автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы численного моделирования решений систем стохастических дифференциальных уравнений Ито в задачах механики

На правах рукописи

•ТГОХДСППЕСКЖ ЛЖЕРЕЩ/тЛЬШХ УРАВНЕНИЙ ИТО Б ЗШТЙХ МЕХАНИКИ

Тпештальность 0Б.13.1в - применение вычислительной техники,

математического моделирования, и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

•Санкт-Петербург - 1996

Работа выполнена в Санкт-Петорбургском государственном техническо университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

О.Ю. ЕУЛЬЧИЦКИй

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Фрадков'А.Л.

кандидат физика-математических наук, доцент Сениченков Ю.В.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет

Защита состоится ........____1996г. в.

часов на заседании Специализированного . совета Д063.38.18 пр Санкт-Петербургском _ государственном ' техническом университете п адресу: 195251 г. 'Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотек Санкт-Петербургского государственного технического университета.

16

Автореферат разослан -.......(Р.

•Ученый секретарь '

Специализированного совета Д063.33.13, доктор

биологических наук А.В. Зинковский

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Актуальность проблемы численного моделирования решений систем нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито определяется необходимостью учета случайных возмущений в разного рода динамических системах - электрических, электро механических и др. Это часто ведет к математической модели, которая лежит на классе уравнений:

it. = A(xvt) + StX.t)^; х- = х(0), (1)

где x^xit>'■'')~ искомый случайный процесс; f^eP^ - столбец независимых гауссовских бедах шумов; AiX.tkiL, 2(x.,t)€R

tj П ъ Л.* Щ

нелинейные дифференцируемые матричные функции. Поэтому численное моделирование целого класса динамических систем сводится к хтроблемечисленногс моделирования ' решений систем нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито вида (1). Кроме этого проблема численного моделирования таких уравнений полезна при численном решении задачи нелинейной фильтрации, т.к. уравнения нелинейных фильтров, в том числе нелинейного фильтра Калмана-Бьюси, также лежат fia классе указанных уравнений. Интерес представляет также п моделирование линейных стохастических систем.

Актуальность проблемы заключается также и в том, что известные методы численного интегрирования детерминированных дифференциальных уравнений: методы, основанные на разложении Тейлора (эти методы представляю? собой отрезки ряда Тейлора на дискретной сетке), конечно разностные методы ( метода Рунге-Кутта, всевозможные многошаговые схемы и др.) и т.д. в своей основе содержат формулу разложения Тейлора, Разложение Тейлора выводится с помощью известных представлений о дифференцировании детерминированных Функций, эти представления, а значит и все указанные методы, не могут быть распространении« на класс случайных процессов Ито, определяемых уравнением (1). Как извесно, белый шум является шдга^ферэнцируемым случайным процессом, сколь угодно близко лежащие реализации которого являются независимыми. Поэтому уменьшение шага интегрирования в численных методах для детерминированных уравнений

не приведет к улучшений качества интегрирования, если их применять для случайного процесса, определяемого уравнением (1).

Цель работы

Целью диссертации является углубление теоретических основ решения проблемы и численное исследование разработанных алгоритмов.

Основные задачи работы

Основные задачи диссертации можно разделить на две группы. К первой группе относятся задачи теоретического характера, среди которых южно выделить построение общего случая разложения Тейлора-Ито, аппроксимация кратных интегралов Ито, построение и доказательство сходимости методов численного интегрирования систем нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито, основанных на разложении Тейлора-Ито, построение на базе этих методов их конечно разностных модификаций. Ко второй груше задач относятся задачи построения алгоритмов, реализующих полученные теоретические результаты и их численное исследование.

Научная новизна работы

Научная новизна работы присутствует по нескольким направлениям:

1.Получено разложение Тейлора-Ито в общем случае, т.е. коэффициенты разложения вычисляются рекуррентно по мере увеличения точности разложения. Этот результат является новым. В литературе (Мильштейн Г.Н. 1988, Kloeden Р.Е., Platen Е. and Wright I. VS. 1992 и др.) присутствуют частные случаи разложения Тейлора-Ито.

-Предложен оригинальных метод представления кратных итовских интегралов в виде рядов из произведений независимых гауссовских величин. Он дает такие же результаты, как и известный метод Милклтейна, но является более удобным.

3.Впервые сформулирована и доказана теорема об оценке погрешности аппроксимации кратных итовских интегралов в общем случае . Эта теорема дает правило обрыва рядов, из которых состоят кратные интегралы Ито, в момент достижения требуемой точности аппроксимации. В качестве следствий этой теоремы получены

о

?рппта,шше условия обрыва рядов для итобских интегралов первой, второй и третьей кратности.

Построены три конечно-разностннх метода численного интегрирования нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито, ЛЕллвшдесян новыми, т.к. до сих пор в литературе встречались лишь метода, длч уравнений с векторным белым шумом , являющиеся куском ряда Тейлора-Ито. Теоретические результаты диссертации имеют больиув практическую ценность, т.к. с их помощью может быть решен ряд задач, которые не были решены ранее.

Практическая ценность

Построен ряд методов численного моделирования решений стохастических дифференциальных уравнений Ито, получены условия их сходимости и оценена скорость сходимости. С помощью этих методов может быть решен ряд задач по моделированию динамики стохастических систем, в том числе и задачи, которые не были решены ранее.

Методы исследования

При получении результатов диссертации использовались методы

моделирования на ЭВМ. Аппробация работы

Результаты работ:-; докладывались на научных семинарах кафедр "Системный анализ и управление", "Механика и процессы управления" СПбГТ?, з также вошли в два годовых отчета по гранту "Фундаментальные исследования в технических университетах".

Структура и объем работы

Работа состоит из предисловия, семи глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, включающего 26 наименований. Работа изложена на 250 страницах, содержит 51 рисункок.

Публикации

ьного анализа, теории случайных процессов, численного

-г

По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце диссертации.

2.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Б главе 1 ставится задача численного моделирования технических систем, описываемых системами стохастических дифференциальных уравнений. Рассматриваются допредельные модели стохастических систем. Приводится определение и связь стохастических уравнений Ито и Стратзновича. Большая часть первой главы посвящена примерам задач, е которых встречается численное моделирование систем стохастических дифференциальных уравнений. Среди них даны примеры электрической, электромеханических динамических, систем. Кроме этого приводится постановка задачи нелинейной фильтрации и показывается, что уравнения нелинейных фильтров, в том числе нелинейного фильтра Кздмаяа-Бьюси, лежат на классе нелинейных стохастических дифференциальных уравнений.

Глава ?, посвящена численному моделированию линейных стохастических дифференциальных уравнений вида:

х,. = Ах1; + Би^ - ; х0 = 2(0); (2) У. =

где X). = хгД.сиКР^ - решение' этого уравнения;

детерминпровакное внешнее возмущение; У^^ - выходной процесс,

численная реализация которого является финальной целью

моделироЕэнид; Ь^.-,, Аей^, , , В«^^ - числовые

матрицы; Р ~ гауссовский бедошумный векторный процесс.

В начале второй главы приводятся известные результаты из теории линейных стохастических систем. Среди них интегральное представление решений линейных стохастических систем:

АА '' А(А-т) .

х = е х + [ е (ЕиСт+КЛ) + ,) йт.

ки к 0

Приводятся моментные характеристики решений систем линейных стохастических дифференциальных уравнений, изучены свойства дискретных линейных, систем в стационарном случае. В главе 2 также разработан алгоритм моделирования решений линейных систем стохастических дифференциальных уравнений методом матричной

гпон^нтн.

Б конце этой главы рассматривается приближенный метод численного моделирования решений линейных стохастических уравнений. В этом методе уравнение (2> заменяется на уравнение вида:

= .Ах*. + х0 = х(О),

где V,. - кycoчнoпocтoянIíaя случайная функция на промежутках вр-мени: [гб,(г+1 |51; г=0,1,2,...; е=Д/Н; N>1 с независимыми значениями на этих промежутках, т.е.

1. V,. = = при Шгб, (Г-И151.

мсV «> н о.

Г1--

3- = б 4- где 4 = й1а5 {4{_}Т=1-

С помощью этих свойств показывается, что У^ стремится к белому яуму при о стремящемся к нулю. Дается оценка для шага дискретизации при которой спектральная плотность процесса отличается от константы не более, чем па Ъ%. В этой главе также приводится алгоритм моделирования решений линейных стохастических уравнений с помощью этого метода. Этот метод ходя и приближенный, однако иммет преимущество перед методом матричной экспоненты в простоте реализаций, т.к. в методе матричной экспоненты необходимо осуществлять спектральное разложение дисперсионной матрицы случайной составляющей решения. Приводится теоретическое сравнение точного и приближенного методов, из которого следует, что

г2-

Л0 -Г^П-

где 2, \ = Б.^ЫП - В~(кД), Б-дисперсионная матрица.

Получена аналогичная оценка для корреляционных функций. Показано, что приближенный метод не дает отклонений по математическому ожидании.

В третьей главе рассматриваются системы нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито вида:

СХ = А(х,(,1;)<й + 2{х+,1;)сИ1; хГ) = х(0), (4)

где х<.=х(^л(.и)^НГ1- искомый векторный случайный процесс; 14=1;векторный винеровский случайный процесс; АОс^)«^, ■дпф^ренцяруемые матричные функции.

С

Для уравнения (4) выводится разложение Тейлора-йто, являющееся :>'общеиием разложения Тейлора на случайные процессы,описываемые уравнением (4).

Отметим, что в детерминированном случае, т.е. при 2(xt,t)s0 построение численных методов интегрирования дифференциальных уравнений в конечном счете сводится к аппроксимации точного решения в окрестности некоторого фиксированного момента времени. Методы Эйлера, Рунге-Куттэ и другие методы для детерминированных дифференциальных уравнений строятся на основе известного разложения решения в ряд Тейлора в окрестности момента времени t.

Такой подход не может быть применен в стохастическом случае. это о'Ояонлнтоя тем, что он основывается на обычных, неверных для стохастических процессов йто правилах дифференцирования.

Известно, что при Z(xc,,8)зЮ стохастический дифференциал процесса R:x,.,s} вычисляется по формуле Ито:

•:Шх ,5) = .«Rix ,Б) У äs + G;CR(x„,s)}df , (5)

О Ь J Cr Ь

т. Г ■

п л (i)

{•> + 2 '2 {-> д (Х |S) + de i=i Эх, ь

■f -

„О

о

о, .(x^.sjii—' {•};

Ki> 6 I • ±J .J. я.

' i )

2 j=lk=ll=i e ^ " flx,5x,

К X

n Я

} = П - Oo. .i,x ,s);

i=1 Эх, B

В главе 3 выведено разложение процесса И(х .э) в ряд Тейлора-Ито с учетом правила дифференцирования (5).

Будем говорить, что векторная функция (Бх[0,Т))

если каждая ее компонента 2г раз непрерывно дифференцируема по и г раз непрерывно дифференцируема по ШО,Т).

Теорема 1. Пусть х+ - векторный случайный процесс Ито, удовлетворяющий уравнению (4) и пусть матричные функции А(х^1;), 2(х1.,Г}еС1г)(Т!х[0,Т) ).

Тогда векторная функция Н^ДкС^14"1 ^ (Вх[о,Т)) может быть разложена в ряд в окрестности точки в:

G

г*-И

Н!'х„,3> = 0( (5-+, +

„ „_,. г-к-.]

- V ' п ,■ к Гт 1 (я-*)3

т т т

а 4 , , - - • ,

* г\.

»»4,. Л

Ч

! .л К У

(6)

1. Я, , , С) - дифференциальный матричный оператор:

'},!"•>, к=1,2,... •• последовательность векторных

7Е1ф£еренциальных операторов:

к'"

Л.

ч^.-.а =Н(<с;::.йЛГ1':.....

! 1 с\ л I I - , ,.. -, х.К~ I

, 1Л0 ... 1, , в Ь (:Ц)з, Ь , (1,,) з, , 11 Л, )

(па^...^ I; р-мЧ,,1 (*-ак>ЧкК -

к - кратный стохастический интеграл Ито.

г. тА"} = шли..л•}}...)

5. Симеол Iе - означает операцию свертки двух матриц: АЛС Б = А. • . В. . . суммирование по повторяющимся

индексам)

S. 0((s-t)r) означает бесконечно малую величину г-го порядка малости при в—t в смысле среднеквадратичного отклонения.

В литературе (Mil-stein G.N 1974, Milstein G.N 1988, Platen E. and Wagner W. 1981, Llefce H. and Platen E. 1932, Kloeden P.E., Platen E. and Wright I. W. 1992 и др.) получены частные случаи разложения Тейлора-Ито, т.е. несколько первых членов ряда (6). В •в! входят повторные стохастические интегралы

которые являются случайным! величинами с нулевым сродним исреднеквадратичшм отклонением пропорциональной величине:

Однако плотность распределения этих случайных величин неизвестна и поэтому сни подлежат аппроксимации. Этой проблеме посвящена четвертая глава диссертации. Впервые предложил метод аппроксимации повторных стохастических интегралов Milstein G.N 1983. С помощью этого метода Kloeden P.E., Platen Е. .and Wright I. W. 1992 аппроксимировали ряд повторных итовских интегралов. Этот метод основывается на разложении специального случайного процесса в ряд Фурье.

В главе 4 предложен другой метод аппроксимации. Его идея заключается в разложении подинтегральной функции кратного интеграла Ито в ряд Фурье. Это позволяет представитькрэтный стохастический в виде бесконечного ряда из произведений стандартных га.уссовских независимых величин. Далее предлагается из условия точности (по среднеквадратичному отклонению) аппроксимации интеграла оставить в этом ряду столько членов, сколько необходимо для достижения требуемой точности аппроксимации.

Теорема о разложении стохастических интегралов формулируется в несколько более общем варианте для кратных стохастических интегралов Ито вида:

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

к

Oiis-t)- ¿=1 -J).

S

зк; квадратично интегрируема на К, т.е. .....а„)*Ь,(К>, где К = и, и*«, Т]х ... яП, Т] = 11;, Т]к

1 ^ " (-о-;

3. Система функций £ф-, (с)'является полным ортонормированным Оазисом в Ь0([1;,ТГ/.

3. Коэффициенты С ^ - являются коэффициентами разложения

<.' -1 - • -

функции ,в,.. .д ) в ряд -Фурье на К:

о,- = Г!'...Г )ф.(3и ¡...ф.(,3, )с15. ...

<__

Тогда справедливо следующее представление кратного стохастического интеграла:

тт т а,) а.) Л г х^.,...!,.

» -> ч «

^ вк Т

^ • ■■'«'к-0 1-1

( ь >

где ' - независимые при всех Л=0,1,... и 1,=1,...,т 1.

гауссовокие случайные величины с пулевым средним и единичной дисперсией.

Далее в главе 4 доказана теорема, устанавливающая связь между кратными и повторными стохастическими интегралами Ито, согласно которой повторные интегралы

, 111? ... 1к , ^Ук-г-Ц К

приводятся к кратным (см. теорема 2) путем задания:

с - О I - С + -Ч '+-4 > ' 1 /а а \ 1 |'Я я I

О}^ - к, о,) ----„ о,,; Но, . .1 ,.-к,

где

1 , 5 Зп л

п / , рР р=о

- -р-1

и все э^П;, Т], 1=Т7£.

Приведем в качестве примера простейшие следствия этой теоремы.

1. |У)Т =

, ГТ 4 _ ,ф_+ )3/2 Пг(1) + о-1 /2 1 " 1 г(1) ]аЦ)

■э Гт£1 „ (Т-Г,) (1, ) (10)Г г,,:1 )г(1.,) + 1 2 1 ГЛ1 ) "" 00 ~ — ? - I "О 1 -О " г=1Г ^2г 21 1

.. + 2",/2Гса1 >са2) - г^М^ПЦ

•'йг-Г'гг'- " 1>?.г-1Ч) =о 1 -\i\i-

где С-^-1- гауссовскиэ случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией и независимые при всех 1 и 3, а в качестве системы взята тригонометрическая система. В этой главе

также получен ряд подобных разложений для повторных интегралов первой, второй и третьей кратности. Эти выражения точные и совпадают с выражениями, получаемыми по методу Мильштейна. Они являются нереализуемыми, т.к. представляют собой бесконечные ряды. Для преодоления этой проблемы доказана теорема о правиле обрыва рядов, при достижении требуемой точности аппроксимации. В этой теореме аппроксимации интегралов

ищутся в виде:

(I1 г" к] = ... 2 С, , . Но^У.1^

1=1

где р^, 1=1,...,к. натуральные числа, которые выбираются из условия:

что соответствует соотношению:

/ .а

(i1^—= (f^---1*) +0(s)

В теореме об аппроксимации кратных интегралов Ито получено выражение для Е1с в виде конечных рядов, коэффициенты которых выражаются через С^ ■ и интенсивности шумов. В этой главе также

' К

получен ряд условий типа (Т) для конкретных повторных интегралов.

Так для интегралов ^Т, xj.T, jj q0¿]t> ,1,0q Э]т эти условия имеют соответственно вид:

я2

7^1 >0^2 Ьт-t) Í 3 У i \ t -

1 ± UJ тг I й

¿i

Г=1 г'

1 Л 1/2

-о «0(8).

■n'-J

р

п ¿i

ы

1/Í

0(s).

2if-

1/2

" • ■ 4 "I

11 Г 2f - í £ IJ'I + 23 f - 2 i 11 s 0(8) St4 436 r2-* 16'л;4' ^ 90 г=1

В главе 4 содержатся подобного рода условия для некоторых других повторных интегралов. Если положить s=(k+1)А, t=kA, R(xe,3.'=x4, k=Q, 1, ... и подставить в (6) вместе с аппроксимациями

ij 1.J ... iv

(k-И)Д

с точностью 0(А~2~), то получим после отбрасывания слагаемых

г+1

порядка 0>'Д 2 ). x(k+liA =

Г г-к ^--, ^ _ ^ , . д J

к=0 j=0 ¿-> а111?.--лкСЬЗ{хкА} ' Vk-i"1^ (к-И )Д J!

11 л —О

L1 » J* 3 * * * * ' XV"~

1 4_ 1 4 tf_V"—

j^+l. + l.^+.-.i-l,^

w ! л

г+1

г

Соотношение (8) представляет собой метод численного

Г+1

интегрирования уравнения (1) с погрешностью на шаге О(Л 2 ).

В главе 5 приведены три метода из семейства методов (8) с погрешностями на шаге СИЛ-"'2), 0(А2), 0(А5/2). Для первых двух из этих, методов сформулированы и доказаны теоремы об 1а сходимости, определяшие кроме асимптотического порядка метода его область сходимости. Пользуясь схемой доказательства этих теорем можно показать, что методы из семейства (8) при определенных условиях, накладываемых на уровни шумов и шаг интегрирования, а также при устойчивости матрицы

т т

Н(хД) = Г 5 А (ХЛ)] ех ^

имеют асимптотический порядок точности О(А 2 ). В качестве примера приведем метод с погрешностью на шаге порядка СМА^):

*(к+1 )А = ХкА + Ф'кА}[7о)(к4-1 )А + ь

о

* рШ^.М» + ^кД>М Ски )д 4-+ С^А(хкД,кД)>Ар0](к+1)Д + С00(ХкА> ■ р00)(к+1)А +

> %1(ХкА} : Г10] (1СМ )Д * С10{ХкА} ' РЭ1](к+1)А +

С000{хкА} • РН(кИ)А + фьШхкД,кА)}> |2р0)(к+1)Д +

£

('^—кЛ'^М^т + С00{А<ХкД'кЛ>} ' Р°0)(к+1)д]А +

+ а2{ХкА}Ы(кЫ)А + й001{хкА} : Р100](к+1)А +

+ G1oA&> • Р°°1)(кИ)А * С010{\4> • Р010)(к+1)Л +

' WLÍXki}} • Р000](к+1)А А +

+ соооо{хкД} ■ (7оооо)(к+1)Д +

4 °оооооЧд} • рооооо](к+1)Л. (9)

Приведем формулировку теоремы для метода с погрешностью на шаге Oi;iJ/¿) (этот метод представляет собой подчеркнутую часть в 9 >.

Теорема 3

Пусть выполнены условия:

1. Все собственные числа матрицы H(x,t) лежат в левой полуплоскости, прячем Ш) < - б, S > О ( здесь и далее X -собственное число матрицы),

3. "праведлине неравенство:

о

J \ С1-

(ai (3 ) 1,

где s - малый параметр, определяемый соотношением

гг;1' =■ с - -

а, ¡3- положительные скаляр«, которые определяются правой частью системы уравнений (1),

тогда существуют такие малые s и А, при которых указанный метод, тлеет асимптотический порядок точности 1/2.

В главе 6 строятся конечно разностные методы на основе формулы (3). Производные в правой части (8) аппроксимируются конечными разностями. В этой главе построено три конечно разностных метода с погрешностями на шаге 0(АЭ/'2), 0(А2) и 0(Д-'2) соответственно. Асимптотические свойства этих методов такие же как и у методов из главы 5. Этот Факт является следствием- теорем о сходимости, сформулированных в главе 5. Конечно разностный метод с погрешностью на шаге 0(A-'"'¿! имеет вид:

= *кД + I + ДА(хкд,кД) +

+ кл) - ^(Жкд.кд)

I I

I „ * I I . =

где £ - 1,-й столбец матрицы £<хкд,кД).

Запишем соотношение, е котором подчеркнутая часть с добавлением ¿А(х,,д,кА) соответствует конечно разностному методу с погрешностью на шаге а остальные слагаемые вместе с подчеркнутыми слагаемыми

определяют конечно разностный метод с погрешностью на шаге 0(Д5/2):

к(к-пй = I Зз'(зкд,кД,а) + 8^(хкд,кД,§) - 5*'(хкд,кД,р)

Схкд,кЛ,а) - Б';'(хкд,кД,р) - ^'(¡^д.кд.р)

да « т т т

+ I Е 5'11г(Хкд,кД,7> * I I Е^,1г1з(хкд,кд,б) +

t-.eii.s1

I ( Алхкд + Шхкд,1:

кД),кД+Д)

+ А(хкд,кД) ^

г Б3(хкд,к'Д) + £ £3Э'"(х^.кА.я») + Е Е 3,;'(хкд,кА,Х)

т т т т т т

£ I з;Г2(хкд,кд,Т) + П Е Ез;гг1э14(хкд,кд,ц)

где

а = М^пд- р = = (ад)

6 = М--*' « = ( &

Ск+1)Д

(к-И)Д

, X = I

<к+1)Д

0000

1к+пД

5^(хк4,кД,р) = А(х1Л + р£ц(хкд,кД),кД) - Л(хкд,кД) + 0(А3); - ¿(й.Чд + 7Е,2^кД.кД),ИД) хкД - ^УЕг^ ^ ^кЛ»^ Д) 5 кД

¿е^тб^'^Л + ¡б!1/"Е1э(^д,кД) +

+ !5Г/2^,(х)(Д + |вГ%,<хкД,кА).кА).кА) -

+ ¡«ГУ^з(^.д,кД),кД),кД) -

- - ¡а|"%(хьд,кД) +

+ !«Г%.<*|«а - |б!,/г2;1з(хкд,кд),кд),кд) +

- ^^(«^.(«кд - (¿Н'^и^.кл) -

~ I6! 1/гЕи(*кД.кД),кД),кД)

Остальные величины, входящие в (11) даны в диссертации. Методы Ю), (11) являются новыми, т.к. в литературе встречаются лишь методы ¡3 класса (35. Видно, что метод (ю> при отсутствии шума переходит в ¡етод Эйлера для детерминированных уравнений, а метод (11) в метод ■унге-Кутта 2-го порядка для детерминированных уравнений.

4 Г

На схеме 1 показана связь стохастических и детерминированных систем:

Детерминированные системы ¿т=А(х(гм)

Стохастические системы х1. = А(х^) + Е^Д)^

[Травило дифференцирования детерминированных " функций

Ц = О

Правило дифференцирования стохастических процессов Ито - формула Ито

Формула ■изложения

Те! 1лора

^ = О

Формула разложения Тейлора-Ито

Методы, основанные на разложении Тейлора

и = °

Методы, основанные на разложении Тейлора-Ито

Конечно разностные методы численного интегрирования детерм. ур-ий

1, = О

Конечно разностные методы численного интегрирования уравнений Ито

схема 1

На схемах 2 и 3 показана связь методов численного интегрирования стохастических и детерминированных дифференциальных уравнений:

Детерминированные оистемы

т

Метод, основанный на разложении Тейлора 1■го порядка

т

f - п

1 I. — и

* «.=

Стохастические системы = А(Х,1;) +

т

Методы из класса (3) порядков 1/2 и 1

т

Метод, основанный на разложении Тейлора к-го порядка

Ч = 0

Метода из класса (8) порядков к-1/2 и к

схема 2

Детерминированные

.1ТТЛТПД11ПТ *

Т

Метод Эйлера -1

Метод Рунге-Кутта 2-го порядка

Метод типа Рунге-Кутта к-го порядка

и =

Ч = 0

Стохастические системы х, = А(х±,%) +

т

конечно разностные методы с погрешностью на

шаге 0(Д3/2), 0(Л2) -}

конечно разностные методы с погрешностью на

шаге 0(Л5/2), 0(Д3)

конечно разностные методы с погрешностью на

шаге 0(Ак+1/2), 0(Лк+1)

схема з

О

Седьмая глава посвящена организации численного моделирования

решений стохастических дифференциальных уравнений и обсуждению полученных численных результатов.

Пергая часть главы посвящена моделированию повторных стохастически интегралов Ито. Написан и реализован ряд программ в среде МАТЬАБ для моделирования повторных стохастических интегралов Ито. С их помощь® выявлены зависимости минимальных натуральных р, при которых достигается требуемая точность аппроксимации повторных стохастических интегралов Ито от промежутка интегрирования и точности аппроксимации.

Во второй части главы 7 проводилось моделирование решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито на примере скалярных нелинейных уравнений и нелинейной системы второго порядка с двумя аддитивными возмущениями. Сравнивались метод Эйлера и методы, основанный на разложении Тейлора-Ито с погрешностями на заге ОГА-"^) и-СНА'-). За точное решение принималось разложение Тейлора-Ито до малых более высокого порядка. Строилась зависимость отношения среднеквадратичного отклонения значений полученных по методу, основанному на разложении Тейлора-Ито от точного решения к такой же величие для метода Эйлера при разных шагах интегрирования. Было выявлено, что ета зависимость, усредненная по 25 независимым выборкам, близка к кривой СА1/г при малых А. Это подтверждает, тот факт, что метод Эйлера хуже на пол порядка по асимптотическим свойствам рассмотренного метода, основанного на разложении Тейлора-Ито. Строились также зависимости указанных среднеквадратичных отклонений для каждого из методов в отдельности. Выявлено, что метод Эйлера имеет для таких стохастических систем порядок не вшке 1/2, а метода, основанные на разложении Тейлора-Ито имеют более высокие порядки.

В третьей части главы рассматривается моделирование линейных стохастических систем. Для этой цели написана и реализована библиотека программ 1ТО-ЫН в среде МАТЬАВ, организующая моделирование линейных стохастических систем. С её помощью продемонстрированы известные результаты из области линейных стохастических систем.

3.ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЙ НА ЗАЩИТУ

1. Получено разложение Тейлора-Ито в рекуррентной форме.

?.. Разработан м»тод аппроксимации кратных, стохастических интегралов, основанный на разложении подынтегральной функции в многомерный ряд Фурье.

3. Разработаны методы численного моделирования решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито, основанные на разложении Тейлора-Ито.

4. Сформулированы и доказаны теоремы о сходимости этих методов.

5.Разработаны конечно разностные методы численного моделирования решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито о погрешностями на шаге QíAJ/?-), 0(Д2< и 0(Д5/2>.

■^.Выявлена и исследована некорректность применения методов численного моделирования детерминированных дифференциальных уравнений к стохастическим дифференциальным уравнениям Ито (на примере метода Эйлера, методов типа Рунге-Кутта).

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Кульчицкий О.Ю., Кузнецов Д.Ф. Разложение процесса Ито в окрестности фиксированного момента времени в ряд Тейлора-Ито, ВИНИТИ, Я 2637-В93, от 26.10.93., 25с.

Кульчицкий О.Ю., Кузнецов Д.Ф. О проблеме корректного моделирования решений стохастических дифференциальных уравнений ито. СПб., СПбГТУ, Труды СПбГТУ (в печати).

3. О.Ю. Кульчицкий, Д.Ф. Кузнецов, Аппроксимация кратных стохастических интегралов Ито. Депонировано в ВИНИТИ. N1678-894 от 03.и".94

О.Ю. Кульчицкий, Д.Ф. Кузнецов, Методы численного интегрирования нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито, основанные на разложении Тейлора-Ито. Депонировано б ВИНИТИ. Н1"-В95, зт 12.01.96.

5.О.Ю. Кульчицкий, Д.Ф. Кузнецов, конечно разностные метопы численного интегрирования нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито. Депонировано в ВИНИТИ. Ш28-В96, от 1,2.01 .96.