Методы качественного анализа систем управления и стабилизации

Зубов, Афанасий Владимирович

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы качественного анализа систем управления и стабилизации

доктора физико-математических наук: Зубов, Афанасий Владимирович
город: Москва
год: 2009
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Методы качественного анализа систем управления и стабилизации»

Автореферат диссертации по теме "Методы качественного анализа систем управления и стабилизации"

На правах рукописи

Зубов Афанасий Владимирович

МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И СТАБИЛИЗАЦИИ

Специальность 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

Автореферат 003432489

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2010

003492489

Работа выполнена на кафедре математической теории микропроцессорных систем управления Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Гребеников Е.А.

Доктор физико-математических наук, профессор Бутусов О.Б.

Доктор физико-математических наук, профессор Гусятников П.Б.

Ведущая организация: Учреждение Российской Академии Наук Институт Автоматизации Проектирования РАН

Защита диссертации состоится марта 2010 г. в часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН.

Автореферат разослан «_» 2010 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций

к. ф.-м.н.

Мухин A.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие современного промышленного производства невозможно без широкого использования систем автоматического управления и наблюдения, позволяющих значительно повысить его эффективность и обеспечить конкурентоспособность отечественных отраслей промышленности. В настоящее время разработка новых методов анализа систем управления и наблюдения, а также изучение динамики их функционирования обусловлено широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, а также бурным развитием компьютерной техники. Появляющиеся все новые возможности использования компьютеров, развитие их аппаратной части и программного обеспечения, систем сбора данных на базе микропроцессоров позволяют математикам при создании систем управления и наблюдения пересматривать существующие и создавать новые, имеющие большую практическую направленность аналитические, качественные и численные методы исследования этих систем, включающие не только построение законов управления в этих системах, но и качественный анализ поведения управляемых объектов при использовании различных законов управления.

Эти методы с одной стороны, позволяют еще на этапе создания систем управления и наблюдения решать вопросы их структурной оптимизации, а с другой, дают возможность более точного прогнозирования динамики функционирования этих систем, при использовании различных законов управления и тем самым определять границы их динамической безопасности.

плуатацию. С другой стороны не менее важной задачей, в частности для систем стабилизации, является задача построения для этих систем законов управления обладающих такими требуемыми качествами как: точность и помехоустойчивость.

Для описания динамики функционирования управляемых систем обычно используются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому для решения задач создания новых эффективных систем управления и наблюдения различными технологическими комплексами и техническими объектами, необходимо развивать методы исследования линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений, описывающих эту динамику.

Представленная работа посвящена развитию математических методов, позволяющих осуществлять общий и прикладной анализ систем управления и наблюдения, включающий не только структурный анализ этих систем, но и построение законов управления в этих системах, обладающих требуемыми качествами.

Качественные и аналитические методы исследования систем управления динамическими объектами были развиты в трудах зарубежных и российских математиков, начиная с Д.К. Максвелла, И.А. Вышнеградского, P.E. Калмана, H.H. Красовского, Я.З. Цыпкина, Е.П. Попова, A.M. Летова, В.И. Зубова, A.A. Воронова, Ф.Л., C.B. Емельянова, Р. Габасова, Ф.М. Кириловой, Р. Беллмана, Ж.П. Ла-Салля и многих других, а также научных школ, созданных ими.

Разработке и созданию методов анализа систем управления и их динамики в последнее время посвящено большое число научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как С.Н. Васильев, П.С. Краснощеков, Ю.Г. Евтушенко, Ю. И. Журавлев, Ф.Л. Черноусько, Е.А. Федосов, А.Б. Куржанский, Ю.С. Попков, Б.Т. Поляк, А.И. Егоров, В.Н. Афанасьев, Н.П. Петров, В.Р. Носов, В.Б. Колмановский и многим другим.

Целью диссертационного исследования является развитие математических методов качественного анализа систем управления динамическими объектами. Данное исследование включает в себя как решение задач структурной оптимизации систем управления и наблюдения, так и задач построения программных управлений в импульсных и релейно-импульсных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, а также разработку способов аналитического конструирования законов прямого и непрямого регулирования в системах стабилизации, содержащих петлю гистерезиса и обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью.

Областью исследования являются математические модели динамических объектов, представляющие собой линейные и нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые являются основой при создании и эксплуатации систем управления и наблюдения в промышленности.

Методы исследований. В работе применяются как классические методы исследования систем управления и наблюдения, так и методы качественной теории дифференциальных уравнений. Кроме того, используются методы теории устойчивости, математического анализа, линейной и высшей алгебры.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на известных достижениях в рассматриваемой области, корректности постановок задач, строгом использовании методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, линейной и высшей алгебры. Все полученные результаты имеют строгие доказательства и подтверждены при использовании в конкретных разработках.

пульсных и релейно-импульсных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, получены новые результаты, позволяющие найти управления дающие решение поставленной задачи, а также предложены новые способы конструирования законов прямого и непрямого регулирования стабилизации программных движений, содержащих петлю гистерезиса в этих законах управления и обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью. Эти результаты вносят существенный вклад в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа, как самих систем управления, так и законов управления в этих системах. Так как с одной стороны они дают возможность создавать системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих систем, а с другой для импульсных и релейных систем управления и стабилизации предлагают способы построения законов управления этими системами обладающими требуемыми качествами.

непрямого регулирования содержащих петлю гистерезиса. При этом возникает возможность строить более эффективные системы стабилизации, так как рассматриваемые в работе законы прямого и непрямого регулирования при соответствующем выборе их параметров будут обладать заданной точностью и помехоустойчивостью. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию автоколебательных динамических процессов в системах управления. Результаты работы использованы при разработке новых спецкурсов по теории управления.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-производственном объединении «Машиностроение» при разработке систем управления и стабилизации технических изделий специального назначения, а также в научно - исследовательских работах, проводящихся Санкт-Петербургском государственном университете. По результатам диссертации планируется издание нескольких учебных пособий и научно - методических работ, пять из которых уже вышли из печати.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Построен алгоритм, позволяющий для рассматриваемой открытой системы находить системы управления (наблюдения) обладающие минимальной структурой. Предложены методы позволяющие найти программные управления в импульсных и релейно-импульсных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Получены новые способы конструирования законов прямого и непрямого регулирования стабилизации программных движений, содержащие петлю гистерезиса и обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью.

Апробация работы. По основным результатам диссертационного исследования автором были сделаны доклады на 12 международных и всерос-

сийских научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Польше, Казани, Саранске, Гомеле, Могилеве, Гродно, Ярославле, Ижевске, Бресте, Минске. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах Санкт-Петербургского госуниверситета, Вычислительного центра РАН, Московского физико-технического института, Института проблем управления РАН, а также на семинарах Института системного анализа РАН.

Публикации. По теме диссертации A.B. Зубовым опубликовано более 50 научных работ объемом более 80 п.л., среди которых 24 работы вышли в изданиях рекомендованных перечнем ВАК для публикации результатов по докторским диссертациям, объемом 10 п.л. Также опубликовано 5 учебных пособий и одна монография, объемом 60 п.л. В работах опубликованных с соавторами диссертанту принадлежит не менее 50 % материала.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждой главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации - 227 страниц. Список литературы содержит 103 наименования.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Разработаны конструктивные критерии и методы структурной оптимизации стационарных систем управления, наблюдения и линейной стабилизации.

Для линейных систем, удовлетворяющих удерживающим и неудержи-вающим связям, установлены критерии существования и предложены аналитические методы построения импульсных и релейно-импульсных управлений и отвечающих им движений.

Для квазилинейных систем, удовлетворяющих удерживающим и не-удерживающим связям, доказаны достаточные условия существования и

предложены итерационные методы построения импульсных управлений и отвечающих им движений.

Для систем стабилизации в механических системах с конечным числом степеней свободы предложено семейство законов прямого и непрямого регулирования, содержащих петлю гистерезиса, причем эти системы стабилизации обладают следующими свойствами:

- обеспечивают стабилизацию программных движений в рассматриваемых системах, как при отсутствии возмущений, так и при их наличии, причем при использовании законов из этого семейства можно увеличивать точность стабилизации путем изменения параметров в этих законах, т.к. она напрямую зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в предложенных законах;

- обеспечивают стабилизацию кинематических траекторий в этих системах, причем точность стабилизации можно увеличивать путем изменения параметров законов из этого семейства, т.к. она также напрямую зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в предложенных законах;

- при стационарных, постоянно действующих возмущениях в этих системах стабилизации, возникают стабильные периодические или почти периодические колебания, расположенные в достаточно малой окрестности расчетного режима, причем характер этих колебаний зависит от арифметических свойств компонент возмущения.

Краткое содержание диссертации

Во введении диссертации приведена общая характеристика работы, включающая актуальность темы исследования, ее цель, методы и область исследования, достоверность, научную новизну, практическую значимость, реализацию результатов, полученных в работе. Также во введении приведено краткое содержание диссертации и даны сведения о ее апробации.

В первой главе, которая носит обзорно-аналитический характер и содержит описание способов представления скалярных и векторных управлений в виде разложения по некоторой системе базовых функций, исследуются вопросы существования и единственности этих представлений. Приведены необходимые и достаточные условия линейной независимости скалярных и векторных функций и рассмотрены некоторые системы таких функций. Подробно рассмотрен случай, когда разложение программного управления по некоторой системе базовых функций не единственно.

Во второй главе для линейных стационарных управляемых систем решена актуальная задача определения минимального числа управляющих воздействий, при которых открытую систему можно сделать полностью управляемой. Этот результат позволяет найти всю совокупность систем управления, при которых имеет место полная управляемость и обладающих при этом минимальной размерностью. В отличие от критерия Калмана предлагаемый подход позволяет рассматривать задачу полной управляемости еще на этапе создания управляемой системы. Кроме того, предлагаемый подход позволяет оценить избыточность систем управления. Полученный результат, редуцирован на линейные стационарные системы наблюдения, т.к. задача управляемости и наблюдаемости для линейных стационарных систем являются двойственными. Таким образом, в работе также решена задача структурной оптимизации систем наблюдения. Также решена задача структурной оптимизации систем управления стабилизирующих программное движение по линейному закону.

В первом параграфе решена важная задача структурной оптимизации систем управления. Поставлена задача поиска минимального числа р управляющих воздействий, при которых открытая система

Х = АХ + Р( 0 (2.1)

может быть сделана полностью управляемой, путем выбора соответствующей матрицы В = {В1,...,Вр) полного ранга, т.е. задачу оптимизации структуры

системы управления, при которой замкнутая система

X = AX + BU + F(t), (2.2)

будет полностью управляемой. Задачи подобного рода возникают как при синтезе систем управления, так и на этапе их создания. Введено определение.

Определение 1. Назовем характеристикой полной управляемости системы (2.1) ((2.2)) минимальное число р управляющих воздействий такое, что для открытой системы (2.1) можно выбрать матрицу В размера (ихр) полного ранга, при которой замкнутая система (2.2) будет полностью управляемой. Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике полной управляемости матрицы А.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. (Алгоритм оптимизации). Если ввести величину р = шах д.,

/=й

где pt - число линейно независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам лп (i = \,k) матрицы А, то всегда можно выбрать р линейно независимых векторов BV...,B , являющихся столбцами

матрицы В так, что система (2.2) будет полностью управляемой.

Теорема 2. Если ранг матрицы В меньше величины р = max р-, где pi

- число линейно независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам Я,, (¿ = 1 ,к) матрицы А, то система (2.2) не является полностью управляемой.

Замечание. Из теорем 1 и 2 вытекает, что характеристика полной управляемости матрицы А равна величине р = maxр,, где pi - число линей-

;=U

но независимых собственных векторов соответствующих различным собственным числам Лп (¡ = 1, к) матрицы А,

Следствие. Если характеристический многочлен матрицы А совпадает с его минимальным многочленом, то система (2.1) может быть сделана полностью управляемой с помощью скалярного управления.

Во втором параграфе решена задача структурной оптимизации систем наблюдения. Поставлена задача поиска минимального числа р выходов, при

которых открытая система X = АХ может быть сделана наблюдаемой путем выбора соответствующей матрицы С размера рхп полного ранга, т.е. задачу структурной оптимизации системы наблюдения

Х = АХ, Г = СХ, (2.3)

где У = (у,.....у„)' вектор наблюдений (выходы системы).

Введено определение.

Определение 2. Назовем характеристикой наблюдаемости системы (2.3) минимальное число р выходов, при которых открытая система X = АХ может быть сделана наблюдаемой путем выбора соответствующей матрицы С размера рхп полного ранга. Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике наблюдаемости матрицы А.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. (Алгоритм оптимизации). Если характеристика полной управляемости матрицы А равна р, то всегда можно выбрать р линейно независимых векторов С,,...,С , являющихся строками матрицы С так, что система (2.3) будет наблюдаемой.

Теорема 4. Если ранг матрицы С меньше характеристики полной управляемости матрицы А, то система (2.3) не является наблюдаемой.

Следствие. Если характеристический многочлен матрицы А совпадает с его минимальным многочленом, то система (2.1) может быть сделана наблюдаемой с помощью скалярной системы наблюдения.

Замечание. Из теорем 3 и 4 вытекает, что характеристика полной управляемости матрицы А совпадает с характеристикой ее наблюдаемости.

В третьем параграфе решена задача структурной оптимизации систем линейной стабилизации. Поставлена задача поиска минимального числа р управляющих воздействий, при которых для открытой системы (2.1) можно построить матрицу В ранга р, такую что, при выборе соответствующего линейного закона управления относительно фазовых переменных С/ = КХ тривиальное решение системы

Х = АХ + ВКХ (2.4)

было асимптотически устойчивым, т.е. чтобы все собственные числа матрицы А + ВК лежали в левой полуплоскости.

Введено определение.

Определение 3. Назовем характеристикой линейной стабилизации открытой системы X = АХ минимальное число р управляющих воздействий, при которых для этой системы можно построить матрицу В ранга р, такую что, при выборе соответствующего линейного закона управления относительно фазовых переменных и = КХ тривиальное решение системы (2.4) было асимптотически устойчивым, т.е. чтобы все собственные числа матрицы А + ВК лежали в левой полуплоскости. Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике линейной стабилизации матрицы А.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 5. Характеристика линейной стабилизации матрицы А совпадает с величиной р = тах р1, где р1 - число линейно независимых СОбсТВеН-

МЛ

ных векторов соответствующих различным собственным числам (г' = 1 ,к) матрицы А имеющих неотрицательные вещественные части (ЯеА( >0).

Теорема 6. Положение равновесия X = 0 системы X = АХ + Ви + Р(1,Х, II) можно сделать асимптотически устойчивым путем выбора матрицы В и управления ¡7, удовлетворяющего условию

||£/р/?||*||, р-сот1> 0

тогда и только тогда, когда гащВ > р, где р - характеристика линейной стабилизации матрицы А.

В четвертом параграфе описан алгебраический метод построения коэффициентов минимального многочлена, т.к. при исследовании скалярных систем управления и наблюдения решение этой задачи является основным.

В третьей главе разработан метод построения импульсных и релейно-импульсных управлений в динамических системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Для линейных систем получены необходимые и достаточные условия существования импульсных и релейно-импульсных управлений, как для двухточечных задач, так и для краевых условий удерживающего и неудерживающего типа. Предложены также аналитические методы построения таких управлений и отвечающих им движений. В квазилинейном случае получены условия существования таких управлений и движений и описаны итерационные методы их построения.

В первом параграфе приведены сведения справочного характера, касающиеся задач полной управляемости для импульсных и релейно-импульсных управлений.

Во втором параграфе для линейных нестационарных систем

х=Р(*)+0№+т, (3.1)

удовлетворяющих удерживающим

^сЮ{в)Х(в) = Г

(3.2)

и неудерживающим

Г, < ¡сЮ(0)Х(в) < Г2

(3.3)

связям получены критерии существования и предложены методы построения импульсных управлений, при которых система (3.1) удовлетворяет удерживающим или неудерживающим связям. В случае отсутствия внешних возмущений F(f) = 0 (систем стабилизации) получены достаточные условия существования и предложены методы построения релейно-импульсных управлений при которых система (3.1) удовлетворяет удерживающим или неудерживающим связям.

Доказан ряд теорем.

Теорема 1. Для того, чтобы существовало семейство импульсных управлений £/(/) таких, что решение системы (3.1), удовлетворяющее произвольному начальному условию Х(0) = Х0, при любом из этих импульсных управлений будет удовлетворять краевым условиям (3.2) для любого наперед заданного вещественного вектора Г) необходимо и достаточно, чтобы строки матрицы

были линейно независимыми функциями в произвольном промежутке

Теорема 2. Пусть: 1. Выполняются условия теоремы 1; 2. ^(?) = 0 при ?е[0,Г]; 3. Г = 0; Тогда существует положительное число к> 0 такое, что

д(0= \ас(.тЩт)¥-\т о

[г,,г2]с[0,г].

для всех начальных положений системы (3.1) Х(0) = Х0, удовлетворяющих неравенству ||хо|<й существует семейство релейно-импульсных управлений

таких, что решение системы (3.1) , при любом из этих управлений, будет удовлетворять краевым условиям (3.2).

Теорема 3. Если ранг расширенной матрицы равен т, то су-

ществует такое начальное положение системы (3.1) Х(0) = X(j и целое семейство импульсных управлений и = u(t), что задача (3.1),(3.2) имеет решение.

Теорема 4. импульсное управление, являющееся решением задачи (3.1),(3.3) существует тогда и только тогда, когда гиперплоскость W, описываемая уравнением

/=1

где Г. - линейно независимые столбцы матрицы и а. - произволь-

ные вещественные постоянные, пересекается cm- мерным параллелепипедом Tj < Г < Г2.

В условиях теорем 3 и 4 расширенная матрица (D0,Dj) определяется из свойств матриц R(t) и G(t).

В третьем параграфе для квазилинейных управляемых систем

X = P(t)X + Q{t)U + F(t) + MG(t,M,X,U) (3.4)

найдены условия существования и предложены методы построения импульсных управлений, при которых эта система будет удовлетворять удерживающим

\dG{6)X(9) + цН(м,Х(в),и{в)) = Т (3.5)

и неудерживающим

г:< ^в(в)х(0) + мН(м,Х(в),и(в))< г2 (3.6)

связям.

Доказан ряд теорем.

Теорема 5. Если строки матрицы линейно независимы в произвольном промежутке [ , Т2 ^ с [О, Г], то можно указать положительное число /л{) такое, что при любом значении вещественного параметра ¡л, |//|<для любого начального положения системы (3.4) Х(0) = Х0будет

существовать семейство импульсных управлений, являющихся решением задачи (3.4),(3.5) для любого вещественного вектора Г.

Теорема 6. Если ранг расширенной матрицы равен т, то су-

ществуют начальные положения системы (3.4) Х(0) = ЛГ0 и положительное число > О такие, что при любом значении вещественного параметра

< , будет существовать семейство импульсных управлений II (г), дающих решение задачи (3.4),(3.6) при Х(0) = Х().

Четвертая глава посвящена исследованию автоколебательных процессам в механических системах с конечным числом степеней свободы. В этой главе предлагаются законы прямого и непрямого регулирования, обеспечивающие стабилизацию программных движений в механических системах с конечным числом степеней свободы на основе релейного управления, содержащего петлю гистерезиса в этом законе управления.

Первый параграф носит постановочный характер. В нем дается формулировка задачи изучения автоколебаний в режиме стабилизации, излагаются известные определения устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову, дается понятие стабилизации программного движения, вводится

понятие периодических колебаний, а также рассматривается различие устойчивости по Ляпунову и процесса стабилизации.

Во втором параграфе осуществляется построение законов управления в механических системах

с конечным числом степеней свободы. Приводятся теоремы, содержащие конструкцию законов прямого регулирования, обеспечивающих стабилизацию программных движений при отсутствии возмущений и при их наличии. Показано, что точность стабилизации при указанной конструкции закона прямого регулирования зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в этом законе управления.

В соответствии с общепринятыми обозначениями вводится в рассмотрение релейная функция д>{а{Х,Х),1) = <р(а,1), зависящая от обобщенных

координат X и обобщенных скоростей X системы (4.1)

где / > 0 — некоторая константа. Интервал (-1,1) называется зоной гистерезиса функции ф(сг,1)[1].

Определение 1. Допустимым управлением и(),Х,Х) будем называть

ределение которого каждый раз уточняется, ио - вектор-столбец, компоненты

которого определяются соотношением: моу где с, - линей-

ные формы обобщенных скоростей и обобщенных координат, /?,. - константы.

А0Х + А,Х + А2Х = в(1,Х,Х) + ВГ + Р{1,Х,Х), (4.1)

[-1 при а >/,

(4.2)

управления вида {/ = {/,+(/„, где их{г,Х, X) - известный вектор - столбец, оп-

Справедливы теоремы.

Теорема I. Если матрицы А0 и В невырожденные, то при отсутствии постоянно действующих возмущений (Г(/,Х,Х) = 0) для любого е>0 существует управление II(£)=11 = В~'А0(СХ + А~'А2Х - + £/0) из класса допустимых, такое, что ||Х(^0,Х0)|<£ при / > Г, при этом величина Т зависит известным образом от начальных значений обобщенных координат и обобщенных скоростей. Более того, существует целое семейство управлений обладающих указанным свойством, для которого зоны гистерезиса удовлетворяют условию / <ае, (/= 1,...Д") где а некоторая константа, большая нуля.

Другими словами, если зоны гистерезиса достаточно малы /( < ае, то система (4.1) будет совершать автоколебания в е - окрестности точки Х = 0, 1 = 0.

Теорема 2. При наличии ограниченных постоянно действующих возмущений тах|Д/,Х,Х)|<т, (/ = 1,...,к) для любого £>0 существует управление 1т(Е,Р)=и = В^А0(СХ + А^'АгХ - А^'в + и„) К, = ¿^(.уД)) из класса допустимых, такое, при ^>7, при этом величина Т зависит известным образом от начальных значений обобщенных координат, обобщенных скоростей и возмущений. Более того, существует семейство управлений и{е,Р), обладающих указанным свойством, для которого зона гистерезиса удовлетворяет условию I < ае, где а > 0 - некоторая константа, не зависящая от т.

В третьем параграфе предлагается подход к устранению влияния постоянно действующих возмущений на систему управления путем построения законов непрямого регулирования, обеспечивающие стабилизацию программных движений, как при отсутствии возмущений, так и при их наличии. Приведено доказательство двух теорем о стабилизации программных движе-

ний при помощи закона непрямого регулирования, получены оценки на точность стабилизации программного движения через величины характеристик применяемых законов управления.

Предполагается, что закон непрямого регулирования имеет вид

U°"\t,X,X) = H(t,X,X,U,Ü,...,Ulm-])) + CV (4.3)

Задача состоит в выборе вектора V и закона регулирования Н в равенстве (4.3) таким образом, чтобы все движения располагались в достаточно малой окрестности точки Х = 0, X = 0 по истечении некоторого времени переходного процесса.

Определение 2. Управление V будем называть, допустим, если оно имеет вид V = Vt + V0, где векторную функцию V[(t,X,X,U,Ü,...,U(m'])) можно выбирать каждый раз специальным образом, исходя из структуры управления объекта регулирования, а компоненты вектора управлений V0 имеют вид

v.»

Справедливы теоремы.

Теорема 3. При отсутствии возмущений для любого е > О существует управление V(s) из класса допустимых такое, что || X{t,tSl,X(l)\\< с при t>T. При этом Т известным образом зависит от начальных значений обобщенных координат и обобщенных скоростей. Более того, существует семейство управлений, V(e) обладающее указанным свойством, для которого зона гистерезиса удовлетворяет условию 1<ае, где а > О - некоторая константа.

Теорема 4. При наличии ограниченных возмущений для любого s > О существует управление V(s) из класса допустимых, такое, что |^f(i,i0,X0)|<e при t>T. При этом Г известным образом зависит от начальных значений обобщенных координат и обобщенных скоростей.

В четвертом параграфе предложено решение задачи стабилизации, возникающей при ориентации оптической оси радиотелескопа, как задачи управления механической системой

\апа + = р,сс,Р) + М + М0

в двух плоскостях - азимутальной и угломестной. Предлагается законы прямого и непрямого регулирования обеспечивающие стабилизацию его программного движения при наличии постоянно действующих возмущений.

Для удобства анализа систему (4.4) можно записать в векторном виде

АХ = / + и + и0, (4.5)

а закон прямого регулирования выбрать в виде

и = -/ + АХр-А(К]¥ + К2¥), (4.6)

где Кх, К2 - постоянные матрицы, подлежащие определению, а У = X - Хр, а Xр - программное движение, т.е. Хр = (ар,/Зр)т.

Справедлива теорема.

Теорема 5. При прямом регулировании, когда закон управления определяется формулой (4.6), точность отработки программного движения удовле-

творяет соотношению

|| СУ1' + СУ || + шах || А'11| шах || 1/01| 14-А1

)

шах || А'11| тахр/^У

(4.7)

, Хр(0) = (С1°), X,(0) = С

КК

которое имеет место в том случае, если положить Ж", К2 = к2Е, а вели-

чины^ > О, к2>О выбраны так, чтобы собственные числа Я,, полинома г1 +кхг + к2 = 0 были вещественны.

Из этой оценки вытекает, что при ограниченных возмущениях отработка программного управления может быть сколь угодно точной, если коэффи-

циенты усиления к,, к2 выбраны из условия кх> 0, к2> 0, а к2 - достаточно большое положительное число (т.к. к2 = Л1-Л2).

В пятой главе содержится качественный анализ автоколебательных процессов в механических системах с конечным числом степеней свободы возникающих при применении законов прямого и непрямого регулирования построенных в предыдущей главе

В первом параграфе вводится понятие кинематической траектории и дается решение задачи их стабилизации на основе релейного управления, содержащего петлю гистерезиса в этом законе управления. В нем также предлагаются законы прямого и непрямого регулирования обеспечивающие решение задачи непрерывной стабилизации движения системы, описываемой системой уравнений Лагранжа второго рода общего вида.

Рассматриваются уравнения движения в форме (4.1)

АйХ + А1Х + А1Х = С(1,Х,Х) + Ви + Р (5.1)

и вводится определение.

Определение 1. Векторная функция X = Х{1) называется кинематической траекторией управляемой системы (5.1), если она описывает возможную конфигурацию этой системы. Возможная конфигурация системы - это такая конфигурация, которая совместима со связями.

Замечание 1. Известно, что не всякая кинематическая траектория может быть фактически осуществлена точно, так как в механической системе также обычно имеются ограничения на силовые поля.

В системе (5.1) делается замена искомых функций по формуле X = У + Х(1). Тогда для новой искомой функции вектор-функции У получим систему уравнений

А^ + А^+АгГ = в + Ви + Р (5.2)

где Р = Р-АйХ-АхХ-А2Х.

Справедлива теорема.

Теорема 1. Если матрицы Д, и В неособенные, а возмущения Р удовлетворяют условию || Р ||< к}, кх> О при использовании законов прямого и непрямого регулирования построенных при доказательстве теорем 2 и 4 четвертой главы в системе (5.2) возникают стабильные колебания в окрестности точки 7 = 0, 7 = 0, а все движения этой системы, начинающиеся в некоторой фиксированной окрестности этой точки, будут стремиться к этому стабильному колебанию. За счет выбора величины гистерезиса в законе управления можно добиться того, что стабильные колебания могут быть расположены в сколь угодно малой окрестности кинематической траектории, а мера отклонения от него любого движения может быть сделана сколь угодно малой.

Рассматриваются уравнения движения в форме Лагранжа в векторной форме записи имеющие вид

АХ=Г + и + и0. (5.3)

Для стабилизации некоторого программного движения в этой системе предполагается, что стабилизирующее управление имеет вид

и = + АХпр -А(К1ё + К2е), (5.4)

где К], Х2 - постоянные матрицы, подлежащие определению, а величина е = X - Хт, где Хпр - программное движение.

Справедлива теорема.

Теорема 2. При прямом регулировании, когда закон управления определяется формулой (5.4) при Кх = Е, К2 =к2Е, точность отработки программного движения можно оценивать с помощью неравенства

+С>Д2'|| + шах||^-,||шах||г70|ДГ1^2,(| Я, Г' £(0) = С,0, ¿(0) = С2,

где величины>0, к2> 0 выбраны так, чтобы собственные числа А,, полинома г2 +к]г + к2=0 были вещественны, а а > 0 - запас устойчивости, т.е. А, < -а, Яг < -а, ХхфХ2.

При этом оказывается, что при ограниченных возмущениях отработка программного движения может быть сделана сколь угодно точной, если коэффициенты усиления к},к2 выбраны из условия к],к2> 0.

В случай непрямого регулирования, когда управляющий момент и удовлетворяет уравнению

ЦЕ/) = — + Ц- + ... + али = У, (5.6)

Л" 1 ¿Г"'

вводится функция р = и-и (функцияи удовлетворяет уравнению (5.4)), которая удовлетворяет уравнению

<Гр а"~]р .

-—+ ОТ,-7- + ... + М р = 0,

Л" Л

где т],...,тп - константы, выбранные так, чтобы нулевое решение этой системы было асимптотически устойчиво. Тогда при управлении

У =-+ а,-г + ... + а„1/--— -пи-7--...-И <0 = 0. (5.7)

& 1 ж " а? ' ¿г1

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. При непрямом регулировании, когда закон управления определяется формулами (5.6), (5.7), точность отработки программного движения определяется формулой (5.5). При этом оказывается, что при ограниченных возмущениях отработка программного движения может быть сколь угодно точной, если коэффициенты усиления к2, т],...,тп выбраны из условия кх,к2> 0, Яе/, <0, (/ = !,...,«), к2 - достаточно большое число. Здесь у,,...,уп различные корни уравнения: у" + тху"1 +... + тп - 0.

Во втором параграфе изучается аналитическая природа автоколебательных процессов в системах автоматического управления, а именно устанавливаются свойства периодичности и почти периодичности автоколебаний в системах прямого и непрямого регулирования при отсутствии возмущений.

Рассматривается механическая система с £ степенями свободы движения которой можно описать системой дифференциальных уравнений

А0Х + А,Х + А2Х = вЦ,Х,Х) + В11 + Р((,Х,Х) (5.8)

и закон непрямого регулирования, имеющий вид:

и(1,Х,Х) = Н(1,Х,Х) + СГ. (5.9)

Управление У выбирается в форме У = У, + У0 где

а = А:' (6+вн - А,х - А. А:1 (в+ви-л.х - А2Х)\,

Х ' (5.10)

У = (ВСу1А0(У1+У0),У1=-в1-П1Х-В2Х, Г0 = ВСУ0,

а компоненты вектора Уп являются релейными функциями

Чн^ВД. (5.11)

Л', > 0-некоторая константа (коэффициент усиления), а сг - закон обратной связи.

Доказана теорема.

Теорема 4. При отсутствии возмущений на стабилизируемую систему, если закон непрямого регулирования имеет вид (5.9), а управления имеют вид (5.10),(5.11), то все решения системы (5.8) асимптотически стремятся к соответствующим стационарным решениям. Причем, если периоды ^ этих решений (линейно зависящие от коэффициентов усиления) попарно соизмеримы, то такими стационарными решениями будут являться периодические функции. Если же периоды ?| попарно несоизмеримы, то стационарными решениями будут являться почти периодические функции, каждая из которых будет расположена всюду плотно в области многозначного управления.

Для систем с переменной структурой доказана аналогичная теорема с соответствующим выбором закона управления.

В третьем параграфе проводится качественный анализ влияния постоянно действующих возмущений на автоколебания в системе управления. В результате исследования установлено, что постоянно действующие возмущения в сильной степени влияют на аналитический характер автоколебаний, изменяя природу этих автоколебаний при изменении арифметических свойств возмущений.

Рассматривается линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений:

Y = AY + DU + F(t) (5.12)

где F(t)~ постоянно действующее возмущение, а управление U удовлетворяет соотношению

U = CY, (5.13)

причем управление U таково, что все корни характеристического уравнения

det(j4 + DC - ЯЕ) = 0 (5.14)

имеют отрицательные вещественные части.

Вводятся два определения.

Определение 2. Точностью и мерой возмущения управляемой системы

(5.12) называются величины lim- IyfP'dt и lim- \\I~F*dt.

t J t J

1 0 ' 0

Доказаны теоремы.

Теорема 5. Точность управляемой системы (5.12) при управлении (5.13) - (5.14) пропорциональна ее мере возмущения, т.е.

Ümi f>/F<it <—lim- [ylF*dt (5.15)

f—>oo f J 2 /->cc / J

1 о Л 1 0

Причем оценка (5.15) является точной в том смысле, что существуют управляемые системы, в которых она реализуется как равенство.

Теорема 6. При наличии ограниченных постоянно действующих стационарных возмущений на систему (5.8), если управления удовлетворяют соотношениям (5.10),(5.И) то в системе (5.8) возникают периодические или почти периодические автоколебания. Причем периодичность или почти периодичность автоколебаний зависит от арифметических свойств компонент вектора возмущений.

В заключение диссертации приведены основные научные результаты, полученные в работе.

Основные результаты диссертационной работы.

Результаты, полученные в данной работе, носят системный характер, т.к. с одной стороны они касаются общих задач теории управляемых систем, а с другой они касаются задач построения импульсных и релейно-импульсных программных управлений в этих системах, а также задач поиска законов прямого и непрямого регулирования в системах релейной стабилизации, обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью. С этой точки зрения все представленные в работе результаты можно условно разделить на три группы.

1. Результаты, которые получены при решении общих проблем теории управляемых систем:

Разработаны новые критерии и методы структурной оптимизации систем управления, наблюдения и стабилизации, включающие:

— критерии и методы структурной оптимизации стационарных систем управления;

- критерии и методы структурной оптимизации стационарных систем наблюдения;

- критерии и методы структурной оптимизации стационарных систем линейной стабилизации.

2. Результаты, полученные при решении проблем построения импульсных и релейно-импульсных программных управлений:

- установлены критерии существования и предложены аналитические методы построения импульсных и релейно-импульсных управлений для линейных систем удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям;

- получены достаточные условия существования и предложены итерационные методы построения импульсных управлений для квазилинейных систем, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.

3. Результаты, полученные при построении законов управления для систем стабилизации в механических системах с конечным числом степеней свободы:

- предложены законы прямого и непрямого регулирования, содержащие петлю гистерезиса и обеспечивающие стабилизацию программных движений в этих системах, как при отсутствии возмущений, так и при их наличии, причем эти законы позволяют увеличивать точность стабилизации путем изменения их параметров, т.к. она напрямую зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в этих законах:

- показано, что использование законов прямого и непрямого регулирования, предложенных выше, также обеспечивает стабилизацию кинематических траекторий в этих системах, причем использование этих законов также позволяет увеличивать точность стабилизации путем изменения их параметров;

ческие колебания, причем эти законы позволяют увеличивать точность стабилизации путем изменения их параметров, т.к. она напрямую зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в этих законах.

Основные публикации по теме диссертации

1. Зубов А.В. Оценка точности отработки программного движения в одной сложной системе управления. В кн. Системы автоматизации в науке и производстве М., "Наука", 1984 с. 167-173.

2. Зубов А.В. Построение законов непрямого регулирования механической системы при наличии внешних возмущений. В кн. Робототехниче-ские комплексы для научных исследований М., "Наука", 1984, с. 57-65.

3. Зубов А.В. Стабилизация кинематических траекторий механических систем. В кн. Методы и системы автоматизации в задачах науки и производства М., "Наука", 1986, с. 244-256.

4. Зубов А.В. Вычисление вероятностных характеристик функционирования целлюлозно-бумажного оборудования с многими степенями свободы. В кн. Математические основы надежности механизмов ЦБП (Методические указания) JL, ЛТИ ЦБП, 1989, с. 3 - 9.

5. Зубов А.В. Исследование стабилизации программного движения при помощи метода прямого регулирования. Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" - Саранск, 1995, с. 281-285.

6. Zubov A.V. Stabilization of program multi-dimentional mechanical system movements in research of hydrogen power problems. Abstracts Hydrogen Power, Theoretical and Engineering Solutions, 3 Interna-tional Symposium. Saint-Petersburg State University, 1999, p. 179.

7. Зубов А.В. О стабилизации программных движений при помощи метода непрямого регулирования. Тезисы докладов на международной математи-

ческой конференции "Еругинские чтения VI", ч. I, БГУ, Гомель, 1999, с. 93.

8. Зубов A.B., Зубов Н.В. , Мухин A.B. . Релейно - импульсные управления и стабилизация динамических систем. СПб, Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2002, 174 с.

9. Зубов A.B., Мухин A.B., Косюг В.И. Стабилизация программного движения с помощью кусочно - постоянных управлений. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем, вып. 6(2). М., ВЦ РАН, 2004, с. 5-56.

10. Зубов A.B. О существовании управлений с переменной структурой. Труды IX Белорусской международной математической конференции -Гродно, БГУ, 2004, часть 3, с. 110-111.

11. Зубов A.B. Стабилизация кинематических траекторий с помощью систем прямого регулирования. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем, вып. 6(2). М., ВЦ РАН, 2004, с. 57-63.

12. Зубов A.B. Принципы аналитического конструирования автоматов опознания. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(1). — М.: КомКнига, 2005. с. 99-103.

13. Зубов A.B. Исследование логических управляющих сетей в многомерных механических системах. //Научно - технические ведомости СПбГТУ, вып 4, 2005, с 105-107.

14. Зубов A.B. Автоколебания в моделях динамики взаимодействия видов. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(2). — М.: КомКнига, 2005. с. 160-165.

15. Зубов A.B., Шабурова O.A. Управление динамическими системами. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. 2005, 78 с.

16. Зубов A.B. Демпфирование внешних ограниченных воздействий с помощью законов прямого регулирования. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Выпуск 10(1). —М.: КомКнига, 2006. с. 77-84.

17. Зубов A.B. Аналитические свойства многомерной механической системы. // Математическое моделирование. Т. 18, № 12.2006. с 45-51.

18. Зубов A.B., Дутов С. А., Радченко А. Ю. О существовании автоколебаний систем дифференциальных уравнений. Труды ИСА РАН. Динамика линейных и нелинейных систем: Т 25(1). М.: КомКнига. 2006. с. 72-74.

19. Зубов A.B. Стабилизация программных движений и кинематических траекторий в динамических системах в случае прямого и непрямого регулирования. Ж. // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3, с. 19-32.

20. Зубов A.B. Стабилизация и управление в динамических системах. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. Изд-во АООТ» Мобильность-плюс», 2007,131 с.

21. Зубов A.B., Зубова O.A. Задача стабилизации кинематических траекторий. Сборник трудов XX Международной научной конференции. Математические методы в технике и технологиях. Ярославль, ЯГУ, 2007, с. 86.

22. Зубов A.B., Стрекопытов С. А. Динамические системы и автоколебания. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Т. 31(2). М.: Изд. ЛКИ, 2007. 89-90.

23. Зубов A.B., Зубов Н.В., Лаптинский В.Н. Динамика управляемых систем. Санкт-Петербург. СпбГУ. Изд-во «ВВМ». 2008, 356 с.

24. Зубов A.B., Алидрисси М.А. Расчет и стабилизация программных траекторий механических систем. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. Изд-во АООТ»Мобильность-плюс», 2008, 69 с.

25. Зубов A.B. и др. Построение законов управления при наличии ударных нагрузок. Труды Средневолжского математического общества, Том 10 № 2, СВМО, Саранск, 2008 г. 236-239.

26. Зубов A.B., Дикусар В.В., Зубов Н.В. Задачы полной управляемости и структурной минимизации. Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Т. 32(2). М.: Изд. ЛКИ, 2008.32-39.

27. Зубов А.В. и др. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. Изд-во АООТ» Мобильность-плюс», 2009, 223 с.

28. A.V. Zubov, Dikusar V.V., Zubov N.V. Minimal value of control actions. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 61-62.

29. A.V. Zubov, Dikusar V.V., Zubov N.V. Nonstationary matrices with supers-tabiluty. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 63-64.

30. A.V. Zubov, Dikusar V.V., Zubov N.V. Class of (n,k)- equivalence polynomials. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 59-60.

31. A.V. Zubov, Dikusar V.V. Optimal control of feed-back systems. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 65-73.

32. Зубов A.B., Дикусар B.B., Зубов H.B. О минимизации числа управляющих воздействий в системах управления. Тезисы международной конференции. Математика, компьютер образование. Т. 2, вып. 16, Ижевск, 2009, с. 24.

Подписано в печать: 12.01.2010

Заказ № 3232 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Зубов, Афанасий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Способы представления программных управлений.

Введение.

§ 1 Критерии линейной независимости скалярных функций.

§ 2. Критерии линейной независимости векторных функций.

§ 3. Способы представления программных управлений.

ГЛАВА 2. Структу рная минимизация систем управления, наблюдения и стабилизации.

Введение.

§ 1. Структурная минимизация систем управления.

§ 2. Структурная минимизация систем наблюдения.

§ 3. Структурная минимизация систем стабилизации.

§ 4. Алгебраический метод построения коэффициентов минимального многочлена.

ГЛАВА 3. Импульсные и релейно-импульсные управления в системах удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.

Введение.

§ 1. Критерий управляемости для импульсных и релейноимпульсных управлений.

§ 2. Импульсные и релейно-импульсные управления в линейных системах удовлетворяющих краевым условиям.

§ 3. Импульсные управления в квазилинейных системах удовлетворяющие удерживающим и неудерживающим связям.

ГЛАВА 4. Автолебательные процессы в механических системах с конечным числом степеней свободы.

Введение.

§ 1. Постановка задачи. Автоколебания в режиме стабилизации.

§ 2. Построение законов управления в системах с конечным числом степеней свободы.

§ 3. Устранение влияния постоянно действующих возмущений на систему управления.

§4. Выбор управляющих моментов при стабилизации оптической оси телескопа.

ГЛАВА 5. Качественный анализ автоколебательных процессов в механических системах.

Введение.

§ 1 Устойчивость по Ляпунову и процесс стабилизации программных движений.

§ 2. Периодические и почти периодические автоколебания в системах управления.

§ 3. Влияние постоянно действующих возмущений на автоколебания в системах управления.

Введение 2009 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Зубов, Афанасий Владимирович

Анализ направлений развития науки, научные публикации и тематика международных научных конференций за последнее десятилетие, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед цивилизацией в XXI веке является следующие:

- создание новых космических технологий и ракетно-космических систем;

- создание нетрадиционных энергетических технологий;

- создание общемировой системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем;

- глобальное решение транспортной проблемы;

- создание новых биотехнологий;

- создание многофункциональных гибких автоматизированных систем;

- создание нанотехнологий;

- создание глобальных систем прямого влияния на климат. Следствием этих глобальных задач является необходимость разработки систем управления и наблюдения для контроля и минимизации негативных сторон развития цивилизации и усиления позитивных направлений этого развития. Создание таких систем необходимо в частности для защиты и противодействия глобальным угрозам, таким как изменение климата и использование биологического, сверхточного ракетно-космического, а также психотропного оружия. Сюда можно отнести и терроризм, который может воспользоваться любым достижением новых технологий.

Очевидно, что решение этих проблем даже при создании технических систем не может быть осуществлено без серьёзной научной проработки, т.е. без использования математических методов исследования систем управления динамическими объектами и технологическими процессами, включающих качественный анализ их динамики функционирования, с учётом надёжности и безопасности этого функционирования.

В настоящее время, в промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязи между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на АЭС, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т.д.). В связи с этим возникает задача построения систем управления обеспечивающих динамическую безопасность технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.

Таким образом, одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области разработки систем управления, обеспечивающих динамическую безопасность функционирования сложных технических систем и технологических процессов.

Сделаем небольшой исторический обзор развития методов исследования систем управления обладающих при этом различными требуемыми качествами.

В XIX веке главным объектом исследования были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. Было введено важнейшее понятие устойчивости регулируемого процесса и получены первые критерии устойчивости линейных систем, выражаемые в терминах характеристического полинома (Максвелл, Раус, Вышнеградский, Гурвиц, Стодола). В работах A.M. Ляпунова были получены первые результаты по устойчивости нелинейных систем, опирающиеся на фундаментальную идею введения функции Ляпунова.

В 30-е годы XX века, с появлением телефонии и радиосвязи, основным аппаратом теории устойчивости управляемых процессов становятся частотные методы и соответствующие частотные критерии устойчивости (Найквиста, Михайлова). Эти методы в 1940-50-е годы распространяются на импульсные и дискретные системы управления (Цыпкин, Джури) - такие системы приобретают особую роль в связи с появлением цифровой вычислительной техники и некоторых классов нелинейных систем (Лурье, Айзерман, Попов).

Однако в конце 1950-х годов вновь происходит обновление в теории управления. В связи с развитием ракет и космонавтики возникает совершенно новый аппарат описания систем управления - описание в пространстве состояний. Иначе говоря, движение системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (вообще говоря, нелинейным), в правой части которого стоит функция, которая может выбираться проектировщиком (управление). Более того, возникла фундаментальная идея оптимальности - выбор управления должен оптимизировать некоторый показатель качества. Был разработан принцип максимума Понтрягина, который дал необходимое условие оптимальности управляемой системы. Работы специалистов по управлению (Калман, Ла-Салль Беллман, Летов) показали важность и продуктивность созданной теории оптимального управления.

В то же время постепенно выяснилось, что такая теория адекватно описывает лишь сравнительно узкий круг практических задач, таких как управление, космическим полётом или наведение ракет. В остальных ситуациях имеется масса факторов, препятствующих непосредственному применению математической теории оптимального управления. Во-первых, в каждой задаче имеется неизбежная неопределённость, связанная либо с наличием внешних возмущений, либо с невозможностью точно определить параметры модели. Во-вторых, в теории оптимального управления решение ищется в виде функции от времени (программное управление). С другой стороны необходимость строить стратегию управления заранее является крайне нежелательной. Для инженера гораздо более естественно выбирать управление в форме обратной связи, как функцию от выхода системы в текущий момент (задача синтеза).

Эта критика вызвала очередную переоценку теории управления в 1970-е годы. В инженерной практике происходит возврат к классическим способам регулирования с помощью простых регуляторов (типа ПИД) и к простым методам их настройки. В теории восстанавливается интерес к частотным методам: они обобщаются на случай многомерных систем (Розенброк). Однако настоящие революционные изменения произошли в 1980-е годы. Возникла так называемая Н - теория (Зеймс, Френсис, Дойл, Гловер), которая позволила объединить частотные методы и методы пространства состояний и по-новому ставить оптимизационные задачи. Эта же постановка позволила рассматривать задачи с неопределённостью (робастное управление), именно задачи, в которых частотная характеристика объекта имеет неопределённость, ограниченную в я - норме. Появились и другие постановки задач робастного управления, в которых неопределённость може т быть задана иначе - либо как параметрическая, либо как ограниченная в матричной норме при описании в пространстве состояний. При этом были найдены многие красивые решения отдельных задач; например, задача о робастной устойчивости интервального полинома допускает очень простой ответ (теорема Харитонова). Был создан математический аппарат, позволяющий единообразно исследовать различные виды неопределённостей -//-анализ (Дойл).

Помимо Н - теории и робастности, новое решение получил ряд других разделов теории управления. Так, задача о подавлении внешних возмущений привела к появлению так называемой - оптимизации (Барабанов-Граничин, Пирсон-Далех). Новый математический аппарат, оказавшийся чрезвычайно удобным, связан с линейными матричными неравенствами. Эти неравенства возникли ещё в 1960-е годы в ряде задач управления; позже выяснилось (Бойд), что они представляют собой очень общий метод анализа и синтеза линейных систем. Наличие эффективных программ решения линейных матричных неравенств сделало этот аппарат весьма эффективным с вычислительной точки зрения.

Таким образом, за последние 20 лет теория управления претерпела очень большие изменения, расширившись за счёт новых направлений проблем инициированных новейшим этапом развития человечества в ХХТ веке. Важнейшим из новых направлений являлась теория робастной устойчивости, получившая развитие буквально в последние 20-25 лет.

Вернёмся опять к истокам возникновения теории управления. В очерках истории автоматического управления Ю.П. Петров приводит интересный факт, заключающийся в том, что регуляторы Д. Уатта для паровых машин переставали устойчиво работать при повышении их мощности и имели тенденцию к неустойчивой работе и самораскачиванию. Выдающийся английский физик Д.К. Максвелл поставил задачу исследования «странного» поведения этих устройств. Однако, в своей работе «О регуляторах» (1868) он не дал чётких практических рекомендаций для обеспечения устойчивости работы этих устройств. Только спустя 20 лет российский инженер И.А. Вышнеградский сумел решить эту проблему. Он построил первую математическую модель всех регуляторов подобного вида. С его работы «О регуляторах прямого действия» берет начало современная инженерная теория автоматического регулирования. Фактически, он нашёл те параметры конструкций регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, И.А. Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых работа регулятора должна носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования можно считать «предтечей» нового направления в теории устойчивости, а именно робаетной устойчивости. Заметим, что впервые ввел аналогичное понятие (устойчивость грубых систем) A.A. Андронов еще в 1937г. Конечно, базой развития новой (робаетной) теории являются достижения классической теории устойчивости динамических систем.

Необходимо также отметить, что исследования систем управления нелинейными динамическими объектами по первому линейному приближению получили развитие во многом благодаря трудам Рауса, Гур-вица, Вышнеградского, Михайлова, Найквиста, Попова, Понтрягина и многих других. Теория автоматического управления и сейчас находится в процессе интенсивного развития. При этом существенно меняются взгляды, как на сам предмет исследования, так и на основные проблемы этой теории и используемый математический аппарат.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Решение задач структурной оптимизации систем управления и наблюдения ещё на этапе их разработки крайне важно для промышленного производства в целом, так как позволяет сократить затраты на их создание и эксплуатацию. С другой стороны не менее важной задачей, в частности для систем стабилизации, является задача построения для этих систем законов управления обладающих такими требуемыми качествами как: точность и помехоустойчивость.

Качественные и аналитические методы исследования систем управления динамическими объектами были развиты в трудах зарубежных и российских математиков, начиная с Д.К. Максвелла, H.A. Вышнеградско-го, P.E. Калмана, H.H. Красовского, Я.З. Цыпкина, Е.П. Попова, A.M. Jle-това, В.И. Зубова, A.A. Воронова, Ф.Л., C.B. Емельянова, Р. Габасова, Ф.М. Кириловой, Р. Беллмана, Ж.П. Ла-Салля и многих других, а также научных школ, созданных ими.

Разработке и созданию методов анализа систем управления и их динамики в последнее время посвящено большое число научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как С.Н. Васильев, П.С. Краснощекое, Ю.Г. Евтушенко, Ю. И. Журавлев, Ф.Л. Черноусько, Е.А. Федосов, А.Б. Куржанский, Ю.С. Попков, Б.Т. Поляк, А.И. Егоров, В.Н. Афанасьев, Н.П. Петров, В.Р. Носов, В.Б. Кол-мановский и многим другим.

Целью диссертационного исследования является развитие математических методов качественного анализа систем управления динамическими объектами. Данное исследование включает в себя как решение задач структурной оптимизации систем управления и наблюдения, так и задач построения программных управлений в импульсных и релейно-импульсных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудержи-вающим связям, а также разработку способов аналитического конструирования законов прямого и непрямого регулирования в системах стабилизации, содержащих петлю гистерезиса и обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью.

Научная новизна. В диссертации впервые дано конструктивное решение задачи структурной оптимизации для стационарных систем управления и наблюдения. При решении задач построения программных управлений в импульсных и релейно-импульсных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, получены новые результаты, позволяющие найти управления дающие решение поставленной задачи, а также предложены новые способы конструирования законов прямого и непрямого регулирования стабилизации программных движений, содержащих петлю гистерезиса в этих законах управления и обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью. Эти результаты вносят существенный вклад в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа, как самих систем управления, так и законов управления в этих системах. Так как с одной стороны они дают возможность создавать системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих систем, а с другой для импульсных и релейных систем управления и стабилизации предлагают способы построения законов управления этими системами обладающими требуемыми качествами.

Практическая полезность. На основе результатов полученных в диссертации созданы новые критерии и методы структурной оптимизации систем управления (наблюдения) дающих возможность конструировать системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих систем управления (наблюдения). Это дает возможность значительно снизить затраты материальных ресурсов и времени на отработку вновь создаваемых, актуальных систем управления и наблюдения. Результаты, полученные в диссертации, позволяют для релейно-импульсных систем, удовлетворяющих краевым условиям удерживающего и неудерживаю-щего типа, находить программные управления и отвечающие им движения. Для систем стабилизации в механических системах с конечным числом степеней свободы результаты, полученные в диссертации, дают возможность исследовать качественные характеристики этих систем стабилизации при использовании в них законов прямого и непрямого регулирования содержащих петлю гистерезиса. При этом возникает возможность строить более эффективные системы стабилизации, так как рассматриваемые в работе законы прямого и непрямого регулирования при соответствующем выборе их параметров будут обладать заданной точностью и помехоустойчивостью. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию автоколебательных динамических процессов в системах управления. Результаты работы использованы при разработке новых спецкурсов по теории управления.

Апробация работы. По основным результатам диссертационного исследования автором были сделаны доклады на 12 международных и всероссийских научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Польше, Казани, Саранске, Гомеле, Могилеве, Гродно, Ярославле, Ижевске, Бресте, Минске. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах Санкт-Петербургского госуниверситета, Вычислительного центра РАН, Московского физико-технического института, Института проблем управления РАН, а также на семинарах Института системного анализа РАН.

Публикации. По теме диссертации A.B. Зубовым опубликовано более 50 научных работ объемом более 80 п.л., среди которых 24 работы вышли в изданиях рекомендованных перечнем ВАК для публикации результатов по докторским диссертациям, объемом 10 п.л. Также опубликовано 5 учебных пособий и одна монография, объемом 60 п.л. В работах, опубликованных с соавторами диссертанту принадлежит не менее 50 % материала.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждом главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации - 228 страниц. Список литературы содержит 103 наименования.

Заключение диссертация на тему "Методы качественного анализа систем управления и стабилизации"

Основные результаты диссертационной работы.

Результаты, полученные в данной работе, носят системный характер, т.к. с одной стороны они касаются общих проблем теории управляемых систем, а с другой они относятся к проблемам построения импульсных и релейноимпульсных программных управлений в этих системах, а также к проблемам поиска законов прямого и непрямого регулирования в системах релейной стабилизации, обладающих заданной точностью и помехоустойчивостью. С этой точки зрения все представленные в работе результаты можно условно разделить на три группы.

1. Результаты, которые можно отнести к общим проблемам теории управляемых систем:

Разработаны новые критерии и методы структурной минимизации систем управления, наблюдения и стабилизации, включающие:

- критерии и методы структурной минимизации стационарных систем управления;

- критерии и методы структурной минимизации стационарных систем наблюдения;

- критерии и методы структурной минимизации стационарных систем линейной стабилизации.

2. Результаты, касающиеся проблем построения импульсных и релейно-импульсных программных управлений:

- получены достаточные условия существования и предложены итерационные методы построения импульсных управлений для квазилинейных систем удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.

3. Результаты, относящиеся к построению законов управления для систем стабилизации в механических системах с конечным числом степеней свободы:

- показано, что при использовании законов прямого и непрямого регулирования, предложенных выше, при стационарных, постоянно действующих возмущениях в этих системах, возникают периодические или почти периодические колебания, причем эти законы позволяют увеличивать точность стабилизации путем изменения их параметров, т.к. она напрямую зависит от величины зоны гистерезиса и коэффициентов усиления в этих законах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации впервые дано конструктивное решение проблемы структурной минимизации для стационарных систем управления, наблюдения и стабилизации. Получены новые результаты при решении проблемы построения программных управлений в импульсных и релейно-импульсных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, а также предложено решение проблемы конструирования законов прямого и непрямого регулирования стабилизации программных движений, содержащих петлю гистерезиса в этих законах управления и обладающих требуемой точностью и помехоустойчивостью. Эти результаты является существенным вкладом в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа, как самих систем управления, так и законов управления в этих системах. Так как с одной стороны они дают возможность конструировать системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих систем, а с другой в импульсных и релейных системах управления и стабилизации предлагают методы построения законов управления этими системами обладающими требуемыми качествами.

Библиография Зубов, Афанасий Владимирович, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Айзерман М.А. Лекции по теории автоматического регулирования. — М.: Гостехиздат, 1956.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Издательство АН СССР, 1963.

3. Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов A.B., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: СПбГУ, 2003. - 164с.

4. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость разностных систем -СПб.: Изд. СпбГУ, 2003. 112 с.

5. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

6. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999.

7. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998.

8. Андронов A.A. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956.

9. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1956.

10. Ю.Барабашин Е.А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970.

11. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1966.

12. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: ГИТТЛ, 1958.

13. З.Булгаков Б.В. О накоплениях возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами // Докл. АН СССР. 1946. Т.5, вып. 5. С. 339-342.

14. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002.

15. Вишняков А.Н., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка для дискретных систем управления при наличии неслучайных возмущений // Автом. телемех. 2000. №9. С. 112-119.

16. Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

17. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

18. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

19. Р. Габасов, Ф. Кирилова. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971, 507 с.

20. Гантмахер Ф.Д. Теория матриц. Москва: Наука, 1967. - 576с.

21. Гребенников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Методы усреднения в резонансной аналитической динамике. М.: Янус, 1999. — 301 с.

22. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М., 1979.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

24. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963.

25. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем: перев. с англ. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1979.-304 с.

26. В.В. Дикусар, Г.А. Зеленков, Н.В. Зубов. Методы анализа робастной устойчивости и неустойчивости. М.: Изд. ВЦ РАН, 2007, 234 с.

27. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Изд-во "Физико-математическая литература", 2004. - 503 с.

28. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск, 1979.

29. Жабко А.П., Прасолов В.Л., Харитонов В.Л. Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. М.: Высшая школа, 2003. - 285с.

30. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. 704 с.

31. Зубов A.B. Качественный анализ поведения механической многомерной системы в режиме стабилизации. В кн. Математические методы оптимизации и управления в сложных системах. Калинин, КГУ, 1982., с.118-125.

32. Зубов A.B. Дискретные модели динамики производственных процессов. В кн. Зубов В.И., Петросян J1.A. Математические методы в планировании. Л.: ЛГУ, 1982., с.97-112.

33. Зубов A.B. Оценка точности отработки программного движения в одной сложной системе управления. В кн. Системы автоматизации в науке и производстве М., "Наука", 1984 с. 167-173.

34. Зубов A.B. Построение законов непрямого регулирования механической системы при наличии внешних возмущений. В кн. Робототехни-ческие комплексы для научных исследований М., "Наука", 1984, с. 57-65.

35. Зубов A.B. Стабилизация кинематических траекторий механических систем. В кн. Методы и системы автоматизации в задачах науки и производствам., "Наука", 1986, с. 244-256.

36. Зубов A.B. Исследование стабилизации программного движения при помощи метода прямого регулирования. Материалы международнойконференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" Саранск, 1995, с. 281-285.

37. A.B. Зубов, Н.В. Зубов, A.B. Мухин. Релейно импульсные управления и стабилизация динамических систем. СПб, Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2002, 174 с.

38. Зубов A.B. Стабилизация кинематических траекторий с помощью систем прямого регулирования. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем, вып. 6(2). М., ВЦ РАН, 2004, с. 57-63.

39. Зубов A.B. Автоколебания в моделях динамики взаимодействия видов. Труды Института системного анализа Российской Академии Наук. Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(2). — М.: КомКнига, 2005. с. 160-165.

40. Зубов A.B. Демпфирование внешних ограниченных воздействий с помощью законов прямого регулирования. Труды Института системного анализа Российской Академии Наук. Динамика неоднородных систем. Выпуск 10(1). — М.: КомКнига, 2006. с. 77-84.

41. Зубов A.B. Аналитические свойства многомерной механической системы. // Математическое моделирование. Т. 18, № 12. 2006. с 45-51.

42. Зубов A.B., Стабилизация и управление в динамических системах. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. Изд-во АООТ» Мобильность-плюс», 2007, 131 с.

43. Зубов A.B. Стабилизация программных движений и кинематических траекторий в динамических системах в случае прямого и непрямого регулирования. Ж. // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3, с. 19-32.

44. Зубов A.B., Дикусар В.В., Зубов Н.В. Проблемы полной управляемости и структурной минимизации. Труды Института системного анализа Российской Академии Наук. Динамика неоднородных систем. Т. 32(2). М.: Изд. ЛКИ, 2008. 32-39.

45. Зубов A.B., Алидрисси М.А. Расчет и стабилизация программных траекторий механических систем. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. Изд-во АООТ»Мобильность-плюс», 2008, 69 с.

46. Зубов A.B. и др. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений. Учебное пособие. Санкт-Петербург. СПбГУ. Изд-во АООТ»Мобильность-плюс», 2009, 223 с.

47. Зубов В.И. . Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975, 495 с.5О.Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. — 1.: Судпромгиз, 1959.51 .Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.

48. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.: Судостроение, 1966.

49. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов управления. СПб.: СПбГУ, 2001.-353с.

50. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. -400с.

51. Кац A.M. Определение параметров регулятора по желаемому характеристическому уравнению системы регулирования // Автом.телемех. 1955. №3. С. 269-272.

52. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

53. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

54. Крылов А.Н., Крутков Ю.А. Общая теория гороскопов и некоторых технических их применений. М.: Изд-во АН СССР, 1932.

55. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

56. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

57. Ларин В.М., Науменко К.И., СунцевВ.Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев: Наук. Думка, 1971.

58. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.:ИЛ, 1964.

59. Лагранж Ж. Аналитическая механика. М.: Гостехиздат, 1950.

60. Лаптинский В.Н. К вопросу о построении периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений .Дифференц. уравнения. 1983. Т.19, №8. С. 1335-1343.

61. Лаптинский В.Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем. Минск: Институт математики HAH Беларуси, 1998.

62. Леви Ю.В. Об определении ориентации подвижного объекта по его угловой скорости. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1971. №6. С.7-13.

63. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. — М.: Физматгиз, 1962.

64. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М.: Гостехиздат, 1953.

65. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.

66. Ляпу нов A.M., Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.71 .Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования. М.: АН СССР, 1949.

67. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956.

68. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Андронов A.A., Витт A.A., Горелик Г.С., Хайкин С.Э. Новые исследования нелинейных колебаний. — М. -: Радиоиздат, 1936.

69. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — Минск: Высшая школа, 1974.

70. Найфе А.Х. Методы возмущений. М., 1976.

71. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений, 2-е изд. М.: ГИТТЛ, 1949.

72. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. -М.: Наука, 1978.

73. Немировский A.C., Поляк Б.Т. Необходимые условия устойчивости полиномов и их использование // Автом. телемех. 1994. № 11. С. 113119.

74. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М., 1977.

75. Пантелеев A.B., Бортаковский A.C. Теория управления в примерах и задачах. -М.: Высшая школа. 2003. 583 с.

76. Патрушева М.В. Качественный анализ матричных уравнений движения. Проблемы устойчивости и численные методы. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2000. 148 с.

77. Петров Ю.П. Очерк истории автоматического управления. СПб.: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2004. 270 с.

78. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

79. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. -М.: Наука, 2002, 303 с.

80. Попов Е.П. Динамика систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1954.

81. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 395 с.

82. Самойленко A.M., Лаптинский В.Н., Кенжебаев К.К. Конструктивные методы исследования периодических и многоточечных краевых задач. Киев: Институт математики HAH Украины, 1999.

83. Северцев H.A., Дедков В.К. Системный анализ и моделирование безопасности. М.: Изд-во "Высшая школа", 2006. — 464 с.

84. Солодов A.B. Линейные системы автоматического управления с переменными параметрами. М., 1962.

85. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1953.

86. Фомин В.Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

87. Харитонов В.Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11, С. 2086-2088.

88. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.

89. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Гостезиздат, 1955.

90. Dicusar V.V., Zelenkov G.A., Zubov N.V. Quadratic Form for Evalution of Location the Eigenvalues of Matrix. 4-th International Workshop,

91. CASTR 2007. Poland, Siedlce: 2007, p. 87-89. 99.Laptinsky B.N. Exact solution of the problem of the artificial satellite

92. Optimization». St.-Petersburg, Russia. Proceedings. 2000. Vol. 1. P. 217220.

93. A.V. Zubov, V.V. Dikusar, N.V. Zubov. Minimal value of control actions. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 61-62.

94. A.V. Zubov, V.V. Dikusar, N.V. Zubov. Nonstationary matrices with superstabiluty. 5 International Workshop, CASTR 2009, Siedlce, Poland, p. 63-64.

95. Kaszkurevich E., Bhaya A. Matrix diagonal stability in systems and computation. Boston: Birkhauser, 2000.

96. Helton J.W., Merino O. Classical control using H°° methods. Philadelphia: SIAM, 1998.1972.stabilization. 11lh IF AC International Workshop «Control Application of

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00