автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Методы анализа и расчета вероятностных характеристик мультисервисных сетей с потерями

На правах рукописи

ЯРКИНА Наталья Викторовна

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МУЛЬТИСЕРВИСНЫХ СЕТЕЙ С ПОТЕРЯМИ

05.13.17 - Теоретические основы информатики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре систем телекоммуникаций факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент К.Е. Самуйлов

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор С.Н. Степанов кандидат физико-математических наук Е.А. Савочкин

Ведущая организация: Институт проблем информатики Российской академии наук (ИЛИ РАН)

Защита диссертации состоится « » ноября 2006 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212.203.08 в Российском университете дружбы народов по адресу: Москва, ул. Орджоникидзе, 3

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Автореферат разослан « 6 » октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Современный этап развития сетей связи характеризуется конвергенцией телекоммуникационных, компьютерных и информационных технологий и переходом к предоставлению полного спектра инфокоммуникационных услуг — передаче речи, данных, мультимедиа — в единой мультисервисной сети связи (МСС), построенной в соответствии с концепцией сети связи следующего поколения (Next Generation Network, NGN)- Переход операторов связи к NGN сопровождается активным внедрением новых услуг, среди которых телеконференции, видео по требованию, теле- и радиовещание. Необходимость соблюдения надлежащего уровня качества обслуживания при предоставлении услуг NGN поднимает проблему рационального использования и разделения ресурсов звеньев сети между потоками трафика пользователей. С целью экономии используемой полосы пропускания звена при одновременной передаче потока данных нескольким получателям в МСС, наряду с одноадресной передачей, используется многоадресная передача данных, или мультивещание (от англ, multicast), ставшее в последние годы неотъемлемой частью основных технологий сетевого транспорта. Поэтому внимание специалистов и исследователей обращено к проблеме обеспечения требований к показателям качества обслуживания МСС с одноадресными и многоадресными соединениями.

Теоретические основы решения фундаментальных и прикладных задач по исследованию мультисервисных сетей базируются на основополагающих результатах в области теории вероятностей и случайных процессов, теории массового обслуживания, теории сетей массового обслуживания, теории телетрафика и статистического моделирования сложных систем. Существенный

вклад в развитие данной области внесли российские и зарубежные ученые: Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, Н.П. Бусленко, Б.В. Гнеденко,

B.А. Наумов, А.П. Пшеничников, К.Е. Самуилов, Б.А. Севастьянов,

C.Н. Степанов, А.Д. Харкевич, М.А. Шнепс-Шнеппе, G.S. Fishman, V.B. I versen, F.P. Kelly, Р. Kuhn, D. Mitra, J.W. Roberts, K.W. Ross и некоторые другие.

Разработанные на сегодняшний день модели и методы анализа производительности и качества обслуживания МСС применимы, в основном, для сетей с одноадресной передачей данных. Модели, возникающие при анализе сетей мультивещания и сетей с двумя типами соединений, известны по работам российских и иностранных исследователей, среди которых Г.П. Башарин, К.Е. Самуйлов, Ю.В. Гайдамака, J. Virtamo, О. Martikainen, К. Boussetta, A.-L. Beylot, М. Stasiak и P. Zwierzykowski.

Внедрение новых инфокоммуникационных услуг, в первую очередь телевещания, требуют существенной модернизации сетевой инфраструктуры и алгоритмов управления. Поэтому актуальной является задача разработки и развития моделей и методов расчета, предназначенных для оценки производительности и качества обслуживания МСС и учитывающих особенности применяемых в них технологий резервирования ресурсов и многоадресной передачи данных.

Целью диссертационной работы является разработка точных и приближенных методов анализа и расчета вероятностных характеристик моделей МСС с одноадресными и многоадресными соединениями, включая разработку вычислительных алгоритмов, организацию и проведение вычислительного эксперимента.

Методы исследования. В работе использованы методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории телетрафика и статистического моделирования.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

— разработана математическая модель отдельного звена МСС с резервированием ресурсов для трафика приоритетных услуг мультивещания;

— разработан точный метод для расчета вероятностных характеристик звена МСС: нормирующей константы стационарного распределения вероятностей состояний модели, коэффициента использования звена, вероятностей блокировок установления соединения для приоритетных и неприоритетных услуг, вероятности непредоставления услуги при наличии достаточного объема ресурсов на звене сети;

— разработан точный метод и рекуррентные алгоритмы для расчета вероятностных характеристик модели МСС с одним источником многоадресной рассылки и фоновым одноадресным трафиком на звеньях;

— решена задача развития приближенного метода просеянной нагрузки для расчета вероятности блокировки установления соединения в МСС с двумя типами соединений и резервированием ресурсов;

— на основании аналитических результатов и результатов численного эксперимента определена область применения разработанных точных и приближенных методов расчета вероятностных характеристик МСС.

Практическая ценность работы. Аналитические методы и вычислительные алгоритмы, полученные в диссертации, предназначены для анализа характеристик качества обслуживания мультисервисных сетей связи. Результаты исследований используются в учебном процессе на кафедре систем телекоммуникаций РУДН для студентов, обучающихся по

з

направлениям «Прикладная математика и информатика» и «Математика. Компьютерные науки».

Реализация результатов работы. Работа проводилась в рамках НИР 020602-1-173 (2003-2005) «Разработка математических моделей и анализ информационно-телекоммуникационных сетей и интеллектуальных систем», выполняемой в соответствии с планами РУДН, а . также при частичной поддержке программы «Университеты России» (НИР «Разработка математических моделей и методов анализа систем сложной структуры в цифровых сетях», шифр УР.03.01.022 (2004) и УР.03.01.252 (2005)).

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на:

— XXXVII, XL и XLII научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 2001,2004,2006);

— LIX научной сессии Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова (Москва, 2004);

— 8-й международной конференции ConTEL-2005 (Загреб, Хорватия, 2005);

— семинаре Института проблем информатики Российской академии наук (Москва, 2006);

— научных семинарах кафедры систем телекоммуникаций РУДН (Москва, 2005, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из которых 2 — в центральной печати, 1 — в реферируемых трудах международной конференции.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии из 102 наименований. Диссертадия содержит 116 страниц текста, 19 рисунков, 7 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, выполнен обзор публикаций по этой теме, сформулирована цель исследований, кратко изложены содержание и основные результаты диссертации, охарактеризованы их научная новизна и практическая ценность.

В главе 1 исследована математическая модель МСС с одноадресными и многоадресными соединениями. Раздел 1.1 является вводным, здесь кратко обсуждаются особенности анализа современных МСС и дана характеристика спектра предоставляемых услуг и соответствующих видов трафика. Показано, что анализ показателей качества обслуживания (Quality of Service, QoS) МСС при предоставлении таких услуг, как передача речи, радио- и телевещание, видео по запросу и др., необходимо проводить на уровне соединений пользователей. При этом основной исследуемой характеристикой и важнейшим показателем качества обслуживания является вероятность блокировки, когда в силу нехватки свободных ресурсов для установления соединения, механизм контроля доступа не позволяет начать передачу потока данных.

В разделе 1.2 построена математическая модель МСС в виде обратимого марковского процесса (ОМП) с мультипликативным распределением вероятностей, получены выражения для пространства состояний модели и ряда ее вероятностных характеристик, включая вероятности блокировок одноадресных и

многоадресных соединений, доказаны важные соотношения между вероятностными характеристиками модели. Показано, что центральной проблемой вычислений вероятностных характеристик является расчет нормирующей константы стационарного распределения вероятностей состояний модели.

В разделе 1.3 разработана модель отдельного звена МСС, представляющая собой важный инструмент для анализа модели сети в целом, получены выражения для вероятностей блокировок, коэффициента использования звена и других вероятностных характеристик, представлен эффективный метод их расчета на базе рекурсивных соотношений. Глава 1 диссертации написана на основе публикаций автора [5,7].

Глава 2 посвящена методам анализа предложенной модели МСС. В разделе 2.1 модель отдельного звена сети обобщена для случая неполнодоступной схемы разделения ресурсов, при которой каждому классу или группе классов поступающего на звено трафика выделяется некоторая часть емкости звена, куда не допускается трафик остальных классов. Функционирование звена сети описывается с помощью многопотоковой системы массового обслуживания сложной структуры. Пространство состояний модели является координатно-выпуклым, поэтому стационарное распределение вероятностей состояний имеет мультипликативную форму, как и для модели полнодоступного звена МСС. В разделе получены выражения для пространства состояний модели и ее основных вероятностных характеристик. Далее исследован актуальный для приложений случай, когда резервирование ресурсов производится для некоторого подмножества услуг мультивещания, например набора приоритетных телевизионных каналов. Схема такой модели изображена на рис.1. Здесь Я из С приборов доступны только заявкам первых А/, потоков типа I, соответствующих приоритетным услугам мультивещания. Входящие потоки являются

пуассоновскими, время обслуживания заявок - экспоненциальным. Особенностью потоков типа I является то, что если на момент поступления (I, т)-заявки в системе обслуживается заявка того же потока, то поступившая заявка принимается без выделения дополнительных приборов, что соответствует принципу разделения ресурсов звеньев сети при мультивещании.

ТИЛ1-мкопэадресные соединения

Приоритетные потоки

М\

Нелриоритетные I потоки • } ^

Тип II • одноадресные соединения

, Зонш ; резервирования!

К+2-

Звено мультисервисной сети

АI

Потери

Рис.1. Схема модели звена МСС с резервированием ресурсов.

Дня модели звена МСС с резервированием ресурсов разработан эффективный метод вычисления нормирующей . константы, коэффициента использования звена, вероятностей блокировок одноадресных соединений и услуг мультивещания, а также вероятностей того, что услуга не предоставляется, но на звене достаточно ресурсов для ее предоставления. Приведем утверждения, формулирующие разработанный в диссертации метод вычислений. м к а"к

Обозначим С(Х) = ^ ]~[ р1" нормирующую константу

гех т=1 4=1 -

М К »,

стационарного распределения вероятностей 7r(x)-G~,QX)Y\pi"Y\~~

А-1 Пк ''

ОМП {2(1), />0}, заданного на пространстве состояний ЭЕ= (У,п)е{0,1}4'х{0,1,2,...}<г:тах{Л,|;Ат>.и}+ £ Ь„Ув, + ^Пк ¿С\ и

[ т-1 т=М,+1 J

описывающего функционирование системы, Ът и dk — требования к числу приборов, а рт = ^т1ит и ak~vklK\ ~ нагрузочные параметры. Лемма 1. Пусть Р(п) — распределение числа занятых единиц емкости звена и Рт(п) — распределение числа занятых единиц емкости звена при условии, что приоритетная услуга т не предоставляется. Тогда функция f„(i,n), удовлетворяющая соотношениям Р(п) = (SC)./o(l,л), " = О,...,С, (1)

= т = \,...,М1,п = 0,...,С, (2)

для любых т = О,...,Л/, и п-О,...,С вычисляется по формуле О, i = \,...,M, л<0;

(3)

h(n),l>M, и = 0,...,С°;

/т(1 + \,п) + (\-8т1)р,/т(1 + \,п-Ь,), в остальных случаях. Лемма 2. Пусть Р°(п) — распределение суммы величины параметра Я и числа приборов, занятых на звене в общей зоне, а Р°(п) -распределение той же величины при условии, что неприоритетная услуга т не предоставляется. Тогда функция (;',_/), удовлетворяющая соотношениям

Р° («) = О"' (*)/о"0,»). и = Д,..., С, (4)

ГЦ,(") = (1,и). т = Л/, +1.....М,п-/?,..., С, (5)

для любых т = 0, т = Мх + \,...,М и л = Л,...,С вычисляется по формуле

0,1 = 1,...,Л/, У<0; 7„л(!,п-Л),1>А/1,У>и-/г;

(6)

АО), i>M, j = 0.....С;

./„" О' +1. J) + 0 - SM )pJZ О' +1> 7 ~ ¿Д в остальных случаях.

В формулах (3) и (6) 8Ш — символ Кронекера, а функция Ып) используется в известном алгоритме Кауфмана — Робертса и дает ненормированную вероятность того, что на звене сети с одноадресными соединениями занято ровно п единиц емкости.

Предложение 1. Нормирующая константа распределения вероятностей ОМП I > 0} вычисляется по формуле

С(*) = Е/о(1.«)- (7)

ПжО

Предложение 2. Вероятности блокировок вычисляются по формулам

t Л о.«)

-, «я-1.....М,; . £ 7о"(1,л)

св(%) -= '.....

± /;(и) °<х)

-, т = М.+1.....М,

С(Х) 1

Отметим, что модель звена МСС с резервированием и разработанный метод вычислений представляют самостоятельную ценность и, кроме того, используются для расчета вероятностных характеристик МСС методом просеянной нагрузки.

В разделе 2.2 диссертации разработан метод для эффективного вычисления вероятностных характеристик модели МСС древовидной структуры, предназначенный для анализа МСС с одним источником многоадресной рассылки и фоновым одноадресным трафиком на звеньях. Разработаны рекуррентные алгоритмы для вычисления нормирующей константы стационарного распределения вероятностей состояний модели и вероятностей блокировок установления многоадресных соединений. Пусть # — множество всех звеньев сети, причем звенья пронумерованы таким образом, чтобы соответствующая узлу подключения источника вершина была инцидентна звену с номером 0. Обозначим .</ множество звеньев — детей /-звена, ^ — множество физических путей (маршрутов от узла подключения пользователя до источника мультивещания), включающих /-звено, ~л' — множество услуг мультивещания, предоставляемых через /-звено. Пусть Ь, (у) = Ъ„ут — число единиц емкости, занятых на /-звене

многоадресными соединениями, когда услуги на звене находятся в состоянии у, тогда у1 =|уе{0,1}'*'':Ь,(у)^С,| - множество всех возможных состояний услуг на /-звене без учета ограничений на Других звеньях сети, а А'(у) = |(аДбу :ау е;^, ф^ = у| - множество

таких состояний звеньев — детей /-звена, что /-звено находится в состоянии уеу'. Стационарную вероятность того, что в сети с неограниченными ресурсами источник предоставляет т-услугу по р-пути, обозначим л-тр(1), дополнительную вероятность обозначим ^(0). Будем считать, что на каждом звене сети имеется фоновый трафик, то есть может быть установлено одноадресное соединение, маршрут которого ограничен данным звеном, и требование к емкости звена составляет 1. Стационарное распределение числа одноадресных соединений, установленных на /-звене, при условии,

что его емкость неограниченна, обозначим р,(п), п = 0,1,2.....

Теорема 1. Нормирующая константа распределения вероятностей состояний модели представима в виде

где функция ¿ (у) вычисляется по формуле

г'(У)

С,-Ыг)

ПП^.) Л Л = 0,у6У;

реУ же. м' п=0

п=0

Г 1 С,-Ь,( у)

(у) Е

и^ J п=0

о, угу.

В (10) операция свертки определяется как (у)=]£ ГТ^^у) -

Ь«-'' ] аел'(у) ¡^

В разделе 2.2 также показано, что временная сложность вычисления нормирующей константы с помощью разработанного на основе соотношений (9) и (10) алгоритма для бинарного дерева с

ветвями одинаковой длины в наихудшем случае имеет порядок 0(2MPmax{22MA/,C}), где М - число услуг мультивещаниР-

количество получателей данных и С - наибольшая из емкостей звеньев сети. Для сравнения, временная сложность вычисления нормирующей константы методом перебора пространства состояний модели для той же топологии сети имеет порядок 0(2МР C2f+IMP1). Таким образом, полученный рекуррентный алгоритм позволяет избавиться от экспоненциальной зависимости временной сложности вычислений от числа маршрутов в сети.

В разделе 2.3 решена задача развития метода просеянной нагрузки дня приближенного расчета вероятностных характеристик МСС с двумя типами соединений и резервированием ресурсов. В основе метода лежит предположение о независимости блокировок на звеньях сети, значительно облегчающее исследование моделей рассматриваемого типа. Поскольку блокировки на различных звеньях сети происходят независимо, каждое звено можно рассматривать отдельно, пользуясь разработанной в разделе 2.1 диссертации моделью звена МСС, при этом для вычисления вероятностей блокировок на звеньях применимы формулы (8).

Глава 3 посвящена организации и проведению численного эксперимента, направленного на оценку эффективности разработанных методов, и анализу полученных результатов. В разделе 3.1 обсуждаются аспекты организации эксперимента и обосновывается выбор исходных данных. В качестве объекта исследования выбрана городская сеть (Metropolitan Area Network, MAN) типовой масштабируемой структуры, на базе которой предоставляются такие услуги, как телевещание, передача речи и данных, а также видео по запросу.

В разделе 3.2 представлены результаты численного анализа отдельного звена сети. Получены графики зависимости

вероятностей блокировок, коэффициента использования звена и других вероятностных характеристик модели от значений нагрузочных параметров. Исследуется звено с пропускной способностью 1 Гбит/с, что с учетом реальной производительности технологии Ethernet соответствует емкости звена С = 75000 единиц. Источник мультивещания предоставляет 25 услуг, для которых Ьт = ¿ = 3750. Каждая услуга соответствует каналу телевидения высокой четкости (High Definition Television, HDTV), для передачи сигнала которого требуется пропускная способность 30 Мбит/с. Последние пять из 25-ти телеканалов являются более популярными, и интенсивность потоков запросов на них выше, чем для остальных каналов. Посредством одноадресных соединений предоставляются услуги передачи данных (1 Мбит/с — <7, =125), видео по запросу (5 Мбит/с — d2 = 625) и телефонии (8 кбит/с — </3=с?4= 1). Графики вероятностей блокировок соединений как функций от интенсивности предложенной нагрузки а4 трафика телефонии изображены на рис.2. Эксперимент позволил выявить новый эффект периодического колебания вероятностей блокировок в зависимости от нагрузки на одноадресные соединения с- наименьшими требованиями к емкости звена. В диссертации проведен детальный анализ этой не известной ранее особенности функционирования звена МСС, которая возникает из-за существенной разницы в требованиях соединений к емкости звена: от dt = 1 до Ь = 3750. Из графика рис.2 видно, что вероятность блокировки одноадресных соединений класса 2 достигает локального максимума через каждые 6 = 3750 единиц значения величины нагрузки а4. Ту же периодичность имеют точки перегиба вероятностей блокировок услуг мультивещания. По оси справа на графике рис.2 отложена величина <i(I))J, соответствующая максимальному числу

услуг мультивещания, которые можно предоставить на свободной от

одноадресных соединений емкости звена (здесь «¿0) — среднее число единиц емкости, занятых одноадресными соединениями).

Ь = 3750

Ь - 3750

Ъ = 3750

18 к

9500 11000 12500 14000 18500 17000 18500 20000 21500 23000

-Вероятность блокировки одноадресных соединений класса к=2

— — Вероятность блокировки услуг мультмвещания т=1.....20

-Максимальное число услуг мультивещания, которые можно предоставить

на свободной от одноадресных соединений емкости звена

Рис.2. Иллюстрация периодичности колебаний вероятностей

В разделе 3.3 диссертации на основе метода Монте-Карло разработан метод расчета вероятностных характеристик МСС и получены результаты численного анализа, позволяющие выявить ограничения применимости данного метода.

В разделе 3.4 реализован численный анализ вероятностей блокировок методом просеянной нагрузки. Расчеты произведены для сети из 14 звеньев с четырьмя источниками многоадресной рассылки и 28 классами одноадресных соединений. Абсолютная погрешность вычисления вероятностей блокировок по сравнению с точечной оценкой Монте-Карло для случая нормальной нагрузки (вероятности блокировок в пределах 5х1(Г3) не превысила 4,35х10~3, относительная погрешность — 7,07x10"3. Остановка моделирования производилась, как только длина 95-процентного доверительного

блокировок.

интервала составляла менее 2 % от величины вероятности блокировки, но не ранее, чем объем выборки превысит 5x1 os. Метод просеянной нагрузки продемонстрировал очень высокую по сравнению с другими методами скорость вычислений (около 2-3 мин. на компьютере класса AMD Athlon 2 ГГц).

В разделе 3.5 на основе качественного и численного анализа сформулированы выводы об эффективности и области применения разработанных в диссертации методов расчета вероятностных характеристик моделей МСС. Показано, что точные методы эффективны для ограниченного диапазона значений структурных параметров и достаточно сложны при программной реализации. Метод Монте-Карло прост в реализации и является достаточно эффективным с точки зрения времени вычислений для сети с произвольной топологией в значимом для приложений диапазоне нагрузок. Приближенный метод просеянной нагрузки пригоден для расчета вероятностей блокировок в сетях сложной структуры, то есть в сетях сильносвязанной топологии с большим числом узлов и не совпадающих между собой маршрутов соединений. В сетях указанного типа метод демонстрирует очень высокую скорость вычислений и высокую точность.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе анализа показателей качества и специфики услуг МСС разработала математическая модель отдельного звена МСС с одноадресными и многоадресными соединениями и неполнодоступной схемой разделения ресурсов. Модель построена в виде обратимого марковского процесса с мультипликативным распределением вероятностей, получены выражения для ее основных вероятностных характеристик.

2. Для модели звена МСС с резервированием ресурсов для трафика услуг мультивещания разработан точный метод расчета

вероятностных характеристик, основанный на рекуррентных соотношениях. Метод позволяет вычислять коэффициент использования звена сети, вероятности блокировок одноадресных соединений и соединений для приоритетных и неприоритетных услуг мультивещания, вероятности непредоставления услуги при наличии достаточного объема ресурсов на звене сети.

3. Разработан точный метод и рекуррентные алгоритмы для расчета вероятностных характеристик модели МСС древовидной структуры с одноадресными и многоадресными соединениями, получены оценки временной сложности вычисления нормирующей константы.

4. Решена задача развития метода просеянной нагрузки для приближенного расчета вероятностей блокировок в МСС с резервированием ресурсов. Для оценки точности приближенного метода разработан и реализован метод статистического моделирования.

5. В условиях реальных значений структурных и нагрузочных параметров МСС реализован вычислительный эксперимент и определена область применения разработанных методов. Точные методы эффективны для ограниченного диапазона значений структурных параметров модели. Метод Монте-Карло эффективен для сети с произвольной топологией в диапазоне нормальных нагрузок. Приближенный метод просеянной нагрузки пригоден для расчета вероятностей блокировок в сети сложной структуры и показывает высокие скорость и точность вычислений.

Основные результаты диссертации отражены в следующих

опубликованных работах:

1. Гайдамака Ю. В., ЯркинаН.В. Примеры численного анализа модели звена сети мультивещания // Сб. научн. трудов «Системы телекоммуникаций и моделирование сложных систем». - М.: ПАИМС, 2001. - С. 42-48.

2. Нечитайлова О.С., ЯркинаН.В. Применение метода Монте-Карло для анализа моделей мультисервисных сетей с многоадресными соединениями // Сб. «XLII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии». - М.: Изд-во РУДН, 2006. - С. 43.

3. Самуйлов К.Е., ЯркинаН.В. Алгоритмы для точного расчета вероятностных характеристик модели мультисервисной сети древовидной структуры // Вестник РУДН. Серия «Физико' математические науки». — 2006. — № 1. — С. 61 -70.

4. СамуйловК.Е., ЯркинаН.В. Метод просеянной нагрузки в мультисервисных сетях с одноадресными и многоадресными соединениями // Труды LIX конф. РНТОРЭС. - 2004. - Т. 2. -С. 169-171.

5. Самуйлов К.Е., ЯркинаН.В. Модель звена мультисервисной сети с одноадресными и многоадресными соединениями И Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика». - 2003. - Т. 2, № 1. - С. 32-44.

6. Яркина Н.В. Численный анализ модели сети с одноадресными и многоадресными соединениями // Сб. «XL Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии». - М.: Изд-во РУДН, 2004. - С. 175-178.

7. SamouylovK., YarkinaN. Blocking Probabilities in Multiservice Networks with Unicast and Multicast Connections // Proc. of the 7th International Conference on Telecommunications (ConTel2005, Zagreb, Croatia, June 15-17, 2005). -2005. -P. 423-429.

Яркина Наталья Викторовна (Россия)

Методы анализа и расчета вероятностных характеристик мультисервисных сетей с потерями

В диссертационной работе исследованы математические модели мультисервисных сетей с потерями, построенные в виде обратимых марковских процессов с мультипликативным распределением вероятностей состояний. Разработаны точные и приближенные методы анализа и расчета вероятностных характеристик сетей с резервированием ресурсов в условиях одноадресной и многоадресной передачи данных. Реализован вычислительный эксперимент, дана оценка эффективности вычислительных алгоритмов и области применения разработанных методов.

Natalya Yarkina (Russia)

Methods for performance analysis and evaluation of multiservice loss networks

This thesis deals with multiservice loss network models having product-form stationary probability distribution. We develop and analyze methods for exact and approximate computation of performance measures in networks where both unicast and multicast connections are present, as well as bandwidth reservation mechanism. The efficiency and applicability of the computational techniques are assessed based on analytical and numerical results.

Подписано в печать X Х- Формат 60x84/16. Тираж/А?экз. Усл. печ. л. -/ .Заказ

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Математические модели мультисервисных сетей с потерями

1.1. Особенности анализа МСС

1.2. Модель МСС с одноадресными и многоадресными соединениями

1.3. Модель отдельного звена МСС и ее вероятностные характеристики

ГЛАВА 2. Методы анализа и расчета моделей МСС

2.1. Модель звена МСС с резервированием ресурсов

2.2. Рекуррентный метод расчета вероятностных характеристик МСС с одним источником многоадресной рассылки

2.3. Приближенный метод просеянной нагрузки для расчета вероятностей блокировок в МСС

ГЛАВА 3. Анализ области применения методов расчета вероятностных характеристик

3.1. Организация численного эксперимента

3.2. Результаты численного анализа вероятностных характеристик отдельного звена

3.3. Метод Монте-Карло для оценки вероятностных характеристик модели МСС

3.4. Применение метода просеянной нагрузки к численному анализу МСС

3.5. Область применения методов расчета вероятностных характеристик

Современный этап развития сетей связи характеризуется конвергенцией телекоммуникационных, компьютерных и информационных технологий и переходом к предоставлению полного спектра инфокоммуникационных услуг - передаче речи, данных, мультимедиа - в рамках одной мультисервисной сети связи (МСС) [2,10,15,18,21,40,49], построенной в соответствии с концепцией сети связи следующего поколения (Next Generation Network, NGN) [62,99]. Переход операторов к NGN сопровождается стабильно высоким спросом со стороны абонентов на традиционные услуги связи и активным внедрением новых услуг. Услуги МСС существенно отличаются друг от друга своими требованиями к составу и объему сетевых ресурсов, в первую очередь - к ширине полосы пропускания (ШПП) звена сети. Наиболее ресурсоемким в отношении ШПП является предоставление услуг, связанных с передачей видеопотоков, например телевещание и видео по запросу.

Необходимость соблюдения надлежащего уровня качества обслуживания при предоставлении подобных услуг поднимает проблему обеспечения достаточного количества ресурсов для передачи трафика на звеньях МСС [18,21,95]. Одним из эффективных подходов к решению данной проблемы является применение механизма многоадресной передачи данных, или мультивещания (англ. multicast) [61], ставшего в последние годы неотъемлемой частью основных современных технологий сетевого транспорта, в том числе IP (RFC 2460) и MPLS (RFC 3031). Мультивещание обеспечивает экономию ШПП звеньев сети при одновременной передаче документа или потока данных нескольким получателям, поскольку информация в этом случае передается посредством соединения «точка-много точек» без дублирования данных на общих участках маршрутов.

Другим требованием, которое важно соблюдать при предоставлении в рамках МСС таких услуг, как телефония, телеконференции и теле- и радиовещание, является минимизация задержки передачи данных. В условиях ограниченных сетевых ресурсов соблюдение данного требования приводит к необходимости использования в МСС, функционирующей по принципу коммутации пакетов, естественного для сетей с коммутацией каналов механизма контроля доступа [41,42,58,76]. Такой механизм позволит сети во избежание деградации качества обслуживания принимать запросы пользователей на предоставление услуг только при наличии достаточного количества свободных ресурсов.

Таким образом, в МСС наряду с традиционными одноадресными соединениями «точка-точка» для передачи данных применяются многоадресные соединения «точка-много точек», которые позволяют снизить остроту дефицита ресурсов звеньев сети. Тем не менее, в силу непрерывного роста объемов трафика благодаря внедрению новых услуг [например, 20,33,49] и жестких требований услуг к QoS (Quality of Service), основным показателем качества обслуживания в МСС остается вероятность блокировки запроса пользователя, возникающей из-за нехватки ресурсов, в первую очередь - по причине отсутствия достаточного количества свободных единиц ШПП на тех звеньях сети, через которые устанавливается соединение [1,2,11,21,60,69,73,82,83,95 и др.]. Поэтому в современных условиях, с учетом высокой конкуренции между операторами на рынке услуг связи, внимание многих специалистов и исследователей обращено к проблеме обеспечения требований к показателям качества обслуживания МСС с одноадресными и многоадресными соединениями. Данная проблема порождает класс задач, связанных с разработкой и исследованием моделей для эффективного анализа показателей QoS МСС, важное место среди которых занимает вероятность блокировки запроса пользователя на установление одноадресного или многоадресного соединения из-за отсутствия достаточного количества свободных ресурсов на звеньях сети. Решение этих задач требует применения основополагающих результатов в области теории вероятностей и случайных процессов [8,30,74], теории массового обслуживания [4,6,8,13,43,53], теории сетей массового обслуживания [7,16,57,74,78,97], теории телетрафика [1-3,5,6,11,17,21,30,35,63,65,84,88, 94,95], а также статистического моделирования сложных систем [9,14,19,32,55]. Фундаментальный вклад в эти области внесли российские ученые Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, В.М. Вишневский, Б.В. Гнеденко, В.А. Наумов, А.П. Пшеничников, Б.А. Севастьянов, С.Н. Степанов, А.Д. Харкевич, М.А. Шнепс-Шнеппе и некоторые другие. Существенный вклад в создание методов анализа МСС внесли такие зарубежные исследователи, как И. Виртамо, В. Иверсен, Дж. Кауфман, Ф. Келли, J1. Клейнрок, Дж. Роберте, К. Росс и др.

Для исследования функционирования отдельного звена МСС применяются методы анализа многопотоковых систем массового обслуживания (СМО) сложной структуры, известные по работам [2,4,23,66,70,77,93]. Разработке и методам анализа вероятностных моделей МСС с одноадресными соединениями посвящены монографии [11,15,21,63,95]. В работах [51,72,83,102] рассматривается применение метода просеянной нагрузки (англ. reduced load approximation) к расчету вероятностей блокировок в МСС с одноадресными соединениями. В статьях [50,64,82,86,101] разработаны эффективные методы точного расчета данных вероятностей путем применения различных подходов к декомпозиции задачи. Анализу сетей с резервированием канальных ресурсов посвящены работы [37,75,87,88,91]. Исследование вероятностных характеристик МСС с многоадресными соединениями начинается в середине 1990-х гг. со статьи [48], в которой рассматривается модель сети мультивещания с несколькими источниками рассылки, производящими многоадресную передачу видеоданных с разными уровнями качества. Авторами получены выражения для некоторых характеристик производительности сети, а также представлен приближенный метод расчета вероятностей блокировки установления

I соединения на основе метода просеянной нагрузки. В последующие годы работу по изучению МСС с многоадресными соединениями продолжили, главным образом, финские [67-69,79,89] и российские [12,24-26,56] исследователи. В [56,68] разработана модель отдельного звена сети мультивещания. В [69] представлен метод просеянной нагрузки на основе модели отдельного звена сети [68]. Применению данного метода к анализу многоадресных соединений также посвящена работа венгерских исследователей [52], однако представленная здесь модель не учитывает особенностей функционирования мультивещания на звеньях сети. В работах [24,89] построен алгоритм свертки для точного вычисления вероятностей блокировки в сети с одним источником. В статье [79] рассматривается применение к анализу модели сети мультивещания метода Монте-Карло [14,32,55]. Исследованию сетей, где одновременно присутствует одноадресный и многоадресный трафик, посвящены работа [100], в которой предложен приближенный метод вычисления вероятностей блокировки установления соединения на трехслойном каскадном коммутаторе, а также статья [44], где модель звена сети мультивещания [68] расширена для учета одноадресных соединений и предложен рекурсивный алгоритм для вычисления вероятностей блокировки установления соединения.

Таким образом, актуальной является задача разработки и развития моделей и методов, предназначенных для исследования показателей качества обслуживания МСС и учитывающих особенности применяемых в них технологий и механизмов, таких как многоадресная передача, контроль доступа и резервирование ресурсов. В этой связи целью диссертационной работы является разработка точных и приближенных методов анализа и расчета вероятностных характеристик моделей МСС с одноадресными и многоадресными соединениями, включая разработку вычислительных алгоритмов, организацию и проведение вычислительного эксперимента.

Работа имеет следующую структуру. Первая глава посвящена разработке математической модели МСС с двумя типами соединений. Раздел 1.1 является вводным, здесь кратко обсуждаются особенности анализа современных МСС, очерчен спектр предоставляемых услуг и соответствующих видов трафика. В разделе 1.2 построена математическая модель МСС в виде обратимого марковского процесса (ОМП) с мультипликативным распределением вероятностей, получены выражения для пространства состояний модели и ряда ее вероятностных характеристик, включая вероятности блокировок одноадресных и многоадресных соединений, доказаны важные соотношения между вероятностными характеристиками модели. В разделе 1.3 построена модель отдельного звена МСС, получены выражения для коэффициента использования звена и других вероятностных характеристик, представлен эффективный метод их расчета на базе рекуррентных соотношений. Раздел 1.3 диссертации написан на основе публикаций с участием автора [29,96].

Глава 2 диссертации посвящена разработке методов анализа моделей МСС. В разделе 2.1 модель отдельного звена сети расширена для звена МСС с неполнодоступной схемой разделения ресурсов, при которой каждому классу или группе классов поступающего на звено трафика выделяется некоторая часть емкости звена, куда не допускается трафик остальных классов. Получены выражения для пространства состояний модели звена и ее вероятностных характеристик. Пространство состояний такой модели является координатно-выпуклым [5,95], поэтому стационарное распределение вероятностей состояний имеет мультипликативную форму, как и для модели полнодоступного звена МСС. Далее в разделе рассмотрен актуальный для приложений случай, когда резервирование ресурсов производится для некоторого подмножества услуг мультивещания, например набора приоритетных телевизионных каналов. Для такого случая разработан эффективный метод вычисления вероятностей блокировки и коэффициента i использования звена. Добавим, что модель звена МСС с резервированием представляет самостоятельную ценность и, кроме того, используется для вычисления вероятностей вероятностных характеристик МСС методом просеянной нагрузки.

В разделе 2.2 разработан рекуррентный метод для эффективного вычисления вероятностных характеристик модели МСС древовидной структуры. Данный метод базируется на предложенном в [24] методе расчета вероятностных характеристик модели сети мультивещания с одним источником и предназначен для анализа МСС с одним источником многоадресной рассылки и фоновым одноадресным трафиком на звеньях. В разделе разработаны алгоритмы для вычисления нормирующей константы стационарного распределения вероятностей состояний модели и вероятностей блокировок установления многоадресных соединений. В аналитическом виде получена оценка сложности алгоритмов, на основании которой обоснована их эффективность по сравнению с другими точными методами. Раздел 2.2 диссертации написан на основе публикации с участием автора [27].

В разделе 2.3 решена задача развития метода просеянной нагрузки для приближенного расчета вероятностных характеристик МСС с двумя типами соединений и резервированием ресурсов звеньев. В основе метода просеянной нагрузки лежит предположение о независимости блокировок на звеньях сети, значительно облегчающее исследование моделей рассматриваемого типа. Для сетей сложной структуры, под которыми мы будем понимать сети сильносвязанной топологии с большим числом узлов и не совпадающих между собой маршрутов соединений, данный метод в значимом для практики диапазоне значений нагрузочных параметров демонстрирует достаточную для приложений точность и очень высокую скорость вычислений. Раздел написан на основе публикации с участием автора [28].

Глава 3 диссертации посвящена организации и проведению численного эксперимента, направленного на оценку эффективности предложенных методов, и анализу полученных результатов. В разделе 3.1 обсуждаются аспекты организации эксперимента и обосновывается выбор исходных данных. В качестве объекта исследования выбрана типовая городская сеть связи (англ. Metropolitan Area Network, MAN), на базе которой предоставляются такие услуги, как телевещание, телефония, передача данных и видео по запросу. В разделе 3.2 получены результаты численного анализа отдельного звена сети, в том числе с резервированием ресурсов. Эксперимент позволил выявить интересную особенность функционирования звена МСС, через которое осуществляется передача трафика с существенно различными требованиями к ШПП: периодические колебания величины обслуженной нагрузки как функции от интенсивности предложенной нагрузки одного из классов. В разделе 3.3 на основе [22,95] предложен подход к применению метода Монте-Карло для расчета вероятностных характеристик рассматриваемой модели МСС, представлены результаты численного анализа сети данным методом, на базе которых исследованы ограничения его применимости. В разделе 3.4 проведен численный анализ сети методом просеянной нагрузки, численная оценка точности которого производится с помощью метода Монте-Карло. В заключительном разделе 3.5 сделаны выводы об области применения разработанных методов и их эффективности.

Таким образом, в диссертационной работе решаются перечисленные ниже актуальные задачи.

1. Разработка математической модели отдельного звена МСС с резервированием ресурсов для трафика приоритетных услуг мул ьтивещания.

2. Разработка точного метода для расчета вероятностных характеристик звена МСС: нормирующей константы стационарного распределения вероятностей состояний модели, коэффициента использования звена, вероятностей блокировок установления соединения для приоритетных и неприоритетных услуг, вероятности непредоставления услуги при наличии достаточного объема ресурсов на звене сети.

3. Разработка точного метода и рекуррентных алгоритмов для расчета вероятностных характеристик модели МСС с одним источником многоадресной рассылки и фоновым одноадресным трафиком на звеньях.

4. Развитие приближенного метода просеянной нагрузки для расчета вероятности блокировки установления соединения в МСС с двумя типами соединений и резервированием ресурсов.

5. Анализ области применения разработанных точных и приближенных методов расчета вероятностных характеристик МСС на основании аналитических результатов и результатов численного эксперимента.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные результаты работы.

1. На основе анализа показателей качества и специфики услуг МСС разработана математическая модель отдельного звена МСС с одноадресными и многоадресными соединениями и неполнодоступной схемой разделения ресурсов. Модель построена в виде обратимого марковского процесса с мультипликативным распределением вероятностей, получены выражения для ее основных вероятностных характеристик.

2. Для модели звена МСС с резервированием ресурсов для трафика услуг мультивещания разработан точный метод расчета вероятностных характеристик, основанный на рекуррентных соотношениях. Метод позволяет вычислять коэффициент использования звена сети, вероятности блокировок одноадресных соединений и соединений для приоритетных и неприоритетных услуг мультивещания, вероятности непредоставления услуги при наличии достаточного объема ресурсов на звене сети.

3. Разработан точный метод и рекуррентные алгоритмы для расчета вероятностных характеристик модели МСС древовидной структуры с одноадресными и многоадресными соединениями, получены оценки временной сложности вычисления нормирующей константы.

4. Решена задача развития метода просеянной нагрузки для приближенного расчета вероятностей блокировок в МСС с резервированием ресурсов. Для оценки точности приближенного метода разработан и реализован метод статистического моделирования.

5. В условиях реальных значений структурных и нагрузочных параметров МСС реализован вычислительный эксперимент и определена область применения разработанных методов. Точные

I методы эффективны для ограниченного диапазона значений структурных параметров модели. Метод Монте-Карло эффективен для сети с произвольной топологией в диапазоне нормальных нагрузок. Приближенный метод просеянной нагрузки пригоден для расчета вероятностей блокировок в сети сложной структуры и показывает высокие скорость и точность вычислений.

1. Башарин, Г. П.; Самуилов, К. Е. Современный этап развития теории телетрафика // Информационная математика. - 2001. - № 1.

2. Башарин, Г. П. Лекции по математической теории телетрафика. -М.: Изд-во РУДН, 2004.

3. Башарин, Г. П.; Богуславский, Л. Б.; Самуилов, К. Е. О методах расчета пропускной способности сетей связи ЭВМ // Итоги науки и техники. Серия «Электросвязь». М. : ВИНИТИ, 1983. - Т. 13. - С. 32-106.

4. Башарин, Г. П.; Бочаров, П. П.; Коган, Я. А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета. М.: Наука, 1989.

5. Башарин, Г. П.; Вигулис, Л. А.; Куренное, Б. Е. Об оптимальном выборе структурных параметров систем спутниковой связи с многостанционным доступом // Проблемы передачи информации. -1987.-Вып. 4.

6. Башарин, Г. П.; Харкевич, А. Д.; Шнепс, М. А. Массовое обслуживание в телефонии. М.: Наука, 1968.

7. Башарин, Г. П.; Толмачев, А. Л. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем // ИНТ. Теория вероятностей. Мат. статистика. Техн. кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1983. - Т. 21. -С. 3-119.

8. Боровков, А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.

9. Бусленко, Н. П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1968.

10. Величко, В. В; Субботин, Е. А.; Шувалов, В. П.; Ярославцев, А. Ф. Телекоммуникационные системы и сети : учебное пособие : в 3 т. Т. 3 : Мультисервисные сети / под ред. проф. В.П. Шувалова. М.: Горячая линия-Телеком, 2005.

11. Вишневский, В. М. Теоретические основы проектированиякомпьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003.

12. Гайдамака, Ю. В.; Яркина, Н. В. Примеры численного анализа модели звена сети мультивещания // Сб. «XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания». М. : Изд-во ПАИМС, 2001.

13. Гнеденко, Б. В.; Коваленко, И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, ГРФМЛ, 1987. - 2 изд.

14. Ермаков, С. М.; Михайлов, Г. А. Статистическое моделирование. -М.: Наука, 1982. 2-е изд.

15. Ершов, В. А.; Кузнецов, Н. А. Мультисервисные телекоммуникационные сети. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003.

16. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания. -М.: Машиностроение, 1979.

17. Корнышев, Ю. Н.; Пшеничников, А. П.; Харкевич, А. Д. Теория телетрафика. М.: Радио и связь, 1996.

18. Кох, Р.; Яновский, Г. Г. Эволюция и конвергенция в электросвязи. -М.: Радио и связь, 2001.

19. Крэйн, М.; Лемуан, О. Введение в регенеративный метод анализа моделей / пер. с англ. под ред. В. В. Калашникова. М. : Наука, 1982.

20. Кучерявый, А. Е.; Парамонов, А. И. Модели трафика для сенсорных сетей в u-России // Электросвязь. 2006. - № 6. - С. 15-18.

21. Лагутин, В. С.; Степанов, С. И. Телетрафик мультисервисных сетей связи. М.: Радио и связь, 2000.

22. Рыков, В. В.; Самуилов, К. Е. К анализу вероятностей блокировок ресурсов сети с динамическими многоадресными соединениями // Электросвязь. 2000. - № 10. - С. 27-30.

23. Самуилов, К. Е. Метод расчета вероятностных характеристик модели сети с многоадресными соединениями // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика». 2003. - Т.2,№1.

24. Самуилов, К. Е.; Савочкин, Е. А. Модель сети мультивещания с несколькими уровнями качества предоставления услуг // Сб. научн. трудов «Системы телекоммуникаций и моделирование сложных систем». М.: ПАИМС, 2001. - С. 70-76.

25. Самуилов, К. Е.; Яркина, Н. В. Алгоритмы для точного расчета вероятностных характеристик модели мультисервисной сети древовидной структуры // Вестник РУДН. Серия «Физико-математические науки». 2006. - Т.1, №1.

26. Самуилов, К. Е.; Яркина, Н. В. Метод просеянной нагрузки в мультисервисных сетях с одноадресными и многоадресными соединениями // Труды LIX конф. РНТОРЭС. 2004. - Т. 2. - С. 169-171.

27. Самуилов, К. Е.; Яркина, Н. В. Модель звена мультисервисной сети с одноадресными и многоадресными соединениями // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика». 2003. -Т. 2, № 1.-С. 32-43.

28. Севастьянов, Б. А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным линиям с отказами // Теория вероятностей и ее приложения. 1957. - Т. 2, вып. 1. - С. 106-116.

29. Симонина, О. А.; Яновский, Г. Г. Характеристики трафика в сетях IP // Труды учебных заведений связи / СПбГУТ. СПб. : 2004. - № 171.-С. 8-14.

30. Соболь, И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

31. Спирин, В. А.; Тарасов, В. К.; Фомин, Н. А. Как идти к Triple Play? // Вестник связи. 2005. - №4 (апрель).

32. Шашкин, Ю. А. Неподвижные точки. М.: Наука, 1989.

33. Шнепс-Шнеппе, М. А. Системы распределения информации. Методы расчета : справочное пособие. М.: Связь, 1979.

34. Яркина, Н. В. Численный анализ модели сети с одноадресными и многоадресными соединениями // Сб. «XL Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии». М.: Изд-во РУДН, 2004.

35. Akinpelu, J. М. The overload performance of engineered networks with nonhierarchical and hierarchical routing // AT&T Tech. Journal. 1984. -Vol. 63.-P. 1261-1281.

36. Alkahtani, A.; Woodward, M.; Al-Begain, К An Overview of Quality of Service (QoS) and QoS Routing in Communication Networks // Proc. of PGNet 2003 (4th Annual Network Symposium, Liverpool, June 16-17 2003).-2003.-P. 236-244.

37. Bain, A.; Kelly, F.; Key, P.; Massoulie, L. Fair Internet traffic integration: network flow models and analysis // Annals of Telecommunication. 2004. - Vol. 59, No. 11-12. - P. 1338-1352.

38. Bannister, J.; Mather, P.; Coope, S. Convergence Technologies for 3G Networks. IP, UMTS, EGPRS and ATM. Chichester : John Wiley & Sons, 2004.

39. Benameur, N.; Ben Fredj, S.; Oueslati-Boulahia, S.; Roberts, J. Quality of service and flow-aware admission control in the Internet // Computer Networks. 2002. - Vol. 40. - P. 57-71.

40. Bocharov, P.P.; D'Apice, C.; Pechinkin, A. V.; Salerno, S. Queueing Theory. Boston : VSP, Brill Academic Publishers, 2004.

41. Boussetta, K.; Beylot, A.-L. Multirate Resource Sharing for Unicast and Multicast Connections // Proc. of 5th FIP Broadband Communications (BC'99, Hong Kong, November 1999). 1999. - P. 561-570.

42. Caballero-Artigas, J. M. Gigabit Ethernet roll-out. Maidenhead, UK : Trend Communications, 2005.

43. Cerf, V. On the evolution of Internet Technologies // Proc. of the IEEE. -2004. Vol. 92, No. 9. - P. 1360-1370.

44. Chan, W. C.; Geraniotis, E. Tradeoff between blocking and dropping in multicasting networks // Proc. of IEEE International Conference on Communications. 1996. - P. 1030-1034.

45. Chlamtac, I.; Gumaste, A.; Szabro, C. A. (Eds.) Broadband Services. Business Models and Technologies for Community Networks. -Chichester : John Wiley & Sons, 2005.

46. Choudhury, G. L.; Leung, К. K.; Whitt, W. An algorithm to compute blocking probabilities in multi-rate multi-class multi-resource loss models // Advances in Applied Probability. 1995. - Vol. 27. - P. 11041143.

47. Chung, S.-P.; Ross, K. W. Reduced load approximations for multirate loss networks // IEEE Transaction on communications. 1993. -Vol. 41.-P. 1222-1231.

48. Cinkler, Т.; Ast, L. Approximations for Call-Blocking Probabilities in Multirouting Multicasting Multirate Loss Networks // Proc. of Networking 2000 / eds. G. Pujolle et al. Berlin : Springer-Verlag, 2000. -P. 287-298.

49. Daigle, J. N. Queueing theory with applications to packet telecommunication. Boston : Springer Science + Business Media, 2005.

50. Delcoigne, F.; Proutiere, A.; Regnie, G. Modeling integration of streaming and data traffic // Performance Evaluation. 2004. - Vol. 55. -P. 185-209.

51. Fishman, G. S. Monte Carlo: concepts, algorithms, and applications. -New York : Springer-Verlag, 1996.

52. Gaidamaka, Y.; Samouylov, K. Analytical model of multicast network and single link performance analysis // Proc. of the 6-th Int. Conf. on Telecommunications (ConTEL-2001, Zagreb, Croatia). 2001. - P. 169175.

53. Gelenbe, E.; Pujolle, G. Intoduction to queueing networks. New York : Willey, 1987.

54. ITU-T Draft Recommendation Y.RACF Version 9.2 : Functional Architecture and Requirements for Resource and Admission Control Functions in Next Generation Networks. S. 1.: ITU-T, April 2006.

55. ITU-T Recommendation E.525 : Designing networks to control grade of service. S. 1. : ITU-T, June 1992.

56. ITU-T Recommendation E.737 : Dimensioning methods for B-ISDN. -S. 1. : ITU-T, May 1997.

57. ITU-T Recommendation X.6 : Multicast service definition. S. 1. : ITU-T, March 1993.

58. ITU-T Recommendation Y.2011 : General principles and general reference model for next generation networks. S. 1. : ITU-T, October 2004.

59. Iversen, V. В. Teletraffic Engineering Handbook. S. 1. : ITU-D, November 2002.

60. Iversen, V. В.; Stepanov, S. N. The usage of convolution algorithm with truncation for estimation of individual blocking probabilities in circuit-switched telecommunication networks // Proc. 15th Int. Teletraffic Conf. 1997. - Vol. 2. - P. 1327-1336.

61. Janevski, T. Traffic analysis and design of wireless IP networks. S. 1. : Artech House, 2003. - (Artech House mobile communications series).

62. Kamoun, F.; Kleinrock, L. Analysis of shared finite storage in a computer networks node environment under general traffic conditions // IEEE Trans, on Commun. 1980. - Vol. 28, No. 7. - P. 922-1003.

63. Karvo, J. A study of teletraffic problems in multicast networks : doctoral dissertation. Helsinki, Finland : University of Technology, 2002.

64. Karvo, J.; Virtamo, J.; Aalto, S.; Martikainen, O. Blocking of dynamic multicast connections // Telecommunication Systems. 2001. - Vol. 16, No. 3-4.-P. 467-481.

65. Kaufman, J. S. Blocking in a shared resource environment // IEEE Trans. Commun. 1981.-Vol. COM-29,No. 10.-P. 1474-1481.

66. Kelly, F. P. Charging and rate control for elastic traffic // European Transactions on Telecommunications. 1997. - Vol. 8. - P. 33-37.

67. Kelly, F. P. Blocking probabilities in large circuit-switched networks // Advances in Applied Probability. 1986. - Vol. 18. - P. 473-505.

68. Kelly, F. P. Mathematical models of multiservice networks // Complex Stochastic Systems and Engineering. Oxford * Oxford University Press, 1995.

69. Kelly, F. P. Reversibility and stochastic network. Chichester : Wiley, 1979.-11475. Kelly, F. P. Routing and capacity allocation in networks with trunk reservation // Mathematics of Operations Research. 1990. - Vol. 15, No. 4.-P. 771-793.

70. Kelly, F. P.; Key, P. В.; Zachary, S. Distributed admission control // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 2000. - Vol. 18. -P. 2617-2628.

71. Krieger, U. R.; Naoumov, V.; Wagner, D. Analysis of a Versatile Multi-Class Delay-Loss System with a Superimposed Markovian Arrival Process // European J. of Operational Research. 1998. - Vol.108, No.2.

72. Lam, S. S.; Lien, Y. L. A Tree Convolution Algorithm for the Solution of Queueing Networks // Commun. ACM. 1983. - Vol. 26. - P. 203-215.

73. Lassila, P.; Karvo, J.; Virtamo, J. Efficient Importance Sampling for Monte Carlo Simulation of Multicast Networks // Proc. of 20th Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Societies (INFOCOM 2001). 2001. - Vol. 1. - P. 432-439.

74. Lassila, P.; Virtamo, J. Nearly optimal importance sampling for Monte Carlo simulation of loss systems // ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation (TOMACS). 2000. - Vol. 10, Issue 4 (October). - P. 326-347.

75. Li, C. Y.; Wai, P. K. A.; Li, V. О. K. The decomposition of a blocking model for connection-oriented networks // IEEE/ACM Transactions on Networking. 2004. - Vol. 12, Issue 3 (June). - P. 549-558.

76. Liu, M.; Baras, J. S. Fixed Point Approximation for Multirate Multihop Loss Networks With State-Dependent Routing // IEEE/ACM Transactions on Networking. 2004. - Vol. 12, No. 2 (April). - P. 361374.

77. Louth, G.; Mitzenmacher, M.; Kelly, F. P. Computational complexity of loss networks // Theoretical Computer Science. 1994. - Vol. 125, No. 1 (March).-P. 45-59.

78. Massoulie, L.; Roberts, J. Bandwidth Sharing: Objectives and Algorithms // IEEE/ACM Transactions on Networking. 2002. - Vol. 10, No. 3 (June). - P. 320-328.

79. Mitra, D. Asymptotic Analysis and Computational Methods for a Class of Simple, CircuitSwitched Networks with Blocking // Advances in Applied Probability. 1987. - Vol. 19. - P. 219-239.

80. Mitra, D.; Gibbens, R. J.; Huang, B. D. State-Dependent Routing on Symmetric Loss Networks with Trunk Reservations // IEEE Trans. Commun. 1993. - Vol. 41. - P. 400-411.

81. Naoumov, V. Normal Type Approximation for Multi-Service Systems with Trunk Reservation // Telecommunication Systems. 1995. - Vol. 4, No. 1-2.-P. 113-118.

82. Nyberg, E.; Virtamo, J.; Aalto, S. An exact algorithm for calculating blocking probabilities in multicast networks // Proc. of Networking 2000 / eds. G. Pujolle et al. Berlin : Springer-Verlag, 2000. - P. 275-286.

83. Park, K. /. QoS in Packet Networks. Boston : Springer, 2005. - (The International Series in Engineering and Computer Science ; Vol. 779).

84. Roberts, J. W. Teletraffic Models for the Telecom 1 Integrated Services System // Proc. of the 10th International Teletraffic Congress (ITC-10, Montreal). 1983. - Session 1.1, paper no. 2.

85. Roberts, J. W. Traffic Theory and the Internet // IEEE Communications Magazine. 2001. - 39 (1). - P. 94-99.

86. Roberts, J. W. A service system with heterogeneous user requirements // Performance of data communications systems and their applications / Ed. G. Pujolle. 1981. - P. 423-431.

87. Roberts, J. W.; Mocci, U.; Virtamo, J. (Eds.) Broadband Network Teletraffic: Performance Evaluation and Design of Broadband Multiservice Networks : Final Report of Action Cost 242. S. 1. :

88. Springer-Verlag, 1996. (Lecture Notes in Computer Science ; Vol. 1155).

89. Ross, K. W. Multiservice loss models for broadband telecommunication networks. London : Springer-Verlag, 1995.

90. Serfozo, R. Introduction to Stochastic Networks. New York : Springer-Verlag, 1999.

91. Shenker, S. Fundamental Design Issues for the Future Internet // IEEE Journal Selected Areas Communication. 1995. - 13. - P. 1176-1188.

92. Standards, Architectures and Managements of Broadband convergence Networks (BcN). The 1st International Workshop on Broadband convergence Networks (IEEE BcN2006, Vancouver, Canada, April 2006) / Eds. Y.-T. Kim, T. Hamada, N. Agoulmine. 2006.

93. Tsang, D.H.K.; Ross, K. W. Algorithms to determine exact blockingprobabilities for multirate tree networks // IEEE Trans. Commun. 1990.-Vol. 38.-P. 1266-1271.

94. Whitt, W. Blocking when service is required from several facilities simultaneously // AT&T Tech. J. 1985. - Vol. 64., No. 8 (October). -P. 1807-1856.