Математическое моделирование уровенной поверхности океана по спутниковым данным на основе двумерной B-сплайн аппроксимации

Гомонов, Александр Дмитриевич

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование уровенной поверхности океана по спутниковым данным на основе двумерной B-сплайн аппроксимации

кандидата технических наук: Гомонов, Александр Дмитриевич
город: Мурманск
год: 2011
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование уровенной поверхности океана по спутниковым данным на основе двумерной B-сплайн аппроксимации»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование уровенной поверхности океана по спутниковым данным на основе двумерной B-сплайн аппроксимации"

На правах рукописи

4В01

Гомонов Александр Дмитриевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УРОВЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА ПО СПУТНИКОВЫМ ДАННЫМ НА ОСНОВЕ ДВУМЕРНОЙ В-СПЛАЙН АППРОКСИМАЦИИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 3 ОКТ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург — 2011

4857187

Работа выполнена на кафедре высшей математики и программного обеспечения ЭВМ Мурманского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор технических наук, доцент

Середа Альгирдас-Владимир Игнатьевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор кафедры теоретических основ электротехники Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) Бычков Юрий Александрович

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой физики Мурманского государственного технического университета Морозов Николай Николаевич

Ведущая организация: кафедра океанологии Санкт-Петербургского государственного университета

Защита состоится «Ж» О^^в 2011 г. в ^^ часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.238.01 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) по адресу: ул. Проф. Попова, д. 5, Санкт-Петербург, 197376

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГЭТУ.

Автореферат разослан « ауге^з^/7 гон 1

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций, к.т.н. У Щеголева Н.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование природных динамических процессов часто предполагает математическое моделирование тех или иных пространственно распределенных физических полей, изучение которых позволяет решать важные с точки зрения практических приложений задачи. Для процессов, протекающих в пространственных областях в реальном масштабе времени, теоретическое описание которых отсутствует, математическое моделирование может быть осуществлено лишь на основе аппроксимации известных данных измерений с помощью выбранного класса функций. При этом, как правило, возникает ряд проблем. Во-первых, необходимые (для восстановления пространственных распределений исследуемых характеристик процесса) измерения не могут быть осуществлены единовременно, а накапливаются в течение некоторого промежутка времени. В результате измерения, полученные в начале указанного временного промежутка, могут оказаться неактуальными в конце этого промежутка. Во-вторых, измерения, которыми располагает исследователь, как правило, представлены в пространственных точках, нерегулярно расположенных в исследуемой области. В-третьих, восстановленные по результатам измерений пространственные распределения исследуемых характеристик могут иметь слишком короткий период стабильности, практически мгновенно теряя практическую актуальность. В-четвертых, часто оказывается важным не столько восстановление с заданной точностью пространственного распределения той или иной характеристики исследуемого динамического процесса, сколько пространственные тенденции изменения этой характеристики в заданной области. При этом существенным оказывается определение требуемого пространственного масштаба изменчивости.

Подобного рода задачи могут возникать, например, в океанологии, метеорологии и т.п. В данной работе решается задача восстановления уровенной поверхности океана, отличающейся, как известно, временной изменчивостью, на основе накапливающихся во времени в заданной акватории данных спутниковых наблюдений. Несмотря на имеющиеся исследования, проводившиеся в этой связи в океанологии, эта задача сохраняет свою актуальность. Кроме этого она имеет достаточно важное практическое значение, поскольку знание уровенной поверхности океана позволяет, например, вырабатывать более обоснованные прогнозы рыбопромысловой обстановки.

Следует отметить, что на данный момент времени реализовано несколько математических моделей и программ, позволяющих строить поля аномалий уровенной поверхности океана. Однако во всех них заложен слишком большой период осреднения спутниковых данных (минимум 10 суток), что является абсолютно неприемлемым для определения быстро изменяющихся гидродинамических структур в океане. Кроме того, существующие модели работают, как правило, в диапазоне широт ±72°, что тоже в свою очередь является существенным их недостатком.

Вышеизложенные факты говорят о том, что поиск математического метода для построения карт уровенной поверхности Мирового океана по вдольтрековым данным альтиметрии за более короткие периоды (менее 10 суток) в диапазоне широт ±81,5°, а также разработка методики, алгоритма и программной реализации являются весьма актуальными.

Целью диссертационной работы являются разработка математической модели уровенной поверхности океана методом аппроксимации спутниковых вдольтрековых альти-метрических данных двумерными В-сплайнами и реализация на ее основе программных средств, устойчиво работающих в различных широтах.

В соответствии с указанной целью в работе потребовалось решение следующих задач:

1. Выполнение обзора существующих методов и их сравнительный анализ построения уровенной поверхности Мирового океана.

2. Разработка методики определения временного периода устойчивости уровенных поверхностей Мирового океана.

3. Построение математической модели уровенной поверхности Мирового океана.

4. Разработка метода подбора параметров математической модели уровенной поверхности в заданной акватории океана по спутниковым вдольтрековым альти-метрическим данным.

5. Разработка методики определения минимально необходимого времени для накопления вдольтрековых альтиметрических данных, обеспечивающих адекватное реальным процессам моделирование уровенной поверхности океана в соответствии с разработанной математической моделью.

6. Разработка программного комплекса, реализующего предложенный метод восстановления уровенной поверхности, с последующим отображением результатов его работы в электронной картографической системе.

7. Построение карт уровенных поверхностей Мирового океана в заданных акваториях двумерными В-сплайнами в диапазоне широт ± 81,5°.

8. Проведение анализа адекватности моделируемых карт аномалий высоты поверхности океана реальным данным спутниковых измерений.

Предметом исследования данной работы является уровенная поверхность Мирового океана.

Методы исследования: математическое моделирование, численные методы решения задач оптимизации с применением ЭВМ, теория аппроксимации функций, вычислительный эксперимент.

Источники исследования: работы отечественных и зарубежных исследователей в области теории аппроксимации функций и решения задач оптимизации, а также спутниковые вдольтрековые альтиметрические данные.

Положения, выносимые на защиту:

Методика компьютерного моделирования уровенной поверхности океана по спутниковым данным, включающая в себя:

- математическую модель уровенной поверхности Мирового океана на базе двухмерных В-сплайнов;

- целевой функционал для определения параметров модели, учитывающий рассогласование моделируемой поверхности со спутниковыми вдольтрековыми альтиметриче-скими данными и априорную информацию о характере поведения восстанавливаемого поля;

- методику определения временного периода устойчивости уровенных поверхностей Мирового океана;

- методику определения минимально достаточного времени накопления вдольтрековых альтиметрических данных для обеспечения необходимой степени достоверности моделируемой поверхности;

- программный комплекс, реализующий компьютерное моделирование уровенной поверхности Мирового океана по данным спутниковой альтиметрии.

Научная новизна содержится в следующих результатах диссертационной работы:

1. Предложена математическая модель уровенной поверхности Мирового океана на базе двухмерных В-сплайнов.

2. Предложен целевой функционал для определения параметров модели, учитывающий рассогласование моделируемой поверхности со спутниковыми вдольтрековыми альтиметрическими данными и априорную информацию о характере поведения восстанавливаемого поля.

3. Предложена методика определения временного периода устойчивости уровенных поверхностей Мирового океана.

4. Предложена методика определения минимально достаточного времени накопления вдольтрековых альтиметрических данных для обеспечения необходимой степени достоверности моделируемой поверхности.

Достоверность результатов исследования подтверждается результатами вычислительных экспериментов, осуществлявшихся для различных акваторий Мирового океана по спутниковым альтиметрическим данным.

Практическая значимость работы заключается в реализации предложенных методов и алгоритмов в виде программного комплекса с отображением результатов моделирования уровенной поверхности океана в электронной картографической системе. Разработанный программный комплекс позволяет осуществлять моделирования морских поверхностей в диапазоне широт ± 81,5°. Кроме того, предложенная методика показала хорошие результаты для восстановления полей температур, соленостей, хлорофилла и т.д. Результаты моделирования уровенной поверхности океана позволяют рассчитать в реальном масштабе времени направления морских течений, что реализовано как один из режимов работы программного комплекса. Это позволяет определять зоны повышенной биопродуктивности в океане. В целом результаты работы могут способствовать более полному пониманию физических процессов, происходящих в океане, что дает возможность формировать более обоснованные рекомендации рыбопромысловому флоту о наиболее предпочтительных местах ведения промысла и может способствовать повышению эффективности его работы.

Внедрение результатов работы. Разработанный программный продукт используется в ФГУП ((Национальные рыбные ресурсы», что дает возможность формировать более обоснованные рекомендации рыбопромысловому флоту о месте ведения промысла и может способствовать повышению эффективности его работы, а также в ФГОУ ВПО ((Мурманский государственный технический университет» в учебном курсе, что подтверждается соответствующими актами о внедрении.

Апробация результатов исследования. Основные научные положения и результаты работы были представлены и обсуждены на следующих научных конференциях:

1. Международная научно-практическая конференция ((Наука и образование-2011». Мурманск, МГТУ, 4-8 апреля 2011.

2. Всероссийская научно-техническая конференция ((Наука и образование-2002». Мурманск, МГТУ, 16-29 апреля 2002.

3. Научно-техническая конференция ((Молодые ученые и аспиранты МГТУ». Мурманск, МГТУ, 18-20 апреля 2001.

4. XIII Международная конференция по промысловой океанологии. Калининград, 12-17 сентября 2005.

5. Международная научно-практическая конференция ((Повышение эффективности использования водных биологических ресурсов Мирового океана». Москва 9-10 ноября 2005.

6. 2-я Международная научно-практическая конференция ((Повышение эффективности использования водных биологических ресурсов Мирового океана». Москва 2008.

7. Proceedings of the 12th Norwegian-Russian Symposium. Norway, Tromso, 21-22 August 2007.

8. Symposium on Ecosystem Approach with Fisheries Acoustics and Complementary Technologies (SEAFACTS). Norway, Bergen, -20 June 2008.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, среди которых две публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, и две — в нерецензируемых изданиях. Доклады доложены и получили одобрение на восьми международных научно-практических и всероссийских научно-технических конференциях. Основные положения работы защищены двумя авторскими свидетельствами на изобретения.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, определяются цели, задачи, предмет и методы исследования, показаны научная новизна и практическая значимость исследования, приведены положения, выносимые на защиту.

В первой главе описаны основные понятия и определения уровенной поверхности Мирового океана. Ее влияние на формирование зон повышенной биопродуктивности исследовано, в частности, в работах Б.М. Шатохина, Д.Н. Клочкова, A.A. Романова, Ал.А Романова. Выявлены зависимости формирования перспективных участков промысла от абсолютных значений уровенной поверхности, тенденции и скорости ее изменения. Показаны необходимость и целесообразность построения уровенных поверхностей Мирового океана для более ясного представления физических процессов, происходящих в нем, и определения перспективных участков промысла для рыболовного флота.

Задачам построения уровенных поверхностей Мирового океана посвящено пока небольшое количество работ, в частности A.A. Романова и В.Р. Фукса. Связано это с тем, что только сравнительно недавно, с развитием дистанционных спутниковых методов зондирования океана, стало возможным в режиме реального времени получать большие массивы данных по различным акваториям, которые можно использовать для построения уровенных поверхностей океана.

К основным методам построения таких поверхностей относятся метод ближайшего соседа, интерполяция кубическими сплайнами, метод оптимальной оценки, интерполяция If - сплайнами. Однако все они обладают рядом недостатков. Метод ближайшего соседа дает грубые оценки восстанавливаемых полей и не учитывает характер монотонности данных. В методе оптимальной оценки минимизируются среднеквадратичные ошибки в предположении, что дисперсия и автокорреляционные функции аномалий высоты морской поверхности известны с хорошей точностью и ошибка измерений не коррелирует с исходным сигналом, что далеко не всегда имеет место на практике. Метод интерполяции //"-сплайнами иногда называют методом интерполяции сплайнами типа тонкой пластинки (thin plate spline), так как они обеспечивают минимизацию потенциальной энергии упругой пластинки. Однако метод не учитывает дополнительную априорную информацию о структуре исследуемой поверхности. То есть, зная скорость изменения поля в некоторых точках (производные по направлению), мы никак не сможем их использовать и получить в результате восстановленную поверхность с требуемыми свойствами.

Для решения этих проблем в последующих главах поставлена задача разработки математической модели уровенной поверхности океана, не имеющей указанных недостатков и позволяющей учитывать дополнительную априорную информацию о структуре исследуемой поля.

В главе также приведены результаты ряда вычислительных экспериментов по данным с 2005 по 2010 г. по определению продолжительности устойчивых периодов развития физических процессов, влияющих на формирования аномалий уровенной поверхности Мирового океана для различных регионов. Пример такого расчета для акватории Северной Атлантики показан на рисунке 1.

Данные расчеты позволили определить период, в течение которого можно пользоваться моделируемыми уровенными поверхностями океана. Его продолжительность составляет:

— 5-10 суток для акватории 56°N-64°N и 22°W-01°W (Северная Атлантика);

— 5-8 суток для акватории 10°N-25°N и 25°W-15°W (Северо-Западная Африка);

— 5-10 суток для акватории 45CN-55°N и 145°Е-155°Е (Дальний Восток);

— 9-14 суток для акватории 70°N-75°N и 20°Е-50°Е (Баренцево море).

60 ■ 40 ■ 20 ■ 0 ■

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Продолжительность периода |Б сутках)

Рис. 1. Гистограмма распределения продолжительности слабой изменчивости физических процессов, влияющих на изменение аномалий уровенной поверхности Мирового океана в акватории 56°Ы-64°К и 22о\¥-01о\У (Северная Атлантика) в период с

2005 по 2010 г.

Вторая глава диссертации посвящена разработке математической модели поверхности океана и построению критерия качества для нахождения ее параметров. С этой целью было рассмотрено само явление и предложена модель, его описывающая.

Модель явления. Поверхность океана представляет собой динамически изменяющийся физический объект. Процесс его изменения является достаточно инерционным, поскольку обусловлен перемещением больших масс под действием гравитационного поля Земли, атмосферного давления и т.д. Очевидно, что в целом распределение водных масс должно обеспечивать рассматриваемой системе минимум потенциальной энергии. Так как локальная изменчивость поверхности океана, обусловленная естественным волнением, не представляет интереса для целей данного исследования на рассматриваемых временных и пространственных масштабах, то ею можно пренебречь. В связи с этим моделируемую поверхность можно рассматривать как некую гладкую поверхность, которая не содержит резких «скачков» и «выбросов». Исходя из этого в работе предполагается, что поверхность океана обладает минимальной среднеквадратичной кривизной.

Математическую модель уровенной поверхности океана в заданной плоской пространственной области 0=[а,Ь] х [с,с/)={(х,>')еЛ2 : а < х < Ъ\ с < у < с/}, основываясь на указанных положениях, предлагается осуществлять в виде сплайн-поверхности, представляющей собой линейную комбинацию произведений одномерных кубических В-сплайнов (В^х) — по оси абсцисс (долгота) и В/(у) — по оси ординат (широта)) на регулярной сетке узлов Л=ЛххЛу, где:

Ах={хь/а=хо <..,<Хн=Ь, Х1с=хк.1+Их, к=\,2,...,Щ\

4={л/с=у0 <...<ум=(1, Ук=Ук-1+Ьу, 4= 1,2,... ,М}; А, и /гу - шаги сетки по х и по у соответственно, в виде:

N-1 мл

8{х,у)=1 £щВ£х)ВЦу), (1)

М-Эу-Э

где коэффициенты а,у - скалярные параметры модели, подлежащие определению.

Использование кубических В-сплайнов для построения уровенной поверхности океана представляется целесообразным по следующим причинам:

1) обеспечивается непрерывность не только самой модельной функции, но и ее производных до второго порядка включительно;

2) представление моделируемой поверхности в виде линейной комбинации произведений неотрицательных кубических полиномов, заданных на конечном пространственном отрезке, позволяет построить модельную поверхность, согласованную с имеющимися данными измерений со сравнительно небольшими вычислительными затратами.

Другими словами, предлагаемая математическая модель уровенной поверхности океана позволяет обеспечить достаточную гладкость моделируемой поверхности при от-

носительной простоте ее построения. При этом гарантируется отсутствие нежелательных «выбросов» в значениях моделируемых данных, что в полной мере соответствует свойствам исследуемого объекта.

Для построения кубических Я-сплайнов на сетке Д ее необходимо дополнить узлами х-з, х.2, х.1< а и Ь<хдч/, хц+2, хц+з и задать систему функций В,{х) в соответствии с (2):

В,{х)

О,

(х-х,)}1би\

X<Xj

xe[xi,xl+i]

xe[xi+!,xi+i]

xe[xi+2,Xi+3]

X> Xj+4

(2)

(h^+'ih\xM-x)^h(.xH.3-xf-4xj+3-x)1)!6h\ (xiu-xf/6 h\ 0,

< «

где Xi+i-xrh, V /.

Кроме того, для моделирования уровенных поверхностей океана необходимо ввести систему базисных функций Bf(y),j=-3,..., М+ 3 на сетке Лу дополненной узлами у.з, у.2, у-1< с и с!<Ум+1,Ум+2,Ум+з (рис. 2).

Всевозможные произведения В,{х)В/(у) образуют базис в пространстве кубических сплайнов двух переменных дефекта 1 в прямоугольной области Д и, следовательно, любой сплайн из этого пространства может быть записан в виде (1).

К основным достоинствам регулярных сеток можно отнести то, что заданные в узлах этих сеток данные можно эффективно обрабатывать (вычитать, складывать, находить средние значения, производить статистический анализ и т.д.) и визуализировать. Кроме того, для регулярных прямоугольных сеток разработаны различные высокоэффективные методы сжатия данных (Фурье и вейвлет-преобразования), что позволяет обрабатывать сверхбольшие модели поверхностей. Триангуляционные сети для задач построения уровенных поверхностей Мирового океана имеют ряд недостатков. В частности, погрешность интерполяции на триангуляционных сетях для функции с непрерывными вторыми производными будет 0(h2), где h — длина наибольшей стороны треугольника. Если рассматривать спутниковые вдольтрековые данные альтиметрии, которые являются входными данными для построения аномалий уровенных поверхностей океана, то они имеют структуру «сильно вытянутых» треугольников, что неизбежно будет приводить к значительным погрешностям.

Специфика спутниковых измерений.

Следует отметить, что результаты спутниковых измерений уровенной поверхности океана расположены в исследуемой области нерегулярно и содержат незначительные флуктуации, связанные с ошибками измерений исследуемого параметра и локальным волнением поверхности океана. Для моделирования исследуемой поверхности, с целью отслеживания тенденций ее изменения для определения направления и интенсивности, формируемых в связи с этим течений указанные флуктуации не представляют практического интереса. Поэтому целесообразно провести процедуру предварительного сглаживания этих данных вдоль траектории движения спутника.

Кроме того, целесообразно произвести нормализацию данных измерений, преобразовав их к безразмерным величинам: /t=(wt - <рыУ&<Рк, где rpt - значение измерений исследуемого параметра, <рю - значение основного уровня исследуемого параметра, соответствующее нулю в безразмерной шкале, и b.<pt - интервал варьирования исследуемого параметра.

Для определения параметров щ математической модели (уровенной поверхности океана) S(x,y) (1), можно составить СЛАУ следующего вида:

S(xhyk)=Axk,yk), (3)

где£е/,/= {£/&=!,...Д.}, {к~ Ахьуь) - измеренные значения исследуемой функции f(x,y).

ординат (широта) в акватории О на регулярной сетке узлов А=АххАу

Количество параметров модели щ, подлежащее определению, составляет (Ы+3)х(М+3), где Ми N определяются размером выбранной акватории О и шагами Ах, Ьу выбранными в этой области двумерной прямоугольной сетки.

Как правило, количество измерений I > (Ы+})х.(М+3). Система (3) в результате оказывается переопределенной, что приводит к поиску ее решения в смысле метода наименьших квадратов.

При выборе шагов сетки следует руководствоваться следующими правилами:

1. Минимальные допустимые значения йх и Ьу должны выбираться таким образом, чтобы в подобласти Д/={(лг,у)е/2 : *€[*,-./, *,], >>е[}}./, у^}, (/=1,2,...Д и 7=1,2,...,М, *,+;= х,-+ иу^1=у1+ Иу) находилось как минимум одно измерение.

2. Минимальные допустимые значения йх и Иу должны соответствовать тому пространственному масштабу изменчивости поверхности океана, который соответствует целям исследования и позволяет в наиболее возможной степени игнорировать не существенную локальную изменчивость этой поверхности. Если при этом не выполняется первое условие, необходимо обеспечить дальнейшее накопление данных измерений.

Общая постановка задачи.

Учитывая вышеизложенное, можно сформулировать постановку задачи в следующем виде:

Имеется конечное множество данных, представляющих собой спутниковые вдольтрековые измерения уровенной поверхности Мирового океана, нерегулярно расположенные в исследуемой акватории.

Необходимо построить согласованную с данными измерений модельную уровен-ную поверхность океана, свойства которой соответствуют свойствам исследуемого объекта.

Кроме того, следует учитывать, что к восстанавливаемой поверхности могут предъявляться дополнительные требования. Например, она должна иметь априорно заданные значения производных по направлению в некоторых точках.

Для решения поставленной задачи, как уже отмечалось выше, предлагается прме-нить методику восстановления, основанную на использовании кубических базисных В-сплайнов. С целью подбора параметров математической модели (1) предлагается минимизировать целевой функционал, что обеспечивает выполнение указанных выше требований к моделируемой поверхности.

Математическая постановка задачи.

1. Пусть в прямоугольной области П=[а,Ь\ х [c,d\={(x,y)&P? \ а <х < Ь\ с <у < d), введена прямоугольная сеть А=ЛххАу, где:

Ах= {xiJa=xo <■ ■ -<х,%~Ь, хk=Xk-i+hx, к=\,2,... Д};

4,={ук/с=у0 <■ • Ук^Уы+hy, А=1,2,...,М>;

hxahy- шаги сетки по х и по у соответственно. В результате область Q разбивается на прямоугольники

Ar{(x,y)eR2: хе[ у6[ ¿=1,2,... Д;/=1,2,...

2. Пусть в прямоугольной области О представлено L точек ksl, в которых заданы числа ft - измеренные значения исследуемой функции \(х,у). Здесь I = {к/ к=\,... ,£} - конечное множество индексов. Точки Pk, kel расположены в области Q произвольным образом и в общем случае не совпадают с узлами регулярной прямоугольной сетки Д=ДххДу. В некотором подмножестве точек РкНхьУк), kzl могут быть заданы значения fs, ie/ic/, которые являются значениями производных исследуемой функции по направлению /s: f s=5

Необходимо определить приближенные значения функции fCv) в узлах регулярной сетки А=АххАу.

Решение поставленной задачи осуществляется посредством аппроксимации неизвестной функции t(x,y) функцией S(ху), определяемой в соответствии с (1) и удовлетворяющей следующим требованиям:

значения функции должны минимально отличаться от f* - измеренных значений f(jy) в точках РкНхк, хд, кеР,

значения производных функции S(x,y) должны иметь минимальные отличия от {¡-заданных значений производных {(х,у) в точках Р„ ie/i;

функция S(x,y) должна иметь среднеквадратичную кривизну близкую к минимальной.

Чтобы функция S(x,y) удовлетворяла условиям, предъявляемым к моделируемой поверхности, будем искать значения коэффициентов а,у из условия минимума функционала, слагаемые которого, характеризуют выполнение этих условий.

Одним из таких условий является согласованность моделируемой поверхности с данными измерений (к — значений исследуемой функции f(x,y), заданными в точках Pi=(xк0>к), kel прямоугольной области О. Согласованность модельных и измеренных значений уровенной поверхности океана можно определить выражением вида:

N■1 М-1

ЩВ,(хк)ВЦхк)}\ (4)

Ш i=J 3

Минимизация (4) позволит получить модель уровенной поверхности океана S(x,y), наиболее согласованную в смысле метода наименьших квадратов с данными измерений.

Пусть теперь в некоторых точках selitzl априорно известны пространственные тенденции изменения аномалий уровенной поверхности океана. Иными словами, кроме данных (к о значениях функции f в точках sell известны и значения QycU, — производных по направлению и функции ((х,у).

Производные по направлению моделируемой функции можно представить в виде:

dSldl=(dSldx)Cos(a)+(dSidy)Sin(a) (5)

Согласованность модельных и априорно заданных значений производных по направлению в указанных точках, учитывая (1) и (5), можно оценить, используя выражение вида:

лч мл

PI[d{/dh -Z ZcCij((dBi(xs)/dx)B1r(ys)Cos(as) +B,(xs)(dB/ (yj/dy)sin(as))}2 (6)

se/i i=-3 j=-3

Минимизация (6) позволит получить модель уровенной поверхности океана S(x,y), наиболее согласованную в смысле метода наименьших квадратов с данными измерений производных по направлению в указанных точках.

Обеспечение минимальной среднеквадратической кривизны моделируемой поверхности, можно достичь минимизацией выражения вида:

N-l M-l N-l М-1

rZ[Z £{cclj(d2Bi(xk)/dx2)B;(yk)}2+2Z ZfajfdBJxiJ/dxXdBj- (yt)/dy)}2+

kel i=-3j'-3 i=-3j--3

N-l M-l

SiaijBJxOfctBjW/dy2)}2] (7)

i=-3 j=-l

В результате в качестве критерия качества моделируемой поверхности предлагается использовать значения функционала, представляющего собой сумму выражений (4), (6) и (7).

N-l М-1

Ф = сrZ\fk-Z ZaiJBi(xk)BJ-(xk)]2 + kel ¡=-3 г-3 №1 М-1

+РЕ[дЩа -Е Eaij((dBi(xs)/dx)Bi(ys)Cos(as) +Bi(xs)(dB/ (ys)/dy)Sin(cts))]2 +

se/i i=-3;=-3

N-l M-l N-l U-1

+/£[£ Ifajfd1 Bi(xk)/dx2)BJ-(yk)}2+2Z ZfarfdBJxJ/dxXdBf M/dy)}2 +

kel i=-3J--3 i=~3 j~-3

N-l M-l

+£ r{aiiBi(xk)(d!Bl-(yk)/dy2)}2l (8)

/=-з г-3

где a, р, у - вес каждого из условий, задаваемый пользователем.

Коэффициенты ау, будем выбирать из условия минимума функционала (8). В результате из предложенного класса моделей уровенной поверхности океана

N-1 МЛ

£ £щВ,{х)ВЦу),

/.-з ¡=- з

будет выбрана лучшая в смысле этого функционала.

Третья глава. Функционал (8) является квадратичной функцией относительно коэффициентов щ. Таким образом, задача о нахождении искомой сплайн-функции (1) может быть поставлена как задача о минимизации квадратичного функционала (8).

Для минимизации функционала (8) был применен метод сопряженных градиентов, который обладает рядом преимуществ перед другими методами, такими как методы: штрафов, покоординатного спуска и т.д. Метод сопряженных градиентов объединяет в себе достоинства итерационных и прямых методов. Метод сопряженных градиентов, обеспечивает гарантированное нахождение точки минимума квадратичной функции за конечное число шагов, которое не превышает числа ее переменных.

В главе построен вычислительный алгоритм минимизации функционала (8) на базе метода сопряженных градиентов.

В четвертой главе дано описание программного комплекса, реализующего предложенную методику моделирования уровенной поверхности океана, и приведены результаты численных экспериментов. Численные эксперименты восстановления 3-D поверхностей двумерными В-сплайнами осуществлялись как для тестовых, так и для реальных данных.

Характеристика вычислительных экспериментов с тестовыми данными.

Тестовые данные генерировались с помощью функций различных классов гладкости, как с наличием ошибок, так и без них.

В качестве таких математических функций были выбраны:

/(х,у) = 1 + е~х'~уг /г(х,у) = х-е~*'~у', /3(х,у) = 6-4 у]х2+у2 (заданы в прямоугольной области П=[а,Ъ]к[с,с1\= [-2,2]х[-2,2]) и

/4(х,у) = 3(1 - х)2 -1- X3 - / ^ ¿'х'-у"> - (задана в прямоугольной

области П=[а,Ь]х[с,с1]= [-3,3]х[-3,3]), указанные в узлах сетки А=ЛххЛу,: {/1(х„у1 )}.*„'_а • Результаты моделирования для функции/а(х,у) приведены на рисунках 3 и 4 а, б.

Рис. 3. График двумерного В-сплайна S(x,y), аппроксимирующего функцию ft(x,y) в прямоугольной области [-3,3]х[-3,3] при пх=пу=24

- -' . f„

а) б)

Рис. 4. Диапазоны расхождений двумерного В-сплайна Я(х,у)и функции/'4(х,у) при пх=Пу=12 (а) и при пх=пу=24 (б) Для оценки точности приближения З-П поверхностей двумерными В-сплайнами, в качестве критерия согласия были введены метрики пространства для определения расстояния между двумя функциями в виде:

¡Six, y)-fjx,y)\ =max

II Я*>У) In

S(x„yi)-f(x„yl)

- равномерная взвешенная норма

fix,,У,)

среднеквадратическая взвешенная

норма.

Результаты расчетов данных норм для выбранных функций приведены в таблице 1.

Однако следует учесть, что сигнал альтиметра, на пути к земле и обратно к антенне приемника дважды пересекает земную атмосферу, вследствие чего, получаемые данные содержат ошибки. Кроме того, как было отмечено ранее, сами данные измерений расположены нерегулярно в исследуемой акватории. Следовательно, необходимо произвести аналогичные восстановления 3-.0 поверхностей математических функций двух перемен-

ных в узлах нерегулярной сети с наличием в них ошибок и оценить их с помощью введенных норм и Ьг.а

Таблица 1

Нормы ошибок моделирования Rn» .¿¿я для ^¡ункапн fi(x,у),/г(х,у),/з(х,у), fi(x,у) с шагом __ по х и у: 0.5, 0.25 и 0.1.____

Функция Норма Шаг no x и по v

0.5 0.25 0.1

fifcy) Rn 0,170059575 0,139177521 0,093917752

П=[-2,2]х[-2,2] Lia 0,007744191 0,003225029 0,000425029

f2(x,y) Rn 0,103414123 0,089735503 0,023341869

Q=[-2,2]x[-2,2] U.O 0,004950264 0,000121507 0,000095026

fi(x,y) Rn 5,458499852 5,123613316 4,723613316

i2=[-2,2]x[-2,2] l-iл 0,009175111 0,006346029 0,002542171

Rn 1,318783723 1,21148432 1,107694262

Q=[-3,3]x[-3,3] Lu> 0,008149644 0,001155231 0,000608908

Пример реконструкции функции fi(x,y)+\mdA(ft(x,y))-mm(fi(x,y))\0,\-random(iï...\), то есть сама функция /4(зд)+ошибка, добавленная с коэффициентом 0.1 по амплитуде колебания функции, двумерными В-сплайнами показан на рисунках 5 и 6. Кроме того, узлы сети выбирались случайным образом, а их количество соответствовало количеству узлов регулярной сети с шагом 0.5.

о?"---

Рис. 5. Функция/^(Зс,>^+ошибка, добавленная с коэффициентом 0.1 по амплитуде колебания функции с нерегулярными узлами

Рис. 6. Восстановленные значения функции fi(x,y)+- ошибка, добавленная с коэффициентом 0.1 по амплитуде колебания функции, двумерными В-сплайнами Аналогичные расчеты были сделаны для коэффициентов ошибок 0.2 и 0.5. Затем вычислены значения норм Rq и h.a ДЛЯ функций fi(x,y),fi(x,y) и /з(х,у) с теми же коэффициентами ошибок. Результаты расчетов приведены в таблице 2.

Результаты, приведенные в таблицах 1 и 2, показывают, что двумерные В-сплайны можно применять к аппроксимации гладких функций с наличием в них некоторых ошибок, о чем свидетельствует уменьшение норм ошибок моделирования: Rn и Li.a Данное обстоятельство дает возможность применять аппарат методов двумерной В-сплайн аппроксимации для построения полей аномалий уровенной поверхности Мирового океана.

Таблица 2

Нормы ошибок моделирования Дди L2.ii для функций с нерегулярными узлами/¡(х,у), /2(х,у),/з(х,у),/4(х,у) + ошибка, добавленная с коэффициентом 0.1, 0.2 и 0.5 по амплитуде _колебания функции._

Функция Норма Коэффициент шумовой составляющей

0.1 0.2 0.5

Их,у) Яр 0,238542443 0,269544567 0,356657655

¡>[-2,2] X [-2,2] 0,085623769 0,106665477 0,264644775

Л(х,у) Ял 0,156967654 0,189735503 0,223341869

П=[-2,21х[-2,21 0,057554535 0,095565442 0,174865654

/з(х,у) Яп 6,876557654 7,013456467 9,787576544

П=[-2,2[х[-2,21 £а.о 0,068786995 0,108876554 0,174575677

Г&.У) «я 1,576654379 1,966599009 1,107694262

П=[-3,3]х[-3,3] 12Л 0,081496444 0,125587658 0,186565953

Характеристика результатов численных экспериментов с реальными данными.

Проводились расчеты (на основе предлагаемой методики) с целью определения минимально-достаточного периода для накопления спутниковых данных об аномалиях уровенной поверхности с последующим построением искомой поверхности на заданной акватории двумерными В-сплайнами для различных регионов Мирового океана.

Для этого выбирался определенный период времени, в течение которого наблюдались стабильно-устойчивые физические процессы в океане, влияющие на формирование его уровенной поверхности. На выбранную акваторию накладывалась регулярная сетка с шагом по долготе и широте в одну милю. За эталонную поверхность бралась та, которая была построена по спутниковым данным измерений за весь этот стабильно-устойчивый период. Затем строились аналогичные уровенные поверхности по данным, накопленным за первый день наблюдений, за первые два дня наблюдений и т.д. до конца стабильно-устойчивого периода. Степень близости получаемых уровенных поверхностей к эталонной можно оценить, построив результирующие поверхности как результат вычитания получаемых поверхностей от эталонной. Пример таких поверхностей вычитания в акватории 56°Ы-64°К и 22°АУ-01°'^У (Северная Атлантика) в период с 15-24 августа 2010 г показан на рисунке 7.

Построив графики изменения норм ошибок моделирования L2.f1 для различных акваторий Мирового океана (рис. 8), можно определить минимально-достаточный период накопления спутниковых данных об аномалиях уровенной поверхности для ее моделирования в заданной акватории двумерными В-сплайнами.

На основе анализа проведенных вычислений можно сделать выводы, что минимально-достаточный временной интервал для накопления спутниковых данных об аномалиях уровенной поверхности Мирового океана с последующим построением искомой поверхности на заданной акватории двумерными В-сплайнами, которые минимизируют функционал (8), составляет:

— 5 суток для акватории 56°М-64°Ы и 22°'\¥-0Г\У (Северная Атлантика);

— 4 суток для акватории 10°Ы-25°Н и 25°\У-15'ЛУ (Северо-Западная Африка);

— 8 суток для акватории 70°М-75°К и 20°Е-50°Е (Баренцево море).

Характеристика разработанного программного комплекса для построения уровенных морских поверхностей и их аномалий по спутниковым альтиметрическим данным.

Программный комплекс позволяет осуществлять расчеты в интерактивном режиме с трехмерной визуализацией и отображением результатов вычислений на электронной картографической системе.

В программе предусмотрена возможность выбора различных алгоритмов построения уровенных поверхностей океана и сравнительного анализа получаемых данных.

# т

ж :

Икш

ЖШ&ж)

Поверхность, построенная на разности данных, накопленных за 1 сутки наблюдений и за 10 суток наблюдений

Поверхность, построенная на разности данных, накопленных за 3 суток наблюдений и за 10 суток наблюдений

тг УЖ ' кжрг 1- \ *Я ' х щ 6 Л : ч

Ш ч .....I ' /У | 1 ^ щ «¡ей . $

Поверхность, построенная на разности данных, накопленных за 5 суток наблюдений и за 10 суток наблюдений

Поверхность, построенная на разности данных, накопленных за 2 суток наблюдений и за 10 суток наблюдений

ЕЙ«___

Поверхность, построенная на разности данных, накопленных за 4 суток наблюдений и за 10 суток наблюдений

Рл " Ь К 1 У 11 / } / / '-' ли! н

У п т^

\ Г\ П 1 и С//4> ? л ы&Д

Поверхность, построенная на разности данных, накопленных за 6 суток наблюдений и за 10 суток наблюдений

-30 -20 -10 0 10 20 30 Рис. 7. Результат вычитания уровенных поверхностей океана (в сантиметрах), моделируемых по спутниковым данным, накопленным от 1 до 6 суток, от эталонной поверхности в акватории 560М-64°Ы и 22°\\Ч)1°\¥ (Северная Атлантика) в период с 15 по 24 августа 2010 г.

Рис. 8. График изменения среднеквадратической взвешенной нормы ошибок моделирования Ьг,а в зависимости от количества суток накопления спутниковых данных за июнь, июль, август 2005-2010 гг. для акватории 56°>1-64аМ и 220\\Ч)1°\У (Северная Атлантика)

Характерной особенностью разработанного программного пакета является возможность построения помимо уровенных поверхностей, изолиний с заданным шагом и их сглаживанием, а также расчет поверхностных течений по полученным значениям в узлах регулярной сети.

В качестве среды разработки использовалась среда IDE Borland Delphi 7.0, базирующаяся на языке Object Pascal. Отдельные библиотеки программного комплекса написаны на Borland С++ Builder. Некоторые модули программ были разработаны на языке Fortran в среде Microsoft Developer Studio.

В заключении кратко сформулированы результаты, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана математическая модель уровенной поверхности Мирового океана, позволяющая осуществлять моделирование поверхности по спутниковым вдольтрековым альтиметрическим данным с использованием двумерных В-спл айнов.

2. Предложен целевой функционал для определения параметров модели, учитывающий рассогласование моделируемой поверхности со спутниковыми вдольт-рековыми альтиметрическими данными и априорную информацию о характере поведения восстанавливаемого поля.

3. Предложена методика определения временных периодов устойчивости физических процессов, влияющих на формирование уровенной поверхности. Эти периоды определены для регионов Мирового океана:

— 5-10 суток для акватории 56°N-64°N и 22°W-01°W (Северная Атлантика);

— 5-8 суток для акватории 10°N-25°N и 25°W-15°W (Северо-Западная Африка);

— 5-10 суток для акватории 45°N-55°N и 145°Е-155°Е (Дальний Восток);

— 9-14 суток для акватории 70°N-75°N и 20°Е-50°Е (Баренцево море).

4. Предложена методика определения минимально достаточного времени накопления вдольтрековых альтиметрических данных необходимого для качественного восстановления уровенной поверхности океана. С помощью предлагаемой математической модели это время определено по различным акваториям океана:

— 5 суток для акватории 56°N-64°N и 22°W-0rW (Северная Атлантика);

— 4 суток для акватории 10°N-25°N и 25°W-15°W (Северо-Западная Африка);

— 8 суток для акватории 70°N-75°N и 20°Е-50°Е (Баренцево море).

5. Разработан программный комплекс в среде Borland Delphi 7.0 с развитым человеко-машинным интерфейсом, реализующий предлагаемую методику построения уровенной поверхности океана и их аномалий по спутниковым альтиметрическим данным. Программный комплекс обеспечивает трехмерную визуализацию и отображение результатов вычислений на электронной картографической системе.

6. Проведен экспериментальный анализ согласованности моделируемых уровенных поверхностей океана с реальными данными спутниковых измерений.

7. Предложенная методика построения уровенной поверхности океана была применена к построению полей распределений температур, солености, хлорофилла и т.д. и показала хорошие результаты, что доказывает общность предложенного подхода.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях,

рекомендованных ВАК России:

1. Гомонов, А. Д. Построение зональных карт уровенной поверхности океана по спутниковым данным на основе В-сплайн-интерполяции / А. Д. Гомонов // Вестник МГТУ. Труды Мурманского государственного технического университета. - 2010. - Т. 13, № 4/2. - С. 1087-1091. - Библиогр.: с. 1091.

2. Гомонов, А. Д. Задачи изогеометрической сплайн-интерполяции / А. Д. Гомонов // Вестник МГТУ. Труды Мурманского государственного технического университета. - 2002. - Т. 5, № 2. - С. 237-240. - Библиогр.: с. 240.

Другие статьи и материалы конференций:

3. Середа, А.-В. И. Математическое моделирование уровенной поверхности океана по спутниковым данным на основе двумерной В-сплайн аппроксимации [Электронный ресурс] / А.-В. И. Середа, А. Д. Гомонов // Наука и образование -2011 : Междунар. науч.-техн. конф. / Федер. агентство по рыболовству, ФГОУ ВПО «Мурман. гос. техн. ун-т» ; Ун-т Тромсё. - Мурманск, 2011. - С. 79-85. -Режим доступа: http.7/www.mstu.edu.ru/science/conferences/files/nio201 l-9.pdf

4. Гомонов, А. Д. Интерполяция и экстраполяция полей метеорологических элементов / А. Д. Гомонов // Труды Петрозаводского государственного университета. / под ред. В. И. Чернецкого. - Петрозаводск, 2000. - Вып. 9. - С. 81-90. -Библиогр.: с. 90. - (Прикладная математика и информатика).

5. Гомонов, А. Д. Применение математических методов интерполяции сплайнами для восстановления температурных полей поверхности океана / А. Д. Гомонов // Материалы Всерос. науч.-техн. конф. «Наука и образование - 2002» (Мурманск, 16 - 29 апреля 2002 г.) / Гос. ком. Рос. Федер. по рыболовству ; Мурман. гос. техн. ун-т. - Мурманск, 2002. - С. 505-507.

6. Гомонов, А. Д. Математические методы восстановления гидрофизических полей для оценки запасов морских биоресурсов. / А. Д. Гомонов // Материалы XIII Междунар. конф. по промысловой океанологии (Светлогорск, Калининградская обл., 12-17 сентября 2005 г.). - Калининград, 2005. - С. 75-76.

7. Гомонов, А. Д. Опыт разработки и внедрения технологий оперативной обработки и передачи на промысловые суда комплексной информации гидрометеорологического и промыслово-биологического мониторинга / А. Д. Гомонов, С. И. Бойчук // Междунар. науч.-практ. конф. «Повышение эффективности использования водных биологических ресурсов Мирового океана» : материалы конф. (910 ноября 2005 г., Москва, ВВЦ, ПАВ. № 69). - М., 2005. - С. 90-91.

8. Синоптический мониторинг запасов трески в Баренцевом море в 2005 . на основе использования современных исследовательских технологий изучения биоресурсов / В. М. Борисов, С. И. Бойчук, Г. П. Ванюшин, А. Д, Гомонов [и др.]. -М.: Изд-во ВНИРО, 2006. - 53 с.

9. Синоптический экосистемный мониторинг как методологическая основа сырьевых исследований в Северо-Восточной Атлантике / Б. М. Шатохин, А. Д. Гомонов, Е. И. Гула, М. К. Циекалс [и др.] // Итоги применения новых технологий при оценке биоресурсов Северо-Восточной Атлантики : Международная специализированная выставка «Море. Ресурсы. Технологии - 2007». - Мурманск ; М., 2007. - С. 7-32. - Библиогр.: с. 31-32.

10. Системный анализ информационных технологий решения задач оперативного научного обеспечения сопряженных промыслов / Б. М. Шатохин, А. Д. Гомонов, М. К. Циекалс, Е. И. Гула, Д. Н. Клочков // Материалы второй Междунар. науч.-практ. конф. «Повышение эффективности использования водных биологических ресурсов» - М., 2008. - С. 127-129.

11. Methodological bases of fishing - ecological monitoring and new approaches to marine bioresources estimation (Методологическая база рыбопромыслового экологического мониторинга и новые подходы оценки запасов морских биоресурсов) / В. М. Shatockin, A. D. Gomonov , Е. I. Gula, М. K.Tshiekals, D. N. Klochkov, S.

I. Boichuk, В. M. Borisov, G. P. Vaniushin, B. N. Kotenev // Long term bilateral Russian-Norwegian scientific co-operation as a basis for sustainable management of living marine resources in the Barents Sea : Proceedings of the 12th Norwegian-Russian Symposium (Tromso, 21-22 August 2007). - Institute of Marine Research Bergen,2008.-P. 122-133.

12. Optimization of hydroacoustic shootings of stocks on commercial fleet in view of synoptic variability of conditions of an environment (Оптимизация гидроакустических съемок запасов морских биоресурсов на рыбопромысловых судах с учетом синоптической изменчивости условий окружающей среды) / В. М. Shatochin, А. D. Gomonov, А. V. Nikolaev, D. N. Klochkov, S. I. Boichuk // Book of Abstracts : International Symposium on Ecosystem Approach with Fisheries Acoustics and Complementary Technologies (SEAFACTS) (Bergen, Norway, 16-20 June 2008). -Bergen ; Norway, 2008. - P. 20.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ:

13. Авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010610014 от 11 января 2010 г.

14. Авторское свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010610692 от 20 января 2010 г.

Подписано в печать 15.09.2011 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать лазерная. Усл. печ. л. 0,99. Тираж 100 экз. Заказ №2180.

Отпечатано в ООО «Издательство "ЛЕМА"»

191014, Россия, Санкт-Петербург, Ул. Жуковского, д.41, тел./факс: 468-11-04 e-mail: izd_lema41@mail.ru http://www.lemaprint.ru

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Гомонов, Александр Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I УРОВЕННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ МИРОВОГО ОКЕАНА. ВОССТАНОВЛЕНИЕ УРОВЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОКЕАНА ПО

ДАННЫМ СПУТНИКОВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ.

§1.1. Уровенная поверхность Мирового океана. Основные понятия предметной области.

§ 1.2. Влияние уровенной поверхности Мирового океана на формирование зон повышенной биопродуктивности.

§ 1.3. Временная устойчивость уровенной поверхности в заданных акваториях Мирового океана.

§ 1.4. Обзор методов восстановления уровенной поверхности Мирового океана по спутниковым данным.

ГЛАВА II ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ АЛЬТИМЕТРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ МИРОВОГО ОКЕАНА В

ЗАДАННОЙ АКВАТОРИИ.

§ 2.1. Особенности организации спутниковых альтиметрических наблюдений.

§ 2.2. Методы представления поверхностей.

§ 2.3. Постановка задачи восстановления уровенной поверхности Мирового океана в заданной акватории по данным спутниковых альтиметрических наблюдений.

§ 2.4. Обоснование выбора аппроксимационных функций для моделирования полей уровенной поверхности Мирового океана.

§ 2.5. Математическая модель уровенной поверхности Мирового океана в терминах Б-сплайнов. Обоснование критерия качества для поиска ее параметров.

ГЛАВА III ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОЛЕЙ АЛЬТИМЕТРИИ В ЗАДАННОЙ АКВАТОРИИ МИРОВОГО ОКЕАНА ПО

ДАННЫМ СПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

§ 3.1. Минимизация целевого функционала как задача минимизации функционала квадратичной функции.

§ 3.2. Численный метод восстановления альтимстрических данных, нерегулярно представленных в плоской области. Особенности его реализации.

§ 3.3. Расчет течений по данным спутниковой альтиметрии.

ГЛАВА IV. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ВОССТАНОВЛЕНИЯ АЛЬТИМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ЗАДАННОЙ АКВАТОРИИ МИРОВОГО ОКЕАНА. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРАКТИЧЕСКИХ

РАСЧЕТОВ.

§ 4.1. Описание программно-исследовательского комплекса.

§ 4.1.1. Структура, основные модули и функциональные возможности программно-исследовательского комплекса.

§ 4.1.2. Интерфейс программно-исследовательского комплекса.

§ 4.2. Результаты практических расчетов и их характеристика.

§ 4.2.1. Построение поверхностей по моделируемым данным некоторых математических функций и их характеристика.

§ 4.2.2. Построение уровенных поверхностей Мирового океана по спутниковым данным и их характеристика.

Введение 2011 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Гомонов, Александр Дмитриевич

Актуальность

Исследование природных динамических процессов часто предполагает математическое моделирование тех или иных пространственно распределенных физических полей, изучение которых позволяет решать важные с точки зрения практических приложений задачи. Для протекающих в пространственных областях в реальном масштабе времени процессов, теоретическое описание которых отсутствует, математическое моделирование может быть осуществлено лишь на основе аппроксимации известных данных измерений с помощью выбранного класса функций. При этом, как правило, возникает ряд проблем. Во-первых, необходимые (для восстановления пространственных распределений исследуемых характеристик процесса)'измерения не могут быть осуществлены единовременно, а накапливаются в течение некоторого промежутка времени. В результате измерения, полученные в начале указанного временного промежутка, могут оказаться неактуальными в конце этого промежутка. Во-вторых, измерения, которыми располагает исследователь, как правило, представлены в пространственных точках, нерегулярно расположенных в исследуемой области. В-третьих, восстановленные по результатам измерений пространственные распределения исследуемых характеристик могут иметь слишком короткий период стабильности, практически мгновенно теряя практическую актуальность. В-четвертых, часто оказывается важным не столько восстановление с заданной точностью пространственного распределения той или иной характеристики исследуемого динамического процесса, сколько пространственные тенденции изменения этой характеристики в заданной области. При этом существенным оказывается определение требуемого пространственного масштаба изменчивости.

В ряде исследований [8, 20, 21, 46, 52, 53, 58, 63, 64, 78] было доказано, что существует однозначная взаимосвязь между значениями уровенной поверхность океана, атмосферным давлением, температурой, соленостью воды, направлениями и интенсивностями течений в океане. Следовательно, построив уровенные поверхности океана и отслеживая тенденции их изменений во времени, можно вырабатывать обоснованные прогнозы рыбопромысловой обстановки.

Поэтому в конечном итоге проблема определения перспективных районов промысла может быть решена посредством построения уровенных поверхностей океана и их аномалий (альтиметрии).

До недавнего времени для решения задач подобного рода использовались методы прямых измерений различных океанологических характеристик с помощью научно-исследовательских морских и воздушных судов, а также дрейфующих платформ. В настоящее время все большую распространенность получили дистанционные средства исследования состояния поверхности океана.

Развитие спутниковой альтиметрии в последнее десятилетие открыло более эффективные возможности в описании океанологических особенностей промысловых условий в различных регионах Мирового океана. Так, применяя методы дистанционного зондирования, можно оперативно получать достаточно большие массивы данных за сравнительно короткие промежутки времени практически по всему Мировому океану. Кроме того, по сравнению с традиционными контактными измерениями дистанционные методы зондирования поверхности океана являются более подробными в пространстве, но главное их преимущество — всепогодность, так как для зондирования океана используется микроволновый диапазон, в котором радиоволны проходят через облака с малыми затуханиями.

Основная характеристика динамики морской поверхности, которую измеряют при помощи спутниковых альтиметров, — аномалии высоты морской поверхности океана, то есть вычисляется аномалия силы тяжести по превышениям геоида над эллипсоидом. Эти работы начались в 1985 г. с запуска американского спутника GEO SAT. Позднее были запущены спутники ERS-1, ERS-2, TOPEX/POSEIDON, Jason-1, GFO и NVS. Самым последним был запущен совместно NASA и Францией 20 июня 2008 г. спутник OSTM/Jason-2 [http://www.nasa.gov/missionpages/ostm/news/ostmb20090805b. html].

Можно отметить и первые удачные опыты оперативного использования альтиметрических данных в реальном масштабе времени для решения промысловых задач в районах Центрально-Восточной Атлантики и Юго-Восточной Атлантики [46], а также на рыбных промыслах в Севоро-Восточной Атлантике и Баренцевом море [52, 53, 63, 78].

Таким образом, в качестве основной в данной работе рассматривается задача построения аномалий уровенной поверхности Мирового океана в заданной акватории исходя из имеющегося массива вдольтрековых спутниковых измерений и дополнительных требований, предъявляемых к моделируемым поверхностям, отвечающим физическим явлениям, происходящим в океане.

Данные поступают с различных спутников, каждый из которых имеет свои траектории движения. В результате в качестве исходных данных имеется конечный набор измерений в отдельных точках интересующей нас акватории, расположение которых в этой акватории можно считать нерегулярным. Таким образом, для того чтобы построить карту аномалий высот морской поверхности, необходимо осуществить пространственную аппроксимацию данных спутниковых измерений, нерегулярно представленных в заданной плоской области.

Необходимо также учитывать, что в этих данных присутствуют ошибки самих измерений и внесенными специализированными поправками к аль-тиметрическому сигналу. Поправки обусловлены тем, что сигнал от спутникового альтиметра проходит через атмосферу (атмосферные поправки) и отражается от мгновенного уровня морской поверхности (поправки на состояние и уровень подстилающей поверхности). Самая большая поправка связана с приливами. Существует несколько моделей приливных поправок: CSR 3.0, FES 95.2, GOT 99. Эти модели убирают приливную составляющую из альти-метрических данных, однако они не всегда хорошо работают в прибрежных зонах и в динамически активных районах Мирового океана [45].

Следует отметить, что на настоящий момент времени реализовано несколько математических моделей и программ, позволяющих строить уровен-ные поверхности океана [3, 48, 58]. Однако во всех них заложен слишком большой период осреднения данных (минимум 10 суток), что является абсолютно неприемлемым для определения быстро изменяющихся гидродинамических структур в океане. Кроме того, существующие модели, как правило, работают в диапазоне широт ± 72°, что тоже в свою очередь является существенным их недостатком, а главное - они не учитывают дополнительные требования, предъявляемые к моделируемым поверхностям. Например, скорость изменения поверхности в некоторых ее точках в заданном направлении.

Учитывая вышеизложенное, разработка математической модели для построения уровенной поверхности Мирового океана и их аномалий по спутниковым данным за более короткие периоды (менее 10 суток) в диапазоне широт ±81,5° с учетом дополнительных требований, предъявляемых к ней, а также разработка алгоритма и программной реализации являются весьма актуальными и многообещающими с практической точки зрения.

Предметом исследования данной работы является уровенная поверхность Мирового океана.

Цель работы

Целями данной работы являются разработка математической модели уровенной поверхности океана методом аппроксимации спутниковых вдольтрековых альтиметрических данных двумерными ^-сплайнами и реализация на ее основе программных средств, устойчиво работающих в различных широтах.

Задачи исследования

1. Выполнение обзора существующих методов построения уровенной поверхности Мирового океана и их сравнительный анализ.

2. Разработка методики определения временного периода устойчивости уровенных поверхностей Мирового океана.

3. Построение математической модели уровенной поверхности Мирового океана.

4. Разработка метода подбора параметров математической модели уровенной поверхности в заданной акватории океана по спутниковым вдольтрековым альтиметрическим данным.

7. Построение карт уровенных поверхностей Мирового океана в заданных акваториях двумерными 5-сплайнами в диапазоне широт ±81,5°.

Научная новизна содержится в следующих результатах диссертационной работы:

1. Предложена математическая модель уровенной поверхности Мирового океана на базе двухмерных ^-сплайнов.

3. Предложена методика определения временного периода устойчивости уровенных поверхностей Мирового океана.

Практическая значимость работы заключается в реализации предложенных методов и алгоритмов в виде программного комплекса с отображением результатов моделирования уровенной поверхности океана в электронной картографической системе. Разработанный программный комплекс позволяет осуществлять моделирования морских поверхностей в диапазоне широт ±81,5°. Кроме того, предложенная методика показала хорошие результаты для восстановления полей распределений температур, соленостей, хлорофилла и т.д. Результаты моделирования уровенной поверхности океана позволяют рассчитать в реальном масштабе времени направления морских течений, что реализовано как один из режимов работы программного комплекса. Это позволяет определить зоны повышенной биопродуктивности в океане. В целом результаты работы могут способствовать более полному пониманию физических процессов, происходящих в океане, что дает возможность формировать обоснованные рекомендации рыбопромысловому флоту о наиболее предпочтительных местах ведения промысла и может способствовать повышению эффективности его работы.

Положения, выносимые на защиту:

- математическую модель уровенной поверхности Мирового океана на базе двухмерных 5-сплайнов;

- целевой функционал для определения параметров модели, учитывающий рассогласование моделируемой поверхности со спутниковыми вдольтрековыми альтиметрическими данными и априорную информацию о характере поведения восстанавливаемого поля;

- методику определения временного периода устойчивости уровенных поверхностей Мирового океана;

Апробация работы

По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, среди которых две публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, и две — в нерецензируемых изданиях. Доклады доложены и получили одобрение на восьми международных научно-практических и всероссийских научно-технических конференциях. Основные положения работы защищены двумя авторскими свидетельствами на изобретения.

Структура диссертации: диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и трех приложений.

Заключение диссертация на тему "Математическое моделирование уровенной поверхности океана по спутниковым данным на основе двумерной B-сплайн аппроксимации"

Выводы.

Результаты, приведенные в таблицах 4.1 и 4.2, показывают, что двумерные В -сплайны можно применять к аппроксимации гладких функций, в том числе заданных с некоторыми погрешностями, о чем свидетельствует уменьшение норм ошибок моделирования Кп и £2>п ■ Данное обстоятельство дает возможность применять методы двумерной В -сплайн аппроксимации для построения полей аномалий уровенной поверхности Мирового океана.

Кроме того, как следует с расчетов приведенных на графиках рисунков 4.19—4.21, определен минимально-достаточный временной интервал накопления вдольтрековых альтиметрических данных необходимый для качественного восстановления уровенной поверхности океана. С помощью предлагаемой математической модели это время определено по различным акваториям океана: 5 суток для акватории 560Ы-64°М и 22^-01^ (Северная Атлантика);

4 суток для акватории 10°К-25°К и 250\\г-15°\\'г (Северо-Западная Африка);

8 суток для акватории 70°1Ч-75оК и 20°Е-50°Е (Баренцево море). Как и следовало ожидать, продолжительность данного периода зависит от координат акватории, на которой планируется восстановление уровенной поверхности океана. Вблизи экватора плотность получаемых спутниковых данных выше, а ближе к полюсам уменьшается. Это связано с количеством спутников, которые «перекрывают» данную акваторию (рисунок 2.1).

114

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целями данной диссертационной работы являлись разработка математической модели уровенной поверхности океана, определение критерия качества для нахождения ее параметров и реализация на ее основе программных средств, устойчиво работающих в различных широтах Мирового океана методом аппроксимации спутниковых вдольтрековых данных измерений.

Рассматривая теорию аппроксимации функций, Р. В. Хемминг [62. с. 91] писал: «Прежде чем приступать к вычислениям, необходимо дать ответ на следующие вопросы:

1. Какие узлы мы будем использовать?

2. Какой класс приближающих функций мы будем использовать?

3. Какой критерий согласия мы примем?

4. Какую точность мы хотим?»

Рассмотрение уровенной поверхности океана и ее пространственно-временных изменений как модели физического явления позволило ответить на вопросы, поставленные Р. В. Хеммингом:

1. Для аппроксимации уровенной поверхности океана наиболее целесообразным является выбор узлов регулярной сети.

2. Использование в качестве класса приближающих функций кубических ¿¿-сплайнов дает ряд преимуществ перед другими классами функций.

3. В качестве критерия согласия был выбран функционал качества на базе метода наименьших квадратов, который позволил использовать избыI точную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание неточности данных спутниковых измерений, дополненный требованиями к моделируемой поверхности океана.

4. Точность моделируемых уровенных поверхностей океана должна быть такой, чтобы можно было отслеживать ее пространственно-временные изменения.

В проведенном исследовании были получены следующие основные результаты:

1. Разработана математическая модель уровениой поверхности Мирового океана, позволяющая осуществлять моделирование поверхности по спутниковым вдольтрековым альтиметрическим данным с использованием двумерных £>-сплайнов.

-5-10 суток для акватории 56°N-64°N и 22°W-01°W (Северная Атлантика);

- 5-8 суток для акватории 10°N-25°N и 25°W-15°W (Северо-Западная

Африка);

- 5-10 суток для акватории 45°N-55°N и 145°Е-155°Е (Дальний Восток);

- 9-14 суток для акватории 70°N-75°N и 20°Е-50°Е (Баренцево море).

4. Предложена методика определения минимально достаточного времени накопления вдольтрековых альтиметрических данных, необходимого для качественного восстановления уровенной поверхности океана. С помощью предлагаемой математической модели это время определено по различным акваториям океана:

- 5 суток для акватории 56°N-64°N и 22°W-01°W (Северная Атлантика);

- 4 суток для акватории 10°N-25°N и 25°W-15°W (Северо-Западная Африка);

- 8 суток для акватории 70°N-75°N и 20°Е-50°Е (Баренцево море).

В целом результаты работы способствуют более полному пониманию физических процессов, происходящих в океане, что дает возможность формировать обоснованные рекомендации рыбопромысловому флоту о наиболее предпочтительных местах ведения промысла и может содействовать повышению эффективности его работы.

Библиография Гомонов, Александр Дмитриевич, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Ниль-сон, Дж. Уолш. М. : Мир, 1972. - 316 с.

2. Алгоритмы и структуры данных геоинформационных систем / Крас-нояр. гос. техн. ун-т ; сост.: И. В. Варфоломеев, И. Г. Ермакова, И. С. Савельев. Красноярск : Изд-во КГТУ, 2003. - 34 с.

3. Белоненко, Т. В. Вихри или волны? / Т. В. Белоненко, Е. А. Захарчук,

4. B. Р. Фукс // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 7. 1998. - Вып. 3, № 21.1. C. 37-44.

5. Белоненко, Т. В. Градиентно-вихревые волны в океане / Т. В. Белоненко, Е. А. Захарчук, В. Р. Фукс. СПб. : Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та, 2004.-215 с.

6. Белышев, А. П. Вероятностный анализ морских течений / А. П. Бе-лышев, Ю. П. Клеванцов, В. А. Рожков. Л. : Гидрометеоиздат, 1983. -264 с.

7. Березин, И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. -М. : Наука, 1966. 632 с.

8. Блаттер, К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер ; пер с нем. Т. Э. Кренкеля ; под ред. А. Г. Кюркчана. М. : Техносфера, 2006. -272 с. - (Мир математики).

9. Бор, К. де Практическое руководство по сплайнам / К. де Бор. — М. : Радио и связь, 1985. 304 с.

10. Василенко, В. А. Сплайн-функции : теория, алгоритмы, программы / В. А. Василенко. Новосибирск : Наука, 1983. - 224 с.

11. Васильев, Ф. П. Лекции по методам решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1974. - 364 с.

12. Васильев, Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. — М. : Факториал Пресс, 2002. 824 с.

13. Вершинин, В. В. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания / В. В. Вершинин, Ю. С. Завьялов, Н. Н. Павлов. Новосибирск : Наука, 1988. - 102 с.

14. Воеводин, В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы / В. В. Воеводин. М. : Наука, 1966. - 248 с.

15. Геоинформационная система Golden Software Surfer 8 : учебно-метод. пособие для вузов / К. Ю. Силкин, И. В. Варфоломеев, И. Г. Ермакова, И. С. Савельев. Воронеж : Изд-во ВГУ, 2008. - 66 с.

16. Гребенников, А. И. Метод сплайнов в численном анализе / А. И. Гребенников. М.: Изд-во МГУ, 1979. - 208 с.

17. Демьянов, Г. В. Планетарные модели гравитационного поля Земли, их роль в современных условиях развития геодезии / Г. В. Демьянов, Р. А. Сермягин // Изв. вузов. Геодезия и картография / Моск. гос. ун-т геодезии и картографии. 2009. — № 10. - С. 8-12.

18. Дьяконов, В. П. Mathematica 4.1/4.2/5.0 в математических и научно-технических расчетах / В. П. Дьяконов. М. : COJIOH-Пресс, 2004. -696 с.

19. Завьялов, Ю. С. Интерполирование кубическими многозвенками / Ю. С. Завьялов // Вычислительные системы : сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т математики. Новосибирск, 1970. — Т. 38. - С. 2373.

20. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. — Новосибирск : Наука, 1980. — 350 с.

21. Завьялов, Ю. С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю. С. Завьялов, В. А. Леус, В. А. Скороспелов. М. : Машиностроение, 1985. - 224 с.

22. Завьялов, Ю. С. Экстремальное свойство кубических многозвенников и задача сглаживания / Ю. С. Завьялов // Вычислительные системы : сб. науч. тр. / АН СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т математики. Новосибирск, 1970.-Т. 42.-С. 89-108.

23. Инженерная геодезия / Е. Б. Клюшин, М. И. Кисилев, Д. Ш. Михелев,

24. В. Д. Фельдман. М. : Академия, 2004. - 480 с.

25. Карманов, В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. -М. : Наука, 1986.-288 с.

26. Корнейчук, Н. П. Сплайны в теории приближения / Н. П. Корнейчук. -М. : Наука, 1984.-352 с.

27. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1965. -204 с. - (Теоретическая физика, т. 7).

28. Латфуллин, М. Г. Технология автоматизированного картирования геофизических параметров с учетом дизъюнктивных нарушений : авто-реф. дис. . канд. техн. наук : 04.00.12 / М. Г. Латфуллин. М., 1997. -21 с.

29. Мамаев, О. И. Морские течения / О. И. Мамаев. М. : Изд-во МГУ, 1986. - 103 с.

30. Моисеев, Н. Н. Методы оптимизации / Н. Н. Моисеев, Ю. П. Ивани-лов, Е. М. Столярова. М. : Наука, 1978. - 352с.

31. Мориц, Г. Современная физическая геодезия / Г. Мориц ; пер. с англ. П. П. Медведева. М. : Недра, 1983. - 392 с.

32. Нейман, Г. Н. Океанские течения / Г. Н. Нейман. М. : ГИМИЗ, 1973.-207 с.

33. Параметры Земли 1990 года (ПЗ-90.02). Параметры общеземного эллипсоида и гравитационного поля Земли (проект) / Военно-топограф. Упр. Генерального штаба. М., 2005. - 57 с.

34. Поклад, Г. Г. Геодезия / Г. Г. Поклад, С. П. Гриднев. М. : Академ, проект, 2007. - 592 с.

35. Пшеничный, Б. Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б. Н. Пшеничный, Ю. М. Данилин. М. : Наука, 1975. - 311 с.

36. Романов, А. А. Восстановление мезомасштабной изменчивости аномалий высоты поверхности океана по данным спутниковой альтиметрии : дис. . канд. физико-мат. наук : 25.00.29. / А. А. Романов. М., 2004. - 125 с.

37. Романов, А. А. Методика восстановления карт аномалий морской поверхности методом Вт -сплайнов Электронный ресурс. / А. А. Романов // Исследовано в России. 2004. - № 42. - С. 454^-63. - Режим доступа: http://zlшrnal.ape■relam.ru/2004/042.pdf■

38. Рябенький, В. С. Введение в вычислительную математику: учеб. пособие / В. С. Рябенький. 2-е изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 296с.

39. Скворцов, А. В. Триангуляция Делоне и ее применение / А. В. Скворцов. Томск : Изд-во Том. ун-та, 2002. - 128 с.

40. Смоленцев, Н. К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в МАТЬАВ / Н. К. Смоленцев. —М. : Пресс, 2008.-448 с.

41. Смоляк, С. А. Сплайны и их применение / С. А. Смоляк // Экономика и математические методы / АН СССР, Центр, экономико-мат. ин-т. -М., 1971.-Т. 7, вып. З.-С. 419—431.

42. Старицын, Д. К. Основы использования спутниковой альтиметриче-ской информации для оценки условий промысла сайры / Д. К. Старицын, В. Н. Филатов, В. Р. Фукс // Изв. ТИНРО / Тихоокеан. науч.-исслед. рыбохозяйств. центр. 2004. - Т. 137. - С. 398-408.

43. Стечкин, С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С. Б. Стеч-кин, Ю. Н. Субботин. М. : Наука, 1976. - 248 с.

44. Субботин, Ю. Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны / Ю. Н. Субботин // Тр. МИАН СССР / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН. 1975. - Т. 138. - С. 118-173.

45. Фиакко, А. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации / А. Фиакко, Г. Мак-Кормик. — М. : Мир, 1972.-237с.

46. Хемминг, Р. В. Численные методы : для науч. работников и инженеров / Р. В. Хемминг ; пер. с англ. В. Л. Арлазарова, Г. С. Разиной, А. В. Усакова ; под. ред. Р. С. Гутера. М. : Наука, 1968. - 400 с.

47. Шериф, Р. Е. Англо-русский энциклопедический словарь терминов разведочной геофизики / Р. Е. Шериф ; пер. с англ. А. А. Богданова ; ред. пер. И. И. Гурвич. М. : Недра, 1984. - 351 с.

48. Bretheron, F. P.A Technique for Objective Analysis and Design of Ocea-nographic Experiments Applied to MODE-73 / F. P. Bretheron, R. E. Davis,

49. C. B. Fandry // Deep Sea Res. 1976. - № 23. - P. 559-582. (42)

50. Dcrber, J. A global oceanic data assimilation system / J. Derber, A. Rosati // J. Phys. Oceanogr. 1989. -№ 19. - P. 1333-1347. (50)

51. Ducet, N. Global high resolution mapping of ocean circulation from the combination of TOPEX/POSEIDON and ERS-1/2 / N. Ducet, P. Y. Le Traon, G. Reverdin // J. of Geophysical Res. 2000. - Vol. 105, № C8. -P.477-498. (32)

52. Field, D . A. Laplacian Smoothing And Delaunay Triangulations /

53. D. A. Field // Communications in Applied Numerical Methods. 1988. -Vol. 4.-P. 709-712. (59)

54. Forbes, C. Assimilation of sea surface height data into an isypicnic ocean model / C. Forbes, O. Brown // J. Phys. Oceanogr. 1996. - Vol. 26. -P. 1189-1213.(33)

55. Gandin, L. S. Objective analysis of meteorological fields / L. S. Gandin. -Leningrad : GIMIZ, 1963. 242 p. (41)

56. Global statistical analysis of TOPEX and Poseidon data / P. Y. Le Traon et all. // J. Geophys. Res. 1994. - Vol. 99, № C12. - P. 619-631.

57. Harder, R. L. Interpolation using surface splines / R. L. Harder, R. N. Desmarais // J. of Aircraft. 1972. - Vol. 9, № 2. - P. 189-191.

58. Le Traon, P. Y. ERS-1/2 orbit improvement using Topex/Poseidon: the 2 cm challenge / Le Traon P. Y., F. Ogor // J. Geophys. Res. 1998. -№95.-P. 8045-8057.

59. Le Traon, P. Y. Spatial scales of mesoscale variability in the Nort Atlantic as deduced from Geosat data / P. Y. Le Traon, M. C. Rouquet, C. Boisser // J. Gcophys. Res 1990. - Vol. 95. - P. 267-285.

60. Le Traon, P. Y. Use of a High-Resolution Model to Analyze the Mapping Capabilities of Multiple-Altimeter Missions / P. Y Le Traon, G. Dibarboure, N. Ducet // J. of Atmospheric and Oceanic Technology. 2001. - № 18. -P. 1277-1288.

61. Rogers, F. Mathematical elements for computer graphics (McGraw-Hill Science/Engineering/Math) / F. Rogers, J. Adams. 2 ed. - New York, 1989.-512 p.

62. Schoenberg, I. J. Contributions to problem of approximation of equidistant data by analytic function / I. J. Schoenberg // Quart. Appl. Math. 1946. -№ 4. - P. 45-99.

63. Schoenberg, I. J. Spline functions and the problem of graduation / I. G. Schoenberg // Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 1964. - Vol. 52, № 4. -P. 947-949.

64. Schoenberg, I. J. Spline interpolation and higher derivatives /1. J. Schoen-berg 11 Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis / Deutscher der Wissenschaften ; ed. P. Turan. Berlin, 1968. - P. 279-295.

65. Shewchuk, J. R. Delaunay Refinement Algorithms for Triangular Mesh Generation / J. R. Shewchuk // Computational Geometry: Theory and Applications. 2002. - № 22 (1-3). - P. 21-74.

66. Short-arc analysis of intersatellite tracking data in a gravity mapping mission / D. D. Rowlands et all. // J. of Geodesy. 2002. - Vol. 76, № 6-7. -P. 307-316.

67. Stammer, D. Global characteristics of ocean variability estimated from regional Topex/Poseidon Altimeter Measurements / D. Stammer // J. Phys. Oceanogr. 1997. - № 27. - P. 1743-1769.

68. Stammer, D. Global characteristics of ocean variability estimated from regional Topex/Poseidon altimeter measurements / D. Stammer // J. Phys. Oceanogr/- 1997. № 27. - P. 1743-1769.

69. The Joint Gravity Model-3 / Tapley B. D. et al. // J. Geophys. Res. -1996. Vol. 101, №B12.- P. 29-49.

70. The midlatitude resolution capability of sea level fields constructed from single and multiple satellite altimeter datasets / Greenslade et all. // J. At-mos. Oceanic. Technol. 1997. - № 14. - P. 849-870.

71. Wunsch, C. Sampling characteristics of satellite orbits / C. Wunsch // J. Atmos. Oceanic Technol. 1989. - № 6. - P. 891-907.

72. СПИСОК И ДАННЫЕ СУЩЕСТВУЮЩИХ ЭЛЛИПСОИДОВ LIST OF DATUMS AND ELLIPSOIDS

73. No DATUM NAME ELLIPSOID NAME

74. EUROPEAN DATUM 1950 International Hayford 19242. WGS-66 NWL 8D/WGS 19663. WGS-72 NWL 10D/WGS 19724. WGS-84 WGS 19845. DUTCH DATUM Bessel6. NAD 1927 Clarke 1866

75. ORDINANCE SURVEY UK 36 Airy

76. ORDINANCE SURVEY UK 70 Airy

77. NAHRWAN DATUM 1976 Clarke 1880 Modified

78. MERCURY 1960 Fisher (Mercury) 1960

79. MERCURY 1968 Modified Mercury 1968 Modified

80. ARGENTINE International Hayford 1924

81. AMERICAN SAMOA 1962 Clarke 1866

82. ASCENSION ISL. 1958 International Hayford 1924

83. CHUA ASTRO-BRAZ. GEODETIC International Hayford 1924

84. CORREGO-ALLEGRE-br map International Hayford 1924

85. EASTER ISL. 1967 ASTRO International Hayford 1924

86. PROV. S. AMERICAN 56 International Hayford 1924

87. PROV. S. CHILE 1963 International Hayford 1924

88. SOUTH AMERICAN 1969 Reference Ellipsoid 196721. SAO-C5 SOA-C522. SAO-C6 SOA-C623. SAO-C7 SOA-C724. OLD BAVARIAN Bessel25. POTSDAM Bessel26. BERNE 1898 Bessel27. TOKYO Bessel28. BERMUDA 1957 Clarke 186629. OLD HAWAIIN Clarke 1866

89. S.E. ISLAND SOLOMONS Clarke 1880.

90. YOF ASTRO 1967-DAHAR Clarke 1880

91. ADINDAN -EPHIOPIA Clarke 1880 Modified33. INDIAN Everest 1830

92. PULKOVO 1942 Krassovsky 1932

93. AUSTRALIAN GEODETIC Reference Ellipsoid 1967

94. NEW ZEALAND 1949 International Hayford 1924

95. WAKE ISL. ASTRO 1952 International Hayford 1924

96. FITILEVU 1916-FIJI Clarke 1880

97. SOUTH GEORGIA ASTRO International Hayford 1924

98. LUZON 1911 -PHILIPPINES Clarke 1866

99. ISLA SOCORRO ASTRO Clarke 1866

100. No DATUM NAME ELLIPSOID NAME42. GUAM Clarke 1866

101. GACIOSO ISL.-AZORES International Hayford 1924

102. CANTON ASTRO 1966 International Hayford 1924

103. CAMP AREA 61-62 ASTRO International Hayford 1924

104. BETIO ISLAND 1966 International Hayford 1924

105. CHRISTMAS ISLAND ASTRO 1967 International Hayford 1924

106. EFTATE International Hayford 1924

107. TRISTAN ASTRO 196B International Hayford 1924

108. No ELLIPSOID NAME SEMI-MAJOR AXIS (a) SEMI-MINOR AXIS (b)

109. Airy 6 377 563.396 6 356 256.909

110. Bessel 6 377 97.155 6 356 078.963

111. Clarke 1858 6 378 93.645 6 356 617.938

112. Clarke 1866 6 378 206.400 6 356 583.800

113. Clarke 1880 6 378 301.000 6 356 566.918

114. Clarke 1880 Modified 6 378 249.145 6 356 514.870

115. Everest 1830 6 377 276.345 6 356 075.413

116. Fisher (Mcrcury) 1960 6 378 166.000 6 356 784.283

117. Fisher 1960 (S.Asia) 6 378 155.000 6 356 773.320

118. Fisher 1968 6 378 150.000 6 356 768.955

119. Hayford 1909 6 378 388.000 6 356 911.946

120. Helmert 1906 6 378 200.000 6 356 818.170

121. International Astro Union 1968 6 378 160.000 6 356 774.719

122. International Hayford 1924 6 378 388.000 6 356 911.946

123. Krassovsky 1932 6 378 245.000 6 356 863.019

124. Mercury 1968 Modified 6 378 150.000 6 356 768.337

125. NWL8D/WGS 1966 6 378 145.000 6 356 759.769

126. NWL 10DAVGS 1972 6 378 135.000 6 356 750.520

127. WGS-84 6 378 137.000 6 356 752.314

128. Reference Ellipsoid 1967 6 378 160.000 6 356 774.719

129. SOA-C5 6 378 165.000 6 356 779.702

130. SOA-C6 6 378 155.000 6 356 769.736

131. SOA-C7 6 378 142.000 . 6 356 757.1381. Flattening (f):f = ( a b )/aшетіши фвдіращііжшSш,

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00