автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование управляемых процессов на основе статистических данных

Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева Математический факультет

004617469

Каледин Олег Евгеньевич

Математическое моделирование управляемых процессов на основе статистических данных

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ДЕК 2010

Саранск - 2010

004617469

Работа выполнена на кафедре прикладной математики математического факультета Мордовского государственного университета, им. Н. П. Огарева.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор,

Мамедова Татьяна Фана доена

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Кузнецов Евгений Борисович

доктор физико-математических паук, профессор,

Горбунов Владимир Константинович

Ведущая организация: Самарский государственный технический

университет

Защита состоится «16» декабря 2010 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д212.117.14 при Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева, по адресу: г. Саранск, проспект Ленина, д.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан «Ж» 2010 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просим высылать на имя ученого секретаря диссертационного совета по адресу: 430005, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук Г1 > Сухарев Л.А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы определена необходимостью прогнозирования и программирования разного рода процессов по имеющимся статистическим данным. Эти процессы, как правило, исследуются вероятностными методами, с помощью построения статистических или динамических моделей. Каждый из этих типов моделей имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-либо допущений и упрощений. Однако результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. И, главное, аналитические модели более приспособлены для поиска оптимальных решений. Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, т.е. не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (теоретически - неограниченно большое) число факторов. Но и у них есть свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное - крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать путем догадок и проб. Классические подходы к построению статистических моделей рассмотрены в работах Б. Оксендаля [1], А. Н. Ширяева [2] и многих других авторов. Довольно много работ посвящено изучению процессов через построение статистических моделей. Так, например, в работах А. И. Орлова [3] и В. Н. Афанасьева [4] рассматривается статистическое прогнозирование процессов эволюции. Для этого строятся эмпирические модели которые конструируются непосредственно из экспериментальных данных, представленных в виде временных рядов. В последнее время активно развивается теория прогнозирования различных явлений, основанная на нелинейной динамике. Она изложена в работах В.И. Арнольда [5], С.П. Крудюмова, Г.Г. Малинецкого [6] и многих других авторов. Строгое математическое обоснование подхода

к обработке статистических данных, базирующегося на понятии дифференциального включения, представлено в работах А. Ф. Филиппова, В. И. Вла-годатских [7], Е. В. Воскресенского [8]. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие, совершенно разные по сущности явления, развиваются по одним и тем же законам. Таким образом инструменты и модели нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов. Поэтому необходима разработка методов прогнозирования', которые могли бы учитывать большое количество факторов и при этом позволяли строить управляемые прогнозы.

В качестве основного аппарата исследования в настоящей работе использована математическая теория управления динамическими процессами, которые описываются дифференциальными включениями. В настоящей работе развивается метод, предложенный Е. В. Воскресенским в работе [8]. Этот метод является универсальным, поскольку учитывает все значения в статистической базе данных и может быть применен к процессам различной природы. Эта его особенность чрезвычайно важна, так как существующие на сегодняшний день социальные исследования (в экономике, демографии) при прогнозировании не учитывают скачкообразные изменения статистических данных и, пренебрегая ими, искажают картину. Стоит отметить, что основным недостатком предлагаемого метода является слишком «широкий» прогноз, то есть большой скачок между наименьшими и наибольшими значениями измеряемых величин. Во многих задачах требуется знать лишь поведение верхней или нижней границы интегральной воронки (либо некоторых компонент), либо повлиять только на одну из них в будущем. В работе приводятся базы данных, для которых построены интегральные воронки возможных решений, а сами решения лежат на их границах. В этом видится преимущество метода, основанного на построении дифференциального включения, перед статистическим прогнозированием: метод учитывает «крайние» — малове-

роятные кривые развития процессов. Отметим, что решения, полученные с помощью динамических методов (обыкновенных дифференциальных уравнений), методов математической статистики, лежат внутри конуса возможных решений. Конус возможных решений описывает всевозможные траектории, в том числе и маловероятные. Поэтому предлагаемые модели могут быть полезны при исследовании социальных проблем, оценке и прогнозировании состояния некоторых процессов биосферы.

Цель диссертационной работы состоит в построении математической модели, которая позволяла бы на основе статистических данных определять динамику исследуемого процесса. Статистические данные представляют собой некоторую базу данных за известный промежуток времени. Необходимо разработать алгоритм, реализующий модель в виде дифференциального включения, с помощью которого можно строить управляемый прогноз с различными функционалами качества и без них. Разработанный алгоритм должен быть реализован в виде комплекса программ, позволяющего обрабатывать статистические данные и строить на их основе управляемый прогноз. Необходимо разработать методы прогнозирования социально-экономических процессов с различными функционалами качества в виде базы данных ограничений компонент, описывающих исследуемый процесс.

Научная новизна.

Статистические данные, представляющие собой результаты наблюдений за вектором величин, характеризующих процесс, в фиксированные моменты времени задают базу данных (временной ряд). В предположении, что этот временной ряд является рядом значений некоторой абсолютно непрерывной вектор-функции х — х(Ь) в моменты времени строится дифференциальное включение. Функции х = х(<) являются его решениями. Учитывая то, что статистические данные имеют сезонный характер, прогноз строится на очередной сезон (или несколько сезонов) в предположении, что сезонность

сохранится. Начиная с определенного момента времени, можно ввести управление. В работе исследуются временные ряды и строятся прогнозы как с управлением, так и без него.

Разработан и реализован в виде программного продукта метод обработки статистических данных и построения прогноза в виде программного движения управляемого процесса. Все результаты являются новыми.

Научная и практическая значимость.

Описанный в диссертации метод позволяет заменить статистическое исследование процесса построением модели, основанной на дифференциальных включениях. Здесь следует отметить, что все возможные решения дифференциального включения принадлежат интегральной воронке. Это дает право считать разработанный метод более адекватным, ибо он учитывает все возможные траектории поведения процесса.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• математическая модель процессов, задаваемых статистическими данными, основанная на построении интегральной воронки дифференциального включения;

• метод построения прогноза в виде интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества и без него;

• исследование математической модели безработицы;

• программное обеспечение Cone для построения конуса возможных решений и управляемых прогнозов;

• предложен новый подход к обработке статистических данных в виде построения дифференциального включения на основе этих данных.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

• объединенных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского (Саранск, 2006-2010);

• Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009, 1-4 июня) [AI];

• III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008, 15-16 октября) [А2];

• XIII научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов. Секция №78 — «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2008) [A3]

• IV Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем»(Пенза, 2009, 19-21 октября)[А4];

® Региональная научно-практическая конференция «Научный потенциал молодежи - будущему Мордовии». Секция №77 - «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2009) [А5]

• IV Международная научная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2009, 1-12 августа) [А6];

• VIII Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2008, 12-16 мая) [А7, А8];

• Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010, 3-6 июня) [А9];

• IX научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых (Саранск, 2010, 1-3 июля) [А10].

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах, из них 1 (работа [All]) в издании, рекомендованном ВАК к публикации материалов диссертаций.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 127 листов. Список литературы содержит 105 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Проведен исторический обзор, анализ литературы и научных публикаций по теме исследования.

Первая глава содержит изложение математической теории метода исследования процессов, которые описываются статистическими данными. Суть

метода заключается в следующем: исследуемый процесс на некотором временном участке описывается статистическими данными. Исследуемые процессы априори предполагаются «сезонными», т.е. близкими к периодическим. Статистические данные являются значениями абсолютно-непрерывной вектор-функции х = х{Ь). Главным понятием здесь является понятие базы данных ХТо,т, •

Определение 0.1. На промежутке /о = ро,Т\] рассмотрим сетку

$ = {и ■■ Т0 = ¿о < ¿1 < • • ■ < и < ... < и = 7!}, где и - узлы. Пусть х : /о —> К™ - абсолютно непрерывная вектор-функция,

Г _

такая что х(и) = Х{. Тогда упорядоченный набор векторов х;, г = 0,т, заданных в узлах сетки обозначаемый Хт0,т, — {я* : г = 0, тп} будем называть базой данных.

Таким образом, абсолютно непрерывные вектор-функции

х : /0 К", г € <?, £? С ЛС(/0),

где ЛС(/о) - класс абсолютно непрерывных функций, определенных на /о, порождают базу данных Хт0,Тг Здесь То - начальными момент исследования, Т\ - конечный. Отрезок [То, 71] определяет «сезон» и называется неуправляемым участком. «Сезон» выделяется для каждой конкретной задачи, исходя из имеющихся статистических данных.

Если х е <2 - функции, реализующие базы Хт0,тп то на каждом участке сетки при < —> справедливы неравенства

< Щ&й ^ А,(*4-ь*(«,-!)), (1)

которое выполняется почти всюду при То < < < Т\у1 = 0,т,] = 0, п. Тогда в области Р = {(¿,ж) : Т0 < 4 ^ Ть х 6 Е", ||х|| < Я0, Я0 > 0} почти всюду

9

имеют место неравенства

с1х

(1х

Здесь — - производная абсолютно непрерывной вектор-функции х € (}, ко-аъ

торая реализует базу данных Хт0,тг

Определение 0.2. Уравнения

§ = A(ifJ,)f (3)

| = ММ) (4)

однозначно определяют свои решения по начальным данным (to,yo), (¿о, го): y(t : ¿о, t/o), z(t : to,zo), где io < t < T\ и называются уравнениями сравнения для базы данных Хт0,т, ■

Таким образом, база данных Хт0,т,, элементами которой являются зна-

def

чения абсолютно непрерывной вектор функции x(t,) = я,- в узлах сетки Stl порождает дифференциальное включение:

Определение 0.3. Пусть Comp R" — подпространство всех непустых компактов из R", наделенное метрикой Хаусдорфа, То < i ^ Т\, F : Р —¥ Comp К" - многозначная функция, определенная следующим образом: у <Е F{t,x) <=> n(t,x) < у ^ \{t,x). Тогда дифференциальное включение

— € F(t,x) (5)

называется дифференциальным включением базы Хт0,тх € AC(Iq).

На неуправляемом участке [То, Tj] это включение эквивалентно дифференци-

dx

альному неравенству: A(t, х) < — < /t(i, х), где вектор-функции z(t) и y[t) -

есть решения уравнений сравнений ^ = A(t,z) и ~ = p.(t, у) соответствен-

dt dt

но.

Предполагается, что исследуемые процессы описываются абсолютно-непрерывными вектор-функциями, тогда ее значения заключены между решениями двух уравнений сравнения:

Теорема 0.1. /5/ Если функция х 6 Q реализует базу Хт0,т,, то почти всюду

z{t : t0, z0) ^x(t: t0, z0) ^ y{t : t0, y0), t > t0, z0 < x0 < y0. (6)

Далее рассматривается новый сегмент: [ТьТг], Т2 = Т\ — То, он называется управляемым участком. На этом участке процесс регулируется некоторыми управляющими параметрами из класса допустимых управлений К, который состоит из кусочно-непрерывных квазимонотонно неубывающих функций и :

и : [То, Ti + Т] х S R",

причем при То < t ^ Tj, u(t,x) = х.

На управляемом участке рассматривается управляемое дифференциальное включение

dx

— 6 fi(i,*,u), (7)

которое на 1а переходит в (5). Тогда уравнения сравнения для дифференциального включения (7)

^ = \i(t,y,u), (8)

dz

— = tn(t,z,u), (9)

где функции, задающие границы воронки определены следующим образом: Ai{t,y,u) — Ai(t,u), /xi(i, z,u) = n(t,u), То ^ t ^ T\ +T. Уравнения сравне-

ния (8) - (9) дифференциального включения (7) получены заменами

х —>

У иЦ,у),

Изменяя управляющие параметры, можно добиться нужного поведения решений уравнений сравнения. Управляющие параметры выбираются таким

Т1+Г

образом, чтобы функционал качества 3 = /о(8,у(з),и(8))с1з принимал

т,

свое экстремальное значение. Согласно [8], справледлива следующая теорема:

Теорема 0.2. /5/ Если г(Тг+Т : х0, и) ^ хх ^ у(Тг+Т, *0, х0, и) при некотором и € К, то существует программное движение х{1: ¿о, хд, и) такое, что х(Т\ + Т -Ло, хц, и) = хх.

Из этой теоремы следует, что решения уравнений сравнения (8), (9) дают оценки для решения х(Ь : ¿о, и), Та ^ < ^ + Т. Следовательно, методы управляемости для этих уравнений, когда и 6 К, могут быть применены для анализа программных движений. Поэтому пару (х,и) будем называть оптимальным процессом, где х = х(1, и) — оптимальное программное движение, и — оптимальное управление. На практике это дает метод, позволяющий строить управляемые прогнозы для процессов по известным статистическим данным.

Определение 0.4. Пусть г = г{1) и у — у^) абсолютно-непрерывные функции определенные па сегменте [Т\,Тх + Т]. Вазу данных Хтит,+т> определенную на сегменте [Тх, Тх +Т] и порожденную функциями г = и у = у{Ь) с начальными данными у* = у{Тх) и г* = г(Т\) будем называть прогнозом поведения процесса, заданного статистической базой данных Хт0,Т\ ■

Определение 0.5. Если в определении (0.4) абсолютно непрерывные функции г = z(t) и у = y(t) являются решениями управляемого дифференциального включения (7), то базу данных Хт,,т2 будем называть опти-

' т,+г

мольным прогнозом с функционалом качества J = J fa{s,y(s),u(s))ds.

т,

Согласно теореме Важевского [9], управляя решениями уравнений сравнения, удается удержать исследуемую вектор-функцию в нужном интервале значений. В такую схему укладываются многие реальные процессы. В этой главе также приводятся модельные примеры одномерных баз данных, для которых решения дифференциальных включений лежат на верхней, либо на нижней границах их интегральных воронок.

Собственные результаты первой главы и постановка задачи опубликованы в работе [А6].

Во второй главе описана алгоритмическая реализация программного пакета (пакет Cone) для построения прогноза (интегральной воронки дифференциального включения) динамических процессов по статистическим данным. Пакет реализует математическую обработку статистических данных по модели, описанной в главе 1. Описываются формат и тип входных данных, ограничения на использование, приводится XSD-схема для описания формата данных, пригодных для обработки в пакете Cone. Результат обработки данных может быть представлен в графическом и табличном виде. Cone создан и дорабатывается на языке С# в среде Visual Studio 2008 для использования на платформе .net framework. Использование именно этой платформы позволяет относительно легко подключать сторонние библиотеки, реализующие численные методы, алгоритмы, визуализацию результатов. Возможности платформы позволяют выводить результаты работы в виде, пригодном для использования в других программных продуктах, например, для дальнейшей

обработки в MatLab или для подготовки к публикации в ЮЩХ. Пакет Cone состоит из трех модулей:

1. Модуль ввода исходных данных и настроек для построения решения. Исходная статистическая информация - база данных Хта,т0 заданная на сегменте /о, должна быть представлена в виде XML-файла или таблицы MS Excel. Выбор формата XML обусловлен тем, что практически все современные СУБД или электронные таблицы позволяют сохранять информацию в этом формате. Кроме того, в пакете предусмотрена возможность вносить статистические данные «вручную» в соответствующую форму приложения. После загрузки данных в приложение выполняется их проверка на корректность и предварительная обработка.

2. Модуль построена решения. Здесь реализована основная задача программного пакета - построение оптимального прогноза (0.5). Сначала производится вычисление разделенных разностей и поиск минимальных и максимальных среди них. Затем с использованием полученных разделенных разностей строятся уравнения сравнения для базы данных:

^(ti-biM) < < A^-bxft-i)). (10)

После этого осуществляется поиск решений для уравнений сравнений. При этом реализована возможность использования одного из двух методов:

• «Метод ломаных.» Предполагается, что вектор-функции Л и ц являются кусочно-постоянными на соответствующих разбиениях сетки. В этом случае на компакте [То, Tj] значения функций Л и /г в узлах сетки St определяются следующим образом:

таxxj(t) = k® То + (г - < t ^ Т0 + Д^Д

J m m

Ш1,-(() = С 7о + (» - ^ I ^ То + тогда

т т

уравнения сравнения для базы данных Ху^г, имеет следующий вид:

¿У],п ,(0 ~ . /. Л\Т1 — Т0 7х - 7о . —— = Т0 + (г - 1)-< < < Т0 + г-, г = 1, т ,

, (.) гр , / • Т NTj — То Ti - То Т—

— = Ь,т> То + (г - 1)—- < t < То + г——, г - 1, т .

В этом случае решения для уравнений сравнения (верхняя и нижняя границы конуса) - ломаные, составленные из отрезков прямых

yjm = ф + С«, То + (г - + г—!-—

J ]m тп m

zim = bQt + D®, To + (« - < t < To +

J Jm m m

Коэффициенты на каждом участке разбиения сетки 5( определяются из начальных данных.

• «Нелинейная аппроксимация.» Используется в том Случае, если Л и (г не являются кусочно-постоянными на соответствующих разбиениях сетки, а выбираются другим способом. В этом случае для построения конуса возможных решений, необходимо решать уравнения сравнения. Отметим, что в данном случае используется подключение известных библиотек, реализующих численные методы.

Построение решений на управляемом участке можно производить с функционалом качества и без него. Функционал качества накладывает серьезные ограничения на численные методы решения. В пакете Cone

для функционалов вида J = J fo(s,x(s),u(s))ds, где /о - непрерывная

т,

функция, использован стандартный подход: функционал качества заме-

няется на сетке интегральной суммой

5 = ¿/о (П, У(71), к® + «£?) (11)

¿=1

Экстремум функционала ищется стандартными средствами анализа. Задача сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений, решение которой найти различными численными методами.

3. Модуль вывода результатов. После работы модуля построения решения, полученные результаты становятся доступны пользователю. Вывод результата осуществляется в отдельное окно: в виде графиков границ интегральной воронки дифференциального включения на неуправляемом и управляемом участках:

I

Рис. 1. Конус возможных решений.

Прогноз дается в виде базы данных, содержащей значения верхней и нижней границы этой воронки. Найденные управления также отображается в виде таблицы значений функции в узлах сетки. Полученные результаты можно сохранить во внешнем файле, что делает их доступ-

ными для использования другими приложениями. В случае многомерной статистической базы данных при выводе результатов в графическом виде, решения отображаются по каждой координате в отдельном окне.

Результаты второй главы опубликованы в работе [АН].

В третьей главе метод построения интегральной воронки дифференциального включения по известным статистическим данным применяется к исследованию механических систем определенного типа. Во-первых, предполагается, что система материальных точек осуществляет движете «близкое» к периодическому - это должно обеспечить «сезонность». Во-вторых, через определенные промежутки времени снимаются показания приборов, фиксируя вектор состояний Х{ во время U. Таким образом может быть построен временной ряд на «сезоне» Т. Отметим, что на «сезоне» (промежутке длины Т) в случае движения механической системы можно получить временной ряд, фиксируя состояния системы х,- в моменты времени i; с помощью нескольких приборов, вообще говоря, различной точности. К полученному временному ряду на промежутке [Тц, Ti] применяется вся теория, изложенная в первой главе. На промежутке [Го, Т1] строится дифференциальное включение, а также его интегральная воронка . На отрезке [Ti,Ti + Т] построено управляемое дифференциальное включение. Функционал качества будет иметь следующий вид:

т2

1 = | L(x, х, t)dt -> min, т,

Поэтому управления щ представляет собой значение скорости, которое нужно придать системе на отрезке [т<_1,г<], чтобы в точке Тг достичь наперед заданного значения. При этом, в соответствии с принципом наименьшего действия, выбранный в данном случае функционал качества позволяет най-

ти такие управления, чтобы энергия, затраченная на это изменение, была минимальной. По аналогии с рассмотренным в этой главе примером предполагается, что использование этого функционала можно распространить на исследование систем, которые не являются механическими. Все вычисления проводятся с помощью пакета программ Сопе.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [А1, А6].

В четвертой главе рассматриваются приложения изложенной теории к исследованию социальных процессов. В качестве модельного примера выступает состояние безработицы. Проблема безработицы является достаточно сложной и актуальной не только для России, но и для всего мира. Социологи и экономисты решают ее с помощью различных математических методов (в основном, методов математической статистики). Для изучения безработицы предлагаются различные модели, основанные, как правило, на вероятностных методах и применении нейронных сетей. В России явление безработицы представляет особый интерес для исследования, так как не подчиняется многим тенденциям, характерным для других стран, тем более, что предлагаемые модели не учитывают возможных изменений ее состояния. Основываясь на статистической базе данных, которая отображает количество безработного населения в России по месяцам за последние несколько лет, с помощью метода математического моделирования процессов, изложенного в первой главе, строится интегральная воронка возможных решений на неуправляемом участке и составляется управляемый прогноз состояния безработицы в России.

Управления показывают сколько необходимо создать рабочих мест в каждом месяце следующего года, чтобы к концу года количество безработных не превышало наперед заданного числа. Управления выбираются таким образом, чтобы значение функционала качества являлось минимальным, т.е. задача по понижению уровня безработицы решается с минимальными затра-

Рис. 2. Конус возможных решений на управляемом участке для динамики безработицы в России.

тами. Применение пакета Cone дает результат в виде конуса возможных решений, который изображен на рисунке 2 ([0; 12] — неуправляемый участок, [12; 24] — управляемый).

В заключении говорится о возможных областях применения результатов. Развиваемый в работе метод позволяет моделировать поведение различных управляемых процессов и его можно применить при прогнозировании природных явлений, социально-экономических и демографических процессов.

Список публикаций

[AI] O.E. Каледин, Л.А. Сухарев. Анализ поведения одной механической системы на основе статистических данных // Математическое моделирование и краевые задачи; Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 2: Моделирование и оп-

тимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2009. — С. 59 - 66.

[А2] O.E. Каледин. Математическая модель управления уровнем безработицы // Аналитические и численные методы моделирования естественно научных и социальных проблем: сборник статей III Международной научно-технической конференции. — Пенза: приволжский дом знаний, 2008. - С. 122-125.

[A3] O.E. Каледин. Моделирование динамики безработицы // Материалы XIII научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. Секция №78 - Прикладная математика и информатика. — Саранск: СВ-МО, 2008. - С. 20 - 31.

[A4] O.E. Каледин. Математическая модель задачи управления запасами // Аналитические и численные методы моделирования естественно научных и социальных проблем: сборник статей III Международной научно-технической конференции. — Пенза: приволжский дом знаний, 2009. — С. 155-158.

[А5] O.E. Каледин. Математическая модель управления уровнем безработицы // Материалы региональной научно-практической конференции «Научный потенциал молодежи — будущему Мордовии». Секция №77 - Прикладная математика и информатика. — Саранск: СВМО, 2009. — С. 12 - 15.

[Аб] O.E. Каледин. Моделирование поведения механических систем на основе статистических данных // Труды Средневолжского математического общества. — 2009 — Т. 11, № 1.- С. 122 - 128.

[А7] O.E. Каледин, Л.А. Сухарев. Программный пакет Cone. Структура

и реализация // Журнал Среднееолжского математического общества. - 2009. - Т. 11, № 2. - С. 84 - 90.

[А8] Л.А. Сухарев O.E. Каледин. Математическая модель динамики безработицы // Труды Средневолжского математического общества. — 2008. - Т. 10, № 2. - С. 122 - 128.

[А9] O.E. Каледин. Пакет программ для построения управляемых прогнозов на основе теории дифференциальных включений // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 4: Информационные технологии в математическом моделировании. — Самара: СамГТУ, 2010.-С. 84 - 87.

[А10] O.E. Каледин, Л.А. Сухарев. О построении конуса возможных решений для базы данных // Журнал Средневолжского математического общества. - 2010. - Т. 12, № 2. - С. 61 - 66.

[All] O.E. Каледин. Программная реализация одной динамической модели, построенной по статистическим данным // Известия высших учебных заведений. Поволэ/сский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1(13). - С. 14 - 17.

Цитированная литература

[1] Bernt К. Oksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — Berlin: Springer, 2003.

[2] A. H. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики В 2-х т. — М.: ФАЗИС, 1998.

[3] А. И. Орлов. Устойчивость в социально-экономических моделях. — М.: Наука, 1979.

[4] М. М. Юзбашев В. Н. Афанасьев. Анализ временных рядов и прогнозирование. — Москва: "Финансы и статистика2001.

[5] В.И. Арнольд. Теория катастроф.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

[6] Г. Г. Малинецкий, С. П. Курдюмов. Нелинейная динамика и проблемы прогнозирования // Вестник РАН. — 2001. — Т. 71, № 3. - С. 210 - 232.

[7] В.И. Благодатских, А.Ф. Филиппов. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды, матем. ин-та им. Стеклова.— 1985,— Т. 169. - С. 194 - 252.

[8] В. В. Воскресенский. Оптимальные программные движения управляемых дифференциальных включений // Труды Средневолжского математического общества. — 2007. - Т. 9, № 1. - С. И - 17.

■

[9] Я. Руш, П. А бете, М. Лалуа. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980.

Подписано в печать 12.11.10. Объем 1,25 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1657. Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24