автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Метод натянутых сеток в задачах геометрического моделирования

Введение

Глава I ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ФОРМИРОВАНИЕ 15 ЭЛЕКТРОННЫХ МОДЕЛЕЙ ИЗДЕЛИЙ

Выводы

Глава II ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА НАТЯНУТЫХ СЕТОК

2.1. Исходная формулировка метода натянутых сеток

2.2. Задача минимальных поверхностей

2.2.1. Использование МНС для отыскания формы минимальных по- 50 верхностей

2.2.2. Доказательство сходимости и применимости МНС при решении 54 проблемы минимальных поверхностей

2.3. Построение разверток поверхностей одинарной и двоякой кривизны

2.3.1. Постановка проблемы построения разверток поверхностей

2.4. Построения и сглаживания поверхностей сложной кривизны

2.4.1. Возможности аппарата NURBS поверхностей

2.4.2. Способы моделирование поверхностей 79 2.4.2.1. Интерполяция

2.4.2.1. Подгонка поверхности

2.4.2.2. Моделирование поверхностей по поперечным сечениям

2.4.3. Обобщенная формулировка метода натянутых сеток

2.4.4. Алгоритм сглаживания, основанный на МНС, NURBS поверхно- 86 стей, построенных по дискретному множеству точек

2.5. Метод натянутых сеток и сети Чебышева

Выводы

Глава III ПОСТРОЕНИЕ И СГЛАЖИВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ПОВЕРХНО- 98 СТЕЙ СУДОВОГО КОРПУСА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНС

3.1. Анализ традиционной технологии формирования судовых поверх- 100 ностей

3.2. Теоретические основы разрабатываемых алгоритмов

3.3. Автоматизированное формирование моделей поверхностей судово- 103 го корпуса по реперным точкам с использованием МНС в комбинации с NURBS- аппроксимацией

3.4. Описание алгоритма снижения параметрической напряженности 111 поверхности с использованием МНС

3.5. Выводы по использованию функций библиотеки DTNURBS

3.6. Некоторые результаты практического использование алгоритмов 121 построения и сглаживания поверхностей судового корпуса

3.7. Технология проектирования поверхностей и конструкций судового 129 корпуса на базе CAD систем Sea Solution и Ship-КЗ

Выводы

Глава IV ТЕХНОЛОГИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕНТОВЫХ ТКАНЕ- 142 ВЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ МНС

4.1. Пример проектирования выставочного открытого мини- павильона

4.1.1. Моделирование формы поверхности тканевого материала

4.1.2. Построение карты раскроя тканевого материала

4.2. Использование МНС для раскроя парусов

4.2.1. Раскрой треугольного паруса

4.2.2. Раскрой паруса типа спинакер

Актуальность исследования. Одним из направлений повышения эффективности промышленного сектора экономики является применение современных информационных технологий для информационной интеграции процессов, протекающих в ходе всего жизненного цикла продукта и его компонентов. Жизненный цикл (ЖЦ) продукта, как его определяет стандарт ISO 9004-1, — это совокупность процессов, выполняемых от момента выявления потребностей общества в определенной продукции до удовлетворения этих потребностей и утилизации продукта.

Технологии информационной поддержки жизненного цикла продукта CALS, что означает - Continuous Acquisition and Life cycle Support (непрерывная информационная поддержка жизненного цикла продукта), базируются на использовании интегрированных информационных моделей: собственно продукта, жизненного цикла продукта и среды, в которой протекает жизненный цикл продукта [25]. Интегрированная информационная модель продукта включает в себя ряд частных моделей: маркетинговую, конструкторскую, технологическую, сбытовую, эксплуатационную, в соответствии с набором стадий жизненного цикла [26].

На производственной стадии жизненного цикла, включающей в себя подготовку и поддержку конструкторских и технологических моделей с учетом задач информационной интеграции и управления конфигурацией изделия, необходимо обеспечить тесное взаимодействие всех систем конструкторской подготовки и планирования производства. Единое представление данных для достижения этих целей обеспечивается Электронной Моделью Изделия (ЭМИ). ЭМИ содержит всю информацию об изделии и разделяется на геометро-графическую и неграфическую. По различным оценкам на подготовку и поддержку конструкторских моделей, в частности геометро-графической информации, в наукоемком производстве уходит до 80% времени производственного цикла. Это связано, в первую очередь, с высокой трудоемкостью и сложностью подготовки геометро-графической информации, что вызывает быстро растущий спрос проектировщиков на средства и системы моделирования и отображения пространственных объектов, включая получение статических и динамических изображений, вычисление масс-инреционных характеристик, площадей поверхностей, разверток и пр. Сокращение сроков проведения работ на этой стадии жизненно важно для современных предприятий, что делает применение стратегии CALS главным условием их выживания в ближайшие несколько лет в обстановке растущей конкуренции, в том числе на международных рынках. Во всем мире свыше 95% современных предприятий большого, среднего, и более 99% предприятий малого бизнеса, создающие как простые (посуда, мебель, бытовая техника и т.п.), так и очень сложные (автомобили, самолеты, суда) изделия, в практике проектирования и производства применяют CALS-технологии.

С целью сокращения производственного цикла в настоящее время созданы и интенсивно развиваются многочисленные современные САПР-системы (по отечественный терминологии аналог международных понятий CAD - проектирование, САМ - производство, CAE - инженерный анализ, RP - быстрое прототипирова-ние, PDM - управление документооборотом, MRP - управление поставками и т.д.). На протяжении всего жизненного цикла изделия, включая его производственную стадию, эти системы используют одну и ту же ЭМИ, в том числе и ее геометро-графическую составляющую. Однако, несмотря на многообразие и развитость существующих систем и методов проектирования и инженерного анализа, используемых в CALS-технологиях на производственной стадии жизненного цикла, существует ряд проблем и направлений, требующих либо своего кардинального разрешения, либо поиска новых решений, позволяющих достигать цели более экономичными с точки зрения компьютерных ресурсов и машинного времени средствами. К таким проблемам относится, например проблема генерации геометрических моделей пространственных конструкций сложных технических форм и структур, обычно связанная с моделированием и сглаживание поверхностей при проектировании корпусов судов и кузовов автомобилей; корректировка конечно -и гранично - элементных сетей (КЭ и ГЭ), автоматизированная генерация которых производится на стадии инженерного анализа конструкций численными методами. Кроме того, в инженерной практике существует ряд изделий и сооружений, проектирование и анализ которых чрезвычайно затруднено в силу слабой разработанности соответствующего математического аппарата. К таким изделиям относятся, например, тентовые тканевые конструкции, получившие за последние 20 лет широкое распространение. Решение перечисленных и некоторых других частных проблем является в настоящее время актуальным поскольку отвечает всем требованиям при разработке интегрированных систем автоматизированного проектирования, как составляющей части CALS- технологий.

Объектом исследования является метод натянутых сеток (МНС) применительно к задачам геометрического моделирования. МНС, отражающий равновесное состояние произвольных сетчатых структур, что выражается в стремлении этих структур при заданных граничных условиях к регулярной оптимальной форме, предоставляет пользователю эффективный инструментарий при решении разнообразных проблем, возникающих при геометрическом моделировании и анализе конструкций, в частности новые способы моделирования и преобразование поверхностей, регуляризацию сетчатых структур при численном анализе конструкций и др. Использование его во многих приложениях геометрического моделирования более предпочтительно по сравнению с другими численными методами в силу сравнительно меньшей потребности в компьютерных ресурсах и простоты в реализации.

Цель исследования состоит в создании нового математического аппарата, предназначенного для решения ряда проблем геометрического моделирования, возникающих при проектировании и инженерном анализе конструкций, более эффективными с точки зрения CALS-технологий способами, в частности: на основе обобщения теоретических основ геометрического моделирования поверхностей и современных численных методов инженерного анализа разработать метод натянутых сеток (МНС), выражающий равновесное состояние произвольных сетчатых структур, что делает его эффективным в частности в задачах формирования и преобразования поверхностей в силу его экономичности и простоты в реализации; сформулировать приложение МНС к решению следующих проблем геометрического моделирования и инженерного анализа: нахождение формы минимальных поверхностей; конструирование и сглаживание моделей поверхностей на базе дискретного множества реперных точек с помощью МНС в комбинации с NURBS аппроксимацией; развертка поверхностей сложной кривизны на плоскую область; регуляризация автоматически сгенерированных КЭ и ГЭ сетей разработать алгоритмы и компьютерные процедуры, реализующие МНС для выделенного класса задач геометрического моделирования и инженерного анализа; доказать эффективность разработанного на базе МНС компьютерного инструментария для решения практических задач геометрического моделирования, возникающих при проектировании и инженерном анализе изделий.

В соответствии с целью исследования решались следующие задачи:

1. С целью формирования более экономичных способов решения задачи минимальных поверхностей, основанных на их метрических свойствах, сформулировать и доказать теорему об одновременном стремлении к минимуму первой квадратичной формы поверхности при стремлении к минимуму ее площади.

2. На основе сформулированной и доказанной теоремы доказать применимость МНС для решения выделенного класса задач

3. Доказать сходимость к точному решению дискретной формы МНС для сетей, составленных из произвольных ячеек с прямолинейными границами.

4. На основе анализа теоретических формулировок МНС для различных практических приложений в задачах геометрического моделирования и инженерного анализа разработать обобщенную формулировку метода.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

- На основе обобщения мирового практического опыта геометрического моделирования в системах автоматизированного проектирования и теоретических положений, лежащих в основе современных численных методов инженерного анализа, впервые разработан математический аппарат метода натянутых сеток (МНС), предоставляющий пользователю простой и эффективный инструментарий при решении разнообразных проблем, возникающих при геометрическом моделировании и анализе конструкций;

- Впервые сформулирована и доказана теорема об одновременном стремлении к минимуму первой квадратичной формы поверхности при стремлении к минимуму ее площади, что позволяет построить новый способ аналитического решение классической задачи минимальных поверхностей на базе решения полученной системы дифференциальных уравнений в частных производных;

- Доказана применимость, эффективность и большая экономичность МНС по сравнению с другими численными методами для решения ряда практических задач геометрического моделирования, в том числе моделирование и преобразование поверхностей тентовых тканевых конструкций, построение по дискретному набору реперных точек и сглаживание поверхностей судового корпуса, регуляризация КЭ и ГЭ сетей с целью получения более достоверных результатов при численном анализе конструкций;

- Доказана применимость МНС к решению классической задачи, сформулированной П.Л.Чебышевым в его работе «О кройке одежды», об одевании сферы плоскими выкройками из ткани.

Практическая ценность исследования заключается в разработке специализированных алгоритмов и компьютерных процедур, реализующих возможности метода натянутых сеток для решения ряда проблем геометрического моделирования, возникающих в практике автоматизированного проектирования и инженерного анализа, в том числе для регуляризации КЭ и ГЭ сетей; проектирования тентовых тканевых конструкций; конструирования и сглаживания поверхностей судового корпуса, построенных по дискретному набору реперных точек. На базе алгоритмов и компьютерных процедур под руководством автора диссертации разработаны специализированные системы автоматизированного проектирования, геометрического моделированию и модификации поверхностей и конструкций судового корпуса SeaSolution и Ship-КЗ. Системы являются законченными отечественными лицензионно чистыми программными продуктами, используемыми в практике проектирования многочисленными отечественными и зарубежными судостроительными КБ, НИИ и промышленными предприятиями. Разработана пилотная версия системы автоматизированного проектирования FABRIC CAD, предназначенная для нахождения оптимальных форм тентовых тканевых конструкций и построение карт раскроя их полотнищ.

Разработка алгоритмов компьютерных процедур, систем и их составных частей проведена в рамках фундаментальной НИР «Разработка теоретических основ, алгоритмов и программ геометрии и графики для параллельных технологий проектирования» (ГР № 01970004538, Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет), а так же по договорам с различными организациями. Результаты работы внедрены в практику проектирования ряда судостроительных и строительных организаций, в том числе в работах для зарубежных заказчиков Польши, Норвегии и Нидерландов.

На основе исследований, анализа и разработок, выполненных автором настоящей диссертационной работы подготовлен курс лекций для магистрантов всех специальностей на тему «Основы современных компьютерных технологий в практике проектирования конструкций», прошедший обсуждение и одобренный на «Всероссийском семинаре-совещании заведующих кафедрами графических дисциплин», прошедшем в Нижегородском государственном архитектурно-строительном университете в 2000 и внедренный в учебный процесс ННГАСУ и ННГУ.

Апробация работы.

Материалы диссертационной работы представлялись на следующих конференциях и семинарах:

- Международный семинар BEASY Workshop, Wessex Institute of Technologies, Ashurst Lodge, Great Britain, 1997;

- Международный семинар 3rd International FIRE User Meeting, AVL LIST GmbH, Graz, Austria, 1997;

- Всероссийский семинар-совещание заведующих кафедрами графических дисциплин, Нижний Новгород, 2000;

- Международная научно-техническая конференция «Информационные технологии в инновационных проектах», Ижевск, 2001;

- Международная конференция по компьютерной графике и визуализации «ГРАФИКОН-2001 » (Нижний Новгород, 2001).

Разработанное программное обеспечение демонстрировалось на Международных выставках "SoftTool-2000", "SoftTool-2001" и "НЕВА-2001".

Основные положения исследования опубликованы в следующих работах:

1. Popov, E.V. On Some Variation Formulations for Minimum Surface. //The Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, vol.20, # 4, 1996. P. 197205.

О некоторых вариационных формулировках для минимальных поверхностей. // Труды Канадского общества инженеров-механиков, том 20, №4,1996. С.197-205

2. Popov, E.V. Cutting pattern generation for tent type structures. //The Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, vol. 22, # 4, 1999. P.253-261. Генерация карт раскроя для конструкций тентового типа. // Труды Канадского общества инженеров-механиков, том 22, №4, 1999. С.253-261

3. Popov, E.V. Cutting pattern generation for tent type structures represented by minimum surfaces. //Shipbuilding Electronic Magazine, International Shipbuilding Expert Society, The Netherlands, # 2, 2000.

Генерирование карт раскроя материала для конструкций тентового типа, представленных минимальными поверхностями. // Судостроительный электронный журнал, Международное сообщество экспертов в судостроении, Нидерланды, № 2, 2000. Электронная копия по адресу в Интернет: http://www.qwirnail.com/e-publications/022000/sea/shipbui1ding.html

4. Popov, E.V. 3D CAD System Ship-КЗ means inexpensive, quick and efficient Structural Design. //Shipbuilding Electronic Magazine, International Shipbuilding Expert Society, The Netherlands, # 4,2000.

Система Ship-КЗ означает недорогое, быстрое и эффективное конструирование судового корпуса. // Судостроительный электронный журнал, Международное сообщество экспертов в судостроении, Нидерланды, № 4, 2000. Электронная копия по адресу в Интернет:

5. Popov, E.V. It's no problem now to cut out fabric for sail. // Shipbuilding Electronic Magazine, International Shipbuilding Expert Society, The Netherlands, # 10, 2000. Как можно легко раскроить ткань для паруса. // Судостроительный электронный журнал, Международное сообщество экспертов в судостроении, Нидерланды, № 10, 2000. Электронная копия по адресу в Интернет: http://www.qwimail.com/e-publications/102000/sea/shipbuilding.html и

6. Попов Е.В., Аристова Е.С., Митин C.B., Розанов В.В., Тарасов А.И. КЗ: профессионалам — профессиональные персональные инструменты. Конструкторские и дизайнерские системы на базе КЗ фирмы «ГеоС». // САПР и Графика, № 4, Компьютер Пресс, 2000. С.53-57.

7. Попов Е.В. Построение поверхностей минимальной площади с помощью метода натянутых сеток. // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика, Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин, Вып. 5, ННГАСУ, Нижний Новгород, 2000. С. 267-271.

8. Попов Е.В. Построение разверток поверхностей одинарной и двоякой кривизны. // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика, Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин, Вып. 5, ННГАСУ, Нижний Новгород, 2000. С. 272-276.

9. Попов Е.В. Сглаживание NURBS поверхностей сложной кривизны с использованием метода натянутых сеток. // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика, Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин, Вып. 5, ННГАСУ, Нижний Новгород, 2000. С. 277-282.

Ю.Попов Е.В. Построение карт раскроя полотнищ парусного оснащения. // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика, Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин, Вып. 6, ННГАСУ, Нижний Новгород, 2000. С. 75-83.

П.Попов Е.В. Использование метода натянутых сеток в проектировании полотнищ тентовых тканевых конструкций и построение карт их раскроя. // Труды Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в инновационных проектах», Ижевск, 2001. С. 124-128.

12.Попов Е.В. Опыт использования функций библиотеки DTNURBS разработки Naval Surface Warfare Center (USA). // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика, Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин, Вып. 7, ННГАСУ, Нижний Новгород, 2001. С. 54-57.

1 З.Попов Е.В. Автоматизированное построение NURBS поверхностей по заданному множеству реперных точек. // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика, Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин, Вып. 7, ННГАСУ, Нижний Новгород, 2001. С. 100-108.

14.Popov E.V. Geometrical Modeling of Tent Fabric Structures with the Stretched Grid Method. //Proceedings of the 11th International Conference on Computer Graph-ics&Vision GRAPHICON'2001, UNN, Nizhny Novgorod, 2001. P.138-143. Геометрическое моделирование тентовых тканевых конструкций методом натянутых сеток. //Материалы 11-ой международной конференции по компьютерной графике и визуализации ГРАФИКОН-2001, ННГУ, Нижний Новгород, 2001. С.138-143.

15.Popov E.V. Tarasov A.I. FABRIC CAD system for Tent Type Structures Design. th

Proceedings of the 11 International Conference on Computer Graphics & Vision GRAPHICON'2001, UNN, Nizhny Novgorod, 2001. P.149-152. Система FABRIC CAD для проектирования тентовых тканевых конструкций. //Материалы 11-ой международной конференции по компьютерной графике и визуализации ГРАФИКОН-2001, ННГУ, Нижний Новгород, 2001. С. 149-152.

16.Popov E.V., Onopriiko M.D. Creation of NURBS surfaces in 3D computer modeling th system КЗ. //Proceedings of the 11 International Conference on Computer Graphics & Vision GRAPHICON'2001, UNN, Nizhny Novgorod, 2001. P.144-147. Создание NURBS поверхностей в системе трехмерного твердотельного моделирования КЗ. //Материалы 11-ой международной конференции по компьютерной графике и визуализации ГРАФИКОН-2001, ННГУ, Нижний Новгород, 2001. С. 144-147.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод натянутых сеток (МНС), отражающий равновесное состояние произвольных сетчатых структур, что выражается в стремлении этих структур при заданных граничных условиях к регулярной оптимальной форме. Как показано, МНС предоставляет пользователю эффективные и экономичные возможности при решении разнообразных проблем, возникающих при геометрическом моделировании и анализе конструкций, в частности принципиально новые способы моделирования и преобразование поверхностей, регуляризацию сетчатых структур при численном анализе конструкций и др.

2. Доказательство сходимости к точному решению дискретной формы МНС для сетей, составленных из произвольных ячеек с прямолинейными границами, и применимости МНС для решения выделенного класса задач геометрического моделирования, базирующееся на формулировке и доказательстве теоремы об одновременном стремлении к минимуму первой квадратичной формы поверхности при стремлении к минимуму ее площади.

3. Применение МНС для ряда проблем и направлений геометрического моделирования, требующих либо своего кардинального разрешения, либо поиска новых решений, позволяющих достигать цели более эффективными с точки зрения САЬ8-технологий способами. К таким проблемам относятся: корректировка КЭ и ГЭ сетей, автоматизированная генерация которых производится на стадии инженерного анализа конструкций численными методами; нахождение формы минимальных поверхностей и построение карт их раскроя, что является необходимым при проектировании тентовых тканевых конструкций; формирование и сглаживание сложных поверхностей судового корпуса по дискретному набору реперных точек и некоторые другие.

4. Алгоритмы и разработанный на базе МНС компьютерный инструментарий применительно к решения практических задач, возникающих при геометрическом моделировании и инженерном анализе изделий.

14

Выражение особой признательности:

Автор настоящего исследования выражает особую и глубокую признательность профессору (Берроузу Табарокку! и профессору Юангао Жангу из Университета штата Виктория (Канада) за внимательное и доброжелательное прочтение основных результатов и выводов автора и неоценимые советы при подготовке и написании базовых статей.

Автор также выражает признательность профессору Карлосу Бреббиа из Wessex Institute of Technologues (Англия) за теплое взаимопонимание при обсуждении основных положений МНС и гостеприимство, профессору М. Эльбестави и доктору Жако Массоне (МакГилл Университет, Канада) за положительные рецензии на базовые статьи, профессору Полу Дзомбор-Мюррею из МакГилл Университета (Канада) за долготерпение в процессе пересылки материалов для публикаций, доктору Хансу-Питеру Блаховски и доктору Норберту Путцу из фирмы AVL LIST GmbH (Австрия) за независимую апробацию подхода, предлагаемого для корректировки конечно-элементных сетей.

Кроме того, автор глубоко благодарен профессору Дэвиду Хофманну, профессору Роберту Кушнеру, доктору Кеннету Брейку и сотрудникам Международного Геометрического Центра при Массачусетском Университете (США) за непредвзятое и объективное отношение к результатам настоящего исследования и справедливую критику, а так же многим другим.

ВЫВОДЫ

1. В результате проведенных исследований напряженно-деформированного состояния высоконагруженных узлов артиллерийского вооружения было отмечено, что корректировка ГЭ сетей с использованием метода натянутых сеток существенным образом повышает достоверность получаемых результатов. Критерием достоверности при этом являлись результаты экспериментальных исследований, с которыми производилось сопоставление. Полученные при этом численные результаты служили основанием для модификации изделий при проектировании и изготовлении изделий на производстве.

2. На основе материала, проанализированного и обобщенного в данном исследовании, а так же на базе современных представлений о концепции авто

190 матизированного проектирования подготовлен курс лекций для магистрантов всех специальностей на тему «Основы современных компьютерных технологий в практике проектирования конструкций». Курс лекций был всесторонне обсужден и одобрен на «Всероссийском семинаре-совещании заведующих кафедрами графических дисциплин», прошедшем на базе Нижегородского архитектурно-строительного университета в 2000 и внедрен в учебный процесс ННГАСУ и ННГУ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных исследований, в соответствии с поставленными целями и решаемыми задачами, были достигнуты следующие результаты:

1. Современная концепция автоматизированного проектирования, в основе которой лежат С АЛ Б -технологии, базируется на физико-математическом аппарате, охватывающем обширные отрасли и направления фундаментальной и прикладной науки.

2. В основе этой концепции лежит создание электронных моделей изделий (ЭМИ), главной и наиболее трудоемкой составляющей частью которых является геометрическая информация, выражающаяся в создаваемых геометрических моделях.

3. На всех стадиях жизненного цикла изделий, включая конструкторскую и технологическую стадии, используется одна и та же ЭМИ, и в том числе геометрическая информация, как главная ее составная часть. Учитывая, что сокращение сроков проектирования является жизненно важной проблемой для современных предприятий, чрезвычайно актуальной задачей является разработка эффективных, принципиально новых и экономичных методов формирования и преобразования геометрических моделей изделий.

4. Несмотря на многообразие и быстрые темпы развития современных систем автоматизированного проектирования, в практике геометрического моделирования и инженерного анализа существует ряд проблем и направлений, требующих либо своего кардинального разрешения, либо поиска новых решений, позволяющих достигать цели более экономичными с точки зрения САЬ8-технологий средствами.

5. В данном исследовании предложен новый математический аппарат, основанный на методе натянутых сеток для решения задач, возникающих при геометрическом моделировании и инженерном анализе конструкций.

6. На базе математического аппарата МНС разработан подход к преобразованию конечно- и гранично-элементных (КЭ и ГЭ) сетей к регулярной оптимальной форме. В результате проведенных исследований напряженно-деформированного состояния высоконагруженных узлов артиллерийского вооружения было показано, что преобразование ГЭ сетей с использованием метода натянутых сеток существенным образом повышает достоверность получаемых результатов. Критерием достоверности при этом являлись результаты экспериментальных исследований, с которыми производилось сопоставление. Полученные при этом численные результаты служили основанием для модификации изделий при проектировании и изготовлении изделий на производстве.

7. На базе метод натянутых сеток (МНС), разработан эффективный численный подход, обладающий преимуществами перед существующими в настоящее время, к решению задачи об определении формы минимальных поверхностей.

8. Сформулирована и доказана теорема о стремлении к минимуму первой квадратичной формы поверхности в каждой точке при одновременной ее сходимости к поверхности минимальной площади, что позволило доказать сходимость и применимость МНС к решению задач минимальных поверхностей. Доказано, что МНС позволяет решать данный класс геометрических задач при любой сетке, в том числе состоящей из произвольных ячеек.

9. На основе свойств эквиареального и конформного отображения поверхностей на плоскую область выведен базовый функционал, позволяющий осуществлять развертку линейчатых поверхностей и поверхностей двоякой кривизны. Показано, что выведенный функционал является одной из формулировок МНС для данного класса задач. Разработан эффективный алгоритм осуществление разверток линейчатых поверхностей и поверхностей двоякой кривизны на плоскость.

10. Сформирована обобщенная формулировка МНС, а именно: Любая упругая сетчатая структура, ограниченная внешней, жесткой или упругой границей и находящаяся под воздействием внешних упругих связей и обобщенных нагрузок стремится занять такое положение, при котором евклидово расстояние между любой парой ее произвольных соседних точек стремится к минимально возможному значению.

11. На базе обобщенной формулировки МНС разработан принципиально новый аппарат и алгоритмы формирования и сглаживания поверхностей, аппроксимированных с помощью NURBS-сплайнов по конечному дискретному набору ре-перных точек. Аппарат использован в процессе проектирования сложных поверхностей судового корпуса. При этом: a. С целью существенного повышения производительности труда при формировании поверхностей в рамках системы «Sea Solution» была создана специализированная подсистема, позволяющая автоматизировать процесс приближения предварительно сформированной на границах параметрического четырехугольника произвольной поверхности к заданным реперным точкам. Подсистема создана как автономное звено единой технологической последовательности формирования поверхностей и позволяет увеличить производительность труда при формировании и редактировании поверхностей от 3-х до 5-ти раз. b. Для проведения по сети аппроксимационных точек поверхности в форме рационального сплайна использован подход параметрической интерполяции данных с применением аппарата рациональных сплайнов (NURBS). c. Для снижения параметрической напряженности сети управляющих узлов сформированной поверхности использован алгоритм на базе аппарата МНС, что позволило значительно снизить долю несовершенств формируемых поверхностей и облегчить их дальнейшее ручное редактирование. с1. Технология построения судовых поверхностей успешно используется для построения судовых поверхностей при проектировании судов различного класса и назначения по заданиям отечественных и зарубежных заказчиков. е. Разработана единая технология проектирования конструкций судового корпуса на базе систем трехмерного моделирования БеаБокЛюп и 8Ыр-КЗ. Практическое использование технологии и алгоритмов при проектировании судов по заказам судостроителей Польши, Нидерландов и Норвегии показало их высокую эффективность.

12. Продемонстрирована эффективность применения МНС к построению плоских отображений сетей Чебышева на примере решения задачи Чебышева об одевании поверхности сферы кусками ткани.

13. Разработаны и использованы в практике проектирования алгоритмы и подходы для нахождения формы полотнищ тентовых тканевых конструкций и построение карт их раскроя. На основе разработанных алгоритмов сформирована технология проектирования данного типа конструкций проиллюстрированная на практических примерах. Метод натянутых сеток может с успехом использоваться в практике проектирования тентовых тканевых конструкций, при этом на всех стадиях проектирования, начиная с определения формы конструкции до составления карт раскроя тканевого материала, точность вычисления геометрических форм весьма высока при очень скромных требованиях к ресурсам компьютеров. Представленные практические примеры свидетельствуют о высокой эффективности разработанной технологии, которая дает инженеру-проектанту высокопроизводительный инструментарий для проектирования, позволяющий быстро проанализировать множество вариантов конструкции и сосредоточиться главным образом на процессе проектирования, основной его задаче.

14. Технология проектирования тентовых тканевых конструкций заложена в основу пилотной версии специализированной системы трехмерного геометриче

195 ского моделирования под рабочим названием FABRIC CAD. Показано, что эффективность рабочего инструментария разработанной системы для формирования и редактирования поверхностей делает ее весьма перспективной для использования в других отраслях промышленности, таких как судостроение, автомобилестроение и пр. Пробная эксплуатация первой версии системы FABRIC CAD показала ее высокую эффективность. Относительно скромные требования к компьютерным ресурсам и времени вычислений, в сочетании с невысокой оценочной стоимостью позволяют прогнозировать возможность ее использования в рамках малых и средних по величине отечественных предприятий.

15. На основе материала, проанализированного и обобщенного в данном исследовании, а так же на базе современных представлений о концепции автоматизированного проектирования подготовлен курс лекций для магистрантов всех специальностей на тему «Основы современных компьютерных технологий в практике проектирования конструкций». Курс лекций был всесторонне обсужден и одобрен на «Всероссийском семинаре-совещании заведующих кафедрами графических дисциплин», прошедшем на базе Нижегородского архитектурно-строительного университета в 2000 и внедрен в учебный процесс ННГАСУ и ННГУ.

1. Аргирис Дж. Матричный анализ трехмерных упругих оболочек при малых и больших прогибах. В сб. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц, Стройиздат, М., 1968. С. 215-239.

2. Арфкен Г. Математические методы в физике. М., Атомиздат, 1970. 712с.

3. Бартеньев О.В. Visual Fortran: Новые возможности. М., Диалог-МИФИ, 1999. 288с.

4. Бартеньев О.В. Графика OPENGL: программирование на Фортране. М., Диалог-МИФИ, 2000. 368с.

5. Бартеньев О.В. Современный Фортран. М., Диалог-МИФИ, 1988. 397с.

6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М., Мир, 1984. 494с.

7. Блянше В. Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М.,1957. 586с.

8. Бляшке В. Введение в геометрию тканей. М., Госиздат Физ-мат. Литературы, 1959. 144с.

9. Ю.Бреббиа К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М., Мир, 1987. 524с.

10. П.Бреббиа К., Уокер С. Применение граничных элементов в технике. М., Мир, 1982. 248с.

11. Бубнов И.Г. Отзыв о работе проф. С.П.Тимошенко «Об устойчивости упругих систем». В сб. С.-Петербургского института инженеров путей сообщения, вып. 81, 1913. С.33-36.

12. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М., Наука, 1967. 608с.

13. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, Наука, Сиб. Отделение, 1983. 216с.

14. Вермель В., Зарубин С., Николаев П. FeMMa-3D, версия 6.0: водораздел DOSWindows. // САПР и Графика, № 4, 1999. С.58-61.

15. Вермель В.Д., Айвазов С.Р., Зорин В.Н. Применение машинной графики при анализе модификаций аэродинамических поверхностей. // Программирование, ЦАГИ, 1992, N2, с.79-86.

16. Вермель В.Д., Калитин Е.И., Белкин В.К. Пересечение поверхностей агрегатов в аэродинамической компоновке самолета. // Компьютерная графика, N2, 1993, с.21-28.

17. Войткунский Я.И. Сопротивление движению судов. Л., Судостроение, 1988. 288с.

18. Войткунский Я.И., Фаддеев М.И., Федяевский К.К. Гидромеханика. Л., Судостроение, 1982. 472с.

19. Галеркин Б.Г. К вопросу об исследовании напряжений и деформаций в упругом изотропном теле. Доклад АН СССР, Сер. А, № 14, 1930. С.353-358.

20. Гардан И. Люка М. Машинная графика и автоматизация конструирования. М., Мир, 1987. 270с.

21. Гельфанд И. М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып. 3, М., Физматгиз, 1958.436с.

22. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М., Физматгиз. 1961. 594с.

23. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. M.-JL, Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1951. 352с.

24. Давыдов А.Н., Барабанов В.В, Судов Е.В., Подколзин В.Г. CALS-технологии или информационная поддержка жизненного цикла продукта. // IV-Международная конференция «Проблемы продвижения продукции и технологий на внешний рынок», М., 1998. 27-32.

25. Дмитров В.И. Опыт внедрения CALS за рубежом. // Автоматизация проектирования, №1,1997. С. 36-39.

26. Егоров И.Т., Соколов В.Т. Гидродинамика быстроходных судов. JL, Судостроение, 1965. 384с.

27. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.:Наука, 1980. 352с.

28. Завьялов Ю.С. Проблемы автоматизации обработки геометрической информа-циию Сплайн-функции в инженерной геометрии. В сб.: Вычислительные системы, Вып. 86, Новосибирск, Ин-т математики СО АН СССР, 1981. С.3-6.

29. Завьялов Ю.С., Jleyc В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М., Машиностроение, 1985. 224с.

30. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975. 544с.

31. Иванов А.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. Л., Судостроение, 1980. 388с.

32. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М., Машиностроение, 1987. 192с.

33. Иванов Г.С., Степаненко А.Ю., Разин Ф.С., Сиднев С. Геометрическое обеспечение автоматизированного проектирования динамических поверхностей спортсооружений. // Новое в математике и машиностроении, М., Наука, 1989.

34. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1, М.-Л., 1947.512с.

35. КанторовичЛ.В.,Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л., Гостехиздат, 1949. 754с.

36. Комплекс программ БЫр-КЗ трехмерного моделирования конструкций судового корпуса. Руководство Пользователя. Версия 4.04.238. Научно-внедренческий центр «ГеоС», Нижний Новгород, 2000. 165с.

37. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. М., Наука, 1970. 720с.

38. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М., Наука, 1989. 207с.

39. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М., Изд-во АН СССР, 1951.384с.

40. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М., ГИТТЛ, 1955. 524с.

41. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М., Мир, 1987. 328с.

42. Кривошапко С.Н. Построение разверток торсов и складок. // Изв. Вузов, Строительство и архитектура, № 11, 1987. С.114-116.

43. Кривошапко С.Н. Построение, расчет и возможность применения торсовых оболочек в тонкостенных конструкциях. // Расчет оболочек строительных конструкций, М., УДН, 1982. С.54-66.

44. Крючков Ю.С., Лапин В.И. Парусные катамараны. JI., Судостроение, 1970. 271с.

45. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории установившихся колебаний. // Успехи математических наук, т. 8, № 3(55), 1953. С.21-74.

46. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М., Физматгиз, 1963. 472с.

47. Курант Р., Роббинс Г., Что такое математика, пер. с англ., 2 изд., М.,1967. 468с.

48. Ламб. Гидромеханика. М., Гостехиздат, 1947. 296с.

49. Ланцош К. вариационные принципы механики. М., Мир, 1965. 408с.

50. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++. М., Бином, 1997. 328с.

51. Мархай Ч. Теория плавания под парусами. 2-е изд., М., Физкультура и спорт, 1970. 403с.

52. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977. 456с.

53. Михаиленко В.Е. Точное и приближенное определение площадей поверхностей некоторых оболочек. // Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 13, Киев, 1971. С.8-15.

54. Михайленко В.Е., Кислоокий В.Н., Лященко A.A., Сазонов К.А., Цурин О.Ф. Геометрическое моделирование и машинная графика в САПР. Киев, Выща школа, 1991. 373с.

55. Михайленко В.Е., Обуховпа B.C., Подгорный А.Л. Формование оболочек в архитектуре. Киев, Буд1вельник, 1972. 207с.

56. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Изд. 2е, М., Наука, 1970. 634с.

57. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. M.-JI., Гостехиздат, 1947. 536с.

58. Мордвинов Б.Г. Справочник по малотоннажному судостроению. Л., Судостроение, 1988. 574с.

59. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Физматгиз, 1966. 478с.

60. Найханов В.В., Дамдинова Т.Ц. Способ формирования обвода первого порядка гладкости по массиву точек методом аппроксимации. // Роль геометрии в искусственном интеллекте и САПР. Сборник докладов Всерос. Научной конференции, Улан-Удэ, 1996. С.65-69.

61. Нейланд В.Я. Снижение вязкостного трения. М., Машиностроение, 1985. 544с.

62. Новацкий В. Теория упругости. М., Мир, 1976. 872с.

63. Норвуд Дж. Быстроходные парусные суда. Пер. с англ., Л., Судостроение, 1983. 102с.

64. Обухова B.C. Параметризация и каноническая форма уравнения торса // Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 30, Киев, 1980. С. 17-20.

65. Обухова B.C., Булгакова В.Я. Об одном приложении торса четвертого порядка. // Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 15, Киев, 1972. С.17-20.68.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошной среды. М., Мир, 1976. 464с.

66. Оноприйко М.Д., Шубин В.П. Моделирование кривых сложной формы. // Материалы семинара-совещания заведующих кафедр "Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика". НГАСА., Нижний Новгород, 1997, С.81-84.

67. Осипов В.А. Машинное проектирование и воспроизведение поверхностей. В сб. Машинное проектирование, увязка и воспроизведение сложных деталей в авиастроении, Иркутск, 1976. С. 23-54.

68. Осипов В.А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей. М., Машиностроение, 1979. 248с.

69. Осипов В.А. Параметризация плоских обводов. В сб. трудов МИРЭА, вып. 44, М., 1979. С.45=56.

70. Осипов В.А., Зажигин A.C. Системы автоматизированного проектирования объектов сложной формы. Теоретические основы геометрического обеспечения систем автоматизированного проектирования. Часть 1, М. Военное издательство, 1983. 248с.

71. ОСТ 5.9091-72 Корпуса стальных судов. Технология изготовления корпусных деталей, 1973. С. 161.

72. Партон В.З., Перлин П.И. Математические методы теории упругости. М., Наука, 1981. 688с.

73. Погорелов A.B. Дифференциальная геометрия. 6-е издание, М., Наука, 1974. 176с.

74. Полозов B.C. моделирование и синтез операторов геометрического расчета и машинной графики в системах автоматизированного проектирования и автоматизации технологической подготовки производства. Автореферат дисс. докт. техн. наук, М., МАИ, 1983.

75. Попов E.B. Анализ напряженно-деформированного состояния вблизи наклонных отверстий в высоконагруженных толстостенных цилиндрах методом граничных элементов. // Оборонная техника, № 6, 1987. С.54-65.

76. Попов Е.В. Вычисление напряжений в клиньях казенников артиллерийских орудий методом граничных интегральных уравнений. // Оборонная техника, № 2, 1986. С.44-53.

77. Попов Е.В. Построение карт раскроя полотнищ парусного оснащения. // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика, Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин, Вып. 6, Н.Новгород, ННГАСУ, 2000. С.75-83.

78. Попов Е.В. Построение разверток поверхностей одинарной и двоякой кривизны. // Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика, Международный межвузовский сб. трудов кафедр графических дисциплин, Вып. 5, Н.Новгород, ННГАСУ, 2000. С. 272-276.

79. Попов Е.В. Применение метода граничных интегральных уравнений для определения напряженно-деформированного состояния высоконагруженных узлов артиллерийского вооружения. Дисс. канд. техн. наук, Ижевск, 1987. 288с.

80. Попов Е.В., Аристова Е.С., Митин C.B., Розанов В.В., Тарасов А.И. КЗ: профессионалам — профессиональные персональные инструменты. Конструкторские и дизайнерские системы на базе КЗ фирмы «ГеоС». // САПР и Графика, № 4, Компьютер Пресс, 2000. С.53-57.

81. Рашевский П.К. Дифференциальная геометрия. М., Физматгиз. 1956. 697с.

82. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Наука, 1967. 378с.

83. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. М., Мир, 1989. 504с.

84. Ротков С.И. Средства геометрического моделирования и компьютерной графики пространственных объектов для CALS-технологий. Дисс. докт. техн. наук, Нижний Новгород, ННГАСУ, 1999. 288с.

85. Сакович А.И., Холмянский И.А. Минимизация ширины ленты системы уравнений в методе конечных элементов. //Пробл. прочности, № 1, 1981.С. 120-122.

86. Сиверцев И.Н. Расчет и проектирование судовых конструкций. М., Транспорт, 1968. 336с.

87. Система автоматизированного проектирования поверхностей судового корпуса SeaSolution. Руководство Пользователя. SeaTechLtd, Нижний Новгород, 1998. 298с.

88. Скляров В.А. Язык С++ и объектно-ориентированное программирование. Минск, Высшая школа, 1997. 478с.

89. Смирнов В.И. Курс высшей математики. В 5ти томах, т. 4, М., Физматгиз, 1981. 398с.

90. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М., Наука, 1976. 248с.

91. Страуструп Б. Язык программирования Си++. Пер. с англ., М., Радио и связь, 1991. 348с.

92. Струков Ю.П. Итоги науки и техники. Серия Авиастроение. Т. 12, М., ВИНИТИ, 1991.288с.

93. Судов Е.В. CALS-технологии или Информационная поддержка жизненного цикла изделия. // PCWeek/RE, № 45(169) 1998. С45-74.

94. Титов И.А., Егоров И.Т., Дробленков В.Ф. Ходкость быстроходных судов. Л., Судостроение, 1979. 378с.

95. Турбал В.К., Шпаков B.C., Штумпф В.М. Проектирование обводов и движителей морских транспортных судов. Л., Судостроение, 1973. 426с.

96. Уилкинсон Дж., Рейнш Ц. Линейная алгебра. М., Машиностроение, 1976. 390с.

97. Уманский С.Э. Алгоритм и программа триангуляции двумерной области произвольной формы. // Проблемы прочности, № 6, 1978. С.83-87.

98. Уманский С.Э. Дувидсон И.А. Автоматическое подразделение произвольной двумерной области на конечные элементы. // Проблемы прочности, № 6, 1977. С.89-92.

99. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М., Мир, 1982. 304с.

100. Фортран 90. Международный стандарт. М., Финансы и статистика, 1998. 416с.

101. Ходорковский Я.С. Теория турбулентности в задачах гидромеханики судна. Л., ЖИ, 1985. 362с.

102. Чебышев П.Л. О кройке одежды. Полное собрание сочинений, Том V, М., Физматгиз, 1955. С.165-170.

103. Шикин Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Динамика реалистических изображений. М., Диалог-МИФИ, 1995. 288с.

104. Шикин Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Полигональные модели. М., Диалог-МИФИ, 2000. 461с.

105. Шильников П.С., Овсянников М.В. Система электронной документации CALS реальное воплощение виртуального мира. // САПР и Графика, № 8, 1997. С.23-33.

106. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1969. 424с.

107. Якунин В.И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей. М., Московский авиационный институт, 1980. 86с.

108. Ackoff R.L., Emery F.E. On Purposeful Systems Chicago and New York, 1972. 271c.

109. Appel A. Detection and rendering intersections of complex surfaces. // IBM Technical Disclosure Bulleting, N 18, 1976. P.3527-3529.

110. Argiris J.H. Energy theorems and structural analysis. // Aircraft Engineering, N 26, 1954, P.347-356.

111. Argyris J.H. A general method for the shape finding of lightweight tension structures. // Computer Methods in Applied Mechanical Engineering, N 3, 1974. P.135-139.

112. Argyris J.H. On the analysis of complex structures. // Applied Mechanical Review, N11, 1958. P.331-338.

113. Argyris J.H., Fried I. The LUMINA element for the matrix displacement method. //Journal of The Royal Aeronautical Society, N 72, 1968. P.514-517.

114. Argyris J.H., Kelsey S. Energy theorems and structural analysis, Butterwirth, London. 1960. 346 p.

115. Argyris J.H., Kelsey S. The analysis of fuselages of arbitrary cross-section and taper. // Aircraft Engineering, N 33, 1954, P. 71-83.

116. Argyris J.H., Kelsey S., Kamel H. Recent advances in matrix methods of structural analysis. //In: Progress in the Aeronautical Sciences, vol. 4, Pergamon Press, Ltd., Oxford, 1964. P. 1-164.

117. Asteasu C. Intersection of arbitrary surfaces. // Computer Aided Design, N 20, 1988. P.533-538.

118. Bajaj C.L., Hoffmann C.M., Hopcroft J.E., Lynch R.E. Tracing surface intersection. // Computer Aided Geometric Design, N 5, 1988. P.285-307.

119. Barnes M. Computer aided design for the shade roofs for Expo 88. // Structural engineering Review, N 1,1988. P.3-13.

120. Barnhill R.E., Farin G., Jordan M., Piper B.R. Surface / surface intersection. // Computer Aided Geometric Design, N 4, 1987. P.3-16.

121. Barsky B.A. Beatty J.C. Local control of bias and tension in Beta-splines. // ACM Transactions of Graph., 2(2), 1983. P.109-134.

122. Bartels R.H., Beatty J.C., Barsky B.A. An introduction to splines for use in Computer graphics and geometric modeling. Morgan Kaufmann Publishers, Inc., Los Altos, CA, 1987. 356p.

123. Baumgart B. Winged-Edge Polyhedron Representation. Stanford University, Computer Science Departmnet, Report No CS-320, 1972. 198p.

124. Beska M. Geometric properties on Bernstein polynomials over simplices. // Mathematical Methods in CAGD and Image Processing, Academic Press, Boston, MA, 1992. P.l-8.

125. Besl P.L., Jain R.C. Three dimensional object recognition. // Computer Surveys, 17(5), 1985. P.75-145.

126. Bezier P. Mathematical and practical possibilities of Unisurface. // Computer Aided Geometric Design, Academic Press, New York, 1974. P.127-152.

127. Blinn J.F., Newell M.E. Clipping Using Homogeneous Coordinates. // Computer Graphics, vol. 12, 1978. P.245-251.

128. Bliss G. A. Calculus of Variations. The Mathematical association of America, Open Court Publishing Company, Illinois, LaSalle, 1925. 326p.

129. Brakke Kenneth. The Surface Evolver. // Experimental Mathematics, vol. 1, N 2, 1992. P.141-165

130. Butland J. Surface Drawing Made Simple. // CAD Journal, vol. 11, 1979. P. 19-22.

131. Carnicer J.M., Floater M.S., Pena J.M. Linear convexity conditions for rectangular and triangular Bernstein-Bezier surfaces. // Computer Aided Geometric Design, N 15, 1997. P.27-38.

132. Chang G.Z., Davis P.J. The convexity of Bernstein polynomials over triangles. // Journal of Approximation Theory, N 40, 1984. P.l 1-28.

133. Chang G.Z., Zhang J.Z. Converse theorems of convexity for Bernstein polynomials over triangles. I I Journal of Approximation Theory, N 61, 1990. P.265-278.

134. Chao M., Shen Y., Zhao W. Solid modeling based on polyhedron approach. // Computer & Graphics, vol. 16, N 1, 1992. P.101-105.

135. Chen J J., Ozsoy T.M. Predictor-corrector type of intersection algorithm for C2 parametric surfaces. // Computer Aided Design, N 20, 1988. P.347-352.

136. Clough R.W. The finite element method in plane stress analysis. // Journal of Structures Development, ASCE, Proceedings of 2nd Conference on Electronic Computation, 1960. P.345-378.

137. Clough R.W., Tocher J.L. Finite element stiffness matrices for analysis of plate bending. // Proceedings of Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, AFFDL-TR-66-80, Wright-Patterson AFB, Ohio, 1966. P.515-546.

138. Coons S.A. Surfaces for Computer Aided Design of Space Forms. Report MAC-TR-41, Project MAC, M.I.T., 1967. 894p.

139. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. // Bulletin of American Mathematical Society, N 49, 1943. P. 1-23.

140. Cruze T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elasto-dynamic problem, I. // Journal of Mathematical and Analysis Applications, 22, 1968. P.244-259.

141. Cyrus M., Beck J. Generalized Two- and Three-Dimensional Clipping. // Computer Graphics, vol. 3, 1978. P.23-28.

142. De Boor C., Swartz B. Collocation at Gaussian points. I I SIAM Journal on Numerical Analysis, N 10, 1973. P.582-606.

143. DTNURBS Spline Geometry Subprogram Library. Theory Document. Version 3.5. Boeing Information & Support Service. Carderock Division Naval Surface Warfare Center, CARDEROCKDIV-94/OOO, 1997. 1156c.

144. Filip D., Magedson R., Markot R. Surface algorithms using bounds on derivatives. // Computer Aided Geometric Design, N 3, 1989.P295-311.

145. Forrest A.R. On Coons and other Methods for the Representation of Curved Surfaces. // Computer Graphics and Image Processing, 1, 1972. P.341-359.

146. Franc M., Skala V. Triangular Mesh Decimation in Parallel Environment // EUROGRAPHICS Workshop on Parallel Graphics and Visualization, Girona, Spain, 2000. P. 39-52.

147. Fujikake M. Analysis of fabric tension structures. // Computers and Structures, N 32, 1982. P.537-547.

148. Garrity T., Warren J. On computing the intersection of pair of algebraic surfaces. // Computer Aided Geometric Design, N 6, 1989. P.137-153.

149. Goodman T.N.T. Shape preserving representation. // Mathematical Methods in CAGD, Academic Press, Boston, MA, 1989. P.383-385.

150. Greenspan D. On approximation extremals of functions. Part II. // Theory and generalization related to boundary value problems for nonlinear differential equations, International Journal of Engineering Science, N 5, 1967. P.571-588.

151. Grossman D.D. Procedural representation of three-dimensional objects. // IBM Journal of Research and Development, N 20, 1976. P.582-589.

152. Grundig L. Minimal surfaces of finding forms of structural membranes. //In Proceedings of 3rd International Conference on Civil and Structural engineering, Civil-Comp Press, Edinburgh, 1987. P. 125-143.

153. Haber R.B., Abel J.F. Initial equilibrium solution methods for cable reinforces membranes. Part I Formulations, Part II - Implementation. //Computer Methods in Applied Mechanical Engineering, N 30, 1982. P.263-306.

154. Hess J.L., Smith A.M.O. Calculation of potential flow about arbitrary bodies, Progress in Aeronautical Science, vol. 8, Pergamon, London, 1967. 124p.

155. Hewgill D.E. Computing surfaces of constant mean curvature with singularities. //Computing, N 32, 1984. P.81-92.

156. Hinata M., Shimasaki M., Kiyono T. Numerical solution of Plateau's problem. //Mathematical Computing, N 28, 1974. P.45-60.

157. Horn B.K.P. The curve of least energy. // ACM Transactions of Mathematics and Software, 9(4), 1983. P.441-460.

158. Houghton E.G., Emnett R.F., Factor J.D., Sabharwal C.L. Implementation of devide-and-conquer method for intersection of parametric surfaces. // Computer Aided Geometric Design, N 2,1985. P. 173-183.

159. Hrennikoff A. Solution of problems in elasticity by the framework method. // Journal of Applied Mechanics, N 8, 1947. P. 169-175.

160. Ivanov D.V., Kuzmin Y.P. Representation of Real-life 3D Models by Spatial Patches. //Proceedings of the 11th International Conference on Computer Graphics & Vision GRAPHICON'2001, Nizhny Novgorod, 2001. P.187-195.

161. Jaswon M.A. Integral equation methods in potential theory, I. // Proceedings of Royal society Series, A 275, 1963. P.23-32.

162. Koendrink J.J., Doom A. Shape from Chebyshev Nets. // Computer VisioniL

163. ECCV'98 5 European Conference on Computer Vision, Freiburg, Germany, June 26, 1998 Proceedings, Vol. II, Springer, 1999. P.215-225.

164. Kron G. Solving highly complex structures in easy stages. // Journal of Applied Mechanics, N 22, 1955. P. 235-244.

165. Kron G. Tensor analysis of networks, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1939.

166. L.Piegl. On NURBS: A Survey. // Computer Graphics & Applications, Vol.1, No.4, January 1991, P.55-77.

167. Lass H. Vector and Tensor Analysis. New York, McGraw-Hill, 1950. 448p.

168. Lee E.T.Y. Choosing the Nodes in Parametric Curve Interpolation. // Computer-Aided Design, Vol. 21, N 6, 1989, P.363-370.

169. Liang Y.D, Barsky B. A New Concept and Method for Line Clipping. // ACM Transactions on Graphics, vol. 3, 1984. P. 1-22.

170. Liang Y.D, Barsky B. An Analysis and Algorithm for Polygon Clipping. // CACM, vol. 26, 1983. P.868-877.

171. Lorento-Pardo J., Sablonniere P., Serrano-Perez M.C. On the convexity and sub-harmonicity of some function on triangles. // Curves and surfaces with applications in CAGD, Le Mehaute, Vanderbild University Press, 1997. P.271-278.

172. Lorento-Pardo J., Sablonniere P., Serrano-Perez M.C. Subharmonicity and convexity properties of Bernstein polynomials and Bezier nets on triangles. // Computer Aided Geometric Design, N 16,1999. P.287-300.

173. Malcolm M.A. On the Computation of Nonlinear Spline Functions. // SIAM Journal of Numerical Analysis, 14, 2, 1977. P.254-282.

174. Mantyla M. An Introduction to Solid modeling. Computer science Press, USA, 1988. 346p.

175. Massonet C.E. Numerical Use of Integral Procedures, in Stress Analysis (Edited by Zienkiewicz O.C. and Holister G.S.), Wiley, London, 1966. P.24-76.

176. Moncreift E., Topping B.H.V. Computer method for the generation of membrane cutting patterns. // Computers and Structures, N 37, 1990. P.441-450.

177. Mortenson M.E. Geometric Modeling. John Wiley and Sons, New York, 1985. 386p.

178. Pasko A., Adzhiev V., Sourin A., Savchenko V. Function Reprezentation in Geometric Modeling: Concepts, Implementation and applications. // The Visual Computer, Springer Verlag, vol. 11, 1995. P.429-446.

179. Popov E.V. Tarasov A.I. FABRIC CAD system for Tent Type Structures Design.tV»

180. Proceedings of the 11 International Conference on Computer Graphics & Vision GRAPfflCON'2001, Nizhny Novgorod, 2001. P.149-152.

181. Popov E.V., Onopriiko M.D. Creation of NURBS surfaces in 3D computer modAeling system K3. //Proceedings of the 11 International Conference on Computer Graphics & Vision GRAPHICON'2001, Nizhny Novgorod, 2001. P.144-147.

182. Popov, E.V. Cutting pattern generation for tent type structures. The Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, vol. 22, # 4, 1999. P.253-261.

183. Popov E.V. Geometrical Modeling of Tent Fabric Structures with the Stretched Grid Method. //Proceedings of the 11th International Conference on Computer Graphics&Vision GRAPHICON'2001, UNN, Nizhny Novgorod, 2001. P. 138-143.

184. Popov, E.V. It's no problem now to cut out fabric for sail. Shipbuilding Electronic Magazine, International Shipbuilding Expert Society , The Netherlands, # 10, 2000.http://wv^w.qwimail.com/e-publications/102000/sea/shipbuildirig.html

185. Popov, E.V. On Some Variation Formulations for Minimum Surface. The Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, vol.20, # 4, 1996. P. 197-205.

186. Prager W., Synge L.G. Approximations in elasticity based on the concept of function space. // Quart. Applied Mathematics, N 5, 1952. P.241-269.

187. Prautzsch H. On convex Bezier triangles. // Modélisation Math. Anal., N 26, 1992. P.23-36.

188. Pruess S. Properties of spline in tension. // Journal of Approximation Theory, vol. 17, N 1„ 1976. P. 86-96.

189. Raindrop G. Automatic surface reconstruction. // Prototyping Technology International, issue 2, 1998. P.93.

190. Requicha A.A.G. Representation for rigid solids. Theory, methods and systems. // ACM Computing Surveys, 12(4), 1980. P.437-464.

191. Requicha A.A.G. Representation of Rigid Solid Objects. // Computer Aided Design: Modeling, Systems Engineering, CAD-Systems, Springer, Berlin, 1980. P.3-78.

192. Requicha A.A.G., Voelcker H.B. Solid modeling: a historical summary and contemporary assessment. // IEEE computer Graphics and Applications, 2(2), 1982. P.9-24.

193. Riesaenfeld R.F. Nonuniform B-spline Curves. // Proceedings of 2-nd USA-Japan Computer Conference, 1975. P.551-555.

194. Roberts L.G. Machine Perception of Three Dimensional Solids. // Optical and Electro-Optical Information Proceedings, MIT Press, Cambridge, 1964. P. 159-197.

195. Rockwood A. A generalized scanning technique for display of parametrically defined surface. // IEEE Computer Graphics Applications, 7(8), 1987. P. 15-26.

196. Sabella P., Carlbom I. An object-oriented approach to the solid modeling on empirical data. // Computer Graphics and Applications, 9(5), 1989. P.24-35.

197. Shiroma Y., Okino N., Kakazu Y. Research on 3-D geometric modeling by sweeping primitives //Proceedings of CAD'82, Brighton, UK, 1982. P.671-681.

198. Simon. H. The Sciences of the Artificial Intelligence. The MIT Press, Cambridge, MA, 1982., 217 p.

199. Skala V., Kuchar M. Hash Function for Geometry reconstruction in Rapid Protyping. // Algorithmy2000 proceedings, Slovakia, 2000. P.379-387.

200. Smith,M, Tockey,S. An Integrated Approach to Software Requirements Definition Using Objects. Boeing Commercial Airplane Support Division, Seattle, WA, 1988,132p.

201. Sproull R.F., Sutherland I.E. A Clipping Divider. // 1968 Fall Joint Computer Conference, Thompson Books, Washington D.C., 1968. P.765-775.

202. Stewart D. K. Image Considerations Across Multi-Purpose Applications. //Proceedings of the 11 International Conference on Computer Graphics & Vision GRAPHICON'2001, Nizhny Novgorod, 2001. P.347-350.

203. Sutherland I.E., Sproull R.F. A Characterization of Ten Hidden-Surface Algorithms. // Computing Surveys, vol. 6, 1974. Pl-55.

204. Symm G.T. Integral equation methods in potential theory, II. // Proceedongs of Royal society Series, A 275, 1963. P.33-46.

205. Synge L.G. The hypercicle method in mathematical physics, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957. 259p.

206. Tabarrok B., Qin Z. A finite element procedure for form finding of tension structures. // The Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, N 16, 1992 P.235-250.

207. Tabarrok B., Qin Z. Form Finding and Cutting Pattern Generation for Fabric Tension Structuresio // Microcomputers in Civil Engineering J., N 8, 1993. P. 377-384.

208. Tabarrok B., Qin Z. Nonlinear analysis of tension structures. // Computers and Structures, N 45, 1992 P.973-984.

209. Tabarrok B., Xiong Y. Some Variational Formulations for minimum surface. // ActaMechanica,vol. 89/1-4, 1991. P.33-43.

210. Tiller W. Rational B-Splines for Curve and Surface Reprezentation. // Computer Graphics & Applications, Vol.3, No.10, Sept 1983, P. 61-69.

211. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.P. Stiffness and deflection analysis of complex structures. // Journal of Aeronautical Science, 23, N 9, 1956. P.805-823.

212. Turner M.J., Dill E.H., Martin H.C., Melosh R.J. Large deflections of structures subjected to heating and external loads. // Journal of Aeronautical Science, 27, N 9, 1960. P.97-102.

213. Turner M.J., Martin H.C., Weikel B.C. Further developments and applications of the stiffness method. //In: Matrix Methods in Structural Analysis, AGARDograh 72, Pergamon Press, Ltd., Oxford, 1964. P.203-206.

214. Vernadat, F. B. Enterprise Modeling and Integration: principles and applications. Chapman & Hall, London, 1996. 234p.

215. Wagner H.-J. A contribution to the numerical approximation of minimal surfaces. //Computing, N 19, 1977. P.35-58.217

216. Watkins S.L. Algorithm 483, Masked Three-Dimensional Plot Program with Rotations. // CACM, vol. 17, 1974. P.520-523.

217. Weiler K. Polygon Comparison Using a Graph Representation. // Computer Graphics, vol. 14, 1980. P. 10-18.

218. Weiler K., Atherton P. Hidden Surface Removal Using Polygon Area Sorting. // Computer Graphics, vol. 11, 1977. P.214-222.

219. Weinstock R. Calculus of Variations. New York, McGraw-Hill, 1952. 456p.

220. Wu S.C., Abel J.F. Representation and discretization of arbitrary surface for finite element shell analysis. // International Journal of Numerical Methods in Engineering, vol.14, N6. P. 813-836.

221. Young M. Mastering ™ Visual C++ 6. San Francisco, SYBEX, 1999. 543p.

222. Zienkiewicz O. C., Kelly D.W., Bettes P. The coupling of the finite element method and boundary solution procedure. // International journal of Numerical Methods in Engineering, vol. 11, N 12, 1977. P.355-375.

223. Zienkiewicz O.C. The finite element method: from intuition to generality. // Applied Mechanics Review, 23, N 3, 1970. P.90-103.

224. Карты раскроя ткани тента выставочного мини-павильона

225. Координаты точек граничного контура плоского отображения лоскута 1в масштабе 1:1.5