автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Методы и алгоритмы аппроксимации и интегрирования функций одной переменной при обработке информации в системах управления социально-экономическими объектами

На правах рукописи

Мельник .■/¡{СиШнУ

Екатерина Васильевна

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРИ ОБРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИИ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Специальность 05.13.10 - Управление в социальных и экономических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Курск - 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО

«Курский государственный технический университет» на кафедре «Программное обеспечение вычислительной техники»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор В.М. Довгаль

Официальные оппоненты: д.т.н., старший научный сотрудник А А. Бурмака

Ведущая организация: Курский институт социального образования (филиал) Российского государственного социального университета

Защита диссертации состоится «27» сентября 2006 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.105.02 при Курском государственном техническом университете по адресу: 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94 (конференц-зал).

Заверенные отзывы на автореферат в двух экземплярах направлять по адресу: 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94, ученому секретарю.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан « 25 » августа 2006 г.

Ученый секретарь

к.т.н., доцент Н.Н. Бочанова

диссертационного совета

Е.А. Титенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В современных условиях управление в социально-экономических системах невозможно без обработки больших объемов информации, значительная часть из которой является результатом использования эконометрики и социометрии и представляет собой функции одной переменной, отражающих процессы или поведение объектов управления во времени. При этом в информационных центрах концентрируются гипермассивы эконометри-ческих и социометрических данных, требующих адекватной и своевременной обработки в компьютерных системах поддержки принятия управленческих решений. В связи с этим возникает проблемная ситуация, сущность которой заключается в отсутствии удовлетворяющих запросы практики в сложившихся условиях эффективных форм представления функций, методов их сжатия и интегрирования, а также соответствующих алгоритмов и программ, которые обеспечивают высокую скорость обработки данных при приемлемой погрешности и допустимом минимуме затрат памяти. Для разрешения названной проблемной ситуации возникает потребность в поиске новых подходов, методов и алгоритмов, а также соответствующих программных средств.

Основная решаемая задача диссертационной работы заключается в создании и совершенствовании методов, алгоритмов и программ обработки социометрических и эконометрических данных, отражающих процессы или поведение объектов управления, представляющих собой функции одной переменной, а также алгоритмических и программных средств их аппроксимации (сжатия) и интегрирования на основе современных положений теории хаотических систем. Исследование реализации процессов аппроксимации, сжатия и интегрирования функций одной переменной на основе достижений современной теории хаотических систем является актуальным и перспективным научным направлением.

Для решения основной решаемой задачи имеются необходимые предпосылки. Над проблемами аппроксимации и интегрирования функций работали известные отечественные и зарубежные исследователи. Вопросам изучения хаотических систем посвящены работы Э. Лоренца, М. Хенона, Дж. Томпсона, Г. Биркгофа, Н. С. Крылова, А.Н. Гапонова-Грехова и других известных ученых.

Теоретическая часть диссертационной работы включает в себя разработку методов и алгоритмических средств аппроксимации и интегрирования функций на основе положений хаотических систем путем использования генераторов хаотических процессов в виде дискретных отображений особого типа. Практическая часть содержит разработку программных средств и результаты сопоставительного анализа созданных методов, алгоритмических и программных средств.

Работа выполнялась в рамках гранта Минобразования РФ Г02-4.2-5 «Разработка и исследование методов, алгоритмических, программных и технических средств организации быстрых символьных вычислений» при непосредственном участии автора.

Цель работы заключается в разработке методов, алгоритмических средств и программной реализации процедур аппроксимации и интегрирова-

ния функций одной переменной на основе использования дискретных хаотических отображений для снижения вычислительной и емкостной сложности, и также регулирования погрешности при использовании программных продуктов в системах поддержки принятия управленческих решений в социально-экономической сфере.

Для достижения поставленной цели требуется решение следующих задач:

1. Определить особенности объекта исследования и существующих методов обработки (аппроксимация, сжатие и интегрирование) функций одной переменной, а также исследовать свойства дискретных хаотических отображений.

2. Разработать методы и алгоритмические средства аппроксимации и интегрирования функций одной переменной на основе генераторов числовых хаотических рядов в виде специальных дискретных отображений.

3. Создать программные средства аппроксимации и интегрирования функций одной переменной, являющихся пригодными для практического использования в современных системах управления социально-экономическими объектами.

4. Выполнить сопоставительный анализ разработанных методов функциональных преобразований с известными способами аппроксимации и интегрирования.

Объектом исследования являются процессы обработки таблично заданных форм представления информации в социально-экономических системах.

Предметом исследования является организация и реализация процедур аппроксимации (сжатия) и интегрирования функций одной переменной.

Методы исследования основываются на положениях теории проектирования информационных систем, функционального математического анализа, теории алгоритмов, теоретического программирования и теории хаотических систем.

Достоверность и обоснованность результатов исследования подтверждается: согласованностью теоретических и экспериментальных результатов, проведенными программными экспериментами по функциональному преобразованию таблично заданных функций одной переменной, полученных в результате использования эконометрики и социометрии; корректным использованием законов и положений современной теории хаотических (случайно-подобных) систем и теории аппроксимации, а также рецензированием печатных работ, их обсуждением и экспертизой.

Научная новизна работы состоит в решении важной научно-технической задачи по разработке и совершенствованию методов, алгоритмов и программ обработки эконометрических и социометрических данных, отражающих поведение объектов управления и процессов путем создания нового класса методов, алгоритмических и программных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной для использования в контурах управления социально-экономическими объектами. Впервые получены следующие результаты:

1. Разработан метод аппроксимации функций одной переменной на основе генераторов числовых хаотических рядов в виде специальных дискретных отображений, что позволяет сокращать число хранящихся узлов в исходной по-

следовательности и обеспечивать регулируемую погрешность расчетов. Созданный алгоритм аппроксимации по затратам времени имеет преимущество до 7 раз по отношению к алгоритму, реализующему метод наименьших квадратов, по числу выполняемых операций — до 6 раз.

2. Созданы алгоритмические модели сжатия и восстановления таблично заданных функциональных зависимостей одной переменной по результатам измерений, позволяющие после разработки алгоритмов и программ достигнуть сокращения затрат памяти на периодических и гладких возрастающих или убывающих функциях по сравнению с известными методами сжатия и округления до 10 раз.

3. Разработан метод интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей на основе хаотической аппроксимации со скоростными преимуществами и открывающий возможности создать алгоритмические и программные средства, обеспечивающие вычисление определенных интегралов с погрешностью до 10"9. Скорость вычислений возрастает по сравнению с методами трапеций и прямоугольников в 1,3 раза.

4. Осуществлена алгоритмизация методов аппроксимации и интегрирования при создании программных средств для конкретных практических приложений, которая отличается упрощенной схемой взаимодействия модулей и унификацией состава основных блоков обработки таблично заданных функций одной переменной.

Практическая ценность работы заключается в создании пригодных для практического использования в системах управления социально-экономическими объектами программных средств аппроксимации (сжатия) и интегрирования функций одной переменной. Алгоритмизация и программная реализация методов аппроксимации и интегрирования позволили получить показатели погрешности от 10"' до 10"9, что является приемлемым для применения в социально-экономических системах. Разработанные методы, алгоритмы и программные средства открывают пути создания аппаратных средств для быстротекущих процессов, возникающих в контурах систем управления (обработка результатов биржевых торгов, опросов, анкет, демографических данных и т.д.), а также для аппроксимации и интегрирования функций от многих переменных и для приложений в других предметных областях.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы обсуждались и получили положительную оценку на VI научной конференции "Вибрация-2003", г. Курск, 2003 г.; XI Российской научно-технической конференции «Материалы и упрочняющие технологии-2004», г. Курск, 2004 г. (2 доклада); VIII Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии - 2005», г. Курск, 2005 г.; VI Всероссийской научно-технической конференции «Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий», г. Улан-Уде, 2005 г.; XII Российской научно-технической конференции «Материалы и упрочняющие технологии-2005», г. Курск.

Реализация результатов работы. Основные результаты диссертационного исследования в виде программных продуктов функционального пре-

образования таблично заданных функций внедрены в отделе автоматизированной системы управления производством (АСУП) ОАО «Геомаш», г. Щиг-ры Курской области и используются в учебном процессе Курского государственного технического университета.

Публикации. По результатам выполненных разработок и исследований опубликовано 9 печатных работ, в том числе 1 по перечню центральных рецензируемых журналов и изданий, рекомендуемых ВАК Министерства образования и науки РФ, получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

В работах, написанных в соавторстве, лично автором диссертации разработаны и описаны методы аппроксимации и интегрирования функций одной переменной с использованием детерминированных хаотических отображений [3,4,5]; выполнено сравнение характеристик разработанных и известных методов аппроксимации и интегрирования [6,7] и созданы программные средства обработки функций одной переменной [9].

На защиту выносятся:

1. Метод, алгоритм и программный продукт аппроксимации функций одной переменной на основе числовых хаотических рядов в виде дискретных отображений.

2. Алгоритмические модели сжатия и восстановления таблично заданных функциональных зависимостей.

3. Метод интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей по результатам измерений на основе хаотической аппроксимации.

4. Результаты сопоставительного анализа разработанных и известных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 148 страницах машинописного текста, содержит 51 рисунок, 7 таблиц, список литературы из 82 наименований и 8 приложений объемом 72 страницы. Общий объем 221 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности темы, сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, научная новизна, практическая ценность, апробация и реализация результатов работы, публикации по теме диссертации, структура и объем диссертации.

В первой главе выполнен обзор используемых в экономических и социальных системах методов обработки функциональных зависимостей в рамках эконометрики и социометрии, являющихся отраслями знаний об измерении и анализе моделей в экономике и обществе. Приводятся особенности измерений, погрешности и форм закономерностей при обработке временных рядов, т.е. совокупности значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Рассмотрены известные алгоритмы обработки таблично заданных функциональных зависимостей: методы глобальной и локальной аппроксимации, способы построения эмпирических формул и алгоритмы численного интегрирования. Поскольку выявленные в процессе научного исследования закономерности

являются определенного рода сжатием информации об изучаемых объектах, в главе приведены характеристики методов сжатия информации. Определено, что сжатие функционально заданной полученной по результатам измерений информации имеет специфику, связанную с обязательным наличием погрешностей, что делает д ля нее избыточными методы сжатия без потерь.

В связи с этим сущность предлагаемого подхода к приближению таблично заданных функциональных зависимостей с использованием положений хаотической динамики заключается в следующем. Используя свойство строгой повторяемости числовых хаотических рядов, которые порождаются хаотическими отображениями при одинаковых начальных значениях, открывается возможность заменять некоторые узлы исходной последовательности данных на последовательность значений числового хаотического ряда с использованием масштабных коэффициентов, значения которых зависят от выбранной погрешности вычислений. В этом контексте математическое выражение хаотического отображения возможно использовать как «виртуальную аналитическую» память. Это позволяет уменьшить погрешность результатов по сравнению с линейной локальной интерполяцией, которая была взята за основу в реализованном методе аппроксимации, и расширить интервалы интерполяции для сокращения затрат памяти, требуемых для хранения всех значений таблично заданной функции. Для восстановления функциональной зависимости достаточно хранить начальные значения запуска детерминированного хаотического генератора и масштабные коэффициенты.

Впервые предлагаемый подход может быть использован при численном вычислении интегралов, если заменить интегрируемую функцию обработанной разработанным методом приближения аппроксимированной последовательностью.

В первой главе решена задача по определению особенностей объекта исследований, существующих методов аппроксимации, интегрированию и сжатию функций одной переменной. Предложен подход к обработке таблично заданных функциональных зависимостей с использованием свойств дискретных хаотических отображений.

Вторая глава содержит положения теории динамических хаотических систем, используемые в предлагаемых методах аппроксимации и интегрирования таблично заданной функциональной зависимости, и анализ предметной области.

Понятие детерминированного хаоса относится к основным категориям теории динамических систем. Динамическая система состоит из двух частей: состояния (информации о системе) и динамики (правила, описывающего эволюцию системы во времени) и развивается в непрерывном (поток) или дискретном времени (отображение).

Применение средств хаотической динамики в виде отображений определялось следующими их характеристиками: низким уровнем вычислительной сложности реализации, строгой повторяемостью генерируемых числовых хаотических последовательностей при задании одинаковых начальных значениях и равномерным заполнением пространства значениями порождаемой последовательности, которые имеет сплошной спектр.

Выбор хаотических отображений для использования в качестве анали-

тической «памяти» при реализации предлагаемых методов аппроксимации и интегрирования функционального ряда определялся свойствами нескольких одномерных и двумерных дискретных отображений. Оценка проводилась по нескольким параметрам. Одним из них являлось количество вычислительных операций, производимых при расчете каждого последующего значения отображения. Этот параметр оказывает влияние на время генерации хаотической последовательности, следовательно, на время работы алгоритма, реализующего метод аппроксимации, и на погрешность вычислений, поскольку каждое новое вычисление потенциально увеличивает ошибку вычислений. На погрешность расчетов также оказывает влияние другой показатель — длина разрядной сетки для хранения значений отображения. При сокращении размерности разрядной сетки последующие значения при работе отображения могут совпадать с предыдущими, что является недопустимым.

По этим показателям были выбраны следующие отображения (табл.):

Отображение Интервал стартового значения Скорость расхождения траекторий

"Иллюстрация Лоренца": х, = 1 - 2|х,_/| (0;1) 1,024-10"10

Г 0,5-2х. ,, при х, , > 0; ТеШМар: х,={ "' [0,5 + 1,8х,_,, при х,_, <0 (0;0,5) 6,72-10"6

Хенона: \Х'=У'-' + }-!-4х'-': [у, =0,3х,_]. (0:1) 8,06-10"9.

Минимальное количество вычислительных операций из выбранных выражений у отображения Лоренца, максимальное — у отображения Хенона.

В главе также рассматриваются методы аппроксимации и интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей и способы расчета их погрешностей. Одним из методов обработки является замена (аппроксимация) значений исходной функции /(х) в виде числовой последовательности некоторой функцией <р (х), также представляющей последовательность значений, при монотонно возрастающих значениях аргумента так, чтобы отклонение <р (х) от/(х) в заданной области было допустимо минимальным.

При глобальной интерполяции, т.е. построении единого для всего отрезка приближения интерполяционного многочлена его график должен проходить через все заданные узлы. Из аналитического обзора методов аппроксимации установлено, что при глобальной интерполяции аппроксимирующие многочлены имеют высокую степень, что значительно увеличивает объем вычислений.

Приводятся методы локальной интерполяции (многочлен строится не для всего отрезка интерполяции): линейная, квадратичная, сплайнами, степенными рядами, а также способы упрощения этих методов. По результатам анализа установлено, что сложность вычислений с использованием степенных рядов зависит от требуемой погрешности. При использовании приближения сплайнами объем коэффициентов может превысить объем исходных данных.

В главе рассматриваются широко используемые для численного интег-

рирования квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и их погрешности.

Для совершенствования существующих средств аппроксимации была поставлена задача разработки метода обработки функциональной зависимости без основных недостатков, присущих известным способам приближения:

- снизить уровень вычислительной сложности и количество хранимой информации (например, по сравнению с глобальной интерполяцией, где в ряде случаев (полиномы Ньютона и Лагранжа) количество рассчитываемых коэффициентов должно совпадать с числом узлов интерполяции);

- обеспечить возможность инициализации процесса аппроксимации до получения всей функциональной таблично заданной зависимости (по сравнению с методом сжатия Хаффмана и глобальной аппроксимацией);

- не рассчитывать при аппроксимации производные исходной функции (как при использовании многочленов Эрмита);

- уменьшить количество рассчитываемых коэффициентов;

- обеспечить регулируемую погрешность расчетов;

- не выполнять дополнительных операций по перераспределению узлов исходной последовательности и особому подбору коэффициентов, поскольку они увеличивают погрешность и сложность метода (например, по сравнению с использованием сплайнов и метода наименьших квадратов);

- исключить зависимость от исходных данных, когда каждая ошибочная точка значительно влияет на результат интерполяции (как в методе Хафа и наименьших квадратов).

Установлено, что аналогов разработанного метода аппроксимации и интегрирования в российских и зарубежных разработках нет.

Во второй главе решены задачи по исследованию свойств дискретных хаотических отображений для их использования при функциональном преобразовании таблично заданных функций одной переменной и выполнен анализ предметной области.

В третьей главе приведено построение алгоритмических моделей аппроксимации и интегрирования функциональной таблично заданной зависимости одной переменной с использованием положений хаотической динамики.

Процесс обработки последовательности цифровых данных в дискретные промежутки времени состоит, во-первых, из этапов их сжатия, во-вторых, из этапов восстановления.

Сжатие информации:

Этап I: поиск базы. В качестве исходных данных используется погрешность б, определенная для аппроксимации, и таблично заданная функция одной переменной, состоящая из т узлов. Проводится построение базы. Оно начинается с локальной линейной интерполяции первого и третьего узлов заданной последовательности.

Узлы, которые соединяет база, однозначно определяет уравнение прямой. Обозначим их 1/ь, (начало и конец базы) с координатами

(хь, ук) и (хь, уд соответственно. Формула прямой, проходящей через эти две точки:

(х-хь)!(хк -хь) = (у-уь)/(yt -уь)

(1)

где хь, уь< Хь Ук — координаты начала и конца рассматриваемой базы соответственно. На отрезке (1) рассчитываются точки А, (хл-„ уА1), удовлетворяющие условию ли,—*;, где X/ - абсциссы точек исходной последовательности с номером / (¡ = 1,т). Вычисляются разности ординат п= [у^гУЛ и выполняется сравнение требуемой погрешности ее рассчитанными расстояниями г,:

п<е, 1=1...д, (2)

где <7 определяется количеством узлов исходной последовательности, заключенными между теми из них, через которые строился отрезок базы.

Описанная последовательность действий повторяется до тех пор, пока неравенство (2) будет неверно хотя бы для одного значения г„ т.е. хотя бы одна разность ординат станет больше заданной погрешности, или д=т (достигнут конец последовательности). Это признак того, что база построена. Процесс построения баз продолжается аналогично, пока не будут использованы все т узлов исходной функциональной зависимости.

Результатами этапа являются последовательность баз, т.е. отрезков локального линейного приближения, порядковые номера в исходной последовательности начала и конца каждой базы для восстановления числа узлов первоначального ряда внутри каждой базы и последовательность

где g — номер базы (рис. 1).

На этом построение баз закончено и начинается их обработка.

Этап II: запуск детерминированного хаотического отображения. Входными данными является общее для всего алгоритма значение отображения То, с которого осуществляется его запуск. Результатом является числовой ряд, порожденный выбранным отображением. Все значения ряда используются по модулю.

Этап III: применение значений отображения к базам (рис.2). Все значения ординат числового ряда (3), относящиеся к одной базе, увеличиваются или уменьшаются (в зависимости от выпуклости или вогнутости заданной функции).

Ag={Agh Ag2,.... А\ ... ЛУ,

(3)

у

Расчет баз и нахождение последовательности (3)

...и^Чб.........

Применение значений отображения к базам

о

4—I I I I—I—ь-

+—I—I—I—I—н

о

н—I—h

4—+

X

X

база 1 база 2 база 3

Рис. 1

база

база 2 база 3

Рис. 2

Входными данными являются: числовой ряд детерминированного хаотического отображения, параметры уравнения каждой рассчитанной на этапе I базы и последовательность (3).

Для процедуры сжатия рассматриваемой базы потребуется столько значений хаотического отображения, сколько узлов исходной последовательности заключено между начальной и конечной вершинами g-ой базы (в принятых обозначениях это cf чисел). Значения отображения, взятые по модулю, складываются или вычитаются из ординат значений последовательности (3). Сложение производится, если ордината точки А"/ меньше ординаты соответствующего узла исходной цифровой последовательности; в остальных случаях производится вычитание. Результатом является последовательность (Ef={I?i, DP2, D^gg), где g - номер базы (g= 1,..., /), с новыми значениями ординат каждой точки внутри базы с координатами (Dxi, Dyl), i=l...<f.

Этап IV: нормирование. Входными данными являются обработанный на этапе III числовой ряд и значение погрешности аппроксимации £ Значения ряда LF, заключенные в каждой базе, нормируются коэффициентами №=s/W?, i=l...<f, которые подбираются с помощью выражений D^- -у,\, i=l...cf, где g - номер базы (g=l,..., /)> i=l...tf, исходя из значения заданной погрешности е.

Этапы восстановления исходной последовательности с погрешностью е:

Этап I: расчет баз. Входной информацией являются координаты начала и конца баз. Выполняется их линейная интерполяция, на этом отрезке находятся точки (3). Результатом работы являются параметры уравнений, найденные с помощью выражения (1) (рис. 3).

Этап II: запуск детерминированного хаотического отображения. Входными данными является общее для всего алгоритма значение отображения То, с которого осуществляется запуск. Результатом являются взятые по модулю значения числового ряда, порожденные выбранным дискретным отображением.

Этап III: восстановление таблично заданной функции с применением хаотического числового ряда. Входными данными для каждой базы являются параметры уравнений локальной линейной интерполяции, полученные на I этапе восстановления, и порядковые номера в выражении (1). По ним восстанавливается количество точек первоначального ряда внутри каждой базы. Дня восстановления участка функции каждой базы надо выполнить следующие действия: 1) рассчитать количество узлов q исходной функции внутри базы; 2) найти точки (3) на отрезке базы; 3) используя значения Т0 и 7}, выбрать q значений детерминированного хаотического ряда, начиная с 7} по модулю; 4) рассчитать сумму значений ординат ряда (3) с соответствующими значениями хаотического ряда. Результатом является восстановленная с помощью хаотического ряда таблично заданная функция, но без учета требуемой погрешности (рис.4).

Этап IV: нормирование. Входными данными являются коэффициенты нормализации (один для каждой базы). Полученные на предыдущем этапе значения умножаются (масштабируются) соответствующими коэффициентами для получения итогового результата работы алгоритма ff=E/W?, i=l...<f-восстановленного с заданной погрешностью s исходной последовательности числового ряда.

Расчет баз и последовательности (3) при восстановлении

Применение значений отображения

В главе приведены результаты алгоритмизации методов сжатия и восстановления цифровой последовательности с заданной погрешностью.

На основе разработанного подхода приближения предложен метод нахождения определенного интеграла на заданном отрезке. Геометрически определенный интеграл на отрезке [а, 6] — это площадь, ограниченная прямыми у—О, х=а, х=Ь и подынтегральной функцией. Исходная таблично заданная зависимость заменяется на цифровую последовательность, полученную с помощью вышеописанного метода аппроксимации. Интегралом является сумма элементарных площадей, ограниченных снизу осью х, справа и слева абсциссами точек восстановленного ряда, сверху — последовательностью, полученной с помощью детерминированного хаотического ряда.

В главе приведено описание, назначение и взаимодействие модулей (рис. 5) разработанной программы. Описаны входные и выходные данные, рассмотрены процедуры обработки программного продукта.

Схема взаимодействия модулей

ТепТМар

Стандартные модули 0е1рЫ 7.0

Модули библиотеки компонента Тсх5ргеш]ЗЬее|

Модуль иМат реализует аппроксимацию, интегрирование, сжатие и восстановление таблично заданной функции одной переменной, сравнение с методами интерполяции реализует модуль ШШегр, с методами интегрирования — модуль ТЛпге^г, вызываемые из Рис. 5 иМат.

Программа позволяет: работать с таблично и аналитически заданными функциями; обрабатывать функции одной переменной разработанными методами аппроксимации и интегрирования; подсчитывать коэффициенты сжатия данных; сохранять обработанные данные и восстанавливать приближаемые функции с указанной погрешностью из файла результатов; выполнять расчет и построение графиков результатов сравнительного анализа известных и разработаш&к методов.

В третьей главе решены задачи по разработке методов и алгоритмических средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной на основе генераторов числовых хаотических рядов в виде специальных дискретных отображений и выполнено описание созданных для реализации созданных методов программных средств, пригодных для практического использования в современных системах управления социально-экономическими объектами.

В четвертой главе приводятся результаты сравнения показателей работы созданных и известных методов по вычислительным и емкостным затратам, скорости и погрешности обработки. Приведены погрешности интерполяции и нахождения определенного интеграла на основе исходной и преобразованной методом интегрирования числовых последовательностей, рассчитанные с помощью разработанной программной модели.

Для оценки вычислительной сложности были выполнены сравнения характеристик разработанных и известных методов интерполирования и интегрирования. Эксперименты на основе разработанного программного обеспечения показали, что созданный алгоритм аппроксимации по числу выполняемых операций имеет преимущество по отношению к алгоритму, реализующему метод наименьших квадратов, до 6 раз (рис. 6), а по затратам времени - до 7 раз (рис. 7). Алгоритм интегрирования превосходит по скорости в 1,3 раза известные методы нахождения определенных интегралов (прямоугольников и трапеций) (рис. 8).

Сравнение вычислительной сложности реализаций разработанного метода аппроксимации и метода наименьших квадратов

Количество операций сложения, умножения и мооом„ присваивания

25 ооо оой • • • ................| | «разработанный метод

- метод наименьших квадратов

ООО ООО

о.оо1 оро2 о.оо4 о.008 о.о1в о.озз о.оы 0,12В 0.25В в,512 Погрешность (в единицах

^ изменения функции)

В главе рассмотрены примеры преобразования реальных данных и результаты сравнения их обработки созданными и известными методами. В качестве эконометрических показателей использовалась стоимость активов фонда системы компаний РХТЕАМ за 2005 г. При обработке созданным методом аппроксимации время приближения (с) на порядок меньше, количество выполняемых операций (сложений, умножений и присваиваний) в 2 раза меньше, чем при использовании метода наименьших квадратов; при равных значениях затрат памяти на хранение числового ряда погрешность аппроксимации в 1,5 раза меньше, чем при использовании линейной аппроксимации.

Затраты времени на интегрирование социометрической информации (данных рождаемости за 5 лет в г. Москве) разработанным методом интегрирования в

2 раза меньше, чем при использовании реализации метода трапеций и в 1,5 раза меньше по сравнению с алгоритмом прямоугольников. При равных затратах памяти на хранение подынтегральной функции погрешность вычислений в 2 раза ниже, чем в случае применения алгоритма трапеций и в 4 раза - алгоритма прямоугольников.

Результаты сравнения скорости методов аппроксимации

52.625 52.625 Я'75 52.5 52.625' и-875 52.625 »75 53'875

к 50 X

Ф .с

а 45

Предлагаемый метод.

о.оо1 0,002 о.ом 0.008 о .01 в о.озг 0,064 0,128 0.256 П о грешность (в единицах

у изменения функции)

Результаты сравнения скорости методов интегрирования

Метод трапеций 5.5 5.5

5 И-45 4.55 - 5

......13" 3,5 .3.5. Л Л,

^......:.....

.5 г> : 2.5 : \ :.....1 "

22 2 N. 2 „ : 2 прямоугольнике »в

:Пред| тагаемый метод

0,002 0.004

Погрешность (в единицах изменения функции)

0,016 0.032 0,064 0,128

Рис.8

В разработанной программе производится сравнение погрешности вычислений, получаемой с помощью линейной интерполяции — известного метода локальной аппроксимации - и предлагаемого метода приближения. Результат подобного сравнения приведен на рисунке 9.

На основе проведенных экспериментов на зависимостях разного вида, в том числе используемых в социально-экономических системах, следует вывод о том, что при одинаковых затратах памяти предлагаемый метод аппроксимации позволяет производить вычисления с меньшей погрешностью по сравнению с локальной линейной интерполяцией.

Для сравнения затрат памяти для хранения исходной числовой последовательности и преобразованной предлагаемым методом аппроксимации с

погрешностью е на основе программной реализации, производится расчет коэффициента сжатия информации, равный

5=/,//., (4)

где /„ — объем памяти для хранения исходной информации; I, — объем памяти, необходимой для восстановления информации, подвергшейся приближению предлагаемым методом аппроксимации.

Сравнение зависимости погрешности интерполяции от затрат памяти на хранение таблично заданной функции одной переменной

ц

¿ а

0 я

1 з

9ч 85 1Ш) 1

>S IM 1SS 178 1?S ID) 195 1« 1S5 2« 2« 11« 215 3» 22S 23»

Затраты памяти, Сайт

Рис.9

Для хранения исходной таблично заданной зависимости достаточно хранить первое значение аргумента x¡, шаг аргумента dx и весь ряд значений функции % (=/, ..., т (в программной реализации эти данные занимают в памяти 10 байт для каждого элемента исследуемого числового ряда), а также количество узлов т (2 байта). Поэтому для хранения исходной цифровой последовательности требуется объем памяти, определяемый выражением: 1„=10 (т+2)+2.

Для восстановления преобразованной числовой последовательности с погрешностью s требуется хранить: начальное значение отображения Т0 (10 байт), с которого будет осуществляться запуск генерации хаотического ряда; значение шага изменения аргумента ote (10 байт); количество узлов исходной последовательности m (2 байта). Для каждой базы: номер шага инициализации работы детерминированного хаотического отображения Tg (2 байта), где g=\...l — число баз; начальные и конечные значения исходной последовательности íA (хь, Уь), ÍA (хь У к) (Ю байт) для построения уравнения прямой, содержащей соединяющий базу, и номера ЬР и для восстановления количества узлов исходной последовательности (2 байта); модули значения коэффициентов нормализации и их знаки (10 байт). Следовательно, затраты памяти для хранения преобразованной предлагаемым методом зависимости, рассчитываются с помощью выражения 1„=2-10+ 1(5-10+4-3), где I — количество баз.

Эксперименты показали, что наибольших показателей сжатия - более, чем 10 раз - возможно достичь на периодических и гладких возрастающих или убывающих функциях.

На основе проведенных экспериментов установлено, что коэффициент сжатия 5 растет при увеличении количества узлов исходной последовательности внутри отрезка приближения, что соответствует реальным длинным рядам измерений в социально-экономических системах, например, курсам валют и ценных бумаг в минутных интервалах за год.

Разработанная программа позволяет получать зависимость затрат памяти, необходимых для хранения подынтегральной функции (исходной и обработанной предлагаемым методом) от погрешности интегрирования. Сравнение проводилось с известными методами численного интегрирования — методами прямоугольников и трапеций (рис. 10).

Сравнение зависимости погрешности интегрирования от затрат памяти

на хранение таблично заданной подынтегральной функции

Рис. 10 6айт

По результатам серии экспериментов на конкретных зависимостях разного вида можно сделать вывод о том, что при одинаковых затратах памяти на хранение подынтегральной таблично заданной функции погрешность расчета интеграла ниже в случае, если подынтегральная функция обработана предлагаемым методом. Если к вершинам начала и конца баз применялись известные численные методы интегрирования (прямоугольников и трапеций), то погрешность выше.

В четвертой главе выполнена задача по сопоставительному анализу разработанных методов функциональных преобразований с известными способами аппроксимации и интегрирования.

В заключении приводятся основные результаты диссертационного исследования.

В приложениях приводятся листинги разработанного программного продукта и результаты сопоставительного анализа созданных и известных методов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Решена важная научно-техническая задача по созданию средств обработки эконометрических и социометрических данных, отражающих поведение объектов управления, и созданию нового класса алгоритмических и программных средств аппроксимации (сжатия) и интегрирования функций одной переменной. Получены следующие результаты:

1. Разработан концептуальный базис диссертационного исследования на основе положений функционального математического анализа, теории хаотических систем, теоретического программирования и теории алгоритмов и проектирования информационных систем.

2. Впервые разработан и алгоритмизирован новый метод аппроксимации функций одной переменной. Отличие метода заключается в том, что для снижения погрешности аппроксимации и уменьшения числа узлов интерполяции впервые использованы детерминированные хаотические дискретные отображения, используемые в качестве «аналитической памяти». Созданный алгоритм аппроксимации по затратам времени имеет преимущество до 7 раз по отношению к алгоритму, реализующему метод наименьших квадратов, а по числу выполняемых операций — до 6 раз.

3. Впервые в рамках метода аппроксимации созданы алгоритмические модели сжатия и восстановления, которые позволяют осуществлять сжатие с потерями числовой информации, представленной таблично заданной функциональной зависимостью одной переменной, при этом погрешность является регулируемой величиной. Разработанные модели позволили достигнуть сокращения затрат памяти для рассматриваемых классов функций по сравнению с известными методами сжатия и округления в 10 раз.

4. Разработан и алгоритмизирован новый метод интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей. Отличие разработанного метода заключается в использовании разработанного метода аппроксимации для приближения подынтегральной функции. Алгоритм интегрирования превосходит по скорости в 1,3 раза известные методы нахождения определенных интегралов (прямоугольников и трапеций). При аппроксимации и интегрировании обеспечивается вычисление с погрешностью до 10"9

5. Разработана компактная программная реализация алгоритмов на основе созданных алгоритмических средств для хранения и обработки функций одной переменной в системах управления социально-экономическими объектами.

Основные результаты нашли отражение в следующих работах:

1. Мельник, Е.В. Оптимизация функциональной обработки зависимостей в социально-экономических системах [Текст] / Е.В. Мельник // Известия Тульского государственного университета/ Сер. Экономика. Управление. Стандартизация. Качество. 2006. Вып. 4. С. 24-25.

2. Мельник, Е.В. Методы аппроксимации результатов динамических процессов [Текст] / Е.В. Мельник // Вибрационные машины и технологии: сб. науч. тр. / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2003. С. 185-188.

3. Применение положений хаотической динамики к сжатию числовых характеристик функционирования комбинированных машин и агрегатов

[Текст] / В.Я. Котельников, Е.В. Мельник, А.И. Пыхтин, A.A. Евдокимов // Известия Курск.гос.техн.ун-та. 2004. №2(13). С. 23-24.

4. Довгаль, В.М. Способ функционального преобразования обработки таблично заданной функции с заданной погрешностью с помощью детерминированного хаотического ряда [Текст] / В.М. Довгаль, Е.В. Мельник // Материалы и упрочняющие технологии-2004: сб. матер. XI Российской науч.-техн. конф. (23-25 ноября 2004)/ Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2004. С. 246-251.

5. Довгаль, В.М. Применение способа функционального преобразования к интегрированию таблично заданных функций [Текст] / В.М. Довгаль, Е.В. Мельник // Материалы и упрочняющие технологии-2004: сб. матер. XI Российской науч.-техн. конф. (23-25 ноября 2004)/ Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2004. С. 251-253.

6. Довгаль, В.М. Способ обработки таблично заданных последовательностей с помощью детерминированных хаотических отображений для временных рядов в эконометрике и социометрике [Текст] / В.М. Довгаль, Е.В. Мельник // Медико-экологические информационные технологии-2005: сб. матер. VIII Меж-дунар. науч.-техн. конф. / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2005. С. 161-162.

7. Мельник, Е.В. Метод интерполирования и интегрирования таблично заданной функции одной переменной: сопоставительный анализ [Текст] / Е.В. Мельник, В.М. Довгаль // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий: сб. матер. VI Всероссийской науч.-техн. конф. Улан-Уде, 2005. С. 83-86.

8. Мельник, Е.В. Применение метода интерполирования и интегрирования таблично заданной функции одной переменной с использованием эконо-метрических данных [Текст] / Е.В. Мельник // Материалы и упрочняющие технологии — 2005: сб. матер. XII Российской науч.-техн. конф. (15-16 ноября 2005 г.)/ Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2005. С. 200-204.

9. Программа аппроксимации и интегрирования таблично заданной функции одной переменной с использованием детерминированных хаотических отображений [Текст]: свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006611513 / Мельник Е.В., Довгаль В.М.; правообладатель ГОУ ВПО «Курск, гос. техн. ун-т» (RU). №2006611186; заявл. 10.04.06; зарег. 5.05.06. 29 с.

Подписано в печать 24.08.06. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-издл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 205. Курский государственный технический университет. Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Соискатель

Е.В. Мельник

ИД №06430 от 10.12.01.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ ОБРАБОТКИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ.

1.1. Функциональная зависимость как предмет исследования в экономических и социальных системах.

1.2. Измерения и погрешность при обработке временных рядов в эконометрике.

1.3. Особенности данных и закономерностей в социологии.

1.4. Обзор и анализ алгоритмов приближения таблично заданных функциональных зависимостей.

1.4.1. Обзор и анализ способов глобальной и локальной аппроксимации.

1.4.2. Обзор и анализ результатов использования степенных рядов при аппроксимации для уменьшения вычислительной погрешности.

1.4.3. Обзор и анализ методов построения эмпирических формул.

1.5. Обзор известных методов сжатия информации.

1.6. Анализ алгоритмов численного интегрирования.

1.7. Сущность предлагаемого подхода к обработке таблично заданных функций одной переменной.

Выводы.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ХАОТИЧЕСКИХ РЯДОВ. ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

2.1. Основы теории хаотических систем.

2.2. Математическое описание алгоритмов приближения таблично заданных функций одной переменной.

2.2.1. Математическое описание методов глобальной интерполяции.

2.2.2. Методы локальной интерполяции.

2.2.3. Использование степенных рядов при аппроксимации для уменьшения вычислительной погрешности.

IV 2.2.4. Построение эмпирических формул.

2.3. Математическое описание алгоритмов численного интегрирования.

Выводы.

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРЕДЛАГАЕМЫХ МЕТОДОВ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ СЖАТИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЧИСЛОВОГО РЯДА

3.1. Алгоритмизация метода аппроксимации числового ряда.

3.2. Алгоритмизация метода интегрирования числового ряда.

3.3. Описание разработанного программного обеспечения.

3.3.1. Используемые данные и процедуры обработки.

3.3.2. Описание работы модулей программы.

Выводы.

ГЛАВА 4. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И СОПОСТАВИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ у ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

4.1. Результаты сокращения затрат памяти таблично заданных функций одной переменной при использовании разработанной модели сжатия метода аппроксимации.

4.2. Сопоставительный анализ результатов реализаций известных и разработанного метода аппроксимации.

4.2.1. Сравнение показателей погрешности и затрат памяти.

4.2.2. Сравнительный анализ скоростных характеристик и оценка вычислительной сложности.

4.3. Сопоставительный анализ результатов реализаций известных и разработанного методов интегрирования.

4.3.1. Сравнение показателей погрешности и затрат памяти.

4.3.2. Сравнительный анализ скоростных характеристик. 129 Выводы.

Актуальность. Управление в социально-экономических системах основывается на необходимости обработки больших объемов информации, значительная часть из которой является результатом использования эконометрики и социометрии и представляет собой функции одной переменной, ^ отражающие поведение объектов управления, в том числе во времени. При этом накапливаются огромные массивы эконометрических и социометрических данных, требующих адекватной и своевременной обработки в компьютерных системах поддержки принятия управленческих решений. В связи с этим возникает проблемная ситуация, сущность которой заключается в отсутствии таких практически пригодных форм представления функций, средств их интегрирования и алгоритмов, которые обеспечивают высокую скорость обработки данных при приемлемой погрешности и допустимом Ч минимуме затрат памяти. Для разрешения названной проблемной ситуации возникает потребность в поиске новых подходов, методов и алгоритмов, а также соответствующих программных средств.

Основная решаемая задача данной диссертационной работы заключается в разработке программных и алгоритмических средств аппроксимации функций одной переменной и их интегрирования на основе положений теории хаотических систем.

Для решения основной решаемой задачи имеются необходимые ^ предпосылки. Над проблемами аппроксимации и интегрирования функций работали известные отечественные и зарубежные исследователи. Вопросам изучения хаотических систем посвящены работы А. Пуанкаре, Э. Лоренца, М. Хенона, Дж. Томпсона, Г. Биркгофа, Н. С. Крылова, А.Н. Гапоно-ва-Грехова и других известных ученых.

Теоретическая часть диссертационной работы включает в себя разработку методов и алгоритмических средств аппроксимации и интегрирования функций на основе положений хаотических систем путем использования генераторов хаотических процессов в виде дискретных отображений особого типа. Практическая часть содержит описание программных средств, пригодных для практического использования в контурах систем управления социально-экономическими объектами.

Исследование реализации аппроксимации и интегрирования функций одной переменной на основе достижений современной теории хаотических систем является актуальным и перспективным научным направлением.

Работа выполнялась в рамках гранта Минобразования Г00-4.5-15 «Разработка и исследование методов, алгоритмических, программных и технических средств организации быстрых символьных вычислений» при непосредственном участии автора.

Цель работы заключается в разработке методов, алгоритмических средств и программной реализации процедур аппроксимации и интегрирования функций одной переменной на основе использования дискретных хаотических отображений для снижения вычислительной и емкостной сложности, и также регулирования погрешности при использовании программных продуктов в контурах систем управления социально-экономическими объектами.

Задачи исследования заключаются в следующих положениях:

1. Определить особенности объекта исследования и существующих методов обработки (аппроксимация, сжатие и интегрирование) функций одной переменной, а также исследовать свойства дискретных хаотических отображений.

2. Разработать методы и алгоритмические средства аппроксимации и интегрирования функций одной переменной на основе генераторов числовых хаотических рядов в виде специальных дискретных отображений.

3. Создать программные средства аппроксимации и интегрирования функций одной переменной, являющихся пригодными для практического использования в современных системах управления социально-экономическими объектами.

4. Выполнить сопоставительный анализ разработанных методов функциональных преобразований с известными способами аппроксимации и интегрирования.

Объектом исследования являются процессы обработки таблично заданных форм представления информации в социально-экономических системах.

Предметом исследования является организация и реализация процедур аппроксимации и интегрирования функций одной переменной. Ц' Методы исследования основываются на положениях теории проектирования сложных информационных систем, функционального математического анализа, теории алгоритмов, теоретического программирования и теории хаотических систем.

Достоверность и обоснованность результатов исследования подтверждается: согласованностью теоретических и экспериментальных результатов, проведенными программными экспериментами по функциональному преобразованию таблично заданных функций одной переменной, полученных 1 в результате использования эконометрики и социометрии; корректным использованием законов и положений современной теории хаотических (случайно-подобных) систем и теории аппроксимации, а также рецензированием печатных работ, их обсуждением на научно-технических конференциях, семинарах кафедры ПО ВТ и экспертизой разработанного программного продукта Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Научная новизна работы состоит в решении важной науч-но-техническои задачи по созданию нового класса методов, алгоритмических и программных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной для использования в контурах управления социально-экономических объектов. Впервые получены следующие результаты:

1. Разработан метод аппроксимации функций одной переменной на основе генераторов числовых хаотических рядов в виде специальных дискретных отображений, что позволяет сокращать число хранящихся узлов в исходной последовательности и обеспечивать регулируемую погрешность расчетов. Созданный алгоритм аппроксимации по затратам времени имеет преимущество до 7 раз по отношению к алгоритму, реализующему метод наименьших квадратов, по числу выполняемых операций - до 6 раз.

2. Созданы алгоритмические модели сжатия и восстановления таблично заданных функциональных зависимостей одной переменной по результатам измерений, позволяющие после разработки алгоритмов и программ достигнуть сокращения затрат памяти на периодических и гладких возрастающих или убывающих функциях по сравнению с методами сжатия и округления в 10 раз.

3. Разработан метод интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей на основе хаотической аппроксимации со скоростными преимуществами и открывающий возможности создать алгоритмические и программные средства, обеспечивающие вычисление определенных интегралов с погрешностью до 1-Ю"9. Скорость вычислений возрастает по сравнению с методами трапеций и прямоугольников в 1,3 раза.

4. Осуществлена алгоритмизация методов аппроксимации и интегрирования при создании программных средств для конкретных практических приложений, которая отличается упрощенной схемой взаимодействия модулей и унификацией состава основных блоков обработки таблично заданных функций одной переменной.

Практическая ценность работы заключается в создании пригодных для практического использования в системах управления социально-экономическими объектами программных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной. Алгоритмизация и программная реализация методов аппроксимации и интегрирования позволили получить показатели погрешности от 10"1 до 1-10"9, что является приемлемым для применения в социально-экономических системах. Разработанные методы, алгоритмы и программные средства открывают пути создания аппаратных средств для быстротекущих процессов, возникающих в контурах систем управления (обработка результатов биржевых торгов, опросов, анкет, демографических данных и т.д.), а также для аппроксимации и интегрирования функций от многих переменных и для приложений в других предметных областях.

На защиту выносятся:

1. Метод аппроксимации функций одной переменной на основе числовых хаотических рядов в виде дискретных отображений.

2. Алгоритмические модели сжатия и восстановления таблично заданных функциональных зависимостей.

3. Метод интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей по результатам измерений на основе хаотической аппроксимации.

4. Результаты сопоставительного анализа разработанных и известных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы обсуждались и получили положительную оценку на VI научной конференции "Вибрация-2003", г. Курск, 2003 г.; XI Российской научно-технической конференции «Материалы и упрочняющие техноло-гии-2004», г. Курск, 2004 г. (2 доклада); VIII Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии - 2005», г. Курск, 2005 г.; VI Всероссийской научно-технической конференции «Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий», г. Улан-Уде, 2005 г.; XII Российской научно-технической конференции «Материалы и упрочняющие технологии-2005», г. Курск.

Реализация результатов работы. Основные результаты диссертационного исследования в виде программных продуктов функционального преобразования таблично заданных функций внедрены в отделе автоматизированной системы управления производством (АСУП) ОАО «Геомаш», г. Щигры Курской области и используются в учебном процессе Курского государственного технического университета.

Публикации. По результатам выполненных разработок и исследований опубликовано 9 печатных работ, в том числе 1 по перечню центральных рецензируемых журналов и изданий, рекомендуемых ВАК Министерства образования и науки РФ, получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

В работах, написанных в соавторстве, лично автором диссертации разработаны и описаны методы аппроксимации и интегрирования функций одной переменной с использованием детерминированных хаотических отображений [2,3,4,5]; выполнено сравнение затрат характеристик разработанных и известных методов аппроксимации и интегрирования [6,7]; исследовано их применение к обработке временных рядов в социально-экономических системах [1,8] и созданы программные средства обработки функций одной переменной [9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 140 страницах машинописного текста, содержит 51 рисунок, 7 таблиц, список литературы из 82 наименований и 8 приложений объемом 72 страницы. Общий объем 221 страница.

Основные результаты нашли отражение в следующих работах: ^ 1. Мельник, Е.В. Оптимизация функциональной обработки зависимостей в социально-экономических системах [Текст] / Е.В. Мельник // Известия Тульского государственного университета/ Сер. Экономика. Управление. Стандартизация. Качество. 2006. Вып. 4. С. 24-25.

2. Мельник, Е.В. Методы аппроксимации результатов динамических процессов [Текст] / Е.В. Мельник // Вибрационные машины и технологии: сб. науч. тр. / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2003. С. 185-188.

3. Применение положений хаотической динамики к сжатию числовых 4 характеристик функционирования комбинированных машин и агрегатов

Текст] / В.Я. Котельников, Е.В. Мельник, А.И. Пыхтин, A.A. Евдокимов // Известия Курск.гос.техн.ун-та. 2004. №2(13). С. 23-24.

4. Довгаль, В.М. Способ функционального преобразования обработки таблично заданной функции с заданной погрешностью с помощью детерминированного хаотического ряда [Текст] / В.М. Довгаль, Е.В. Мельник // Материалы и упрочняющие технологии-2004: сб. матер. XI Российской науч.-техн. конф. (23-25 ноября 2004)/ Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2004.

С. 246-251.

5. Довгаль, В.М. Применение способа функционального преобразования к интегрированию таблично заданных функций [Текст] / В.М. Довгаль, Е.В. Мельник // Материалы и упрочняющие технологии-2004: сб. матер. XI Российской науч.-техн. конф. (23-25 ноября 2004)/ Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2004. С. 251-253.

6. Довгаль, В.М. Способ обработки таблично заданных последовательностей с помощью детерминированных хаотических отображений для вреу менных рядов в эконометрике и социометрике [Текст] / В.М. Довгаль,

Е.В. Мельник // Медико-экологические информационные технологии-2005: сб. матер. VIII Междунар. науч.-техн. конф. / Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2005. С. 161-162.

7. Мельник, Е.В. Метод интерполирования и интегрирования таблично заданной функции одной переменной: сопоставительный анализ [Текст] / Е.В. Мельник, В.М. Довгаль // Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий: сб. матер. VI Всероссийской науч.-техн. конф. Улан-Уде, 2005. С. 83-86.

8. Мельник, Е.В. Применение метода интерполирования и интегрирования таблично заданной функции одной переменной с использованием эконометрических данных [Текст] / Е.В. Мельник // Материалы и упрочняющие технологии - 2005: сб. матер. XII Российской науч.-техн. конф. (15-16 ноября 2005 г.)/ Курск, гос. техн. ун-т. Курск, 2005. С. 200-204.

9. Программа аппроксимации и интегрирования таблично заданной функции одной переменной с использованием детерминированных хаотических отображений [Текст]: свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2006611513 / Мельник Е.В., Довгаль В.М.; правообладатель ГОУ ВПО «Курск, гос. техн. ун-т» (RU). №2006611186; заявл. 10.04.06; зарег. 5.05.06.29 с.

В работах, написанных в соавторстве, лично соискателем разработаны способы и алгоритмы для реализации способов проверки адекватности теоретических последовательностей, аппроксимации и интегрирования функций одной переменной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена важная научно-техническая задача по созданию средств обработки эконометрических и социометрических данных, отражающих поведение объектов управления, и созданию нового класса алгоритмических и программных средств аппроксимации и интегрирования функций одной переменной. Получены следующие результаты:

1. Разработан концептуальный базис диссертационного исследования iff на основе положений функционального математического анализа, теории хаотических систем, теоретического программирования и теории проектирования информационных систем.

2. Впервые разработан и алгоритмизирован новый метод аппроксимации функций одной переменной. Отличие метода заключается в том, что для снижения погрешности аппроксимации и уменьшения числа узлов интерполяции впервые использованы детерминированные хаотические дискретные отображения, используемые в качестве «аналитической памяти». Созданный алгоритм аппроксимации по затратам времени имеет преимущество до 7 раз по отношению к алгоритму, реализующему метод наименьших квадратов, а по числу выполняемых операций - до 6 раз.

3. Впервые в рамках метода аппроксимации созданы алгоритмические модели сжатия и восстановления, которые позволяют осуществлять сжатие с потерями числовой информации, представленной таблично заданной функциональной зависимостью одной переменной, при этом погрешность является регулируемой величиной. Разработанные модели позволили достигнуть сокращения затрат памяти для рассматриваемых классов функций по сравнению с известными методами сжатия и округления в 10 раз.

4. Разработан и алгоритмизирован новый метод интегрирования таблично заданных функциональных зависимостей. Отличие разработанного метода заключается в использовании разработанного метода аппроксимации для приближения подынтегральной функции. Алгоритм интегрирования превосходит по скорости в 1,3 раза известные методы нахождения определенных интегралов (прямоугольников и трапеций).

5. Разработана компактная программная реализация алгоритмов на основе созданных алгоритмических средств для хранения и обработки функций одной переменной в системах управления социально-экономическими объектами. При аппроксимации и интегрировании обеспечивается вычисление с погрешностью до МО"9.

1. Анфилатов, B.C. Системный анализ в управлении Текст.: учеб.пособие / B.C. Анфилатов, A.A. Емельянов, A.A. Кукушкин; под ред.

2. A.A. Емельянова. М.: Финансы и статистика, 2002. 368 с.

3. Эконометрика Текст.: учебник / под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003. 344 с.

4. Магнус, Я.Р. Эконометрика. Начальный курс Текст.: учебник для студентов вузов/ Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, A.A. Пересецкий. М.: Дело, 2005. 504 с.

5. Бережная, Е.В. Математические методы моделирования экономических систем Текст.: учеб. пособие / Е.В. Бережная. М.: Финансы и статистика, 2003. 368 с.

6. Дорозина, Е.Ю. Моделирование микроэкономики Текст.: учеб. пособие / Е.Ю. Дорозина. М.: Экзамен, 2003. 222 с.

7. Доугерти, К. Введение в эконометрику Текст. / К. Доугерти. М.: Инфра-М, 2001. 402 с.

8. Математика в экономике Текст.: учебник: в 2 ч. 4.1 / A.C. Солодовников, В.А. Бабайцев, A.B. Браилов, И.Г. Шандра. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2003. 384 с.

9. Математика в экономике Текст.: учебник: в 2 ч. 4.2 / A.C. Солодовников, В.А. Бабайцев, A.B. Браилов, И.Г. Шандра. 2-е изд., перераб и доп. М.: Финансы и статистика, 2003. 560 с.

10. Анурин, В.Ф. Динамическая социология Текст.: учеб. пособие /

11. B.Ф. Анурин. М.: Академический проект, 2003. 560 с.

12. Зинченко, Г.П. Социология управления Текст.: учеб. пособие для студентов вузов / Г.П. Зинченко. Ростов н/Д.: Феникс, 2004. 384 с.

13. Кравченко, А.И. Социология управления: фундаментальный курс Текст.: учеб. пособие / А.И. Кравченко, И.О. Тюрина. 2-е изд., испр. и доп. М.: Академический проект, 2005. 1136 с.

14. Ларионов, И.К. Социальная теория. Общие основы и особенности России Текст.: учеб. пособие / И.К. Ларионов. 2-е изд. М.: Дашков и К, 2005. 244 с.

15. Парсонс, Т. О социальных системах Текст./ Т. Парсонс; под ред. В.Ф. Чесноковой, С.А. Белановского. М.: Академический проект, 2002. 832 с.

16. Морено, Я.Л. Социометрия: экспериментальный метод и наука об обществе Текст./Я.Л. Морено. М.: Академия, 2004. 320 с.

17. Оптимальные методы вычислений и их применение к обработке информации Текст.: межвуз. сб. науч. тр./ Пензенский политехи, ин-т. Пенза: Из-во ППИ, 1991. 127 с.

18. Марчук, Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем Текст. / Г.И. Марчук. М.: Наука, 1992. 336 с.

19. Саркисян, С.А. Прогнозирование развития больших систем Текст. / С.А. Саркисян. М.: Статистика, 1975. 195 с.

20. Евланов, Л.Г. Контроль динамических систем Текст. / Л.Г. Ев-ланов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1979. 431 с.

21. Андрейчиков, A.B. Анализ, синтез, планирование решений в экономике Текст. / A.B. Андрейчиков. М.: Финансы и статистика, 2000.368 с.

22. Дубров, A.M. Многомерные статистические методы и основы эконометрики Текст.: учеб.-практич. пособие / A.M. Дубров, B.C. Мхита-рян, Л.И. Трошин. М.: МЭСМ, 1998. 107 с.

23. Евланов, Л.Г. Теория и практика принятия решений Текст. / Л.Г. Евланов. М.: Экономика, 1984. 176 с.

24. Хомяков, Д.М. Основы системного анализа Текст. / Д.М. Хомяков, П.М. Хомяков. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 1996. 107 с.

25. Роберте, Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам Текст./ Ф.С. Роберте; пер. с англ. A.M. Раппопорта, С.И. Травкина; под ред. А.И. Тей-мана. M.: Наука, 1986. 496 с.

26. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании Текст.: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. 2-е изд., испр. М.: Дело, 2001. 688 с.

27. Замков, 0.0. Математические методы в экономике Текст.: учебник / 0.0. Замков, A.B. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. 2-е изд. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Изд-во «Дело и Сервис», 1999. 368 с.

28. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы экономики Текст.: учебник для вузов / С.А. Айвазян, B.C. Мхитарян. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

29. Обучающиеся системы обработки информации и принятия решений Текст. / A.B. Лапко, C.B. Крохов, С.И. Ченцов, Л.А. Фельдман. Новосибирск: Наука, 1996. 284 с.

30. Лотов, A.B. Введение в экономико-математическое моделирование Текст.: учеб. пособие для инж.-экон. спец. вузов / A.B. Лотов; под ред. H.H. Моисеева. М.: Наука, 1984. 392 с.

31. Варфоломеев, В.И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем Текст.: учеб. пособие / В.И. Варфоломеев. М.: Финансы и статистика, 2000. 208 с.

32. Социология Текст.: учеб. пособие для студентов вузов / под ред.

33. A.Н. Елсукова. 5-е изд. Минск: ТетраСистемс, 2004. 544 с.

34. Радаев, В.В. Эконометрическая социология Текст.: учеб. пособие /

35. B.В. Радаев. М.: ГУ ВШЭ, 2005. 603 с.

36. Анурин, В.Ф. Эмпирическая социология Текст.: учеб. пособие для вузов / В.Ф. Анурин. М.: Академический Проект, 2003. 832 с.

37. Социальная информатика: основания, методы, перспективы: Текст.: монография / Институт системного анализа Российской академии наук; Институт социальной информации, информационных процессов и технологий. М.: Едиториал УРСС, 2003. 216 с.

38. Конушин, А. Устойчивые алгоритмы оценки параметров модели на основе случайных выборок Электронный ресурс. / А. Конушин // Графика и мультимедиа: Он-лайн журнал. Вып. 1. http://cgm.graphicon.ru:8080/ issue 1/algorithmes/index.html.

39. Турчак, JI.И. Основы численных методов Текст.: учеб. пособие / Л.И. Турчак. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 320 с.

40. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст.: учеб. пособие / И.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельников. 2-е изд. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 362 с.

41. Волков, Е.А.Численные методы Текст. / Е.А. Волков. М.: Наука, 1982. 254 с.

42. Кошев, А.И. Численные методы и методы оптимизации Текст.: учеб. пособие/ А.Н. Кошев, В.В. Кузина. Пенза: ПГУАС, 2004. 136 с.

43. Бабенко, К.И. Основы численного анализа Текст. / К.И. Бабенко. 2-е изд. испр. и доп. М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2002. 847 с.

44. Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения Текст. / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. М.: Наука, 1967. 368 с.

45. Амосов, A.A. Вычислительные методы для инженеров Текст.: учеб. пособие для втузов/ A.A. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. М.: Высш. шк., 1994. 543 с.

46. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов [и др.]. М.: Наука, 1987. 598 с.

47. Варга, Ричард С. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе Текст. / Варга, С. Ричард. М.: Мир, 1974. 126 с.

48. Сизиков, B.C. Математические методы обработки результатов измерений Текст.: учебник для вузов / B.C. Сизиков. СПб.: Политехника, 2001.240 с.

49. Хемминг, Р.В. Численные методы Текст. / Р.В. Хемминг. М.: Наука, 1972. 400 с.

50. Дегтярева, A. Line fitting, или методы аппроксимации набора точек прямой Электронный ресурс. / А. Дегтярева, В. Вежневец // Графика и мультимедиа: Он-лайн журнал. Вып. 1. http://cgm.graphicon.ru:8080/ is-sue2/linefitting/index.html.

51. Дегтярева, А. Преобразование Хафа Электронный ресурс. / А. Дегтярева, В. Вежневец // Графика и мультимедиа: Он-лайн журнал. Вып. 1. http://cgm.graphicon.ru:8080/issuel/hough/index.html.

52. Математические модели и оптимизация вычислительных алгоритмов Текст.: сб. тр. вычисл. математики и кибернетики МГУ/ под ред. А.Н. Тихонова, A.A. Самараского. М.: Изд.-во МГУ, 1993. 254 с.

53. Вершинин, В.В. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания Текст./ В.В. Вершинин, Ю.С. Завьялов, H.H. Павлов; АН СССР, Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск: Наука, 1988. 102 с.

54. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций Текст./ Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, B.JI. Мирошниченко; под ред. H.H. Яненко. М.: Наука, 1980.352 с.

55. Крылов, В.И. Начала теории вычислительных методов: интерполирование и интегрирование Текст./ В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырский. Минск: Наука и техника, 1983. 287 с.

56. Самарский, A.A. Математическое моделирование Текст. / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. 2-е изд. испр. М.: Физмалит, 2001. 317 с.

57. Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование Текст.: учеб. пособие для втузов / Ю.П. Боглаев. М.: Высш. шк., 1990. 543 с.

58. Арапов, Д. Пишем упаковщик Текст. / Д. Арапов // Монитор. 1993. № 1.С. 16-26.

59. Буяновский, Г. Ассоциативное кодирование Текст. / Г. Буянов-ский // Монитор. 1994. №8. С. 10-22.

60. Глушков, В.М. Кибернетика. Вопросы теории и практики Текст. / В.М. Глушков. М.: Наука, 1986.486с.

61. Huffman, D.A. A method for the construction of minimum-redundancy codes Text. / D.A. Huffman // Proc. Inst. Electr. Radio Eng. 40, 9 (Sept. 1952). P. 1098-1101.

62. Rubin, F. Arithmetic stream coding using fixed precision registers Text. / F. Rubin // IEEE Trans. Inf. Theory IT-25, 6 (Nov. 1979). P. 672-675.

63. Storer, J.A. Data compression via textual substitution Text. / J.A. Storer, T.G. Szymanski //Journal of the ACM 29,4 (Oct. 1982). P. 928-951.

64. Ziv, J. A universal algorithm for sequential data compression Text. / J. Ziv, A. Lempel // IEEE Trans. Inf. Theory IT-23, 3 (1977). P. 337-343.

65. Golomb, S.W. Run-length encoding Text. / S.W. Golomb // IEEE Tr. Inf. Theory IT-12, (1966). P. 399-401.

66. Gallager, R.G. Variations on the theme by Huffman Text. / R.G. Gallager // IEEE Trans. Inf. Theory IT-24, 6 (Nov. 1978). P. 668-674.

67. Fiala, E.R. Data compression with finite windows Text. / E.R. Fiala, D.H. Greene // CACM-32,4 (1989). P. 490-505.

68. Ziv, J., and Lempel, A. Compression of individual sequences via variable-rate coding Text. / J. Ziv, A. Lempel. // IEEE Trans. Inf. Theory IT-24, 5 (Sept. 1978). P. 530-536.

69. A technique for high-perfomance data compression Text. / T.A. Welch // IEEE Comput. 17,6 (June 1984). P. 8-19.

70. Андреев, А.Ю. Компьютерное моделирование исторических процессов Электронный ресурс./ А.Ю. Андреев, Л.И. Бородкин // Нелинейная модель стачечного движения: анализ эффектов самоорганизации. http://aik.org.ru/modules/wfsection/ images/krug/8/434-489.pdf

71. Довгаль, В.М. Концепция и методология анализа и обработки случайно-подобных (хаотических) процессов в компьютерных сетях Текст. Ч. 1. / В.М. Довгаль, И.С. Захаров // Телекоммуникации. 2004. №8.С.2-7.

72. Томпсон, Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике Текст. / Дж.М.Т. Томпсон. М.: Мир, 1985. 254 с.

73. Хенон, М. Двумерное отображение со странным аттрактором Текст./ М. Хенон // Странные аттракторы/ под ред. Я.Г. Синая и О.П. Шильникова. М.: Мир, 1981. С. 152-163.

74. Табор, М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике Текст. / М. Табор. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 320 с.

75. Хаос Текст. / Дж. Кратчфилд, Дж. Фармер, Н. Паккард, Р. Шоу // В мире науки. 1987. №2. С. 16-28.

76. Анищенко, B.C. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы Текст. / B.C. Анищенко, Т.Е. Вадивасова, В.В. Астахов. Саратов.: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. 368 с.

77. Ланда, П.С. Нелинейные колебания и волны Текст. / П.С. Ланда. М.: Наука, 1997. 496 с.

78. Мун, Ф. Хаотические колебания Текст. / Ф. Мун. М.: Мир, 1990.528 с.

79. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам Текст. / Д.А. Грибков, В.В. Грибкова, Ю.А. Кравцов, Ю.И. Кузнецов, А.Г. Ржаков // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39, №2. С. 269-278.

80. Кузнецов, А.П. Особенности перехода к хаосу нелинейных систем, описываемых одномерными двухпараметрическими отображениями Текст. / А.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39, №2. С.439-446.

81. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая Текст. / М. Шредер. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. 528 с.

82. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах Текст. / B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова, А.Б. Нейман, Г.И. Стрелкова, JT. Шиманский-Гайер. М.- Ижевск: Институт компьтерных исследований, 2003. 544 с.

83. Анищенко, B.C. Сложные колебания в простых системах Текст. / B.C. Анищенко. М.: Наука, 1990. 310 с.

84. Бланк, M.JI. Устойчивость и локализация в хаотической динамике Текст. / М.Л. Бланк. М.: МЦНМО, 2001. 351 с.

85. Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика Текст. / А. Лихтенберг, М. Либерман. М.: Мир, 1984. 528 с.

86. Иванов, М.А. Криптографические методы защиты информации в компьютерных системах и сетях Текст. / М.А. Иванов. М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2001.368 с.