автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование функции распределения ориентаций по кристаллографическим ориентировкам на группе SO(3)

14669313

На правах рукописи

СЫПЧЕНКО МАРИЯ ВЛАДИМИРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЙ ПО КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИМ ОРИЕНТИРОВКАМ НА

ГРУППЕ 80(3)

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2010

3 О СЕН 2010

004609313

Работа выполнена в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, Савелова Татьяна Ивановна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, Яковлев Виктор Борисович, Национальный исследовательский университет Московский государственный институт электронной техники

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Амочкина Татьяна Владимировна, Научно-исследовательский вычислительный центр

МГУ им. Ломоносова

Ведущая организация:

Институт металлургии и материаловедения им. A.A. Байкова РАН

Защита состоится « » октября 2010 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д212.130.09 в Национальном исследовательском ядерном университете «МИФИ» по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31, тел. 324-84-98,323-92-56.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенном печатью организации.

Автореферат разослан « 3 » сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Леонов A.C.

Общая характеристика работы

Объектом исследования диссертационной работы является количественная характеристика текстуры материала - функция распределения ориентировок поликристалла, получаемая на основе измерений отдельных кристаллографических ориентации зерен.

Актуальность работы. Большинство конструкционных материалов являются поликристаллами, и их свойства (физические, электрические, химические, оптические) зависят от текстуры, т.е. от преимущественной ориентировки зерен, образующих материал. Наиболее полно текстуру описывает функция распределения зерен по ориентациям (ФРО), которая представляет собой вероятность обнаружить в образце кристаллит с ориентацией g (g является вращением трехмерного евклидова пространства, geSO(3)). ФРО используется для решения различных научных и производственных задач: вычисления усредненных свойств материала, исследования методов обработки материала, изучения процессов формирования текстуры и т.д.

Ранее ФРО вычислялась из экспериментально полученных рентгеновским или нейтронным методом полюсных фигур (ПФ) [1—2]. В последние годы активно развиваются методы электронной микроскопии, в частности метод дифракции отраженных электронов (EBSD - Electron Backscattering Diffraction). Эти методы позволяют получать большое количество измерений (порядка 104-107) отдельных кристаллографических ориентации и предоставляют исследователям обширную информацию о текстуре материала: позволяют изучать размеры зерен, границы между зернами, углы ра-зориентации между двумя соседними зернами (т.е. разницы между соседними ориентациями). Методы электронной микроскопии получили широкое распространение, однако ряд вопросов о точности получаемых результатов остается открытым.

Перечислим некоторые такие вопросы.

1) Вопрос об определении необходимого количества зерен, измеренных с помощью метода EBSD. Во многих исследованиях, например, в [3], отмечено, что ФРО одного и того же материала, вычисленные по различным экспериментальным данным (рентгеновским ПФ и с помощью методов электронной микроскопии), могут существенно отличаться, что обусловлено различной статисти-

кой измерений. Поэтому представляется важным проведение исследования зависимости точности вычисления ФРО от объема измеренных ориентации.

2) Важен вопрос об учете остроты текстуры (аналога дисперсии распределения ориентации зерен) при выборе объема выборки, шага измерений и других параметров проведения эксперимента^, 5].

3) Достаточно новым и мало изученным является фактор статистической зависимости соседних ориентировок [6, 7] и его связь с шагом измерения.

4) Является важным вопрос о выборе порогового значения угла разориентации между соседними зернами, позволяющего определить количество, границы и формы зерен [8].

5) Из-за сильной деформации образца, а также на границах зерен не всегда можно определить ориентацию кристаллитов. Наличие таких неиндексируемых областей является одной из проблем ЕВБО метода, которую решают усреднением неопределенных ориентации по известным соседним.

Можно сказать, что развитие технологии эксперимента опережает развитие математического аппарата по обработке экспериментальных данных электронной микроскопии. Поэтому представляет интерес изучение подобных вопросов с помощью математического моделирования отдельных ориентаций и ФРО.

В связи с этим в диссертационной работе предложен метод математического моделирования ФРО, который позволил исследовать влияние различных параметров проведения эксперимента и параметров обработки данных на точность вычисления ФРО.

Целью диссертационной работы является разработка метода моделирования функции распределения ориентаций зерен поликристаллического материала, составление комплекса программ и проведение ряда исследований о влиянии различных факторов на точность вычисления ФРО.

Методы исследования. В диссертационной работе для получения отдельных ориентаций использовался специализированный метод Монте-Карло, описанный в [4]. Этот метод позволяет моделировать дискретные нормальные распределения на группе 80(3). Для вычисления ФРО по дискретным данным применялся ядерный метод [9].

В диссертационной работе решены следующие задачи:

1) разработан метод математического моделирования функции распределения ориентаций по набору отдельных ориентировок, составлен комплекс программ и проведены численные расчеты;

2) исследована зависимость точности восстановления ФРО от числовых значений параметров, а именно: объема выборки, характеристики распределения (аналога остроты текстуры);

3) показано влияние погрешности определения ориентации на результат вычисления ФРО;

4) численно определены наилучшие ядра сглаживания для ядерного метода: это ядро Епанечникова и ядро с косинусом;

5) предложено два метода определения параметра сглаживания;

6) разработана алгоритм вычисления статистической зависимости элементов выборки, проведено численное исследование влияния статистической зависимости ориентировок на результат вычисления ФРО;

7) предложен метод вычисления усредненных упругих свойств по отдельным ориентациям. По экспериментально полученным данным вычислена ФРО и проведен расчет усредненных упругих свойств поликристаллического магния.

Научная новизна работы

• Впервые наиболее полно аналитически и численно проведено математическое моделирование ФРО с помощью специализированного метода Монте-Карло вычисления дискретных нормальных распределений на группе БО(3).

• Проведено исследование точности вычисления ФРО по набору индивидуальных кристаллографических ориентаций ядерным методом в зависимости от различных параметров (объем выборки, острота текстуры, количество сверток, ядро сглаживания, параметр сглаживания).

• Проведено моделирование погрешностей измерений ориентации, исследовано их влияние на точность вычисления ФРО.

• Впервые предложена модель и алгоритм вычисления статистической зависимости ориентации, проведено исследование влияния статистической зависимости на точность вычисления ФРО.

Обоснованность и достоверность результатов работы.

Практически любую текстуру можно аппроксимировать стандартными распределениями (одним или несколькими), это показано, например, в [10]. Поэтому в диссертационной работе для моделирования набора ориентаций зерен поликристалла использовалось дискретное нормальное распределение на группе SO(3), получаемое методом Монте-Карло [4]. Для проверки достоверности получаемых результатов модельная ФРО сравнивалась с известным распределением в виде ряда по обобщенным шаровым функциям [11].

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1) научный семинар кафедры прикладной математики НИ-ЯУ МИФИ, 2007,2008,2009 и 2010 гг.;

2) международная конференция "New Achievements in Materials and Environmental Sciences", Metz, France, 7-9 ноября 2007 г.;

3) международная конференция «Inverse Problems: Modeling and Simulation», at Oludeniz, Fithiye, Turkey, May 26-30,2008 г.;

4) научный семинар в университете г. Метц (Франция), 10 июля 2008 г.;

5) международная конференция «Рентгеновское, синхро-тронное излучения, нейтроны и электроны для исследования нано-систем и материалов. Нано-био-инфо-когнитивные технологии», Москва, Россия, 16-20 ноября, 2009 г.;

6) ежегодная Научная Сессия НИЯУ МИФИ, Москва, январь 2006,2007,2008 и 2009 гг.;

7) научный семинар в Институте металлургии и материаловедения им. A.A. Байкова РАН, 27 мая 2010 г.;

8) научный семинар в Объединенном институте ядерных исследований, ЛНФ, Дубна, 8 июня 2010 г.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют подобрать некоторые параметры проведения EBSD измерений ориентации отдельных зерен, параметры вычисления ФРО по набору ориентации, помогут также оценить погрешность вычисления ФРО.

На защиту выносятся:

1) метод численного моделирования ФРО по набору отдельных ориентаций, полученных специализированным методом Монте-Карло для нормальных распределений на группе SO(3);

2) результаты расчета зависимости точности вычисления ФРО от числовых значений параметров: объем выборки и острота текстуры при использовании ядерного метода;

3) выбор ядра сглаживания для вычисления ФРО;

4) методы определения параметра сглаживания в ядерном методе;

5) алгоритм численного расчета статистической зависимости элементов выборки, результат ее влияния на точность вычисления ФРО;

6) результаты численного моделирования погрешности в элементах выборки и ее влияния на результат вычисления ФРО;

7) метод расчета упругих свойств материала на основе данных EBSD измерений.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов и заключения. Работа содержит 123 страницы, включая 35 рисунков, 11 таблиц и список литературы, состоящий из 131 наименования литературных источников.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы исследования, приводится общая характеристика диссертационной работы, а также ее структура, дается краткий обзор литературы по тематике работы.

В первом разделе приводятся основные понятия текстурного анализа, такие как: ориентация кристаллита, функция распределения ориентации, полюсная фигура. В первом разделе описываются экспериментальные методы получения ориентировок зерен поликристаллического материала: рентгеновский способ измерения полюсных фигур, нейтронный способ измерения полюсных фигур, методы электронной микроскопии измерения ориентировок отдельных зерен (SEM, ТЕМ, EBSD). Схема EBSD установки приведена на рис. 1.

В разделе представлен обзор литературы, освещающей направления научных исследований последних лет по текстурному анализу. Приведены основные методы вычисления ФРО по дискретным наборам данных: метод гистограмм, проекционный и ядерный методы. Ядерный метод восстановления ФРО по дискретному набору данных заключается в следующем [12]:

Пусть функция распределения ориентации /(g), geSO(3) представляется в виде ряда по обобщенным шаровым функциям 7T (g) [11]:

00 I

я*)=1Е сиг ы, а)

1=0 т,п=-1

вращение g задается тремя углами Эйлера: g = (ф,0,Ц/),

-Я<ф,\|/<71, 0<9<71.

По выборке из независимых ориентировок gt,...,gH, отвечающих функции распределения /(g), рассмотрим ядерную оценку

где N- объем выборки, q(t) > 0 - ядерная функция (или ядро сглаживания) с условием нормировки на группе:

Рис. 1. Схема ЕББО установки

Во втором разделе дается определение нормального распределения на группе 80(3), описывается специализированный метод Монте-Карло получения дискретных нормальных распределений на группе 80(3) [4]. Согласно этому методу каждое вращение моделируется в виде матрицы:

7=1

6а„

И

(*Г Ы"1

(4)

где г|/ - независимые реализации равномерно распределенной случайной величины на интервале [0,1], п - количество сверток, д' -параметры группы, g0, ¿1, а„ - параметры нормального распределения. Для получения одного вращения, являющегося приближенной реализацией нормально распределенной на 80(3) величины, требуется Ъп случайных равномерно распределенных на [0,1] чисел.

В диссертационной работе для проведения численных экспериментов используется центральное нормальное распределение (ЦНР), пред ставимое в следующем виде [10]:

/(0 = £(2/ + 0ехРЬ70 + 0е2}sin(z + У2)1 /sin('/2)-sin2 -, (5)

i=o 71 2

где параметр t связан с углами Эйлера соотношением cos(í/2) = cos(0/2)cos(((p + \|/)/2), -7l<t<%, е - параметр ЦНР

(аналог дисперсии) или параметр остроты текстуры. При е -» +оо получаем равномерное распределение зерен по ориентациям, при в —> 0 - монокристалл. Ряд (5) обрезается при значении

/тах = 1п 80 /е, обеспечивающем точность вычислений 80 =10-5

[10].

Для проведения численных расчетов ФРО автором составлены комплексы программ в системе аналитических вычислений Мар1е12 [13].

По критерию х2 проводится сравнение центрального нормального распределения в виде ряда по обобщенным шаровым функциям и дискретного ЦНР, полученного методом Монте-Карло. С уровнем доверия 95% гипотеза о совпадении этих распределений принимается для всех значений объема выборки (N=500, 1000, 2000, 3000) и параметра остроты текстуры (г2=2'к, к=0,...,6).

В разделе приводятся результаты численного исследования точности ядерного метода вычисления ФРО по наборам отдельных ориентировок в зависимости от числовых значений параметров: объема выборки N, параметра остроты текстуры е, количества сверток п (в том числе и для трехмерного случая). Для одномерного случая ЦНР (5) в качестве ядерной оценки используется

fAO-jrt^ jv i=i

" rt-t,Л

К j

(6)

где йЛ, - параметр сглаживания.

Результаты представлены на графиках 2-Л для значений объема выборки N=500 (рис. 2), N=1000 (рис. 3) и N=3000 (рис. 4) и параметров распределения 8=1 (рис. 2—4а), 8=1/2 (рис. 2-46) и 8=1/8 (рис. 2-4в). Параметр сглаживания принимался км= 0,1. Штриховой линией представлено точное распределение (полученное сум-

мированием ряда (5)), сплошной линией - сглаженное ядерным методом.

Можно заключить, что при уменьшении параметра остроты текстуры погрешность вычисления ФРО растет, а при увеличении объема выборки N— погрешность уменьшается.

/ Л е. {

А н 1 -74 И

-г'Ч/ V. и .•/ ' (* VI ^ \ *

| \ « у \ .!/ \ 11 II

1 К «< / / М 1 ш

ё г 41 \ рК к 1 я *? X

/ ...../ ............1................^ п 1

■3 л 1 ; а ' " ' '•' 5 г .....'г КЧ......Т .И

а б в

Рис. 2. Сравнение сглаженного (сплошная линия) и точного (штриховая линия) распределений при объеме выборки N=500 (случай а - е= 1, случай б -е=1/2, случай в - е=1/8)

л

/

Ла

т

/

1

V! /

Г

11 Л И * V ш *

Г / 1

и I * V

--------

/

ш

ш

т

.и %

к-Х '

а б в

Рис. 3. Сравнение сглаженного (сплошная линия) и точного (штриховая линия) распределений при объеме выборки N=1000 (случай а - е=1, случай б-

е=1/2, случай в- 8=1/8) / . /

-3 -2. -1

а б в

Рис. 4 Сравнение сглаженного (сплошная линия) и точного (штриховая линия) распределений при объеме выборкиN=3000 (случай а-8=1, случай б-

8=1/2, случай в - 8=1/8)

Во втором разделе рассматривается, в том числе, и трехмерный случай ЦНР. Результаты расчетов представлены в диссертационной работе на графиках и в таблицах в виде среднеквадратичного отклонения точной ФРО в виде частичной суммы ряда (5) от сглаженной.

Во втором разделе проводилось исследование влияния погрешности определения ориентировок на результат вычисления ФРО. Для этого к каждому элементу выборки добавлялась случайная погрешность, распределенная равномерно или по нормальному закону. Рассматривались выборки объемом N=500 с остротой текстуры г=2'к, к=0,...,6, вычислялась ФРО. Получено, что погрешности элементов выборки порядка до 10 % от максимума точной функции влияют на результат незначительно, а погрешности порядка 10-30 % - сильно искажают восстановленную функцию распределения.

Таким образом, во втором разделе с помощью критерия показано совпадение дискретного распределения и распределения в виде ряда по обобщенным шаровым функциям. Также получены зависимости точности вычисления ФРО от числовых значений объема выборки, остроты текстуры, количества сверток, погрешности определения ориентации.

В третьем разделе проводится численное исследование влияния ядра сглаживания на точность восстановления ФРО по набору отдельных ориентировок, рассматриваются следующие ядра

[15]:

а) гауссово ядро д1 (/) = С, ехр|-;2/2);

(7)

в) ядро Епанечникова ^ (г") = С3 (1 - /21, < I;

г) ядро Дирихле (/) = с4 ^^;

(10)

(9)

д) ядро Валле-Пуссена д5 (/) = С5

V

е) модифицированное ядро Валле-Пуссена

(И)

[ а + 1 \a + ¿J)

ж) ядро Абеля-Пуассона

. (\ + к2)2 +4к2 соэ2 2) ,7(0 = С7 1 -1-

И\ + к2)-4к2 соб2 (*/2П

(13)

з) оптимальное в метрике Ь2 ядро цор* (г), полученное в [14]:

^ (/) = ¿еГ 5т(/+1/2)г/8т(//2), / 2

(2/+1) X |с£,„|

1-0

от =

I

I

(14)

С* +

где £>с'лл - дисперсии оценки коэффициентов разложения С1тп

Для каждого ядра автором проводится вычисление наилучшего значения параметра сглаживания, путем минимизации величины:

л

ттЛ2=тш {(/(,)-/„

(15)

Результаты сглаживания для параметра распределения 8=1/2 и объема выборки N=500 представлены на рис. 5, а-з, для ядер а-з соответственно. Штриховой линией представлено точное распределение (5), сплошной линией - сглаженное ядерным методом.

/ 0.4

А

/ \

/

/ 0,41

0,3 (

!

0,2 ! о.1!

ч А

3 ' О

1 2 б

0,3

од

0,1

ТГ !0

1 2 в

/ 0,41

/ 0,4;

/ 0.4«

ОД 0=1

03|

I

0,21

|

I

0Д1

0.3; 0.2'

О,И

/.

0.4!

\

» ^ 0,1 { /

А

л

0,3!

А

0,21

0.1

11

1| / I /

ь .

ою

Рис. 5. Сравнение ФРО: точной (штриховая линия) и восстановленной ядерным методом с различными ядрами (сплошная линия), е = 1/2 (а -ядро Гаусса, б - ядро с косинусом, в - ядро Епанечникова, г - ядро Дирихле, д — ядро Вапле-Пуссена, е - модифицированное ядро Валле-Пуссена, »с - ядро Абеля-Пуассона, з - оптимальное в метрике ¿2ядро)

На численных примерах показывается, что лучшими являются: ядро Епанечникова и ядро с косинусом.

Для использования на практике автором впервые предлагается два метода вычисления параметра сглаживания. Первый метод основывается на сравнении рентгеновских или нейтронных полюсных фигур и полюсных фигур, вычисленных по отдельным ориентировкам:

Ш1П-

к

ад

где Р-ь (у) - полюсная фигура, измеренная рентгеновским или нейтронным способом [1, 10], Рц(у) - интегральная проекция ФРО на единичную сферу Б2, вычисленная на основе ядерной оценки ФРО (2).

Второй метод основывается на использовании статистики Пирсона:

т4уЙсМ£ + аП), (17)

~ N

ч'=1 ' у

где И, - количество ориентировок gi, попавших в интервал разбиения р, = (я) - вероятность попасть в интервал разбиения С,, N - объем измеренных ориентировок, О - стабилизирующий функционал. Параметр а>0 находится подбором. В таблице 1 приведены примеры вычисления параметра сглаживания по перечисленным методам для ядра Епанечникова и ядра Гаусса, как наиболее часто используемого на практике.

Таблица 1. Сравнение значений параметра сглаживания

Метод получения Ядро Гаусса Ядро Епанечникова

Через ПФ 0,275 0,420

Через статистику Пирсона 0,158 0,675

Точное значение (из сравнения с точным распределением) 0,185 0,285

Таким образом, в третьем разделе с помощью численных исследований показано, что лучшими являются ядра Епанечникова и ядро с косинусом, также предложено два метода численного определения параметра сглаживания для ядерного метода.

В четвертом разделе содержится обзор исследований статистической зависимости ориентации соседних зерен [6, 7]. Приводятся аналитические оценки математического ожидания и дисперсии ядерной оценки ФРО для статистически зависимых данных [16].

Автором впервые предлагается модель статистически зависимых ориентации. Составляется выборка из N ориентации следующим образом: г,,...,^,,...,^,...,?,,...,^, где Nl+N2+...+Nl¡ =

= ДГ, >Ы2 >...>Л^. Первые элементов независимы между

собой и получены методом Монте-Карло [4]. Следующие И2 ори-

ентаций взяты подряд из предыдущей выборки /V,, начиная с первого элемента, и добавлены в конец конструируемой выборки. Следующие Лг3 элементов взяты подряд начиная с первого элемента из выборки и т.д. Таким образом, конструируется выборка из N элементов, состоящая из нескольких подвыборок к из повторяющихся ориентаций. Такая модель означает, что более крупные зерна измеряются чаще, более мелкие - реже. Для N = 500 рассмотрено 4 примера:

а) к = Ъ, Лг, =250, =166, N3 =84;

б) к = 6, Их= 200, = 100, Л/3 = 80, N. = 60, Л/3 = 40, Л/6 = 20;

в) к = 9, Л/, = 100, Ы2 = 90, Л/3 = 80, Л/4 = 70, Ы} = 60,

Л/6 =40, Л/7 =30 , Л/, =20, Л/9 =10;

г) Л = 1, Л/= 500.

Пример в представляет собой случай с наиболее высоким уровнем статистической зависимости, в случае г - все ориентировки статистически независимы. На рис. 6, а-г приведены данные ФРО для случаев а-г соответственно. Штриховой линией показано точное распределение в виде частичной суммы ряда Фурье (5), сплошной линией - сглаженное ядерным методом. Параметр распределения 8=1/2.

В случае сильной статистической зависимости можно наблюдать возрастание ФРО в районе максимума (рис. бе), что можно объяснить тем, что одни и те же ориентировки измеряются многократно. Таким образом, получаем ухудшение результатов вычисления, что говорит о необходимости увеличивать объем выборки.

в г

Рис. 6. Сравнение точного распределения с независимыми ориентировками (штриховая линия) и сглаженного - с учетом зависимости (сплошная линия), N=500, г = 1/2 . На рисунках а-г представлены соответствующие случаи зависимости В разделе предложена модель зеренной структуры образца. Для этого интервал (0, к) разбивается на п равных частей, считается количество элементов в каждом участке и строится новая выборка, состоящая из элементов, равных серединам интервалов, повторенным столько раз, сколько элементов попало в каждый участок разбиения. Рассматривается два примера: 50 интервалов разбиения - образец более крупнозернистый и 100 - более мелкозернистый. На рис. 1а и 16 приведены данные ФРО для случаев 50, 100 интервалов разбиения соответственно. Штриховой линией показано точное распределение, сплошной линией - сглаженное ядерным методом. Параметр распределения 8=1/8.

а б

Рис. 7. Сравнение точного распределения (штриховая линия) и сглаженного - с учетом размера зерен (сплошная линия), N=500, б=1/8 (а - 50 участков разбиения, б - 100 участков разбиения

На рис. 1а график сильно изрезан в области максимума исходной функции и не достигает минимума в точке t = 0. Можно сделать вывод, что в случае крупнозернистых образцов (рис. 7а) -при наличии больших зерен в образце - необходимо увеличивать объем выборки и, соответственно, увеличивать количество измеряемых зерен.

Таким образом, в разделе получено, что наличие статистической зависимости элементов выборки приводит к возрастанию ФРО в районе максимума и требует увеличения объема выборки. Также увеличения объема выборки требует наличие крупных зерен в образце.

В пятом разделе рассматриваются особенности проведения ЕВ SD эксперимента по получению ориентировок зерен поликристаллического материала. По экспериментально полученным ориентировкам вычисляются ФРО и усредненные упругие свойства магния.

Исследование проводится на основе реальных данных ориентировок зерен поликристаллического магния и аустенитной стали. Образец Mg-0.49%Al-0.47%Ca, был получен прессованием при температуре 340°С в институте ИМЕТ им. A.A. Байкова РАН. Образец стали Fe-22%Mn-0.6%C, деформированный сдвигом при комнатной температуре, был получен в лаборатории LETAM университета г. Метц, Франция. Измерения проводились в лаборатории LETAM университета г. Метц, Франция.

Можно отметить следующие факторы, влияющие на точность вычисления ФРО:

1) Выбор шага измерения по координатам.

2) Задание порогового значения угла разориентации между соседними зернами, определяющего границы между зернами. Например, на рис. 8, а-б приведены две карты EBSD измерений одного и того же материала (сталь) с разными значениями угла разориентации (на рис. 8, а - 3° и получено 127 зерен, на рис. 8, б - 20°, получено 67 зерен). Области, закрашенные одним цветом, представляют собой отдельные зерна. Такие карты получают измерением ориентировки в каждой точке сетки, последовательно перемещаясь по поверхности образца.

I

I

I

3) Неиндексируемые области, т.е. те участки материала, ориентации которых не удалось измерить. На рис. 9 приведена карта материала стали, более темным цветом отмечены неиндексируемые участки. На практике таким участкам присваиваются ориентации, усредненные по соседним известным ориентировкам.

Рис.

4) Параметры обработки данных, например, параметр сглаживания в ядерном методе. По экспериментальным данным магния проводилось вычисление ФРО с помощью программы HKL Channel 5 system [17]. На рис. 10 приведены сечения ФРО с различными значениями параметра сглаживания. На рис. 10, а, параметр сглаживания равен 8°, на рис. 10, б, параметр сглаживания равен 4°.

Можно сказать, что каждый из указанных выше факторов оказывает влияние на точность вычисления ФРО.

а б

Рис. 8. ЕВБО карты одного и того же материала (сталь) с различными пороговыми значениями угла разориентации (а- 3°, б- 20°)

9. Неиндексируемые области (EBSD карта стали)

Phil o-so

ра 0-60

б

Рис. 10. Сечение ФРО магния при различных значениях параметрах обработки (а - значение параметра сглаживания 8°, б —4°)

Ранее вычисление усредненных упругих свойств материала требовало вычисления ФРО по экспериментально измеренным полюсным фигурам [18]. В диссертационной работе был предложен метод вычисления упругих свойств напрямую по измеренным ориентировкам.

Основным законом теории упругости твердых тел в области малых деформаций является закон Гука, который для анизотропных тел имеет вид:

где Б1]к1 - тензор упругой податливости, сги - тензор напряжения, сц - тензор деформации. Для кристаллов гексагональной симметрии число независимых компонент тензора упругой податливости равно пяти [19]. В соответствии с правилом преобразования тензора четвертого ранга при повороте системы координат, компоненты тензора четвертого ранга преобразуются следующим образом:

¿V*,. (г) = ёпёпёпёп^и > С9)

где ¿'"у - свойство монокристалла, gn - направляющие косинусы

оси Г кристаллической системы координат по отношению к оси г системы координат образца. Зная ориентировки всех зерен образца, можно провести усреднение коэффициентов упругой податливости по зернам

(20)

где 1Ут - весовой коэффициент, соответствующий размеру зерна.

По результатам вычислений было получено, что значения компонент тензора упругой податливости оказались меньше значений компонент тензора упругой податливости монокристалла магния.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1) разработан метод математического моделирования функции распределения ориентации по набору отдельных ориентировок, составлен комплекс программ и проведены вычисления ФРО;

2) исследована зависимость точности восстановления ФРО от числовых значений параметров, а именно: объема выборки, характеристики распределения (аналога остроты текстуры);

3) показано влияние погрешности определения ориентации на результат вычисления ФРО;

4) численно определены наилучшие ядра сглаживания для ядерного метода: это ядро Епанечникова и ядро с косинусом;

5) предложено два метода определения параметра сглаживания: сравнение экспериментальных полюсных фигур (рентгеновских или нейтронных) и полюсных фигур, полученных из набора отдельных ориентировок методом гистограмм; сравнение результатов вычислений и частот по критерию х2;

6) предложен алгоритм вычисления статистической зависимости элементов выборки, численно исследовано влияние зависимости на результат вычисления ФРО. Показано, что наличие статистической зависимости ориентировок влияет на ФРО как уменьшение объема выборки;

7) предложен метод расчета усредненных упругих свойств поликристалла по отдельным ориентировкам. Для текстурирован-ного магния проведен расчет компонентов тензора упругой податливости.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю проф. Т.И. Савеловой за ценные советы и всестороннюю поддержку, а также с.н.с. В.Н. Серебряному за данный образец магния, проф. F. Wagner за предоставленную возможность ознакомления с техникой проведения EBSD измерений во Франции (университет г. Метц).

Список литературы

1) Савелова Т.И. Предисловие к книге «Новые методы исследования текстуры поликристаллических материалов», М., Металлургия, 1985, с. 10-30.

2) Bunge H.J. Texture Analysis in Material Sciences. Mathematical Methods // Butterworths Publ., London, 1982. - p. 593.

3) E. Guilmeau, C. Henrist, T.S. Suzuki, Y. Sakka, D. Chateigner, D. Grossin and B. Ouladiaf. Texture of Alumina by neutron diffraction and SEM-EBSD 1! Textures of Materials, ICOTOM 14, 2005, p. 1395-1400.

4) Боровков M.B., Савелова Т.И. Нормальные распределения на SO(3). M., МИФИ, 2002. - 94 с.

5) Prazolo S., Sursaeva V.G., Prior D.J. Optical grain size measurements: What is being measured? Comparative study of optical and

EBSD grain size determination in 2D Al foil // Textures of Materials, ICOTOM 14, 2005, p. 213-218.

6) Boogaart KG. Statistics for individual crystallographic orientation measurement // PHD thesis. Aachen, Shaker, 2002, p. 1 -161.

7) Boogaart K.G. Statistical Errors of Texture Entities Based on EBSD Orientation Measurements // Material Science Forum. ICOTOM 14, 2005, p. 179-184.

8) Савелова Т.И., Сьтченко M.B. Получение ориентации отдельных зерен поликристаллов при EBSD измерениях и вычисление ФРО и ПФ, М.: МИФИ, Препринт 001-2009,20с.

9) Крянев A.B., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. - М.: ФМЛ, 2003. - 214 с.

10) Савелова Т.К, Бухарова Т.И. Представления группы SU(2) и их применение. Учебное пособие. М.: МИФИ, 1996. - 113с.

11) Вшенкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1965. - 596 с.

12) Савелова Т.И., Сьтченко М.В. Вычисление функции распределения ориентации по набору отдельных ориентировок на группе вращений SO(3) // Журнал вычислит, матем. и матем. физ., 2007, т. 47, №6, с. 1015-1028.

13) Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. - СПб.: Питер, 2002. -672 с.

14) Савелова Т.И., Аганин К.П. Аналитические и численные оценки точности ядерных и проекционных методов восстановления плотности рапределения ориентации на группе вращений SO(3), M.: МИФИ, Препринт 004 - 2007. - 48 с.

15) Деврой Л., Дьёрфи Л. Непараметрическое оценивание плотности. М., Мир, 1988. -407с.

16) Савелова Т.Н., Сьтченко М.В. Оценка точности для восстановления функции распределения зерен по ориентациям для зависимых ориентации и с учетом размеров зерен // Журнал вычислительной математики и математической физики - 2009. - Т. 49. -№5.-С. 879-890.

17) http://hkl-channel.software.informer.com

18) Никишин A.B. Описание текстуры и расчета упругих свойств поликристаллов на основе нормальных распределений на группе SO(3) и их проекций на сферу: Дис. канд. физ.-мат. наук, М.: МИФИ.-2008.-105 с.

19) Шасколъская М.П. Кристаллография. — М.-.Высшая школа, 1984.-386 с.

Основные результаты диссертации представлены в работах:

1) Савелова Т.Н., Сыпченко М.В. Вычисление функции распределения ориентации по набору отдельных ориентировок на группе вращений SO(3) // Журнал вычислительной математики и математической физики, №6, 2007, т. 47, с. 970-982.

2) Савелова Т.И., Сыпченко М.В. Оценка точности для восстановления функции распределения зерен по ориентациям для зависимых ориентации и с учетом размеров зерен И Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009, т. 49, №5, с. 879-890.

3) Сыпченко М.В., Савелова Т.И. Некоторые проблемы измерений ориентации отдельных зерен и вычисление усредненных упругих свойств магния // Заводская лаборатория и диагностика материалов, 2010, т. 76, №6, с. 39 - 44.

4) Сыпченко М.В., Савелова Т.И. Исследование точности моделирования текстуры поликристалла по данным измерений отдельных ориентировок // Кристаллография, 2010, т.55, №4, с. 744— 748.

5) Ivanovo Т.М., Savyolova T.I., Sypchenko M.V. The Modified Component Method for Calculation of Orientation Distribution Function from Pole Figures И Inverse Problems in Science and Engineering, v. 18,2010, p. 163-171.

6) Савелова Т.И, Иванова T.M., Сыпченко М.В. Применение нормальных распределений на группе SO(3) в текстурном анализе, М.-.НИЯУ МИФИ, Монография, 2010 -104 с.

7) Савелова Т.И, Сыпченко М.В., Коренькова Е.Ф. Оценки точности статистических характеристик нормальных распределений на группе вращений SO(3), М. МИФИ, Препринт 002-2006. -34 с.

8) Савелова Т.И., Сыпченко М.В. Получение ориентаций отдельных зерен поликристаллов при EBSD измерениях и вычисление ФРО и ПФ, М.: МИФИ, Препринт 001-2009. - 20 с.

9) Savyolova T.I., Sypchenko M.V. Estimation of accuracy of kernel and projective methods of probability density distribution restoration from individual orientations on group SO(3) // The 3-rd French -

Russian seminar "New Achievements in Materials and Environmental Sciences", 7-9 ноября 2007, Metz, 2008 с. 173176.

10) Савелова Т.И., Сыпченко М.В. Исследование точности ядерных оценок для ЦНР на SO(3) // Науч. сессия МИФИ-2007; Сб. науч. тр. в 15 т. М.: МИФИ, 2007, т. 7, с. 138139.

11) Савелова Т.И., Сыпченко М.В. Восстановление ФРО по набору из зависимых ориентировок ядерным методом // Науч. сессия МИФИ-2008; Сб. науч. тр. в 15 т. М.: МИФИ, 2008, т. 9, с. 94 -95.

12) Сыпченко М.В. Некорректность математического моделирования ФРО по данным EBSD эксперимента // Науч. сессия МИФИ-2009; Аннотации докладов, 3 т., М.: МИФИ, 2009, т. 2, с. 134.

13) Сыпченко М. В., Савелова Т.Н. Исследование точности моделирования текстуры поликристалла по данным измерений отдельных ориентировок // Тезисы докладов конференции «Рентгеновское, синхротронное излучения, нейтроны и электроны для исследования наносистем и материалов. Нано-Био-Инфо-Ког-нитивные технологии-2009», 16-21 ноября 2009, М.: Ж РАН-РНЦ КИ, с. 525.

14) Рогинстй К.Н., Савелова Т.Н., Сыпченко М.В. Вычисление количественных характеристик текстуры для поликристаллов на основе измерений электронной микроскопии // Российская школа конференция с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» 14-18 декабря 2009 года, с. 203204.

Подписано в печать:

30.08.2010

Заказ № 4065 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение.

1. Экспериментальное и количественное описание текстуры поликристаллического материала.

1.1. Основные понятия количественного текстурного анализа.

1.1.1. Ориентация кристалла.

1.1.2. Основные текстурные характеристики.

1.1.3. Вычисление функции распределения ориентаций по полюсным фигурам.

1.2. Экспериментальные методы получения ориентировок зерен поликристаллического материала.

1.2.1. Рентгеновский метод определения полюсных фигур.

1.2.2. Метод дифракции нейтронов определения полюсных фигур.

1.2.3. Методы дифракции электронов.

1.2.4. Метод ЕВЭБ.

1.3. Вычисление функции распределения ориентаций и полюсных фигур по данным ЕВ8Э.

1.4. Выводы по первому разделу.

2. Исследование влияния выбора параметров ядерного метода на результирующее распределение.

2.1. Нормальные распределения на группе вращений 80(3).

2.2. Метод Монте-Карло моделирования дискретных нормальных распределений на группе 80(3).

2.3. Свойства ядерных оценок для ФРО.

2.4. Численные исследования.

2.4.1 Исследование точности восстановления ФРО в зависимости от параметра распределения.

2.4.2. Исследование точности восстановления« ФРО в зависимости от объема выборки.

2.4.3. Исследование точности восстановления ФРО в зависимости от количества сверток.

2.4.4 Исследование точности восстановления ФРО в зависимости от наличия погрешности в выборке.

2.5. Выводы по второму разделу.

3. Исследование точности восстановления ФРО в зависимости от параметров ядерного метода.

3.1. Исследование точности восстановления ФРО в зависимости от ядра сглаживания.

3.1.1. Оптимальное ядро сглаживания в метрике Ь2.

3.1.2. Использование различных ядер сглаживания.

3.2. Определение значения параметра сглаживания.

3.2.1 Случай центральных функций (одномерный).

3.2.2. Многомерный случай.

3.3. Выводы по третьему разделу.

4. Исследование влияния зависимости ориентировок на результирующее распределение.

4.1. Ранее проведенные исследования зависимости ориентаций.

4.2. Вычисление погрешности ядерных методов для зависимых ориентаций и с учетом размеров зерен для восстановления ФРО.

4.3. Численное моделирование зависимости ориентировок при восстановлении ФРО.

4.4. Модельное исследование учета размера зерен при восстановлении ФРО

4.5. Выводы по четвертому разделу.

5. Некоторые вопросы проведения ЕВЭО измерений. Вычисление усредненных упругих свойств магния.

5.1. Выбор параметров проведения эксперимента, погрешности измерения

5.2. Определение констант упругости для поликристаллов.

5.3. Выводы по пятому разделу.

Актуальность темы

Как известно, большинство конструкционных материалов являются поликристаллами, и их свойства (физические, электрические, химические и т.д.) зависят от текстуры материала, т.е. от преимущественной ориентировки зерен, образующих материал. Наиболее полно текстуру материала описывает функция распределения зерен по ориентациям (ФРО). ФРО используется для решения различных научных и производственных задач: вычисления усредненных свойств материала, для исследования методов их обработки, для изучения процессов формирования текстуры и т.д. Ранее ФРО вычислялась из экспериментально полученных полюсных фигур (ПФ) [1-2]. В последние годы развитие и автоматизация метода дифракции отраженных электронов (EBSD - Electron Backscattering Diffraction) дает возможность получать большое количество измерений (порядка ~104-107) отдельных кристаллографических ориентаций. Методы электронной микроскопии предоставляют исследователям обширную информацию о текстуре материала: позволяют изучать размеры зерен, границы между зернами, угол разориентации между двумя соседними зернами (т.е. разницу между соседними ориентациями); имеют широкое распространение в последнее время. Это особенно видно по росту числа исследований текстуры материалов с использованием методов электронной дифракции на последних конференциях «Международная конференция «Текстура материала» ICOTOM 14 [3], ICOTOM 15 [4]. Однако вместе с тем развитие технологии эксперимента значительно опережает развитие математического аппарата по обработке экспериментальных данных. Необходимость развития методов математической статистики на группе SO(3) в применении к текстурному анализу прослеживается во многих работах, например, [5-10].

Одним из важных вопросов при исследовании текстуры материала при помощи метода EBSD является вопрос о том, как определить необходимое количество измеренных зерен. Например, в работе [5]1 показана роль объема выборки при вычислении ФРО: ФРО определялась двумя, способами: из ПФ, полученных методом нейтронной дифракции, и напрямую путем сглаживания индивидуальных ориентировок. Эти измерения отличаются количеством зерен, участвующих в эксперименте (3 х 109 зерен в нейтронном эксперименте и 1,2x104 в ЕВББ эксперименте). При этом ФРО, рассчитанные из этих двух экспериментов, существенно отличались (в максимуме - почти в четыре раза).

Изучению статистических характеристик методов восстановления плотности распределения ориентаций по выборке из индивидуальных ориентировок зерен поликристаллических материалов посвящены, например, работы [6, 7].

Другим важным вопросом обработки данных ЕВЭО измерений является вопрос о статистической зависимости ориентаций соседних зерен и ее влиянии на минимально необходимый для адекватного представления текстуры материала объем выборки. В [8, 9] рассматривается статистическая зависимость ЕВ80 измерений ориентаций зерен и вычисляются статистические ошибки для зависимых величин.

Еще одним важным вопросом является вопрос о точности вычисления ФРО в зависимости от различных значений параметров. В [10] анализируется точность вычисления ФРО на базе ЕВБО измерений большого количества зерен (83000 зерен) при изучении рекристаллизации циркония. В [11-15] исследуются вопросы точности ядерных и проекционных методов вычисления функции распределения ориентаций по набору отдельных ориентировок на группе 80(3).

Однако, несмотря на существующие работы в данной области, многие вопросы обработки измерений ориентаций до сих пор остаются не до конца изученными. В связи с этим, в диссертационной работе предложен метод математического моделирования ФРО, который позволил провести ряд исследований влияния различных параметров проведения эксперимента и параметров обработки данных на точность вычисления текстурных характеристик.

Цель работы

Целями диссертационной работы являются:

- математическое моделирование ориентировок зерен поликристаллических материалов;

- разработка алгоритма вычисления ФРО и ПФ по набору отдельных кристаллографических ориентировок ядерным методом;

- оценка точности получаемых результатов в зависимости от числовых значений различных параметров (объема выборки, остроты текстуры, ядра сглаживания и параметра сглаживания);

- исследование влияния погрешностей измерения ориентировок на вычисленную ФРО;

- моделирование статистической зависимости ориентировок кристаллитов;

- исследование влияния статистической зависимости элементов в выборке на погрешность результирующего распределения ориентаций;

- моделирование зеренной структуры и исследование влияния размеров зерен на точность восстановления ФРО

- составление комплекса программ для решения поставленных задач и проведение вычислений.

Научная новизна

Впервые наиболее полно аналитически и численно проведено математическое моделирование ФРО и исследование точности вычисления по набору индивидуальных кристаллографических ориентаций ядерным методом в зависимости от различных параметров (объем выборки, острота текстуры, количество сверток, ядро сглаживания, параметр сглаживания) с помощью специализированного метода-Монте-Карло вычисления дискретных нормальных распределений на группе SO(3). Впервые проведено моделирование статистической зависимости ориентаций (метод моделирования и численный расчет) и погрешностей измерений ориентаций, исследовано их влияние на точность вычисления ФРО. Для решения поставленных задач был составлен комплекс программ, проведены вычисления и анализ полученных результатов.

Практическая и научная ценность

Исследуемые в диссертационной работе проблемы представляют научный и практический интерес, поскольку затрагивают важные вопросы точности обработки экспериментально измеренных ориентаций отдельных зерен поликристаллического материала с помощью современного оборудования. Полученные результаты позволяют подобрать некоторые параметры проведения EBSD измерений, параметры вычисления ФРО по набору ориентировок, помогут также оценить погрешность вычисления ФРО.

В первом разделе приведены основные понятия текстурного анализа, такие как: ориентация кристаллита, функция распределения ориентаций, полюсная фигура. Описаны экспериментальные методы получения ориентировок зерен поликристаллического материала: рентгеновский и нейтронный способы измерения полюсных фигур; методы электронной микроскопии измерения ориентировок отдельных зерен (SEM, ТЕМ, EBSD). В разделе представлен обзор литературы, освещающей направления исследований последних лет в области проведения EBSD измерений. Приведен исторический обзор развития методов вычисления ФРО по полюсным фигурам (гармонический метод, метод «нуль-области», метод положительности, метод WIMV, метод ADC, метод текстурных компонент). Описаны основные методы получения ФРО по дискретным наборам данных: метод гистограмм, проекционный и ядерный методы.

Во втором разделе приводится определение нормального распределения на группе 80(3), описывается специализированный метод Монте-Карло получения дискретных нормальных распределений на группе 80(3). В разделе даны аналитические оценки ядерного метода вычисления ФРО: математическое ожидание, дисперсия, смещение, оценка точности.

Приводятся результаты численного исследования точности ядерного метода вычисления ФРО по наборам отдельных ориентировок в зависимости от числовых значений параметров: объем выборки, параметр распределения или параметр остроты текстуры, количество сверток (в том числе и для трехмерного случая). Для проведения исследований автором были составлены комплексы программ, проведены расчеты и анализ полученных результатов.

В третьем разделе исследуются различные ядра сглаживания, используемые в ядерном методе, а именно: ядро Гаусса, ядро с косинусом, ядро Епанечникова, ядро Дирихле, ядро Валле-Пуссена, модифицированное ядро Валле-Пуссена, ядро Абеля-Пуассона и оптимальное в метрике Ь2 ядро. Приводятся методы определения числового значения параметра сглаживания: через сравнение полюсных фигур (экспериментальных и вычисленных по набору отдельных ориентировок) методом гистограмм; через сравнение дисI кретной и сглаженной ФРО по критерию %г.

В четвертом разделе содержится обзор исследований статистической зависимости ориентаций соседних зерен [89]. Приводятся аналитические оценки математического ожидания и дисперсии ядерной оценки ФРО для статистически зависимых ориентаций. Рассматривается модель статистической зависимости, учитывающая, что крупные зерна измеряются чаще, и соответствующие ориентировки повторяются. Аналитически и численно изучается на модельных примерах влияние статистической зависимости элементов выборки на результат вычисления ФРО. Проводится моделирование зерен-ной структуры материала и исследуется влияние размеров зерен на точность вычисления функции распределения ориентаций.

В пятом разделе рассматриваются особенности проведения ЕВБВ эксперимента по получению ориентировок зерен поликристаллического материала. Исследование проводится на основе реальных данных ориентировок зерен поликристаллического магния (образец М§-0.49%А1-0.47%Са, был получен прессованием при температуре 340 °С в институте ИМЕТ им. А.А. Байкова РАН) и аустенитной стали (образец Ре-22%Мп-0.6%С, деформированный сдвигом при комнатной температуре, полученный в лаборатории ЬЕ-ТАМ университета г. Метц, Франция). Измерения проводились в лаборатории ЬЕТАМ университета г. Метц, Франция. В качестве примера практического использования приводится расчет упругих свойств текстурированного магния на основе данных ЕВ80 измерений.

На защиту выносятся:

1) метод численного моделирования ФРО по набору отдельных ориен-таций, полученных специализированным методом Монте-Карло для нормальных распределений на группе 80(3);

2) результаты расчета зависимости точности вычисления ФРО от числовых значений параметров: объем выборки и острота текстуры при использовании ядерного метода;

3) выбор ядра сглаживания для вычисления ФРО;

4) методы определения параметра сглаживания в ядерном методе;

5) алгоритм численного расчета статистической зависимости элементов выборки, результат ее влияния на точность вычисления ФРО;

6) результаты численного моделирования погрешности в элементах выборки и ее влияния на результат вычисления ФРО;

7) метод расчета упругих свойств материала на основе данных ЕВ8В измерений.

Апробация и публикации

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1) научный семинар кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ, 2007, 2008, 2009 и 2010 гг.;

2) международная конференция "New Achievements in Materials and Environmental Sciences", Metz, France, 7-9 ноября 2007 г.;

3) международная конференция «Inverse Problems: Modeling and Simulation», at Oludeniz, Fithiye, Turkey, May 26-30, 2008 г.;

4) научный семинар в университете г. Метц, Франция (лаборатория LETAM), 10 июля 2008 г.;

5) международная конференция «Рентгеновское, синхротронное излучения, нейтроны и электроны для исследования наносистем и материалов. Нано-био-инфо-когнитивные технологии», РНЦ КИ, Москва, Россия, 16-20 ноября, 2009 г.;

6) ежегодная Научная Сессия НИЯУ МИФИ, Москва, январь 2006, 2007, 2008 и 2009 гг.;

7) научный семинар в Институте металлургии и материаловедения им. A.A. Байкова РАН, 27 мая 2010 г.;

8) научный семинар в Объединенном институте ядерных исследований, ЛНФ, Дубна, 8 июня 2010 г.

Всего по теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, из них 4 в реферируемых Российских журналах, 1 в зарубежном журнале, 1 монография, 2 препринта, 1 статья и 5 аннотаций в сборниках трудов конференций:

1) Савелова Т.Н., Сыпченко М.В. Вычисление функции распределения ориентаций по набору отдельных ориентировок на группе вращений SO(3) // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2007. - Т. 47. - №6. - С. 970-982.

2) Савелова Т.И, Сыпченко М.В. Оценка точности для восстановления функции распределения зерен по ориентациям для зависимых ориента-ций и с учетом размеров зерен // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009, т. 49, №5, с. 879-890.

3) Сыпченко М.В., Савелова Т.И. Некоторые проблемы измерений ориентаций отдельных зерен и вычисление усредненных упругих свойств магния // Заводская лаборатория и диагностика материалов. — 2010. — т. 76, № 6. - С. 39—44.

4) Сыпченко М.В., Савелова Т.И. Исследование точности моделирования текстуры поликристалла по данным измерений отдельных ориентировок // Кристаллография. - 2010. - Т.55. - №4. - С. 744-748.

5) Ivanova Т.М., Savyolova T.I., Sypchenko М. V. The Modified Component Method for Calculation of Orientation Distribution Function from Pole Figures // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2010. - V. 18. - P. 163 — 171.

6) Савелова Т.И., Иванова T.M., Сыпченко М.В. Применение нормальных распределений на группе SO(3) в текстурном анализе, М.: НИЯУ МИФИ, Монография, 2010.-104 с.

7) Савелова Т.И., Сыпченко М.В., Коренькова Е.Ф. Оценки точности статистических характеристик нормальных распределений на группе вращений SO(3), М.: МИФИ, Препринт 002-2006. - 34 с.

8) Савелова Т.И, Сыпченко М.В. Получение ориентаций отдельных зерен поликристаллов при EBSD измерениях и вычисление ФРО и ПФ, М.: МИФИ, Препринт 001-2009. - 20 с.

9) Savyolova T.I., Sypchenko М. V. Estimation of accuracy of kernel and projective methods of probability density distribution restoration from individual orientations on group SO(3) // Metz, The 3-rd French - Russian seminar "New "Achievements in Materials and Environmental Sciences". - 2008. - P. 173-176.

10) Савелова. Т.И., Сыпченко М.В. Исследование точности ядерных оценок для ЦНР на 80(3) // Науч. сессия МИФИ-2007; Сб. науч. тр. в 15 т., М.: МИФИ. - 2007. - Т. 7. - С. 138-139.

11) Савелова Т.И., Сыпченко М.В. Восстановление ФРО по набору из зависимых ориентировок ядерным методом // Науч. сессия МИФИ-2008; Сб. науч. тр. в 15 т., М.: МИФИ. - 2008. - Т. 9. - С. 94-95.

12) Сыпченко М.В. Некорректность математического моделирования ФРО по данным ЕВБО эксперимента // Науч. сессия МИФИ-2009; Аннотации докладов в 3 т., М.: МИФИ. - 2009. - Т. 2. - С. 134.

13) Сыпченко М.В., Савелова Т.И. Исследование точности моделирования текстуры поликристалла по данным измерений отдельных ориентировок // Тезисы докладов конференции «Рентгеновское, синхротронное излучения, нейтроны и электроны для исследования наносистем и материалов. На-но-Био-Инфо-Когнитивные технологии-2009»; М.: ИК РАН-РНЦ КИ. - 2009. -С. 525.

14) Рогинский КН., Савелова Т.И., Сыпченко М.В. Вычисление количественных характеристик текстуры для поликристаллов на основе измерений электронной микроскопии // Российская школа-конференция с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании», РУДН, 14-18 декабря 2009 года. - С. 203-204.

Работа над диссертацией велась в рамках государственного контракта №02.513.11.3340.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти разделов и заключения. Работа содержит 123 страницы, включая 35 рисунков, 11 таблиц и список литературы, состоящий из 131 наименования литературных источников.

5.3. Выводы по пятому разделу

В данном разделе дается обзор вопросов проведения ЕВБО измерений ориентировок зерен поликристаллических материалов. На точность определения величин, характеризующих текстуру материалов, значительное влияние оказывают следующие факторы: выбор шага измерения ориентировок, количество измеряемых зерен и связанный с ним факт статистической зависимости ориентировок, вопрос о выборе угла разориентации, разграничивающий соседние зерна, определение границ и формы зерен, вопрос усреднения неиндексируемых областей.

Проблема оценки влияния всех факторов представляет собой обширную и многогранную задачу, решение которой требует дальнейших исследований и расчетов.

По экспериментально полученному набору ориентировок рассчитаны константы упругой податливости текстурированного магния, значения которых оказались ниже значений констант упругой податливости монокристалла магния (в рамках проведения работ по Госконтракту № 02.513.11.3340).

Заключение

Данная работа посвящена математическому моделированию и вопросам точности восстановления функции распределения ориентаций по набору отдельных кристаллографических ориентировок. В исследовании использовался специализированный метод Монте-Карло моделирования дискретных нормальных распределений на группе 80(3). Функция распределения ориентаций вычислялась ядерным методом.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1) разработан метод математического моделирования функции распределения ориентаций по набору отдельных ориентировок, составлен комплекс программ и проведены вычисления ФРО;

2) исследована зависимость точности восстановления ФРО от числовых значений параметров, а именно: объема выборки, характеристики распределения (аналога остроты текстуры);

3) показано влияние погрешности определения ориентации на результат вычисления ФРО;

4) численно определены наилучшие ядра сглаживания для ядерного метода: это ядро Епанечникова и ядро с косинусом;

5) предложено два метода определения параметра сглаживания: сравнение экспериментальных полюсных фигур (рентгеновских или нейтронных) и полюсных фигур, полученных из набора отдельных ориентировок методом гистограмм; сравнение результатов вычислений и частот по критерию %2;

6) предложен алгоритм вычисления статистической зависимости элементов выборки, численно исследовано влияние зависимости на результат вычисления ФРО. Показано, что наличие статистической зависимости ориентировок влияет на ФРО как уменьшение объема выборки;

7) предложен метод расчета усредненных упругих свойств поликристалла по отдельным ориентировкам. Для текстурированного магния проведен расчет компонентов тензора упругой податливости.

Работа над диссертацией велась в рамках государственного контракта №02.513.11.3340.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю проф. Т.И. Савеловой, а также с.н.с. В.Н. Серебряному за данный образец магния, проф. F. Wagner за предоставленную возможность ознакомления с техникой проведения EBSD измерений во Франции (лаборатория LETAM, университет г. Метц).

1. Савелова Т.И. Предисловие // «Новые методы исследования текстуры поликристаллических материалов» / Сборник ст.: Пер. с англ. / Под ред. И.И. Папирова, Т.И. Савеловой М.: Металлургия. - 1985. - С. 10-30.

2. Bunge H.J. Texture Analysis in Material Sciences. Mathematical Methods. Butterworths Publ., London, 1982. - P. 593.

3. Textures of Materials, ICOTOM 14 / Proceedings of the 14th International Conference on Textures of Materials, Leuven, Belgium, July 11-15, 2005. Part 1, P. 362.-Part. 2, P. 1712.

4. Textures of Materials, ICOTOM 15 / Abstracts of the 15th International Conference on Textures of Materials, Pittsburgh, USA, June 1-6, 2008. P. 157.

5. Texture of Alumina by neutron diffraction and SEM-EBSD / E. Guilmeau, C. Henrist, T.S. Suzuki, Y. Sakka, D. Chateigner, D. Grossin and B. Ouladiaf. // Textures of Materials, ICOTOM 14. 2005. - P. 1395 - 1400.

6. Боровков M.B., Савелова Т.И. Нормальные распределения на SO(3) / M.: МИФИ, 2002.-94 с.

7. Prazolo S., Sursaeva V.G., Prior D.J. Optical grain size measurements: What is being measured? Comparative study of optical and EBSD grain size determination in 2D A1 foil // Textures of Materials, ICOTOM 14. 2005. - P. 213 -218.

8. Boogaart K.G. Statistic for individual crystallographic orientation measurement: PHD Thesis Aachen, Shaker, 2002. - 161 p.

9. Boogaart K.G. Statistical Errors of Texture Entities Based on EBSD Orientation Measurements // Textures of Materials, ICOTOM 14. 2005. - P. 179 -184.

10. Accuracy of orientation distribution function determination based on EBSD data A case study of recrystallized low alloyed Zr sheet / Bozzolo N., Gerspach F., Sawina G., Wagner F. // J. of Microscopy. - 2007. - Vol. 227. — p. 275-283.

11. Аганин К.П., Савелова Т.И. Оценки точности ядерных и проекционных методов восстановления функции распределения ориентаций на группе вращений SO(3) //Журнал вычислит, матем. и матем. физ. — 2008. — Т. 48. — №6.-С. 1087- 1101.

12. Савелова Т.И., Сыпченко М.В., Коренъкова Е.Ф. Оценки точности статистических характеристик нормальных распределений на группе вращений SO(3), M.: МИФИ, Препринт 002 2006. - 36 с.

13. Савелова Т.И., Аганин К.П. Аналитические и численные оценки точности ядерных и проекционных методов восстановления плотности рапреде-ления ориентаций на группе вращений SO(3), M.: МИФИ, Препринт 004 — 2007. 48 с.

14. Савелова Т.Н., Коренъкова Е.Ф. Оценка точности некоторых статистических характеристик в текстурном анализе // Зав. лаб. 2006. — Т. 72. — №12. -С. 29-34.

15. Савелова Т.И., Сыпченко М.В. Вычисление функции распределения ориентаций по набору отдельных ориентировок на группе вращений SO(3) // Журнал вычислит, матем. и матем. физ. — 2007. — Т. 47. — №6. — С. 1015 — 1028.

16. Григорьев А.К., Силъникова Е.Ф. Технология металлических материалов. Ленинградский политехнический институт, Учебное пособие, 1981 г. - 75 с.

17. Randle V., Engler О. Introduction to texture analysis: macrotexture, microtexture and orientation. — Overseas Publishers Association, USA, 2000. — 388 p.

18. Савелова Т.И., Иванова T.M. Методы восстановления функции распределения ориентаций по полюсным фигурам (обзор) // Зав. Лаб. 2008. — Т. 74. -№7. -С. 25-33.

19. Виглин А. С. Количественная мера текстуры поликристаллического материала. Текстурная функция // ФТТ. 1960. - Т.2. - №10. - С. 2463 - 2476.

20. Лычагина Т.А. Нейтронографическое и модельное исследование влияния текстуры при определении упругих свойств конструкционных поликристаллических материалов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Дубна, ОИЯИ. -2002. - 120с.

21. Никишин А.В. Описание текстуры и расчета упругих свойств поликристаллов на основе нормальных распределений на группе SO(3) и их проекций на сферу: Дис. канд. физ.-мат. наук, М.: МИФИ. 2008. - 105 с.

22. Шаскольская М.П. Кристаллография. М.:Высшая школа, 1984. — 386 с.

23. Wright S.I., Field D.P. Scalar of Texture Heterogeneity // Material Science Forum, ICOTOM14. 2005. - P. 207-212.

24. Statistics, Evaluation and Representation of Single Grain Orientation Measurements / Engler O., Gottstein G., Pospiech J., Jura J. // Material Science Forum. 1994. - V. 157. - P. 259 - 274.

25. Schwartz A.J., Kumar M., Adams B.L. Electron backscatter diffraction in materials science. Kluwer Academic, Plenum Publishers, USA, 2000. — 339 p.

26. Bunge H.J. Zur Darstellung Allgemeiner Texturen // Z. Metallkunde. — 1965.-Vol. 56.-№12.-P. 872-874.

27. Roe R.J. Description of Crystallite Orientation in Polycrystalline Materials // J. Appl. Phys. -1965. -Vol. 36. №6. - P. 2024 - 2031.

28. Matthies S., Vinel G.W., Helming K. Standart Distribution in Texture Analysis. Berlin, Acad. Verl., 1987. - V. 1. - 440 p.

29. Dahms M., Bunge H.J. A Positivity Method for Determination of Complete ODF // Textures andMicrostructures. 1988. - Vol. 10. - №1. - P. 21 - 35.

30. Ruer D., Baro R. A New Method for the Determination of the Texture of Materials of Cubic Structure from Incomplete Pole Figure // Adv. in X-ray Analysis. 1977. - Vol. 20. - P. 21 - 35.

31. Imhof J. Determination of an Approximation of the Orientation Distribution Function Using Only One Pole Figure // Z. Metall. -1977. Vol. 68. - P. 38 -43.

32. Imhof J. The resolution of Orientation Space with Reference to Pole Figure Resolution // Textures and Microstructures. 1982. - Vol. 4. - P. 189 - 200.

33. Matthies S., Vinel G. W. On the Reproduction of the Orientation Distribution Function of Texturized Samples from Reduced Pole Figures Using the Conception of a Conditional Ghost Correction // Phys. Stat. Sol. (b). 1982. - Vol. 112. — P. 111-120.

34. Pawlik K. Determination of the Orientation Distribution Function from Pole Figures in Arbitrary Defined Cells // Phys. Stat. Sol. (b). 1986. - Vol. 134. -P. 447-483.

35. Pawlik K., Pospiech J.A. Method for the ODF Approximation in Arbitrary Defined Cells from Pole Figures // Proc. Conf. "Theoretical Method in Texture Analysis". Claustal. - 1986. - P. 127 - 139.

36. Савелова Т.Н. Функция распределения зерен по ориентациям и их гауссовские приближения // Зав. лаб. 1984. - Т.50. - №5. - С. 48 - 52.

37. Helming К. Texturapproximation durch Modellkomponenten. — Cuvillier Verlag Gottingen, 1996. 121 p.

38. Matthies S., Wagner F. Study of the Ghost Phenomena in Mathematical Texture Analysis ИPhys. Stat. Sol. (b). 1981. - Vol. 107. -P. 591 - 601.

39. Schwarzer R.A., Weiland H. Electron Diffraction Polefigure Measurements, Experimental Techniques of Texture Analysis / Ed. Bunge HJ. DGM Informationsgesellschaft mbH. - 1986. - P. 287-300.

40. Бородкина M.M., Спектор Э.Н. Рентгенографический анализ текстуры металлов и сплавов. М.: Металлургия, 1981. — 272с.

41. Bunge H.J. Experimental Techniques of Texture Analysis, Experimental Techniques of Texture Analysis / Ed. Bunge H.J. DGM Informationsgesellschaft mbH. - 1986.-P. 1-28.

42. Advanced Experimental Techniques in X-ray Texture Analysis / Bunge H.J., Grossterlinden R., Haase A., Ortega R., Szpunar J.A., Van Houtte P. // Proc. of the ICOTOM-IO, Clausthal, Materials Science Forum. 1994. - Vol. 157. - P. 71-96.

43. Welch P.I. Neutron Diffraction Texture Analysis, Experimental Techniques of Texture Analysis / Ed. Bunge H.J. DGM Informationsgesellschaft mbH. - 1986.-P. 183-207.

44. Brokmeier H.-G. Neutron Diffraction Texture Analysis, Advances and Applications of Quantative Texture Analysis / Ed. Bunge H.J. — DGM Informationsgesellschaft mbH. 1991. - P. 73-86.

45. Brokmeier H.-G. Texture Analysis by Neutron Diffraction, Proc. of the ICOTOM-IO / Ed. H.J. Bunge. Materials Science Forum. - 1994. -Vol. 157-162. - P. 59-70.

46. Brokmeier H.-G. Neutron Diffraction Texture Analysis for Industrial Application // Proc. of the ICOTOM-11, International Academic Publishers, Beijing (China), 1996. P. 69-74.

47. Brokmeier H.-G., Oswaldt D. Influence of the sample shape on the global-texture determined by neutron diffraction // Proc of ICOTOM-11, International Academic Publishers, Beijing (China). 1996. - P. 75-80.

48. Advances in Automated EBSP Single Orientation Measurements / Kunze K., Wright S.I., Adams B.L., Dingley D.J. // Textures and Microstructures. — 1993. -Vol. 20.-P. 41-54.

49. Brokmeier H.-G. Neutron Diffraction Texture Analysis of Multi-Phase Systems // Textures and Microstructures. 1989. - Vol. 10. - P. 325 - 346.

50. Schwarzer R.A. Crystal Texture Analysis by Means of Electron Diffraction. Advances and Applications of Quantative Texture Analysis / Ed. Bunge H.J. DGM Informationsgesellschaft mbH. - 1991. - P. 51-72.

51. Vanables J.A., Harland C.J. Electron Back-Scatter Pattrens: A New Technique for Obtaining Crystallographic Information in the Scanning Electron Microscope // Phil. Magazine. 1973. - Vol. 27. - P. 1193- 1200.

52. Dingley D.J., Rändle V. Review. Microtexture Determination by Electron-Backscatter Diffraction // J. Mater. Sei. . Vol. 27. - 1992. - P. 45 - 49.

53. Alam M.N., Blackman M., Pashley D. W. High angle Kikuchi patterns // Proc. Royal Society of London. 1954. - A 221 - 224.

54. Kikuchi S. Diffraction of cathode race by mica // Japan J. Phys. 1928. -P. 5-83.

55. Brokmeier H.-G. Texture Analysis by Neutron Diffraction // Proc. of the Materials Science Forum ICOTOM-IO / Ed. H.J. Bunge. Vol. 157-162. - 1994. -P. 59-70.

56. Adams B.L., Wright S.I., Kunze K. Orientation Imaging: The Emergence of a New Microscopy // Metallurgical Transactions, 24A, 1993. — P. 819-831.

57. Wright S.I., Zhao J., Adams B.L. Automated determination of lattice orientation from electron backscatter Kikuchi diffraction patterns // Textures and Microstructures, 13, 1991.-P. 123-131.

58. Wright S.I., Adams B.L. Automated Analysis of Electron Backscatter Diffraction Patterns // Metallurgical Transactions, 23A, 1992. — P. 759—767.

59. Wright S.I., Adams B.L., Kunze K. Orientation Imaging Microscopy: Applications to the Measurements of Grain Boundary Structure // Materials Sci., Eng. A, 1993, V. 59.-P.166.

60. Engler O. Comprasion of X-ray and EBSD Textures for Back-Annealed Al-Mg Alloys // Material Science Forum, ICOTOM15. 2008. - P. 41-47.

61. Wright S.I. Comparision of Quantitative Texture Measurements via EBSD and X-ray // Material Science Forum, ICOTOM 15. 2008. - P. 88-94.

62. Pospiech J., Jura J., Gottstein G. Statistical analysis of single grain orientation data generated from model textures // Material Science Forum, ICOTOM10. 1994.-Vol. 157-162.-P. 407-412.

63. An EBSD Investigation on Deformation Induced Shear Bands in Ti-Bearing JF-Steel under Controlled Shock-Loading Conditions / Lins J.F., Sandim H.R.Z., Vecchio K.S., Raabe D. // Material Science Forum, ICOTOM 14. - 2005. -P. 495-498.

64. Higginson R.L., West G.D. The Study of Texture Development of High Temperature Oxide Scales on Steel Substrates Using Electron Backscatter Diffraction // Material Science Forum, ICOTOM 14.- 2005. P. 399-404.

65. Microstructure and Texture Evolution of Cold Worker 304 Stainless Steel. Experimental and Modelling / Petit B., Gey N., Humbert M., Bolle B., Cher-kaoui M. // Material Science Forum, ICOTOM 14. 2005. - P. 405-410.

66. Dewobroto N., Bozzolo TV., Wagner F. Influence of deformation substructures on the early mechanisms of recrystallization in cold-rolled Titanium and Zirconium // Material Science Forum, ICOTOM 14.- 2005. P. 711-716.

67. Textures in experimentally deformed olivine aggregates: the effects of added water and melt / Heidelbach F., Holtzman B., Hier-Majumber S., Kohlstedt D. // Material Science Forum, ICOTOM 14. 2005. - P. 63-68.

68. N., Humbert H., Bocher P., Jahazi M. // Material Science Forum, ICOTOM 14. -2005. P. 663-668.

69. Stanford N., Bate P.S. The martensitic transformation texture in Ti-6A1-4V // Material Science Forum, ICOTOM14. 2005. - P. 669-674.

70. Evolution of Texture in Zirconium Alloy Tubing During Processing / Allen V.M., Preuss M., Robson J.D., Comstock R.J. // Material Science Forum,

71. OTOM 14. 2005. - P. 675-680.

72. Phase Transformation Textures in Ti-6A1-4V Alloy / Vogel S.C., Bhatta-charyya D., Viswanathan G.B., Williams D.J., Franser H.L. // Material Science Forum, ICOTOM 14. 2005. - P. 681-686.

73. Thomas M.J., Wynne B.P., Rainforth W.M. Texture Evoluation of Titanium Aerospace Alloy Ti 834 Using Hot Axisymmetric Compression Tests // Material Science Forum, ICOTOM 14. 2005. - P. 693-698.

74. Dynamic recrystallization of torsion deformed NiAl / Kloden B., Scrotzki W., Oertel C.G., Rybacki E. // Material Science Forum, ICOTOM 14. 2005. - P. 743-748.

75. Bozzolo N., Wagner F. Textures in hep Titanium and Zirconium // Material Science Forum, ICOTOM 15. 2008. - P. 34-39.81. http.y/hkl-charmel.software.informer.com82. http://www.ncnr.nist.gov/xtal/software/gsas.html

76. PDF-to-ODF Inversion by Approximation with Spherical Radial Basis Functions // Hielscher R., Bernstein S., Schaeben H., van den Boogaart K.G., Bechmann J., Prestin J. // Material Science Forum, ICOTOM 14. 2005. - P. 313318.

77. Quantitative Texture Analysis with the HIPPO TOF Diffractometer / Pehl J., Matthies S., Wenk H.R., Lutterotti L., Vogel S.C. // Material Science Forum, ICOTOM14. -2005. -P. 113-118.

78. Separating Coincident Electron Backscatter Diffraction Patterns near Interfaces / Kacher J.P., Adams B.L., Fullwood D.T., Landon C.D. // Material Science Forum, ICOTOM 15. 2008. - P. 40.

79. Fromm B.S., Adams B.L., Ahmadi S. Grain Size and Orientation Distribution Function of High Purity Alpha-Titanium // Material Science Forum, ICOTOM 15. -2008. -P. 46.

80. Gholinia A., Konijnenberg P. Texture and Microstructure Analysis Using 3D-EBSD // Material Science Forum, ICOTOM 15. 2008. - P. 41.

81. Ченцое H.H. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М., Наука, 1972. - 512 с.

82. Крянев А.В., Лукин F.B. Математические методы обработки неопределенных данных. М.: ФМЛ, 2003. - 214 с.

83. Деврой Л., Дъёрфи Л. Непараметрическое оценивание плотности. — М.: Мир, 1988.-407 с.

84. Schaeben Н. A Unified View of Methods to Resolve the Inverse Problem of Texture Goniometry // Textures and Microstructures. 1996. — Vol. 25. — № 2. -P. 171-181.

85. Савелова Т.И., Бухарова Т.И. Представления группы SU(2) и их применение. М.: МИФИ, Учебное пособие, 1996. - 113 с.

86. Bunge H.J., Esling С. Determination of the Odd Part of the Texture Function // J. Phys. Lett. 1979. - Vol. 6. - № 23. - P. 621 - 628.

87. Beran M.J. Application of statistical theories to heterogeneous materials // Phys. Stat. Sol. (a). 1971. - Vol. 21. - P. 365.

88. Eschner T. Texture analysis by means of model functions // Textures and Microstructures. 1993. - Vol. 21. - P. 139 - 146.

89. Eschner T. Quantative Texturanalyse durch Komponentenzerlegung von Beugunspolfiguren, Braunschweig, Januar, 1995. 187 p.

90. Бухарова Т.И., Савелова Т.И. Восстановление полной функции распределения ориентировок // Заводская лаборатория. — 1985.— №10. С. 56 -58.

91. Бухарова Т.Н., Николаев Д.И., Савелова Т.И. Применение гауссовых распределений на SO(3) для вычисления физических свойств поликристаллов, М.: МИФИ, Препринт 066-87, 1987. 37 с.

92. Боровков М.В., Савелова Т.И. Вычисление нормальных распределений на группе вращений методом Монте-Карло // Журнал вычислит, машем. иматем. физ. — 2002. — Т.42. — №1. — С. 112 — 128.

93. Borovkov М. and Savyolova Т. The Computational Approaches to Calculate Normal Distributions on the Rotation Group // J. Appl. Ciyst. 2007. - Vol. 40.-P. 449-455.

94. Kunze К, Schaeben Н. The Bingman Distribution of Quaternions and Its Spcherical Radon Transform in Texture Analysis // Mathematical Geology. -2004. Vol. 36. - № 8. - P. 917 - 944.

95. Nikolayev D.I., Savyolova T.I. Normal Distribution on the Rotation Group // Textures andMicrostructures. — 1997. — Vol. 29. P. 201 - 233.

96. Schaeben H. "Normal" orientation distribution // Textures and Microstructures. 1992. - Vol. 19. - P. 197 - 202.

97. Parthasarathy K. R. The central limit theorem for the orientation group // Теория вероятностей и ее применение, 1964, v. 9, N2, P. 273 282.

98. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1965. 596 с.

99. Иванова Т.М., Савелова Т.И. Выражения для гауссовского распределения, удобные для вычисления на ЭВМ // Заводская лаборатория. — 1992. -№12.-С. 36-41.

100. Savyolova T.I., Davidzhan Е.А., Ivanova Т.М. Optimal Calculation of ODF with the Canonical Normal Distribution on the Rotation Group // Textures and Microstructures. 1999. - Vol. 33. - P. 337-341.

101. Лемешко Б.Ю., Постовалов C.H. О зависимости предельных распределений статистик Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных // Заводская лаборатория. — 1998. — Т. 64. № 5. -С. 56-63.

102. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Критерии типа Хи-квадрат. Госстандарт России, Москва, 2002.

103. В. П. Чистяков Курс теории вероятности. М. Наука, 1978. - 342 с.

104. Ю. Г. Древе, Ю. В. Дубровский. Прикладная математическая статистика. М.: МИФИ, 1997. - 45 с.

105. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям, М.: Наука, 1979.-832 с.

106. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М.: Либроком, 2010. - 584 с.11 в) Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. - 672 с.

107. Матросов A.B. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб. :БХВ-Петербург, 2001.-365 с.

108. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

109. Савелова Т.И., Сыпченко М.В. Оценка точности для восстановления функции распределения зерен по ориентациям для зависимых ориентаций и с учетом размеров зерен // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009, т. 49, №5, с. 879-890.

110. Савелова Т.Н., Сыпченко М.В. Получение ориентаций отдельных зерен поликристаллов при EBSD измерениях и вычисление ФРО и ПФ. — М.: МИФИ, Препринт 001-2009. 20с.

111. Адамеску P.A., Гелъд П.В., Митюшов Е.А. Анизотропия физических свойств металлов. — М., Металлургия, 1985. 137 с.

112. Вассерман Г., Гревен И. Текстуры металлических материалов. — М.: Металлургия, 1969. 653 с.

113. Теория образования текстур в металлах и сплавах / Вишняков Я.Д., Бабарэко A.A., Владимиров С.А., Эгиз И.В. М. Наука, 1979. - 329 с.

114. Никишин A.B., Николаев Д.И. Вычисление усредненных упругих свойств материалов, имеющих некруговой характер полюсных фигур // Кристаллография. 2008. - Т. 53. - №3. - С. 526-529.

115. Николаев Д.И., Савелова Т.Н. Аналитическое описание текстуры с помощью гауссовских распределений // Известия АН СССР. Металлы. — 1989.-№6. -С. 165-169.

116. Сиротин Ю.И, Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, - 1975.-680 с.

117. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: Наука. 1977.-285 с.

118. Kocks U.F., Tome C.N., Wenk H.R. Texture and Anisotropy. Cambridge University Press, 1998. - 675 p.

119. Serebryany V. N. Plastic Anisotropy Prediction by Ultrasonic Texture Data // Texture andMicrostructures. 1996. - Vol. 25. - №2. - P. 223-228.

120. Бернштейн M.Ji., Займовский В.А. Механические свойства металлов, М.: Металлургия, 1979. 495 с.

121. Готтштайн Г. Физико-химические основы материаловедения. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. 400 с.