автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование управляемых процессов на основе статистических данных

Мордовский государственный университет нир"" Н. П. Огарева Математический факульте

■»ООО0/0

Каледин Олег Евгеньевич

Математическое моделирование управляемых процессов на основе статистических данных

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о з [.:;.? 22П

Саранск - 2011

4856570

Работа выполнена па кафедре прикладной математики математического факультета Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева.

Научный руководитель: кандидат физико-математических паук,

профессор,

Мальедова Татьяна Фападовпа Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор,

Кузнецов Евгений Борисович

доктор физико-математических наук, профессор,

Бойков Илья Владимирович

Ведущая организация: Самарский государственный технический

университет

Защита состоится «03» марта 2011 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д212.117.14 при Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева, но адресу: г. Саранск, проспект Ленина, д. 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан «М.» дхД/ШЛЛ 2011 г.

Отзывы и замечания но автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просим высылать на имя ученого секретаря диссертационного совета но адресу: 430005, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

Ученый секретарь

диссертационного совета, /

кандидат физико-математических наук ^ Сухарев Л. А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы определена необходимостью прогнозирования н программирования разного рода процессов но имеющимся статистическим данным. Эти процессы, как правило, исследуются вероятностными методами, с помощью построения статистических или динамических моделей. Каждый из этих типов моделей имеет свои преимущества н недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-либо допущений и упрощений. Однако результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. И, главное, аналитические модели более приспособлены для поиска оптимальных решений. Статистические модели но сравнению с аналитическими более точны и подробны, т.е. не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (теоретически - неограниченно большое) число факторов. Но и у них есть свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное - крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать путем догадок н проб. Классические подходы к построению статистических моделей рассмотрены в работах Б. Оксспдаля [1|, А. Н. Ширяева [2] и многих других авторов. Довольно много работ посвящено изучению процессов через построение статистических моделей. Так, например, в работах А. И. Орлова [3] и В. Н. Афанасьева [4] рассматривается статистическое прогнозирование процессов эволюции. Для этого строятся эмпирические модели которые конструируются непосредственно из экспериментальных данных, представленных в виде временных рядов. В последнее время активно развивается теория про-г^ гнозирования различных явлений, основанная на нелинейной динамике. Она изложена в работах В.И. Арнольда [5], С.П. Крудюмова, Г.Г. Малинецкого [С] н многих других авторов. Строгое математическое обоснование подхода

к обработке статистических данных, базирующегося на понятии дифференциального включения, представлено в работах А. Ф. Филиппова, В. И. Бла-годатскнх [7], Е. В. Воскресенского [8]. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие, совершенно разные но сущности явления, развиваются по одним и тем же законам. Таким образом инструменты и модели нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов. Поэтому необходима разработка методов прогнозирования, которые могли бы учитывать большое количество факторов и при этом позволяли строить управляемые прогнозы.

В качестве основного аппарата исследования в настоящей работе использована математическая теория управления динамическими процессами, которые описываются дифференциальными включениями. В настоящей работе развивается метод, предложенный Е. В. Воскресенским в работе [8]. Этот метод является универсальным, поскольку учитывает все значения в статистической базе данных и может быть применен к процессам различной природы. Эта его особенность чрезвычайно важна, так как существующие на сегодняшний день социальные исследования (в экономике, демографии) при прогнозировании не учитывают скачкообразные изменения статистических данных и, пренебрегая ими, искажают картину [9]. Стоит отметить, что основным недостатком предлагаемого метода является слишком «широкий» прогноз, то есть большой скачок между наименьшими и наибольшими значениями измеряемых величин. Во многих задачах требуется знать лишь поведение верхней или нижней границы интегральной воронки (либо некоторых компонент), лнбо повлиять только на одну из них в будущем. В работе приводятся базы данных, для которых построены интегральные воронки возможных решений, а сами решении лежат на их границах. В этом видится преимущество метода, основанного на построении дифференциального включения, перед статистическим прогнозированием: метод учитывает «крайние» - маловероятные

кривые развитии процессов. Отметим, что решения, полученные с помощью динамических методов (обыкновенных дифференциальных уравнений), методов математической статистики, лежат внутри конуса возможных решений. Конус возможных решений описывает всевозможные траектории, в том числе и маловероятные. Поэтому предлагаемые модели могут быть полезны при исследовании социальных проблем, оценке и прогнозировании состояния некоторых процессов биосферы.

Цель диссертационной работы состоит в построении математической модели, которая позволяла бы на основе статистических данных определять динамику исследуемого процесса. Статистические данные представляют собой некоторую базу данных за известный промежуток времени. Необходимо разработать алгоритм, реализующий модель в виде дифференциального включения, с помощью которого можно строить управляемый прогноз с различными функционалами качества и без них. Разработанный алгоритм должен быть реализован в виде комплекса программ, позволяющего обрабатывать статистические данные и строить на их основе управляемый прогноз. Необходимо разработать методы прогнозирования социально-экономических процессов с различными функционалами качества в виде базы данных ограничений компонент, описывающих исследуемый процесс.

Научная новизна.

Статистические данные, представляющие собой результаты наблюдений за вектором величии, характеризующих процесс, в фиксированные моменты времени задают базу данных (временной ряд). В предположении, что этот временной ряд является рядом значении некоторой абсолютно непрерывной вектор-функции х = х{1) в моменты времени и, строится дифференциальное включение. Функции х = х(Ь) являются его решениями. Учитывая то, что статистические данные имеют сезонный характер, прогноз строится на очередной сезон (или несколько сезонов) в предположении, что сезонность

сохранится. Начиная с определенного момента времени, можно ввести управление. В работе исследуются временные ряды и строятся прогнозы как с управлением, так и без него.

Разработан и реализован в виде программного продукта метод обработки статистических данных и построения прогноза в виде программного движения управляемого процесса. Все результаты являются новыми.

Научная и практическая значимость.

Описанный в диссертации метод позволяет заменить статистическое исследование процесса построением модели, основанной па дифференциальных включениях. Здесь следует отметить, что все возможные решения дифференциального включения принадлежат интегральной воронке. Это дает право считать разработанный метод более адекватным, ибо он учитывает все возможные траектории поведения процесса.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• математическая модель процессов, задаваемых статистическими данными, основанная на построении интегральной воронки дифференциального включения;

• метод построения прогноза в виде интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества и без него;

• исследование математической модели безработицы;

• программное обеспечение Cone для построения конуса возможных решений и управляемых прогнозов;

• новый подход к обработке статистических данных в виде построения дифференциального включения на основе этих данных.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались н обсуждались па следующих научных мероприятиях:

• объединенных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского (Саранск, 2006-2010);

• Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009, 1-4 июня) [AI];

• III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных н социальных проблем» (Пенза, 2008, 15-16 октября) [А2];

• XIII научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов. Секция №78 «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2008) (A3]

• IV Международная научно-техническая конференция «Аналитические н численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем»(Пенза, 2009, 19-21 октября)[A4];

• Региональная научно-практическая конференция «Научный потенциал молодежи -- будущему Мордовии». Секция №77 - «Прикладная математика п информатика.» (Саранск, 2009) [А5]

• IV Международная научная школа-семннар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2009, 1-12 августа) [А6];

• VIII Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2008, 12-16 мая) [А7, А8];

• Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010, 3-6 июня) [А9[;

• IX научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых (Саранск, 2010, 1-3 июля) [А10].

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, из них 2 (работы [Al, А2]) в изданиях, рекомендованных ВАК к публикации материалов диссертаций.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 127 листов. Список литературы содержит 105 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. Проведен исторический обзор, анализ литературы и научных публикаций ио теме исследования.

Первая глава содержит изложение математической теории метода исследования процессов, которые описываются статистическими данными. Суть

метода заключается в следующем: исследуемый процесс на некотором временном участке описывается статистическими данными. Исследуемые процессы априори предполагаются «сезонными», т.е. близкими к периодическим. Статистические данные являются значениями абсолютно-непрерывной вектор-функции х = Главным понятием здесь является понятие базы данных :

Определение 0.1. На промежутке 1о = [Го,7\] рассмотрим сетку

5( = {и : Т0 = ¿о < ¿1 < ... < и < ... < «,„ = Т1},

где и - узлы. Пусть х : /о —)• К" абсолютно непрерывная вектор-функция, такая что '= Х{. Тогда упорядоченный набор векторов 2;, г .= О, т, заданных в узлах сетки £/., обозначаемый Хта;1\ ' {.т^ : г = 0,7тг} будем называть базой данных.

Таким образом, абсолютно непрерывные вектор-функции

х:1о-¥&п,хе(2,<2сАС{1о),

где АС(1о) - класс абсолютно непрерывных функций, определенных на /о, порождают базу данных Хта.т, • Здесь Т0 - начальный момент исследования, Т\ - конечный. Отрезок [То, Т1] определяет «сезон» и называется неуправляемым участком. «Сезон» выделяется для каждой конкретной задачи, исходя из имеющихся статистических данных.

Если х € <2 - функции, реализующие базы то на каждом участке

сетки 5(, при £ —» справедливы неравенства

щ(и-их{и-1)) < < ЧЬ-гЛи-д), (1)

которое выполняется почти всюду при Го < 4 < Т|, г = 0, тп, 3 = 0, п. Тогда в области Р = {(£, а;) : Т0 < Ь < Гь х е К", ||х|| < Щ, Ло > 0} почти всюду

9

имеют место неравенства

dx

li(t,x)^ — ^X{t,x), (2)

dx

Здесь — - производная абсолютно непрерывной вектор-функции х € Q, которая реализует базу данных Xt0,Ti-

Определение 0.2. Уравнения

f = A(i,i/), (3)

| = ММ) (4)

однозначно определяют свои решения по начальным данным (iuiJ/o); (io,Zo).- y(t : ¿о?I/o)j z(i : io,2o), гс/е f0 < t ^ Ti u называются уравнениями сравнения для базы данных AV„,r, •

Таким образом, база данных Xrn;i\, элементами которой являются значения абсолютно непрерывной вектор функции x(ti)'= х; в узлах сетки £/, порождает дифференциальное включение:

Определение 0.3. Пусть Comp R" подпространство всех непустых компактов из R", наделенное метрикой Хаусдорфа, Т0 ^ t ^ Т\, F : Р —» Comp R" - многозначная функция, определенная следующим образом: у е F(t,x) <=> ß(t,x) < у ^ A(i,.x). Тогда дифференциальное включение

tGF(t'X) (5) называется дифференциальным включением базы Хта,Tu х € АС[1а).

На неуправляемом участке [То, Ti] это включение эквивалентно днфференци-

dx

алыюму неравенству: А(t,x) < — < fi{t,x), где вектор-функции z(t) и y(t) -

dt

есть решения уравнений сравнений — = Х(Ь, г) и — = ц{1, у) соответственно.

Предполагается, что исследуемые процессы описываются абсолютно-непрерывными вектор-функциями, тогда ее значения заключены между решениями двух уравнений сравнения:

Теорема 0.1. /8/ Если функция х & С} реализует базу Хта,ч\, то почти всюду

г(г: г0) ^ хЦ : ¿0, х0) ^ у{Ь: ¿о, г/о), > к, г0 ^ х0 < у0. (С)

Следствие 0.1.1. Существуют такие базы данных, для которых граница интегральной воронки цсликол1 содержит все значения а;'*', г = 1 , п при некотором к, то есть одна из интегральных кривых лежит на границе интегральной воронки.

Далее раесматр/шасчот поиыП ссгмспт: [7], Т2], Гг = XI — 7о, он называется управляемым участком. На этом участке процесс регулируется некоторыми управляющими параметрами пз класса допустимых управлений К, который состоит пз кусочно-непрерывных квазнмонотонно неубывающих функций и :

и : [Го, +Т] х Б —>■ Е",

нрнчем при Т0 ^ I ^ Т\, и(Ь,х) = х.

На управляемом участке рассматривается управляемое дифференциальное включение

^е/^амО, (7)

которое на /о переходит в (5). Тогда уравнения сравнения для дифференциального включения (7)

^ = \1(1,у,и), (8)

dz

— = i4(t,z,u), (9)

где функции, задающие границы воронкн определены следующим образом: Ai(i,î/,u) = Ai(î,m), /ti(t,z,u) = n(t,u), To < t ^ Ti + T. Уравнения сравнения (8) - (9) дифференциального включения (7) получены заменами

х —> u(t, х), y->u(t,y), z —> u(t, z)

Изменяя управляющие параметры, можно добиться нужного поведения решений уравнений сравнения. Управляющие параметры выбираются таким

1\+т

образом, чтобы функционал качества J =

/o(s, y{s), u(s))ds принимал

г,

свое экстремальное значение. Согласно [8|, справедлива следующая теорема:

Теорема 0.2. ¡8/Если z(Tx+T : t0lxa,u) < xi si y(T\+T,t[hx0,u) при некотором и € К, то существует програлшное движение x(t: ¿о, а.'о, и) такое, что х(Т\ 4- Т : tQ,xo,u) = х\.

Следствие 0.2.1. Пусть <! = T\,t2 = Т\ + Т. Тогда для базы данных Xt0,Ti сечение A(t2,p) является компактным. Кроме того, справедливо следующее неравенство: diamA{t\,p) < diarnA(t2,p), где diamA = max ||oi — аг||

Из этой теоремы следует, что решения уравнений сравнения (8), (9) дают оценки для решения x(t : to,x0,u), Tq ^ t < Т\ + Т. Следовательно, методы управляемости для этих уравнений, когда и € К, могут быть применены для анализа программных движений. Поэтому пару (х, и) будем называть оптимальным процессом, где х = x{t, и) - оптимальное программное движение, и — оптимальное управление. На практике это дает метод, позволяющий

строить управляемые прогнозы для процессов по известным статистическим данным.

Определение 0.4. Пусть z = z(t) и у = y(t) абсолютпо-иенрерывныс функции определенные на сегменте [Ti,Ti +Т]. Базу данных ^l'uTi+T, определенную на сегменте [Ti,Ti 4-Т] и поро'ждениую функциями z = z(t) и у = y(t) с начальными данными у* = у{Т\) и z* = z(T\) будем называть прогнозом поведения процесса, заданного статистической базой данных Xt0,Tv

Определение 0.5. Если в определении (0.4) абсолютно непрерывные функции z = z(t) у = y(t) являются решениями управляемого дифференциального включения (7), то базу данных Хтитг будем называть оптпи-

' 'J\+T

мальтлм прогнозом с функционалом качества J —

fo{s,y{s),u(s))ds.

г,

Согласно теореме Важсвского [10], управляя решениями уравнений сравнения, удастся удержать исследуемую вектор-функцию в нужном интервале значений. В такую схему укладываются многие реальные процессы. В этой главе также приводятся модельные примеры одномерных баз данных, для которых решения дифференциальных включений лежат на верхней, либо на нижней границах их интегральных воронок.

Собственные результаты первой главы и постановка задачи опубликованы в работе [А6[.

Во второй главе описана алгоритмическая реализация программного пакета (пакет Cone) для построения прогноза (интегральной воронки дифференциального включения) динамических процессов по статистическим данным. Пакет реализует математическую обработку статистических данных по модели, описанной в главе 1. Описываются формат и тин входных данных,

ограничения на использование, приводится XSD-схема для описания формата данных, пригодных для обработки в пакете Соне. Результат обработки данных может быть представлен в графическом и табличном виде. Соне создан и дорабатывается на языке С У/ в среде Visual Studio 2008 для использования на платформе .net framework. Использование именно этой платформы позволяет относительно легко подключать сторонние библиотеки, реализующие численные методы, алгоритмы, визуализацию результатов. Возможности платформы позволяют выводить результаты работы в виде, пригодном для использования в других программных продуктах, например, для дальнейшей обработки в McitLab или для подготовки к публикации в Ш^Х. Пакет Cone состоит из трех модулей:

1. Модуль ввода исходных данных и настроек для построения решения. Исходная статистическая информация - база данных Xr0;j\, заданная на сегменте /о, должна быть представлена в виде XML-файла или таблицы MS Exccl. Выбор формата XML обусловлен тем, что практически все современные СУБД или электронные таблицы позволяют сохранять информацию в этом формате. Кроме того, в пакете предусмотрена возможность вносить статистические данные «вручную» в соответствующую форму приложения. После загрузки данных в приложение выполняется их проверка па корректность и предварительная обработка.

2. Модуль построения решения. Здесь реализована основная задача программного пакета - построение оптимального прогноза (0.5). Сначала производится вычисление разделенных разностей и поиск минимальных и максимальных среди них. Затем с использованием полученных разделенных разностей строятся уравнения сравнения для базы данных:

/tj(ii-i,z(i;-i)) < < Xjiti-u^ti-x)). (10)

После этого осуществляется поиск решений для уравнений сравнений. При этом реализована возможность использования одного из двух методов:

• «Метод ломаных.» Предполагается, что вектор-функции А и ц являются кусочно-постоянными на соответствующих разбиениях сетки. В этом случае па компакте [То, Т\] значения функций А и /1 в узлах сетки 5( определяются следующим образом:

тах±,-(0 = Т0 + (г - < I < Т0 + г^^,

3 тп т

= Ь%, То + (г - ^ 1 ^ Т{) + г^Д тогда

' тп тп

уравнения сравнспня для базы данных Хт0,ъ имеет следующий вид:

О'» ;(') т . /• ^ . ^ т , .Г)—То . ^-

77- = к)т, То + (г - 1)-^ * < То + г-. г = 1,т ,

сИ 3 тп т

л;) ™ , 1\Т\—То ,Т\ — Тц . --

—= «•„',, Т0 + (г - 1)-^ г < Т0 + г-, г = 1 ,тп .

см 3 т тп

В этом случае решения для уравнений сравнения (верхняя и нижняя границы конуса) - ломаные, составленные из отрезков прямых

У3гп = к^ + С« То + (г - < * ^ То + Д^Д

3 тп тп

= ф + Т° + (< - < ^ Го +

' т тп

Коэффициенты на каждом участке разбиения сетки определяются из начальных данных.

• «Нелинейная аппроксимация.» Используется в том случае, если А и д не являются кусочно-постоянными на соответствующих разбиениях сетки, а выбираются другим способом. В этом случае для построения конуса возможных решений, необходимо решать урав-

нения сравнения. Отметим, что в данном случае используется подключение известных библиотек, реализующих численные методы.

Построение решений на управляемом участке можно производить с

функционалом качества и без пего. Функционал качества накладывает

серьезные ограничения на численные методы решения. В пакете Соне

П

для функционалов вида 3 = ^ /о(», где /ц - непрерывная

г,

функция, попользован стандартный подход: функционал качества заменяется на сетке интегральной суммой

£ = ¿/0 (пМ^+^Щ^- (П) ¿=1

Экстремум функционала ищется стандартными средствами анализа. Задача сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений, решение которой найти различными численными методами.

3. Модуль вывода результатов. После работы модуля построения решения, полученные результаты становятся доступны пользователю. Вывод результата осуществляется в отдельное окно: в виде графиков границ интегральной воронки дифференциального включения на неуправляемом н управляемом участках:

Прогноз дастся в виде базы данных, содержащей значения верхней и нижней границы этой воронки. Найденные управления также отображается в виде таблицы значений функции в узлах сетки. Полученные результаты можно сохранить во внешнем файле, что делает их доступными для использования другими приложениями. В случае многомерной статистической базы данных при выводе результатов в графическом виде, решения отображаются но каждой координате в отдельном окне.

Рис. 1. Конус возможных решений.

Результаты второй главы опубликованы в работе [А1].

В третьей главе метод построения интегральной воронки дифференциального включения по известным статистическим данным применяется к исследованию механических систем определенного тина. Во-первых, предполагается, что система материальных точек осуществляет движение «близкое» к периодическому - это должно обеснечнть «сезонность». Во-вторых, через определенные промежутки времени снимаются показания приборов, фиксируя вектор состояний ¡г,- во время Таким образом может быть построен временной ряд па «сезоне» Т. Отметим, что на «сезоне» (промежутке длины Т) в случае движения механической системы можно получить временной ряд, фиксируя состояния системы Xi в моменты времени и с помощью нескольких приборов, вообще говоря, различной точности. К полученному временному ряду на промежутке [ТЬ, ] применяется вся теория, изложенная в первой главе. На промежутке [То, Тх] строится дифференциальное включение, а также его интегральная воронка . На отрезке [Т],Т\ + Т] построено управляемое дифференциальное включение. Функционал качества будет иметь следу-

ющнй вид:

Ъ

I — J L(x,x,t)dt —> min, г,

Поэтому управления щ представляет собой значение скорости, которое нужно придать системе на отрезке [t<_i,t¿], чтобы в точке Т2 достичь наперед заданного значения. При этом, в соответствии с принципом наименьшего действия, выбранный в данном случае функционал качества позволяет найти такие управления, чтобы энергия, затраченная на это изменение, была минимальной. По аналогии с рассмотренным в этой главе примером предполагается, что использование этого функционала можно распространить на исследование систем, которые не являются механическими. Все вычисления проводятся с помощью пакета программ Cone.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [Al, А6].

В четвертой главе рассматриваются приложения изложенной теории к исследованию социальных процессов [All], В качестве модельного примера выступает состояние безработицы. Проблема безработицы является достаточно сложной и актуальной не только для России, но н для всего мира. Социологи и экономисты решают се с помощью различных математических методов (в основном, методов математической статистики). Для изучения безработицы предлагаются различные модели, основанные, как правило, па вероятностных методах и применении нейронных сетей. В России явление безработицы представляет особый интерес для исследования, так как не подчиняется многим тенденциям, характерным для других стран, тем более, что предлагаемые модели не учитывают возможных изменений ее состояния. Основываясь на статистической базе данных, которая отображает количество безработного населения в России по месяцам за последние несколько лет, с помощью метода математического моделирования процессов, изложенного в первой главе, строится интегральная воронка возможных решений на

неуправляемом участке н составляется управляемый прогноз состояния безработицы в России.

-2000

0123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 23 24 25

Рис. 2. Конус возможных решений па управляемом участке дли динамики безработицы в России.

Управления показывают сколько необходимо создать рабочих мест в каждом месяце следующего года, чтобы к концу года количество безработных не превышало наперед заданного числа. Управления выбираются таким образом, чтобы значение функционала качества являлось минимальным, т.е. задача по понижению уровня безработицы решается с минимальными затратами. Применение пакета Cone дает результат в виде конуса возможных ре-шсиий, который изображен на рисунке 2 ([0; 12] — неуправляемый участок, [12; 24] управляемый).

В заключении говорится о возможных областях применения результатов. Развиваемый в работе метод позволяет моделировать поведение различных управляемых процессов и его можно применить при прогнозировании природных явлений, социально-экономических и демографических процессов.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

[AI] O.E. Каледин. Программная реализация одной динамической модели, построенной по статистическим данным // Известия высших учебных заведений. Поволэ/сский регион. Физико-математические, науки. -2010. № 1(13). С. 14 - 17.

[Ä2j O.E. Каледин, JI.A. Сухарев. Анализ поведения механических систем на основе известных статистических данных // Вестник Самарского государственного технического университета. 2010. № 5. - С. 114 - 121.

Публикации в других изданиях

[AI] O.E. Каледин, Л.А. Сухарев. Анализ поведения одной механической системы на основе статистических данных // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с между!народным участием. Ч. 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2009. С. 59 - CG.

[А2] O.E. Каледин. Математическая модель управления уровнем безработицы // Аналитические и численные методы моделирования естественно научных и социальных проблем: сборник статей III Международной научно-технической конференции. Пенза: приволжский дом знаний, 2008. - С. 122 125.

[A3] O.E. Каледин. Моделирование днпампки безработицы // Материалы XIII научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов.

Секция №78 - Прикладная математика и информатика. - -Саранск: СВ-МО, 2008. С. 20 - 31.

[А4| O.E. Каледин. Математическая модель задачи управления запасами // Аналитические и численные методы моделирования естественно научных и социальных проблем: сборник статей III Международной научно-технической конференции. — Пенза: приволжский дом знаний, 2009. — С. 155 158.

[А5| O.E. Каледин. Математическая модель управления уровнем безработицы // Материалы региональной научно-практической конференции «Научный потенциал молодежи - будущему Мордовии». Секция №77 - Прикладная математика и информатика. - Саранск: СВМО, 2009. — С. 12 - 15.

[AG] O.E. Каледин. Моделирование поведения механических систем па основе статистических данных // Труди Средневолжского математического общества. - 2009. - Т. И, № 1. - С. 122 - 128.

[А7] O.E. Каледин, Л.А. Сухарев. Программный пакет Сопе. Структура и реализация // Журнал Средневолжского математического общества. - 2009. - Т. И, № 2.-С. 84 - 90.

[А8] Л.А. Сухарев O.E. Каледин. Математическая модель динамики безработицы // Труды Средневолэюского математического общества. — 2008. - Т. 10, № 2. -- С. 122 - 128.

[А9] O.E. Каледин. Пакет программ для построения управляемых прогнозов на основе теории дифференциальных включений // Математическое моделирование н краевые задачи: Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч. 4: Информацион-

иые технологии в математическом моделировании. — Самара: СамГТУ, 2010. С. 84 - 87.

[AlOj O.E. Каледин, Л.А. Сухарев. О построении конуса возможных решений для базы данных // Журнал Средневолжского математического общества. - 2010. - Т. 12, № 2. - С. Gl ОС.

[All] O.E. Каледин, Т.Ф. Мамедова. Математическое моделирование социально-экономических процессов // Препринт №115. - Саранск: СВМО, 2010.

Цитированная литература

[1] Dernt К. Okscndal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — Berlin: Springer, 2003.

[2] A. H. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики В 2-х т. - М.: ФАЗИС, 1998.

[3] А. И. Орлов. Устойчивость в социально-экономических моделях.-М.: Наука, 1979.

[4] В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев. Анализ временных рядов и прогнозирование. — Москва: Финансы и статистика, 2001.

[5] В. И. Арнольд. Теория катастроф. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

[G] Г. Г. Малинецкий, С. П. Курдюмов. Нелинейная динамика и проблемы прогнозирования // Вестник РАН. - 2001. -- Т. 71, № 3. - С. 210 232.

[7| В.И. Благодатеких, А.Ф. Филиппов. Дифференциальные включения н оптимальное управление // Труды, матель. ин-та им. Стеклова,— 1985. - Т. 1G9. - С. 194 - 252.

[8] Е.В. Воскресенский. Оптимальные программные движения управляемых дифференциальных включений // Труды Срсдневолэ/сского математического общества. - 2007. - Т. 9, № 1. С. 11 17.

(9) А. P. Levich. Variational theorems and algocoenosec functioning prince-pies // Ecological Modelling. - no. 2-3. Pp. 207 - 227.

[10] Я. Pyui, П. А бете, M. Лалуа. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

Подписано в печать 01.02.11. Объем 1,25 п. л. Тираж 110 экз. Заказ № 175. Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24

Введение

Глава 1. Построение динамической модели по известным статистическим данным.

1.1. Дифференциальные включения.

1.2. Построение конуса возможных решений по известным статистическим данным.

1.3. Конус возможных решений на управляемом участке.

1.4. Прогноз развития процесса с функционалом качества.

Глава 2. Алгоритмическая реализация математических моделей на основе теории дифференциальных включений.

2.1. Выбор средств для реализации математической модели.

2.2. Схема работы пакета Cone. 2.3. Визуализация результатов.

Глава 3. Исследование поведения механических систем.

3.1. Механические системы. Основные определения.

3.2. Построение конуса возможных решений для механических систем.

3.3. Управляемый конус возможных решений с заданным функционалом качества.

Глава 4. Математическое моделирование социально-экономических процессов.

4.1. Статистические модели в социологии.

4.2. Динамические модели в социологии.

4.3. Математическое управление динамикой безработицы.

Моделирование является одним из основных методов познания мира: на идее моделирования, по существу, базируется любое научное исследование

- как теоретическое, так и экспериментальное. Математическое моделирование - это процесс, результаты которого используются во всех сферах жизни человека, от политики государств, опирающейся на математические модели экономики и стратегической стабильности, до медицины, осуществляющей компьютерное проектирование новых лекарственных средств.

В сфере деятельности, связанной с математическим моделированием, всё большую роль играют построение и -анализ математических моделей нелинейных явлений. Здесь находит применение новая технология научных исследований - вычислительный эксперимент. Он включает в себя построение и исследование математических моделей и связан с использованием больших серий расчетов на ЭВМ. Он опирается также на использование классических методов математики и теоретической физики, теории алгоритмов, на разработку новых подходов, на создание и применение адекватных программных средств. Новую технологию научных исследований - вычислительный эксперимент - наглядно можно представить в виде триады: математическая модель

- алгоритм - программа [1, 2]. В настоящее время ключевым звеном, определяющим эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели.

Под математической моделью понимают описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Формальная математическая конструкция становится моделью после «наполнения» ее «физическим» содержанием, указанием связи символов с характеристиками объекта. Поэтому при моделировании очень важно выбрать математический аппарат, наиболее соответствующий целям моделирования, и структуру формул, наиболее приспособленную к упомянутому «наполнению». Этот выбор делается на начальном этапе моделирования при исходном рассмотрении объекта или информации о нем и определяется целями моделирования. Так, если требуется однозначный прогноз и имеется возможность точного задания величин, характеризующих состояние объекта, конструируют динамические модели. Для этого обычно используют аппарат дифференциальных уравнений и однозначные отображения. Если от требования точного описания объекта отказываются и объявляют наблюдаемые процессы случайными (непредсказуемыми), строят статистические (вероятностные) модели. В классической постановке задач применение аппарата статистики и теории вероятностей возможно, если по условиям задачи достаточно указать вероятность того или иного из возможных состояний системы, или, если устраивает приближенное описание состояния системы с помощью усредненных величин. Более того, в ряде случаев динамическое описание с помощью дифференциальных уравнений даже не представляется возможным из-за сложности моделируемой системы и/или ее поведения. Следует добавить, что хаотические решения простых (малоразмерных) нелинейных динамических систем могут представлять собой весьма нерегулярные, беспорядочные зависимости от времени, так что для их описания тоже весьма уместны статистические характеристики. С другой стороны, для описания непредсказуемых однозначно явлений в системах с малыми шумами используют стохастические дифференциальные уравнения (с малыми случайными добавками). Эти представители вероятностных моделей в некотором смысле находятся на стыке с динамическими и рассмотрены в классических работах Б. Оксендаля [3], Р. Кашьяпа [4], George Adomian [5], А. Н. Ширяева [6] и других авторов.

В работах А. И. Орлова [7] и В. Н. Афанасьева [8] рассматривается статистическое прогнозирование процессов эволюции: определение зависимостей величин, характеризующих объект, от времени с целью прогноза их дальнейшего поведения. Для этого строятся эмпирические модели, которые конструируются непосредственно из экспериментальных данных, представленных в виде временных рядов (последовательностей чисел).

Впервые задача построения модели по временному ряду была поставлена в рамках статистики в связи с проблемой прогноза. На самом деле естественным представляется следующий вопрос: если известно поведение объекта до настоящего момента времени, то возможно ли предсказать его будущее, и насколько далеко? Сначала задача прогноза наблюдаемого процесса формулировалась как одна из наиболее распространенных задач статистического анализа и сводилась, в основном, к изучению связи между переменными. До 1920-х гг. она решалась методом экстраполяции наблюдаемой временной зависимости, затем появились и получили развитие другие методы, в которых авторы, главным образом, ограничивались линейными приближениями [9-14].

В последнее время активно развивается теория прогнозирования, основанная на нелинейной динамике. Она изложена в работах многочисленных авторов, среди которых выделим Г. Г. Малинецкого, С. П. Курдюмова [15], А. Ю. Лоскутова [16, 17], В.И. Арнольда [18]. Строгое математическое обоснование представлено в работах А. Ф. Филиппова, В. И. Благодатских [19], А.И. Панасюка [20], Е.В. Воскресенского [21] и других авторов. В области научных исследований, связанных с прогнозом, в центре внимания находятся описание и предсказание редких катастрофических событий, построение таких прогнозов, которые охватывали бы все возможные развития событий исследуемого явления. Возможности, которые дают нам сегодня информационные технологии, позволяют обратиться к анализу и прогнозу сложных систем учитывая именно все возможные варианты развития событий. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие, совершенно разные по сущности явления, развиваются по одним и тем же законам. Так, приведенные в работе [15] исследования роста фондового рынка и тектонического разлома, показывают, что они развиваются по одному и тому же закону. В этой же работе была предложена модель развития высшей школы. Таким образом, инструменты и методы нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов. Они особенно полезны при прогнозировании поведения социально-технологических систем, для которых пока не известны количественные законы, определяющие их динамику.

Классические варианты построения прогноза и анализа демографии и социальных систем широко представлены в литературе, например в монографии В.П. Тихомирова [22]. В работах Н'. Н. Моисеева [23], Ю. С. Куснера, И. Г. Царева [24], А.И. Москаленко [25] рассматривается изучение принципов управления экономическими системами. С использованием таких прогнозов открываются новые возможности в области управления прогнозируемыми системами, отличные от построенных вероятностными методами и методами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Развиваемый в настоящей работе метод исследования различных процессов привлекает аппарат теории дифференциальных включений и требует алгоритмической разработки и программной реализации. Для социальных систем компьютерные технологии могут служить своеобразным барометром: они «сворачивают» имеющуюся информацию в несколько показателей, которые помогают принять решение. В основу этих подходов легли методы, апробированные при прогнозе землетрясений [26]. При неизвестных уравнениях, решая которые можно прогнозировать катастрофу, однако имеется огромный массив данных, используя которые можно «научить» прогнозировать соответствующие компьютерные системы [27]. Работа над применением этих подходов в социологии ведется С. П. Кузнецовым и его коллегами из Международного института математической геофизики и теории прогноза землетрясений РАН, а также С. А. Кащенко [28] и исследователями из Ярославского государственного университета.

Для описания многих важных объектов у нас нет соответствующих уравнений, а если они и есть, то определение коэффициентов и настройка модели сами по себе представляют исключительно сложную задачу. Недостатком алгоритмов прогноза для социально-экономических систем и задач по управлению риском являются данные. Для того чтобы «научить» соответствующие компьютерные системы, нужно иметь длинные ряды достоверных и достаточно точных данных, характеризующих различные стороны изучаемого объекта. Очевидно, что восполнив этот пробел, можно повысить качество прогноза.

Численные методы решения экстремальных задач широко представлены в литературе [29-31]. Решение различных задач оптимального управления е требует создания специализированные пакеты прикладных программ. Недостатком существующего программного обеспечения является необходимость дополнительного программирования. Например, в Институте динамики систем и теории управления СО РАН создан и регулярно дорабатывается пакет прикладных программ КОНУС [32]. Использование данного пакета позволяет решать задачу оптимального управления и строить прогноз развития динамической модели. Однако, его применение требует от пользователя специальных навыков и заполнения соответствующим образом файла входных данных.

При построении управляемых прогнозов в нелинейной динамике возникает необходимость решать задачи оптимального управления, проводить объемные и рутинные вычисления. Математический аппарат теории оптимального управления для решения разного класса задач развит в работах В. И. Зубова и его учеников [33, 34], J1. С. Понтрягина [35], Н.Н.Красовского [36, 37], В.М. Алексеева, В.М. Тихомирова, C.B. Фомина, В.В. Александрова, В.Г. Болтянского [38, 39], Камачкина [40], А.П.Жабко [41]. Особый вклад в исследование данного математического аппарата был внесен школой Е. В. Воскресенского [21, 42-45]. Именно его идеи развиваются в этой работе.

В настоящей работе, в отличие от вероятностных методов, предлагается исследовать статистические данные как «показания» динамического процесса, фиксированные в определенные моменты времени. Это неуправляемый участок; на нем имеется статистическая база данных, которую мы изменить не можем. Однако, в динамической модели, начиная с определенного момента времени, процесс можно рассматривать как управляемый - это будущее. Управляемость в работе рассматривается с качеством в виде функционала, который пропорционален затратам по переводу точки за конечный промежуток времени. Такой подход к прогнозированию динамических процессов развивается в работах Е.В. Воскресенского и его учеников [21, 44, 45]. Под прогнозом здесь подразумевается база данных, содержащая максимальные и минимальные значения измеряемых величин в будущем промежутке времени.

Актуальность работы определена необходимостью прогнозирования и программирования разного рода процессов по имеющимся статистическим данным. Эти процессы, как правило, исследуются вероятностными методами, с помощью построения статистических или динамических моделей. Каждый из этих типов моделей имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-либо допущений и упрощений. Однако результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. И, главное, аналитические модели более приспособлены для поиска оптимальных решений. Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, т.е. не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (теоретически - неограниченно большое) число факторов. Но и у них есть свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное - крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать путем догадок и проб. Классические подходы к построению статистических моделей рассмотрены в работах Б. Оксендаля [3], А. Н. Ширяева [6] и многих других авторов. Довольно много работ посвящено изучению процессов через построение статистических моделей. Так, например, в работах А. И. Орлова [7] и В. Н. Афанасьева [8] рассматривается статистическое прогнозирование процессов эволюции. Для этого строятся эмпирические модели которые конструируются непосредственно из экспериментальных данных, представленных в виде временных рядов. В последнее время активно развивается теория прогнозирования различных явлений, основанная на нелинейной динамике. Она изложена в работах В.И. Арнольда [18], С.П. Крудюмова, Г.Г. Малинецкого [15] и многих других авторов. Строгое математическое обоснование подхода к обработке статистических данных, базирующегося на понятии дифференциального включения, представлено в работах А. Ф. Филиппова, В. И. Благодатских [19], Е. В. Воскресенского [44]. Если рассматривать математические модели явлений как динамические системы, то можно заметить, что многие, совершенно разные по сущности явления, развиваются по одним и тем же законам. Таким образом инструменты и модели нелинейной динамики пригодны для описания различных явлений и процессов. Поэтому необходима разработка методов прогнозирования, которые могли бы учитывать большое количество факторов и при этом позволяли строить управляемые прогнозы.

В качестве основного аппарата исследования в настоящей работе использована математическая теория управления динамическими процессами, которые описываются дифференциальными включениями. В настоящей работе развивается метод, предложенный Е. В. Воскресенским в работе [44]. Этот метод является универсальным, поскольку учитывает все значения в статистической базе данных и может быть применен к процессам различной природы. Эта его особенность чрезвычайно важна, так как существующие на сегодняшний день социальные исследования (в экономике, демографии) при прогнозировании не учитывают скачкообразные изменения статистических данных и, пренебрегая ими, искажают картину [46]. Стоит отметить, что основным недостатком предлагаемого метода является слишком «широкий» прогноз, то есть большой скачок между наименьшими и наибольшими значениями измеряемых величин. Во многих задачах требуется знать лишь поведение верхней или нижней границы интегральной воронки (либо некоторых компонент), либо повлиять только на одну из них в будущем. В работе приводятся базы данных, для которых построены интегральные воронки возможных решений, а сами решения лежат на их границах. В этом видится преимущество метода, основанного на построении дифференциального включения, перед статистическим прогнозированием: метод учитывает «крайние» — маловероятные кривые развития процессов. Отметим, что решения, полученные с помощью динамических методов (обыкновенных дифференциальных уравнений), методов математической статистики, лежат внутри конуса возможных решений. Конус возможных решений описывает всевозможные траектории, в том числе и маловероятные. Поэтому предлагаемые модели могут быть полезны при исследовании .социальных проблем, оценке и прогнозировании состояния некоторых процессов биосферы.

Цель диссертационной работы состоит в построении математической модели, которая позволяла бы на основе статистических данных определять динамику исследуемого процесса. Статистические данные представляют собой некоторую базу данных за известный промежуток времени. Необходимо разработать алгоритм, реализующий модель в виде дифференциального включения, с помощью которого можно строить управляемый прогноз с различными функционалами качества и без них. Разработанный алгоритм должен быть реализован в виде комплекса программ, позволяющего обрабатывать статистические данные и строить на их основе управляемый прогноз. Необходимо разработать методы прогнозирования социально-экономических процессов с различными функционалами качества в виде базы данных ограничений компонент, описывающих исследуемый процесс.

Научная новизна.

Статистические данные, представляющие собой результаты наблюдений за вектором величин, характеризующих процесс, в фиксированные моменты времени задают базу данных (временной ряд). В предположении, что этот временной ряд является рядом значений некоторой абсолютно непрерывной вектор-функции х = х(1) в моменты времени строится дифференциальное включение. Функции х = х(Ь) являются его решениями. Учитывая то, что статистические данные имеют сезонный характер, прогноз строится на очередной сезон (или несколько сезонов) в предположении, что сезонность сохранится. Начиная с определенного момента времени, можно ввести управление. В работе исследуются временные ряды и строятся прогнозы как с управлением, так и без него.

Разработан и реализован в виде программного продукта метод обработки статистических данных и построения прогноза в виде программного движения управляемого процесса. Все результаты являются новыми.

Научная и практическая значимость.

Описанный в диссертации метод позволяет заменить статистическое исследование процесса построением модели, основанной на дифференциальных включениях. Здесь следует отметить, что все возможные решения дифференциального включения принадлежат интегральной воронке. Это дает право считать разработанный метод более адекватным, ибо он учитывает все возможные траектории поведения процесса.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• математическая модель процессов, задаваемых статистическими данными, основанная на построении интегральной воронки дифференциального включения;

• метод построения прогноза в виде интегральной воронки дифференциального включения при заданном функционале качества и без него;

• исследование математической модели безработицы;

• программное обеспечение Cone для построения конуса возможных решений и управляемых прогнозов;

• новый подход к обработке статистических данных в виде построения дифференциального включения на основе этих данных.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

• объединенных семинарах кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева и Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского (Саранск, 2006-2010);

• Шестая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009, 1-4 июня) [47];

• III Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008, 15-16 октября) [48];

• XIII научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов. Секция №78 — «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2008) [49]

• IV Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2009, 19-21 октября) [50];

• Региональная научно-практическая конференция «Научный потенциал молодежи - будущему Мордовии». Секция №77 - «Прикладная математика и информатика.» (Саранск, 2009) [51]

• IV Международная научная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2009, 1-12 августа) [52];

• VIII Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2008, 12-16 мая) [53, 54];

• Седьмая Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010, 3-6 июня) [55];

• IX научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых (Саранск, 2010, 1-3 июля) [56].

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, из них 2 (работы [57, 58]) в изданиях, рекомендованных ВАК к публикации материалов диссертаций.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 127 листов. Список литературы содержит 105 наименований.

Основные результаты исследования:

• построена математическая модель процессов, задаваемых статистическими данными, основанная на построении интегральной воронки дифференциального включения;

• исследована возможность применения математической модели в социологии: предложен метод построения прогноза в виде интегральной воронки дифференциального включения при заданной функционале качества и без него;

• разработана математическая модель для механических систем, движение которых определяется дифференциальным включением: построено оптимальное управление границами конуса возможных решений;

• разработано программное обеспечение для построения конуса возможных решений в виде прикладного программного обеспечения Cone.

Возможные направления дальнейшего исследования: при построении дифференциального включения на управляемом участке можно строить его таким образом, чтобы его решения были устойчивыми(слабо устойчивыми) по определению (1.1.3)((1.1.4)) Среди нерешенных математических задач в данной работе остался вопрос о построении оптимальных уравнений сравнения. Учитывая, что реализация данной математической модели на практике возможна только на ЭВМ, здесь приемлемого результата можно добиться методом перебора. Кроме того, не исключено, что если задача построения оптимальных уравнений сравнения будет решена математически, то для практики этот алгоритм будет требовать слишком большого времени решения.

Заключение

1. Г. Г. Малинецкий. Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент.— М.: Книжный дом «ЛИБРО-КОМ», 2009.

2. А. А. Самарский, А. П. Михайлов. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры. — М:. ФИЗМАТЛИТ, 2005.

3. Bernt К. Oksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — Berlin: Springer, 2003.

4. P. Л. Кашъяп, A. P. Pao. Построение динамических математических моделей по экспериментальным данным.— М:. Наука, 1983.

5. George Adomian. Nonlinear stochastic operator equations. — Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.

6. A. H. Ширяев. Основы стохастической финансовой математики В 2-х т.-М.: ФАЗИС, 1998.

7. А. И. Орлов. Устойчивость в социально-экономических моделях.— М.: Наука, 1979.

8. В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев. Анализ временных рядов и прогнозирование.— Москва: Финансы и статистика, 2001.

9. М. Федосеев. Экономико-математические методы и прикладные модели. -М.: ЮНИТИ, 1999.

10. G. U. Yule. On a method of investigating periodicities in disturbed series with special reference to wolfer's sunspot numbers // Phil. Trans.R.Soc.London A. — 1927. — Vol. 226. — Pp. 267 298.

11. Дж. Бокс, Т. Дженкинс. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. — М.: Мир, 1974.

12. Y. Liu, P. Cizeau, М. Meyer et al. Correlations in economic time series // Physica. 1997. — Vol. A245. — Pp. 437 - 440.

13. P. Turchin. Complex Population Dynamics. — Princeton University Press, 2003.

14. M. J. Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. — 1978. — Vol. 19.

15. P. P. Малинецкий, С. П. Курдюмов. Нелинейная динамика и проблемы прогнозирования // Вестник РАН. — 2001. Т. 71, № 3. - С. 210 - 232.

16. А.Н. Дерюгин, А.Ю. Лоскутов, В.М. Терешко. К проблеме стабилизации неустойчивого поведения неавтономных динамических систем // Теор. и матем, физика. — Vol. 104, по. 3. — Pp. 507 512.

17. A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko, К. A. Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. — Vol. 6, no. 4. — Pp. 725 735.

18. В.И. Арнольд. Теория катастроф. — M.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

19. В.И. Благодатских, А.Ф. Филиппов. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды, матем. ин-та им. Стеклова. — 1985. — Т. 169. — С. 194 252.

20. А.И. Панасюк. Качественная динамика множеств, определяемых дифференциальными включениями // Матем. заметки. — Vol. 45, по. 1, — Pp. 80 88.

21. E.B. Воскресенский. Локализация траекторий неуправляемых движений // Труды Средневолэюского математического общества. — 2007. — Т. 9, № 2.- С. 153 156.

22. Н. П. Тихомиров. Демография. Методы анализа и прогнозирования: Учебное пособие для вузов. — М:. «Экзамен», 2005.

23. H.H. Моисеев. Математические модели экономической науки. — М.: Знание, 1973.

24. Ю. С. Куснер, И. Г. Царев. Принципы движения экономической системы,- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

25. А.И. Москаленко. Динамические задачи оптимизации налоговой ставки // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения, Под ред. . Матросов, . Васильев, . Москаленко, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.- С. 218 246.

26. Н. М. Рыскин А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов. Нелинейные колебания.— М:. Издательсвто физико-математической литературы, 2002.

27. Г. Г. Малинецкий В. А. Владимиров, Ю. Л. Воробьев. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика.— М:. Наука, 2000.

28. С. А. Кащенко, В. В. Майоров. Модели волновой памяти.— М.: ЛИБ-РОКОМ, 2009.

29. А.Ф. Измаилов, М.В. Солодов. Численные методы оптимизации.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

30. Э. Хофер, Р. Лундерштедт. Численные методы оптимизации.— М:. Машиностроение, 1981.

31. А. И. Тятюшкин. Мультиметодные алгоритмы для численного решения задач оптимального управления // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения, Под ред. . Матросов, . Васильев, . Москаленко.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003,- С. 201 218.

32. А. И. Тятюшкин. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. — Новосибирск: Наука, 2006.

33. В.И. Зубов. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975.

34. В.И. Зубов. Динамика управляемых систем. — М.: Высшая школа, 1982.

35. Л.С.Понтрягин. Математическая теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1976.

36. H.H. Красовский. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968.

37. H.H. Красовский. Управление динамической системой.— М.: Наука, 1985.

38. В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, C.B. Фомин. Оптимальное управление. М: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

39. В.В. Александров, В.Г. Болтянский, С.С. Лемак et al. Оптимальное управление движением. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

40. A.M. Камачкин С.Е. Михеев В.В. Евстафьева. Модели колебаний в нелинейных системах. — Спб., 2004.

41. А.П. Жабко В.Л. Харитонов. Методы линейно алгебры в задачах управления.— Спб.: Издательство С.-Петерб. ун-та, 1993.

42. Е.В. Воскресенский. Методы сравнений в нелинейном анализе. — Саранск: Изд-во Сарат. ун-та. Саран, фил., 1990.

43. Е.В. Воскресенский. Асимптотические методы: теория и приложения. — Саранск: СВМО, 2000.

44. Е.В. Воскресенский. Оптимальные программные движения управляемых дифференциальных включений // Труды Средневолжского математического общества. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 11 17.

45. Е.В. Воскресенский. Анализ динамики управляемых демографических процессов // Труды Средневолжского математического общества.— 2006. —Т. 8, № 2.- С. 11 22.

46. А. P. Levich. Variational theorems and algocoenosec functioning prince-pies // Ecological Modelling. — no. 2-3. — Pp. 207 227.

47. O.E. Каледин. Моделирование динамики безработицы // Материалы XIII научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. Секция №78 Прикладная математика и информатика. — Саранск: СВМО, 2008, — С. 20 - 31.

48. O.E. Каледин. Моделирование поведения механических систем на основе статистических данных // Труды Средневолоюского математического общества. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 122 128.

49. O.E. Каледин, Л. А. Сухарев. Программный пакет Сопе. Структура и реализация // Журнал Средневолэюского математического общества. — 2009. — Т. 11, № 2. С. 84 - 90.

50. Л.А. Сухарев O.E. Каледин. Математическая модель динамики безработицы // Труды Средневолэюского математического общества. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 122 128.

51. O.E. Каледин, JI.А. Сухарев. О построении конуса возможных решений для базы данных // Журнал Средневолжского математического общества. 2010. — Т. 12, № 2. — С. 61 - 66.

52. O.E. Каледин. Программная реализация одной динамической модели, построенной по статистическим данным // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 2010. № 1(13). — С. 14 - 17.

53. O.E. Каледин, Л.А. Сухарев. Анализ поведения механических систем на основе известных статистических данных // Вестник Самарского государственного технического университета. — 2010. — № 5. — С. 114 121.

54. Н. Liu, J. Salerno; М. J. Young. Social Computing, Behavioral Modeling, and Prediction. — Springer, 2008.

55. Aghion P., P. Howitt. Growth and unemploymen // Review of Economic Studies. — 1994. — no. 61.

56. Caratheodore C. Vorlesungen über reelle Funktionen. 2. — Leipzig: Auflage, 1927.

57. A.X. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович. Устойчивость нелинейных систем с пеединственным состоянием равновесия.— М.: Наука, 1978.

58. В.М. Матросов, И.А. Финогенко. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением // Дифф. уравн. — Vol. 32, по. 5. — Pp. 606 614.

59. В.М. Матросов, И.А. Финогенко. К теории дифференциальныхуравнений, возникающих в динамике систем с трением // Дифф. уравн. — Vol. 32, по. 6. — Pp. 769 773.

60. D. Angeli, P. de Leenheer, E. D. Sontag. Chemical networks with inflows and outflows: A positive linear differential inclusions approach // Biotechnology Progress, — no. 25. — Pp. 632 642.

61. S. C. Zaremba. Sur les equations au paratingent // Bull, des Sci. Math. — 1936. — Vol. 60, no. 5. Pp. 139-160.

62. A. Marchaud. Sur les champs de demi-cones et les equations differentielles du premier ordre // Bull. Soc. Math. France. — 1934,— Vol. 62, no. 1.— Pp. 1-38.

63. А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями и дифференциальные включения // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения, Под ред. . . Треногин,. Филиппов, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — С. 265 - 288.

64. Kh. G. Guseinov, S. A. Duzce, О. Ozer. The Construction of Differential Inclusions with Proscribed Attainable Sets // Journal of Dynamical and Control Systems. — 2009. — Vol. 14.

65. А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестпик МГУ. Сер. мат., мех. — 1959.— № 2,— С. 25-32.

66. А. Ф. Филиппов. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений // Матем. заметки. — 1971. — Т. 10, № 3. — С. 307 313.

67. Е. Roxin. Stability in general control systems // Juorn. Dif. Equat. — 1965. Vol. 1, no. 2. — Pp. 115 - 150.

68. A. G. Ramm. Asymptotic Stability of Solutions to Abstract Differential Equations / / Journal of Abstract Differential Equations and Applications. — Vol. l.-Pp. 27-34.

69. J. L. Mancilla-Aguilar, R. Garcia, E. D. Sontag, Y. Wang. Uniform stability properties of switched systems with switchings governed by digraphs // Nonlinear Anal. — Vol. 63. — Pp. 472 490.

70. А. Ф. Филиппов. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями // Матем. заметки. — 1980.— Т. 27, № 2,— С. 255 266.

71. D. Angeli, В. Ingalls, Е. D. Sontag, Y. Wang. Uniform global asymptotic stability of differential inclusions // J. Dynam. Control Systems. — Vol. 10.- Pp. 391 412.

72. T. Yoshizawa. Stability theory by Liapounov's second method.— Tokyo.: Math. Soc. Japan, 1966.

73. B.B. Румянцев, А. С. Озиранер. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных, — М.: Наука, 1987.

74. Н. С. Бахвалов, Н. Г1. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы. — М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

75. Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости.—М.: Мир, 1980.

76. X. Fu. Controllability of neutral functional differential systems in abstract space // Appl. Math. Comput.— no. 141, — Pp. 281 296.

77. S. Guermah, S. Djennoune, M. Bettayeb. Controllability and Observabilityof Linear Discrete-Time Fractional-Order Systems // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. — Vol. 18. — Pp. 213 222.

78. Д.К. Егорова, И.В. Кузнецова. Анализ динамики промышленных выбросов вредных веществ // Труды Средневолжского математического общества. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 276 281.

79. Э. Троелсен. и платформа .NET. Библиотека программиста. — Спб: Питер, 2007.

80. J. Richter. Applied MS .NET Framework Programming. — Redmond: MS Press, 2002.86. http://www.codeproject.com. — The Code Project.

81. A. Mackey. Introducing .NET 4.0 With Visual Studio 2010. — Apress, 2010.88. http://blogs.msdn.com. — 2010. — Блоги разработчиков Microsoft.89. http://msdn.microsoft.com.— Ресурсы для разработчиков.

82. М. Мак-Дональд, М. Шпушта. Microsoft ASP.NET 3.5 с примерами на С# 2008 и Silverlight 2 для профессионалов, — М.: ООО "И.Д. Вильяме 2009.

83. Н. G. Lee, A. Arapostathis, S. I. Marcus. On the linearization of discrete time systems 11 Int. J. Control. — 1987. — no. 45. — Pp. 1103 1124.

84. E. M. Балдин. Компьютерная типография 1ЖЩХ. — Спб.: БХВ-Петер-бург, 2008.

85. И. А. Котельников, П. 3. Чеботаев. ЕТ^Хпо-русски. — Новосибирск: Сибирский хронограф, 2009.

86. В.И. Арнольд. Математические методы классической механики. — М.: УРСС, 2003.

87. Т. L. Saaty, J. М. Alexander. Thinking with models: Mathematical models in the Physical, Biological and Social Sciences.— N.Y.: Pergamon Press,1981.

88. J. Pickands. Statistical inference using extreme order statistics // Annals of Statistics. — no. 1.— Pp. 19 131.

89. T. Lux, M. Marchesi. Scalling and criticality in a stohastic multi-agent model of a financial market, // Nature. — Vol. 397. — Pp. 498 — 500.

90. E. Ю. Щетинин, А. С. Лапушкин. Статистические методы и математические модели оценивания финансовых рисков / / Математическое моделирование.— по. 5.— Pp. 40 — 54.

91. М. Basti. On asymptotic equivalence between two nonlinear parametric systems with a small parameter // J. Math. Anal, and Appl.— no. 1.— Pp. 65 79.

92. D. North. Structure and Change in Economic History.

93. J. H. Johnson. The logic of speculative discourse: time, prediction, and strategic planning // Environment and Planning B: Planning and Design. —1982. Vol. 9, no. 3. - Pp. 269-294.

94. M. Aoki. Optimal Control and System Theory in Dynamic Economic Analysis. — North Holland, 1976.

95. C.P. Моисеев. Взлет и падение монетаризма // Вопросы экономики.— по. 9. — Pp. 92 104.

96. М. Интриллигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: Прогресс, 1975.

97. В.Н. Тутубалин. Границы применимости (вероятностно-статистические методы и их возможности). — М.: Знание, 1977.