автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы и проблемно-ориентированные программы математического моделирования динамических систем по фазовым портретам

На правах рукописи

Волков Сергей Владимирович

МЕТОДЫ И ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЕ

ПРОГРАММЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО ФАЗОВЫМ ПОРТРЕТАМ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь - 2004

Работа выполнена в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Шестаков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Андреева доктор физико-математических наук, профессор В. Б. Колмановский доктор физико-математических наук, профессор С. И. Виницкий

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится 24 сентября 2004 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу: 170026, ул. Желябова, 33, ауд. 52.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 23 августа 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.263.04 доктор технических наук, профессор

В. Н. Михно

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Область исследования. Диссертационная работа посвящена разработке нового метода моделирования динамических систем различной физической природы, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Метод предназначен для построения математических моделей, качественное исследование которых при традиционном подходе к моделированию вызывает серьезные математические трудности. В данном случае под традиционнным понимается подход, который выполняется в следующие два этапа: на первом этапе на основе экспериментальных наблюдений или научных законов строится математическая модель (например, в механике такой моделью могут служить уравнения Лагранжа второго рода), а затем, на втором этапе, выполняется ее качественное исследование с целью изучения поведения динамической системы в зависимости от значений параметров и функций, которые входят в уравнения модели. Такое исследование предполагает, как правило, во-первых, нахождение особых фазовых траекторий (состояний равновесия, сепаратрис, предельных циклов) фазового портрета модели динамической системы, а во-вторых — получение качественной картины разбиения на траектории как окрестностей этих особых траекторий, так и фазового пространства в целом (например, нахождение областей притяжения состояний равновесия или предельных циклов). Применение с этой целью известных качественных методов исследования дифференциальных математических моделей (первого метода Ляпунова, критериев Дюлака и Бендиксона, теории индекса, метода топографической системы кривых Пуанкаре, метода точечных отображений, методов усреднения и др.) не позволяет в общем случае получить необходимые сведения в полном объеме либо в силу того, что некоторые из этих методов предназначены исключительно для изучения локальных топологических структур особых фазовых траекторий, либо в силу практической неразрешимости математических задач, возникающих при их реализации. В последнем случае прибегают, как правило, к исследованию не самой м а чеСк0й модели. а"той К0Т0Рая

^|»0С. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА | С.П«ерА1[»г;

« О» 1»'

из неё получается некоторыми упрощениями (линеаризацией, усреднением и т.д.). Полученные.таким образом результаты требуют обоснования их справедливости для порождающей модели, верны только при определенных условиях, имеют в общем случае локальный характер и полного представления о поведении исследуемой динамической системы не дают. В диссертации предлагается иной подход к моделированию, который позволяет, с одной стороны, избежать перечисленные выше трудности выполнения качественных исследований математической модели, а с другой стороны, — получить достаточно полное представление о свойствах поведения соответствующей ей динамической системы. Суть этого подхода заключается в следующем. Составляется фазовый портрет моделируемой динамической системы, причем основой для этого могут служить либо экспериментальные результаты, либо результаты наблюдения за поведением динамической системы, либо требуемые свойства ее поведения. Затем на основе методов качественной теории дифференциальных уравнений синтезируется математическая модель по заданному или требуемому фазовому портрету. Далее выполняется сравнение построенной таким образом математической модели с математической моделью, полученной на первом этапе при традиционном подходе. В результате определяются функции, добавление которых к уравнениям последней модели обеспечивает ее поведение в соответствии с заданным фазовым портретом. Задача разработки метода реализации второго подхода является фундаментальной проблемой данной диссертационной работы и формулируется следующим образом: синтезировать дифференциальную математическую модель динамической системы по заданной совокупности особых фазовых траекторий и заданной топологической структуре ее фазового портрета в целом. Эта фундаментальная проблема состоит из двух частей, которые названы основными задачами. Первая основная задача заключается в специальном выборе направлений сравнения и построении их направляющих векторов, число которых в каждой точке фазового пространства равно его размерности и которые образуют локальный базис. Важность этой задачи обусловлена тем,

что именно от указанного выбора зависит возможность решения фундаментальной проблемы. Вторая основная задача состоит в математической формализации свойств фазового портрета и решается построением функций, которые представляют собой проекции вектора фазовой скорости исследуемой математической модели динамической системы на направления сравнения. Алгоритмы решения этих задач могут быть реализованы с помощью комплекса проблемно-ориентированых программ, которые представлены в диссертации. Этот комплекс программ назван "Model's elements" и предназначен для синтезирования математических моделей конкретных динамических систем и выполнения вычислительных экспериментов с использованием компьютера.

Метод решения фундаментальной проблемы и сопутствующие ему алгоритмы использованы в диссертационной работе для составления математических моделей механических движений материальных тел. В частности, синтезированы: 1) математическая модель целенаправленного плоского движения материальной точки; 2) математическая модель относительных колебаний маятника, установленного на вращающейся платформе; 3) математическая модель стабилизации вертикального положения перевернутого маятника с подвижной точкой опоры. Полученные математические модели использованы для нахождения управляющих сил, обеспечивающих требуемые свойства движений рассмотренных объектов.

Актуальность. Актуальность постановки фундаментальной проблемы обусловлена тем, что ее решение открывает новые возможности для построения математических моделей и не требует их качественных исследований, выполнение которых в общем случае, во-первых, приводит к математическим трудностям и, во-вторых, полученные с их помощью результаты не содержат достаточно полных сведений о поведении математической модели динамической системы.

Решение фундаментальной проблемы предполагает использование фазового портрета, который наиболее полно отражает все возможные случаи поведения соответствующей динамиче-

ской системы. Для аналитического задания свойств поведения динамической системы требуется сравнение в каждой точке её фазового пространства вектора фазовой скорости с направлениями, число которых должно быть равно размерности этого пространства. Выбор направлений сравнения и построение их направляющих векторов является важной и актуальной задачей, от решения которой во многом зависят прикладные возможности аналитического способа задания свойств фазового портрета.

Регулярных методов аналитического задания глобальной топологической структуры разбиения фазового портрета на траектории (если не считать использование соответствующих дифференциальных уравнений) не существует. Поэтому представленный в диссертации метод задания свойств фазового портрета с помощью функций, зависящих только от фазовых координат, является актуальным. Этот метод актуален и для решения фундаментальной проблемы. Он создан на основе обобщений и существенного развития методов решения обратных задач качественной теории дифференциальных уравнений и представляет самостоятельный научный и прикладной интерес.

Реализация алгоритмов метода решения фундаментальной проблемы для синтезирования математических моделей конкретных динамических систем и проведения вычислительных экспериментов требует в общем случае выполнения большого объема аналитических выкладок и вычислений. Поэтому создание комплекса проблемно-ориентированных программ для осуществления этих действий с использованием компьютера и облегчения труда исследователя, представляется актуальной задачей. Кроме того, комплекс программ позволяет строить графические схемы топологических структур особых траекторий искомой модели и тем самым осуществлять верификацию результатов, получаемых на каждом шаге процесса построения математической модели.

Синтезированные в работе математические модели механических движений материальных тел (целенаправленного движения материальной точки; относительных колебаний маятника, установленного на вращающейся платформе; стабилизации

вертикального положения перевернутого маятника с подвижной точкой опоры) представляют самостоятельный теоретический и прикладной интерес, а также актуальны как с точки зрения демонстрации применения разработанных в диссертации методов и алгоритмов, так и с точки зрения проверки их достоверности и правильности применения.

Цель работы — создание нового математического метода синтезирования математических моделей динамических систем по фазовым портретам, позволяющим наиболее полно отражать свойства поведения моделируемой динамической системы, которые либо заданы, либо установленны в результате наблюдений (экспериментов) — метода, с помощью которого практически выполнимо построение математических моделей динамических систем со сложным поведением и применение которого не требует, в отличие от традиционного подхода, проведения дополнительных исследований, представляющих серьезные математические трудности. Целью работы является также: решение обратной задачи качественной теории дифференциальных уравнений о построении систем уравнений, имеющих заданную совокупность особых траекторий и заданную топологическую структуру разбиения на траектории в целом; разработка комплекса проблемно-ориентированных программ с целью применения компьютеров для реализации алгоритмов метода решения фундаментальной проблемы при практическом синтезировании математических моделей и проведении вычислительных экспериментов; построение математических моделей движений конкретных динамических систем с целью демонстрации применения алгоритмов и методов, представленых в диссертации, и проверки их достоверности.

Методы исследования. Математической основой разработки метода и алгоритмов решения фундаментальной проблемы диссертации являются основные положения качественной теории динамических систем на плоскости, методы системного анализа и математического моделирования, метод Н. П. Еруги-на построения дифференциальных уравнений, которые имеют заданную интегральную кривую, и метод Фроммера—Куклеса

исследования особых точек обыкновенных дифференциальных уравнений. При выполнении вычислительного эксперимента в диссертации использован метод Рунге-Кутта численного интегрирования дифференциальных уравнений с переменным шагом. Для представления в графическом виде результатов аналитических построений математических моделей использовались команды пакета прикладных программ Maple V, предназначенные для построения с применением компьютера графических схем векторных полей и фазовых портретов.

Научная новизна диссертации состоит в следующем. Подход к математическому моделированию реализован по схеме "от свойств поведения динамической системы — к ее математической модели", в отличие от схемы традиционного подхода "от математической модели — к свойствам ее поведения". Разработанный новый метод математического моделирования основан на решении обратной задачи качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений о построении систем уравнений на плоскости по заданной совокупности их особых траекторий и заданной топологической структуре разбиения на траектории в целом. Научная новизна состоит также в использовании направлений сравнения и соответствующих им направляющих векторов, число которых в каждой точке фазового пространства моделируемой динамической системы равно размерности этого пространства и применение которых позволяет добиться отсутствия у искомой математической модели особых точек, отличных от заданных. Для синтезирования математических моделей, имеющих сложные состояния равновесия, использован метод Фроммера—Куклеса, что позволило впервые получить и теоретически обосновать конструктивные алгоритмы построения таких моделей. Математические модели, полученные представленным в работе методом решения фундаментальной проблемы, не требуют проведения дополнительных исследований, необходимых при традиционном подходе. Разработан новый метод аналитического задания (или математической формализации) свойств топологической структуры фазового портрета моделируемой динамической системы. Создан коплекс проблемно-

ориентированных программ, предназначенных для реализации с применением компьютера алгоритмов метода математического моделирования динамических систем с заданными свойствами их поведения. Проведены вычислительные эксперименты по математическому моделированию управляемых движений материальных тел и использованию синтезированных моделей для нахождения управляющих сил, обеспечивающих достижение целей управления.

Полученные в диссертации результаты являются новыми. Они обобщают, развивают и дополняют результаты отечественных ученых Н. П. Еругина, А. С. Галиуллина, А. А. Шестако-ва, М. И. Альмухамедова, А. Ф. Андреева, Р. Г. Мухарлямова, И. А. Мухаметзянова, В. И. Зубова, В. В: Амелькина, Л. Э. Рейзиня, И. С. Куклеса, Ш. Р. Шарипова, зарубежных ученых Р. Е. Гомори, Ж. Аржеми, Рональда Свердлова, Н. О. Комарова, Ж. Жомэ и других ученых.

Практическая значимость. Создан эффективный метод, позволяющий для решения прикладных задач синтезировать математические дифференциальные модели динамических систем с требуемыми или заданными свойствами поведения независимо от объема, разнообразия и сложности этих свойств. Разработан метод аналитического задания топологической структуры фазового портрета математической модели динамической системы на плоскости, который может быть использован для решения важной проблемы математической формализации свойств моделируемой динамической системы. Создан пакет проблемно-ориентированных программ, предназначенный для практической реализации алгоритмов синтезирования математических моделей с заданными свойствами и для проведения вычислительных экспериментов с применением компьютеров. Построенные математические модели движений материальных тел могут быть использованы для решения задач теории колебаний, вибрационной механики, задач управления робототехиическими системами. Математические модели, полученные представленным в диссертации методом моделирования, содержат функции (называемые функциями Еругина), значения которых не влияют на

топологические структуры этих моделей. Функции Еругина могут быть использованы для обеспечения дополнительных требуемых или желаемых свойств синтезируемых математических моделей.

Полученные в работе результаты могут быть применены как для построения математических моделей динамических систем произвольной физической природы, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями и обладает заданными свойствами, так и для нахождения управляющих функций, обеспечивающих выполнение этих свойств.

Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов математического моделирования, теории управления, теории нелинейных колебаний, качественной теории дифференциальных уравнений.

Достоверность полученных результатов. Представленный в работе метод математического моделировования основан на известных положениях качественной теории дифференциальных уравнений, на строгом использовании аналитических и качественных методов исследования дифференциальных уравнений. Все новые теоретические результаты диссертации математически строго доказаны. Наболее важные утверждения сформулированы в виде теорем, доказательства которых содержат полные описания и обоснования конструктивных алгоритмов синтезирования математических моделей. Достоверность полученных в работе результатов, алгоритмов, методов и программ комплекса "Model's elements", а также правильность их применения были проверены вычислительными экспериментами по моделированию движений конкретных динамических систем по заданным фазовым портретам. Проверка состояла в выполнении графических построений векторных полей и фазовых портретов синтезированных математических моделей. Эти построения были выполнены с использованием компьютера и программ пакета Maple V Release 5.

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом.

Публикации: Основные результаты диссертации опубликованы в 35 работах, список которых приведен в конце автореферата и среди которых две монографии, статьи в журналах и межвузовских сборниках, тезисы международных конференций, депонированные работы. 11 работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК Минобразования Российской Федерации.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 1985 г.); на Всероссийских научных конференциях по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания в Российском университете дружбы народов (Москва, 1994 - 2000 г.г.); на 5-м и 6-м Международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем" (Москва, ИПУ РАН, 1998, 2000 г.г.); на 5-й Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Крым, Алушта, 2000 г.); на научном семинаре по устойчивости движения и управлению движениями материальных тел Российского университета дружбы народов (Москва, 1995 - 1999 г.г.); на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Российского государственного открытого университета путей сообщения (Москва, 2001 - 2004 г.г.); на научно-исследовательском семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им. Дородницына РАН (Москва, 2004 г.); на научном семинаре по аналитической механике и теории устойчивости Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова (2001 г.); на научном семинаре факультета ВМК Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (Нижний Новгород, 1998 г.); на научном семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева (Саранск, 2003 г.); на совместном заседании кафедр математического моделирования и информатики и методов оптимизации Тверского государственного университета (Тверь, 2004 г.), а также на других конференциях и семинарах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав и списка литературы, включает 71 рисунок, в том числе и графические схемы, построенные на компьютере с использованием математического пакета прикладных программ Maple V. Первый параграф каждой главы является вводным. Общий объем работы 318 страниц. Библиография включает 137 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении представлены цель, задачи и структура содержания работы, дан обзор литературы по теме диссертации и близким к теме вопросам.

В первой главе "Постановка фундаментальной проблемы" приводятся основные обозначения и предположения относительно траекторий дифференциальной модели вида

класса Ci(i2), где Q — некоторая область плоскости (х, у); формулируется фундаментальная проблема построения уравнений таких дифференциальных моделей по заданным фазовым портретам; даются определения таких понятий, как исключительная кривая и нормальная криволинейная область состояния равновесия динамической системы.

В § 1.2 принимаются следующие обозначения и предположения относительно искомой дифференциальной модели (1):

а) особыми кривыми и траекториями, расположенными частично либо полностью в области О, являются:

— — состояния равновесия, к каждому из которых стремится при по крайней мере одна особая полутраектория (сепаратриса);

— — кривые, которые разбиваются точками Ak на особые траектории;

— — изолированные замкнутые траектории (предельные циклы);

— Д (j = N2 + 1,...,.Л/з) — состояния равновесия, являющиеся фокусами;

b) 1А = {1 ,...,ад, /i = {iVi-l + где г = 1,2,3; N0 = 0; / = ЛЩгШз, /л = {г : Ак € Д \ i Е /¿};

c) Ui Е Coo(i2) — для любого i Е

d) в области Q на кривой Ц ссумма шнагдратш онтвететвую-

щих частных производных

' 0 только в точках, самопересечения : соответствующей кривой для i Е 1\; 0, если i Е I3] . Ф 0, если i Е h\

e) каждого исключительного направления состояния равновесия Ак в нем касается одна и только одна кривая из множества Г = {Л|ге/лЛ;

f) Qi (I Е Iq) — множество точек, отличных от Ак (к € 1а) и Д (г Е /3), в которых ц = 0и дщ/ду = 0 для г е (h\Jh)]

к) deg/(x, у) = deg f(x,y) — обозначение наименьшего по-

А (х-а,

у-Ь)

рядка слагаемых, входящих в разложение функции / в ряд по степеням х — а, у — b, где (а, b) — координаты точки А;

Принятие предположений а) - f) обусловлено необходимостью выбора из возможных вариантов постановки фундаментальной проблемы такого, который представляет практический интерес, и стремлением упростить изложение наиболее важных положений метода, не ограничивая при этом возможностей его применения.

В § 1.3 дана постановка фундаментальной проблемы: найти правые части X и Y уравнений дифференциальной модели (1) класса

являются фазовыми кривыми; Ь) фазовый портрет имеет заданную топологическую структуру в области

В § 1.4 определены понятия исключительной кривой и криволинейной нормальной области, дана их классификация. Эти понятия используются для описания локальных топологических

{дхьл)2 + (Эуи>*)2 = <

структур особых траекторий при изложении метода решения фундаментальной проблемы.

Во второй главе "Первая основная задача: выбор направлений сравнения и построение их направляющих векторов" решается первая основная задача, которая состоит в определении векторных полей направлений сравнения. соответствую-

щих заданной совокупности кривых; выполняется качественное исследование этих векторных полей с целью их использования для задания глобальных топологических структур фазовых портретов дифференциальных моделей вида (1) посредством функций, зависящих от фазовых координат и не зависящих явно от фазовых скоростей.

В § 2.2 описана процедура построения векторных полей п и соответствующих совокупности кривых и

удовлетворяющих следующим условиям:

п^О в точках области 1? \ ((^ и Ак) и ( и Ц));

Вектор п определяется равенством

п = ^ Л + £ Цкгпк П (2)

ieI з<=' к&1А ¿е/

щ = {дхШхдуи%, (дуШ{)2) для г € Ь и г из 1\ : дущ ф 0; щ = (1, 0) для г из для которых дусО{ — 0; тк = (-(х- хк)(у - ук), (х - хк)2) для к € 1а\

У) ^""^(йГО^^ функции;

Ры — произвольные натуральные четные числа для любых г,о е / и к € 1а-

В § 2.3 доказывается лемма, которая обосновывает применение метода Фроммера—Куклеса изучения особых точек дифференциальных моделей вида (1) в случае задания неявными

уравнениями особых фазовых кривых, проходящих через эти точки.

В § 2.4 - § 2.6 проводится качественное исследование особых точек векторного поля направлений сравнения г. В § 2.7 отмечены свойства векторного поля достаточные для решения фундаментальной проблемы.

В третьей главе "Вторая основная задача: аналитическое задание свойств фазового портрета" изложен метод решения второй основной задачи, которая заключается в аналитическом задании топологической структуры фазового портрета дифференциальной модели (1) класса В § 3.2 определе-

ны предназначенные для этого /-функции

которым соответствует дифференциальная модель

В § 3.3 указаны некоторые свойства нулей /-функций, зависящие от взаимного расположения особых траекторий дифференциальной модели, которая соответсвует этим функциям, и установлен общий вид этих функций:

где с**, 04 = 1,2,3,... — произвольные натуральные числа, а £1 = £1 (я,У), Ь = ЫХ.У)> - Щ{х,у) — произвольные функции.

В § 3.4 - § 3.6 изложены алгоритмы составления /-функций по заданным локальным топологическим структурам особых точек как для дифференциальных моделей (1) общего вида, так и для дифференциальных моделей вида . Полу-

ченные результаты доказаны и сформулированы в виде теорем. Заметим, что во всех теоремах координаты точки, в которой исследуются /-функции, полагаются равными нулю.

В § 3.4 изучено строение /"-функций состояний равновесия Ак. Результаты исследования /-функций вблизи направлений, отличных от направления х — Хк ф 0, представлены в § 3.4.1 теоремами 1-5. Их доказательства основаны на исследовании в окрестности состояния равновесия Ак на кривых сравнения вида

з

4У = + их" (и е (-00> °°)> и >

{=1

свойств нулей и знаков разности Нк{х, у) == У/Х — у'х,в которой X и У заменяются правыми частями уравнений (3). Причем на кривых сравнения, касающихся сепартрисы = 0 состояния равновесия Ак, координаты вектора п и /-функции представляются следующим образом

и выполняется условие

min[deg(Flnж + ^2пу), deg(Flny - Ръпх)\ > 2 тах <5^ + в (5)

В § 3.4.2 изучение /-функций в окрестности точки Ак вблизи направления х = 0 сводится к рассмотрению в этой окрестности на кривых сравнения вида.

Для доказательства теорем 6-12 функции X и У заменяются в (6) правыми частями соответствующих уравнений (3).

Случаи, когда направления х — 0 не является исключительным направлением состояния равновесия Ак, рассмотрены в теоремах 6 - 10, в которых полагается, что функции имеют вид

= ^к^ХкУ^ + о^ку1^1), = + о{и)У2кУ<Р2)

и удовлетворяют неравенству (5).

Наибольший практический интерес представляет теорема 10, так как ее условия не содержат ограничений на численные значения ^к и %2к: важен лишь знак произведения ^хк&к- Это обстоятельство существенно упрощает проблему согласования (см. ниже) при решении конкретных задач математического моделирования.

Случаи, когда направление х = 0 является исключительным направлением состояния равновесия изучаются в теоремах 11 и 12, в которых полагается

= Ы* + Си/41 К®*1 + У71 к1 г/"01 + г5)

где = 0 — сепаратриса, для которой направление х = 0 является касательным в точке А/с', = 1, 2; о^, 71, 02, 72, у?01» У02 — натуральные числа, причем 7» — четные и ^ < 7; (« = 1, 2)

и предполагается выполнение условий (5).

В § 3.5 устанавливаются условия, при выполнении которых функциям 2<\ и ]?2 соответствует дифференциальная модель (3), для которой состояние равновесия. является

фокусом заданного типа. Эти условия получены в результате сравнения направления вектора Р{Х, У) с радиальным и транс-версальным направлениями в окрестности состояния равновесия Функции выбираются так, чтобы выражения

дхи>{ • X + дуЩ • У, -дуШ{ • X + дхщ • У (7)

были в этой окрестности знакоопределенными и имели нужные знаки. В (7) X и У заменяются по формулам (3), где координаты

вектора п представляются в виде

пх = cdxu>idyui + CxLjfy пу = с(дуиц)2 + СуШ?,

— натуральное число, а — функции переменных и

В § 3.5.1 указанные условия формулируются для дифференциальных моделей (1) в теореме 13, а функции ^ и представляются следующим образом:

где со = с(0,0), Схо = Ci(0,0), Суо = Cy(0,0), a Ci, С4 — постоянные.

Такие условия для дифференциальных моделей вида

(9)

приводятся в § 3.5.2 и доказываются в теореме 14, в которой, принято

где со, сь..., се, Су о, Сг — постоянные; со, Су0 > 0; Ь, Л, Д/х, Д/2

— функции переменных , удовлетворяющие определенным условиям.

Заметим/ что решение проблемы согласования (см. ниже) упрощается, если в (8) положить а = 1. В этом случае функции принимают следующий вид

Fí == СоС2У3 + CyoUifax + С2У), F2 = у[со(Сб^2 - Сгху + СъУ2) + СуоСб^х].

В § 3.6 для /'-функций устанавливаются условия, при выполнении которых точка (¿1 не является особой точкой соответствующей дифференциальной модели (3). Эти условия получаются из равенств

в которых X и ^заменяются по формулам (3), а коэффициенты ( и (1 имеют знаки, соответствующие требуемому расположению фазовых траекторий искомой модели относительно особой фазовой траектории в окрестности точки

В § 3.6.1 на правые части уравнений дифференциальной модели (3) не накладывается дополнительных ограничений, кроме требования регулярности точки <31, а в ее окрестности функции представляются в виде

Я = Кг [с* + к1{х,у)\\дх^ + к2{х,у)){у - Мх)]ш?, = кС[с* + /г3(х,у)][(с^)2 + (дуиг)2][у - /2(х)],

В § 3.6.2 исследуются точки ф1 дифференциальных моделей вида (9), а результаты этих исследований формулируются в теореме 16, согласно которой в окрестности точки (£[ полагаем

= - с;эхШг + СХа>С*уУ + НХ (ж, у)] X

Г а_а. Сс*у3

Х г ' + С°*у2 - с*удхи>{ + (ха*с*уУ '

Р2 = у[-(-дхсл+&?*У) (с*дхил + с°Ч?) +с*у2+с1^+к5(х, у)],

где с*1 = 1, а = 2, /11 (х, у) и /12(ж, у) — некоторые произвольные

функции.

В § 3.7 рассмотрены вопросы построения /-функций, соответствующих данной глобальной топологической структуре дифференциальной модели (3). Решение этих вопросов приводит к проблеме согласования свойств /-функций, построенных

отдельно для каждого из состояний равновесия Ак (к € 1а), Д (г € /3) и точек С?/ искомой системы. Используя результаты этих построений и свойства вектора п, можно составить функ-

отвечающие дифференциальным моделям.(3), которые имеют данную глобальную топологическую структуру разбиения на траектории области Г2 в целом. М н о > Н1, Н2 и ша, и>* в (10) должны быть подобраны так, чтобы:

a) правые части X и 7 уравнений (3) являлись функциями класса Са{П), где в > 1;

b) функции и обеспечивали требуемые локальные топологические структуры состояний равновесия Ак {к € /лк)» Ц (г € /3) и точек Ск (I <=

c) выполнялось неравенство + Щ ф 0 в точках области

Выполнение условий а) - с) достигается сглаживанием в точках Ак, Д и (¿1 групп сомножителей из правых частей (10) с помощью сглаживающих множителей. Сглаживающий множитель некоторой функции определяется в виде дроби

В последнем равенстве:

— коэффициенты Ь^ таковы, что в соответствующих точках

9{х,у) =9{хк,Ук)

1+ J2 Ьф-хку{у-укУ i+j=1

-рк = (х-хк)2 + (у- t/fc)2; рк = ^(xfc,zfc)| (Afc = const > 0); mij (г, j = 1,..., n) — натуральные числа; - i~ks{x,у) (A; = l,...,n) — произвольные функции» ждовлетво-ряющие условиям:

— deg[rfcSjfe(x,y)] > sk, где Sk — натуральные числа; (Рь)

— l+£,>j=i Ькм(х-ХкУ(у-укУ+Гк8к(х, у) > 0 при V ж и у.

Если Гквк > 8 и 2Шу > 5 для УА;, г,,7 = 1,..., п, то отношение

обладает следующими свойствами:

в) если д(х,у) € С* (к > а),'то [а1'<?(2(ж,у))]|(яьул) = 0 для

Процедурой согласования завершается решение второй вспомогательной задачи построения искомых /-функций (10).

В четвертой и пятой главах даны примеры использования представленного во второй и третьей главах метода решения фундаментальной проблемы для аналитического построения дифференциальных моделей управляемых движений конкретных материальных тел и нахождения управлений, обеспечивающих осуществление требуемых движений.

В четвертой главе "Математическое моделирование целенаправленного движения материальной точки на плоскости" этот метод применяется для составления кинематических и динамических уравнений целенаправленного движения точки на

плоскости. В частности, рассмотрена задача нахождения силы, под действием которой:

a) центр схвата М манипулятора переходит из начального положения Ао (0,0) в конечное положение А$ (1,1), не покидая области плоскости , ограниченной кривыми

b) движение точки М начинается и заканчивается со скоростями, значения которых близки к нулевым (условие плавности в начале и в конце движения);

c) в точках Ао (0,0) и А$ (1,1) траектория точки М касается кривой (задание направлений в начале и в конце движения) (рис. 1) .

Рис. 1. Фазовый портрет математической модели целенаправленного движения материальной точки

В пятой главе "Математическое моделирование относительных управляемых движений материальных тел" расссмот-рены задачи математического моделирования и управления относительными движениями двух твердых тел, образующих механическую систему с двумя степенями свободы. В основе их ре-

шения — построение математических кинематических и динамических моделей относительных движений. Полученные модели использованы для нахождения управляющих сил, обеспечивающих желаемые свойства относительных движений. В частности, в § 5.3 решена следующая задача моделирования и управления относительными колебаниями маятника, установленного на вращающейся платформе.

Найти момент пары сил М, приложенных к платформе и обеспечивающих: а) существование асимптотически устойчивого колебательного движения маятника около положения (х — угол отклонения маятника от вертикали) с амплитудой, равной 7г/6; б) заданную топологическую структуру разбиения на фазовые траектории области О плоскости (ж, у) (рис. 2), где а состояния равновесия и сепаратрисные кривые заданы следующими уравнениями:

Рис. 2. Фазовый портрет математической модели управляемых колебаний маятника, установленного на вращающейся платформе

В § 5.4 рассмотрена задача о стабилизации в целом верхнего положения перевернутого маятника, точка опоры А (ползун)

которого движется по горизонтальной направляющей и. Стабилизация осуществляется силой II, приложенной к точке А. Исследованы следующие варианты этой задачи: 1) стабилизация маятника без предварительной его раскачки; 2) стабилизация маятника с раскачкой. Для решения этих задач используются уравнения движения механической системы "ползун - маятник"

(11) (12)

и уравнения

(13)

дифференциальной модели программных угловых движений маятника. Уравнения (13) построены методом, изложенным в третьей главе. Асимптотически устойчивому верхнему положению перевернутого маятника в варианте 1) соответствуют устойчивые фокусы Гг (2ттг, 0) (г € Z) фазового портрета системы уравнений (13), схема разбиения на траектории которого представлена на рис. 3.

Рис. 3. Фазовый портрет математической модели стабилизации перевернутого маятника без раскачки

Эта схема использована для нахождения программного углового ускорения маятника е в виде правой части второго уравнения из (13). Управление и*, обеспечивающее выполнение программного углового движения, находится из системы уравнений (11) и (12) исключением ускорения основания маятника й и последующей подстановкой (р = е[}р, ф). В результате получается

Из вида правой части (14) следует, что областью определения искомого управления £7* является вся фазовая плоскость (<р, ф), если отношение правых частей уравнений из (13) таковы, что

В § 5.4.1 показано, что выполнение равенств (15) обеспечивается надлежащим выбором вспомогательного векторного поля направлений сравнения п и программного ускорения е, равного У((р, ф) из (13). Установлены условия на фазовые кривые, при выполнении которых искомая управляющая сила и является ограниченной функцией; выполнено построение вспомогательной функции-

и> = у + + дтоз2 у>С03С = С0П8* •> (16)

предназначенной для задания уравнений сепаратрисных- кривых, которые удовлетворяют условиям (15) и могут быть использованы при решении других задач аналогичного типа, например, задачи § 5.3.

В § 5.4.4 решение задачи варианта сводится к построению дифференциальной модели (13) угловых движений маятника по заданной схеме фазового портрета (рис. 4). На этой схеме верхнему асимптотически устойчивому положению перевернутого маятника соответствуют устойчивые фокусы (¿ = 0; ±2; ...)•

Рис. 4. Фазовый портрет математической модели стабилизации перевернутого маятника с раскачкой

Состояния равновесия Д (7гг, 0) (г € Z) и еташаратрисные кривые состояний равновесия Ак ((—l)fc+17r/6 + 7г(2А: + 1)/2), 0)

(к = ±1; ±3;...), которые разбивают фазовую плоскость на области притяжения состояний равновесия Г{ (i = 0;±2; ±4;...), задаются уравнениями

Из (14) следует, что искомое управление U* является ограниченной функцией, если в точках с абсциссами <р = тг(2к + 1)/2 (к € Z) касательные к кривым и>2 = 0 из (17) имеют угловые коэффициенты, равные значениям правых частей равенств (15) в соответствующих точках. Для построения функции со из (17), удовлетворяющей этим требованиям, используется функция ш((р, у) из (16).

В шестой главе "Комплекс проблемно-ориентированных программ "Model's elements" решены вопросы алгоритмизации и программирования метода решения фундаментальной проблемы с целью автоматизации аналитического построения математических моделей конкретных динамических систем с заданными свойствами их поведения. Комплекс программ "Model's elements" позволяет синтезировать дифференциальные модели, которые имеют заданные сложные состояния равновесия и со-

стояния равновесия типа фокус с заданными локальными топо-логическми структурами. Программы написаны на внутреннем языке программирования пакета математических приложений Maple V Release 5. Основу этих программ составляют алгоритмы, содержащиеся в доказательствах соответствующих теорем диссертации. Приведены тексты этих программ, которые сопровождены подробными комметариями и ссылками на соответствующие параграфы и теоремы данной диссертации. В тексты программ включены также операторы графического построения векторных полей, соответствующих искомым дифференциальным моделям. Результаты этих построений свидетельствуют о достоверности утверждений использованных теорем, составленных на их основе алгогритмов, а также правильности написания программ и их компьютерной реализации.

Приведем описание структуры пакета программ "Model's elements".

Синтезирование математической дифференциальной модели класса С\ сводится в общем случае к получению конечного числа пар функций Fife, F2k (к в Ia), Fa, F2i (г 6 /з) и Flb F2l (I е Iq) . Синтезирование этих пар функций выполняется неза-мисимо друг от друга. Для реализации алгоритмов их построения с применением компьютера в комплекс "Model's elements" вюпочены:

1. Программы синтезирования Fife, F2k Для состояний равновесия Ак (к € 1а)'-

1.а) случай, когда х — хк = 0 не является исключительным направлением Ак\

1.6) случай, когда х—хк = 0 — исключительное направление Ак. Входными данными для этих программ являются функции и координаты состояния равновесия и

типы его сепаратрис.

2.Программа синтезирования ф у н к if®, iFj® л я фокусов

(г € h). Входные данные программы: координаты фокуса Д

(г € /3), его тип (устойчивый или неустойчивый) и направление обхода фазовой точкой фокуса Д в его малой окрестности (по

ходу часовой стрелки или против).

3. Программы синтезирования ф у н к lF^, F21 pi я точек Qi (I ^ Iq)- Входные данные: координаты точки Qi, сведения о расположении в окрестности этой точки фазовых траекторий относительно особой траектории u>i = 0, проходящей через точку Q{.

Результатом выполнения каждой из этих программ являются: аналитические выражения координат вектора п, функций ■Fx...) F2... и правых частей Х(х,у) и У (ж, у) уравнений, соответствующих этим функциям математической модели вида х — Х, у = Y; графическое представление векторного поля, определяемого полученной математической моделью.

В диссертации приводятся подробные описания этих программ. Эти описания сопровождаются комметариями и ссылками на соответствующие параграфы и теоремы диссертации.

Инструментальным средством, использованным для создания программ комплекса "Model's elements", является математический пакет Maple V Release 5, который содержит: а) команды символьных преобразований и действий над математическими аналитическими выражениями; б) алгоритмический язык программирования; в) команды графических построений кривых, векторных полей и фазовых портретов.

На следующей странице приведена блок-схема одной из программ комплекса "Model's elements".

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ

РАБОТЫ

I. Первая группа результатов.

1. Решена фундаментальная проблема, состоящая в синтезировании математических моделей динамических систем, имеющих заданные особые фазовые траектории (незамкнутые траектории, предельные циклы, простые и сложные состояния равновесия) и заданную или требуемую топологическую структуру фазового портрета в целом.

Блок-схема программы синтеза функций чГд и Ггк (® — Хк = О'не является исключительным-направлением состояния равновесия- Ак)

2. Для решения фундаментальной проблемы разработан метод построения локальных базисов, позволяющих решить проблему аналитического задания топологических структур фазовых портретов (первая основная задача). Разработанный метод имеет большой самостоятельный научный интерес.

3. Для решения фундаментальной проблемы разработан метод задания глобальной топологической структуры фазового портрета математической модели (вторая основная задача).

4. Выполнено полное качественное исследование векторных полей направлений сравнения, необходимое для решения фундаментальной проблемы.

II. Вторая группа результатов.

5. Построены эффективные алгоритмы для практической реализации метода решения фундаментальной проблемы.

6. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, предназначенных для аналитического синтезирования математических моделей динамических систем с использованием компьютеров. Правильность составления этих программ и реализуемых ими алгоритмов проверена построением с применением компьютера векторных полей синтезированных моделей.

III. Третья группа результатов.

7. Составлены кинематическая и динамическая математические модели целенаправленного плоского движения материальной точки.

8. Получены управляющие силы, обеспечивающие устойчивую реализацию требуемого движения материальной точки.

IV. Четвертая группа результатов.

9. Исследован вопрос моделирования сервосвязей и нахождения их реакций, обеспечивающих требуемые свойства относительных движений тел механических систем с двумя степенями свободы. Построены модель относительных колебаний маятника, установленного на вращающейся платформе, и модель процесса стабилизации вертикального положения перевернутого маятника; найдены управляющие силы и моменты сил.

10. Построена специальная функция, предназначенная для задания особых фазовых кривых, которые обладают свойства-

ми, необходимыми для моделирования колебательных движений маятников и нахождения ограниченных управляющих функций в задачах управления этими движениями. Эта специальная функция использована для решения задачи о стабилизации перевернутого маятника.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построение дифференциальных операторов динамических систем. М.: Изд-во РУДН, 1999. 212 с.

2. Алгоритмы и программы синтеза математических моделей динамических систем по фазовым портретам. М.: Изд-во РУДН, 2004. 68 с.

3. Волков С. В. Исключительные кривые и нормальные области состояния равновесия динамической системы на плоскости // Вестник РУДН. Сер. "Прикладная математика и информатика". 1996. № 1. С. 3 - 7.

4. Волков С. В. Аналитический способ задания топологических структур сложных состояний равновесия динамической системы на плоскости // Вестник РУДН. Сер. "Прикладная математика и информатика". 1996. №2. С. 3 - 19.

5. Волков С. В. Аналитический способ задания топологических структур состояний равновесия типа фокус динамических систем на плоскости // Вестник РУДН. Сер. "Прикладная математика и информатика". 1998. № 1. С. 3 - 15.

6. Волков С. В. Об аналитическом задании структур сложных состояний равновесия динамических систем на плоскости // Вестник РУДН. Сер. "Прикладная математика и информатика". 1999. № 1. С. 12 - 22.

7. Волков С. В. К задаче о стабилизации перевернутого маятника // Вестник РУДН. Сер. "Прикладная математика и информатика". 2000. № 1. С. 3 - 7.

8. Волков С. В. Построение на плоскости систем дифференциальных уравнений по разбиению на траектории области, имеющей особые точки только на границе // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. № 8. С. 1313 - 1317.

9. Волков С. В. Управление относительными колебаниями маятника, установленного на вращающейся платформе // Механика твердого тела. 2002. № 2. С. 25 - 35.

10. Волков С. В. (совм. с Земцовой Н. И.) Синтез математических моделей динамических систем с заданными состояниями равновесия типа фокус // Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений. Сб. научн. трудов. М.: Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН, 2004. С. 181 - 191.

11. Управление квазилинейными системами с двумя степенями свободы // Доклады РАН. 2002. Т. 384. № 1. С. 43 - 46.

12. Волков С. В. Построение систем дифференциальных уравнений в трехмерном пространстве по свойствам интегральных кривых // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 4. С. 569 - 576.

13. Волков С. В. О построении динамических систем в трехмерном пространстве // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 9. С. 1633 - 1635.

14. Волков С. В. Системы дифференциальных уравнений, имеющие заданные особые траектории и топологические структуры фазовых портретов // 5 Междунар. семин. "Устойчивость и колебания нелинейных систем", Москва, 3-5 июня, ИПУ, 1998: Тез. докл. М., 1998. С. 44.

15. Волков С. В. О стабилизации в целом верхнего положения перевернутого маятника с раскачкой // 6 Между-нар. семин. "Устойчивость и колебания нелинейных систем", Москва, 6 - 8 июня, ИПУ, 2000: Тез. докл. М., 2000. С. 22.

16. Волков С. В. Составление уравнений сепаратрисных фазовых кривых при решении обратных задач динамики // 5 Междунар. математич. школа "Метод функций Ляпунова и его приложения", Крым, Алушта, 5-13 сентября 2000: Тез. докл. Алушта, 2000. С. 48.

17. Волков С. В. Построение на плоскости системы дифференциальных уравнений по заданному разбиению на траектории в целом // Дифференциальные уравнения и обратные задачи динамики: Сб. науч. тр. Ун-та дружбы народов. М.: Изд. УДН, 1983. С. 135 - 141.

18. Волков С. В. Локальные базисы, фазовые портреты и построение динамических систем на плоскости // Проблемы механики управляемого движения: Сб. науч. тр. / Пермский гос. ун-т. Пермь: ПГУ. 1989. С. 26 - 30.

19. Волков С. В. Построение динамических систем на плоскости // Проблемы механики управляемого движения. Сб. науч. тр. / Пермский гос. ун-т. Пермь: ПГУ. 1992. С. 35 - 45.

20. Волков С. В. Качественное исследование векторных полей направлений сравнения, используемых для построения динамических систем // Оптимальное функционирование, сохранение устойчивости и надежность систем железнодорожного транспорта. Сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 1996. С. 46 - 49.

21. Волков С. В. Использование компьютерных программ символьных вычислений для математического моделирования динамических систем с данными свойствами поведения // Качественное исследование и устойчивость математических моделей транспортных динамических систем.: Сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С. 75 - 78.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.П»тербу»г

33 ♦ ОЭ Ч» ант

22. Волков С. В. О комплексе проблемно-ориентированных программ для математического моделирования динамических систем по фазовым портретам // Математическое моделирование транспортных динамических систем, устойчивость и качественный анализ. Сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С. 17 - 22.

23. Волков С. В. Построение систем дифференциальных уравнений по разбиению на траектории выпуклой многоугольной области в Д2 / Ун-т дружбы народов им. П. Лумумбы. М., 1984. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 3.10.1984, № 6524-84.

24. Волков С. В. Построение на плоскости систем дифференциальных уравнений по разбиению на траектории области, имеющей особые точки только на границе / Ун-т дружбы народов им. П. Лумумбы. М., 1985. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 26.06.1985, № 4588-85.

25. Волков С. В. Построение динамических систем на плоскости / Ун-т дружбы народов им. П. Лумумбы. М., 1989. 28 с. Деп. в ВИНИТИ 12.04.1989, № 23744-В89.

26. Волков С. В. Фазовые портреты, поля направлений сравнения и динамические системы на плоскости // Тез. докл. ХХХ-й научн. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук Рос. ун-та дружбы народов. М.: Изд-во РУДН, 1994. С. 56.

27. Волков С. В. Топологические структуры векторных полей направлений сравнения // Тез. докл. XXXI научн. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук Рос ун-та дружбы народов. М.: Изд-во РУДН, 1995. С. 34.

28. Волков С. В. Качественное исследование векторных полей направлений сравнения, используемых при построении динамических систем // Тез. докл. XXXII научн. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук Рос. ун-та дружбы народов. М.: Изд-во РУДН, 1996. С. 16 - 17.

29. Волков С. В. Полное задание топологической структуры фазового портрета динамической системы на плоскости в. аналитической форме // Тез. докл. XXXII научн. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук Рос. ун-та дружбы народов. М.: Изд-во РУДН, 1996. С. 17 - 18.

30. Волков С. В. Построение динамических систем, фазовые портреты которых имеют заданную топологическую структуру // Тез. докл. XXXII научн. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук Рос. ун-та дружбы народов. М.: Изд-во РУДН, 1996. С. 19 - 20.

31. Волков С. В. Сглаживающие множители для решения обратных задач качественной теории динамических систем на плоскости // Тез. докл. XXXIII научн. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук Рос. ун-та дружбы народов. М.: Изд-во РУДН, 1997. С. 19.

32. Волков С. В. Условия существования устойчивого режима биений системы двух связанных маятников // Тез. докл. XXXIII науч. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук Рос.ун-та дружбы народов. М.: Изд-во РУДН, 1997. С. 20.

33. Волков С. В. Колебания плоского маятника с подвижной осью около наивысшего положения // Тез. докл. XXXIV научн. конф. ф-та физ.-матем. и естеств. наук Рос. ун-та дружбы народов. М.: Изд-во РУДН, 1998. С. 26 - 27.

34. Волков С. В. О некоторых свойствах фазовых кривых, неоходимых для стабилизации перевернутого маятника // Тез. докл. XXXV Всероссийской научн. конф. по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания. 24 — 28 мая 1999 г. М.:Изд-во РУДН, 1999. С. 33 - 34.

35. Волков С. В. Построение сепаратрисных фазовых кривых для механических систем с одной степенью свободы // Тез. докл. XXXVI Всероссийской научн. конф. по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания. М.: Изд-во РУДН, 2000. С. 27 - 28.

Подписано в п е ч гг/ 6. О ЬоЧ Формат 60x84/16. Тиражэкз. Усл. печ. л/«/3". Заказ 0

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

Введение

§ 0.1 Математические модели динамических систем и задачи их изучения.

§ 0.2 Обратные задачи динамики и теории дифференциальных уравнений. Исторический обзор.

§ 0.3 Основные понятия и положения качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости.

§ 0.4 Общая характеристика диссертации.

Глава 1 Постановка фундаментальной проблемы

§ 1.1 Введение.

§ 1.2 Обозначения и предположения.

§ 1.3 Фундаментальная проблема.

§ 1.4 Исключительные кривые и нормальные области состояния равновесия.

Глава 2 Первая основная задача: выбор направлений сравнения и построение их направляющих векторов

§ 2.1 Введение.

§ 2.2 Построение векторных полей направлений сравнения

§ 2.3 Метод исследования. Основная лемма.

§ 2.4 Структуры состояний равновесия А к

§ 2.4.1 Исследование направлений, не параллельных оси у

§ 2.4.2 Исследование направления х = О.

§ 2.5 Структура состояний равновесия Г{.

§ 2.6 Структура состояний равновесия Qi.

§ 2.7 Глобальные топологические структуры векторных полей направлений сравнения

Г л а в а 3 Вторая основная задача: аналитическое задание свойств фазового портрета

§ 3.1 Введение.

§ 3.2 Выбор функций для задания свойств фазовых портретов

§ 3.3 Свойства нулей F-функций.

§ 3.4 Строение .F-функций состояний равновесия Аь

§ 3.4.1 Строение F-функций вблизи исключительного направления, отличного от направления х = О

§ 3.4.2 Строение F-функций вблизи исключительного направления х = О.

§ 3.5 Строение F-функций состояний равновесия типа фокус

§ 3.5.1 F-функции систем уравнений, отличных от систем уравнений вида х = 2/, у = Y(x, у)

§ 3.5.2 F-функции систем уравнений вида х = у, у = У (ж, у)

§ 3.6 Строение .F-функций в точках Qi.

§ 3.6.1 jF-функции систем уравнений, отличных от систем уравнений вида х = ?/, у = У (ж, у).

§ 3.6.2 F-функции систем уравнений вида ж = у, у = У (ж, у)

§ 3.7 Строение F-функций фазового портрета в целом. Проблема согласования.

§3.8 Дополнительные свойства решений фундаментальной проблемы

Глава 4 Математическое моделирование целенаправленного движения материальной точки на плоскости

§ 4.1 Введение.

§ 4.2 Кинематическая и динамическая математические модели движения точки.

§ 4.3 Синтез кинематической модели движения точки.

§ 4.3.1 Постановка задачи.

§ 4.3.2 Построение вектора п.

§ 4.3.3 Построение .F-функций состояний равновесия.

§ 4.3.4 Построение F-функций в области П в целом.

Глава 5 Математическое моделирование относительных управляемых движений материальных тел

§ 5.1 Введение.

§ 5.2 Кинематические и динамические математические модели относительных движений твердых тел.

§ 5.3 Математические модели и управление относительными колебаниями маятника на вращающейся платформе.

§ 5.3.1 Постановка задачи.

§ 5.3.2 Построение вектора ft.

§ 5.3.3 Построение F-функций состояний равновесия.

§ 5.3.4 Построение F-функций в целом.

§ 5.3.5 Построение управляющего момента.

§ 5.4 Математические модели стабилизации перевернутого маятника

§ 5.4.1 Постановка задачи и схема ее решения

§ 5.4.2 Построение сепаратрисных фазовых кривых.

§ 5.4.3 Построение .F-функций и управляющей силы.

§ 5.4.4 Стабилизация перевернутого маятника с предварительной раскачкой.

Г л а в а 6 Комплекс проблемно-ориентированных программ "Model's elements"

§ 6.1 Введение.

§ 6.2 Программы синтеза F-функций состояния равновесия А\.

§ 6.2.1 Программа синтеза .F-функций состояния равновесия Ak, не имеющего исключительного направления х = О

§ 6.2.2 Программа синтеза .F-функций состояния равновесия Ak, имеющего исключительное направление х = О.

§ 6.3 Программа синтеза .F-функций состояния равновесия Г{ типа фокус.

§ 6.4 Программа синтеза jP-функций в точке Qi.

§ 6.5 Замечания и рекомендации по использованию комплекса программ

Диссертационная работа посвящена развитию известных и разработке новых конструктивных аналитических методов синтеза математических дифференциальных моделей динамических систем по фазовым портретам, отражающим требуемые или заданные свойства их поведения, а также созданию комплекса проблемно-ориентированных программ реализации этих методов с применением компьютеров.

Обсудим сначала общие вопросы использования математических моделей в научных исследованиях.

§0.1 Математические модели динамических систем и задачи их изучения

Главной задачей научного естествознания является изучение динамических систем с целью поиска способов описания, предсказания и влияния на их развитие [16,18,25,50,55]. Основным приемом достижения этой цели является метод математического моделирования динамических систем, позволяющий с достаточной точностью описывать и прогнозировать поведение динамической системы произвольной физической природы. Математическая модель динамической системы определяются согласно А. Пуанкаре фазовым пространством (или пространством возможных состояний) Rn и однозначным оператором T(t), который зависит от параметра t и задает закон изменения этих состояний во времени [36,71,72]. Предполагается, что такой оператор каждой фазовой точке х £ jRn ставит в соответствие фазовую точку х — T(t)x и обладает свойством

T(t2)T{t{)x = T(h + t2)x, где £2 > 0 — значения параметра t. Различают операторы линейные, нелинейные, непрерывные, дискретные, а по форме задания — дифференциальные, интегральные и т. д. [17,64,66].

В данной работе объектами изучения являются математические модели динамических систем, которым соответствуют конечномерные пространства состояний Rn и дифференциальные опрераторы Т(£). Каждую из таких моделей можно рассматривать, следуя [9,10], как фазовый поток {М, д1}, где фазовое пространство М — конечномерное дифференцируемое многообразие, а дь — однопараметрическая группа диффеоморфизмов этого пространства. В этом случае движением точки х Е М фазового потока называется отображение (р : R —>• М, <p(t) = дьх вещественной оси t в фазовое пространство. Образ этого отображения в М называется фазовой кривой. Любое движение является решением уравнения х = v(x), где v(x) — векторное поле фазовых скоростей потока [9,10].

Из этих определений следует, что динамическая система любой природы, описываемая системой дифференциальных уравнений вида хг = Хг{хь.,хп) (г = 1,. ,n) (1) класса Ci, где xi,., хп — переменные состояния, представляет собой фазовый поток. При изменении состояния фазового потока изображающая точка описывает в фазовом пространстве кривую, называемую фазовой траекторией. Разбиение на траектории фазового пространства определяет фазовый портрет фазового потока, который служит его геометрическим образом, изображающим все возможные случаи эволюции его состояния во времени [6,7,9,10,17,64,66].

Задание фазового портрета математической модели дает полное представление о всех возможных изменениях состояний фазового потока, что объясняется существованием зависимости между свойствами его поведения и свойствами соответствующего ему разбиения на траектории фазового пространства i?n. Топологическая структура фазового портрета математической модели характеризуется совокупностью ее особых фазовых многообразий, их локальными структурами и взаимным расположением [6,7]. В частности, особые точки соответствуют состояниям равновесия или стационарным режимам, а изолированные замкнутые траектории (предельные циклы) — периодическим режимам; устойчивые состояния равновесия и предельные циклы отвечают установившимся режимам; сепаратрисные поверхности являются границами областей притяжения устойчивых многообразий и определяют множества соответствующих переходных режимов и т. д.

Существованием такой связи между поведением фазового потока и свойствами разбиения на траектории фазового пространства обусловлены возможность и целесообразность постановки и решения задач двух следующих типов: a) правые части уравнений (0.1) математической модели динамической системы являются известными функциями. Требуется определить возможные случаи поведения соответствущего фазового потока в некоторой данной области фазового пространства. В терминах качественной теории дифференциальных уравнений это означает установление топологической структуры математической модели в указанной области фазового пространства; b) некоторые свойства поведения фазового потока заданы в виде совокупности отдельных фазовых траекторий и схемы разбиения на траектории некоторой области фазового пространства. Требуется определить математические модели вида (0.1), обладающие заданными свойствами фазового портрета.

Постановка задачи типа а) является традиционной и наиболее распространенной в современной теории математического моделирования. Её решение предполагает нахождение схемы топологической структуры математической модели в некоторой области области фазового пространства. "Однако вопрос, как найти схему, остается открытым, так как до настоящего времени не существует никаких регулярных методов, позволяющих установить существование предельных циклов динамических систем и найти их расположение, а также расположение сепаратрис" [7]. "Отсутствие точных универсальных методов исследования нелинейных систем обусловило разработку богатого арсенала приближенных аналитических и численно-аналитических методов, могущих быть реализуемыми в эффективных компьютерных алгоритмах" [28]. К таким методам относятся метод итерации (последовательных приближений), методы преобразования первоначальных уравнений (метод усреднения, например), метод выделения основных или главных частот движения планет и спутников, которые имеют достаточно сложный характер, методы разложения в ряды (степенные, тригонометрические и т.д.), численно-аналитические асимптотические методы построения решений дифференциальных уравнений [27 - 30], методы функций Ляпунова [19,31,34, 38,39,54,76,86]. Решение задач типа а) является в свою очередь математической основой для конструирования управляемых и целенаправленных технических систем [48]. Основными методами такого конструирования являются методы математической теории управления (метод максимума Понтрягина, метод динамического программирования Беллмана, теория линейных управляемых систем), общая теория систем, теория системной безопасности, теория надежности и устойчивости систем [5,11,19,25,43,48,55,70,76].

Задача Ь) является обратной по отношению к задаче а), и её решение может быть использовано для построения математических моделей динамических систем с заданными или требуемыми свойствами их поведения. Такой, отличный от традиционного, подход к математическому моделированию позволяет аналитически синтезировать сложные математические модели без использования приближенных и асимптотических методов их исследования, применение которых приводит к трудноразрешимым математическим проблемам, позволяет установить в общем случае лишь локальные свойства траекторий фазового портрета и не дает достаточно полной информации о всех возможных случаях поведения исследуемой математической модели. Несмотря на известность решений целого ряда отдельных классических обратных задач динамики И. Ньютоном [69], М. Ж. Бертраном [92], И. В. Мещерским [56], Н. Б. Жуковским [37], В. П. Ермаковым [33], Г. К. Сусловым [78] и другими известными учеными, в настоящее время не существует развитой общей математической теории решения обратных задач. Этот факт можно объяснить отсутствием соответствующего математического аппарата. С математической точки зрения перечисленные выше задачи являются обратными задачами теории дифференциальных уравнений. Научные результаты, накопленные к концу 60-х годов XX века в области качественной теории дифференциальных уравнений, открыли возможности для разработки новых подходов и методов решения обратных задач. Первые шаги по классификации постановок и систематизации методов решения обратных задач, по созданию общей математической теории их решения и практического использования сделаны А. С. Галиуллиным и его многочисленными учениками [20 - 24, 57 -61]. Основу этой теории составляют метод Н. П. Еругина [35] построения систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегральные кривые, и идея о возможности использования произвольных функций (называемых функциями Еругина), содержащихся в этих уравнениях, для обеспечения и других дополнительных требуемых свойств решений этих уравнений [35]. В результате реализации этой идеи и использования известных методов теории устойчивости были разработаны методы построения систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные совокупности интегральных многообразий, обладающих требуемыми свойствами устойчивости. Эти методы были применены для решения многочисленных прикладных задач из области аналитической динамики и теории управления. Особенностью всех известных в настоящее время методов решения обратных задач подобного типа является то, что с их помощью можно добиться требуемых свойств поведения решений только в окрестностях заданных интегральных многообразий. Однако наибольший прикладной интерес представляют методы построения математических моделей, фазовые портреты которых имеют заданную топологическую структуру фазового пространства в целом. Разработка таких конструктивных методов, которые открывают новые возможности для математического моделирования динамических систем и управления их поведением, а также создание пакета программ компьютерной реализации этих методов является главной целью данной диссертационной работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы, в частности, для математической формализации целей управления при конструировании управляемых динамических систем. Эти цели могут состоять, например:

- в возможности изменения состояний меделируемой динамической системы в определенной их последовательности (что равносильно существованию определенной фазовой траектории соответствующей математической модели (0.1));

- в отсутствии или существовании периодических и стационарных режимов, имеющих требуемый характер их устойчивости;

- в существовании определенных переходных режимов и заданных областей притяжения установившихся режимов.

Целесообразность такого использования решений задач типа обусловлен тем, что:

- выполнения требуемых свойств поведения математической модели, не включенных в число заданных при постановке обратной соответствующей задачи, приходится добиваться соответствующим выбором управляющих функций после состаления уравнений (0.1) этой моделей. Это приводит в общем случае к необходимости дополнительных качественных исследований синтезированной математической модели, что является (даже при п = 2) довольно сложной, а в большинстве случаев практически трудноразрешимой задачей;

- дифференциальные уравнения несравненно богаче по разнообразию отражаемых ими свойств, чем уравнения конечные [46,47];

- методы построения систем уравнений (0.1) допускают включение в их правые части произвольных функций, которые не влияют на топологическую структуру искомых математических моделей и, благодаря этому, могут быть использованы для обеспечения дополнительных свойств поведения описываемых ими управляемых объектов, процессов или явлений;

- сравнение математических моделей динамической системы, одна из которых получена в результате решения обратной задачи типа Ь), а другая — на основе законов естествознания, позволяет получить управления, обеспечивающие требумые движения динамической системы, соответствующей этим моделям.

Представленные в работе методы построения математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями вида (0.1) в случае п = 2, сводятся к решению обратных задач качественной теории дифференциальных уравнений. Сложность решения этих задач зависит от числа и характера требуемых свойств моделируемых систем. Математической основой разработки этих методов служат фундаментальные положения качественной теории дифференциальных уравнений, известные методы исследования особых траекторий (в частности, метод М. Фроммера изучения особых точек [80]) и методы построения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегральные кривые и многообразия [20 - 24,35,57- 62,98,100].

1. Альмухамедов М. И. Обратная задача качественной теории дифференциальных уравнений / / Изв. вузов. Математика. 1963. № 4 (35). 3 - 6 .

2. Альмухамедов М. И. О конструировании дифференциального уравнения, имеющего своими предельными циклами заданные кривые / / Изв. вузов. Математика. 1965. J^ 1 (44). 12 - 16.

3. Андреева Е. А., Колмановский В. В., Шайхет Л. Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

4. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г Качественная теория динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1966.

5. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

6. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960.

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. 4, - 3 0 5 -

8. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. ^ И. Афанасьев В. Н., Колмановский В. В., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 1989.

9. Виркгоф Дэю. Динамические системы. М.: Гостехиздат. 1941.

10. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Физматгиз. 1994.

11. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М.: Наука. 1974.

12. Боголюбов Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике / / Сб. трудов ин-та строительной механики АН СССР. 1950. №14.

13. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем М.: Наука. 1978.

14. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. Щ 18. Волкова В. Н., Денисов А. А. Основы теории систем и системного анализа. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997.

15. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

16. Галиуллин А. С, Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г., Фурасов В. Д. Построение уравнений программного движения управляемых систем. М.: изд. УДН, 1969.

17. Программное движение механических систем / Под ред. А. Галиу- ллина: Учеб. пособие. М.: изд. УДН, 1971.

18. Галиуллин А. Построение уравнений движения / / Дифференциальные уравнения. 1977. № 2. 32 - 45. - 3 0 6 -

19. Галиуллин А. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986.

20. Галиуллин А. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 1981.

21. Гиг Дою., ван. Прикладная общая теория систем. Т. 1, 2.— М.: Мир, 1981.

22. Горячев Д. Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела. Варшава, 1910.

23. Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1999.

24. Гребеников Е. А., Митропольский Ю. А., Рябов Ю. А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999.

25. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем М.: Наука. 1979.

26. Гробман Д. М. Топологическая и асимптотическая эквивалентеость систем дифференциальных уравнений / / Матем. сб. 1963. Т. 61. №1.

27. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967.

28. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1964.

29. Ермаков В.П. Определение силовой функции по данному семейству траекторий. Собр. соч. Т. 1. М.; Л.: Гостехиздат, 1948.

30. Еругин Н. П. Качественные методы в теории устойчивости. / / ПММ. 1955. Т. 19. Вып. 2. 227 - 236. 4, • )