автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование устойчивости тонкостенных конструкций

РП од

1 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ^ ^ ЯН8 139? ИНСТИТУТ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

На правах рукописи УДК 539.3

ЯКУШЕВ Владимир Лаврентьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

05.13,16- применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов и научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора (¡япнко-математнческих наук

Москва 1990

Работа выполнена в Институте автоматизации проектирования Российской академии наук.

Официальные оппоненты: доктор технических наук профессор И.Д. Грудей, доктор физико-математических наук профессор D.H. Кукудасапои, доктор физико-математических наук профессор A.C. Холодов.

Ведущая организация: Ракетно-космическая корпорация "Энергия".

Защита состоится "__"_____________1996 1-, н "___" часок на заседании специализированного Совета Д.063.91.01 и Московском физико-техническом институте по адресу: 1417ÜO г. Долгопрудный Московской обл., Институтский jiep., д. 9, ауд. N

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан "• .1996 г.

Ученый секретарь специализированного Сонета

В.А. Волков

Актуальность темы диссертации. Проблема моделирования нанряжонно-деформпрованиого состояния тонкостенных конструкций при физически и геометрически нелинейных деформациях и потере устойчивости является актуальной как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Развитие этого направления необходимо для рационального проектирования современной техники, которое должно опираться на надежные методы расчета, позволяющие достаточно точно прогнозировать поведение тонкостенных элементов при различных силовых воздействиях.

Стимулом для развития исследований, связанных с математическим моделированием нелинейных деформаций и потере!! устойчивости, является расхождение между теоретическими результатами и экспериментами, в особенности, для сферических куполов и цилнидриче: скнх оболочек. По современным воззрениям это расхождение объясняется наличием начальных несовершенств в оболочке, которые сильно снижают величины верхних критических нагрузок, и для получения более близких к экспериментам результатов необходимо решение вести на основе нелинейной теории с учетом этих несовершенств.

Однако нелинейные задач» деформирования и потери устойчивости тонкостенных элементов являются сложными как с точки зрения математической постановки, так и с точки зрения методов их решения, и до сих пор подобные расчеты являются уникальными, что не позволяет с уверенностью говорить о полном понимании механизма потери устойчивости.

Создание алгоритмов для решения нелинейных задач вызывает значительные трудности сиякшные с неоднозначностью решений, наличием особых чочек, плохой обусловленностью систем линейных алгебраических уравнений, получаемых при решении пространственных задач.

Поиск эффективных численных методов для решения указанных выше, задач, и том числе и для многопроцессорных вычислительных систем, и решение с их использованием нелинейных задач деформи-

рования и устойчивости тонкостенных конструкций является весь актуальными.

Целью работы является разработка методов численного мо, лирования нелинейного деформирования и потери устойчивости т костенных элементов конструкций, обоснование и реализация пар: лелыщх алгоритмов решения таких задач, изучение закритичес» деформаций стержневых систем и оболочек, исследование влияния ) чальных неправильностей на величины критических нагрузок.

Научная новизна работы состоит;в разработке эффектна] го итерационного процесса для решения нелинейных задач дефори рования и устойчивости тонкостенных конструкций, обеспечивают го хорошую сходимость около критических нагрузок и позволяго!ц( находить устойчивые до- и закритические состояния; получении к< кретных зависимостей между величинами начальных неправильное! и критическими нагрузками, дающими возможность более глубоко 1 пять механизм потери устойчивости оболочек; разработке эффект! ных параллельных алгоритмов решения пространственных задач ' ории оболочек и их реализации на современных миогопроцсссорц комплексах с изменяемой конфигурацией.

Научная и практическая ценность работы определяется пес ходимостью разработки эффективных численных методов расчета 1 линейных деформаций и потери устойчивости тонкостенных констр} ций.

Основным средством решения нелинейных задач, создающим меч дическое единство работы, является метод дополнительной вячкосл апробированный на решении целого ряда примеров различной ело иости н доказавший стою высокую эффективность.

При использовании итерационного процесса основанного па вне; нии дополнительной иязкоетн нет необходимости в смене параметре» выборе специальных процедур обхода особых точек. Благодаря это» можно создавать системы автоматизации проектирования тонкостс ных конструкций с учетом нелинейных аффектов. I

На основе метода дополнительной вязкости для >готранспыотерной системы ПАРАМ был создан пакет кладпых программ "ЭЙЛЕР" предназначенный для расчета инейных деформаций и устойчивости пологих оболочек изполыюй конфигурации. В качестве графического препроцессора го пакета использовался пакет PUFMAS, разработанный в Центре спективных вычислительных систем (CDAC, Pune, India). При взаимодействии с Моспроектом-2 Главмосархитектуры был веден ряд расчетов больших пространственных конструкций: ряда екрытий объектов гражданского строительства - рынков, бассейнов, [ьшой объем расчетов был выполнен для расчета силовой конструк-к рыто го стадиона "Олимпийский" (Москва, проспект Мира) для ¡ариантов нагруясеиия.

Проведен расчет оболочечных элементов силового корпуса энерго-шовки космической станции "Альфа", найдены интенсивности на-жений для различных вариантов иагружения.

Гаким образом, выполненные в диссертации исследования развива-методы математического моделирования нелинейных деформаций :тойчивости тонкостенных конструкций.

□Достоверность полученных численных результатов гверждается тестами на аналитических и точных решениях, шепнем с данными других авторов, а так же приемами греинсго контроля точности вычислений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады-1сь и обсуждались па ряде конференций:

Лирко И.В., Якушев В.Л. Осссимметричная деформация гибких ючек вращения из материала со сложной реологией. IX Всесоюзная |>сргиция но теории оболочек и пластин: 1973 г. 1кушеи В.Л., Одинцои В.Н. К расчету крепи с учетом реологиче-: свойств материала. Тезисы докладов V Всесогозной'конференцни ¡ехапнке горных пород. 1975 г.

1кушев В.Л. Физически и геометрически нелинейные деформации

оболочек вращения с учетом радиационного облучения. III научная конференция молодых ученых и специалистов МФТИ. 1978 г.

Козырев B.C., Якушев В.Л. Исследование закритических деформаций оболочек с помощью введения фиктивно!! вязкости. Пятый Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. 1981 г.

Якушев В.Л. Аппроксимация специального вида для решения задач теории оболочек. XXVIII научная конференция МФТИ. 1932 г.

Якушеи В.Л. Использование реологических моделей для решения задач устойчивости тонкостенных конструкций. XXIX научная конференция МФТИ. 1983 г.

Ширко И.В., Якушеи В.Л. Определение критических нагрузок в элементах конструкций. Всесоюзная конференция "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций". 198] г.

Якушев В.Л. Устойчивость пологих панелей с ученш начальных несовершенств. XXX научная конференция МФТИ. 1981 г.

Якушев В.Л. Решение нелинейных уравнений устойчивости оболочек вращения. XXXI научная конференция М<1>Т11. 1985 г.

Зайцев Б.Н., Якушев В.Л. Решение задач устойчинисчи оболочек методом дополнительной вязкости. Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. 1980 г.

Якушев В.Л. Зависимость частот малых колебании пологих сферических куполов при нелинейном деформировании. ХХХШ научная конференция МФТИ. 1987 г.

Якушев В.Л. Итерационные методы решения нелинейных задач устойчивости тонкостенных конструкций. 2-я школа семинар социалистических стран "Вычислительная механика и ашомаипацни проектирования". 1988 г.

Якушев В.Л., Гурьянов A.A., Николаев A.A.,Рублснко Д.II. Система прочностного расчета для ПЭВМ. Всесоюзная конференция "Современные проблемы информатики, вычнелшелыюй техники и автоматизации. 1991 г.

Якушев В.Л., Маматов И.И. Решение нелинейных задач деформи-

роваиия и потери устойчивости обделок в упруго!! среде. X Международная конференция но механике горных пород. 1993 г. Москва.

Якушеп В. JI. Итерационные методы решения проблем устойчивости тонкостенных конструкций. Международный конгресс по инженерной и прикладной математике. Гамбург, Германия,

Якушев П.Л. Математическое моделирование устойчивости тонкостенных конструкций с начачьимми неправильностями. International Open Workshop. October 16-20, 1995. Moscow.

Yakusliev, V.L. Nonlinear problems of shells stability. The 1st South African Conference on Applied Mechanics (SACAM) '96, 1-5 July, 1996. Midrand, South-Africa..

Кроме того, материалы диссертации докладывались в ряде организаций па семинарах и совещаниях.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 печатные работы и 8 научно-технических отчетов. Список печатных работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из семи глан, заключения и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 369 страниц с одной таблицей и 193 рисунками, библиография содержит 314 ссылок. Для удобства чтения в конце приведен список рисунков с указанием их номеров, названий и номеров страниц.

Содержание работы.

В главе "Обоснование выбора темы диссертации", которая по существу является введением, обсуждается актуальность темы диссертации, формулируется основная цель работы, дается краткое изложение ее содержания.

В следующей главе "Метод дополнительной вязкости" дается обзор литературы и области деформирования и устойчивости стержней. ггла.стин и оболочек, и дается наложение и обоснование метода дополнительной вязкости. Показано, что на его основе можно построить сходящиеся итерационный процесс, в том числе и около критических щцрузок.

б

Предположим, что определена некоторая нелинейная модель деформирования оболочки, заданы форма области 5, в которой ищется решение, граничные условия, внешние распределенная К и сосредоточенная Б,с нагрузки действующие на оболочку. Введем вектора обобщенных перемещений и, деформаций Е, внутренних усилий Р. Свойства материала определяются соотношениями:

Р = Ф(С,Е) (1)

где С - совокупность некоторых констант. Согласно принципу возможных перемещений для равновесных состояний вариация полной потенциальной энергии равна нулю <5П = 0.

Это уравнение позволяет построить систему нелинейных уравнений опираясь на представлении оболочки в виде совокупности конечных элементов. Окончательно получим систему нелинейных уравнений относительно узловых функций <3:

К(С1)-Р(11,Ис)=0 (2)

Для полного определения задачи они должны быть дополнены граничными условиями. Решения этой системы уравнений ограничены, но могут иметь особенности, и как было отмечено выше, лх нахождение представляет определенные трудности. При применении итерационных методов основой для построения какого-либо циклического процесса может служить соотношение:

Л(С})^+К(д)-Р = 0, 0 0; С}(0) = С}о (3)

I - монотонно меняющийся параметр типа времени.

Отсюда можно найти производную от С}:

,^ = -[л(д)]-'[К(я)-р] (4)

Проблема построения сходящегося итерационного метода сводится к выбору оператора Л. Часто для решения нелинейных операторов используется известный метод Ньютона - Канторовича, при котором этот оператор выбирается ¡13 условия:

' А«,-« <5>

Однако, при потере устойчивости итерационный процесс построенный на это основе будет расходиться. Известно, что если полная энергия есть непрерывная функция, то равновесие системы, содержащей консервативные и дпссипативные силы, устойчиво, когда потенциальная энергия положительно определена. Исходное положение соответствует безразличному равновесию и может произойти потеря устойчивости при = 0. Откуда следует:

det|| = 0 (6)

В силу этого обратный оператор (A(Q)]~' в уравнении (4) не существует, а решение около критических нагрузок имеет разрыв. Поэтому оказалась неудачной попытка применить самокорректирующийся метод (вариант метода установления) (Stricklin, J.A., Haisler, W.E., Von Ricseman, W.A. Evaluation of solution' procedures for material and/or geometrically nonlinear structural analysis// AIAA Journal. 1973. 11, No. 3. P. 292-299.) для решения нелинейных задач устойчивости. Приходится модифицировать и метод Ньютона-Рафсопа для обеспечения сходимости в окрестности особых точек (Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988)

Поп роить заведомо сходящийся итерационный процесс можно па основе метода дополнительной вязкости. Будем считать, что свойства материала вместо (1) задаются соотношениями:

(Ж

Р = Р„ + Ф(С, Е), = (7)

Здесь по сравнению с (1) добавлен новый член с производной от Е но времени г. Следует отметить, что ставится задача построения сходящегося итерационного процесса, а не адекватного описания вязких свойеш материала. Поэтому для Р„ выбрана линейная зависимость от скорости сШ/сИ, а все последующие соотношения, в том числе и матрица £>, должны выбираться с точки зрения упрощения вычислений.

Потребуем, чтобы дополнительные внутренние усилия Р„ носили диссипатишнлй характер:

. (1Ет с1Ет<1Е „ . (1ЕТ(1Е /0.1

Ь = -7- Р„ = • Э-г > О, при — — Ф 0 8)

Л Л Л ' ' (И Ш г ^ '

Ь - мощность рассеяния механической энергии. 13 - должна быть симметричной, в противном случае кососимметричная ее часть будет соответствовать гироскопическим силам, а мощность их рассеяния будет равна нулю. Соотношения (8) представляют собой квадратичную форму. Для ее положительной определенности необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

А > 0, г = 1,2, - ■■ ,1 (9)

I - размерность матрицы О, Д - последовательность ее ведущих миноров.

Деформация оболочки- описывается в этом случае системой уравнений:

К0~ + К(д) -Р = 0 (10)

Ко - матрица получаемая из (7) и конечно-элементной аппроксимации. В работе показано, что При выполнении условия (9)

<ка К0 0 (И)

Следовательно, существует обратная матрица [Ко)]-1, и'решения (10) будут ограничены и непрерывны. Из симметричности Р следует симметрия К0.

Следует отметить, условие (11) выполняется, если аппроксимация и внутри конечного элемента по координатам будет производится полиномами не меньше второй степени.

Производные по времени можно аппроксимировать различными конечно-разностными схемами и тем самым определить итерационный процесс.

Если функции, определяющие решение задачи, не удовлетворяют уравнениям статики, то дополнительные члены в (10) не равны нулю. Происходит процесс диссипации энергии, и решение асимптотически сходится в зависимости от нагрузки либо к докритическому, либо закритлческому состоянию. Когда нагрузка приближается к критической, Д1алое ее увеличение вызывает рост скоростей деформаций. Оболочка начинает ползти, пока не достигнет закритической формы равновесия, где вклад дополнительных членов в уравнения становится пренебрежимо малым.

При использовании конечно-разностных или конечно-элементных методов удобно вводить реологическую вязкость. Тогда задача сводится к решению на каждом временном слое эллиптической системы дифференциальных уравнений в частных производных по пространственным координатам с переменными коэффициентами. А в одномерном случае - к решению линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, реализация численных методов оказывается проще, чем при использовании уравнений динамики. Вместе с тем решение зависит только от одного параметра - времени, что определяет преимущества рассматриваемого подхода по сравнению с метолом продолжения по параметру. Метод реологической вязкости может быть обобщен на случай пластического деформирования как для деформационной теории, так и для теории пластического течения (глава 1 диссертации).

Нагрузка

^ 1Г™,

Закритическое Докритическое устойчивое состояние

Л/

Вытесненный объем

Рис. 1: Зависимость нагрузка - вытесненный объем

Подход,основанный на введении дополнительной вязкости,особенно эффективен при рассмотрении пространственных обо,почечных конструкций, поскольку нет принципиальных затруднений при переходе к многомерным задачам. Именно здесь проявляются основные преимущества метода дополнительной вязкости. На его основе удается создать универсальные алгоритмы решения разнообразных задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек.

Метод реологической вязкости позволяет иай ги до - и закригиче-ские устойчивые состояния, верхние и нижние критические нагрузки {Рис. 1), Промежуточные неустойчивые состояния в зависимости "нагрузка-кинематический фактор" оказываются опущенными, что соответствует реальной картине деформирования оболочки при потере устойчивости,поскольку оболочка не может бесконечно долго находиться в неустойчивых состояниях.

При использовании метода реологической вязкости движение оболочки на диагрдммечиагрузка - вытесненный объем (пли иной кинематический параметр) может происходить в предельных случаях только вдоль вертикальных или горизонтальных пунктирных линий, как это показано на рис. 1. Горизонтальные линии соответствуют нагружению,

когда, параметром процесса является внешняя нагрузка, вертикальные - когда параметром является кинематический фактор. Оба случая погружения подробно рассматриваются п диссертации в главе 4.

В первом варианте при превышении верхней критической нагрузки происходит потеря устойчипости и оболочка из состояния 1 пдолг. пунктирной линии переходит »устойчивое закритическое состояние 2. При уменьшении нагрузки от точки 2 продвижение идет вдоль участка 2-3 закрнтичеекой устойчивой части кривой. При доетткетш точки 3 оболочка теряет устойчивость и переходит в состояние 4, а при достижении точки 5 - в точку б вдоль пунктирной линии. Таким образом, для режима нагружения, когда внешняя нагрузка является заданной величиной, удается найти участки 0-1; 2-3; 4-5. Остальные участки соответствую']' неустойчивым состояниям равновесия.

В случае, когда заданной величиной является вытесненный обьем (это может быть при выдавливании жидкости из-под оболочки через дроссель), после достижения точки 1 обо.чочка переходит и состояние, соответствующее точке 7. Объем V при чтом не меняется. Путем последовательного изменения V были могут быть получены участки 7-5-4-32, которые для этого режима соответствуют устойчивым состояниям. При уменьшении V удастся найти участок 7-8. При выходе на точку 8 обо.чочка теряет устойчивость и переходит в точку 9.

В главе рассмотрев также вопрос об адекватности критериев устойчивости, следующих из системы, полученной после введения вязкости, н нелннейной динамической системы. Этот вопрос важен с точки зрения обоснования применения метода дополнительной вязкости к решению задач устойчипости оболочек.

И треч ьей главе "Устойчивость сгержгеных систем" метл, дополнительной вязкости применен для рассмотрения устойчивости простейших стержневых систем. Выбор их как объекта исследования бы. 1 продиктован необходимостью исследования эффект инности метола дополнительной вязкости, выявпенпя возникающих при -пом особенностей и создания мм одической основы для изучения с его помощью

устойчивости оболочек. .

Рассматривается симметричная и несимметричная устойчивость фермы Мизеса для различных моделей внутренней вязкости и шрм наличии вязкой внешней среды. Сравниваются преимущества и шмяв>-статки этих моделей с точки зрения возможности решения статических задач устойчивости и обеспечения сходимости итерационного процесса. Сделан вывод, что наиболее простая и удобная формулировка закона вязкости соответствует модели Фойхта.

Изучена устойчивость системы из пяти стержней, имеющей более сложный по сравнению с фермой Мизеса вид зависимостей между внешней нагрузкой и перемещениями. Исходные нелинейные уравнения получены с учетом инерционных сил и затухания, определяемого моделью Фойхта. Двумя неизвестными функциями являются перемещения шарниров. В начале найдены решения соответствующие уравнениям статики. Затем решения нелинейной задачи устойчивости при наличии вязкости и отсутствии инерционных сил. Для каждого значения нагрузки поиск неизвестных сводится к итерационному процессу. Найдены верхние и нижние критические нагрузки, устойчивые до- н закритические состояния. Для проверки правильности решения была рассмотрена динамическая задача с вязкостью. Получено полное совпадение результатов, как для критических нагрузок, так и для устойчивых ветвей.

Для объяснения характерных особенностей потерн устойчивости стержневой системы рассматривается устойчивость иммх отклонений от статического решения. В двумерной области определения неизвестных построены границы между устойчивыми и неустойчивыми состояниями. Показано совпадение условий устойчивости для динамической и чисто вязкой систем.

На основании проведенного анализа сделан вывод, что шишчие статических кривых связи между нагрузкой и характерным кинематическим фактором не достаточно для правильного определения кри тических нагрузок, необходимо решение нелинейной динамической задачи

с начальными возмущениями, решение бифуркационной задачи или использование метода дополнительной вязкости.

В четвертой главе "Осссимметричная устойчивость оболочек вращения" метод дополнительной вязкости приложен к системам с более сложной нелинейной связью между нагрузкой н перемещением -оболочкам вращения при осгснммстричном деформировании. В качестве примеров рассматривается устойчивость сферических куполов.

Для проверки правильности получаемых результатов по методу дополнительно!! вязкости вначале изложен метод основанный на другом подходе - поиске решения путем перебора граничных условий в центре купола с тем, чтобы удовлетворить условия в заделке. Он основан на особенности разрешающей системы уравнений, благодаря которой неизвестная соответствующая вертикальному смещению входит только в одно уравнение, и в начале можно решить отдельно систему из пяти уравнений (сокращенная система), а затем отдельно шестое. При этом для пяти уравнений при решении краевой задачи три условия заданы п начато интервала интегрирования, а два на его конце. Последние оказываются функциями двух неизвестных граничных условий в начале интервала.

На основе полученных таким образом решений рассмотрены линейные свободные колебания пологого купола относительно нелинейного деформированного осеспмметричного состояния. При изменении внешней нагрузки частоты таких колебаний могут изменяться в широких пределах и особенно заметно при потере устойчивости. Квадраты частот найдены для устойчивых и неустойчивых участков деформирования.

Для решения задач осеспмметричного деформирования и потерн устойчивости оболочек вращения на основе метода реологической вязкости получена система из шести уравнений при произвольных смещениях н углах поворота.

Получены соотношения для различных теорий пластичности, в уравнении которых вводится дополнительная вязкость. Полученные

соотношения дают основу для построения эффективных итерационных методов расчета устойчивости оболочек работающих в пластической области.

Далее приведены результаты численного решения задач устойчивости пологих сферических куполов и полусферической оболочки, и проведено сравнение результатов с решениями приведенными в других публикациях.

В качестве примера рассмотрена устойчивость жестко защемленной по краю полусферической оболочки из дюралевого сплава АД1 постоянной толщины к = 1мм и радиусом срединной поверхности Я = 14.4342мм. Были найдены до и закритические устойчивые состояния, верхние и нижние критические нагрузки. Оказалось, что учет пластичности для сравнительно толстостенной оболочки привел к 45 кратному снижению критической нагрузки. Последовательное изменение формы оболочки при этой нагрузке представлено на рис. 2.

Исследована устойчивость пологого сферического купола при нве-

дении внешне)! вязкости. Решение раскладывается в ряды по собственным формам колебапи!! купола. Коэффициенты разложения определяются по методу взвешенных невязок. Для решения жесткой системы уравнений предложена специальная разностная схема.

В пятой главе " Решение задач устойчивости цилиндрических и сферических панелей на основе метода конечных элементов" получены уравнения, описывающие нелинейные деформации и устойчивость пологих оболочек при введении вязкости в реологические соотношения, дан алгоритм их численного решения и рассмотрен ряд примеров.

В качестве конечного элемента использован треугольный криволинейный 12 узловой лагранжев элемент (Кулагин C.B. Эффективный треугольный КЭ для расчета пологих оболочек по сдвиговой модели Тимошенко с учетом геометрической нелинейности. // Прочность и устойчииость оболочек. Труды семинара Казанского физико-технического института./ Вып. 19, ч. 2, Казань, 1986} учитывающий сдвиговые деформации по модели С.П. Тимошенко.

Решен ряд задач о нелинейном деформировании и устойчивости пластин, цилиндрических и сферических панелей. Продемонстрирована высокая эффективность метода реологической вязкости и совпадение численных значений критических нагрузок и нелинейных зависимостей "нагрузка-ирогцб" для устойчивых состояний с известными из публикаций результатами. При этом предполагалось, что оболочки имеют идеальную форму.

При итерационном процессе шаг по безразмерному времени Т был переменным и выбирался автоматически по следующему алгоритму:

Д7\ = АТ2 = ДГо .

Д^ - Д Vt - 1

V

ДТ1+1 = 2С-у о

ATi

ДГ„,;„ < ДТ; < ДГтат

(12)

Рис. 3: Зависимость прогиба (м) в центре от силы (Н) для цилиндрической панели при дополнительном разбиении шага около критических нагрузок.

С - постоянная, определяющая скорость изменения шага, V - некоторая интегральная величина от прогиба по всей расчетной области. По результатам тестовых расчетов наиболее приемлемой такой величиной оказался вытесненный объем при деформировании оболочки.

На рис. 3 представлены результаты решения одного из примером - задами о закригическом поведении квадратной в плане цилиндрической панели, нагруженной в центре сосредоточенной силой. Оболочка предполагалась шарнирно опертой вдоль ее прямолинейных кромок и свободной вдоль криволинейных. Сторона панели в гауссовых координатах равна а = 0,508м, толщина /г = 1.27 Ш'^м, радиус кривизны Я — 2,54м, модуль упругости Е = 3,10275 1()9Па, коэффициент Иуас-сона V = 0,3.

Расчет в силу симметрии задачи пелся только для четверти панели, поэтому приведенные значения силы для всей панели следует умножить на 4. Вначале зависимость между прогибом и нагрузкой в центре наиели была получена с шагом но значению силы равным 50 Н. При достижении нагрузки в 550Н ободочка теряла устойчивость и

Рис. 4: Цилиндрическая панель. Заннсимость вытесненного объема (м;!) (нунктнр) и его производной от номера итерации при нагрузке 530II.

переходила в устойчивое закритическое сос тояние. Нагрузка увеличивалась еще на нескольких шагах, а затем знак ее приращения менялся на обратный, и сила уменьшалась. В результате была получена кривая для устойчивых закритнческнх состояний. После перехода через нижнюю критическую нагрузку, итерационный процесс сходился уже к значениям неизвестных соответствующих докрнтическим состояниям. Для более точного определения критических нагрузок был проведен расчет с уменьшенным в 10 раз шагом по нагрузке в указанных интервалах. Этот результат представлен на рис. 3. Границы значений равны Р„ = 525 - 5301!, Р„ = 130- 135Н. Это вполне приемлемая точность, хотя можно пронести и дальнейшее уточнение. Для сравнения на рис. 3 ii ниде ромбиков показано решение полученное Янгом и Сунилом ( Yang T.Y., Saitsal Suuil. A curved quadrolateral element for static analysis of shells wilh geometric and material noulinearities // Int. J. Numer. Meth. Eng., 1985. Vol. 21. N 4), с результатами которых наше решение практически совпадает.

IIa рис. 1 показана зависимость вытесненного объема и абсолют-

ной величины его производной от номера итерации при переходном процессе от устойчивого докритического состояния к устойчивому за-критическому.

Если отказаться от требования гладкости кривых, то шаг по времени в итерационном процессе,может быть значительно увеличен, это позволяет в 4-5 раз сократить общее число итераций.

Следующая шестая глава "Решение задач устойчивости оболочек с учетом начальных несовершенств" посвящена исследованию влияния начальных несовершенств на характер деформирования И потери устойчивости оболочек, определению критических нагрузок в зависимости от расположения и величины начальных неправильностей в их исходной форме. В качестве объекта исследования выбрана квадратная в плане цилиндрическая панель с шарнирным закреплением краев, нагруженная равномерным внешним давлением. Размер сторон в плане равен а = 0,508м, толщина к = 2,54 10~3м, модуль упругости Е = 3,10275 109Па, коэффициент Пуассона V =0,3, радиус кривизны панели -Д = 2,54м.

Для исследования влияния начальных несовершенств на величину критической нагрузки был проведен «цикл расчетов с введением дополнительного начального прогиба и'о в ряде мест оболочки в виде локальных вмятин:

- го0(хъХ2) = УтМ~^ ^(^./^со^/а)

' сок(27ГЖ);/а)соз(2я-х-2;/а) ' ^ '

<1{ = У/(х 1 ~Х1 ¿)2 + (х2 -ж2,-)2,

N - количество вмятин, хц и - координаты центра каждой вмятины, г. - относительная по отношению к толщине оболочки Н глубина вмятины в ее центре, - расстояние от центра вмятины до произвольной точки оболочки с координатами х\ и хг, о - коэффициент определяющий скорость падения глубины вмятины с удалением от ее центра, при проведении расчетов он принят равным а = 45, при этом значении

глубина уменьшается в 10 раз на расстоянии 0,1«. Множители в виде произведения косинусов введены для того, чтобы не нарушать идеальность граничных условий.

- Рассмотрена деформация панели с идеальной формой и несколько вариантов при наличии локальных вмятин. Изучено пять вариантов расположения таких вмятин. В четырех из них задача сводилась в силу симметрии к рассмотрению только четверти панели. В пятом задача являлась несимметричной, и расчетная область совпадала со всей панелью.

Для центрально расположенной вмятины N — 1,'хц = — 0 расчеты были выполнены для ряда значений г и построена зависимость верхней критической нагрузки рсг от величины этого параметра. Она представлена па рис. 7 пунктирной линией.

Характер нелинейного деформирования оболочки можно представить из анализа линий уровня прогиба показанных на рис. 5 и 6 для четверти панели. Точка с максимальным значением прогиба обозначена маркером в виде ромбика с прямым крестом внутри, с минимальным прогибом - квадратом с косым крестом внутри. Численные значения минимального и максимального прогиба указаны над рисунком, там же даны координаты точек, где достигаются эти значения. Изолинии построены через равные интервалы прогиба.

В -зависимости от знака и величины начальной вмятины существуют два типа форм закритических устойчивых состояний - первый когда образуется углубление вдоль прямолинейной кромки панели, а в центре появляется выпучена направленная в противоположную сторону от действия давления (рис. 5), и второй, когда образуется углубление в центре, а вдоль боковых сторон ныпучины (рис.С). Первый тин характерен и для идеальной панели. При переходе с первого на второй тин нелпчнпа кри тической нагрузки достигает максимума (рис. 7),

Ре-лшнруя полученные результаты, можно сделать вывод, что при -2,15 < г < 0,193 оболочка теряет устойчивость но первому тину. На этом участке зависимость рсг от г имеет минимум (рис. 7) равный

икзн- -0.00131 «яг г ш-о.ооо кг--<иооо

НЯГРУЭКЯ 600.0 ИМЙХ- О.00119

К1-о.1»5 жа—о.ооо

МНЗИ- -0.Р015*

«яг в *1-о.ооо хг—о.ооо

нпгриэко 700.0 имах- О.ООЗВ1

XI-о.1 б* ха—о, ооо

Рис. 5: Линии уровня прогиба до и после потери устойчивости при давлении 690 и 700 Па для иеидеалыюй панели с г — —0, б

ИМ1Н- -О.ООО00

ваг 7 К!-о.о<и кг-« .ги

НЯГРУЗКЯ Б60.0 имдх- О.002Б6

Х1-0.000 Х2— -О. ООО

ШШ*--0.00050

«ЙГ8 Х1-0.209 ха—о.ооо

НАГРУЗКА 670.0 инйх- 0.00572

XI-о-ооо хг—о.ооо

Рис. 6: Линии уровня прогиба до и после потери устойчивости при давлении 660 и 670 Па для неидеалыюй панели с г = 0,4

Рис. 7: Зависимость (¡с}. от г для вмятины в точке 5; пунктир - такая же зависимость для вмятины в центре

091,5Па при г = -1, 15. Около г = 0,193 рсг имеет максимум в 725 Па, что выше, чем критическая нагрузка в 718,5 Па для идеальной оболочки. При 0,193 < г < 0,75 цилиндрическая панель теряет устойчивость по второму чипу, при резком снижении рсг с увеличением г. Наименьшая кри тическая нагрузка равна б46Па при г ~ 0,75. При г < г 1 = -2,15 и при > г2 = 0, 75 деформация напели происходит без хлопка.

В предположении, что начальные несовершенства носят случайный характер, а плотность их вероятности соответствует нормальному закону распределения:

/M=vè»<»>

найден закон распределения критической нагрузки, его математическое ожидание и дисперсия. В связи с тем, что в зависимости критической нагрузки от глубины г имеется минимум, в этом распределении имеется точка разрыва второго рода, когда при стремлении глубины к некоторому значению, плотность вероятности стремится к бесконечно-

сти. В соответствии с предложением Болотина В.В. ИИ еден нормирующий множитель, такой чтобы интеграл от плотности вероятности (14) в пределах —2,15 < г < 0, 75 был равен 1.

Другие варианты расположения вмятин, приводящие к симметричному деформированию относительно центральных осей, качественна дают ту же самую картину - оболочка после потери устойчивости приобретает форму первого или второго тнпа в зависимости от глубины начальных вмятин.

Иной вариант распределения прогибов в предкритическом и за-критическом устойчивых состояниях наблюдается при одной несимметрично расположенной вмятине, центр которой имеет координаты хц — £21 = «/4. Форма вмятины по-прежнему определяется уравнением (13) при N = 1. Такое расположение вмятины с учетом формы оболочки, для которой кромки %2 — ±а/2 являются криволинейными, а = ±«/2 - прямолинейными, приводит к^арушешпо симметрии и необходимости рассмотрения полной панели.

Здесь наблюдается третий тип закритичсской формы, когда с одной стороны напели вдоль ее прямолинейной кромки обрадуется углубление, а с другой выпучила. Причем сама начальная вмятина при малых |г| практически не влияет на эту <форму, по оказывает существенное влияние па величину критической нагрузки (рис. 7).

На рис. 8 показаны линии уровня нормального прогиба при давления 650 и 700 Па для г = 0, 2, первое значение соответствуе т докри-тнчег.кому, а последнее - закриткчеокому усюйчивым состояниям. Характер деформирования носит иной характер, чем при симметричном расположении вмятин. Здесь симметрия полностью отсутствует, точка максимального прогиба совпадает с центром вмятины. Но поело потерн устойчивости влияние начальной нмятивы становится малозаметным, хлопок происходит с образованием практически симметричной относительно оси .Г) формы. Справа от осп .г? появляется углубление, и слева ныпучпна. Такая форма для '„«критических устойчивых состояний является характерной для несимметричных начальных несовершенств

Рис. 8: Линии уровня прогиба до и после потери устойчивости при давлениях: 650 и 700 Па для неидеальной панели с вмятиной в точке 5 при г = 0, 2

для панели с выбранными размерами. Б зависимости от величины и направления исходной вмятины, углубление может образовываться либо слева, либо скрапа от оси ,со, а с противоположной стороны образуется выпучнна (рис. 8).

При более значительных величинах )г| влияние начальной вмятины на закрнтическую форму становится более заметным (рис. 9).

Для этого случая расположения вмятины найден закон распределения критической нагрузки, его математическое ожидание и дисперсия. В распределении критической нагрузки имеется точка разрыва второго рода и асимптота, соответствующие точкам минимума для qi r расположенным слева и справа от оси v — 0.

Начальные неправильности можно задавать либо на основе обмеров реальных оболочек или путем привлечения некоторых дополнительных предположений, например, они могут определяться из задачи оптимального проектирования, когда при заданных ограничениях на начальные неправильности, находятся такие две формы оболочки, при которых в наибольшей степени повышается или понижается критиче-

U«1N- -0.00(76

ifr i «1-0.120 хг-o.u*

нятиэкп 710.0 МИЙХ- 0.00088

XI—-О. 040 хг-0.102

UM IM- -0.00174

«яг г xi-o. 1го *г-о.in

НЯГРИЗКО 71S. О UHRX- О. OOS 10

XI»-0.021 Х2--0. ООО

file. 9: Линии уровня прогиба до и после потери устойчивости np¡i давлении 710 и 715 Па для неидеальной панели сг = —1,5

екая нагрузка.

Этому вопросу посвящена заключительная часть главы. При раз-

i

ложении искомых функций и начальных прогибов в двучленный ряд найдены критические нагрузки при указанных выше предположениях как функции величины ограничения на несовершенства. Такой ряд не обеспечивает необходимую точность, хотя он и использовался рядом авторов, но позволяет прояснить вопросы связанные постановкой задачи и интерпретацией результатов.

В седьмой главе "Расчет оболочек сложной формы" рассматриваются пространственные оболочечные конструкций сложной, формы. Решение таких задач требует подробного описания геометрии оболочки, свойств материала и внешних воздействий, для чего необходимо задание большого количества конечных элементов, и следовательно, обращения матриц с большим количеством неизвестных и обработки значительных объемов числовой информации. Одним из главных направлений решения подобных задач является организация параллельных вычислений.

Этот «опрос рассматривается в первой части главы. Исследование задач нелинейного деформирования и устойчивости оболочек ведется

2S~

на основе алгоритма "геометрического" распараллеливания, который сводится к разбиению области интегрирования на подобласти, каждую из которых обрабатывает свой транспьютер с последующей состыковкой граничных условий между подобластями.

В заключении главы кратко онисаны некоторые конструкции, которые были рассчитаны на основе методов конечных элементов и реологической вязкости. Все приведенные результаты имели практическое приложение и были получены по заданию организаций работающих в области гражданского строительства и ракетостроения. В частности, были рассмотрены перекрытия зданий гражданского назначения, в том числе и стадиона "Олимпийский", силовой корпус энергоустановки проектируемой космической станции "Альфа".

В последней главе "Заключение" делаются выводы но результатам диссертации:

1. Предложен метод дополнительной вязкости для решения нелинейных задач деформирования к устойчивости тонкостенных конструкций. Дополнительная вязкость может быть введена либо ц реологические соотношения между деформациями и напряжениями в виде членик зависящих от скоростей деформаций, либо в качестве внешних сил пропорциональных скоростям перемещения точек срединной поверхности.

2. Показано, что па основе метода дополнительной вязкости удается пос троить сходящийся итерационный процесс, в том числе и около критических нагрузок. На этой основе построен единый алгоритм нахождения устойчивых до- н закритических состояний, верхних и нижних критических нагрузок при ступенчатом или непрерывном изменении внешней нагрузки или какого-либо кинематического параметра, например, вытесненного объема.

3. Найдены условия накладываемые на модели вязкости, при которых обеспечивается сходимость итерационного процесса, Показано совпадение критериев устойчивости для динамической и вязких задач.

4. Решения задач устойчивости стержневых систем позволило рас-

смотреть применимость различных моделей вязкости. Проведено сравнение результатов решения динамической задачи с решениями по методу дополнительной вязкости. Детально проанализированы особенности потери устойчивости, показано полное совпадение критериев устойчивости как динамической, так и вязкой задач. ,

5. Исследование устойчивости пологих сферических куполов и полусферических оболочек доказало применимость метода дополнительной вязкости для исследования систем со сложной нелинейно!'! связью между нагрузкой и перемещением. Анализ их поведения дал возможность апробировать численные методы поиска до- и закритических состояний и критических нагрузок. Получены соотношения для различных моделей пластичности. ,

6. Подход основанный на введении дополнительной вязкости особенно эффективен при рассмотрении пространственных оболочечных конструкций, поскольку в нем- нет принципиальных затруднений при переходе к многомерным задачам. Именно здесь проявляются его основные преимущества.

В диссертации метод реологической вязкости применен к проблеме устойчивости пологих оболочек с "учетом геометрической нелинейности, поперечных деформаций по сдвиговой модели С.П. Тимошенко и произвольной в плане формой.

На этой основе решен ряд нелинейных задач пластин и оболочек различной формы - цилиндрических и сферических панелей. Все полученные результаты сравнивались с данными других авторов. Продемонстрирована высокая эффективность метода.реологической вязкости и совпадение численных значений критических нагрузок и нелинейных зависимостей "нагрузка-прогиб" для устойчивых состояний с известными из публикаций результатами. При этом предполагалось, что оболочки имеют идеальную форму. ,

7. Исследовано влияния начальных несовершенств на характер деформирования и потерю устойчивости оболочек,"'определению критических нагрузок н зависимости от расположения и величины' пачаль-

пых неправильностей в их исходной форме. В качестве объекта исследования выбрана квадратная в плане цилиндрическая панель с шарнирным закреплением краев, нагруженная равномерным внешним давлением.

Изучено пять вариантов расположения несовершенств в виде локальных вмятин. В четырех из них задача сводится в силу симметрии к рассмотрению только четверти панели. В пятом задача является несимметричной, и рассматривалась полная панель. Обнаружено три типа закритических форм потери устойчивости, появление которых за-1з и с пт от расположения и глубины начальных вмятин.

В предположении, что глубина центральной и боковой вмятин является случайной величиной и распределяется по нормальному закону, найден закон распределения критической нагрузки, ее математическое ожидание и дисперсия.

8. Рассмотрев расчет пространственных оболочечных конструкций сложной формы. Для их решения использован алгоритм, основанный на "геометрическом распараллеливании вычислений", позволивший создать пакет прикладных программ для многотранспьютерной ЭВМ "ПАРАМ".

Литература

1. Якушга В. Л. Упруго-пластический изгиб цилиндрической оболочки с учетом касательных напряжений //Труды МФТИ. Серия "Аэромеханика. Процессы управления", г. Долгопрудный. 1973. С. 132137.

2. Ширко И.В., Якушев В.Л. Упруго-пластический изгиб цилиндрической оболочки по теории Прандтля-Рейсса // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1973, N 2. С. 21-26.

3. Ширко И.В., Якушев В.Л. Расчет оболочек вращения с учетом радиационного облучения. Доклад на Всесоюзном совещании "Радиационные эффекты изменения механических свойств конструкционных материалов и методы их исследования". Киев. 1974.

4. Якушев В.Л. Одинцов В.Н. К расчету крепи с учетом реологических свойств материала. Тезисы докладов V Всесоюзной конфе-

рснции по механике горных пород. (Москна, 7-9 января 1975 г.). М.: 1974. С. 52-53.

5. Ширко И.Б., Якушев В.Л. Осесимметричная деформация гибких оболочек вращения из материала со сложной реологией. IX Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин. 24-28 декабря 1973 года. Ленинград. Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. 1973, Л., Судостроение. 1975.

6. Ширко И.В., Якушев В.Л. Физически и геометрически нелинейные деформации оболочек вращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. N6. С. 103-109.

7. Козырев B.C., Якушев В.Л. Исследование закритичсских деформаций оболочек с помощью введения фиктивной вязкости // Ашгот. докл. 5-го Всесоюз. съезда но теорет. и прикл. механике. Алма-Ата. 1981. Алма-Ата. Наука, 1981. С. 198.

8. Якушев В.Л., Ильинов В.П. Решение задачи упруго-пластического формоизменения непологой оболочки вращения при больших прогибах // Аэрофизика и прикладная математика. Сб. научных трудов. М.: МФТИ, 1981. С. 9.

9. Ширко И.В., Якушев В.Л., Козырев B.C. Решение задачи о потере устойчивости сферического купола методом реологической вязкости // Аэрофизика и прикладная математика. Сб. научных трудов. М.: МФТИ. 1981. С. 10.

10. Якушев В.Л. Решение задачи об устойчивости стержневой системы методом реологической вязкости // Аэрофизика и геокосмические исследования./МФТИ. М., 1984. С. 134-143.

11. Ширко Л.В., Якушев В.Л. Определение критических нагрузок в элементах конструкций. Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций. Тезисы докладов Всесоюзной конференции, г. Горький, Изд. ГГУ, 1984. С. 116-117.

12. Якушев В.Л. Определение экстремальных критических нагрузок при заданных ограничениях на начальные неправильности. - В кн.: Вопросы гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики. М., изд. МФТИ, 1985, с. 117-123.

13. Зайцев Б.Н., Ширко И.В., Якушев В.Л. Исследование устойчивости цилиндрической напели методом дополнительной вязкости. - В кн.: Вопросы гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики. М., изд. МФТИ, 1985, с. 88-92.

14. Якушев В.Л. Устойчивость пологих сферических куполов // Современные вопросы гидродинамики, аэрофазики п прикладной механики /МФТИ, М., 1986. С. 89-96.

15. Зайцев Б.H., Якушев В.Л. Решение двумерных задач о потере устойчивости оболочек методом реологической вязкости // Современные вопросы гидродинамики, аэрофизики и прикладной механики /МФТИ, M., 1986. С. G7-74.

16. Зайцев Б.Н., Якушев B.JJ. Решение задач устойчивости оболочек методом дополнительной вязкости. Шестой Всесоюзный съезд но теоретической и прикладной механике. Ташкент, 24-30 сентября 198G года. Аннотации докладов. Ташкент 198G. С. 285.

17. Якушев В.Л. Решение задач устойчивости полусферических оболочек методом реологической вязкости // Современные вопросы механики сплошной среды в геокосмических исследонаниях./ МФТИ, М., 1987. С. 105-112.

18. Якушев В.Л. Изменение частот линейных свободных колебаний при нелинейном деформировании н потере устойчивости сферического купола // Прикладные задачи механики сплошной среды н геокоемической физики./ МФТИ, М., 1988. С. 7G-81.

19. Якушев П.Л. Итерационные методы решения нелинейных задач устойчивости тонкостенных конструкций. 2-я школа ссминар социалистических стран "Вычислительная механика и автоматизация проектирования" (1G-23 октября 1988 г.). Сборник тезисов докладов и сообщений. Москва - Ташкент, 1988. С. 62.

20. Якушев В.Л. Метод реологической вязкости для исследования потери устойчивости оболочек при пластическом деформировании// Вопросы механики сплошной среды в геокосмическнх исследованиях. М.: МФТИ, 1989. С. 114-122.

21. Якушин В.Л. Ускорение процесса решения задач устойчивости оболочек методом реологической вязкости // Вопросы механики сплошной среды в геокосмических исследонаниях. М.: МФТИ, 1989. С. 123-129.

22. Якушев В.Л. Решение задач устойчивости оболочек методом реологической вязкости при конечно-элементной дискретизации но сдвиговой модели Тимошенко // Прикладные задачи аэромеханики и геокоемической физики./ МФТИ, М., 1990. С. 127-133.

23. Гурьянов A.A., Якушев В.Л., Кравченко-Бережной В.Р. Разработка программного обеспечения для расчетов на прочность в САПР в градостроительстве и архитектуре// Алгоритмическое и программное обеспечение САПР в градостроительстве. Сборник научных трудов под ред. акад. О.М. Белоцерковского. М.: Наука, 1990. С. 33-45.

21. Якушев В.Л., Гурьянов A.A., Николаев A.A., Рубленко Д.И. Система прочностного расчета Для ПЭВМ. Всесоюзная конференция

"Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации. Москва, 21-23 апреля 1991. Тезисы докладов. М.: 1991. С. 39.

25. Якушев B.JI. Исследование симметричных и несимметричных форм потери устойчивости фермы Мизеса методом дополнительной вязкости // Прикладные задачи аэромеханики и геокосмической физики./МФТИ. М., 1991. С. 80-88.

26. Якушев B.JI. Применение метода дополнительной вязкости для решения нелинейных задач устойчивости оболочек // Изв. РАН. МТТ. 1992. N 1. С. 153-163.

27. Якушев B.JI., Маматпов И.И. Решение задачи устойчивости бесконечно длинной цилиндрической оболочки методом реологической вязкости. Доклады АН РУз, Ташкент, N 1, 1993. С. 16-19.

28. Якушев В.Л., Маматпов И.И. Решение нелинейных задач деформирования и потери устойчивости обделок в упругой среде. X Международная конференция по механике горных пород. 27.09.01.10.1993. Тезисы докладов, М.: 1993. С. 53.

29. Якушев B.JI., Рамеш К.С., Шах М.С. Использование транспьютерных систем для решения нелинейных задач устойчивости оболочек. (Yakushev, V.L., Ramesh, K.S., Shah M.S. Use of transputer systems to solve nonlinear problems of shell stability; Supercomputing Using Transputers, Narosa Publishing'House, New Delhi, Madras, Bombay,

, Calcutta, 1994, 204-207.)

30. Якушев B.JI. Итерационные методы решения проблем устойчивости тонкостенных конструкций. Международный конгресс по инженерной и прикладной математике. Yakushev, V.L. Iteration methods for solving problems of stability in thin-walled structures. The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics. Hamburg 3.-7. July, 1995. Book of Abstracts. P. 483.

31. Якушев B.JI. Математическое моделирование устойчивости тонкостенных конструкций с начальными неправильностями. Yakushev V.L. Mathematical Modelling of Stability in Thinwalled Structures with Initial Imperfections. Proc. of abstracts of International Open Workshop. October 16-20,1995. Moscow. Institute for Computer Aided Design RAS, Moscow, Russia. 1995. P. 41. ,

32. Якушев B.JI. Нелинейные задачи устойчивости оболочек. Yakushev, V.L. Nonlinear problems of shells stability. Proceedings of the 1st South African Conference on Applied Mechanics (SACAM) '96, 1-5 July, 1996. Mid rand, South-Africa, 252-259.

МФТИ ЗЛКЙЛ ^/¿Dv rwp.

• - ' - \ 31 ■ -'•■ :