автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Механизм разрушения внеклеточного матрикса: математическая модель динамики процесса и программное обеспечение

На правах рукописи

Игнатьев Денис Юрьевич

Механизм разрушения внеклеточного матрикса: математическая модель динамики процесса и программное обеспечение

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в "МАТИ"- Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского

Научный руководитель - лауреат Ленинской премии, доктор

технических наук, профессор М.А. Ханин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор И. А. Лубашевский

доктор технических наук, профессор А. А. Лисов

Ведущая организация - Вычислительный Центр Российской

Академии Наук

Защита диссертации состоится « исая_ 2006 г. в /^часов на заседании дис-

сертационного совета Д 212.110.08 при "МАТИ" - Российском государственном технологическом университете им К.Э. Циолковского (121552, г. Москва, ул. Оршанская д.З ауд. 612А)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке "МАТИ" - РГТУ им К.Э Циолковского

Автореферат разослан «2/ » ОПрв/Ц? 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.110.08 кандидат технических наук,

Попов Н.И.

ЛООС А-

63Е7

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Математическое моделирование динамики сложных нелинейных систем является актуальной проблемой, которая существенно усложняется в условиях недостаточной изученности кинетических параметров системы. В диссертации рассматривается нелинейная динамическая система - система разрушения внеклеточного матрикса (СРМ). Для этой системы характерной особенностью является неполная информация о кинетических параметрах системы (константы Михаэлеса, каталитические константы, концентрации прометаллопротеиназ (проММП) - предшественников основных ферментов, разрушающих внеклеточный матрикс (ВКМ)). Последнее обстоятельство (дефицит констант, характеризующих динамические процессы) привело к отсутствию в международной литературе исследований методом математического моделирования динамики разрушения ВКМ. Исследование механизма разрушения ВКМ является в настоящее время актуальной проблемой. Сложность рассматриваемой системы, её нелинейность создает необходимость применения методов математического моделирования для исследования динамики системы, как целого. Разрушение ВКМ непосредственно связано с мета-стазированием злокачественных опухолей. Первый этап метастазирования заключается в разрушении клеткой окружающего её ВКМ. Это подчеркивает актуальность проблемы исследования механизма разрушения ВКМ. В предлагаемой работе для исследования механизма разрушения ВКМ применен метод математического моделирования.

Целью работы является создание математических моделей и программного обеспечения для исследования динамики разрушения ВКМ и влияния различных факторов (главным образом ингибиторов) на этот процесс.

Задачами работы являются исследования методом математического моделирования:

динамики разрушения ВКМ при инициации процесса урокиназо - плазмин-ной системой (УПС);

динамики разрушения ВКМ, инициируемого секрецией клеткой матричных металлопротеиназ (ММП);

влияния ингибиторов на динамику разрушения ВКМ;

методов профилактики разрушения ВКМ, и следовательно, метастазирования;

динамика разрушения ВКМ на клеточных мембранах;

разработка оптимизационных моделей, позволяющих определить кинетические константы отдельных реакций или концентрации ферментов на основе общих свойств системы (принцип минимального потребления белков). Научная новизна работы связана с исследованием методом математического моделирования динамики разрушения ВКМ. Метод математического моделирования впервые применен для изучения динамики процессов, приводящих к разрушению ВКМ. К новым результатам работы следует отнести создание динамических и оптимизационных математических моделей, а также соответствующего программного обеспечения, позволивших исследовать динамику разрушения ВКМ. Научной новизной обладают следующие результаты проведенных ^следований:

РОС. НАЦИОНАЛ-

БИБЛИОТЕКА^ ! С. Петеру 09

НИОТ ЕКА|/ |

с помощью метода оптимизационного моделирования установлены концентрации проферментов и ингибиторов, а также кинетические константы биохимических процессов, участвующих в разрушении ВКМ (решение обратной оптимизационной задачи);

установлено запаздывание секреции ингибиторов относительно секреции ферментов;

исследовано разрушение ВКМ в результате реакций на поверхности клеток и показано, что этот процесс является доминирующим;

установлена динамика разрушения ВКМ, а также всех биохимических реакций, участвующих в этом процессе;

обеспечена возможность исследования динамики разрушения ВКМ различных органов и тканей, а также влияние на этот процесс начальных концентраций субстратов системы разрушения ВКМ. Практическое значение результатов работы связано:

с созданием нового метода исследования динамики разрушения ВКМ, основанного на математическом моделировании процесса (ранее математические модели динамики разрушения ВКМ не были предложены); с установлением способов профилактики разрушения ВКМ клетками опухоли, и следовательно, метастазирования;

с обеспечением возможности проведения компьютерных экспериментов с целью исследования эффективности различных методов селективного подавления разрушения ВКМ в отдельных органах и тканях. Достоверность полученных результатов, адекватность предложенных математических моделей подтверждается использованием признанных методов моделирования нелинейных систем и оптимизационных моделей, использованием экспериментальных данных известных работ, опубликованных признанными специалистами, а также успешным использованием их в экспериментальных исследованиях процесса разрушения ВКМ (ГУ НИИ биомедицинской химии им. В.Н. Орехови-ча РАМН).

Основные положения, выносимые на защиту:

разработанная математическая модель динамики разрушения ВКМ с участием УПС и соответствующее программное обеспечение; разработанная математическая модель динамики разрушения ВКМ непосредственно секретируемыми ММП и соответствующее программное обеспечение;

проведенные оценки роли объемных и мембранных ферментативных реакций, свидетельствующие о доминирующей роли реакций на клеточных мембранах;

результаты исследования с помощью предложенных моделей динамики разрушения ВКМ, которые позволили установить основные особенности этого процесса (запаздывание секреции ингибиторов по отношению к секреции ферментов и проферментов);

установленная низкая эффективность ингибиторов урокиназы и плазмина в подавлении разрушения ВКМ и, следовательно, метастазирования, а также высокая эффективность тканевых ингибиторов металлопротеиназ. Апробация диссертации. Материалы диссертации докладывались на Международных молодежных научных конференциях "XV Гагаринские чтения" (1998 г. Москва), "XVI Гагаринские чтения" (1999 г. Москва), "XVII Гагаринские чтения" (2000 г. Москва), на семинаре по биомеханике в Институте механики МГУ им. М.В. Ломоносова. (2001 г. Москва), на Всероссийской научной конференции "МАТИ"-РГТУ им. К.Э. Циолковского (2000 г. Москва), на XVII Конгрессе Международного Общества Тромбозов и Гемостазов (1999 г. Нью-Йорк), на XVIII Конгрессе Международного Общества Тромбозов и Гемостазов (2001 г. Париж).Публикации. По материалам и результатам диссертации опубликованы 4 печатные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 8 глав (1-литературный обзор, 2-цели исследования и постановка задачи, 3-8 - собственных исследований, 8-обсуждение результатов и выводы), списка литературы и приложений. Объем диссертации 106 страниц машинописного текста, приложений 29 страниц, 32 рисунка и 4 таблицы. Список литературы включает 78 наименований

Содержание работы. Во введении обсуждается предмет исследования - механизм разрушения ВКМ, обосновываются актуальность темы диссертации и избранного метода исследования - математического моделирования. Рассматриваются также основные функции системы разрушения ВКМ в нормальных и патологических физиологических процессах.

Первая глава посвящена обзору научных публикаций экспериментальных работ, связанных с исследованием системы разрушения ВКМ. Обобщение результатов работ позволило установить основные механизмы разрушения ВКМ и схемы реакций, участвующих в этих процессах. Выделены два основных процесса: в одном из них участвует УПС, во втором активные ферменты (ММП) непосредственно секретируются клетками. Установлены некоторые параметры системы, определенные биохимическими методами.

Во второй главе излагаются постановку задачи и цели исследования.

Математическая модель формируется на основе обобщения данных экспериментальных исследований механизма разрушения ВКМ и известных научных данных, определяющих кинетику ферментативных реакций, реакций второго порядка, взаимодействие белковых молекул с клеточными рецепторами. Существенную роль в работе играют оптимизационные модели, позволяющие восполнить недостаток данных биохимических исследований. Речь идет о кинетических константах и концентрациях проферментов. Целью работы является исследование динамики разрушения ВКМ методом математического моделирования и создание соответствующего программного обеспечения (ПО). Должны быть решены следующие задачи:

1. Анализ данных биохимических и физиологических исследований и выделение основных вариантов действия СРМ и схем биохимических реакций.

2. Создание математической модели динамики УПС. Создание ПО и проведение компьютерных экспериментов с целью изучения возможных методов подавления активации плазминогена.

3. Создание математической модели динамики разрушения ВКМ с участием УПС. Проведение компьютерных экспериментов, позволяющих изучить возможные методы подавления активации проММП плазмином и вариантов динамики секреции ингибиторов.

4. Создание математической модели динамики разрушения ВКМ ММП, непосредственно секретируемых клетками без участия плазмина: исследование процессов в растворе. Проведение компьютерных экспериментов, позволяющих изучить возможные методы подавления разрушения ВКМ системой ММП, действующей без участия плазмина

5. Создание оптимизационной модели системы разрушения ВКМ (реакции в объеме ВКМ) и соответствующего ПО. Проведение компьютерных экспериментов с целью определения оптимальных параметров системы: концентрации ферментов и ингибиторов и время запаздывания секреции ингибиторов.

6. Создание математической модели динамики разрушения ВКМ ММП (реакции на клеточной мембраны). Создание ПО и определение кинетических констант мембранных реакций на основе оптимизационной модели. Исследование динамики процессов на мембране.

Третья глава посвящена оценке роли объемных и мембранных ферментативных реакций, участвующих в разрушении ВКМ.

При анализе результатов биохимических исследований, были выделены три основных процесса в разрушении ВКМ: 1) ограниченный протеолиз составляющих ВКМ в объеме; 2) ограниченный протеолиз на мембране; 3)диффузия проММП и ММП.

В параграфе 1 главы 3 приводится оценка времени, необходимого для разрушения ВКМ в результате ограниченного протеолиза в объеме. Основными исходными данными, на которых базируются оценки, являются скорости движения клетки при инвазии и данные о кинетике разрушения основных составляющих ВКМ различными ММП, растворенными в жидкости, заполняющей поры ВКМ. Относительная убыль коллагена за время I в результате ограниченного протеолиза определяется выражением:

ШсоП _ Л I Nммп (1)

Мсо1\ Мсо1\

где ДМ«,!! - убыль концентрации коллагена за время 1:, МсоП - начальная концентрация коллагена (масса коллагена в единице объема ВКМ), А - скорость протеолиза, МММ|>| - концентрация фермента ММР-1 в ВКМ. При оценке были приняты следующие численные значения параметров, входящих в выражение (1): Мсоц = 100-10" 6 г, А = 100 мкг/(мин пто1), I = 1440 мин, ^мР1= Ю нМ. Пользуясь приведенными данными, с помощью выражения (1) можно оценить относительную убыль коллагена за время I:

ЛМсоц /МсоП = 1.4 Ю'2

Приведенная оценка свидетельствует о том, что при однородном распределении ММП ММР-1 в порах ВКМ за сутки ММП ММР-1 разрушает не более 2% коллагена. Таким образом, разрушение коллагена в объеме ВКМ не является основным процессом, позволяющим клетке продвигаться в ВКМе. По-видимому, объемный процесс наблюдается при одновременном согласованном разрушении ВКМ группой клеток, например при ремоделинге и артритах.

В параграфе 2 главы 3 приводится оценка кинетических констант ограниченного протеолиза коллагена на мембране клетки, двигающейся в ВКМе. Для этого сначала оценивается концентрация фермента на поверхности клеточной мембраны, а далее оценивается скорость кса, ограниченного протеолиза коллагена молекулами ММП ММР1, связанными с поверхностью мембраны.

ЪСсоП _ Kai Сммп С Coli (2)

Э / Км +СсоП

где CsCoii - поверхностная концентрация коллагена, CsMmpi — концентрация ММР1 на клеточной мембране, к^, ,КМ - кинетические константы реакции ограниченного протеолиза на клеточной мембране. Поскольку концентрация молекул коллагена на поверхности существенно больше, чем константа Михаэлиса, выражение (2) записано в следующем виде:

дсСо11 , ,. rs (3)

^ - кса ММР 1

Далее на основе данных о скорости движения клетки (dL/dt) и концентрации ММР1 была решена обратная задача: оценена кинетическая константа к^ для ферментативной реакции.

М dLC V (4)

S ir* s

J, C MMP 1 "'С MMP 1

cv

L Col I

Таким образом, по результатам приведенной оценки kcat в тридцать раз превышает kcdl для объемного процесса, равную 0,72 мин'1. Известные данные исследования кинетики различных биохимических реакций в растворе и на клеточных мембранах, показывают, что соответствующая константа kcat возрастает вследствие мембранных эффектов, как правило, от 10 до 103 раз. Поэтому, полученная оценка представляется вполне правдоподобной.

В параграфе 3 третьей главы рассмотрена роль диффузионных процессов в разрушении ВКМ. Для этого использовалось известное соотношение:

(5)

где 1 - размер области, D - коэффициент диффузии, т - время установления однородного распределения. При / порядка 1 (J.M и D порядка 1(Т" м2/с т~0,1 с, что значительно меньше времени, за которое происходит заметное разрушение коллагена. Таким образом, ММП, не связанные с поверностью клетки однородно распределены по объему окружающего ВКМ. В рассматриваемом случае диффузией можно пренебречь. Приведенные оценки свидетельствуют о том, что в процессе разрушения ВКМ при инвазии клетки основную роль играют реакции ограниченного

протеолиза, протекающего на клеточной мембране: скорость разрушения ВКМ в 30 раз больше на клеточной мембране, чем в объеме ВКМ.

Четвертая глава посвящена исследованию методом математического моделирования процесса активации плазминогена урокиназой. В СРМ активация плазминогена осуществляется ферментом -урокиназой, которая в свою очередь является продуктом активации проуро-киназы. Активацию проурокиназы и образование урокиназы осуществляет U"

плазмин. Таким образом возникает положительная обратная связь.(см. рис.1).

Рис. 1. Схема биохимических реакций УПС.

Этот процесс регулируется благодаря действию ингибиторов активаторов плазминогена (РАИ,2).

Кинетика урокиназо-плазминной подсистемы в приближении Михаэлеса-Ментен записывается в виде системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений:

Ш1 = -k^[U]^-k;[u][R]+k;[UR]-kPAnc [u][pm]-kPM2l шращ,

dt КтУ+\-и\

Кка( 1

[Pg][uR]

dt Km]+[Pg) Km2+[Pg] K„5+[/>g] Km6 +[Pg] ' = -*;[?/][/?] + k~[UR]-к*г [и][Я] + k;[uR],

dt

®- = k; [U][R]-k;[UR]--^'[VR^}-km[URAPAI\] - kPAII[LKI[URRPAI2l at Km>+lUKJ

^^ = K[u}[R}-k;[uR]-keAI4,RI[uRAPAI\}-krAI2iulll[uRAPAJ2l (6)

. katl kalS [Pg][UR] i [Pg]fuR] r„ lr ,

dt KmlHPg] Kml+[Pg] Ka5+[Pg] K^+iPg] ",RP 2

d[u] _ kUmiP] k;[u][R] + k-ifuR]-kp4nu[u\[PAl\\-kfJUU[u\[PAI2]

Л НЩ

= -к,пд,[а2ар][р],

где к^.к.'.ккап.Кщ, - кинетические константы реакций, [и], [и], [Р§], [р], [РАН], [РА12], [ос2ар], [1Ж], [иЛ], - концентрация проурокиназы, урокиназы, плазминогена, плазмина, ингибиторов активаторов плазмина, ингибиторов плазмина, концентрация комплекса проурокиназа - рецептор, концентрация комплекса уроки-

наза рецептор соответственно. Факторы в квадратных скобках обозначают соответствующие концентрации.Начальные условия имеют вид:

р/](0)="о; м?ко)=о,

ЮгР)=/»*<.; [р](0) = 0,

[й](0) = «о; [и](0) = 0,

[М?](0) = 0, [РА1Х](0) = РАП0,

[РА12](0) = РА120;

где концентрации с индексом «О» относятся к начальному состоянию системы.

12 13 14 15 16 17 18 19

Рис. 2. Динамика активации плазминогена в зависимости от концентрации проурокиназы Ось абсцисс: время в минутах;

Ось ординат: отношение концентрации плазмина к начальной концентрации плазминогена. Кривые (1), (2), (3), (4) относятся к начальным концентрациям проурокиназы 1 мкМ, 2 мкМ, 3 мкМ, 4 мкМ, соответственно.

В работе применен метод Рунге-Кутты 4 порядка для решения системы 6 и разработано соответствующее программное обеспечение. На рис. 2. представлено влияние начальной концентрации проурокиназы на динамику процесса. Как видно из рис.2, динамика активации плазминогена слабо зависит от начальной концентрации проурокиназы, если концентрация проурокиназы превосходит концентрацию ингибитора РА11. Если концентрация проурокиназы приближается к концентрации РАН, стационарный уровень плазмина резко снижается.

Пятая глава посвящена изучению с помощью математического моделирования процесса разрушения ВКМ, инициируемого УПС.

В первом параграфе пятой главы предлагается общая математическая модель процесса. Во втором параграфе выделяются независимые или почти независимые подсистемы, для которых основная часть кинетических констант известна. Возможность выделения такой подсистемы связана с тем, что процесс разрушения связан с активацией параллельных ферментативных каскадов.

Параллельность ферментативных каскадов нарушается только небольшим числом связей между этими каскадами. Схема подсистемы представлена на рис.3 Схеме, представленной на рис.3

соответствует математичес-кая модель динамики, в которой система (10) дополняется следующими уравнениями:

Рв

Т

и-

-> р

-> и

проММРЗ——► ММРЗ—^

ММРЗ—з» вкм проММР9-ММР9

Рис.3. Упрощенная схема процесса разрушения коллагена типа IV УПС.

dJMMm _ kkalJ [р][ММРЗ] _ £ ^ mMPinMMnh

dt KMj+[MMP3J

i—l

dfmmpy кШ)\р\[ММРЪ] * ,,

-dl-= кМ]Чммрз, -Т^,ггшр1][ттрз;,

--P-=-H^ZTZ91 - í

dt KMj5+[MMP9J l=l

d[mmp9] = ^Ш^УММРЯ]^ dt KM¡5 + [MMP9]

(8)

^Р-^^тмр.лммр,], dt к

d[col4] _ * calco Пттрк [col4][mmp3] kcaKO¡ {mmpk [col4][mmp9] dt KMcollrampk + [co/4] ^МсоПштрк +[co/4]

где ттрЗ, mrnp9, штр8 - концентрации ММП типов 3 и 9, ММРЗ, ММР9, ММР8 - концентрации ММП типов,3 и 9,TIMP1, TIMP2, TIMP3, TIMP4 - концентрации тканевых ингибиторов ММП (ТИМП) типов 1,2,3,4. Факторы в квадратных скобках обозначают соответствующие концентрации. Начальные условия имеют вид: ММРЗ(0) = ММРЪа, ттр9(0) = 0,

ММР9( 0J = ММР90, соЩ0) = со14а, (9)

ттрЗ( 0 ) = 0, TIMPm = TIMP¡0

Для численного решения системы, образованной системами уравнений (10) и (12) с приведенными выше краевыми условиями применен метод Рунге-Кутты 4 порядка. При проведении, с помощью разработанного программного обеспечения, компьютерных экспериментов, были получены следующие результаты:

Динамика разрушения мишени - коллагена типа IV. В начале рас-

10

сматривался предельный случай отсутствия ТИМП. На рис.4 представлена зависимость концентрации коллагена типа IV от времени: параметром является концентрация проурокиназы. Поскольку разрушение коллагена типа IV происходит существенно медленнее, чем активация проММП и генерация плазмина, начальная концентрация проурокиназы практически не влияет на процесс.

О 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

t.MHH

Рис.4.Динамика разрушения коллагена IV типа в зависимости от концентрации проурокиназы. Кривые (1), (2), (3), (4) относятся к начальным концентрациям проурокиназы 0 ,2 мкМ, 4 мкМ, 6 мкМ, соответственно; ось абсцисс: время в минутах; ось ординат: концентрация коллагена в мкМ.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

t,MHH

Рис. 5. Динамика разрушения коллагена IV типа в зависимости от концентрации TIMP2. Кривые (1), (2), (3), (4) относятся к начальным концентрациям ТИМП 0 нМ, 5 нМ, 10 нМ, 15 нМ соответственно;ось абсцисс: время в минутах; ось ординат: концентрация коллагена в мкМ.

Влияние ТИМП. На рис.5 представлена зависимость концентрации коллагена типа IV от времени: параметром является концентрация ингибитора TIMP2. Как видно из приведенного рисунка, влияние TIMP2 очень существенно. При концентрации TIMP2 близкой к концентрации mmp9 разрушение коллагена практически не наблюдается. Наиболее целесообразным с точки зрения эффективности разрушения ВКМ представляется секреция TIMP2 с заметным запаздыванием относительно секреции проурокиназы и ММП. На рис.6 представлена динамика коллагена типа IV при различных запаздываниях секреции ТИМП.

о -,-,-----.-,-г—!

О 200 400 600 800 1000 1200 1400

I, мин

Рис.6. Влияние запаздывания секреции ТИМП на динамику разрушения коллагена типа IV. Кривые (1), (2), (3), (4) относятся к времени секреции ТИМП 300 мин, 600 мин, 900 мин, 1200 мин соответственно;Ось абсцисс: время в минутах; Ось ординат: концентрация коллагена в мкМ.

Полученные результаты свидетельствуют о возможности, с одной стороны, эффективно провести разрушение ВКМ, и, с другой стороны, обеспечить локализацию процесса во времени (т.е. не допустить проникновения ММП в зоны ВКМ, разрушать которые не требуется).

Шестая глава содержит описание математической модели разрушения ВКМ ММП без участия УПС (процессы в растворе).

Схема процесса представлена на рис.7. ММП мембранного типа МТ1ММР образует неактивный комплекс с ингибитором Т1МР2. Затем формируется тройной комплекс - [МТ1ММРТ1МР2проММР2]. Профермент проММР2, находящийся в составе тройного

[МТ1ММР-Т1МР2-ргоММР21

[МТ1ММР]-

[Т1М£2]

[МТ1ММР-Т1МР2-ММР21

4

[Со1 IV]

Рис 7. Схема процесса разрушения ВКМ ММП без участия УПС

комплекса, может быть активирован ферментом МТ1ММР, не связанным в комплекс с ингибитором Т1МР2. Активный фермент ММР2 разрушает коллаген IV типа - основной компонент базальных мембран.Система уравнений, описывающая процессы представленные на рис.7 имеет вид:

с1[тйттр Т1МР2 ММР2)

<Й Кш +[тС1ттр Т1МР2 ММР2]

(¡[тйттр Т1МР2 ттр2]

Л Кш +[тИттр Т1МР2 ММР2]

- К,3[ТШР2][т11ттр Т1МР2 ттр2],

^тПттР]=КЛТШр2][тЛттр1 (Ю)

с1[Т/МР2]

с11

<1[Со11У]

---К,1[Т1МР2][тИттр]-К1У[Т1МР2][тйттр Т1МР2 ММР2],

Л

Начальные условия для системы (14) имеют вид:

[ММР2](0) = ММР2о, [МТ\ММР](0) = МПММР0, (П)

[ттр2]{0) = 0, [Со1Щ(0) = Со11У0,

[Т1МР2](0) = Т1МР2о.

В системе (10) учтены ферментативные реакции, а также реакции второго порядка, приводящие к формированию комплекса ингибитор - протеиназа. Решение системы (10) с начальными условиями (11) было получено методом Рунге-Кутты 4 порядка.

В параграфе 3 главы 6 описывается постановка оптимизационной задачи Истинные количества белков, секретируемых клеткой при разрушении ВКМ остаются неизвестными. Поэтому для их нахождения используется гипотеза, согласно которой критерием оптимальности СРМ является минимальная секреция веществ, необходимых для осуществления процесса

^ — ^-мпммрМмпммг + ^тшргМпмрг ^ммрг^ммрг т'п> 02) где С.-концентрация вещества типа ¡декретируемого клеткой, ц,-молекулярный вес вещества типа

Далее было сформулированы ограничения выражающие физиологическую функцию СРМ. Первое из них с помощью системы уравнений (10) выражает количество разрушенного коллагена и время, за которое будет достигнут этот результат. То есть:

С^^ (13)

Со/4(0)

где М(1к) - процент разрушенного коллагена типа 4 в момент времени 1к, Со14(1к)-концентрация коллагена типа 4 в момент времени 1к, Со14(0) - начальная концентрация коллагена типа 1.

Второе ограничение выражает концентрацию ММП к моменту окончательного разрушения ВКМ; она должна быть достаточно малой

N(tk) =

MT \MMP (tk)+ ММР 2(tk) МТ \ММР (0) + ММР 2(tk)

100 % = 5%,

где N(tk) - процент активных (не связанных комплексом с ингибитором) ферментов в момент времени tk, C(tk) - концентрация ММП в момент времени tk, С(0) - начальная концентрация ММП.

В четвертом параграфе шестой главы описывается программное обеспечение, созданное для решения оптимизационной задачи, и полученные результаты. На первом этапе решения оптимизационной задачи предполагалось, что ингибиторы и ММП секретируются одновременно в начале процесса. В этом случае не удалось получить результата, удовлетворяющего разумным физиологическим требованиям. Именно, оптимальные концентрации МТ1ММР и ингибиторов оказались вне физиологического диапазона. В качестве следующего этапа было получено решение для случая секреции ингибиторов с запаздыванием на 24 часа. В этом случае оптимальные концентрации оказались равными: CMtimmp = 7.8 nM, C[mtimmp timp2 ммр2]=216 nM, С-ПМР2 = 218 пМ, что соответствует данным биохимических исследований для концентрации МТ1ММР, но на порядок больше для концентрации ММР2 и ингибитора TIMP2. Это подтверждает положения, приведенные в параграфе 3.1 главы 3. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть модель данных реакций на поверхности, а не в объеме. Оптимизационная модель сформулированная выше, дает возможность определить оптимальное, с точки зрения критерия 3, время запаздывания секреции ингибиторов. В результате было установлено оптимальное время запаздывания tjan = 1438 мин (при времени эксперимента 1440 мин).

Седьмая глава посвящена созданию оптимизационной математической модели разрушения коллагена 4 типа на поверхности клеточной мембраны и определению кинетических констант и динамики этого процесса. Для определения величин кинетических констант предложена оптимизационная модель, основанная на критерии минимального потребления белков.

В параграфе 1 главы 7 рассматривается критерий оптимальности системы разрушения коллагена типа IV. Разрушение этого соединения осуществляется ММП ММР2. Для активации проММР2 клетка секретирует несколько белковых соединений. Предполагается, что в процессе эволюции селективное преимущество получали виды, способные уменьшить затраты, связанные с синтезом или ресинтезом белков, участвующих в физиологических процессах и, в частности, в разрушении

В приложении к рассматриваемой задаче, критерий минимального потребления белков принимает вид:

где С, - начальная концентрация белка на поверхности клеточной мембраны; М, -молекулярная масса ¡-го профермента или фермента, соответственно; Ы- число соединений участвующих в разрушении коллагена IV.

Целевая функция (15) достигает минимума при оптимальных параметрах огра-

ВКМ.

N

(15)

S = £c, М, =min,

(=1

ниченного протеолиза коллагена типа IV. При поиске решения оптимизационной задачи нахождением условного экстремума целевой функции (15) должно быть сформулировано ограничение. Ограничение должно определяться способностью системы выполнить свою физиологическую функцию.

В параграфе 2 главы 7 описывается математическая модель динамики разрушения коллагена 4 типа на поверхности клеточной мембраны. Схема процесса представлена на рис.7. МТ1ММР образует неактивный комплекс с TIMP2. Затем формируется тройной комплекс - [МТТММР TIMP2 проММР2]. Профермент проММР2, находящийся в составе тройного комплекса, может быть активирован ферментом МТ1ММР, не связанным в комплекс с ингибитором TIMP2.

Принимая кинетику Михаэлеса-Ментен, и учитывая схему процесса, мы приходим к следующей системе нелинейных, обыкновенных, дифференциальных уравнений 1 порядка:

d[Y]_ kcaJY][X]-d[Z] = kcaJY][X]-d[U] _ k^fUJfZ] , (16)

dt Ku¡ + [Y ] dt Kul + [Y ] dt KV1 + [U]

где X, Y, Z -концентрации [MT1MMP], [npoMMP2 TIMP2 MT1MMP] и [MMP2 TIMP2 MT1MMP] , соответственно; U - концентрация коллагена типа IV; kcat i - кинетическая константа ¡-ой реакции; kMi - константа Михаэлеса i-ой реакции. Переменные X,Y,Z,U, как и константы Михаэлиса, имеют размерность поверхностных концентраций [нмоль/дм2].

Данные биохимических исследований концентраций МТ1ММР и проММР2 на поверхности клеток линий COSI и НТ1080 с учетом действия ингибиторов могут быть оценены как: [X] = 7,5 10"4 нмоль/дм2, [Y] = 4,5 10"4 нмоль/дм2; [X] =1,1 10"3 нмоль/дм2, [Y] = 3,0 10"4 нмоль/дм2 соответственно.

Рассматриваемая оптимизационная задача может быть решена с учетом ограничения, которое выражает способность СРМ выполнить свою основную функцию. В нашем случае ограничение определяется массой коллагена типа IV, разрушаемого за заданное время. По данным биохимических исследований клетка линии А2058 проникает через базальную мембрану толщиной 10 мкм за 48 часов. Эти данные позволяют представить ограничение в виде уравнения (22)

kc''fnlu, Л2№-А=о, (17)

где [U0] - концентрация коллагена типа IV на поверхности мембраны, Т - время, затрачиваемое на разрушение базальной мембраны, А=0,3 10~7 дм/мин.

Параграф 3 главы 7 посвящен постановке оптимизационной задачи определения кинетических констант (kca,,, kcat2), входящих в систему уравнений (16) и программному обеспечению для её решения.При решении прямой оптимизационной задачи мы полагаем, что концентрации ферментов и проферментов доставляют условный экстремум целевой функции (16) с ограничением (17).Кинетические константы определяются решением обратной оптимизационной задачи: если заданы поверхностные концентрации проферментов и ферментов, равные их наблюдаемым значениям, кинетические константы определяются так, чтобы оптимальные концентрации совпадали с их наблюдаемыми значениями. Для решения обратной оптими-

зационной задачи был применен метод покоординатного спуска к минимизации функции:

кш2) =(МГ1ММР„- МТ1ММР,т„/ + (ММР2„- ММР2опт)7. (18) Параграф 4 главы 7 посвящен обсуждению результатов решения оптимизационной задачи. Если задать оптимальные концентрации [Х],[У], равными приведенным выше экспериментальным величинам, кинетические константы определяются выражением (18). д

0,6 1

и н

Рис. 8. Динамика активации комплекса (проММР2 Т1МР2 МТ1ММР] Ось абсцисс: время в мин.

Ось ординат: концентрация комплекса [ММР2ЛМР2 МТ1ММР], пмоль/дм2

В результате были определены следующие величины кинетических констант: 1^2,1= 2,010 2 мин"1, Кса,2= 2,0 мин"1; они еще не были определены биохимическими методами. Теперь все параметры, входящие в систему (16), определены.

Решение системы (16) дает возможность исследовать динамику разрушения ба-зальной мембраны. Результаты исследования динамики системы представлены в параграфе 5 главы 7. На рис.8 представлена динамика активации проММР2. Через 5 часов после начала процесса концентрация фермента ММР2 выходит на стационарный уровень. Стационарное состояние соответствует полной активации проММР2, секретированной клеткой. На рис.9 представлена зависимость толщины разрушенного слоя базальной мембраны от времени. Как и следовало ожидать, на основе данных рис. 8, скорость разрушения базальной мембраны через 5 часов после начала процесса становится постоянной.

О 144 288 432 577

t,M нн

Рис. 9. Динамика разрушения базальной мембраны Ось абсцисс: время в мин.

Ось ординат: толщина разрушенного слоя базальной мембраны, мкм

Заключение

Работа посвящена исследованию методом математического моделирования динамики разрушения ВКМ. Одним из практических результатов работы явилось исследование эффективности различных способов подавления разрушения ВКМ и, следовательно, метастазирования опухолей.

Базой для проведенных исследований послужила обширная информация, полученная с помощью биохимических методов, однако, биохимические данные не дают возможности составить представление о количественных динамических характеристиках системы разрушения ВКМ, как целого. Работы, посвященные применению метода математического моделирования к исследованию динамики разрушения ВКМ, в научной литературе отсутствуют.

Поскольку разрушение ВКМ может осуществляться двумя путями: с участием УПС и с непосредственной секрецией ММП клеткой, в диссертации предложены математические модели этих процессов.

Биохимическими методами определены лишь некоторые кинетические константы ферментативных реакций и реакций второго порядка. Создание математических моделей и проведение компьютерного моделирования стало возможным благодаря применению следующих, дополняющих друг друга подходов: -Из большой, сложной нелинейной системы, которую представляет собой СРМ, были выделены подсистемы, наиболее полно изученные биохимическими методами. К таким подсистемам, в частности, относятся: УПС, подсистема разрушения коллагена типа 4, инициируемая МТ1ММР с участием ММР2 и TIMP2. -Предложена оптимизационная модель, которая позволяет определять концентрации ММП и ингибиторов, если заданы кинетические константы, а также физиологические цели системы - разрушение в значительной степени основных прочностных элементов ВКМ.

- Предложена также «обратная» оптимизационная модель, которая позволила определять кинетические константы реакций на основе совпадения оптимальных концентраций проферментов и ферментов на поверхности клетки и их величин, определенных биохимическими методами.

При выполнении диссертационной работы решены задачи создания математических моделей динамики урокиназо - плазминной подсистемы, динамики объемного процесса разрушения ВКМ ММП с участием на первой стадии УПС, дина- " мики разрушения базальной мембраны (коллагена 4 типа), процесса разрушения базальной мембраны, локализованного на клеточной поверхности.

На основе предложенных моделей было разработано программное обеспечение и проведено исследование динамики процесса активации ферментативных каскадов и разрушения элементов ВКМ. Проведены также численные эксперименты, позволяющие установить физиологическую роль отдельных элементов рассматриваемых подсистем. В частности была исследована роль ТИМП и установлена возможность подавления разрушения ВКМ.

В результате математического моделирования были также установлены следующие особенности процесса разрушения ВКМ: запаздывание секреции Т1МР2 относительно секреции проММП и ММП, слабое влияние ингибиторов урокиназы и плазмина на конечный эффект - разрушение ВКМ.

Также было разработано ПО на основе оптимизационных моделей, и с его помощью были определены кинетические константы мембранного разрушения базальной мембраны, определена оптимальная кинетика секреции ингибитора Т1МР-2, проведены компьютерные эксперименты с целью исследования методов подавления метастазирования опухолей. В результате решения оптимизационных задач были определены: концентрации фермента МТ1ММР, профермента ргоММР2 и ингибитора Т1МР2 для процессов в объеме. Установлено, что секреция ингибитора происходит с запаздыванием, относительно секреции проферментов и ферментов, определена также величина этого запаздывания. Для процессов на поверхности были определены величины кинетических констант в реакциях активации прожелатиназы (ргоММР2) и гидролиза коллагена 4 типа.

Список основных работ, опубликованных по теме диссертации:

1. Игнатьев Д.Ю. Механизм метастазирования злокачественных опухолей. Математическая модель // Научные труды МАТИ им. К.Э. Циолковского, выпуск 3 (75), М.: "Латмэс", 2000, стр. 384-389.

2. Игнатьев Д.Ю. Математическая модель динамики разрушения базальной мембраны (оптимизационный подход)// Объединенный научный журнал. № 28 (86),

2003 г. стр.62-67. *

3. Игнатьев Д.Ю. Математическое моделирование разрушение ВКМ. Оценка роли объемных и поверхностных реакций// Объединенный научный журнал. № 28 (86), 2003 г. стр.68-71.

4. Игнатьев Д.Ю., Ханин М.А. Математическая модель урокиназо - плазминной системы разрушения межклеточного ВКМ// Проектирование и технология электронных средств, №1, 2003 г. стр. 34-42.

Заказ Ns 114/04/06 Подписано в печать 18.04.2006 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 0,67

¿г ч ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 778-22-20 f'lsf ) www. cfr. ru; e-mail:info@cfr. ru

лоо G А

Us- 93 87

i'

/*

Введение.

Глава 1. Литературный обзор.

Глава 2. Постановка задачи и цели исследования.

Глава 3. Оценка роли объемных и мембранных ферментативных реакций, участвующих в разрушении внеклеточного матрикса.

3.1. Оценка времени, необходимого для разрушения матрикса в результате ограниченного протеолиза в объеме.

3.2. Оценка кинетических констант ограниченного протеолиза коллагена на клеточной мембране.

3.3. Роль диффузионных процессов в разрушении матрикса.

Глава 4. Математическая модель активации плазминогена урокиназой с участием рецепторов и ингибиторов.

4.1. Схема биохимических реакций.

4.2. Математическая модель динамики активации плазминогена.

4.3. Начальные условия.

4.4. Программное обеспечение и результаты численных экспериментовЗб

Глава 5. Математическая модель разрушения ВКМ с участием урокиназо-плазминной системы.

5.1. Описание математической модели.

5.2. Упрощенная схема биохимических реакций разрушения матрикса.

5.3. Программное обеспечение и результаты численных экспериментов

Глава 6. Математическая модель разрушения ВКМ металлопротеиназами (процессы in vitro).

6.1. Схема процесса.

6.2. Математическая модель кинетики разрушения элементов внеклеточного матрикса металлопротеиназой МТ1-ММР.

6.3. Постановка оптимизационной задачи (оптимальные концентрации прометаллопротеиназ и время запаздывания секреции ингибиторов).

6.4. Решение оптимизационной задачи.

Глава 7. Разрушение коллагена типа 4 на поверхности клеточной мембраны: оптимизационная модель и динамика процесса.

7.1. Критерий оптимальности системы разрушения матрикса.

7.2. Динамическая модель разрушения коллагена типа IV.

7.3. Оптимизационная задача.

7.4. Результаты решения оптимизационной задачи: определение кинетических констант.

7.5. Динамика разрушения коллагена 4 типа на поверхности клеточной мембраны.

7.6. Обсуждение результатов, полученных в главе 7.

Внеклеточный (экстрацеллюлярный) матрикс представляет собой сложную тканеспецифическую структуру, состоящую из волокон коллагена и других белков, секретируемых клеткой. Внеклеточный матрикс определяет механические свойства тканей, обеспечивает передачу сигналов, транспортировку выделяемых и потребляемых клеткой веществ, взаимодействие с соседними клетками. Предлагаемая работа посвящена исследованию методом математического моделирования физиологических механизмов разрушения внеклеточного матрикса.

Как известно, одним из тяжелейших осложнений злокачественных новообразований является метастазирование клеток опухоли. Для того, чтобы попасть в кровоток и затем выйти из сосуда и углубиться в некоторый физиологический орган, клетка опухоли должна предварительно полностью или частично разрушить окружающий её внеклеточный матрикс стромы и затем матрикс базальной мембраны, отделяющей соединительную и эпителиальную ткани. Для решения этой задачи существует специальный физиологический механизм, который называют системой разрушения матрикса (СРМ). Основными элементами этой системы являются белковые соединения, секретируемые клетками. В функционировании СРМ принимают участие специфические мембранные рецепторы, а также адгезионные активные центры (сайты). При функционировании этой системы возникает сравнительно короткий каскад ферментативных реакций. В СРМ существуют также положительные обратные связи и специфические ингибиторы. Следует заметить, что СРМ функционирует не только при развитии злокачественной опухоли, но и в ряде нормальных физиологических процессов. К этим процессам, в частности, относятся:

1.Внедрение эмбриона в стенку матки;

2.Выход зрелых клеток крови из костного мозга;

3.Процессы регенерации различных органов и тканей, а также их перестройки и др.

4.Процесс разрушения хрящевых тканей суставов при ревматоидных заболеваниях.

СРМ относится к числу сложных нелинейных систем. Основные принципы функционирования этой системы трудно выявить без применения математического моделирования. Альтернативный подход, основанный на исследовании модели, составляемой из чистых реактивов, вследствие методологических трудностей, не был применен. К сожалению, математические модели динамики разрушения матрикса к настоящему моменту еще не были развиты. Данная диссертационная работа является первым исследованием динамики процесса разрушения ВКМ методом математического моделирования. Предлагаемая модель относится к разновидности математических моделей с сосредоточенными параметрами. Отдельно рассматриваются динамика генерации плазмина, являющегося основным ферментом, активирующим некоторые матричные металлопротеиназы. Другая математическая модель, развитая в диссертации, описывает процесс разрушения компонент матрикса (отдельные виды коллагена, эластин и др.) металлопротеиназами.

Существенной особенностью предлагаемого исследования является применение оптимизационных моделей определения кинетических констант, величины которых еще не были определены биохимическими методами. Необходимость применения оптимизационных подходов связана с тем, что в рассматриваемой области к настоящему времени были определены далеко не все кинетические константы, входящие в динамическую математическую модель разрушения ВКМ. Предложенная оптимизационная модель основана на принципах минимального потребления белков системой. В случае исследования СРМ критерий оптимальности сформулирован как условие минимума массы белков (как субстратов, так и ферментов), секретируемых клеткой. Ограничение формулируется на основе динамической модели. Оно выражает требование разрушения ВКМ в заданном объеме за заданное время. Решение прямой оптимизационной задачи позволяет определить концентрации субстратов, которые секретирует клетка. Решение обратной оптимизационной задачи позволяет определить кинетические константы, если заданы концентрации субстратов на поверхности клеточной мембраны или в объеме матрикса. Функционирование обоих разновидностей процесса разрушения ВКМ подтверждается экспериментальными исследованиями.

Предложенные модели позволяют описать динамику функционирования СРМ как единой системы и установить роль отдельных белковых соединений в её функционировании. Кроме того, предложенные математические модели, составившие основу разработанного программного обеспечения, позволяют проводить компьютерные эксперименты. Например, в ходе таких экспериментов, становится доступным исследование методов подавления разрушения ВКМ и, следовательно, метастазирования.

Выводы

1. На основе анализа результатов биохимических исследований представлены математические модели динамики двух подсистем разрушения внеклеточного матрикса: с участием урокиназо-плазминной системы и системы матричных металлопротеиназ мембранного типа.

2. Предложена оптимизационная модель, позволившая установить величины концентраций прометаллопротеиназ и металлопротеиназ, которые не были определены биохимическими методами: МТ1ММР и ргоММР2 в растворе.

3. Определены кинетические константы ферментативных реакций на поверхности клеточной мембраны путем решения «обратной» оптимизационной задачи.

4. Исследована динамика разрушения коллагена типа IV в зависимости от начальных концентраций МТ1-ММР, ргоММР2, TIMP2.

5. Установлено, что секреция ингибиторов металлопротеиназ (TIMP) происходит с запаздыванием относительно секреции прометаллопротеиназ и металлопротеиназ.

6. Предложенные модели позволяют проводить численные эксперименты с целью выявления эффективных методов профилактики разрушения ВКМ опухолевыми клетками и, следовательно, профилактики метастазирования.

Заключение

Предлагаемая работа посвящена исследованию механизма разрушения внеклеточного матрикса методом математического моделирования. Основной целью работы являлось исследование эффективности различных способов подавления разрушения внеклеточного матрикса и, следовательно, метастазирования опухолей.

Базой для проведенных исследований является обширная информация о динамике разрушения ВКМ, полученная с помощью биохимических методов.

В известной литературе, работ, посвященных применению метода математического моделирования к исследованию динамики разрушения внеклеточного матрикса, обнаружить не удалось.

Известна только одна работа, посвященная исследованию урокиназо -плазминной системы, как элемента, входящего в фибринолитическую систему [6]. Поскольку разрушение ВКМ может осуществляться двумя путями: с участием урокиназо - плазминной системы и без нее, в диссертации предложены математические модели этих процессов. Несмотря на интенсивные биохимические исследования, проведенные в последние 10 лет, и, в особенности, в последние 5 лет, в этой области сохраняются белые пятна. В первую очередь это относится к процессу разрушения ВКМ, локализованному на клеточной мембране. Например, биохимическими методами определены не все кинетические константы ферментативных реакций и реакций второго порядка. Это обстоятельство существенно затрудняло создание математической модели и проведение исследования динамики разрушения матрикса. Эти трудности были преодолены благодаря применению следующих, дополняющих друг друга подходов:

- Из большой, сложной нелинейной системы, которую представляет собой СРМ, были выделены подсистемы наиболее полно изученные биохимическими методами. К таким подсистемам, в частности, относятся: урокиназо - плазминная система с участием рецепторов (uPA-uPAR system), подсистема разрушения коллагена типа 1, инициируемая матричной металлопротеиназой мембранного типа 1 с участием матричных металлопротеиназ типов 3 и 8 и тканевых ингибиторов металлопротеиназ - TIMP1 и TIMP2.

- Предложена оптимизационная модель, которая позволяет исследовать и определять численные значения скорости секреции металлопротеиназ, если заданы кинетические константы, а также физиологические цели системы - разрушение в значительной степени основных прочностных элементов внеклеточного матрикса.

- Предложена также «обратная» оптимизационная модель, которая позволила определять кинетические константы реакций на основе совпадения оптимальных концентраций проферментов и ферментов на поверхности клетки и их величин, определенных биохимическими методами.

При выполнении диссертационной работы решены следующие задачи: 1. Создание следующих математических моделей:

A) Динамики урокиназо - плазминной подсистемы;

Б) Динамики объемного процесса разрушения внеклеточного матрикса металлопротеиназами с участием на первой стадии урокиназо-плазминной подсистемы;

B) Динамики разрушения базальной мембраны (коллагена 4 типа). Процесс локализован на мембране клетки, которая секретирует прометаллопротеиназы и металлопротеиназы (без участия урокиназо-плазминной подсистемы);

Г) Оптимизационной модели мембранного процесса разрушения базальной мембраны.

2. Разработано программное обеспечение на основе математических моделей, указанных в п.1.

3. Определены кинетические константы мембранного разрушения базальной мембраны.

4. Определена оптимальная кинетика секреции ингибитора TIMP-2.

5. Проведены компьютерные эксперименты с целью исследования методов подавления метастазирования опухолей.

В результате решения оптимизационных задач были определены: концентрации фермента МТ1ММР, профермента ргоММР2 и ингибитора TIMP2 для процессов в объеме. Установлено, что секреция ингибитора происходит с запаздыванием, относительно секреции проферментов и ферментов, определена также величина этого запаздывания. Для процессов на поверхности были определены величины кинетических констант в реакциях активации прожелатиназы (ргоММР2) и гидролиза коллагена 4 типа.

Решение оптимизационных задач позволило определить кинетические константы и концентрации проферментов и ферментов, необходимые для полной формулировки моделей разрушения матрикса в объеме (in vitro) и на поверхности клеточной мембраны.

На основе предложенных моделей проведено исследование динамики процесса активации ферментативных каскадов и разрушения элементов матрикса. Проведены также численные эксперименты, позволяющие установить физиологическую роль отдельных элементов рассматриваемых подсистем.

В частности была исследована роль ингибиторов тканевых ингибиторов металлопротеиназ (TIMP1 и TIMP2) и установлена возможность подавления разрушения матрикса.

В результате математического моделирования были также установлены следующие особенности процесса разрушения матрикса: запаздывание секреции тканевых ингибиторов металлопротеиназ (TIMP1 и TIMP2) относительно секреции прометаллопротеиназ и металлопротеиназ, слабое влияние ингибиторов урокиназы и плазмина на конечный эффект -разрушение В КМ.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. //М:Наука, 1975.

2. Белецкий Я. Энциклопедия языка Си//М:Мир, 1992.

3. Богданов Ю.С, Мазаник СЛ., Сыроид Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений //Мн:Ушверспэцкае, 1996.

4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислителной математики //М:Наука, 1970.

5. Игнатьев Д.Ю. Механизм метастазирования злокачественных опухолей. Математическая модель // Научные труды МАТИ им. К.Э. Циолковского, выпуск 3 (75), М.: "Латмэс", 2000, стр. 384-389

6. Игнатьев Д.Ю. Математическая модель динамики разрушения базальной мембраны (оптимизационный подход)// Объединенный научный журнал. № 28 (86), 2003 г. стр.62-67.

7. Игнатьев Д.Ю. Математическое моделирование разрушение внеклеточного матрикса. Оценка роли объемных и поверхностных реакций// Объединенный научный журнал. № 28 (86), 2003 г. стр.6871.

8. Игнатьев Д.Ю., Ханин М.А. Математическая модель урокиназо -плазминной системы разрушения межклеточного матрикса //Проектирование и технология электронных средств, №1, 2003 г. стр. 34-42

9. Канторова В.И. Пространственно-временная организация внеклеточного матрикса Онтогенез, 1994, Т.25 № 1 с. 14-26

10. Ю.Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах//М:Наука. 1972.

11. Левшиц В.М., Литвин Б.Ф. Приближенные вычисления ипрограммирование на ЭВМ «Наири-2». Л: Машиностроение. 1977.

12. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения//М:Наука. 1998.

13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики //М:Наука, 1966.

14. М.Ханин М.А., Дорфман Н.Л., Бухаров И.Б. и др. Эктремальные принципы в биологии и физиологии// М: Наука. 1978.

15. Черноусько Ф.Л. Оптимальные ветвящиеся трубопроводные структуры //Прикл. Мат. Мех. 1977. Т.41. С. 376-383.

16. Черноусько Ф.Л. Оптимальные ветвящиеся трубопроводныеструктуры в биомеханике. Мех. Копозиц. Матер. 1980. Т. 16. С. 308311.

17. Andresen P.A., Kjoller L., Christensen L. and Duffy M.J. The Urokinase type plasminogen activator System in Cancer Metastasis//Int. J. Cancer 1997. V.72 p. 1-22

18. Benbow U., Buttice G., Nagase H., And Kukinen M. Characterization of Matrix Metalloproteinase 3(Stromelysin 1) Obtained by Site-directed Mutation of Phenylalanine 83// J. Biol. Chem. 1996 V. 271 No. 16 p. 10715-10722

19. Butler S.G., Apte S.S., Willenbrock F., and Murphy G.Human Tissue Inhibitor of Metalloproteinases 3 Interacts with Both the N- and C-terminal Domains of Gelatinases A and B// J. Biol. Chem., 1999. V.274 No. 16 p. 10864-10851

20. Butler G.S., Butler M.J., Atkinson S.J., Will H., Tamura Т., van Westrum S.S., Crabbe Т., Clements J., d'Ortho M., Murphy G. The TIMP2 Membrane Type 1 Metalloproteinase "Receptor" Regulates the

21. Concentration and Efficient Activation of Progelatinase A. A kinetic study. // J. Biol. Chem. 1998 V. 273 No. 2 p. 871-880

22. Cohn D. Optimal systems I: the vascular system // Bull. Math. Biophys. 1955. V. 16. P. 59-74.

23. Collen D., Zamarron C., Lijnen H.R., and Hoylaerts M. Activation of Plasminogen by Pro-urokinase//J. Biol. Chem., 1986. V.261 No.3 p. 12591266

24. Conese M. and Blasi F. Urokinase/Urokinase Receptor System: Internalization/Degradation of Urokinase-Serpin Comlexes: Mechanism and Regulation// Biol.Chem.Hoppe-Seyler 1995. V.376 p. 143-155

25. Deryugina E.I., Bourdon M.A., Luo G.X., Reisfeld R.A. and Strongin A. Matrix metalloproteinase-2 activation modulates glioma cell migration // J. Cell. Scince. 1997 V. 110 p. 2473-2482

26. Ellis V., Scully M.F., Kakkar V.V. Plasminogen Activation Initiated by Single-Chain Urokinase-type Plasminogen Activator //J. Biol. Chem., 1989. V.264 No.4 p. 2185-2188

27. Ellis V. Functional Analysis of the Cellular Receptor for Urokinase in Plasminogen Activation. Receptor Binding has no Influence on the Zimogenic Nature of Prourokinase //J. Biol. Chem., 1996. V.271 No.25 p. 14779-14784

28. Ellis V., Wun Т., Behrendt N., Ronne E., and Dano K. Inhibition of Receptor-bound Urokinase by Plasminogen-activator Inhibitors//!. Biol. Chem., 1990. V.265 No. 17 p. 9904-9908

29. Ellis V., Behrendt N., and Dano K. Plasminogen activation by receptor-bound urokinase. A Kinetic Study with both Cell-associated and isolated receptor//! Biol. Chem., 1991. V.266 No.19 p. 12752-12758

30. I.Ellis V., and Dano K. Potentiation of plasminogen activation by an anti-urokinase monoclonal antibody due to ternary complex fomation //J. Biol. Chem., 1993. V.268 No.7 p. 4806-4813

31. Ellis V., and Dano K. Plasminogen activation by receptor-bound urokinase //Seminars in Thrombosis and Hemostasis 1991., V.17 No. 3. p 194-199

32. Ellis V., Scully M.F., Kakkar V.V. Plasminogen Activation by Single-Chain Urokinase in Functional Isolation //J. Biol. Chem., 1987. V.262 No.31 p. 14998-15003

33. Haas T.L., Davis S.J., Madri J.A. Three-dimensional Type I Collagen Lattices Induce Coordinate Expression of Matrix Metalloproteinases MT1-MMP and MMP-2 in Microvascular Endothelial Cells. // J. Biol. Chem. 1998 V. 273 No. 6 p. 3604-3610

34. Higazi A.A., Cohen R.L., Henkin J., Kniss D., Schwartz B.S., Cines D.B. Enhancement of the Enzymatic Activity of Single chain Urokinase Plasminogen Activator by Soluble Urokinase Receptor. //J. Biol. Chem., 1995. V.270 No.29 p. 17375-17380

35. Horsefield К., Cumming G. Angles of branching and diameters of branches in the human bronchial tree // Bull. Math. Biophys. 1967. V. 29. P. 245-259.

36. Kamiya A. Togawa T. Optimal branching structure of the vascular tree //Bull. Math. Biophys. 1972. V. 34. P. 431-438.

37. Khanin M.A., Bukharov I.B. A mathematical model of the functional state of the oxygen transport system // Bull. Math. Biol. 1980. V. 42. P. 627645.

38. Khanin M.A., Bukharov I.B. A mathematical model of the pathological functional state of the oxygen transport system // J. Theor. Biol. 1984. V.86.P. 46115-46125.

39. Khanin M.A., Bukharov I.B. A mathematical model of the exercise functional state of the oxygen transport system// J. Theor. Biol. 1989. V. 137. P. 191-201.

40. Khanin M.A., Bukharov I.B. Optimal structure of the microcirculatory Bed //J. Theor. Biol. 1991. V. 169. P. 267-273.

41. Knauper V., Will H., Lopez-Otin C., Smith В., Atkinson S.J., Stanton H., Hembry R.M., and Murphy G. Cellular Mechanisms for Human Procollagenase-3 (MMP-13) Activation//J. Biol. Chem., 1996. V.271 No.29 p. 17124-17131

42. Knauper V., Lopez-Otin C., Smith В., Knight G. and Murphy G. Biochemical Characterization of Collagenase-3//J. Biol. Chem., 1996. V.271 No.3 p. 1544-1550

43. Kwaan H.C., Keer H.N., Radosevich J.A.,Cajot J.F., Ernst R. Components of the Plasminogen-Plasmin System in Human Tumor Cell1.nes//Seminars in Thrombosis and Hemostasis 1991., V.l7 No. 3. p 175182

44. Lauer-Fields J.L., Tuzinski K.A., Shimokawa K., Nagase H., and Fields G.B. Hydrolysis of Triple-helical Collagen Peptide Models by Matrix Metalloproteinases// J. Biol. Chem. 2000 V. 275 No. 18 p. 13282-13290

45. Lee S.W. Ellis V., and Dichek D.A. Characterization of Plasminogen Activation by Glycosylphosphatidylinositol-ancored Urocinase //J. Biol. Chem., 1994. V.269 No.4 p. 2411-2418

46. Li S., Chow L.H., Pickering J.G. Cell Surface-bound Collagenase-1 and Focal Substate Degradation Stimulate the Rear Release of Motile Vascular Smooth Muscle Cells // J. Biol. Chem. 2000 V. 275 No. 45 p. 3538435392

47. Liu G., Shuman M.A., and Cohen R.L. Co-expression of Urokinase, Urokinase Receptor and PAI-1 is necessary for Optimum Invasiveness of Cultured Lung Cancer Cells//Int. J. Cancer 1995. V.60 p.501-506

48. Mignatti P. and Rifkin D.B. Biology and Biochemestry of Proteinases in Tumor Invasion//Physiological Reviews 1993 V.73,No.l p.161-195

49. Milsum J.H. Optimization aspects in biological control theory // In: S.N. Levine, eds, Advances in biomedical engineering and medical physics. 1968 V.l. New York: Interscience, p. 243-278, (1968).

50. Murphy G., Willenbrock F., CrabbeT., O'SheaM., WardR., Atkinson S., O'Connel J., And Docherty A. Regulation of Matrix Metalloprotease Activity//Ann. New York Academy of Sciences 1991 p. 31-41

51. Murphy P.G., Hart D.A. Regulation of Plasminogen Activator and Plasminogen Activator Inhibitor Expression by Cells of Neural Origin//Seminars in Thrombosis and Hemostasis 1991., V. 17 No. 3. p 268275

52. Murray C.D. The physiological principle of minimum work I: the vascular system and the cost of blood volume. // Prot. Nat. Acad. Sci. 1926. V.12. P. 207-214.

53. Nagase H. Activation Mechanisms of Matrix Metalloproteinases// Biol. Chem 1997 V.378 p. 151-160

54. Ramos-DeSimone N., Hohn-Dantona E., Sipley J., Nagase H. Activation of Matrix Metalloproteinase-9 (MMP-9) via a Converging Plasmin/Stromelysin-1 Cascade Enhances Tumor Cell Invasion// J. Biol. Chem., 1999. V.274No.l9p. 13066-13076

55. Ries C. and Petrides P.E. Cytokine Regulation of Matrix Metalloproteinase Activity and Its Regulatory Dysfunction in Disease// Biol.Chem.Hoppe-Seyler 1995. V.376 p.345-355

56. Rosen R. Optimality Principles in Biology // London, U.K., Butterworths, 1967.

57. Schmitt M., Harbeck N., Thomssen C., Wilhelm O., Magdolen V.,

58. Reuning U., Ulm K., Hofler H., Janicke F., and Graeff H. Clinical Impact of the Plasminogen Activation System in Tumor Invasion and Metastasis: Prognostic Relevance and Target for Therapy//Thrombosis and Haemostasis 1997 V.78(l) p.285-296

59. Sinniger V., Merton R.E., Fabregas P., Felez J., and Longstaff C. Regulation of Tissue Plasminogen Activator Activity by Cells//J. Biol. Chem, 1999. V.274No.l8p. 12414-12422

60. Uylings H.B.M. Optimization of diameters and bifurcation angles in lung and vascular tree structures // Bull. Math. Biol. 1997. V. 39. P. 509-515

61. Werb Z. ECM and Cell Surface Proteolysis: Regulating Cellular Ecology//Cell 1997 V.91 p.493-442

62. Werner F., Razzaq T.M., Ellis V. Tissue Plasminogen Activator Binds to Human Vascular Smooth Muscle Cells by a Novel Mechanism// J. Biol. Chem., 1999. V.274No.31 p. 21555-21561

63. Yao P.M., Buhler J.M., d'Ortho M.P., Lebargy F., Delclaux C., Harf A., Lafuma C. Expression of Matrix Metalloproteinase Gelatinases A and В by Cultured Epithelial Cells from Human Bronchial Explants // J. Biol. Chem. 1996 V. 271 No. 26 p. 15580-15589

64. Zamir M. Optimality principles in arterial branching // J. Theor. Biol., 1976. V. 62. P. 227-251.