. 81-87.

7. Моржин О.В. Методы нелокального улучшения в задачах оптимального управления на основе точных формул приращения // Программные системы: теория и приложения: Тр. конф. / Под ред. С.М. Абрамова и C.B. Знаменского. Переславль-Залесский: ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, 2010. С. 233-249.

8. Моржин О.В.. Нелокальное улучшение управлений нелинейными дискретными системами // Программные системы: теория и приложения: Тр. конф. / Под ред. С.М. Абрамова и C.B. Знаменского. Переславль-Залесский: ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, 2010. С. 251— 274.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично соискателем. Личный вклад соискателя состоит в том, что известный подход к нелокальному улучшению распространен на новые классы нелинейных (по переменным со-

стояния и управления) задач оптимизации управляющих функций и параметров дифференциальных и дискретных систем. Диссертантом разработаны проекционные методы нелокального улучшения, построены итерационные алгоритмы реализации условий улучшения и получены определенные условия сходимости последовательных приближений, исследована сравнительная эффективность новых методов улучшения, изучены вопросы приложения в схемах аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем, создана программно-алгоритмическая реализация новых методов улучшения и проведены вычислительные эксперименты.

В совместной статье [1] соискателем получены точная формула приращения и условие улучшения с обобщенным проекционным отображением, показано свойство улучшения, сформулировано условие оптимальности, приведен пример улучшения экстремального управления. В совместных публикациях [4, 5] диссертанту принадлежит разработка обозначенного А.И. Тятюшкиным подхода к аппроксимации множеств достижимости с применением методов улучшения.

Оригинал-макет О.В. Моржина

Подписано в печать 20.09.2011 Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная Объем - 1 печ. лист. Тираж 110 экз.

Отпечатано с макета, предоставленного О.В. Моржиным, в типографии «11-й ФОРМАТ». Заказ № 789 115230, г. Москва, Варшавское ш., д. 36 Тел.: 8 (499) 788-78-56. E-mail: riso@mail.ru http://www.autoreferat.narod.ru. ИНН 7726330900

Введение

1. Задачи и методы улучшения управлений

1.1. Задача улучшения управлений в непрерывных системах.

1.2. Проекционный метод нелокального улучшения.

1.3. Формула приращения обобщенного лагранжиана.

1.4. Условия оптимальности управления.

1.5. г- и фазовая модификации метода нелокального улучшения

1.6. Задача и методы улучшения управлений в дискретных системах

1.7. Задача и методы улучшения управляющих параметров.

1.8. Задача и методы улучшения управляющих функций и параметров

1.9. Примеры улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума

2. Итерационные методы решения систем условий улучшения управлений

2.1. Условия улучшения управлений в непрерывных системах

2.2. Система условий улучшения управляющих параметров.

2.3. Система условий улучшения управлений в дискретных системах

3. Вычислительные эксперименты

3.1. Вычислительная технология решения задач оптимального управления.

3.2. Оптимизация управления плоским маятником.

3.3. Оптимальное управление колебательными движениями маятника с трением.

3.4. Оптимальное управление потоком хладагента в химическом реакторе

3.5. Стабилизация шагового электродвигателя с минимальными энергозатратами.

3.6. Максимизация массы продукта химической реакции.

3.7. Оптимальная стабилизация спутника с тремя реактивными двигателями.

3.8. Методы нелокального улучшения в схемах аппроксимации множеств достижимости.

3.9. Численный анализ множества достижимости системы Ван-дер-Поля

3.10. Аппроксимация множеств достижимости маятниковой системы

3.11. Аппроксимация множества управляемости маятниковой системы с трением.

3.12. Численный анализ проекций множеств достижимости системы

Л. Дубинса.

3.13. Перевод нелинейной системы на заданное целевое множество

Задачи улучшения и оптимизации управлений в динамических системах представляют одно из ключевых направлений современной математики с многочисленными приложениями (робототехника, квантовые вычисления, аэрокосмические системы, химическая кинетика, биосинтез лекарственных препаратов и т.д.) [19, 36, 77, 84, 88, 128,, 143, 144, 147, 151].

Начиная с 1950 - 1960-х гг. в связи с запросами практики были разработаны и продолжают совершенствоваться (обзоры в [7], [16, с. 18-24], [50, с. 1117], [54, 105, 135], [145, с. 1538-1542]) различные методы решения задач оптимального управления в работах отечественных и зарубежных научных школ (A.B. Аргучинцев, А.П. Афанасьев, В.Н. Афанасьев, В.А. Батурин, A.C. Бул-даев, А.Г. Бутковский, О.В*. Васильев, Ф.П. Васильев, В.В. Величенко, Р. Га-басов, В.И. Гурман, В.Ф. Демьянов, В.В. Дикусар, В.А. Дыхта, Ю.Г. Евтушенко, В.И. Зубов, Ф.М. Кириллова, В.Б. Колмановский, H.H. Красовский, В.Ф. Кротов, И.А. Крылов, A.M. Летов, H.H. Моисеев, Д.Е. Охомицкий, Б.Т. Поляк, А.И. Пропой, Б.Н. Пшеничный, В.А. Срочко, А.И. Тятюшкин, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько, Л.И. Шатровский, Т.М. Энеев и другие) [1, 5, 7, 9, 10, 16, 20, 21, 23, 31, 33, 37, 38, 39, 43, 44, 45, 49, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 68,70, 71, 77, 78, 79, 80, 83, 85, 86, 88, 100, 103, 104, 108, 109, 110, 113, 118, 122, 128, 130, 132, 134, 135, 136, 137, 141, 148].

В начале 1950-х гг. A.A. Фельдбаум впервые сформулировал общую задачу оптимального управления дифференциальными системами [129, 130], а затем Л.С. Понтрягиным и учениками был предложен и обоснован принцип максимума - необходимое условие оптимальности первого порядка [8, 42, 63, 66, 84, 101, 106, 130] (как развитие классических результатов Л. Эйлера, К. Вейерштрасса [33, 34]). В 1959 г. Л.И. Розоноэром дано доказательство принципа максимума, состоящее в изучении приращения целевого функционала [42, 111]. В начале 1960-х гг. В.Ф. Кротовым предложены достаточные условия оптимальности с разрешающей функцией [73, 75, 77, 148], причем принцип максимума следует при линейной по фазовой переменной разрешающей функции [77]. Р. Габасовым [40, 42] были предложены необходимые условия оптимальности 2-го порядка [33].

Впервые аналог принципа максимума JI.C. Понтрягина в дискретных системах был получен в 1959 г. Л.И. Розоноэром [111] для линейных по состоянию систем. В 1963 г. А.Г. Бутковским [31] построен пример, в котором функция Гамильтона на оптимальном процессе имеет лишь локальный максимум. Достаточные условия, при которых справедлив дискретный принцип максимума [66, § 6.4], установлены А.И. Пропоем [107, 108] и Р. Габасовым. [41, 42]. В трудах В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана разработаны достаточные условия оптимальности дискретных процессов [48, 49, 72].

В рамках теории В.Ф. Кротова поиск разрешающей функции в линейной и линейно-квадратической по состоянию формах дал возможность в работах В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, В.А. Батурина, И.В. Расиной, Е.А. Трушковой и других построить итерационные методы улучшения 1-го и 2-го порядков [15, 16, 17, 49, 50, 51, 52, 71, 78, 121, 148]. Методика получила распространение в задачах оптимизации дискретно-непрерывными и логико-динамическими системами, процессами с параметрами [14, 16, 49].

С 1960-х гг. в конечномерной оптимизации и в оптимальном управлении известны вариации метода проекции градиента: работы И.Б. Розена ([145, с. 3345-3354], [152]), Е.С. Левитина и Б.Т. Поляка ([83], [47], [102, с. 185-187, 289]), Э.М. Вайсборда [32], В.Ф. Демьянова и A.M. Рубинова [57, гл. 3, 4], Р.П. Федоренко [127, 128], A.C. Антипина [4] и других ученых. Метод проекции градиента традиционно входит в учебники по методам оптимизации ([37, с. 249-258, 543-545], [65, с. 103-109], [119, гл. 6], [140, гл. 10]). В оптимальном управлении основой выступает дифференциальный принцип максимума, причем в методе проекции градиента из [128] параметр проектирования задается экспериментально, в версии из [34, гл. 5] включает (трудоемкую) операцию оптимизации по параметру выпуклого варьирования управлений на каждой итерации, введенную для регулирования сходимости к выполнению необходимого условия оптимальности. В монографии [113, с. 103] и статье [115] предложен и проиллюстрирован в численных экспериментах локальный проекционный метод 2-го порядка с рассмотрением векторной и матричной сопряженных систем.

Наряду с методами оптимизации управлений непосредственно в функциональном пространстве известны методы, в которых непрерывная задача оптимального управления редуцируется к задаче конечномерной оптимизации (большой размерности) за счет частичной (по управлению) или полной (по управлению и состоянию) дискретизации [62, 122, 139, 146].

Многометодные технологии для решения задач оптимального управления создаются в работах А.И. Тятюшкина [122, 123], А.Ю. Горнова [46] и других специалистов.

В работах В.Ф. Кротова [74, 76, 78, 148], В.А. Срочко [5, 7, 113, 114, 117], A.C. Булдаева [23, 24, 25, 26, 29, 30, 142] и учеников были предложены подходы к нелокальному улучшению в задачах оптимального управления. В методах нелокального улучшения отсутствует операция варьирования управления с трудоемким параметрическим поиском в отличие от методов условного градиента [33, 34, 57, 122], игольчатой линеаризации [33, 35, 85, 113], где на каждой итерации решаются задачи минимизации вспомогательных функций, зависящих от параметров варьирования (слабого, игольчатого), с применением стратегий глобализации и методов конечномерной оптимизации нулевого порядка [37, 46, 119].

Конструктивной основой методов нелокального улучшения для различных классов задач оптимального управления дифференциальными системами в работах В.А. Срочко, A.C. Булдаева [5, 7, 23, 24, 25, 26, 30, 113, 117, 142] и других является получение точных формул приращения (без остаточных членов разложений по переменным состояния и управления) для целевых функционалов при специальных сопряженных системах. В монографии [113] предложены методы нелокального улучшения для линейных и линейно-квадратичных по переменной состояния задач оптимального управления дифференциальными системами, в монографии [23] - для квадратичных и общих полиномиальных по переменной состояния задач, включая задачи с запаздывающим аргументом. Предложенные методы обладают возможностью улучшения неоптимальных управлений, удовлетворяющих принципу максимума. Проблема улучшения экстремальных управлений естественно возникает на пути глобального решения невыпуклых задач оптимального управления. Ценою улучшения являются две задачи Коши [113]. В полиномиальных и других нелинейных задачах трудоемкость определяется уже краевой задачей [23, 25, 30]. Краевые задачи улучшения по свойствам гладкости проще краевой задачи принципа максимума [42]. В работах [29, 30,142] подход реализован в полиномиальных по переменной состояния задачах оптимального управления с частично закрепленным правым концом траектории. В статье [6] подход с получением точной формулы приращения целевого функционала распространен на задачу оптимального управления начально-краевыми условиями полулинейной гиперболической системы.

В классе линейно-управляемых нелинейных по состоянию дифференциальных систем A.C. Булдаевым был предложен новый подход [22] к нелокальному улучшению, в котором получение точной формулы приращения основывается на введении специальной дифференциально-алгебраической сопряженной системы. Диссертационное исследование посвящено развитию и обобщению данного подхода на классы нелинейных (по переменным состояния и управления) задач оптимального управления в непрерывных и дискретных системах, включая задачи оптимизации управляющих параметров. Реализация развиваемого подхода связана с необходимостью разрешения специальных функциональных условий улучшения в пространстве управлений. Представляется актуальной разработка вычислительной технологии на основе нелокальных методов.

Цель исследования - разработка проекционных методов нелокального улучшения управляющих функций и параметров в определенных классах нелинейных дифференциальных и дискретных систем в развитие и обобщение проекционного подхода.

Основные задачи исследования.

1. Разработка проекционных методов нелокального улучшения управляющих функций и параметров в непрерывных и дискретных задачах оптимального управления со свободным правым концом.

2. Построение итерационных алгоритмов для реализации функциональных условий улучшения в пространстве управлений. Получение условий сходимости последовательных приближений.

3. Разработка вычислительной технологии для решения рассматриваемых классов задач оптимального управления. Сравнительный анализ предложенных методов улучшения.

Методика исследования. Для разработки методов нелокального улучшения используется подход построения нестандартных формул приращения целевых функционалов без остаточных членов разложений на основе модифицированных сопряженных систем. Для построения итерационных алгоритмов решения систем условий улучшения управлений используются методы функционального анализа решения задач о неподвижной точке. Сравнительный анализ эффективности методов проводится на известных в литературе тестовых задачах и прикладных моделях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общее количество страниц -112, рисунков - 22, таблиц - 7, наименований в списке литературы - 152.

Заключение

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Разработаны проекционные методы нелокального улучшения управляющих функций и параметров в определенных классах нелинейных непрерывных и дискретных задач оптимального управления со свободным правым концом.

2. Получено новое необходимое условие оптимальности управляющих функций, усиливающее принцип максимума в рассматриваемом классе задач оптимального управления.

3. Построены итерационные алгоритмы для решения системы условий улучшения в пространстве управлений. Получены условия сходимости. Проведен сранительный анализ предложенных методов нелокального улучшения с известными методами в вычислительных экспериментах.

Научная новизна. Новыми являются:

1) разработанные проекционные методы нелокального улучшения в классах нелинейных систем;

2) необходимое условие оптимальности, усиленное по сравнению с дифференциальным принципом максимума в рассматриваемом классе задач оптимального управления;

3) итерационные алгоритмы для реализации операторных условий улучшения управлений и условия сходимости этих алгоритмов;

4) результаты численного исследования сравнительной эффективности новых методов улучшения и приложений для аппроксимации множеств достижимости.

Теоретическая ценность и практическая значимость. Полученные результаты вносят определенный вклад в теорию методов решения классов нелинейных задач оптимального управления. Разработанный' подход может быть использован для анализа более сложных классов нелинейных задач оптимального управления. Практическая значимость новых методов улучшения обуславливается проиллюстрированной высокой сравнительной эффективностью и возможностью улучшения управлений, удовлетворяющих принципу максимума. Полученные в диссертации методы могут быть использованы для решения прикладных нелинейных задач оптимального управления, а также в учебном процессе для студентов математических специальностей.

Апробация работы. Основные результаты представлены автором на следующих научных мероприятиях:

- семинары, конференции преподавателей Института математики и информатики ФБГОУ ВПО «Бурятский государственный университет» (г. Улан-Удэ, 2007 - 2011);

- IX Международная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», посвященная 105-летию со дня рождения Н.Г. Четаева (г. Иркутск, 2007);

- I, II, III Всероссийские традиционные молодежные летние школы «Управление, информация и оптимизация» (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН; г. Переславль-Залесский, 2009, 2010; п. Яропо-лец, 2011);

- Молодежный симпозиум с международным участием «Теория управления: новые методы и приложения» (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2009);

- семинары Исследовательских центров процессов управления и системного анализа Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН (г. Переславль-Залесский, 2008, 2010, 2011);

- V Международный симпозиум «Обобщенные постановки и решения задач управления» (Монголия, г. Улан-Батор, 2010);

- III Международная конференция «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (г. Улан-Удэ - оз. Байкал, 2010);

- Российский семинар «Приближенные методы оптимального управления в приложении к квантовым системам» (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2010);

- Школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях» (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, 2010);

- семинар отделения 2 «Методы управления и исследования операций» Института динамики систем и теории управления СО РАН (г. Иркутск, 2011).

Результаты представлены в отчетах по проектам РФФИ 09-01-90203-Монга, 08-01-00945-а. В 2009, 2010 гг. диссертантом выиграны гранты 09-01-16054-мобзрос, 10-01-09373-мобз, 10-01-1601б-мобзрос по программе «Мобильность молодых ученых» РФФИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 20 работ, включая статьи в журналах, в трудах конференций, школ. Основными являются публикации [27, 93, 96, 125, 97, 91, 92, 94]. Статьи [27, 93, 96, 125, 97] представлены в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично соискателем. Личный вклад соискателя состоит в том, что известный подход к нелокальному улучшению распространен на новые классы нелинейных (по переменным состояния и управления) задач оптимизации управляющих функций и параметров дифференциальных и дискретных систем. Диссертантом разработаны проекционные методы нелокального улучшения, построены итерационные алгоритмы реализации условий улучшения и получены определенные условия сходимости последовательных приближений, исследована сравнительная эффективность новых методов улучшения, изучены вопросы приложения в схемах аппроксимации множеств достижимости нелинейных управляемых систем, создана программно-алгоритмическая реализация новых методов улучшения и проведены вычислительные эксперименты.

В совместной статье [27] соискателем получены точная формула приращения и условие улучшения с обобщенным проекционным отображением, показано свойство улучшения, сформулировано условие оптимальности, приведен пример улучшения экстремального управления. В совместных публикациях [97, 125] диссертанту принадлежит разработка обозначенного А.И. Тятюшкиным подхода к аппроксимации множеств достижимости с применением методов улучшения.

1. Аввакумов С.Н., Киселев Ю.Н., Орлов М.В. Методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина // Тр. Матем. ин-та РАН. 1995. Т. 211. С. 3-31.

2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I, II // 'Автомат, и телемех. 1974. № 7, с. 33 47. № 8, с. 39 - 61.

3. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах MathCAD 12, MATLAB 7, Maple 9. М.: НТ-Пресс, 2006. 496 с.

4. Антипин A.C. Об оценках скорости сходимости метода проекции градиента // Изв. вузов. Матем. 1995. № 6. С. 16-24.

5. Антоник В.Г., Срочко В.А. Метод нелокального улучшения экстремальных управлений в задаче на максимум нормы конечного состояния // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. № 5. С. 791-804.

6. Аргучинцев A.B., Поплевко В.П. Оптимальное управление начальными условиями канонической гиперболической системы первого порядка на основе нестандартных формул приращения // Изв. вузов. Матем. 2008. № 1. С. 3-10.

7. Аргучинцев A.B., Дыхта В.А., Срочко В.А. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума // Изв. вузов. Матем. 2009. № 1. С. 3-43.

8. Арутюнов A.B., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. М.: Факториал Пресс, 2006. 144 с.

9. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин A.A., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990. 319 с.

10. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 615 с.

11. Ащепков Л.Т., Новосельский A.B., Тятюшкин А.И. Идентификация динамических систем как задача управления параметрами // Автомат, и телемех. 1975. № 3. С. 178-182.

12. Бартеньев О.В. Современный Фортран. 4-е изд. М.: Диалог-МИФИ, 2005. 560 с.

13. Батурин В.А., Лемперт A.A., Урбанович Д.Е. Программная система идентификации динамических моделей // Матем. моделирование. 2004. Т. 16. № 6. С. 110-113.

14. Батурин В.А., Малтугуева Н.С. Метод улучшения второго порядка для решения задач оптимального управления логико-динамическими системами // Автомат, и телемех. 2011. № 4. С. 144-154.

15. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Методы улучшения второго порядка для задач оптимального управления // Изв. РАН. Теория и системы управл. 1997. № 3. С. 99-103.

16. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, 1997. 175 с.

17. Батурина О.В. Билинейные динамические системы: исследование итеративных методов оптимизации // Пробл. управл. 2010. № 5. С. 22-27.

18. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 6-е изд. М.: БИНОМ, 2008. 636 с.

19. Брайсон Д., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1972. 544 с.

20. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1975. 172 с.

21. Булатов A.B., Кротов В.Ф. О численном решении линейно-квадратичной задачи оптимального управления двойственным методом // Автомат, и телемех. 2009. № 7. С. 3-14.

22. Булдаев A.C. Новый подход к оптимизации управляемых систем на основе краевых задач // Автомат, и телемех. 2011. № 6. С. 87-94.

23. Булдаев A.C. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Изд-во Бурятск. гос. ун-та, 2008. 256 с.

24. Булдаев A.C. Нелокальное улучшение управлений в системах с запаздываниями // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 2. С. 176-185.

25. Булдаев A.C. Проекционные процедуры нелокального улучшения линейно управляемых процессов // Изв. вузов. Матем. 2004. № 1. С. 18-24.

26. Булдаев A.C. Процедуры нелокального улучшения управления в квадратичных по состоянию задачах управления // Изв. РАН. Теория и системы управл. 2003. № 2. С. 76-85.

27. Булдаев A.C., Моржин О.В. Модификация метода проекций для улучшения нелинейных управлений // Вестник Бурятского гос. ун-та. Вып. 9: Матем. и информатика. 2010. С. 10-17.

28. Булдаев A.C., Моржин О.В. Улучшение управлений в нелинейных системах на основе краевых задач // Изв. Иркутского гос. ун-та. Матем. 2009. Т. 2. № 1. С. 94-107.

29. Булдаев A.C., Трунин Д.О. Метод нелокального улучшения в полиномиальных задачах оптимального управления с терминальными ограничениями // Управл. большими системами. 2008. Вып. 22. С. 51-69.

30. Булдаев A.C., Трунин Д.О. Нелокальное улучшение управлений в линейных по состоянию системах с терминальными ограничениями // Автомат. и телемех. 2009. № 5. С. 7-12.

31. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 476 с.

32. Вайсборд Э.М. Метод последовательного проектирования для приближенного решения одной задачи оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. № 6. С. 971-980.

33. Васильев O.B. Лекции по методам оптимизации. Иркутск: Изд-во Иркутск. ун-та, 1994. 344 с.

34. Васильев О.В., Аргучинцев A.B. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Физматлит, 1999. 208 с.

35. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вы-числ. матем. и матем. физ. 1981. № 6. С. 1376-1384.

36. Васильев С.Н., Жерлов А.К., Федосов Е.А., Федунов Б.Е. Интеллектное управление динамическими системами. М.: Физматлит, 2000. 352 с.

37. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал-Пресс, 2002. 824 с.

38. Васильев Ф.П., Хорошилова Е.В., Антипин A.C. Экстраградиентный метод поиска седловой точки в задаче оптимального управления // Вестник Московского ун-та. Сер. 15: Вычисл. матем. и киберн. 2010. Я2 3. С. 18-22.

39. Величенко В.В. Численный метод решения задач оптимального управления // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т. 6. № 4. С. 635-647.

40. Габасов Р. К теории необходимых условий оптимальности особых управлений // Докл. АН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 300-302.

41. Габасов Р. К теории оптимальных процессов в дискретных системах // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1968. Т. 8. № 4. С. 780-796.

42. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

43. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимального управления // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1976. С. 133-259.

44. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Оптимальное управление гибридными системами // Изв. РАН. Теория и системы управл. 2010. № 6. С. 42-52.

45. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Поясок Е.И. Оптимальное управление объектом при его наведении на подвижную цель в условиях неопределенности // Автомат, и телемех. 2011. № 3. С. 15-35.