автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы и алгоритмы исследования оптимизационных моделей распределения источников тепла

кандидата физико-математических наук
Осипов, Олег Васильевич
город
Белгород
год
2015
специальность ВАК РФ
05.13.18
Автореферат по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Методы и алгоритмы исследования оптимизационных моделей распределения источников тепла»

Автореферат диссертации по теме "Методы и алгоритмы исследования оптимизационных моделей распределения источников тепла"

На правах рукописи

Осипов Олег Васильевич

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

25ФЕВ 2015

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2015

005559474

005559474

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова»

Научный руководитель: Брусенцев Александр Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Ломазов Вадим Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатики и информационных технологий ФГБОУ ВПО «Белгородская государственная сельскохозяйственная академия имени В.Я. Горина»

Черноморец Андрей Алексеевич,

кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский

университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет»

Защита состоится «27» марта 2015 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 при ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет». Адрес: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85, e-mail: D212.015.04Sbsu.edu.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85 н на сайте https://www.bsu.edu.ru.

Автореферат разослан февраля 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 212.015.04, кандидат физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из видов объектов, широко распространённых в различных областях человеческой деятельности, являются системы источников тепла в области пространства, находящейся в состоянии стационарного теплового баланса с окружающей средой. При математическом моделировании таких систем часто возникает связанная с ресурсосберегающими технологиями инженерная задача об оптимальном распределении источников тепловых полей. Эта задача всегда была актуальной при проектировании в строительстве, металлургии и других областях техники и технологий. Она имеет ряд постановок, которые различаются критериями оптимизации. По сути, здесь имеется целый ряд задач, различных как по постановке, так и по методам решения. Эти задачи стоят в ряду более общих по прикладному содержанию задач оптимального выбора источников физических полей.

В типичной постановке задача об оптимальном выборе источников тепловых полей состоит в таком выборе распределения источников, при котором создаваемое ими температурное поле наименьшим образом отличается от заданного. В качестве критерия оптимизации здесь обычно выступает квадратичный функционал. С математической точки зрения эта задача относится к задачам оптимального управления для эллиптических краевых задач. Существование решений и общие свойства подобных задач для квадратичных целевых функционалов, а также приближённые методы их решения изучались рядом авторов (см. [1,2] и приведённую там библиографию). Эту задачу можно отнести также к обратным задачам теплопроводности (ОЗТ), методы приближённого решения которых рассмотрены в [3]. Однако и здесь речь идет, в основном, о квадратичном целевом функционале.

На практике при оптимальной организации обогрева жилых и производственных помещений, теплиц и т.д. естественно стремиться получить не заданное температурное поле, а обеспечить некоторый температурный коридор при минимальных энергетических затратах. В настоящей работе и рассматривается задача нахождения распределения плотности источников тепла, которое обеспечивает заданный температурный режим при минимальной суммарной мощности этих источников. При численном решении этой задачи возникает ряд трудностей, и до настоящего времени она практически не рассматривалась. Целевой функционал здесь является линейным и в силу отсутствия у него свойства коэрцитивности возникают значительные трудности в установлении существования точного решения. Вообще говоря, точного решения этой задачи может не существовать. В настоящей работе постановка задачи уточняется и вводится так называемое квазирешение, которое с прикладной точки зрения вполне приемлемо. В диссертации предлагается способ конечномерной аппрок-

симации задачи, на основании которого разрабатываются основные алгоритмы, и создается методика приближённого нахождения квазирешения. Эти аппроксимации образуют последовательность задач линейного программирования и, как показано в диссертации, эта последовательность обладает особым свойством регулярности по функционалу. Это свойство обеспечивает принципиальную возможность приближённого нахождения квазирешения. Однако для основных алгоритмов отсутствуют теоретические оценки необходимого количества операций. Поэтому эффективность этих алгоритмов далеко не очевидна и требует подтверждения в ходе вычислительных экспериментов. В ходе исследования разработан программно-инструментальный комплекс HeatCore, с помощью которого выполнены вычислительные эксперименты, свидетельствующие о достаточной эффективности основных алгоритмов и всей методики в целом. Большое внимание уделено разработке эффективных алгоритмов для моделирования оптимального обогрева в 3-мерных областях, поскольку для этого требуется большое количество машинного времени.

Целью работы является исследование новых оптимизационных моделей распределения источников тепла и разработка методов и алгоритмов оптимизации распределения источников тепла по критерию минимальности их суммарной мощности.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Для оптимизационных моделей распределения источников тепла предложить и обосновать аппроксимацию задач оптимального распределения плотности источников тепла (ОРПИТ) в виде задач линейного программирования.

2. Разработать методы и алгоритмы приближённого решения задач ОРПИТ для следующих сред: однородная неподвижная среда, неоднородная неподвижная среда, однородная движущаяся среда.

3. Создать программно-инструментальный комплекс для проведения численных экспериментов и проверить с его помощью эффективность разработанной методики нахождения ОРПИТ.

Методы исследования. В работе используются методы теории эллиптических краевых задач, функционального анализа, линейного программирования и конечно-разностные методы приближённого решения краевых задач. Для решения возникающих систем линейных уравнений применялись итерационные методы, адаптированные для работы с разрежёнными матрицами больших размерностей. Созданный на языке С# программно-инструментальный комплекс использует библиотеки OpenGL и Microsoft XNA для визуализации результатов численных экспериментов.

Научная новизна.

1. Для оптимизационных моделей распределения источников тепла введено понятие квазирешения задач ОРПИТ в новой формулировке, построены последовательности конечномерных аппроксимаций таких задач и установлена их регулярность по функционалу.

2. Разработаны новые методы и алгоритмы нахождения квазирешения задач ОРПИТ, основанные на сведении исходной задачи к задаче линейного программирования.

3. С помощью созданного в диссертационном исследовании программного комплекса экспериментально установлена достаточно быстрая стабилизация минимальных значений целевых функций задач ОРПИТ в широком диапазоне основных параметров оптимизационных моделей.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Исследование оптимизационных моделей распределения источников тепла. Построение последовательности конечномерных аппроксимаций для задачи ОРПИТ и установление их регулярности по функционалу.

2. Методы и алгоритмы численного решения задачи нахождения ОРПИТ путём построения конечномерных аппроксимаций в виде последовательности задач линейного программирования.

3. Программно-инструментальный комплекс для численного решения задачи нахождения ОРПИТ в одномерном, двумерном и трёхмерном случаях с возможностью графической визуализации результатов вычислений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней поставлена новая задача нахождения оптимального распределения плотности источников тепла и разработан метод её решения. В перспективе, предложенные алгоритмы можно использовать при разработке расширений для САЕ-систем. На практике программный комплекс может быть использован для синтеза оптимальных систем обогрева жилых и производственных помещений.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по следующим областям исследований:

п.2. Развитие качественных и приближённых аналитических методов исследования математических моделей.

п.З. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

п.4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вы-

числительного эксперимента.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научных конференциях: XXIV Международная научная конференция — «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-24)» (Национальный технический ун-т Украины «КПИ», г. Киев, 2011 г.); Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (ИПК НИУ «БелГУ», г. Белгород, 2011 г.); Международная молодёжная конференция «Прикладная математика, управление и информатика» (ИПК НИУ «БелГУ», г. Белгород, 2012 г.); XXV Международная научная конференция — «Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-25)» (Национальный технический ун-т «ХПИ», г. Харьков, 2012 г.); Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (ИПК НИУ «БелГУ», г. Белгород, 2013 г.); VIII Международная научно-практическая конференция «Инновационное развитие: физико-математические и технические науки» (г. Москва, август 2014); а также на семинарах Орловского государственного университета, Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова, НИУ «БелГУ».

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 9 публикациях, 3 из которых в журналах, рекомендованных ВАК. В результате работы над диссертацией создан ряд программ для ЭВМ, три из которых получили государственную регистрацию.

Структура и объём работы. Диссертация объёмом 122 страницы состоит из введения, 4 глав, разбитых на разделы, заключения и библиографического списка, состоящего из 115 наименований.

Во введении дан литературный обзор результатов по задачам оптимизации расположения источников тепла. Отмечены отличия задачи, исследуемой в диссертации от рассмотренных ранее. Обосновывается актуальность темы диссертации и её научная ценность. Дан краткий обзор содержания работы по главам.

В главах 1 и 2 рассматриваются оптимизационные модели распределения плотности источников тепла в неподвижной среде. В ограниченной связной области О С К171 требуется определить функцию f{x) ^ 0, доставляющую минимум линейному функционалу:

Содержание работы

при следующих условиях

V • (iiVu) + / = О, ди

+ аи

on

О,

3D

М(х) > и(ж) + То ^ тп(х), (3)

где = Т(х) — То — разница между температурой внутри D и температурой То окружающей среды, а{х) — функция теплопередачи через границу 3D во внешнюю среду, х(х) > 0 — теплопроводность среды, X = >с/(рс) — её температуропроводность, р — плотность, с — удельная теплоёмкость, тп(х), М(х) — задаваемые в области D минимальный и максимальный профили температур, которые считаются непрерывными функциями. Плотность источников тепла f(x) считается принадлежащей пространству квадратично интегрируемых функций. В первой главе рассматривается модель с постоянной теплопроводностью среды (х(х) = const), а во второй главе этот коэффициент считается заданной функцией от х.

Обозначим через 7 нижнюю границу значений функционала ./{/}, когда /(£) пробегает множество неотрицательных функций из Ь2{0), удовлетворяющих условиям (2), (3).

Определение 1. Квазирешением оптимизационной задачи (1)-(3) при данном допуске е > 0 назовём такую функцию /о(ж) ^ 0 из удовлетворяющую ограничениям (2), (3), для которой выполняется неравенство J{fo} ^ 7 +

Приемлемость квазирешения определяется малостью е. Ниже излагается метод численного нахождения квазирешения при заданном е > 0. Предположим, что существуют такие положительные числа Qo и <5о, для которых выполнены неравенства х(х) ^ Qq (х G D), ¡3(х) ^ So (х € 3D), где (3(х) = а(х)/х(х)- Тогда оператор Lu = —V • (jiVu) с краевым условием (ди/дп + ¡Зи) |д£)= 0 будет самосопряжённым, положительно определённым в L2(D), а значит, он имеет ограниченный обратный оператор G = L~l [4]. С его помощью можно переформулировать задачу (1)-(3) как задачу на минимум функционала (1) при следующих условиях на плотность источников:

/(я) е L2{D)- М(х) - То ^ (Gf)(x) ^ тп(х) - Т0. (4)

Построим конечномерную аппроксимацию задачи (1), (4) в виде задачи линейного программирования. Разобьём область D на п частей

\D= (J Dj>. Определим подпространство Sn(D) кусочно-постоянных j=1 >

функций вида f(x) = fj, хGDj (j = 1,2,...,n). Введём в Sn(D) базис, состоящий из функций Cj(х) = 1, х € Dj, и ej(x) =0, хф Dj. Тогда

п

f(x) =^2fjej(x). Введём обозначения aij = (Gej,ei), (т(х) — То, Ci(x)) — щ, - j=1

(М(х) — То, ei(x)) — bi, где (•, •) — скалярное произведение в L^D). Подставляя выражение для f{x) в (1) и умножая скалярно в L2(-D) неравенства в (4) на dj(x), получаем задачу линейного программирования

п

Jn{f} = yi(mesDj)fj -»■ min,

(5)

а. < ^dijfj < h, /¿^0(г' = 1,2,...,п). j=i

Для выяснения связи между задачами (1)-(3) и (5) последнюю обозначим через Z0(n). Рассмотрим последовательность задач Zo(n), отвечающую такой последовательности разбиений области D, что п —> оо. Назовём эту последовательность конечномерной аппроксимацией задачи (1)-(3). Обозначим через (Jn)min — минимальное значение целевой функции задачи Zo(n).

Определение 2. Конечномерную аппроксимацию последовательности задач Zq (п) назовём регулярной по функционалу, если справедливо неравенство

lim (Jn) min ^ OS

тг—>оо

где 7 — число, фигурирующее в определении 1.

В главах 1 и 3 показано, что при ш^Зи условиях

1) m(x) -T0>S0>Q; 2) lim max(diamD,-) = 0 (6)

n—> oo j

конечномерная аппроксимация является регулярной по функционалу. При наличии регулярности по функционалу и условии 2) решение

п

f(x) = fjCj(x) конечномерной задачи Zo(n) при достаточно большом ¿=1

п можно считать приближённым квазирешением. Действительно, система ограничений в (5) означает, что неравенства (4) удовлетворяются в среднем по Dj. При этом значение (Jn)mjn при достаточно больших п не превосходит j + е.

Самым трудным с вычислительной точки зрения является нахождение элементов матрицы ац = (Gcj, ег), которую мы в дальнейшем называем обменной матрицей. Оператор G — интегральный оператор, ядро которого является функцией Грина краевой задачи (2). Построение обменной матрицы для одномерной модели (т = 1) не вызывает затруднений, т.к.

функция Грина может быть получена в явном виде, и поэтому элементы aij можно вычислять аналитически. При т > 1 элементы обменной матрицы а^ находятся только численно с использованием консервативных конечно-разностных схем на прямоугольных сетках [5]. Построение а^ в этом случае эквивалентно решению п прямых задач теплопроводности. При этом численно находится функция = Се^, которая является решением краевой задачи (2) с / = ej, а затем численным интегрированием определяются элементы аПостроенную задачу (5) можно решить симплекс-методом, или одним из методов внутренних точек. В одномерном случае реализованы оба алгоритма построения а^ — численный и аналитический. Эти алгоритмы при моделировании дают одинаковый результат, что позволяет сделать предположение о применимости численного способа для нахождения обменной матрицы и в многомерном случае.

Замечание 1. Для оценки результатов приближённого решения задачи (1)-(3) весьма полезным является следующее неравенство (см. дис-серт., гл. 1, замечание 1)

Для численного моделирования оптимального распределения источников тепла создан программно-инструментальный комплекс Неа1,Соге, написанный на языках С#/С++. Для построения конечно-разностной схемы область имеющая форму параллелепипеда в Ит, разбивается на ячейки которые считаются одинаковыми объектами: отрезками при т = 1, прямоугольниками при т = 2 и параллелепипедами при т = 3. В дальнейшем считается, что ячейки возникают в результате разрезания области И точками (т = 1), двумя семействами параллельных сторонам Г> прямых (т = 2) или тремя аналогичными семействами плоскостей

В главах 1,2 проведён ряд численных экспериментов с различными параметрами среды, профилями температур и другими входными данными для областей различных форм и размерностей. Наблюдалась сравнительно быстрая устойчивая стабилизация минимальных значений целевых функций (»/п)тт с ростом числа разбиений п при дискретизации области, которая отражена на графиках (рис. 6а). Устойчивость стабилизации подтверждается тем, к примеру, при п > 1000 в проведённых экспериментах значение {Jn)т\п стабилизируется с погрешностью до 2% от 7. Произведено сравнение случайного и оптимального распределений источников (рис. 1, 4). Выигрыш в мощности источников зависит, конечно, от параметров среды и формы области, но в проведённых численных экспериментах эта экономия составляет более 14% для модели с однородной средой (рис. 1) и около 30% для неоднородной (рис. 4). Установлено,

(7)

Э£>

(т = 3).

что чем более неоднородной является среда, тем больший выигрыш возможно получить, используя предложенный алгоритм. Для одномерной модели удаётся получить точные решения и продемонстрировать, что задача имеет неединственное оптимальное решение (рис. 2). Оптимальное распределение источников тепла имеет характерные особенности: источники располагаются преимущественно вдоль храниц области В с внешней средой (рис. 3). Причём их интенсивность выше вдоль границ с большим значением коэффициента теплопередачи а.

Рис. 1. Оптимальное (серый цвет) и неоптимальное (чёрный цвет) распределение плотностей источников / и соответствующих температур Т на отрезке с постоянным коэффициентом температуропроводности х

Рис. 2. Оптимальное распределение плотности источников / с принудительно расположенным в центре источником и соответствующих температур Т на отрезке с постоянным х

о

I Рис. 3. Оптимальное распределение плотности источников / в

■ параллелепипеде (модель с однородной средой)

I 1

а) неоптимальное б) оптимальное

Рис. 4. Неоптимальное (а) и оптимальное (б) расположение источников в параллелепипеде с переменным я(х, у, г)

В главе 3 рассматривается модель движущейся однородной среды. Полный учет конвекции приводит к очень сложной задаче, поэтому ниже поле скоростей среды v(x) в области предполагается фиксированным. Тем самым учитывается лишь искусственно создаваемая конвекция. Свободная конвекция в рассматриваемом стационарном процессе по-прежнему считается несущественной. Разобьём границу области D на три части 3D = Г+ U Го U Г_, где Г+ — часть границы, которая является входом среды в область D, Г_ — часть границы, являющейся выходом (стоком) среды, а Го — часть непроницаемой для среды границы. Справедливы следующие соотношения:

v) |Го = 0. (". ¿0 |г_ > 0, {п, О) |г+ < О,

где п — единичный вектор внешней нормали к границе 3D. Последнее из этих трех условий означает, что в область D поступает вещество из внешней среды с температурой То- В дальнейшем мы предполагаем, что в нашем процессе присутствует поток тепла через непроницаемую для среды границу, равный а(х) ■ и(х) (х 6 Г0), где а(х) >0 — коэффициент теплопередачи через Г0.

Рассмотрим задачу на минимум функционала J{/} (1) при следующих условиях на плотность источников

ХДи - V ■ {vu) + / = 0, х € D, (8)

(х(п, Vu) + аи) |Го= 0,

(n,Vu) |г_=0, (9)

(х(п, Vu) - (п,и)и) |г+= 0,

М{х) - Т0 ^ и(х) > тп{х) - Т0, при х е D; f(x) ^ 0, при х 6 D, (10)

где х — коэффициент температуропроводности среды, который считается константой, v(x) — поле скоростей среды, которое предполагается известным, подчиненным условию divz/ = 0 и потенциальным. Температурный режим (10) задается в некоторой подобласти D С D, которая в дальнейшем называется областью контроля температуры. В случае неподвижной среды считалось, что D = D. Вообще говоря, при постановке задачи (1)-(3) тоже можно требовать выполнение неравенств (3) лишь в области D С D, однако при D ф D теряется возможность оценки (7). Для задачи (1), (8)-(10) имеет смысл понятие квазирешения, приближённое нахождение которого можно произвести, построив конечномерную аппроксимацию. Последнее требует преобразования краевой задачи (8)-(10), которое аналогично калибровочному преобразованию в электродинамике и использует потенциал <р(х) поля скоростей и(х).

Отметим, что потенциал <р(х) является решением следующей краевой задачи

Го

= 0, & дп

г_

= «2 (х),

(П)

где положительные функции в1 (ж), 52(ж) считаются известными и удовлетворяющими условию

J в^ж)^ = J

эг_ аг+

(12)

которое означает, что приток среды в область И равняется величине стока. Эта краевая задача имеет множество решений, отличающихся постоянным слагаемым. Для выделения единственного решения [4, стр. 126] будем считать выполненным еще одно условие

/

<р(х )вУт = 0.

(13)

Преобразуем краевую задачу (8)—(10), вводя новую неизвестную функцию гю{х) следующим образом и = ■ше'^2*'. Подставляя это выражение в (8) и учитывая, что Р(х) = V <£(£), Д<£>(5) = 0, получим следующую краевую задачу

- хЛ«; + (\7<р\2/(4х))п = /е-<"/<2*>,® е £>; ( + <™

= 0, (14)

ао

где

<г{х) = <

а(ж)/х, х 6 Г0; —в! (х),

—в2(х), х е Г+.

Оператор Ьш = — хЛги + (|\7(р|2/(4х))г^, действующий в пространстве Ь2(Ю) на достаточно гладкие функции IV (х), подчиненные краевым условиям (14), является самосопряженным и положительно определённым, а поэтому имеет ограниченный обратный оператор ги = Сд, определённый на Ь2{0). Поэтому мы можем переформулировать оптимизационную задачу (1), (8)-(10) следующим образом

J{g} = у е^г)/(2х)д(х)аУ

—> тт,

в2{х) > Сд(ж) > в\{£), при хеВ; д(х) е Ь2(0),д(х) > 0, при х е Б,

где

д{х) = вх{х) = (тп(х) -

в2(х) = (М(х) - T0)e-vW/Px\

Теперь можно построить конечномерную аппроксимацию этой задачи, рассматривая разбиение области D на части и вводя кусочно-постоянные

п

функции д(х) = gjej(x). Разбиение области D мы считаем и разби-_з=1

ением области D С D, т.е. при некотором натуральном р справедливо р

равенство D= (J Di- Как и выше, введем обозначения i= 1

ац = (Ge-j, ег), а{ = (0иег), bi = (02, а).

Заменяя класс функций L^D) подпространством Sn(D), умножая ска-лярно ограничения на базисные функции &i (х), получаем конечномерную аппроксимацию Zo(n) задачи

п

Jn{g) = min,

з=i

n

ai < h, gi > о (г = 1,2,... ,p)

i=i

Здесь Cj- = f evW/V^dV.

В главе 3 показано, что конечномерная аппроксимация Zo(n) при выполнении условий (6) является регулярной по функционалу. А это означает, что при достаточно большом п решение этой задачи линейного программирования доставляет приближённое квазирешение задачи для движущейся среды. Таким образом, построение задачи (15) позволяет найти приближённое квазирешение. Моделирование начинается с решения краевой задачи для определения потенциала ip(х). Самым трудным при построении задачи (15) является нахождение обменной матрицы ач- = (Gej,ei), поскольку оператор G явно не задан. Определение этой матрицы равносильно нахождению функций Wj = Gej, которые являются решениями уравнений — xAw + (|V</?|2/(4x))iu = Cj при краевых условиях (14). Эти краевые задачи также решаются численно.

Программно-инструментальный комплекс HeatCore позволяет численно моделировать оптимальное распределение плотности источников тепла и в случае движущейся среды. На рис. 5 приведена блок-схема алгоритма решения данной задачи. Для модели неподвижной среды эта блок-схема

(15)

_I_

Решение уравнения А<р = 0 с краевым условием (б) и требованием (7) численно на сетке. Результат - сеточная функция

потенциала поля скоростей ф(х). -< № >-

Решение уравнения (3) с функцией /(£) = е,(х) и краевым условием (5) численно на сетке. При этом в каждой подобласти /Застроится сетка с количеством точек 1)т. Результат - сеточная функция ш_, (х). При численном решении данного уравнения результат интерпретируется как приближённое значение интеграла У),(х) и / в{х,£)(1Ут

в узлах сетки. -< "-1" >-

ац = /

а 1 = (т(х) -г„,е,(г» 1

1

6i = (м(г) -Г„,е,й) 1

_I

Решение задачи (15) с использованием симплекс-метода. Результат оптимальная нлотпость ИСТОЧНИКОВ /тЫ-

I '

^Возврат /„.„.^

Рис. 5. Блок-схема алгоритма решения т-мерной задачи

не содержит блока нахождения потенциала поля скоростей. Установлено, что при больших скоростях движения вещества х) оптимальная плотность источников выше вблизи мест входа вещества Г+ (рис. 7). На рис. 8 приведён результат расчёта оптимального расположения плотности источников внутри помещения, продуваемого воздухом и имеющего кирпичную стену. Численные эксперименты для движущейся среды также показывают устойчивую стабилизацию значения (./^тт при увеличении числа разбиений п области Б. При этом, чем больше коэффициент температуропроводности х, тем меньше суммарная интенсивность источников

(Лг)тт (рИС. 66).

а) неподвижная среда 6) движущаяся среда

Рис. 6. Зависимость значения тт ОТ Т1

О

Рис. 7. Оптимальное распределение плотности источников тепла / на квадрате с движущейся средой

Выше рассмотрены основные формы оптимизационной модели распределения источников тепла. Возможен ряд модификаций этой модели как в случае неподвижной, так и для движущейся среды. Иногда ограничения сверху в (3), (10) отсутствуют или не существенны. Такую оптимизационную модель назовём односторонней. В задачах (1)-(3), (8)-(10) возможно появление дополнительных условий, которые могут привести к некоторым новым модификациям. Одна из естественных модификаций состоит в требовании невозможности расположения источников тепла в некоторой части области И, т. е. возникает дополнительное требование: равенства нулю плотности источников при х € И о С И. Такую модификацию естественно назвать моделью с ограничениями на локализацию источников. Еще одна модификация связана с присутствием некоторых фиксированных источников или стоков тепла до оптимизации. При этом плотность источников состоит из двух слагаемых, одно из которых известная функция, а второе подлежит определению. Такую модель назо-

Рис. 8. Оптимальное распределение плотности источников тепла / в

параллелепипеде с движущейся средой вём моделью с фиксированными источниками. По форме она мало отличается от основной задачи. К функционалу /{■} добавляется постоянное слагаемое, а функции в ограничениях изменяются на однозначно определяемые слагаемые. Возможны различные комбинации рассмотренных выше модификаций. Наконец, можно рассматривать оптимизационную модель распределения стоков тепла (/(ж) ^ 0), которая полезна при оптимальной организации охлаждения. Поскольку создание стоков тепла требует пропорциональных затрат энергии, соответствующую задачу можно сформулировать как задачу на максимум отрицательного функционала (1).

Для всех перечисленных модификаций задачи можно ввести понятие квазирешения, построить численно конечномерную аппроксимацию в виде последовательности задач линейного программирования и установить её регулярность по функционалу. Решение некоторых, упомянутых выше, модифицированных задач реализовано в программно-инструментальном комплексе НеаЮоге.

В главе 4 описаны технические характеристики разработанного программно-инструментального комплекса НеаЮоге и даны инструкции для работы в нём.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты работы

1. Произведено исследование оптимизационных моделей распределения источников тепла.

2. Разработаны методы и алгоритмы численного решения задач нахождения оптимального распределения плотности источников тепла (ОРПИТ) путём построения конечномерных аппроксимаций оптимизационных моделей в виде последовательности задач линейного программирования. Исследованы свойства данных алгоритмов.

3. Установлено свойство регулярности по функционалу последовательности конечномерных аппроксимаций оптимизационных моделей, которое служит обоснованием разработанных методов.

4. Создан программно-инструментальный комплекс для реализации оптимизационных моделей распределения источников тепла с возможностью графической визуализации результатов вычислений.

5. В ходе проведения вычислительных экспериментов установлена эффективность разработанной методики нахождения ОРПИТ в широком диапазоне изменения основных параметров оптимизационных моделей.

Цитированная литература

1. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир. — 1972. — 412 с.

2. Федоренко Р.П. Приближённое решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978. — 497 с.

3. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. — М.: Машиностроение, 1988. — 280 с.

4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970.

5. Самарский A.A. Теория разностных схем. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977. — 656 с.

Публикации по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Осипов О.В. Приближённое решение задачи об оптимальном выборе источников тепла / А.Г. Брусенцев, О.В. Осипов // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. — 2012. — №5 (124). Выпуск 26.

- С. 60-69.

2. Осипов О.В. Оптимальное расположение источников тепла в неоднородной среде / О.В. Осипов // Вестник Белгородского государственного технологического университета имени В.Г. Шухова. №1.

- 2013. - С. 154-158.

3. Осипов О.В. Оптимальный выбор источников тепла при наличии конвекции / А.Г. Брусенцев, О.В. Осипов // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. — 2013. — №26 (169). Выпуск 33. —

С. 64-82.

Статьи в сборниках и материалах научных конференций:

4. Осипов О-В. Численное исследование задачи об оптимальном выборе источников тепла / А.Г. Брусенцев, О.В. Осипов // Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-24: сб. трудов XXIV Междунар. науч. конф. — Киев: Национ. техн. ун-т Украины «КПИ», 2011. - Т.2. - С. 33-34.

5. Осипов О.В. Обоснование метода численного решения задачи об оптимальном выборе источников тепла / А.Г. Брусенцев, О.В. Осипов // Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17-21 окт. 2011 г.). — Белгород: ИПК НИУ «БелГУ», 2011. — С. 31-32.

6. Осипов О.В. Численное решение задачи об оптимальном выборе источников тепла в неоднородной среде / О.В. Осипов // Прикладная математика, управление и информатика: сб. трудов Международной молодёжной конференции, Белгород, 3-5 октября 2012 г. — Т.1. - С. 206-210.

7. Осипов О.В. Задача об оптимальном выборе источников тепла при наличии конвекции / А.Г. Брусенцев, О.В. Осипов // Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-25: сб. трудов XXV Междунар. науч. конф.: в 10 т. Т. 1. — Волгоград: Волгогр. гос. техн. ун-т, 2012; Харьков: Национ. техн. ун-т «ХПИ», 2012. — С. 84-87.

8. Осипов О.В. Численное решение задачи оптимального выбора источников тепла в движущейся среде / А.Г. Брусенцев, О.В. Осипов // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 26-31 мая 2013 г.). — Белгород: ИПК НИУ «БелГУ», 2013. - С. 35-36.

9. Осипов О.В. Численная оптимизация распределения источников тепла / О.В. Осипов // Ежемесячный научный журнал «Prospero». JV®1(2)/2014. - С. 97-101.

В ходе работы над диссертацией создан ряд программ для ЭВМ, три из которых получили государственную регистрацию:

10. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013610973 «Оптимальный выбор источников тепла на отрезке с использованием сведения исходной задачи к задаче линейного программирования». Осипов О.В., Брусенцев А.Г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 9 января 2013 г.

11. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013612584 «Система для определения оптимальной плотности источников тепла в прямоугольной области с использованием методов линейного программирования». Осипов О.В., Брусенцев А.Г., Бру-

сенцева В. С. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 6 марта 2013 г.

12. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013615583 «Оптимальное расположение источников тепла в трёхмерной области с использованием симплекс-метода». Осипов О.В., Брусенцев А.Г., Брусепцева B.C. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 17 июня 2013 г.

Осипов Олег Васильевич

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 03.02.2015 / Формат 60x84 1/16 Объём 1,1 уч.-изд. л. Тираж 120 экз. Заказ №9

Отпечатано в Белгородском государственном технологическом университете

им. В.Г. Шухова. 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46