автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Методы и вычислительные устройства цифровой обработки сигналов в системе остаточных классов

Галанина Наталия Андреевна

МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В СИСТЕМЕ ОСТАТОЧНЫХ КЛАССОВ

Специальность 05.13.05 - Элементы и устройства вычислительной техники и систем управления

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

1 о МАР 2011

Казань-2010

4840217

Диссертация выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова».

Научный консультант - доктор технических наук, профессор

Песошин Валерий Андреевич, зав. кафедрой компьютерных систем ГОУ ВПО «Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева», г. Казань.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Огнев Иван Васильевич, профессор кафедры вычислительной техники ГОУ ВПО «Московский энергетический институт (технический университет)», г. Москва;

доктор физико-математических наук, профессор Надеев Адель Фирадович, профессор кафедры радиоэлектронных и телекоммуникационных систем ГОУ ВПО «Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева», г. Казань;

доктор технических наук, профессор Сидоркина Ирина Геннадьевна, декан факультета информатики и вычислительной техники, профессор кафедры информационно-вычислительных систем ГОУ ВПО «Марийский государственный технический университет», г. Йошкар-Ола.

Ведущая организация - Казанский (Приволжский) федеральный

университет, г. Казань.

Защита состоится «08» апреля 2011 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.04 в ГОУ ВПО «Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева» в 504 ауд. 5 уч. здания по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 31.

Ваши отзывы, заверенные печатью, просим высылать по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 10 на имя ученого секретаря.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева», с авторефератом - на сайте ВАК РФ: http://vak.ed.gov.ru/ru/dissertation/.

Автореферат разослан « 1 фг&дДуЦ 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Мф Седов С.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Настоящий период развития вычислительной техники (ВТ) характеризуется интенсивным поиском новых принципов обработки и хранения информации, построения вычислительных архитектур и систем с привлечением современных технологий, среди которых одной из наиболее востребованных является цифровая обработка сигналов (ЦОС). Благодаря достижениям в области микроэлектроники и информационных систем ЦОС успешно применяется для фильтрации и кодирования речевых и звуковых сигналов, обработки изображений и измерительной информации, спектрального анализа цифровой звуко- и видеозаписи в радиотехнических системах и системах телекоммуникаций, управления и робототехники, защиты информации в таких областях как связь, мультимедиа, телефония и телевидение, радиолокация и радионавигация, гидроакустика, медицина и т.д. Для ЦОС характерно наличие масштабных объемов вычислений над массивами данных большой разрядности, проводимых в реальном времени. Стремление к улучшению энергетической эффективности и универсальности устройств ЦОС приводит к усложнению вычислительных алгоритмов, обострению проблемы аппаратурных затрат, быстродействия и точности и повышению требований к отказоустойчивости устройств и помехоустойчивости каналов связи при передаче данных.

Создание нескольких поколений цифровых сигнальных процессоров (ЦСП) от ТМБ320С10 до АОЗР-ТВ 001-Щег БНАЯС™ способствовало улучшению качества вычислительных алгоритмов. Современные ЦСП характеризуются тактовой частотой 1 ГТц и выше, многоядерностью, наличием двухуровневой кэш-памяти и т.д. Используемые повсеместно многопроцессорные вычислительные системы (МВС) имеют высокие теоретические показатели пиковой производительности. Однако при решении многих практических задач их реальная производительность не всегда отвечает требованиям разработчиков современных цифровых устройств. Дальнейшее повышение производительности современных ЦСП ограничено уровнем интеграции микросхем, который близок к теоретически достижимому для используемой технологии производства элементной базы. Исследования отечественных и зарубежных учёных показали, что в случае обработки данных большой и сверхбольшой информационной ёмкости традиционная позиционная система счисления (ПСС) исчерпала свои возможности для построения высокоскоростных вычислительных структур. Использование в ЦСП двоичной ПСС, во-первых, приводит к увеличению разрядности операндов, что не снижает аппаратурные затраты и не улучшает отказоустойчивость без специальных приложений; во-вторых, делает желательным наличие режима с плавающей запятой, что потенциально уменьшает быстродействие; в-третьих, не снижает стоимость устройства.

Альтернативу использованию ЦСП предоставляют программируемые логические интегральные схемы (ПЛИС). Динамически реконфигурируемая архитектура ПЛИС, подстраиваемая под информационную структуру каждой конкретной, решаемой в текущий момент времени задачи, позволяет достичь более высокой производительности, чем в сигнальном процессоре с соизмеримой тактовой частотой, за счёт более эффективной схемотехнической реализации.

Анализ известных подходов, используемьгх при разработке высокопроизводительных вычислительных структур, показывает, что характерным для них является широкое применение различных форм параллельной обработки, а исследования отечественных и зарубежных учёных указывают на целесообразность применения теории чисел для целей кодирования информации. Таким образом, основная идея состоит в распараллеливании обрабатываемой информации в независимых каналах, количество и характеристики которых связаны с числовым диапазоном и точностью вычислений.

В связи с этим особую актуальность приобретают исследования в области одного из направлений развития параллельных вычислительных технологий, связанные с разработкой методов, алгоритмов и устройств вычислительной техники для цифровой обработки сигналов с применением непозиционных систем счисления, наиболее перспективной из которых является система счисления в остаточных классах (СОК), обладающая высоким уровнем естественного параллелизма при выполнении арифметических операций. Суть СОК состоит в представлении целого числа в виде упорядоченного набора неотрицательных вычетов по группе взаимно простых оснований (модулей), причем арифметические операции сложения, вычитания и умножения выполняются уже с этими вычетами меньшей разрядности независимо друг от друга и без межразрядных переносов. Небольшая разрядность оснований системы позволяет реализовать модульные операции табличным способом, причем в качестве операций могут выступать не только элементарные (сложение, умножение и т.п.), но и сложные функции, при вычислении которых используются немодульные операции. Кроме того, аппарат СОК обладает уникальными свойствами автоматического обнаружения и коррекции ошибок, а также свойством арифметичности: ни одна из позиционных систем не позволяет находить и, тем более, исправлять ошибки в процессе выполнения арифметических операций.

Большой вклад в развитие теории СОК внесли отечественные учёные: И.Я. Акушский, В.М. Амербаев, О.Д. Жуков-Емельянов, В.П. Ирхин, Е.К. Лебедев, М.В. Синьков, А.М. Стемпковский, Ю.А. Стрекалов, В.А. Торгашев, O.A. Финько, Н.И. Нервяков, Г.Э. Широ, Д.И. Юдицкий и др., а также зарубежные: S.R. Barraclough, М. Sotheran, G.C. Cardarilli, A. Nannarelli, М. Re и др.

Период от начала исследований СОК до последующего развития приложений этой системы в рамках информационных технологий насчитывает уже несколько десятилетий, однако в существующих работах недостаточное внимание уделено вопросам практического внедрения СОК, в частности, в ЦОС. Поэтому решение проблем аппаратурной реализации алгоритмов цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов в СОК является актуальной задачей, а структура устройств ЦОС в СОК имеет ряд неоспоримых преимуществ перед традиционной при её реализации в интегральном исполнении.

В связи с вышеизложенным, большой научный интерес представляет разработка методов и алгоритмов ЦОС в СОК, синтез высокоскоростных параллельных структур на их основе и поиск эффективных методов анализа качества полученных схемотехнических решений.

Объектом исследования являются методы, алгоритмы и устройства вычислительной техники для кодирования, цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов.

Предметом исследования являются методы синтеза и анализа устройств цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов в СОК.

Целью диссертационной работы является повышение быстродействия цифровых устройств обработки сигналов за счет применения СОК при разработке аппаратурных методов реализации алгоритмов ЦОС.

Научная проблема заключается в теоретическом обосновании и разработке методов, алгоритмов и устройств вычислительной техники для цифровой обработки сигналов средствами системы остаточных классов.

Для достижения поставленной цели научного исследования в диссертационной работе решены следующие основные задачи:

- сделан аналитический обзор устройств шифрования/дешифрования двоично-кодированных данных в СОК;

- предложен метод поразрядного вычисления ДПФ (ЦЦПФ) для спектральной обработки сигналов; разработаны и исследованы высокоэффективные вычислительные алгоритмы ПДПФ и проведен интерактивный синтез устройств на их основе;

- получены и исследованы быстрые алгоритмы Фурье-преобразования в СОК, учитывающие свойства целых чисел в коммутативном кольце вычетов, разработаны схемы их технической реализации; проведена оценка точности алгоритмов и ошибок округления в них и проанализированы пути повышения эффективности вычислений;

- разработаны аппаратурные методы синтеза цифровых фильтров с импульсными характеристиками конечной длины (КИХ-фильтров) и с бесконечными импульсными характеристиками (БИХ-филмров) в СОК, получены новые и модернизированы известные технические решения при их реализации в СОК, обеспечивающие повышение быстродействия и отказоустойчивости и сокращение аппаратурных затрат;

- исследованы возможности реализации устройств ЦОС в СОК на современных сигнальных процессорах;

- проведено компьютерное моделирование устройств вычислительной техники для цифровой фильтрации и спектрального анализа в СОК.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовался аппарат математического анализа, математическая логика, теория алгоритмов, алгебраическая теория целых чисел, теория автоматов, теория дискретного преобразования Фурье и его быстрых разновидностей, теория вероятностей, методы математического и имитационного моделирования.

Научная новизна полученных результатов.

1. Развиты аппаратурные методы синтеза устройств вычислительной техники для ЦОС в системе остаточных классов и обобщены результаты анализа их эффективности.

2. Впервые предложен метод поразрядного вычисления ДПФ и разработаны устройства ПДПФ на его основе.

3. Разработаны алгоритмические методы, обеспечивающие наиболее эффективное быстрое спектральное преобразование сигналов в СОК. Проведен синтез функциональных модулей быстрого преобразования Фурье (БПФ) в СОК и предложены схемы аппаратной реализации БПФ в СОК с заданными свойствами. Син-

тезированы и оценены устройства БПФ, использующие индексирование данных в СОК и не содержащие умножителей.

4. Предложены пути решения проблемы реализации алгоритмов ЦОС в СОК на современных сигнальных процессорах с учетом особенностей СОК.

5. Синтезированы схемы КИХ- и БИХ-фильтров в СОК, характеризующиеся повышенным быстродействием. С целью сокращения аппаратурных затрат устройств ВТ для ЦОС предложены схемы цифровых фильтров (ЦФ) с использованием модульных и немодульных операций СОК. Рассмотрены вопросы разработки отказоустойчивых ЦФ-СОК в связи с многоканальностью обработки сигналов в СОК и ЦФ с использованием теории индексов для обеспечения необходимого быстродействия. Проведен анализ ошибок округления весовых коэффициентов цифровых фильтров в СОК. Рассмотрены и обобщены теоретические аспекты исследования характеристик цифровых устройств ВТ для обработки сигналов, кодированных в ПСС и СОК.

6. В подтверждение проведенных теоретических исследований аппаратурных методов реализации алгоритмов ЦОС в СОК, предложенных в диссертационной работе, проведен программный синтез разработанных на их основе устройств цифровой фильтрации и спектрального анализа.

Обоснованность и достоверность полученных результатов определяется применением известных теоретических положений фундаментальных наук, использованием классических методов анализа и моделирования сигналов, корректностью используемых моделей и их адекватностью реальным физическим процессам, совпадением теоретических результатов с данными экспериментов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы синтеза алгоритмов и устройств поразрядного вычисления ДПФ (ПДПФ) и программное обеспечение для интерактивного синтеза разработанных схем.

2. Алгоритмы реализации быстрого преобразования Фурье в СОК, синтез функциональных модулей ВТ для реализации базовых операций БПФ в СОК и многоканального устройства БПФ-СОК на их основе.

3. Методы разработки КИХ- и БИХ-фильтров вычислительных цифровых устройств в СОК и анализ полученных результатов их быстродействия и аппаратурных затрат.

4. Результаты исследования аппаратурной реализации алгоритмов цифровой фильтрации и спектрального анализа в СОК на современных сигнальных процессорах.

5. Методика и результаты программного синтеза разработанных устройств ВТ для цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов и их тестовых испытаний.

Практическая ценность заключается в использовании результатов исследований при проектировании современных высокопроизводительных вычислительных структур цифровой фильтрации и спектрального анализа. Применение предложенных в диссертационной работе методов поразрядной спектральной обработки цифровых сигналов и корреляции величины модулей СОК со значениями весовых коэффициентов ЦФ и БПФ при создании спецпроцессоров ЦОС позволило обеспечить существенное увеличение быстродействия и уменьшение аппаратурных затрат, минимальные ошибки округления, являющихся основ-

ными показателями качества устройств ЦОС. Полученные в процессе исследования результаты расширяют возможности использования СОК при проектировании отказоустойчивых систем, а проведенный программный синтез разработанных устройств ВТ для цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов служит эффективным практическим средством выбора параметров этих систем и отдельных элементов устройств.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертации использовались при выполнении НИР: «Исследование и разработка принципов построения программируемых вычислительных систем обработки радиолокационных сигналов»; «Методология проектирования специализированных микропроцессорных систем с эффективными алгоритмами. Аппаратная реализация мультипроцессорной непозиционной МПС обработки сигналов. Создание пакета функциональных программ»; «Разработка и исследование микропроцессорных систем сбора, обработки и регистрации данных»; «Разработка методологии проектирования специализированных микропроцессорных систем с эффективными алгоритмами. Построение и анализ вычислительных теоретико-числовых алгоритмов обработки ¿игналов»; «Разработка и исследование оптимальных алгоритмов интеллектуального интерактивного абонентского доступа по гибридным сетям ЦСНО» по единому заказ-наряду Министерства образования и науки Российской Федерации (1999-2000 гг.). Тематика научных исследований, выполненных в диссертации, связана с грантом Министерства образования и науки РФ в рамках Тематического плана «Исследование оптимальных алгоритмов интеллектуального интерактивного абонентского доступа по гибридным сетям региональных систем ЦСНО».

Основные положения диссертационной работы внедрены и использованы в рамках выполняемых научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в ЗАО «РАДИЙ ТН» (г. Москва), ОАО «Концерн НИИ "ЭЛЕКТРОПРИБОР"» (г. Санкт-Петербург), ЗАО СКБ «Хроматэк» (г. Йошкар-Ола) и Санкт-Петербургском филиале Учреждения РАН «Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН» (СПбФ ИЗМИ-РАН), что подтверждено соответствующими актами.

Научные и практические результаты работы используются в учебном процессе на кафедре информационно-вычислительных систем Марийского государственного технического университета и кафедре математического и аппаратного обеспечения информационных систем Чувашского государственного университета для студентов по специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» направления «Информатика и вычислительная техника».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях «Перспективные технологии в средствах передачи информации» (г. Владимир, 1995 г.), «Радиолокация, навигация, связь» (г. Воронеж, 2000 г.) и «Татшцевские чтения: актуальные проблемы науки и техники» (г. Тольятти, 2010 г.), на всесоюзных конференциях «Микропроцессоры-85» (г. Зеленоград, 1985 г.), «Информационно-измерительные системы-93» (г. Куйбышев, 1993 г.), на всероссийских конференциях «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике» (г. Чебоксары, 1996, 2000, 2004 г.), «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем» (г. Чебоксары, 1997, 1999, 2001, 2003 гг.),

«Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе (Информационные технологии 2010)» (г. Йошкар-Ола, 2010 г.), а также на республиканских и университетских научно-технических конференциях в г. Йошкар-Оле в 1983-1997 гт. и в г. Чебоксары в 1997-2010 гг. Результаты диссертационной работы были доложены на научном семинаре на кафедре компьютерных систем Казанского государственного технического университета имени А.Н. Туполева.

Публикации. По результатам выполненных исследований по теме диссертации опубликована 51 научная работа, в том числе: 1 монография, 17 статей в научных журналах и сборниках, из них 10 в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских диссертаций, 1 авторское свидетельство СССР на изобретение, а также 3 статьи (общим объемом 178 страниц) и 6 отчетов по НИР, депонированных в ВИНИТИ.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 205 наименований. Материал изложен на 268 страницах текста компьютерной верстки, в том числе основной текст - на 231 странице. Работа содержит 111 рисунков и 27 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проводимых в диссертации исследований. Дана краткая характеристика работы, сформулированы цель и основные задачи исследования, показаны пути решения сформулированной проблемы. Приведены основные научные результаты, отражающие новизну и практическую ценность работы и очерчен круг вопросов, рассматриваемых в диссертации.

В первой главе изложена суть системы остаточных классов, отмечены преимущества обработки цифровых сигналов, кодированных вычетами, и сформулирована задача ЦОС в СОК. Обоснована целесообразность перехода от традиционных методов кодирования информации к непозиционяым - числами в СОК. Сделан аналитический обзор способов реализации устройств шифрации входных сигналов вычетами в СОК и дешифрации полученного результата в позиционный код. Оценены аппаратурные и временные затраты схемотехнических решений, обоснован выбор оптимальных структур шифраторов и дешифраторов с учетом преимуществ кодирования вычетами, приводящих к сокращению затрат.

Можно выделить ряд преимуществ обработки сигналов в СОК Во-первых, отсутствие межразрядных связей в числе, кодированном вычетами в СОК, позволяет осуществлять независимую обработку сигналов в каналах СОК. Во-вторых, мало-разрядносгь остатков приводит к снижению ошибок округления, уменьшению аппаратурных затрат и увеличению быстродействия (разрадносгь двоичных чисел в S-м канале СОК не превышает ДгП где 1Г- операция округления в большую

сторону, Ns - S-й модуль. СОК). В-третьих, ввиду небольшого количества существующих кодовых комбинаций в СОК имеется возможность построения табличной арифметики. В-четвертых, алгоритмы СОК обладают конвейерной структурой. Наконец, СОК обладает высокой точностью, надежностью, алгоритмической отказоустойчивостью и способностью к самокоррекции.

Основными узлами устройств ЦОС в СОК являются (рис. 1):

1. Шифраторы Ills, кодирующие входной сигнал х(кТ) числами в СОК

х3(кТ)= х(кТ)-]х(кТ)М51К=< х(кТ)> той (1)

где ]х[ означает целую часть числа х, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее х

2. Спецпроцессоры СПЛ обеспечивающие заданный алгоритм обработки в СОК

3. Дешифратор ДШ, декодирующий результат СОК в позиционный код

(2)

где И = ; ^ - ортогональные базисы СОК = ,

5-1

натуральное

число, называемое весом ортогонального базиса, которое выбирается таким об-

разом, чтобы имело место сравнение:

I

то<Ш5

На вход схемы (рис. 1) после АЦП поступает последовательность двоично-кодированных отсчетов сигнала х(кТ), разрядность которых равна А Значение Я зависит от величины динамического диапазона входных сигналов (О). Для большинства практических случаев ЦОС £> < 60 дБ (Ддщ =10).

Выбор количества каналов v и системы модулей (М, N2, ..., Л\) осуществляется исходя из тою, что объем диапазона представляемых чисел должен бьпь больше максимально возможного результата ЦОС (ртах):

Лг=ПЛГ5>рт1. (3)

Как показали проведенные исследования, для подавляющего большинства алгоритмов ЦОС р^ <218. Шифраторы кодируют входные числа х(кТ) разрядности Я вычетами в СОК в соответствии с (1). В результате на выходе шифраторов появляются двоичные числа х$сТ) разрядности Ду (причем которые затем

поступают на вход СПеЦПрОЦеССО-

^Г)

ров, обеспечивающих высокоскоростную параллельную обработку данных в СОК по алгоритмам ЦОС. Далее результаты непозиционной обработки сигналов гь{кТ), полученные в каналах СОК, поступают на дешифратор, где пфеводятся в позиционный код уфГ) в соответствии с китайской теоремой об остатках (КТО).

Из рассмотрения схемы, показанной на рис. 1, видно, что значительное влияние на аппаратурные и временные затраты ЦФ в СОК оказывают шифраторы и

от АЦП-

Ш. СП,

Л,

ш2 СП,

я. 1

Ш.

сц,

г&Т)-

|ГЭ

и

ш. сп,

Л,

ДШ

Рис. 1. Схема ЦОС в СОК (общий случай)

дешифраторы. Поэтому первоочередной задачей исследования стал выбор схемы шифратора, наилучшей в смысле выше обозначенных критериев оценки. В диссертационной работе были рассмотрены варианты реализации шифраторов в СОК на ППЗУ и на логических схемах (логические шифраторы). Аппаратурные затраты для логических шифраторов выражаются количеством двухвходовых логических элементов, а для ППЗУ - в виде ее информационной емкости в битах.

При реализации шифраторов на ППЗУ исходный код числа х(кТ) является адресом заранее вычисленного вычета xs (кТ). В этом случае время кодирования составляет tmi = /ппзу. Так как разрядность чисел на входе ППЗУ равна R, а разрядность вычетов чисел в S-м канале - R$, то аппаратурные затраты для одного канала вычисляются по формуле £>ш1 = Rs2r (бит). Например, для R = 8, Д?= 4, Дл1= 1024 бит, а при R = 12 равно 16384 бит.

С целью уменьшения аппаратурных затрат при R> 12 было предложено разбиение входных чисел на части. Тогда для R = 12 и Д$ = 4 затраты снизились до значения Dm2 ~ 578 бит. Временные затраты составили: /1Il2 =/nmy+2zcp(^s +4).

Обзор, проведенный в диссертации, показал, что для значения вычета Rs<6 (для большинства задач ЦОС) меньшие аппаратурные затраты гарантируют логические шифраторы. Это связано с тем, что была выявлена периодичность вариантов и возможность логического вычисления остатков путем выделения «младшей» части исходного кода и повторяющейся «старшей» части (при этом ймл + Rn- R', Rm целесообразно задавать равной R$). Если R„ » Rs, то «старшую» часть кода также рекомендуется разбить на части по указанному выше принципу.

Для решения задачи восстановления позиционного результата у{кТ) по вычетам локальных результатов каналов СОК г^кТ) с использованием КТО можно выбрать либо общую схему дешифратора (рис. 2), алгоритм работы которой определяется уравнением (2); либо при >11 остановиться на схеме поразрядного

дешифратора (рис. 3), для которого аппаратурные затраты Am,=2v]Iog2JVT, а временные затраты tJsa=Rv (tz + tmy); либо при X Rs < 11 и использовании разделения данных возможна реализация дешифратора на ПЛМ или ПЛИС, что является наилучшим вариантом, так как при минимальных аппаратурных затратах обеспечивается tmn /пЛМ*

Рис. 2. Схема дешифратора (для общего случая)

Рис. 3. Схема поразрядного дешифратора

Во второй главе рассмотрены вопросы синтеза вычислительных алгоритмов цифровой фильтрации в СОК и разработаны схемы их технической реализации, характеризующиеся повышенными быстродействием и отказоустойчивостью и минимальными аппаратурными затратами.

Используя кодирование в СОК, можно реализовать ЦФ, входящие в состав вычислительных систем, одним из двух способов. Первый основывается на синтезе ЦФ на операционных устройствах (ОУ) в ПСС, и основная проблема в этом случае состоит в выборе современных быстродействующих процессоров ЦОС. Другой путь - это разработка спецпроцессоров с учетом свойств кода в СОК (на заказных СБИС или ПЛМ), в связи с чем следует отметить, что задачу перехода к обработке сигналов в СОК решать копированием позиционного прототипа нецелесообразно. Более того, предварительное двоичное кодирование весовых коэффициентов вызывает двойной эффект ошибок округления результатов перекодирования для ЦФ в СОК, а простой переход к целым числам в БИХ-фильтрах ведет к их неустойчивости.

К проблематике проектирования устройств цифровой фильтрации относится и вопрос о критериях их качества. В связи с обозначенными проблемами были сформулированы задачи исследований, связанных с синтезом и анализом вычислительных алгоритмов цифровой фильтрации в СОК:

- предварительный выбор числа каналов v параллельной обработки и системы модулей СОК {ЛУ (разрядности Д?);

- синтез КИХ- и БИХ-фильтров в СОК с максимальными быстродействием и отказоустойчивостью, с минимальными аппаратурными затратами с учетом свойств СОК;

- решение проблемы устойчивости по цепям обратных связей для БИХ-фильтров в СОК;

- оптимальный выбор масштабирующего множителя для представления весовых коэффициентов ЦФ-СОК с целью упрощения реализации спецпроцессора;

- определение влияния цифровой обработки в СОК на сохранение энергетических и частотных характеристик сигнала.

В результате проведенных расчетов с целью одновременного уменьшения как

числа каналов ц так и суммарной разрядности вычетов найдены предварительные варианты модулей СОК для универсальных спецпроцессоров для различных возможных случаев ртах.

Анализ результатов, приведенных в диссертационной работе, часть которых (для ртж=217) представлена в табл. 1, позволил определить рациональное значение V (с целью минимизации аппаратурных затрат) для большинства ЦФ в СОК - 3.. .4 канала, при этом Л^тах<61, а следовательно Л5тах<6.

Таблица 1

Варианты модулей каналов с минимальной суммарной разрядностью

п 13 И 13 11 13 11 13 11 13 11 13 7 7 7 3 7 7 7 7 3 47 43 47 37 41 43 47

N2 17 19 19 17 17 19 19 17 17 19 19 23 13 13 29 11 13 11 13 29 51 51 51 59 59 59 59

N3 23 23 23 23 23 23 23 29 29 29 29 29 29 31 31 29 29 31 31 31 59 61 61 61 61 61 61

N4 29 29 29 31 31 31 31 31 31 31 31 31 51 51 51 59 59 59 59 59

Проведенные исследования показали, что при синтезе ЦФ в СОК следует ориентироваться на свойства вычетов и совмещение логических операций. В устройствах СОК используют таблицы просмотра, в которых операции по модулю ¿¡'-го канала Л^ выполняются заранее на этапе проектирования. Достоинством использования табличного метода является высокое быстродействие синтезируемых ЦФ, а недостатком - небольшой коэффициент использования таблиц.

В работе показано, что с целью повышения быстродействия и снижения аппаратурных затрат при синтезе ЦФ в СОК ОУ целесообразно строить на комбинационных операционных схемах (КОС), совмещающих ряд логических операций. Причем, для упрощения схемы предлагается использование одной матрицы конъюнкций, совмещающей свойства сумматора и умножителя.

Разработаны структурные схемы КОС и цифровой фильтр в СОК на их основе (рис. 4 и 5).

К дальнейшему сокращению аппаратурных затрат ЦФ приводит совмещение в схеме цифрового фильтра функций шифратора, умножителя и сумматора. Расчеты, приведенные в диссертационной работе, показали сокращение аппаратурных затрат устройств ЦФ в СОК при использовании КОС на 14%.

При переходе к вычислениям в СОК пересчитанные весовые коэффициенты

а, КИХ-фильтра (а,-= округляются относительно расчетных до Цело-

му

го значения Л,=М-й, , что приводит к увеличению максимально возможного результата фильтрации и числа каналов СОК. Роста аппаратурных затрат можно избежать, если использовать одну из операций - модульное деление или немодульное деление в СОК. Операции сложения и умножения над числами, представленными в СОК, являются модульными и сводятся к соответствующим операциям над цифрами этого представления, т.е. не требуют позиционных характеристик обрабатываемых чисел. В теории СОК различают и два вида модульного деления: формальное деление (т.е. случай, когда делимое делится на делитель нацело) и деление без остатка на основание системы N3, когда происходит деление числа Хна один из модулей Л^,..., Л^. Кроме деления нацело (модульного деления), возникают случаи деления с остатком (деление на модуль М> с получением дробной части в частном). Такие операции называются немодульными, так как, в отличие от формального деления, для их выполнения необходимо знание величины всего числа, а не только его остатков по некоторым модулям. Деление с остатком можно осуществить с помощью рас-

ширения системы оснований (ввода канала и вычисления позиционных характеристик числа (добавка А в непозиционный результат сумматора).

5 6

Рис. 4. Схема КОС

_ 1

Вход

х№7)

А,

П 1а

КОС-1

■I I 2

3-1

1)1

КОС-2

4-1 4-1

1Л гм

)

5 6

К0С-(т-1)

2-2 3-2

Аг Аа •V

4-2

2-у 3-у

А» > А)— 1» V

4-у

Выход

Рис. 5. Схема ЦФ-СОК на КОС

Если в фильтре происходит деление на модуль Л^ без остатка (случай деления на основание системы), то может возникнуть неопределенность у5 =0/0, когда все цифры частного, кроме одной (у5), определяются формальным делением. Для-раскрытия этой неопределенности предлагается использование непозиционных характеристик числа - минимального следа и ранга. Этот алгоритм можно реализовать таблично.

Немодульный алгоритм деления на максимальный модуль ^ является более простым, чем модульное деление на Л^. В этом случае логическими схемами £5 добавляется значение Д в результат сумматора в ПСС. Оно зависит от цифры ^ (остатка) в у-м канале КИХ-фильтра с делением:

—, еслигг<т;

N у

где (Я - вес у-го канала, т.е. = —:, где ^ = Г1 •

5=1

В других каналах (с номерами5<у) происходит формальное деление. При этом деление на ноль отсутствует, т.к. 5 ^ v и N2

На рис. 6 показана разработанная схема трансверсального фильтра и-го порядка в СОК с делением на модуль .

4кТ)

-,х,=<х(к7у>„

Рис. б. Схема трансверсального фильтра п-го порядка с делением на N4 в СОК

При обработке сигналов в СОК весовые коэффициенты фильтра изменяются по сравнению с рассчитанными до целого значения А,=Ма,, где М- множитель. Если множитель Мравен то результат фильтрации можно делить на Ич до восстановления (дешифрации) в БС, и тогда число каналов v не изменится. Необходимо только выбрать такое А^, при котором значение 2¡наибольшим образом приближается к значению а,( а,- = ]а,Л^ [///„).

Применение режима деления уменьшает на Лу разрядность дешифратора ВС, что приводит к сокращению аппаратурных затрат ЦФ.

Одним из основных требований, предъявляемых к синтезу фильтров, является требование обеспечения необходимого быстродействия. Одним из путей решения этой проблемы является индексирование данных в СОК, позволяющее заменить умножение чисел сложением их индексов с последующим переходом

от индекса произведения к самому произведению. Этот переход от индекса к фактическому числу осуществляется с помощью антииндексов. Их находят из тех же таблиц. Таблицы индексов (антииндексов) записываются в ПЗУ. Отличием таких схем ЦФ и БПФ, которые разработаны в диссертационной работе, является замена умножителей сумматорами и перекодирование шифраторов (дешифраторов). С целью обеспечения минимального количества каналов фильтрации в СОК необходимо использовать большие значения модулей Л^ ,что в свою очередь приводит к возникновению трудностей при определении первообразных корней <7. Синтезированный алгоритм вычисления индексов (антииндексов), для которого разработан программный модуль, позволяет уменьшить число каналов СОК до минимума (v = 2), хотя модули Л^ могут принимать большие значения, что существенно при реализации устройств обработки цифровых сигналов в СОК на ЦСП.

При синтезе КИХ-фильтров в СОК при увеличении числа каналов обработки необходимо обеспечить отказоустойчивость ЦФ не хуже заданной. Требуемая надежность передачи информации должна достигаться не только совершенствованием технических средств ее передачи и хранения, но и правильным выбором корректирующего кода, устойчивого по отношению к возможным случайным искажениям информации. Известно много разновидностей корректирующих кодов в ПСС: блоковые, сверточные, турбо-коды и др. Но ни один из специальных позиционных кодов не обладает свойством контроля за выполнением арифметических операций, что препятствует их эффективному применению в вычислительных устройствах ЦОС. Арифметичность - одно из важнейших преимуществ СОК перед ПСС. Другим достоинством СОК является устойчивость к пакетам ошибок: происходит ошибочный прием лишь одного из вычетов. Такая ситуация в случае с ПСС приводит к полной потере информационного сообщения. Кроме того, система вычетов обладает еще одной важной особенностью - способностью самовосстановления. Практический интерес представляет синтез основных функциональных узлов фильтров, обеспечивающих высокую отказоустойчивость при минимальных вычислительных затратах. Разработана схема такого алгоритмически отказоустойчивого ЦФ в СОК с к-м дополнительным контрольным каналом (А=у+1), использующего метод проекций (рис. 7), а также схемы блоков обнаружения отказов и выбора правильных чисел, к которым относятся однозначно представляемые числа в СОК. В состав

фильтра входят: блоки определения вычетов входного сигнала (Ш1, Ш2.....Ши

Ш*); цифровые линии задержки; умножители; сумматоры по соответствующим модулям; блоки обнаружения отказов (001, 002, ..., ООу, 00*); блок выбора правильного числа (ВПЧ). ЦФ-СОК позволяет восстановить точный результат в соответствии со свойствами вычетов независимо от сбоев в одном из каналов.

Для устранения отказа в информационном канале необходимо, чтобы разрядность дополнительного контрольного основания более чем в 2 раза превосходила разрядность максимального основания системы. В общем случае корректирующий код в СОК с упорядоченной системой модулей, исправляющий любые Ь ошибок и обнаруживающий любые Ь+1 ошибки, должен иметь 2Ь контрольных каналов.

Рис. 7. Схема отказоустойчивого цифрового фильтра в СОК

При проектировании БИХ-фильтров в СОК в первую очередь необходимо решить проблему устойчивости по цепям обратных связей (в каналах СОК коэффициенты обратной связи являются целыми числами). Возможно два варианта решения задачи синтеза таких устройств:

1) использование двойного перевода из СОК и обратно при операциях по цепям обратной связи. Метод прост, но требует дополнительных аппаратурных затрат. Кроме того, он исключает преимущество кода СОК перед ПСС;

2) применение деления в цепи обратной связи на величину, равную масштабирующему множителю (случаи деления на модульЛ^,или Л^).

Предложен алгоритм деления, связанный с выбором комбинации модулей, которая позволяет упростить вычисление параметров, характеризующих режим деления. Полученные технические решения не только обеспечили устойчивость ЦФ, но и привели к сокращению аппаратурных затрат на величину, эквивалентную одному каналу.

Схема деления на произвольный модуль Л^ (рис. 8) позволяет увеличить эффективность использования СОК при синтезе БИХ-фильтров.

Г

LSi

X" . Я

LSa

x2-0

LS,

УМН2 L- SM|

□j

хЗ

УМН,

LS4 SM2

SM3

Рис. 8. Схема деления в СОК на модуль Ns

В остальном синтез БИХ-фильтров не отличается от синтеза КИХ-фильтров.

В результате исследований установлено, что для упрощения спецпроцессора ЦОС необходимо, во-первых, произвести пересчет коэффициентов ЦФ; во-вторых, выбрать такой масштабирующий множитель М, при котором коэффициенты фильтра были бы равны или кратны Nv .Значения весовых коэффициентов фильтра A¡j и B¡¡ и выбранных модулей СОК связаны между собой не только операцией масштабирования и воздействием на величину максимально возможного результата фильтрации ртщ, но и взаимным влиянием на тривиальность реализации ЦФ в СОК: при равенстве A¡¡ и Ns (или их отличии на ±1) спецпроцессор существенно упрощается за счет сокращения количества арифметических операций. В диссертационной работе приведена схема таким образом оптимизированного по числу арифметических операций ФНЧ Баттерворта 5-п> порядка в СОК.

Для исследования влияния обработки в СОК на сохранение энергетических характеристик сигнала было проведено компьютерное моделирование разработанных устройств, которое показало, что фильтры в СОК сохраняют энергетическую эффективность ЦФ в ПСС. По результатам проведенных исследований был разработан программный комплекс интерактивного синтеза КИХ- и БИХ-фильтров в СОК по заданной АЧХ, позволяющий получить требуемую структуру ЦФ-СОК и обеспечивший относительный выигрыш ЦФ-СОК по совместной оценке временных и аппаратурных затрат порядка 40-60% за счёт уменьшения разрядности данных.

В третьей главе предложены методы одномерного и многомерного поразрядного вычисления ДПФ (ЦЦПФ), проведен анализ и синтез разработанных на их основе алгоритмов ПДПФ, использующих табличные процессоры и вследствие этого обладающих повышенным быстродействием и точностью. Рассмотрена методика их оптимизации с целью сокращения аппаратурных затрат; представлены схемы технической реализации устройств одномерного и многомерного ПДПФ на основе предложенных методов и разработаны вычислительные алгоритмы и программное обеспечение для интерактивного синтеза устройств ПДПФ, позволяющее осуществлять спектральную обработку при произвольно большом числе отсчетов сигнала.

Принципиально новый подход к спектральной обработке сигналов в случае с ПДПФ связан с тем, что в этих устройствах большинство операций выполняются на этапе проектирования, а остальные - вычисляются таблично.

В случае метода одномерного ПДПФ к-я гармоника спектра для чисел входной последовательности х(п) равна:

Ъ = 1КкФ), (4)

п=0

-У—

где IVн =е Л' - весовая функция. Раскрыв (4), получим для № точек в г-м разряде чисел х(п): Га(г) = х,(0)<5 +хг(1)^ +хг(2)Ж% +..+хг(Н5 где % = са$.(2л/Ы3) -

В спецпроцессорах обычно используются числа х(п) с фиксированной запятой в дополнительном коде. Тогда х(п) = ¿хг (п)2г - хзи (и)2я'1, где Я - число разрядов

Ы1

чисел в последовательности х(«), хзн(л) - знаковый разряд чисел. Следовательно, для поразрядного ДПФ в г-ы разрядном «срезе» для Л^ точек имеем:

пш о Лу л-0

^ = (/■)-^(зн), где 8[0]=1; г = О.Л-1; к,п = О.ЛГ-1.

г-0

Схема устройства одномерного ПДПФ представлена на рис. 9.

Л сдвигов

Рис. 9. Схема устройства для одномерного поразрядного вычисления ДПФ Объем памяти ПЗУ, используемого в схеме, для N3 точек входной последовательности ацом-Яя^, где - разрядность а полное время преобразования составит тактов. С целью сокращения аппаратурных затрат в диссертационной работе предлагается вопрос выбора требуемого количества т

корпусов ПЗУ решить следующим образом. Если Ns » разрядности Z дешифратора ПЗУ, то предлагается следующая схема: log2 Ns разрядов ПЗУ выделяется на код частоты (обозначим эту величину через к - код номера страницы ПЗУ), а оставшиеся (Z-k) отдаются под часть выборки сигнала (х = Z - к). Тогда т где 1 Г - операция округления в сторону большего целого. Напри-

мер, если N=64, то, к = log, Ns=6; при использовании БИС 556РТ6 (Z=ll) х = Z-кг=5. В этом случае т =164/5 Г=13.

Проведенное в диссертационной работе исследование показало, что устройство на основе одномерного алгоритма ПДПФ имеет быстродействие в два раза выше, чем БПФ, традиционно используемое при решении подобного рода задач, но его применение ограничивается случаями, когда 645% <256. Для решения этой проблемы при Л^512 в диссертационной работе был разработан метод многомерного поразрядного ДПФ, переход к которому возможен через TVs-точечные ДПФ в соответствии с алгоритмом Гуда.

Метод многомерного ПДПФ содержит v шагов по Ns точек для всех S = 1, v. Такое преобразование включает следующие этапы:

1. Переиндексация (реконфигурация) данных х

V

Х(п)->Х(п,,л2.....ns,...nv), п=< "ZnsN/Ns >modN.

s=1

Для двумерного случая Х{п) -> Х{щ,п2), n-<N{n2 + N2n^ >modjV.

2. Вычисление N/Ns коротких /^точечных ПДПФ .

а) при v=2 сначала вычисляются N2=N/Nt точечных ПДПФ:

F* (kltn2) и ~F™(fc,,п2) при к2 =

V,......_

F^(kl,n2)= S 5[xrs.(«, ,n2)-l]JVH^ 2 2r

Поразрядное суммирование

j . V •

n,=0 1

5=0

б) затем осуществляется Лг!= ЛШ2 вычислений Л^-точечных ПДПФ:

^ № Д2) = 2"<5,;

П0„. Iг ^ (*„*,)-ЕГ2^,к2);

суммирование г=0

в) Р(к1,к2)=ХР3(к],к2).

5=0

3. Наконец, переупорядочиванием выходных значений многомерного массива определяется Р(к).

Схема устройства двумерного ПДПФ (рис. 10), которое при N,=63,7^=64 осуществляет до 4032 точек преобразования, защищена авторским свидетельством.

Полученные в диссертационной работе результаты наглядно доказывают преимущество в быстродействии приведенных методов и устройств ПДПФ по сравнению с устройствами БПФ в ПСС. Так для N=1023 (N,=31; 7^=33) 7епф~ 128000?ел, а 7щдгм> = 4092/^, где Гсл - время, затрачиваемое на выполнение

операции сложения. Другим важным достоинством ПДПФ является существенное снижение ошибок округления. Такие характеристики обусловлены тем, что большинство операций вычислительного алгоритма многомерного поразрядного ДПФ (включая и определение свертки) выполняются на этапе проектирования и изготовления (программирования) ПДПФ.

Вход выход

Рис. Ю.Схема устройства для вычисления многомерного поразрядного ДПФ (у=2)

С целью дальнейшего повышения эффективности обработки сигналов в диссертационной работе предложено разделение чисел на группы. При построении ПДПФ минимум совместных аппаратурных и временных затрат достигается посредством, во-первых, двухступенчатого разделения последовательности данных в разрядах на части х и хи во-вторых, объединения разрядов хх в группы по УХ! бит и, наконец, в-третьих, введения 1Л7\се,Г дополнительных ППЗУ. Выделены два случая, связанные с величиной разрядности адресных шин ППЗУ: 7>х±у (высокая разрядность) и 2<х±у (малый объем памяти). Наилучшими оказались случаи: при 2>х+у х=3, *|=1, у=3; при г <х +ух=4, х]=1, у=4, а также х=3, Х1=1, У=3. Предпочтительнее использовать случай г>х+у, что обеспечивается правильным выбором ППЗУ и переходом к алгоритму многомерного

ПДПФ. Проведенные исследования показали, что правильный выбор параметров ПДПФ приводит к сокращению общего объема памяти и числа корпусов БИС ППЗУ примерно в 4 раза, а времени преобразования в ПДПФ - в 2 раза.

Одной из основных задач синтеза устройств ПДПФ при заданной элементной базе и требуемом числе точек отсчета является программирование ППЗУ. Программирование ППЗУ связано с расчетом на ЭВМ всех возможных комбинаций весовых коэффициентов для различных случаев. В диссертации приведены результаты программного синтеза коэффициентов ПДПФ в интерактивном режиме. В программном модуле дополнительно предусмотрена возможность получения оценки аппаратурных затрат и изменения типа используемого ППЗУ.

Для тестовых примеров проводилась оценка затрат корпусов ППЗУ, объема памяти и времени преобразования. В случае N=64 в предварительной схеме использовались 13 корпусов ППЗУ. Общий объем памяти составил (12-2п+1-210) байта и 25 Кбайт. Для ПДПФ, имеющего 10 каналов, затраты составили около 250 Кбайт (130 корпусов ППЗУ). Эквивалентное время преобразования по одной точке Т\=1\пгоу+12^сл- Если применять схему ПДПФ с дополнительными ППЗУ, то для нее затраты памяти будут 12-210+1-210+2-210=16 Кбайт (для 10 каналов 160 Кбайт, соответственно). Время преобразования увеличится незначительно: Г2=Г1+3/сл-

Учитывая симметрию по точкам преобразования, можно дополнительно сократить объем памяти ППЗУ и время вычисления. Сокращение объема памяти по количеству страниц ) в 2 раза приводит к тому, что в схеме ПДПФ используется 12 корпусов по 29 байт и 1 корпус ППЗУ на 28 байт - для основных ППЗУ и 3 корпуса по 29 байт - для дополнительных ППЗУ. Следовательно, объем памяти сокращается до £з=(15-29+28)=8 Кбайт. При этом время преобразования Гз=7У2. Легко показать, что выигрыш в затратах памяти примерно в 3...4 раза сохраняется при любом количестве точек N обрабатываемой последовательности. По этой причине разработанная схема ПДПФ с двухступенчатым разделением последовательности данных представляет практический интерес.

В четвертой главе разработана методика синтеза БПФ в СОК и синтезированы устройства быстрого преобразования Фурье с ее использованием. Проведены исследования разработанных алгоритмов и устройств, на основании результатов которых проведен программный синтез устройств БПФ в СОК.

Наибольшее влияние на число каналов БПФ в СОК оказывают максимальный диапазон результата ргаах, который зависит от числа отсчетов ./V, разрядности Я данных х(п) и разрядности Яр весовых коэффициентов

Ртах =2Я+%+|0й\ где ЛГ,=Ж>.

Величина Ли'выбирается, исходя либо из точности дискретизации еь либо из заданного'отношения среднеквадратичного значения (СКЗ) ошибки к СКЗ сигнала 82, либо принимается, что Яц~Я.

Для теоретического определения числа каналов и модулей СОК при реализации Л'-точечного БПФ в качестве основного использовалось соотношение: к^р>\о%7М + Я + Яц, -1.

Результаты программного синтеза показали, что практически максимально возможный результат не превышает 218 для подавляющего большинства алгоритмов.

Для осуществления вычислительной операции «бабочка» в каждом 5-м канале СОК необходимо провести операции сложения и умножения по соответствующему модулю (будем рассматривать случай прореживания по времени):

С8=Л5+В51Г3

где С5=<С>то^$; А$=<А>тосШ5; В$ =<B>modNs•, =< £>>тойЛ^;

=<}Ук >тоЩ; V* =<#/2-^* >то<1^.

Для уменьшения аппаратурных затрат и увеличения быстродействия предложено, во-первых, построение табличных модулей (ТМ), реализующих операцию «бабочка» в СОК с использованием соотношений: <Ц* >=<N12-11* >; < >= у*, ук+ыи _ цгк _ вариант одной из схем базовых ТМ, реализующих операцию «бабочка» в СОК для представлен на рис. 11. В качестве таблиц возможно использование ППЗУ (в неперестраиваемых структурах) и сверхоперативных ЗУ, загружаемых из основной памяти таблицами выполняемых арифметических операций. Операнды подаются на шину адреса ТМ, с информационных выходов которых снимаются числа и При Даих^3...4 объем памяти ТМ составляет 256 байт, а при Л5тах=5...6 - не превышай 4 Кб, что не составляет проблем при технической реализации. Во-вторых, предлагается реализация функциональных модулей СОК на комбинационных операционных схемах (КОС), выполненных в виде заказных СБИС или синтезированных на ПЛМ (ПЛИС). На рис. 12 показана такая схема, в которой совмещен ряд логических операций «И» и «ИЛИ». В-третьих, предложено использовать логический подход к построению блока формирования весовых коэффициентов для его упрощения (уменьшается объём таблиц ППЗУ в вычислительном блоке определения С5 и Д$): если <В№к >=г, то <ВУк >=< -ВШУ >=И5-г. Эти соотношения реализуются в виде комбинационных схем, представленных на рис. 13.

Аз

Вз

загрузка

тм

С5

загрузка

тм

МБ

МБ

МК

мр1

м02

'УМЫ

'О,

_^

мэ

мэ

мк

МР1

м02

умн

Рис. 11. Схема базового табличного модуля доя Ду=3...4

Рис. 12. Схема СБИС на КОС для вычисления БПФ в СОК

л!г5 ^5-7

Рис. 13. Комбинационная схема для N^5, 7

В диссертационной работе разработано устройство для вычисления Доточенного БПФ в СОК, обладающее более высоким быстродействием, чем известные классические схемы. Схема устройства содержит блоки определения вычетов 1-1,...,1-у , арифметические блоки 2-1,..., 2-у, блоки памяти весовых коэффициентов 3-1,..., 3-у, блок восстановления результата 4 и синхронизатор 5 (рис. 14).

выход

Рис. 14. Схема устройства БПФ в СОК

В четвертой главе синтезирован и исследован алгоритм вычисления индексов У(С) и антииндексов ТХ(С) для произвольно больших Щ при реализации БПФ в СОК. Устройства БПФ-СОК с применением индексирования данных не содержат умножителей и имеют минимальное число каналов обработки. Разра-

ботан программный комплекс интерактивного вычисления ДС) и Т\С), который позволяет реализовать БПФ-СОК для произвольно больших Щ. Полученные результаты моделирования разработанных устройств БПФ в СОК подтвердили теоретические предположения об увеличении быстродействия и точности и о снижении аппаратурных затрат при обработке сигналов в системе остаточных классов.

В пятой главе проведен сравнительный анализ устройств ВТ для цифровой фильтрации и спектрального анализа в ПСС и СОК при их реализации на современных сигнальных процессорах.

Основная трудность использования системы остаточных классов в ЦОС заключается в отсутствии СБИС, ориентированных на кодирование в СОК. Если рынок ЦСП интенсивно развивается, то развитие ЦСП-СОК идет лишь в отдельных направлениях. В главе приведены оценки быстродействия устройств БПФ и ЦФ, полученные методом имитационного моделирования. При реализации на ЦСП 3-го поколения (БргосМОО) вычислительные структуры ЦОС в СОК немного проигрывают по быстродействию устройствам в ПСС при равных аппаратурных затратах, но, как показано в диссертации, существуют дополнительные резервы для увеличения их скорости вычислений. Они связаны с особенностями ЦОС в СОК в случае, если весовые коэффициенты цифрового фильтра и некоторые из модулей СОК равны между собой (исключаются операции сложения и умножения), отличаются на ±1 (исключается умножение) или на ±2(умножение заменяется сдвигом). Подобная методика, как показало моделирование, позволяет в отдельных случаях существенно сократить число умножений и сложений (до 90%), что значительно повышает быстродействие и снижает аппаратурные затраты фильтров в СОК. Сравнительная оценка быстродействия устройств БПФ и КИХ-фильтров в ПСС с использованием мультипроцессорного режима ЦСП 4-го поколения и СОК при равенстве (А$) и N5 показала, что в этом случае ЦОС в СОК имеет выигрыш.

Предлагаемый в диссертационной работе метод синтеза устройств БПФ и ЦФ в СОК основан на идее корреляции величины модуля со значением весовых коэффициентов фильтра (или поворачивающих множителей БПФ). Необходимо обеспечить совпадение N$4 № (N5 и А, В), или сделать их отличными на ±1, ±2. Это исключает из алгоритма ряд сложных операций или упрощает их (умножение заменяется сложением или сдвигом и т.п.).

Можно выделить следующие основные этапы этого решения:

1) первоначальный предварительный выбор множества оснований СОК;

2) изменение выбранных оснований с целью их приближения к весовым коэффициентам (до IV = или А,В = И3± 1) путем введения нормирующего множителя М;

3) подсчет аппаратурных затрат и быстродействия во всех случаях;

4) вычисление погрешностей.

Синтез устройств ЦФ и БПФ в СОК проводился с вычислением эвристического общего критерия: Kopt=Q/(2«у), где V - количество каналов СОК; и -число точек коротких БПФ, или порядок фильтрации; Q - показатель, рассчитываемый в процессе синтеза ЦФ (или БПФ) и показывающий возможное со-

кращение числа арифметических операций для оптимизированного алгоритма (в процентах).

В процессе проектирования БПФ в СОК с использованием метода корреляции были получены результаты, которыми можно пользоваться при синтезе многомерных БПФ, реализующих алгоритм Гуда, а также зависимости показателя £) от порядка цифровых фильтров п при различных частотах среза и за1ра-ждения 1¥с и Щ, для разных форм аппроксимации АЧХ: Баттерворта, Чебышева I и II рода и эллиптического фильтров. Приведена зависимость эвристического общего критерия Кор, от вида аппроксимации ЦФ. Особо отметим тот факт, что на величину Кор, влияет значение нормирующего множителя М. В процессе программного синтеза БПФ-СОК вычисляются значения М, при которых К0ргтпах, а ошибки округления, возникающие при перекодировании в СОК, принимают минимальные значения. Исследования показали, что при возрастании порядка цифровой фильтрации коэффициент Кор, стабилизируется в среднем на уровне 60-70% от числа исходных арифметических операций, но часто можно найти экстремум, достигающий значений Кор1пах=90-95 %. При этом форма аппроксимации АЧХ играет незначительную роль.

В процессе моделирования реализации БПФ в СОК определялись следующие параметры: оптимальные наборы взаимно простых чисел {Лу: N^N2,.имеющие минимальную суммарную разрядность и для которых

V

>2' -220 ; погрешность АР, вносимая перекодированием весовых

5=1

коэффициентов Ж ДПФ в СОК; сумма остатков для контроля максимальности результата; коэффициент Кор,\ нормирующий множитель М и интервал его изменения. Для этого последовательно производился поиск наборов чисел {Лу при изменении М. Таким образом были найдены оптимальные наборы {Л^} для различных и пошаговых точек алгоритма Гуда (табл. 2).

Таблица 2

N> п А'ьЛ'г.Л'', М К-орН % Зост. Интервал изменения М

216 7 30,47,61 279 80,952 40 0,023 1-400

8 27,49,50 344 100 20 0,049 1-350

9 31,49,60 103 70,370 90 0,173 100-150

11 32,45,47 150 63,636 170 0,151 100-150

13 31,43,57 106 64,103 246 0,254 100-150

16 47,53,55 139 75,000 204 0,124 1-200

2.7 7 44,53,61 109 71,429 54 0,251 100-150

8. 52,55,61 156 100 10 0,164 1-350

9 41,57,59 116 66,667 284 0,147 100-150

11 43,52,61 139 57,576 250 0,121 100-150

13 43, 54,61 130 61,538 416 0,159 100-150

Далее были найдены оптимальные множители М для фиксированных наборов модулей {ЛУ, когда на всех шагах алгоритма Гуда (и=7, 8, 9, 11, 13, 16) используется одна система СОК {АУ (табл. 3).

Таблица 3

N> М.Л^ЛГз к М М-Л'з Кори %

7 833 47481 71,429

8 430 24510 91,667

216 9 126 7182 62,963

31,43,57 11 142 8094 63,636

13 106 6042 64,103

16 430 24510 70,833

7 397 24217 61,905

8 764 46604 91,667

217, 9 316 19276 62,963

43,54,61 11 959 58499 66,667

13 500 30500 69,231

16 787 48007 62,500

Последним этапом синтеза был выбор наиболее выгодного сочетания из набора («1, п2, «з), произведение которых определяет число точек БПФ. В табл. 4 показаны случаи, когда возможно исключение % арифметических операций. Из

неё видно, что сочетание И|=8, «2=11, п3=13 (при > 2П ) имеет самый

в

большой Коы.

Таблица 4

"1> "2> "3 Л1-Й2-ЯЗ

ЛГ —216 N>2"

8,11,13 73,135 75,855 1144

9,11,13 63,567 66,287 1287

7,13, 16 68,788 64,545 1456

9,13,16 65,966 64,898 1872

11,13,16 66,191 66,133 2288

Для определения зависимости результатов моделирования от нормирующего множителя М удобно пользоваться графиками, один из которых приведен на рис. 15. Из графиков видно, что при увеличении нормирующего множителя М погрешность вычислений ДР снижается и всегда можно найти такое значение М, при котором АР и средняя сумма остатков 50Ст. будут минимальны, а коэффициент К0Р1=тах.

Точек БПФ: 7 «,=[27,49,50] M-;V,,[3]-4300

AF, %

^_ М

100'

Рис. 15. Зависимость результатов от множителя М при N (для п=7)

Следует отметить, что перспективным направлением развития устройств ЦОС в СОК является их реализация на сигнальных процессорах, ориентированных на обработку информации в СОК. Такие процессоры, в случае их изготовления, будут превосходить традиционные ЦСП как по быстродействию, так и по аппаратурным затратам.

В шестой главе представлены результаты программного синтеза ЦФ и БПФ в ПСС, ЦФ-СОК и БПФ-СОК, устройств ПДПФ, ЦФ и БПФ с использованием индексов СОК, составного алгоритма БПФ в СОК на основе алгоритма Гуда, разработанных на основе теоретических исследований, проведенных в диссертационной работе.

Разработана система интерактивного синтеза ЦФ в СОК по показателям быстродействия и аппаратурных затрат. Проведено исследование отклонений характеристик фильтра, вносимых округлением его коэффициентов при переходе в СОК Разработан программный комплекс синтеза БПФ. Он содержит программу генерации сигнала, воздействующего на систему обработки, и его последующего аналого-цифрового преобразования и программные модули, реализующие вычисление БПФ в ПСС и СОК на процессоре семейства Tiger SHARC-101 компании Analog Devices. Разработанная программа реализована в ЮЕ MS Visual Studio 2008 на языке про1раммирования Cit e использованием среды Visual DSP++ и предназначена для оценки затрат времени и памяти на вычисление БПФ в ПСС и СОК. Результаты сравнительной оценки затрат времени на вычисление БПФ показаны на рис. 16.

6.2680

0.2311 0'

1<Чл.

SJ

86

ó 80000

5 ВБПФвПСС

s 70000 __

* ■ БПФ в СОК ГТЩ

2 60000 Р^Ш

| 50000 - - е;:Ш:ВВ

I 40000 liiiiiH

| зоооо - ■ - ЩГд|

I 20000 ' " Р^В

| íoooo - 1НПНщЯ |ПНН|В|

§ :1 ' и Ш тш Ш ш

а 32 64 256 512 1024

Количество точек, ед,

Рис. 16. Результаты сравнительной оценки затрат времени на вычисление БПФ

Как видно из рисунка, количество процессорных циклов, затраченное на вычисление БПФ, при использовании СОК уменьшается на 10% и более.

Приведены программные комплексы интерактивного синтеза устройств ПДПФ и составного БПФ в СОК, разработанные в среде программирования Borland С++ Builder 5.0, и программный модуль устройств цифровой фильтрации и спектрального анализа с применением индексов СОК, в котором моделирование вычислений проводилось в среде программирования MATLAB. Зависимость времени вычисления БПФ от длины двоичного кода входной последовательности показана на рис. 17.

0.08 0,07 0.06

I

0.05

1 0.04 к

1. 0.03 ш

0,02 0.01 0

256 512 1024 204В

N-ТОЧВЧИЫ й БПФ

Рис.17. Зависимость времени вычисления БПФ от длины входной последовательности

Из графиков видно, что для N>256 точек преобразования время вычисления БПФ с использованием индексов СОК сокращается в 2 раза и более.

В заключении приведены основные результаты, полученные при выполнении диссертационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным результатом диссертационной работы является решение крупной научной проблемы, имеющей важное хозяйственное значение и заключающейся в разработке теоретических основ, алгоритмов и цифровых устройств вычислительной техники для обработки сигналов, обладающих повышенным быстродействием, средствами системы остаточных классов, в развитии аппаратурных методов синтеза устройств ЦОС в СОК и обобщении результатов анализа их эффективности. При проведении теоретических и практических исследований по тематике диссертации получены следующие научные и практические результаты:

1. Предложен метод поразрядного вычисления ДПФ для спектрального анализа сигналов; разработан алгоритм одномерного ЦЦПФ, предоставляющий возможность использовать табличные процессоры и выполнять большинство арифметических операций на этапе проектирования и, как следствие, увеличить быстродействие устройств вычислительной техники для спектрального анализа примерно в 2 раза по сравнению с БПФ. Для числа отсчетов больше 512 разработаны высокоэффективные алгоритмы многомерных ПДПФ и представлены схемы их технической реализации. Решена задача выбора параметров ПДПФ по критерию минимума совокупности аппаратурных и временных затрат. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для интерактивного синтеза устройств ПДПФ, позволяющие программировать ПЗУ, ПЛМ (ПЛИС) в диалоговом режиме в соответствии с синтезируемым алгоритмом и повысить быстродействие и точность вычислений, а также уменьшить аппаратурные затраты и ошибки округления.

2. Получены алгоритмы реализации БПФ в СОК и даны рекомендации по выбору эффективной системы модулей для процессоров БПФ в СОК. Синтезированы функциональные модули вычислительной техники в СОК для практической реализации базовых операций БПФ в СОК. Разработано и исследовано устройство БПФ-СОК, отличающееся более высоким быстродействием по отношению к классическим схемам, что подтверждено проведенным компьютерным моделированием. Предложен алгоритм индексирования чисел для случаев произвольно больших модулей, что ослабляет зависимость числа каналов СОК от максимального результата, снижает аппаратурные затраты и увеличивает отказоустойчивость и быстродействие БПФ в СОК: время вычисления БПФ сокращается в 2 раза и более. На основе разработанного алгоритма синтезированы программные модули индексных устройств вычислительной техники для спектрального анализа.

3. Разработаны методы синтеза устройств вычислительной техники для цифровой фильтрации в СОК. Даны рекомендации по предварительному выбору системы модулей и числа каналов СОК ЦФ. Синтезированы функциональные узлы фильтров в СОК, характеризующиеся повышенным быстродействием. Показана необходимость использования модульных и немодульных операций при построении ЦФ в СОК для дополнительного сокращения аппаратурных затрат и увеличения быстродействия и разработаны их упрощенные вычисли-

тельные алгоритмы. Разработаны комбинационные операционные схемы вычислительной техники, позволившие совместить основные операции фильтрации в СОК, что привело к сокращению затрат на 14%. На основе таких схем построены цифровые фильтры с минимальными аппаратурными затратами. С целью повышения быстродействия предложена схема ЦФ, основанная на алгоритме индексирования данных в СОК, с минимальным количеством каналов, не содержащая умножителей. Разработаны устройства вычислительной техники для ЦФ в СОК, обеспечивающие высокую отказоустойчивость при минимальных вычислительных затратах. Представлен сравнительный анализ энергетических характеристик ЦФ в ПСС и ЦФ-СОК. В результате исследований определен относительный выигрыш по совместной оценке временных и аппаратурных затрат ЦФ-СОК по сравнению с ЦФ в ПСС, который составил 40-60%.

4. Проведен аналитический обзор существующих устройств шифрования/дешифрования двоично-кодированных данных в СОК. Приведена оценка аппаратурных затрат для различных предлагаемых вариантов шифраторов системы остаточных классов. Минимум таких затрат обеспечивают логические шифраторы при разделении входных данных на равные группы. В этом случае аппаратурные затраты, выражаемые количеством двухвходовых логических элементов, колеблются от 211 для Ns-5 до 372 для iV? = 61, а при использовании опорной схемы - от 174 до 243 соответственно. Оценки аппаратурных затрат и быстродействия различных схемотехнических решений шифраторов сигналов в СОК могут быть использованы при выборе рациональных архитектур ЦФ в системе остаточных классов.

5. Исследована и обоснована возможность реализации алгоритмов цифровой фильтрации и спектрального анализа в СОК на современных сигнальных процессорах. В этом случае достигается выигрыш алгоритмов ЦОС в СОК по быстродействию, аппаратурным затратам, ошибкам округления и отказоустойчивости при условии проведения оптимизации алгоритмов цифровой фильтрации и Фурье-преобразования в СОК с использованием предложенного метода корреляции величины модулей со значениями весовых коэффициентов.

6. Разработан интерактивный программный комплекс моделирования ЦФ и БПФ в ПСС, ЦФ-СОК и БПФ-СОК, ПДПФ и составного БПФ-СОК, использующего алгоритм Гуда; проведено сравнение полученных результатов и даны рекомендации к практическому применению алгоритмов ЦОС в СОК. Применение СОК позволило сократить количество процессорных циклов на вычисление БПФ на 10% и более, а последующее использование метода корреляции модулей и весовых коэффициентов привело к дальнейшему существенному сокращению числа умножений и сложений (в некоторых случаях до 90% операций), что значительно повышает быстродействие и снижает аппаратурные затраты вычислительных устройств для ЦОС в СОК.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК

1. Лебедев, EJC. Методы и устройства поразрядного ДПФ / EJC. Лебедев, H.A. Галанила, В.Ю. Лапий // Изв. вузов MB и ССО СССР. Радиоэлектроника. - 1985,- Т. 28, №8.-С. 32-36.

2. Галанина, H.A. Выравнивание частотных характеристик цифровых фильтров / НА. Галанина, Е.К. Лебедев, А.Г. Матюшов, Г.Е. Егоров // Вестник Чувашского университета. - 2001. -№ 3. - С. 79-89.

3. Лебедев, Е.К. Вычисление вероятностей переходов для цепей Маркова, аппроксимирующих сигналы в фазовых системах / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина, H.H. Иванова//Вестник Чувашского университета. - 2001. -№ 3. - С. 89-100.

4. Лебедев, Е.К. Измерение джиттера в системах контроля параметров устройств связи/ EJC. Лебедев, НА. Галанина, H.H. Иванова, В.А. Алипов // Вестник Чувашского университета. - 2002. - № 2. - С. 202-207.

5. Лебедев, Е.К Видоизмененный алгоритм умножения "1—>3" и его временная сложность / Е.К. Лебедев, НА. Галанина // Вестник Чувашского университета. - 2002. - № 2. -С. 183-185.

6. Лебедев, Е.К. Эффективное выполнение рекурсивных немодульных вычислений при реализации сложных алгоритмов ЦОС / Е.К. Лебедев, НА. Галанина, EJO. Булан-кина, H.H. Иванова // Вестник Чувашского университета. - 2002. - № 2. - С. 186-195.

7. Галанина, НА. Синтез функциональных модулей БПФ в СОК / НА. Галанина // Вестник Чувашского университета. - 2005. - № 2. — С. 124-127.

8. Галанина, НА. Сравнительный анализ энергетических характеристик позиционных и непозиционных фильтров / H.A. Галанина // Вестник Чувашского университета. - 2006. - № 2. - С. 335-340.

9. Галанина, НА. Синтез нерекурсивных цифровых фильтров в системе остаточных. классов / НА Галанина // Вестник Чувашского университета. - 2009. - № 2. - С. 193-200.

10. Галанина, H.A. Моделирование оптимальных алгоритмов быстрого преобразования Фурье и их сравнительный анализ / H.A. Галанина, А.Д. Ефимов // Вестник Чувашского университета. - 2009. - № 2. - С. 200-209.

Монография и авторское свидетельство СССР

11. Галанина, НА. Непозиционные алгоритмы и устройства цифровой фильтрации и спектрального анализа / НА. Галанина. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2009. - 208 с.

12. Лебедев, ЕЛС. Устройство для дискретного двумерного преобразования Фурье / Е.К. Лебедев, H.A.Галанина, В.Ю. Лапий// Автор, свид-во № 1254505, СССР, Бюл. № 32, 30.08.86, 1986.

Другие издания

13. Лебедев, Е.К. Оптимизация АЦП в системах с фазовой модуляцией сигналов / Е.К. Лебедев, НА. Галанина, Г.Е. Егоров // Электрические аппараты: межвуз. сб. науч. трудов. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1998. — С. 123-128.

14. Галанина, НА. Методы синтеза цифровых фильтров в системе остаточных классов / Е.К. Лебедев, НА. Галанина, O.E. Давыдов, Г.Е. Егоров // Вестник Чувашского университета. - 2000. - № 3-4. - С. 145-156.

15. Галанина, H.A. Анализ непозиционных цифровых фильтров по квазипозиционной модели / H.A. Галанина // Вестник Чувашского университета. - 2000. - № 3-4. -С. 116-121.

16. Галанина, НА. Помехоустойчивость, конфиденциальность и отказоустойчивость сообщений в абонентских системах непозиционного типа / НА. Галанина, H.H. Иванова // Вестник Чувашского университета. - 2007. - № 2. - С. 161-166.

17. Галанина, НА. Реализация блоков шифрации и дешифрации сигналов в непозиционных устройствах ЦОС / НА. Галанина, H.H. Иванова, АА. Иванов // Вестник Чувашского университета. -2007. -№ 2. - С. 166-173.

18. Галанина, НА. Выбор формы кодированного импульсного сигнала в непозиционных устройствах абонентского доступа / НА. Галанина // Вестник Чувашского университета. - 2008.-№ 2. - С. 168-175.

19. Галанина, H.A. Отказоустойчивый фильтр марковских сигналов / H.A. Галанина, H.H. Иванова, М.В. Спиридонов // Вестник Чувашского университета. - 2008. - № 2. -С. 175-180.

Депонированные работы и отчеты по НИР

20. Галанина, H.A. Спектральный анализ в коммутативном кольце вычетов/ H.A. Галанина, Е.К. Лебедев //Деп. в ВИНИТИ, № 4111-В86,1986. - 72 с.

21. Галанина, НА. Интерактивный синтез устройств ПДПФ/ H.A. Галанина, Е.К. Лебедев//Деп. в ВИНИТИ. 17.06.86, №4461-В86,1986.-64 с.

22. Лебедев, Е.К. Байесовская фильтрация в системе остаточных классов/ Е.К. Лебедев, НА. Галанина // Деп. в ВИНИТИ. 03.08.89, № 5258-В89,1989. - 42 с.

23. Галанина, H.A. Аппаратные средства и математическое обеспечение информационно-измерительных комплексов обработки сигналов: отчет по НИР / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев, В.И. Мясников, C.B. Старыгин, М.И. Морозов// Деп. в ВИНИТИ, 1986. Инв. № 0286.0035351. - 119 с.

24. Галанина, НА. Синтез адаптивных мультипроцессорных вычислительных структур обработки сигналов: отчет по НИР / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев, В.И. Мясников, СБ. Старыгин // Деп. в ВИНИТИ, 1986. Инв. № 02860031315. - 89 с.

25. Галанина, H.A. Исследование и разработка принципов построения программируемых вычислительных систем обработки радиолокационных сигналов: отчет по НИР. Ч. 1 / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев, В.И. Мясников, C.B. Старыгин // Деп. в ВИНИТИ, 1987. Инв. № 0287.0025455. - 112 с.

26. Лебедев, Е.К. Разработка методологии проектирования специализированных микропроцессорных систем с эффективными алгоритмами. Построение и анализ вычислительных теоретико-числовых алгоритмов обработки сигналов: отчет по НИР / Е.К. Лебедев, НА. Галанина // Деп. в ВИНИТИ, № 0287.0067112,1987. - 67 с.

27. Лебедев, Е.К. Методология проектирования специализированных микропроцессорных систем с эффективными алгоритмами. Аппаратная реализация мультипроцессорной непозиционной МПС обработки сигналов. Создание пакета функциональных программ: отчёт по НИР / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина // Деп. в ВИНИТИ, №0288.064966,1988.-71 с.

28. Лебедев, Е.К. Разработка и исследование микропроцессорных систем сбора, обработки и регистрации данных: отчет по НИР/ Е.К. Лебедев, НА. Галанина // Деп. в ВИНИТИ, № 0289.0001798,1989. - 162 с.

Материалы конференций и тезисы докладов

29. Лебедев, Е.К. Быстрое преобразование Фурье в коммутативном кольце вычетов/ Е.К. Лебедев, H.A. Галанина // Микропроцессоры-85: сб. докл. Всесоюзн. конф. - Зеленоград, 1985. - С. 61-62.

30. Лебедев, Е.К. Оптимальные алгоритмы БПФ в СОК / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина // Перспективные технологии в средствах передачи информации: сб. тезисов докл. I Междунар. конф. - Владимир: Изд-во Влад. политех, ун-та, 1995. - С. 118-119.

31. Галанина, H.A. Оптимизация непозиционных алгоритмов спектрального анализа / H.A. Галанина, А.Е. Юферев // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1996. - С. 74-75.

32. Лебедев, Е.К. Дисперсия шумов обработки непозишюнных сигналов в линейных цепях / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина // Тезисы докл. юбилейной науч. конф. ЧТУ. - Чебоксары: Клио, 1997.-С. 171-172.

33. Лебедев, Е.К. Многоальтернативное совместное обнаружение и фильтрация непозиционных марковских сигналов / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: сб. материалов II Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1997. - С. 9-12.

34. Галанина, H.A. Повышение эффективности фильтрации сигналов в цифровых системах абонентского доступа / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев, O.E. Давыдов // Динамика нелинейных дискретных электрических и электронных систем: материалы П1 Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1999. - С. 226-237.

35. Галанина, H.A. Интерактивный выбор параметров системы остаточных классов в вычислительном алгоритме БПФ / H.A. Галанина, H.H. Иванова, Е.В. Казнова // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы 1П Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2000. - С. 243-246.

36. Галанина, НА. Обеспечение конфиденциальности сообщений в абонентских системах уплотнения информации / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев, O.E. Давыдов, Д.И. Москвин // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы Ш Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2000. - С. 385-388.

37. Галанина, НА. Оптимизация систем абонентского доступа для контроля и управления технологическими процессами в удаленных нефтепромысловых объектах / НА. Галанина, Е JC. Лебедев, Г.Е. Егоров, ET. Егоров, O.E. Давыдов // Радиолокация, навигация, связь: труды Междунар. конф. - Воронеж, 2000 - С. 151-163.

38. Галанина, H.A. Особенности синтеза цифровых фильтров в СОК/ НЛ.Галанина // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы Ш Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2000. - С. 246-249.

39. Галанина, H.A. Синтез табличных модулей БПФ в системе остаточных классов / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина, C.B. Королев // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы III Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2000. - С. 249-251.

40. Галанина, НА. Моменты распределения в фазовых непозиционных системах цифровой обработки сигналов/ H.A.Галанина, Е.К.Лебедев, Г.Е.Егоров, H.H.Иванова// Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: материалы Всерос. IV науч. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2001. - С. 216-219.

41. Галанина, H.A. Синтез оптимальных непозиционных фильтров при аппроксимации сигналов полициклическими марковскими цепями 2 рода/ НА.Галанина, Г.Е. Егоров, H.H. Иванова // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: материалы IV Всерос. науч. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2001.-С. 219-222.

42. Лебедев, Е.К. Определение погрешностей перекодирования в оптимальной системе непозиционной обработки марковских последовательностей / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина, H.H. Иванова // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: материалы V Всерос. науч. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2003. - С. 203-205. '

43. Лебедев, EJC. Оптимизация непозиционных устройств цифровой обработки сигналов / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина, H Л. Иванова, Е.Ю. Буланкина // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: материалы V Всерос. науч. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2003. - С. 199-203.

44. Лебедев, Е.К. Реализация спецпроцессоров обработки марковских сигналов на непозиционных БИС / ЕХ Лебедев, H.A. Галанина, H Л. Иванова// Динамика нелинейных

дискретных электротехнических и электронных систем: материалы V Всерос. науч. конф. -Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2003. - С. 197-198.

45. Лебедев, Е.К. Сравнительный анализ позиционной и непозиционной обработки информации сигнальными процессорами / Е.К. Лебедев, НА. Галанина// Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: материалы V Всерос. науч. конф. -Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2003. - С. 193-196.

46. Лебедев, Е.К. Марковские свойства непозиционных сигналов/ EJC.Лебедев, НА. Галанина, H.H. Иванова // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы V Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, унта, 2004. - С. 165-169.

47. Лебедев, Е.К. Спектр линейно-кодированных сигналов, применяемых в системах абонентского доступа/ EJC. Лебедев, H.A.Галанина, О.Ю.Исакова, Е.Е.Вострухина// Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы V Всерос. научн.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2004. - С. 176-179.

48. Песошин, В А. Моделирование наборов оснований системы счисления в остаточных классах с минимальными суммарными разрядностями / В А, Песошин, НА Галанина, НЛ. Иванова // Татшцевские чтения: актуальные проблемы науки и техники: материалы VII Междунар. научн.-практ. конф. - Тольятти, 2010. - С. 90-98.

49. Галанина, НА. Введение режима деления при синтезе КИХ-фильтров в модулярном коде / НА. Галанина, В.А. Песошин, H.H. Иванова // Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе (Информационные технологии 2010): материалы Всерос. научн.-практ. конф. -Йошкар-Ола, 2010. - Ч. 2. - С. 41-45.

Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 03,

Типография Издательства Казанского государственного

технического университета 420111, Казань, К. Маркса, 10

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

В КОДАХ СИСТЕМЫ ОСТАТОЧНЫХ КЛАССОВ.

1.1. Обобщенная схема ЦОС в СОК.

1.2. Аналитический обзор способов реализации устройств кодирования цифровых сигналов вычетами в СОК.

1.2.1. Оценка аппаратурных и временных затрат при построении шифраторов на ППЗУ.

1.2.2. Упрощенные варианты построения шифраторов на логических схемах.

1.3. Выбор оптимальных структур устройств дешифрации результата СОК в позиционный код.

1.4. Определение вида импульсного сигнала, кодированного вычетами СОК, в системах передачи данных.

1.4.1. Повышение эффективности фильтрации сигналов в цифровых системах передачи данных.

1.4.2. Выбор варианта схемы фильтра в составе кофидеков цифровых систем передачи данных.

ВЫВОДЫ.

Глава

СИНТЕЗ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ

ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СИСТЕМЕ ОСТАТОЧНЫХ КЛАССОВ. СХЕМЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ЦФ В СОК.

2.1. Предварительный выбор числа каналов и базиса оснований СОК.

2.2. Разработка аппаратурных методов синтеза

КИХ- и БИХ-фильтров в СОК.

2.2.1. Решение проблемы роста результата фильтрации в СОК.

2.2.2. Разработка КИХ-фильтров с использованием немодульных операций СОК.

2.2.3. Вопросы схемотехнической реализации КИХ-фильтров в СОК с совмещением логических операций.

2.2.4. Разработка устройств цифровой фильтрации с индексированием данных в СОК.

2.2.5. Построение отказоустойчивых цифровых фильтров на основе корректирующих свойств кодов в СОК.

2.3. Решение проблемы обеспечения устойчивости БИХ-фильтров в СОК

2.4. Определение влияния кодирования сигналов вычетами в СОК на сохранение их энергетических и частотных характеристик.

2.4.1. Оценка эффективности устройств обнаружения в СОК.

2.4.2. Сравнительный анализ АЧХ ЦФ-СОК и ЦФ-ПСС.

2.4.3. Упрощённый подход к оценке эффективности цифровых систем обработки сигналов в СОК и ПСС.

ВЫВОДЫ.

Глава

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОРАЗРЯДНЫХ АЛГОРИТМОВ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.

СИНТЕЗ УСТРОЙСТВ ПДПФ.

3.1. Одномерный поразрядный метод вычисления ДПФ.

3.2. Многомерный поразрядный метод вычисления ДПФ.

3.3. Выбор параметров устройств поразрядного вычисления ДПФ.

3.4. Интерактивный синтез устройств ПДПФ.

ВЫВОДЫ.

Глава

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА УСТРОЙСТВ

БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ в СОК.

4.1. Особенности выбора системы модулей для БПФ в СОК.

4.2. Синтез функциональных модулей БПФ в СОК.

4.3. Реализация устройства БПФ в СОК.

4.4. Использование алгоритма индексирования чисел в СОК при разработке устройств спектрального анализа сигналов.

ВЫВОДЫ.

Глава

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ УСТРОЙСТВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ ДЛЯ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В ПСС И СОК ПРИ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ

НА СОВРЕМЕННЫХ СИГНАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОРАХ.

5.1. Анализ эффективности синтеза устройств ВТ для ЦОС в ПСС и СОК на ЦСП.

5.2. Решение задачи оптимального интерактивного синтеза устройств ЦОС в СОК на ЦСП.

5.3. Влияние формы аппроксимации АЧХ, типа и параметров фильтров на значения показателей эффективности синтеза ЦФ в СОК.

5.4. Моделирование реализации составного БПФ в СОК с применением алгоритма Гуда.

ВЫВОДЫ.

Глава

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ ДЛЯ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

И СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА В СОК.

6.1. Программный модуль моделирования БПФ.

6.1.1. Описание генератора сигналов и модели АЦП.

6.1.2. Вычисление БПФ в ПСС и СОК на процессоре ADSP-TS 001-Tiger SHARC™.

6.1.3. Результаты тестовых испытаний.

6.2. Разработка программного комплекса интерактивного синтеза поразрядных устройств ДПФ в СОК.

6.3. Программный модуль синтеза устройств спектрального анализа с индексированием данных в СОК.

6.4. Программный комплекс интерактивного синтеза устройств БПФ в СОК.

6.4.1. Пути компьютерного синтеза БПФ в СОК.

6.4.2. Описание программы моделирования.

6.4.3. Список требуемых файлов и необходимых ресурсов.

6.4.4. Руководство программиста.

6.4.5. Основные результаты работы программы.

6.4.6. Программный комплекс синтеза спецпроцессора БПФ.

6.5. Программная реализация КИХ-фильтра с индексированием данных в СОК.

6.6. Программный модуль интерактивного синтеза ЦФ в СОК.

6.7. Разработка конфигурационного файла для реализации ДПФ в СОК на ПЛИС.

ВЫВОДЫ.

Настоящий период развития вычислительной техники (ВТ) характеризуется интенсивным поиском новых принципов обработки и хранения информации, построения вычислительных архитектур и систем с привлечением современных технологий, среди которых одной из наиболее востребованных является цифровая обработка сигналов (ЦОС). Благодаря достижениям в области микроэлектроники и информационных систем ЦОС успешно применяется для фильтрации и кодирования речевых и звуковых сигналов, обработки изображений и измерительной информации, спектрального анализа цифровой звуко- и видеозаписи в радиотехнических системах и системах телекоммуникаций, управления и робототехники, защиты информации в таких областях как связь, мультимедиа, телефония и телевидение, радиолокация и радионавигация, гидроакустика, медицина и т.д. Для всех областей применения ЦОС характерно наличие масштабных объемов вычислений над массивами данных большой разрядности, проводимых в реальном времени и выполнение которых невозможно без использования средств вычислительной техники, обладающих высокой производительностью и надёжностью. Стремление к улучшению энергетической эффективности и универсальности устройств ЦОС приводит к усложнению вычислительных алгоритмов, обострению проблемы аппаратурных затрат, быстродействия и точности и повышению требований к отказоустойчивости устройств и помехоустойчивости каналов связи при передаче данных.

Создание одного за другим нескольких поколений цифровых сигнальных процессоров (ЦСП, DSP/ Digital Signal Processor) от TMS320C10 до ADSP-TS 001- Tiger SHARCrM привело к улучшению качества вычислительных алгоритмов за счёт использования гарвардской архитектуры, конвейеризации процесса, сокращения командного цикла, аппаратного ускорения сложных вычислительных инструкций, значительного расширения набора команд. Современные DSP характеризуются высокой тактовой частотой (1 ГГц и выше), МНОГОЯДерНОСТЬЮ, наличием двухуровневС^ь».^^ вершенствования цифровых процессоров сигн усложнению ИХ схем И необходимости ВЫСОКО!^ эффективное использование указанных особевг рошем знании архитектуры и системы команд ра. Используемые повсеместно многопроцессо (МВС) имеют высокие теоретические показах-сти. Однако при решении многих практическ тельность не всегда отвечает требованиям разр> вых устройств. Дальнейшее повышение прс^ъ ЦСП ограничено уровнем интеграции микро достижимой для используемой технологии Исследования отечественных и зарубежных у^ работки данных большой и сверхбольшой ин^^ онная позиционная система счисления (ПСС) построения высокоскоростных вычислитель^^-DSP двоичной арифметики, во-первых, при^«^ операндов, что не снижает аппаратурные чивость без специальных приложений; во-втег^ кэш-памяти и т.д. Эти усолов привели к значительному квалификации разработчиков: остей DSP возможно при хо-^ждого конкретного процессо-™e вычислительные системы пиковой пР°Изводительно-3адач их реальная производи- оотчиков современных цифро--*зводительности современных ^ем и близко к теоретически ^производства элементной базы. ых показали, что в случае об-^рмационной ёмкости традици-^черпала свои возможности для —IX структур. Использование в к увеличению разрядности Ты и не улучшает отказоустой-bix, делает желательным наличие режима с плавающей запятой, что потенхд^-

Сально уменьшает быстродейстя преобразования целых чисел ъкже может привести к потере разномасштабными величинамивие, так как требует введения лишних циклов в числа с плавающей запятой и наоборот, точности при компьютерных вычислениях с в-третьих, не снижает стоимость устройства.

Альтернативу использованию ЦСП пре^ гические интегральные схемы (ПЛИС). Диналч^п^-тектура ПЛИС, подстраиваемая под инфоргуг кретной, решаемой в текущий момент времеї^^^ высокой производительности, чем в сигналь^ товой частотой, за счёт более эффективной лоставляют программируемые -*Чески реконфигурируеми архи-онную структуру Калодой кон задачи, позволяет достичь более ** процессоре с соизмеримой так-^ютехнической реализации.

Анализ известных подходов, используемых при разработке высокопроизводительных вычислительных структур, показывает, что характерным для них является широкое применение различных форм параллельной обработки, а исследования отечественных и зарубежных учёных указывают на целесообразность применения теории чисел для целей кодирования информации. Таким образом, основная идея состоит в распараллеливании обрабатываемой информации в независимых каналах, количество и характеристики которых связаны с числовым диапазоном и точностью вычислений.

В связи с вышеизложенным, особую актуальность приобретают исследования в области одного из направлений развития параллельных вычислительных технологий, связанные с разработкой методов, алгоритмов и устройств вычислительной техники для цифровой обработки сигналов с применением непозиционных систем счисления, наиболее перспективной из которых является система счисления в остаточных классах (СОК), обладающая высоким уровнем естественного параллелизма при выполнении арифметических операций; следствием чего является увеличение быстродействия всего устройства, высокая точность, надёжность, способность к самокоррекции: аппарат СОК обладает уникальными свойствами автоматического обнаружения и коррекции ошибок, что позволяет эффективно использовать его для построения отказоустойчивых систем. Суть СОК состоит в представлении целого числа в виде упорядоченного набора неотрицательных вычетов по группе взаимно простых оснований (модулей), причем арифметические операции сложения, вычитания и умножения выполняются уже с этими вычетами меньшей разрядности независимо друг от друга и без межразрядных переносов.

Известна высокая помехоустойчивость каналов связи при передаче двоичных данных в формате СОК, связанная с устойчивостью кода в остатках к пакетам ошибок (происходит ошибочный приём лишь одного из вычетов), который при аналогичной ситуации с позиционным кодом приводит к полной потере информационного сообщения. Одно из важнейших преимуществ кода СОК - его арифметичность: ни одна из позиционных систем не позволяет находить и, тем более, исправлять ошибки в процессе выполнения арифметических операций.

Важным преимуществом СОК является и то, что небольшая разрядность оснований системы обеспечивает возможность реализации табличного выполнения модульных операций, причём в качестве операций могут выступать не только элементарные (сложение, умножение и т.п.), но и сложные функции, при вычислении которых используются немодульные операции. Это свойство СОК ставит её вне конкуренции по производительности решения определённых задач перед любыми позиционными системами.

Специфика системы вычетов такова, что ошибка в каком-либо одном разряде не распространяется на другие. Таким образом, появляется возможность выполнения контроля результатов не каждой операции (как в позиционных системах), а только в некоторых, заранее выделенных контрольных точках вычислительного процесса в целом.

Уникальной особенностью средств ЦО, использующих в архитектуре и алгоритмах функционирования СОК, является небольшой, по сравнению с другими методами, рост аппаратурных затрат при достижении предельного для используемой технологии изготовления микросхем уровня производительности.

Большой вклад в развитие теории СОК внесли отечественные учёные: И.Я. Акушский, В.М. Амербаев, О.Д. Жуков-Емельянов, В.П. Ирхин, Е.К. Лебедев, М.В. Синьков, A.M. Стемпковский, Ю.А. Стрекалов, В.А. Торгашев, O.A. Финько, Н.И. Червяков, Г.Э.Широ, Д.И. Юдицкий и др., а также зарубежные: S.R. Barraclough, М. Sotheran, G.C. Cardarilli, A. Nannarelli, М. Re и др. В настоящее время отдельные элементы СОК, такие как модулярные сумматоры и умножители находят широкое применение в криптографии. Также сущее-ствуют вычислительные системы на БИС, использующие кодирование в остатках [178]. f V" ~ ^

Необходимо отметить, что структура устройств ЦОС в СОК имеет ряд неоспоримых преимуществ перед традиционной при её реализации "в интегральном исполнении типа «система на кристалле^имеющих важное значение при разработке высокопроизводительных систем, функционирующих в реальном времени [157]. Во-первых, независимость каналов СОК друг от друга свидетельствует о возможности существования гибкости при планировке и топологическом проектировании кристалла БИС. Во-вторых, устройства в СОК, синтезированные на основе БИС с программируемой структурой, которые, как известно, обладают меньшими вентильными ресурсами, могут размещаться на нескольких кристаллах, а также легко перепланироваться.В-третьих, возможно существенное уменьшение длины межсоединений в связи с нахождением трасс внутри отдельных вычислительных каналов и, как следствие, сокращение потребляемой мощности и задержек сигнала по критическим путям.И, наконец, отсутствие жёстких требований по синхронизации между каналами СОК (исключение составляют вход и выход каналов), что приводит к меньшей расфазировке цепей тактовых частот, т.е. уменьшению разности времени распространения сигналов между отдельными линиями передач в составе многоразрядной шины, и упрощению трассировки цепей.

Период от начала исследований СОК до последующего развития приложений этой системы в рамках информационных технологий насчитывает уже несколько десятилетий, однако в существующих работах недостаточное внимание уделено проблемам практического внедрения СОК, в частности, в ЦОС. Поэтому решение проблем аппаратурной реализации алгоритмов цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов в СОК является актуальной задачей, а структура устройств ЦОС в СОК имеет ряд неоспоримых преимуществ при её реализации в интегральном исполнении.

В связи с вышеизложенным, большой научный интерес представляет разработка методов и алгоритмов ЦОС в СОК, синтез высокоскоростных параллельных структур на их основе и поиск эффективных методов анализа качества полученных схемотехнических решений.

Объектом исследования являются методы, алгоритмы и устройства вычислительной техники для кодирования, цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов.

Предметом исследования являются методы синтеза и анализа устройств цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов в СОК.

Целью диссертационной работы является повышение быстродействия цифровых устройств обработки сигналов за счет применения СОК при разработке аппаратурных методов реализации алгоритмов ЦОС.

Научная проблема заключается в теоретическом обосновании и разработке методов, алгоритмов и устройств вычислительной техннки для цифровой обработки сигналов средствами системы остаточных классов.

Для достижения поставленной цели научного исследования в диссертационной работе решены следующие основные задачи:

- сделан аналитический обзор устройств шифрования/дешифрования двоично-кодированных данных в СОК;

- предложен метод поразрядного вычисления ДПФ (ПДПФ) для спектральной обработки сигналов; разработаны и исследованы высокоэффективные вычислительные алгоритмы ПДПФ и проведен интерактивный синтез устройств на их основе;

- получены и исследованы быстрые алгоритмы Фурье-преобразования в СОК, учитывающие свойства целых чисел в коммутативном кольце вычетов, разработаны схемы их технической реализации; проведена оценка точности алгоритмов и ошибок округления в них и проанализированы пути повышения эффективности вычислений;

- разработаны аппаратурные методы синтеза цифровых фильтров с импульсными характеристиками конечной длины (КИХ-фильтров) и с бесконечными импульсными характеристиками (БИХ-фильтров) в СОК, получены новые и модернизированы известные технические решения при их реализации в СОК, обеспечивающие повышение быстродействия и отказоустойчивости и сокращение аппаратурных затрат;

- исследованы возможности реализации устройств ЦОС в СОК на современных сигнальных процессорах;

- проведено компьютерное моделирование устройств вычислительной техники для цифровой фильтрации и спектрального анализа в СОК.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовался аппарат математического анализа, математическая логика, теория алгоритмов, алгебраическая теория целых чисел, теория автоматов, теория дискретного преобразования Фурье и его быстрых разновидностей, теория вероятностей, методы математического и имитационного моделирования.

Научная новизна полученных результатов.

1. Развиты аппаратурные методы синтеза устройств вычислительной техники для ЦОС в системе остаточных классов и обобщены результаты анализа их эффективности.

2. Впервые предложен метод поразрядного вычисления ДПФ и разработаны устройства ГТДПФ на его основе.

3. Разработаны алгоритмические методы, обеспечивающие наиболее эффективное быстрое спектральное преобразование сигналов в СОК. Проведен синтез функциональных модулей быстрого преобразования Фурье (БПФ) в СОК и предложены схемы аппаратной реализации БПФ в СОК с заданными свойствами. Синтезированы и оценены устройства БПФ, использующие индексирование данных в СОК и не содержащие умножителей.

4. Предложены пути решения проблемы реализации алгоритмов ЦОС в СОК на современных сигнальных процессорах с учетом особенностей СОК.

5. Синтезированы схемы КИХ- и БИХ-фильтров в СОК, характеризующиеся повышенным быстродействием. С целью сокращения аппаратурных затрат устройств ВТ для ЦОС предложены схемы цифровых фильтров (ЦФ) с использованием модульных и немодульных операций СОК. Рассмотрены вопросы разработки отказоустойчивых ЦФ-СОК в связи с многоканальностыо обработки сигналов в СОК и ЦФ с использованием теории индексов для обеспечения необходимого быстродействия. Проведен анализ ошибок округления весовых коэффициентов цифровых фильтров в СОК. Рассмотрены и обобщены теоретические аспекты исследования характеристик цифровых устройств ВТ для обработки сигналов, кодированных в ПСС и СОК.

6. В подтверждение проведенных теоретических исследований аппаратурных методов реализации алгоритмов ЦОС в СОК, предложенных в диссертационной работе, проведен программный синтез разработанных на их основе устройств цифровой фильтрации и спектрального анализа.

Новизна технического решения и приоритет направления исследования подтверждается авторским свидетельством.

Обоснованность и достоверность полученных результатов определяется применением известных теоретических положений фундаментальных наук, использованием классических методов анализа и моделирования сигналов, корректностью используемых моделей и их адекватностью реальным физическим процессам, совпадением теоретических результатов с данными экспериментов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы синтеза алгоритмов и устройств поразрядного вычисления ДПФ (ПДПФ) и программное обеспечение для интерактивного синтеза разработанных схем.

2. Алгоритмы реализации быстрого преобразования Фурье в СОК, синтез функциональных модулей ВТ для реализации базовых операций БПФ в СОК и многоканального устройства БПФ-СОК на их основе.

3. Методы разработки КИХ- и БИХ-фильтров вычислительных цифровых устройств в СОК и анализ полученных результатов их быстродействия и аппаратурных затрат.

4. Результаты исследования аппаратурной реализации алгоритмов цифровой фильтрации и спектрального анализа в СОК на современных сигнальных процессорах.

5. Методика и результаты программного синтеза разработанных устройств ВТ для цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов и их тестовых испытаний.

Практическая ценность заключается в использовании результатов исследований при проектировании современных высокопроизводительных вычислительных структур цифровой фильтрации и спектрального анализа. Применение предложенных в диссертационной работе методов поразрядной спектральной обработки цифровых сигналов и корреляции величины модулей СОК со значениями весовых коэффициентов ЦФ и БПФ при создании спецпроцессоров ЦОС позволило обеспечить существенное увеличение быстродействия и уменьшение аппаратурных затрат, минимальные ошибки округления, являющихся основными показателями качества устройств ЦОС. Полученные в процессе исследования результаты расширяют возможности использования СОК при проектировании отказоустойчивых систем, а проведенный программный синтез разработанных устройств ВТ для цифровой фильтрации и спектрального анализа сигналов служит эффективным практическим средством выбора параметров этих систем и отдельных элементов устройств.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты диссертации использовались при выполнении НИР: «Исследование и разработка принципов построения программируемых вычислительных систем обработки радиолокационных сигналов» (отчет деп. в ВИНИТИ, № 0287.0025455); «Методология проектирования специализированных микропроцессорных систем с эффективными алгоритмами. Аппаратная реализация мультипроцессорной непозиционной МПС обработки сигналов. Создание пакета функциональных программ» (отчет деп. в ВИНИТИ, № 0286.064966); «Разработка и исследование микропроцессорных систем сбора, обработки и регистрации данных» (отчет деп. в ВИНИТИ, № 0289.0001798); «Разработка методологии проектирования специализированных микропроцессорных систем с эффективными алгоритмами. Построение и анализ вычислительных теоретико-числовых алгоритмов обработки сигналов» (отчет деп. в ВИНИТИ, № 0287.0067112); «Разработка и исследование оптимальных алгоритмов интеллектуального интерактивного абонентского доступа по гибридным сетям ЦСИО» по единому заказ-наряду Министерства образования и науки Российской Федерации (1999-2000 гг.). Тематика научных исследований, выполненных в диссертации, связана с грантом Министерства образования и науки РФ в рамках Тематического плана «Исследование оптимальных алгоритмов интеллектуального абонентского доступа по гибридным сетям региональных систем ЦСИО».

Основные положения диссертационной работы внедрены и использованы в рамках выполняемых научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ в ЗАО «РАДИЙ ТН» (г. Москва), ОАО «Концерн НИИ "ЭЛЕКТРОПРИБОР"» (г. Санкт-Петербург), ЗАО СКВ «Хроматэк» (г. Йошкар-Ола) и Санкт-Петербургском филиале Учреждения РАН «Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН» (СПбФ ИЗМИР АН), что подтверждено соответствующими актами.

Научные и практические результаты работы используются в учебном процессе на кафедре информационно-вычислительных систем Марийского государственного технического университета и кафедре математического и аппаратного обеспечения информационных систем Чувашского государственного университета для студентов по специальности 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» направления «Информатика и вычислительная техника».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных конференциях «Перспективные технологии в средствах передачи информации» (г. Владимир, 1995 г.), «Радиолокация, навигация, связь» (г. Воронеж, 2000 г.) и «Та-тищевские чтения: актуальные проблемы науки и техники» (г. Тольятти, 2010 г.), на всесоюзных конференциях «Микропроцессоры-85» (г. Зеленоград, 1985 г.), «Информационно-измерительные системы-93» (г. Куйбышев, 1993 г.), на всероссийских конференциях «Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике» (г.Чебоксары, 1996, 2000, 2004 г.), «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем» (г. Чебоксары, 1997, 1999, 2001, 2003 гг.), «Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе (Информационные технологии 2010)» (г. Йошкар-Ола, 2010 г.), а также на республиканских и университетских научно-технических конференциях в г. Йошкар-Оле в 19831997 гг. и в г. Чебоксары в 1997-2010 гг. Результаты диссертационной работы были доложены на научном семинаре на кафедре компьютерных систем Казанского государственного технического университета имени А.Н. Туполева.

Публикации. По результатам выполненных исследований по теме диссертации опубликована 51 научная работа, в том числе: 1 монография,

17 статей в научных журналах и сборниках, из них 10 в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских диссертаций, 1 авторское свидетельство СССР на изобретение, а также 3 статьи (общим объемом 178 страниц) и 6 отчетов по НИР. депонированных в ВИНИТИ.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 205 наименований. Материал изложен на 268 страницах текста компьютерной верстки, в том числе основной текст - на 231 странице. Работа содержит 111 рисунков и 27 таблиц.

ВЫВОДЫ

1. Проведенные тестовые испытания вычисления преобразования Фурье на современном процессоре Analog Devices ADSP TigerSHARC-101 показали, что меньшее количество циклов затрачивается на БПФ в ПСС, но без учета возможного переполнения в результате операции, что оправдано только при очень небольшом динамическом диапазоне сигналов и поэтому не подходит для наиболее распространенных практических случаев ЦОС. Во всех остальных случаях реализация БПФ в СОК выигрывает по быстродействию у БПФ в ПСС.

2. Разработанный программный комплекс интерактивного синтеза поразрядных устройств ДПФ позволяет вычислять в диалоговом режиме значения коэффициентов ПДПФ, оценивать аппаратурные затраты устройства и, по желанию пользователя, изменять тип используемого 11113У и выводить на экран монитора его функциональную схему.

3. Разработан программный комплекс, в котором моделируются алгоритмы цифровой фильтрации в ПСС и СОК и составного БПФ, использующего алгоритм Гуда. Комплекс позволяет в процессе моделирования подобрать конкретную систему модулей СОК, а также выбрать алгоритм шифрования данных в случае, когда БПФ-СОК является эффективной процедурой с точки зрения числа выполняемых арифметических операций и числа ненулевых цифр в разрядах числа в СОК.

Проведена оценка погрешности спектрального анализа при нулевизации чисел входного потока данных. Кроме того, вычислены системы модулей, при которых показатель эффективности синтеза Кор, БПФ-СОК может достигать значений 0,9-0,95.

На основании оптимизированных параметров БПФ в СОК программа вырабатывает в интерактивном режиме системные параметры, в соответствии с которыми возможна программная или аппаратурная реализация БПФ на современных спецпроцессорах. Исследования показали, что БПФ в СОК имеет весомые преимущества перед традиционным БПФ в ПСС как по аппаратурным затратам, так и по быстродействию. При этом среднеквадратиче-ские значения погрешности выполнения спектральных преобразований не выходят за пределы заданных.

4. Результаты проведенного моделирования вычислений БПФ с индексированием данных в СОК в интегрированной среде программирования Ма&аЬ подтвердили преимущества последних в быстродействии по сравнению с традиционными позиционными устройствами: выигрыш заметен начиная уже с 512-точечного ДПФ.

5. Программа эмуляции ЦФ в СОК с применением теории индексов носит интерактивный характер. Она предоставляет пользователю возможность выбора числа каналов обработки сигналов и значений модулей в СОК из предложенных программой; вычисляет индексы и антииндексы, а алгоритм схемы восстановления результата соответствует китайской теореме об остатках.

6. Разработан программный модуль интерактивного синтеза КИХ- и БИХ-фильтров в СОК по заданным параметрам: уровню АЧХ на частотах среза и задержания, порядку и типу ЦФ. Программа позволяет получить заданную структуру фильтров в СОК различного типа: модули СОК, число каналов обработки сигналов, весовые коэффициенты в СОК. Программно реализованная методика оптимизации ЦФ в СОК, упрощающая или исключающая отдельные весовые коэффициенты по цепям прямых и обратных связей, обеспечила значительное сокращение аппаратурных затрат и увеличение быстродействия.

7. Разработан конфигурационный файл для реализации ДПФ в СОК на ПЛИС Altera Cyclone II в среде Altera Quartus II. Для задания модулей проекта в IDE Quartus использовались различные способы: некоторые модули в проекте написаны на языке описания аппаратуры Verilog, а другая часть модулей реализована в виде принципиальной схемы в блочном редакторе Quartus II. Оценка работы осуществлялась по результатам моделирования непосредственно в системе Altera Quartus II. Была проведена оценка временных затрат аппаратурного выполнения преобразования Фурье (ПФ) в ПСС и СОК, по результатам которой построена диаграмма сравнения продолжительности выполнения TV-точечного БПФ для ПЛИС и DSP.

208

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным результатом диссертационной работы является решение крупной научной проблемы, имеющей важное хозяйственное значение и заключающейся в разработке теоретических основ, алгоритмов и цифровых устройств вычислительной техники для обработки сигналов, обладающих повышенным быстродействием, средствами системы остаточных классов, в развитии аппаратурных методов синтеза устройств ЦОС в СОК и обобщении результатов анализа их эффективности. При проведении теоретических и практических исследований по тематике диссертации получены следующие научные и практические результаты:

1. Предложен метод поразрядного вычисления ДПФ для спектрального анализа сигналов; разработан алгоритм одномерного ПДПФ, предоставляющий возможность использовать табличные процессоры и выполнять большинство арифметических операций на этапе проектирования и, как следствие, увеличить быстродействие устройств вычислительной техники для спектрального анализа примерно в 2 раза по сравнению с БПФ. Для числа отсчетов больше 512 разработаны высокоэффективные алгоритмы многомерных ПДПФ и представлены схемы их технической реализации. Решена задача выбора параметров ПДПФ по критерию минимума совокупности аппаратурных и временных затрат. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для интерактивного синтеза устройств ПДПФ, позволяющие программировать ПЗУ, ПЛМ (ПЛИС) в диалоговом режиме в соответствии с синтезируемым алгоритмом и повысить быстродействие и точность вычислений, а также уменьшить аппаратурные затраты и ошибки округления.

2. Получены алгоритмы реализации БПФ в СОК и даны рекомендации по выбору и оптимизации системы модулей для процессоров БПФ в СОК. Синтезированы функциональные модули вычислительной техники в СОК для практической реализации базовых операций БПФ в СОК. Разработано и исследовано устройство БПФ-СОК, отличающееся более высоким быстродействием по отношению к классическим схемам, что подтверждено проведенным компьютерным моделированием. Предложен алгоритм индексирования чисел для случаев произвольно больших модулей, что ослабляет зависимость числа каналов СОК от максимального результата, снижает аппаратурные затраты и увеличивает отказоустойчивость и быстродействие БПФ в СОК: время вычисления БПФ сокращается в 2 раза и более. На основе разработанного алгоритма синтезированы программные модули индексных устройств вычислительной техники для спектрального анализа.

3. Разработаны методы синтеза устройств вычислительной техники для цифровой фильтрации в СОК. Даны рекомендации по предварительному выбору системы модулей и числа каналов СОК ЦФ. Синтезированы функциональные узлы фильтров в СОК, характеризующиеся повышенным быстродействием. Показана необходимость использования модульных и немодульных операций при построении ЦФ в СОК для дополнительного сокращения аппаратурных затрат и увеличения быстродействия и разработаны их упрощенные вычислительные алгоритмы. Разработаны комбинационные операционные схемы вычислительной техники, позволившие совместить основные операции фильтрации в СОК, что привело к сокращению затрат на 14%. На основе таких схем построены цифровые фильтры с минимальными аппаратурными затратами. С целью повышения быстродействия предложена схема ЦФ, основанная на алгоритме индексирования данных в СОК, с минимальным количеством каналов, не содержащая умножителей. Разработаны устройства вычислительной техники для ЦФ в СОК, обеспечивающие высокую отказоустойчивость при минимальных вычислительных затратах. Представлен сравнительный анализ энергетических характеристик ЦФ в ПСС и ЦФ-СОК. В результате исследований определен относительный выигрыш по совместной оценке временных и аппаратурных затрат ЦФ-СОК по сравнению с ЦФ в ПСС, который составил 40-60%.

4. Проведен аналитический обзор существующих устройств шифрования/дешифрования двоично-кодированных данных в СОК. Приведена оценка аппаратурных затрат для различных предлагаемых вариантов шифраторов системы остаточных классов. Минимум таких затрат обеспечивают логические шифраторы при разделении входных данных на равные группы. В этом случае аппаратурные затраты, выражаемые количеством двухвходовых логических элементов, колеблются от 211 для 5 до 372 для А7^ =61, а при использовании опорной схемы - от 174 до 243 соответственно. Оценки аппаратурных затрат и быстродействия различных схемотехнических решений шифраторов сигналов в СОК могут быть использованы при выборе рациональных архитектур ЦФ в системе остаточных классов.

5. Исследована и обоснована возможность реализации алгоритмов цифровой фильтрации и спектрального анализа в СОК на современных сигнальных процессорах. В этом случае достигается выигрыш алгоритмов ЦОС в СОК по быстродействию, аппаратурным затратам, ошибкам округления и отказоустойчивости при условии проведения оптимизации алгоритмов цифровой фильтрации и Фурье-преобразования в СОК с использованием предложенного метода корреляции величины модулей со значениями весовых коэффициентов.

6. Разработан интерактивный программный комплекс моделирования ЦФ и БПФ в ПСС, ЦФ-СОК и БПФ-СОК, ПДПФ и составного БПФ-СОК, использующего алгоритм Гуда; проведено сравнение полученных результатов и даны рекомендации к практическому применению алгоритмов ЦОС в СОК. Применение СОК позволило сократить количество процессорных циклов на вычисление БПФ на 10% и более, а последующее использование метода корреляции модулей и весовых коэффициентов привело к дальнейшему существенному сокращению числа умножений и сложений (в некоторых случаях до 90% операций), что значительно повышает быстродействие и снижает аппаратурные затраты вычислительных устройств для ЦОС в СОК.

Основные положения диссертационной работы использованы в рамках выполняемых НИР и ОКР, что подтверждено соответствующими актами. Новизна разработанного устройства для дискретного двумерного преобразования Фурье защищена авторским свидетельством.

1. Адаптивные фильтры / пер. с англ.; под ред. К.Ф. Коуэна и М. Гранта. -М.: Мир, 1988.-392 с.

2. Акушский, И .Я. Машинная арифметика в остаточных классах / И.Я. Акушский, Д.И. Юдицкий. М.: Сов. радио, 1968. - 440 с.

3. Алексенко, А.Г. Микросхемотехника: учеб. пособие для вузов/

4. A.Г. Алексенко, И.И. Шагурин. М.: Радио и связь, 1982. - 416 с.

5. Амербаев, В.М. Анализ эффективности реализации модульных операций индексной модулярной арифметики / В.М. Амербаев, Д.Б. Малаше-вич // Известия ВУЗов. Электроника. 2009, № 6(80). - С. 13-18.

6. Амербаев, В.М. Быстродействующий согласованный фильтр, построенный по модулярному принципу / В.М. Амербаев, А.Л. Стемпковский, Г.Э. Широ // Информационные технологии. 2004. - № 9. - С. 5-12.

7. Амербаев, В.М. Теоретические основы машинной арифметики /

8. B.М. Амербаев. Алма-Ата: Наука, 1976. - 196 с.

9. Бакулев, П.А. Радиолокация движущихся целей / П.А. Бакулев. М.: Сов. радио, 1964.-264 с.

10. Белов, Г.А. Сигналы и их обработка в электронных устройствах: учеб. пособие / Г.А. Белов. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1996. - 376 с.

11. Бишофбергер, Т. Последняя миля / Т. Бишофбергер // Connect. -1997.-№4.-С. 80-84.

12. Блейхут, Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: пер. с англ. / Р. Блейхут. -М.: Мир, 1989. 448 с.

13. Бовбель, Е.И. Ошибки цифровых систем, основанных на вычислении ДПФ / Е.И. Бовбель, Е.М. Зайцева, В.И. Микулович // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. - № 5. - С. 3-25.

14. Боккер, П. ISDN. Цифровая сеть с интеграцией служб: пер. с нем. / П. Боккер. М.: Радио и связь. 1991. - 304 с.

15. Быков, В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике / В.В. Быков. -М.: Сов. радио, 1971.- 127 с.

16. Вариченко, JI.B. Цифровая фильтрация случайных сигналов с использованием теоретико-числовых преобразований / Л.В. Вариченко, Р.Б. Попович, М.А. Раков // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1958.- № 12.-С. 36-40.

17. Галанина, H.A. Анализ непозиционных цифровых фильтров по квазипозиционной модели / H.A. Галанина // Вестник Чувашского университета. 2000.-№ 3-4. - С. 116-121.

18. Галанина, H.A. Аппаратные средства и математическое обеспечение информационно-измерительных комплексов обработки сигналов / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев, В.И. Мясников, C.B. Старыгин, М.И. Морозов // Деп. в ВИНИТИ, 1986. Инв. № 0286.0035351.- 119 с.

19. Галанина, H.A. Выбор формы кодированного импульсного сигнала в непозиционных устройствах абонентского доступа / H.A. Галанина // Вестник Чувашского университета. 2008. - № 2. - С. 168-175.

20. Галанина, H.A. Выравнивание частотных характеристик цифровых фильтров / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев, А.Г. Матюшов, Г.Е. Егоров // Вестник Чувашского университета. 2001. - № 3. - С.79-89.

21. Галанина, H.A. Интерактивный синтез устройств ПДПФ / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев // Деп. в ВИНИТИ. 17.06.86, №4461-В86, 1986. 64 с.

22. Галанина, H.A. Методы синтеза цифровых фильтров в системе остаточных классов / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина, O.E. Давыдов, Г.Е. Егоров // Вестник Чувашского университета. 2000. - № 3-4. - С. 145-156.

23. Галанина, H.A. Моделирование оптимальных алгоритмов быстрого преобразования Фурье и их сравнительный анализ / H.A. Галанина, А.Д. Ефимов // Вестник Чувашского университета. 2009. - № 2. - С. 200-209.

24. Галанина, H.A. Непозиционные алгоритмы и устройства цифровой фильтрации и спектрального анализа / H.A. Галанина. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009.-208 с.

25. Галанина, H.A. Особенности синтеза цифровых фильтров в СОК / H.A. Галанина // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы III Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000. - С. 246-249.

26. Галанина, H.A. Отказоустойчивый фильтр марковских сигналов/ H.A. Галанина, H.H. Иванова, М.В. Спиридонов // Вестник Чувашского университета. 2008. - № 2. - С. 175-180.

27. Галанина, H.A. Помехоустойчивость, конфиденциальность и отказоустойчивость сообщений в абонентских системах непозиционного типа/ H.A. Галанина, H.H. Иванова // Вестник Чувашского университета. 2007. -№2.-С. 161-166.

28. Галанина, H.A. Реализация блоков шифрации и дешифрации сигналов в непозиционных устройствах ЦОС / H.A. Галанина, H.H. Иванова, A.A. Иванов // Вестник Чувашского университета. 2007. - № 2. - С. 166-173.

29. Галанина, H.A. Синтез адаптивных мультипроцессорных вычислительных структур обработки сигналов: отчет по НИР / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев, В.И. Мясников, C.B. Старыгин// Деп. в ВИНИТИ, 1986. Инв. № 02860031315.-89 с.

30. Галанина, H.A. Синтез нерекурсивных цифровых фильтров в системе остаточных классов / H.A. Галанина // Вестник Чувашского университета. -2009.-№2.-С. 193-200.

31. Галанина, H.A. Синтез функциональных модулей БПФ в СОК/ H.A. Галанина // Вестник Чувашского университета. 2005. - № 2. - С. 124-127.

32. Галанина, H.A. Спектральный анализ в коммутативном кольце вычетов / H.A. Галанина, Е.К. Лебедев // Деп. в ВИНИТИ, № 4111-В86, 1986. 72 с.

33. Галанина, H.A. Сравнительный анализ энергетических характеристик позиционных и непозиционных фильтров / H.A. Галанина // Вестник Чувашского университета. 2006. - № 2. - С. 335-340.

34. Гоулд, Б. Цифровая обработка сигналов: пер. с англ. / Б. Гоулд, Ч. Рейдер; под ред. A.M. Трахтмана. -М.: Сов. радио, 1973. 368 с.

35. Гуткин, Л.С. Теория оптимальных методов радиоприёма при флюк-туационных помехах / Л.С. Гуткин. М.: Сов.радио, 1972. - 448 с.

36. Давыдов, O.E. Разработка и исследование шифраторов и цифровых фильтров для абонентской связи в системе остаточных классов: дис. . канд. техн. наук / O.E. Давыдов. Чебоксары, 2000. - 153 с.

37. Демидов, В.М. Стандарт сотовой связи CDMA / В.М. Демидов и др. // Вестник связи. 1997. - № 7. - С. 50-53; № 8. - С. 49-51.

38. Ершов, В.А. Телекоммуникационные сети тенденции развития/ В.А. Ершов, Э.Б. Ершова, H.A. Кузнецов // Труды международной академии связи. - 1997. - № 4. с. 2-9.

39. Ершов, В.А. Теоретические основы построения цифровой сети с интеграцией служб (ISDN) / В.А.Ершов, Н.А.Кузнецов. М.: Институт проблем передачи информации РАН, 1995. 280 с.

40. Жуков, О.Д. Параллельный метод преобразования чисел из системы вычетов в систему со смешанными основаниями / О.Д. Жуков // Фундаментальная и прикладная математика. 2002. - Т. 8. Вып. 2 (2002). - С. 611-615.

41. Жуков, О.Д. Компьютерные технологии для модулярной арифметики / О.Д. Жуков // Информационные технологии. 2003. - № 6. - С. 25-28.

42. Жуков, О.Д. Коррекция двойных ошибок и обнаружение многократных ошибок модулярных вычислений / О.Д. Жуков // Информационные технологии. 2002. - № 7. - С. 15-20.

43. Жуков, О.Д. Метод модулярного деления чисел большой длины / О.Д. Жуков // Информационные технологии. 2006. - № 2. - С. 30-33.

44. Жуков, О.Д. Методы контроля ошибок для модулярных вычислений / О.Д. Жуков // Информационные технологии. 2003. - № 2. - С. 33-39

45. Жуков, О.Д. Обнаружение и коррекция ошибок компьютерных вычислений на основе модулярной алгебры / О.Д. Жуков // Информационные технологии. 2002. - № 6. - С. 15-24.

46. Жуков, О.Д. Обработка числовых данных с повышенной точ но-стью в модулярной алгебре / О.Д. Жуков // Информационные технологии. -2004.-№2.-С. 10-15.

47. Жуков, О.Д. Самоконтролирующий метод вычисления свертки / О.Д. Жуков // Информационные технологии. 2002. - № 2. - С. 15-19.

48. Жуков, О.Д. Цифровая обработка сигналов в системе вычетов / О.Д. Жуков // Информационные технологии. 2005. - № 5. - С. 5-13.

49. Жуков, О.Д. Численные процедуры в компьютерной модулярной алгебре / О.Д. Жуков // Информационные технологии. 2003. - № 10. -С. 22-26.

50. Жуков-Емельянов, О.Д. Информационные технологии на основе модулярной арифметики / О.Д. Жуков. М.: КРАСАНД, 2010. - 248 с.

51. Зюко, А.Г. Теория электрической связи / А.Г. Зюко и др. М.: Радио и связь, 1998. - 400 с.

52. Информатика: учеб. пособие / авт.-сост. Л.П. Кураков, Е.К.Лебедев, H.A. Галанина. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2007.

53. Информатика: учеб. пособие / авт.-сост. Л.П. Кураков, H.A. Галанина. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2008.

54. Ирхин, В.П. Теоретическое обобщение и разработка методов построения непозиционных модулярных спецпроцессоров: автореф. . докт. техн. наук / В.П. Ирхин. Курск, 1999.

55. Калашников, B.C. Основные виды архитектур модулярных сумматоров для двух операндов / B.C. Калашников // Микроэлектроника и инфор-матика-2004: тезисы докладов XI всерос. межвуз. конф. студентов и аспирантов. М.: МИЭТ, 2004. - С. 217.

56. Каппелини, В. Цифровые фильтры и их применение: пер. с англ. / В. Каппелини, А.Дж. Константинидис, П. Эмилиани. М.: Энергоатомиздат, 1983.-360 с.

57. Кей, С.М. Современные методы спектрального анализа: обзор / С.М. Кей, С.Л. Марпл // ТИИЭР. 1981. Т. 69. - № 11. - С. 5-51.

58. Корнилов, А.И. Методы аппаратной оптимизации сумматоров для двух операндов в системе остаточных классов / А.И. Корнилов // Известия вузов. Электроника. 2004. - № 1. - С. 75-82.

59. Корнилов, А.И. Методы логического синтеза сумматоров с ускоренным переносом по модулю (2п-1) на основе BDD-технологии / А.И. Корнилов, М.Ю. Семенов, Т.Ю. Исаева // Известия ВУЗов. Электроника. 2004. - № 3. -С.65-72.

60. Корнилов, А.И. Особенности построения умножителей по модулю (2п-1) / А.И. Корнилов, М.Ю. Семенов, B.C. Калашников, О.В. Ласточкин // Известия ВУЗов. Электроника. 2006. -№ 1. - С. 55-59.

61. Корнилов, А.И. Принципы построения модулярных индексных умножителей / А.И. Корнилов, М.Ю. Семенов, О.В. Ласточкин // Известия ВУЗов. Электроника. 2004. - № 2. - С. 48-55.

62. Кочеров, A.B. О пригодности телефонных каналов для передачи данных / A.B. Кочеров // Сети и системы связи. 1997. - № 12. - С. 110-116.

63. Крупнов, А.Е. Новые телекоммуникационные технологии в отрасли связи / А.Е. Крупнов, H.A. Соколов // Электросвязь. 1995. - № 11. - С. 71-77.

64. Крупнов, А.Е. Современные телекоммуникационные технологии и услуги в России на рубеже XXI века / А.Е. Крупнов // Труды международной академии связи. 1997. - № 2. - С. 6-8.

65. Кузьмин, С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации / С.З.Кузьмин. М.: Радио и связь, 1986.352 с.

66. Куприянов, М.С. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования / М.С. Куприянов, Б.Ю. Матюшкин. СПб.: Политехника, 1998. - 592 с.

67. Лебедев, Е.К. Адаптивные ИИС, реализующие алгоритмы поразрядной фильтрации / Е.К.Лебедев, H.A. Галанина // ИИС-93: тезисы докл. 6-й Всесоюзн. конф. Куйбышев, 1983. - С. 79.

68. Лебедев, Е.К. Байесовская фильтрация в системе остаточных классов / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина// Деп. в ВИНИТИ. 03.08.89,№ 5258-В89,1989.-42 с.

69. Лебедев, Е.К. Банковские информационные технологии и системы / Е.К. Лебедев, В.Л. Кураков. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1999. - 180 с.

70. Лебедев, Е.К. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / Е.К. Лебедев. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1989. - 192 с.

71. Лебедев, Е.К. Быстрое преобразование Фурье в коммутативном кольце вычетов / Е.К.Лебедев, H.A. Галанина// Микропроцессоры-85: сб. докл. Всесоюзн. конф. Зеленоград, 1985. - С.61-62.

72. Лебедев, Е.К. Видоизмененный алгоритм умножения "1—»3" и его временная сложность / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина // Вестник Чувашского университета. 2002. - № 2. - С. 183-185.

73. Лебедев, Е.К. Вычисление вероятностей переходов для цепей Маркова, аппроксимирующих сигналы в фазовых системах / Е.К. Лебедев,

74. H.A.Галанина, Н.Н.Иванова// Вестник Чувашского университета.- 2001. — № 3. С. 89-100.

75. Лебедев, Е.К. Дисперсия шумов обработки непозиционных сигналов в линейных цепях / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина // Тезисы докл. юбилейной науч. конф. ЧТУ. Чебоксары: Клио, 1997.-С. 171-172.

76. Лебедев, Е.К. Измерение джиттера в системах контроля параметров устройств связи / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина, H.H. Иванова, В.А. Алипов // Вестник Чувашского университета. 2002. - № 2. - С. 202-207.

77. Лебедев, Е.К. Информационные ресурсы и их использование в регионах / Е.К. Лебедев, Л.П. Кураков и др. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 450 с.

78. Лебедев, Е.К. Методы и устройства непозиционной отказоустойчивой обработки сигналов / Е.К. Лебедев // Тезисы докл. на всесоюз. конф. по статистическим методам обработки сигналов. Рига, 1986. - С. 12.

79. Лебедев, Е.К. Методы и устройства поразрядного ДПФ / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина, В.Ю. Лапий // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1985.-№ 8. С.32-36.

80. Лебедев, Е.К. Методы и устройства преобразования фибоначчие-вых модулярных кодов / Е.К. Лебедев, O.A. Финько // Деп. ВИНИТИ 12.11.87. №7994-В87. 27 с.

81. Лебедев, Е.К. Микропроцессорные корреляторы: учеб. пособие / Е.К. Лебедев, В.И. Мясников. Йошкар-Ола: Изд-во МарГТУ, 1996. - 106 с.

82. Лебедев, Е.К. Оптимальные алгоритмы БПФ в СОК / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина // Перспективные технологии в средствах передачи информации: сб. тезисов докл. I Междунар. конф. Владимир: Изд-во Влад. политех, ун-та, 1995.-С. 118-119.

83. Лебедев, Е.К. Оптимизация АЦП в системах с фазовой модуляцией сигналов / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина, Г.Е. Егоров // Электрические аппараты: межвуз. сб. науч. трудов. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1998.-С. 123-128.

84. Лебедев, Е.К. Оценка точности измерения параметров радиолокационных сигналов в СОК / Е.К. Лебедев // 100 лет радио: сб. науч. трудов. -Йошкар-Ола, 1995.-С. 103-109.

85. Лебедев, E.K. Ошибки округления в спецпроцессорах непозиционной обработки сигналов / Е.К. Лебедев // Цифровая обработка многомерных сигналов: материалы Всерос. науч. конф. Йошкар-Ола: Луч, 1996. - С. 98-101.

86. Лебедев, Е.К. Проблемы цифровой обработки сигналов в телекоммуникационных сетях / Е.К. Лебедев // Динамика нелинейных дискретных электрических и электронных систем: материалы II Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1997. - С. 4-8.

87. Лебедев, Е.К. Разработка и исследование микропроцессорных систем сбора, обработки и регистрации данных: отчет по НИР / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина//Деп. в ВИНИТИ, № 0289.0001798, 1989. 162 с.

88. Лебедев, Е.К. Разработка и исследование оптимальных алгоритмов интеллектуального интерактивного абонентского доступа по гибридным сетям региональных систем ЦСИО: отчет по НИР / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина // № 01200101682. Чебоксары, 2001. -25 с.

89. Лебедев, Е.К. Реализация алгоритмов деления в коммутативном кольце целых чисел для спецпроцессоров в СОК / Е.К. Лебедев, М.Ю. Галю-тин // 100 лет радио: сб. науч. трудов. Йошкар-Ола, 1995. - С. 112-116.

90. Лебедев, E.K. Синтез и анализ устройств непозиционной обработки сигналов / Е.К. Лебедев // Тезисы докл. юбилейной науч. конф. ЧТУ. -Чебоксары: Клио, 1997. С. 173-174.

91. Лебедев, Е.К. Синтез нелинейных непозиционных устройств обработки марковских сигналов/ Е.К. Лебедев // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1987. - Т. 30. - № 12. - С.69-72.

92. Лебедев, Е.К. Синтез нерекурсивных непозиционных фильтров СДЦ / Е.К. Лебедев // Цифровая обработка многомерных сигналов: межвуз. сб. науч. трудов. Йошкар-Ола, 1992. - С. 31-41.

93. Лебедев, Е.К. Синтез рекурсивных фильтров в СОК / Е.К.Лебедев, В.И. Суворов // Межвузовский сб. науч. трудов. Йошкар-Ола: Изд-во МарГТУ, 1992. - С.42-46.

94. Лебедев, Е.К. Синтез цифровых фильтров на ЭВМ / Е.К. Лебедев // Автоматизация поискового конструирования: тезисы докл. на Всесоюз. конф. Йошкар-Ола, 1978. - С. 56.

95. Лебедев, Е.К. Способы кодирования в непозиционных вычислительных устройствах / Е.К. Лебедев // Проектирование ЭВМ: межвуз. сб. науч. трудов. Рязань: Изд-во РРТИ, 1992. - С. 104-109.

96. Лебедев, Е.К. Устройство для быстрого преобразования Фурье / Е.К. Лебедев, В.Ю. Лапий // Автор, свид-во № 1290350, СССР, БИ № 6, 1987.

97. Лебедев, E.K. Устройство для быстрого преобразования Фурье/ Е.К. Лебедев // Автор, свид-во №1488831, СССР, БИ № 23, 1989.

98. Лебедев, Е.К. Устройство для вычисления быстрого преобразования Фурье / Е.К. Лебедев // Автор, свид-во № 1488830, СССР, БИ № 23, 1989.

99. Лебедев, Е.К. Устройство для дискретного двумерного преобразования Фурье/ Е.К.Лебедев, H.A. Галанина, В.Ю.Лапий// Автор, свид-во № 1254505, СССР, Бюл. № 32, 30.08.86, 1986.

100. Лебедев, Е.К. Цифровая фильтрация в системе остаточных классов / Е.К.Лебедев// Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1985.- Т. 28. -№8.-С. 58-62.

101. Лебедев, Е.К. Эффективное выполнение рекурсивных немодульных вычислений при реализации сложных алгоритмов ЦОС / Е.К. Лебедев, H.A. Галанина, Е.Ю. Буланкина, H.H. Иванова // Вестник Чувашского университета. 2002. - № 2. - С. 186-195.

102. Левин, Б.Р. Теоретические вопросы статистической радиотехники: в 2 т. /Б.Р.Левин -М.: Сов. радио, 1974-1975.- 1231 с.

103. Лезин, Ю.С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов / Ю.С. Лезин. М.: Сов. радио, 1963. - 323 с.

104. Лихарев, В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации/ В.А. Лихарев. -М.: Сов.радио, 1969.-447 с.

105. Макклеллан, Дж.Х. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов: пер, с англ. / Дж.Х. Макклеллан, Ч.М. Рейдер; под ред. Ю.И. Минина. М.: Радио и связь, 1983. - 264 с.

106. Мардер, Н.С. Принципы развития и совершенствования телекоммуникационно-информационной инфраструктуры / Н.С. Мардер // Вестник связи. 1997. - № 11. - С. 3-5.

107. Мирошников, Д.Г. Аппаратура уплотнения электрического кабеля: новые решения / Д.Г. Мирошников, Д. Диленбах// Вестник связи. 1997. — № 4. - С. 56-60.

108. Мирошников, Д.Г. Организация абонентских выносов по медным линиям/ Д.Г. Мирошников, О.М. Денисьева// Вестник связи.- 1997.-№ 12.-С. 58-63.

109. Нифонтов, Ю.А. Анализ цифровой системы селекции движущихся целей / Ю.А. Нифонтов, В.А. Лихарев // Радиотехника и электроника. 1970. -№ 7. С. 23-27.

110. Нифонтов, Ю.А. Цифровая обработка импульсных сигналов в условиях воздействия коррелированных помех / Ю.А.Нифонтов, В.А.Лихарев// Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1969. Т. 12. - № 3. - С. 260-266.

111. Ныоман, Д.Ж. Технологии доступа / Д.Ж. Ньюман // Сети и системы связи. 1997. -№ 11. - С. 92-102.

112. Оппенгейм, A.B. Влияние конечной длины регистра при цифровой фильтрации и БПФ / A.B. Оппенгейм, К. Вайнштейн // ТИИЭР. 1969. № 8. -С. 41-65.

113. Оцоков, Ш.А. Применение модулярной арифметики с фиксированной точкой для ослабления влияния ошибок округления компьютерных вычислений / Ш.А. Оцоков // Информационные технологии. 2009. - № 12. -С. 50-54.

114. Пелед, А. Цифровая обработка сигналов: пер. с англ. / А. Пелед, Б. Лиу; под ред. А.И.Петренко. Киев: Вища шк., 1979. - 264 с.

115. Полисский, Ю.Д. Сравнение чисел в системе остаточных классов // 50 лет модулярной арифметике: материалы Междунар. науч.-техн. конф. 2005.

116. Режим доступа: http://mvw.computer-museum.m/books/archIv/sokconl6.pdf (дата обращения 16.05.2010).

117. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов: пер. с англ. / Л. Рабинер, Б. Гоулд; под ред. Ю.Н. Александрова. М.: Мир, 1978.-848 с.

118. Семенов, М.Ю. Исследование и разработка методологии проектирования основных вычислительных узлов для устройств цифровой обработки сигналов в модулярной арифметике: автореф. . канд. техн. наук / М.Ю. Семенов. -М., 2005.

119. Семенов, М.Ю. Применение аппарата модулярной арифметики для построения фильтра с конечной импульсной характеристикой / М.Ю. Семенов, B.C. Калашников, О.В. Ласточкин // Известия ВУЗов. Электроника. -2005.-№3,-С. 46-50.

120. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов: учебник для вузов / А.Б. Сергиенко. СПб.: Питер, 2007. - 751 с.

121. Смирнов, A.A. Помехоустойчивая передача данных в системе остаточных классов по двоичным каналам связи / A.A. Смирнов, C.B. Барке-тов // Информационные технологии. 2005. - № 6. - С. 7-10.

122. Сосулин, Ю.Г. К задаче многоальтернативного обнаружения сигналов/ Ю.Г. Сосулин// Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика.- 1969. — Т. 14.-№4.-С. 1635-1643.

123. Сосулин, Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов / Ю.Г. Сосулин.-М.: Сов.радио, 1978.-320 с.

124. Сосулин, Ю.Г. Теория последовательных решений и её применения / Ю.Г. Сосулин, М.М. Фишман. М.: Радио и связь, 1985. - 272 с.

125. Стахов, А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения/ А.П. Стахов. -М.: Сов. радио, 1977.-288 с.

126. Стахов, А.П. Коды золотой пропорции / А.П. Стахов. М.: Радио и связь, 1984.- 152 с.

127. Стахов, А.П. Перспективы применения систем счисления с иррациональными основаниями / А.П. Стахов // Измерения, контроль, автоматизация. 1981. -№ 6(40). - С. 73-79.

128. Стемпковский, A.JI. Особенности реализации устройств цифровой обработки сигналов в интегральном исполнении с применением модулярной арифметики / А.Л. Стемпковский, А.И. Корнилов, М.Ю. Семенов // Информационные технологии. 2004. - № 2. - С. 2-9.

129. Стемпковский, А.Л. Отказоустойчивые архитектуры микроэлектронных вычислительных систем / А.Л. Стемпковский // Информационные технологии и вычислительные системы. 2001. - Вып. 2/3.

130. Стратонович, Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике / Р.Л. Стратонович. М.: Сов. радио, 1961. - 263 с.

131. Стрекалов, Ю.А. Разработка методов моделирования параллельно-конвейерных нейросетевых структур для высокоскоростной цифровой обработки сигналов: дис. . канд. техн. наук / Ю.А. Стрекалов. Ставрополь, 2006.-293 с.

132. Стрекалов, Ю.А. Реализация арифметико-логического устройства, функционирующего в системе счисления в остаточных классах на ПЛИС /

133. Ю.А. Стрекалов // Инфокоммуникационные технологии. 2004. - Т. 2. -№ 4. - С. 46-48.

134. Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. М.: Сов. радио, 1966. - 678 с.

135. Торгашев, В.А. Система остаточных классов и надёжность ЦВМ/ В.А. Торгашев. -М.: Сов. радио, 1973. 120 с.

136. Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника: учеб. пособие для вузов / Е.П. Угрюмов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 800 с.

137. Финько, O.A. Модулярная арифметика параллельных логических вычислений: монография / O.A. Финько; под. ред. В.Д. Малюгина. -М.: ИПУ РАН, 2003.-224 с.

138. Цифровая обработка информации на основе быстродействующих БИС / С.А .Гамкрелидзе, A.B. Завьялов и др. М.: Энергоатомиздат, 1988. -136 с.

139. Червяков, Н.И. Методы масштабирования модулярных чисел, используемые при цифровой обработке сигналов // Инфокоммуникационные технологии / Н.И. Червяков. 2006. - Т. 4. - № 3. - С. 15-23.

140. Червяков, Н.И. Преобразователи цифровых позиционных и непозиционных кодов в системах управления и связи. Ставрополь, 1985. - 85 с.

141. Червяков, Н.И. Нейрокомпьютеры в остаточных классах: учеб. пособие / Н.И. Червяков, П.А. Сахнюк, А.В. Шапашников, А.Н. Макоха. -М.: Радиотехника, 2003. 272 с.

142. Чунаков, Д.В. Реализация деления чисел, представленных в системе остаточных классов, на модуль или произведение модулей / Д.В. Чунаков // Информационные технологии. 2007. - № 7. - С. 30-35.

143. Шурупов, В.Ю. Выбор аппаратуры абонентского уплотнения/ В.Ю. Шурупов, А.Ф. Зарицкий // Вестник связи. 1998. - № 2. - С. 89-93.

144. Юфряков, Б.А. Синтез цифровых фильтров по заданной амплитудно-частотной характеристике / Б.А. Юфряков // Сб. науч. трудов Моск. авиац. ин-та. М., 1978. - Вып. 431. - С. 26-29.

145. Aho А.V., Hopcroft J.E., Ullman J.D. The Design and Analyses of Computer Algorithms, Addison-Wesley, Reading, Mass. 1974. 379 p.

146. Barraclough S.R., Sotheran M., Burgin K., Wise A.P., Vadher A., Rob-bins W.P., Forsythe R.M. The Design and Implementation of the IMS A110 Image and Signal Processor // IEEE Custom Integrated Circuits Conf. 1989. P. 24.5.1-24.5.4.

147. Bayomi M.A., Jullien G.A. A VLSI Implementation of the Residue Adders // IEEE Trans, on Circuits and Systems. 1987. Vol. 34, № 3. - P. 284-288.

148. Cardarilli G.C, Del Re A., Nannarelh A., Re M. Residue Number System Reconfigurable Datapath // ISCAS 2002, IEEE International Symposium on Circuits and Systems. 2002. - Vol. II. - P. 756-759.

149. Cardarilli G.C, Nannarelh A., Re M, Reducing Power Dissipation in FIR Filters using the Residue Number System // Proc. of 43rd IEEE Midwest Symp. on Circuits and Systems. 2000. - Aug. 2000. - P. 320-323.

150. Chu S., Burrus C.S. A prime factor FFT algorithm, using distributed arithmetic // IEEE Trans, on ASSP. 1982. - Vol. 30, № 2. - P. 217-226.

151. Del Re A., Nannarelh A., Re M. Implementation of Digital Filters in Carry-Save Residue Number System // IEEE Conference Record on the Thirty-Fifth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. 2001. - Vol. 2. -P. 1309-1313.

152. Dugdale M. VLSI Implementation of Residue Adders Based on Binary Adders // Trans, on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. 1992. - Vol. 39. - P. 325-329.

153. Efstathiou C, Vergos H.T. Modified Booth It's Complement and Modulo 2n-l MuUipliers // ICECS 2000, The 7th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems. 2000. - Vol. 2. - P. 637-640.

154. Elliot D.F., Rao R. Fast Transforms: Algorithm, Analyses and Applications. N.Y.: Academic Press, 1983. - 262 p.

155. Hiasat A. New Memoryless, mod (2n±l) Residue Multiplier // IEEE Electronic letters. 1992. - Vol. 28, № 3. - P. 314-315.

156. Hiasat A. RNS Arithmetic Multiplier for Medium and Large Module // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. 2000. - Vol. 47, № 9. - P. 937-940.

157. Jenkins W.K., Leon B.J. Composite Number-theoretic Transforms for Digital Filtering// Ninth Asilomar Conference on Circuits, Systems and Computers. 1975. - P. 265-262.

158. Jenkins W.K., Leon B.J. The use of Residue Coding in the Design of Hardware for Nonrecursive Digital Filters // Eighth Asidomar Conference on Circuits, Systems and Computers. 1974. - P. 265-262.

159. JuUien G.A. Number Theoretic Techniques in Digital Signal Processing // Academic Press Inc., Advances in Electronic and Electron Physics. 1991. -Vol. 80, Ch. 2. - P. 69-163.

160. Komilov A., Isaeva T. Circuit Depth Optimization by HDD Based Function Decomposition // IFIP Workshop on Logic and Architecture Synthesis. -Grenoble, 1994.-P. 64-70.

161. Komilov A., Isaeva T., Syngaevsky V. Carry Circuit Depth Optimization by BDD Based Decomposition // Proc. of PATMOS'97 Workshop. Belgium, 1997. -P. 89-98.

162. Lim K.P., Premkumar A.B. A Modular Approach to the Computation of Convolution Sum Using Distributed Arithmetic Principles // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. 1999. Vol. 46, № 1. - P. 92-96.

163. Murakami U., Reed I.S. Recursive Realization of Finite Impulse Filters Using Finite Arithmetic // IEEE Trans, on IT 23. P. 675-683.

164. Nannarelli A., Re M., Cardarilli G.C. Tradeoffs between Residue Number System and Traditional FIR Filters // ISC AS 2001, Proc. of IEEE International Symposium on Circuits and Systems. 2001. - Vol. II. - P. 305-308.

165. Nussbaumer H.J. Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms. 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1982. - 127 p.

166. Oppenheim A.V., Schafer R.W. Digital Signal Processing. Englewood Cliffs. N.Y.: Prentice-Hall Inc., 1975. - 308 p.

167. Oppenheim A.V., Willsky A.S., Young i.t. Signals and Systems. Englewood Cliffs. N.Y.: Prentice-Hall Inc., 1983.- 198 p.

168. Pollard J.M. Fast Fourier Transform in a Finite Field // Math. Comp. -1971.-№25.-P. 365-374.

169. Preethy A. P. Radhakrishnan D., Oinondi A. Fault-tolerance Scheme for an RNS MAC: Performance and Cost Analysis // ISC AS 2001, The 2001 IEEE International Symposium on Circuits and Systems. 2001. - Vol. 2. - P. 717-720.

170. Sin W.C., Constantinides A.G. Approach to the hardware implementation of digital processors using Mersenne number transforms // IEE Proceedings. -1984.-Vol. 31, № l.-P. 10-19.

171. Soderstrand M.A., Jenkins W.K., Jullien G.A., Taylor F.J. (EDS) Modem Application of Residue Number System Arithmetic to Digital Signal Processing. -N.Y.: IEEE Press, 1986.

172. Walter CD. Systolic Modular Multiplier // IEEE Trans. Computers. -1993. Vol. 42, № 3 . - P. 376-378.

173. Wan-Chi Sin, A.G. Constantinides. On the computation of DFT using Fermat number transform // IEE Proceedings. 1984. - Vol. 31, № 1. - P. 7-14.232