автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование волноводно-резонансных свойств биизотропных сред

На правах рукописи

Ромашин Александр Валерьевич___

Математическое моделирование волноводно-резонансных свойств биизотропных сред

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации иа соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Моденов Владимир Павлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, Ёлкин

Николай Николаевич,

кандидат физико-математических наук, Га-лишникова Тамара Николаевна.

Ведущая организация: Московская государственная академия при-

боростроения и информатики.

Защита диссертации состоится "(о " окгЛ^лЗ 2005 г. в /*Ь - Р0 на заседании диссертационного совета К 501.001.\1 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьёвы горы, МГУ, физический факультет, ауд. № СФИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан " (г) " б&ит.^З 2005 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета К 501.001.17 доктор физико-математических наук

П.А. Поляков

1153$

Актуальность темы. В последнее время среди специалистов в области электродинамики возрос интерес к исследованию так называемых биизо-тропных сред1. Эти среды являются обобщением для широкого класса сред и включают в себя диэлектрики, магнетики, изотропные киральные среды, среду Теллегана и др.2 Такое обобщение даёт возможность создания на примере биизотропных сред универсальных математических моделей и численных алгоритмов их исследования.

Понятие биизотропной среды возникло при моделировании электродинамических свойств (в основном) сред с пространственной дисперсией. Такие среды были известны ещё во второй половине XIX века. Они получили название оптически активных сред, так как проявляли свои свойства в оптическом диапазоне частот.

Явление пространственной дисперсии в СВЧ радиодиапазоне привлекло внимание исследователей сравнительно недавно, в связи с развитием вычислительной техники. Моделирование электродинамических процессов в такой среде в большинстве практически важных случаев требует применения численных алгоритмов.

Если пространственная дисперсия слаба, можно воспользоваться моделью гиротропной среды. Как правило, эта модель применима к средам с естественной пространственной дисперсией, например таким, как плазма3. В 60-е годы XX века был создан математический аппарат, позволяющий моделировать процессы взаимодействия таких сред с электромагнитным полем в волноведущих системах4.

С конца 80-х годов XX века начали активно исследоваться электродинамические свойства искусственных сред с пространственной дисперсией — так называемых киральных сред5. Такие среды представляют собой композитный материал, состоящий из микроскопических ориентированных определённым образом металлических спиралек или частиц в виде буквы Г2, залитых в диэлектрическую основу.

При небольшом числе «киральных микроэлементов» их влияние можно учесть непосредственно, вводя в уравнениях Максвелла наведённые токи. Если же их количество достаточно велико, то такой подход нецелесообразен, так как приведёт к накоплению больших погрешностей в численных алгоритмах. В этом случае удобно рассматривать такую среду как однородную изотропную среду с пространственной дисперсией.

Уже создано достаточно большое число различных электродинамиче-

1Llndelt I. V., Sihvola А.Н., Tretyakov S A, Vlitanen A.J. Electromagnetic Waves in Chiral and Bi-isotropic Media. - London. Artech House, 1994

'Третьяков C.A. Электродинамика сложных сред: киральные, биизотропные и некоторые бианизотроп-ные материалы (обзор) // Радиотехника и электроника, 1994 - Т 39 - №10 - С 1457-1470

®Свешников А Г., Моденов В П. Распространение волны Яц в круглом волноводе, заполненном гиротропной плазмой на конечном участке его длины // Радиотехника и Электроника, 1963 - T 8 - №12 -С.1998-2005.

* Свешников А Г, Моденов В П. Распространение электромагнитных волн в волноводах с локальным гиротропиым заполнением // Выч методы и программирование, 1965 - вып 111 - С 50-58

*Каценыенбаум Б.З., Коршунова Е Н„ Сивов А Н„ Шатров АЛ. Кйральн5ь35ЕЗтшчна»шческие объекты // Успехи физических наук, 1997 - Т.167 - №2. - С8-13 1 " Ц '

v CUu.fJHOTEKA j

1 ' ......

» - —-л

ских моделей подобных сред. Их общим свойством является то, что индукции электрического и магнитного полей зависят сразу от обеих напряжён-ностей. Однако, в настоящее время в макроскопической электродинамике отсутствует единая форма записи материальных уравнений такой среды.

Таким образом, возникает необходимость создания универсального аппарата, который позволил бы проводить моделирование процессов взаимодействия электромагнитного поля с такими средами и при этом включал в себя только самые общие их свойства. Модель биизотропной среды удовлетворяет этим требованиям.

Интерес к средам такого типа вызван, в первую очередь, перспективой создания на их основе новых электротехнических устройств СВЧ диапазона и улучшения характеристик существующих устройств. В частности, решение задачи дифракции электромагнитных волн на киральных телах различной формы может сделать возможным использование этих сред для создания радиомаскирующих покрытий.

Подобные нелокальные среды также могут найти применение в радиолокации и вычислительной технике. В связи с этим, актуальными являются исследования волноводных свойств таких сред. Ряд волноведущих систем может быть исследован аналитически, например с использованием метода диадных функций Грина6. Однако в общем случае требуется применение численных алгоритмов7.

Целью настоящей работы является:

1. Постановка волноводной краевой задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями биизотропной среды.

2. Разработка и математическое обоснование универсальных численных алгоритмов решения поставленной краевой задачи.

3. Реализация алгоритмов в виде программ для ЭВМ.

4. Применение разработанных алгоритмов для исследования волновод-но-резонансных свойств биизотропной среды.

Научная новизна работы определяется тем, что

1. Впервые математически поставлена и решена краевая задача для системы уравнений Максвелла в цилиндрической области с идеально проводящей поверхностью и с материальными уравнениями биизотропной среды, позволившая выполнить моделирование волноводно-резонансных свойств этой среды.

eTai С.Т Dyadic Green's Functions In Electromagnetic Theory - IEEE Press, Plscataway, New Jersey, The 2nd edition, 1994

7Modenov V.P. Waveguide filled with chyral medium calculation // Proc VIII-th International Conference on microwaves (MIKON-2000), 2000. - May 22-24. - Poland - Warsaw. - P 51-53.

2. Впервые для моделирования волноводного распространения электромагнитных колебаний в цилиндрических волноводах с частичным биизотропным заполнением разработан и применён численный алгоритм, основанный на методе Галёркина.

3. Впервые вычислены постоянные распространения электромагнитных волн в прямоугольном волноводе с частичным биизотропным заполнением и посчитана матрица рассеяния электромагнитных волн на локальном биизотропном включении.

4. Получены новые результаты, характеризующие волноводно-резонанс-ные свойства киральной среды.

Практическая ценность работы. Созданы электродинамические модели процессов распространения электромагнитных волн в регулярных вол-новедущих системах с частичным по сечению биизотропным заполнением и рассеяния волн на локальном биизотропном включении. На их основе создан комплекс высокопроизводительных программ.

Рассматриваемые в работе алгоритмы реализованы в виде модуля, подключаемого к системе математического моделирования Science Lab8. В составе этой системы они могут быть применены для расчёта сверхвысокочастотных электродинамических систем и узлов на базе биизотропных и, в частности, киральных материалов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. математическая модель цилиндрического волновода с частичным биизотропным заполнением, основанная на постановке и решении краевой задачи для системы уравнений Максвелла в рассматриваемой области с материальными уравнениями биизотропной среды;

2. численный алгоритм нахождения собственных значений оператора поставленной краевой задачи с использованием двух схем метода Галёркина;

3. применение предложенного алгоритма для расчёта постоянных распространения прямоугольного волновода с частичным по сечению биизотропным заполнением;

4. численный алгоритм решения рассматриваемой краевой задачи, основанный на неполном методе Галёркина;

5. применение предложенного алгоритма для расчёта коэффициентов отражения и прохождения при дифракции нормальной волны на локальном биизотропном включении в прямоугольном волноводе;

6. математическое обоснование предложенных численных алгоритмов;

'INRIA, the French National Institute for Research in Computer Science and Control

7. реализация рассматриваемых численных алгоритмов в виде комплекса ЭВМ-программ;

8. применение программ для исследования процессов распространения электромагнитных волн в прямоугольном волноводе с диэлектрическими и киральными включениями.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

1. XII Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн (Москва, РосНОУ, 2001),

2. X школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот» МНТОРЭС им. A.C. Попова (Фрязино, 2002),

3. II Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2003),

4. III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Волгоград, 2004),

5. Международной конференции студентов и аспирантов «Ломоносов 2004» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004).

По материалам диссертации опубликовано восемь печатных работ [1]-

[8].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Объём диссертации составляет 102 страницы основного текста, включая 41 иллюстрацию и 5 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 102 библиографические ссылки.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена решению задачи на собственные значения, возникающей при исследовании регулярной цилиндрической волноведущей системы с частичным по сечению заполнением из биизотропного материала. В первом параграфе формулируется математическая постановка задачи.

Система уравнений Максвелла с граничным условием I рода решается в бесконечной цилиндрической области постоянного сечения. На границе биизотропной вставки выполняются условия сопряжения

Е\ = Ё?, Н'т = Hl1 (1)

для тангенциальных компонент напряжённостей электрического и магнитного полей.

Комплексные материальные уравнения биизотропной среды представим следующим образом:

В = a2i(e, ц, £)Ё + а22{е, ¡i, Í)H,

где е и р - комплексные электрическая и магнитная проницаемости, £ -действительный или комплексный параметр,

<*12 = «21- (3)

Вид коэффициентов ац, ац, 021 и а 22 определяется конкретной моделью среды. Коэффициенты должны удовлетворять предельным соотношениям

€-»0

= 0,

f (4)

lima2i(e,M) = 0, Í-.0

limare, =

то есть, при устремлении £ к нулю среда вырождается в диэлектрик или магнетик.

В следствие регулярности рассматриваемой волноведущей системы,

¿-.Г, (5)

где Г — постоянная распространения (собственное значение).

Во втором параграфе рассматривается схема метода Галёркина для решения поставленной задачи с разложением по продольным компонентам

нормальных волн пустого волновода. Выражение поперечных компонент полей через продольные для биизотропной среды имеет вид:

Я4 = {Ь\Ё + + (Ь?Ё + Ь^КУ^,

Ё( = (Ь®Ё + 6|Н)Й.У<Я, + (6{Ё +

Здесь использованы обозначения

(6)

Е =

1 О О 1

R =

О 1 -1 О

Коэффициенты в уравнении (6) представляют собой рациональные функции Г

Ь\ = гк(а 12Г2 - к2а21(апа22 - а12а21))/Рл{Г),

Ъ\ = ¿Г(Г2 - к^апак - Г),

Ь\ = гЬп(Г2 - к\ацап - а12а21))/Р4(Г),

Ъ22 = -гк2апТ(а12 - а21)/Р4(Г),

Ъ\ = -гкьп(Г2 - к2(апа22 - а12а21))/Р4(Г),

Ь* = гк2а22Т(аи - а21)/Р^Г),

Ь\ = -{ЦапГ2 - к2а12(апа,22 - а^а^/Р^Г),

Ь\ = гГ(Г2 - к\аиа22 - а22))/Р4(Г),

с общим знаменателем

Р4(Г) =Г4 + к2{а\2 + а221 - 2а22аи)Г2 + к\апа22 - а12а21)2.

Система уравнений Максвелла для продольных компонент поля в биизотропной среде может быть записана как

(

-b\AtEz - b\AtHz + ikanEz + ika12Hz = О, -bfAtEz - b\AtHz - ika21Ez - ika22Hz = 0.

Приближённое решение системы (7) ищется в виде конечных сумм

N

? (8)

п—1

где Enz и Hnz — продольные компоненты нормальных волн пустого волновода. На приближённое решение накладывается требование выполнения условий сопряжения (1) на границе биизотропной вставки в интегральном (энергетическом) смысле.

Приближённое решение системы (7) должно удовлетворять интегральным соотношениям

- Ь\АгН^ + гкапЕ^ + гка12Н^}Е*тгйз

в

(9)

5

где Сзг — контур поперечного сечения ^ биизотропной вставки,

индекс I соответствует области Ох (внутренняя область вставки), индекс II соответствует области Рг (внешняя область)

Система (9), с учётом (8), представляет собой СЛАУ с полиномиальной матрицей шестого порядка относительно Г. Матричные элементы были вычислены в явном виде для прямоугольного и круглого волноводов. Алгоритм нахождения постоянных распространения в прямоугольном волноводе с частичным по сечению биизотропным заполнением реализован в виде программы для ЭВМ.

В третьем параграфе рассматривается схема метода Галёркина для решения поставленной задачи с разложением по поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода. Выражение продольных компонент полей через поперечные для биизотропной среды имеет вид:

Система уравнений Максвелла для поперечных компонент поля в бии-

1к(аца22 — <21212])

(Ю)

гк(аца22 - а,гЮ.г\)

зотропной среде может быть записана как

.ап 1кЛ

[V х (V, ■ Д) <,] - [V х (V, • й) Ц -

- АЙ1 + ikauËt + гка^Щ = 0,

^ [V х (V. - Д) Ь] + [V X (у. - й] -

— АЕг - гка2\Ёг - = 0.

Здесь использовано обозначение А = гГ. Приближённое решение системы (11) ищется в виде конечных разложений

4(ЛГ) =

П=1

(12)

П=1

где Ё^ и Йпг — поперечные компоненты нормальных волн пустого волновода.

Приближённое решение системы (11) должно удовлетворять интегральным соотношениям

[//{-ФМ^М-^М*-«"')']-

■ - \й[ы) + 1капЁ\ы) + гкапЙ^Ё^ = [Н^}Ё*т16II,

в

- ХЁ[Ы) - гка2ХЁ\м) - гка22н^])н*т1йз = - ^[£<">]Я^Д

(13)

где С5, — контур поперечного сечения 51 биизотропной вставки,

индекс I соответствует области А (внутренняя область вставки), индекс II соответствует области £>2 (внешняя область), тп пробегает значения от 1 до N. Правые части соотношений (13) служат для удовлетворения условий сопряжения (1) в интегральном смысле.

Таким образом, задача нахождения собственных значений системы (11) сводится к проблеме собственных значений числовой комплекснозначной матрицы. Матричные элементы были выражены в явном виде для прямоугольного волновода с частичным по сечению биизотропным заполнением. Алгоритм реализован на языке FORTRAN в виде подключаемого модуля к системе математического моделирования Science Lab.

Вторая глава диссертации посвящена решению задачи дифракции электромагнитной волны на локальном биизотропном включении в цилиндрическом волноводе. В первом параграфе формулируется математическая постановка задачи.

Система уравнений Максвелла с граничным условием I рода решается в бесконечной цилиндрической области постоянного сечения. На границе биизотропного включения выполняются условия сопряжения (1). Комплексные материальные уравнения биизотропной среды имеют вид (2) и удовлетворяют условиям (3), (4).

Кроме граничных условий на стенке волновода, должны выполняться также условия возбуждения и излучения на бесконечности

т=1 оо

Z—»—ОО Л1=1

g-m g-m

JÇWlo

*-»+00 ТО= 1

Ет Йт

(14)

(15)

Здесь ¡Ё"{М),Нп{М)\-е'7»* (п = ±1, ±2,...) — нормальные волны регулярных волноводов с однородным изотропным заполнением, соответствующим бесконечно удалённым участкам волновода. Положительным значениям индекса п соответствуют прямые волны, распространяющиеся в положительном направлении оси 2, отрицательным значениям индекса — обратные волны. Зависимость всех компонент нормальной волны от координаты г даётся множителем е'7»г, где 7„ — постоянная распространения соответствующей нормальной волны в данном регулярном волноводе.

Второй параграф посвящён решению задачи дифракции электромагнитной волны в цилиндрическом волноводе с биизотропным заполнением на конечном участке его длины. При этом поперечное сечение вставки не зависит от г. Алгоритм решения задачи реализован в виде программы для ЭВМ и использует методы, разработанные в первой главе. Также, в этом параграфе рассматриваются некоторые особенности численного алгоритма.

В третьем параграфе формулируется общий вид неполного метода Га-лёркина для исследования распространения электромагнитных колебаний в цилиндрическом волноводе с идеально проводящей боковой поверхностью Е и с частичным по сечению биизотропным заполнением между поперечными сечениями г = 0 и г — ё. Проводится исследование свойств приближённого решения и обоснование сходимости алгоритма.

Наиболее удобно для решения поставленной задачи воспользоваться разложением векторов напряжённости электрического и магнитного полей на продольные и поперечные компоненты и выразить продольные через поперечные (10). В нерегулярной цилиндрической волноведущей системе система уравнений Максвелла для поперечных компонент имеет вид:

.«и '%кЛ

дЩ

дг

х гг

+ 1капЕ1. + гЛа12#4 = 0,

.012 1кЛ

V х (Ч • Д) Ц + [V х (у( • Д) Ц дЁ1

(16)

дг

х г.

— 1ка2\Ег — (каюНг = О,

где использовано обозначение

Л = ац022 - «12021-

Точное решение задачи представимо в виде ряда с разложением по поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода:

П=1

Й{(М,г) = ^Вп(г)Йп,(М).

(17)

П=1

С учётом разложений (17) граничные условия (14), (15) примут вид:

—оо ^^то^ттс!

(18)

Ат-Вт1^+оо = 0. (19)

Из уравнений (16) следует, что точное решение задачи (17) при любом г должно удовлетворять интегральным соотношениям:

[//{-<н['«М)1]4)4-

+ 1кацЁг -I- {капН^Ё^йз = О,

дК -

щ

дг

х г.

- гко2хЁг - 1ка,2гН^Й^8 — 0. 10

Соотношения (20) вместе с граничными условиями на бесконечности (18) и (19) определяют ту форму, в которой будет применяться метод Галёркина. Эту задачу назовём задачей А.

Приближённое решение будем искать в виде конечных разложений:

»1=1

(21)

П=1

Коэффициенты и В^\г) определяются из системы уравнений, ко-

торую получим, потребовав, чтобы при любом г удовлетворялись следующие интегральные соотношения:

- гкапЁ^ + гка12н[Щ)Ё^в = - £

ШЪЫъ-гПЦ+ЪЫъ-Ф)*]-

- х I - гка21Ё™ - 1ка22й^}й'т1с1з = -

>нГ

дг

(22)

где А = аца22 — а^гь т = 1,2,..., ДО, С^, — контур поперечного сечения 51 биизотропного тела, гх — орт оси г, скачки выражаются как

[Я**0] = - (4ЛГ))//,

индекс I соответствует области (внутренняя область вставки), индекс II соответствует области В2 (внешняя область). Правые части соотношений (22) служат для удовлетворения условий сопряжения (1) в интегральном смысле.

Система (22) представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений

д_ дг

В1РМ

= М*)-

(23)

где А(г) — матрица коэффициентов, зависящая от г, элементы которой выражаются через характеристики биизотропной вставки, с граничными условиями

АМ( 0) + 0) = 2Хтг16тта, (24)

А%\<1)-В%\<1) = 0. (25)

Задачу определения поля из решения краевой задачи (23),

(24), (25) и (10) будем называть задачей В.

Показано, что для задачи В справедливо соотношение:

2

р(ЛГ) _ Утр у I- Т_ III 1_ |лпи»п.а , - Ш1П1Н1

к1тЩ {аг^Г + ^тГ}^*^^, (26)

которое является основным для определения свойтств её решения. Из этого соотношения следует:

1. Однородная задача В имеет только тривиальное решение. Отсюда в силу общих свойств линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что неоднородная задача всегда разрешима и её решение единственно.

2. Решение задачи В — поле — удовлетворяет условиям ограниченности, равномерным по И:

£ Ие»ь|Р™|а < С, < С, (27)

т=1 т=1

Л1 \EWfdv <С, Щ < С, (28)

причём константа С не зависит от номера Ы, а определяется лишь способом возбуждения и свойствами среды.

На основании этих свойств проводится доказательство сходимости в среднем решения задачи В к решению задачи А при N —> оо. Затем, как следствие, доказывается сходимость алгоритмов для решения задачи на собственные значения и задачи дифракции для случая не зависящего от г сечения биизотропной вставки.

В третьей главе приводятся результаты тестирования алгоритмов и анализа их внутренней сходимости, проводится исследование волноводно-резонансных свойств киральной среды. В первом параграфе с помощью

разработанных алгоритмов вычисляются постоянные распространения пустого волновода. Результаты сравниваются с полученными по аналитическим формулам.

Во втором параграфе проводится методическое исследование постоянных распространения волновода с частичным по сечению диэлектрическим заполнением. Для полностью заполненного волновода вычисленные значения сравниваются с полученными по аналитическим формулам. В случае частичного заполнения результаты счёта сравниваются с приближёнными значениями постоянных распространения, полученными как решения трансцендентных дисперсионных соотношений. Для отыскания комплексных корней трансцендентных уравнений используется бинарный итерационный корректор-процесс9. Демонстрируются трансформация мод при частичном заполнении, снятие вырождения собственных значений и диэлектрический эффект в прямоугольном волноводе.

В третьем параграфе рассматриваются постоянные распространения плоского волновода с частичным киральным заполнением. В расчётах использовалась следующая модель киральной среды:

ац=е + а.12 = -г>£, ^

Д21 = , а,22 = И-

Проводится сравнение результатов счёта с имеющимися в литературе. Кроме того, разработанные в первой главе алгоритмы сравниваются между собой.

Четвёртый параграф посвящён исследованию постоянных распространения прямоугольного волновода с частичным по сечению киральным заполнением. Используется модель киральной среды (29). Получены интересные физические результаты.

С ростом кирального адмитанса £ действительная часть постоянной распространения первой невырожденной моды стандартного волновода растёт, мнимая же, напротив, уменьшается, что соответствует уменьшению диссипации в такой среде по сравнению с соответствующим диэлектриком. Однако это происходит только при размерах вставки, близких к размерам волновода. Также было показано, что диэлектрический эффект проявляется и в киральной среде, причём с введением киральности он усиливается.

Интересным также оказывается поведение второй и третьей моды. В пустом волноводе и при диэлектрическом заполнении они являются невырожденными. Однако, при некотором значении толщины вставки, их постоянные распространения оказываются равны. Введение киральности снимает это вырождение, и при некотором £ рассматриваемые нормальные волны перестают взаимно трансформироваться.

Рассматривается поведение постоянных распространения четвёртой и пятой мод. При полном диэлектрическом заполнении они равны. Введение

'Моденов В П. Бинарный итерационный корректор-процесс вычисления комплексных корней трансцендентных уравнений // Веста Моек Ун-та, Сер 15- Вычислительная математика и кибернетика, 1985 -№2 - С 63-65

киральности снимает это вырождение. Более старшие (запредельные) моды с увеличением параметра киральности £ становятся распространяющимися.

Пятый параграф посвящён исследованию процесса дифракции волны Ям на киральной вставке в прямоугольном волноводе. Используется модель киральной среды (29). Получена зависимость коэффициентов отражения и прохождения от размеров вставки и от частоты при различных значениях кирального адмитанса.

Результаты диссертации.

1. Построена математическая модель, основанная на постановке и решении краевой задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями биизотропной среды и предназначенная для исследования волноводно-резонансных свойств биизотропных (в частности, киральных) сред.

2. Предложены, математически обоснованы и реализованы (численные) алгоритмы нахождения собственных значений оператора поставленной краевой задачи с использованием двух схем метода Галёркина. Посчитаны постоянные распространения прямоугольного волновода с частичным по сечению биизотропным заполнением.

3 Предложен, математически обоснован и реализован алгоритм решения рассматриваемой краевой задачи. Посчитана матрица рассеяния электромагнитных волн на биизотропном включении в цилиндрическом волноводе.

4. Составлен комплекс ЭВМ-программ, позволивший выполнить математическое моделирование волноводно-резонансных свойств биизотропных сред. Программы применены для исследования процессов распространения электромагнитных волн в прямоугольном волноводе с диэлектрическими и киральными включениями.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Моденов В.П., Ромашин A.B., Цветков И.В. // Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн, 2001. - T.II. - С.405-406.

[2] Моденов В.П., Ромашин A.B., Цветков И.В. Расчёт цилиндрических волноводов, заполненных киральной средой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2002. - Т.5. - №2. - С.56-58.

[3] Моденов В.П., Ромашин A.B., Цветков И.В. Электродинамический расчёт волноводов, заполненных киральной средой // Электродинамика СВЧ, КВЧ и оптических частот, 2002. - Т.10. - №2(34). - С.66-70.

[4] Моденов В.П., Ромашин A.B. Математическое моделирование вол-новодных дифракционно-резонансных свойств анизотропных и биизо-тропных сред // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические системы», 2003. - С.259.

[5] Моденов В.П., Ромашин A.B. Схема метода Галёркина в задаче дифракции для прямоугольного волновода с биизотропной вставкой // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические системы», 2004. - С.164.

16] Моденов В.П., Ромашин A.B. Метод Галёркина в задаче на собственные значения для волновода с частичным биизотропным заполнением // Международная конференция «Ломоносов 2004», секция «Физика», сб. тез., 2004. - С.148-149.

[7] Моденов В.П., Ромашин A.B. Метод Галёркина в задаче на собственные значения для волновода с биизотропным заполнением // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот, 2004. - Т. 12. -№3-4(40). - С.84-93.

[8] Моденов В.П., Ромашин A.B. Задача дифракции электромагнитных волн на биизотропном включении в цилиндрическом волноводе // Электромагнитные волны и электронные системы, 2005 - Т.10. - №8 -С.23-28.

Принято к исполнению 01/09/2005 Исполнено 02/09/2005

Заказ № 1004 Тираж: 100 экз

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (095)975-78-56 (095) 747-64-70 www.autoreferal.ru

1 5927

РНБ Русский фонд

2006-4 12999

Введение

1 Задача на собственные значения для цилиндрического волновода с частичным биизотропным заполнением

1.1 Постановка задачи.

1.2 Построение численного алгоритма с разложением по продольным компонентам

1.2.1 Выражение поперечных компонент поля через продольные

1.2.2 Алгоритм численного решения.

1.2.3 Основное энергетическое тождество.

1.2.4 Реализация численного алгоритма для прямоугольного волновода

1.2.5 Реализация упрощённой схемы для прямоугольного волновода

1.2.6 Реализация численного алгоритма для круглого волновода

1.2.7 Реализация упрощённой схемы для круглого волновода

1.3 Построение численного алгоритма с разложением по поперечным компонентам

1.3.1 Выражение продольных компонент поля через поперечные

1.3.2 Алгоритм численного решения.

1.3.3 Реализация численного алгоритма для прямоугольного волновода

2 Задача дифракции для цилиндрического волновода с биизотропной вставкой

2.1 Постановка задачи.

2.2 Регулярный случай

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Алгоритм численного решения.

2.2.3 Реализация численного алгоритма.

2.3 Общий случай.

2.3.1 Схема построения алгоритма численного решения.

2.3.2 Свойства приближённого решения.

2.3.3 О сходимости приближённого решения к точному.

3 Некоторые численные результаты

3.1 Пустой прямоугольный волновод.

3.2 Прямоугольный волновод с диэлектрическим заполнением.

3.3 Плоский волновод с киральным заполнением.

3.4 Прямоугольный волновод с киральным заполнением

3.5 Дифракция волны Я0\ на киральной вставке в прямоугольном волноводе

В последнее время среди специалистов в области электродинамики возрос интерес к исследованию так называемых биизотропных сред [1]. Эти среды являются обобщением для широкого класса сред и включают в себя диэлектрики, магнетики, изотропные киральные среды, среду Теллегана [77] и др. [22, 23] Такое обобщение даёт возможность создания на примере биизотропных сред универсальных математических моделей и численных алгоритмов их исследования.

Понятие биизотропной среды возникло при моделировании электродинамических свойств (в основном) сред с пространственной дисперсией. Такие среды были известны ещё во второй половине XIX века. Они получили название оптически активных сред, так как проявляли свои свойства в оптическом диапазоне частот.

В диспергирующей среде значение индукции D(t,f) определяется значениями напряжённости электрического поля E(t',f) в той же точке пространства г в тот же, а также во все предшествующие моменты времени t' ^ t. В случае пространственной дисперсии, значение индукции определяется также значениями напряжённости в некоторой окрестности точки г [85]: оо

А( t,r) = Ei{t,r) + j JJffik(T-,r,f')Ek(t-T,r')dv'dT. о v ( ilnpo интегрального оператора fik существенно убывает уже на достаточно малых расстояних |г-г'| по сравнению с размерами рассматриваемых электродинамических систем, однако много больших «физически бесконечно малого объёма», по которому усредняются макроскопические поля.

Если представить поле в такой среде как суперпозицию плоских волн, зависимость которых от г и t даётся множителем то для каждой такой волны зависимость индукции от напряжённости поля будет иметь вид:

А = е(ш, k)ikEk.

Заметим, что даже в изотропной среде eik не скаляр, а тензор [25].

Явление пространственной дисперсии в СВЧ радиодиапазоне привлекло внимание исследователей сравнительно недавно, в связи с развитием вычислительной техники. Моделирование электродинамических процессов в такой среде в большинстве практически важных случаев требует применения численных алгоритмов.

Если пространственная дисперсия слаба, можно воспользоваться моделью гиро-тропной среды. Как правило, эта модель применима к средам с естественной пространственной дисперсией, например таким, как плазма [4, 5]. В 60-е годы XX века был создан математический аппарат, позволяющий моделировать процессы взаимодействия таких сред с электромагнитным полем в волноведущих системах [2, 3, 9].

С конца 80-х годов XX века [60] начали активно исследоваться электродинамические свойства искусственных сред с пространственной дисперсией — так называемых киральных сред. Такие среды представляют собой композитный материал, состоящий из микроскопических ориентированных определённым образом металлических спиралек [25] или частиц в виде буквы Q [33], залитых в диэлектрическую основу.

При небольшом числе «киральных микроэлементов» их влияние можно учесть непосредственно [58], вводя в уравнениях Максвелла возникающие наведённые токи. Если же их количество достаточно велико, то такой подход нецелесообразен, так как приведёт к накоплению больших погрешностей в численных алгоритмах. В этом случае удобно рассматривать такую среду как однородную изотропную среду с пространственной дисперсией.

Уже создано достаточно большое число различных электродинамических моделей подобных сред [39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54]. Их общим свойством является то, что индукции электрического и магнитного полей зависят сразу от обеих напряжённостей [83]. Разработан ряд методов как теоретического, так и экспериментального определения их макроскопических параметров [61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68]. Однако, в настоящее время в макроскопической электродинамике отсутствует единая форма записи материальных уравнений такой среды.

Таким образом, возникает необходимость создания универсального аппарата, который позволил бы проводить моделирование процессов взаимодействия электромагнитного поля с такими средами и при этом включал в себя только самые общие их свойства. Модель биизотропной среды [24] удовлетворяет этим требованиям.

Интерес к средам такого типа вызван, в первую очередь, перспективой создания на их основе новых электротехнических устройств СВЧ диапазона и улучшения характеристик существующих устройств. В частности, решение задачи дифракции электромагнитных волн на киральных телах различной формы, например [59], может сделать возможным использование этих сред для создания радиомаскирующих покрытий.

Подобные нелокальные среды также могут найти применение в радиолокации и вычислительной технике [38]. В связи с этим, актуальными являются исследования волноводных свойств таких сред [20, 21, 31, 32, 35, 36, 37]. Ряд волноведущих систем может быть исследован аналитически [34], например с использованием метода диадных функций Грина [29, 30, 55, 56, 57, 26, 27, 28]. Однако в в общем случае требуется применение численных алгоритмов [7, 10, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76].

Целью настоящей работы является:

1. Постановка волноводной краевой задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями биизотропной среды.

2. Разработка и математическое обоснование универсальных численных алгоритмов решения поставленной краевой задачи.

3. Реализация алгоритмов в виде программ для ЭВМ.

4. Применение разработанных алгоритмов для исследования волноводно-резонанс-ных свойств биизотропной среды.

Научная новизна работы определяется тем, что

1. Впервые математически поставлена и решена краевая задача для системы уравнений Максвелла в цилиндрической области с идеально проводящей поверхностью и с материальными уравнениями биизотропной среды, позволившая выполнить моделирование волноводно-резонансных свойств этой среды.

2. Впервые для моделирования волноводного распространения электромагнитных колебаний в цилиндрических волноводах с частичным биизотропным заполнением разработан и применён численный алгоритм, основанный на методе Галёр-кина.

3. Впервые вычислены постоянные распространения электромагнитных волн в прямоугольном волноводе с частичным биизотропным заполнением и посчитана матрица рассеяния электромагнитных волн на локальном биизотропном включении.

4. Получены новые результаты, характеризующие волноводно-резонансные свойства киральной среды.

Практическая ценность работы. Созданы электродинамические модели процессов распространения электромагнитных волн в регулярных волноведущих системах с частичным по сечению биизотропным заполнением и рассеяния волн на локальном биизотропном включении. На их основе создан комплекс высокопроизводительных программ.

Рассматриваемые в работе алгоритмы реализованы в виде модуля, подключаемого к системе математического моделирования Science Lab1. В составе этой системы они могут быть применены для расчёта сверхвысокочастотных электродинамических систем и узлов на базе биизотропных и, в частности, киральных материалов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

1. XII Всероссийской школе-конференции по дифракции и распространению волн (Москва, РосНОУ, 2001),

2. X школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот» МНТОРЭС им. А.С. Попова (Фрязино, 2002),

3. 11 Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2003),

4. III Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Волгоград, 2004),

5. Международной конференции студентов и аспирантов «Ломоносов 2004» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004).

По материалам диссертации опубликовано восемь печатных работ [11]-[18].

Первая глава посвящена решению задачи на собственные значения, возникающей при исследовании регулярной цилиндрической волноведущей системы с частичным по сечению заполнением из биизотропного материала. В первом параграфе формулируется математическая постановка задачи.

INRIA, the French National Institute for Research in Computer Science and Control

Система уравнений Максвелла (1.1) с граничным условием I рода (1.2) решается в бесконечной цилиндрической области постоянного сечения (рис. 1.1). На границе биизотропной вставки выполняются условия сопряжения (1.3) для тангенциальных компонент напряжённостей электрического и магнитного полей.

Комплексные материальные уравнения биизотропной среды представлены в виде (1.4). На комплексные коэффициенты а^, следуя [1, 22, 23, 24], накладываются дополнительные условия (1.5), (1.6). Рассматриваемая волноведущая система регулярна, следовательно, выполняется (1.11).

Во втором параграфе рассматривается схема метода Галёркина для решения поставленной задачи с разложением по продольным компонентам нормальных волн пустого волновода.

Выражение поперечных компонент полей через продольные для биизотропной среды имеет вид (1.13). С учётом этого, система уравнений Максвелла для продольных компонент поля в биизотропной среде может быть записана как (1.22). Особенностью здесь является то, что коэффициенты при частных производных представляют собой рациональные функции Г.

Приближённое решение ищется в виде конечных сумм (1.23'). На приближённое решение накладывается требование выполнения условий сопряжения (1.3) на границе биизотропной вставки в интегральном (энергетическом) смысле. С учётом этого, получаем систему интегральных соотношений (1.29').

Система (1.29') представляет собой СЛАУ (1.29'") с полиномиальной матрицей шестого порядка относительно Г [90]. Матричные элементы были вычислены в явном виде для прямоугольного и круглого волноводов. Алгоритм нахождения постоянных распространения в прямоугольном волноводе с частичным по сечению биизотропным заполнением реализован в виде программы для ЭВМ. В третьем параграфе рассматривается схема метода Галёркина для решения поставленной задачи с разложением по поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода.

Выражение продольных компонент полей через поперечные для биизотропной среды имеет вид (1.47). Система уравнений Максвелла для поперечных компонент поля в биизотропной среде может быть записана как (1.48).

Приближённое решение системы (1.48) ищется в виде конечных разложений (1.49'). Оно должно удовлетворять интегральным соотношениям (1.62'). Показано, что приближённое решение, полученное с помощью рассматриваемого алгоритма, удовлетворяет тому же энергетическому соотношению, что и точное решение задачи.

Таким образом, задача нахождения собственных значений системы (1.48) сводится к проблеме собственных значений числовой комплекснозначной матрицы. Матричные элементы были выражены в явном виде для прямоугольного волновода с частичным по сечению биизотропным заполнением. Алгоритм реализован на языке FORTRAN в виде подключаемого модуля к системе математического моделирования Science Lab.

Вторая глава диссертации посвящена решению задачи дифракции электромагнитной волны на локальном биизотропном включении в цилиндрическом волноводе. В первом параграфе формулируется математическая постановка задачи.

Система уравнений Максвелла (2.1) с граничным условием I рода (2.2) решается в бесконечной цилиндрической области постоянного сечения (рис. 2.1). На границе биизотропного включения выполняются условия сопряжения (2.3). Комплексные материальные уравнения биизотропной среды имеют вид (2.4) и удовлетворяют условиям (2.5), (2.6). Кроме граничных условий на стенке волновода, должны выполняться также условия возбуждения и излучения на бесконечности (2.12), (2.13).

Второй параграф посвящён решению задачи дифракции электромагнитной волны в цилиндрическом волноводе с биизотропным заполнением на конечном участке его длины. При этом поперечное сечение вставки Sj не зависит от 2. Алгоритм решения задачи реализован в виде программы для ЭВМ и использует методы, разработанные в первой главе. Также, в этом параграфе рассматриваются некоторые особенности численного алгоритма.

В третьем параграфе формулируется общий вид неполного метода Галёркина для исследования распространения электромагнитных колебаний в цилиндрическом волноводе с идеально проводящей боковой поверхностью £ и с частичным по сечению биизотропным заполнением между поперечными сечениями г = 0 и z = d. Проводится исследование свойств приближённого решения и обоснование сходимости алгоритма.

Наиболее удобно для решения поставленной задачи воспользоваться разложением векторов напряжённости электрического и магнитного полей на продольные и поперечные компоненты и выразить продольные через поперечные (2.9). В нерегулярной цилиндрической волноведущей системе система уравнений Максвелла для поперечных компонент имеет вид (2.10).

Точное решение задачи представимо в виде ряда с разложением по поперечным компонентам нормальных волн пустого волновода (2.20). Из уравнений (2.10) следует, что точное решение задачи (2.20) при любом г должно удовлетворять интегральным соотношениям (2.25). Эту задачу назовём задачей А.

Приближённое решение будем искать в виде конечных разложений (2.20'). Коэффициенты разложения определяются из системы уравнений, которую получим, потребовав, чтобы при любом г удовлетворялись интегральные соотношения (2.25'). Система (2.25') представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений (2.25") с граничными условиями (2.26"), (2.27").

Задачу определения поля j из решения краевой задачи (2.25"), (2.26"),

2.27") и (2.9) будем называть задачей В.

Показано, что для задачи В справедливо соотношение (2.33), которое является основным для определения свойтств её решения. На основании этих свойств проводится доказательство теоремы о сходимости в среднем решения задачи В к решению задачи А при N —► оо. Сходимость алгоритмов для решения задачи на собственные значения и задачи дифракции для случая не зависящего от 2 сечения биизотропной вставки является следствием этой теоремы.

В третьей главе приводятся результаты тестирования алгоритмов и анализа их внутренней сходимости, проводится исследование волноводно-резонансных свойств киральной среды. В первом параграфе с помощью разработанных алгоритмов вычисляются постоянные распространения пустого волновода. Результаты сравниваются с полученными по аналитическим формулам [84, 81, 82].

Во втором параграфе проводится методическое исследование постоянных распространения волновода с частичным по сечению диэлектрическим заполнением. Для полностью заполненного волновода вычисленные значения сравниваются с полученными по аналитическим формулам. В случае частичного заполнения результаты счёта сравниваются с приближёнными значениями постоянных распространения, полученными как решения трансцендентных дисперсионных соотношений. Для отыскания комплексных корней трансцендентных уравнений используется бинарный итерационный корректор-процесс [78]. Демонстрируются трансформация мод при частичном заполнении, снятие вырождения собственных значений и диэлектрический эффект в прямоугольном волноводе [79].

В третьем параграфе рассматриваются постоянные распространения плоского волновода с частичным киральным заполнением. В расчётах использовалась модель киральной среды (3.3). Проводится сравнение результатов счёта с имеющимися в литературе. Кроме того, разработанные в первой главе алгоритмы сравниваются между собой.

Четвёртый параграф посвящён исследованию постоянных распространения прямоугольного волновода с частичным по сечению киральным заполнением. Используется модель киральной среды (3.3). Получены интересные физические результаты.

С ростом кирального адмитанса £ действительная часть постоянной распространения первой невырожденной моды стандартного волновода растёт, мнимая же, напротив, уменьшается, что соответствует уменьшению диссипации в такой среде по сравнению с соответствующим диэлектриком. Однако это происходит только при размерах вставки, близких к размерам волновода. Также было показано, что диэлектрический эффект проявляется и в киральной среде, причём с введением киральности он усиливается.

Интересным также оказывается поведение второй и третьей моды. В пустом волноводе и при диэлектрическом заполнении они являются невырожденными. Однако, при некотором значении толщины вставки, их постоянные распространения оказываются равны. Введение киральности снимает это вырождение, и при некотором £ рассматриваемые нормальные волны перестают взаимно трансформироваться.

Рассматривается поведение постоянных распространения четвёртой и пятой мод. При полном диэлектрическом заполнении они равны. Введение киральности снимает это вырождение. Более старшие (запредельные) моды с увеличением параметра киральности f становятся распространяющимися.

Пятый параграф посвящён исследованию процесса дифракции волны Я01 на киральной вставке в прямоугольном волноводе. Используется модель киральной среды (3.3). Получена зависимость коэффициентов отражения и прохождения от размеров вставки и от частоты при различных значениях кирального адмитанса.

Основные результаты работы:

1. Построена математическая модель, основанная на постановке и решении краевой задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями биизотропной среды и предназначенная для исследования волноводно-резонанс-ных свойств биизотропных (в частности, киральных) сред.

2. Предложены, математически обоснованы и реализованы (численные) алгоритмы нахождения собственных значений оператора поставленной краевой задачи с использованием двух схем метода Галёркина. Посчитаны постоянные распространения прямоугольного волновода с частичным по сечению биизотропным заполнением.

3. Предложен, математически обоснован и реализован алгоритм решения рассматриваемой краевой задачи. Посчитана матрица рассеяния электромагнитных волн на биизотропном включении в цилиндрическом волноводе.

4. Составлен комплекс ЭВМ-программ, позволивший выполнить математическое моделирование волноводно-резонансных свойств биизотропных сред. Программы применены для исследования процессов распространения электромагнитных волн в прямоугольном волноводе с диэлектрическими и киральными включениями.

Заключение

1. Свешников А.Г., Моденов В.П. Распространение электромагнитных волн в волноводах с локальным гиротропным заполнением // Выч. методы и программирование, 1965. вып III. - С.50-58.

2. Свешников А.Г. Обоснование метода исследования распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1963. Т.З. - №4.

3. Свешников А.Г., Моденов В.П. Распространение волны Нц в круглом волноводе, заполненном гиротропной плазмой на конечном участке его длины // Радиотехника и Электроника, 1963. Т.8. - №12. - С. 1998-2005.

4. Свешников А.Г. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1963. Т.З. - №2. -С.314-326.

5. Sveshnikov A.G., Modenou V.P. // Proc 9-th International Conference on Microwave Ferrites ICMF'88, 1988. Estergon - Hungary. - P. 157-161.

6. Modenov V.P. Waveguide filled with chyral medium calculation // Proc VIH-th International Conference on microwaves (MIKON-2000), 2000. May 22-24. -Poland - Warsaw. - P.51-53.

7. Моденов В.П. О расчёте методом Галёркина постоянных распространения в круглом волноводе с ферритовым стержнем // Выч. методы и программирование, 1973. вып. XX. - С.50-58

8. Моденов В.П. Расчёт нерегулярных волноводов с гиротропным заполнением // Выч. методы и программирование, 1966. Вып. V. - С.50-58.

9. Моденов В.П. Проекционные методы в теории волноводов // Радиотехника и электроника, 2005. Т.50. - №2. - С.203-207.

10. Моденов В.П., Ромашин А.В., Цветков И.В. // Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн, 2001. Т.Н. -С.405-406.

11. Моденов В.П., Ромашин А.В., Цветков И.В. Расчёт цилиндрических волноводов, заполненных киральной средой // Физика волновых процессов и радиотехнические системы, 2002. Т.5. - №2. - С.56-58.

12. Моденов В.П., Ромашин А.В., Цветков И.В. Электродинамический расчёт волноводов, заполненных киральной средой // Электродинамика СВЧ, КВЧ и оптических частот, 2002. Т. 10. - №2(34). - С.66-70.

13. Моденов В.П., Ромашин А.В. Математическое моделирование волноводных дифракционно-резонансных свойств анизотропных и биизотропных сред // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические системы», 2003. С.259.

14. Моденов В.П., Ромашин А.В. Схема метода Галёркина в задаче дифракции для прямоугольного волновода с биизотропной вставкой // Прилож. к журн. «Физика волновых процессов и радиотехнические системы», 2004. С.164.

15. Моденов В.П., Ромашин А.В. Метод Галёркина в задаче на собственные значения для волновода с частичным биизотропным заполнением // Международная конференция «Ломоносов 2004», секция «Физика», сб. тез., 2004. С.148-149.

16. Моденов В.П., Ромашин А.В. Метод Галёркина в задаче на собственные значения для волновода с биизотропным заполнением // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот, 2004. Т. 12. - №3-4(40). - С.84-93.

17. Моденов В.П., Ромашин А.В. Задача дифракции электромагнитных волн на биизотропном включении в цилиндрическом волноводе // Электромагнитные волны и электронные системы, 2005. Т. 10. - №8. - С.23-28.

18. Моденов В.П., Цветков И.В. Метод Галёркина в электродинамике волновода с киральной средой // Вестн. Моск. Ун-та, Сер. 3: Физика. Астрономия. 2004.- №3. С.8-10.

19. Неганов В.А., Осипов О.В. Электродинамический анализ плоского двухслойного кирально-диэлектрического волновода // Физика Волновых Процессов и Радиотехнические Системы, 2000. Т.З. - №2. - С.8-13.

20. Неганов В.А., Осипов О.В. Исследование отражающих и волноведущих структур с киральными слоями // МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов», сб. тез., 2001. С.47-53.

21. Третьяков С.А. // Радиотехника и электроника, 1991. Т.36. - №11. - С.2090.

22. Третьяков С.А. Электродинамика сложных сред: киральные, биизотропные и некоторые бианизотропные материалы (обзор) // Радиотехника и электроника, 1994. Т.39. - №10. - С.1457-1470.

23. Olyslager F., Lindell I.V. A pedigree of bianisotropic media. Invited paper, Bianisotropics 2000, Lisbon, Portugal, September 2000, P.153-158.

24. Каценеленбаум Б.З., Коршунова E.H., Сивов A.H., Шатров А.Д. Киральные электродинамические объекты // Успехи физических наук, 1997. Т.167. -№2. - С.8-13.

25. Hansen W.W. A new type of expansion in radiation problems // Phys. Rev., 1935.- Vol.47. P.139-143.

26. Hansen W.W. Directional characteristics of any antenna over a plane earth // J. Appl. Phys., 1936. Vol.7. - P.460-465.

27. Hansen W. W. Transformations useful in certain antenna calculations // J. Appl. Phys., 1937. Vol.8. - P.282-286.

28. Bassiri S., Engheta N., Papas C.H. Dyadic Green's functions and dipole radiation in chiral media // Alta Freq., 1986. V.55. - P.83-88.

29. Engheta N., Bassiri S. One- and two-dimensional dyadic Green's functions in chiral media // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1989. V.37. - P.512-515.

30. Saadoun M.M.I., Engheta N. Theoretical study of variation of propagation constant in cylindrical waveguide due to chirality: chiro-phase shifting // IEEE Trans. Microwave Theory Theory and Tech., 1994. Vol.42. - №9. - P.1690-1694.

31. Saadoun M.M.I., Engheta N. A receiprocal phase shifter using novel pseudochiral or П medium // Microwave Opt. Technol. Lett., 1992. Vol.5. - №4. - P. 184-188.

32. Pelet P., Engheta N. The theory of chirowaveguides 11 IEEE Trans. Antennas Propagat., 1990. Vol.38. - P.90-98.

33. Hollinger R.D., Varadan V. V., Varadan V.K. Eigenmodes in a circular waveguide containing an isotropic chiral material // Radio Sci., 1991. Vol.26. - №5. -P. 1335-1344.

34. Whites K.W. Full-wave computation of constitutive parameters for lossless composite chiral materials // IEEE Trans. Antennas and Propagat., 1995. Vol.43. - №4. - P.376-384.

35. Bahr A.I., Clausing K.R. An approximate model for artificial chiral material // IEEE Trans. Antennas and Propagat., 1994. Vol.42. - №12. - P.1592-1596.

36. Oberschmidt G., Jacob A.F. Averaging rules for the scattering by randomly oriented chiral particles // IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., 1996. -Vol.44. №3. - P.476-478.

37. Sihvola A.H. Bi-isotropic mixtures // IEEE Trans. Antennas and Propagat., 1992.- Vol.40. №2. - P. 188-197.

38. Zhuck N.P., Omer AS. Calculation of the effective constitutive parameters of a disordered bi-isotropic medium using renormalization method // IEEE Trans. Antennas and Propagat., 1996. Vol.44. - №8. - P.1142-1149.

39. Jaggard D.L., Mickelsoti A.R., Papas C.H. On electromagnetic waves in chiral media // Appl. Phys., 1979. Vol.18. - P.211-216.

40. Engheta N., Jaggard D.L., Kowarz M. W. Electromagnetic waves in Faraday chiral media // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1992. Vol. 40. - P.367-374.

41. L. W., Leong M.S., Yeo T.S., Kooi P.S. Comments on eigenfunction expansion of the dyadic Green's function in a gyroelectric chiral medium by cylindrical vector wave functions // Physical Review E, 1999. Vol.59. - №3. - P.3767-3771.

42. Olyslager F., Jakoby B. Time-harmonic two- and three-dimensional Green dyadics for a special class of gyrotropic bianisotropic media // IEE Proc.-Microw. Antennas Propag., 1996. Vol.143. - №5. - P.413-416.

43. Tai C.T. Dyadic Green's Functions in Electromagnetic Theory. IEEE Press, Piscataway, New Jersey, The 2nd edition, 1994.

44. Tan E.L., Tan S.Y. Dyadic Green's functions for circular waveguides filled with biisotropic media // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1999. V.47. - №7.- P.1134-1137.

45. Le-Wey Li, Mook-Seng Leong, Pang-Shyan Kooi, Tat-Soon Yeo, Kian-Hwa Tan Rectangular Modes and Dyadic Green's Functions in a Rectangular Chirowaveguide: Part I Theory // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1999. -V.47. №1. - P.67-73.

46. Малышкин ПЛ., Шатров А.Д. Медленные волны анизотропно проводящего цилиндра с узкой продольной щелью // Электродинамика СВЧ, КВЧ и оптических частот, 2002. Т.10. - №2(34). - С.202-203.

47. Федоренко А.И. Решение задачи рассеяния электромагнитной волны на однородном киральном цилиндре методом поверхностных интегральных уравнений // Радиотехника и электроника, 1995. Т.40. - №3. - С.381-393.

48. Varadan V.K., Varadan V.V., Lakhtakia A. Propagation in Parallel-Plate Waveguide Wholly Filled With a Chiral Medium // Journal Wave-Material Interaction, 1988. V.3. - №3. - P.267-272.

49. Varadan V.V., Rao R., Varadan V.K. Measurement of the electromagnetic properties of chiral composite materials in the 8-40 GHz range // Radio Sci., 1994. Vol.29. - №1. - P.9-22.

50. Guerin F., Varadan V.K., Varadan V.V., Labeyrie M., Cuillon P.Y. Some experimental results on the dispersive behaviour of chiral composites // J. Phys. D: Appl. Phys., 1995. Vol.28. - P.194-201.

51. Theron J.P., Cloete J.H. The electric quadrupole contribution to the circular birefringence of nonmagnetic anisotropic chiral media: circular waveguide experiment // IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., 1996. Vol.44. - №8.- P.1451-1459.

52. Mariotte F., Engheta N. Reflection from a lossy chiral slab (with and without metallic backing) in a parallel plate waveguide // Radio Sci., 1995. Vol.30. -№4. - P.827-834.

53. Tretyakov S.A., Haliullin D.Y. Free-space technique for biisotropic media parameter measurement // Micro. Opt. Tech. Lett., 1993. Vol.6. - №8. -P.512-515.

54. Lakhtakia A. Perturbation of a resonant cavity by a small bianisotropic sphere // Int. J. Infrared and Millimeter Waves, 1991. Vol.12. - №2. - P.109-114.

55. Tretyakov 5.Л., Viitanen A.J. Perturbation theory for a cavity resonator with a biisotropic sample: applications to measurement technique 11 Micro. Opt. Tech. Lett., 1992. Vol.5. - №2. - P. 174-177.

56. Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Waveguide and resonator perturbation technique measuring chiralty and nonreciprocity parameters biisotropic materials j I IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., 1995. Vol.43. - №1. - P.222-225.

57. Pelet P., Engheta N. Modal analysis for rectangular chirowaveguides with metallic walls using the finite-difference method 11 J. Electromag. Waves Applicat., 1992.- Vol.6. №9. - P.1277-1285.

58. Pelet P., Engheta N. Corrections to "Modal analysis for rectangular chirowaveguides with metallic walls using the finite-difference method" // J. Electromag. Waves Applicat., 1995. Vol.9. - №1/2. - P.285.

59. Svedin J. A. M. Finite element analysis of chirowaveguides // Electron. Lett., 1990. Vol.26. - №13. - P.928-929.

60. Svedin J. A. M. Propagation analysis of chirowaveguides using the finite element method // IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., 1990. Vol.38. - P.1488-1496.

61. Samant A.R., Whites K.W. Dominant mode field solutions in a chiral-filled rectangular waveguide // Microwave Opt. Technol. Lett., 1995. Vol.10. - №.6. - P.339-343.

62. Samant A.R., Whites K. W. Electomagnetic wave propagation in a chiral-material-filled rectangular waveguide // Microwave Opt. Technol. Lett., 1995. Vol.8. -№2. - P.106-111.

63. Cory H. Wave propagation along a closed rectangular chirowaveguide // Microwave Opt. Technol. Lett., 1993. Vol.6. - №14. - P.797-800.

64. Cory H. Higher order modes in a closed rectangular chirowaveguide // Microwave Opt. Technol. Lett., 1996. Vol.13. - №5. - P.304-308.

65. Tellegen B. D. H. // Philips Res. Rept., 1948. V.3. - P.81.

66. Моденов В.П. Бинарный итерационный корректор-процесс вычисления комплексных корней трансцендентных уравнений. // Вестн. Моск. Ун-та, Сер. 15: Вычислительная математика и кибернетика, 1985. №2. - С.63-65.

67. Егоров Ю.В. Частично заполненные прямоугольные волноводы. М.: «Советское радио», 1967.

68. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

69. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и Связь, 1988.

70. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика. М.: Физматгиз, 1963.

71. Фёдоров Ф.И. Теория гиротропии. Минск: Наука и техника, 1976.

72. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.

73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2001.

74. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука. Физ-матлит, 2000.

75. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука. Физматлит, 1999.

76. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М.: УРСС, 1998.

77. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука. Физматлит, 1965.

78. Michiel Erik Hochstenbach Subspace Methods for Eigenvalue Problems, 2003 -Tekst. Proefschrift Universiteit Utrecht.

79. Справочник по волноводам: Пер. с англ. Под ред. проф. Я.Н. Фельда. М.: Советское радио, 1952.

80. С. J. Reddy, Manohar D. Deshpande, С. R. Cockrell, and Fred B. Beck Finite Element Method for Eigenvalue Problems in Electromagnetics 11 NASA Technical Paper 3485.

81. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.

82. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

83. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

84. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. М.: Мир, 2001.

85. William Н. Press, Saul A. Teukolsky, William Т. Vetterling Numerical Recipes in Fortran: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992.

86. Emmett J. Ientilucci Using the Singular Value Decomposition. Chester F. Carlson Center for Imaging Science, Rochester Institute of Technology, 2003.

87. Самохин А.Б., Самохина А. С. Численные методы и программирование на Фортране для персонального компьютера. М.: Радио и связь, 1996.

88. Бареньтьев О.В. Современный FORTRAN. М.: «Диалог-МИФИ», 1998.

89. Подбельский В.В., Фомин С.С. Программирование на языке С. М.: Финансы и статистика, 1998.1. Список иллюстраций

90. Рассматриваемая волноведущая система .9

91. Вспомогательная система координат.14

92. Разбиение волновода на подобласти.14

93. Система координат в прямоугольном волноводе.17

94. Система координат в круглом волноводе .26

95. Рассматриваемая волноведущая система.46

96. Биизотропная вставка в цилиндрическом волноводе.49

97. Волновод, частично заполненный диэлектриком вдоль узкой стенки . . 65

98. Волновод, частично заполненный диэлектриком вдоль широкой стенки . 66

99. Значения Г^, в зависимости от толщины диэлектрического слоя Ь2/Ь. . 67

100. Значения Г,-^ (г = 1,2,3,4,5), в зависимости от толщины диэлектрического слоя Ь2/Ь при наличии диссипации. Действительная часть.69

101. Значения (г = 1,2,3,4,5), в зависимости от толщины диэлектрического слоя b2/b при наличии диссипации. Мнимая часть.70

102. Значения (i = 1,2,3,4,5), в зависимости от толщины диэлектрического слоя d/a при наличии диссипации. Действительная часть.71

103. Значения Г^ (г = 1,2,3,4,5), в зависимости от толщины диэлектрического слоя d/a при наличии диссипации. Мнимая часть.72

104. Волновод, частично заполненный киральной средой вдоль узкой стенки 73

105. Значения (£)2» в зависимости от толщины кирального слоя d. Данные получены при помощи алгоритма с разложением по продольным компонентам.74

106. ЗЛО Значения (£) , в зависимости от толщины кирального слоя d. Данные получены при помощи алгоритма с разложением по поперечным компонентам.75

107. Волновод, частично заполненный киральной средой вдоль широкой стенки .76

108. Значения Г^, в зависимости от значения кирального адмитанса при разных значениях Ь2. Действительная часть.77

109. Значения Г^, в зависимости от значения кирального адмитанса при разных значениях 62. Мнимая часть.78

110. Значения VN\ в зависимости от толщины кирального слоя Ь2/Ь, при разных значениях кирального адмитанса Действительная часть. . 79

111. Значения в зависимости от толщины кирального слоя Ь2/Ь, при разных значениях кирального адмитанса Мнимая часть.80

112. Значения Г2 и Г3 , в зависимости от толщины кирального слоя Ь2/Ь,при разных значениях кирального адмитанса Действительная часть. . 82

113. Значения Г^ и Г^, в зависимости от толщины кирального слоя Ь2/Ь,при разных значениях кирального адмитанса Мнимая часть.83

114. Значения Г^ и Г^, в зависимости от толщины кирального слоя Ь2/Ь, при разных значениях кирального адмитанса Действительная часть. К эффекту снятия вырождения и прекращения трансформации рассматриваемых волн.84

115. Значения Г^ и Г^, в зависимости от толщины кирального слоя Ъ2/Ъ, при разных значениях кирального адмитанса Мнимая часть. К эффекту снятия вырождения и прекращения трансформации рассматриваемых волн.85

116. Значения Г^ и Г^, в зависимости от толщины кирального слоя Ь2/Ь,при разных значениях кирального адмитанса Действительная часть. . 86

117. Значения Г^ и Г^, в зависимости от толщины кирального слоя Ь2/Ь,при разных значениях кирального адмитанса Мнимая часть.87

118. Значения Г^ и Г^ полностью заполненного волновода, в зависимостиот кирального адмитанса Действительная часть.88

119. Значения Г^ и Г^ полностью заполненного волновода, в зависимостиот кирального адмитанса Мнимая часть.89

120. Значения Г^, в зависимости от толщины кирального слоя d/a при разных значениях кирального адмитанса Действительная часть. . 90

121. Значения Г^, в зависимости от толщины кирального слоя d/a при разных значениях кирального адмитанса Мнимая часть. 91

122. Значения TN\ в зависимости от величины кирального адмитанса f приразных значениях толщины кирального слоя d/a. Действительная часть. 92

123. Значения в зависимости от величины кирального адмитанса f при разных значениях толщины кирального слоя d/a. Мнимая часть.93

124. Значения Г^, в зависимости от толщины кирального слоя d/a при разных значениях кирального адмитанса Действительная часть. . 94

125. Значения в зависимости от толщины кирального слоя d/a при разных значениях кирального адмитанса Мнимая часть.95

126. Значения Г^, в зависимости от величины кирального адмитанса f при разных значениях толщины кирального слоя d/a. Действительная часть. 96

127. Значения в зависимости от величины кирального адмитанса f при разных значениях толщины кирального слоя d/a. Мнимая часть.97

128. Коэффициенты отражения и прохождения по мощности, в зависимости от толщины локального включения d при разных значениях кирального адмитанса £.99

129. Коэффициент отражения по мощности, в зависимости от частоты при разных значениях кирального адмитанса f.100

130. Коэффициент прохождения по мощности, в зависимости от частотыпри разных значениях кирального адмитанса £.101