автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы математического моделирования динамики систем со структурными изменениями в задачах экологии и рационального природопользования

На правах рукописи

Кириллов Александр Николаевич

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СТРУКТУРНЫМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ В ЗАДАЧАХ ЭКОЛОГИИ И РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

003479239

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Петрозаводск - 2009

работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном технологическом университете растительных полимеров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Камачкин Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Зубов Николай Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор Флегонтов Александр Владимирович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

Защита состоится «30 » суЛл ^?и2009г. в // часов на заседании диссертационного совета Д212.190.03 при Петрозаводском государственном университете по адресу: 185910, г.Петрозаводск, пр. Ленина, д.ЗЗ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан «-¿^ » ¿У^/г^уО 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Поляков В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема рационального природопользования приобретает все большее значение в связи с усилением антропогенных воздействий на окружающую среду. Исследование возможных последствий воздействий промышленных предприятий на природу, создание экологически безопасных производственных систем - важнейшая проблема. При этом математическое моделирование является одним из основных инструментов прогнозирования состояния природных систем, изучения процессов рационального природопользования и управления ими, исходя из экологических, экономических и социальных критериев. В связи с тем, что экологические, эколого-экономические, природоохранные системы характеризуются многочисленными взаимосвязями между составляющими их подсистемами и изменением структуры этих взаимосвязей в процессе функционирования, традиционные методы моделирования часто оказываются неудовлетворительными, приводя к построению громоздких математических моделей, аналитическое исследование которых невозможно. С другой стороны, излишнее упрощение модели может нарушить ее адекватность реальному объекту и тем самым обесценить ее прикладное значение. Необходимость компромисса между точностью описания и сложностью исследования выдвигает требование создания новых методов математического моделирования экологических систем.

Различным вопросам моделирования систем со структурными изменениями посвящены исследования таких ученых, как С.В.Емельянов, С.Н.Васильев, А.Б. Куржанский, В.М.Глушков, В.М.Матросов, Р.М.Юсупов, А.М.Самойленко, Н.А.Перестюк, А.А.Мартынюк, А.И.Маликов, В.И.Уткин, И.В.Гайшун, Б.В.Соколов, В.Г.Болтянский, Н.П.Бусленко, К.Д.Жук, А.С.Матвеев, М. Branicky, D.Liberzon, D.Siljak, A. Van der Schaft, H.Schumacher и других. Несмотря на достигнутый в последнее время успех в исследовании систем с изменяющейся структурой, в частности, гибридных систем, многие проблемы требуют своего решения. Так, например, задачи рационального природопользования и экологии приводят к необходимости введения новых понятий устойчивости, в частности, устойчивости структур. Актуальной является разработка единого подхода к моделированию систем со структурными изменениями. В применении к задачам экологии и рационального природопользования методы построения динамических систем со сложными взаимосвязями отражены в работах Г.И.Марчука, Ю.МСвирежева, Д.О.Логофета, В.И.Гурмана, В.А.Батурина, Ю.А.Домбровского, В.А.Вавилина, А.И.Москаленко, В.В.Пененко, Е.Я.Елизарова, А.И.Абакумова, Р.А.Полуэктова, Д.А.Саранча, Ю.А.Пыха, Б.Г.Заславского, I.Hanski, M.Gyllenberg, A.Hastings и других. При этом актуальным является создание методов моделирования динамики экологических систем с переменной структурой и размерностью. В частности, активно развивающаяся в последнее время теория метапопуляций

выдвигает задачи моделирования систем с переменным составом и разработки математического аппарата для их исследования. Системы с изменяющейся в процессе функционирования структурой характерны для многих задач экологии й рационального природопользования. В настоящей работе на основе предлагаемых в ней методов рассмотрены следующие задачи: моделирование процессов взаимодействия популяций с учетом миграций, моделирование процессов биологической очистки сточных вод с переменной структурой биомассы активного ила, моделирование экологически безопасной динамики функционирования некоторых процессов в целлюлозно-бумажной промышленности (ЦБП), моделирование динамики развития производственных систем с учетом природоохранных затрат и некоторые другие. Большое значение также имеет решение задач математического моделирования режимов стабилизации в нелинейных экологических системах. Возникают новые постановки задач, связанные с появлением в системах с изменяющейся структурой дополнительных ограничений, в результате чего традиционные модели оказываются неудовлетворительными.

Областью исследования являются теоретические основы математического моделирования и анализа динамики систем с изменяющейся структурой, качественные и аналитические методы построения математических моделей в задачах экологии и рационального природопользования.

Цель работы заключается в разработке методов математического моделирования и исследования динамики сложных систем со структурными изменениями, в построении на их основе математических моделей экологических систем и решении задач рационального природопользования.

Методы исследования. В настоящей работе используются методы математического анализа, качественной теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, математической теории устойчивости, функционального анализа, выпуклого анализа, теории управления.

Научная новизна. В диссертации разрабатываются методы математического моделирования и анализа динамических процессов со структурными изменениями. На их основе решается ряд важных задач моделирования динамики систем с переменным составом и структурой в экологии и рациональном природопользовании.

Предлагается единый, структурный, подход к моделированию и анализу динамических систем с переменным составом входящих в них подсистем. Вводятся понятия структуры, различных типов структурных траекторий и их устойчивости, эквивалентности систем со структурными изменениями, рассмотрены новые постановки задач стабилизации и оптимизации структур, получены их решения в некоторых случаях.

Предложен метод, упрощающий аналитическое исследование динамики систем с переменным составом, метод динамической декомпозиции, основанный на введении в динамическую систему дополнительных

переменных, регулирующих структурные изменения и исполняющих функцию эволюционного времени. В результате система на отдельных промежутках функционирования заменяется на более простые подсистемы, доступные аналитическому исследованию.

На основе предложенного подхода получены новые закономерности, характеризующие поведении некоторых систем экологической динамики. Предложено развитие модели В.Вольтерра «хищник-жертва» с целью учета миграционных процессов. Найдены и подробно исследованы режимы ее функционирования. Показано, что в отличие от классической модели В.Вольтерра, построенная система обладает большим разнообразием режимов поведения, что делает ее более адекватной реальным процессам.

С помощью метода динамической декомпозиции решается задача моделирования динамики развития производственного комплекса с переменной структурой с учетом природоохранных затрат. Исследуется влияние реструктуризации системы на повышение ее эффективности. Построена модель инвестирования, с помощью которой решается задача развития производственной системы на заданном отрезке времени при ограничениях на объемы инвестиций.

Предлагаются новые подходы к математическому моделированию режимов стабилизации нелинейных систем с учетом ограничений, характерных для динамических процессов со структурными изменениями в задачах рационального природопользования. Введено понятие стабилизируемости за любое конечное время состояния, не являющегося равновесным (Т- стабилизации), что позволяет, в частности, учитывать структурные ограничения в модели процесса биоочистки.. Предложен и обоснован алгоритм Т- стабилизации нелинейных динамических систем. Построена модель процесса стабилизации в конусе. На ее основе решается задача моделирования режима точечной стабилизации автоколебаний.

Разрабатываемые в настоящем исследовании качественные и аналитические методы применяются при моделировании режимов стабилизации некоторых типов химических реакторов с учетом ограничений на выбросы в окружающую среду. На основе метода динамической декомпозиции впервые строится многостадийная модель динамики экологически безопасного функционирования группы периодических реакторов в процессе варки целлюлозы.

С помощью метода динамической декомпозиции построена математическая модель стабилизации процесса биологической очистки сточных вод, учитывающая изменяющуюся структуру активного ила, что позволяет увеличить эффективность процесса очистки. Рассмотрены некоторые вопросы адекватности математических моделей динамических процессов.

Практическая значимость. Предлагаемые подходы и методы можно использовать для прогнозирования развития экологических систем, в частности, при исследовании динамики популяций, учитывающей миграционные процессы, для моделирования взаимосвязей между ареалами

обитания популяций. Введенные понятия устойчивости структур, позволяющие с единых позиций характеризовать свойства систем со структурными изменениями, могут быть использованы при моделировании условий экологически безопасного функционирования оборудования ЦБП, энергетических систем.

Построенная математическая модель производственного комплекса с переменным составом, позволяет решать задачу выбора стратегии инвестирования с учетом природоохранных затрат. Предложенный метод моделирования может также применяться для анализа экономических систем в кризисные и переходные периоды, когда изменяются внутренние и внешние структурные взаимосвязи.

Развиваемые в диссертации методы моделирования дают подход к решению практически важной задачи стабилизации процесса биологической очистки сточных вод. Часть результатов, относящихся к этому циклу исследований, использовалась в виде комплекса программ при создании автоматизированной системы управления очистными сооружениями на острове Белом в Санкт-Петербурге управлением "Водоканал".

Разработанные качественные и аналитические методы моделирования режимов стабилизации для некоторых типов химических реакторов при ограничениях, учитывающих экологическую безопасность процессов, могут применяться при создании систем управления в ЦБП. Некоторые результаты этих исследований использовались в дипломных работах студентов и в спецкурсах, читаемых автором в СПбГТУРП

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, основаны на логически, строгих доказательствах представленных в работе теорем, на использовании фундаментальных результатов математического анализа, теории устойчивости, теории дифференциальных уравнений, выпуклого анализа, теории матриц, подтверждаются результатами численного анализа и компьютерного моделирования.

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором.

Апробация работы. Результаты работы докладывались, обсуждались, были представлены на следующих конференциях, симпозиумах и научных школах:

- 2-ом симпозиуме "Теория чувствительности и ее применение" (Ленинград, 1979 г.);

- 4-ом симпозиуме "Теория адаптивных систем" (Ленинград, 1979 г.);

- 1-й и 3-й Всероссийских школах "Математические проблемы экологии" (Чита, 1986, 1990);

- 2-6-й Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 1995г.; Туапсе, 1996г.; Уфа, 1997г.; Йошкар-Ола, 1998г., Самара, 1999 г.);

- Всероссийских школах-коллоквиумах "Математические проблемы экологии" (Душанбе, 1991; Чита, 1994);

- Всероссийской научной конференции "Теоретические и прикладные вопросы экологии" (Бухара, 1992);

- 1-й и 3-й Всероссийских научных школах "Математические методы в экологии" (Петрозаводск, 2001, 2008 г.);

- 1-6-м и 9-м Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2000 г.; Самара, июнь, 2001г.; Йошкар-Ола, декабрь, 2001; Сочи, 2002 г.; Петрозаводск, 2003 г.; Сочи, 2004 г.; Сочи, 2005 г.; Кисловодск, 2008г.);

- Международной конференции "9-я Белорусская математическая конференция" (БГУ, Гродно, 2004);

- Международной конференции "Устойчивость и процессы управления" (Санкт-Петербург, СПбГУ, 2005);

- 2-й Российской мультиконференции по проблемам управления (Санкт-Петербург, 2008);

а также на семинарах в СПИИРАН," ИПМИ Карельского научного центра РАН, на межвузовских научно-технических конференциях в СПбГТУРП.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 56 печатных работах, из которых 11 - в статьях, входящих в Перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 260 страниц текста и состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 225 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации и характеристику области исследований. Дается обзор работ по теме диссертации. Приводятся основные цели и задачи исследования, основные результаты, отмечаются их научная новизна и практическая ценность.

В первой главе предлагается единый, структурный, подход к моделированию сложных динамических систем с переменными составом и структурой, разрабатывается математический аппарат описания структурной динамики этих систем, вводятся основные понятия, приводятся постановки новых задач, возникающих в связи с понятием структуры, и в ряде случаев дается их решение. Пусть S - сложная система, в состав которой могут входить динамические системы Sl,...,Sn> взаимодействующие между собой. Введем функции /,(/) : y,{t) = 1, если S, в момент времени t входит в S, и Y,{t) = 0 - в противном случае, i = \,...,п.

Определение 1. Вектор Y(t) = (yx{t).....yn(t))eR" называется

структурой системы S в момент времени t.

Пусть Г - множество всевозможных структур: / е Г. Полагаем, что Г

содержит нулевую, фиктивную, структуру 0 = (0.....0), у которой все

компоненты - нули. На множестве Г введем метрику

р(ГтУ2)) = El r,(1) - /,2) I, где y,J> = (/¡л.....//>) е г, j = 1,2.

f-i

Для задания динамики структуры y(t) вводится следующее понятие.

Определение 2. Структурной полудинамической системой называется семейство преобразований G'k множества структур Г в себя, удовлетворяющих условиям:

1)для любых у 6 Г и t0 б R определено множество G^(y) с Г при / > /0, (у)*0; 2) для любого ут е G'^ (у) определено множество G,' (ут) такое, что vG'li(ym) = G'lii(y) при. t>tx по ymeG!'(y); 3) Ump(G!o(y),y) = 0,

где p{G' {y),y)= шах р(у',у).

. г'еС^(г)

В первой главе строится реализация G'k в виде системы со структурными изменениями (ССИ), которая задается как множество вида

{Г(5), £2r(S), тг(J), Fr(S), Фг(5), 0r(S)} > (1)

где Г(£) - структурное пространство системы, т.е. множество структур, которые может иметь система S в процессе функционирования, Г(5) с Г ;

ПГ(5) = {□(/) : у е Г(5)} - множество фазовых пространств С1(у) динамических систем S (у); гГ{5) = {т(у) : у е Г(5)} - множество разбиений фазовых пространств Q(/) Г(У) = {П,(У): П(у) = иПр(г), QpnQq=0, p*q,p,q еР(у)},

где Р(у) - множество индексов;

Ft-(s) = {S (у) : у е Г(5)}- множество динамических систем S (у), заданных в фазовых пространствах □(/) ;

={<Ррд(7>/)}- множество отображений перехода из Ôp(y) в Of(/)\Ôf(/), где 0,0)-граница Пр(у);

®г(s) ~ Р 6 Р(т)> Я 6 Р(у')) ~ множество функций временных задержек при переходе от структуры у к у'.

Функционирование системы S происходит следующим образом. Пусть X(t,t0,X0(y)) - траектория динамической системы S(y) такая, что Х(10,10,Х0(у)) = X0(y)eQp(y)<zQ(y). Если траектория не попадает на границу D.p(y), то структура при t > t0 остается неизменной: y{t) = у. Если t~- первый момент времени такой, чтоХ~(у) = X(t~,t0,X0(y)) е Qp(y), то отображение перехода ç>„(r,r'), переводит Х'(у) в точку /еГ, деР(у'), где /, q зависят от у, р, X~(yl Гр. Отображение ç^iy,/) может быть задано динамической системой, что в

дальнейшем показано в работе. Далее, в момент времени = в*(у,р,Гр, Х~) > Г начинает действовать динамическая система 8{у').

При этом из условия > Г следует, что при > Гр на промежутке (Гр, происходит переключение структуры . системы, т.е. в общем случае переключение происходит не мгновенно. При /е(/~, /*), т.е. в режиме переключения, возможно одно из двух: либо система 5 не функционирует, т.е. имеет фиктивную структуру 0, либо 5 функционирует, но сохраняет структуру у, т.е. происходит задержка при переходе к структуре у'. Режим .: переключения-может задаваться динамической системой. Систему (1) можно отнести к классу гибридных систем.

Процесс функционирования системы 5 порождает последовательность структур {у1}. В работе предлагается понятийный аппарат для исследования структурной динамики. Начальная структура у° = /(/0), не определяет однозначно последовательность структур {ук}, в связи с чем в работе вводятся три вида последовательностей структур, различающиеся способом задания начальной структуры. В начальный момент времени можно задать один из трех элементов включения Хй(у°) е ПО'0) с П(у°).

Если задано Х0(у°), то определяются последовательность структур у(к,Х0(у0)), к = 0,1,2,..., У(О,Х0(у°)) = у°, называемая х- структурной орбитой, и х- структурная траектория ГД° /(М

структура, которую имеет система 5 в момент времени

Если задано Пр(у°), то определяются р- структурная орбита Г(к,р(у0)), Г(0,р) = у\ и р-структурная траектория Г(Г,?0,р(/0)), Г(?0,/0,рО°)) = /, для которых известно лишь, что Хд(уй) е П '(р0) •

Если задано 0(у"), то определяются структурная орбита Г(к,у°) и структурная траектория у0).

Далее вводятся понятия устойчивости структурных траекторий. Различные виды устойчивости отличаются способом задания отклонения возмущенных траекторий от некоторой невозмущенной траектории. Пусть Г',Г"- некоторые подмножества структур, Г',Г"с:Г, пусть р{у,Г') = тахр(у,у'), р{Г',Г") = шахр(/,Г"), / е ; р- метрика в П(у).

уеГ уеГ '

Введем окрестности состояния Х0(у°), множества Пр(у°), структуры у0: ио-(Х0(/)) = е"(/): РгЛХ,Х0(у0))<

ир(Пр(у°))= и Пг(уо),Я(уо,р) = {геР(уй):йг(Г°)Пйр(/)Ф0,гФР},

геЩу'.р)

ит(у°) = {у: р{у,у°)<т,т^}.

Тогда можно ввести следующие определения устойчивости.

Определение 3. х - структурная траектория Х0(у0)), называется

(1,х) - устойчивой, если найдется 8 > 0 такое, что для любой х - структурной траектории такой что Х0(у°) е ие(Х0(у0)), выполняется

(/,/?) - устойчивой, если для любой х- структурной траектории у'(и0,Х'0(у0)), такой что Х'й(у°)еир(Пр(у0)), выполняется РШ0, Хо (Г°)), /('Л> Х0(у0))) < I, е су у0), V/ > /0.

Структурная траектория Г(Л?0, называется (/,/и)-устойчивой, если найдется тв2* такое, что для всех структурных траекторий Г"(Г,/0,7'°) таких, что р(у'°,у°)<т выполняется /))</,УГ>/0.

Проводится анализ данных определений, а также вводятся более слабые виды устойчивости - орбитальной устойчивости структур, когда достаточна близость структурных орбит. Вводятся также понятия устойчивости для других типов траекторий и орбит. Можно еще ослабить определение 3, если допустить малость в смысле меры Лебега временных интервалов, на которых возмущенные структуры отличаются от невозмущенной больше, чем на I.

'Предлагается также понятие устойчивости по отношению к компонентам у1 вектора структуры у.

Определение 4. х-структурная траектория называется

/-устойчивой, если ЗТх': /ДГ) = 1;

/ -сильно устойчивой, если 3/' > /0 : у1 (0 = 1 V/ > г'.

Смысл определения: - сильная устойчивость означает, что подсистема 5",. не будет отключаться с некоторого момента времени; г - устойчивость -подсистема не отключается навсегда. Очевидно, из г- сильной устойчивости, следует / - устойчивость. Аналогичные понятия вводятся для р- структурной траектории и структурной траектории.

Предложенный подход позволяет моделировать аварийные ситуации при функционировании сложных систем. Пусть, начиная с некоторого момента времени, система или не может изменить свою структуру, т.е. время ее переключения бесконечно, или происходит переключение на структуру 0. Тогда будем считать, что система перестает функционировать.

Определение 5. Элемент £1р(у) разбиения т? называется аварийным,

если найдется к{р(у)) е такое, что Г(к,р(у)) = О У к > к(р(у)).

Пусть Кег{£1{у)) = и О (г), где £2.00 аварийный элемент.

Р*ПГ) р

Определение 6. Система 5 называется каскадно-неустойчивой, если найдется структура у е Г(Я), для которой Кег(С1(у)) Ф 0. Если 5 каскадно-неустойчива У у е Г(£), то 5 называется каскадно-неустойчивой в целом.

Понятие каскадной неустойчивости можно использовать при моделировании безопасного функционирования сложных экологических,

энергетических, технологических систем, в частности, оно формализует такую ситуацию, при которой выход из строя одной из подсистем влечет за собой выход из строя остальных подсистем. Возникает задача нахождения структур у, для которых Кег(С1(у)) * 0, важная для приложений.

Далее вводятся различные понятия эквивалентности ССИ. Вопрос о том, какие сложные системы считать в некотором смысле похожими, очевидно, имеет большое значение при анализе и конструировании систем. Предлагается, в частности, следующее понятие эквивалентности ССИ.

Определение 7. Системы 51, 52 называются А- эквивалентными, если для любых последовательностей структур {у1'к}, {у2к}, соответствующих системам 52, существует последовательность гомеоморфизмов

' такая, что диаграмма

СИ С». I- ап,2'

-»СО^2) -> .... ... 4 4 ^ ....

коммутативна при любом к&2*, т.е. /г* ■ С2,к = б1'* . Здесь 0'л -соответствующие композиции потоков и отображений перехода, порождаемые системами 51, 52.

Структурный подход, развиваемый в первой главе, позволяет ставить в соответствие системе 5 геометрические образы. Так, последовательности структур можно сопоставить ориентированный граф. В результате появляется возможность привлечения новых методов для моделирования и анализа динамики ССИ. Показано, что в ряде случаев для анализа структурной динамики можно использовать подход В.И.Арнольда, примененный им при исследовании сложности бинарных последовательностей.

Далее предлагается реализация предложенного подхода к моделированию ССИ. Вводится понятие параллельной ССИ. Пусть вектор у^еЯ", ут(!) = (у]((),...,у„(0), таков что =1, если у,{г)>%

у, = 0, если у,(0<У,) гДе У,~ постоянные пороговые значения, / = 1,...,п. Если в момент времени ?*: у^*) = у1 то происходит изменение структуры системы S, а именно: если при te(t*-S, <*), где постоянная £>0, 5 (с т.е. у,(0> Ун т0 происходит отключение от 5. Если при / е (/ * -8, /*) 5 ,<2 5, т.е. у,(?)<уп то происходит подключение '8, к 5. Рассмотрим подробнее динамику этих процессов.

Пусть в некоторый момент времени ( в состав 5 входят подсистемы / = 1 ,...,т, 5 = ..,5^}. Это значит, что

У к, (0 >Ук1> г = 1,...,т. Введем векторы Хке11к' состояний подсистем

. Тогда полагаем, что динамика 5 в момент времени г описывается системой дифференциальных уравнений

[А=/=1>->">

где 4 : л'1, ^: д) причем правые части

обеспечивают существование и единственность решения системы. Предлагается следующая процедура разрывного изменения структуры . Отключение . Пусть в момент времени ? = переменная у^ (/)

приняла значение д.- ук.(^)=ук). Введем непрерывные отображения

перехода <рЦ : , действующие следующим образом

где О*' - нулевой вектор, 0*' е К*', 0*" находится на }- м месте; 0 < -заданные постоянные; постоянная у^ - находится на (т +;') -м месте; заданный момент времени; заданные векторы,

1 = 1,...,т, г * У, Х^^ е. Як'\ у^- заданные постоянные, / = 1,...,и, удовлетворяющие условиям СУ^р-У/МУ/^'~/ = 1,—,л, означающим, что положение постоянных у1 ) по отношению к пороговым значениям у, после скачка не изменилось, т.е. отображение перехода (р^ , понижающее размерность системы 5, не влияет мгновенно на отключение или подключение других подсистем . Далее, при I > 7~ динамика задается уравнениями

ХК "/¡Ц..........Х*Л = 0*'» У' =

1 = 1,...,/и, г'*;', / = 1(3)

с начальными условиями

лД^й,-**/ (4)

Символ Хк обозначает отсутствие . В силу соотношений, которым удовлетворяет Хк/, имеем Хк (г) = 0*у при / > . Это значит, что переменной Хк можно пренебречь и можно считать, что при динамика системы 5 задается уравнениями

Таким образом, произошло отключение подсистемы , после чего

динамика системы 5 стала описываться уравнениями (5) с начальными условиями (4). Аналогично построена процедура подключения подсистемы.

Вектор у(() можно считать многомерным эволюционным временем системы в отличие от текущего времени I. Именно, изменение компонентов у,{г) приводит к изменению структуры системы 5. Таким образом, введение позволяет сложную систему на отдельных

промежутках ее функционирования заменять более простыми. "Такой метод моделирования ССИ можно назвать методом динамической декомпозиции.

Далее предлагается процедура непрерывного изменения структуры системы, при котором отображения переключения структуры задаются системами дифференциальных уравнений. Вводится также понятие последовательной системы. Если для параллельной системы возможна любая конфигурация вектора структуры у, то для последовательной -/ = (1,...,1,0,...,0), где на первых местах - единицы. Последовательные ССИ можно, в частности, использовать для решения задач динамического распределения памяти.

В §1.4-1.6 строятся модели линейных ССИ. В этом случае динамические системы £(/) и отображения перехода - линейны. В §1.5 формулируется и решается новая задача моделирования режима стабилизации структуры линейной последовательной ССИ, в отличие от традиционной задачи стабилизации фазовых состояний. Рассматривается последовательная ССИ с управляющим параметром и

где u&R, y{t)ehk =(ук,уы), ке{ 1,2.....и}, ^-заданные постоянные

при * * 1,2, у1 = -со, уя+1 = +оо. При y(t) = ук (.у(0 = уы)) происходит подробно описанный переход к структуре у = (1,...,1,0,...,0), у которой первые к — 1 (¿ + 1) компонентов равны 1.

Теорема 1.5.1. Для любого /е{1,..., п) найдется и = + ... + р„хп, где Pj- кусочно-постоянные функции компонентов xJt j = l,...,n, вектора Хп, такое, что система (6) будет иметь /- сильно устойчивую х- структурную траекторию для любой начальной точки (^чо'Уок)' Для которой

Xto&0, Хк0 = (х10,...,хк0) .

Далее рассматривается последовательная линейная ССИ

Хк = АкХк + Ски, у = В[Хк, и eR; Ск- матрица кхг. Для этой системы также решена задача моделирования режима стабилизации структуры.

Для линейных параллельных систем вводится специальная символика, позволяющая упростить процесс анализа ССИ. Пусть

Хк=АкХ,

1клк>

у = ВткХк+и,

(6)

а = (а1,...,ап)т; Ъ = (¿,,...,6„)г; а(Ь) = (а,61,...,а„й„)7'; = (а&,...,апЬ„)т.

Если А[- г-я строка матрицы А = (Л[, то Л(Ь) = (Ь1Л[.....ЬпАтп)т.

Пусть у, =1-гГ Векторы- ЯгМГЛ.-.УлУ»/. = назовем

векторами активного и пассивного времени эволюции, соответственно. Тогда динамика параллельной ССИ задается уравнениями

= Л(/)х(г) + СО)и, Я/) = ЯОМг) + , ЯЛ = Щу)х(у) + С(у)к,

(7)

где ивЯ', м>е.Яр, С, С, С-постоянные матрицы размерностей

их г, их л, пхр. Второе и третье уравнения в (7) задают динамику эволюционного времени для подсистем, входящих и не входящих в 5, соответственно. Предложен способ моделирования режима стабилизации л:-структурной траектории линейной параллельной системы (7).

В первой главе также формулируются новые постановки задач математического моделирования оптимальных процессов в ССИ. Показано, что при некоторых условиях промежуточное изменение структуры у(() позволяет повысить эффективность системы. Предлагаемый подход развивает исследования Ю.М. Свирежева по оптимальным структурам трофических цепей.

Во второй главе разрабатываются новые методы моделирования режимов стабилизации нелинейных динамических систем, учитывающие ограничения, характерные для систем со структурными изменениями в задачах рационального природопользования. В дальнейшем эти методы применяются для моделирования режимов экологически безопасного функционирования систем биологической очистки и некоторых видов химических реакторов. Вводятся новые понятия Т- и Ю- стабилизации, предлагаются соответствующие алгоритмы стабилизации.

Рассмотрим динамическую полисистему (ЬоЬгу С.), т.е. совокупность динамических систем 3(у,и) = «,),..зависящих от постоянных

параметров «¡еЛ, г = 1.....г; пусть Х(г,г0,Лг0(у),С//)еП(^) - траектория

полисистемы 51 (у, и), соответствующая упорядоченному множеству и, с и = {и,,...,!*,.}, состоящему из / элементов, т.е. траектория, склеенная из кусков траекторий систем 8(у,и,), и,еи,, соответствующих последовательному чередованию элементов и, множества {У,.

Определение 8. Точку X* е П(/) будем называть Б -стабилизируемой, если найдется такое множество ¿ХЛ!"*): Х*е £>(Х*)с£2(у), что для любой достаточно малой окрестности У(Х*) с: □(/) и любой точки Х\у)еБ(Х*)найдутся 1&2\ С/,, Г(К)> 0 такие, что при всех г > Т(У) Х({,(0,Х°^),и1)еЩХ*) = {Х: XеУ(Х*)Г)П(Х*), X* еУ(Х*)ПП(Х*)}.

Заметим, что, точка X* не предполагается положением равновесия, и к ней приближаются только траектории, принадлежащие области П(Х*).

Данное понятие позволяет моделировать режимы удержания траекторий системы Б(у,и) в области так, чтобы избежать нежелательного

переключения структуры при попадании траекторий на границу . При этом, в отличие от общепринятого определения, X* может быть граничной точкой области В(Х*). Таким образом, предложено обобщающее понятие стабилизируемости. Частным случаем £)-стабилизируемости является стабилизируемость в конусе. Точка X* является вершиной конуса, а траектории, находясь внутри него, переключаются на его границах. Такой конус назван $ -конусом. В работе исследуется вопрос о существовании скользящего режима на лучах, принадлежащих я- конусу в двумерном случае. Построен пример неаналитической системы, для которой существует 5 - конус, но лучей скольжения в конусе нет.

Для моделирования временных ограничений в режиме стабилизации предлагается новое понятие Г-стабилизируемости, являющееся распространением на задачу стабилизации понятия нормальной локальной управляемости, введенное Н.Н.Петровым (Дифференциальные уравнения. 1968, т.4, №7).

Определение 9. Точка X* е С1(у) называется Т - стабилизируемой, если для любого Т>0 существует такая ее окрестность У(Х*), что для любой точки Х°(у)еУ(Х*) найдутся 1е2*, II, такие, что траектория Х(1^0,Х°(у),и1) за время, меньшее чем Т, попадет в любую сколь угодно малую окрестность точки X * ив дальнейшем в ней останется.

Понятие Т- стабилизируемостии позволяет моделировать режимы стабилизации ССИ в случаях, когда требуется успевать решать задачу стабилизации, пока не произошло изменение структуры. Это имеет большое практическое значение, например, при моделировании динамики процесса биологической очистки (модель построена в настоящей работе), когда из-за изменений типа и концентрации субстрата-загрязнителя на входе в аэротенк, приходится изменять структуру биомассы путем изменения времени ее пребывания в аэротенке. Оказывается, что введенное выше понятие з-конуса, позволяет построить алгоритм Т- стабилизации в двумерном случае.

Пусть г(М, и,)- векторное поле в точке М е Щу) с Я2, соответствующее динамической системе .

Теорема 2.4.1. Точка М. Г-стабилизируема, если найдутся е£/, такие, что векторы г(М, и,), г(М, и}) неколлинеарны. При этом стабилизация

происходит в 5 -конусе с вершиной М.

Отметим, что теорема 2.4.1 позволяет решать одновременно две задачи: Т- и И -стабилизации, что особенно важно в приложениях.

Для получения алгоритма Г-стабилизации в Я" используется понятие положительного базиса (Ф.М.Кириллова, Р.Габасов, Н.Н.Петров).

Определение 10. Совокупность векторов а„...,ая, <яу е R", образует положительный базис, если для любого xeR" найдутся постоянные Л, > О, Л.е. R, i = 1,...,т,такие, что х = +... + .

В работе доказывается ряд результатов, связанных с положительным базисом, которые в дальнейшем используются при построении J-стабилизирующего управления. Вводятся в рассмотрение следующие конусы. Пусть векторы ар...,ал, а, е 7?", линейно независимы; A = (a1>...,aJ- матрица со столбцами a,, aeR", а,-компоненты а, (х, у)- скалярное произведение векторов. Рассмотрим открытый конус

К = {х: х = а,а1+... + апап = Ла, а,> 0}, и сопряженный открытый конус К* = {у: (а,., у)<0<^> А* у <0}, А*-транспонированная матрица, .К, К* - соответствующие замкнутые конусы; K = ]T\(K\J(-K)).

Лемма 2.5.6. Пусть -К* с К. Тогда для любого вектора у е К*, у± 0, найдется вектор геК, гФО такой, что (z, = 0. Если -Кс:К*, то в качестве К берем K = R"\(K*u(-K*)).

Лемма 2.5.7. Пусть у- какой-либо вектор из леммы 2.5.6, т.е. уеК*, если -К* с К, или уеК, если -К с: К*. Тогда проекции линейно независимых векторов а, = СЦ, О, Л, eR", i = l,...,n, на гиперплоскость ж„.,(0), ортогональную у, образуют положительный базис этой гиперплоскости.

Гиперплоскость 7гп_,(0) играет достаточно большую роль в алгоритме Т- стабилизации. Как следует из леммы 2.5.7, эта гиперплоскость не

единственна. Введем обозначение 7^,(0) = (О, а.....,ал), a, &R", i~\,...,n,

понимая под этим одну из гиперплоскостей, рассмотренных в лемме 2.5.7. Будем называть а!,...,ап)гиперплоскостью, порожденной векторами

а,.....д„. В §2.6 доказывается несколько подготовительных результатов.

Будем полагать, что r(M,ui)~ вкторное поле динамической полисистемы S{y,и), и, etf = {«„..Q(r)eR", пусть СеЯ".

Лемма 2.6.1. Пусть векторы а(. = г(0,и(), г = 1,...,и + 1 образуют положительный базис в Л". Тогда найдется такая окрестность VJO) е Q(j), что для любой точки М eVe{0) векторы ai(M)-r{M,ut), г' = 1,...,и + 1 также образуют положительный базис в R*.

Пусть векторы a,. =al(0) = r(0,ul)eR", ¿ = 1,...,« + 1, образуют положительный базис в Л"; пусть K(iv...,in)- открытый многогранный конус, являющийся положительной выпуклой оболочкой векторов а^,...,^ , is е {!,...,«}, s - 1,...,и, К ={K(it,...,/„)} - множество всех таких конусов. Будем

считать, что наборы (/,,...,/„) упорядочены, т.е. <г2 <...<7„, полагаем, что

(г1,...,1„) = 0\.....У„) о /,=./„ 5 = 1

Конус с вершиной в точке М, образованный векторами а^(М) = г(М, и^), к = 1,...,п, будем обозначать ЛТ(М; /',,...,/„). Пусть К(Л0

={К(М; /',.....)} - множество всех конусов с вершиной в точке

М,образованных векторами я ДМ), к = 1,...,и. Основным инструментом в

алгоритме Г-стабилизации является следующая цилиндрическая конструкция.

Построение цилиндра С0. Пусть Мй - начальная точка траектории системы $(у,и), М0 е Ус{0). Будем считать, что Ус(0) настолько мала, что в ней выполняется заключение леммы 2.6.1. Пусть О ет.е. точка О принадлежит внутренности конуса. Случай принадлежности точки О границе какого-либо конуса рассматривается аналогично. Пусть К(ОМ0) = К(ОМ0',ц,...,!„) конус, полученный параллельным сдвигом конуса К(0;{,...,1Я) на вектор ОМ0. Будем считать, что окрестность Уе(О)настолько мала, что ОеК(ОМ0). Таким образом, вершина конуса совпадает с точкой М0, а его ребра параллельны ребрам конуса /С(0;г,,...,г„). Итак, ОеК(ОМ0-,ц,...,1п). Это предположение возможно в силу непрерывности векторных полей системы Б {у,и). Далее, пусть /„- прямая, проходящая через точку М0 и ортогональная гиперплоскости япА(0,ц...,1п), 10пяпА(О,ц,...,1п) = Ый - точка пересечения прямой /0 и гиперплоскости ппЛ(0, ;',,...,/„). Отрезок [А/0Л^0] примем за образующую цилиндра. Пусть £>п_,(С>;Лг0) - (п-1)- мерный замкнутый диск с центром в точке О, принадлежащий лпА{0\ ¿р...,*„) и такой, что точка лежит на его границе, т.е. если Бп(О;М0) = {х: ||*|| < \\ОИй [|2}, то А-,(О;) = Д, (О; ) п ттп_,(О;/,,...,/'„). Диск 0^(0-Ы0) будем полагать нижним основанием цилиндра.

Рассмотрим цилиндр С0 =Ц,_, (О; Лг0)х[М0Л^0]. Его основания,

А.-(С;Лг0) = £>„,,(О;Л',,)хи П^{0-Мй) = 0^(р-,Ый)хМй, будем называть нижним и верхним основаниями, соответственно. Пусть:

сфера граница диска £)„_,((9;Л^0); сфера Ё„_2(О\М0)-

граница диска Ц,ч (О; .№<,);

жпА{М0) - (и-1)- мерная гиперплоскость, параллельная лп_х{0\ ...,!„) и проходящая через точку М0;

Лп_2{М0) - (п-2) - мерная гиперплоскость, принадлежащая жпА{Мй) и касающаяся верхнего основания цилиндра Ол_,(О;Л/0) в точке М0;

Лемма 2.6.4. Найдется м;о е {и.,...,«,.}, и^ е ¡7, к-\,...,п, такое, что траектория Аг(?,?0,Л/0(/),м1.) системы В {у,и) входит в цилиндр С0 в момент

времени t0, т.е. X{t,t0,Mü{y),ut)&Cü при t e[t0,t0 + <50]. Здесь S0 - некоторая

положительная постоянная.

Лемма 2.6.5. Пусть ец (М).....е,(М)~ проекции (геометрические)

векторов aK{M),...,ai{M) т. прямую/0. Тогда найдется такая постоянная e(ilt...,i)> 0, что min ||е, (М)|| > е% ...,/„) для всех точек М еС„.

je{l.....я) '

Лемма 2.6.6. Найдется упорядоченное множество Ul е U такое, что траектория X(t,t0,M0(y),U,) за конечное время попадет на нижнее основание Dn_,(O;N0) цилиндра С0, не покидая С0.

Теорема 2.6.1. (О Т - стабилизации). Пусть векторы r(0,ut),, i = 1,...,п + ¡образуют положительный базис. Тогда для любого Г > О найдется окрестность VHT) (О) такая, что для любой точки Mt(y)eVC(T)(О)найдется упорядоченное множество U,eU такое, что траектория X(t,tü,M0(y),U,)3a время, меньшее, чем Г, попадет в любую сколь угодно малую окрестность точки О и в дальнейшем в ней останется, т.е. точка О Т- стабилизируема.

Алгоритм Г-стабилизации строится при доказательстве теоремы. Пусть траектория попадает на нижнее основание цилиндра С0 в точку Мх, которая полагается начальной и строится новый цилиндр С, алогично цилиндру С0 и т.д. Получаем последовательность цилиндров {Ск},к = 0,1,2,..., стягивающихся к точке О, являющейся центром их нижних оснований. Траектория последовательно переходит из Ct в Ct+1, осуществляя Т-стабилизацию точки О. Следует отметить, что традиционная стабилизация точки О при условии теоремы 2.6.1 очевидна. Предлагаемый метод рассчитан именно на решение задачи Т - стабилизации.

В §2.7 в случае R2 моделируется режим точечной стабилизации автоколебания в s- конусе. В §2.8 при некоторых условиях решена задача Т- стабилизации линейной нестационарной системы S{y,u,t). Этот результат в некотором смысле созвучен результату Г.А.Леонова, решившему проблему нестационарной стабилизации Р.Брокетга.

Предлагаемый в главе 1 подход к построению математических моделей ССИ позволяет в ряде случаев исследовать аналитически динамику сложных экологических систем, изучаемых в теории метапопуляций (Gilpin М.Е., Gyllenberg М., Hanski I., Hastings A., etc), разбивая их на последовательности более простых. Будем полагать, что если у, = 1, то популяция i - го вида присутствует в ареале, если у, = 0 то - нет. В главе 3 рассматривается развитие системы В.Вольтерра «хищник-жертва», в которой хищник может мигрировать в другие ареалы в случае недостатка жертв. Для преодоления сложности применения аналитических методов предлагается разбивать процесс на стадии миграции хищника, взаимодействия «хищник-жертва» и роста популяции жертв. Построенная модель относится к классу

последовательных ССИ с непрерывным изменением структуры. Структура принимает два значения: у = { 1 0), если хищник отсутствует в ареале обитания жертвы(стадия роста популяции жертвы), ^ = (1 1), если происходит миграция хищника или его взаимодействие с жертвой. Такой подход позволяет решать задачу исследования устойчивости структур. Это отличает настоящую модель от традиционных моделей, в которых исследуется устойчивость состояний равновесия. В §3.1 дается подробная мотивация и обоснование условий изменения структуры рассматриваемой системы. В результате предлагается следующая модель хищник-жертва с миграцией, являющаяся ССИ с непрерывным изменением структуры, заданная в пространстве переменных х1,х2,п:

п> А: ¿1 = х{а-Ьх2), х2 = х2{кЬх, - т), Н — Х^ — > (8)

п< А, х2 > е' (х,): ■ х, = ах,, х2 = -тх2, и = х^ — Хх^ 9 (9)

п< А, 0<х2 <е'(х,): х, = 0, х2=-с, я=0, (Ю)

п< А, х2 = 0: х, = ах,', х2=0, п = хх -Лх2, (П)

п = А, х2 <£-*(х,): ¿¡ = 0, х2-с, п = 0, (12)

где с,А,Л - некоторые положительные постоянные, е'(х])- непрерывная пороговая функция, удовлетворяющая условиям: £*(0) = 0, £*(х1)>0 при

х, > 0. В дальнейшем в качестве £•'(*,) возьмем функцию с*(х,) = —х,

Л

при 0.< х, < ел, е'(хх) = еЛ при х{>еЛ, е- заданная постоянная, е>0.

Поясйим экологический смысл данной модели. Введем "следующие названия и обозначения режимов, описываемых системами (8)-(12). Будем говорить, что система (8) описывает полный режим (Р2), (9) - переходный (Р2|), (10) - минус-скачок (Р_), (11)-нулевой (12) - плюс-скачок (Р+). Полный режим соответствует наличию в сообществе и хищника, и жертвы, динамка взаимодействия которых задается уравнениями В.Вольтерра. Переходный режим - миграция хищника, причем отношения хищник-жертва несущественны. Минус-скачок - режим полного исчезновения хищника из сообщества, настолько быстропротекающий, что при этом не учитывается изменение переменных х,,й. Нулевой режим описывает динамику жертвы без самолимитирования в отсутствие хищника. Самолимитирование учитывается в §3.8. Плюс-скачок - инвазия хищника в сообщество. Изменение п обеспечивает смену режимов Р1,Р1[,Р2. В работе показано, что выполнение неравенства п > А можно считать признаком наличия достаточного количества жертв для удовлетворения потребностей популяции хищников, и, наоборот, неравенство п < А означает, недостаток ресурса питания для популяции хищников. При этом, решение об изменении режима принимается не мгновенно, а с учетом предыстории, так как

т = "(to) + J(*i(r) - ЯХ2{фт = n(ta) + W*^ - x\r.

<„ to VX2V) J

И, действительно, «важное решение» об изменении структуры не должно быть подвержено влиянию мгновенных значений фазовых переменных х,,х2, оно должно носить инерционный характер, что и обусловило введение в настоящую модель дифференциального уравнения относительно п для описания процессов смены режимов. Таким образом, переменная h является эволюционным временем, введенным в первой главе. Отметим, что величина хх!хг как фактор, влияющий на динамику хищника, была использована в модели Лесли «хищник-жертва».

Лемма 3.2.1. Системы (8)-(9) имеют линейный интеграл тх1+аЛх2—атп-= const, причем для системы (8) это имеет место тогда и только тогда, когда Л = т/ак.

Можно показать, что поведение траекторий построенной системы (8)-(12) зависит от того, в какую, точку плоскости р = й-Л = 0 попадет траектория. Плоскость р = 0 поэтому называется дискриминантной. В §3.3 получен ряд результатов, характеризующих дискриминантную плоскость. В силу того, что в правые части первых двух уравнений системы (8) не входит п, траектории этой системы в пространстве (х,,х2,й) будут располагаться на цилиндрах с основаниями, лежащими на плоскости р- 0, образующими, параллельными оси On, и направляющими, которые являются замкнутыми проекциями траекторий на плоскость р = 0. Цилиндры лежат в полуплоскости р>.0. Множество этих цилиндров траекторий Va,aeR+ можно упорядочить. Будем обозначать Va<Vfi, если цилиндр Va лежит внутри цилиндра V^. Доказана лемма о том, что траектория системы (9), начавшаяся на цилиндре Va, возвращается на плоскость р- 0 (сразу из режима Рп) в точку, принадлежащую некоторому цилиндру V0 так, что Vp <Va при A<m/ak;Va< Vp при Л>т/ак; Vp = Va при Л = т/ак.

При Яфт/ак, в силу выпуклости траекторий системы Вольтерра, найдется цилиндр траекторий V", касающийся плоскости q = хх -Лх2 = 0. Назовем V* касательным цилиндром.

Лемма 3.3.1. Пусть e<alb и при этом V' не касается плоскости х2=е. Пусть начальная точка принадлежит V' или лежит внутри него. Тогда при А<т/ак в системе устанавливается режим Рг; при Л>т/ак система переходит в режим Р21.

Исследуются предельные множества построенной модели. Показано, что предельные цилиндры не существуют. В §3.4-3.6 проводится качественное исследование построенной модели. В §3.7 доказываются основные теоремы о глобальном поведении траекторий системы (8)-(12). Обозначим через О,

точку с координатами х, = т/Ьк,х2 = Ь/а,п-А, а через Охк луч: р = 0, д = 0, дг, >т/Ьк.

Теорема 3.7.1. Пусть Л<т/ак. Тогда для любой начальной точки М0(х10, х20, п0) найдется такой момент времени Т(М0), что при />Г(Л/0) в системе (8)-(12) установится режим Рг.

Теорема 3.7.2. Пусть Л = т/ак, ц = дг, - Лх2. Тогда для любой начальной точки М0(х10, х20, п0), кроме точек лучей

01д = ((л:,, хг, л):р = 0, д = 0, х1 > т/Ьк, х2 >а/Ь), = хг, п):р>0,х1=т/Ьк, х2 =а/Ь), найдется такой момент времени Т(М0), что при / > Т(М0) в системе (8)-(12) установится периодический режим одного из двух типов: Р2 или (Р2,Р2,). Точки лучей 0$ и являются положениями равновесия.

Теорема 3.7.3. Пусть Л>т/ак. Тогда, если начальная точка принадлежит лучу ОгИ, то в системе (8)-(12) устанавливается неустойчивый скользящий режим, и при этом для точек луча 0,/г

Нт х(/) = +оо, ¿ = 1,2. (13)

/-»■н»

Для остальных начальных точек будет происходить бесконечное чередование режимов Р2,Р2] с возможным выходом на режим Р1 при достаточно малых х2, и при этом также выполняется (13).

• Предложена экологическая интерпретация полученных результатов. Построенная модель обладает большим разнообразием режимов. При этом режим Р2, соответствующий классической модели В.Вольтерра, является одним из возможных частных случаев и осуществляется лишь при определенных условиях. В §3.8 рассматривается модель, в которой в отсутствие хищника рост численности особей жертвы сдерживается конкуренцией. В этом случае первое уравнение в системе (11), т. е. уравнение, задающее динамику жертвы в отсутствие хищника, имеет вид х, = - ¿¿с,), где постоянная а? > 0. Исследуется влияние этого изменения модели на ее динамику, доказываются теоремы, дающие условия вторичной миграции. Найдены условия существования периодического структурного режима , т.е. периодической структурной орбиты

{/* = (1 1), уы = (1 0)}. Таким образом, построенная модель хищник -жертва с миграцией демонстрирует более разнообразные режимы поведения, чем классическая модель В.Вольтерра, что делает ее более адекватной.

В главе 4 на основе подхода, предложенного в главе 1, строится и исследуется математическая модель развития экономической производственной системы с учетом природоохранных затрат в виде ССИ. Рассматривается некоторое производственное объединение (ПО), в состав которого входит конечное, но изменяющееся количество одновременно

функционирующих предприятий: у, = 1, если i - е предприятие входит в состав ПО, // = 0— в противном случае. Изменение этого количества происходит согласно правилам, устанавливаемым некоторым центром. Центр должен распределить инвестиции по предприятиям для их развития. Цель развития состоит в достижении предприятиями некоторых заданных уровней в течение заданного промежутка времени [/„Л+Г]. При этом центр может закрыть какое-либо предприятие или возобновить его работу в зависимости от эффективности его производственной и природоохранной деятельности, а также может открыть новое предприятие при условиях эффективной работы ПО. Задача состоит в построении функции распределения инвестиций по предприятиям, обеспечивающей их рост к нормативным уровням с учетом природоохранных затрат. Пусть количественная характеристика состояния /-ого предприятия в момент времени t определяется функцией > О, xft) е R. Скорость прироста инвестиций в предприятие г в момент t обозначим через и, (/,*,(*))6-Я» Далее, пусть at(t)~ скорость

прироста уровня развития предприятия i на единицу капитала, вложенного в него, 0 <а,.({)- ограниченная, кусочно-непрерывная функция. Тогда дифференциальное уравнение, задающее динамику развития г - го предприятия, имеет вид

и,('>*,). * = 1Д... (И)

Заметим, что количество предприятий, функционирующих в составе ПО, не задано. Будем считать, что инвестиции, направляемые центром на развитие i - го предприятия, состоят из части собственных средств и кредитов банка, которые получает ПО, а центр распределяет по предприятиям. Таким образом, можно ввести условие

05)

где //ДО- коэффициент, характеризующий скорость прироста собственных средств предприятия на единицу объема его продукции;

('>•*;)- скорость прироста инвестиций за счет кредита банка. При этом //,(?)>0, м'Д/,*,)>0, д.(г), w,(/,*,)— кусочно-непрерывны. Введем функцию k(t)~ количество функционирующих предприятий, входящих в состав ПО в момент времени t, k(t)~ кусочно-постоянная функция, множество значений которой Е = {0,1,2,...,«}, п-заданное натуральное число. Если в момент времени t объединение состоит из т предприятий ivi2,...,im, то k(t) = теЕ. Если k(t) = 0, то в момент t ПО не функционирует. .

Теперь рассмотрим условия изменения количества предприятий в составе ПО, т.е. условия изменения структуры. Предположим, что центр может закрывать неэффективные предприятия или, наоборот, открывать новые в случае успешной деятельности ПО. Построим модели процессов сокращения и расширения производства при различных предположениях.

При этом будем использовать метод построения моделей ССИ, предложенный в главе 1.

Процесс сокращения производства. Пусть 70 момент начала

функционирования ПО и на некотором промежутке времени [70,7]

объединение состоит из т предприятий с номерами т.е. £(/) = т при 7 6 [70,7]. Тогда уравнения (14), (15) примут вид

(0 •«/,('.*/,)> (16)

и4 (г,х<>) = ^(7)-х, (7)+м>, (7,х.), 5 = 1,...,т, (17)

Будем считать, что при принятии решения о закрытии предприятия центр руководствуется анализом эффективности его функционирования, в которой отражается его производственная и природоохранная деятельность на некотором промежутке времени [70,7]. Пусть

где скорость прироста инвестиций за счет кредита банка, идущих

на развитие производства, (1-6,(7))-те, - скорость прироста инвестиций за счет кредита банка, идущих на природоохранные затраты, 6, (7) - кусочно-непрерывные функции, 0 < 6,(7) <1. Введем переменные у, = у) (7)

д «=у\ + К ^х, - К & ■ п (Тл (18)

'о

где с, (7, (/))- заданные пороговые функции, ограниченные, кусочно-непрерывные, принимающие неотрицательные значения; у^- заданные постоянные, у, (70 ) = >')'. Продифференцировав равенство (18), получим систему уравнений, которой удовлетворяют переменные у> {1)

= 5 = 1,...,т. (19)

Таким образом, динамика ПО на [70,7] задается уравнениями (16), (17), (19). Введем в рассмотрение нижние пороговые значения, кусочно-непрерывные функции ¿¿1 (7) = (7,х, (7), у, (7)) > 0, причем положим, что

существуют постоянные 31 >0 такие, что (7), у, (7)) непрерывны при

7€[70,70 +<5,]. Пусть ^(70,х^(70),д(70)) = - заданные постоянные.

Аналогично введем в рассмотрение верхние пороговые значения, кусочно-непрерывные функции е, (7) = е, (7,х, (7),у, (7))>0, и пусть существуют

постоянные >0 такие, что е (?)) непрерывны при

7е[70,70 Пусть ^(70,х1;[(70),_у, (70)) = е°- заданные постоянные.

Добавим еще одно условие, характеризующее взаимосвязь порогов. Пусть

(0,^(0) ПРИ всеХ '^'о и ККУ1<е1 Тогда

в силу непрерывности у, (7) и с/, (7) = (7,х( (7),.у, (7)) на [70 , 70 + <У ]

имеем, что д(0>4,('»*„,(0.^(0) на [г0,/0+ <5^], где >0.

Предположим, что найдется первый момент времени > г0, геге{г„г2,...,ги}, такой,.что

(20)

Тогда полагаем, что в момент I = /г происходит закрытие предприятия с номером г. При этом переменные хг, уг мгновенно (скачком) изменяют свои значения хг(/Дуг(/,) на некоторые заданные меньшие значения хг({г)<хг(*г)> Уг (К)кУЛК)• Далее, при 1>гг, т.е. после закрытия г- го предприятия динамика ПО будет задаваться системой

При этом

*4(*г + 0) = *4(О, + = если г5е{ц,..4т}\{г}, у,Цг + 0) = у;(О. В работе обосновывается экономический смысл предложенной модели. Показано, что выполнение неравенства Ь,(0 • > сД/,х;) означает

низкую эффективность работы предприятия /' и недофинансирование им природоохранных затрат, что приводит к его замораживанию или закрытию. При этом наличие интеграла в условии (20) придает инерционность процессу принятия решения о закрытии предприятия, что позволяет избежать необоснованности этого решения. Переменная у1 играет роль эволюционного времени для предприятия г. Далее в работе моделируется процесс расширения производства. Рассмотрены различные сценарии этой процедуры. Предлагаются также модели на основе последовательной ССИ и модели с непрерывным изменением структуры.

В четвертой главе также решается задача моделирования процесса инвестирования одного предприятия и построения кредитной функции у/, позволяющей предприятию, динамика которого задается системой х-=а-(ц-х + у/'), у = с-Ь-м?,

достичь уровня развития х1 = х(/0 + Т) > х° = х(/0). Проведено исследование задачи в двух случаях: при закрытии и замораживании предприятия. Исследован случай, когда процесс замораживания-размораживания происходит т раз, где т заранее не задано. Дается конструкция кредитной управляющей функции, решающей задачу перевода предприятия на заданный уровень развития.

В §4.4 рассмотрены задачи моделирования процесса инвестирования ПО с переменным количеством предприятий. В частности, ставится и решается задача: построить кредитную функцию = при

которой вектор состояний ПО попадает в целевую область

х\ + - + х[к(^т) = Х, х\ >0, х'=х((?0+Г)}, где г=1 ,...,¿(0, х,1 + + > + ...+ , ^-заданная постоянная. При этом

количество предприятий может изменяться в процессе функционирования. Далее исследуется задача развития при недостатке собственных средств, имеющихся в распоряжении одного предприятия, для ее решения. При этом возникает вопрос: может ли ПО за счет открытия дополнительного предприятия достичь заданного уровня развития к моменту времени Г0 + Г? По сути, это вопрос о том, может ли и при каких условиях реструктуризация повысить эффективность ПО. Положительный ответ на поставленный вопрос при некоторых условиях дает теорема 4.4.2.

Теорема 4.4.2. Пусть £(Г0) = 1; м><м>; пусть для постоянных Щх,мп,м22 выполняются условия недостатка кредитного ресурса для одного предприятия

¿х<у0+(с-Ьх.Я).Т<с12,

А М

пусть выполняется условие сохранения двух функционирующих

предприятий при ?£+ Г]: д2+(с-Ьх-ыХ2-Ь2-'н>22)-(Т————)>0,

с -6,и>п

Г- момент открытия второго предприятия; пусть выполняется целевое условие

(^(Г)+Щ. е<ийт-о _ +( ♦ + 2%). ¿Ь* с^-о _ Ъ*.=х; А АЛ ¡Н

1 ,

удовлетворяет условию м>п< — -(с—4--).

Ъх Т

Тогда кредитная функция такая, что и>, = м>и, м>2 = 0 при- ? е[/а,/+), IV, = \у12 , м>2 = и>22 при г е[?+,?0 +Т], решает задачу развития ПО до заданного уровня. При этом на промежутке |/0,'+) ПО состоит из одного предприятия

х, = адх, + ах, у = с - Ьх- ЪгУ>2,

*1<Л) = Х1 . У({о) = Уо> ^<у0<с12, а на промежутке /■„ + Г] - из двух предприятий

х, = ахцххх +ахм>х, х2 = а2р2х2 + а2\ч2, у = с-Ьхмх -Ь2н>2, х,(Г++0) = х1(О, х2(г+ +0) = х2(/+) = х2, у(? + 0) = <*2+62,

при этом хМ+) = еа""(Г-'"] ■ (х.°

Я #

Далее исследуются условия, при которых открытие дополнительного предприятия расширяет возможности развития ПО. Доказывается теорема, в которой формулируются условия, обеспечивающие это расширение. В §4.5 решена задача развития ПО при ограниченном объеме инвестиций. В §4.6. предлагается подход к исследованию задачи развития ПО с переменной структурой взаимосвязей экономических подсистем. Этот подход можно использовать к обобщению модели В.Леонтьева "затраты-выпуски".

В главе 5 на основе методов, разработанных в главе 2, рассматриваются задачи моделирования режимов стабилизации в динамических системах рационального природопользования. В §5.1-5.3 на основе метода 5- конуса решены задачи глобальной и локальной стабилизации режимов некоторых химических реакторов при ограничениях на допустимые тепловые выбросы в окружающую среду, находятся множества точек, которые могут быть стабилизируемы и области стабилизируемости (притяжения). Преимуществами метода стабилизации с помощью 5- конуса является его грубость по отношению к возмущениям параметров системы, простота реализации, возможность учитывать ограничения. При этом решаются задачи £>- и Т- стабилизации. В §5.4 предложена модель и метод стабилизации системы В.Вольтерра с переменной структурой. Рассмотрена система х = х(а — Ьу) — их, у = у(кЬх - т), где х,у- плотности популяции хищника и жертвы, соответственно; О < и - скорость отбора в популяции жертв. При этом к- я часть энергии, полученной хищником с биомассой жертвы, расходуется на воспроизводство его численности, (1 - к) -я часть энергии расходуется на поиск добычи, 0 <к<\. Естественно предположить, что при увеличении отбора жертв, популяция хищников затрачивает больше энергии на добывание пищи. Тогда положим

к(и)=к1> если и=щ, к(и)=к2, если и = щ, где 0 < и, < иг, 0 < к2 < к\ < 1, и1,к! - постоянные, 2=1,2. Таким образом, к становится функцией скорости отбора. Строятся алгоритмы глобальной и локальной стабилизации.

В §5.4 на основе метода динамической декомпозиции предлагается модель динамики экологически безопасного функционирования группы периодических химических реакторов. При производстве целлюлозы периодическим способом варочные котлы объединяются в технологическую линию с последовательным их обслуживанием на стадиях загрузки щепой и химикатами и выгрузки целлюлозной массы. Для того чтобы материальные потоки, входящие в отдел варки и выходящие из него, имели постоянные временные характеристики, обычно составляется циклограмма, т.е. график работы котлов, который обеспечивает их последовательный выход на стадии загрузки и выгрузки. Задача системы обслуживания состоит в выдерживании этого графика. Но действие возмущений, таких как падение давления греющего пара, вынужденные задержки процесса варки при отказах оборудования смежных производств, нарушения технологического регламента, изменение характеристик сырья и химикатов приводит к нарушению графика работы варочных реакторов, что снижает производительность варочного отдела и может привести к аварийной ситуации с опасными для окружающей среды последствиями. В связи с этим предлагается новый метод моделирования режима стабилизации процесса, основанный на рассмотрении последовательности реакторов как параллельной ССИ,

введенной в гл.1. Пусть система уравнений, описывающих процесс химических превращений в г м реакторе имеет вид

-У -У

X. = -х,е , у,=х,е /у' + и1(у01 -у,), г, =х,-с,, 1 = 1,...,и, где хп уконцентрация реагента и температура в г- м реакторе; и-скоростьпоступления пара в 1-й реактор; п- количество реакторов, у01-температура стенки в г'-м реакторе, с(, (¡1, - некоторые постоянные, с1>0,гл>с1г Будем полагать, что процесс варки в /- м реакторе продолжается до тех пор, пока выполняется условие

I

*,=*,« +>4. (21)

При достижении переменной г, значения ¿1, процесс варки прекращается, и реактор выходит на разгрузку. Таким образом, г,— эволюционное время / - го котла. Смысл этого условия: в начальный момент времени имеем = >с1г Далее в силу первого уравнения переменная дг,(?) убывает к нулю, и с некоторого момента времени разность х, -с, станет и . останется отрицательной. Тогда переменная также будет убывать и достигнет значения йг Если вместо (21) использовать условие х,-с,>О, при котором осуществляется стадия химических превращений, и условие х,-с1 = 0, при котором она заканчивается, то незначительные помехи и неточности в знании параметров могут привести к прекращению этой стадии и .выгрузке неготового продукта. Наличие интеграла в (21) обеспечивает инерционность при принятии решения о завершении стадии химических превращений. Введем вектор структуры у = (у],—,уп) следующим образом: у, = 1, если г' - й реактор находится в стадиях осмотра, загрузки и химических превращений; у,=0, если ;- й реактор находится в стадии разгрузки. Показано, что безопасное функционирование системы котлов соответствует осуществлению периодической х- структурной орбиты у(кУ,Х0(у0)):

у{кУ,Хй{уй)) = у(к + п,у\Х,{у°)),

где у{к,уй,Хй(у°)) = ( 1,...,1,0,1.....1), причем 0 находится на к- м месте,.

¿ = 1,2,... При этом будем полагать, что ^(0,/°,Х0(/°)) = (1,...,1,1,1,...,1). Здесь Х0(у0)- начальное состояние системы реакторов. Решена задача об определении области параметров и. е[м1",м(+], таких, что х-

структурная траектория Х^у0)), которой соответствует п-

периодическая х - структурная орбита, будет (0,х)- устойчива. Показано, что тогда в системе будет происходить последовательная разгрузка котлов, причем в режиме разгрузки будет находиться только один из них.

В главе 6 разработанные в главах 1,2 методы применяются к моделированию режима стабилизации процесса биологической очистки

сточных вод. Сточные воды, представляющие собой многокомпонентный субстрат-загрязнитель, в совокупности с активным илом, состоящими из многочисленных групп микроорганизмов, представляют собой сложную иерархическую систему. В §§6.1-6.2 построена модель режима стабилизации на основе функции Моно. Трудность решения задачи обусловлена нелинейностью системы и наличием ограничений. При этом строится соответствующий s- конус, стабилизация в котором позволяет удовлетворить ограничениям. Решаются задачи моделирования режимов - локальной и глобальной стабилизации. Рассмотрена задача Т- стабилизации. Одной из проблем, усложняющих моделирование процесса биоочистки, - . --является шменчивость структуры - активного ила (В.А.Вавилин. Время оборота биомассы и деструкция органического вещества в системах биологической очистки. М.: Наука, 1986.). При небольшом времени оборота биомассы в микрофлоре активного ила преобладают быстрорастущие виды, приспособленные к потреблению легкоокисляемых соединений. При этом медленнорастущие группы, лотребляющие трудноусвояемые соединения, не успевают закрепиться в реакторе, в результате чего эти соединения попадают в стоки, не разлагаясь. Если время оборота биомассы достаточно велико, в очистной системе закрепляются медленнорастущие группы. При этом увеличивается разнообразие закрепившихся видов биомассы и идет процесс глубокой очистки. Существующие динамические модели не отражают указанные закономерности, а поскольку при стабилизации процесса биоочистки изменяется скорость оборота биомассы, то возникает проблема построения модели, учитывающей непостоянство видового состава сообщества микроорганизмов активного ила. Предлагается подход к решению данной проблемы на основе разработанного в первой главе метода динамической декомпозиции. Пусть подсистема ил-субстрат i - го вида

ii=uau + M¿L^b + u)x¡! i, = ba2¡ - ~(b + u)sn (22)

где sjt xn - концентрации i- го вида субстрата загрязнителя и г-го вида микроорганизмов. Стабилизация процесса биоочистки осуществляется за счет изменения скорости и рециркулирующего потока. Пусть 0<и(-постоянные параметры, удовлетворяющие условию: м, < им, i = 1,...,«. Будем считать, что для закрепления микроорганизмов i- го вида в аэротенке требуется, чтобы скорость рециркулирующего потока удовлетворяла неравенству u<u¡. Это значит, что с увеличением номера i уменьшается необходимость в присутствии медленно растущих микроорганизмов в аэротенке, что вызывается уменьшением количества трудноусвояемых видов субстрата. Таким образом, для того чтобы в системе присутствовали виды z',,...,^ микроорганизмов, достаточно и подчинить условию <u<u¡4, где /* = min(í,,...,¡'t). При этом в аэротенке не будут присутствовать виды микроорганизмов с номерами, меньшими /*, что

позволит, помимо увеличения скорости процесса биоочистки, сделать этот процесс более экономным.

Таким образом, в соответствии с развитым общим подходом, модель процесса биоочистки — сложная система S, в состав которой могут входить подсистемы S,, динамика которых задается уравнениями (22). Далее, для организации изменения состава системы S вводим функцииy^t), задающие эволюционное время

yt = s, - s,, если S, с S, у, = а21 - а21, если S, ct S, где 7„ а, - заданные положительные постоянные. Переменная yt(t) задает уровень накопления субстрата вида / в аэротенке. Будем считать, что а2-кусочно-постоянные функции времени. Изменение структуры системы S происходит следующим образом. Пусть J7(- заданные постоянные (пороги).

Увеличение размерности S. Пусть и(М<н<и,,. Тогда в состав S входят подсистемы с номерами, не меньшими /*: Sl,,Sl,+l,...,Sn. Это значит, что у,<у, при i = l,...,j*-l. Если в некоторый момент времени y,{t*) - у, для некоторого /е{1,...,г'*-1}, то в этот момент времени и принимает значение в промежутке (им,и(), и к системе S подключаются подсистемы

S,,SM....., для чего используется одна из описанных выше процедур

подключения.

Уменьшение размерности S. Пусть , <и<ut,. Если в некоторый момент времени yi.(T) = yi,, то в этот момент и принимает.значение в промежутке (и,„«(.+1), и от системы S отключается подсистема 5,,, для чего используется одна из описанных выше процедур отключения.

На основе построенной модели решается задача моделирования режима стабилизации процесса биоочистки. Пусть и^ < м < . Это означает, что

S = {Sj,...,Sn}. Рассмотрим задачу определения скорости потока

рециркуляции, при которой выполняется условие ограниченности субстрата-загрязнителя на выходе из аэротенка:

О<i,<s;, i = j,j + l,...,n, (23)

где s - заданная положительная постоянная.

Теорема 6.3.1. Если и удовлетворяет условиям

и <и<и je{2,...,n}; u>b-(^--1), i = j,j+ \,...,п,

то, начиная с некоторого момента времени выполняются ограничения (23). Данный метод моделирования позволяет осуществлять двухуровневую стабилизацию. На верхнем уровне решается задача стабилизации структуры системы, а на нижнем - некоторой области фазовых состояний. Решение задачи Г-стабилизации с помощью s -конуса позволяет учитывать временные ограничения на процесс стабилизации, связанные с изменение структуры ила. В §6.4 разработана модель режима стабилизации процесса

биоочистки, подверженного нестационарным возмущениям. Предложена процедура стабилизации, основанная на использовании системы с переменной структурой. Исследованы условия его существования. Некоторые результаты,' относящиеся к этому циклу исследований, использовались в виде комплекса программ при создании систем управления очистными сооружениями на острове Белом в Санкт-Петербурге.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе.

СПИСОК ТРУДОВ Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Кириллов А.Н. Одна математическая модель распределения капитальных вложений / А.Н.Кириллов // Экономика и математические методы.-1982.- Т. 18, вып.5.- С.922-925.

2. Кириллов А.Н. Задачи стабилизации экологических систем / А.Н.Кириллов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -1994. - Т.1, вып.6. - С.883 - 892.

3. Kirillov A.N. The Stabilization Problem for Certain Class of Ecological Systems / A.N.Kirillov // International Journal of Software Engineering and

. Knowledge Engineering. -1997. - Vol.7, №.2. - P. 247 - 251.

4. Кириллов A.H. Экологические системы с переменной размерностью / А,Н.Кириллов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -1999.-Т.6, вып.2.-С.318-336.

5. Тихонов Ю.А. Новая конструкция ротора сортировок с гидродинамическими лопастями / Ю-А.Тихонов, О.А.Терентьев, В.С.Куров, А.Н.Кириллов, А.А.Гаузе, А.Г. Андреев, Ю.Г.Якимов, С.А.Рыбаков // Известия вузов. Лесной журнал. - 2000. - №4. -С.66-69.

В работе [5] автором проводилось математическое моделирование режима стабилизации.

6. Кириллов А.Н. Управление многостадийными технологическими процессами/ А.Н.Кириллов // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. -2006,- Вып.4.-С.127- 131.

7. Кириллов А.Н. Модель инвестирования экономической системы с переменной структурой/ А.Н.Кириллов // Труды института системного анализа РАН. - 2007. - С.281-287.

8. Кириллов А.Н. Нелинейная стабилизация динамических систем управления / А.Н.Кириллов // Мехатроника, автоматизация, управление. -2008,- №12.- С.6-11.

9. Кириллов А.Н. Динамическое моделирование и стабилизация процесса биологической очистки сточных вод /А.Н.Кириллов // Целлюлоза. Бумага. Картон. - 2008. - №5. - С.66.

10. Кириллов А.Н. Метод динамической декомпозиции в моделировании систем со структурными изменениями / А.Н.Кириллов // Информационно -управляющие системы. - 2009. - №1. - С.20 - 24.

11. Кириллов А.Н. Динамические системы с переменной структурой и размерностью / А.Н.Кириллов // Известия вузов. Приборостроение. - 2009. -Т.52, №3.-С.23-28.

Статьи в других научных изданиях

12. Кириллов А.Н. Об оценке адекватности моделей объектов в задачах управления / А.Н.Кириллов, Р.М.Юсупов // Труды ВИКИ имЛ.Ф.Можайского. - 1979.-Вып.592.-С. 18-21.

13. Кириллов А.Н. Программные движения в системах с неголономными связями/А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов "Вопросы синтеза динамических систем". ЛИАП. - 1982. -С.147-149.

14. Кириллов А.Н. Применение математических методов в распределении капитальных вложений в условиях региона/ А.Н.Кириллов // Сборник научных трудов "Совершенствование региональной системы управления строительством". ЛИЭИ им.Пальмиро Тольятти. - 1982. - С.90-94.

15. Кириллов А.Н. Суриков В.Н. К вопросу о дополнительных условиях существования скользящих режимов в системах управления технологическими объектами в ЦБП / А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков // Межвузовский сборник научных трудов "Химия и технология бумаги ". ЛТА. - 1987. - С.92-95.'

16. Кушков Н.Н. Бифуркационный метод исследования работы оборудования целлюлозно-бумажного производства /Н.Н.Кушков, А.Н.Кириллов, В.А.Доронин, В.А. Втюрин // Межвузовский сборник научных трудов "Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства ". ЛТИЦБП. - 1988. - С.139 -143.

17. Доронин В.А.Необходимые и достаточные условия адекватности моделей инерционных объектов / В.А.Доронин, Н.Н.Кушков, А.Н.Кириллов, А.В.Доронин// Межвузовский сборник научных трудов "Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства ". ЛТИЦБП. -1989.- С.93-96.

18. Кириллов А.Н. Синтез инвариантной системы управления процессом обработки осадка сточных вод на основе построения скользящих режимов/А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков // Математические методы рационального природопользования / под.ред. В.В.Пененко [и др.]. -Новосибирск, 1989. - С.38 - 46.

19. Кириллов А.Н. К вопросу об оптимальном управлении технологическими процессами обработки осадков сточных вод в системах со скользящими режимами /А.Н.Кириллов А.Н., В.Н.Суриков // Межвузовский сборник научных трудов "Охрана окружающей среды". ЛТИЦБП. - 1990. - С.97 - 100.

20. Кириллов' А.Н. Математическая модель управления неизотермическим химическим реактором при ограничении тепловых выбросов в окружающую среду /А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов "Охрана' окружающей среды", ЛТИЦБП. - 1990 - С.72 - 76.

21. Кириллов А.Н. Точечная стабилизация автоколебаний машин и аппаратов ЦБП / А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов "Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства ". ЛТИЦБП. -1990.-С.119-122.

22. Кириллов А.Н. Об управлении проточным реактором идеального смешения при ограничении на допустимый выброс в окружающую среду / А.Н.Кириллов// Моделирование природных систем и задачи оптимального управления / под.ред. Л.А.Петросяна [и др.]. - Новосибирск, 1993.- С.32-35.

23. Кириллов А.Н. Динамика структур сложных систем машин и аппаратов ЦБП/ А.Н.Кириллов, В.М.Буре// Межвузовский сборник научных трудов "Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства ". СПбГТУРП. - 1996. - С.132 - 134.

24. Кириллов А.Н. Об одной математической модели управления запасами целлюлозно-бумажного производства / А.Н.Кириллов, В.М.Буре, Б.К.Кирпичников // Межвузовский сборник научных трудов "Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства ". СПбГТУРП. - 1998. -С.137-139.

25. Кириллов А.Н. Об управлении сложными системами с переменной структурой в ЦБП/А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов "Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства ". СПбГТУРП. -1999.-С.136- 137.

26. Кириллов А.Н. Устойчивость структур сложных систем в ЦБП /А.Н.Кириллов // - Межвузовский сборник научных трудов "Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства". СПбГТУРП. - 2000. - С. 107-108.

27. Кириллов А.Н. Конус стабилизации в задачах управления оборудованием ЦБП /А.Н.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов "Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства". СПбГТУРП. - 2004. - С.131 - 134.

28. Кириллов А.Н.Об управлении многостадийными процессами/ А.Н.Кириллов, В.М.Буре, Д.А.Кириллов // Межвузовский сборник научных трудов "Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства". СПбГТУРП.-2005.- С.130- 132.

29. Кириллов А.Н. Управление многостадийными технологическими процессами / А.Н.Кириллов // Труды международной конференции "Устойчивость и процессы управления". СПбГУ.-2005. - С. 1400-1406.

Научно-методическое издание

30. Кириллов А.Н. Системы управления с переменной структурой технологическими объектами в ЦБП / А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков. - Л.: ЛТИЦБП, 1989.-52 с.

Тезисы докладов на научных конференциях

31. Кириллов А.Н. Об оптимизации скользящих режимов в системе управления с переменной структурой процессом обработки осадка сточных вод /А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков// Первая Всероссийская школы "Математические проблемы экологии". Тезисы докладов. - Чита, 1986. -С.29-30.

32. Кириллов А.Н. .К вопросу об управлении процессом обработки осадка сточных вод/ А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков// Всероссийская школа "Математические проблемы экологии". Тезисы докладов. - Чита, 1986. -С.18-19.

33. Кириллов А.Н. Стабилизация систем биологической очистки сточных вод / А.Н.Кириллов // Третья Всероссийская школа "Математические проблемы экологии". Тезисы докладов, - Чита, 1990.-С.27-30.

34. Кириллов А.Н. Системы с переменным фазовым пространством в моделировании процессов биологической очистки / А.Н.Кириллов // Всероссийская школа-коллоквиум "Математические проблемы экологии". Тезисы докладов. - Душанбе, 1991. - С.44.

35. Кириллов А.Н. Саморазвивающаяся система Вольтера /А.Н.Кириллов // Всероссийская конференция "Теоретические и прикладные вопросы экологии". Тезисы докладов. - Бухара, 1992. - С.40.

36. Кириллов А.Н. Модель возрастной структуры популяции с переменной размерностью /А.Н.Кириллов // Всероссийская школа-коллоквиум "Математические проблемы экологии". Тезисы докладов. -Чита, 1994.-С.52.

37. Кириллов А.Н. Дифференциальные уравнения на симплексах с переменной размерностью / А.Н.Кириллов // Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов. - М.: Изд-во ТВП, 1995.-С.68.

38. Кириллов А.Н. Об оценивании адекватности линейных моделей в условиях неопределенности / А.Н.Кириллов // Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов. - М.: Изд-во "ТВП", 1996.-С.73.

39. Кириллов А.Н. Символическая динамика для систем с переменной размерностью /А.Н.Кириллов // Четвертая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1999. -Т.4, вып.З. - С.352.

40. Кириллов А.Н. Модель инвестирования с переменной структурой /А.Н.Кириллов // Пятая Всероссийская школа-коллоквиум по

стохастическим методам. Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики.-1998.-Т.5, вып.2.-С.225.

41. Кириллов А.Н. Об устойчивости экономических систем в переходный период /А.Н.Кириллов // Шестая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -1999. - Т.6, вып.1. - С.151 -152.

42. Кириллов А.Н. О стабилизации системы биологической очистки с переменным видовым составом /А.Н.Кириллов // Первый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия). Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики.2000. - Т.7, вып.2. - С.363.

43. Кириллов А.Н. Устойчивость структур сложных систем управления /АЛ.Кириллов // Первый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия). Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики.-2000. - Т.7, вып.2. - С.364.

44. Кириллов А.Н. Системы с переменной структурой в моделировании метапопуляций /А.Н.Кириллов // Второй Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (летняя сессия). Тезисы докладов //Обозрение прикладной и промышленной математики-2001.-Т.8, вып.1.-С.208-209.

45. Кириллов А.Н. Нелинейная стабилизация экологических систем /А.Н.Кириллов // Второй Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия). Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2001. - Т.8, вып.2. -С.606 -607.

46. Кириллов А.Н. Модель миграции и взаимодействия в двухвидовой популяционной системе /А.Н.Кириллов // Всероссийская научная школа "Математические методы в экологии". Тезисы докладов. - Петрозаводск, 2001.-С.131-132.

47. Кириллов А.Н. Адекватность систем управления. в задачах стабилизации/А.Н.Кириллов // Третий Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия). Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. -Т.9, вып.1.-С.204.

48. Кириллов А.Н. Грубые структуры в системах с переменной размерностью /А.Н.Кириллов // Третий Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия). Тезисы докладов // Обозрение прикладкой и промышленной математики. -2002. -Т.9, вып.2,-С.389-390.

49. Кириллов А.Н. Стабилизация структуры сложной системы /А.Н.Кириллов // Четвертый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия). Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2003. - Т. 10, вып.1. -С.170-171.

50. Кириллов А.Н. Стабилизация структур саморазвивающихся систем/А.Н.Кириллов II Международная конференции "Девятая Белорусская математическая конференция". Тезисы докладов. - БГУ, Гродно, 2004. - С.

51. Кириллов А.Н. Конус стабилизации в задачах управления экологическими системами /А.Н.Кириллов // Пятая Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия). Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -

2004.-T.il, вып.4. - С.832 - 833.

52. Кириллов А.Н. Многоуровневое управление системой химических реакторов /А.Н.Кириллов // Шестая Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия). Тезисы докладов// Обозрение прикладной й промышленной математики.-2005.— Т.12, вып.4, - С.983-984.

53. Кириллов А.Н. Управление структурой линейной . системы с переменной размерностью /А.Н.Кириллов // Шестая Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия). Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики. -

2005.-Т.12, вып. 1. — С.156.

54. Кириллов А.Н. Моделирование динамики развития производственного объединения /А.Н.Кириллов // Девятая Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия). Тезисы докладов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. -Т. 15, вып.5.-С. 887.

55. Кириллов А.Н. Модель биологической очистки с переменной структурой биомассы /А.Н.Кириллов // Математические методы в экологии. Третья Всероссийская научная школа. Тезисы докладов. - Петрозаводск, 2008. - С. 79 - 80.

56. Кириллов А.Н. Некоторые методы кусочно-постоянной стабилизации нелинейных динамических систем / А.Н.Кириллов // Вторая российская мультиконференция по проблемам управления. Доклады. - СПб, 2008. -С.70-71.

КИРИЛЛОВ Александр Николаевич

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СТРУКТУРНЫМИ ИЗМЕНЕНИЯМИ В ЗАДАЧАХ ЭКОЛОГИИ И РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ

Автореферат

Подписано к печати 28.07.2009. Сдано в производство 31.07.2009. Формат 60x84/16 Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1971.

Ризограф ГОУ ВПО СПбГТУРП. 198095, Санкт-Петербург, ул. Ивана Черных, 4.

Введение.

Гл.1. Моделирование динамики систем со структурными изменениями (ССИ).

§1.1. Структурные траектории.

§1.2. Устойчивость и эквивалентность структур.

§1.3. Параллельные и последовательные системы.

§1.4. Линейная последовательная система.

§1.5. Управление структурой в линейной последовательной системе.

§1.6. Линейная параллельная система. Стабилизация структуры.

§1.7. Оптимизация структуры.

Гл.2. Методы моделирования режимов стабилизации нелинейных систем с ограничениями, свойственными ССИ.

§2.1. Кусочно-постоянная стабилизация.

§2.2. Э -стабилизация. Конус стабилизации.

§2.3. Примеры поведения траекторий в режиме стабилизации.

§2.4. Т - стабилизация в 5-конусе.

§2.5. Положительный базис и его свойства.

§2.6. Г - стабилизация в Я". Теорема о Т - стабилизации.

§2.7. Модель точечной стабилизации автоколебаний.

§2.8. ОТ- стабилизации неавтономных систем.

Гл.3. Саморазвивающаяся система Вольтерра с миграцией.

§3.1. Построение модели системы Вольтерра с миграцией.

§3.2. Дискриминантная плоскость.

§3.3. Цилиндры траекторий:.

§3.4. Предельные множества.

§3.5. Вторичная миграция.

§3.6. Виды режимов функционирования системы.

§3.7. Модель с самолимитированием жертвы.

Гл.4. Модель экономического развития производственного объединения с учетом природоохранных затрат.

§4.1. Моделирование динамики экономической системы с переменным составом.

§4.2. Построение модели управления в задаче инвестирования.

§4.3. Синтез линейных и кусочно-линейных кредитных функций.

§4.4. Модель развития производственного объединения с переменным, количеством предприятий.

§4.5. Распределение ограниченного1 объема инвестиций.

§4.6. Переменная структура взаимосвязей экономических подсистем.

Гл.5. Моделирование режимов стабилизации некоторых динамических систем рационального природопользования.

§5.1. Стабилизация изотермического реактора при ограничениях на тепловые выбросы.

§5.2. Исследование динамики управляемого неизотермического реактора.

§5.3. Стабилизация неизотермического реактора. Т - стабилизация.

§5.4. Моделирование экологически безопасного процесса управления группой варочных котлов.

§5.5. Модель стабилизации процесса отбора в системе Вольтерра с переменной стратегией питания хищника.

Гл.6. Моделирование процессов стабилизации систем биологической очистки.

§6.1. Инвариантные множества динамической системы биоочистки.

§6.2. Модель режима стабилизации.

§6.3. Моделирование процесса биоочистки с переменным составом биомассы.

§6.4. Синтез инвариантной системы управления процессом обработки осадка сточных вод.

§6.5. Об адекватности моделей динамических систем.

Математическое моделирование сложных динамических систем, таких как биоценозы, эколого-экономические и производственные комплексы, многостадийные технологические процессы, системы рационального природопользования связано с труднопреодолимым противоречием. С одной стороны, для использования модели с целью прогнозирования поведения реальной системы и управления ею следует получать более полное ее описание, что приводит к невозможности аналитического или качественного исследования. С другой стороны, упрощение модели лишает ее практической ценности. Необходим компромисс между точностью описания и сложностью исследования. Наиболее удачные математические модели сочетают в себе эти качества.

Проблема рационального природопользования приобретает все большее значение в связи с усилением антропогенных воздействий на окружающую среду. Математическое моделирование является одним из основных инструментов при прогнозировании состояния природных систем и управлении ими, исходя из экологических, экономических и социальных критериев. При этом выдвигаются задачи, для решения которых приходится пересматривать традиционные подходы и развивать новые методы. Так, например, экологические и эколого-экономические системы характеризуются многочисленными взаимосвязями между составляющими их подсистемами и изменением структуры этих взаимосвязей в процессе функционирования, что приводит к построению математических моделей, аналитическое исследование которых весьма затруднительно.

Исследование систем со сложной изменяющейся структурой является важной проблемой активно развиваемой в настоящее время теории метапопуляций (вопросы миграции, колонизации, вымирания популяций), в построении систем управления! процессами биологической очистки сточных вод, в моделировании динамики развития экономических систем с учетом природоохранных затрат, в моделировании режимов стабилизации экологически безопасных технологических процессов в целлюлозно-бумажной промышленности (ЦБП) и во многих других прикладных задачах.

В диссертационной работе предлагаются подходы к моделированию динамики систем экологии и рационального природопользования со структурными изменениями. Вводится процедура разбиения жизненного цикла системы на временные промежутки так, чтобы исходная сложная система на каждом промежутке представлялась относительно простой моделью. Этот подход может быть реализован, например, при моделировании сложных динамических систем, изучаемых в теории метапопуляций. При этом процесс функционирования сообщества представляется последовательностью сменяющих друг друга стадий. Сменяемость стадий характерна также для процессов экологически безопасного функционирования химических реакторов, моделей динамики развития экономических систем с учетом природоохранных затрат. При моделировании этих процессов используются динамические системы, состав, структура и размерность которых, в зависимости от состояния, может изменяться с течением времени, т.е. происходит динамическая декомпозиция сложной системы.

Возможность использования систем с переменной размерностью и структурой при моделировании динамики биологических сообществ указывалась еще в работе Ю.М.Свирежева [146], который высказал предположение о возможности включения размерности в число переменных состояния. При построении теории реализации Р.Калман предложил [65] обобщить понятие динамической системы таким образом, чтобы размерность ее пространства состояний могла меняться во времени. Систему со сменой фазового пространства рассматривал В.Г.Болтянский [24], используя метод шатров [23] для решения соответствующей задачи оптимального управления. При этом отмечалась возможность использования такой системы в моделировании некоторой задачи, связанной с агрегированием экономических показателей. В работах И.А.Полетаева указывалось на необходимость использования систем с переменной структурой при моделировании динамики популяций. Им предложен [130] подход, основанный на так называемых Л-системах, в которых правые части дифференциальных уравнений изменяются в процессе функционирования системы. Отметим, что теория систем с переменной структурой активно развивалась в исследованиях ученых школы С.В.Емельяпова. Следует отметить работу А.Д.Мышкиса по бушующим системам, для которых переключение траекторий происходит на границе области их функционирования и новая динамика зависти от предыстории системы. В работах D.Liberzon рассмотрен класс систем с изменяющейся в процессе функционирования правой части. Изменение правой части определяется некоторой функцией времени. При этом фазовое пространство сохраняется. Исследуются задачи устойчивости и стабилизации общего для всех систем состояния равновесия.

В дальнейшем стали появляться работы по так называемым гибридным системам, к которым можно отнести логико-динамические, непрерывно-дискретные и некоторые другие типы систем. В этих системах присутствует помимо непрерывной еще и дискретная составляющая, которая регулирует изменение непрерывной части, в зависимости от некоторых условий. Устойчивости состояний равновесия систем со структурными изменениями посвящены работы В.М.Матросова, АЛМаликова. Ими применялся аппарат функций Ляпунова. В этом же направлении поводили исследования

A.А.Мартынюк, И.В.Гайшун, D.Siljak. Различным вопросам моделирования систем со структурными изменениями посвящены также исследования таких ученых, как С.Н.Васильев, А.Б. Куржанский, В.М.Глушков, Р.М.Юсупов, А.М.Самойленко, Н.А.Перестюк, В.И.Уткин, Б.В.Соколов, Н.П.Бусленко, К.Д.Жук, А.С.Матвеев,

B.М.Артемьев, М. Branicky, A.Van der Schaft, H.Schumacher и других. Несмотря на достигнутый в последнее время успех в исследовании систем с изменяющейся структурой, гибридных систем, многие проблемы требуют своего решения. Так, например, задачи рационального природопользования и экологии приводят к необходимости введения новых понятий устойчивости, в частности, устойчивости структур. Актуальной является разработка единого подхода к моделированию систем со структурными изменениями. Проблема сочетания непрерывной и дискретной составляющих также ждет своего решения. Видимо, сейчас теория систем со структурными изменениями находится в стадии накопления приводящих к ней математических моделей.

В применении к задачам экологии и рационального природопользования методы построения динамических систем со сложными взаимосвязями отражены в работах Г.И.Марчука, Ю.М.Свирежева, Д.О.Логофета, В.И. Гурмана, В.А.Батурина, Ю.А.Домбровского, В.А.Вавилина, А.И.Москаленко, В.В.Пененко, Е.Я.Елизарова, А.И.Абакумова, Р.А.Полуэктова, Д.А.Саранча, Ю.А.Пыха, Б.Г.Заславского, I.Hanski, M.Gyllenberg, A.Hastings и других. Но изменение структуры, в этих работах, как правило, не учитывается. Поэтому актуальным является создание методов моделирования динамики экологических систем с переменной структурой и размерностью. В частности, активно развивающаяся в последнее время теория метапопуляций выдвигает задачи моделирования систем с переменным составом и разработки математического аппарата для их исследования. Системы с изменяющейся в процессе функционирования структурой характерны для многих задач экологии и рационального природопользования. В настоящей работе на основе предлагаемых в ней методов рассмотрены следующие задачи: моделирование процессов взаимодействия популяций с. учетом миграций, моделирование процессов биологической очистки сточных вод с переменной структурой биомассы активного ила, моделирование экологически безопасной динамики функционирования некоторых процессов в целлюлозно-бумажной промышленности (ЦБП), моделирование динамики развития производственных систем с учетом природоохранных затрат и некоторые другие. Большое значение также имеет решение задач математического моделирования режимов стабилизации в нелинейных экологических системах. Возникают новые постановки задач, связанные с появлением в системах с изменяющейся структурой дополнительных ограничений, в результате чего традиционные модели оказываются неудовлетворительными.

В диссертации предлагается единый, структурный, подход к моделированию и анализу динамических систем со структурными изменениями, переменной размерностью и переменным составом входящих в них подсистем. Вводятся понятия структуры, структурной траектории, устойчивости и эквивалентности структур, рассмотрены задачи стабилизации и оптимизации структур. При этом в отличие от обычно решаемых задач исследования устойчивости равновесных состояний (А.И.Маликов, А.С.Бычков и др.) ставится задача исследования устойчивости и стабилизации структуры системы, важная для экологических приложений.

Разработан метод динамической декомпозиции, основанный на введении в динамическую систему дополнительных переменных, регулирующих структурные изменения и исполняющих функцию эволюционного времени. В результате система на отдельных промежутках функционирования заменяется на более простые подсистемы, доступные аналитическому исследованию.

На основе предложенного подхода исследуются некоторые задачи экологической динамики. Получено развитие модели В.Вольтерра, в которой учитываются миграционные процессы. Найдены и подробно исследованы режимы ее функционирования. Показано, что в отличие от классической модели В.Вольтерра, построенная система обладает большим разнообразием режимов поведения, что делает ее более адекватной реальным процессам.

С помощью метода динамической декомпозиции решается задача моделирования динамики развития производственного комплекса с учетом природоохранных затрат. Исследуется влияние реструктуризации системы на повышение ее эффективности. Строятся модели управления, решающие задачу развития системы при ограничениях на объемы инвестиций. Рассмотрена задача синтеза управляющих воздействий.

Предложен подход к моделированию режимов стабилизации нелинейных систем с ограничениями, характерными для систем со структурными изменениями. Введены понятия В- а Т- стабилизации (в ограниченной области и за любое конечное время, соответственно), учитывающие эти ограничения. Предложен и обоснован алгоритм Т -стабилизации нелинейных динамических систем. Получены результаты, связанные со стабилизацией в конусе, на основе которых решается задача точечной стабилизации автоколебаний.

Разработаны качественные и аналитические методы в задачах моделирования режимов стабилизации некоторых химических ректоров при ограничениях на выбросы в атмосферу. На основе метода динамической декомпозиции построена модель экологически безопасного функционирования группы периодических реакторов. Исследована задача моделирования процесса стабилизации биологической очистки. Предложен подход, учитывающий изменяющуюся структуру активного ила. Рассмотрены некоторые вопросы адекватности математических моделей.

Следует отметить, что предлагаемые в диссертационной работе подходы и методы являются результатами исследований конкретных задач математического моделирования процессов ЦБП, рационального природопользования и экологии, постановки которых показали неудовлетворительность традиционных методов решения. Так, задача стабилизации процесса биологической очистки сточных вод приводит к моделированию режима стабилизации нелинейных динамических систем с ограничениями на состояния и время. Для решения подобных задач нет общих методов. В результате были предложены новые понятия И - и Т - стабилизации и соответствующие алгоритмы для моделирования этих процессов. Изменчивость структуры биомассы в зависимости от времени ее пребывания в аэротенке приводит к необходимости построения моделей со структурными изменениями, в частности с переменной размерностью. Чем дольше пребывает биомасса в аэротенке, тем более разнообразен состав популяций микроорганизмов в ней. Тем самым увеличивается размерность соответствующей системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику процесса. Нестационарность неизмеряемых возмущений, действующих на систему, приводит к необходимости разработки новых алгоритмов стабилизации. Часть результатов, относящихся к этому циклу исследований, использовалась в виде комплекса программ при создании автоматизированной системы управления очистными сооружениями на острове Белом в Санкт-Петербурге управлением "Водоканал". Разработанные качественные и аналитические методы моделирования режимов стабилизации для некоторых типов химических реакторов при ограничениях, учитывающих экологическую безопасность процессов, могут применяться при создании систем управления в ЦБП.

Гл.1. Моделирование динамики систем со структурными изменениями.

Заключение.

В диссертации разрабатываются методы математического моделирования и анализа динамических процессов со структурными изменениями. На их основе решается ряд важных задач моделирования динамики систем с переменным составом и структурой в экологии и рациональном природопользовании.

Предлагается единый, структурный, подход к моделированию и анализу динамических систем с переменным составом входящих в них подсистем. Вводятся понятия структуры, различных типов структурных траекторий и их устойчивости, эквивалентности систем со структурными изменениями, рассмотрены новые постановки задач стабилизации и оптимизации структур, получены их решения в некоторых случаях.

Предложен метод, упрощающий аналитическое исследование динамики систем с переменным составом, метод динамической декомпозиции, основанный на введении в динамическую систему дополнительных переменных, регулирующих структурные изменения и исполняющих функцию эволюционного времени. В результате система на отдельных промежутках функционирования заменяется на более простые подсистемы, доступные аналитическому исследованию.

На основе предложенного подхода получены новые закономерности, характеризующие поведении некоторых систем экологической динамики. Предложено развитие модели В.Вольтерра «хищник-жертва» с целью учета миграционных процессов. Найдены и подробно исследованы режимы ее функционирования. Показано, что в отличие от классической модели В.Вольтерра, построенная система обладает большим разнообразием режимов поведения, что делает ее более адекватной реальным процессам.

С помощью метода динамической декомпозиции решается задача моделирования динамики развития производственного комплекса с переменной структурой с учетом природоохранных затрат. Исследуется влияние реструктуризации системы на повышение ее эффективности. Построена модель инвестирования, с помощью которой решается задача развития производственной системы на заданном отрезке времени при ограничениях на объемы инвестиций.

Предлагаются новые подходы к математическому моделированию режимов стабилизации нелинейных систем с учетом ограничений, характерных для динамических процессов со структурными изменениями в задачах рационального природопользования. Введено понятие стабилизируемости за любое конечное время состояния, не являющегося равновесным (Г- стабилизации), что позволяет, в частности, учитывать структурные ограничения в модели процесса биоочистки. Предложен и обоснован алгоритм Т- стабилизации нелинейных динамических систем. Построена модель процесса стабилизации в конусе. На ее основе решается задача моделирования режима точечной стабилизации автоколебаний.

Разрабатываемые в настоящем исследовании качественные и аналитические методы применяются при моделировании режимов стабилизации некоторых типов химических реакторов с учетом ограничений на выбросы в окружающую среду. На основе метода динамической декомпозиции впервые строится многостадийная модель динамики экологически безопасного функционирования группы периодических реакторов в процессе варки целлюлозы.

С помощью метода динамической декомпозиции построена математическая модель стабилизации процесса биологической очистки сточных вод, учитывающая изменяющуюся структуру активного ила, что позволяет увеличить эффективность процесса очистки. Рассмотрены некоторые вопросы адекватности математических моделей динамических процессов.

Предлагаемые подходы и методы можно использовать для прогнозирования развития экологических систем, в частности, при исследовании динамики популяций, учитывающей миграционные процессы, для моделирования взаимосвязей между ареалами обитания популяций. Введенные понятия устойчивости структур, позволяющие с единых позиций характеризовать свойства систем со структурными изменениями, могут быть использованы при моделировании условий экологически безопасного функционирования оборудования ЦБП, энергетических систем.

Построенная математическая модель производственного комплекса с переменным составом, позволяет решать задачу выбора стратегии инвестирования с учетом природоохранных затрат. Предложенный метод моделирования может также применяться для анализа экономических систем в кризисные и переходные периоды, когда изменяются внутренние и внешние структурные взаимосвязи.

Развиваемые в диссертации методы моделирования дают подход к решению практически важной задачи стабилизации процесса биологической очистки сточных вод. Часть результатов, относящихся к этому циклу исследований, использовалась в виде комплекса программ при создании автоматизированной системы управления очистными сооружениями на острове Белом в Санкт-Петербурге управлением "Водоканал".

Разработанные качественные и аналитические методы моделирования режимов стабилизации для некоторых типов химических реакторов при ограничениях, учитывающих экологическую безопасность процессов, могут применяться при создании систем управления в ЦБП. Некоторые результаты этих исследований использовались в дипломных работах студентов и в спецкурсах, читаемых автором в СПбГТУРП я* г

CL К

РиС. к

Рис. к §2.6.

Рис. к §2.6.

Рис. к лемме 3.2.3.

Рис. клеммам 3.3.3, 3.3.5, 3.3.6.

Рис. к теореме 3.7.3.

Рис. к §§5.1,5.2.

Рис. к §§5.3, 5.5.

1.Абросов Н.С., Ковров Б.Г., Черепанов O.A. Экологические механизмы сосуществования и видовой регуляции. Новосибирск: Наука, 1982, 301 с.

2. Аграчев A.A., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М., Физматлит, 2005.

3. Алексеев В.В. Динамические модели биогеоценозов // Человек и биосфера. М., 1976. Вып. 1. С.3-137.

4. Алексеева Е.И., Киржнер В.М. Зависимость устойчивости набора динамических систем от структуры связи между ними. Доклады АН СССР. 1990, т.313, №3, с.521-524.

5. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1959, 915с.

6. Апонина Е.А., Апонин Ю,М., Базыкин А.Д. Анализ сложного динамического поведения в модели хищник две жертвы // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л., 1982, Т.5. С.163-180.

7. Арис Р. Анализ процессов в химических реакторах. М., Химия, 1967, 328с.

8. Арнольд В.И. Экспериментальное наблюдение математических фактов.- М.: МЦНМО, 2006, 120 с.

9. Асарин Е.А., Козякин B.C., Красносельский М.А., Кузнецов H.A. Анализ устойчивости рассинхронизованных дискретных систем. М., Наука, 1992, 408 с.

10. Ю.Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М., Наука, 1984, 296 с.

11. П.Багриновский К.А. Модели и методы экономической кибернетики. М., Экономика, 1973.

12. Багриновский К.А., Егорова Н.Е. Имитационные системы в планировании экономических объектов. Наука, 1980.

13. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М., Мир, 1985.

14. Базыкин А.Д. Система Вольтерра и уравнения Михаэлиса-Ментен // Вопросы математической генетики. Новосибирск: Наука, 1974, С.103-143.

15. Балацкий О.Ф., Гурман В.И., Кульбака Н.Э. Моделирование социо-эколого-экономических систем региона. М., Наука, 2001.

16. Барабанов А.Т., Катковник В.Я., Нелепин P.A., Хлыпало Е.И., Якубович В.А. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М., Наука, 447 с.

17. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. Наука, 1967.

18. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., Наука, 1969, 367 с.

19. Бенсон С. Основы химической кинетики. М., Мир, 1964с.

20. Березовская Ф.С., Карев Г.П. Дифференциальные уравнения в математических моделях. М., Изд-во МИРЭА, 2000.

21. Бигон М., Харпер Дж., Таунсенд К.Экология. Особи, популяции и сообщества. Т.1. М.: Мир1989, 667 с.

22. Болтянский В.Г. Метод шатров и проблемы системного анализа. Сб.научн.трудов "Математическая теория систем" , М., Наука, 1986, с.5-24.

23. Болтянский В.Г. Задачи оптимизации со сменой фазового пространства // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 3. С. 518-521.

24. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., Наука, 1969, 408 с.

25. Боуэн Р. Методы символической динамики. М., Мир, 1979, 248 с.

26. Брайнес Я.М. Введение в теорию и расчеты химических и нефтехимических реакторов. М., Химия, 1968.

27. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978, 399 с.

28. Бычков A.C., Меркурьев М.Г. Устойчивость непрерывных гибридных систем. -Кибернетика и системный анализ. 2007, № 2, с. 123 - 128.

29. Вавилин В.А. Время оборота биомассы и деструкция органического вещества в системах биологической очистки. М., Наука, 1986, 144с.

30. Вавилин В.А. Нелинейные модели биологической очистки и процессов самоочищения в реках. М., Наука, 1983, 185с.

31. Вавилин В.А., Васильев В.Б. Математическое моделирование процессов биологической очистки сточных вод активным илом. М., Наука, 1979, 119с.

32. Вайдлих В. Социодинамика. М„ УРСС, 2004, 480 с.

33. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., Наука, 1973.

34. Воронов A.A. Введение в динамику сложных систем. Наука, 1985.

35. Вейлас Химическая кинетика и расчеты промышленных реакторов. М., Химия, 1967.

36. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., Наука, 1976, 288с.

37. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М., Химия, 1981, 200с.

38. Вольтер Б.В. Периферийная неустойчивость открытых систем // Теоретические основы химической технологии. 1989, т.23, № 5, с.708-710.

39. Вьюков И.Е. Автоматизация технологических процессов целлюлозно-бумажной промышленности. М., Лесная промышленность, 1983, 384с.

40. Вьюков И.Е., Зорин И.Ф., Петров В.П. Математические модели и управление технологическими процессами целлюлозно-бумажной промышленности. М., Лесная промышленность, 1975, 374 с.

41. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимального управления. М., Наук, 1971.

42. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Наука, 1966

43. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М., Наука, 1978, 400 с.

44. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М., Мир, 1984, Т.1, 350 с.

45. Гильдерман Ю.И., Кудрина К.Н., Полетаев И.А. Модели Л-систем (системы с лимитирующими факторами) // Исследования по кибернетике. М., 1970.

46. Глушков В.М., Гусев В.В., Т.П.Марьянович и др. Программные средства моделирования непрерывно-дискретных систем. Киев: Наукова думка, 1970, 152 с.

47. Горстко A.B., Домбровский Ю.А., Сурков Ф.А. Методы управления эколого-экономическими системами. М., Наука, 1984, 120с.

48. Груйич Л.Т., Мартынюк A.A., Риббенс-Павела М. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. Киев, Наукова думка, 1984, 473с.

49. Гурман В.И. Модели и условия оптимальности для гибридных управляемых систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. № 4. С. 70-75.

50. Гурман В.И. Моделирование устойчивого развития с учетом инновационных процессов // Автоматика и телемеханика №11, 2002.

51. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука. Физматлит, 1997.

52. Денбиг К.Г. Теория химических реакторов. М., Наука, 1968.

53. Джефферс Дж. Введение в системный анализ в экологии. М., Мир, 1981.

54. Домбровский Ю.А., Онищенко Н.И., Тютюнов Ю.В.Рыбные популяции в стохастической среде: Модели управления и выживаемости. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского университета, 1991,160 с.

55. Евилевич М.А., Брагинский Л.Н. Оптимизация биохимической очистки сточных вод. Л., Стройиздат, 1979, 159с.

56. Егорова Н.Е., Хачатрян С.Р. Применение дифференциальных уравнений для анализа динамики развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционные ресурсы // Экономика и математические методы. 2006, т.42, №1, с.50-67.

57. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М., Наука, 1982, 286 с.

58. Зубов В.И. Устойчивость движения. М., Высшая школа, 1973, 272 с.

59. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., Наука, 1975,495 с.

60. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Ли. Нелокальные бифуркации. М., МЦНМО, 1999, 416 с.

61. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

62. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность, катастрофы. М., Мир, 1982.

63. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М., Химия, 1968, 379 с.

64. Кафаров В.В., Перов В.Л., Мешалкин В.П. Принципы математического моделирования химико-технологических прцессов. М., Химия, 1974, 344 с.

65. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяции //Вопросы кибернетики, вып.25, 1972. С.100-106.

66. Крамере X., Вестертерп К. Химические реакторы. Расчет и управление ими. М., Химия, 1967.

67. Клейнер Г.Б., Тамбовцев В.Л., Качалов P.M. Предприятие в нестабильной экономической среде: рынки, стратегии, безопасность. М., Экономика. 1997.

68. Колесов Ю.Б., Семиченков. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы. 2006, БХВ-Петербург.

69. Корсаков-Богатков С.М. Химические реакторы как объекты математического моделирования. М., Химия, 1967.

70. Красовский H.H. Теория управления движением. М., Наука, 1968,475 с.

71. Красовский A.A., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962, 600 с.

72. Куржанский А.Б., Варайя П. Задачи динамики и управления в гибридных системах// Труды международного семинара "Теория управления и теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби"/ Екатеринбург: Изд-во Уральского университета, 2005, с. 26-33.

73. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. Задачи управления с ограниченными фазовыми координатами.// Прикл.матем. и мех. 1968, т.32. вып2.

74. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М., Наука, 1977, 390 с.

75. Куржанский А.Б., Точилин П.А. Слабо инвариантные множества гибридных систем // Дифференциальные уравнения. 2008, т.44, №11, с. 1523-1533.

76. Кучин Б. Л., Якушева Е.В. Управление развитием экономических систем. Технический прогресс, устойчивость. М., Экономика, 1990.

77. Ланкастер К. Математическая экономика. М., Наука, 1972.

78. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических реакторов. М., Химия, 1969.

79. Левич А.П. Структура экологических сообществ. М., 1980, 182 с.

80. Левич А.П. Возможные пути отыскания уравнений динамики в экологии сообществ // Журнал общей биологии. 1988. Т.89. №2. С.245.

81. Леонов Г.А. Стабилизационная проблема Брокетта// Автоматика и телемеханика. 2001. №5, 190-193 с.

82. Леонов Г.А., Шумафов М.М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. СПб, Изд-во СП6ГУ,2005, 424 с.

83. Лопатин В.Н., Абатуров Б.Д. Математическая модель растительноядных млекопитающих со смешанной регуляцией. Журнал общей биологии. 1991, т.52, №2, с.773-783.

84. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., Наука. 1972, 574 с.

85. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды М., 1982. 320 с.

86. Математическая экономика. Равновесные модели, оптимальное планирование и управление / Сб.переводов под ред. Б.С.Митягина. М., Мир, 1974.

87. Математическое моделирование / Под. Ред.Дж.Эндрюса, Р.Мак-Лоуна. М., Мир, 1979, 280 с.

88. Математическое моделирование: процессы в сложных и экологических системах / Под. Ред. А.А.Самарского, Н.Н.Моисеева, А.А.Петрова. М., Наука, 1986.

89. Математическое моделирование: методы описания и исследования сложных систем / Под. Ред. А.А.Самарского, Н.Н.Моисеева, А.А.Петрова. М., Наука, 1989.

90. Матрос Ю.Ш. Каталитические процессы в нестационарных условиях. Новосибирск: Наука, 1987, 232 с.

91. Матросов В.М., Маликов А.И. Вектор-функции Ляпунова в анализе динамических свойств систем со структурными изменениями. Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. В.2, с.47-54.

92. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, 1978, 481 с.

93. Матросов В.М., Васильев С.Н., Москаленко А.И. Нелинейная теория управления и ее приложения. Физматлит, 2003.

94. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М., Наука, 1975.

95. ЮО.Меерков С.М. Вибрационное регулирование. Автоматика и телемеханика. 1973. №2, С.34-43.

96. Мееров Н.В., Системы многосвязного регулирования. М., Наука, 1965, 384 с.

97. Менджел М., Кларк К. Динамические модели в экологии поведения. М., Мир, 1992, 304 с.

98. ЮЗ.Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М., Мир, 1973, 344 с.

99. Моделирование процессов в природно-экологических системах/ Под ред.

100. B.И.Гурмана, А.И.Москаленко. Новосибирск, Наука, 1982, 178 с.

101. Моделирование и управление процессами регионального развития / Под ред.

102. C.Н.Васильева. М., Физматлит, 2001. 432 с.

103. Моделирование социо-эколого-экономической модели региона / Под ред. В.И. Гурмана, Е.В. Рюминой. М.: Наука, 2001. - 175 с.

104. Ю.Модели управления природными ресурсами / Под ред. В.И.Гурмана. М., 1981. 264 с.

105. Ш.Москвин Б.В., Михайлов Е.П., Павлов А.Н., Соколов Б.В. Комбинированные модели управления структурной динамикой информационных систем // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 11. С. 7-12.

106. Москаленко А.И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. Новосибирск, Наука, 1999, 185 с.

107. ПЗ.Мышкис А.Д., Хохряков А.Я. Бушующие динамические системы. Матем. сборник, 1958, 45, №3. С. 401-414.

108. Неймарк Ю.И. Метод точечных преобразований в теории нелинейных колебаний. Наука, 1972.

109. Неймарк Ю.И. О скользящем режиме релейных систем автоматического управления. Автоматика и телемеханика, 1957, т. 18, №1.

110. Пб.Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., Л., ГИТТЛ, 1949, 550 с.117.0дум Ю. Основы экологии. М., Мир, 1975, 740с.

111. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации химических реакторов. М., Химия 1976.

112. Охтилев М.Ю., Соколов. Б.В., Юсупов P.M. Интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой технических объектов. М., Наука, 2006, 410 с.

113. Паников Н.С. Кинетика роста микроорганизмов. М., Наука, 1992, 310 с.

114. Пененко В.В., Алоян А.Е. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1985.

115. Печуркин Н.С. Популяционная микробиология. Новосибирск, Наука, 1978, 277с.

116. Пианка Э. Эволюционная экология. М., Мир, 1981, 399с.

117. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964.

118. Петров A.A. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. М., Наука, 1996, 254 с.

119. Петров H.H. Об управляемости автономных систем. Дифференциальные уравнения. 1968. №4.

120. Петров H.H. Локальная управляемость автономных систем. Дифференциальные уравнения. 1968. №7.

121. Петров H.H. Решение одной задачи теории управляемости. Дифференциальные уравнения. 1969. №5.

122. Петросян Л.А., Захаров В.В. Математические модели в экологии. СПб, СПбГУ1997,254 с.

123. Полетаев И.А. Модели Вольтерра хищник-жертва и некоторые их обобщения с использованием принципа Либиха//Журнал общей биологии. 1973. Т.34, №1. С.43-57.

124. Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Л., Гидрометеоиздат, 1980, 286с.

125. Попков Ю.С. Теория макросистем. Равновесные модели.

126. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М., Мир, 1980, 607 с.

127. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М., Прогресс, 1986.

128. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М., 1983,184 с.

129. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // ДАН СССР, 1988, т.ЗОО, №2.

130. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. М., Ижевск, Институт комплексных компьютерных исследований. 2004, 464 с.

131. Роговская Ц.И. Биохимический метод очистки производственных сточных вод. М., Стройиздат, 1967,140с.

132. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., 1973.

133. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М., Наука, 1984, 304с.

134. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М., Наука, 1975.

135. Рувинский A.A., Зак Ю.А., Рейдман P.M. Математические модели и алгоритмы в системах управления картонажно-бумажным производством. М.,Лесная промышленность, 1971,232 с.

136. Румянцев В.В. Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М., Наука, 1987.

137. Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. М., Наука, 1981.

138. Самойленко A.M. Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вища школа, 1987, 288 с.

139. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М., Наука, 1978, 352с.

140. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М., Наука, 1983, 368 с.

141. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование биологических систем. М., Наука, 1972? 159 с.

142. Свирежев Ю.М., Суходольский Я.С. Динамика популяции в сложной трофической среде / Сб.: Математические модели в экологии и генетике. М., Наука, 1981, с.31-36.

143. Сибирский К.С., Шубэ A.C. Полудинамические системы. Кишинев: Штиинца, 1987, 272 с.

144. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений. СПб., Изд-во СПбГУ, 1997, 306 с.

145. Смирнов Е.Я. О стабилизации программных движений систем переменной структуры// Вестник Ленингр. Унив-та. Сер. Мат., мех., астр. 1990. Вып.1, №2. С.40-43.

146. Смит Дж. М. Модели в экологии. М., Мир, 1976, 311 с.

147. Соминин М.А., Сергеев Г.А. О синтезе адаптивных инвариантных систем управления технологическими процессами. Вопросы кибернетики. Адаптивные системы управления. М., Наука, 1977.

148. Теория систем с переменной структурой. Под.ред. С.В.Емельянова. М., Наука, 1970.

149. Технология системного моделирования / Аврамчук Е.Ф., Вавилов A.A., Емельянов C.B. и др. Под общей ред. Емельянова C.B. и др. М.: Машиностроение, Берлин: Техника, 1988, 520 с.

150. Технология целлюлозы. В 3-х т. Т.1. Непенин H.H. Производство сульфитной целлюлозы. М., Лесная промышленность, 1976, 624с.

151. Тимофеев H.H., Свирежев Ю.М. Теория трофичбеских цепей и связанные с ней задачи оптимизации// Вопросы кибернетики. 1979, вып. 52. С. 5-18.

152. Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. Количественный подход. М., Мир, 1971,464с.

153. Уильямсон М. Анализ биологических популяций. М., Мир, 1975.

154. Уткин В.И.Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М., Наука, 1981.

155. Федоров М.П., Романов М.Ф. Математические основы экологии. СПб. Изд-во СПбГТУ,1999,156 с.

156. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., Наука, 1985,224 с.

157. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М., Наука, 1987,494с.

158. Фрэнке Р. Математическое моделирование в химической технологии. М., 1971, 272 с.

159. Хакен Г. Синергетика. М., Мир, 1980,404 с.

160. Цвиркун А.А. Основы синтеза структуры сложных систем. Наука, 1982.

161. Цвиркун А.А. и др. Структура многоуровневых и крупномасштабных систем. Наука, 1993.169.1Пильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М., Мир, 1994, 576с.

162. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988.

163. Эйген М., Винклер Р. Игра жизни. М., Наука, 1979.

164. Экологические системы. Адаптивная оценка и управление // Под ред. К.С.Холинга. М., 1981,396 с.

165. Экономическая и финансовая политика в сфере охраны окружающей среды. / Под общей ред. В.И.Данилова-Данильяна. М., Изд-во НУМЦ Госкомэкологии России, 1999, 512 с.

166. Эммануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. М., Высшая школа, 1974, 400с.

167. А.С. 1110843 (СССР). Способ управления технологическим процессом и устройство для его осуществления / Соминин М.А., Суриков В.Н., Фесенко Е.П., Белокопытов Ю.А. БИ, 1984, №32.

168. Agrachev А.А., Liberzon D. Lie-algebraic stability criteria for switched systems. SIAM Journal on Control and Optimization. 2001. V.40, №1, pp.253-269.

169. Ayala F.J., Gilpin M.E., Etherenfeld J.G. Competition between species: theoretical models and experimental tests. Theoretical Population Biology. 1973. №4. P.331-356.

170. Bak P., Tang C., Creutz M. Self-organized criticality in the "Game of Life" // Nature. Vol.342, p.780-782.

171. Bak P., Tang C„ Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Physical ReviewA. 1988. Vol. 38. №1, p.364-374.

172. Branicky M. Multiple luapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems. IEEE Transaction on Automatic Control. V.43. P.475-482.

173. Brune D. Optimal control of the complete-mix activated sludge process // Environtmental Technology Letters. 1985. V.6, p.467-476.

174. Busby I.B., Andrews I.F. Dynamic modeling and control strategies for the activated sludge process. I.W.P.C.F., 1975, 47, №5, p. 1055-1080.

175. Canale R.P. Predator-prey relationships in the model for the activated process. -Biotechnol and Bioeng., 1969, 11, №5, p.887-907.

176. Cramer N.F., May R.M. Interspecific competition, predation and species diversity.: a comment. Journal of Theoretical Biology. 1972. №34. P.289-293.

177. Englund G. Importance of spatial scale and prey movements in predator caging experiments. Ecology, 1997, v.78, p.2316-2325.

178. Foraboschi F.P. Termotechnica, v. 14, №12, 1960.

179. Fujii K. Complexity-stability relationship of two-prey-one-predator species system model: local and global stability. Journal of Theoretical Biology. 1977. №69. P.613-623.

180. Gotelli N.J. Metapopulation models: the rescue effect, the propagule rain and the core-satelite hypothesis.-Amer.Nat., 1991, v. 100, p.768-776.

181. Graham A.F., Tien Chi. New approach to bacterial kinetics in wastewater. -J.Environ.Eng.Div.Proc. ASCE, 1977, 103, N EE 6, p. 1057-1074.

182. Gyllenberg M., Hanski I. Single-species metapopulation dynamics: a structural model.-Theor.Population Biology, 1992, v.42, p.35-61.

183. Hanski I., Gilpin M. Metapopulation dynamics: brief history anad conceptual domain. -Biological Journal of the Linnean Society. 1991. №42. P.3-16.

184. Harrison S., Taylor A.D. Empirical evidence for metapopulation dynamics. In "Metapopulation biology" ed. by Hansxi I.A., Gilpin M.E. Academic Press, San Diego. 1997. P. 27-42.

185. Hastings A., Harrison S. Metapopulation dynamics and genetics. Ann.Rev.Ecology and Systematics, 1994, v.25, p.167-186.

186. Hastings A. A metapopulation model with population jumps of varying sizes.-Math.Biosci., 1995, v. 128, p.285-298.

187. Hastings A. Global stability of two species systems. Journal of Mathematical Biology. 1978. №5. P.399-403.

188. Holling C.S. Resilience and stability of ecological systems. Ann. Review of Ecology and Systematics. 1973. №4. P.l-23.

189. Hsu S.B. Predator-mediated coexistence and extinction. — Mathematical Biosciences. 1981. №54. P.231-248.

190. Hespanha J.P., Liberzon D., Morse A.S. Logic-based switching control of a holonomic system with parametric modeling uncertainty. Systems and Control Letters.,1999, vol. 38, №3, p. 167-177.

191. HuItman B. Modelling microbial growth in wastewater treatment. — I.W.P.C.F., 1975, 47, №4, p. 843-850.

192. Kesten Y., Pnueli A. Timed and hybrid statecharts and their textual representation. -Lect. Notes in Comp. Sci. Springer-Verlag, 1992, pp.591-620.

193. KirIinger G. Permanence in Lotka-Volterra equations: linked predator-prey systems. — Mathematical Biosciences. 1986. № 82. P.165-191.

194. Levins R. Extinction. In: Some Mathematical Problems in Biology / Ed. By M.Gesternhaber. Providence, R.I.: AMS, 1970, p. 77-107.

195. Levins R. Some demographic and genetic consequences of environmental heterogeneity for biological control. Bulletin of the Entomological Society of America. 1969. № 15. P.237-240.

196. Liberzon D., Hespanha J.P., Morse A.S. Hierarchical hysteresis switching. Proc. 39th CDC, 2000 p.484-489.

197. Liberzon D., Morse A.S. Basic problems in stability and design of switched systems. IEEE Control Systems Magazine, 1999, vol. 19, №5, p.59-70.

198. Liberzon D., Hespanha J.P., Morse A.S. Stability of switched systems: a Lie-algebraic condition. Systems and Control Letters. 1999. V.37, №3, pp.117-122.

199. Maler O., Manna Z., Pnueli A. From Timed to Hybrid Systems. Real-Time: Thory in Practice. Lecture Notes in Comp.Sci. 600, p.447-484, Springer-Verlag, 1992.

200. Matveev A., Savkin A. Qualitative theory of hybrid dynamical systems. Birkhauzer, 2000.

201. Mitra S., Liberzon D., Lynch N. Verifying Average Dwell Time of Hybrid Systems. ACM Journal Name. Vol. 5. P. 1-77.

202. Murphy L.E. A nonlinear growth mechanism in size structured dynamics // J.Theor.Biol. 1983. V.104. №8. P.493-506.

203. Moilanen A., Hanski I. Metapopulation dynamics: effects of habitat quality and landscape structure. Ecology, 1998, v, 79, p. 2503-2515.

204. Mosekilde E., Mouritsen O.G. Modelling the dynamics of biological systems. SpringerVerlag. 1991.

205. Metapopulation Dynamics: Empirical and Theoretical Investigations / Ed. By M.E.Gilpin, I.Hanski. New York-London: Academic Press, 1991, 336 p.

206. Nee S., May R.M.Dynamics of metapopulations: habitat destruction and competitive coexistence. J.Animal Ecology, 1992, v.61, p. 37-40.

207. Pielou E.C. An introduction to mathematical ecology. Wiley-Interscience. 1969. 286 p.

208. Paine R.T. Food web complexity and species diversity. American Naturalist. 1966. №100. P65-75.

209. Puu Toni. Nonlinear economic dynamics. Springer-Verlag. 1992.

210. Schoener T.W. Alternatives to Lotka-Volterra competition: models of intermediate complexity. Theoretical Population Biology. 1976. №10. P.309-333.

211. Schoener T.W. Effect of density restricted food encounter on some single-level competition models. Theoretical Population Biology. 1978. №13. P.365-381.

212. Van der Schaft A., Schumacher H. An introduction to hybrid dynamical systems: Lecture Notes in Control and Information Sciences, №251. Berlin, 2000.

213. Wiens J. Populatio responsesto patchy enviroments. Ann. Rev. Ecology and Systematics. 1976, v.7, pp.81-120.

214. Wolkowicz G.S. Succesful invasion of a food web in a chemostat. Mathematical Biosciences. 1989. № 93. P.249-268.

215. Ye H., Michel A.N., Hou L. Stability theory for hybrid systems. IEEE Trans. Automatic Control. 1998, v.43, №4, p.461-474.

216. Zhang J., Johansson K.H., Lygeros J., Sastry S. Zeno hybrid systems// Int.J. of robust and nonlinear control, 11,5, p.435-451.

217. Статьи в других научных изданиях12а. Кириллов А.Н. Об оценке адекватности моделей объектов в задачах управления /

218. A.Н.Кириллов // Труды международной конференции "Устойчивость и процессы управления". СПбГУ. 2005. - С.1400 -1406.

219. Научно-методическое издание31а. Кириллов А.Н. Системы управления с переменной структурой технологическими объектами в ЦБП / А.Н.Кириллов, В.Н.Суриков. JL: ЛТИЦБП, 1989. - 52 с.

220. Тезисы докладов на научных конференциях32а. Кириллов А.Н. Об оптимизации скользящих режимов в системе управления с переменной структурой процессом обработки осадка сточных вод /А.Н.Кириллов,