автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование течений весомой жидкости со свободными поверхностями, индуцированных погруженным источником

=-> " г» Г' Г?

Е* I I) Ь

2 2 АПР 1996

На правах рукописи УДК 532.538

ШЕРЫХАЛИНА Наталия Михайловна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ТЕЧЕНИЙ ВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ, ИНДУЦИРОВАННЫХ ПОГРУЖЕННЫМ ИСТОЧНИКОМ

05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕ Ф I: Р Л Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 19%

Работа выполнена на кафедре вычислительном математики и кибернетики Уфимского государственного авиационного ехиического университета.

Научным руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор Житников В. П.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук, профессор Жибер А. В., доктор физико-математических наук. Маклаков Д. В.

Ведущая организация — Чувашский государственный университет, г. Чебоксары.

Защита состой гея «_¿£-»_■/^ ( I99В г. в /^чяг

на заседании диссертационного совета Д-064.13.02 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г.Уфа, ул. Фрунзе. 152, магматическим факультет.

С диссертацией можно ознакомь л.ся в библиотеке Башкирского государственного университета.

Лвгореферат разослан «_/£_»___дл^Х+л.,,/1. 1996 г.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим выслал» но указанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета Д-064.13.02 Морозкина Н. Д.

Ученый секретарь

диссертационного сог.ста Д-064.13.02 Н. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для решения задач, имеющих сложные нелинейные граничные условия применяются различные численные и численно-аналитические методы. К преимуществам чисто численных методов (к которым относятся методы конечных разностей и конечных элементов) следует отнести универсальность по отношению к виду решаемых уравнений с частными производными. С другой стороны, при решении задач этими методами на ЭВМ требуется значительная машинная память и время. В связи с этим достигаемая точность, как правило, характеризуется величиной порядка 0.1...1%. Этого вполне достаточно для сравнения с аэро- гидродинамическим экспериментом, однако, дчя обоснования достоверности результатов необходимо иметь возможность управлять точностью и понижать погрешность хотя бы на 1-2 порядка. Возможность достигать высокой точности (до 4-8 точных десятичных знаков при разумных затратах машинного времени на современных ЭВМ) является одним из основных преимуществ численно-аналитических методов (например, метода граничных интегральных уравнений, Леви-Чивиты). Возможности этих методов позволяют не только получать численные результаты, но и проверять на численном эксперименте точность и достоверность этих результатов. Это качество очень важно для теоретических исследований задач, поскольку в последнее время в научной литературе появляется множество численных данных, которые не имеют какого-либо обоснования и иногда вызывают сомнения.

В диссертационной работе рассматривается приложение численно-аналитических методов к построению математических моделей течений идеальной весомой жидкости. Данные задачи имеют ряд важных практических приложений в тех областях исследований, где вязкостью жидкости можно пренебречь, например, кавитационные течения, течений воды в гидротехнических сооружениях, а также течения различных жидкостей в технических устройствах, таких как центробежные форсунки.

Постановки задач известны, однако специфика этого раздела гидромеханики такова, что интеграл Бернулли, используемый в качестзе нелинейного краевого условия, допускает решения существенно различного вида: волновые и безволновые (типа солитона), с гладкой свободной границей и с наличием ее излома (в случае волны Стокса на свободной поверхности образуется излом с внутренним углом 120 градусов). Каждый из рассматриваемых типов течений требует разработки своей модели решения, в качестве которой выступает некоторая функция, обладающая рядом особенностей, отражающая основные свойства точного решения. В связи с этим до последнего времени не существовало систематического исследования таких решений, которое стало возможным благодаря разработанным в диссертации методам.

Цель работы. Разработка математических моделей, численно-аналитических методов, алгоритмов и программного обеспечения для исследования плоских задач математической физики, имеющих сложные краевые условия, и численное исследование с помощью этих моделей и методов ряда задач о течении весомой жидкости.

На защиту выносятся:

1. Два варианта математической модели течений, основанные на прямом конформном отображении и использовании функции Леви-Чивиты или Жуковского с выделением особенностей высшего порядка.

2. Экспериментальное исследование скорости сходимости этих методов на разных задачах и определение характерного значения коэффициента уменьшения погрешности при удвоении числа точек коллокаций (к «3 для первого метода и к «6 для второго).

3. Разработка комплекса приемов оценки погрешности результата на основе сравнения результатов решения двумя методами; с более точным решением, полученным при возрастании числа точек коллокаций; с максимальным значением невязки в промежуточных между узлами коллокаций точках.

4. Решение задачи о затопленном источнике с различным углом наклона стенки, включая предельные случаи.

5. Получение различных типов решения задачи о погруженном источнике (при заданном расстоянии от источника до дна), определение диапазона существования предельного решения типа волны Стокса.

Научная новизна. Новыми в работе являются математические модели течений, которые, в отличие от имевшихся ранее, более точно учитывают особенности решения, что позволяет сократить объем вычислений и получить результаты с более высокой точностью, проверить их достоверность, отделить решения, порожденные способом дискретизации задачи и не имеющие тенденции сходимости к точному.

Новыми являются полученные численные решения с оценкой погрешности задач о затопленном и погруженном источнике с различным углом наклона стенок и расстоянием от источника до дна, предельные решения с критическим значением числа Фруда, докритические решения солитонного типа, несколько видов решений с особенностями на свободной поверхности.

Практическая ценность. Разработанные численно-аналитические методы решения плоских краевых задач расширяют возможности численного моделирования струйных течений с границами различного вида. Автором разработаны алгоритмы и программы решения таких задач, получены численные результаты, которые могут быть практически использованы для определения опасных сочетаний параметров, при которых возможно появление и отрыв солнгонов в гидротехнических сооружениях и технических устройствах.

Работа проводилась по госбюджетной тематике согласно тематическому плану Уфимского государственного авиационного технического университета (№ гос. регистрации темы 01940008023). Результаты работы использованы в учебном процессе в УГАТУ в рамках курса "Специальные главы математики".

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной научно-технической конференции "Механика машиностроения" (1995, г. Набережные Челны), на международной научно-технической конференции "Ленинские горы -95" (1995, г. Москва), на семинаре НИИММ при КГУ (1996, г. Казань), на научно-технической конференции "Динамика сплошных сред со свободными границами" (1996, г. Чебоксары), на международной научно-технической конференции "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (1996, г. Москва), на международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию" (1996, г. Набережные Челны), на семинаре в институте математики Башкирского отделения РАН (1996, г. Уфа), на семинарах кафедры ВМиК УГАТУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 75 названий. Общий объем работы - 111 страниц, рисунков -17, таблиц - 38.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснованы цель и актуальность работы, дано обоснование методических принципов численного решения задач, изложено содержание работы и сформулированы основные результаты, выносящиеся на защиту.

В первой главе на примере решения известной задачи о периодических волнах и солитонах на поверхности весомой жидкости с конечной глубиной проводится исследование влияния учета особенностей различного порядка на скорость сходимости алгоритма.

Жидкость идеальная - несжимаемая, невязкая, весомая. Течение считается соленоидальным и безвихревым, поэтому можно ввести некоторую функцию <р(х,у), называемую потенциалом течения, градиентом которой является вектор скорости жидкости, а сама функция <р(х,у) удовлетворяет уравнению Лапласа А<р~0.

В данной работе задачи решаются с помощью методов теории функций комплексного переменного. Рассматривается функция w(z)=<p+iiy {у/ - функция тока, z=x+iy), называемая комплексным потенциалом, которая аналитична в области течения, то есть она удовлетворяет условиям Коши-Римана. Величина, комплексно сопряженная скорости V = dwjdz.

Жидкость течет вдоль прямолинейной стенки АО, скорость на бесконечности асимптотическая толщина струи - Л (рис. 1а). Давление внутри потока определяется из уравнения Бернулли

У^рУ2 +РёУ+Р = соп^, где р - плотность жидкости, g- ускорение

свободного падения, Р,У- давление и скорость жидкости, у - ордината точки.

На свободной поверхности давление считается постоянной величиной, равной атмосферному. Тем самым, уравнение Бернулли является граничным условием на СО, связывающим значение модуля вектора скорости V с высотой точки у

0.1)

<Га) Рг И 4Ф

На АС и АО угол наклона вектора скорости равен нулю.

Таким образом, приходим к краевой задаче для определения аналитической функции с указанными граничными условиями. Форма свободной поверхности не известна заранее. Задача решается модифицированным методом Леви-Чивиты, при этом область течения отображается на единичный полукруг £"(рис.1в), а решение ищется в параметрическом виде м>(£), . Областью течения на плоскости комплексного потенциала является полоса (рис.1б). Зависимость О устанавливается путем конформного отображения

к

Данная задача решается двумя методами: с помощью прямого конформного отображения когорое для решения подобных задач с особенностями ранее не применялось, и через функцию Жуковского (или Леви-Чивиты)

© = /Ы—^| = 0 + /г, г = 1п—, (1.3)

Основная идея методов, разработанных в главе, заключается в последовательном уточнении математической модели. При этом искомая функция для обоих методов представляется в виде сумммы нескольких слагаемых

г(О = г0(О+ (О + (О + Ъ (О,

4<г)=Ы0++Ыс)+®Д<г) (1.4)

Первое - грубо описывает течение и удовлетворяет тривиальным граничным условиям, таким как сохранение значения угла на прямолинейных границах

= —о (1.5)

к 1-С

о г) 1 2 Ус

Второе слагаемое записано в виде степенного ряда. За счет выбора коэффициентов ряда искомая функция или а>(£) может

удовлетворять краевому условию (1.1)

т=0

2т+1

т=1

2т

(1.6)

Третье слагаемое учитывает особенности решения в бесконечно удаленных точках

1+е

1-С

+ 1В-

2а

+ гВ3

1-С

1+а

(1.7)

Коэффициенты а, В2 и В3 определяются путем подстановки функции в уравнение Бернулли и предельного перехода к точке С.

л Л 1

(1.8)

Трансцендентное уравнение имеет счетное множество решений, для данной задачи рассматривается только первое (0<а<1).

Четвертое слагаемое учитывает особенность в точке излома свободной поверхности волны

23{£) = И2

шс

Л 4

(г + 1)с!КГ~

_1_ 4~з

(1.9)

Подставляя :(ф в уравнение Бернулли, имеем р-2/3, следовательно свободная граница в точке излома волны образует угол 2л/3, что соответствует известной особенности волны Стокса. При решении задачи через функцию Жуковского третье и четвертое слагаемые содержат особенности более высокого порядка, учет которых позволяет существенно ускорить сходимость ряда.

Таким образом, задача сводится к определению неизвестных коэффициентов степенного ряда С2т+1 и коэффициентов при дополнительных слагаемых.

Численно задача решается методом коллокаций. В бесконечной сумме г (С) сохраняется конечное число N слагаемых, а уравнение Бернулли выполняется в дискретных точках окружности £ = е'а

ащ=л/2т, т-1...К Тем самым получается система нелинейных уравнений, которая решается численно методом Ньютона с регулированием шага. Таким же способом задача решается в случае применения функции Жуковского.

Оценка погрешности производится путем сравнения значений параметров (например, числа Фруда Л-), полученных при последовательном возрастании Ы, а также по максимальной невязке уравнения Бернулли, рассчитанной в промежуточных точках между узлами коллокаций.

В работе приведены значения числа Рг, полученные дая N=5...320. Как следует из сравнения численных результатов, включение слагаемых с коэффициентами В2 и В3 и С, позволяет увеличить коэффициент уменьшения погрешности (при удвоении числа точек коллокации) примерно в два раза. С другой стороны, при решении с помощью прямого конформного отображения не нужно численное интегрирование, поэтому затрачивается меньше машинного времени. По величине погрешности и коэффициенту ее уменьшения результаты вычислений этим методом близки к данным, полученным с помощью функции Жуковского при В2= В3=С] = 0. В связи с этим можно утверждать, что при не очень жестких требованиях к точности результата целесообразнее использовать прямое конформное отображение.

Результаты расчетов показывают, что в качестве приближенной оценки погрешности числа Фруда в большинстве случаев можно использовать максимальную невязку краевого условия (1.1). Поэтому принята следующая схема проведения расчетов и оценки погрешности. Выбирается некоторое количество точек (как правило, соответствующих значениям параметров, близким к особым решениям), в которых производится расчет с последовательным увеличением числа точек коллокаций до 320. В промежуточных точках оценка погрешности производится по невязке уравнения (1.1).

Вторзя глава посвящена решению задачи о затопленном источнике с гладким отрывом свободной поверхности от наклонной стенки.-Решения с углом наклона стенки, равным л/2, для некоторых значений числа Фруда получены С.Кеа(1у, ХЫогЬигу, А.С.Кн^, М.Ю.В1оог. Д.М.\гапс1еп-Вгоеск, Л.М.'УУННатв. Д.В.Маклаков решал данную задачу для случая существования критической точки на вершине фонтана. Некоторые результаты получены Э.Л.Амроминым.

Точечный источник находится в начале координат, угол наклона стенки АС - вА, в точке С происходит отрыв свободной поверхности от стенки, д&лее жидкость движется вдоль горизонтального прямолинейного дна (рис.1д). Краевые условия на прямолинейных границах для определения аналитической функции со представляются в виде

[вА н а АС,

в=\ Здесь вА - угол наклона стенки АС к оси х.

[0 на АО

На свободной поверхности выполняется уравнение Бернулли (1.1). Искомые функции представляются в виде сумм (1.4). Функции И'Г С). щ( О И 20( С) имеют вид

цд-^ы-^.^о^+Шт^, (2-1)

я 1-е * я

остальные совпадают с (1.6) и (1.7).

Численные исследования показывают, что решения этой задачи при вА>0 существуют при изменении числа Фруда от единицы до бесконечности (на рис.1г показана зависимость 1/Рг от ус). При Л--*/, как следует из трансцендентного уравнения (1.8), а-Ю, поэтому в предельном случае вид функции т2 необходимо изменить

На рис.1д показаны рассчитанные формы волны при разных углах 9Л при /•>=/.

Следует отметить, что решение рассмотренного выше вида при вл -> 0 вырождается в тривиальное (и—]^, ео=0) при всех значениях числа Фруда 1<Уг<,х. Из рис. 1 г видно, что в отличие от случая вл >0, кривые с не доходят до значения 1/¥г-1. Если двигаться вдоль кривой, то величина ///г доходит до максимального значения, а затем начинает уменьшаться.

На рис.1е показаны формы свободной границы для вл~ -л/6. Из расчетов следует, что ордината точки отрыва ус увеличивается и достигает своего максимального значения. При этом в точке отрыва на линии тока появляется излом с внутренним углом 2л/3, как у волны Стокса. Отличие заключается в том, что в этом случае одной из сторон этого угла является прямолинейная стенка, на которой не выполняется условие постоянства давления (1.1). Поэтому биссектриса этого угла может быть расположена не вертикально (в отличие от случая появления особенности Стокса на некотором расстоянии от точки отрыва). На рис.1г значения, соответствующие этим решениям отмечены буквами "ОС".

Решение задач с особенностью такого вида представляется суммой (1.4), где в качестве ©„используется функция

Необходимо учесть, что сечения такого типа не могут существовать при вА--2л/3, т.к. в этом случае (при сохранении внутреннего угла равным 2л/3) ордината свободной поверхности при удалении от точки отрыва должна расти, а модуль скорости - падать (согласно уравнению Бернулли), но поскольку в точке излома У=0, то такого быть не может.

Как следует из расчетов, при приближении вА к предельному значению вА- -2л/3 левая часть свободной границы движется влево на бесконечность. При этом задача по существу распадается на две. Одна

(2.2)

Л 3 £

(2.3)

задача описывает течение в направлении Лег —>-да, офаниченное с одной стороны стенкой с изломом, внутренний к течению, угол которого равен -л>вА (в случае вА--ж это течение представляет собой плоскопараллельный поток, движущийся влево). Вторая часть задачи -это течение, ограниченное только свободной поверхностью и дном (точка С расположена на бесконечности вправо). Угол наклона вектора скорости на свободной поверхности изменяется от -я'до нуля.

Численное решение этой задачи можно получить с помощью отображения области течения на верхний полукруг (на полуокружность отображается свободная поверхность СО, на действительный диаметр - дно) в виде функции

= Л1П"~ + <£ СтС + со2(С) (2.4)

* т=1

Полученные результаты показали, что в данном предельном режиме ¥г-2, асимптотическое значение ус=ЗИ. Точки, соответствующие этому решению отмечены на рис.1 г и 2а буквами "БСЛ

Рассмотрим решение задачи при приближении 0А к нулю снизу (рис.1 г и 2а, кривые к=-1;0). Точка с максимальным значением 1/Рг приближается при этом к значению 1/Рг=1. При 0Л=0 эта точка касается прямой 1/Рг=1 и данная ветвь решения распадается на две. Первая, которая начинается со значения Рг = <я, как было указано выше, вырождается в тривиальное решение (а-0 , 1<Рг <<*>). Вторая ветвь включает тривиальное решение только при /•>=/. При уменьшении 1/Рг решение приходит к пределу с изломом свободной поверхности в точке отрыва с внутренним углом 2я/3, рассмотренному выше. Формы свободной поверхности при 6^=0 приведены на рис.2б.

Таким образом, при 0А-0 и 1/^<Рг<1 задача имеет два

решения (первое из которых при вА-0 - тривиальное). Решение второго вида возможно и при 0Л>0. Кривые, соответствующие решению второго вида при увеличении вА отрываются от прямой Рт-1 (рис. 2а, кривая 1) и для всех вА>0 имеют в некоторой точке максимальное значение 1/Рг. Если двигаться вдоль второй части этих кривых, то приходим к новому предельному решению с особенностью Стокса в точке, не совпадающей с точкой отрыва. На рис.2в показаны формы свободной поверхности для вА=я/12.

Такое решение, с особенностью в виде излома свободной границы с внутренним углом 2тс/3 может быть получено в виде суммы, аналогично (1.4). Точки, соответствующие этим решениям, отмечены на рис.1г и 2а буквой "С".

На рис.2г показаны формы свободной поверхности для решения с особенностью Стокса. Видно, что при уменьшении дА гребешок волны удаляется от стенки и при вА-+0 уходит в бесконечность. Таким

/ Fr 0.75 0.5 -1 ч С -4À ïï/2 О. П

нг

БС -5 —t-— ОС кГ -3 -h=Q 0 _ L 7Т A 1 пь

а)

5 0^0 У —1.5 1.0

1 0 2 i

г)

У

1.5 Д) 1.0

8 7 6 5 4 3 k=2 2.0 У ^ 1 rv

V- 18

0 1 2 X

__

<10 \в 6 Í5 /к-

// Q - i; iL ¡/ 7 Kíz

-1 ( 1 I Рис.2

образом, предельное решение с особенностью типа волны Стокса при 0А —> 0 представляет собой плоскопараллельный поток. При увеличении угла вА, как видно из рис.2г гребешок волны приближается к точке отрыва и при вА=л/6 точка излома совпадает с точкой отрыва. Решение в этом случае полностью совпадает с предельным решением с особенностью, рассмотренной выше для вл—л/6.

При совпадении двух предельных решений, которые являлись "крайними" точками кривых, соответствующих второму решению задачи с дА>0, эта кривая для каждого вА > л/б сжимается в точку. То есть, при ОЛ > к/6 для каждого значения числа 1/Рт существует только одно решение рассмотренного типа, которое представляет собой решение с особенностью типа Стокса в точке отрыва (рис.2а, кривая "ОС").

Такое решите с изломом линии тока с углом 2л/3 в точке отрыва не может существовать при вА>л/3, так как на свободной поверхности, согласно уравнению Бернулли, не может быть точек, расположенных выше, чем критическая точка (где скорость У=0). При дл -л/3 предельный угол наклона свободной поверхности 0 в окрестности точки отрыва равен нулю. В этом случае становятся неверным вывод, полученный в главе 1 о том, что угол излома обязательно равен 2л/3. При дальнейшем увеличении угла 0А в решении сохраняется предельное значение угла в=0 при подходе по свободной поверхности к точке отрыва, угол же излома линии тока в точке отрыва меняется от 2 л/3 до нуля при вА -» Л.

Формы свободной поверхности при разных дА приведены на рис.2д. На рис.1г и 2а этим решениям соответствуют части кривых, отмечетше буквами "НС".

Решение такой задачи ищется в виде суммы (1.4), где

2 С2 +1

(2.5)

л 21Г

Таким образом, рассмотрено все поле второго решения при вА>0. Интересно, что при переходе вА через ноль второе решение переходит в первое (и пока единственное) решение с 0А<0 (точнее в ту часть решений, которые на рис.1г показаны кривыми, начиная с максимального значения 1/Гг и далее вправо до предельного решения типа волны Стокса). Оставшаяся часть решений с вА <0 от 1/Рг-0 до максимального 1/Рг при переходе вА через ноль превращается в тривиальные решения и далее переходит в решения первого типа с &А>0.

В третьей главе рассмотрена задача о погруженном источнике. Источник находится на заданном расстоянии от дна в точке А, в точке С происходит отрыв свободной поверхности, далее жидкость течет вдоль прямолинейного горизонтального дна на бесконечность (рис.За).

Краевые условия следующие: на прямолинейных границах задан угол наклона вектора скорости к оси абсцисс

-у, х = 0, 0 <у<ИА,

-у, х = 0, Ил<у<Ис, О, 0 <х< со, у = 0

Кео> = в-

На свободной поверхности выполняется уравнение Бернулли (1.1). Задача решалась тем же методом, что и предыдущие. При этом вид к, <о0 и 70, со 3, ;3 изменяется

(1-е)1 М) с

И' = —-1п-к

- + Сот !,

(3.1)

2п

а0(с)=1;1п ^ 2

2 (Р2С2+1)

Л??**)

С2+Р

= ,Л2[(1 - )Уз - (/ + +

I , I- 2С" соъ2а„ + С4

<о3 =-1п-2--—-—— +

3 -/бш а0

4р

1+1РС

(3.2)

(3.3)

+ /С,

)

^вт* су о

(3.4)

остальные функЩ1и остаются в прежнем виде.

Расчеты показали, что для малых высот источника получаются формы без горба с монотонно возрастающей ординатой свободной поверхности. На рис.Зд формам такого типа соответствуют линии левее "П". Для больших высот источника для невесомой жидкости возникает волновой горб. Но при уменьшении Рг горб может исчезнуть (рис.Зе) и решение превращается в монотонное (назовем этот случай "исчезновением солитона". На плоскости изменения функции Жуковского исчезновение солитона приводит к исчезновению двулистности (рис.3г,в,б). Переходное решение (рис.Зв) соответствует А,=0. В 1=0 в (1.7).

При дальнейшем увеличении высоты источника вид волн качественно изменяется - образуется волна Стокса (рис.Зж).

При решении таких задач, в отличие от предыдущих, неизвестна точка нахождения особенности Стокса на окружности. Она определяется при решении задачи.

Решения с особенностью Стокса были рассмотрены в достаточно широком диапазоне изменения высот источника (рис.Зз). Из численных исследований следует, что при уменьшении высоты источника, точка на окружности, соответствующая излому, быстро приближается к действительной оси. При этом на плоскости со (рис.Зи) на границе, соответствующей свободной поверхности, возникает вогнутость, которая постепенно увеличивается и приближается к началу координат. При этом область течения на плоскости ш распадается на две части. Одна из них совпадает с областью содитона Стокса, другая с областью течения от источника с монотонно возрастающей ординатой свободной поверхности. На плоскости г при уменьшении высоты источника максимальная высота гребешка убывает, а гребешок удаляется от стенки (рис.Зз). Таким образом, в пределе происходит "убегание" солитона на бесконечность.

Так как при приближении а0 к нулю в области гребня еолны оказывается малое число точек коллокаций, решение ухудшается. Чтобы это предотвратить, было введено следующее видоизменение метода. Решение представлено в виде суммы двух решений для задачи о солитоне и течении от источника с монотонно возрастающей ординатой свободной поверхности.

С. + Р 2 т=0

/ т-0

Это позволило рассчитать конфигурации с большим удалением солитона от источника.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны две математические модели течения идеальной весомой жидкости со свободной поверхностью. Первая модель является специальной формой представления функции г(0 и тем самым задача поиска решения сводится к прямому конформному отображению и отпадает необходимость в численном интегрировании.

Вторая модель является выражением решения в виде функции Жуковского которое позволяет упростить учет особенностей.

2. Разработан способ учета особенностей решения высшего порядка, позволяющий существенно ускорить сходимость степенного ряда, входящего слагаемым в искомую функцию.

3. Проведена экспериментальная оценка скорости сходимости предложенных методов и их вариантов на различных задачах. Численный эксперимент показал, что значение коэффициента уменьшения погрешности при удвоении числа точек коллокаций равно приблизительно трем при учете особенностей первого порядка и примерно шести при учете особенностей высшего порядка. Это свидетельствует об увеличении порядка сходимости метода примерно на единицу.

4. Путем численного эксперимента установлено, что максимальная невязка з промежуточных точках может служить приближенной оценкой погрешности определения числа Фруда. Возможность изменения числа точек коллокаций в широком диапазоне позволяет считать полученные оценки достаточно надежными.

5. С помощью разработанных численно-аналитических методов решены задачи о затопленном и погруженном источнике, исследованы предельные случаи типа Fr-1 (смыкание утла на плоскости со) и волны Стокса. Найдены диапазоны их существования.

6. Исследования также показали, что при значениях высоты точки отрыва, находящихся в определенном диапазоне, при уменьшетш числа Фруда происходит плавный переход от решения с горбом на свободной поверхности к монотонному. Переходный режим соответствует особому решению с равной нулю главной частью особенности типа солитона. Эти особые решения в отличие от всех остальных существуют при Fr<l.

7. Установлено, что в решениях типа волны Стокса при уменьшении высоты точки отрыва происходит смещение гребешка в сторону удаления от источника на бесконечность (случай убегания солитона).

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ

РАБОТЫ

1. Шерыхалина Н.М. Исследование волн Стокса методом Леви-Чивиты с выделением особенностей И Математическое моделирование в решении научных и технических задач. Уфа: Изд. "Технология". 1994. С. 17-20.

2. Шерыхалина Н.М. Решение задачи о фонтане методом выделения особенностей // Ленинские горы - 95: Тез. докл. международ, науч,-техн. конф. Москва. 1995. С.61.

3. Шерыхалина Н.М. Разработка численных алгоритмов решения задач гидродинамики с особыми точками на свободной поверхности и

экспериментальное исследование скорости их сходимости// Деп. в ВИНИТИ №2550-В95

4. Шерыхалина Н.М. Возникновение и исчезновение солитона на границе потока весомой жидкости, вызванного погруженным источником// Деп. в ВИНИТИ Ж766-В96.

5. Шерыхалина Н.М. Предельный режим задачи о затопленном источнике при критическом значении числа Фруда// Деп. в ВИНИТИ Ж767-В96.

6. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Применение методов выделения особенностей для решения задач о течении тяжелой жидкости // Механика машиностроения : Тез. докл. международ, науч.-техн. конф. Набережные Челны. 1995. С. 27.

7. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Шерыхалин О.И, Программа расчета параметров гравитационных волн с помощью метода Леви-Чивиты / Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 950008. (РФ). -17.01.95.

8. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ураков А.Р. Применение метода выделения особенностей для решения задач гидродинамики весомой жидкости и электрохимического формообразования II Динамика сплошных сред со свободными границами. Чебоксары: ЧГУ.

1996. С. 97-106.