автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование структур, возникающих в конденсате Бозе-Эйнштейна

Зезюлин Дмитрий Александрович

Математическое моделирование структур, возникающих в конденсате Бозе-Эйнштейна

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 НОП 2ССЭ

Москва - 2009

Работа выполнена на кафедре высшей математики №1 факультета микроприборов и технической кибернетики Московского государственного института электронной техники (технического университета).

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

Алфимов Георгий Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Камчатнов Анатолий Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Трофимов Вячеслав Анатольевич

Ведущая организация: Нижегородский государственный универси-

тет имени Н. И. Лобачевского

Защита состоится « ^^ »_ часов на

заседании диссертационного совета Д.002.058.01 при Институте математического моделирования РАН, расположенном по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан »_^^^ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Змитренко Н. В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Существование такого явления, как конденсация Бозе-Эйнштейна, было предсказано еще в 1925 году. Однако получить конденсат Бозе-Эйнштейна (БЭК) в реальном эксперименте впервые удалось лишь в 1995 году [1]. Это экспериментальное открытие стимулировало интерес к данной теме во всем мире, а в 2001 году ученым, получившим БЭК, была присуждена Нобелевская премия по физике. В настоящее время растущие экспериментальные возможности для получения и удержания этого нового состояния вещества ставят перед исследователями-теоретиками многочисленные вопросы, связанные как с объяснением имеющихся экспериментальных данных, так и с подготовкой новых экспериментов.

Одним из подходов к математическому описанию БЭК является так называемая теория среднего поля, в основе которой лежит уравнение Грос-са-Питаевского (УГП) [2-4]:

В контексте ВЭК Ф(£, х) соответствует макроскопической волновой функции, У(х) имеет смысл потенциала ловушки, удерживающей конденсат, а множитель и = ±1 описывает характер взаимодействий между частицами, образующими конденсат. Случай сг = 1 соответствует наличию притягивающих взаимодействий между частицами, в то время как при сг = — 1 между частицами действуют отталкивающие взаимодействия. Величины

имеют смысл энергии конденсата и числа частиц, образующих конденсат,

гФ4 = -ДФ + У(х)Ф - сгФ|Ф|2.

(1)

(|УФ|2 + У(х)|Ф|2- ||Ф|4)<Ьс, (2)

N = |Ф|2с/х

(3)

соответственно. Обе эти величины сохраняются в ходе эволюции, описываемой уравнением (1).

Следует отметить, что УГП, которое представляет собой нелинейное уравнение Шредингера с дополнительным потенциалом У(х), возникает и в других физических задачах. Например, в физике плазмы это уравнение описывает распространение импульса в плазменном канале |5]. В нелинейной оптике включение дополнительного потенциала в классическую модель нелинейного уравнения Шредингера продиктовано необходимостью сжатия импульсов в оптическом волокне [6].

В диссертации рассматриваются стационарные решения УГП. Такие решения записываются в виде подстановки

Ф(4,х) (4)

где функция ?/>(х) удовлетворяет стационарному уравнению

Лф+ (и- У^ф= 0, (5)

а также условиям пространственной локализации: Нт^^оо гр(х) = 0. Решения вида (4) представляют отдельный интерес, так как в терминах БЭК описывают стационарные состояния конденсата. Действительный параметр из соответствует так называемому химическому потенциалу стационарного состояния. Важной характеристикой стационарного решения является его устойчивость, которая связана с возможностью наблюдения соответствующего состояния конденсата в реальном эксперименте.

Известно, что при фиксированном числе частиц N минимум функционала Е достигается именно на некотором стационарном решении. Соответствующее этому решению состояние конденсата называется основным. Благодаря указанному свойству основное состояние представляет особый интерес и наиболее широко обсуждается в литературе [7-9]. Од-

нако рассматриваются также и высшие (то есть, не являющиеся основными) стационарные решения УГП (см., например, [9-11]), в том числе, в связи с экспериментами по «кваптовому запутыванию» различных конденсатов [12]. Некоторые решения УГП, соответствующие высшим состояниям, были найдены численно (см., например, [13-15]). В некоторых частных случаях удалось строго доказать, что существует бесконечно много семейств стационарных решений [6]. В то же время, для произвольного потенциала У'(х) исчерпывающей классификации различных семейств стационарных решений до сих пор не построено.

Цель диссертационной работы — перечислить (классифицировать) все типы стационарных решений, которые допускает УГП (для различных, по фиксированных потенциалов ^(х)), найти их численно и исследовать их устойчивость.

Научная новизна работы. Не считая нескольких специальных частных случаев (например, когда удерживающий потенциал имеет вид бесконечно глубокой прямоугольной ямы, как в [16]), стационарные решения УГП могут быть найдены только численно. Если для некоторого стационарного решения (4) амплитуда стационарной волновой функции ф(х) мала, то саму функцию гр(х) и соответствующее ей значение параметра из можно аппроксимировать собственной функцией и собственным числом линейной задачи на собственные значения вида

+ = 0. (6)

Положим для простоты, что потенциал У'(х) таков, что задача (6) имеет бесконечный дискретный набор решений (и„, (х)), п = 0,1,2,..., где собственные числа й>п действительны и упорядочены в порядке возрастания: £>о < о>1 < .... Любое стационарное решение УГП, то есть, любую пару (и), тр(х)), удовлетворяющую (4), можно отметить точкой на коор-

динатной плоскости {ш,ЛГ}. Например, тривиальное решение т/>(х) = О существует при любом ы. На рассматриваемой плоскости такому решению соответствует вся прямая ЛГ = 0. В точках и ' йзп нулевое решение ветвится, в результате чего на плоскости {ш, ТУ} появляется набор непрерывных кривых Гп, п = 0,1,..., выходящих из точек (¿„,0). Следуя терминологии, предложенной в [13], будем говорить, что кривые Гп описывают семейства стационарных решений, обладающих линейным аналогом. Известно, что решения, обладающие линейным аналогом, существуют в случае как притягивающих, так и отталкивающих взаимодействий между частицами. В окрестности точки (й>п, О) амплитуда решений ■ф(ус), принадлежащих семейству Гп, мала. При этом само решение 1/>(х) и соответствующее значение и> можно приближенно описать с помощью асимптотических разложений вида

•0(х) = е-0„(х) + о(е), ш = шп - е2сгПп + о(е2), (7)

где е — формальный малый параметр и Яп — числовой коэффициент, зависящий от п.

За последнее время было предложено несколько подходов для численного построения стационарных решений УГП. Многие из них (см., например, [14, 15]) используют разложения (7) для того, чтобы аппроксимировать малоамплитудные решения в окрестности точки ветвления шп, и затем, постепенно меняя параметр ш, «выйти из линейного предела» в область, где амплитуда решений малой уже не является. Однако УГП допускает также стационарные решения, не имеющие линейного аналога. Такие решения не могут быть получены путем выхода из линейного предела. В [13] решения, не имеющие линейного аналога, были найдены С помощью метода продолжения из предела бесконечно большой нелинейности.

Однако подобные методы продолжения по параметру требуют наличия некой априорной информации о форме искомых решений. Данная информация используется для того, чтобы с достаточной степенью точности найти начальное приближение, с которого следует начинать итерационный процесс. Кроме того, ни один из предложенных ранее методов не позволяет гарантировать, что при данном значении параметра и> удалось найти все стационарные решения.

В данной работе предлагается новый численный метод для расчета стационарных решений УГП. Он не требует наличия априорной информации о пространственной форме стационарных решений и позволяет находить решения как обладающие, так и не обладающие линейным аналогом, а также (в одномерном случае) несимметричные решения, для которых |ч/>(х)| |'0( —ж)|. Метод имеет строгое математическое обоснование в виде теоремы, устанавливающей взаимно-однозначное соответствие между некоторым классом решений стационарного уравнения (5) и множеством действительных чисел. Важным преимуществом нового метода является то, что в некоторых случаях (точнее, для случая отталкивающих взаимодействий а = — 1) он позволяет провести процедуру доказательных вычислений, когда, проделав некоторый объем вычислительной работы, можно оборвать расчет, гарантировав при этом, что при данном значении параметра со рассматриваемая задача не допускает других решений, кроме тех, что уже были найдены. Кроме того, предложенный метод позволяет работать с широким классом потенциалов V (х), а в одномерном случае он легко обобщается на случай неоднородной по пространству нелинейности, когда коэффициент сг является функцией от х.

Вопросу устойчивости стационарных решений УГП посвящено большое количество литературы, см., например, [6, 13-15]. Следует, однако, признать, что до настоящего момента даже для лучше всего изученного

случая одномерного гармонического потенциала V"(a;) = х2 не построено общей картины устойчивости различных семейств стационарных решений. Более того, в литературе не обсуждалось, как выбор конкретного потенциала У(х) в УГП влияет на устойчивость одномерных стационарных состояний. В настоящей диссертации случай гармонического потенциала был подробно рассмотрен, что позволило обобщить и уточнить некоторые полученные ранее результаты (например, в [6, 15]). Кроме того, в диссертации показано, что данный случай является в некотором смысле особенным, что связано с эквидистантностью набора собственных чисел шп, п = 0,1, 2,... гармонического квантового осциллятора фхх + {ш — х2)~ф = 0.

В диссертационной работе также показано, что добавление к гармоническому потенциалу даже малой ангармонической составляющей (например, вида ■ух4, 0 < 7 1), позволяющей нарушить эквидистантность, существенно меняет общую картину устойчивости стационарных решений. Кроме того, в диссертации рассматривается ангармонический потенциал V(ж) = х4, для которого также подробно изучена устойчивость различных семейств стационарных решений и выявлены некоторые закономерности, позволяющие сделать общие предположения об устойчивости высших стационарных состояний.

Проблема устойчивости двумерных стационарных состояний особенно интересна с той точки зрения, что некоторые недавние подробные исследования (см., например, [14]) сообщают о неустойчивости всех рассмотренных высших радиально-симметричных стационарных состояний для случая гармонического потенциала V(г) = г2. В диссертации рассмотрена устойчивость радиально-симметричных стационарных состояний в присутствии как гармонического, так и ангармонических потенциалов V(г). Показано, что, как и в одномерном случае, добавление ангармоническо-

го возмущения к обычному гармоническому потенциалу может улучшить устойчивость высших стационарных состояний. Однако, в отличие от одномерного случая, при увеличении амплитуды решений все рассмотренные высшие состояния довольно быстро теряют устойчивость.

Практическая значимость работы. В процессе работы над диссертацией была написана программа, позволяющая рассчитывать стационарные решения УГП и затем численно исследовать устойчивость найденных решений. В программе реализована процедура проверки условий, которые должны выполниться (в случае отталкивающих взаимодействий между частицами) для того, чтобы расчет можно было прервать, гарантировав при этом, что при данном и найдены все рассматриваемые стационарные решения.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при подготовке новых экспериментов, связанных с исследованием БЭК, например, для получения не наблюдавшихся ранее в реальном эксперименте структур.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. метод доказательных вычислений для расчета стационарных решений одномерного и двумерного уравнения Гросса-Питаевского;

2. общая картина устойчивости различных семейств стационарных решений для гармонического У(х) = х2 и ангармонического У (ж) = ж4 потенциалов;

3. стабилизация стационарных решений уравнения Гросса-Питаевского при добавлении к гармоническому потенциалу У(х) = |х|2 ангармонического возмущения;

4. существование бистабильиых (в определенном смысле, см. стр. 16) стационарных состояний в случае неоднородной по пространству не-

линейности, когда коэффициент <т представляет собой функцию от ас: <т = ег( х).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на нескольких научных конференциях и семинарах, в том числе:

• на научной конференции "Solitons and nonlinear phenomena in degenerate quantum gases", Cuenca, Spain, Sept. 27-30, 2006;

• на научных конференциях «Микроэлектроника и информатика — 2007, 2008, 2009», Зеленоград, 18-20 апреля 2007 г., 23-25 апреля 2008 г., 22-24 апреля 2009 г;

• на научной конференции "Nonlinear phenomena in quantum degenerate gases", Toledo, Spain, April 1-4, 2008;

• на семинаре ИММ РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под руководством профессора Е.И. Леванова, Москва, 11 декабря 2008 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы пять научных статей, список которых приведен в конце данного автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 177 страниц, работа содержит 37 рисунков, 7 таблиц. Список литературы содержит 91 наименование.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, приведен краткий обзор известных результатов, показана практическая зна-

чимость диссертационной работы, представлены выносимые на защиту научные положения.

Первая глава посвящена новому методу для расчета стационарных решений одномерпого УГП. В первом параграфе приводится описание предлагаемого числешюго подхода. В первом пункте первого параграфа изложены нестрогие наводящие соображения, раскрывающие идею метода. Пусть 5+ — это множество действительнозначных решений уравнения (5), стремящихся к нулю при х —► -}-оо. Рассматривая любое решение из естественно предположить, что при больших значениях аргумента его поведение можно описать линейным уравнением

Фхх + (и - У(х))г1> = 0. (8)

Если сделанное предположение справедливо, то любое решение из 5+ подчиняется следующей асимптотической формуле [17]:

ехр { - / у/У(1) - ш М \ (С+ + о(1)) {У(х)-и>У

ф(х) = -^-7—---, ж -V +оо, (9)

где С-)- —действительный числовой параметр. Следующее предположение заключается в том, что соотношение (9) выражает взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством Другими словами, для любого числа С+ существует единственное решение ф+(х) = ф^.{х-, С+), принадлежащее множеству и подчиняющееся асимптотической формуле (9), и наоборот, для любого решения из найдется соответствующая константа С+.

Аналогичные рассуждения можно провести и для решений, образующих множество Я-, то есть, стремящихся к нулю при х —* — оо. Соответствующее константе С- решение из 5- будем обозначать как ф- (ее; С_).

Очевидно, локализованное решение ф(х) уравнения (5) должно принадлежать пересечению множеств и . При этом для некоторого фиксированного х (скажем, для х = 0) должны выполняться условия

^(0) = ^-(0;С_) = 1М0;С+), (10)

= -Ф'_(0;С_) = ф'+(0;С+). (11)

Последние соотношения представляют собой систему уравнений относительно пары неизвестных чисел С_ и С+.

Во втором пункте первого параграфа изложенным выше рассуждениям придается строгая форма в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть существует такое жо, что выполняются следующие

условия:

(1) У(х) — и) > £ > О для х > жо; (и) У(х) £ С2(ж0,+оо);

(и!)

|У"(а:)| . (У(х) - ы)~3/2 йх < оо.

Пусть фг(х) ^ 0 — фиксированное решение линейного уравнения (8), такое что -01 (х) стремится к нулю при х —> +оо и имеет асимптотику (9). Тогда:

(a) для любого решения ч/» (ж) £ 5+ существует число С+, такое что

ф(х) = ф1(х)(С+ + о(1)), ф'(х)=г1>'1(Х)(С+ + о(1)у, (12)

(b) наоборот, для любого числа С+ £ К существует единственное решение х; С.).) £ 5+ уравнения (5), подчиняющееся асимптотическим соотношениям (12).

В следующем пункте описывается, как организовать поиск стационарных решений на основе сделанного утверждения. В ходе расчета при фиксированном ш производится перебор различных значений параметров С+ и С_, начиная от нуля и до некоторых выбранных заранее значений, и находятся решения системы (10)-(11). Предлагается новый способ визуализации семейств стационарных решений: вместо традиционного {ш, Лг}-представлешш предлагается отмечать каждое локализованное решение точкой на плоскости {ш, Преимущество такого способа заключается

в том, что в силу теоремы 1 каждая точка на плоскости {ы, С+} соответствует ровно одному локализованному решению, чего нельзя сказать о плоскости {ш,N}. В четвертом пункте первого параграфа приводятся дополнительные утверждения для случая отталкивающих взаимодействий. Эти утверждения позволяют оборвать процесс поиска локализованных решений, остановившись на некоторых конечных значениях параметров С±. При этом можно гарантировать, что при данном ш в ходе уже проделанного расчета были найдены все решения рассматриваемой задачи.

Во втором параграфе первой главы рассматриваемая задача анализируется с помощью асимптотических разложений вида (7). Эти соотношения позволяют описать свойства малоамплитудных решений, обладающих линейным аналогом. Получено несколько вспомогательных соотношений, использующихся в следующих разделах диссертации.

В третьем параграфе первой главы сообщаются результаты расчетов, полученные с помощью описанного метода. В первом пункте рассматривается случай гармонического потенциала V (х) = х2. Найденные семейства стационарных решений приводятся в виде диаграмм на плоскости {щ, С+ } и {иг, -¿V}. Во втором пункте рассматривается двухъямный потенциал вида У(х) = ах4 + /Зж2, а > 0, /3 < 0. Для этого случая удалось найти

решения, не обладающие линейным аналогом, а также несимметричные решения. Следует подчеркнуть, что как для гармонического, так и для двухъямного потенциала в случае сг = — 1 полученная картина является полной в том смысле, что в рассмотренном диапазоне по и» были найдены все стационарные решения. В третьем пункте предлагаемый метод обобщается на случай неоднородной по пространству пелинейности. Рассматривается случай, когда коэффициент и является кусочно-постоянной функцией от х, допускающей разрыв при х = О.

В четвертом параграфе приведен обзор результатов первой главы.

Во второй главе изучается устойчивость стационарных решений одномерного УГП. В первом и втором параграфах рассматривается линейная устойчивость стационарных решений. В первом пункте первого параграфа показано, что линейная устойчивость стациопарного решения (7) определяется собственными числами следующей линейной задачи на собственные значения: Ь~¿"'"С = Л где операторы Ь~ и имеют следующий вид:

Ь* = с?/<1 ж2 У (ж) + (2 ± 1) • <т( х)ф2(х). (13)

Во втором пункте первого параграфа показано, что линейная устойчивость малоамплитудных решений, принадлежащих семейству Г„, определяется собственными числами оператора С„, где Сп — в? / йх2 й>п — V (х). Если все собственные числа оператора С.2 различны, то все решения достаточно малой амплитуды, принадлежащие семейству Гп, линейно устойчивы. Если же спектр оператора содержит кратные собственные числа (что, в частности, имеет место в случае гармонического потенциала в силу эквидистантности его спектра), то возможна линейная неустойчивость малоамплитудных решений. В третьем пункте первого параграфа кратко описывается понятие сигнатуры Крейна. Если Л — полупростое

_(а)щ /ген /вд

лг

42

R4 / Fvv4 ьма

Г/Г/Т

о СО 2

С05

Рис. 1. Семейства Г„ стационарных решений уравнения (5) для гармонического потенциала = I2 для случая отталкивающих (график (а)) и притягиваю-

щих (график (Ь)) взаимодействий. На графиках (с) и (<1) показаны семейства стационарных решений для случая У(х) = ж4. Фрагменты кривых, содержащие устойчивые решения, выделены жирным. В прямоугольных рамках показаны примерные пространственные профили решений.

действительное собственное число оператора L' -L+ и С (ж) — соответствующая собственная функция, то сигнатура Крейна собственного числа Л находится как К = sign С(ж))- При «движении» вдоль семейства Г„ собственные числа Л непрерывно меняются. Однако при этом сигнатура каждого собственного числа измениться не может. Если два собственных числа «сталкиваются», то после столкновения данные собственные числа могут стать комплексными только если их сигнатуры Крейна были различны.

Во втором параграфе второй главы приводятся результаты численного исследования линейной устойчивости. В первом пункте второго параграфа рассматривается случай гармонического потенциала. Полученные с помощью анализа асимптотических разложений результаты говорят о том, что в этом случае малоамплитудные решения, принадлежащие высшим семействам (п ^ 2), являются неустойчивыми. Рассматривается также устойчивость решений произвольной амплитуды. В целом полученные результаты не противоречат, но в то же время обобщают сообщавшиеся ранее результаты (например, в [6] и [15]). В следующих пунктах второго параграфа рассматриваются случаи «слабо ангармонического» потенциала У(х) = ж2 + ~(х4, О < 7 « 1, и «сильно ангармонического» потенциала У(ж) = ж4. В обоих этих случаях имеет место линейная устойчивость малоамплитудных решений. Сравнивая результаты, полученные для трех рассмотренных типов потенциалов (четвертый пункт), можно убедиться в том, что в случае ангармонических потенциалов общая картина устойчивости существенно отличается от той, которая имеет место для гармонического потенциала (см. рис. 1). Например, для потенциала У(ж) = ж4 и случая отталкивающих взаимодействий (ст = — 1) все рассмотренные решения оказались линейно устойчивыми. В следующих двух пунктах второго параграфа рассматривается линейная устойчивость решений, найденных ранее для случая двухъямного потенциала и для случая неоднородной нелинейности, когда <т(х) = сг+ при ж > 0 и <т(ж) <т_ при х < 0. Для последнего случая показано, что уравнение Гросса-Питаевского с неоднородной нелинейностью допускает существование бистабилъных стационарных состояний. Под бистабильным состоянием понимается устойчивое стационарное решение (у},гр\{х)) £ Гп, такое что для него существует еще одно устойчивое решение ('и, 1^2 (ж)) 5 Гп, принадлежащее тому же семейству Гп и соответствующее тому же значению параметра ш. Пока-

15

10 N

5 0

Рис. 2. Семейства стационарных решений Гп для п = 0,1,2. Слепа — случай сг± = ±1, справа — случай сг_|_ = 1, сг_ = —5. Фрагменты кривых, содержащие устойчивые решения, выделены жирным. Затененные области показывают участки кривых, которые содержат устойчивые решения, принадлежащие одному и тому же семейству и соответствующие одной и той же величине о)п (то есть, решения, соответствующие бистабильным состояниям).

зано, что при подходящем выборе значений сг_(_ и сг_ бистабильные состояния можно получить даже для. семейства Го (см. рис. 2).

В третьем параграфе второй главы полученные выше результаты, касающиеся устойчивости, подтверждаются с помощью численного решения УГП во времени. Рассматривается следующая задача: УГП дополняется некоторыми начальными данными: = 0, х) = тр(х) и нулевыми граничными условиями. Для решения датой задачи в первом пункте третьего параграфа была адаптирована схема Розенброка с комплексным коэффициентом [18], которая хорошо зарекомендовала себя при расчетах на бесконечных областях. Во втором пункте проведены тесты схемы Розенброка на сгущающихся квазиравномерных сетках, в том числе, с помощью точных решений, которые допускает УГП в некоторых предельных случаях. В третьем пункте приведены результаты решения УГП во времени. Данные результаты подтверждают выводы, сделаппые на основе анализа линейной устойчивости стационарных решений УГП.

В последнем, четвертом параграфе приведен обзор результатов второй

главы.

В третьей главе развитый выше метод расчета стационарных решений УГП обобщается на двумерный случай. В первом параграфе уточняется постановка задачи. Рассматривается особый класс стационарных решений, так называемые вихревые структуры. Стационарные решения такого типа записываются в виде подстановки lI'(i, г, <р) = где г и (р — полярные координаты, а число т = 0,1, 2 ... называется топологическим зарядом вихревой структуры. Функция v(r) является действительным решением уравнения

Vrr + Vr/г -f (u> — V(r))v — m2v/r2 + crv3 = 0. (14)

Кроме требования пространственной локализации, limr_,oo v(r) = 0, задается асимптотическое поведение функции v(r) при г —> 0:

lim v(r)r~m ±схэ. (15)

1—>+0

Второй параграф третьей главы посвящен описанию предлагаемого подхода. В первом пункте второго параграфа приводятся утверждения, лежащие в основе метода. Сначала на рассматриваемый в третьей главе случай обобщается теорема 1 из первой главы: показано, что асимптотическое соотношение

ехр - J у/0Щ dt\{C + о( 1))

где<3(г) = У(г) — и; + т2/г2, задает взаимно-однозначное соответствие между множеством решений уравнения (14), достаточно быстро стремящихся к нулю при г —> +оо, и множеством действительных чисел. Затем в этом же пункте рассматривается задача (14)—(15). Показано, что для любого действительного числа с она имеет единственное решение (г; с).

Как и в одномерном случае, доказанные утверждения позволяют свести задачу поиска вихревой структуры к решепшо системы уравнепий г;+ (г1; С) = V- {гг; с), (п; О) = (г 1; с) относительно пары числовых неизвестных с и С. В последних соотношениях > О — некоторая фиксированная точка. Во втором пункте второго параграфа подробнее рассматривается случай и — — 1 и т = 0. Сформулирован и доказан набор утверждений, позволяющий при выполнении определенных условий остановить процесс расчетов, рассмотрев конечный диапазон значений параметров с и С и гарантировав при этом, что при данном из найдены все рассматриваемые вихревые структуры. В третьем пункте второго параграфа описывается процедура расчета вихревых структур.

В третьем параграфе третьей главы сообщаются полученные результаты. Как и в одномерном случае, были рассмотрены случаи гармонического У[г) — г2 и двухъямного У(г) = аг4 + /Зг2 потенциалов. Были изучены случаи нулевого и единичного топологического заряда. Найденные семейства стационарных решений приводятся в виде диаграмм на плоскостях {и>,с} и {¡х>,ЛГ}.

В четвертом параграфе приведен обзор результатов третьей главы.

В четвертой главе рассматривается устойчивость двумерных стационарных состояний. В терминах предыдущей главы изучаются вихревые структуры с нулевым топологическом зарядом. В первом параграфе приводятся предварительные замечания и вспомогательные факты, касающиеся стационарных решений УГП. Кратко сообщаются известные результаты. Подчеркивается, что, согласно недавним исследованиям, в случае гармонического потенциала = г2 все высшие вихревые структуры с нулевым топологическим зарядом являются неустойчивыми. Показано, что задача определения линейной устойчивости может быть сведена к рассмотрению набора задач на собственные значения. Анализируется линей-

ная устойчивость малоамплитудных стационарных решений.

Во втором параграфе четвертой главы подробно рассматривается случай гармонического потенциала У(г) = г2. С помощью анализа асимптотических разложений показано, как определенные особенности спектра гармонического потенциала приводят к неустойчивости малоамплитудных радиально-симметричных стационарных состояний, принадлежащих высшим семействам. Проведенный анализ позволяет обобщить результаты, полученные в [14]. Расчет показывает, что неустойчивость продолжает существовать и с увеличением амплитуды стационарных решений.

В третьем параграфе четвертой главы изучается случай ангармонического потенциала. По аналогии с одномерным случаем рассматривается гармонический потенциал с малым ангармоническим возмущением (первый пункт) и потенциал вида У(г) = г4 (второй пункт). Показано, что наличие ангармоничности приводит к тому, что высшие стационарные состояния достаточно малой амплитуды становятся устойчивыми. Однако, в отличие от одномерного случая, и для притягивающих, и для отталкивающих взаимодействий высшие состояния довольно быстро теряют устойчивость с увеличением амплитуды решений.

Последний, четвертый параграф содержит результаты четвертой главы.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы:

1. Разработан метод стрельбы для расчета стационарных решений УГП. Сформулирован и доказан набор утверждений, дающих предложенному методу строгое математическое обоснование.

2. При помощи предложенного метода построены семейства стационарных решений для нескольких типов потенциалов, представляющих

физический интерес. В ряде случаев для заданного потенциала V(x) и для а = —1 показало, что в рассмотренном диапазоне значений параметра и> найдены все существующие решения.

3. Исследована устойчивость найденных решений. Выявлена связь между спектром потенциала V(x), удерживающего конденсат, и устойчивостью высших стационарных состояний УГП.

4. Рассмотрено УГП с неоднородной по пространству нелинейностью. Для данного случая также построены семейства стационарных решений и изучена их устойчивость. Обпаружено существование би-стабильных стационарных состояний.

Работа сопровождается несколькими приложениями. Приложение А содержит краткий обзор известных результатов, касающихся решений линейного уравнения (8), стремящихся к нулю на бесконечности. Приложение^ посвящено доказательству теоремы 1 из первой главы. В приложении^ приводятся некоторые вспомогательные утверждения, необходимые для анализа случая отталкивающих взаимодействий. В приложении Г рассматриваются асимптотические разложения, описывающие расщепление кратного собственного числа при возмущепии линейного оператора. Полученные в данном приложении соотношения используются для анализа устойчивости малоамплитудных решений в случае гармонического потенциала.

Список литературы, цитируемой в автореферате

[1] Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor / M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews et al. // Science.— 1995.- Vol. 269.— Pp. 198-201.

[2] Питпаевский JI. П. Конденсация Бозе-Эйнштейна в магнитных ловушках. Введение в теорию // УФН.~ 1998.— Т. 168, № 6. — С. 641653.

[3] Питпаевский JI. ЛГ. Конденсаты Бозе—Эйнштейна в поле лазерного излучения // УФН.— 2006. Т. 176, № 4. — С. 345-364.

[4] Pitaevskii L., Stringari S. Bose-Einstein condensation.— Oxford: Clarendon Press, 2003.

[5] Berge L. Self-focusing dynamics of nonlinear waves in media with parabolic-type inhomogeneities // Physics of Plasmas. — 1997. — May. — Vol. 4, no. 5.— Pp. 1227-1237.

[6] Nonlinear solitary waves with Gaussian tails / M. Kunze, T. Kiipper, V. K. Mezentsev et al. // Physica £>.— 1999 - Vol. 128.— Pp. 273— 295.

[7j Edwards M., Burnett K. Numerical solution of the nonlinear Schrodinger equation for small samples of trapped neutral atoms // Physical Review A. — 1995.— Vol. 51, no. 2. — Pp. 1382-1386.

[8] Time-dependent solution of the nonlinear Schrodinger equation for Bose-condensed trapped neutral atoms / P. A. Ruprecht, M. J Holland, K. Burnett, M. Edwards // Physical Review A.— 1995.— Vol.'51, no. 6.— Pp. 4704-4711.

[9] Dalfovo F., Stringari S. Bosons in anisotropic trap: Ground state and vortices // Physical Review A. — 1996.—Vol. 53, no. 4.— Pp. 24772485.

[10] Yukalov V. I., Yukalova E. P., Bagnato V. S. Nonlinear coherent modes of trapped Bose-Einstein condensates // Physical Review A. — 2002.— Vol. 66.— P. 043602.

[11] Yukalov V. I. Nonequilibrium Bose systems and nonground-state Bose-Einstein condensates // Laser Physics Letters.— 2006.— Vol. 3, no. 8.— Pp. 406—414.

[12] Weiss C., Teichmann N. Generation of mesoscopic superpositions of a binary Bose-Einstein condensate in a slightly asymmetric double well // Laser Physics Letters. — 2007. — Vol. 4, no. 12. — Pp. 895—899.

[13] D'Agosta R., Presilla С. States without a linear counterpart in Bose-Einstein condensates // Physical Review A. — 2002.— Vol. 65.— P. 043609.

[14] Radially symmetric nonlinear states of harmonically trapped Bose-Einstein condensates / G. Herring, L. D. Carr, R. Carretero-González et al. // Physical Review A.— 2008. — Vol. 77.— P. 023625.

[15] Dynamic generation of matter solitons from linear limit states via time-dependent scattering lengths / P. G. Kevrekidis, V. V. Konotop, A. Rodrigues, D. J. Erantzeskakis // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. — 2005.,- Vol. 38.— Pp. 1173-1188.

[16] Carr L. D., Clark C. W., Reinhardt W. P. Stationary solutions of the one-dimensional nonlinear Schrodinger equation. I. Case of repulsive nonlinearity // Physical Review A. — 2000.— Vol. 62.— P. 063610.

[17] Федорюк M. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1983. — 352 с.

[18] Вычисления на квазиравномерных сетках / Н. Н. Калиткин, А. Б. Алынин, Е. А. Алынина, Б. В. Рогов.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.— 224 с.

Список публикаций автора

[19] Alfimov G. L., Zezyulin D. A. Nonlinear modes for the Gross-Pitaevskii equation — a demonstrative computation approach // Nonlinearity. — 2007. — Vol. 74. — Pp. 2075-2092.

[20] Control of nonlinear modes by scattering-length management in Bose-Einstein condensates / D. A. Zezyulin, G. L. Alfimov, V. V. Konotop, V. M. Pérez-García // Physical Review A.— 2007.— Vol. 76.— P. 013621.

[21] Stability of excited states of a Bose-Einstein condensate in an anharmonic trap / D. A. Zezyulin, G. L. Alfimov, V. V. Konotop, V. M. Pérez-García // Physical Review A. — 2008. — Vol. 78.— P. 013606.

[22] Zezyulin D. A. Stability of two-dimensional radial excited states of a Bose-Einstein condensate in an anharmonic trap // Physical Review A.- 2009.- Vol. 79.— P. 033622.

[23] Алфимов Г. Л., Зезюлин Д. А. Использование доказательных вычислений для расчета вихревых структур в конденсате Бозе-Эйнштейна // Нелинейная динамика. — 2009. — Т. 5, № 2.— С. 215-235.

Подписано в печать:

Формат 60x84 1/16. Уч.-изд.л ЯД, . Тираж экз. Заказ ■/ЯсР.

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ.

124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ.

Введение

Глава 1. Численный метод для расчета стационарных решений одномерного УГП

1.1. Описание предлагаемого метода.

1.2. Асимптотические разложения для малоамшштудпых решений

1.3. Результаты расчетов

1.4. Обзор результатов главы

Глава 2. Исследование устойчивости стационарных решений одномерного УГП

2.1. Линейная устойчивость стационарных решений

2.2. Результаты исследования устойчивости.

2.3. Численное решение УГП во времени

2.4. Обзор результатов главы

Глава 3. Расчет стационарных решений двумерного УГП

3.1. Постановка задачи.

3.2. Описание предлагаемого метода

3.3. Результаты расчетов

3.4. Обзор результатов главы 3.

Глава 4. Исследование устойчивости радиально-симметричных стационарных решений двумерного УГП

4.1. Предварительные замечания.

4.2. Гармонический потенциал

4.3. Ангармонический потенциал.

4.4. Обзор результатов главы 4.

Актуальность работы

Существование такого явления, как конденсация Бозе-Эйиштейна. было предсказано еще в 1924-1925 годах в работах С. Бозе и А. Эйнштейна. Суть данного явления заключается в том, что при достаточно низкой температуре макроскопически большое количество атомов оказывается в одном и том же квантовом состоянии. Фактически, при этом происходит фаговый переход, то есть, вещество переходит в новое состояние которое в настоящее время называется конденсатом Бозе-Эйнштейна (БЭК). Получить БЭК в реальном эксперименте удалось впервые лишь 1995 году [1). Это экспериментальное открытие стимулировало интерес к данной теме во всем мире, а в 2001 году ученым, получившим БЭК, была присуждена Нобелевская премия по физике (см., например, [2]). В настоящее время растущие экспериментальные возможности для получения п удержания этого нового состояния вещества ставят перед исследователями-теоретиками многочисленные вопросы, связанные как с объяснением имеющихся экспериментальных данных, так и с подготовкой новых экспериментов.

Одним из теоретических подходов к описанию БЭК является гак называемая теория среднего поля [3-5]. В се основе лежит уравнение Гросса-Питаевского (УГП), которое в обезразмеренном виде записывается как г% = -Дф + У(Х)Ф - <тФ|Ф|2. (1)

В данном уравнении в качестве неизвестного выступает комплекспозначная функция Ф(/",х), которая называется классической волновой функцией конденсата. Волновая функция описывает реальное распределение атомов конденсата в пространстве. Функция V(x) моделирует внешний потенциал, который необходим для того, чтобы удержать конденсат. Нелинейный член в УГП учитывает взаимодействия, действующие между частицами, образующими конденсат. Случай а = 1 соответствует наличию притягивающих взаимодействий между частицами, в то время как при ст = —1 между частицами действуют отталкивающие взаимодействия. Величины имеют смысл энергии конденсата и числа частиц, образующих конденсат, соответственно. Обе эти величины сохраняются при эволюции, описываемой уравнением (1).

Уравнение (1) можно рассматривать как нелинейное уравнение Шредин-гера (НУШ) [6] с дополнительным потенциалом V(x) или как линейное уравнение Шредингера [7| с дополнительным нелинейным слагаемым. Интересно также отметить, что уравнение Гроеса-Питаевского появляется и в других областях физики. Например, в физике плазмы уравнение (1) описывает распространение импульса в плазменном канале [8]. В нелинейной оптике включение дополнительного потенциала в классическую модель НУШ продиктовано необходимостью сжатия импульсов в оптическом волокне [9].

В настоящей диссертационной работе рассматриваются стационарные решения уравнения (1). Такие решения записываются в виде подстановки

3)

4) где функция ф(х) удовлетворяет стационарному уравнению а также условиям пространственной локализации х|—>оо lim "0(х) = 0.

6)

Разумеется, стационарные решения не исчерпывают все множество возможных решений УГП, однако представляют отдельный интерес, так как в терминах БЭК описывают так называемые стационарные состояния конденсата. Действительный параметр и в терминах БЭК соответствует гак называемому химическому потенциалу стационарного состояния. Стационарное решение (4) является критической точкой функционала (2) при условии постоянного числа частиц (3). Стационарное решение, которое минимизирует функционал энергии при заданном числе частиц, называется основным. Благодаря указанному свойству основное состояние конденсата представляет особый интерес и наиболее широко обсуждается в литературе [10-12). Однако рассматриваются высшие (то есть, не являющим основными) стационарные состояния конденсата [13, 14]), в том числе, в связи с экспериментами по «квантовому запутыванию» различных конденсатов [15]. Некоторые решения УГП, соответствующие высшим состояниям, были найдены численно (см., например, [16-18]). В некоторых частных случаях удалось строго доказать, что существует бесконечно много семейств стационарных решений [9|. В то же время, для произвольного потенциала V(x) исчерпывающей классификации различных семейств стационарных решений до сих пор не построено.

Цель диссертационной работы

Цель данной работы — перечислить (классифицировать) все типы стационарных решений, которые допускает УГП (для различных, но фиксированных потенциалов V(x)), найти их численно и исследовать их устойчивость.

Краткий обзор известных результатов

Методы для расчета стационарных состояний

За исключением некоторых специфических частных случаев (например, когда, потенциал V(x) имеет особый вид. как, например, в [19-24]) решения уравнения (1) возможно найти только численно. За последние годы для решения этой задачи было предложено большое количество подходов. Перечислим ниже некоторые из них. Подробный обзор можно найти в недавно вышедшей работе [25].

Как уже было сказано, благодаря своему экстремальном)' свойству основное состояние привлекает особое внимание в литературе. В некоторых случаях для основного состояния удалось доказать строгие утверждения, касающиеся его существования и единственности, а также описать его свойства. Например, если потенциал зависит только от радиальной переменной, то волновая функция 0(х), соответствующая основному состоянию, как правило, тоже зависит только от г п не имеет нулей (строгий результат для случая отталкивающих взаимодействий см. в [26]). Особые свойства основного состояния позволяют использовать специальные методы для его численного построения. Например, во многих работах (см. [10, 27, 28]) для нахождения основного состояния предлагается непосредственно решить задачу условной минимизации некоторого функционала.

Для описания и численного построения высших стационарных состояний УГП в настоящее время применяется несколько подходов.

Выход из линейного предела. Если для некоторого стационарного состояния (4) величина волновой функции достаточно мала, то в уравнении (5) нелинейным членом можно пренебречь. Полученная линейная задача на собственные значения

Аф + (и-У{х))ф = 0 (7) представляет собой хорошо известное уравнение линейного квантового осциллятора. Положим, что потенциал Т7(х) гаков, что задача па собственные значения (7) имеет бесконечный дискретный набор решений (Оп,/фп(х.)^, 11 = 0,1, 2,., где собственные числа шп действительны и упорядочены в порядке возрастания: ljq < cDj. < . Любое стационарное решение УГП (то есть, любую пару (а;, 0(х)), удовлетворяющую (4)) можно отметить точкой на координатной плоскости {а;, Л7"}. Например, тривиальное решение ^(х) ~ О существует при любом си. На рассматриваемой плоскости такому решению соответствует вся прямая N — 0. В точках и = шп нулевое решение ветвится, в результате чего на плоскости {a;, N} появляется набор непрерывных кривых Г71, п = 0,1,., выходящих из точек (d)n,0). Следуя терминологии, использовавшейся в [16, 29], будем говорить, что кривые Гп описывают семейства стационарных решений, обладающих линейным аналогом. Известно, что решения, обладающие линейным аналогом, существуют как в случае притягивающих взаимодействий (а = 1), так и для а = — 1. Вопрос о том, для каждого ли шп (при фиксированном V(x) и а) существует ответвляющееся от него семейство стационарных решений, требует отдельного теоретического исследования (см., например, [9]).

В двумерном случае, если потенциал V(x) зависит только от длины радиус-вектора г = |х|, то собственные функции V;n(x) также являются ра-диально-спмметричпыми. Соответствующие собственным функциям нелинейные аналоги, принадлежащие семействам Гп, сохраняют радиальную симметрию и образуют таким образом семейства радиальпо-симметричных высших (для n ^ 1) стационарных состояний.

Собственные функции ^(х) и собственные числа шп задачи (7) можно использовать для того, чтобы аппроксимировать малоамплнтудпое решенпе V'(x) уравнения (5) и соответствующее ему значение параметра со (см. также [30]). Затем, постепенно изменяя величину иможно «выйти из линейного предела», то есть, построить семейства Тп численно. Подобный метод продолжения из линейного предела использовался, например, в [17] для численного построения одномерных стационарных решений. В многомерном случае он также использовался для расчета стацпонарпых решений различного вида [18, 31]

Выход из предела бесконечно большой нелинейности. Решения, обладающие линейным аналогом, которые были описаны в предыдущем пункте, можно в некотором смысле интерпретировать как собственные функции квантового линейного осциллятора (7), «деформированные» нелинейностью. Вместе с тем, известно, что УГП допускает и стационарные решения, не обладающие линейным аналогом. Для нахождения таких решений метод продолжения из линейного предела непригоден. Однако подобное продолжение по параметру со можно осуществить, выходя пз противоположного предела, когда амплитуда волновой функции бесконечно велика [16]. С помощью такого метода продолжения из предела бесконечно большой нелинейности в [16] удалось в том числе найти решения одномерного УГП, не имеющие линейного аналога, а также несимметричные решения, для которых Ф К'Ч"-^)!

Вариационный подход. Кроме того, предсказание возможных типов нелинейных структур в БЭК можно строить на основе вариационного принципа [29]. Сложные структуры при этом складываются из более простых объектов, причем параметры этих объектов и расстояния между ними определяются требованием минимизации некоторого функционала. Выбор исходных объектов определяется некими априорными соображениями. Получив таким образом хорошее начальное приближение, стационарное решение можно затем найти численно, используя подходящий итерационный метод.

Методы стрельбы. Наконец, рассматривая стремящееся к пулю при |.г| —* оо решение ф(х.) уравнения (5), естественно предположить, что при больших по модулю значениях аргумента |х| функция ^(х) может быть достаточно точно описана линейным уравнением (7). Уравнение (7) можно использовать для того чтобы определить асимптотическое поведение решения ф(х) при |х| —оо. Например, в одномерном случае для гармонического потенциала V{x) = х2 можно воспользоваться выражением для асимптотики функции параболического цилиндра [32]. Используя эту асимптотику, можно построить метод стрельбы, который позволит найти решение уравнения (5), удовлетворяющее необходимым граничным условиям при |х| —> +оо и при |х| —> 0. Подобные методы стрельбы использовались в работах [12. 33, 34]. Однако подобный перенос граничных условий из бесконечности, вообще говоря, требует математического обоснования. Отметим, что предлагаемый в настоящей диссертации численный метод для поиска стационарных решений УГГ1 (см. главы 1 и 3) является, по существу, методом стрельбы, в основе которого лежит строгое утверждение, устанавливающее взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и некоторым множеством стремящихся к пулю при |х| —оо решений ф(х).

Устойчивость стационарных состояний

Важной характеристикой стационарного решения является его устойчивость, которая непосредственно связана с возможностью наблюдения данного состояния конденсата в реальном эксперименте. Рассматривая устойчивость стационарных состояний УГП, выделяют несколько ее видов, например (см. [35]): энергетическая устойчивость, устойчивость по Ляпунову и линейная устойчивость. Стационарное состояние (4) является энергетически устойчивым, если оно представляет собой минимум (локальный или глобальный) функционала энергии (2) при фиксированном числе частиц (3).

Помимо энергетической устойчивости рассматривают также динамическую устойчивость. Согласно [36] (см. также [23, 37]), решение (4) является орбита чыю (нелинейно) устойчивым, если для любого сколько угодно малого е > 0 найдется 5 > 0, такое, что для любой функции 0о(х), удовлетворяющей неравенству jo,. inf 0о(х)-АА(х) <5,

OeR 11 существует определенное для любого t > О решение Ф(^,х) уравнения (1), причем Ф(0,х) — <^о(х)> а также т|||Ф(£,х)-е^(х)|| <в для любого t > 0. Здесь || • || — норма, порожденная некоторым гильбертов-ским пространством. Можно сказать, что наличие орбитальной устойчивости означает, что если начальные данные фо(х) достаточно близки (с точностью до множителя вида егв) к профилю ^(х), соответствующему рассматриваемому стационарному состоянию, то и в ходе эволюции для любого сколь угодно большого момента времени t полученное решение Ф(£,х) останется близким (в том же смысле) к данному профилю.

Линейная устойчивость описывает эволюцию стационарного решения при добавлении к нему в начальный момент малого возмущения. Наличие или отсутствие линейной устойчивости определяется характером собственных чисел некоторого линейного оператора.

Краткий обзор аналитических результатов, касающихся устойчивости

Большая часть известных результатов, касающихся орбитальной устойчивости стационарных решений уравнения (1) относится к случаю, когда в этом уравнении V(x) = 0 (при этом, фактически, уравнение (1) превращается в нелинейное уравнение Шредипгера. В частности, (см. [38]) хорошо известно, что основное состояние, то есть, решение вида с где х G 1". со < 0, а ф(зс) — положительное решение уравнения устойчиво, когда п— 1, и неустойчиво при п ^ 2.

Результаты, полученные в работе [39| (среди которых — асимптотическая устойчивость основных состояний достаточно малой нормы), относятся к случаю затухающего на бесконечности потенциала, Нт^-юо V(x) = О, в частном случае, когда существует ровно два семейства стационарных решений. Удалось также получить результаты, касающиеся устойчивости основного состояния для случая, когда потенциал имеет вид дельта-функции Дирака [23, 40] или бесконечно возрастает при \х\ —* -Ьоо (как, например, гармонический потенциал V(x) = |х|2) [9, 36, 38, 41, 42]. Однако для высших стационарных решений (или тем более для решений, не обладающих линейным аналогом) точных утверждений, касающихся их устойчивости, сделать не удалось. Поэтому исследование (в том числе, и численное) устойчивости стационарных решений, принадлежащих высшим семействам, или не имеющих линейного аналога, остаётся актуальной задачей.

Численное исследование устойчивости

Можно выделить два подхода, которые чаще всего используются при численном исследовании устойчивости стационарных решений УГГТ. Первый из них основывается па непосредственном решении эволюционной задачи Ко-ши, получающейся при дополнении уравнения (1) начальными и граничными условиями вида

Здесь ф(х.) — найденное некоторым методом решение стационарного уравнения (5), которое, как правило, вдобавок возмущается малоамплитудным

Аф + шф + ф\ф\2 = 0,

8) 0,х) =^(х), Ф(£,±оо) =0.

9) шумом (например, белым). Для решения задачи (1), (9) во времени предложено несколько различных численных схем [43-16]. Если для достаточно большого момента времени Т полученный профиль |Ф(Т, х)| оказался достаточно близок к начальному профилю |?/>(х)|, то говорят, что с тационарное решение прошло тест на нелинейную устойчивость. На самом деле, полученный результат лишь косвенно свидетельствует о наличии орбитальной устойчивости. К другим недостаткам данного подхода можно отнести свободу в выборе времени окончания расчета Т, так как, строго говоря, но существует гарантии того, что неустойчивость не проявится при более длительном расчете. Исследование устойчивости стационарных решении УГП с помощью непосредственного решения эволюционной задачи использовалось в большом количестве работ как для одномерного случая [16, 17, 47, 48|, так и для многомерного [18, 31].

Другой распространенный подход к исследованию устойчивости основан на численном решении задачи на собственные значения, которая описывает линейную устойчивость стационарного решения. Оператор, спектр которого необходимо найти, аппроксимируется на пространственной сетке, в результате чего задача сводится к нахождению собственных чисел некоторой разреженной матрицы. При этом, в отличие от подхода, основанного на решении эволюционной задачи, полученный результат однозначно говорит о наличии или отсутствии линейной устойчивости. Линейная устойчивость стационарных решений УГП рассматривалась, например, в работах [17, 47, 49, 50].

Научная новизна работы

Новый численный метод для расчета стационарных состояний

Несмотря на разнообразие методов, предложенных для расчета стационарных решений уравнения Гросса-Питаевского, общей классификации высптих мод для УГП с произвольным потенциалом V(x), вообще говоря, не построено. Многие из предложенных методов численного поиска стационар-пых решений требуют наличия некой априорной информации о форме искомых решений. Данная информация используется для того, чтобы достаточно точно найти начальное приближение, с которого следует начинать итерационный процесс. Кроме того, насколько известно автору, ни один из предложенных методов не позволяет гарантировать, что в процессе расчета были найдены все стационарные решения, существзчощие при данном значении химического потенциала со.

В данной работе предлагается новый численный метод, предназначенный для расчета стационарных решений одномерного и двумерного уравнения Гросса-Питаевского. Новый метод не требует наличия априорной информации о пространственной форме стационарных решений п позволяет рассчитывать решения как обладающие, так и не обладающие линейным аналогом, а также (в одномерном случае) несимметричные решения, для которых \i/j(x)\ ф |,0(—х)|. Метод имеет строгое математическое обоснование в виде теоремы, устанавливающей взаимно-однозначное соответствие между некоторым классом решений уравнения (5) и множеством действительных чисел. Важным преимуществом нового метода является то, что в некоторых случаях (точнее, для случая отталкивающих взаимодействий а — —1) он позволяет провести процедуру доказательных вычислений, показав в процессе расчета, что при данном значении со рассматриваемая задача не допускает других решении, кроме тех, что уже были найдены. Кроме того, предложенный метод позволяет работать с широким классом потенциалов V(x), в том числе, и не стремящихся к +оо при |х| —> оо. Наконец, в одномерном случае использованный подход легко обобщается па случай неоднородной по пространству нелинейности, когда, например, коэффициент а является кусочно-непрерывной функцией от х: <г(х) = а+ при х > 0 и а(х) = <х при х < 0.

Исследование устойчивости стационарных состояний

Если с помощью некоторого метода удалось рассчитать некоторое стационарное решение, то следующим естественным шагом является исследование его устойчивости. Как говорилось выше, вопросу устойчивости стационар-пых решений посвящено большое количество литературы. Однако в подобных исследованиях основному состоянию зачастую уделяется намного больше внимания, чем высшим состояниям. Кроме того, считается, что в условиях эксперимента магнитная ловушка, которая удерживает конденсат, может быть смоделирована с помощью гармонического потенциала V(x) = |х|2. Поэтому большая часть результатов, касающихся устойчивости, сообщалась именно для случая гармонического потенциала. Следует, однако, признать, что до настоящего момента даже для лучше всего изученного случая одномерного гармонического потенциала V(x) = х2 не построена общая картина устойчивости различных семейств стационарных решений. Не обсуждалось также, как выбор конкретного потенциала V(x) влияет на общую картину устойчивости одномерных стационарных решений. Необходимо, правда, заметить, что для многомерных моделей рассматривались случаи вращающегося потенциала [35] или ангармонического потенциала [51]. Согласно результатам таких исследований, в многомерном случае включение ангармоничности или вращение потенциала может улучшить устойчивость стационарных состояний. Однако снова следует отметить, что устойчивость высших многомерных состояний в присутствии ангармонического потенциала не рассматривалась. В то же время, последний вопрос особенно интересен с той точки зрения, что подробные исследования, опубликованные за последние годы, (см., например, [18, 52, 53]) сообщают о неустойчивости всех рассмотренных высших радиально-симметричных стационарных состояний двумерного УГП для случая гармонического потенциала. При этом естественным образом возникает вопрос: можно ли стабилизировать высшие сое гояния двумерного УГП, перейдя от гармонического потенциала к ангармоническому'/ В данной работе устойчивость одномерных и двумерных стационарных состояний рассматривается в зависимости от вида потенциала V(x), удерживающего конденсат. Подробно рассмотрен случай гармонического потенциала V(x) = |х|2. Это позволило существенно уточнить и обобщить некоторые публиковавшиеся ранее результаты, относящиеся как к одномерному [9. 17], так и к многомерному [18] случаю. Кроме того, установлено, что случай гармонического потенциала является в некотором смысле особенным, что связано с эквидистантностью набора собственных чисел о>п, г? = 0,1,2,. гармонического квантового осциллятора

Наличие эквидистантности приводит к тому, что добавление к гармоническому потенциалу даже малого ангармонического возмущения может существенно изменить устойчивость стационарных решений. В настоящей работе кроме гармонического потенциала рассматривается также два типа ангармонических потенциалов: гармонический потенциал с малым ангармоническим возмущением: V^(x) = |х|2 + 7|х|4, 0 < 7 < 1, а также «сильно ангармонический» потенциал V{x) = |х|4. Нарушение гармоничности, в частности, приводит к тому, что высшие стационарные состояния достаточно малой амплитуды становятся устойчивыми. Таким образом, например, при переходе к ангармоническому потенциалу некоторые высшие состояния, которые были не устойчивы для случая гармонического потенциала, становятся устойчивыми. Снова, этот факт имеет смысл подчеркнуть, рассматривая двумерный случаи, так как при этом для гармонического потенциала все высшие состояния являются неустойчивыми. Однако, согласно результатам, полученным при работе над настоящей диссертацией, в двумерном случае, в отличие от

10) одномерного, при увеличении амплитуды все высшие состояния довольно быстро теряют устойчивость.

Практическая значимость работы

В процессе работы над диссертацией была создана программа, позволяющая рассчитывать стационарные решения УГП и затем численно исследовать устойчивость найденных решений. В программе реализована процедура проверки условий, которые должны выполниться (в случае отталкивающих взаимодействий между частицами) для того чтобы расчет можно было прервать, гарантировав при этом, что при данном си найдены все рассматриваемые стационарные решения.

Результаты диссертационной работы могут быть также использованы при подготовке новых экспериментов, связанных с исследованием БЭК, например, для получения не наблюдавшихся ранее в реальном эксперименте структур.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. метод доказательных вычислений для расчета стационарных решений одномерного и двумерного уравнения Гросса-Питаевского;

2. общая картина устойчивости различных семейств стационарных решений, существующих в присутствии гармонического V(x) = |х|2 и ангармонического V(x) = |х|4 потенциалов;

3. стабилизация стационарных решений уравнения Гросса-Питаевского при добавлении к гармоническому потенциалу V(x) = |х|2 ангармонического возмущения;

4. существование бистабильных стационарных состояний в случае неоднородной по пространству нелинейности, когда коэффициент а представляет собой функцию от .г: а = <т{х).

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на нескольких научных конференциях и семинарах, в том числе:

• на научной конференции "Solitons and nonlinear phenomena in degenerate quantum gases", Cuenca, Spain, Sept. 27-30, 2006;

• на научной конференции «Микроэлектроника и информатика 2007», Зеленоград, 18-20 апреля 2007 г.

• па научной конференции "Nonlinear phenomena in quantum degenerate gases", Toledo, Spain, April 1-4, 2008;

• на научной конференции «Микроэлектроника и информатика 2008», Зеленоград, 23-25 апреля 2008 г;

• на научной конференции "Nonlinear Science and Complexity", Porto, Portugal, July 28-31, 2008;

• па семинаре ИММ РАН и кафедры математического моделирования МФТИ под руководством профессора Е. И. Леванова, Москва, 11 декабря 2008 г;

• на научной конференции «Микроэлектроника и информатика 2009», Зеленоград, 22-24 апреля 2009 г;

Структура работы и краткое содержание

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 177 страниц, работа содержит 37 рисунков, 7 таблиц. Список литературы содержит 91 наименование.

2.2. Результаты исследования устойчивости

2.2.1. Гармонический потенциал V(rr) = х2 Малоамплитудные решения

Для потенциала V(x) = х2 значения шп и соответствующие собственные функции фп(х) (моды Гаусса-Эрмита) даются соотношениями (1.31). Устойчивость малоамплитудных решений, принадлежащих семейству может быть изучена с помощью разложений (2.7)-(2.11). В линейном пределе L~ = L^ — £u> и = С?п. Спектр оператора Сп является эквидистантным: собственные числа оператора Сп записываются в виде = 2(п — к), к = 0,1,., а соответствующие им собственные функции моды Гаусса-Эрмита к = 0,1,.: Cnipk(x) — 2(п - к)фк(х).

Собственные числа оператора С?п записываются в виде А^ = A2 к = 0,1,. Это означает, что в спектре оператора С2Ь присутствует ровно п двукратных собственных чисел

К,к = 4(га - /с)2, к = 0,1,. (г? - 1), (2.13) ровно одно простое нулевое собственное число и бесконечно много простых

Заключение

1. Разработан метод стрельбы для расчета, стационарных решений УГП. Сформулирован и доказан набор утверждений, дающих предложенному методу строгое математическое обоснование.

2. При помощи предложенного метода построены семейства стационарных решений для нескольких типов потенциалов, представляющих физический интерес. В ряде случаев для заданного потенциала V'(x) и для случая отталкивающих взаимодействий между частицами (<т = —1) показано, что в рассмотренном диапазоне значений параметра о; найдены все существующие решения.

3. Исследована устойчивость найденных решений. Выявлена связь между спектром потенциала V(x), удерживающего конденсат, и устойчивостью высших стационарных состояний УГП.

4. Рассмотрено УГП с неоднородной по пространству нелинейностью. Для данного случая построены семейства стационарных решений и изучена их устойчивость. Обнаружено существование бистабильных стационарных состояний.

1. Observasion of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor / M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews et al. // Science. — 1995.— Vol. 269. — Pp. 198-201.

2. Ketterle W. Nobel lecture: When atoms behave as waves: Bose -Einstein condensation and the a,torn laser // Reviews of Modern Physics. — 2002.— October. Vol. 74.-Pp. 1131-1151.

3. Питаевский Л. П. Конденсация Бозе-Эйнштейна в магнитных ловушках. Введение в теорию // УФН. 1998. - Т. 168. № 6. — С. 641-653.

4. Питаевский Л. П. Конденсаты Бозе-Эйнштейна в поле лазерного излучения // УФН. — 2006. Т. 176, № 4. — С. 345-364.

5. Pitacvskii L., Stringari S. Bose-Einstein condensation. — Oxford: Clarendon Press, 2003. 492 pp.

6. Sulem C., Sulem P.-L. The Nonlinear Schrodinger Equation. — New-York: Springer-Verlag, 1999.

7. Верезин Ф. А., Шубин M. А. Уравнение Шредингера. — M.: МГУ, 1983. — 392 с.

8. Berge L. Self-focusing dynamics of nonlinear waves in media with parabolic-type inhomogeneities // Physics of Plasmas. — 1997. — May. — Vol. 4, no. 5. — Pp. 1227-1237.

9. Nonlinear solitary waves with Gaussian tales / M. Kunze, Т. К upper, V. K. Mezentsev et al. // Physica D. — 1999. — Vol. 128. — Pp. 273-295.

10. Dalfovo F., Stringari S. Bosons in anisotropic trap: Ground state and vortices // Physical Review A. — 1996. — Vol. 53, no. 4. Pp. 2477-2485.

11. Time-dependent solution of the nonlinear Schrodinger equation for Bose-condensed trapped neutral atoms / P. A. Ruprecht, M. J. Holland, K. Burnett, M. Edwards // Physical Review A.— 1995.— Vol. 51, no. 6. -Pp. 4704-4711.

12. Edivards M., Burnett K. Numerical solution of the nonlinear Schrodinger equation for small samples of trapped neutral atoms // Physical Review A. — 1995. — Vol. 51, no. 2. — Pp. 1382-1386.

13. Yukalov V. /., Yukalova E. P., Bagnato V. S. Nonlinear coherent modes of trapped Bose-Einstein condensates // Physical Review A.— 2002.— Vol. 66. P. 043602.

14. Yukalov V. I. Nonequilibrium Bose systems and nonground-state Bose-Einstein condensates // Laser Physics Letters. — 2006.-- Vol. 3, no. 8. -Pp. 406-414.

15. Weiss C., Teichmann N. Generation of mesoscopic superpositions of a binary Bose-Einstein condensate in a slightly asymmetric double well / / Laser Physics Letters. 2007. - Vol. 4, no. 12. - Pp. 895-899.

16. DAgosta R., PresiJla C. States without a linear counterpart in Bose-Einstein condensates // Physical Review A. — 2002. — Vol. 65. — P. 043609.

17. Radially symmetric nonlinear states of harmonically trapped Bose-Einstein condensates / G. Herring, L. D. Carr, R. Carretero-Gonzalez et al. // Physical Review A. — 2008. — Vol. 77. — P. 023625.

18. Carr L. D., Clark C. W., Reinhardt W. P. Stationary solutions of the onc-dimensional nonlinear Sehrodinger equation. I. Case of repulsive nonlincari-ty // Physical Review A. 2000. — Vol. 62. - P. 063610.

19. Carr L. D., Clark C. W., Reinhardt W. P. Stationary solutions of the one-dimensional nonlinear Sehrodinger equation. II. Case of attractive nonlinear-ity // Physical Review A. — 2000. — Vol. 62. — P. 063611.

20. Mahmud К. IV., Kutz J. N., Reinhardt W. P. Bose-Einstein condensates in a one-dimensional double square well: Analytical solutions of the nonlinear Sehrodinger equation // Physical Review A. — 2002. — Vol. 66. — P. 063607.

21. Method for obtaining exact solutions of the nonlinear Sehrodinger equation for a double-square-well potential / P. Ziri, M. Matuszewski, G. Rowlands, AI. Trippenbach // Physical Review A. — 2006. Vol. 73. - P. 022105.

22. Fukuizumi R., Jeanjean L. Stability of standing waves for a nonlinear Sehrodinger equation with a repulsive Dirac delta potential // Discrete and continuous dynamical systems. — 2008.— May. — Vol. 21, no. 1.— Pp. 12]-136.

23. AI Khawaja U. Exact solitonic solutions of the Gross-Pitaevskii equation with a linear potential // Physical Review E. — 2007. — Vol. 75. — P. 066607.

24. Carretero-Golzalez R., Frantzeskakis D. J., Kevrekidis P. G. Nonlinear waves in Bose-Einstein condensates: physical relevance and mathematical techniques // Nonlinearity. — 2008. — Vol. 21,— Pp. R139-R202.

25. Lieb E. H., Seiringer R., Yngvason J. Bosons in a trap: A rigorous derivation of the Gross-Pitaevskii energy functional // Physical Review A. — 2000.— Vol. 61,- P. 043602.

26. Bao W. Tang W. Ground-state solution of Bose-Einstein condensate by directly minimizing the energy functional // Journal of Computational Physics. 2003. - Vol. 187. - Pp. 230-254.

27. Garcia-Ripoll J. J., Perez-Garcia V. M. Optimizing Schrodinger functionals using sobolev gradients: applications to quantum mechanics and nonlinear optics // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2001. — Vol. 23, no. 4. — Pp. 239-254.

28. DAgosta R., Malomed B. A., Presilla C. Stationary states of Bose-Einstein condensates in single- and multi-well trapping potentials // Laser Physics. — 2002. Vol. 12, no. 1. — Pp. 37-42.

29. Kiushar Y. S., Alexander T. 7., Turitsyn S. K. Nonlinear modes of a macroscopic quantum oscillator // Physics Letters A.— 2001.— Vol. 278.— Pp. 225-230.

30. Vortex stability in nearly-two-dimensional Bose-Einstein condensates with attraction / D. Mihalache, D. Mazilu, B. A. Malomed, F. Lederer // Physical Review A. 2006. - Vol. 73. - P. 043615.

31. Справочник rio специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами: Пер. с англ. / Под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган,— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — 832 с.

32. Gammal A., Federico Т., Tomio L. Improved numerical approach for the time-independent Gross-Pitaevskii nonlinear Schrodinger equation // Physical Review E. — 1999. — Vol. 60. — Pp. 2421-2424.

33. Stability analysis of the D-dimentional Schrodinger equation with trap andtwo- and three-body interactions / A. Gammal, T. Federico, L. Tomio, F. K. Abdullaev // Physics Letters A. 2000. - Vol. 267. - Pp. 305-311.

34. Garcia-Ripoll J. J., Percz-Garcta V. M. Stability of vortices in in homogeneous bose condensates subject to rotation: A three-dimentional analysis j/ Physical Review A. 1999. — December. — Vol. 60. — Pp. 4864-4874.

35. Wei Y. Chen G. On the standing wave for a class of nonlinear Sehrodinger equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2008. — Vol. 337.-Pp. 1022-1030.

36. Cazena,ve Т., Lions P. L. Orbital stability of standing waves for some nonlinear Sehrodinger equations // Communications in Mathematical Physics.— 1982. Vol. 85. - Pp. 549-561.

37. Fukuizumi R. Stability of standing waves for nonlinear Sehrodinger equation.— Seminaire 2003-2004 Equations aux derivecs partielles, Ecole Poly-technique expose numero IX. www.sedp. cedram.org/sedp-bin/item?id= SEDP2003-2004A90.

38. Weinstem M., Soffer A. Selection of the ground state for nonlinear Sehrodinger equation // Reviews in Mathematical Physics. — 2004. — Vol. 16, no. 8.- Pp. 977-1071.

39. Instability of bound states of a nonlinear Sehrodinger equation with a Dirac potential / S. Le Coz, R. Fukuizumi, G. Fibich et al. // Physica D. — 2008. — Vol. 237, no. 8. Pp. 1103-1228.

40. Fukuizumi R. Stability and instability of standing waves for the nonlinear Sehrodinger equation with harmonic potential // Discrete and Continuous Dynamical Systems. — 2001. — Vol. 7, no. 3. — Pp. 525-544.

41. Zhang J. Stability of standing waves for nonlinear Schrodinger equations with unbounded potentials // Zcitschrift fur Angcwandte Mafhematik und Physit 2000. - Vol. 51. - Pp. 498-503.

42. Perez-Garcia V. M., Liu X. Numerical methods for the simulation of trapped nonlinear Schrodinger systems // Applied Mathematics and Computation. — 2003. Vol. 144. - Pp. 215-235.

43. Bao W., Jaksch D., Markowich P. A. Numerical solution of the Gross-Pitaevskii equation for Bose-Einstein condensation / / Journal of Computational Physics. — 2003. — Vol. 187. — Pp. 318-342.

44. Wang H. Numerical studies on the split-step finite difference method for nonlinear Schrodinger equations // Applied Mathematics and Computation. -2005. Vol. 170. - Pp. 17-35.

45. Trofimov V. A., Peskov N. V. Comparison of finite-difference schemes for the Gross-Pitaevskii equation // Mathematical Modelling and Analysis. — 2009. —Vol. 14, no. 1. —Pp. 109-126.

46. Symmetry breaking in symmetric and asymmetric double-well potentials / G. Theocharis, P. G. Kevrekidis, D. J. Frantzeskakis, P. Schmelcher // Physical Review E. — 2006. — Vol. 74. — P. 056608.

47. Carr L. D., Kutz J. N., Reinhardt W. P. Stability of stationary states in the cubic nonlinear Scrodinger equation: Applications to the Bose-Einstein condensate // Physical Review E. — 2001. — Vol. 63. — P. 066604.

48. Kapitula Т., Kevrekidis P. G. Bose-Einstein condensates in the presence of a magnetic trap and optical lattice // Chaos. — 2005.— Vol. 15, no. 3.

49. Carr L. D., Clark C. W. Vortices and ring solitons in Bose-Einstein condensates // Physical Review A. — 2006. — Vol. 74. — P. 043613.

50. Федорюк M. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1983. — 352 с.

51. Федорюк М. В. Асимптотика решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка в комплексной области j j Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968. С. 406-420.

52. B'rauer F. Asymptotic equivalence and asymptotic behaviour of linear systems // The Michigan Mathematical Journal.— 1962.— Vol. 9. no. 1.— Pp. 33-43.

53. Onuchic N. Nonlinear perturbation of a linear system of ordinary dilleren-tial equations // The Michigan Mathematical Journal.— 1964.— Vol. 11, no. 3. — Pp. 237-242.

54. Onuchic N. Asymptotic relationships at infinity between the solutions of two systems of ordinary differential equations // Journal of Differential Equations. — 1967. — Vol. 3. Pp. 43-58.

55. Leiva H. Rodrigues H. M. Relative asymptotic equivalence of evolution equation // Nonlinear Analysis. — 2001. — Vol. 47. — Pp. 4579-4590.

56. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / JI. П. Шильников, A. JI. Шильников, А. Л. Тураев, Л. Чуа. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 416 с.

57. Palmer К. J. A generalization of Hartman's linearization theorem // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1973.— Vol. 41.— Pp. 753758.

58. Turbiner A. Anharmonic oscillator and double-well potential: Approximating eigenfunctions // Letters in Mathematical Physics. — 2005. — Vol. 74. — Pp. 169-180.

59. Вычисления на квазиравномерных сетках / И. И. Калиткин, А. Б. Аль-шин, Е. А. Алынина, Б. В. Рогов, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.- 224 с.

60. Jackson R. К., Weinstein М. I. Geometric analysis of bifurcation and symmetry breaking in a Gross-Pitaevskii equation // Journal of Statistical Physics. — 2004. — Vol. 116. — Pp. 881-905.

61. Гслъфанд И. M. Лекции по линейной алгебре.— М.: Добросвет, 2006.— 320 с.

62. Като Т. Теория возмущений линейных операторов: Пер. с англ.— М.: Мир, 1972. — 740 с.

63. Kapitula Т., Kevrekidis P., Sandstede В. Counting eigenvalues via the Krein signature in infinite-dimensional Hamiltonian systems // Physica D. — 2004. Vol. 195. — Pp. 263-282.

64. Mackay R. S. Stability of equilibria of Hamiltonian systems // Hamiltonian Dynamical Systems / Compiler R. S. Mackay, J. D. Mciss. — Bristol: Adam Hilger, 1987. Pp. 137-153.

65. Bender С. M., Orszag S. A. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. — New-York: McGraw Hill, 1978.

66. Хартмап Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ. М.: Мир, 1970. - 720 с.

67. Жидков Е. П., Шири,ков В. П. Об одной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. — 1964. — Т. 4, № 5. — С. 804-816.

68. Жидков Г1. Е., Сакбаев В. Ж. Об одном нелинейном обыкновенном дифференциальном уравнении // Матем. заметки. — 1994. — Т. 55, № 4. — С. 25-34.

69. Zhidkov P. Е. Korteweg-de Vries and Nonlinear Schrodinger Equations: Qualitative Theory. — Berlin: Springer, 2001. — 147 pp.

70. Chiao R. Y., Garm ire E., Townes С. H. Self-trapping of optical beams // Physical Revieiu Letters. — 1964. — Vol. 13, no. 15. — Pp. 479-482.

71. Weinstein M. Nonlinear Schrodinger equations and sharp interpolation estimates // Communications in Mathematical Physics.— 1983.— Vol. 87.— Pp. 567-576.

72. Coherent disintegration and stability of vortices in trapped Bose condensates / H. Pu, С. K. Law, J. H. Eberly, N. P. Bigelow // Physical Review A. — 1999. — Vol. 59. — Pp. 1533-1537.

73. Huht.awaki J. A. M., Mottonen M., Virtanen S. M. M. Dynamically stable multiply quantized vortices in dilute Bose-Einstein condensates // Physical Review A. — 2006. Vol. 74. — P. 063619.

74. Nils en H. M., Lundh E. Splitting dynamics of doubly quantized vortices in Bose-Einstein condensates // Physical Review A. — 2008. — Vol. 77. — P. 013604.

75. Dynamical instability of a doubly quantized vortex in a Bose-Einstein condensate / Y. Shin, M. Saba, M. Vengalattore et al. // Physical Review Letters. 2004. - Vol. 93. - P. 160406.

76. On stability of vortices in three-dimensional self-attractive Bose-Einstein condensates / B. A. Malomed, F. Lederer, D. Mazilu, D. Mihalache // Physical Review A. 2007. - Vol. 361. - P. 336.

77. Lundh E., Collin A., Suominen K.-A. Rotational states of Bose gases with attractive interactions in anharmonic traps // Physical Review Letters.— 2004. — Vol. 92. P. 070401.

78. Lundh E. Multiply quantized vortices in trapped Bose Einstein condensates // Physical Review A. 2002. - Vol. 65. - P. 043604.

79. Aftalion ADanaila /. Giant vortices in combined harmonic and quartic traps // Physical Review A. — 2004. — Vol. 69. — P. 033608.

80. Fetter A. L. Rotating vortex lattice in a Bose-Einstein condensate trapped in combined quadratic and quartic radial potentials // Physical Review A. — 2001. — Vol. 64. P. 063608.

81. Fischer U. R. Baym G. Vortex states of rapidly rotating dilute Bose-Einstein condensates // Physical Review Letters. — 2003. — Vol. 90. — P. 140402.

82. Jackson A. D. Kavovlakis G. M. Vortices and hysteresis in a rotating Bose-Einstein condensate with anharmonic confinement // Physical Review A.— 2004,-Vol. 70.-P. 023601.

83. Ghosh Т. K. Vortex formation in a fast rotating Bose-Einstein condensate // Physical Review A. 2004. — Vol. 69. - P. 043606.

84. Carr L. D., Clark C. W. Erratum: Vortices in attractive Bose-Einstein condensates in two dimensions // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 100. — P. 019903.

85. Coppel W. A. Stability and Asymptotic Behaviour of Differential Equations.— Boston, MA: Heath and Co, 1965.— 176 pp.

86. Herzog G. Quasimonotonicity // Nonlinear Analysis. — 2001. — Vol. 47. — Pp. 2213-2224.

87. Herzog G., Lemmert R. Differential inequalities. — Seminar Lem-mert/Volkmann, No. 8, 27.01.2001. www.mathematik.uni-karlsruhe.de/ user/~SeminarLV/.