автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА в г Таганроге

На правах рукодис].

Левченко Марина Николаевна Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных: а1 регатов

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Таганрог-2008

003172253

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Технологического института Южного федерального университета в г Таганроге. Научный доктор физико-математических наук, профессор,

руководитель Сухинов Александр Иванович

(ТТИ ЮФУ, г Таганрог) Официальные доктор физико-математических наук, профессор, оппоненты Куповых Геннадий Владимирович

(ТТИ ЮФУ, г Таганрог), кандидат технических наук, профессор, Никифоров Александр Николаевич (ГОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ), г Новочеркасск) Ведущая Северо-Кавказский государственный технический

организация университет, г Ставрополь

Защита состоится июня 2008 г в 14 на заседании

диссертационного совета Д 212 259 03 в Технологическом институте Южного федерального университета в г Таганроге по адресу

347928, Ростовская оба, г Таганрог, пер Некрасовский, 44, ауд Д-406

С диссертацией можно ознакомился в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу г Ростов-на-Дону, >л Пушкинская, 148

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просим направлять по адресу

347928, Ростовская обл , г Таганрог, ГСП-17А, пер Некрасовский, 44 Автореферат разослан « » мая _2008 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 208 22 доктор технических наук, профессор

А Н Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы исследования

Повышение технико-экономических показателей котельных агреытов приводит к необходимости математического моделирования термически нагруженных конструкций, имеющих сложную геометрию и состоящих из материалов (металлов) с различными тепловыми свойствами Оребренные конструкции котельных агрегатов, подвергаются наиболее интенсивному тепловому воздействию и воспринимают тепловую энергию, выделяемую топливом в различных формах - в виде излучения в инфракрасном и видимом диапазонах, за счет кондуктивного и конвективного теплообмена Тепловая энергия, полученная элементами конструкций преобразуется в тепловую энергию рабочей среды, используемой далее в генераторных установках для выработки электрической энергии и утилизации остаточной тептовой энергии для бытовых нужд Дол!овечность и надежность котетьных агрегатов в значптечьной степени определяется распределением температуры в них В этих условиях численное моделирование является единственным падежным способом теоретического исследования термически нагруженных конструкций

Для численного решения многомерных задач математической физики широкое распространение получил метод расщепления (или дробных шагов) Начало его развитию в пятидесятых- шестидесятых годах XX века положили работы отечественных и зарубежных исследователей Для решения многомерных параболических и гиперботических уравнений в произвольных областях весьма плодотворным является метод суммарной аппроксимации предложенный академиком А А Самарским и развитый в работах Н Н Яненко, Г И Марчука, Д Г Гордезиани, А В Гулина, В Б Андреева, А Н Коновалова А Д Ляшко В Л Макарова, И В Фрязинова и других Построение экономичных аддитивных разностных схем стало возможным в результате замены многомерной дифференциальной задачи последовательностью дифференциальных задач меньшей размерности и перехода от понятия аппроксимации в классическом смысле к ботее общему понятию суммарной аппроксимации До работ А И Сухинова конструирование аддитивных схем подразумевало, что основным методом решения получающихся систем разностных уравнений явпяется один из вариантов прогонки Отсюда вытекала необходимость замены многомерной задачи цепочкой одномерных дифференциальных задач, каждая из которых аппроксимировалась

системой трехточечных разностных уравнении - локально-одномерной схемой (ЛОС) Однако, указанный переход приводит к тому, что наряду с погрешностью разностной аппроксимации появляется погрешность, обусловленная заменой многомерной дифференциальной задачи цепочкой одномерных задач Реальная точность у ЛОС оказывается существенно меньшей, чем у схем, аппроксимирующих многомерную дифференциальную задачу в обычном смысле, особенно в случае разрывных коэффициентов Поэтому актуальным является построение разностных схем, а также методов их решения, которые бы имели реальную точность, близкую к точности схем. аппроксимирующих задачу в обычном смысле и в то же время требовали количества арифметических операций, приходящегося на один узел сетки, не зависящего от общего числа узлов сетки (экономичные схемы), либо слабо зависящего от и\ количества

В ряде важных случаев которые будут перечислены далее, такими свойствами обладают локально-двумерные схемы (ЛДС), предложенные и исследованные А И Сучиновым, которые получаются при замене многомерной дифференциальной задачи цепочкой двумерных задач, с последующей их аппроксимацией в суммарном смысле Разработка так называемых быс!ры\ прямых методов решения Систем линейных алгебраических уравнений, являющихся разностными аппроксимациями краевых задач для уравнении эллиптического типа, особенно эффективных в случае двумерных задач и регулярных областей, в работах зарубежных исследователей Р Swartztrauber , R Hockney , D Young. R Agarval, а также А А Самарского, A H Коновалова E С Николаева, И E Капорина, Ю А Кузнецова, А Б Кучерова, и других, позволяет свести решение многомерных параболических уравнений к решению двумерных задач и перейти, тем самым, к использованию ЛДС В настоящей работе построены экономичные алгоритмы решения задач теплообмена в элементах термически нагруженных конструкций, имеющих неоднородности, в том числе разрывы в коэффициентах теплопроводности

Целью работы является построение схем расщепления - ЛДС применительно к оребренным конструкциям котельных агрегатов, алгоритмов их численной реализации с затратами арифметических операций в случае разделяющихся переменных и регулярных сеточных

обладающих лучшей точностью по сравнению с известными

областей а в общем случае с затратами

одномерными схемами расщепления в случае неоднородных, в том числе разрывных коэффициентов теплопроводности и построение комплекса программ для численного моделирования процессов теплообмена в оребренно-трубчатых конструкциях

Научная новизна работы состоит в следующем

1 Построены и исследованы локально-двумерные схемы растепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в областях со сложной геометрией и обладающие пучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях,

2 Построен усовершенствованный вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МПГМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ

3 Разрабокш комплекс программ пошоляющий проектировщикам (конструкторам) котельных агрегатов выполнять вычислительный эксперимент с реальными трубчато-оребренными конструкциями и их оптимизацию в зависимости от следующих факторов

-геометрии системы,

-параметров среды теплоносителя,

-параметров процесса теплообмена за счет инфракрасного изаучения факепа и конвективного теплообмена с гопочными газами

Теоретическая и практическая ценность результатов диссертационной работы состоит в том. что разработанный набор моделей и комплекс программ, их реализующий, могут быть применены для тепловых расчетов конструкций, имеющих сложную геометрию и содержащих неоднородности (соединение материалов с различными тепловыми свойствами, наличие дефектов в местах соединений, таких как раковины) что позволяет в значительной мере повысить эффективность проектно-конструкторской работы при проектировании сребренных конструкции - систем трубопроводов с уплотнительными элементами, обеспечивающими их герметичность

Апробация работы. Научные и практические результаты, полученные в диссертации, изложены в 7 статьях

Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих научно-практических конференциях

на VI Международной научно-практической конференции «Моделирование Теория, методы и средства » (г Новочеркасск, 2006г), на II Международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии в современном машиностроении» (г Пенза, 2006г),на Международной научно-технической конференции с<-Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (г Таганрог 2006г)

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения трех глав, заключения, списка использованных источников из 97 наименований Работа изложена на 120 страницах, содержит 16 рисунков и 6 таблиц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость работы, дается ее краткое содержание, и формулируются основные результаты, представленные к защите

Первая глава посвящена построению и исследованию схем расщепления для трехмерных уравнений параболического типа являющихся схемами переменных направлений, факторизованными схемами, а также и аддитивными схемами

В п 1 1-14 приводятся известные конструкции одномерных схем переменных направлений, а также аддитивных счем Показано, что в общем случае переменных коэффициентов входящих в уравнение теплопроводности, при расщеплении непрерывной многомерной (пространственно-трехмерной) задачи на цепочк) одномерных задач и ее дискретизацией наряду с погрешностью аппроксимации возникает дополнительная погрешность вызванная расщеплением оператора исходной задачи на последовательность одномерных операторов

В частности показано, что если взять задачу Коши для уравнения теплопроводности вида

К = К (4 К = К (4 К = (*>' )'

, X,, Х- ,0) — иа , х2, ), х — (л,,х2, х3), т] = 1,г/ Е Ну.и0 гй, го традиционная схема расщепления, символически представляемая

как

У ' -у

= А,

оау "+(1-<тв)У

а-1

+ (

х е сои а = 1, р, >'(х,0) = ;/0(х)

АаУ = (ааУ?Х >0<С1

имеет следующую оценку погрешности решения

|!у -Р,и'II < 1|V' -Р,у/Л + ||р, V/ ч -Р,и7(I

Г '' \\н, I!" '' ^И//,, I. Л Илу,,

где кроме «обычной» составляющей погрешности, обусловленной собственно разностной аппроксимацией - — появилась

составляющая, вызванная заменой исходной дифференциальной задачи последовательностью более «простых», в данном случае одномерных, дифференциальных задач

Показано, что если вместо традиционной цепочки одномерных задач взять цепочку, состоящую из двумерной задачи вида

Зу,

'(О _

д

дх,

(О

д1 дх,

ох,

+ -

д (, дх.

| /

(2)

ОХ-

2 /

/н <?</,_,+ г,7 = 12. ,70

и одномерной задачи

= 1,2. ,/0

5у(2) 5-г>(2)

с начальными данными

У(1)(*1 > Х2 > Х3 >0) - "О (Х1 ,Х2>Х3 )> У(1)(Х1' Х2 >Х3>(,)~ У(2)(Х1 >Х2>ХЪ>!/\

В п 15 рассмотрены двумерные схемы переменных направлений для р-мерных (р>3)уравнешш параболического типа в декартовых координатах

Заметим, что формальное обобщение схемы переменных направлений - схемы Писмена-Речфорда - на случай трех пространственных переменных приводит к неустойчивой схеме Построен абсолютно устойчивый двумерный аналог схемы Писмена-Речфорда для трехмерного уравнения теплопроводности вида

^ = Ьк + /{х,1).\е е (0,10\

о1

= щ(х),хеО0,

где

Ьи з Ди = + /_,, +Ц)и , Ьаи = дги!дх'а, а= 1, 2, 3,

С0 = {О < Хр < 1а,а = 1.2,3} - параллелепипед с размерами /Л и, 13,

Г - граница области О0 ,С0 = С0 и .Г

Будем предполагать что условия существования и единственности решения задачи выполнены и

иМе С2(Пм)ПС(ая), $га<1хи € С(п . )

где

щ(х) 6 с(с0),

//(х,()еС(Гх[0,+ю)),

= /4х'0) Г

Предполагается, что в области Стц построена равномерная пространственная сетка <нА с шагами Ь„-1,/А'а в направлении координатных направлений Охт а-1,2,3 соответственно Пусть у1, -множество граничных узлов, принадлежащих граням параллелепипеда, за исключением его ребер гон = <у, иг,

В работе построена абсолютно устойчивая двумерно-одномерная схема переменных направлений

г 2

и+1 _ п-1 г

У—= (л,+л2 )у"+1 2 + л3/+1+<р»,

г 2

хеа)н,п = 0Х ,п0,

у{х,0) = и0{х\хьсо,,

уп+ЦГ', в случае, если 13—0,1:,=Ыз, уп+|/2=/7, если 11=0, 1,=МЬ ь=0, где

Операторы Аа,а = 1,2,3 определяются на трехточечных шаблонах стандартным образом

Ку = >-„аЛ12 = л. + А2,Л = Л12 + А3

Построенная схема сходится в Н4 со скоростью + г2)

В п 16 рассмотрена смешанная задача Коши для уравнения теплопроводности с ¿»-мерным оператором (р>3) вида

а=1 СХа V СХа /

О < с^ ^ ка < = 1, ,р

Предполагается вначале, что О"0 = (0 < ха < 1а,а = 1, . р\ - р-мерный параллелепипед, а Г - его граница, О0 = и Г Аппроксимируем оператор 1а разностным оператором Ла , где

Введем разностные операторы

Ёа о

Аа,Аау= у. х ,

«=I

Rp = 'Яр

с% Aw+(l - Lfi j, J3 = 1, // -1,

^ = Л,-,(l - S2p,_hp{\ - d))+ cf kP j,

где p -[(/> +1)' -], символ означает наибольшее целое, tie

превосходящее число q, <5„/( - символ Кронекера, d - весовой параметр, О <d< 1, (Tfj, ,р - коэффициенты, которые определяются исходя из

требований устойчивости и точности

Вводится факторизованный оператор

В = £(Е + тЯр)

/ы

и разностную схему вида

У - V" ВУ ^ +Ay"=<ff, г

Устойчивость исследована в гильбертовом пространстве Н = £2/, сеточных функций, определенных на сетке гок, и обращающихся в 0 на границе со скалярным произведением М=5>(л Мл)/7, кр

Оператор-стабилизатор (регуляризагор) имеет вид

/7-1

где

I

а<р

- операторный многочлен, который содержит (К„)к, где к -показатель степени, 2<к<р'

Показано, чго соли область С/0 — параллелепипед, то КаК^К,Ка,\<а<(3<р'

и, следовательно

/Ы

и, для устойчивости, дос гаточно потребовать

Алгоритм определения сеточной функции у'"' = у может быть следующим Определяются вспомогательные функции \\>^,р=1, ,р' из решения серии задач

н'(0 = П^ + ^/^А , если х,=0, //, х2=0,12,

р=г

где

= > если 1=0> Ьг-1, х2у=0,12у, 7=2,3, ,р -1

Р=у+\

Наконец мы находим у по явной формуле

п+1 п , _

= у + ш, где IV = и'(р')

Каждое из равенств является уравнением с разделяющимися переменными и может быть решено одним из быстрых прямых методов (СК, РА, РАСII и т д) Суммарное число арифметических операций,

требуемое для реализации алгоритма, не превосходит 0\МР 1п Л7], где N = тахЬУд.}, Агя - число узлов сетки по координатному направлению

1<а<р

Охи Схема абсолютно устойчива и сходится со скоростью Очевидно, что для обеспечения устойчивости достаточно потребовать выполнения равенств Для четногор, р>4

о о о о

Лг/м А/ = Ау Лг/м,

\ipkr =кг\гр,р = \, ,~|-1,7=2/?+1, ,р В случае нечетного р, р>3, когда с1~0

О о о о

Л:/?-] Л/ = Лу Л2/3-1

кгркг =ЛгЛ2/1,/3=\, = ,Р

Когда с}фО ир - нечетное,р>3, требуется выполнение равенств

О О О О

АГ-2 Ар-1 = А/;-1 Ар-2

Возвращаясь к случаю р=3 для факторизованной схемы Тогда область Си может быть цилиндрическои

В п 1 7 построены аддитивные двумерно-одномерные схемы будет для уравнения теплопроводности при самых общих предположениях относительно коэффициентов и формы области Рассматривается задача

— = Ьи + [{хл\

л- = (хьх2,.. ,хр\хев, О < ? <

'О'

¿71 = ^Ь^и, Ь^а

р=1

.М

да

дХа

,Р = 1, ,Р

в произвопьной /з-мерной выпуклой области (р>2) С с границей Г, если заданы

иг = > О

н(х о) = и0 (х), V с и, и = С и Г,

где Г - граница области С, Ь - эпиптический оператор второго порядка

Для упрощения считаем, что Ь = Д - оператор Лапласа, то есть

Т

Ограничения, накладываемые на форму области С пересечение области (7 любой плоскостью

где е,/, /, единичные орты номеров 2/3-/, 2/? соответственно, р +1

1 <р<

состоит из односвязнои двумерной ооласти,

в области С возможно построение связной сетки со/, с шагами Ир, МЛ .Р

Получена Теорема 1 Локально- двумерная схема с краевыми и начальными условиями равномерно ( в метрике С) устойчива по начальным и граничным данным и по правой части так, при любых г и к выполнено неравенство

/0-1 Р'

2-0,53,

2Д+1 ,р

0<Г£Уог'

,=0 Л= 1

Из свойств суммарной аппроксимации и устойчивости следует равномерная сходимость разностной схемы со скоростью 0( г + \к\2)

Во второй главе основное внимание сосредоточено на построении и адаптации современных итерационных методов и некоторых прямых методов решения дискретных (разностных) аппроксимаций двумерных уравнений теплопроводности Неявные ЛДС приводят к необходимости решения сеточных эллиптических уравнений, в общем случае с переменными коэффициентами, на каждом временном слое По сравнению с сеточными эллиптическими уравнениями, возникающими при аппроксимации стационарных задач, сеточные операторы двумерных уравнений теплопроводности обладают некоторыми благоприятными для применения итерационных методов свойствами, к числу которых следует отнести, в первую очередь, наличие диагонального преобладания в матрице оператора, тем большего, чем меньше величина временного шага и хорошего начального приближения к решению при переходе на следующий временной слой, в качестве которого может быть выбрано решение, полученное на предыдущем временном слое (начальное условие для первого временного слоя)

Особенностями задач теплового расчета конструкций (ТРК) для нестационарных режимов являются

необходимость многократно (102 - 104 раз) решать се точные эллиптические уравнения для определения функции температуры,

высокий порядок системы разностных уравнений, который в реальных задачах может составить 104 - 106,

существенный разброс или даже разрыв коэффициентов уравнений Следствием двух последних особенностей разностных аппроксимаций задач ТРК является плохая обусловленность соответствующих систем алгебраических уравнений Перечисленные выше особенности задач ТРК делают актуальной разработку алгоритмов, которые бы позволили уменьшить число итераций, а также решать плохо обусловленные системы разностных уравнений, либо увеличить временной шаг

В качестве исходной рассмотрена смешанная задача Коши для двумерного уравнения теплопроводности вида

определить в области С, кх, кг— коэффициенты теплопроводности (температуропроводности), в координатных направлениях Охх и Ох2 соответственно которые могут сильно меняться в зависимости от переменных л, и л-, или даже терпеть разрыв на щпиндрических

гладкая (плоская) кривая Типична ситуация, ко!да область О является цилиндрической, на боковой поверхности и на одном из оснований ко трон задаю 1ся граничные условия в юрого-третье! о рода а на втором основании - первого рода Далее для простоты будем рассматривать случай граничных условий первого рода

Рассматриваемый алгоритм базируется на идее алгоритма РП Федоренко решения сеточных эллиптических уравнении на верхнем временном слое, к которым сводится после аппроксимации неявной схемой задача с соответствующими граничными условиями В отличие от известного многосеточного метода данный алгоритм ориентирован на испотьзование одной вспомогательной сетки, в качестве итерационного метода применяется метод верхней релаксации со специально задаваемым значением релаксационного параметра, обеспечивающим заданные спектральные свойства оператора перехода (шага) итерационной процедуры Применение одной вспомогательной сетки в реальных задачах ТРК обусловлено необходимостью сохранения информации о по поженим поверхностей разрыва коэффициентов к2, как в основной, так и во вспомогательной задачах Оценка для чиста итераций для решения двухсеточных методом последовательной верхней релаксации (ДСПВР) системы разностных уравнений, аппроксимирующих 1 краевую задачу для уравнения Пуассона в единичном квадрате С

где и = и(х^)- функция температуры, которую необходимо

поверхностях вида 5 = {/(х,, *?)х (- со < т3 < +сс)}г\ О, у - кусочно-

7+1

= f,A<i<N-\,\<j <N-\

X,,

g , в граничных узлах G имеет вид

1,44

0,64

0,125 +

N

N{N-lf ln-£

В п 2 2 рассмотрен вариант модифицированного попеременно-треугольного метода, предназначенный для решения разностных аналогов двумерных задач параболического типа с переменными коэффициентами, функцией источника и граничными условиями Дирихле в прямоугольнике данный вариант МПТМ можно рассматривать в качестве базового для реализации НДС в общем случае для обращения разностного эллиптического оператора на верхнем временном слое Опыт использования модифицированного попеременно-треугольного метода решения разностных эллиптических задач показывает, что он требует небольшого числа итераций, незначительно зависящего от диапазона изменения коэффициентов и неравномерности шагов, в случае сеток, построенных для областей произвольной формы Предполагаем, что функция источника имеет вид qu(x),

где и(х)- искомое решение, q = const > 0

Рассмотрена разностная схема, аппроксимирующая первую краевую задачу для уравнения эллиптического типа в пространстве двух измерений (р=2), с самосопряженным эллиптическим оператором второго порядка и переменными коэффициентами

У г ~ X (ааУха I + (*) = ф(4 * е .

а=1 *а

Я*) = м{х), хеу, у е Г,

где Г- граница прямоугольника (7 = (О < ха <1а,а = 1,2}, - сетка с равномерными шагами ка

со

Разностную схему, с граничными и начальными условиями представим в операторном виде

о

Ау- /, хе со,

2(" \ ( IV "

/7, и2

X & со

и{0,Л-,,/) .г, =/;,, 0,2/?, <*,</, -2/?,. = н(/ря,,/), х, =/, -/?,, Оператор самосопряжен и положительно определен в //, так как (Ли г) = (?Ыг)

и

//(0,-с,,/) хг = //2, 0,2А2 < л2 </2 - 2Л2, г/(х!,/2,/),х2 =/2 -/г.

,/ 0

при условии <7 = у(\)>0, а е со

Тогда итерационная схема МПТМ имеет вид

п

(и + юЛ^^Я + й^)^—+ = [

1

где п - номер итерации, гп+, - итерационный параметр,

«=| ч К

1Г 11

- I + — Г/ + - г

2/? " 4 Г г 1

IL v = -y,

"" fil A

Г, + -ггМ

2/i,

П ^

« + - |v 4 V г

Л = Л, + IL

операторы Я/ и ^ являются сопряженными в Я, т е (Д,и, л») = (»./?,*•), Ы6я, геН

Оценки для постоянных Л и ё, входящих в неравенства Юй^ + Я^О-1^ + Л2)

имеют вид

Д = О

И'!

Учитывая формулу для числа итераций МПТМ, необходимую для достижения заданной точности е

для первой краевой задачи получим

( т0 25 "I

ie)=d

Оценка для числа итераций построенного варианта МПТМ в предположении, что # = СЛтпт)> г = ^(1|/ф. имеет вид

Fil

A(0 = ain(-) 1|//|Г":')

г

В п 2 3 рассмотрена двумерная разностная задача, решаемая на каждом временном слое, при помощи быстрых прямых методов (циклической редукции, Фурье-алгоритма) решения сеточных задач и их параллельных реализаций

Рассмотрен метод разделения переменных для отыскания собственных значений Як и собственных функций /¿^ (i, j) разностного оператора Лапласа, заданного на равномерной прямоугольной сетке в прямоугольнике при условиях Дирихле Л = Д, + Л2, Аиу = х ,« = 12

Предполагается, что в прямоугольнике 0= {о < ха < 1а,а = 1,2} задана равномерная сетка со с шагами Ь1 и 1ъ

а = = (,й1>7Л2) еС,0<;< Д^„0<7< =1а,а = 1,2}

Будем искать собственную функцию рк (1 _)) соответствующую собственному значению , в виде

АД'^ЫЖ'О), к-(кьк2)

Так как Л,>'(г,7) = ( 1/2)(>-(г +1,^) - 2>>(/,у) + -1,;), то

/ "

оператор Л,действует на сеточную функцию, зависящую от аргумента I Аналогично оператор Л2 действует на функцию, зависящую от аргумента у Поэтому

для I < / < ¿V, - 1,1 < _/ < Ы2 - 1, а также

находим, что

<40 <Ч/)

Левая и правая части постоянные Положим

и добавим сюда краевые условия В результате получим одномерные сеточные задачи на собственные значения

Л^С + ^Х^О, 1 <; < /V, -1,

и

+ М = о, l<J<N2-\

Собственные функции и собственные значения разностного оператора Лапласа А для случая граничных условии Дирихле найдены

//ДчЫ'ЧО/^О) = * мп^п^,

0<1<^„ 0 </<.¥,

2 4 2 кплка

1 2 ¿Г К 21 а

ка — 1,2, , Л'„ — 1

Так как число собственных функций (г, у),/^ (г,у), равно

(М( - 1)(ЛГ, -1) и совпадает с числом внутренних узлов сетки ш, то любую сеточную функцию заданную на со, можно представить

в следующем виде

1 </<ЛГ, -1,1<

I де коэффициенты Фурье ^ определяются так

/; =/гк =(//о = £ 1/0,7) /^«/'Гс/)^ 1 2 ,=1 ;=1

/с, =1,2, ,ЛГ,-и2=1,2, ,Л^2-1

Для собственных значений Лк справедлива оценка

Л»п = ^ + ^ Л = Л, + ^ " + = ^

Аналогично решаются задачи на собственные значения для разностного оператора Лапласа в прямоугольнике и в случае других комбинаций краевых условий на сторонах прямоугольника в

20

Метод разделения переменных позволяет свести их к одномерным задачам

Описанный метод решения задачи может быть реализован с затратой 0(М21о§2 /V) арифметических действий Данный алгоритм метода разделен«0 переменных требует примерно д 1,5 ряч бопыне действий, чем метод попной редукции

В алгоритме РЛСЯ(1) методом прогонки решены системы с т рехдиагонал ы 1Ым и матрицам и

Приведены оценки количества арифметических операций последовательного варианта РАСЩХ) - алгоритма в предположении, что Ы, = = N = 2к, к - целое число для задачи

О = (2ЛГ' -+ 2)1о«2N + 9 5Лг2+1 57У + 31

О = (2А'2 -4ЛГ + 2)¡og2 Л' + 1 1 5М1 -2 + 37 Получены необходимые оценки затрат арифметических операций алгоритма метода РАСЯ(1)

Третья глава посвящена построению исследованию и чистенной реализации дискретной „ математической модели термически нагруженных конструкций котельных агрегатов Построена дискретная модель, удовлетворяющая основным балансовым соотношениям (закону сохранения полной энергии и балансовым соо!Ьошениям между отдельными формами энергии)

Описан комплекс программ на языке С++, общим объемом более 7000 строк, обеспечивающий моделирование данного класса задач с удобным интерфейсом ввода и контроля исходных данных и визуализацией, базирующейся на системе Теср1о1 На основе построенных моделей, алгоритмов и программ выполнены численные эксперименты для модельных задач, а также для реальной задачи расчета распределения температуры в радиаторе Данный комплекс позволяет осуществлять теплотехническое проектирование конструкций в терминах и обозначениях принятых в котлостроении и существенно поднять точность и надежность тепловых расчетов

Результаты представленные к защите

В данной работе получены следующие основные результаты 1 Рассмотрены локально-двумерные схемы расщепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в областях со сложной геометрией и

обладающие лучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях,

2 Исследован усовершенствованный вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ,

3 Построен комплекс программ с развитыми средствами ввода конструктивных данных, проведения тепловых вычислительных экспериментов и визуализации результатов расчетов

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах

Основные теоретические и практические результаты работы достаточно полно отражены в 7 печатных работах

Сухинов А И , Левченко М Н Локально-двумерные схемы для математического моделирования термически нагруженных конструкций со сложной геометрией и неоднородностями//Материалы VI Международной научно- практической конференции Моделирование Теория, методы и средства - Новочеркасск ЮРГТУ, 2006, с 34-36

Сухинов А И , Левченко М Н Квазиэкономичные алгоритмы моделирования тепловых процессов на основе двумерных схем расщепления в областях специального вида // Сборник статей II Международной научно-технической конференции Прогрессивные технологии в современном машиностроении - Пенза 2006 , С 63-65

Сухинов А И , Левченко М Нематематическое моделирование уравнений параболического типа// Сборник статей Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» Таганрог ТГПИ 2006 С 23-25

Сухинов А И , Левченко М Н Тезисы международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического модечирования» Воронеж 2005

Сухинов А И, Левченко М Н Программный комплекс для моделирования термически нагруженных конструкций // Сборник статей Международной научной-технической конференции

«Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» Таганрог ТГПИ 2007 , С 34-36

Сухинов А И , Левченко М Н Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностных краевых задач теплопроводное!и с функцией источника // Редакция журнала « Известия вузов Электромеханика» Математическое моделирование и информационные технологии - ЮРГТУ ( НГ1И) г Новочеркасск 2007 , С 76-83

Сухинов А И, Левченко М Н Двухсеточный метод верхней релаксации решения сеточных задач теплового расчета конструкций // Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов Математика-№9 2007 , 147-149

Тип ТТИ ЮФУ Заказ № /р(

Содержание.

Введение.

Актуальность темы исследования.

Цель работы и задачи исследования.

Научная новизна.

Практическая значимость.

Апробация работы.

Результаты, представленные к защите.

1. Схемы расщепления для моделирования многомерных задач теплопроводности.

1.1. Локально-одномерные и локально-двумерные схемы для задач теплопроводности.

1.2. Метод суммарной аппроксимации.

1.3 Двухслойные операторно-разностные схемы.

1.4. Принцип максимума для сеточных уравнений и следствия из него.

1.5. Двумерные схемы переменных направлений.

1.6. Факторизованные двумерные схемы.

1.7. Локально-двумерные схемы для многомерного уравнения теплопроводности в декартовых координатах.

1.8. Схемы расщепления для решения смешанной задачи Коши для уравнения теплопроводности в случае обобщенных решений.

2. Методы решения двумерных сеточных уравнений теплопроводности.

2.1.Двухсеточный метод верхней релаксации решения сеточных тепловых задач.

2.2 Модифицированный попеременно-треугольный метод решения разностных краевых задач теплопроводности с функцией источника.

2.3 Некоторые быстрые прямые методы решения двумерных уравнений теплопроводности.

3. Построение и исследование математической модели термически нагруженных конструкций котельных агрегатов.

3.1 Постановка задачи.

3.1.1 Уравнение теплопроводности.

3.1.2 Расчётная сетка и её построение.

3.2 Перенос тепла посредством теплопроводности.

3.2.1 Перенос тепла между двумя ячейками.

3.2.2 Перенос тепла между ячейкой и всеми её соседями.

3.2.3 Нагрев и охлаждение радиатора воздухом.

3.3 Турбулентная диффузия тепла в жидкостях.

3.3.1 Определение коэффициентов турбулентной диффузии.

3.3.2 Перенос тепла при движении жидкости (конвекция).

3.4 Нагрев радиатора тепловым излучением огня.

3.4.1 Облучение отдельной грани.

3.4.2 Первая модель для функции распределения излучения.

3.4.3 Вторая модель для функции распределения излучения.

3.5 Итоговые уравнения для скорости изменения температуры в ячейках.

3.6 Разностные схемы.

3.7 Консервативная интерполяция результатов вычислений.

3.8 Описание комплекса программ.

3.9.Визуализация результатов при помощи программы Теср1о1.

Повышение технико-экономических показателей котельных агрегатов приводит к необходимости математического моделирования термически нагруженных конструкций, имеющих сложную геометрию и состоящих из материалов (металлов) с различными тепловыми свойствами. Оребренные конструкции котельных агрегатов, подвергаются наиболее интенсивному тепловому воздействию и воспринимают тепловую энергию, выделяемую топливом в различных формах - в виде излучения в инфракрасном и видимом диапазонах, за счет кондуктивного и конвективного теплообмена. Тепловая энергия, полученная элементами конструкций преобразуется в тепловую энергию рабочей среды, используемой далее в генераторных установках для выработки электрической энергии и утилизации остаточной тепловой энергии для бытовых нужд. Долговечность и надежность котельных агрегатов в значительной степени определяется распределением температуры в них. В этих условиях численное моделирование является единственным надежным способом теоретического исследования термически нагруженных конструкций.

Для численного решения многомерных задач математической физики широкое распространение получил метод расщепления [28] (или дробных шагов). Начало его развитию в пятидесятых- шестидесятых годах XX века положили работы отечественных и зарубежных исследователей. Для решения многомерных параболических и гиперболических уравнений в произвольных областях весьма плодотворным является метод суммарной аппроксимации, предложенный академиком A.A. Самарским [53,56] и развитый в работах H.H. Яненко, Г.И. Марчука, Д.Г. Гордезиани, A.B. Гулина, В.Б. Андреева, А.Н. Коновалова, А.Д. Ляшко, В.Л.Макарова, И.В. Фрязинова и других [2,23,35,58,83,91]. Построение экономичных аддитивных разностных схем стало возможным в результате замены многомерной дифференциальной задачи последовательностью дифференциальных задач меньшей размерности и перехода от понятия аппроксимации в классическом смысле к более общему понятию суммарной аппроксимации. До работ А.И. Сухинова [67] конструирование аддитивных схем подразумевало, что основным методом решения получающихся систем разностных уравнений является один из вариантов прогонки. Отсюда вытекала необходимость замены многомерной задачи цепочкой одномерных дифференциальных задач, каждая из которых аппроксимировалась системой трехточечных разностных уравнений — локально-одномерной схемой (ЛОС). Однако, указанный переход приводит к тому, что наряду с погрешностью разностной аппроксимации появляется погрешность, обусловленная заменой многомерной дифференциальной задачи цепочкой одномерных задач. Реальная точность у ЛОС оказывается существенно меньшей, чем у схем, аппроксимирующих многомерную дифференциальную задачу в обычном смысле, особенно в случае разрывных коэффициентов. Поэтому актуальным является построение разностных схем, а также методов их решения, которые бы имели реальную точность, близкую к точности схем, аппроксимирующих задачу в обычном смысле и в то же время требовали количества арифметических операций, приходящегося на один узел сетки, не зависящего от общего числа узлов сетки (экономичные схемы), либо слабо зависящего от их количества.

В ряде важных случаев, которые будут перечислены далее, такими свойствами обладают локально-двумерные схемы (ЛДС), предложенные и исследованные А.И. Сухиновым [67], которые получаются при замене многомерной дифференциальной задачи цепочкой двумерных задач, с последующей их аппроксимацией в суммарном смысле. Разработка так называемых быстрых прямых методов решения систем линейных алгебраических уравнений, являющихся разностными аппроксимациями краевых задач для уравнений эллиптического типа, особенно эффективных в случае двумерных задач и регулярных областей, в работах зарубежных исследователей P.Swartztrauber , R. Hockney , D. Young, R. Agarval [91,96], а также A.A. Самарского, A.H. Коновалова, E.C. Николаева, И.Е.Капорина, Ю.А.Кузнецова, А.Б.Кучерова [27,52,56,60], и других, позволяет свести решение многомерных параболических уравнений к решению двумерных задач и перейти, тем самым, к использованию ЛДС. В настоящей работе построены экономичные алгоритмы решения задач теплообмена в элементах термически нагруженных конструкций, имеющих неоднородности, в том числе, разрывы в коэффициентах теплопроводности, что и определяет актуальность темы диссертационного исследования.

Целью работы является построение схем расщепления - ЛДС применительно к оребренным конструкциям котельных агрегатов, алгоритмов их численной реализации с затратами арифметических операций в случае разделяющихся переменных и регулярных сеточных областей o(N In N), а в общем случае с затратами O^N^2 j, обладающих лучшей точностью по сравнению с известными одномерными схемами расщепления в случае неоднородных, в том числе разрывных коэффициентов теплопроводности и построение комплекса программ для численного моделирования процессов теплообмена в оребренно-трубчатых конструкциях.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построены и исследованы локально-двумерные схемы расщепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в. областях со сложной геометрией и обладающие лучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях;

2. Построен усовершенствованный вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ;

3. Разработан комплекс программ, позволяющий проектировщикам (конструкторам) котельных агрегатов выполнять вычислительный эксперимент с реальными трубчато-оребренными конструкциями и их оптимизацию в зависимости от следующих факторов:

-геометрии системы;

-параметров среды теплоносителя;

-параметров процесса теплообмена за счет инфракрасного излучения факела и конвективного теплообмена с топочными газами.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в том, что разработанный набор моделей и комплекс программ, их реализующий, могут быть применены для тепловых расчетов конструкций, имеющих сложную геометрию и содержащих неоднородности (соединение материалов с различными тепловыми свойствами, наличие дефектов в местах соединений, таких как раковины), что позволяет в значительной мере повысить эффективность проектно-конструкторской работы при проектировании оребренных конструкций - систем трубопроводов с уплотнительными элементами, обеспечивающими их герметичность.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VI Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства.» (г.Новочеркасск, 2006г.); на II Международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии в современном машиностроении» (г.Пенза, 2006г.),на Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» (г.Таганрог, 2006г.)

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе получены следующие основные результаты:

1. Рассмотрены локально-двумерные схемы расщепления, предназначенные для решения начально-краевых задач для трехмерных уравнений параболического типа в областях со сложной геометрией и обладающие лучшей реальной точностью по сравнению с одномерными схемами расщепления в случае коэффициентов теплопроводности, имеющих разрывы на цилиндрических поверхностях;

2. Исследован усовершенствованный вариант модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ), который позволяет численно реализовать неявные схемы для уравнения теплопроводности с функцией источника и обладает лучшими асимптотическими оценками вычислительных затрат (числа арифметических операций) по сравнению с известными вариантами МПТМ;

3.Построен комплекс программ с развитыми средствами ввода конструктивных данных, проведения тепловых вычислительных экспериментов и визуализации результатов расчетов.

1. Агабеков JI.E., Иванова Г.С. Программирование на С++. Изд-во МГТУ им Н.Э.Баумана, 1999.

2. Андреев В.Б. Уравнения с частными производными. М.:Фазис,1997.

3. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Численные методы и приложения.- М: Изд-во Московского университета 1989.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы .- М.: Наука, 1975.

5. Белоцерковский О.М.Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1994.

6. Бицадзе A.B., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1977.

7. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов A.M. Сборник задач по математической физике. М.: ГИТТЛ, 1965.

8. Владимиров В.С.Уравнения математической физики.-МНаука-1971

9. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. -М.: Наука, 1966. Ю.Гордезиани Д.Г. Схемы расщепления для задач с разрывнымикоэффициентами, ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, с. 1436-1443.

10. Герб Саттер Решение сложных задач на С++.-М.: Наука-2000.

11. Годунов С.К. Уравнения математической физики. -М.: Наука -, 1979.

12. Годунов С.К. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

13. Демидович Е.М. Основы алгоритмизации и программирования., Изд-во BHV,2007.

14. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. -М.: Мир, 1969. Вып.1. 423 е., -М.: Мир, 1970. Вып. 2. 352 с. Вып. 3 344 с.

15. Джесс Либерти Программирование на С++. Изд-во Символ- Плюс, 2006.

16. Дьяконов В. Визуальное математическое моделирование. Изд-во Солон-Пресс, 2004.

17. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

18. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. -М.:Наука,1973.20.3оммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Изд-во иностр. лит., 1950.

19. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. — 1981.

20. Коновалов А. Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры, Новосибирск: ВО «Наука», Сибирская издательская фирма, 1993.

21. Коновалов А.Н.Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний. ДАН СССР, 1962, т. 147, с. 25-27.

22. Костомаров Д.П. Задачи Коши для гиперболических уравнений. Изд-во Наука, 2003.

23. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения математической физики. -М.: Гос. изд. ф.-м. литер., 1962.

24. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2004.

25. Кузнецов Ю.А.Итерационные методы и квадратичные функционалы. Изд-во Наука, Новосибирск, 1972.

26. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1 -M.-JL: Гостехиздат, 1951.

27. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1988.

28. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. -М.: Наука, 1971.

29. Лебедев H.H. Специальные функции и их применения. -М.: ФИЗМАТГИЗ, 1968.

30. Ли Цзун Дао. Математические методы в физике. М.: Мир, 1965.

31. Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. -М.: Высшая школа, 1982.

32. Марченко А.Л. Основы программирования на С++ 2.О., Изд-во Бином, Лаборатория знаний, 2007.

33. Марчук Г. И. Методы расщепления. М. Наука, 1989.

34. Масленникова В.Н.Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 1997.

35. Мизохата В.И. Теория уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1977.

36. Милюкова О. Ю., Четверушкин Б. Н. Параллельный вариант попеременно-треугольного метода. ЖВМ и МФ, 1998, т. 38, № 2, с. 228 -238.

37. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: ГИТТЛ, 1957.

38. Мышкис А.Д., Элементы теории математических моделей.-М.; Наука-2007.

39. Николаев И. А, Сухинов А. И. Аддитивные схемы для моделирования трехмерных уравнений теплопроводности в цилиндрических и сферических координатах. Дифференциальные уравнения, т. 23, № 12, 1987, с. 122-132.

40. Павловская Т.А., Щупак Ю.А. С++. Структурное программирование. Изд-во «Питер» 2001.

41. Пахомов Б.И. C/C++ и MS Visual С++ 2005., Изд-во BHV,2007.

42. Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Изд-во Едиторал УССР, 2003.

43. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. Математическая теория оптимальных процессов, 4-издание.- М.: Наука 1983.

44. Петровский И.Г.Лекции об уравнениях с частными производными. -М.:ГИТТЛД953.

45. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т.Т. 1,2. ,1982.Т.Т. 3,4.

46. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. Т.1, - М.: Мир, 1984, Т.2,

47. Садовничий В.А. Теория операторов. Москва, Высшая школа, 1999, 3-е изд.

48. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука.—1971.

49. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука., 2-ое изд.—1983.

50. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск., 1999.

51. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач диффузии-конвекции.М.: Эдиториал УРСС, 1999.

52. Самарский А. А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. —М.: Наука. — 1999.

53. Самарский А. А., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.-М., Наука.-1973.

54. Самарский А. А., Гулин A.B. Численные методы математической физики.-М.: Наука.-1999.

55. Самарский A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск, Наука и техника. 1996, 273с.

56. Самарский А. А., Николаева Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука. — 1978.

57. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005.

58. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. -М.ТИТТЛ, 1966.,изд.4-ое.

59. Спиридонов Г.А. Математические методы теплофизических исследований, Москва 1978г.

60. Страуструп Б. Язык программирования С++., Изд-во BHV, 2006.

61. Сухинов А. И. Васильев В. С. Локально-двумерные схемы для аппроксимации трехмерного уравнения теплопроводности в тороидальных координатах. Известия вузов, Математика 1996, № 3, с. 58 67.

62. Сухинов А.И. Двумерные схемы расщепления. Изд-во Макс Пресс, 2005, с.53-69.

63. Сухинов А. И. Модифицированный попеременно-треугольный метод для задач теплопроводности и фильтрации. Вычислительные системы и алгоритмы. Ростовский государственный университет. Ростов-на-Дону, 1984, с. 52-59.

64. Сухинов А.И., Левченко М.Н. Двухсеточный метод верхней релаксации решения сеточных задач теплового расчета конструкций.// Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. Математика.- №9 2007., с. 147-149.

65. Сухинов А.И., Левченко М.Н.// Сборник статей Международной научно-технической конференции «Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов» Таганрог ТГПИ 2006. С.23-25.

66. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс. Изд-во Едиториал УССР, 2004.

67. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М: Изд-во Московского университета. 6-е изд., 1999.

68. Трофимов A.C., Пахомов P.A. Применение ЭВМ при тепловом расчете котельного агрегата- Краснодар КубГТУ 2001.

69. Труб И.И. Объектно-ориентированное моделирование на С++: Учебный курс Издательство: Питер, 2005.

70. Фадеев Д.К.,Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.-М.: Наука, 1963.

71. Фаронов В.В. Создание приложений с помощью С++. Изд-во Эксмо,2007.

72. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений. Успехи математических наук, т. 18, вып.2,1973, с. 121-181.

73. Франк Ф и Мизес 'Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики.-Л.-М.:ОНТИ, 1937.

74. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. -М.: Мир, 1968.

75. Фрязинов И. В. Экономичные симметризованные решения краевых задач для многомерного уравнения параболического типа. ЖВМ и МФ, 1968, т. 9, с. 1436-1443.

76. Фрязинов И. В. Экономичные схемы повышенного порядка точности для решения многомерных уравнений параболического типа ЖВМ и МФ, 1969, т.9, с. 1316-1326.

77. Фрязинов И. В. Экономичные схемы для многомерного уравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами. ЖВМ и МФ, 1973, т. 13,с. 80-91.

78. Фрязинов И. В., БакироваМ. И. Об экономичных разностных схемах решения уравнения теплопроводности в полярных цилиндрических и сферических координатах. ЖВМ и МФ т. 12, № 2, 1972, с. 352 -363.

79. Хомоненко А.Д., Довбуш Г. Ф., Visual С++ на примерах., Изд-во BHV, 2007.

80. Хермандер JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. -М.: Мир, 1986. Т.1. 1987. Т.2

81. Эдварде и Пенни Differential Equations and Boudary Value Problems Computing and Modeling. Изд-во Вильяме, 2006.

82. Яненко H. Н. Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности. — ДАН СССР, т. 125, № 6, 1959, с. 1207 -1210.

83. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.- Новосибирск: Наука, 1967.

84. Agarval R., Racich J.V. Computation of hypersonic viscous flow past spinning sharp and blunt cones at high angle of attack // AIAA Paper, 1978. N 65. -12 p.

85. Marchuk G. I. Splitting and Alternating Direction Methods. Handbook of Numerical Analysis. Amsterdam: North Holland, 1990. vol. 5. pp. 197-464.

86. Peaceman D. W. Rachford H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. Journal SIAM, 1955, vol. 3, p. 28-41.

87. A. I. Sukhinov. A. A. Sukhinov Economical 3D Hydrodynamics Model for Homoge-neous Water Basins and Its Parallel Realization. Book of Abstacts. The Inter-national Conf. Parallel Computational Fluid Dynamics 2003, May 13-15, 2003 Moscow, pp. 222 227.

88. Swarztrauber P. N. The Methods of Cyclic Reduction, Fourier Analysis, and the FACR Algorithm for the Discrete Solution of Poisson's Equation on the Rectangle. // SIAM Rev. — 1977, Vol. 19. — pp. 490 501.