автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод численного определения осредненных характеристик композитов на основе вейвлет-преобразования и метода конечных элементов

На правах рукописи

Сагдеева Юлия Альбертовна

МЕТОД ЧИСЛЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСРЕДНЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТОВ НА ОСНОВЕ В ЕЙВ ЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

05 13 18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ158556

Казань - 2007

003158556

Работа выполнена в Институте прикладной механики Уральского отделения РАН (г Ижевск)

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Копысов Сергей Петрович Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

доцент Даутов Рафаил Замилович, кандидат физико-математических наук Мартыненко Сергей Иванович

Ведущая организация Институт математического моделирования РАН,

г Москва

Защита диссертации состоится «25» октября 2007г в ¡6 на заседании диссертационного совета Д 212 081 21 в Казанском государственном университете по адресу 420008, г Казань, ул Кремлевская, 18, корп 2

С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан «20» сентября 2007г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 081 21, к ф -м н , доцент Задворнов О А

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы Промышленные композитные материалы состоят из большого числа микроструктурных компонент с разными характеристиками, сочетание которых определяет свойства материала в делом Процессы, происходящие в композиционных материалах, описываются дифференциальными уравнениями с быстро осциллирующими коэффициентами, численное решение которых требует значительных вычислительных затрат, поскольку предполагает использование расчетной сетки очень малого шага Это привело к появлению новой области математических исследований, целью которой является построение таких методов осреднения дифференциальных операторов с частными производными, что решения получаемых уравнений с осред-ненными коэффициентами близки к решениям исходных уравнений и адекватно описывают поведение композита Осредненные (эффективные) характеристики композиционных материалов определяются экспериментально или численно, а также существует ряд аналитических оценок

Существующие аналитические оценки свойств композитов (например, оценки Хашина-Штрикмана и оценки Фойгта-Рейсса для упругих констант, тепловых и фильтрационных свойств), как правило, дают достаточно широкий диапазон возможных значений свойств материала и могут использоваться только для грубой оценки

В настоящее время разработаны численные методы получения эффективных характеристик материалов с периодической структурой в задачах линейной упругости, теплопроводности, диффузии и др — это методика асимптотического осреднения, описанная Н С Бахваловым, Г П Панасенко, Б Е Победрей, Э Санчес-Паленсией и А Бенсусаном Однако, в данном случае необходимо решение задач в классе функций периодических на ячейке, что осложняет реализацию данного метода Лишь в случае определенной симметрии исследуемого образца и материала периодические граничные условия можно заменить непериодическими краевыми условиями

Недостаточность классических методов осреднения побуждает развивать новые математические подходы Основу одного из подходов составило использование вейвлетов — класса базисных функций, которые применяются в цифровой обработке сигналов, при сжатии информации, распознавании образов и др

Одно из главных преимуществ вейвлет-преобразования заключается в возможности получать представление величин на интересующем

уровне масштаба С помощью вейвлет-преобразования получают осред-ненное представление функции (грубый масштаб - «низкое разрешение») и выделяют ее локальные компоненты (мелкий масштаб - «высокое разрешение») Данное свойство преобразования позволяет ввести многомасштабный анализ исследуемой функции или анализ с переменным разрешением Свойства вейвлетов позволяют предположить, что вейвлет-преобразование будет полезным и при осреднении решений уравнений в частных производных

Цель работы. Разработка метода осреднения эллиптических дифференциальных уравнений на основе вейвлет-преобразования и метода конечных элементов для прогнозирования эффективных свойств и анализа осредненных решений уравнений для композитов с известными структурой и свойствами составляющих компонент

Методы исследований. Используется математический аппарат статической теории упругости, стационарной теории теплопроводности и теории фильтрации, теория дискретного вейвлет-преобразования, теория метода конечных элементов, методы линейной алгебры, феноменологические модели механики композитов

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных в работе результатов и выводов подтверждается сравнением с известными данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, тестированием численных алгоритмов и программного комплекса на решениях модельных задач Научная новизна работы состоит в следующем

— разработана методика численного осреднения линейных эллиптических краевых задач второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами для вычисления эффективных характеристик с помощью одномерного и двумерного вейвлет-преобразования Хаара и метода конечных элементов в областях периодической и непериодической структуры,

— предложены способы повышения эффективности вейвлет-преобразования за счет усечения матриц с выбором порогового значения и программной реализации вейвлет-осреднения с использованием сжатого формата хранения матриц без нулевых элементов,

— численным моделированием получены осредненные значения модуля Юнга, коэффициента Пуассона, коэффициентов теплопроводности и проницаемости в одномерном и двумерном случаях для композитов со случайной структурой, материалов с включениями разной формы (квадратные, круглые и ромбические включения), разной объемной долей (объемная доля включений составляла от 7% до 50%), различно-

го взаимного расположения включений (симметричное и несимметричное), когда свойства составляющих компонент композита различаются на порядки

Теоретическая и практическая ценность Разработанная методика вейвлет-осреднения и вычисления осредненных характеристик может быть использована для оценки эффективных характеристик существующих композитных материалов, а также для прогнозирования упругих, тепловых и фильтрационных свойств при создании новых материалов Получаемые осредненные решения дифференциальных уравнений могут использоваться в качестве приближений к точному решению, когда необходимо знать глобальное поведение решений (например, такое приближение на грубых сетках используется в многосеточных методах решения дифференциальных уравнений и при построении предо-бусловливателей для решения систем алгебраических уравнений)

Апробация работы Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных конференциях Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач», 27 июня - 1 июля 2003, Казань, Конференции молодых ученых ФТИ УрО РАН «КоМУ-2004», 8-10 декабря 2004, Ижевск, Международной конференции по избранным вопросам современной математики, 4-8 апреля 2005, Калининград, 14 Зимней школе по механике сплошных сред, 28 февраля - 3 марта 2005, Пермь, VI International Congress on Math Modeling, 20-26 сентября 2004, Нижний Новгород, 14-й Всероссийской школе-конференции молодых ученых, 4 октября - 7 октября 2005, Пермь, Научной конференции «Теория управления и математическое моделирование», 3-8 июля 2006, Ижевск, III научно-практической конференции «Проблемы механики и материаловедения», 14-15 июня 2006, Ижевск, Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики», 26 июня - 1 июля 2006, Казань, IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, 22-28 августа 2006, Нижний Новгород, 15 Зимней школе по механике сплошных сред, 26 февраля - 3 марта 2007, Пермь

Публикации По теме диссертации опубликовано 19 печатных работ Из них в рецензируемых журналах 4 работы, в журналах, рекомендованных ВАК, 1 работа

Благодарности Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№07-01-96069, 06-07-89015, 02-0790265) и УрО РАН

Структура и объем работы Работа состоит из введения, четырех

глав, 15 параграфов (нумерация параграфов по главам), заключения, списка литературы и содержит 56 рисунков, 13 таблиц Объем работы 124 страницы Библиографический список включает 91 наименование

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и научная новизна работы, отмечена практическая ценность результатов, изложено краткое содержание работы по главам

Первая глава содержит обзор основных методов получения эффективных характеристик композитов Выделено три группы методов В п 1 1 рассмотрены преимущества и недостатки экспериментального определения свойств композиционных материалов В п 12 описаны уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами, приведены постановки задач статической теории упругости, стационарной теории теплопроводности и теории фильтрации, а также введено понятие эффективных оценок В п 1 3 описаны известные верхние и нижние аналитические оценки для упругих эффективных модулей, коэффициента теплопроводности и проницаемости, использующие информацию только об объемных долях включений и материала Это оценки Фойгта-Рейсса (называемые также смесевыми), получаемые на основе закона сохранения энергии, и более точные оценки Хашина-Штрикмана, получаемые из вариационного принципа Хашина-Штрикмана В п 1 4 рассмотрены численные методы вычисления оценок свойств, среди которых наиболее проработанным является асимптотический метод осреднения, предложенный Н С Бахваловым, Г П Панасенко1 и Б Е По-бедрей Рассмотрены методы давлений и ренормализации получения осредненных фильтрационных свойств, а также многосеточный метод осреднения дифференциальных уравнений

Вторая глава посвящена описанию многомасштабного анализа на основе вейвлет-преобразования Хаара и метода конечных элементов В п 2 1 вводится понятие семейств масштабирующих функций =

2^2ф(23х - к), к,о € Ъ, и вейвлетов -фьк{х) = 2^2ф{2:>х - к)к,з € Ъ В качестве вейвлет-базиса был выбран базис Хаара, поскольку он обладает свойствами ортогональности и симметрии

1 Бахвалов Н С, Панасенко Г П Осреднение процессов в периодических средах

- М Наука - 1984

Содержание работы

В п 2 2 описана многомасштабная декомпозиция функции Известно, что пространства, порождаемые вейв летами и масштабирующими функциями, V, = зрап{ф3,к(х)} и 1¥3 = зрап{'ф3,к{х)} , 3 к е 2 удовлетворяют соотношению V? = У}-\ Ф , где ф — прямая сумма Поэтому функция /■) (х) £ У3 представляется в виде

Л 0е) = ^сзАх)ФзЛх) = ^сз~^Ф0-1,к{х) + ^<13-1,к'Ф3-1,к(х)

Пусть произвольный вектор с3 имеет размер 23 Этот вектор представим как последовательность коэффициентов разложения некоторой функции /3{х) £ У3

Л = ^2сз,кФз,к, ¿3 = (сзЛ'сз, 2> >С5, г>) к=1

Коэффициенты разложения в пространствах У3 , У3-\ и связаны между собой с3~1 = Р3с3 , ¿¿^_х = Вектор с^-1 является проекцией вектора с3 на пространство У3~\ , т е его огрубленным представлением Вектор ¿3-г соответствует уточняющим коэффициентам

Матрица ~ (~) ^ является матрицей вейвлет-преобразования

Вейвлет-преобразование Хаара ортогонально И^-1 =

В п 2 3 рассмотрено применение вейвлет-преобразования для осреднения решения эллиптических дифференциальных уравнений в комбинации с методом конечных разностей (МКР) или методом конечных элементов (МКЭ) на примере одномерного уравнения ^ = / >

х £ [0,1] В работе вейвлет-преобразование впервые использовалось в комбинации с МКЭ Методом конечных элементов исходное дифференциальное уравнение Ьи = / заменялось аппроксимирующим его на некоторой сетке дискретным уравнением Ььиь — Д , решение которого сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

Аи = 6, (1)

где матрица А имеет размер 23 х 23 , симметрична и положительно определена Затем к системе (1) применялось вейвлет-преобразование Хаара Wn

У/А\¥т\¥и = }¥Ь (2)

Система (2) имеет блочный вид Вектор неизвестных разбивается на две составляющих компоненты — вектор осредненных неизвестных и

вектор «деталей» (уточняющих компонент)

(5 (£:)-(£:)

Вводились следующие обозначения, которые используются далее при описании вычислительных особенностей

Ки = К12 = К21 = Р3АО%, К22 = Р,АР?,

и1=и*_1, и2 = и^_1, = Ъ2 = Щ_1

Система (3) принимает вид

К21 К22 ) \и2 ) \Ъ2

Исключая «1 из первого уравнения, получим

5и2 = Ь, (4)

где 5 - дополнение Шура 5 = К22 — К21К11К12 , 6 = 62 — К2\К^Ь\ Разрешив (4), получаем искомое осредненное решение и2 Применяя вейвлет-преобразование несколько раз, на каждом шаге имеем решение с разной степенью осреднения

В п 2 4 вводится расширение вейвлет-представления с одномерного случая на двумерный в пространстве Ь2(Ш2) Базисные функции образуются за счет комбинаций тензорных произведений базисных функций для одномерного случая Разложение системы уравнений проводится аналогично одномерному случаю Преобразованный вектор неизвестных состоит из четырех компонент — три компоненты содержат информацию о быстро осциллирующих составляющих решения по трем возможным направлениям, а одна компонента описывает осредненное поведение решения

В п 2 5 предложена и обоснована численная методика получения осредненных характеристик композитов Методика основана на совместном применении МКЭ, вейвлет-осреднения системы, описанного в пп 2 3 и 2 4, и решении краевых задач при определенных граничных условиях

а) Модуль Юнга (одномерный случай) Рассматривалась модельная задача одноосное напряженное состояние упругого стержня

¿г V ¿х ) (5)

Е(-1)и'(-1) = -р, Е(1) и'{1) = р, где р — давление, I — половина длины стержня

Для однородной и изотропной среды с модулем Юнга Е(х) — Е = const, решение задачи имеет вид

и = (6)

hj

Предполагалось, что композитный стержень реагир>ет на внешнюю нагрузку как однородный, поэтому из (6) следует что Е — ^р

Эффективный модуль Юнга Ew определялся на основе численного решения методом конечных элементов и вейвлет-осреднения задачи (5) по соотношению

^ = = (7)

1Уп г=1

Ег — модуль упругости в узле сетки хг , иf = и(хг) — значение перемещения в узле сетки хг, осредненное с помощью вейвлет-преобразования, Nn — число узлов сетки

В соотношении (7) используются координаты узлов новой сетки осред-ненного поля перемещений Координаты этих узлов для стержня определяются согласно схеме на рис 1 Вектор неизвестных системы (1), сформированной в МКЭ, дает значения неизвестной функции в узлах сетки В случае вейвлет-преобразования Хаара на каждом шаге число неизвестных в системе сокращается в два раза, а каждый столбец (строка) матрицы осредненной системы уравнений получается с помощью преобразования двух соседних столбцов (строк) матрицы исходной системы Две соседние переменные в векторе неизвестных исходной системы преобразуются в одну неизвестную осредненной системы Переменные в векторе неизвестных упорядочены по номеру узла, то есть на каждом шаге осредняются значения, соответствующие соседним узлам сетки Полученные осредненные значения уже нельзя сопоставить какому-либо узлу исходной сетки, т к они сочетают в себе значения для двух узлов Новый узел помещается посередине между двумя осредняемыми узлами Недостатком данного подхода является то, что осредненное решение определено лишь на части исходной области, поскольку узлы новой сетки смещаются к центру Шаг новой сетки h\ будет отличаться от старого ho в два раза h± = 2ho Этот недостаток преодолевается с помощью расширения физической области на фиктивную область Например, решение продолжается за пределы новой сетки нечетным образом относительно своих значений на границе б) Модуль Юнга и коэффициент Пуассона (двумерный случай) Эффективные значения двух констант — модуля Юнга Е и коэффициента

сетка после двух шагов осреднения

сетка после одного шага осреднения

* * * * / * * * (число узлов сокращается в 2 раза)

I < » * * » » исходная сетка

Рис 1. Схема изменения сетки при осреднении (одномерный случай) Пуассона и — в плоскости пластины вычислялись по следующей схеме Рассматривалась краевая задача

С граничными условиями СГ%3 {х)п:!(х)\х=±1 = р, <?1]{х)пз(х)\у=Ъ,у=1 — О Эта задача в силу симметрии эквивалентна задаче на четверти области с краевыми условиями

их |х=0 = 0, Пу 1^=0 = 0,

а13(а-)п3(х)\х=1 = р, аг](х)п](х)\у=1 = 0 Методом конечных элементов и вейвлет-осреднением вычисляется осред-ненное поле перемещений в узлах конечно-элементной сетки

Обозначим через и\3 и и23 составляющие х и у осредненного перемещения и в узле (хг,у3) В условиях одноосного растяжения вдоль оси х модуль Юнга и коэффициент Пуассона в направлении оси х в узле (хг, у3) определяются по формулам

Т? Х* !лП\

Его = —р, Уг0 = -Г (10)

Используя (10), находим значения констант в каждом узле и затем вычисляем эффективное значение

Координаты новой сетки в двумерном случае определяются аналогично одномерному случаю За один шаг осредняются значения сразу в четырех узлах, причем число неизвестных в системе сокращается в четыре раза

Таким образом, методика вейвлет-осреднения для получения упругих эффективных свойств имеет вид

Шаг 1 Рассматривается задача (8), (9) в перемещениях для одноосного напряженного состояния композитной пластины или стержня,

Шаг 2 Методом конечных элементов формируется матрица системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (1),

Шаг 3 К подученной СЛАУ применяется вейвлет-преобразование Хаара (2), в результате имеем систему для осредненного вектора (4),

Шаг 4 Существует два варианта дальнейших вычислений а) система (4) разрешается относительно вектора неизвестных и в качестве результата имеем вектор осредненных перемещений, б) к системе (4) вновь применяется вейвлет-преобразование, таким образом, могут быть получены осредненные значения перемещений на нескольких масштабах,

Шаг 5 Осредненные модуль Юнга пластины (или стержня) и коэффициент Пуассона пластины определяются из (11)

в) Коэффициент теплопроводности (проницаемости) Эффективный коэффициент теплопроводности определялся на основе вейвлет-осред-нения и решения методом конечных элементов двумерной стационарной краевой задачи теплопроводности

-УтК(х)Чи + (2 = 0, (12)

с граничными условиями Т\х=0 = Т0, К= ~Яо, Щ;

= О В расчетах принималось То = 0 , с?о = —40 , <2 = 0

у I у=1

Обозначим через Т™ — осредненное с помощью вейвлет-преобразо-вания поле температуры в узле сетки (хг,у3) Эффективный коэффициент теплопроводности рассчитывался как среднее значение по всем узлам

1 ^ ^ ™ т^гп яох*

у=0

пхпу г Т™

Для задачи фильтрации при условиях выполнения закона Дарси, коэффициент проницаемости К определяется по такой же схеме, как отношение произведения начальной скорости фильтрации на координату узла к значению давления в узле

В третьей главе показаны результаты расчетов по предложенному методу вейвлет-осреднения В п 3 1 приводится конечно-элементная постановка задачи теории упругости, теплопроводности и фильтрации

В п 3 2 рассмотрено пять задач осреднения коэффициентов и решений одномерного дифференциального уравнения вида

~(к{х)и'У = /, и(а) = и0, и'(Ъ) = щ (13)

Рис 2 Решения а) вейвлет-решение, конечно-элементное решение, решение по асимптотическому методу, б) увеличенный фрагмент интервала

(О 40, 0 44)

В Задаче 1 рассматривалось вейвлет-осреднение для однородного материала к(х) = к = const В этом случае осредненный коэффициент kw естественным образом совпадает с начальным модулем материала к В Задаче 2 получено осредненное решение уравнения (13) с быстро меняющимся периодическим коэффициентом к(х) ( к{х) принимало значение 0 или 1), щ = 0, гц = 0 На рис 2 показаны графики решения дифференциального уравнения, соответствующие конечно-элементному решению на сетке из Nn — 256 узлов, решению, осред-ненному с помощью j = 3 шагов вейвлет-преобразования Хаара (число узлов сетки Nn = 32), и решению, полученному с помощью асимптотического метода осреднения Обе модели осреднения хорошо аппроксимируют осциллирующее решение и практически совпадают В Задачах 3-4 получены осредненные решения уравнения (13) для непериодического коэффициента к , сделан вывод о том, что в этих задачах вейвлет-осреднение описывает поведение решения точнее, чем асимптотическое осреднение В Задаче 5 исследовалось изменение осредненного модуля Юнга к(х) = Е(х) для стержня в зависимости от числа включений nv (nv — 1, , 10) и шага осреднения j (j = 1, , 12) при одинаковой объемной доле включений с^ =03 Согласно графикам на рис 3 наблюдается незначительный рост значений модуля Е на последних шагах осреднения Также можно заметить, что с ростом числа включений уменьшается диапазон вариаций значений модуля, так как чем

меньше характерный размер неоднородности (включения) в сравнении с размером исследуемой области, тем меньше в среднем оказывает влияние эта неоднородность В примере с одним включением этот модуль изменяется в диапазоне Е 6 [1 392,1 492], тогда как для примера с десятью включениями модуль изменяется в диапазоне Е £ [1 479,1 49], т е практически не зависит от шага осреднения

В п 3 3 рассматривались результаты двумерного вейвлет-осреднения для задач теории теплопроводности, фильтрации и упругости В Задачах 6-8 проводится осреднение коэффициента проницаемости К(хJ для уравнения (12) для расчетных областей трех типов области с квадратным включением (доля включения с^ — 0 25 ) области шахматной структуры и области, в которой проницаемость распределена по закону d = z~ln(а) (рис 4-6)

В Задаче 6 проводится анализ для разных отношений проницаемости материала =

а ( 0 1 ) и включения = ( о J )><* = 001,01,1,

10, 100 Различие в коэффициенте при сравнении с асимптотическим методом не превышает 1% Полученный коэффициент удовлетворяет оценкам Фойгта-Рейсса и Хашина- Рис 3. Модуль Юнга Е в зависимости Штрикмана от шага осреднения j

В случае шахматной структуры (задача 7) для материалов с проницаемостью Ki и К2 известна теоретическая эффективная проницаемость среды К9 = К2 (среднее геометрическое двух величин) Получены следующие результаты для вейвлет-осреднения на сетке 128 х 128 узлов, когда различие в модулях материала составляет один и два порядка при = 100 и К2 = 1 осредненный с помощью вейвлет-преобразования коэффициент Kw = 9 5 (К9 = 10 , относительная ошибка r¡ = 5%), при К\ = 10 и К2 — 1 осредненный с помощью вейвлет-преобразования модуль Kw = 3 08 (К9 = 3 16, относительная ошибка rj = 2 5%) Для сравнения при = 100 и К2 = 1 оценки Хашина-Штрикмана задают широкий интервал 2 92 < К ^ 34 21 а оценки Фойгта-Рейсса (арифметическое и гармоническое среднее) 1 98 ^ К ^ 50 5 , во втором случае при Кj =10 и К2 = 1

1 5 1 48 : 1 46 Ш1 44 1 42 1 4 1 38

-1 включение

- 2 включения -4 включения

- 7 включений -10 включений

5 10

шаг осреднения

Рис. 4. Квадратное включение

Рис. 5. Шахматная Рис, б. Случайное

структура поле проницаемости

оценки Хашина-Штрикмана задают интервал 2.38 К ^ 4.19, а оценки Фойгта-Рейсса 1.82 $ К 5.5 . Коэффициенты, полученные с помощью вейв лет-ос реднен и я, удовлетворяют этим аналитическим оценкам.

£5 Задаче 8 для распределения коэффициентов материала г/ = г 1п'а' , где 2 — случайно распределенная величина на интервале (0,1), известно, что значение эффективного коэффициента проницаемости определяется как геометрическое среднее значений данного распределения. Результаты моделирования для разных значений параметра а = 2,5,10 приведены в табл. 1. Во ихором-четвертом столбцах приведены статистические данные о начальном распределении проницаемости — максимальное значение Ктах ? минимальное значение Ктгп , средне-квадратическое отклонение о . В пятом восьмом столбцах показаны соответственно арифметическое среднее Ка , гармоническое среднее К , геометрическое среднее К9 и значение Кш , полученное с помощью вейвлет-осредненйй. Результаты моделирования близки к геометр и че^ ским средним — относительная погрешность ■ ■ ^—1 мала и равнй. для разных а соответственно 3.5%, 3.6%, 3.7%. Арифметическое и гармоническое средние дают настолько широкий интервал оценок, что их использование не имеет смысла. Оценки Хашина-Штрикмана в данном случае не применимы, так как они могут использоваться только для двухфазного материала,

В Задаче 9 сравнивается распределение температур на разных шагах осреднения для пластины с девятью включениями (рис. 7) ("коэффициент теплопроводности матрицы К1™'1 — 1, включения К&) = 0.1 ). На рис. 8 показано конечно-элементное решение на сетке 64 х 64 узла. На

Таблица 1 Сравнение аппроксимаций эффективной проницаемости для случайного распределения коэффициента проницаемости композита

a -K-max Kmin a Ka Kh K9 Kw

2 255 87 1 00 4 45 2 57 1 6 2 2 07

5 6 Обе + 6 100 67936 3 992 47 2 59 4 95 5 13

10 2 5e + 10 1 00 2 Ole+ 8 2 21e + 6 3 29 9 86 95

рис 9 и 10 показано распределение температуры после двух и четырех шагов осреднения После четырех шагов, когда сетка становится достаточно грубой, решение сглаживается и описывает поведение температуры в среднем

В Задаче 10 исследовалось изменение коэффициента теплопроводности в зависимости от изменения формы включения в пластинке (квадратная, круглая и ромбическая формы) при постоянной объемной доле включения сМ = 0 25, KW = 10, К^ = 1 Для сравнения приводятся полученные осредненные коэффициенты теплопроводно-Рис 7 Девять включений сти а) дЛЯ включения квадратной формы Kas = 1 548 (асимптотическое осреднение), Kw = 1 522 (вейвлет-осреднение) и Кь = 1 598 (метод многосеточного осреднения)2, б) для включения круглой формы Kas = 1 516 , Kw = 1 514 и Кь = 1 563 , в) для включения в форме ромба Kas ~ 1 573 , Kw = 1 537 и Кь = 1 608 Отличие коэффициентов Kas и Kw мало и составляет от 1 до 2% Следует отметить, что теоретические оценки будут давать одинаковый результат в независимости от формы включения Оценки Хашина-Штрикмана для трансверсально изотропного материала имеют следующие значения нижняя граница — 1 514, верхняя — — 2 394 Полученные с помощью вейвлетов оценки близки к нижней границе и удовлетворяют диапазону , Нижняя и верхняя оценки Фойгта-Рейсса (гармоническое и арифметическое среднее) равны соответственно K¡r — 1 29 и к(т = 3 25 Эти оценки также выполнены

Задача 11 содержит сравнение экспериментальных и численных оценок осредненного коэффициента теплопроводности одиннадцатипустот-ной области Вычисленный по методу вейвлет-осреднения эффективный коэффициент теплопроводности равен К — 0 62 В эксперименте К = 0 64 Расхождение расчетных и опытных данных составило 3 6% В Задаче 12 вычислялись осредненные значения модуля Юнга Е

2Monitor) J D , Dendy J E, Hyman J M The black box multignd numerical homogemzation algorithm // Journal of Computational Physics - 1998 - Vol 142 —

P 80-108 15

□ □ □

□ □ □

□ □ □

Рис. 8.

Конечно-элементное решение

Рис. 9.

Вейв лет-решен ие

(7 = 2)

Рис. 10.

Вейвлет- решен и е (7-4)

Таблица 2. Зависимость упругих констант от объемной доли включения

Объемная Вейвлет- Асимптотическое

доля преобразование осреднение

включения, Е У Е и

0.1 0.889 0.297 0.931 0.298

0.2 0.792 0.301 0.869 0.295

0.3 0.726 0.305 0.814 0.292

0.4 0.675 0.308 0.761 0.298

0.5 0.63 0,309 0.712 0.288

и коэффициента Пуассона /V пластинки с одним включением для разной объемной доли включения (= 1, = 0.3, Е^ = 0.5, ¡Л'"* = 0.3). Результаты вейвлет-осреднения после 3 = Ь шагов (область стягивается в точку) представлены л табл. 2. В той же таблице показаны результаты асимптотического осреднения. Различия для значений модуля Юнга при объемной доле с^ = 0.1 имеют порядок 5% , тогда как при = 0.5 отклонение близко к 15% . Такое поведение при большой объемной доле объясняется тем, что в этом случае напряженное состояние в пластине уже больше нельзя считать близким к одноосному.

В Задаче 13 исследовалось изменение модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона р для пластинки с п„ = 12 включениями, = 0.27 . В этом случае относительная погрешность для Е по сравнению с асимп-

Рис. 11. Портрет матрицы IV А\¥'

Рис. 12. Матрица А' ,,1 (сетка 64 х 64 )

Рис. 13, Структура дополнения Шура 5 (сетка 64 х 64 )

тотическим методом составляет 1.5%. Коэффициент Пуассона практически не меняется.

В Задаче 14 проводилось сравнение аналитических оценок Хашина-Штрикмана и Фойгта-Рейсса для упругих констант (модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль сдвига, объемный модуль) для пластинки с четырьмя круглыми включениями при разных соотношениях начальных модулей Юнга, Полученные значения попадают внутрь интервала, задаваемого оценками Фойгта-Рейсса и близки к нижним или верхними оценками Хашина-Штрикмана,

В четвертой главе описаны вычислительные особенности, присущие вейвлет-преобразование Основными операциями при осреднении являются преобразование (2) матрицы А и вектора правых частей, обращение матрицы Яц, матричные и матрично-векторные операции умножения и сложения. В п. 4.1 исследовалась структура матриц А, , К]2 , К22 > 5 , участвующих в вычислении, на примере двумерной задачи теории упругости. Матрица системы ,4 сильно разрежена, а ненулевые элементы компактно размещаются в трех «лентах-полосах». После применения в ей в лет-преобразования структура матрицы меняется она становится блочной, причем каждый малый блок имеет портрет, близкий к портрету исходной матрицы и несет информацию или об уточнениях (локальные свойства), или об осреднении исходной матрицы. На рис, II представлена структура преобразованной матрицы. Пунктирной линией показано разделение матрицы \VAIV на блоки К и , К12 , Ку2 , К 22 - Каждая из подматриц имеет блочную структуру (Ж„ девять блоков, К\2 и три блока).

При обращении матрицы Кц возникает заполнение (рис 12), для хранения которого требуется дополнительная память Система уравнений для дополнения Шура также становится более плотной (рис 13) В процессе одного шага осреднения разреженность матрицы для представленной сетки теряется Но было установлено, что элементы матрицы Шура 51 и матрицы Кубывают пропорционально расстоянию от главной диагонали Приводится пример распределения модулей элементов матрицы 5 и КД1 , полученной в задаче теории фильтрации Распределение таково, что более 70% всех элементов этих матриц по модулю меньше величины Ю-6

В п 4 2 для увеличения эффективности вычислительной процедуры предлагается несколько процедур усечения матрицы, когда малые элементы, меньшие заданного порогового значения, обнуляются Использование процедуры усечения ускорило работу метода за счет уменьшения затрат памяти Для хранения матриц предложено использовать сжатый строчный (столбцовый) формат без нулей

Анализ ошибки вычислений при задании порогового значения для всех матриц, участвующих в алгоритме, на примере задачи фильтрации (Задача 6) дает следующие результаты Вычислялась относительная погрешность получаемого значения осредненного коэффициента проницаемости и полей решений В качестве «точного» выбирались поля решений и коэффициент проницаемости при пороговом значении Ь = Ю-16 Пороговое значение в расчетах выбиралось равным £ = Ктах/10где в = 5,7,9,11,13 и Ктах = тах.{К^т\ К^} Расчеты были проведены для разных значений параметра а —0 01, 0 1, 10, 100, задающего свойства материала (см условия задачи 6) и значениях Ктах =1, 1, 10, 100

Определялись значения относительной погрешности полей давления в евклидовой норме г) = (рг - р°)2/ (Р?)2 ПРИ разных а , где

1=1 г=1

рг — поле давления в г -ом узле, подсчитанное для порогового значения £ = Кта ж/10®, р° — поле давления в г-ом узле, подсчитанное для контрольного порогового значения Ь = Ю-16 Для всех а выбор порогового значения Ь с в ^ 7 приводит к погрешности, не превышающей 3%, причем в большинстве случаев погрешность составляет всего лишь несколько десятых процента При этом от 50 до 90% всех ненулевых элементов имеют модуль в диапазоне от Ктах/107 до Ю-"16 Таким образом, значительное сокращение занимаемой памяти для хранения элементов не приводит к большой погрешности результатов и существенного накопления ошибки с ростом шага осреднения не проис-

Таблица 3 Относительная ошибка при вычислении коэффициента проницаемости в зависимости от а и порогового значения Ь

Пороговое значение (нуль), t

а Ктах К-тах / Ю -^тах/Ю^ -^тах/Ю^ К /1011 -^тасс/10^

0 01 1 400% 3 5% <1% <1%

0 1 1 35% < 1% <1% <1% <1%

10 10 14 8% < 1% <1% <1% <1%

100 100 134% <1% <1% <1% <1%

ходит

В табл 3 показана относительная погрешность для осредненного коэффициента проницаемости При г = 7,9,11,13 относительная погрешность не превышает одного процента кроме одного значения в первой строке таблицы при а = 0 01, хотя и в этом случае погрешность 3 5% является удовлетворительной При 5 = 5 наблюдается резкий рост относительной ошибки

Предлагаемая объектно-ориентированная модель вейвлет-преобра-зования представлена в п 4 3 Описаны классы, участвующие в вейв-лет-преобразовании, и связи между ними Предлагаемая модель позволяет эффективно добавлять, расширять и изменять необходимые для вейвлет-преобразования классы Были реализованы отдельно классы для одномерного и двумерного вейвлет-осреднения конечно-элементной системы с разным числом степеней свободы

Заключение содержит основные результаты и выводы по работе

Заключение

1 Разработана методика численного вейвлет-осреднения решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами и вычисления эффективных характеристик для композитов различной структуры

2 Предложены способы повышения эффективности вейвлет-преобразования за счет усечения матриц с выбором порогового значения и использования сжатого формата хранения матриц без нулевых элементов Разработан программный комплекс для численного осреднения систем линейных алгебраических уравнений МКЭ и вычисления осредненных характеристик композиционных материалов

3 Численным моделированием получены осредненные значения характеристик в задачах теории теплопроводности, теории упругости и фильтрации в одномерном и двумерном случаях для композитов со слу-

чайной структурой, материалов с включениями разной формы, разной объемной долей, различного взаимного расположения включений, когда свойства составляющих компонент композита различаются на порядки

Публикации по теме диссертации

1 Копысов С П, Сагдеева Ю А Многомасштабный анализ на основе МКЭ и вейвлет-преобразования // Труды Математического центра имени Н И Лобачевского «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач» — Т 20 — Казань Изд-во Казанского мат общества, 2003 - С 181-190

2 Sagdeeva Y A The multiresolution decomposition for obtaining the averaged characteristics of composites // Book of Abstracts of the Intern Congress on Math Modeling — Nizhny Novgorod University of Nyzhni Novgorog, 2004 — P 339

3 Копысов С П, Сагдеева Ю А Двумерное вейвлет-осреднение на основе базиса Хаара // Тезисы докладов Конференции молодых ученых ФТИ УрО РАН «КоМУ-2004» - 2004 - С 50

4 Копысов С П, Сагдеева Ю А Двумерное вейвлет-преобразование Хаара и его применение к многомасштабному анализу Деп в ВИНИТИ №79б-В2004 - Ижевск ИПМ УрО РАН, 2004

5 Kopyssov S Р , Sagdeeva Y A Receiving the effective characteristics of composites by 2D wavelet-transformation // Proceedings of the Intern Confeience on selected problems of contemporary mathematics — Kaliningrad Kaliningrad State University, 2005 — Pp 154-155

6 Копысов С П, Сагдеева Ю А Определение эффективного коэффициента теплопроводности с помощью вейвлет-осреднения / / Материаловедение и обработка материалов — Ижевск Изд-во ИПМ УрО РАН, 2005 - С 243-250

7 Копысов С П, Сагдеева Ю А Вейвлет-осреднение в задачах теории упругости композитных материалов // Проблемы термогазодинамики и прочности механических систем — Ижевск Изд-во ИПМ УрО РАН, 2005 - С 108-123

8 Копысов С П С'агдеева Ю А Применение вейвлет-осреднения для получения осредненных характеристик композитов , Тезисы докладов 14 Зимней школы по механике сп тошных сред — Пермь Изд-во Пермского государственного технического университета, 2005 - С 171

9 Копысов С П Сагдеева Ю А Метод определения осредненных модулей упругостей композиционных материалов // Тезисы докладов 14-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых — Пермь Изд-во Пермского государственного технического университета, 2005 — С 62

10 Копысов С П, Сагдеева Ю А Вычислительные особенности двумерного вейвлет-осреднения в задачах многомасштабного анализа // Вычислительные методы и программирование — 2005 — Т 6, № 1 - С 1-8

11 Копысов С П, Сагдеева Ю А Численное определение осредненных характеристик композитов на основе МКЭ и вейвлет-преобразования // Изв инс-та матем и информатики УдГУ — 2006 - Т 37, № 3 - С 67-68

12 Копысов С П, Сагдеева Ю А Метод численного определения упругих осредненных характеристик композитов // Проблемы механики и материаловедения — Ижевск Изд-во ИПМ УрО РАН, 2006 - С 8-9

13 Копысов С П, Сагдеева Ю А Численное осреднение свойств композитов // Труды математического центра им Н И Лобачевского «Численные методы решения задач математической физики» — Т 33 — Казань Изд-во Казанского математического общества, 2006 - С 186-197

14 Копысов С П, Сагдеева Ю А Численное определение упругих модулей композитов на основе вейвлет-преобразования //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Аннотация докладов — Т III — Нижний Новгород Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2006 — С 118

15 Копысов С П, Сагдеева Ю А Об определении эффективных характеристик сред периодической и непериодической структуры //

Материалы XV Международной конференции по механике и современным прикладным программным системам — М Вузовская книга, 2007 - С 290-291

16 Копысов С П Сагдеева Ю А Об одном методе определения эффективных упругих характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования //' Интеллектуальные системы в производстве — 2007 - Т 1 - С 49-61

17 Копысов С П Сагдеева Ю А Применение вейвлет-преобразова-ния при численном осреднении дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами // Известия вузов Математика - 2007 — № 7 — С 80-83

18 Копысов С П / Сагдеева Ю А Моделирование эффективных свойств композитов с помощью вейвлет-преобразования Хаара // Сборник статей 15 Зимней школы по механике сплошных сред — Т 2 — Пермь Институт механики сплошных сред УрО РАН, 2007 - С 233-236

19 WaveletHomogeшzatюn свид об официальной регистрации программы для ЭВМ - №2007611891 Рос Федерация, авторы и правообладатели Копысов С П , Сагдеева Ю А , заявл 19 03 07, опубл 10 05 07

Издательство Института прикладной механики УрО РАН 426067, г Ижевск, ул ТБарамзиной, 34 Лицензия на издательскую деятельность ИД №04874 от 24 05 2001

Введение

I. Методы получения эффективных характеристик композитов

1.1. Методы экспериментального определения модулей.

1.2. Уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами. Понятие об эффективных характеристиках.

1.2.1. Моделирование напряженно-деформированного состояния

1.2.2. Моделирование стационарного теплового поля и фильтрации жидкости.

1.3. Теоретические оценки.

1.4. Численные методы определения оценок.

II. Многомасштабный анализ на основе вейвлет-преобразования Хаара и метода конечных элементов

2.1. Вейвлеты и их свойства.

2.2. Многомасштабная декомпозиция функций

2.3. Численное вейвлет-осреднение.

2.3.1. Вейвлет-осреднение на основе метода конечных разностей

2.3.2. Вейвлет-осреднение на основе метода конечных элементов

2.4. Двумерное вейвлет-преобразование.

2.5. Получение осредненных характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования.

III. Вейвлет-осреднение в некоторых задачах теории упругости, теплопроводности и фильтрации

3.1. Дифференциальная и конечно-элементная постановка

3.2. Одномерное вейвлет-осреднение.

3.3. Двумерное вейвлет-осреднение.

3.3.1. Осреднение в задачах фильтрации.

3.3.2. Осреднение в стационарной задаче теплопроводности

3.3.3. Осреднение в задачах теории упругости.

IV. Вычислительные особенности и программная реализация в многомасштабном анализе

4.1. Структура матриц.

4.2. Способы повышения вычислительной эффективности схемы вейвлет-преобразования.

4.3. Объектно-ориентированная модель вейвлет-преобразования.

Актуальность проблемы. Промышленные композитные материалы состоят из большого числа микроструктурных компонент с разными характеристиками, сочетание которых определяет свойства материала в целом. Процессы, происходящие в композиционных материалах, описываются дифференциальными уравнениями с быстро осциллирующими коэффициентами. Численное решение этих задач требует значительных вычислительных затрат, поскольку предполагает использование расчетной сетки очень малого шага. Это привело к появлению новой области математических исследований, целью которой является построение таких методов осреднения дифференциальных операторов с частными производными, что решения получаемых уравнений с осредненными коэффициентами близки к решениям исходных уравнений и адекватно описывают поведение композита. Осредненные (эффективные) характеристики композиционных материалов определяются экспериментально или численно, а также существует ряд аналитических оценок.

При испытании опытных образцов возникает ряд трудностей, связанных с выбором размеров и форм образцов, исключением влияния краевых зон закрепления образца и внутренних дефектов, созданием необходимого для расчетов напряженного состояния или тепловых полей. Кроме того, методы испытаний и обработки результатов различны для разных типов композиционных материалов — единый подход здесь едва ли возможен!. Отмеченные недостатки затрудняют получение характеристик композита на основе эксперимента, а приведенные в литературе результаты экспериментов в ряде случаев существенно различаются.

Существующие аналитические оценки характеристик композитов (например, оценки Хашина-Штрикмана [1,2] и оценки Фойгта-Рейсса [3] для упругих констант, тепловых и фильтрационных свойств), как правило, дают достаточно широкий диапазон возможных значений свойств материала и используются только для грубой оценки.

В настоящее время разработаны методы получения эффективных характеристик материалов с периодической структурой в задачах линейной упругости, теплопроводности, диффузии и др. — это методика асимптотического осреднения, описанная в работах Н.С. Бахвалова, Г.П. Пана-сенко [4], Б.Е. Победри [5], Э. Санчес-Паленсии [6] и А. Бенсусана [7]. Однако, в данном случае необходимо решение задач в классе функций периодических на ячейке, что осложняет реализацию данного метода. Лишь в случае определенной симметрии исследуемого образца периодические граничные условия можно заменить непериодическими краевыми условиями.

Недостаточность классических методов осреднения побуждает развивать новые математические подходы. Основу одного из подходов составило использование вейвлетов — класса базисных функций, которые применяются в цифровой обработки сигналов, при сжатии информации, распознавании образов и др.

Одно из главных преимуществ вейвлет-преобразования заключается в возможности получать представление величин на интересующем уровне масштаба. С помощью вейвлет-преобразования можно получить осредненное представление функции (грубый масштаб - «низкое разрешение») и выделить ее локальные свойства (мелкий масштаб - «высокое разрешение»). Данное свойство преобразования позволяет ввести многомасштабный анализ исследуемой функции или анализ с переменным разрешением. Свойства вейвлетов позволяют предположить, что вейвлет-преобразование будет полезным и при осреднении решений уравнений в частных производных.

Цель работы. Разработка метода осреднения эллиптических дифференциальных уравнений на основе вейвлет-преобразования и метода конечных элементов для прогнозирования эффективных свойств и анализа осредненных решений уравнений для композитов с известной структурой и свойствами составляющих компонент.

Методы исследований. Используется математический аппарат статической теории упругости, стационарной теории теплопроводности и теории фильтрации, теория дискретного вейвлет-преобразования, теория метода конечных элементов, методы линейной алгебры, феноменологические модели механики композитов.

Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность полученных в работе результатов и выводов подтверждается сравнением с известными данными экспериментальных и теоретических исследований других авторов, тестированием численных алгоритмов и программного комплекса на решениях модельных задач.

Научная новизна. 1. Разработана методика численного осреднения линейных эллиптических краевых задач второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами для вычисления эффективных характеристик с помощью одномерного и двумерного вейвлет-преобразования Хаара и метода конечных элементов в областях периодической и непериодической структуры;

2. Предложены способы повышения эффективности вейвлет-преобразования за счет усечения матриц с выбором порогового значения и программной реализации вейвлет-осреднения с использованием сжатого формата хранения матриц без нулевых элементов;

3. Численным моделированием получены осредненные значения модуля Юнга, коэффициента Пуассона, коэффициентов теплопроводности и проницаемости в одномерном и двумерном случаях для композитов со случайной структурой, материалов с включениями разной формы (квадратные, круглые и ромбические включения), разной объемной долей (объемная доля включений составляла от 7% до 50%), различного взаимного расположения включений (симметричное и несимметричное), когда свойства составляющих компонент композита различаются на порядки.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанная методика вейвлет-осреднения и вычисления осредненных характеристик может быть использована для оценки эффективных характеристик существующих композитных материалов, а также для прогнозирования упругих, тепловых и фильтрационных свойств при создании новых материалов. Получаемые осредненные решения дифференциальных уравнений могут использоваться в качестве приближений к точному решению, когда необходимо знать глобальное поведение решений (например, такое приближение на грубых сетках используется в многосеточных методах решения дифференциальных уравнений и при построении предобусловливателей для решения систем алгебраических уравнений).

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных конференциях: Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач», 27 июня - 1 июля 2003, Казань; Конференции молодых ученых ФТИ УрО РАН «КоМУ-2004», 8-10 декабря 2004, Ижевск; VI International Congress on Math. Modeling, 20-26 сентября 2004, Нижний Новгород; Международной конференции по избранным вопросам современной математики, 4-8 апреля 2005, Калининград; 14 Зимней школы по механике сплошных сред, 28 февраля - 3 марта 2005, Пермь; 14-й Всероссийской школы-конференции молодых ученых, 4 октября - 7 октября 2005, Пермь; III научно-практической конференции «Проблемы механики и материаловедения», 14-15 июня 2006, Ижевск; Научной конференции «Теория управления и математическое моделирование», 3-8 июля 2006, Ижевск; Всероссийской молодежной школе-конференции «Численные методы решения задач математической физики», 26 июня - 1 июля 2006, Казань; IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, 22-28 августа 2006, Нижний Новгород; 15 Зимней школе по механике сплошных сред, 26 февраля - 3 марта 2007, Пермь.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 печатных работ. Из них в рецензируемых журналах 4 работы, в журналах, рекомендованных ВАК, 1 работа.

Благодарности. Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты »07-01-96069, 06-07-89015, 02-07-90265) и УрО РАН.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, 15 параграфов (нумерация параграфов по главам), заключения, списка литературы и содержит 56 рисунков, 13 таблиц. Объем работы 124 страницы. Библиографический список включает 91 наименование.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, приведены основные положения, выносимые на защиту, изложено краткое содержание работы по главам.

Первая глава содержит обзор основных методов получения эффективных характеристик композитов. Выделено три группы методов. Описываются известные верхние и нижние аналитические оценки для упругих и тепловых эффективных модулей. Это оценки Фойгта-Рейсса, получаемые на основе закона сохранения энергии, и более точные оценки Хашина-Штрикмана. Рассмотрены преимущества и недостатки экспериментального определения модулей. Проведен анализ численных методов получения оценок, среди которых наиболее проработанным является асимптотический метод осреднения, предложенный Н.С. Бахваловым, Г.П. Панасенко [4] и Б.Е. Победрей [5]. Рассмотрены методы давлений и ренормализации получения осредненных фильтрационных свойств, а также многосеточный метод осреднения дифференциальных уравнений. Описаны уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами, сформулированы постановки задач статической теории упругости, стационарной теории теплопроводности и фильтрации, а также введено понятие эффективных оценок.

Вторая глава посвящена многомасштабному анализу на основе всйв-лет-преобразования Хаара и метода конечных элементов. Вводится понятие масштабирующих функций фп tk(x) и вейвлетов фп,к{х) > описаны их свойства. Рассматривается процедура одномерного и двумерного вейвлет-преобразований, понятие многомасштабного анализа и численное вейвлет-осреднение систем, получаемых в методе конечных элементов. Предлагается методика по определению эффективных характеристик с помощью вейвлет-преобразования. В качестве вейвлет-базиса выбирается базис Хаара, поскольку он обладает свойствами ортогональности и симметрии.

В третьей главе показаны результаты расчетов по предложенному методу вейвлет-осреднения для некоторых задач теории упругости, теплопроводности и фильтрации. Рассмотрены случаи одномерного и двумерного вейвлет-осреднения решений дифференциальных уравнений, а также получения эффективных модулей упругости и теплопроводности. Проведено сравнение полученных оценок с другими методами осреднения и аналитическими оценками.

В четвертой главе описаны вычислительные особенности, присущие вейвлет-преобразованию. Описаны структуры и портреты матриц, участвующих в процедуре численного осреднения, предложены способы для более эффективной работы с ними, указаны особенности программной реализации.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Результаты исследования осреднения в задачах теплопроводности представлены также в [63,82].

3.3.3. Осреднение в задачах теории упругости

Задача 12.Рассмотрим пластину (рис. 3.18), состоящую из двух материалов — матрицы с модулем Юнга = 1 и коэффициентом Пуассона и^ = 0.3 и более мягким включением квадратной формы с константами Е^ = 0.5, = 0.3. Исследуем как меняются осредненные

Рис. 3.18. Квадратное включение внутри матрицы материала

Рис. 3.19. Круглое включение внутри матрицы материала

Рис. 3.20. Расчетная область (задача 7, пу = 12 включений) модуль Юнга и коэффициент Пуассона при различных объемных долях включения. Вычислим значения коэффициентов на основе формул одноосного напряженного состояния, описанных в п. 2.5. Расчеты проводились для плоско-напряженного деформированного состояния. Расчетная сетка МКЭ состоит из Nn = 4096 узлов (пу = 64 узла по вертикали и пх = 64 узла по горизонтали). Результаты вейвлет-осреднения после j = 6 шагов (область стягивается в точку) представлены в табл. 3.4. В той же таблице показаны результаты асимптотического осреднения. Различия для значений модуля Юнга при объемной доле = 0.1 имеют порядок 5%, тогда как при с^ = 0.5 отклонение близко к 15%. Такое поведение объясняется тем, что при большой объемной доле напряженное состояние в пластине уже больше нельзя считать близким к одноосному.

Компоненты поля перемещений на разных шагах осреднения представлены на рис. 3.21-3.30 для объемной доли включения 20 %. Показана четверть расчетной области, лежащая в первом квадранте. Для сравнения на рис. 3.31-3.32 показаны поля перемещений, полученные с осредненны-ми асимптотическим методом модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Отметим, что результаты асимптотического метода, вычисленного на нескольких сетках (135 х 135, 195 х 195 и 235 х 235), отличаются друг

Заключение

Разработан метод вычисления эффективных свойств композитов произвольной структуры и определения осредненных полей решений дифференциальных уравнений теории упругости, теплопроводности и фильтрации, основанный на вейвлет-преобразовании Хаара и методе конечных элементов в одномерном и двумерном случаях и реализованный в виде программной среды, учитывающей разреженную структуру матриц вейвлет-преобразования.

1. Разработана методика численного вейвлет-осреднения решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами и вычисления эффективных характеристик для композитов различной структуры.

2. Предложены способы повышения эффективности вейвлет-преобразования за счет усечения матриц с выбором порогового значения и использования сжатого формата хранения матриц без нулевых элементов. Разработан программный комплекс для численного осреднения систем линейных алгебраических уравнений МКЭ и вычисления осредненных характеристик композиционных материалов.

3. Численным моделированием получены осредненные значения характеристик в задачах теории теплопроводности, теории упругости и фильтрации в одномерном и двумерном случаях для композитов со случайной структурой, материалов с включениями разной формы, разной объемной долей, различного взаимного расположения включений, когда свойства составляющих компонент композита различаются на порядки.

1. Hashin, Z. The elastic moduli of fiber-reinforced materials / Z. Hashin, B. W. Rosen // J. Appl Mech. 1964. - Vol. 31. - P. 223.

2. Кристенсен, P. Введение в механику композитов / Р. Кристенсен.— М.: Мир, 1982.- 334 с.

3. Кравчук, А. С. Механика полимерных и композиционных материалов / А. С. Кравчук, В. П. Майборода, Ю. С. Уржумцев. — М.: Наука, 1985.- 304 с.

4. Бахвалов, Н. С. Осреднение процессов в периодических средах / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. — М.: Наука, 1984, — 352 с.

5. Победря, Б. Е. Механика композиционных материалов / Б. Е. Побед-ря. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 336 с.

6. Санчес-Паленсия, Э. Неоднородные среды и теория колебаний / Э. Санчес-Паленсия. — М.: Мир, 1984. — 472 с.

7. Bensoussan, A. Asymptotic analysis for periodic structures / A. Bensoussan, J.-L. Lions, G. Papanicolaou. — North-holland publishing company, 1978. — 700 pp.

8. Тарнополъский, Ю. M. Методы статических испытаний армированных пластиков / Ю. М. Тарнополъский, Т. Я. Кинцис. — М.: Химия, 1981. — 272 с.

9. Kuntz, М. Numerical estimation of the effective conductivity of heterogeneous media with a 2D cellular automaton fluid / M. Kuntz, J. Mareschal, P. Lavallee // Geophysical research letters.— 1997.-Vol. 24, no. 22.- Pp. 2865-2868.

10. И. Пивенъ, A. H. Теплофизические свойства полимерных материалов. Справочник / А. Н. Пивень, Н. А. Гречаная, Ч. И. И. — Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1976. — 180 с.

11. Горлов, Ю. П. Лабораторный практикум по технологии ТИМ / Ю. П. Горлов. — М.: Высшая школа, 1982. — 239 с.

12. Кауфман, Б. Н. Теплопроводность строительных материалов / Б. Н. Кауфман. — М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1955. — 161 с.

13. Маскет, М. Течение однородных жидкостей в пористой среде / М. Маскет. — Ижевск-Москва: НИЦ: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. — 628 с.

14. Пористые проницаемые материалы: Справ, изд. / Под ред. С. В. Белова. — М.: Металлургия, 1987. — 335 с.

15. Швидлер, М. И. Статистическая гидродинамика пористых сред / М. И. Швидлер. М.: Недра, 1985.- 288 с.

16. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1972.- 735 с.

17. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. — М.: Высшая школа, 1990. — 400 с.

18. Терегулов, И. Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности / И. Г. Терегулов. — М.: Высшая школа, 1984. — 472 с.

19. Работное, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. М.: Наука, 1979. - 744 с.

20. Jones, R. М. Mechanics of composite materials / R. M. Jones.— Philadelphia: Taylor к Francis Inc., 1998.- 519 pp.

21. Сегерлинд, JI. Применение метода конечных элементов / JI. Сегер-линд. М.: Мир, 1979. - 392 с.

22. Дулънев, Г. Н. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена / Г. Н. Дульнев, В. Г. Парфенов, А. В. Сигалов.— М.: Высшая школа, 1990.- 207 с.

23. Каневская, Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов / Р. Д. Каневская. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.- 140 с.

24. Полубаринова-Кочина, П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова-Кочина. — М.: Наука, 1977.— 664 с.

25. Ентов, В. М. Теория фильтрации / В. М. Ентов // СОЖ. 1998. -№ 2.-С. 121-128.

26. Бердичевский, В. JI. Вариационные принципы механики сплошной среды / В. JI. Бердичевский. М.: Наука, 1983. — 448 с.

27. Hashin, Z. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials / Z. Hashin, S. Shtrikman // Journal of the mechanics and physics of solids. — 1963. Vol. 11, no. 2.- Pp. 127 140.

28. Hashin, Z. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials / Z. Hashin, S. Shtrikman // Journal of Applied Physics. 1962. - Vol. 33. - Pp. 3125-3131.

29. Lukkassen, D. Some engineering and mathematical aspects on the homogenization method / D. Lukkassen, L.-E. Persson, P. Wall // Composites Engineering. — 1995. — Vol. 5, no. 5. — Pp. 519-531.

30. Trottenberg, U. Multigrid / U. Trottenberg, C. Oosterlee, A. Schuller.— New York: Academic Press, 2001. — 644 pp.

31. Шайдуров, В. Многосеточные методы конечных элементов / В. Шайдуров. — М.: Наука. Гл. ред. фнз.-мат. лит., 1989. — 288 с.

32. Briggs, W. L. Multigrid tutorial / W. L. Briggs, V. E. Henson, S. F. McCormick.— Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. 193 pp.

33. Moulton, J. D. The black box multigrid numerical homogenization algorithm / J. D. Moulton, J. E. Dendy, J. M. Hyman // Journal of computational physics. 1998. - Vol. 142. - P. 80-108.

34. Moulton, J. D. Multilevel upscaling in heterogeneous porous media: Research Highlights LA-UR 99-4754 / J. D. Moulton, S. Knapek, J. E. Dendy. — Los Alamos National Laboratory, Los Alamos, NM: Center for Nonlinear Studies, 1999.

35. Griebel, M. A multigrid-homogenization method / M. Griebel, S. Knapek // Notes on Num. Fluid Mech. 1997. - Vol. 59.- Pp. 187202.

36. Knapek, S. Matrix-dependent multigrid homogenization for diffusion problems / S. Knapek // SIAM Journal on Scientific Computing.— 1999,- Vol. 20, no. 2,- Pp. 515-533.

37. Dendy, J. E. Black box multigrid / J. E. Dendy // J. Comput. Phys.— 1982.-Vol. 48.-Pp. 366-386.

38. Knapek, S. Upscaling techniques based on subspace corrections and coarse-grid approximations / S. Knapek // Situ.— 1998.— Vol. 22, no. 1.- Pp. 35-58.

39. Renard, P. Calculating equivalent permealbility / P. Renard, G. de Marsily // Advances in water resources. — 1997. — Vol. 20. — Pp. 253-278.

40. Durlofsky, L. J. Numerical calculation of equivalent gridblock permeability tensors for heterogeneous porous media / L. J. Durlofsky // Water Resources Research. 1991. - Vol. 27, no. 5. - Pp. 699-711.

41. King, P. R. The use of renormalization for calculating effective permeability / P. R. King // Transport in porous media. — 1989. — Vol. 4, no. 1,- Pp. 37-58.

42. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. — 464 с.

43. Mallat, S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal bases of L2(R) / S. Mallat // Trans. Am. Math. Soc1989.- Vol. 315. — Pp. 21-43.

44. Meyer, Y. Wavelets: algorithms and applications / Y. Meyer. — Philadelphia: SIAM, 1993.- 133 pp.

45. Cohen, A. Biorthogonal bases of compactly supported wavelets / A. Cohen, I. Daubechies, J. Feauveau // Communications on Pure. and. Applied Mathematics.- 1992. Vol. 45, no. 5. - Pp. 485-500.

46. Переберин, А. В. О систематизации вейвлет-преобразования / А. В. Переберин // Вычислительные методы и программирование. — 2001.-Т. 2, №2.-С. 133-158.

47. Столниц, Э. Вейвлеты в компьютерной графике / Э. Столниц, Т. Де-Роуз, Д. Салезин. — Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.- 272 с.

48. Астафьева, Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н. М. Астафьева // Успехи физических наук, — 1996.— Т. 166, № 11.-С. 1145-1170.

49. Дремин, И. М. Вейвлеты и их использование / И. М. Дремин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло // Успехи физических наук. — 2001. -• Т. 171, № 5.- С. 465-561.

50. Чуй, К. Введение в вэйвлеты / К. Чуй. — М.: Мир, 2001. — 412 с.

51. Dorobantu, М. Wavelet-based numerical homogenization / М. Dorobantu, В. Engquist // SIAM. J. Numer. Anal. 1998. - Vol. 35. - Pp. 540-559.

52. Beylkin, G. Fast wavelet transform and numerical algorithms I / G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin // Communication on pure and applied mathematics. — 1991. — Vol. 44. — Pp. 141-183.

53. Brewster, M. A multiresolution strategy for numerical homogenization / M. Brewster, G. Beylkin // Applied and computational harmonic analysis. 1995. - Vol. 2. - Pp. 327-349.

54. Beylkin, G. A multiresolution strategy for the reduction of elliptic PDEs and eigenvalue problems / G. Beylkin, N. Coult // Appl. Comput. Harmon. Anal. 1998. - Vol. 4. - Pp. 129-155.

55. Gilbert, A. C. A comparison of multiresolution and classical homogenization schemes / A. C. Gilbert // Applied and Computational Harmonic Analysis. — 1998. — Vol. 5, no. 1. — Pp. 1-35.

56. Dorobantu, M. Wavelet-based algorithms for fast PDE solvers: Ph.D. thesis / Royal Institute of Technology. — 1995.

57. Биргер, И. А. Сопротивление материалов / И. А. Биргер, Р. Р. Мав-лютов. — М.: Наука, 1986. — 560 с.

58. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимации / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986. - 318 с.

59. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Д. Фикс. М.: Мир, 1977.- 349 с.

60. Копысов, С. П. Метод численного определения упругих осредненных характеристик композитов / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Проблемы механики и материаловедения. — Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2006. С. 8-9.

61. Копысов, С. П. Численное определение осредненных характеристик композитов на основе МКЭ и вейвлет-преобразования / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Изв. инс-та матем. и информатики УдГУ. — 2006. Т. 37, № 3. - С. 67-68.

62. Копысов, С. П. Двумерное вейвлет-преобразование Хаара и его применение к многомасштабному анализу: Деп. в ВИНИТИ №796-В2004 / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева. Ижевск: ИПМ УрО РАН, 2004.

63. Sagdeeva, Y. A. The multiresolution decomposition for obtaining the averaged characteristics of composites / Y. A. Sagdeeva // Book of Abstracts of the Intern. Congress on Math. Modeling. — Nizhny Novgorod: University of Nyzhni Novgorog, 2004. P. 339.

64. Копысов, С. П. Двумерное вейвлет-осреднение на основе базиса Хаара / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Тезисы докладов Конференции молодых ученых ФТИ УрО РАН «КоМУ-2004». 2004. - С. 50.

65. Копысов, С. П. Вейвлет-осреднение в задачах теории упругости композитных материалов / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Проблемы термогазодинамики и прочности механических систем. — Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2005,- С. 108-123.

66. Копысов, С. П. Об одном методе определения эффективных упругих характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Интеллектуальные системы в производстве. 2007. - Т. 1. - С. 49-61.

67. Копысов, С. П. Применение вейвлет-преобразования при численном осреднении дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Известия вузов. Математика. — 2007. — № 7. — С. 80-83.

68. Копысов, С. П. Численное осреднение характеристик композитов с помощью вейвлет-преобразования и метода конечных элементов / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Вестник ИжГТУ. 2007. - Т. 3. -(принято в печать).

69. Программная среда построения расчетных моделей метода конечных элементов для параллельных распределенных вычислений / С. П. Копысов, А. К. Новиков, Ю. А. Сагдеева и др. // Информационные технологии. — 2008. — Т. 1. — (принято в печать).

70. Дыхне, А. М. Проводимость двумерной двухфазной системы / А. М. Дыхне // Журн. эксп. техн. физики. 1970. — Т. 59. — С. 111115.

71. Жиков, В. В. Усреднение дифференциальных операторов / В. В. Жи-ков, С. М. Козлов, О. А. Олейник. М.: Физматлит, 1993. - 464 с.

72. Козлов, С. М. Осреднение случайных операторов / С. М. Козлов // Математический сборник. 1979. - Т. 109, № 2. - С. 188-202.

73. Bourgat, J. F. Numerical experiments of the homogenization method for operators with periodic coefficients / J. F. Bourgat // Lecture notes in mathematics. 1977. - Vol. 707. - Pp. 330-356.

74. Юркевич, А. А. Метод прогнозирования теплоизоляционных свойств строительных материалов и изделий: Дисс. канд. техн. наук: 01.02.05.- Ижевск, 1999.- 123 с.

75. Копысов, С. П. Определение эффективного коэффициента теплопроводности с помощью вейвлет-осреднения / С. П. Копысов, Ю. А. Саг-деева // Материаловедение и обработка материалов. — Ижевск: Изд-во ИПМ УрО РАН, 2005.- С. 243-250.

76. Копысов, С. П. Вычислительные особенности двумерного вейвлет-осреднения в задачах многомасштабного анализа / С. П. Копысов, Ю. А. Сагдеева // Вычислительные методы и программирование. — 2005.-Т. 6, № 1.-С. 1-8.

77. A contribution to wavelet based subgrid modeling / U. Anderson, B. Engquist, G. Ledfelt, O. Runborg // Appl. Comput. Harmon. Anal.--1999,-Vol. 7.-Pp. 151-164.

78. Chertock, A. On wavelet-based numerical homogenization / A. Chertock, D. Levy // Multiscale model simul. — 2004. — Vol. 3, no. 1. — Pp. 65 88.

79. Coult, N. A multiresolution strategy for homogenization of partial differential equations: Phd thesis / University of Colorado.— 1997. 101 pp.

80. Писсанецки, С. Технология разреженных матриц / С. Писсанецки. — М.: Мир, 1988.- 411 с.

81. Рынков, В. Н. Объектно-ориентированная распределенная параллельная система для конечно-элементного анализа / В. Н. Рычков, И. В. Красноперов, С. П. Копысов // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14, № 9. - С. 81-86.

82. WaveletHomogenization: свид. об официальной регистрации программы для ЭВМ. №2007611891 Рос. Федерация; авторы и правообладатели Копысов С.П., Сагдеева Ю.А.; заявл. 19.03.07; опубл. 10.05.07.