автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы математического моделирования текстуры поликристаллов

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ВДЕРНЫХ ИССЩОВАНИЙ ц Лаборатория вычислительной техники и автоматизации

На правах рукописи

САВЕЛОВА Татьяна Ивановна

УДК 935.4:517.958

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕКСТУРЫ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования - и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 1991

( ? *

Работа выполнена в Московском Ордена Трудового Красного Знамени инженерно-физическом институте.

.Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор доктор физико-математических

наук, профессор доктор технических наук, ' профессор

Федор Павлович .

ВАСИЛЬЕВ Владимир Григорьевич

КАХАНЬКОВ Борис Константинович СОКОЛОВ

Ведущая организация - Институт математики СО АН СССР

Защита состоится

/Ю^ 1991г. в часов

на заседании специализированного Совета Д 047.01.04 при лаборатории вычислительной техники и автоматизации СИЯИ по адресу: 341960 Дубна Московской об. ЛВТА ОШ

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке ОИШ. Автореферат разослан " у/. -03- _ 1991 года

|УченыЯ секретарь ¡специализированного совета кандидат физико-математических наук

3.К.Иванченко

! " озЩ'шжтшстш РАБОШ .

V . . , . ' :•..■ ■ .

; Актуальность и современное состояние проблемы. Актуальность направления исследования обусловлена развитием изучения влияния текстуры поликристаллических материалов на анизотропию его свойств. Наиболее полное количественное описание текстуры возможно с помощью функции распределения зерен по ориентация!» (ФРО) .ФРО не поддается прямому измерению,'экспериментально могут быть получены лишь полюсные фигуры (ПФ). Применение ФРО в физике твердого тела открывает принципиально новые пути исследования текстур поликристаллов, С помощью ФРО появляются перспективы количественного анализа механизмов процесса деформации материалов и их обработки. Кроме того, исследования ФРО позволяют в ряде случаев предложить способы и режимы обработки материалов, направленных на устранение неблагоприятной и на создание желательной текстуры.

Аналитический подход к описанию текстуры материалов все более применяется в физике металлов, чему во многом способствует усо-першенствование аппаратуры для текстурного анализа (в том числе рентгенографической, нейтронографической и ультразвуковой), позволяющее вводить измеряемые величины непосредственно в ЭВМ. Математическим методам описания текстур посщено большое количество работ, особенно за рубежом (полная библиография содержит более трехсот наименований).

В 1921г. ВеФер Ф.З. предложил описывать текстуру с помощью полюсных фигур (Г1Ф). Сначала ПФ определялись рентгеновским фотометодом. С появлением рентгеновского дифрактометра возросли возможности получения количественных полюсных фигур. Однако анализ ПФ по-прежнему сводился к определению нескольких ориентировок.

Новый этап начался в 1960г., когда. Виглин A.C. предложил описывать текстуру с помощью функции распределения зерен по ориента-цйям. К сожалению, ФРО не поддается обычно прямому измерению. Измерить можно только полюсные фигуры. Это приводит к основной задаче количественного текстурного анализа: вычислить функции распределения зерен по ориентация«, зная конечное число полюсных фигур, полученных из эксперимента.

В работах Роу Р.Ж. и Бунте Г.Ж. в 1965г. был предложен полу-чиешй широкое распространение метод вычисления ФРО, связанный

с разложением функции распределения зерен по ориентация* в ряд по обобщенным шаровый функциям и с разложением полюсных Фигур в ряд по сферическим функциям. Однако многочисленные попытки вы- : числить ФРО методом Роу-Бунге часто приводили к неправдоподобным результатам. Причины этого были вскрыты Маттхизом 3. в 1979г., который обнаружил неединственность рутения данной задачи. Двже-если известны все теоретически возможные Ш (бесчисленное множество), то можно получить лишь четные коэффициенты разложения ФРО в ряд по обобщенным шаровым функциям.

В настояцее время известны как метода получения "четной" части ФРО (метод Роу-Бунге, векторный метод Руэро-Баро, метод Имхо-j фа Ж. и др.), так и методы получения "полной" ФРО (метод "нуль- : i области" Букге Г.Ж., итерационный метод Ывттхиза 3., метод ! "квадратичной форшиВш Хута Р. и др.).

Вопросам исследования корректности решения задачи восстановления ФРО по Ш с помощью стандартных функций посвящены многие работы Ыаттхиза и его учеников.

Хотя вопросам получения ФРО по Ш, исследованию корректности исходной задачи посвящено много работ, в том числе монографии (Бунге Г.В. 1969г., 1982г., Маттхиз 3., Винэл Г.В., Хеллинг К. 1967, 1968, 1989гг.), но эта задача и в настоящее время далека от завершения. Запросы практического использования ФРО в области физики твердого тела требуют создания эффективного устойчивого метода получения функции распределения зерен по ориентация».

Цели работы.

I. Исследование вопросов корректности решения задачи восстановления функции распределения зерен по ориентация« поликристаллов по 1 экспериментально измеренным полюсным фигурам. -

| 2. Определение и зачисление гауссовских распределений на группе

' 50СЗ) и сфере 5г $ изучение их свойств.

I 3. Создание методов корректного решения задачи восстановления 1 • №0 по

i . Научная новизна..

! Степень новизны результатов определяется:

| - исследованием на корректность задачи восстановления функции распределения зерен по сриентацияы поли!фисталлов по полюсным фигурам; ' •

г нахождением областей зависимостей полюсных фигур путем корректного решения ультрагиперболических уравнений. Последние получены из выведенных на основе изоморфизма 50(3) ~ 50(%)/{£<} ~ ЯР3 формул обращения для вычисления ФРО по ПФ;

: - получением гауссовских распределений на 50(3) и 5г общего вида, при этом гауссовские распределения на группе 50(3) удовлетворяют центральной предельной теореме; - созданием новых методов решения задачи восстановления ФРО по .• Ш. .

Практическая и научная ценность.

Разработанные в диссертации методы и основанные на «их алгоритмы описания текстуры поликристаллов использованы для создания оделенных алгоритмов и програш обработки экспериментальных данных в виде полюсных фигур, полученных рентгеновским или нейтронным способом, с целью получения ФРО для материалов гексагональной и кубической симметрии (бериллий, цирконий, медь, сталь и т.д.). Эти методы могут быть применены для создания численных алгоритмов и программ для вычисления ФРО по ПФ для поликристаллов других симметрии, а также в геофизике для различных геологических образцов.

Разработанные в диссертации методы нахождения областей зависимостей полюсных фигур могут бить использованы для вычисления значений полных ПФ и обратных ПФ по измеренным экспериментально полюсным фигурам, а также для уменьшения погрешностей измерения ПФ с целью получения согласованных между собой,ПФ, отвечающих-различным кристаллографическим направлениям.

Разработанные в диссертации методы излучения ФРО по ПФ с помощью круговых гауссовских распределений для материалов гексагональной симметрии реализованы в программы,. внедренные в ХФТИ АН УССР. ' , ; . : ■

■ Полученные в работе гауссовские распределения на группе 50(3) и сфере 5г могут быть использованы также в других областях науки и техники.

Апробация работы и публикации.

Результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзных конференциях и семинарах: Всесоюзных конференциях по методам решения некорректно поставленных задач во Фрунзе (1979с), Самар-

¡канде (1985г.)» Саратове (1985г.), Красноярске (1966г.); на | всесоюзных конференциях по текстурам и рекристаллизации в металг яах и сплавах в Горьком (1983г.), Уфе (1967г.), на школах-семи-| ¡нарах по количественным методам анализа текстуры в Черноголовке; (1962г.), Сверцловсхе (1989г.), а также на научных конференциях в ШИ и научных семинарах в ИПК АН СССР, ВКК МГУ, ВЦ МГУ, № -I ро АН СССР (Новосибирск),. Ш. Ур О А!' СССР (Свердловск), СИШ 1 -(Дубна) и в других организациях.

| Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения, заключения. Работа содержит 226 страницы, • зключая 55 рисунков и список литературы из161 наименований. | Автор защищает: !

I. Формулы обращения, для вычисления четной части ФРО по ПФ.' | | Метода вычисления областей зависимостей прямых и* обратных ;

| полюсных фигур путем решения ультрагиперболических уравнений,

р. Определение и вычисление гауссовских распределений на группе 50(3) и сфере 51 .

(4. Методы корректного решения задачи восстановления ФРО по ПФ Путем аппроксимации функции распределения зерен по ориентация»! Поликристаллов круговыми гауссовскими распределениями на й гауссовскими распределениями канонического вида на 5* .. Б. Метода регуляризации интегральных уравнений 1-го рода в классе обобщенных функций. |

СОДЕЕйАНИЕ РАБОТЫ |

Во вводной части работы содержится постановка обратной зада-! и кристаллофизики, состоящей в восстановлении Функции распре- ; деления зерен по ориентации поликрис^лов по найденным из эксперимента полюсным фигурам. Приведен краткий обзор существую. щих методов решения задачи. ■ В главе I дана математическая постановка, задачи восстановле- '. иия функции распределения зерен по ориентации! поликристаллов, ( «сследуются вопросы корректности ее решения. . !

Решение данной задачи сводится к резению интегрального уравнения на группе 5013) : |

где //£; есть ФРО, у- '[а,/, ?]е$0(3) О* л ,

О-/ £ 5£. - углы Эйлера вращения. В уравнении (I) ГКБ теет А-^&У кристаллографическое направление, - направление в пространстве /Р^ , О ¿Ф , «, О- в » У ^ Л" - сферические координаты вектороп А, ^ е 5г .

Пусть —пространство квадратично интегрируемых

функций на группе 50(3) . В этом случае можно разло-

жить в ряд по обобщенным шаровым функциям ( Т^ф)} »

С- » 0,1,2,..., ггцп, =, , £ . Рассмотрим

разложение ^д-) = ^/д-)-г/г(д-) , 2?г ,

» , где /// (соответсвенно

- подпространство, натянутое на четные (нечетные) шаровые функции. Тогда £ъ1д-)*7йл>Р . ■

На основе изоморфизмов 50(3)~ 5и(2)/[ц] ~ КР , где группа унитарных униыодулярных матриц второго порядка, ШрЗ трехмерное проективное пространство, с помощь^обобще-ния преобразования Радона из уравнения (I) получено бесконечно ¡того формул обращения. В качестве следствия отсюда получаем, что функция Р^ (у-) является суммой решений двух ультрагиперболических уравнений.. у

При отображении 50(3) семейства кривых ± Д ,

50(3) > >1, ^ переходят в прямые х ~ =arí +8~ ,

/ У'

Г Уз +

где

&>*{А*, Ая, Аз1 ,>*1'¥и У*/

единичные векторы в № * Ф т , параметр Ш+ , (Хи ^ . Тогда уравнение (I) примет вид

РкМ ê+) -tfit,

}(&,£) =/ ft** +iidt.

-CO

»

Рассмотрим задачу построения фо^ул обращения в случае, когда известны интегралы от функции по прямым, используя обобщения преобразования Радона.

Пусть R3 = B®L , причем £ базис в Е , , базис в L . Имеем разложение - е ra,fet г-а^^ц ,

êfsj - steT + s*.e-z .Обозначим Ff ffcumj, ¿M

fi = ), S'fSi, SzJ " . Для любой ТОЧКИ Х- ( X, , Xz, , Xj ) положим £ , (zs,zs>)£ù , s, = хх -a,, xs ,

J>" -* JA^ xj . Рассмотрим прямые вида a,(/?-r/i£lt*- Sis) , 5=Siâ, 3:1 » /¿/^ .параметр

/foi t., C-fQ). • Пусть dfC,.Ds)=fc1^ rc^J.

Теорема Г.1. Пусть преобразование Фурье функции. ffx) , X*R3 - абсолютно интегрируемая функция. Тогда для решения уравнения (2) справедливы формулы обращения:

/,/х) ^¿¿{С, s*)rF(Û~i-fcC, slJcL/c,

где *x'St***l

В главе П используется решение системы двух ультрагиперболических уравнений для нахождения областей зависимостей полюсных фигур, как прямых, так и обратных.

Для m =F(9, е, 2, *) • где &={<Р, Р},

р £ <Р , 2 * » О - О » У £ Я ~ сферические координаты L , ^ , получено ультрагип^болическое уравнение

эг /-z*- а^

Далее в главе П рассматривается решение характеристической задачи Кош для ультрагиперболического уравнения

а, /V

С и*..-. л: ^ , т

где и -(¿(з; г>), Х=(хь Z Х*.,

/п, п-г'

и,(хи..., ль, г,,,.. /27 Ъ -27 а*, г»,

¿-1 ¿=)

Теорема 2.3. Если функция /¿/, удовлетворяющая уравнению (3), четная по Хъ , задана в виде (4), то и/я; г,) однозначно восстанавливается внутри,- характеристического конуса ^ 2. я,

777 ¿у - ¿77 .

Кроме того, рассматривается задача продолжения решения ультра-гкперболического уравнения с заданного многообразия в более широкую область.

Теорема 2.5. Если функция и/х, г) , четная по переменной 2/2. - » Удовлетворяет уравнению (3) и задана при

¿7 Гх; 4 а* , 2?/адг-*' , то она

Однозначно восстанавливается4й'конусе

{тГ^х; -ъТ +-/27/21 -¿Г * а.

¿=1 ' ¿-т

Результаты теоремы 2.5 обобщаются с помощью ультралоренцовых преобразований. Предложены численные'алгоритмы решения характеристической задачи Копи и задачи продолжения решений для ультрагиперболических уравнений (3).

Получение результаты имеют приложения к нахождений областей зависимостей Ш.

Функция Р/1; /у) является суммой решений двух ультрагиперболических уравнений

.где

Уз ^Aj Уз + бз . jljftj

При этой имеем V* + V .

Применяя результаты о продолжении решения ультрагиперболических уравнений и ультралоренцовы преобразования к уравнениям (5), получаем различные варианты вычисления областей зависимостей прямых ( к: фиксировано) и обратных ( у- фиксировано) полосных фигур.

Глава И посвящена гауссовским распределениям на группе , 50(3) и двумерной сфере 5* .

Определение I. Распределение вероятностей <lju,(g.) на 50(3) гауссовское, если ¿/ь(ф) безгранично делимо, не является идемпотентной мерой и может быть представлено в виде:

/ 5 Ф/ь/р = tap { Е dij А £А* У £ <¿1А (6)

, Vs' ,

где Тр, представление группы, А1. - инфинитезимальные операторы, (oily) - неотрицательно определенная симметричная матрица третьего порядка, аС^ действительные числа ( I « 1,2,3),

dp - инвариантная мера на группе SOU) . Сформулирована центральная предельная теорема Р.К.Партасарати, которая имеет место для гауссовского распределения (ГР), указаны способы вычисления ГР и доказаны некоторые его свойства - найден вид коэффициентов разложения для так называемых канонических гауссовских распределений, когда в соотношении (6) ¿i =0 , ¿¿у -О ( I , / я 1,2,3), дана оценка скорости сходимости ряда Фурье для кругового гауссовского распределения (КГР), доказана теорема о свертке и т.д.

Из соотношения (6) получаем для КГР при dti - -¿гл..» ¿и = = , «Ci-О , eiiJsO . (/./' » I»2,3) выражение:

¿/и?) а ff?) <tf > ; ''ta) » П Ы+1)е«р1-Ш*хиг} ¿titMt (7>

: где « catßh)a&C{4+?)/ih ieCo. tSJ, s£ ^¿¿ï.

Гауссовскив распределения на 50(3) индуцирует гауссовские распределения на 5г .

Определение 2. Гауссовское распределение на 5а определяется из соотношения (б) при oLiJ = 0, oLl -ût где с или равны 3, когда нет зависимости от у

Если cLjjj(Ç) = fiÇ)dy- - гауссовское распределение на 50(3) » удовлетворяющее соотношению (б) при ¿¿у = 0, =0, ¿ или/ равно 3, ¿2 2} е 50(3) , £ об , ,

± Я * то гауссовское распределение J(J.,ß) на 5Z получаем следующим образом:

iS

JU,ß)iinßcUdfi - (3V%) *f[ f/ftwvßcUcißJd? -£*О

7~nuit?) - обобщенные шаровые фикции. ■ При этом дуговое гауссовское распределение на 5г имеет вид: ,

со "...

. ffß) =Z3 (2t*i)t>rp{-ß(iti)S%} Ре(са/3), (6)

l-o '.'•-•

где Pdfc^ß) полиномы Ленандра. п.

Гауссовские распределения на 5 в

могут

быть'получены в качестве фундаментального решения уравнения параболического типа на сфере Sл- х . Рассмотрим уравнение

J-S- ¿.(йС^Щ ■ (9)

где / £70, Ш,

Определение 3. Фундаментальным решением уравнения (9) * fn-1 (А И г (и,£1, ¿с , называется решение,

обладающее свойствами: я:

Ь-,!/,*1 > = ™ I*

о

Фундаментальное решение уравнения (9) имеет вид

г . . Г(£+1) Г(2р) 2

многочлены Гегенбауэра, Р ( <£ , / , у , иг ) - гипергеометрическая функция. Из (10) как частные случаи получаем функции (8) при Л- = 3 и (7) при п = 4.

В главе 1У рассматриваются методы восстановления ФРО по ПФ путем аппроксимации гауссовскими распределениями на 5013)

Из всех гауссовских распределений на группе 50(3) наиболее простой вид имеют КГР (7), остальные гауссовские распределения могут быть получены лишь численно из соотношения (6). Поэтому наиболее простой алгоритм .решения задачи получаем при аппрок-'симации ФРО круговыми гауссоискими распределениями. Алго- • ритм состоит из трех атапов. г ^

Шаг I. Определяем количество М КГР / ( р , , ¿'еа ) и положения их "центров" фех. , к = 1,2,..., /И ;

Шаг 2. Представляет ФРО в виде суммы КГР с неизвестными параметрами - "весами" Д& и "полуширинами" ¿'ел :

н?) = Е Д& р*. (II)

л-г

Шаг 3. Находим параметры , ¿'ел , к я 1,2,..., /V ,

сравнивая ПФ от ФРО - //^2) вида (II) с экспериментально измеренными ПФ.

Шаг I решается методом отдельных ориентировок, если есть •экспериментально измеренные на которых положения максимумов

Р?и (¥) не перекрываются между собой (такие алгоритмы разработаны для случаев гексагональной, кубической, орторомбичес-кой симметрии поликристаллов), либо из физических соображений о количестве компонент текстуры и положении их "центров".

На основе данного алгоритма составлены программы для вычисления ФРО по ПФ для материалов гексагональной и кубической симметрии.

Учитывая возможности современных измерений ПФ (наличие погрешностей 5-50%, присутствие примесей в образце, дефектов в кристаллах, неоднородность материала и т.д.), нам представляется, что решение задачи восстановления ФРО по Г© путем аппроксимации КГР является достаточно простым и обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами. Отметим некоторые из них:

1. Сведение исходной задачи к нехождению сравнительно небольшого количества параметров.

2. Решение данной задачи является единственным в классе функций, лредставимых в виде суммы заданного числа КГР с известными "центрами".

3. Решение задачи устойчиво относительно погрешностей измерений ПФ (вычисления проводились для уровня ошибок 5-10$ в окрестности максимума ФРО).

4. Решение задачи в виде суммы КГР наглядно и позволяет представлять ФРО в привычном для эксперименаторов виде как совокупность основных ориентации и рассеяний 'вокруг них (т.е. положения главных максимумов и аналога дисперсии для соответствующих КГР).

5. Данная функция //£) неотрицательна й не имеет ложных максимумов в случае, когда на ПФ ш можея "разделить" положения

"центров".

Кроме того, дан алгоритм аппроксимации ФРО гауссовскими распределениями канонического вида. В этом случае задача определения параметров ГР является нелинейной. Для поликристаллов гексагональной симметрии указаны случаи единственного решения-задачи и даны численные алгоритмы нахождения трех параметров для гауссовского распределения канонического вида по одной полюсной Фигуре.

Глава У посвящена методам регуляризации решения интегральных уравнений в классе обобщенных функций, в том числе задачи сум-. шрования рядов Фурье и дифференцирования функции, известной с

погрешностью, включая дифференцирование дробного порядка. Эти г задачи возникают в главах 1-1У настоящей работы. /

Обозначим через 5' пространство обобщенных функций. Рассмотрим уравнение . +&<,

АхШ г &(t)*x(í! ~ J ¿H-i')z/í')c¿¿'~f(í), (I2)

где_ Ш , Ш.) . , . Пусть ЬШ =

а F '[(РГАШ])'1}£ S' , где F(F~') преобразование (обратное) Фурье. Будем считать, что при наличии точных данных уравнение (12) имеет единственное решение . Пусть

вместо функции f(t) имеем / fJíírf£ 5 , причем

fftt) -> ffíj ПРИ ^О , О^сГ^чГо , в S' , т.е. ( ff, V) -»■//, У! ПРИ для любой функции ,

где S - множество основных функций. Пусть {Щь[í¡Je St О cío ' - 1КОе< чт0 ^ (íj при сС^о . Положим

х£ш = fstt) *{Í(i)*ЪШ}, (I3a)

= {Ш * Ш, (136)

соответственно тогда, когда

а) функционалы klt¡* Vu.lt) финитны при d-. ;

б) функционалы fftt) * финитны при - О ¿¿¿¿о , О ¿ J~¿J~c и сосредоточены на одном промежутке.

Теорема 5.1. Семейство приближенных регуляризованных решений /xf/tíj -* xítí в s> nP4 л.^^О , где

вычисляется по формуле (13а), или (136) в случае выполнений условия а) или б).

> Теорема 5.2. Если выполнено условие а) или б), // и ) ИLP , П Zftí*ntft}f¿t -70 при с£, <Г^0 , ■

где t ff[¿) -ШИLo, » f/p = f/$,1-f/z-J. . * ,

у, ъ 7, J. , то xf(i) хш в Lip- норме. Пусть x(i)¿ ¿pfo, 23ZJ ., f(i) & üq.Co,2ZJ периодичны с периодом ZSí -, é(i) = .

Следствие 5.3. При §¿Г1*'!}^q , c¿ , ¿~-tO , имеем

в норме

"LpCo.zXJ , \ где iUW-fruity*? ,

i/рЩТУг-! \ tijL , /¿-¿"ffi^i"

i Приведенные методы регуляризации распространяются на нелинейные уравнения, а также на случай Функции многих переменных. ' Для класса интегральных уравнений типа свертки со случайными ошибками в ядре и правой части решена задача оптимальной регуляризации. i

Получена связь метода регуляризации А.Н.Тихонова для уравне-j •шй типа свертки с ядрами определенных видов с решением соответствующих им краевых задач. .

' В приложении приведены численные алгоритмы методов аппрокси-кации функции распределения зерен по ориентациям S" - функциями и круговыми гауссовскими распределениями (7) на группе 50(3) для поликристаллических материалов гексагональной и кубической симметрии, даны блок-схемы программ для реализации этих методов на ЭВМ.

| ФРО поликристалла может быть представлено в виде Í

I' f(g) *t (14) j

i . **/ . :

где ЛкУО , ) - еГ- функция с носителем в S0(3) j

' л = 1,2,..., /V . Показано, что ФРО вида (14) определяется однозначто по одной полюсной фигуре {iOIOj для поликристаллов j гексагональной симметрии, {I00j (или [llOj или /III})- для ; материалов кубической симметрии. На практике в связи с ошибками I измерений этот метод может быть использован при наличии неболь- j шого количества зерен в образце U* 5-40 . Метод аппроксимаций : (Г- функциями, применяется для нахоядения количества максимумов 1 ФРО и их координат, если они не перекрываются между собой в j пределах.погрешностей измерений, при решении исходной задачи ¡ методом аппроксимации ФРО круговыми гауссовскими распределениями. Приведены расчетные формулы для получения ФРО путем аппроксимации КГР. По численным алгоритмам составлены программы для j роликристаллов гексагональной и кубической симметрия на языке 1 ФОРТРАН для ЭВМ серии СЫ. Модельные расчеты делались для группы j монокристаллов 5-100 с разной сеткой измерений и решение прямой ;. л обратной задачи для ФРО в виде суммы одного-трех КГР. •<

По экспериментальным полюсным фигурам вычислялась ФРО методом- •

аппроксимации КПР для случаев аксиальной текстуры и текстуры прокатки бериллия, сплава титана с ниобием, стали, меди. Для -расчета ФРО использовались одна-две полюсные бигуры, полученные ; ¡рентгеновским способом или методом дифракции нейтронов. . | Отметим, что при вычислении ФРО методом Роу-Бунге для поликристаллов гексагональной и кубической симметрия'требуется не !менее четырех Ш для получения коэффициентов разложения 5Р0 по ¡обобщенным шаровым функциям до С> 22. Метод аппроксимации уРО круговыми гауссовскими распределениями применим для материалов с любой кристаллографической симметрией, при этом нужно | ;иметь не более трех Ш>. '

! В заключении приведены основное результаты,полученные аьтором: : I. Пользуясь изоморфизмом 50(3) ~ $и№)1{±1}~ ЯР3 , | доказано бесконечно того формул обращения для вычисления "по- | ловины" функции распределения зерен по ориентация«!. ' 2. Получены ультрагиперболические дифференциальные уравнения., для полюсных фигур, установлена корректность их решения. Полученные результаты позволяют продолжать экспериментально измеренные, неполные полюсные фигуры, а также находить области зависимостей| прямых и обрат.;кх полюсных фигур. 1

3. Определены тауесоЕСкие распределения на группе 50(3) , ] •удовлетворяющие центральной предельной теореме. Построены гаус-;' :;совские распределения на 5 ■ как "проекции" гауссовских рас- ; пределений на $0(3) . Эти -распределения могут быть использованы не только в кристаллофизике, но и в .других областях научных ; ¡исследований. Изучены свойства гауссовских распределений на ; | $0(3) и : приведение к каноническому виду, свойства коэффициентов разложения в ряд Фурье по шаровым и сферическим функ- . циям, свойства свертки, зависимость от параметров, являющихся ; ¡аналогом корреляционной матрицы и т.д. !

| •!. Предложзны методы решения задачи восстановления ФРО по Ш 1 рутем аппроксимации ее.гауссовскими распределениями на 50(3) , 1 ¡указаны классы корректности решения. Эти методы применимы для •изучения текстур в физике металлов, геофизике.. На основе этих : методов составлены программы для вычисления ФРО для материалов •; ^гексагональной и.кубической симметрия (медь, сталь, алюминий, бериллий, цирконий, титан и др.). .

- Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Об оценке скорости сходимости регуляризованных решений уравнения типа свертки с погрешностями в ядре и правой части. ЖВМ и МФ, 1976, т.16, » 5, с.1091-1101.(Совм. с Зябревыы Н.Б.).

2. Об оптимальной регуляризации операторных уравнений с погрешностями в задании оператора и правой части. ЖВМ и МФ, 1977, т.37, » б, с.1579-1583.

3. Об оптимальной регуляризации уравнений типа свертки с приближенными правой частью и ядром. ЖВМ и И, 197В, т.18,

с.218-222.

4. Об оптимальной регуляризации уравнений типа свертки со случайюали помехами в ядре и правой части. ЖВМ и 1®, 1978, т.18, № 2, с.275-283.

5. О регуляризации при помощи операторов типа Фейера. ЯВИ и МФ. 1978, т.18, № 3, с.583-588.

6. О регуляризация нелинейных интегральных уравнений типа сгертки. ЖВМ и 1Й>, 1979, т.19, № I, с.22-28.

. 7. О применении проекционных методов к решению неустойчивых задач. ЖВМ и МФ, 1979, т.19, № 5, с.1091-1096. (Совм. с Клоповой С.М.).

8. Об устойчивом суммировании рядов Фурье. ЙВМ и.МФ, 1979, т. 19, $ 4, с.830-835.

9. Об. устойчивом дифференцировании функций. ЯВМ и 1®, 1960, •т.20, № 2, с.501-505. • . •

• 10. О регуляризации уравнения.типа свертки б классе обобщенных функций. ЖВМ и МФ, 1982, т.2, » I, с.231-235.

11. О регуляризации методом усреднения некорректных задач. Всесоюзная конференция по некорректным задачам, Изд. ИЛИМ, Фрунзе, 1979, с.104-105.

12. О регуляризации линейных интегральных уравнений типа светки. Сб. Иатем. методы исследования физич.процессов. 14., . Энергоиздат, 1962, сЛ27-134.

13. О связи метода регуляризации А.Н.Тихонова для некоторых

. уравнений■типа свертки с решением краевых задач. ЖВМ и МФ, 1982, т.22, № 6, с.1316-132?..

14. О некорректности одной задачи'кристаллофизики. ЖВМ и 1983, т.23, № 4, с.922-928. (Соем. с Волковым Н.Г.).

15. О решении одной обратной задачи дифракции. Докл. АН , СССР, 1982, т.266, № 3, с.590-593.

16. О свойствах решений одной обратной задачи дифракции. Сб. Теоретико-функц.и числ. методы исследования физич. процессов, М., Энергоиэдат, 1982, с.124-128.

17. Функции распределения зерен по ориентациям и их гаус-совские приближения, Зав.лаб., 1984, т.50, № 5, с.48-52.

18. Гауссовские распределения на 50/3/ и их приложения для описания текстур. Препринт 060-86, МИФИ, М., 1986, с.24 (Совм. с Николаевым Д.И.).

19. Предисловие к русскому изданию'. В кн. Новые методы исследования текстуры поликристаллических материалов. М., Металлургия, 1985, с.10-30.

20. Формулы обращения для решения задачи восстановления функции распределения ориентации поликристаллов по полюсным фигурам и их следствия. 1У Всесоюзная конф. по текстурам и рекристаллизации в металлах и сплавах, Горький, 1983, с.231-232.

21. О приближенном решении одной обратной задачи дифракции. Всесоюзная школа-семинар по теории некорректных задач, Самар- • канд, 1983, с.192-193.

22. О единствешости решения задачи восстановления функции распределения ориентации кристаллов по полюсным фигурам. Всесоюзная школа-семинар по теории некорректных задач. Самарканд,

.1983, с.53.(совместно с Бухаровой Т.И.).

23. Восстановление полной функции распределения ориентировок. Зав.лаб., 1985, т.51, № 10, с.56-60. (Совм. с Бухаровой Т.К.)

24. Приближенное решение одной обратной задачи дифракции. ЖЕ!,1 и КФ, 1985, т.25, № 4, с.617-622 (Совм. с Бухаровой Т.И.).

25. Гауссовские приближения решения одной обратной задачи дифракции. Труды Всесоюзной школы-семинара по некорректно поставленным задачам, Саратов, 1985, с.25-26 (Совм. с Николаевым Д.И.).

26. О единственности решения одной обратной задачи дифракции. Труды Всесоюзной школы-семинар.по некорректно поставленным задачам. Саратов, 1985, с.109-110. (Совм. с Николаевым Д.И.).

27. О решении задачи восстановления функции распределения зерен по ориентациям в поликристаллах методом Роу-Бунге. Сб. Методы вычисл. физики и их приложения. Ы. Энергоатомиздат,

1966, с.52-56. (Совм. с Николаевым Д.И.).

2В. О единственности решения одной обратной задачи дифракции. Сб. Метода вычисл. физики и их приложения, М., Энергоатомиздат, 1966, с.56-60. (Совы, с Николаевым Д.И.).

29. Аппроксимация решения обратной задачи дифракции S -функциями и гауссовскими распределениями. ЖВМ и МФ, 1967, т.27, * 5, с.791-793. (Совм. с Николаевым Д.И.).

30. Использование канонических гауссовских распределений на S0/3/ для аппроксимации ФРО. У Всесоюзная конференция "Текстуры и рекристаллизация в металлах и сплавах", Уфа, 1967, ч.П, с.217.

31. Гауссовские распределения канонического вида на SO/3/. Сб. Прикладные методы вычислительной физики, U., Энергоатомиздат, 1967, с.46-50. (Совм. с Карауловым Д.А.).

32. Численное решение одной обратной задачи дифракции. Сб. Прикладные методы вычисл. физики, И., Энергоатомиздат, 1967, с.75-78. (Совм. с Николаевым Д.И.).

33. Новый метод восстановления ФРО. Аксиальная текстура. ФММ, 1968, т.65, вып.5, с.934-939. (Совм. с Бухаровой Т.И., Капчериным A.C., Николаевым Д.И., Папировым И.И., Шкуропатен-ко В.А.).

34. Применение гауссовских распределений на SO/3/ для вычисления физических свойств поликристаллов. Препринт МИФИ

. 066-87, Mi 1967, с.1-18. (Совм. с Бухаровой .Т.И.,- Николаевым Д.И.).,

35. Гауе со веков распределение зерен по ориентациям поликристаллов. Межвузовский сборник "Условно-корректные задачи математической физики и анализа". Красноярск, 1968, с.152-156.

36. Решение одной прямой и обратной задачи дифракции. Межвузовский сборник "Условно-корректные задачи матем. физики и анализе". Красноярск, 1988, с.65-68. (Совы, с Бухаровой Т.И., Николаевым Д.И.). *

37. Свойства решений одной задачи дифракции. Деп. ВИНИТИ, » 8969-В 87. реферат Изв. ВУЗ ов матем., 1988, » 4, с.88.

38. Применение метода регуляризации при обработке результатов теплофизических экспериментов. Изв." ВУЗов. Нефть и газ, 1987, » 6, с.57-62. (Совм. с Булейко В.М.).

39. Гауссовские распределения на 50/3/ и полюсные фигуры. Препринт МИФИ 090-68, 1968, с.1-22.(Совн. с Ратниковой Т.А.).

40. Описание класса корректности решения одной обратной задачи кристаллофизики. Сб. Мат. обработка и интерпретация результатов физ. экспериментов. М., Энергоатомиздат, 1969, с.16- : 19. (Совм. с Бухаровой Т.И.).

41. Аппроксимация функции распределения зерен по ориентациям с помощью гауссовских распределений. Сб. Мат. обработка и интерпретация результатов физ. экспериментов. М., Энергоатомиздат, 1989, с.54-56. (Совм. с Николаевым Д.И.).

42. Полюсные фигуры гауссовских распределений канонического вида. Сб. обработка и интерпретация результатов физ. экспериментов. М., Энергоатомиздат, 1989, с.76-81. (Совм. с Шалаевым М.А.).

43. Вычисление 10 и восстановление ФРО по ПФ для гауссовских распределений канонического вида. Зав. лаб., 1989, т.55, № 9, с.57-60.

44. Аналитическое описание текстуры с помощью гауссовских распределений. Изв. АН СССР, Металлы, 1989, №6, с. 165-169. (Совм. с Николаевым Д.И.).

45. Численный метод решения характеристической задачи Кошк для ультрагиперболических уравнений. ЖВМ и МФ, 1990, т.30, № 2, с.320-325. •

46. Восстановление гауссовских распределений канонического вида по полюсным фигурам. Сб. Мат. моделирование задач механики сплошной среды. М., Энергоатомиздат, 1969, с.61-64. (Совм. с Леиной С.Е.).

47. Гауссовские распределения на 52 . Сб. Мат. моделирование задач механики сплошной среды. 11., Энергоатомиздат, 1989, с.73-77. (Совм. с Ратниковой Т.А.).

48. Решение одной обратной задачи дифракции для монокристаллов кварца. Сб. Цатем.моделирование задач механики сплошной среды. М., Энергоатомиздат, 1969, с.77-60. (Совм. с Ратниковой Т.А.). •

Подл, к печати Заказ^^ Тираж 100 экз.

Типография МИФИ, Каширское шоссе, д.31.