автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы геометрического анализа сложного поведения с приложением к модели полупроводникового лазера

На правах рукописи

Рассказов Олег Александрович

МЕТОДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СЛОЖНОГО ПОВЕДЕНИЯ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К МОДЕЛИ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ЛАЗЕРА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль — 2004

Работа выполнена в Самарском муниципальном университете Наяновой

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Соболев Владимир Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Кубышкин Евгений Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор

Филатов Олег Павлович

Ведущая организация:

Институт проблем передачи информации (ИППИ) РАН

Защита состоится « 26 » ноября 2004 г. в 15.00 на заседании диссертационного совета К 212.002.04 при Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова по адресу: 150000, Ярославль, ул. Советская, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова по адресу: 150000, Ярославль, ул. Полушкина роща, 1.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

2004 г. ^^

¿-^^ . Глызин С. Д.

2005-4 20975~

1 Общая характеристика работы

Актуальность работы

Исследование хаотической динамики, возникающей в физических системах, является одной из бурно развивающихся областей прикладной математики в течении последних 20 лет. В частности, проблема существования устойчивого странного аттрактора для классических значений параметров в уравнении Лоренца была включена Смейлом в список математических проблем 21 века и была решена Тукером в 1999 году.

Строгие доказательства хаотического поведения для систем дифференциальных уравнений в основном базируются на топологических методах и численном интегрировании в интервальной арифметике с гарантированной оценкой точности (см. работы Михайкова-Мрозека, Згличинского и Тукера).

Проблема использования подходов Михайкова-Мрозека и Згличинского для доказательства хаотического поведения заключается в особенностях численного интегрирования в интервальной арифметике. Предложенные процедуры требуют эффективной оценки локальной ошибки на каждом шаге численного интегрирования, что вполне возможно для ОДУ с простой (например, квадратичной) правой частью, но требует несоизмеримо больше времени для более сложных нелинейностей. Таким образом, существующие доказательства не подходят для систем с существенными нелинейностями, возникающих в различных прикладных областях.

Цель диссертационной работы

Основной целью данной диссертационной работы является доказательство существования хаотического поведения при помощи компьютера для упрощенной модели Ленга-Кобаяши, описывающей динамику полупроводниковых лазеров с обратной связью.

Научная новизна

В представленной диссертационной работе впервые получены следующие результаты.

1. Предложен алгоритм для гарантированной оценки локальной ошибки для метода Рунге-Кутта четвертого порядка, применяемого для в заданной области к системе нелинейных ОДУ. Алгоритм использует вычисления в интервальной арифметике и реализован в пакете "Mathematica".

2. Для упрощенной системы Ленга-Кобаяши при некоторых значениях параметра установлено существование нмпортучтттк-тп ЧЧПМ^РГТПА даДдец^., ор-

биты минимальных периодов 1 и 9, доказано хаотическое поведение системы на подмножестве инвариантного множества.

3. Разработан и применен метод разорванных орбит для локализации периодических решений при помощи топологической степени отображения.

4. Для обобщения гиперболичных отображений на класс непрерывных функций (сплит-гиперболичность) в условиях теоремы об отслеживании траекторий, показано существование множеств, аналогичных устойчивому и неустойчивому инвариантным многообразиям в ситуации обычной гиперболичности.

Теоретическая и практическая ценность

Разработанная методология и алгоритмы позволяют гарантировано оценивать локальную ошибку метода Рунге-Кутта четвертого порядка для нелинейных уравнений, локализовать периодические орбиты различных периодов как для дискретных, так и для непрерывных динамических систем, доказывать хаотическое поведение для систем дифференциальных уравнений со сложными нелинейностями. Алгоритмы и методы применены к упрощенной системе Ленга-Кобаяши, описывающей динамику полупроводниковых лазеров с обратной связью, для которой впервые было доказано существование хаотического поведения при некоторых значениях параметров.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на международной конференции "Geometrical Methods of Nonlinear Analysis and Semiconductor Laser Dynamics" (Апрель 2001, Корк, Ирландия), на первой SIAM-EMS международной конференции "Applied Mathematics in our Changing World" (Сентябрь 2001, Берлин, Германия), на международной конференции "Relaxation Oscillations and hysteresis" (Апрель 2002, Корк, Ирландия), на IV международном симпозиуме "Hysteresis and Micromagnetics" (Май 2003, Саламанка, Испания), на международной конференции "Hysteresis and Multi-Scale Asymptotics" (Март 2004, Корк, Ирландия).

Результаты обсуждались на научных семинарах кафедры прикладной математики Национального Университета Ирландии, г. Корк, (Март 2002) и семинаре кафедры физики Самарского Государственного Университета (Октябрь 2002).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ, из совместных публикаций в диссертацию включены результаты полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 80 наименований. Объем диссертации - 115 страниц.

2 Краткое содержание работы

Во Введении дается обоснование актуальности темы диссертации, излагаются цели и задачи исследования, содержится краткий обзор литературы, связанной с тематикой диссертации и приводится структура работы.

В главе 1 кратко описана рассматриваемая модель и приведены основные факты относящиеся к хаотическому поведению и к методике доказательства хаотического поведения при помощи компьютеров.

Динамика полупроводникового лазера с обратной связью описывается моделью Ленга-Кобаяши, являющейся системой обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием:

Здесь Е - комплексная переменная, описывающая амплитуду электро-маг-нитного поля, N - плотность носителей заряда, / - ток накачки, к - коэффициент угасания поля, 1/7ц - время спонтанной эмиссий, а - некоторый коэффициент характеризующий лазер, - процент отражаемого излучения, </?о - фазовый сдвиг излучения (предполагается существование единственной частоты излучения), и наконец, - время необходимое излучению чтобы достичь зеркала и вернуться обратно.

В работе рассматривается поведение упрощенной модели, которая, при некоторых, физически значимых значениях параметров, может быть переписана в безразмерном виде как

В дальнейшем будет использоваться представление вышеприведенной систе-

мы в векторном виде х = ^(х), где х = х^2\ х^). Введем область

Область П выбрана подобным образом поскольку эксперименты показывают, что достаточно длинные численные траектории уравнения (2) стягиваются к данной области.

Пусть / : 5 и 5 - отображение на множестве 5 С Кг. Пусть и = {С/о, ■ ■ ■, и*1-1} ! т > 0 - семейство не пересекающихся подмножеств К,*1 и обозначим пространство односторонних последовательностей ш — ш0,и>1,... : 6 {0,1,..., т — 1} как П*. Для х € /У, определим функцию 1(х) как число Г, удовлетворяющее х Е {/,.

Определение 2.1. Отображение / называется (Ы, £)-хаотичным (к - положительное целое число) если существует компактное, инвариантное относительно / множество 1 С и, со следующими свойствами:

(р1) для любого и) 6 $"2^ существует х 6 I такое, что /**(х) = (/*)* € для всех

(р2) для любой р-периодической последовательности и & существует -периодическая точка удовлетворяющая

(рЗ) для каждого п > 0 существует несчетное подмножество Х(т/) С ¿>, такое, что для всех Х\,Х2 € Х{г}),Хх ф х2 выполнены следующие соотношения

В главе 2 рассматривается вопрос о гарантированных оценках численного интегрирования методом Рунге-Кутта.

Параграф 2.1 содержит основные определения, краткое описание метода Рунге-Кутта четвертого порядка и утверждение об оценке глобальной ошибки метода Пусть <¿>(4, х<>) обозначает оператор сдвига за время t вдоль траекторий системы (2) с начальной точкой х0. Обозначим точку п численной траектории выходящей из Хо как 1/„(х0), где п ^ О и ^о(хо) — Хо- Пусть временной шаг равен h и известно значение Тогда формула для г/п+1 задается как

Здесь

а шп - оценка численной ошибки (в дальнейшем мы будем исходить из того, что вычисления проводятся с числами с плавающей запятой двойной точности согласно стандарту IEEE).

Параграф 2.2 посвящен оценке константы Липшица оператора сдвига и использует логарифмическую норму матрицы и теорему о наибольшем собственном значении семейства матриц.

Утверждение 2.1. Пусть <p(t,Xo),<p(t,y0) € О,, 0 ^t ^Т. Тогда

В параграфе 2.3 предложен метод оценки локальной ошибки численного интегрирования в области

Определение 2.2. Локальной ошибкой e(h,Q) метода RK4 с шагом h для траекторий из Л называется

e(h,fl) = sup{|<p(/i,x) — Vi{x)\ : х € £i}

Формула для оценки локальной ошибки метода RK4 может быть записана как

е(Л,ПКт£7 sup + SUP |ki4W)| + u;. (5)

W! те[0Д] хеП (4j! ^ re[0,h] xiSi

Здесь Ьг - коэффициенты перед hkt в формуле (4): — b2 ~ Ь3 = Ь4 — - оценка ошибки вычислений с двойной точностью в компьютерной реализации метода. Все производные посчитаны вдоль траекторий системы (2). Заметим, что гарантированные оценки коэффициентов в формуле не тривиальны и данная проблема решается с использованием символических вычислений. Например, неполное разложение для к^\х,т) в терминах х содержит более 300000 членов

Лемма 2.1. Локальная ошибка e(h,fi) метода RK4 с шагом h < 0.01 для уравнения (2) с начальным условием в f2 удовлетворяет неравенству

e{h,Q) < 0.16/i5+ КГ13. (6)

В параграфе 2.4 мы собираем вышеперечисленные оценки для утверждения о глобальной оценке численного интегрирования и доказываем некоторую техническую лемму.

Определение 2.3. Глобальной ошибкой метода ЯК, определенной для заданного начального условия Хо и шага п называется

Лемма 2.2. Пусть 1р{Ь,хо),г^(£о) б ^ для I 6 [0,72/1] и всех к ^ п. Тогда

и>

Е(п,х0,Н) < ОЛН (е - 1) + — (е1

„0 4 пк

В главе 3 рассмотрены свойства отображения Пуанкаре V на плоскости х^ = 0. В частности, показана определенность отображения на простом полигональном множестве . Параграф 3.1 содержит введение. Основные результаты главы сформулированы в параграфе 3.2, а доказательства приведены в параграфе 3.3.

Рассмотрим плоскость ж'3' — 0. Точки х = (я'1', х^2\ 0) на этой плоскости, будут для краткости обозначаться как х = (л^1', х^). Условие (1х^/(И ф 0 трансверсального пересечения плоскости траекториями уравнения

(2) выполнено везде, кроме прямой

(7)

Обозначим полу-плоскость х^ = 0, х^1 > х^' как 8. Поскольку 8 трансвер-сальна траекториям рассматриваемой системы (2), мы можем ввести отображение Пуанкаре V как, возможно, частично определенное, отображение 8 в себя, получающегося при сдвиге по траекториям от одного пересечения с 8 до другого.

Пусть П — это объединение двух параллелограммов .ДьЛг С 5:

Д, = {сг + аУ1 + 0гг: |а|,|/?К1},

1,2

где

у1 = (-0.3675,0.3255), г, = (0.039,0.039), сх = (0.32,0.43); у2 = (0.075,0), г2 = (0,0.1), с2 = (-0.04,0.83).

Теорема 2.1. Отображение V определено для всех у € П и 'Р(П) С П.

Геометрия отображения V на множестве П изображена на Рис. 1(а), 1(Ь) и 1(с). В частности, Рис. 1(с) может служить "наивным доказательством" утверждения, приведенного выше.

(а) Параллелограмм Л\ и его образ (Ь) Параллелограмм Лг и его образ

(с) Рисунки (а) и (Ь) вместе (<1) Пг = Р(Р(П)) и точки типичной траектории

Рис. 1 Геометрия отображения Пуанкаре системы (2) на множестве П = Д1

Глава 4 содержит описание метода разорванных орбит. Предложенный метод использует вращение векторного поля для нахождения периодических траекторий.

Рассмотрим непрерывное отображение / : М^ —> ВЛ Обозначим как /р отображение / применяемое/) раз. Точках называетсяр-периодической, если /р(х) — х. Минимальное положительное целое р = р(х) для которого /р(х) — х называется минимальным периодом точки х. Для периодической точки х с минимальным периодом множество называется орбитой точки х.

Если / : В* Ж* - непрерывное отображение, П С В."1 - открытое ограниченное множество и у € Ж1' не принадлежит образу /(<9Я) границы 9Г2 множества П, то символ с^(/, Г2, у) обозначает топологическую степень отображения / в точке у по отношению к Г2. Если 0 ^ /(с?Г2), то число хорошо определено число 7(/, = £2, 0) называемое вращением векторного

поля / на с?Г2.

Заметим, что вращение векторного поля может рассматриваться как алгебраическое число корней уравнения /(х) — 0, принадлежащих Г2. Таким

образом, если 7(/р — 1с1,0) ф 0, 1(1 (я) = х, то существует р-периодическая точка х, £ О. Метод разорванных орбит позволяет извлечь дополнительную информацию о траекториях / из последовательности

В параграфе 4.2.1 приведены результаты для полиномиальных отображений. Рассмотрим орбиты, у которых хотя бы одна точка принадлежит Г2 и хотя бы одна - не принадлежит замыканию О, множества Г2. Назовем такие орбиты €1-разорванными . По определению минимальный период разорванных орбит больше единицы.

Рассмотрим последовательность целых чисел

Элемент ат последовательности определен тогда и только тогда, когда отображение / не имеет ш-периодических точек, принадлежащих дП.

Рассмотрим упрощенный вариант последовательности к. Для каждого натурального п определим 1п как бесконечную последовательность натуральных чисел (^1, > • • •)> гДе Зт= 1) если т делится на п, и ]т = 0, в противном случае. Определим последовательность к^"', п = 1,2,..., при помощи следующей рекуррентной формулы: пусть к'1' = к и пусть = к^71' —

для п = 1,2,_Здесь о^' обозначает m-й элемент последовательности к("',

Наконец, рассмотрим "диагональную"последовательность Ь = Ь(/, Г2) определяемую как = 0 и

Заметим, что по построению каждый элемент корректно определен при условии, что ат корректно определен.

Элементы последовательности Ь могут также быть записаны в виде

Я» = &(™/р)7(1с1 - Р, Я) (тоё т), (9)

где суммирование берется по всем делителям р числа т и /*(•) обозначает функцию Мёбиуса.

Напомним, что функция Мёбиуса /х(п) равна +1 для положительного целого, являющегося произведением четного числа различных простых чисел; — 1 для п являющегося произведением нечетного числа простых чисел, и О если п делится на квадрат простого числа.

Пусть р — ^(кх,..., ка) - множество всех полиномиальных отображений заданных формулой

где для каждого компонента /, имеет степень не выше чем кг > 0. Список всех коэффициентов данного отображения может быть

объединен в один вектор a(f), который принадлежит Евклидову пространству соответствующей размерности К. С другой стороны, можно рассматривать полиномиальное отображение /а для заданного вектора а Е Et*". Выбор ■■ ,ki (и, соответственно, К) и метод перехода от Т к JRÄ и обратно будут считаться фиксированными.

Подмножество S С И^ называется алгебраическим, если оно может быть представлено как множество всех корней некоторой полиномиальной системы уравнений. Любое алгебраическое множество имеет Лебегову меру ноль.

Теорема 2.2. Для каждого п существует такое алгебраическое подмножество Л С ft*, что из условий

(*) / = /о для некоторого а € R* \ Л;

(**) при некотором т Щ п отображение / не имеет т-периодических точек принадлежащих д£1 и ßm(fa,Q) ф О

вытекают следующие утверждения:

(a) у f существует хотя бы одна il-разорванная орбита минимального периода т, если т или ßm нечетны;

(Ю у / существует VL-разорванная орбита с минимальным периодом т или т/2, если и ßm и т четны.

В параграфе 4.2.2 приведено обобщение для непрерывных отображений. Пусть m и b- положительные целые числа. Непустое множество Р содержащее положительные делители т называется базовым множеством (периодов) для пары (ш, Ь) если наибольший общий делитель множества S = {т/р : р £ Р} делит 6 и наибольший общий делитель любого непустого подмножества S не делит Ъ. Обычно удобно рассматривать множество Р всех положительных делителей т как базовое множество периодов для пары (га, 0).

Утверждение 2.2. Пусть / не имеет т-периодических точек, принадлежащих 8SI, и ßm 0.

(a) Если т нечетно, то множество минимальных периодов для ftразорванных орбит содержит базовое множество периодов для пары (m,ßm).

(b) Если т четно, то существует неотрицательное целое А ^ т/2 такое, что множество минимальных периодов 0,-разорванныхорбит содержит базовое множество периодов для пары (т/2,2А) ибазовоепериодическое множество для пары (тп, т — 2А)

В параграфе 4.3 рассматриваются примеры использования метода разорванных орбит для отображения Эно и численного отображения Пуанкаре системы (2).

В главе 5 рассмотрены хаотические свойства отображения Пуанкаре V системы (2). Основная идея доказательства хаотичности состоит в локализации псевдо-гомоклинической орбиты и нахождении динамики, похожей на динамику подковы Смейла. Гиперболичность, успешно используемая при изучении подковообразных структур в случае дифференцируемых отображений, неприменима для V, поскольку численное интегрирование гарантирует лишь набор неравенств для отображения вместо самого отображения. Таким образом, более естественным является использование концепции так называемой (V, -гиперболичности, которая не требует дифференцируемости отображения и может быть легко проверена при помощи компьютера. Необходимые определения приведены в параграфе 5.1, результаты сформулированы в параграфе 5.2, а доказательства вынесены в параграф 5.3.

Определим векторы а:(и) = (-0.6914,0.72247), х^ = (-0.39013, -0.92976) в плоскости Построим последовательность из точек

i = 0,..., 6 и параллелограммы

Координаты точек X и размеры сторон соответствующих паралле-

лограммов приведены в Таблице 1.

Таблица 1: Численные значения для я*1', х\2\ а^ и а'8'

1 0 1 2 3 4 5 6

0.02048 0.03215 -0.00483 0.09234 -0.07456 0.44526 0.0429

0.66907 0.65705 0.69655 0.5993 0.79975 0.3026 0.72035

0.02 0.02 0.02 0.02 0.005 0.015 0.01

0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.005 0.005

Лемма 2.3. Семейство Ы связанных компонент множества на-

считывает 5 элементов и 14 С П.

Теорема 2.3. Отображение V является (II, 12)-хаотичным, гдеЫ - семейство связанных компонент множества II = Х{.

Следствие 2.1. Существует единственная неподвижная гомоклиническая точка х, €

Утверждение 2.3. Для любого целогор больше б отображение V имеет периодическую точку х € Х\ с минимальным периодом р которая не является асимптотически устойчивой.

В главе 6 рассматривается асимптотическое поведение дискретных динамических систем. Пусть / - отображение метрического пространства М в себя и пусть - некоторая траектория данного

отображения. Нас будет интересовать структура множества начальных точек Хо для траекторий асимптотически стремящихся к У когда время стремится к сю (—сю). Мы обозначим такое множество как (В8).

В ситуации, когда / - гиперболический диффеоморфизм в конечномерном пространстве, множества А? и ДО являются многообразиями и фазовое пространство И"* системы локально может быть представлено как декартово произведение — В Б х . Этот факт известен как теоремы об устойчивом и неустойчивом многообразиях и играет ключевую роль в современной теории динамических систем.

Концепция сплит-гиперболичности означает, что фазовое пространство М динамической системы может быть локально представлено как декартово произведение М = М8 х Ми подпространств со следующими свойствами: М и М" "почти"инвариантны, и отображение / в некотором смысле сжимает и растягивает соответственно вдоль

В главе показано, что при некоторых технических условиях множества А? и ДО локально гомеоморфны Ма и Ми соответственно и могут быть представлены как Ев = {у',д'{у')}, ВБ — {у",ди{уи)}, где д°,ди - Липшицевы непрерывные отображения с константой Липшица, стремящейся к 0, когда дефект инвариантности М3 и М" также стремится к 0.

Параграф 6.1 содержит необходимые определения. Пусть М", п £ Ъ - полные метрические пространства с метриками р8п, р" соответственно. Предположим, что непустые шары в М* и связны.

Элементы декартова произведения Мп ~ М® X М* будут рассматриваться как пары.х = (х3,хи). Пространст^^наделены метрикой

Пусть £ обозначает последовательность непрерывных функций {/г},е2, которые возможно частично определены и действуют из Мп в Мп+1: /п(х", хи) =

Пусть ./ £ 2 - множество последовательных целых чисел, возможно бесконечное. Зафиксируем последовательность X = {£п}п&/ с такими элементами х„ £ Мп, что образы /„(хп) определены для всех п £ Обозначим через замкнутый шар радиуса г в пространстве М® и центром в х"п £ М®; шары В^[г] для всех х" £ М", г > 0 определяются аналогично. Пусть <55,6й -некоторые положительные целые. Обозначим 11п = X В*[6и]. Пусть Т>п

- множество удовлетворяющих

Пусть сплит - это четверка в = (А", Л",^",/х") неотрицательных чисел, для которых А' < 1 < Ли и Д(в) = (1 - А8) (А" - 1) - > 0.

Последовательность Г отображений /„называется сплит (б-) гиперболичной в {&', 5й) -окрестности последовательности X, определенной для всех п £ J, если она удовлетворяет следующим трем условиям.

СО. Т>п замкнуто для всех пб для каждой граничной точки у множества Р„ или у принадлежит границе {/„ или /(у) принадлежит границе {7„+1 (при условии, что п+ 1 £ 7).

С1. Неравенства

РпМ(У), Ш) < ШУ", + ги), (10)

Р«+ШУ), Ш) > -№п(У3, + А"рЖ, г") (И)

выполнены для всех и всех

С2. Отображение ю (-»/"(г;, ю) открыто как отображение из В%[5"] в (5") для всех V £ В^[5"}, в том смысле, что образ II) открытого подмножества [/ из шара В^[5и] является относительно открытым в

для -заданной • последовательности т — , ,

х = \хч)п,п+ш и заданной

следовательности отображений Г невязкой 0(Х;{) мы будем называть.

(12)

Введем обозначения

в д

а3 -

А" - 1 + р," 1 - А" + р"

А" - 1 4- р.8

1-Хв + ри

Д(Б) (1 — А5) (А" — 1) — ряри

В параграфе 6.2 сформулированы основные результаты. Пусть последовательность У = {у„}пб2, уп = {у'„,Уп) является траекторией для { : у'п+1 = /¿(У*,Уп)>Уп+1 = /п (Уп! Уп) и f - сплит-гиперболична в (6', 5й) -окрестности У.

Множество точек FS в некоторой окрестности у0 — {у1,уЦ) называется устойчивым множеством траектории начинающейся в у„ если для каждого Хо £ ЕБ, соответствующая траектория X — {хп : п = 0,1,2,...} £ принадлежит (¿",<5")-окрестности У ихп—*уп когда п оо.

Множество точек BS в некоторой окрестности Уо = (Уо>Уо) называется обратно устойчивым множеством траектории начинающейся в Уо, если для каждого Хо £ ВБ, существует траектория X = {х„ : Хп+1 = /п(х„), п < 0} принадлежащая (5", 5й) - окрестМи с,^-» к„о г д а п —♦ —оо.

Множество точек BS в некоторой окрестности уо = (Уо, 2$) называется обратно устойчивым множеством траектории начинающейся в уо, если для каждого Хп_й)£Ше с т в у е т траектория X = {гп : жп+1 = /п(хп), п < 0} принадлежащая <5")-окрестности У" и хп—*уп когда п —» —сю.

Теорема 2.4. Пусть У = {уп}п^2 —траектория ^ пусть последовательность отображений Г является сплит-гиперболичной в {5"^^окрестности У. Тогда

(a) Для каждого Х*й £ В*[у<$*] удовлетворяющего

существует единственная точка £о = <71(хо) такая, что пара при-

надлежит /Л'.

(b) Для каждого хЦ £ Ви[у%, 5й] удовлетворяющего

существует единственная точка такая, что

В частности, из этой теоремы следует, что существует локальное прямое произведение подпространств, аналогичное определяемому для гиперболических гомеоморфизмов в метрических пространствах.

Утверждение 2.4. Пусть У = {уп}п^г ' траектория í. Пусть выполнены условия Теоремы 2.4 и существуют отображения (^О^гО-

(a) Для любых х,г £ Ев выполнено неравенство

РоЫх'оЪФо)) < ^гу/^о.^о),

означающее что ду - Липшицево отображение с константой, пропорциональной ци.

(b) Для любых х,х £ В Б выполнено неравенство

означающее что - Липшицево отображение с константой, пропорциональной ци.

В параграфе 6.2.2 в качестве примера рассмотрена задача об устойчивости периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений при малых гистерезисных возмущениях. Все доказательства вынесены в параграф 6.3.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, приведенных

ниже.

Публикации по теме диссерта

1. Сох Е., Mortell M., Pokrovskii A., I travelling wave patterns in a periodically i of School of Math., Appl. Math, and Stat

2. Pokrovskii A., Rasskazov O. Structu an asymptotic derivative // Preprints of 1

3. Rasskazov 0. Forward and backward // Известия РАЕН серия МММИУ. 200

4. Rasskazov 0., Huyet G., Mclnerney

#20219

РНБ Русский фонд

2005-4 20975

vjf.j гик.шуьк.и i\. xuguiuuo сшсиуый

of complicated behaviour in a truncated Lang-Kobayashi model // Известия РАЕН серия МММИУ. 2001. Т. 5, № 1-2. С. 205-258.

5. Rasskazov О., Pokrovskii A. Hyperbolic behaviour in systems with normal hysteresis nonlinearities // Abstracts of the First SIAM-EMS conference "Applied mathematics in our changing world". 2001. P. 29.

6. Рассказов О. Об эффективной оценке точности метода Рунге-Кутта 4го порядка // Известия РАЕН серия МММИУ. 2001. Т. 5, № 4.

7. Rasskazov О., Pokrovskii A. Signs of chaos in the equations with preisach model // Abstracts of international symposium "Hysteresis and Micromagnetics". 2003. P. 80.

8. Pokrovskii A., Rasskazov. O. Method of the topological degree theory in broken orbits analysis // Proc. Amer. Math. Soc. 2004. V. 132. P. 567-577.

Подписано в печать 7 октября 2004 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1П 04 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова, 1 Отпечатано УОП СамГУ

Введение

1 Уравнения Ленга-Кобаяши и хаотическое поведение

1.1 Уравнения Ленга-Кобаяши.

1.2 Хаотическое поведение.

1.2.1 Хаос и уравнения Лоренца.

1.2.2 Двусторонние сдвиги на двоичных последовательностях.

1.2.3 Подкова Смейла.

1.2.4 Гиперболические динамические системы.

1.3 Доказательство хаотического поведения при помощи компьютера

1.3.1 Моделирование систем с хаотическим поведением.

1.3.2 Доказательство хаотичности при помощи компьютера.

2 Метод численного интегрирования

2.1 Введение.

2.1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

2.2 Оценки константы Липшица оператора сдвига.

2.3 Оценки локальной ошибки.

2.4 Оценка глобальной ошибки.

3.2 Отображение Пуанкаре.37

3.3 Доказательство Теоремы 3.2.1.39

3.3.1 Критерий первого пересечения.40

3.3.2 Доказательство Утверждения 3.3.1.46

3.3.3 Доказательство Утверждения 3.3.2.50

3.4 Заключение.52

4 Периодические траектории 53

4.1 Введение.53

4.2 Метод разорванных орбит.55

4.2.1 Полиномиальные системы .56

4.2.2 Базовые множества периода.62

4.2.3 Доказательство леммы 4.2.3.63

4.3 Примеры.65

4.3.1 Вращение 2-х мерного векторного поля.65

4.3.2 Пример 1: Отображение Эно.66

4.3.3 Пример 2: Уравнения (1.4).68

4.4 Заключение.68

5 Хаотическое поведение 70

5.1 Введение.70

5.1.1 Вспомогательные определения.71

5.2 Хаос в упрощенной модели Ленга-Кобаяши.72

5.3 Доказательства.74

5.3.1 Доказательство Теоремы 5.2.1.74

5.3.2 Доказательство Утверждения 5.2.1.80

5.4 Заключение.82

6 Сплит-гиперболичность 83

6.1 Введение.83

6.1.1 Сплит-гиперболичность.84

6.2 Результаты.87

6.2.1 Существование множеств FS, BS.87

6.2.2 Пример: малые гистерезисные возмущения .88

6.3 Доказательства.93

6.3.1 Вспомогательные результаты.93

6.3.2 Доказательство Теоремы 6.2.1.96

6.3.3 Доказательство Утверждения 6.2.1.99

6.3.4 Доказательства Теоремы 6.2.2.101

6.4 Заключение.104

7 Заключение 106

А Программы, написанные на С++ 116

В Программы, написанные для "Mathematica"

144

Введение

Общая характеристика работы Актуальность работы

Исследование хаотической динамики, возникающей в физических системах, является одной из бурно развивающихся областей прикладной математики в течении последних 20 лет. В частности, проблема существования устойчивого странного аттрактора для классических значений параметров в уравнении Лоренца была отмечена Смейлом четырнадцатой в списке математических проблем 21 века и была решена Тукером в 1999 году.

Доказательства хаотического поведения для систем дифференциальных уравнений обычно используют комбинацию топологических методов с методами численного интегрирования в интервальной арифметике с гарантированной оценкой точности, см. работы Михайкова-Мрозека, Згличинского и Тукера.

Проблема использования подходов Михайкова-Мрозека и Згличинского для доказательства хаотического поведения заключается в особенностях численного интегрирования в интервальной арифметике. Предложенные процедуры требуют эффективной оценки локальной ошибки на каждом шаге численного интегрирования, что вполне возможно для ОДУ с квадратичной правой частью, но требует большого времени счета для сложных нелинейностей. Таким образом, существующие доказательства не подходят для систем с существенными нелинейностями, возникающих в различных прикладных областях.

Цель диссертационной работы

Основной целью данной работы является доказательство существования хаотического поведения при помощи компьютера для упрощенной модели Ленга-Кобаяши, описывающей динамику полупроводниковых лазеров с обратной связью.

Научная новизна

В представленной диссертационной работе впервые получены следующие результаты

1. Предложен алгоритм для гарантированной оценки локальной ошибки для метода Рунге-Кутта четвертого порядка, применяемого в заданной области к системе нелинейных ОДУ. Алгоритм использует символьные вычисления и реализован в пакете программ " Mathematical

2. Для упрощенной системы Ленга-Кобаяши при некоторых значениях параметров установлено существование инвариантного множества, найдены орбиты минимальных периодов 1 и 9, доказано хаотическое поведение системы на подмножестве инвариантного множества.

3. Разработан и применен метод разорванных орбит для локализации периодических решений при помощи топологической степени отображения.

4. Для обобщения гиперболичных отображений на класс непрерывных функций (сплит-гиперболичность) в условиях теоремы об отслеживании траекторий доказано существование множеств, аналогичных устойчивому и неустойчивому многообразиям в ситуации обычной гиперболичности.

Теоретическая и практическая ценность

Разработанная методология и алгоритмы позволяют гарантировано оценивать локальную ошибку метода Рунге-Кутта четвертого порядка для нелинейных уравнений, локализовать различные периодические орбиты как для дискретных, так и для непрерывных динамических систем, доказывать хаотическое поведение для систем дифференциальных уравнений со сложными нелинейностями. Алгоритмы и методы применены к упрощенной системе Ленга-Кобаяши, описывающей динамику полупроводниковых лазеров с обратной связью, для которой впервые было математически строго показано существование хаотического поведения при некоторых значениях параметров.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на международной конференции "Geometrical Methods of Nonlinear Analysis and Semiconductor Laser Dynamics" (Апрель 2001, Корк, Ирландия), на первой SIAM-EMS международной конференции "Applied Mathematics in our Changing World" (Сентябрь 2001, Берлин, Германия), на международной конференции "Relaxation Oscillations and Hysteresis" (Апрель 2002, Корк, Ирландия), на IV международном симпозиуме "Hysteresis and Micromagnetics" (Май 2003, Саламан-ка, Испания), на международной конференции "Hysteresis and Multi-Scale Asymptotics" (Март 2004, Корк, Ирландия).

Результаты обсуждались на научных семинарах кафедры прикладной математики Национального Университета Ирландии, г. Корк, (Март 2002) и семинаре кафедры физики Самарского Государственного Университета (Октябрь 2002).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ, из них 4 статьи в международных научных журналах [57, 63, 60, 9], 2 препринта [18, 56], и 2 тезиса докладов на международных научных конференциях [61, 62].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 80 наименований. Объем диссертации - 115 страниц.

Заключение

В данной работе было исследовано сложное, хаотическое поведение упрощенной системы Ленга-Кобаяши, описывающей поведение полупроводниковых лазеров с обратной связью. Свойства нелинейностей в рассматриваемой модели потребовали использования новых качественных методов нелинейного анализа и компьютерных вычислений с гарантированными оценками.

Определение хаоса, использованное в диссертации, включает чувствительную зависимость от начальных условий, перемешивание и существование бесконечного количества периодических траекторий с различными периодами. Согласно традиционным подходам, хаотическое поведение было показано для отображения Пуанкаре исходной системы. Свойства отображения Пуанкаре изучались на основе численного интегрирования методом Рунге-Кутта четвертого порядка с гарантированной оценкой точности. Было показано, что рассматриваемое отображение Пуанкаре определено на полигональном инвариантном множестве.

Доказательство хаотического поведения для упрощенной системы Ленга-Кобаяши использует информацию о псевдо-орбитах отображения Пуанкаре и основано на свойствах (V, 1¥)-гиперболичности, которые аналогичны свойствам обычной гиперболичности. Искомые псевдо-орбиты найдены при помощи вращения векторного поля. Вопросы о возможном сосуществовании орбит с различными периодами внутри области с заданным вращением рассмотрены методам разорванных орбит.

Свойство (V, 1У)-гиперболичности отображения Пуанкаре в некоторых предположениях может быть доказано исходя из данных о численной аппроксимации отображения и гарантированных оценок точности интегрирования. Простота использования явилась причиной использования (V, И/)-гиперболичности в диссертации. Недостатком (У, W)- гиперболичности является то, что с ее помощью невозможно установить взаимно-однозначное соответствие между траекториями исходного отображения, ограниченными на Канторовом множестве и сдвигами на двоичных последовательностях. Результаты такого типа могут быть получены при помощи так называемой сплит-гиперболичности, свойства которой были рассмотрены в последней главе.

Таким образом, в диссертации представлен набор методов позволяющий доказать хаотические свойства упрощенной модели Ленга-Кобаяши. Поскольку методы не требуют никаких специальных свойств от исследуемой системы, то они могут быть применены к доказательству хаотического поведения и в других системах ОДУ. Предложенные методы можно разделить на две категории: первая непосредственно опирается на топологические методы, т.е. вращение векторного поля и (У, 1У)-гиперболичность, в то время как вторая группа связана с компьютерной проверкой условий для топологических теорем при помощи вычислений с гарантированной оценкой ошибок.

1. Д. В. Аносов. Геодезические потоки па замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. "Наука", Москва, 1967.

2. В. С. Афрамович, В. В. Быков и JI. П. Шильников. Происхождение и структура аттрактора Лоренца. Докл. Акад. Наук СССР, 234(2):336-339, 1977.

3. Н. А. Бобылев, В. В. Болтянский, С. Ю. Всехсвятский, В. В. Калашников, В. Б. Колмановский, В. С. Козякин, А. А. Кравченко, А. М. Красносельский и А. В. Покровский. Математическая теория систем. "Наука", Москва, 1986.

4. Б. Л. Ван дер Варден. Алгебра. "Наука", Москва, 1976.

5. С. А. Калмыков, Ю. И. Шокин и 3. X. Юдашев. Методы интервального анализа. "Наука" Сиб. Отдел., Новосибирск, 1986.

6. М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. Геометрические методы нелинейного анализа. "Наука", Москва, 1975.

7. М. А. Красносельский, А. В. Покровский. Системы, с гистерезисом. "Наука", Москва, 1983.

8. П. С. Панков. Доказательные вычисления на электронных вычислительных машинах. Илим, Ф., 1978.

9. О. Рассказов. Об эффективной оценке точности метода Рунге-Кутта 4го порядка. Известия РАЕН серия МММИУ, 5(4), 2001.

10. JI. П. Шильников, В. С. Афраймович и В. В. Быков. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца. Труды Московского математического общества, 44:150-212, 1982.

11. A. Berger. Rigorous error bounds for RK methods in the proof of chaotic behaviour. J. Comput. Appl. Math., lll(l-2):13-24, 1999. Numerical methods for differential equations (Coimbra, 1998).

12. N. Bobylev, A. Pokrovskii, and J. G. Mclnerney. On positive definiteness of interval homogeneous forms. Preprints of Institute for Nonlinear Science, UС С, Ireland, 4, 2000.

13. R. Bowen. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Springer-Verlag, Berlin, 1975. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 470.

14. M. Brokate and A. Pokrovskii. Asymptotically stable oscillations in systems with hysteresis nonlinearities. J. Differential Equations, 150(1):98-123, 1998.

15. S.-N. Chow, J. Mallet-Paret, and J. A. Yorke. A periodic orbit index which is a bifurcation invariant. In Geometric dynamics (Rio de Janeiro, 1981), pages 109-131. Springer, Berlin, 1983.

16. B. A. Coomes, H. Kogak, and K. J. Palmer. Computation of long periodic orbits in chaotic dynamical systems. Austral. Math. Soc. Gaz., 24(5):183-190, 1997.

17. E. Cox, M. Mortell, A. Pokrovskii, and O. Rasskazov. On chaotic and recurrent travelling wave patterns in a periodically forced and extended kdev. Preprints of School of Math., Appl. Math, and Stat., UCC, Ireland, 02, 2002.

18. К. Deimling. Nonlinear functional analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1985.

19. R. L. Devaney. An introduction to chaotic dynamical systems. Addison-Wesley Studies in Nonlinearity. Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, second edition, 1989.

20. P. Diamond, P. Kloeden, V. Kozyakin, and A. Pokrovskii. Expansivity of semi-hyperbolic Lipschitz mappings. Bull. Austral. Math. Soc., 51(2):301-308, 1995.

21. P. Diamond, P. E. Kloeden, M. A. Krasnosel'skii, and A. Pokrovskii. Chaotic dynamics in nonsmooth perturbations of bishadowing systems. Arab J. Math. Sci., 6(l):41-74, 2000.

22. D. J. Estep and A. M. Stuart. The rate of error growth in hamiltonian-conserving integrators. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik, 1995.

23. Z. Galias. Rigorous numerical studies of the existence of periodic orbits for the Henon map. J.UCS, 4(2):114-124 (electronic), 1998. SCAN-97 (Lyon).

24. F. R. Gantmacher. The theory of matrices. Vol. 1. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 1998. Translated from the Russian by K. A. Hirsch, Reprint of the 1959 translation.

25. M. Gidea. Non-smooth dynamical systems that exhibit hyperbolic behavior. Rev. Roumaine Math. Pures Appl, 45(4):631-646 (2001), 2000.

26. J. Ye H. Li and J. G. Mclnerney. Detailed analysis of coherence collapse in semiconductor lasers. IEEE J. Quantum Electron., QE-29:2421-2432, 1993.

27. E. Hairer, S. P. N0rsett, and G. Wanner. Solving ordinary differential equations. I. Springer-Verlag, Berlin, second edition, 1993. Nonstiff problems.

28. P. Hartman. Ordinary Differential Equations. Wiley, New York, 1964.

29. R. E. Hartwig and M. B. Neumann. Bounds on the exponent of primitivity which depend on the spectrum and the minimal polynomial. Linear Algebra Appl., 184:103-122, 1993.

30. B. Hassard, J. Zhang, S. P. Hastings, and W. C. Troy. A computer proof that the Lorenz equations have "chaotic" solutions. Appl. Math. Lett., 7(l):79-83, 1994.

31. S. P. Hastings and W. C. Troy. A shooting approach to the Lorenz equations. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 27(2):298-303, 1992.

32. M. Henon. A two-dimensional mapping with a strange attractor. Comm. Math. Phys., 50(l):69-77, 1976.

33. G. Huyet, P. A. Porta, S. P. Hegarty, J. G. Mclnerney, and F. Holland. A low-dimensional dynamical system to describe low-frequency fluctuations in semiconductor laser with optical feedback. Optic Communications, 180(1) :339-344, 2000.

34. G. A. Jones and J. M. Jones. Elementary number theory. Springer-Verlag London Ltd., London, 1998.

35. A. Katok and B. Hasselblatt. Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. With a supplementary chapter by Katok and Leonardo Mendoza.

36. J. Kennedy and J. A. Yorke. Topological horseshoes. Trans. Amer. Math. Soc., 353(6) :2513-2530, 2001.

37. A. Klemm and A. Pokrovskii. Random mappings with a single absorbing center and combinatorics of discretizations of the logistic mapping. J. Appl. Math. Stochastic Anal., 12(3) :205—221, 1999.

38. P. Krejci. Hysteresis, convexity and dissipation in hyperbolic equations. Gakkotosho, Tokyo, 1996.

39. R. Lang and K. Kobayashi. Abundance of strange attractors. IEEE, J. Quantum Electron., 16(1):347—355, 1980.

40. T. Y. Li and J. A. Yorke. Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly, 82(10):985-992, 1975.

41. E. N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmospheric Sci., 20(2):130-148, 1963.

42. R. Mane. Ergodic theory and differentiable dynamics. Springer-Verlag, Berlin, 1987. Translated from the Portuguese by Silvio Levy.

43. К. Mischaikow and M. Mrozek. Chaos in the Lorenz equations: a computer-assisted proof. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 32(l):66-72, 1995.

44. K. Mischaikow and M. Mrozek. Chaos in the Lorenz equations: a computer assisted proof. II. Details. Math. Сотр., 67(223): 1023-1046, 1998.

45. К. Mischaikow, M. Mrozek, and P. Zgliczynski, editors. Conley index theory. Polish Academy of Sciences Institute of Mathematics, Warsaw, 1999. Papers from the workshop held in Warsaw, June 1997.

46. J. Moerk and B. Tromborg. The mechanism of mode selection for an external cavity laser. IEEE Phot. Tech. Lett., 2:21-23, 1990.

47. L. Mora and M. Viana. Abundance of strange attractors. Acta Math., 171(1):1—71, 1993.

48. M. Mrozek. Rigorous error analysis of numerical algorithms via symbolic computations. J. Symbolic Comput., 22(4):435-458, 1996.

49. S. Neufeld and J. Shen. Some results on generalized exponents. J. Graph Theory, 4(184):215-225, 1998.

50. M. L. Overton. Numerical computing with IEEE floating point arithmetic. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2001. Including one theorem, one rule of thumb, and one hundred and one exercises.

51. K. Palmer. Shadowing in dynamical systems, volume 501 of Mathematics and its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000. Theory and applications.

52. A. Pokrovskii. Shuttle algorithm in investigation of systems with hysteresis nonlin-earities. In Models of hysteresis (Trento, 1991), pages 124-142. Longman Sci. Tech., Harlow, 1993.

53. A. Pokrovskii. Topological shadowing and split-hyperbolicity. Fund. Differ. Equ., 4(3-4):335-360 (1998), 1997.

54. A. Pokrovskii, A. J. Kent, and J. G. Mclnerney. Mixed moments of random mappings and chaotic dynamical systems. R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 456(2002):2465-2487, 2000.

55. A. Pokrovskii and O. Rasskazov. Structure of index sequences for mappings with an asymptotic derivative. Preprints of INS, UCC, Ireland, 00-015, 2000.

56. A. Pokrovskii and 0. Rasskazov. Method of the topological degree theory in broken orbits analysis. Proc. Amer. Math. Soc., 132:567-577, 2004.

57. A. Pokrovskii, S. J. Szybka, and J. G. Mclnerney. Topological degree in locating ho-moclinic structures for discrete dynamical systems. Preprints of INS, UCC, Ireland, 01-001, 2001.

58. W. H. Press, S. A. Teukolvsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery. Numerical recipies in C. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

59. O. Rasskazov and A. Pokrovskii. Hyperbolic behaviour in systems with normal hysteresis nonlinearities. Abstracts of the First SIAM-EMS conference 'Applied mathematics in our changing world', page 29, 2001.

60. O. Rasskazov and A. Pokrovskii. Signs of chaos in the equations with preisach model. Abstracts of international symposium 'Hysteresis and Micromagnetics', page 80, 2003.

61. O. Rasskazov. Forward and backward stable sets of split-hyperbolic mappings. Russian Academy of Natural Sciences. Transactions in Mathematics, Mathematical Modeling, Informatics & Control, 5(1-2):185 205, 2001.

62. L. L. Rauch. Oscillation of a third order nonlinear autonomous system. In Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, pages 39-88. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1950.

63. С. Robinson. Dynamical systems. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, second edition, 1999. Stability, symbolic dynamics, and chaos.

64. D. Ruelle. Elements of differentiable dynamics and bifurcation theory. Academic Press Inc., Boston, MA, 1989.

65. A. N. Sharkovsky, S. F. Kolyada, A. G. Sivak, and V. V. Fedorenko. Dynamics of one-dimensional maps, volume 407 of Mathematics and its Applications. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1997.

66. M. Shub. Endomorphisms of compact differentiable manifolds. Amer. J. Math., 91:175199, 1969.

67. S. Smale. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc., 73:747-817, 1967.

68. R. Srzednicki. On detection of chaotic dynamics in ordinary differential equations. Nonlinear Anal, 30(8):4927-4935, 1997.

69. D. Stoffer and K. J. Palmer. Rigorous verification of chaotic behaviour of maps using validated shadowing. Nonlinearity, 12(6):1683-1698, 1999.

70. R. Tirani. A parallel algorithm for the estimation of the global error in Runge-Kutta methods. Numer. Algorithms, 31(1-4):311-318, 2002. Numerical methods for ordinary differential equations (Auckland, 2001).

71. R. Tirani and C. Paracelli. Local error estimation in continuous Runge-Kutta methods. Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. A, 131(1-2):201-210 (1998), 1997.

72. W. Tucker. The Lorenz attractor exists. C. R. Acad. Sci. Paris Sir. I Math., 328(12): 1197-1202, 1999.

73. W. Tucker. Computing accurate Poincare maps. Phys. D, 171(3): 127-137, 2002.

74. W. Tucker. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem. Found. Comput. Math., 2(1):53-117, 2002.

75. D. Viswanath. Global errors of numerical ODE solvers and Lyapunov's theory of stability. IMA J. Numer. Anal., 21(l):387-406, 2001.

76. P. Zgliczynski. Fixed point index for iterations of maps, topological horseshoe and chaos. Topol. Methods Nonlinear Anal., 8(1):169-177, 1996.

77. P. Zgliczynski. Computer assisted proof of the horseshoe dynamics in the Henon map. Random Comput. Dynam., 5(1):1—17, 1997.