автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Метод матричной факторизации и алгоритмы информационного анализа на основе базисов дискретных функций

ВВЕДЕНИЕ.,.

ГЛАВА I. Системы дискретных базисных функций.

1.1. Обобщенное преобразование ффье в дискретных базисах.

1.2. Преобразование Уолша; матрицы Адамара.•••••

1.3. Комплексные преобразования Адамара.

1.4. Базисы Хаара.

Выводы.

ГЛАВА 2. Быстрые преобразования в базисах дискретных функций.

2.1. Факторизация матриц дискретных функций.

2.2. Быстрое цреобразование Фурье над полем действительных чисел (ШФ-Д).

2.3. Быстрый алгоритм косинус-преобразования

БКП-Д).

2.4. Быстрые алгоритмы прямого и обратного преобразований Адамара (БПА-К).

2.5. Алгоритмы быстрых преобразований Хаара.

Выводы. III

ГЛАВА 3. Изоморфизм коэффициентов разложения в различных базисах. ИЗ

3.1. Факторизация матриц связи между базисами. ИЗ

3.2. Быстрый алгоритм перехода между базисами

Фурье и Уолша.

3.3. Алгоритмы связи между преобразованием Фурье и комплексными преобразованиями Адамара.

3.4. Связь преобразования Хаара с другими базисами.

Выводы.

ГЛАВА 4. Система переработки информации, получаемой при динамических испытаниях автомобильных конструкций.

4.1. Система комплексных испытаний транспортных машин.

4.2. Автоматизированная система переработки информации о дорожных испытаниях автомобиля.

4.3. Математическое обеспечение автоматизированной системы переработки информации о дорожных испытаниях автомобиля.

Выводы.

Актуальность проблемы. Задачу анализа динамики объекта целесообразно рассматривать с позиции кибернетического подхода, если известны сигналы на его входе и выходе [61] . При выполнении условий линейности и стационарности [12] она может быть решена в рамках традиционной спектрально-корреляционной теории, которая была развита в трудах советских и зарубежных ученых Пугачева B.C. [43] , Солодовникова В.В. [50] , Чеголина П.М. [60] , Титчмарша Е. [54] , Винера Н. [13] , Хинчина А.Я. [59] . Ими впервые были сформулированы основные принципы построения инвариантов интегральных преобразований для анализа линейных стационарных динамических систем и показано, что последние полностью описываются интегральным преобразованием фурье, где в качестве базиса используется полная ортогональная система тригонометрических функций, инвариантная к группе циклических сдвигов.

Реальные объекты и процессы в общем случае являются нестационарными, описание их на основе традиционных методов невозможно. Основными направлениями в анализе нестационарных процессов и систем являются: методы операторов обобщенного сдвига на основе свойства инвариантности динамических систем относительно сдвига, порождаемого оператором Штурма-Лиувиля [22, 37]; использование базисных систем, ортогональных на нестационарных отрезках времени [51] • Перспективным в этом случае является метод собственных преобразований [41, 52] , однако и его применение, как, впрочем, и предыдущих, затруднительно из-за большого объема, вычислений для его реализации. Задача отыскания собственного базиса решается намного проще [24, 31, 46], если известен тип нестационарности объекта и его сдвиговые свойства. Такая концепция обобщает дискретные ортогональные базисы Ви-ленкина-Крестенсона [24, 41, 56] , Понтрягина [42] и др.

Обработка экспериментальной информации в рамках спектрально-корреляционной теории в системах динамических испытаний сложных технических объектов занимает до 70-80$ общего времени их работы. Важным средством повышения быстродействия такой обработки в режиме реального времени являются быстрые алгоритмы дискретных преобразований, которые для дискретного преобразования Зурье впервые были описаны Кули и Тьнжи [32, 68] . Основой разработки быстрых алгоритмов является теория матричной факторизации [53] , обеспечивающая формальный метод их построения.

Использование дискретных базисов, наиболее соответствующих характеру вычислительной техники, стимулировало в последние годы повышенный к ним интерес. В первую очередь это относится к системам функций Уолша и Хаара. Впервые функции Уолша были введены в 1923 году Уолшем [76] и далее освещены в работе Паяй [72] , в книге Качмажа-Шгейнгауза [25], а позднее в статьях Файна [69, 70] . Базис Уолша обладает возможностью построения формальных аналогий с тригонометрическим базисом. При этом, благодаря дискретной структуре функций Уолша, значительно ускоряются вычислительные процедуры по сравнению с быстрым преобразованием фурье [4] . В базисе Уолша разработаны методы анализа стационарных [23] и двоично-стационарных [41, 57] систем, функции Хаара были предложены венгерским математиком Хааром [71] в в 1910 году, в дальнейшем изучались многими учеными [24, 47,

56] и обеспечивают наиболее быструю сходимость при разложении функции в ряд. Большой вклад в развитие и применение дискретных базисных функций внесли Сойфер В.А. [26 , 48 , 49] , Вит-тих В. А. [14, 15] , Ситников О.П. [46] , Лабунец В.Г. [33-35] и другие ученые. Однако базисы типа Уолша и Хаара не удобны для обработки комплексных массивов информации, поэтому желательно иметь аппарат в виде дискретных комплексных базисов [67, 73, 74] для успешного решения этой проблемы.

Из перечисленного круга задач в диссертационной работе представлены результаты исследований автора по разработке и применению быстрых алгоритмов анализа информации в автоматизированной системе испытаний автомобильных конструкций (рис. 4.1) на основе построения быстрых процедур преобразований в базисах комплеконых дискретных функций Адамара и Хаара и быстрых Фурье-и косинус-преобразований над полем действительных чисел.

Данная работа выполнена автором на кафедре общего программирования Белгосуниверситета им. В.И. Ленина и в лаборатории автоматизации экспериментальных исследований Института технической кибернетики АН БССР. Тема диссертации соответствует плану научно-исследовательских работ кафедры общего программирования Jl 81090259, рассмотренному и одобренному советом Белгосуниверситета им. В.И. Ленина (протокол № 2 от 26 февраля 1982 г.), утвержденному Министерством высшего и среднего специального образования БССР от 5 марта 1982 г., и программе Института технической кибернетики АН БССР по решению важнейшей комплексной проблемы I.I2.I3 в области естественных наук (ТО АНИ 01), утвержденной постановлением президиума АН БССР от 25 декабря 1980 г., № 234, а также работе по хозяйственному договору

- 9 10/17 с Волжским автомобильным заводом.

Цель работы - разработка и применение алгоритмов оперативной переработки информации в автоматизированной системе экспериментальных исследований на основе базисов дискретных функций; построение быстрых вычислительных процедур этих преобразований; использование их в автоматизированной системе обработки экспериментальных реализаций, получаемых при дорожных испытаниях автомобиля.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработать ортогональные дискретные системы базисных функций Адамара и Хаара в комплексной области, соответствующие двоичной логике ЭВМ.

2. Построить быстрые вычислительные процедуры для комплексных базисов Адамара и Хаара, а также для Фурье - и косинус-преобразований над полем действительных чисел.

8. Установить однозначное соответствие между коэффициентами преобразования в базисе тригонометрических функций и в базисах Уолша, Адамара и Хаара.

4. Применить комплекс оперативных алгоритмов для анализа информации в системе дорожных испытаний автомобиля и в автоматизированной системе управления стендовыми испытаниями автомобильных конструкций.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе используются теория случайных функций в рамках корреляционного и спектрального анализа; алгебраические методы определения комплексных систем различных базисных функций, построения быстрых процедур преобразований и установления изоморфизма коэффициентов разложения в различных базисах функций; методы моделирования цифровой системы управления комплексными испытаниями технических объектов; методика системного программирования для реализации комплекса оперативных алгоритмов переработки экспериментальной информации о дорожных испытаниях автомобиля.

Научная новизна. В настоящей работе получены следующие новые результаты.

1. Разработаны ортогональные дискретные базисные функции в комплексной области и неизбыточные быстрые алгоритмы для вычисления коэффициентов преобразований в этих базисах, доказаны основные положения и свойства преобразований и введены соответствующие им групповые операции.

2. Получены быстрые Фурье- и косинус-преобразования над полем действительных чисел, обеспечивающие значительное сокращение числа арифметических операций и экономию объема памяти по сравнению с быстрым преобразованием Фурье.

3. Установлено взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм) между коэффициентами преобразования в базисе тригонометрических функций и в других базисах; созданы быстрые алгоритмы пересчета коэффициентов различных преобразований.

4. Предложена автоматизированная система обработки информации о дорожных испытаниях транспортных машин с учетом потребностей замкнутой системы управления стендовыми испытаниями автомобильных конструкций.

Практическая ценность и рекомендации по применению. Комплекс оперативных алгоритмов переработки информации о дорожных испытаниях автомобиля и соответствующие им программные модули применены в автоматизированной системе управления комплексными испытаниями автомобильных конструкций. Указанные программные модули оформлены в виде стандартных программ. Программное обеспечение может эксплуатироваться в различных операционных системах при решении широкого круга задач переработки экспериментальной информации, получаемой в результате исследования различных технических объектов. Ряд результатов диссертационной работы нашел применение в учебно-методическом процессе на факультете прикладной математики Белгосуниверситета им. В.И. Ленина и рекомендован для дальнейшего использования в этих целях.

Реализация результатов. Полученные в диссертационной работе результаты нашли применение при разработке автоматизированной системы управления динамическими испытаниями автомобильных конструкций на Волжском автомобильном заводе (г. Тольятти), которая эксплуатируется в производственных условиях. Экономический эффект от внедрения указанной системы составил 450816 рублей. Методы построения быстрых алгоритмов в базисах дискретных функций, а также установление взаимно-однозначного соответствия между коэффициентами различных преобразований использованы в спецкурсе "Методы представления, хранения и обработки информации" на факультете прикладной математики Белгосуниверситета им. В.И. Ленина.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной научно-технической конференции "Автоматизация экспериментальных исследований" (Куйбышев, июль, 1978), на республиканской научно-технической конференции "Пути повышения качества и надежности машин" (Минск, ноябрь, 1980), на республиканском семинаре "Системы и устройства преобразования и обработки информации в рё-альном масштабе времени" (Киев, сентябрь, 1982), на Всесоюзном симпозиуме "Статистические измерения и применение микромашинных средств в измерениях" (Вильнюс, октябрь, 1982), на совместном научном семинаре кафедр общего программирования и математического обеспечения АСУ Белгосуниверситета им. В.И. Ленина.

Публикации, По материалам проведенных исследований опубликовано 9 научных работ, в том числе I - одна в международном издании [I] , 2 - во всесоюзной печати [3, 14] , 6 - в республиканских изданиях [23-25 , 34 , 59 , 60] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Работа содержит 150 страниц машинописного текста, 27 страниц иллюстраций; в список литературы включено 76 публикаций.

Основные результаты, полученные в различных разделах диссертации, были сформулированы в выводах в конце каждой главы. Представим их в обобщенной форме.

1. Получены в матричной форме системы ортогональных дискретных базисных функций Адамара и Хаара для спектрального и корреляционного анализа случайных процессов в поле комплексных чисел (формулы (1.22) * (1.24), п. 1.4) доказан ряд положений и свойств комплексных преобразований; введены соответствующие им групповые операции, инвариантные к операторам обобщенного сдвига (п. 1.3).

2. Разработаны быстрые вычислительные процедуры анализа случайных процессов на основе применения метода матричной факторизации (п. 2.1) быстрые Щурье-и косинус-преобразования над полем действительных чисел, каждое из которых обеспечивает со

- 169 крещение числа арифметических операций почти в 4 и 7 раз соответственно с одновременным уменьшением оперативной памяти ЭВМ в 4 раза по сравнению с известным Б® (пп. 2.2 и 2.3).

3. Цредложены и исследованы неизбыточные быстрые алгоритмы для вычисления коэффициентов преобразований Адамара и Хаара в комплексной и действительной областях (пп. 2.4 и 2.5).

4. Выведены матричные соотношения, устанавливающие взаимнооднозначное соответствие (изоморфизм) между коэффициентами преобразования Фурье и коэффициентами преобразования в других базисах дискретных функций для интерпретации получаемых результатов анализа экспериментальных реализаций, а также построены быстрые процедуры пересчета коэффициентов с использованием вычислительных операций в действительной области (гл. 3).

5. Разработана структура информационно-алгоритмического обеспечения автоматизированной системы анализа информации о дорожных испытаниях автомобиля (п. 4.3, формулы (4.5) и (4.6) с учетом потребностей системы комплексных испытаний автомобильных конструкций, а также предложены соответствующие этой структуре технические средства (п. 4.2) для обеспечения связи испытуемого объекта с управляющим вычислительным комплексом.

6. Создано программное обеспечение автоматизированной системы обработки информации о дорожных испытаниях автомобиля (Приложение I), реализующее статистический, спектральный и корреляционный анализ информационных потоков (п. 4.3), модульный принцип построения которого дает возможность применять его для исследования случайных процессов и в других задачах.

7. Результаты диссертационной работы нашли применение в автоматизированной системе управления динамическими испытаниями автомобильных конструкций в производственном объединении

АвтоВАЗ (г. Тольятти); общий годовой экономический эффект от внедрения системы составил 450816 рублей (Приложение 2).

8. Результаты, относящиеся к методам построения быстрых алгоритмов преобразования в базисах дискретных функций (гл. 2), к изоморфизму коэффициентов преобразования в этих базисах (гл. 3) и к программному обеспечению системы (гл. 4), использованы в спецкурсе "Методы представления, хранения и обработки информации" и в практикуме на ЭВМ в учебно-методической работе на факультете прикладной математики Белгосуниверситета им. В.И. Ленина (Приложение 2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Создание автоматизированных систем анализа информации применительно к комплексным испытаниям образцов новой техники обусловливает необходимость разработки: теоретических основ алгоритмизации функциональных задач; информационно-алгоритмической структуры системы обработки информации; быстрых процедур преобразования информационных потоков, отвечающих требованиям реального времени в заданной полосе частот исследуемых процессов на основе применения дискретных базисных функций.

Б настоящей диссертационной работе эти принципиальные положения реализованы применительно к автоматизированной системе дорожных испытаний автомобильных конструкций. Вместе с тем, большинство полученных результатов носит общий характер для исследования динамических свойств любых технических объектов.

1. Автоматизированная система управления виброиспытаниями на однокомпонентном вибростенде / Чеголин П.М., Кунцевич В.М., Туник А.А., Кончак B.C., Пойда В.Н., Борисов И.Ф. В кн.: Управляпцие системы и машины. - Киев, Наукова думка, 1978, вып. 2, с. II5-II8.

2. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье-Уолша / Чеголин П.М., Пойда В.Н., Кончак B.C. и др. В кн.: Вычислительная техника в машиностроении. Минск, 1973, вып. 2, с. 121-128.

3. Ахмед Н., Рао К. Комплексные двоичные преобразования Адамара. В кн.: Зарубежная радиоэлектроника. М., 1973, № 3,с. 64-68.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. -367 с.

5. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: МИР, 1971. - 408 с.

6. Борисов И.Ф. Анализ и генерирование случайных процессов в системах управления на основе быстрых вычислительных проце

7. ДУР в дискретных базисах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Минск, 1982. - 183 с.

8. Брич З.С., Капилевич Д.В. и др. ФОРТРАН ЕС ЭВМ. М.: Статистика, 1978. - 264 с.

9. Быстрые алгоритмы связи преобразований Фурье и Уолша / Чего лин П.М., Пойда В.Н., Кончак B.C., Садыхов Р.Х. В кн.: Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей: Тез. докл. Всесоюзного симпозиума. Л., 1976, с. 13-20.

10. Венцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. - 319 о.

11. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Ф!зматгиз, 1963. - 256 с.

12. Виттих В.А., Сойфер В.А., Якимович А.А. Сжатие данных при экспериментальных исследованиях физических полей. В кн.: Автоматика и вычислительная техника, 1972, № 6, с. 61-66.

13. Виттих В.А., Сойфер В.А., Якимович А.А. Оптимизация сжатия данных при совокупных измерениях. В кн.: Автоматика и вычислительная техника, 1977, № 3, с.80.

14. Вопросы теории математических машин / Под. ред. Базилевско-го. М.: Физматгиз, 1962. - 239 с.

15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1965.400 с.

16. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

17. Даниленко В.В., Борисов И.Ф., Негода В.П. Алгоритмы быстрого преобразования фурье-Хаара. и их машинная реализация.

18. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований: Тез. докл. Всесоюзной науч.-техн. конф. (Куйбышев, 5-7 июля 1978), Куйбышев, 1978, с. 137-138.

19. Девис У. Операционные системы. М.: Мир, 1980. - 436 с.

20. Донован Дж. Системное программирование. М.: Мир, 1975. -540 с.

21. Драгая Я.П. Модели сигналов в линейных системах. Киев: Наукова думка, 1972. - 302 с.

22. Инвариантность преобразования Уолша / Чеголин П.М., Пойда В.Н., Кончак B.C., Садыхов Р.Х. В кн.: Вычислительная техника в машиностроении. Минск, 1974, вып. I, с. 148-155.

23. Карповский М.Г., Москалев Э.С. Спектральные методы анализаи синтеза дискретных устройств. М.: Энергия, 1973. - 142 с.

24. Качмаж С., Шгейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: &зматгиз, 1958. - 507 с.

25. Кловский Д.Д., Сойфер В.А. Обработка пространственно-временных сигналов (в каналах передачи информации). М.: Связьt -208 с.

26. Колмогоров Г.С., Лабунец В.Г. Новый быстрый алгоритм для косинусного преобразования. В кн.: Методы и микроэлектронные средства цифрового преобразования и обработки сигналов: Тез. докл. Всесоюзной науч.-техн. конф., Рига, 1983, т. 2, с. 55-58.

27. Кончак B.C., Негода В.П. Алгоритм дискретного преобразования Фурье над полем действительных чисел. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований. Минск, 1982, с. 13-25.

28. Кончак B.C., Негода В.П. Быстрый алгоритм действительного косинус-преобразования. В кн.: Автоматизация процессов проектирования. Минск, 1983, вып. 2, с. 127-136.

29. Кренкель Т.Э. Спектральный анализ на конечных коммутативных группах. -М.: Радиотехника, 1975, $ 6, с. 19-23.

30. Кули Дж., Льюис А., Уэлч Р. Исторические замечания относительно быстрого преобразования Фурье. В кн.; ТИИЭР, 1967, т. 55, В 10, с. 18-29.

31. Кухарев Г.А., Дагман Э.И. Ортогональные базисы для задач цифровой обработки сигналов. Ч. I. Структура и способы формирования матриц дискретных ортогональных преобразований. Препринт 42-79. Новосибирск, 1980. 41 с.

32. Лабунец В.Г. Единый подход к алгоритмам быстрых преобразований. В кн.: Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем. Свердловск: УПЙ, 1980,с. 4-14.

33. Лабунец В.Г» Новые унитарные преобразования со структурами быстрых алгоритмов. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований. Минск, 1982, с. 61-69.

34. Лабунец В.Г. Спектральный анализ линейных динамических систем, инвариантных относительно операторов обобщенного сдвига. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований. Минск, 1982, с. 49-60.

35. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. - 312 с.

36. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М.: Изд-во физико-математич. литературы, 1961. - 576 с.

37. Модифицированный алгоритм быстрого преобразования Зурье / Кончак B.C., Касько А.Т., Пойда В.Н., Кручинский В.В. В кн.: Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей: Тез. докл. Всесоюзного симпозиума. Л., 1974, с. 97-100.

38. Негода В.П. Обобщенное комплексное преобразование Адамара. -В кн.: Теория и методы автоматизации проектирования. Минск, 1981, вып. 4, с. 73-79.

39. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. Минск: Наука и техника, 1978. - 136 с.

40. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Гостехиздат, 1954. - 516 с.

41. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение в задачах автоматического управления. М.: Физматгиз, I960. -884 с.

42. Романовский П.й. Ряды Фурье. М.: Наука, 1973. - 336 с.

43. Садыхов Р.Х. Анализ случайных процессов и динамики объектов на основе спектральных инвариантов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Минск, 1974. - 156 с.

44. Ситников О.П. Гармонический анализ на группах в абстрактной теории систем. В кн.: Гармонический анализ на группах в абстрактной теории систем. Свердловск, Изд. УПИ, 1976,с. 5-19.

45. Соболь И.Н. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара.- М.: Наука, 1969. 288 с.

46. Сойфер В.А. Некоторые алгоритмы обработки пространственно-временных сигналов, использующие оценки параметров канала.- В кн.: Передача цифровой информации по радиоканалам, содержащим случайные неоднородности. М., Наука, 1976,с. 190-209.

47. Сойфер В.А. Алгоритмы восстановления данных голографического эксперимента. В кн.: Автометрия, Jfc 3. М., 1978, с. 16-24.

48. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Фазматгиз, I960. - 655 с.

49. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974. - 335 с.

50. Теория матричной факторизации / Чеголин П.М., Пойда В.Н., Кончак B.C., Садыхов Р.Х. В кн.: Методы представления и аппаратурный анализ случайных процессов и полей: Тез. докл. IX Всесоюзного симпозиума. Секция X. Л., 1976, с. 21-26.

51. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гос-техиздат, 1948. - 479 с.

52. Трамбле Ж., Соренсен П. Введение в структуры данных. М.: Машиностроение, 1982. - 784 с.

53. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

54. Хармут X. Передача информации ортогональными функциями.- М.: Связь, 1975. 267 с.

55. Хармут X. Теория секвентного анализа (основы и применение). -М.: Мир, 1980. 574 с.

56. Хинчин А.Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов. В кн.: Успехи математических наук. М., 1938, * 5.

57. Чеголин П.М. Автоматизация спектрального и корреляционного анализа. М.: Энергия, 1969. - 383 с.

58. Чеголин П.М. Автоматизация управляемых экспериментов. В кн.: Методы и средства автоматизации научных исследований. Минск, 1978, вып. 4, с. 8-13.

59. Чеголин П.М. Оценки компонент информационного потока и характеристик быстродействия в системах управления экспериментальными исследованиями. В кн.: Автоматизация экспериментальных исследований. Минск, 1982, с. 7-II.

60. Чеголин П.М., Кончак B.C., Крот A.M. Структура быстрых алгоритмов гармонического анализа.-В кн.: Автоматизация процессов проектирования. Мйнск, 1983, вып. I, с. 77-87.

61. Чеголин П.М., Кончак B.C., Негода В.П. Оперативный анализ экспериментальных сигналов на основе комплексного преобразования Адамара. В кн.: Автоматизация проектирования в машиностроении. Минск, 1981, вып. 3, с. I35-I4I.

62. Чеголин П.М., Кончак B.C., Негода В.П. Факторизация матриц связи функций Адамара с тригонометрическим базисом. В кн.: Теория и методы автоматизации проектирования. Минск, 1981, вып. 4, с. 67-72.

63. Ahmed N. ,Natara;jan Т. ,Као К. Discrete cosine transform.-IEEE Trans.Computers. C-23,1974, p. 90-93.

64. Ahmed N.,Rao K.,Abdussatar A.L. BIFORE or Hadamard transform.-IEEE Trans. Audio Electroacoustics. A -19, 1971, p. 225-234.

65. Cooley J., Tukey J. An algorithm for the machine calculationof complex Fourier series.-Math, of Сотр.,vol.19,1965, p.297-301.

66. Fiene N. On the Walsh Functions.-Trans. Am. Math.Soc.,1949, vol.65, p. 372-414.

67. Fiene N. The Generalized Walsh Functions.-Trans.Am.Math.Soc., 1950, vol.69, p. 66-77.- 177

68. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme.-Math. Am., 19Ю, N69, p. 331-371.

69. Paley R. A remarkable series of ortognal functions.-Eroc. London, Math.Soc., 1932,N34, p. 241^279.

70. Rao K.,Narasimham M. ,Revuluri K. A Family of Discrete Haar Transforms.- Comput.Elect.Engng., vol.2, 1975, p. 367-388. 74-. Rao K. ,Revuluri K. ,Harasimham M.A. Complex Haar Transform.-IEEE ASSP-24, 1976, N1, p. 102-104.

71. Tzeng В., Miller W. On computing the discrete cosine transform.- IEEE Trans. Comput., v. C-27, N10, 1978, p.966-968.

72. Walsh J. A Closed Set of Ortogonal Functions.-Amer.J.Math., 1923, vol. 45, p. 5-24.